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Corso di Motori Aeronautici
Mauro Valorani
Laurea Magistrale in Ingegneria Aeronautica (MAER)Sapienza, Universita di Roma
Anno Accademico 2011-12
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Sett. 8: Turbomacchine (II)1 Rendimenti Turbomacchine
Classificazione Rendimento TurbineLavoro Turbine total-total e total-staticRendimento adiabatico total to total e total to static di turbineRendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbineConfronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbineRelazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbineDivergenza isobareRendimento di una turbina pluristadioRendimento di una macchina a infiniti stadiRelazione tra Rendimento politropico e Indice della politropicaFattore di recupero politropico
2 Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionaleTurbomacchine termicheParametri di prestazione adimensionaliEspressioni equivalenti dei parametri adimensionaliParametri adimensionali per macchine a flusso compressibileCurve caratteristiche per compressori e turbineCondizione di massimo rendimentoNumero di giri e diametro specificiClassificazione macchine tramite numero di giri e diametro specificiApplicazioni dell’analisi dimensionale
3 Compressori e Turbine AssialiTipologie di triangoli di velocitaCompressore assialeTurbina assialeCifre adimensionaliTriangoli di velocita di compressore assialeTriangoli di velocita di turbina assialeRelazioni cinematicheLavoro di stadioLavoro di stadio adimensionaleSchiere di pale per compressori e turbineRendimento di stadioRapporto delle pressioniGrado di ReazioneGrado di Reazione e Angoli dei PalettaggiGrado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori AssialiGrado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Lez. 16: Rendimenti delle Turbomacchine
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Rendimenti Turbomacchine
Figure: Schematizzazione del flussoenergetico in un compressore.
Figure: Schematizzazione del flussoenergetico in una turbina.
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Classificazione Rendimento Turbine
Classificazione Rendimento Turbine
Rendimento adiabatico (o isentropico) dimacchina:
Rendimento total-to-total;
Rendimento total-to-static;
Rendimento pluri-stadio
Numero finito di stadi;
Numero infinito di stadi:rendimento politropico. Figure: Evoluzione del flusso in turbina
riportata nel piano entalpico.
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Lavoro Turbine total-total e total-static
Lavoro Turbine total-total e total-static
Espansione adiabatica ideale Q = 0 attraverso uno statore ed un rotore:
!sStator = !sRotor = 0 ! Ev " 0
Se l’energia cinetica del flusso in uscita e utile allora il lavoro utile ideale estraibiledalla turbina e detto total to total e vale:
W idtt
m= #! [h0]
idtt = h01 # h03s (s1, p03s) (19)
Se l’energia cinetica residua non e utile si definisce il lavoro utile ideale estraibiledalla turbina e detto total to static e vale:
W idts
m= #! [h0]
idts = h01 # h3s (s1, p3) (20)
Entrambe le forme sono funzione delle sole condizioni a monte e del rapporto diespansione della turbina.
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine
Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine
Espansione adiabatica reale Q = 0 attraverso uno statore ed un rotore.Perdite non nulle: vanno sottratte al lavoro ideale per avere il valore reale estratto.
W re
m= !! [h0]
re = !! [h0]idtt !
Ev
m+
Erec
m= h01 ! h03s (s1, p03s) !
Ev
m+
Erec
m
W re
m= !! [h0]
re = !! [h0]idts!
V 23
2!
Ev
m+
Erec
m= h01!h3s (s1, p3s)!
!
Ev
m!
Erec
m+
V 23
2
"
Introduciamo quindi il rendimento adiabatico total to total:
!tt =W re
W idtt
=h01 ! h03
h01 ! h03s= 1 !
Ev ! Erec
m (h01 ! h03s)
e il rendimento adiabatico total to static:
!ts =W re
W idts
=h01 ! h03
h01 ! h3s= 1 !
Ev ! Erec + mV 23 /2
m (h01 ! h3s)
Il lavoro estratto sara :
W re =
#
$
%
$
&
!tt'
h03s, Ev, Erec
(
W idtt (h03s)
!ts
)
h3s, Ev, Erec,V 232
*
W idts (h3s)
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine
Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine
Il rendimento adiabatico total to static e esprimibile in funzione del rapporto diespansione e il lavoro estratto:
!ts =cp (T01 ! T03)
cp (T01 ! T3s)=
1 !T03
T01
1 !T3s
T01
=1 !
