corso di matematica finanziaria...leggi a due variabili 15‐16 •trasformazione di una legge di...
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CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA
1
OGGETTO DELLA MATEMATICA FINANZIARIA 1‐2
• Oggetto della Matematica finanziaria:• Formalizzazione dello scambio tra importi monetari disponibili in epoche diverse• Calcoli connessi alla valutazione degli impegni relativi ad operazioni riguardanti un
insieme di movimenti monetari
• Ambiente di lavoro• Deterministico• Stocastico (aleatorio)
• Condizioni di certezza (ambiente deterministico)• Capitale – ammontare esprimibile in moneta• Prestazione finanziaria (somma datata)• Regole di comportamento economico:
• Possesso di un capitale è vantaggioso• Disponibilità di un capitale altrui ha un prezzo• Tra due prestazioni finanziarie
• ad una stessa epoca è preferita quella con importo maggiore• con lo stesso importo
• >0 è preferita quella con la scadenza minore• <0 è preferita quella con la scadenza maggiore
2
RELAZIONE DI PREFERENZA‐INDIFFERENZA 2‐7
• Interesse – costo per la disponibilità di un capitale
• Lender
• Borrower
• Relazione di preferenza forte
• Relazione di preferenza debole
• Relazione di indifferenza
• Dominanza tra prestazioni finanziarie
• Confrontabilità incompleta
‚
»
3
Principio di equivalenza finanziaria 7‐8
• Introducendo il comportamento individuale si ottiene la confrontabilità completa. Si procede in due fasi
• I fase – determinazione delle zone di non dominanza rispetto ad un punto• II fase – costruzione della linea di indifferenza individuata dal punto di partenza
• Costruzione della curva di indifferenza (linea di indifferenza individuata da (X,A)
•
• A capitale impiegato, Bmontante, I interesse (operazione di prestito)• A capitale a scadenza, B valore attuale, D sconto (operazione di sconto)
• Principio di equivalenza finanziaria• Incasso oggi oppure Incasso posticipato con Incasso di interessi• Esborso oggi oppure con Esborso posticipato con Pagamento di interessi
( , ) ( , )X A Y B»
,X Y I B A< = -,X Y D A B> = -
4
ASPETTO DIMENSIONALE 8‐9
• Grandezze fondamentali • Importo monetario (misura della transazione con unità utilizzata)• Tempo (periodo temporale durata e/o differimento )
• Grandezze derivate• Flusso (importo/tempo) reddito monetario (stipendio)=importo monetario che matura
nell’unità di tempo• Tasso (importo/importo) numero puro (interesse/capitale)• Intensità (importo/[importo*tempo]) tempo occorrente alla formazione di un importo
che consegue da un altro importo
5
RELAZIONI DI INDIFFERENZA E LEGGI DI SCAMBIO 11‐14
• Passaggio dal confronto tra prestazioni finanziarie a legge di scambio• Operazione di prestito
• Funzione di capitalizzazione
• Operazione di sconto• Funzione di attualizzazione
• Contratto• Equo• Favorevole• Sfavorevole
• Montante • Valore scontato• Operazioni corrispondenti
• Leggi coniugate
• Legge di scambio (funzione di sconto e di capitalizzazione prese insieme)• Proprietà: Riflessiva
• Simmetrica• Proporzionalità degli importi (omogeneità di I grado rispetto agli importi)
6
LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16
• Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili
• Fattore di montante
• Fattore di sconto• Riflessività• Simmetria
• Leggi coniugate
• con numero puro • Fattore di scambio
• Esemplificazione geometrica• Relazioni con le funzioni implicite (Th Dini)
( , ') ( ', ) 1, 'm T T a T T T T⋅ = " £
7
( , ) 0, ( , )z X Y X Y> " ( , )z X Y
GRANDEZZE DERIVATE 17‐18• Grandezze derivate iniziali
• Di capitalizzazione• Fattore di montante • Tasso di interesse periodale• Intensità di interesse periodale
• Di attualizzazione• Fattore di sconto• Tasso di sconto periodale• Intensità di sconto periodale
• Grandezze derivate di proseguimento• Di capitalizzazione
• Fattore di montante r(X;Y,Z)=m(X,Z)/m(X,Y)• Tasso di interesse periodale• Intensità di interesse periodale• r(Y;Y,Z)
• Di attualizzazione• Fattore di sconto• Tasso di sconto periodale• Intensità di sconto periodale
( , )( ; , )( , )
Z
Y
K m X Zr X Y ZK m X Y
8
INTENSITA’ ISTANTANEA 18‐20
•
•
•
•
( , ) ( , )( , ) lim ln ( , )( ) ( , )
Z
Z YY
m X Z m X YX Y m XZ Y m X Y
d xx
é ù- ¶ê ú= = ê ú- ¶ë û
( , ) ( , )( , ) lim ln ( , )( ) ( , )
Z
Z YY
a X Z a X YX Y a XZ Y a X Y
q xx
é ù- ¶ê ú= = ê ú- ¶ë û
( , )( , )( , )
Z
Y
