Matematika DiskritPoliteknik Caltex Riau(Politeknik Caltex Riau) Counting 1 / 32OutlineThe Basics of Counting.The Pigeonhole Principle.Permutations and Combinations.Discrete Probability.Recurrence Relations.(Politeknik Caltex Riau) Counting 2 / 32OutlineThe Basics of Counting.The Pigeonhole Principle.Permutations and Combinations.Discrete Probability.Recurrence Relations.(Politeknik Caltex Riau) Counting 2 / 32OutlineThe Basics of Counting.The Pigeonhole Principle.Permutations and Combinations.Discrete Probability.Recurrence Relations.(Politeknik Caltex Riau) Counting 2 / 32OutlineThe Basics of Counting.The Pigeonhole Principle.Permutations and Combinations.Discrete Probability.Recurrence Relations.(Politeknik Caltex Riau) Counting 2 / 32OutlineThe Basics of Counting.The Pigeonhole Principle.Permutations and Combinations.Discrete Probability.Recurrence Relations.(Politeknik Caltex Riau) Counting 2 / 32The Basics of CountingFact1Aturan Perkalian (The Product Rule)Bila tugas (eksperimen) 1 mempunyai p cara pengerjaan (hasil) dantuga (eksperimen) 2 mempunyai q cara pengerjaan (hasil), maka bilatugas (eksperimen) 1 dan tugas (eksperimen) 2 dilakukan, terdapatp q cara pengerjaan (hasil).2Kaidah penjumlahan (The Sum Rule)Bila tugas (eskperimen) 1 mempunyai p cara pengerjaan (hasil),tugas (eksperimen) 2 mempunyai q cara pengerjaan (hasil), maka bilatugas (eksperimen) 1 atau tugas (eksperimen) 2 dilakukan, terdapatp + q cara pengerjaan (hasil).(Politeknik Caltex Riau) Counting 3 / 32The Basics of CountingFact1Aturan Perkalian (The Product Rule)Bila tugas (eksperimen) 1 mempunyai p cara pengerjaan (hasil) dantuga (eksperimen) 2 mempunyai q cara pengerjaan (hasil), maka bilatugas (eksperimen) 1 dan tugas (eksperimen) 2 dilakukan, terdapatp q cara pengerjaan (hasil).2Kaidah penjumlahan (The Sum Rule)Bila tugas (eskperimen) 1 mempunyai p cara pengerjaan (hasil),tugas (eksperimen) 2 mempunyai q cara pengerjaan (hasil), maka bilatugas (eksperimen) 1 atau tugas (eksperimen) 2 dilakukan, terdapatp + q cara pengerjaan (hasil).(Politeknik Caltex Riau) Counting 3 / 32The Basics of CountingFact (Perluasan Kaidah Menghitung)Jika n buah tugas (eksperimen) masing-masing mempunyai p1, p2, . . . , pn,cara pengerjaan (hasil) yang dalam hal ini setiap pi tidak bergantung padacara (pilihan) sebelumnya, maka banyaknya cara pengerjaan (hasilpercobaan) yang mungkin adalah :1p1 p2 . . . pn (kaidah perkalian)2p1 + p2 + . . . + pn (kaidah penjumlahan)Fact (Prinsip Inklusi-Eksklusi)Misalkan A1 dan A2 adalah dua himpunan. Banyaknya cara memilih satuelemen dari A1 dan A2 berturut-turut adalah [A1[ dan [A2[ . Jika sekarangkita memilih satu elemen dari A1 atau A2, maka banyaknya cara yangdapat dilakukan adalah[A1 'A2[ = [A1[ +[A1[ [A1 A2[(Politeknik Caltex Riau) Counting 4 / 32The Basics of CountingExample1Kursi pada suatu auditorium akan dilabeli dengan satu huruf abjaddiikuti oleh sebuah bilangan positif yang tidak lebih dari 100. Berapabanyak kursi yang dapat dilabeli dengan cara tersebut?2Ada berapa banyak bit string berbeda dengan panjang 7?3Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapatdibuat jika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan 4 angka?4Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapat dibuatjika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan paling sedikit 1 angka?5Setiap user pada suatu sistem komputer mempunyai password, yangterdiri dari enam sampai delapan karakter, dimana karakter tersebutmerupakan huruf atau angka. Setiap password harus terdiri dari palingsedikit satu angka. Ada berapa banyak password yang mungkin?6Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yangdimulai dengan 11 atau berakhir dengan 11 ?(Politeknik Caltex Riau) Counting 5 / 32The Basics of CountingExample1Kursi pada suatu auditorium akan dilabeli dengan satu huruf abjaddiikuti oleh sebuah bilangan positif yang tidak lebih dari 100. Berapabanyak kursi yang dapat dilabeli dengan cara tersebut?2Ada berapa banyak bit string berbeda dengan panjang 7?3Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapatdibuat jika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan 4 angka?4Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapat dibuatjika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan paling sedikit 1 angka?5Setiap user pada suatu sistem komputer mempunyai password, yangterdiri dari enam sampai delapan karakter, dimana karakter tersebutmerupakan huruf atau angka. Setiap password harus terdiri dari palingsedikit satu angka. Ada berapa banyak password yang mungkin?6Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yangdimulai dengan 11 atau berakhir dengan 11 ?(Politeknik Caltex Riau) Counting 5 / 32The Basics of CountingExample1Kursi pada suatu auditorium akan dilabeli dengan satu huruf abjaddiikuti oleh sebuah bilangan positif yang tidak lebih dari 100. Berapabanyak kursi yang dapat dilabeli dengan cara tersebut?2Ada berapa banyak bit string berbeda dengan panjang 7?3Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapatdibuat jika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan 4 angka?4Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapat dibuatjika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan paling sedikit 1 angka?5Setiap user pada suatu sistem komputer mempunyai password, yangterdiri dari enam sampai delapan karakter, dimana karakter tersebutmerupakan huruf atau angka. Setiap password harus terdiri dari palingsedikit satu angka. Ada berapa banyak password yang mungkin?6Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yangdimulai dengan 11 atau berakhir dengan 11 ?