T03
T01
1 !
)
p3
p01
*!!1!
=W/m
cpT01
+
,1 !
)
p3
p01
*!!1!
-
.
(21)
visto che nel caso ideale l’espansione e isentropica; per il rendimento total to total:
!tt =1 !
T03
T01
1 !
)
p03
p01
*!!1!
=W/m
cpT01
+
,1 !
)
p03
p01
*!!1!
-
.
(22)
e il lavoro per unita di massa puo essere quindi espresso come:
W
m= !tscpT01
+
,1 !
)
p3
p01
*!!1!
-
. (23)
oppure
W
m= !ttcpT01
+
,1 !
)
p03
p01
*!!1!
-
. (24)
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine
Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine
Se le di"erenze tra le energie cinetiche residue nel caso ideale e reale sono piccole:
V 23
2$
V 23s
2
allora sussiste una semplice relazione tra i due rendimenti:
!tt =!ts
1#V 23
[2cp (T01 # T3s)]
(25)
e risulta subito:!tt > !ts
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbine
Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbine
Dalla relazione:
!ts =1 !
T03
T01
1 !
)
p3
p01
*!!1!
e poiche lo stato (03) e (03s) hanno la stessa pressione totale
!s
cp= ln
T03
T03s!
R
cpln
p03
p03s= ln
T03
T03s
Inoltre:
T03
T01=
T03
T03s
T03s
T01= e
!scp
)
p03
p01
*!!1!
e quindi:
!ts =
1 !
)
p03
p01
*!!1!
e!scp
1 !
)
p3
p01
*!!1!
ed analogamente:
!tt =
1 !
)
p03
p01
*!!1!
e!scp
1 !
)
p03
p01
*!!1!
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Divergenza isobare
Divergenza isobare
Dalla definizione di entropia e dal I principio si ha:
ds = cpdT0
T0#R
dp0p0
ma per un’isobara (dp0 = 0) si ha che la pendenza aumenta all’aumentare dellatemperatura (e quindi dell’entalpia):
dT0
ds
!
!
!
!
p0=cost.
=T0
cp
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Rendimento di una turbina pluristadio
Rendimento di una turbina pluristadioFattore di recupero
Consideriamo una macchina a tre stadi; ogni stadio ha lostesso rendimento adiabatico !st definito come:
!st =h01 ! h02
h01 ! h02s=
h02 ! h03
h02 ! h03ss=
h03 ! h04
h03 ! h04sss
mentre il rendimento totale sara definito come:
!T =h01 ! h04
h01 ! h04s
= !st(h01 ! h02s) + (h02 ! h03ss) + (h03 ! h04sss)
h01 ! h04sEsplicitando le perdite entalpiche si ottiene:
h02 = h02s + !h"
2 ; h03 = h03ss + !h"
3 ; h04sss = h04s + !h"
4 + !h""
4
e sostituendo:
!T
= !sth01 ! h02s +
'
h02s + !h"
2 ! h03ss
(
+/
h03ss + !h"
3 !
'
h04s + !h"
4 + !h""
4
(0
h01 ! h04s
ossia:
!T
= !st
+
,1 +!h
"
2 + !h"
3 !
'
!h"
4 + !h""
4
(
h01 ! h04s
-
.
con !T
> !st vista la divergenza delle isobare.
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Rendimento di una macchina a infiniti stadi
Rendimento di una macchina a infiniti stadiRendimento politropico
Per una turbina formata da infiniti stadi, attraverso ognunodei quali si verifica un salto di pressione infinitesimo, sidefinisce rendimento politropico:
!p :=dh0
dhid0
Dall’espressione dell’entropia si ha:
Tds = dh0 !1
"0dp0
Nel caso isoentropico ds = 0 e quindi:
dhid0 =
1
"0dp0
per cui il rendimento politropico diventa:
!p ="0cpdT0
dp0=
p0
T0
#
# ! 1
dT0
dp0
Considerando !p = cost tra due stati (01) e (02) e integrando per separazione dellevariabili si ha:
T02
T01=
)
p02
p01
*!!1! "p
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica
Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica
Per una trasformazione politropica di indice n rappresentata dall’espressione
p0 · "!n0 = cost.