X dm X Z em X Y
d x xò=
( , ) ( , )( , )( , )
Z Y
Y Z
X d X da X Z e ea X Y
q x x q x x-ò ò= =
9
SCINDIBILITA’ I; 20‐22 e nota 16 • Definizione di scindibilità debole rispetto alla legge di montante
• Invarianza del risultato rispetto alle interruzioni
• Relazione col montante di proseguimento
• Definizione di scindibilità debole rispetto alla legge di sconto
• Relazione con lo sconto di proseguimento
• Definizione di scindibilità forte • A mezzo della relazione di indifferenza• A mezzo dei fattori di scambio
• Una legge di scambio è fortemente scindibile se e solo se la relazione di indifferenza è una relazione di equivalenza Z=X simm, Z=Y rifl
• Proprietà della relazione di equivalenza e sue conseguenze (classi di equivalenza)
10
SCINDIBILITA’ II 23‐26
• Relazioni tra scindibilità forte e scindibilità debole• Classi di equivalenza tra le prestazioni finanziarie
• Valore finanziario intrinseco
• Ordinamento totale sull’insieme delle classi di equivalenza• Una legge debolmente scindibile implica l’indipendenza dall’epoca di impiego • Una legge è debolmente scindibile se e solo se l’intensità di interesse (di sconto) è indipendente dall’epoca iniziale. • Una legge z(X,Y): z(X,Y) z(Y,X)=1 è fortemente scindibile se e solo se
• Nec. Intensità istantanea
• non vale la simmetria
• Fattori di scambio scindibili:
1 2 1 2( )( ) : ( , ) ; ( ) ( )( )h Yh T z X Y T T h T h Th X
$ = < £
1 2( ), ( )h T h T( )
( , )
Y
X
d
z X Y ed h hò
=
11
( ; , ) ( ; , ) ( , )r X Y Z r Y Y Z m Y Z= =
'( ) ( ) ( )h T T h Td=
( , )Z
Y
X d
ed h hò
LEGGI FINANZIARIE OMOGENEE (UNIFORMI)28‐29• Omogeneità rispetto al tempo (uniformità)
• Fattore di scambio per leggi omogenee rispetto al tempo ed all’importo
• Fattore di scambio ad una variabile
• Fattore di montante e fattore di sconto ad una variabile
• Curve di livello per fattori di scambio uniformi
•
• Simmetria per fattori di montante e di sconto
• Fattore iniziale
• Fattore di proseguimento
12
( ) ( ) 1u t v t
( ) ( ) ( ), se 0(0) (0) (0) 1
( ) ( ) ( ), se 0
u t g t g tu v g
v t g g t t
t t
t t
ì = = = >ïïïï = = =íïïï = = - =- <ïî
FATTORI TASSI INTENSITA’ 30
fattore iniziale ( ) ( )tasso iniziale ( ) 1 1 ( )
( ) 1 1 ( )intensità iniziale
( ) ( )fattore di proseguimento ( ) ( )( ) ( )tasso di proseguimento 1 1
( ) ( )
intensità di proseguimento
u t v tu t v tu t v tt t
u t h v t hu t v tu t h v t hu t v t
- -- -
+ +
+ +- -
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )'( ) '( )intensità istantanea ( ) ( )( ) ( )
u t h u t v t v t hhu t hv tu t v tt tu t v t
d q
+ - - +
= =-
13
PROPRIETA’ FATTORI DI SCAMBIO UNIFORMI 34‐35
•
•• Scindibilità per leggi uniformi
• regimi esponenziali di interesse e di sconto
• I regimi esponenziali di interesse e di sconto sono gli unici ad essere uniformi e scindibili
• Le leggi di scambio esponenziali, e solo esse, corrispondono a relazioni di indifferenza che sono equivalenze uniformi nel tempo e omogenee rispetto agli importi
0 0
( ) ( )
( ) , ( )
t t
z dz z dz
u t e v t ed q-ò ò
= =
( ) ( ) 1 ( ) ( ), 0u t v t t t td q= = " ³
( ) , ( )t tu t e v t ed q-= =
14
DURATA, SCADENZA e TASSO MEDI 32‐33• Fattori di scambio funzioni continue e strettamente monotone della durata
• Scadenza media aritmetica ; 1
1
ˆ
n
h hhn
hh
S tt
S
=
=
=å
å
Durata media tempo iniziale 0
Scadenza media aritmetica 0ˆ
q̂T T t= +
Fattore di scambio medio
1
1
( )ˆ( )
n
h hh
n
hh
M v tv t
M
=
=
=å
åSconto Montante 1
1
( )ˆ( )
n
h hh
n
hh
C u tu t
C
=
=
=å
å
15
REGIMI E LEGGI UNIFORMI 37‐38
• Regimi finanziari uniformi leggi finanziarie uniformi
• Tassi periodali equivalenti di interesse (sconto) stessa legge finanziaria
• Intensità equivalenti
• Tassi periodali uno di interesse ed uno di sconto equivalenti
• Leggi coniugate
•
16
1 1i dd ii d
= =+ -
REGIME INTERESSE SEMPLICE POSTICIPATO 38‐39• Proporzionalità interesse sia al tempo che al capitale I=Cit• Tasso annuo di interesse (posticipato)• Montante
• Fattore di montante• Tasso periodale di interesse• Intensità periodale di interesse• Tassi equivalenti in regime di interesse semplice
• Intensità variabile
• Intensità istantanea
• Interesse calcolato sui giorni
, (1 )M C I M C it= + = +
( )
1
1 (1 )n
ss
s
M C i t C i t=
æ ö÷ç= + = +÷ç ÷ç ÷è øå
/g CgI C iT T i
= =
1tiit
d =+
17
' "' "t ti t i t i= =
REGIME DELLO SCONTO RAZIONALE 40‐43
• Leggi di sconto coniugate con leggi i.s.p.