(Politeknik Caltex Riau) Counting 5 / 32The Basics of CountingExample1Kursi pada suatu auditorium akan dilabeli dengan satu huruf abjaddiikuti oleh sebuah bilangan positif yang tidak lebih dari 100. Berapabanyak kursi yang dapat dilabeli dengan cara tersebut?2Ada berapa banyak bit string berbeda dengan panjang 7?3Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapatdibuat jika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan 4 angka?4Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapat dibuatjika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan paling sedikit 1 angka?5Setiap user pada suatu sistem komputer mempunyai password, yangterdiri dari enam sampai delapan karakter, dimana karakter tersebutmerupakan huruf atau angka. Setiap password harus terdiri dari palingsedikit satu angka. Ada berapa banyak password yang mungkin?6Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yangdimulai dengan 11 atau berakhir dengan 11 ?(Politeknik Caltex Riau) Counting 5 / 32The Basics of CountingExample1Kursi pada suatu auditorium akan dilabeli dengan satu huruf abjaddiikuti oleh sebuah bilangan positif yang tidak lebih dari 100. Berapabanyak kursi yang dapat dilabeli dengan cara tersebut?2Ada berapa banyak bit string berbeda dengan panjang 7?3Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapatdibuat jika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan 4 angka?4Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapat dibuatjika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan paling sedikit 1 angka?5Setiap user pada suatu sistem komputer mempunyai password, yangterdiri dari enam sampai delapan karakter, dimana karakter tersebutmerupakan huruf atau angka. Setiap password harus terdiri dari palingsedikit satu angka. Ada berapa banyak password yang mungkin?6Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yangdimulai dengan 11 atau berakhir dengan 11 ?(Politeknik Caltex Riau) Counting 5 / 32The Basics of CountingExample1Kursi pada suatu auditorium akan dilabeli dengan satu huruf abjaddiikuti oleh sebuah bilangan positif yang tidak lebih dari 100. Berapabanyak kursi yang dapat dilabeli dengan cara tersebut?2Ada berapa banyak bit string berbeda dengan panjang 7?3Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapatdibuat jika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan 4 angka?4Ada berapa banyak plat nomor kendaraan bermotor yang dapat dibuatjika setiap plat harus terdiri dari 4 huruf dan paling sedikit 1 angka?5Setiap user pada suatu sistem komputer mempunyai password, yangterdiri dari enam sampai delapan karakter, dimana karakter tersebutmerupakan huruf atau angka. Setiap password harus terdiri dari palingsedikit satu angka. Ada berapa banyak password yang mungkin?6Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yangdimulai dengan 11 atau berakhir dengan 11 ?(Politeknik Caltex Riau) Counting 5 / 32The Basics of CountingSolution1Terdapat 26 100 = 2600 cara pelabelan yang mungkin, sehinggaada 2600 kursi yang dapat dilabeli.2Setiap bit dapat dipilih dalam dua cara, 0 atau 1. Total ada 27= 128bit string dengan panjang tujuh.3Ada 26 pilihan untuk setiap huruf dan ada 10 pilihan untuk setiapangka, sehingga ada26 26 26 26 10 10 10 10 = 4, 569, 760, 000 plat nomor.4?(Politeknik Caltex Riau) Counting 6 / 32The Basics of CountingSolution1Terdapat 26 100 = 2600 cara pelabelan yang mungkin, sehinggaada 2600 kursi yang dapat dilabeli.2Setiap bit dapat dipilih dalam dua cara, 0 atau 1. Total ada 27= 128bit string dengan panjang tujuh.3Ada 26 pilihan untuk setiap huruf dan ada 10 pilihan untuk setiapangka, sehingga ada26 26 26 26 10 10 10 10 = 4, 569, 760, 000 plat nomor.4?(Politeknik Caltex Riau) Counting 6 / 32The Basics of CountingSolution1Terdapat 26 100 = 2600 cara pelabelan yang mungkin, sehinggaada 2600 kursi yang dapat dilabeli.2Setiap bit dapat dipilih dalam dua cara, 0 atau 1. Total ada 27= 128bit string dengan panjang tujuh.3Ada 26 pilihan untuk setiap huruf dan ada 10 pilihan untuk setiapangka, sehingga ada26 26 26 26 10 10 10 10 = 4, 569, 760, 000 plat nomor.4?(Politeknik Caltex Riau) Counting 6 / 32The Basics of CountingSolution1Terdapat 26 100 = 2600 cara pelabelan yang mungkin, sehinggaada 2600 kursi yang dapat dilabeli.2Setiap bit dapat dipilih dalam dua cara, 0 atau 1. Total ada 27= 128bit string dengan panjang tujuh.3Ada 26 pilihan untuk setiap huruf dan ada 10 pilihan untuk setiapangka, sehingga ada26 26 26 26 10 10 10 10 = 4, 569, 760, 000 plat nomor.4?(Politeknik Caltex Riau) Counting 6 / 32The Basics of CountingSolution5. Misalkan P menyatakan total banyaknya password yang mungkin.Selanjutnya misalkan P6, P7, P8 masing-masing menyatakan banyaknyapassword yang terdiri dari 6,7,8 karakter. Maka P = P6 + P7 + P8.Untuk menghitung P6 secara langsung relatif sulit. Lebih mudah jika kitamenghitung banyaknya password yang terdiri dari huruf dan angkakemudian dikurang dengan banyaknya password yang tidak memuatangka.Banyaknya password dengan panjang 6 karakter yang terdiri dari hurufdan angka adalah : 366 = 2, 176, 782, 336Banyaknya password yang tidak mengandung angka adalah :266 = 308, 915, 776Maka P6 = 366 266 = 1, 867, 866, 560.Dengan cara yang sama, diperolehP7 = 367 267 = 78, 364, 164, 096 8, 031, 810, 176 = 70, 332, 353, 920P8 = 368 268 = 2, 612, 282, 842, 880.Sehingga P = P6 + P7 + P8 = 2, 684, 483, 063, 360.