Di"erenziando si ha:dp0p0
# nd"0"0
= 0 (26)
Di"erenziando l’equazione di stato per un gas ideale e sostituendo la precedente siottiene:
dT0
T0=
dp0p0
#d"0"0
=n# 1
n
dp0p0
(27)
Integrando la precedente e confrontando con il risultato scritto in funzione di !p siha
T02
T01=
"
p02p01
#n!1n
=
"
p02p01
#!!1! !p
(28)
da cui si ricava la relazione fra !p e indice della politropica n:
!p =#
# # 1
n# 1
n(29)
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Fattore di recupero politropico
Fattore di recupero politropico
Il rendimento della turbina si puo esprimere in funzione del rendimento politropicoe del rapporto di espansione:
!t
$
!p,p02p01
%
=h01 # h02
h01 # h02s=
1#T02
T01
1#T02s
T01
=
1#"
p02p01
#!!1! !p
1#"
p02p01
#!!1!
Si dimostra che il rapporto (fattore di recupero) FR := !t&
!p,p02p01
'
/!p, e sempre
maggiore di uno a causa della divergenza delle isobare
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Fattore di recupero politropico
Lez. 17: Analisi Dimensionale per le Turbomacchine
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale
L’analisi e il confronto tra le turbomacchine e reso piu agevole dall’analisidimensionale: con l’ausilio del Teorema # di Buckingham possiamo ridurre ilnumero dei parametri che caratterizzano il sistema in esame. Possiamo distinguere:
parametri di funzionamento
velocita angolare $ (o numero di giri N);portata massica m (o volumetrica Q );coppia applicata Ma;variazione caratteristiche fluidodinamiche del fluido (pressione p, temperaturaT , volume specifico v);
parametri di prestazione
variazione di entalpia totale ! [h0];rendimento !;potenza trasmessa o ricevuta dall’asse W ;
proprieta del fluido
densita del flusso entrante " ;viscosita dinamica µ;peso molecolare M;calore specifico cp;
geometria del sistema
dimensione caratteristica della turbomacchina D (tipicamente un diametro);altre lunghezze caratteristiche, %i (sezioni di ingresso/uscita, giochi, ecc. . . )
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Turbomacchine termiche
Turbomacchine termiche
Nei flussi non isotermi si nota la presenza della temperatura tra le grandezzefondamentali; dalla sperimentazione si ottengono delle relazioni del tipo:
!h0 = h (m,N,D, "01, µ01, a01, #, $i)
! = ! (m,N,D, "01, µ01, a01, #, $i)
W = W (m,N,D, "01, µ01, a01, #, $i)
ove il pedice ()01 indica la grandezza alla condizione di ristagno nella sezione diingresso
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Parametri di prestazione adimensionali
Parametri di prestazione adimensionali
Grandezze fondamentali: densita ", diametro caratteristico D, numero di giri Ntemperatura T :
cifra di flusso
% =m
"01ND3
numero di Reynolds di macchina
ReD ="01ND2
µ01
numero di Mach di pala
MaD =ND
a01cifra di pressione
& =!
(
h0is
)
(ND)2
cifra di potenza
' =W
"01N3D5
Le prestazioni della macchina potranno essere quindi espresse da funzionali deltipo:
& = & (%, ReD,MaD, #) ; ! = ! (%, ReD,MaD, #) ; ' = ' (%, ReD,MaD, #)
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Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali
Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali
Espressioni equivalenti:
cifra di flusso in funzione del numero di Mach di pala
% =m
"01ND3=
m
"01a01D2
a01ND
=m
"01a01D2
1
MaD=
m%RT01
p01D2%#
1
MaD
cifra di pressione in funzione del rapporto tra le pressioni:
& =cp (T01 # T02s)
(ND)2=
cpT01
(ND)2
*
+1#"
p02p01
#!!1!
,
-
=#RT01
(# # 1) (ND)2
*
+1#"
p02p01
#!!1!
,
- =1
(# # 1)Ma2D
*
+1#"
p02p01
#!!1!
,
-
cifra di potenza in funzione del salto di temperature totali
' =W
"01N3D5=
mcp!T0
"01 (ND) (ND)2a201a201
=%
M2D
cp!T0
#RT01=
%
(# # 1)M2D
"
!T0
T01
#
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Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile
Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile
Definizioni alternative:
portata ridottam%RT01
p01D2%#
cifra di pressione espressa come rapporto tra le pressioni:
p02p01
=p02p01
"
m%RT01
p01D2%#, ReD,MaD, #
#
cifra di potenza espressa come salto di temperature totali
!T0
T01=
!T0
T01
"
m%RT01
p01D2%#, ReD,MaD, #
#
rendimento
! = !