• Fattore di sconto
• Tasso periodale di sconto
• Intensità periodale di sconto
• Tasso annuo di sconto e tasso annuo di interesse
• Ammontare sconto
• Ammontare valore scontato
• Intensità istantanea• Grafici
1MCit
=+
1 1(1 ) 1 (1 )t
dvit d t
-= =
+ - -
1 1 (1 )tit dtdit d t
= =+ - -
1 1 (1 )t
td i dt it d t
r = = =+ - -
1 1i dd ii d
= =+ -
1 (1 )tMdtD Mdd t
= =- -
(1 )1 (1 )tM dC Mvd t-
= =- -
'/ (1 ' )i i tq= +
18
REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE 43‐44 • Sconto commerciale
• Fattore di sconto
• Tasso periodale di sconto
• Intensità periodale di sconto
• Tassi di sconto periodali equivalenti
• Intensità istantanea
, (1 )D Mdt C M Dt= = -
1tv dt= -
td d t= ⋅
ttd dt
r = =
' "
' "t td d dt t
= =
'1 'tdd t
q =-
19
REGIME DELL’INTERESSE SEMPLICE ANTICIPATO 45‐46• Fattore di montante
• Tasso periodale di interesse
• Intensità periodale di interesse
• Intensità istantanea
11tu dt
=-
1tdtidt
=-
1tdjdt
=-
1tddt
d =-
20
REGIME INTERESSE COMPOSTO 49‐53
• Il processo di conversione degli interessi
• Montante ottenuto con la conversione
• Regime interesse composto
• Conversione a tempi discreti
• Conversione nel continuo
• Conversione discreta generalizzata
• Capitalizzazione mista con conversione annua
• Capitalizzazione a tasso e numero di periodi fissati
• Capitalizzazione mista con conversione m volte l’anno
• Capitalizzazione mista con conversione frazionata
•
• tasso annuo nominale convertibile m volte
( )
1
( ) (1 )n
ss
s
M t C i t=
= +
11 , , ( )s mt m m i j mm
= Î ⋅ =
21
1 2( ) (1 ( ) (1 ( ) / ) (1 ( ) )kM t C j m f j m m j m f= + + +
1 2() (1 )(1 ) (1 )nMt C fi i f i= + + + +
TASSI ED INTENSITA’ EQUIVALENTI 54‐56
• Fattore di montante
• Tasso di interesse
• Intensità periodale di interesse
• Tasso annuo nominale convertibile m volte
• Capitalizzazione mista con conversione m volte l’anno
• Tassi periodali equivalenti in regime di interesse composto
• Intensità periodali equivalenti in regime di interesse composto
• Intensità fissata
• Tasso annuo fissato
1/ ' 1/ ' 1/ " 1/ "1 ; 1 , 1m m m mu i u i u i= + = + = +
1/ ' 1/ ", ,m mi i i
( , ) 1 1mji f j m
mæ ö÷ç= = + -÷ç ÷çè ø
( )1/( , ) (1 ) 1mj g i m m i= = + -
( )j m
22
( ) ( )' , "j m j m
1/ ' 1/ ",m mi i
REGIME INTERESSE COMPOSTO CONTINUO 57‐ 60
•
Linearità proporzionalità tra flusso di interessi ed importo che li genera
Circolarità trasferimento degli interessi al fondo che li genera
• Uguaglianza tra l’incremento del montante e l’interesse infinitesimo
• Legge esponenziale• Tassi periodali ed intensità periodali equivalenti• Fattore di montante• Tasso periodale di interesse • Intensità periodale di interesse
1/
lim ( , ) lim 1 1 1
(1 ) 1lim ( , ) lim ln(1 )1 /
m
m m
m
m m
i f m em
ig i m im
ddd
d
ì æ öï æ ö ÷ï ç ÷ç ÷ï ç= = + - = -÷ ÷ççï ÷ç ÷è øç ÷ï è øïíïï + -ï = = = +ïïïî
'( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( )M t M t M t dt M t M t dt o dtd d= + = + +
/1/ 1/ 1ln(1 ) ln(1 ); ; ; 1 ; 1mm m mi m i i i e i e id dd= + = + - = - =
( ) (1 )tM t C i= +(1 )t ttu i ed= + =
(1 ) 1 1t tti i ed= + - = -