(Politeknik Caltex Riau) Counting 7 / 32The Basics of CountingSolution5. Misalkan P menyatakan total banyaknya password yang mungkin.Selanjutnya misalkan P6, P7, P8 masing-masing menyatakan banyaknyapassword yang terdiri dari 6,7,8 karakter. Maka P = P6 + P7 + P8.Untuk menghitung P6 secara langsung relatif sulit. Lebih mudah jika kitamenghitung banyaknya password yang terdiri dari huruf dan angkakemudian dikurang dengan banyaknya password yang tidak memuatangka.Banyaknya password dengan panjang 6 karakter yang terdiri dari hurufdan angka adalah : 366 = 2, 176, 782, 336Banyaknya password yang tidak mengandung angka adalah :266 = 308, 915, 776Maka P6 = 366 266 = 1, 867, 866, 560.Dengan cara yang sama, diperolehP7 = 367 267 = 78, 364, 164, 096 8, 031, 810, 176 = 70, 332, 353, 920P8 = 368 268 = 2, 612, 282, 842, 880.Sehingga P = P6 + P7 + P8 = 2, 684, 483, 063, 360.(Politeknik Caltex Riau) Counting 7 / 32The Basics of CountingSolution5. Misalkan P menyatakan total banyaknya password yang mungkin.Selanjutnya misalkan P6, P7, P8 masing-masing menyatakan banyaknyapassword yang terdiri dari 6,7,8 karakter. Maka P = P6 + P7 + P8.Untuk menghitung P6 secara langsung relatif sulit. Lebih mudah jika kitamenghitung banyaknya password yang terdiri dari huruf dan angkakemudian dikurang dengan banyaknya password yang tidak memuatangka.Banyaknya password dengan panjang 6 karakter yang terdiri dari hurufdan angka adalah : 366 = 2, 176, 782, 336Banyaknya password yang tidak mengandung angka adalah :266 = 308, 915, 776Maka P6 = 366 266 = 1, 867, 866, 560.Dengan cara yang sama, diperolehP7 = 367 267 = 78, 364, 164, 096 8, 031, 810, 176 = 70, 332, 353, 920P8 = 368 268 = 2, 612, 282, 842, 880.Sehingga P = P6 + P7 + P8 = 2, 684, 483, 063, 360.(Politeknik Caltex Riau) Counting 7 / 32The Basics of CountingSolution5. Misalkan P menyatakan total banyaknya password yang mungkin.Selanjutnya misalkan P6, P7, P8 masing-masing menyatakan banyaknyapassword yang terdiri dari 6,7,8 karakter. Maka P = P6 + P7 + P8.Untuk menghitung P6 secara langsung relatif sulit. Lebih mudah jika kitamenghitung banyaknya password yang terdiri dari huruf dan angkakemudian dikurang dengan banyaknya password yang tidak memuatangka.Banyaknya password dengan panjang 6 karakter yang terdiri dari hurufdan angka adalah : 366 = 2, 176, 782, 336Banyaknya password yang tidak mengandung angka adalah :266 = 308, 915, 776Maka P6 = 366 266 = 1, 867, 866, 560.Dengan cara yang sama, diperolehP7 = 367 267 = 78, 364, 164, 096 8, 031, 810, 176 = 70, 332, 353, 920P8 = 368 268 = 2, 612, 282, 842, 880.Sehingga P = P6 + P7 + P8 = 2, 684, 483, 063, 360.(Politeknik Caltex Riau) Counting 7 / 32The Basics of CountingSolution5. Misalkan P menyatakan total banyaknya password yang mungkin.Selanjutnya misalkan P6, P7, P8 masing-masing menyatakan banyaknyapassword yang terdiri dari 6,7,8 karakter. Maka P = P6 + P7 + P8.Untuk menghitung P6 secara langsung relatif sulit. Lebih mudah jika kitamenghitung banyaknya password yang terdiri dari huruf dan angkakemudian dikurang dengan banyaknya password yang tidak memuatangka.Banyaknya password dengan panjang 6 karakter yang terdiri dari hurufdan angka adalah : 366 = 2, 176, 782, 336Banyaknya password yang tidak mengandung angka adalah :266 = 308, 915, 776Maka P6 = 366 266 = 1, 867, 866, 560.Dengan cara yang sama, diperolehP7 = 367 267 = 78, 364, 164, 096 8, 031, 810, 176 = 70, 332, 353, 920P8 = 368 268 = 2, 612, 282, 842, 880.Sehingga P = P6 + P7 + P8 = 2, 684, 483, 063, 360.(Politeknik Caltex Riau) Counting 7 / 32The Basics of CountingSolution5. Misalkan P menyatakan total banyaknya password yang mungkin.Selanjutnya misalkan P6, P7, P8 masing-masing menyatakan banyaknyapassword yang terdiri dari 6,7,8 karakter. Maka P = P6 + P7 + P8.Untuk menghitung P6 secara langsung relatif sulit. Lebih mudah jika kitamenghitung banyaknya password yang terdiri dari huruf dan angkakemudian dikurang dengan banyaknya password yang tidak memuatangka.Banyaknya password dengan panjang 6 karakter yang terdiri dari hurufdan angka adalah : 366 = 2, 176, 782, 336Banyaknya password yang tidak mengandung angka adalah :266 = 308, 915, 776Maka P6 = 366 266 = 1, 867, 866, 560.Dengan cara yang sama, diperolehP7 = 367 267 = 78, 364, 164, 096 8, 031, 810, 176 = 70, 332, 353, 920P8 = 368 268 = 2, 612, 282, 842, 880.Sehingga P = P6 + P7 + P8 = 2, 684, 483, 063, 360.(Politeknik Caltex Riau) Counting 7 / 32The Basics of CountingSolution5. Misalkan P menyatakan total banyaknya password yang mungkin.Selanjutnya misalkan P6, P7, P8 masing-masing menyatakan banyaknyapassword yang terdiri dari 6,7,8 karakter. Maka P = P6 + P7 + P8.Untuk menghitung P6 secara langsung relatif sulit. Lebih mudah jika kitamenghitung banyaknya password yang terdiri dari huruf dan angkakemudian dikurang dengan banyaknya password yang tidak memuatangka.Banyaknya password dengan panjang 6 karakter yang terdiri dari hurufdan angka adalah : 366 = 2, 176, 782, 336Banyaknya password yang tidak mengandung angka adalah :266 = 308, 915, 776Maka P6 = 366 266 = 1, 867, 866, 560.Dengan cara yang sama, diperolehP7 = 367 267 = 78, 364, 164, 096 8, 031, 810, 176 = 70, 332, 353, 920P8 = 368 268 = 2, 612, 282, 842, 880.Sehingga P = P6 + P7 + P8 = 2, 684, 483, 063, 360.(Politeknik Caltex Riau) Counting 7 / 32The Basics of CountingSolution5. Misalkan P menyatakan total banyaknya password yang mungkin.Selanjutnya misalkan P6, P7, P8 masing-masing menyatakan banyaknyapassword yang terdiri dari 6,7,8 karakter. Maka P = P6 + P7 + P8.Untuk menghitung P6 secara langsung relatif sulit. Lebih mudah jika kitamenghitung banyaknya password yang terdiri dari huruf dan angkakemudian dikurang dengan banyaknya password yang tidak memuatangka.Banyaknya password dengan panjang 6 karakter yang terdiri dari hurufdan angka adalah : 366 = 2, 176, 782, 336Banyaknya password yang tidak mengandung angka adalah :266 = 308, 915, 776Maka P6 = 366 266 = 1, 867, 866, 560.Dengan cara yang sama, diperolehP7 = 367 267 = 78, 364, 164, 096 8, 031, 810, 176 = 70, 332, 353, 920P8 = 368 268 = 2, 612, 282, 842, 880.Sehingga P = P6 + P7 + P8 = 2, 684, 483, 063, 360.