"
m%RT01
p01D2%#, ReD,MaD, #
#
Con le ipotesi:
stesso fluido per tutte le macchine in esame: medesimi # ed R;le macchine con lo stesso diametro D;
allora si possono definire una portata e numero di giri ridotti come segue
m%T01
p01
N%T01
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Curve caratteristiche per compressori e turbine
Curve caratteristiche per compressori e turbine
Le prestazioni delle turbomacchine in condizioni di fuori progetto (curvecaratteristiche) possono essere sintetizzate utilizzando ad esempio un piano (portata ridotta, rapporto delle pressioni totali )
Figure: Curve caratteristiche per compressori e turbine
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Condizione di massimo rendimento
Condizione di massimo rendimento
Le curve caratteristiche descrivono le prestazioni in condizioni di fuoriprogetto di una macchina in termini di cifra di pressione e rendimento infunzione della cifra di flusso.
Come si puo invece caratterizzare una macchina in base ad un solo punto difunzionamento ?
Si considera la condizione di massimo rendimento a cui corrisponde la cifra diflusso %":
(!
(%
!
!
!
!
"#
= 0
ovvero%" = !!1 (!max)
e quindi si trova il valore della cifra di pressione corrispondente
&" = &(
!!1 (!max))
= & (!max)
La coppia(%" (!max) ,&
" (!max))
caratterizza univocamente una macchina
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Numero di giri e diametro specifici
Numero di giri e diametro specifici
%" (!max) ,&" (!max) dipendono pero sia dal numero di giri che dal diametro;conviene allora definire:
numero di giri specifico
per una pompa come
Ns =(&#)
12
('#)34
=N
"Q
'
!/
p0
#
0( 34
(30)
che dipende solo dal numero di giri;per una turbina a gas invece si preferisce invece la definizione
Nsp =(
12
'54
= NW
12
""01 (! [h0])
54
(31)
diametro specifico (dipende solo dal diametro)
Ds =(&")
14
(%")12
=D
.
!(
h0)/ 1
4
%Q
%" e &" sono funzione del disegno e delle condizioni operative della macchina(dimensioni, portata, numero di giri);
Ns e Ds sono funzioni della sola architettura della turbina o pompa (assiale,radiale o mista).
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici
Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici
Nel piano (Ns, Ds) tutte le macchine si trovano in una ristretta fascia a pendenzanegativa. si ha inoltre che:
macchine ad angolo di uscita )2 costante sono su curve a pendenza negativaall’incirca parallele tra di loro;
macchine al medesimo rendimento massimo si trovano a su curve crescentidecrescenti con i rendimenti maggiori a numeri di giri specifici maggiori;
le macchine assiali sono quelle a numero di giri specifici superiori
Il numero di giri ed il diametro specifici sono fra loro inversamente proporzionali, equindi macchine con una una piu elevata prevalenza (diametro specifico maggiore)hanno rendimenti sempre piu bassi; per ovviare a questo inconveniente si ricorrealla stadiazione.
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Applicazioni dell’analisi dimensionale
Applicazioni dell’analisi dimensionale
Con l’analisi dimensionale e possibile, tra gli altri, risolvere i seguenti problemi:
dati il lavoro compiuto sul fluido (in termini di prevalenza o salto di entalpiatotale), la portata (massica o di volume) e il numero di giri e possibiledeterminare il numero di giri specifico e quindi il tipo di macchina;
dal tipo di macchina (Ns), il salto entalpico e la portata si puo trovare ilnumero di giri al quale abbiamo il massimo rendimento (quindi adottabilecome condizione di progetto);
noto il diametro specifico (Ds), il salto entalpico e la portata si puodeterminare il diametro della macchina che fornisce il massimo rendimento;
dato Ns e il range di valori che puo assumere il numero di giri(N & [Nmin, Nmax]) si possono determinare gli estremi valori assunti dallapotenza;
si possono determinare le tipologie di macchine da costruire in serie: sisuddivide il diagramma (Ns, Ds) in zone a ciascuna delle quali verraassegnata una condizione di riferimento da cui costruire la macchina;
la classificazione delle turbomacchine;
la prova su diverse scale.