( ) ( )/ (1 ) 1 / 1 /t tt tj i t i t e td= = + - = -
23
/1/(1) / 1 1/ (1 ); (1/ ) / mmu M C e u i d u M m C ed d= = = = + = - = =
REGIME DELLO SCONTO COMPOSTO 61 ‐ 63•
•
•
•
•
•
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1/ 1 1/1/ 1/1 1 ; 1 1 ; 1 1 1 1t t m mm mi d i d i i d d- - - -+ = - + = - + = + = - = -
'( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) tC t dt C t C t dt o dt C t C t C t Me qq q -+ = - - =- =
( )
( )
/1/
1/ 1
1/
(1) / 1 1 / (1 ); (1 / ) /
( (1)) / 1 1 1 1 / (1 )
( (1 / )) / 1 1 1 1 / (1 )
mm
m mmm
v C M e v d i v C m M e
d M C M v e i
d M C m M v e i
q q
q
q
- -
-
-
= = = = - = + = =
= - = - = - = - +
= - = - = - = - +
'1/ 1/ '(1 ) (1 ) 1m mm md d d- = - = -
1 /1/( ) (1 ) (1 )m mmm md m v m e qr -= = - = -
(1 )
1
1
t tt
tt
tt
t
v e i
d ed et t
q
q
q
r
- -
-
-
= = +
= -
-= =
24
Interpretazione grafica regime composto 65 ‐ 66
25
CORRISPONDENZE TRA FATTORI TASSI INTENSITA’ 67
1 111
1 1 11
11 11
1 1 11
ln ln ln(1 ) ln(1 )
u i ev d
v d eu i
v du i ev d
u iv d eu iu v i d
d
d
d
d
d
-
-
+-
-+
-- -
--
- -+
- + - -
u v i d δ
u
v
i
d
δ
26
CONFRONTO TRA RIC RSC E RISP I 72 ‐ 74
00 0 0
0
11 (1 ) : ; ' , se ( ) ; ' 1 set ii t i t j m i t i i
i mdd
ì £ïï+ = + = = = =íï >ïîI.S.P. vs I.C.
I.S.P. vs I.S.A. 00 0 0
0
1 11 , : ' , ; ' 1 se1 1
i d di t t t i d t idt d i d d
-+ = < = > = =
- -
I.C. vs I.S.A.1 1(1 ) , , ; ' 1 se
1 1t di t d t i
dt d dd+ = < < = =
- -
27
DETERMINAZIONE DI VALORI CAPITALI I 79 ‐ 81• Operazione finanziaria
• Incassi• Esborsi
• Progetto finanziario – importi datati che conseguono da un progetto realizzabile
• Operazione finanziaria• Scadenzario• Flusso di cassa
• Operazioni • Semplici • Complesse
• Valutazione di un’operazione finanziaria• Valore di un’operazione finanziaria• Proprietà di additività
•1
( ; , ) ( , )n
h hh
V T O z S z T T=
=å
28
( ){ } ( ) ( )1 2 1 21, , , , & , , ,nk h n nk
O T S T T T S S S=
= =
DETERMINAZIONE DI VALORI CAPITALI II 81‐82
• Operazione equa al tempo T
• Proprietà di invarianza scindibilità forte
•• Valore capitale legge uniforme non scindibile
•
• Legge fortemente scindibile non uniforme
•
• Legge fortemente scindibile ed uniforme
•
1
( ; , ) ( )n
h hh
V T O g S g T T=
= -å
29
0( ; , ) 0, ( , )V T O z z X Y
( ) ( )
1
( ; , ) ; ( , )h h
nT T T T
h hh
V T O z S e z T T ed d- - - -
=
= =å
1
( ; , ) ( )h
Tn
h T
V T O z e dd l l=
=å ò
DETERMINAZIONI DI VALORI CAPITALI Caso Continuo 84
• Valutazione di un’operazione finanziaria
•
• Valore capitale legge uniforme non scindibile
•
• Legge fortemente scindibile non uniforme
•
• Legge fortemente scindibile ed uniforme
•
"
'
( ; , ) ( ) ( , )t
t
V T O z S t z t T dt= ò
30
"
'
( ; , ) ( ) ( )t
t
V T O g S t g T t dt= -ò
" ( )
'
( ; , ) ( )
T
t
t d
t
V T O z S t e dtd l l-ò
= ò
"( )
'
( ; , ) ( )t
t T
t
V T O z S t e dtd- -= ò
RISERVA PROSPETTIVA E RETROSPETTIVA 84 ‐ 85•
• Riserva retrospettiva di O all’epoca T • Riserva prospettiva di O all’epoca T
•
•
• Legge uniforme
• Legge fortemente scindibile e non uniforme
• Legge fortemente scindibile ed uniforme
• Equità in f.s.
