cortes num cubo -2

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Ficha de trabalho - para 10 ano- Seces produzidas em slidos quando intersectados por um plano.

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ESCOLA SECUNDRIA DA CIDADELA DEPARTAMENTO DE MATEMTICA 10 ANO CORTES NUM CUBO PARTE I - INFORMAO

Quando intersectamos um slido por um plano no espao, chamamos seco a figura comum ao slido e ao plano secante. Para determinar as seces produzidas por cada plano deve ter-se em conta que: Axiomas: Dois pontos definem uma recta. Trs pontos no colineares definem um plano. Recta com dois pontos comuns num plano est contida nesse plano. Se dois planos distintos tm um ponto comum a sua interseco uma recta. Axioma de Euclides: Por um ponto exterior a uma recta passa uma e uma paralela a essa recta E Dois planos intersectam-se segundo uma recta. Um plano intersecta planos paralelos segundo rectas paralelas. Paralelismo no espao Paralelismo de recta a planoTeorema: Se uma recta paralela a outra recta dum plano ento paralela ao plano.

Paralelismo de planosTeorema: Se um plano contm duas rectas concorrentes paralelas a outro plano, ento os planos so paralelos. Teorema: Se um plano corta planos paralelos as interseces so paralelas. Teorema: Planos distintos paralelos a um terceiro so paralelos entre si.

Perpendicularidade no espao Perpendicularidade entre recta a planoTeorema: Se uma recta perpendicular a duas rectas concorrentes do plano ento perpendicular ao plano. Teorema: Se uma recta perpendicular a um plano ento perpendicular a todas as rectas desse plano.

Perpendicularidade de planosTeorema: Se um plano contm uma recta perpendicular a outro plano ento os planos so perpendiculares. Teorema: Dois planos perpendiculares mesma recta so paralelos entre si.

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Matemtica A 10 -

Cortes no Cubo-

Prof Margarida Pinto Teixeira

Pg 1

SECES NUM CUBO: O plano intersecta apenas trs faces do cubo (tringulo)

Tringulo issceles o plano paralelo a uma diagonal facial do cubo

Tringulo equiltero O plano paralelo a duas diagonais faciais do cubo

Tringulo escaleno o plano no paralelo a qualquer diagonal facial do cubo

O plano intersecta apenas quatro faces do cubo (quadriltero)

Quadrado O plano paralelo a uma face do cubo

Rectngulo O plano paralelo a uma aresta do cubo

Paralelogramo O plano intersecta quatro faces, paralelas duas a duas

Trapzio O plano intersecta quatro faces das quais duas so paralelas

O plano intersecta apenas cinco faces do cubo (pentgono)

O plano intersecta apenas seis faces do cubo (hexgono)

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PARTE II . EXERCCIOS

Aprender: Para representar a interseco do cubo com o plano PQR sabendo que esses pontos pertencem a arestas do cubo. Proceda da seguinte forma: 1 Desenhe o segmento de recta [PQ] pertencente face superior do cubo; 2 Trace por R uma paralela a QP uma vez que um plano intersecta planos paralelos segundo rectas paralelas; 3 Trace as semi-rectas e que se intersectam num ponto S, por pertencerem ao mesmo plano (face superior). A recta SR est contida no plano da face da frente pois tanto R como S pertencem a arestas ou prolongamentos dessa face. A recta SR tambm est contida no plano de corte PQR pois S pertence recta PQ. Ento, SR a interseco dos planos PQR e DCG pelo que se pode obter o segmento que a interseco do plano de corte com a face da frente;

Ou Trace

. Com a ajuda de uma rgua e esquadro trace o segmento de recta paralelo a no ponto T.

e que

passa por R e intersecta a face oposta e paralela na aresta

De seguida, trace o segmento e tire uma paralela a este passando por P, marque com Y o ponto de interseco com [GF]. Agora una Y a R.

4 Proceda agora da maneira usual para obter a seco produzida nos cubos do exerccio seguinte:.

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1. Desenhe sobre cada um dos cubos representados a seco obtida pelo plano PQR e, em seguida, classifique essa seco:

d)

e)

f)

Considera a pirmide quadrangular regular representada ao lado. Sabe-se que a altura da pirmide 15 cm e que o permetro da base 40 cm. 4.1 Indica:

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2. No cubo representado na figura Q, I, M e N so pontos mdios das arestas. O volume do cubo . 64cm3 a) Justifique que AG e ID so ortogonais. b) Determine o volume do prisma triangular de base HNF e altura [QH] c) Qual a figura geomtrica plana que se obtm no cubo quando se intersecta por um plana paralelo face [ABCD]? E se for intersectado pelo plano que contm as arestas EF e FM? d) Desenhe a seco obtida num cubo: d1) Pelo plano HMC, indica o polgono obtido e calcula a sua rea. d3) Pelo plano FGI e calcula o seu permetro. d5) Por um plano que passa por D e N e paralelo a AH. Desenha uma planificao do slido maior obtido. d2) Pelo plano AME, classifica-a quanto aos lados e determina a sua rea. d4) Por um plano paralelo a CBG passando por I. d6) Por um plano que passa por Q e paralelo ao plano IND e determina o permetro da seco obtida.