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Applicazioni dell’analisi dimensionale
Lez. 18: Compressore Vs Turbina
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Compressori e Turbine AssialiFlusso nel piano meridiano e inter-palare
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Tipologie di triangoli di velocita
Tipologie di triangoli di velocita
Figure: Triangoli di ingresso ed uscitacon base condivisa Figure: Triangolo di ingresso ed uscita con
vertice condiviso
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Compressore assiale
Piano TS e triangoli di velocita di un compressore assiale
Figure: Piano (T,s) e sezione su pianomeridiano
Figure: Sezione su piano inter-palare
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Turbina assiale
Piano TS e triangoli di velocita di una turbina assiale
Figure: Sezione su piano meridiano e pianointer-palare
Figure: Piano (T,s) e triangoli divelocita
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Cifre adimensionali
Cifre adimensionali
Cifra di flusso
% :=Ca
U
Cifra di pressione
& :=|cp![T0]st|
U2=
|Wst|U2
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Triangoli di velocita di compressore assiale
Triangoli di velocita di compressore assiale
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Triangoli di velocita di turbina assiale
Triangoli di velocita di turbina assiale
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Relazioni cinematiche
Relazioni cinematiche
In un triangolo di velocita di compressore assiale valgono le seguenti relazionicinematiche
1
%1= tan*1 + tan)1
1
%2= tan)2 + tan*2
dalle quali si possono ricavare *1 and *2, per un assegnato valore di % e degliangoli metallo )1 and )2
In un triangolo di velocita di turbina assiale valgono le seguenti relazionicinematiche
1
%2= tan*2 # tan)2
1
%3= tan)3 # tan*3
dalle quali si possono ricavare *2 and *3, per un assegnato valore di % e degliangoli metallo )2 and )3
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Lavoro di stadio
Lavoro di stadio
Il Lavoro di stadio di un compressore si ottienedall’Equazione di Eulero:
!Wst,comp = cp! [T0]st = ! [UCu] +E
m
con ! [T0]st = T03 ! T01 = T02 ! T01 > 0
In assenza di perdite (Ev = 0) si ha:
!Wst = ! [UCu] = U2Ca,2 tan#2!Ca,1U1 tan#1
In un triangolo di velocita, valgono le seguentirelazioni
1
"1= tan#1 +tan $1
1
"2= tan $2 +tan#2
Se U1 = U2 e Ca,1 = Ca,2 ("1 = "2), allora:
tan#2 ! tan#1= tan $1 ! tan $2
e quindi:
!Wst = cp! [T0]st = UCa (tan $1 ! tan $2) > 0
ovvero, la deviazione del flusso relativodiminuisce attraverso il rotore: $1 > $2 > 0
Il Lavoro di stadio di una turbina si ottienedall’Equazione di Eulero:
!Wst,turb = cp! [T0]st = ! [UCu] +E
m
con ! [T0]st = T03 ! T01 = T03 ! T02 < 0
In assenza di perdite (Ev = 0) si ha:
Wst = ! U!