( ; , )M T O z
1
( ; , ) ( )m
h hh
M T O z S u T T=
=- -å
31
( ; , ) ( ; , ) ( ; , )V T O z W T O z M T O z= -
0 0 0, ( ) ( )T M T W T- = ( ) ( )M T W T T- = "
1
( ; , ) ( )n
h hh m
W T O z S v T T= +
= -å
( ; , )W T O z
1
( ; , ) ( , )m
h hh
M T O z S z T T=
=-å
1
( ; , ) ( , )n
h hh m
W T O z S z T T= +
= å
( ) ( )
1 1
( ; , ) ; ( ; , )h h
n nT T T T
h hh m h m
W T O z S e M T O z S ed d- - -
= + = +
= =-å å
( ) ( )
1 1
( ; , ) ; ( ; , )
T T
T Th h
t dt t dtm m
h hh h
M T O z S e W T O z S ed d
= =
ò ò=- =å å
[ ]1, nT T TÎ
RISERVA PROSPETTIVA RETROSPETTIVA Caso Continuo 86 ‐ 87
•
•
• Legge uniforme
• Legge fortemente scindibile e non uniforme
•
• Legge fortemente scindibile ed uniforme
•
• Equità
"( )( ) ( )
tt TW T S t e dtd
t
- -= ò
32
( )
'
( ) ( ) T t
t
M T S t e dtt
d -=-ò
" ( )
( ; , ) ( )
t
T
t d
W T O z S t e dtd x x
t
-ò= ò
( )
'
( ; , ) ( )
T
t
d
t
M T O z S t e dtt d x xò
= -ò
'
( ; , ) ( ) ( )t
M T O g S t g T t dtt
=- -ò"
( ; , ) ( ) ( )t
W T O g S t g T t dtt
= -ò
'
( ; , ) ( ) ( , )t
M T O z S t z t T dtt
=-ò"
( ; , ) ( ) ( , )t
W T O z S t z t T dtt
= ò
USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA’ 90 ‐ 92
• Scomposizione della riserva prospettiva• Usufrutto v.a. delle quote di interesse successive a T• Nuda proprietà v.a. delle quote di capitale successive a T
••
•
•
• Caso continuo
•
•
( ) ( ) ( )W T U T P T= +
( )
1
( )
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1 ( )
ThhT
ThhT
n d T
h Th r
n d T
h Th r
U t S e d
P t W t U t S e d
d t t
d t t
d l l
d l l
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
= +
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
= +
ò=
ò æ ö÷ç= - = - ÷ç ÷è ø
å ò
å ò
33
( ) ( ) ( )W T U T P T= +
( )
1
( ) h
nT T
h hh r
U T S i e d- -
= +
= å( )
1
( ) ( ) ( ) (1 )h
nT T
h hh r
P T W T U T S e id- -
= +
= - = -å
Tasso Interno di Rendimento 93 ‐ 95
• Parametri di rendimento implicito di un’operazione finanziaria• Progetto finanziario – insieme dei fatti economici tecnici sottostanti all’insieme delle
prestazioni• TIR ‐ IRR
• Legge di scambio i.c.c.• Operazione equa
• Progetto puro (riserva retrospettiva sempre dello stesso segno)• Progetto misto deve essere reciproco (tasso attivo=tasso passivo)• Pagamenti periodici soluzione radice di un polinomio• TIR operativo se esiste ed è unica la soluzione
• Valore Attuale Netto Risultato Economico Attualizzato – DCF (REA=Ris Econ Gen)• GDCF (risultato economico attualizzato generalizzato)
• Internal Financial Law (legge finanziaria interna)• Caso scindibilità forte (non dipende dall’epoca di valutazione)
*i
1
,n
h hh
T S O
34
( ) ( )00
ˆ ˆ , 0n
h hh
G a S a t t=
= =å
( )0
0; , 0n
hh
h
V O i S v=
= =å
CLASSIFICAZIONE DEI PROGETTI FINANZIARI 97 ‐ 98
•
• Operazione di investimento ‐ Operazione di finanziamento• In senso stretto (gli esborsi precedono gli incassi invest)• In senso lato (scadenza media esborsi < scadenza media incassi a qualsiasi tasso di valutazione
• P.I.P.O.• C.I.P.O.• P.I.C.O.• C.I.C.O.
•• Media aritmetica esborsi<epoca I incasso (investimento)• Progetto di investimento (di finanziamento) semplice • Proprietà TIR
• Invariante per una modifica proporzionale degli importi• Somma di due progetti ha un tasso interno intermedio
35
condizione sufficiente per l’esistenza e l’unicità di una soluzione positiva per il TIR (punto di vista dell’investitore)
Investimento decrescenza monotona di V(i)Finanziamento crescenza monotona di V(i)
00
0
lim ( ) 0
lim ( ) 0
n
hih
i
V i S
V i S
=
+¥
ìïï = >ïïíïï = <ïïî
å
[ ]( ) [ ]( )0 0 0 00 0 0 0h hh hS S S S S Sé ù é ù+ > < + < >ê ú ê úë û ë ûå å