(Politeknik Caltex Riau) Counting 7 / 32The Basics of CountingLatihan1Ada berapa banyak bilangan genap dua angka?2Ada berapa banyak bilangan ganjil dua angka dengan setiapangkanya berbeda?3Tersedia 6 huruf a,b,c,d,e,f. Berapa cara pengurutan 3 huruf jika1 tidak ada huruf yang berulang2 boleh ada huruf yang berulang3 tidak boleh ada huruf yang berulang, tetapi huruf e harus ada4 boleh ada huruf yang berulang, huruf e harus ada4Ada berapa bit string dengan panjang delapan (1 byte) yang dimulaidengan bit 1 atau diakhiri dengan bit 00?(Politeknik Caltex Riau) Counting 8 / 32The Pigeonhole PrincipleTheorem (The Pigeonhole Principle)Jika k adalahbilangan bulat positif dan k + 1 atau lebih objek akanditempatkan kedalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotakyang berisi dua atau lebih objek.Examples1Dalam sembarang kelompok yang terdiri dari 367 orang, terdapatpaling sedikit 2 orang yang mempunyai hari ulang tahun yang samakarena hanya ada 366 kemungkinan hari ulang tahun.2Dari sembarang 27 kata, terdapat paling sedikit dua kata yang dimulaidengan abjad yang sama, karena hanya terdapat 26 huruf abjad.3Ada berapa banyak mahasiswa yang terdapat pada suatu kelas untukmenjamin bahwa terdapat paling sedikit 2 mahasiswa yangmempunyai nilai ujian yang sama, jika skala ujian tersebut adalah0 100?(Politeknik Caltex Riau) Counting 9 / 32The Pigeonhole PrincipleTheorem (The Pigeonhole Principle)Jika k adalahbilangan bulat positif dan k + 1 atau lebih objek akanditempatkan kedalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotakyang berisi dua atau lebih objek.Examples1Dalam sembarang kelompok yang terdiri dari 367 orang, terdapatpaling sedikit 2 orang yang mempunyai hari ulang tahun yang samakarena hanya ada 366 kemungkinan hari ulang tahun.2Dari sembarang 27 kata, terdapat paling sedikit dua kata yang dimulaidengan abjad yang sama, karena hanya terdapat 26 huruf abjad.3Ada berapa banyak mahasiswa yang terdapat pada suatu kelas untukmenjamin bahwa terdapat paling sedikit 2 mahasiswa yangmempunyai nilai ujian yang sama, jika skala ujian tersebut adalah0 100?(Politeknik Caltex Riau) Counting 9 / 32The Pigeonhole PrincipleTheorem (The Pigeonhole Principle)Jika k adalahbilangan bulat positif dan k + 1 atau lebih objek akanditempatkan kedalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotakyang berisi dua atau lebih objek.Examples1Dalam sembarang kelompok yang terdiri dari 367 orang, terdapatpaling sedikit 2 orang yang mempunyai hari ulang tahun yang samakarena hanya ada 366 kemungkinan hari ulang tahun.2Dari sembarang 27 kata, terdapat paling sedikit dua kata yang dimulaidengan abjad yang sama, karena hanya terdapat 26 huruf abjad.3Ada berapa banyak mahasiswa yang terdapat pada suatu kelas untukmenjamin bahwa terdapat paling sedikit 2 mahasiswa yangmempunyai nilai ujian yang sama, jika skala ujian tersebut adalah0 100?(Politeknik Caltex Riau) Counting 9 / 32The Pigeonhole PrincipleProblem1Berapa banyak bilangan yang harus diambil dari himpunan1, 2, 3, 4, 5, 6 untuk menjamin bahwa terdapat paling sedikitsepasang bilangan yang mempunyai jumlah 7?2Tunjukkan bahwa untuk sembarang 5 bilangan bulat (tidak harusberurutan), senantiasa terdapat dua bilangan yang mempunyai sisayang sama ketika dibagi 4.3Berapa jumlah minimum mahasiswa yang berasal dari 50 kota berbedaharus mendaftar ke universitas untuk menjamin bahwa terdapatpaling sedikit 100 mahasiswa yang berasal dari kota yang sama?(Politeknik Caltex Riau) Counting 10 / 32Permutations and Combinations.DenitionsBanyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalahP(n, r ) =n!(n r )!Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda adalahC(n, r ) =n!r ! (n r )!(Politeknik Caltex Riau) Counting 11 / 32Permutations and Combinations.DenitionsBanyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalahP(n, r ) =n!(n r )!Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda adalahC(n, r ) =n!r ! (n r )!(Politeknik Caltex Riau) Counting 11 / 32Permutations and Combinations.Problem1Ada berapa banyak bit string dengan panjang 10 yang memuat :1 tepat 4 buah angka 1?2 paling banyak 4 angka 1?3 paling sedikit 4 angka 1?4 sama banyak angka 1 dan 0?2Sebuah koin dilempar 10 kali. Ada berapa banyak kemungkinan :1 yang memuat tepat dua Gambar?2 yang memuat paling banyak tiga Angka?3 yang memuat Angka dan Gambar sama banyak?(Politeknik Caltex Riau) Counting 12 / 32Generalized Permutations and Combinations.Theorem (Generalisasi Permutasi)Misalkan X merupakan sebuah barisan yang mempunyai n unsur, dimanaterdapat n1 unsur yang sama untuk jenis 1, n2 unsur yang sama untukjenis 2 dan seterusnya sampai nk unsur yang sama untuk jenis k.Banyaknya permutasi dari barisan X adalahn!