1
%C ·
%U
U
2
='
%C2 · %U2 ! %C3 · %U3
(
= U2Ca,2 tan#2 ! (!U3Ca,3 tan#3)
= U2Ca,2 tan#2 + U3Ca,3 tan#3
Dalle relazioni
1
"2= tan#2 ! tan $2
1
"3= tan $3 ! tan#3
e se U2 = U3 e Ca,2 = Ca,3 ("2 = "3), allora:
tan#2 + tan#3=tan $3 + tan $2
e quindi:
Wst = !cp! [T0]st = UCa (tan $2 + tan $3) > 0
ovvero, la deviazione del flusso relativoaumenta attraverso il rotore: $2 > 0 > $3
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali
Lavoro di stadio adimensionale
Lavoro di stadio adimensionale
Espressioni adimensionali del lavoro di stadio di compressore e turbina
Coe$ciente di carico di stadio di compressore (stage loading)
Lavoro specifico cp! [T0]st = UCa (tan)1 # tan)2)
Coe$ciente di carico & = % (tan)1 # tan)2)
Coe$ciente di carico di stadio di turbina (blade loading coe$cient)
Lavoro specifico Wst = UCa (tan)2 + tan)3)
Coe$ciente di carico & = % (tan)2 + tan)3)
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Schiere di pale per compressori e turbine
Schiere di pale per compressori e turbine
Figure: Stadio di turbinaassiale
la deviazione del flussorelativo aumenta(inverte direzione !)attraverso il rotoreturbina:
)2 > 0 > )3
la deviazione del flussorelativo diminuisce(stessa direzione !)attraverso il rotorecompressore:
)1 > )2 > 0
Figure: Stadio dicompressore assiale
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Rendimento di stadio
Rendimento di stadio
Il Rendimento di stadioadiabatico di un compressore siscrive:
!st :=h03,ss ! h01
h03 ! h01=
T03,ss ! T01
T03 ! T01
da cui
T03,ss
T01= 1 + !st
! [T0]
T01
con ! [T0] = T03 ! T01Dalla definizione di rapporto dicompressione di stadio si ha
"st :=p03
p01=
)
T03,ss
T01
*
!!!1
=
)
1 + !st! [T0]
T01
*
!!!1
e per la![T0]T01
= ![UCu]cpT01
, si ha
"st =
!
1 + !st! [UCu]
cpT01
"!
!!1
Dalle definizioni di rendimenti di stadio adiabatico total-totale total-static
!ts :=h01 ! h03
h01 ! h3,ss=
T01 ! T03
T01 ! T3,ss=
1 !T03T01
1 !
'
p3p01
(!!1!
!tt :=h01 ! h03
h01 ! h03,ss=
T01 ! T03
T01 ! T03,ss=
1 !T03T01
1 !
'
p03p01
(!!1!
da cui
T03,ss
T01= 1 !
!! [T0]st
!ttT01
T3,ss
T01= 1 !
!! [T0]st
!tsT01
I rapporti di espansione tt e ts in funzione !tt e !tssono
"tt :=p01
p03=
)
T03,ss
T01
*
!!
!!1=
)
1 !
!! [T0]st
!ttT01
*!!
!!1
"ts :=p01
p3=
)
T3,ss
T01
*
!!
!!1=
)
1 !
!! [T0]st
!tsT01
*!!
!!1
ovvero
"tt/ts =
!
1 !
!! [UCu]
!tt/tscpT01
"
!!
!!1
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Rapporto delle pressioni
Rapporto delle pressioni
In un triangolo di velocita di compressoresi ha:
! [Cu] = Wu,1 ! Wu,2 = Ca (tan $1 ! tan $2)
= Cu,2 ! Cu,1 = Ca (tan#2 ! tan#1)
Per una macchina assiale quindi
! [UCu] = UCa (tan $1 ! tan $2)
= UCa (tan#2 ! tan#1)
e quindi il rapporto di compressionediviene
"st =
!
1 + !stUCa
cpT01(tan $1 ! tan $2)
"!
!!1
Dalla relazione
cp! [T0]st = Wst = UCa (tan $1 ! tan $2)
si ha che
Wst = cp! [T0]st =cpT01
!st
+
,1 ! "
!!1!
st
-
.
In un triangolo di velocita di turbina si ha:
!! [Cu] = Wu,3 ! (!Wu,2) = Ca (tan $3 + tan $2)
= Cu,2 ! (!Cu,3) = Ca (tan#2 + tan#3)
Per una macchina assiale quindi
!! [UCu] = UCa (tan $3 + tan $2)
= UCa (tan#2 + tan#3)
e quindi il rapporto di espansione diviene
"tt/ts =
!
1 !
UCa
!tt/tscpT01(tan $2 + tan $3)
"
!!
!!1
Dalla relazione
cp! [T0]st = Wst = UCa (tan $2 + tan $3)
si ha che
cp! [T0]st = Wtt/ts = !tt/tscpT01
+
,1 ! "!!!1!
tt/ts
-
.
NB: i rendimenti non sono costanti ma diminuiscono all’aumentare della deflessione del flussoimposta dalla pala !
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Grado di Reazione
Grado di Reazione
" :=!Trot
!Tst
C1 = C3 $ !Tst = !T0,st =U![Cu]
Cp
!I0,rot = 0 = h1 +W2
1
2!
U21
2= h2 +
W22
2!