CRITERI DI DECISIONE PER PROGETTI 99 ‐ 102• Dato esterno (mercato e che comporta le valutazioni soggettive)
• Dato interno (relativo al progetto)
• Criterio soggettivo VAN• Conveniente• Indifferente• Non conveniente
• Criterio oggettivo TIR• Conveniente• Indifferente• Non conveniente
• Deve esistere il TIR
• Schematizzazione
Investimento( *) 0 * * ( *) 0 * *
Finanziamento( *) 0 * * ( *) 0 * *conviene non conviene
V x i x V x i x
V x i x V x i x
> > < <
> < < >
36
ESEMPIO
Cash Flow Date
-120000 01/03/2000 0.040748 TIR
35000 02/04/2001 5447.569 0.03
27000 03/05/2003 -4382.78 0.05
36000 04/05/2004
45000 06/07/200837
SCELTA TRA PROGETTI IN ALTERNATIVA 107‐ 111
• Confrontabilità tra i cash flows• Alternativa completa• Operazioni integrative in modo da ottenere un’alternativa completa
• VAN valore maggiore
• TIR ‐ cash flows differenza• Dominanza tra progetti non esiste il TIR nell’operazione di differenza
•
• Esistenza del TIR
( ; , *) ( ; , *) * *V O x V O x x X> " ÎB A
38
Scelta tra progetti in alternativa 110
39
RENDITE CERTE A TASSO FISSO 135 ‐ 138 • Rendita – successione di importi datati con medesimo segno ad eguali intervalli di
tempo• Periodo: divario temporalecostante tra 2 rate
• Annuo• Frazionato• Poliennale
• Frequenza: numero di pagamenti in un anno • Intervallo: arco temporale tra inizio e fine• Durata: ampiezza intervallo• Rata
• Anticipate – Posticipate – Continue• Immediate ‐ Differite• Certe ‐ Aleatorie• Costanti – Variabili• Temporanee – Perpetue• Valore
• Finale (montante)• Iniziale (valore attuale)
• Ammortamento – Costituzione di capitale
40
VALUTAZIONE DELLE RENDITE I.C. 138 ‐ 148
• Rendite annue temporanee• Immediate
• Posticipate• Anticipate
• Differite
• Rendite annue perpetue• Immediate
• Posticipate• Anticipate
• Differite
• Rendite frazionate temporanee• Immediate
• Posticipate• Anticipate
• Differite
• Rendite frazionate perpetue• Rendite continue
• Temporanee, temporanee differite• Perpetue, perpetue differite
• Rendite poliennali
1 1
1 1( ) ( )
0 1 1 0 1 11 1
1 1,
m m
mn mn
m mm mnmi nmi
m m m mm m
v vV R R a V R R a
i d
- -= = = =
( )
0 0
;n n
t n tn na e dt s e dtd dd
- -= =ò ò
41
(1 ) (1 )0 0
1 1,
p p
k kp pp p
p p p pk i k ip p
v vV R R a V R R a
i d- -
= = = =
,n i n i n i n ii da s a s= + = +
CALCOLI INVERSI: DAL CAPITALE ALLA RATA ed ALTRO 141 ‐ 142
42
11
11
1(1 ) 1
1(1 ) 1
nn in i
nn in i
nn in i
nn in i
ia v
da v
is i
ds i
a
a
s
s
= =-
= =-
= =+ -
= =+ -
0ln 1 iVRn
d
æ ö÷ç- - ÷ç ÷÷çè ø=
n i
n i
n i
n i
a
a
s
s
Funzione decrescente di n e crescente di iFunzione decrescente di n e crescente di iFunzione decrescente di n e decrescente di iFunzione decrescente di n e decrescente di i
n i
n i
n i
n i
a
a
s
s
Funzione crescente di n e decrescente di iFunzione crescente di n e decrescente di i
Funzione crescente di n e crescente di i
Funzione crescente di n e crescente di i
RENDITE A RATE VARIABILI I.C. 159 ‐ 161
43
01
(1 )n
hh
h
V R i -
=
= +å Valore inizialeCaso posticipato
( 1)0
1
(1 )n
hh
h
V R i - -
=
= +å
Valore inizialeFlusso continuo
1
(1 )n
n hn h
h
V R i -
=
= +åValore finaleCaso posticipato
1
1
(1 )n
n hn h
h
V R i - +
=
= +å Valore finaleCaso anticipato
00
( )n
tV t e dtdj -= ò( )
0
( )n
n tnV t e dtdj -= ò
Valore finaleFlusso continuo
Valore inizialeCaso anticipato
RENDITE ANNUE IN PROGRESSIONE ARITMETICA 161 ‐ 163
• Increasing annuity
••
•
•
•
•
•
44
( 1) , , 0hR R h D D R Dg= + - = >
( )1
, 1; (1 )n hh n i hR h R Ia h i -
== = = +å
1, 2,3, , ; , 2 ,3 , , ; , , 2 , ,n R R R nR R R R R n+D + D + D
( ) ( )1 1,
n i n in nM Rs Is V Ra v Ia
- -= +D = +D
( ) ( ) (1 )nn n
Is Ia i= +
( )
( )
( )
2 3 1
2 3 4 1
2 3 1
2 3 ( 1)