(n1!n2!...nk!)Theorem (Generalisasi Kombinasi)Jika X merupakan sebuah himpunan yang mempunyai n unsur dimanapengulangan diperbolehkan, maka banyaknya seleksi r unsur tak terurutdari X adalahC (n + r 1, r ) = C (n + r 1, n 1)(Politeknik Caltex Riau) Counting 13 / 32Generalized Permutations and Combinations.Examples1Banyaknya cara memilih 4 kelereng dari sebuah kantong yang berisipaling sedikitnya 4 kelereng dari masing-masing warna yaitu merah,biru dan kuning, adalah C (4 + 3 1, 4) = 15.2Misalkan sebuah toko roti mempunyai empat jenis roti. Banyaknyacara memilih 6 buah roti adalah C (4 + 6 1, 6) = C (9, 6) = 84.3Berapa banyak solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaanx1 + x2 = 10 ?Setiap solusi dari persamaan tersebut ekuivalen dengan pemilihan 10item dari suatu himpunan yang beranggotakan 2 elemen, sehinggaterpilih x1 item dari jenis 1, dan x2 item dari jenis 2. Sehinggabanyaknya solusi sama dengan banyaknya kombinasi-10 denganpengulangan dari suatu himpunan dengan 2 anggota, yaituC(2 + 10 1, 2 1) = C(11; 1) =11!10!1! = 11.(Politeknik Caltex Riau) Counting 14 / 32Generalized Permutations and Combinations.Examples1Banyaknya cara memilih 4 kelereng dari sebuah kantong yang berisipaling sedikitnya 4 kelereng dari masing-masing warna yaitu merah,biru dan kuning, adalah C (4 + 3 1, 4) = 15.2Misalkan sebuah toko roti mempunyai empat jenis roti. Banyaknyacara memilih 6 buah roti adalah C (4 + 6 1, 6) = C (9, 6) = 84.3Berapa banyak solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaanx1 + x2 = 10 ?Setiap solusi dari persamaan tersebut ekuivalen dengan pemilihan 10item dari suatu himpunan yang beranggotakan 2 elemen, sehinggaterpilih x1 item dari jenis 1, dan x2 item dari jenis 2. Sehinggabanyaknya solusi sama dengan banyaknya kombinasi-10 denganpengulangan dari suatu himpunan dengan 2 anggota, yaituC(2 + 10 1, 2 1) = C(11; 1) =11!10!1! = 11.(Politeknik Caltex Riau) Counting 14 / 32Generalized Permutations and Combinations.Examples1Banyaknya cara memilih 4 kelereng dari sebuah kantong yang berisipaling sedikitnya 4 kelereng dari masing-masing warna yaitu merah,biru dan kuning, adalah C (4 + 3 1, 4) = 15.2Misalkan sebuah toko roti mempunyai empat jenis roti. Banyaknyacara memilih 6 buah roti adalah C (4 + 6 1, 6) = C (9, 6) = 84.3Berapa banyak solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaanx1 + x2 = 10 ?Setiap solusi dari persamaan tersebut ekuivalen dengan pemilihan 10item dari suatu himpunan yang beranggotakan 2 elemen, sehinggaterpilih x1 item dari jenis 1, dan x2 item dari jenis 2. Sehinggabanyaknya solusi sama dengan banyaknya kombinasi-10 denganpengulangan dari suatu himpunan dengan 2 anggota, yaituC(2 + 10 1, 2 1) = C(11; 1) =11!10!1! = 11.(Politeknik Caltex Riau) Counting 14 / 32Generalized Permutations and Combinations.Examples1Banyaknya cara memilih 4 kelereng dari sebuah kantong yang berisipaling sedikitnya 4 kelereng dari masing-masing warna yaitu merah,biru dan kuning, adalah C (4 + 3 1, 4) = 15.2Misalkan sebuah toko roti mempunyai empat jenis roti. Banyaknyacara memilih 6 buah roti adalah C (4 + 6 1, 6) = C (9, 6) = 84.3Berapa banyak solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaanx1 + x2 = 10 ?Setiap solusi dari persamaan tersebut ekuivalen dengan pemilihan 10item dari suatu himpunan yang beranggotakan 2 elemen, sehinggaterpilih x1 item dari jenis 1, dan x2 item dari jenis 2. Sehinggabanyaknya solusi sama dengan banyaknya kombinasi-10 denganpengulangan dari suatu himpunan dengan 2 anggota, yaituC(2 + 10 1, 2 1) = C(11; 1) =11!10!1! = 11.(Politeknik Caltex Riau) Counting 14 / 32Discrete Probability.DenitionsRuang sampel (Sample Space) adalah himpunan dari semua hasil(kemungkinan) yang mungkin dari suatu percobaan (eksperimen).Kejadian (event) merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.DenitionJika S merupakan ruang sampel hingga dan takkosong, dan E adalahsuatu kejadian (event) di S, maka peluang dari kejadian (event) E adalahp (E) = [E[[S[(Politeknik Caltex Riau) Counting 15 / 32Discrete Probability.DenitionsRuang sampel (Sample Space) adalah himpunan dari semua hasil(kemungkinan) yang mungkin dari suatu percobaan (eksperimen).Kejadian (event) merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.DenitionJika S merupakan ruang sampel hingga dan takkosong, dan E adalahsuatu kejadian (event) di S, maka peluang dari kejadian (event) E adalahp (E) = [E[[S[(Politeknik Caltex Riau) Counting 15 / 32Discrete Probability.DenitionsRuang sampel (Sample Space) adalah himpunan dari semua hasil(kemungkinan) yang mungkin dari suatu percobaan (eksperimen).Kejadian (event) merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.DenitionJika S merupakan ruang sampel hingga dan takkosong, dan E adalahsuatu kejadian (event) di S, maka peluang dari kejadian (event) E adalahp (E) = [E[[S[(Politeknik Caltex Riau) Counting 15 / 32Discrete Probability.Examples1Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah. Sebuahbola diambil secara acak. Berapa peluang bola yang terambilberwarna biru?2Dua buah dadu dilempar. Berapa peluang jumlah bilangan yangmuncul dari dua dadu tersebut adalah 7?3Lima kartu diambil dari deck kartu standar yang terdiri dari 52 kartu.Berapa peluang memperoleh empat buah kartu dengan jenis yangsama?4Berapa peluang dalam suatu permainan poker, kita memperoleh fullhouse?5Berapa peluang memperoleh bola dengan nomor 11, 4, 9, 17, 32, 49dari sebuah kotak yang berisi 50 bola yang dinomori 1 sampai 50 jika1 bola yang telah diambil tidak dikembalikan2 bola yang telah diambil dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya(Politeknik Caltex Riau) Counting 16 / 32Discrete Probability.Examples1Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah. Sebuahbola diambil secara acak. Berapa peluang bola yang terambilberwarna biru?2Dua buah dadu dilempar. Berapa peluang jumlah bilangan yangmuncul dari dua dadu tersebut adalah 7?3Lima kartu diambil dari deck kartu standar yang terdiri dari 52 kartu.Berapa peluang memperoleh empat buah kartu dengan jenis yangsama?4Berapa peluang dalam suatu permainan poker, kita memperoleh fullhouse?5Berapa