3. A figura representa um paraleleppedo rectngulo seccionado pelo plano ABC, que o separou em dois slidos diferentes. o volume do slido menor resultante da diviso de 49cm3 Determine: a) b) O volume do slido maior obtido no corte. c) A rea da seco obtida pelo plano ABC d) Desenhe a seco obtida no paraleleppedo pelo plano PQR.

4. Considere a pirmide triangular representada na figura. Desenhe a seco obtida quando secciona o slido : a) Pelo plano ABM. b) Pelo plano paralelo a ABM e que contm o ponto mdio de [VA] c) Pelo plano definido pelos pontos M, Q e R, sabendo que Q

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5. A figura representa um cubo e: - M o ponto mdio da aresta [FB]; - I o ponto mdio da aresta [EF] Com base na figura responda: a) Qual o ngulo que formam entre si as diagonais das faces? b) Qual a posio da recta AB relativamente recta AM? c) Qual a posio da recta AB relativamente recta HE? d) Indique uma recta concorrente com a recta HM e paralela a AB. e) Os pontos F, M e B definem um plano? f) As rectas BC e EF definem um plano? g) As rectas FM e AB definem um plano ? h) Qual a posio relativa dos planos EFD e ABC ? i) Qual a posio da recta AG relativamente ao plano EAC ? j) Qual a posio da recta EC relativamente ao plano ADM? k) Desenhe a seco resultante da interseco do cubo pelo plano : AMG CIM EGD l) Calcule o permetro das seces obtidas. m) Classifique o slido [.ABCM] e determine o seu volume

6. O tetraedro da figura tem a base contida no plano y. Os pontos M e N so, respectivamente, os pontos mdios das arestas [AB] e [AC] ; P [AD] e P no ponto mdio de [AD] a) Justifique que BC paralela ao plano MNP. b) Justifique que PN e CD se intersectam num ponto de y. c) Quantos planos h paralelos ao plano MNP e passando por BC? d) Desenhe a recta de interseco do plano MNP com o plano BCD. e) Desenhe a seco obtida pelo plano MNP. f) Desenhe a seco obtida pelo plano CDM.

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7. Considere a figura: 7.1.Indique: 1. Dois planos secantes. 2. A interseco do plano JHV com o plano ABC. 3. A interseco da recta VK com o plano ADC. 4. Duas rectas no complanares. 7.2. Indique, justificando, o valor lgico: 1. No plano ABV existe uma recta perpendicular ao plano ABC. 2. A interseco dos planos JDA e KCB o ponto V 3. A seco definida pelo plano AKC um tringulo issceles. 4. Os pontos A, J e V definem um plano. 5. A recta AD paralela ao plano VBC. 7.3. Imagine a pirmide intersectada por um plano paralelo base e que contm o ponto K. Sabe-se que cm.

1. Determina a razo de semelhana entre a pirmide inicial e a pirmide que se obtm depois corte. 2. Calcula o volume da pirmide pequena. 3. Calcula o volume do tronco de pirmide resultante do corte. 7.4 Desenhe a seco obtida pela interseco do plano HJK com a pirmide. (Sugesto: A interseco do plano ADV com o plano VBC a recta que passa por V e paralela a BC ) 8. Qual dos seguintes tringulos no pode ser obtido como seco produzida num cubo por um plano? A. Tringulo equiltero C. Tringulo rectngulo B. Tringulo escaleno D. Tringulo issceles.

9. Considere as afirmaes seguintes: I Duas rectas que contm duas arestas dum tetraedro definem um plano II Num cubo, qualquer aresta duma face paralela face oposta. correcto afirmar: A. I e II so verdadeiras C. I falsa e II verdadeira B. I verdadeira e II falsa D. I e II so falsas.

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10. O slido da figura representa um tetraedro . 1. Qual a seco produzida no slido pelo plano definido pelos pontos mdios de trs arestas concorrentes no mesmo vrtice? Desenhe a seco e identifique o polgono obtido. 2. Ao truncar o slido pelo plano referido na alnea anterior, ser que se obtm um slido regular? Qual o nome do poliedro obtido? 3. Sabendo que o volume do tetraedro 48 cm3 determine o volume do slido mencionado na alnea anterior.

11. Um cubo cuja aresta mede a cm foi truncado da forma que a figura sugere. Os vrtices do prisma hexagonal obtido depois dos cortes, ou coincidem com os vrtices do cubo ou com os pontos mdios das arestas onde esto contidos. 1. Prove que o volume de cada um dos prismas triangulares que foi retirado dado por 2. Determine em funo de a: a) A rea total do prisma hexagonal. b) O volume do prisma hexagonal. 3. Determine a razo entre os volumes dos prismas triangulares e o