2 3 ( 1)
(1 )
n nn
n nn
n nn
Ia v v v n v nv
v Ia v v v n v nv
v Ia v v v v nv
-
+
+
= + + + + - + -
= + + + + - + =
- = + + + + -
( ) ( );n
n i n in n
a nv s nIa Is
i i- -
= =
( ) ( );n
n i n in n
a nv s nIa Is
d d- -
= =
( )1
(1 )n n hn i h
Is h i -
== +å
RENDITE ANNUE IN PROGRESSIONE GEOMETRICA 171 ‐ 173
Posticipata temporanea
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]10
1
se 1; ; (1 )1 ( ) se 1
1
nq q q qh h nnn i n i n i n i
h
nv q iGa q v V R Ga Gs i Gaqvv q i
qv
-
=
ì = +ïïïï= = = = +í -ï ¹ +ïï -ïî
å
Anticipata temporanea
1
1
( , )n
h
h
h q -
=
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1 10
1
se 1; ; (1 )1 ( ) se 1
1
nq q q qh h nnn i n i n i n i
h
n q iGa q v V R Ga Gs i Gaqv q i
qv
- -
=
ì = +ïïïï= = = = +í -ï ¹ +ïï -ïî
å
Perpetue
45
AMMORTAMENTO 189 ‐ 191
• Mutuante‐Mutuatario
• Rimborso unico• Pagamento finale degli interessi• Pagamento periodico degli interessi
• Rimborso periodico del capitale e degli interessi
(0, ) ( , )(0, ) (1, ) ( 1, ) ( , (1 ))(0, (1 )) (1, ) ( 1, ) ( , )
O C n MO C Ci n Ci n C iO C d Cd n Cd n C
= -= - - += - - -
46
AMMORTAMENTO GRADUALE A RATE VARIABILI 191 ‐ 197
Chiusura finanziaria 1
(1 )n
hh
h
S R i -
=
= +å1
0
(1 )n
hh
h
S R i-
-
=
= +å
Chiusura elementare 1
n
hh
S C=
=å1
0
n
hh
S C-
=
=å
1
1
h h h
h h
h h h
D D CI iDR C I
-
-
ì = -ïïïï =íïï = +ïïî
1
1
h h h
h h
h h h
D D CI dDR C I
+
+
ìï = -ïïï =íïï = +ïïî
1
h
h kk
D S C=
= -å1
0
h
h kk
D S C-
=
= -å
1(1 )h h hD D i R-= + - 1(1 )h h hD D d R+= - +
1(1 )h h hR D i D-= + - 1(1 )h h hR D D d+= - -
1
( ) (1 ) (1 )h
h h kk
k
M h S i R i -
=
= + - +å1
0
( ) (1 ) (1 )h
h h kk
k
M h S i R i-
-
=
= + - +å
( )
1
(1 )n
k hh k
k h
W R i - -
= +
= +å1
( )(1 )n
k hh k
k h
W R i-
- -
=
= +å
Prospetto di ammortamento47
USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA’, PREAMMORTAMENTO 193; 195; 192
( )
1
( ) ( )
1 1
(1 )
(1 ) (1 )
1, ,
nk h
h kk h
n n nk h k h
h k sk h k h s k
P C i
U I i i i C
h n
- -
= +
- - - -
= + = + =
= +
= + = +
=
å
å å å
1( )
1 1 1( ) ( )
1
(1 )
(1 ) (1 )
0, , 1
nk h
h kk hn n n
k h k hh k s
k h k h s k
P C i
U I i d i C
h n
-- -
=
- - -- - - -
= = = +
= +
= + = +
= -
å
å å å
48
Preammortamento
TIPI DI AMMORTAMENTO: RATA COSTANTE 198 ‐ 201
• Ammortamento francese – rate costanti posticipate• Le quote capitali evolvono in progressione geometrica di ragione (1+i)
• Riserva retrospettiva e prospettiva
• Usufrutto e Nuda proprietà
(1 ) ;hh h hh i n h i
M S i Rs W D Ra
( ) ( )( )( )
1
1
1 1
( ) ( ) ; (1 )
1( ) ( )
11 1 1 1 .
nn h k h k h
h h h hk h
n hn h n h
h h h n h
n h n h
P n h C n h Rv P C i v
vU D P Ra n h Rv R n h vi
R i Rn h v d n h vi i i
+ - - -
= +
-+ - + -
-
- -
= - = - = +
æ ö- ÷ç ÷= - = - - = - -ç ÷ç ÷çè øæ öæ ö+ ÷ç ÷ç= - + - = - + -÷÷ç ç ÷÷çç ÷è øè ø
å
49
(1 )nn i
R S v R S ia= - = ⋅
• Ammortamento italiano ‐ quote capitali costanti•
•
• Riserva retrospettiva e prospettiva
• Usufrutto; Nuda proprietà
TIPI DI AMMORTAMENTO: QUOTE CAPITALI COSTANTI 202 ‐ 203
( )
1
1
(1 ) ( 1)(1 )
( 1)(1 )
hh h k
h h ik
nh k
h n h ik h
SM S i s i n k in
S SW a i n k in n
-
=
--
= +
æ ö÷ç= + - + - + + ÷ç ÷ç ÷è ø
= + - + +
å
å
( );h hn h i n h i
S SP a U n h an n- -
= = - -
, 1, ,hn hD S h nn-
= =
1
11
1 ( 1)
h h h
h h
h h h
SC D Dn
n hI iD Sinn hR C I Sn
-
-
ìïï = - =ïïïïï - +ï = =íïïïï + - +ï = + =ïïïî
50
AMMORTAMENTI CON ADEGUAMENTI 226 ‐ 230
• Ammortamenti con tasso variabile• Immunizzazione dal rischio delle oscillazioni del mercato finanziario• Ammortamento francese adeguato nel tasso
•
• Ammortamento a tasso variabile con quote di capitale prefissate
•