peluang memperoleh bola dengan nomor 11, 4, 9, 17, 32, 49dari sebuah kotak yang berisi 50 bola yang dinomori 1 sampai 50 jika1 bola yang telah diambil tidak dikembalikan2 bola yang telah diambil dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya(Politeknik Caltex Riau) Counting 16 / 32Discrete Probability.Examples1Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah. Sebuahbola diambil secara acak. Berapa peluang bola yang terambilberwarna biru?2Dua buah dadu dilempar. Berapa peluang jumlah bilangan yangmuncul dari dua dadu tersebut adalah 7?3Lima kartu diambil dari deck kartu standar yang terdiri dari 52 kartu.Berapa peluang memperoleh empat buah kartu dengan jenis yangsama?4Berapa peluang dalam suatu permainan poker, kita memperoleh fullhouse?5Berapa peluang memperoleh bola dengan nomor 11, 4, 9, 17, 32, 49dari sebuah kotak yang berisi 50 bola yang dinomori 1 sampai 50 jika1 bola yang telah diambil tidak dikembalikan2 bola yang telah diambil dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya(Politeknik Caltex Riau) Counting 16 / 32Discrete Probability.Examples1Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah. Sebuahbola diambil secara acak. Berapa peluang bola yang terambilberwarna biru?2Dua buah dadu dilempar. Berapa peluang jumlah bilangan yangmuncul dari dua dadu tersebut adalah 7?3Lima kartu diambil dari deck kartu standar yang terdiri dari 52 kartu.Berapa peluang memperoleh empat buah kartu dengan jenis yangsama?4Berapa peluang dalam suatu permainan poker, kita memperoleh fullhouse?5Berapa peluang memperoleh bola dengan nomor 11, 4, 9, 17, 32, 49dari sebuah kotak yang berisi 50 bola yang dinomori 1 sampai 50 jika1 bola yang telah diambil tidak dikembalikan2 bola yang telah diambil dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya(Politeknik Caltex Riau) Counting 16 / 32Discrete Probability.Examples1Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah. Sebuahbola diambil secara acak. Berapa peluang bola yang terambilberwarna biru?2Dua buah dadu dilempar. Berapa peluang jumlah bilangan yangmuncul dari dua dadu tersebut adalah 7?3Lima kartu diambil dari deck kartu standar yang terdiri dari 52 kartu.Berapa peluang memperoleh empat buah kartu dengan jenis yangsama?4Berapa peluang dalam suatu permainan poker, kita memperoleh fullhouse?5Berapa peluang memperoleh bola dengan nomor 11, 4, 9, 17, 32, 49dari sebuah kotak yang berisi 50 bola yang dinomori 1 sampai 50 jika1 bola yang telah diambil tidak dikembalikan2 bola yang telah diambil dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya(Politeknik Caltex Riau) Counting 16 / 32Discrete Probability.Examples1Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah. Sebuahbola diambil secara acak. Berapa peluang bola yang terambilberwarna biru?2Dua buah dadu dilempar. Berapa peluang jumlah bilangan yangmuncul dari dua dadu tersebut adalah 7?3Lima kartu diambil dari deck kartu standar yang terdiri dari 52 kartu.Berapa peluang memperoleh empat buah kartu dengan jenis yangsama?4Berapa peluang dalam suatu permainan poker, kita memperoleh fullhouse?5Berapa peluang memperoleh bola dengan nomor 11, 4, 9, 17, 32, 49dari sebuah kotak yang berisi 50 bola yang dinomori 1 sampai 50 jika1 bola yang telah diambil tidak dikembalikan2 bola yang telah diambil dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya(Politeknik Caltex Riau) Counting 16 / 32Discrete Probability.Examples1Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah. Sebuahbola diambil secara acak. Berapa peluang bola yang terambilberwarna biru?2Dua buah dadu dilempar. Berapa peluang jumlah bilangan yangmuncul dari dua dadu tersebut adalah 7?3Lima kartu diambil dari deck kartu standar yang terdiri dari 52 kartu.Berapa peluang memperoleh empat buah kartu dengan jenis yangsama?4Berapa peluang dalam suatu permainan poker, kita memperoleh fullhouse?5Berapa peluang memperoleh bola dengan nomor 11, 4, 9, 17, 32, 49dari sebuah kotak yang berisi 50 bola yang dinomori 1 sampai 50 jika1 bola yang telah diambil tidak dikembalikan2 bola yang telah diambil dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya(Politeknik Caltex Riau) Counting 16 / 32Discrete Probability.TheoremMisalkan E merupakan suatu even di ruang sampel S. Jika E merupakaneven komplemen dari E, maka peluang Eadalahp E/

= 1 p (E)Examples1Suatu bit string dengan panjang 10 dihasilkan secara random. Berapapeluang kita memperoleh bit sting yang memuat paling sedikit satubit 0?2Sebuah koin dilempar enam kali. Berapa peluang muncul palingsedikit satu Angka?(Politeknik Caltex Riau) Counting 17 / 32Discrete Probability.TheoremMisalkan E merupakan suatu even di ruang sampel S. Jika E merupakaneven komplemen dari E, maka peluang Eadalahp E/

= 1 p (E)Examples1Suatu bit string dengan panjang 10 dihasilkan secara random. Berapapeluang kita memperoleh bit sting yang memuat paling sedikit satubit 0?2Sebuah koin dilempar enam kali. Berapa peluang muncul palingsedikit satu Angka?(Politeknik Caltex Riau) Counting 17 / 32Discrete Probability.Problem1Berapa peluang kartu yang terpilih secara acak dari sebuah deckstandar adalah as?2Berapa peluang bilangan yang dipilih secara acak dari 100 bilanganasli pertama adalah bilangan ganjil?3Berapa peluang jumlah bilangan yang dihasilkan adalah genap ketikadua buah dadu dilempar?4Berapa peluang ketika sebuah koin dilempar 10 kali, yang munculselalu Gambar?5Berapa peluang dari lima kartu pada permainan poker, terdapatpaling sedikit satu kartu as?