U22
2
Se U1 = U2 $ h1 +W2
1
2= h2 +
W22
2
!Trot := T2 ! T1 =W2
1 ! W22
2Cp
con W2 = C2a + (U ! Cu)2
!Trot =1
2Cp
'
!![C2a] !![C2
u] + 2U![Cu](
" =!Trot
!Tst=
'
!![C2a] !![C2
u] + 2U![Cu](
2U![Cu]
" = 1 +![C2
a]
2U![Cu]!
Cu,1 + Cu,2
2U
Infine se: Ca,1 = Ca,2 $ " = 1 !
Cu,1 + Cu,2
2U
" :=!Trot
!Tst
C1 = C3 $ !Tst = !T0,st = !
U![Cu]
Cp
!I0,rot = 0 = h2 +W2
2
2!
U22
2= h3 +
W23
2!
U23
2
Se U2 = U3 $ h2 +W2
2
2= h3 +
W23
2
!Trot := T2 ! T3 =W2
3 ! W22
2Cp
con W2 = C2a + (U ! Cu)2
!Trot =1
2Cp
'
!![C2a] !![C2
u] + 2U![Cu](
" =!Trot
!Tst=
'
!![C2a] !![C2
u] + 2U![Cu](
2U![Cu]
" = 1 +![C2
a]
2U![Cu]!
Cu,2 + Cu,3
2U
Infine se: Ca,2 = Ca,3 $ " = 1 !
Cu,2 + Cu,3
2U
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Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi
Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi
Per uno stadio di compressore ripetuto e convelocita assiale costante, il grado di reazionepuo essere scritto come
" = 1 !
Cu,1 + Cu,2
2U
e sostituendo le relazioni valide per i triangolidi velocita si hanno le seguenti espressioniequivalenti
" =Ca
2U(tan $1 + tan $2)
" =1
2!
Ca
2U(tan%1 ! tan $2)
" = 1 !
Ca
2U(tan%1 + tan%2)
da cui
" = 0 $ 0 =Ca
2U(tan $1 + tan $2) $ $1 = !$2
" =1
2$
1
2=
1
2!
Ca
2U(tan%1 ! tan $2) $ %1 = $2
" = 1 $ 1 = 1 !
Ca
2U(tan%1 + tan%2) $ %1 = !%2
Per uno stadio di Turbina ripetuto e con velocita assialecostante, il grado di reazione puo essere scritto come
" = 1 !
Cu,2 + (!Cu,3)
2U= 1 !
Cu,2 ! Cu,3
2U
e sostituendo le relazioni valide per i triangoli divelocita si hanno le seguenti espressioni equivalenti
" =Ca
2U(tan $3 ! tan $2) =
&
2(tan $3 ! tan $2)
" =1
2!
Ca
2U(tan%2 ! tan $3) =
1
2!
&
2(tan%2 ! tan $3)
" = 1 !
Ca
2U(tan%2 + tan%3) = 1 !
&
2(tan%2 + tan%3)
da cui
" = 0 $ 0 =&
2(tan $3 ! tan $2) $ $3 = !$2
" =1
2$
1
2=
1
2!
&
2(tan%2 ! tan $3) $ %2 = $3
" = 1 $ 1 = 1 !
&
2(tan%2 + tan%3) $ %2 = !%3
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Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali
Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali
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Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali
Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali
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Disegno di stadio di compressore
Disegno di stadio di compressore
Per uno stadio di compressore ripetuto e con velocita assiale costante, valgonocontemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agliangoli dei palettaggi:
&=% (tan)1 # tan)2)
%=%
2(tan)1 + tan)2) =
1
2#
%
2(tan*1 # tan)2) = 1#
%
2(tan*1 + tan*2)
Risolvendo rispetto agli angoli )1 e )2 si puo costruire uno stadio di compressoreche sviluppi un lavoro adimensionale & che viene ripartito tra statore e rotore inaccordo con un grado di reazione assegnato % .