(Politeknik Caltex Riau) Counting 18 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).DenitionRelasi rekursif adalah sebuah persamaan yang menyatakan an (suku ke-ndari suatu barisan) dalam satu atau lebih suku-suku sebelumnya.Suku-suku sebelumnya itu adalah a0, a1,, an1.Example (Rabbit and the Fibonacci Numbers)Permasalahan ini dikemukakan oleh Leonardo Pisano, yang juga dikenaldengan Fibonacci, pada abad ke 13 dalam bukunya Liber abaci. Sepasangkelinci muda ditempatkan di sebuah pulau. Kelinci tersebut tidak akanberanak sampai berumur 2 bulan. Setelah mereka berumur 2 bulan, setiappasang kelinci di pulau tersebut akan melahirkan sepasang kelinci lainnyasetiap bulan. Tentukan relasi rekursif yang menyatakan banyaknyapasangan kelinci yang terdapat di pulau tersebut setelah n bulan,asumsikan bahwa tidak ada kelinci yang mati.(Politeknik Caltex Riau) Counting 19 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).SolutionMisalkan fn menyatakan banyaknya pasangan kelinci setelah n bulan.Diakhir bulan pertama, banyaknya pasangan kelinci adalah f1 = 1,karena belum ada kelinci yang beranak.Diakhir bulan kedua, banyaknya pasangan kelinci adalah f2 = 1.Pada akhir bulan ke n, terdapat fn1 pasang kelinci (fn1 adalahbanyaknya pasangan kelinci yang terdapat pada bulan sebelumnya)ditambah banyaknya pasangan kelinci yang baru lahir.Banyaknya pasangan kelinci yang baru lahir adalah sebanyak fn2,sehingga banyaknya pasangan kelinci pada akhir bulan ke n adalahfn = fn1 + fn2, n _ 3dengan f1 = 1, f2 = 1.(Politeknik Caltex Riau) Counting 20 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).SolutionMisalkan fn menyatakan banyaknya pasangan kelinci setelah n bulan.Diakhir bulan pertama, banyaknya pasangan kelinci adalah f1 = 1,karena belum ada kelinci yang beranak.Diakhir bulan kedua, banyaknya pasangan kelinci adalah f2 = 1.Pada akhir bulan ke n, terdapat fn1 pasang kelinci (fn1 adalahbanyaknya pasangan kelinci yang terdapat pada bulan sebelumnya)ditambah banyaknya pasangan kelinci yang baru lahir.Banyaknya pasangan kelinci yang baru lahir adalah sebanyak fn2,sehingga banyaknya pasangan kelinci pada akhir bulan ke n adalahfn = fn1 + fn2, n _ 3dengan f1 = 1, f2 = 1.(Politeknik Caltex Riau) Counting 20 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).SolutionMisalkan fn menyatakan banyaknya pasangan kelinci setelah n bulan.Diakhir bulan pertama, banyaknya pasangan kelinci adalah f1 = 1,karena belum ada kelinci yang beranak.Diakhir bulan kedua, banyaknya pasangan kelinci adalah f2 = 1.Pada akhir bulan ke n, terdapat fn1 pasang kelinci (fn1 adalahbanyaknya pasangan kelinci yang terdapat pada bulan sebelumnya)ditambah banyaknya pasangan kelinci yang baru lahir.Banyaknya pasangan kelinci yang baru lahir adalah sebanyak fn2,sehingga banyaknya pasangan kelinci pada akhir bulan ke n adalahfn = fn1 + fn2, n _ 3dengan f1 = 1, f2 = 1.(Politeknik Caltex Riau) Counting 20 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).SolutionMisalkan fn menyatakan banyaknya pasangan kelinci setelah n bulan.Diakhir bulan pertama, banyaknya pasangan kelinci adalah f1 = 1,karena belum ada kelinci yang beranak.Diakhir bulan kedua, banyaknya pasangan kelinci adalah f2 = 1.Pada akhir bulan ke n, terdapat fn1 pasang kelinci (fn1 adalahbanyaknya pasangan kelinci yang terdapat pada bulan sebelumnya)ditambah banyaknya pasangan kelinci yang baru lahir.Banyaknya pasangan kelinci yang baru lahir adalah sebanyak fn2,sehingga banyaknya pasangan kelinci pada akhir bulan ke n adalahfn = fn1 + fn2, n _ 3dengan f1 = 1, f2 = 1.(Politeknik Caltex Riau) Counting 20 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).Example (The Tower of Hanoi)Puzzle ini dikemukakan oleh douard Lucas pada akhir abad ke 19.Sejumlah disk ditempatkan pada tiang pertama. Tujuan kita adalahmemindahkan semua disk yang ada pada tiang pertama ke tiang keduadengan urutan yang sama seperti urutan di tiang kedua (disk paling besardibawah). Aturannya adalah kita boleh memindahkan satu disk padasetiap langkah dan disk tersebut tidak boleh diletakkan diatas disk yangberukuran lebih kecil. Misalkan Hn menyatakan banyaknya langkah yangdibutuhkan untuk menyelesaikan puzzle ini. Tentukan relasi rekursif untukHn.(Politeknik Caltex Riau) Counting 21 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).SolutionMisalkan terdapat n disk di tiang pertama.Kita dapat memindahkan n 1 disk yang diatas sesuai aturan ketiang 3 dengan menggunakan Hn1 langkah.Selanjutnya disk yang paling besar yang tersisa di tian 1 dipindahkanketiang 2, ini membutuhkan 1 langkah.Kemudian n 1 disk yang ada di tiang 3 tadi dipindahkan ke tiang 2dengan menggunakan Hn1 langkah.Jadi, untuk memindahkan n disk dari tiang 1 ke tiang 2 membutuhkanHn1 + Hn1 + 1 langkah, sehingga diperoleh relasi rekursifHn = 2Hn1 + 1dengan kondisi awal H1 = 1 (karena butuh satu langkah untukmemindahkan satu buah disk dari tiang 1 ke tiang 2).(Politeknik Caltex Riau) Counting 22 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).SolutionMisalkan terdapat n disk di tiang pertama.Kita dapat memindahkan n 1 disk yang diatas sesuai aturan ketiang 3 dengan menggunakan Hn1 langkah.Selanjutnya disk yang paling besar yang tersisa di tian 1 dipindahkanketiang 2, ini membutuhkan 1 langkah.Kemudian n 1 disk yang ada di tiang 3 tadi dipindahkan ke tiang 2dengan menggunakan Hn1 langkah.Jadi, untuk memindahkan n disk dari tiang 1 ke tiang 2 membutuhkanHn1 + Hn1 + 1 langkah, sehingga diperoleh relasi rekursifHn = 2Hn1 + 1dengan kondisi awal H1 = 1 (karena butuh satu langkah untukmemindahkan satu buah disk dari tiang 1 ke tiang 2).