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Disegno di stadio di turbina
Disegno di stadio di turbina
Per uno stadio di turbina ripetuto e con velocita assiale costante, valgonocontemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agliangoli dei palettaggi:
& = % (tan*3 + tan*2) = % (tan)3 + tan)2)
% =%
2(tan)3 # tan)2) =
1
2#
%
2(tan*2 # tan)3) = 1#
%
2(tan*2 + tan*3)
Risolvendo rispetto agli angoli )2 e )3 si puo costruire uno stadio di turbina chesviluppi un lavoro adimensionale & che viene ripartito tra statore e rotore inaccordo con un grado di reazione assegnato %:
tan)2 =1
2%
0
& # 2%1
tan)3 =1
2%
0
& + 2%1
ovvero
tan*2 =1
2%
0
& # 2%+ 21
tan*3 =1
2%
0
& + 2%# 21
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Parametri di disegno di uno stadio
Parametri di disegno di uno stadio
Dall’analisi delle relazioni che esprimono:
il rapporto di compressione
"st =
)
1 + !stUCa
cpT01(tan )1 ! tan )2)
*!
!!1
il rapporto di espansione
"tt/ts =
!
1 !UCa
!tt/tscpT01(tan )3 + tan )2)
"
!!
!!1
si evince che i principali parametri di disegno per avere un elevato rapporto di pressioneattraverso lo stadio sono:
elevata velocita periferica U = $D/2, ovvero elevata velocita di rotazione o grandiingombri
elevate velocita assiali (alte portate) che realizzano piccole sezioni frontali (bassaresistenza aerodinamica)
elevate deflezioni del fluido, che pero comportano maggiori perdite di palettaggio(compromesso)
bassa temperatura totale di ingresso (inter–refrigerazione fra stadi)
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Vincoli sui parametri di disegno
Vincoli sui parametri di disegno
Vincoli parametri di disegno compressore:
sulla velocita perifericaU < Umax #
"* in cui
* ="pala$
2
Aradice pala
3 rt
rr
rA(r)dr
sulla velocita assiale Ca,1 tale che:Mtip # 1.1 per compressoretransonico; # 1.5 - 1,7 per fan, conMtip definito come
Mtip :=W1,max
a=
4
C2a,1 + U2
tip5
#RT1,tip
=
Utip
6
C2a,1
U2tip
+ 1
6
#R
)
T01 !C2a,1
2Cp
*
sulla deflessione del fluido tale che nonsi verifichino separazioni di flusso:criterio de Haller e/o del Fattore dideflessione (NASA)
Vincoli parametri di disegno turbina:
Tensioni dovute alla forza centrifugacome nei compressori
Tensioni derivanti dall’interazioneflusso/struttura
Inversamente proporzionali alnumero di palette e dipendentidalla forma dei profili palari(criterio di Zweifel)direttamente proporzionaliall’altezza delle palette ed allavoro specifico assegnato allaschiera
Minimizzazione del peso dellamacchina: scelta del numero di stadi
Scelta di un grado di reazione vicino al50% e minimo swirl allo scarico
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Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore
Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore
Criterio di de Haller
DH :=V2
V1< 0.72
Fattore di deflessione (NASA)
DF :=Vmax # V2
V1' 1#
V2
V1+
! [UCu]
2+V1
con + :=c (chord)
s (pitch)
DF < 0.6 per prevenire lo stallo
DF ' 0.45 buona scelta di primo disegno
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Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel)
Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel)
La scelta del rapporto passo inter-palare s con la corda % del profilo puo esseree#ettuato utilizazndo il criterio di Zweifel:
s' basso: numero elevato di pale forniscono una capacita di guida notevole maelevate perdite per attrito;
s' alto: numero basso di pale determinano un elevato carico specifico della singolapaletta che quindi favorisce la separazione del flusso
Si “rendimento” del profilo, 'T , il rapporto tra la componente tangenziale della forzaagente sul profilo, FY , e quella massima ideale, F id
Y , che si avrebbe qualora il lato inpressione/aspirazione si trovasse alla massima (p0
1)/minima (p2) pressione possibile:
'T :=FY
F idY
in cui
FY =
7
t p dy = "sVm8
W(2 ! W(1
9
F idY =
'
p01 ! p2
(
% = "W 2
2
2%
Al diminuire del numero di pale FY aumenta mentre pmin diminuisce fino aseparazione; si dimostra che 'T si puo scrivere come:
'T =
)
s
%
*
sin2 )2
)
1
tan )2!
1
tan )1
*
Per ogni valore di 'T si ricava il rapporto s/% corrispondente ad un valore di angolo dipala al bordo di attacco, )1, e di uscita, )2. Nota la corda del profilo % si ottienedunque il numero di palette: z = +D/s