(Politeknik Caltex Riau) Counting 22 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).SolutionMisalkan terdapat n disk di tiang pertama.Kita dapat memindahkan n 1 disk yang diatas sesuai aturan ketiang 3 dengan menggunakan Hn1 langkah.Selanjutnya disk yang paling besar yang tersisa di tian 1 dipindahkanketiang 2, ini membutuhkan 1 langkah.Kemudian n 1 disk yang ada di tiang 3 tadi dipindahkan ke tiang 2dengan menggunakan Hn1 langkah.Jadi, untuk memindahkan n disk dari tiang 1 ke tiang 2 membutuhkanHn1 + Hn1 + 1 langkah, sehingga diperoleh relasi rekursifHn = 2Hn1 + 1dengan kondisi awal H1 = 1 (karena butuh satu langkah untukmemindahkan satu buah disk dari tiang 1 ke tiang 2).(Politeknik Caltex Riau) Counting 22 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).SolutionMisalkan terdapat n disk di tiang pertama.Kita dapat memindahkan n 1 disk yang diatas sesuai aturan ketiang 3 dengan menggunakan Hn1 langkah.Selanjutnya disk yang paling besar yang tersisa di tian 1 dipindahkanketiang 2, ini membutuhkan 1 langkah.Kemudian n 1 disk yang ada di tiang 3 tadi dipindahkan ke tiang 2dengan menggunakan Hn1 langkah.Jadi, untuk memindahkan n disk dari tiang 1 ke tiang 2 membutuhkanHn1 + Hn1 + 1 langkah, sehingga diperoleh relasi rekursifHn = 2Hn1 + 1dengan kondisi awal H1 = 1 (karena butuh satu langkah untukmemindahkan satu buah disk dari tiang 1 ke tiang 2).(Politeknik Caltex Riau) Counting 22 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).DenitionPersamaan karakteristik dari relasi rekursif an = c1an1 + c2an2 adalahpersamaankuadrat yang berbentuk r2c1r c2 = 0. Akar daripersamaan kuadrat ini disebut akar karakteristik.TheoremMisalkan c1 dan c2 adalah suatu bilangan real. Misalkan juga bahwapersamaan kuadrat r2c1r c2 = 0 mempunyai dua akar yang berbeda,yaitu r1 dan r2. Solusi dari relasi rekursif an = c1an1 + c2an2 adalahan = 1rn1 + 2rn2 , untuk n = 0, 1, 2, dimana1 dan2 merupakan suatu konstanta.(Politeknik Caltex Riau) Counting 23 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).ExampleTentukan solusi dari relasi rekursifan = an1 + 2an2dengan a0 = 2 dan a1 = 7.SolutionBerdasarkan teorema, persamaan karakteristik untuk relasi rekursif iniadalahr2r 2 = 0yang mempunyai akar r1 = 2 dan r2 = 1. Sehingga solusi dari persamaanrekursif tersebut adalahan = 12n+ 2 (1)n(Politeknik Caltex Riau) Counting 24 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).SolutionUntuk menentukan konstanta1 dan2, substitusi syarat awal yangdiketahui, yaitu a0 = 2 dan a1 = 7 sehingga diperoleha0= 1 + 2 = 2a1= 1 (2) + 2 (1) = 7yang mempunyai solusi1 = 3 dan2 = 1 dan solusi persamaan rekursifdiatas adalahan = 32n(1)n(Politeknik Caltex Riau) Counting 25 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).ProblemTentukan rumus eksplisit dari bilangan bonacci(Politeknik Caltex Riau) Counting 26 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).TheoremMisalkan c1 dan c2 adalah bilangan real dengan c2 ,= 0. Misalkanpersamaan kuadrat r2c1r c2 = 0 hanya mempunyai satu akar r0.Relasi rekursif an = c1an1 + c2an2 mempunyai solusian = 1rn1 + 2nrn2 , untuk n = 0, 1, 2, dimana1 dan2 merupakan suatu konstanta.ExampleTentukan solusi relasi rekursifan = 6an1 9an2dengan a0 = 1 dan a1 = 6.(Politeknik Caltex Riau) Counting 27 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).SolutionBerdasarkan teorema, persamaan karakteristik untuk relasi rekursif iniadalahr26r + 9 = 0yang mempunyai akar r0 = 3. Sehingga solusi dari persamaan rekursiftersebut adalahan = 12n+ 2 (1)nUntuk menentukan konstanta1 dan2, substitusi syarat awal yangdiketahui, yaitu a0 = 2 dan a1 = 7 sehingga diperoleha0= 1 + 2 = 2a1= 1 (2) + 2 (1) = 7yang mempunyai solusi1 = 3 dan2 = 1 dan solusi persamaan rekursifdiatas adalahan = 32n(1)n(Politeknik Caltex Riau) Counting 28 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).Problem1Tentukan solusi dari setiap relasi rekursif berikut ini :1 an = 2an1, untuk n _ 1, dengan syarat awal a0 = 3.2 an = an1, untuk n _ 1, dengan syarat awal a0 = 2.3 an = 5an1 6an2, untuk n _ 2, dengan syarat awal a0 = 1 dana1 = 0.4 an = 4an1 4an2, untuk n _ 2, dengan syarat awal a0 = 6 dana1 = 8.5 an = 4an1 4an2, untuk n _ 2, dengan syarat awal a0 = 0 dana1 = 1.6 an = 4an2, untuk n _ 2, dengan syarat awal a0 = 0 dan a1 = 4.7 an = an24, untuk n _ 2, dengan syarat awal a0 = 1 dan a1 = 0.(Politeknik Caltex Riau) Counting 29 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).Problem2. Sebuah model yang menyatakan banyaknya lobster yang ditangkaptiap tahun menggunakan asumsi bahwa banyaknya lobster yangditangkap dalam setahun adalah sama dengan rata-rata banyaknyalobster yang ditangkap pada dua tahun sebelumnya.1 Tentukan relasi rekursif untuk Ln, dimana Ln menyatakan banyaknyalobster yang ditangkap pada tahun n.2 Tentukan Ln jika 100,000 lobster ditangkap pada tahun pertama dan300,000 lobster ditangkap pada tahun kedua.(Politeknik Caltex Riau) Counting 30 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).Problem3. Uang sejumlah $100,000 digunakan untuk investasi. Pada setiap akhirtahun, dua orang pemengang saham diberikan bonus oleh perusahaaninvestasi tersebut. Pemegan saham pertama memperoleh 20% darijumlah saldo yang terdapat pada tahun tersebut, dan pemengangsaham kedua memperoleh 45% dari jumlah saldo yang terdapat padatahun sebelumnya. Misalkan Pn menyatakan saldo pada akhir tahunke n.1 Tentukan relasi rekursif untuk Pn. Asumsikanbahwa tidak ada duityang ditarik oleh pemilik saham.2 Berapa saldo yang diperoleh setelah n tahun jika tidak ada duit yangditarik oleh pemilik saham.(Politeknik Caltex Riau) Counting 31 / 32Recurrence Relations (Relasi Rekursif).(Politeknik Caltex Riau) Counting 32 / 32