• Ammortamenti con adeguamento del debito residuo• Indicizzazione del debito residuo in funzione di indici statistici• Il caso dell’ammortamento francese
• serie storica degli indici statistici di adeguamento;
•
•
( ) ( )1 1
( )1
;
;
h hh h h hn h i n h i
hh h h h h
R D D R a
I D i C R I
a- - + -
-
= =
= = -
( )1 1; ;h
h h h h h h h hD D C I i D R C I- -= - = = +
( )h hZ
Î
, tempo inizialeh h sZ Z sp =
' ' ' '1 1 1 1 1; ; ;h h h h h h h h h h hD D R R I I C Cp p p p+ + + + += = = =
51
COSTITUZIONE DI CAPITALE, Vers. Post. 219 ‐ 221
• Vincolo di equivalenza finanziaria
• Versamenti posticipati costanti
1(1 )n n hhh
S R i -
== +å
:quota capitale:rata:quota interesse:capitaleaccumulato
h
h
h
h
CRIG
1
1 1, ,h h h
h h
h h h
G G CI iG h nR C I
-
-
ì = +ïïïï = =íïïï = -ïî
( )1
1 1
(1 )h h h
h h h h
G G i RR G G iG
-
- -
= + +
= - -
1
1
(1 ) ;
;
hh k
h kk
nn h k h
h k h h hk h
M R i
W Sv R v M W G
-
=
- -
= +
= +
= - = =
å
å
1; (1 ) ;h h ih hn i h i
n i
sS Rs C R i G Rs S
s-= = + = =
; n hh hh i n h i
M Rs W Sv Ra--
= = -
52
1
1
1
(1 )(1 )
(1 )
h h
h h
h h
R G G iR G G iC C i
-
+
+
= - +
= - +
= +
COSTITUZIONE DI CAPITALE, Vers. Ant. 222 ‐ 224
• Vincolo di equivalenza finanziaria
• Versamenti anticipati costanti
1
0(1 )n n hhh
S R i- -
== +å
:quota capitale
:rata
:quota interesse:capitaleaccumulato
h
h
h
h
C
R
IG
1
1 0,1, , 1h h h
h h
h h h
G G C
I dG h n
R C I
+
+
ìï = +ïïïï = = -íïïï = -ïïî
( )( )
1
1 1
(1 )h h h
h h h h
G G R i
R G G dG
+
+ +
= + +
= - -
1
01
(1 ) ;h
h kh k
kn
n h k hh k
k h
M R i
W Sv R v
--
=
-- -
=
= +
= -
å
å
( ) ( )1 1 1; (1 );
(1 ) ;
h h h h hn i
h h ih h h i
n i
S Rs G G R i R G G dG
sC R i G Rs S
s
+ + += = + + = - -
= + = =
; n hh hh i n h iM Rs W Sv Ra-
-= = -
53
11
1
(1 ) (1 )(1 )
(1 ) (1 )h h
h hh h
G G i R iC C i
G G i R i+
+
-
üï- + = + ï = +ýï- + = + ïþ
VALUTAZIONE DI RISERVE 231‐236• Valutazione delle riserve ad un tasso diverso dal tasso contrattuale
–
• Formula di Makeham
Decrescenza del debito residuo rispetto ad i*
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )* * *
1
( )* * *
1
( )* * *
1
, 1
, 1
, 1
n k h
h kk h
n k h
h kk h
n k h
h kk h
W W h i R i
U U h i I i
P P h i C i
- -
= +
- -
= +
- -
= +
= = +
= = +
= = +
å
å
å
( ) ( )
* ** * * * * * * * *
11 1 1
** * * * * * *
* *
, ; , ; (1 ) (1 ) (1 )
, ,
n n nh k h k h k
h h h h h h s s s s h k k sk h k h k h
h h h h h h h h h h
i iW P U W P U I i D I I D R i C i I ii i
i i iD P U U D P W P W Pi i i
* - - --
= + = + = +
= + = + = = = + = + + +
= + = - = + -
å å å
( ) ( )* * * * ** *h h h h h h h h h hi i iW D P D D P W D D Pi i
* -= + - + - = - -
54
pagato con 1, , ; , invariatih s s sD R s h n C D= +
PRESTITI DIVISI: GENERALITA’ 240 ‐ 241
• Prestiti di rilevante importo• Pluralità di finanziatori privati• Intermediazione di terzi• Garanzie pubbliche
• Titoli di credito a fronte di prestiti divisi• Buoni a scadenza unica• Obbligazioni
• Con rimborso a scadenza unica
• Con rimborso a scadenza differenziata
• Durata• Entro un anno (sconto razionale)
• Pluriennale
• Valore di emissione p e di rimborso c• Emissione sotto la pari• Emissione alla pari• Emissione sopra la pari
55
AMMORTAMENTO PER L’EMITTENTE 242 ‐243
• Operazione finanziaria corrispondente• Annua• Semestrale
• Rimborso unico
• Rimborso a scadenza differenziata
: numero obbligazioni: incasso emittente:interesseannuo posticipato; / 2 : interessesemestrale posticipato
: rimborso finale
NNpNcj NcjNc
1
1 1 1 1
:numeroobbligazioni rimborsate in
:numero obbligazioni viventi in h
; / 2, / 2
h
h
h h hk
h h h h h h h h
N h
L L N N
R N c L cj R L cj R N c L cj=
- - - -
= -
= + = = +
å
56
(1, ) (2, ) ( 1, ) ( , (1 ))(1/ 2, / 2) (1, / 2) ( 1/ 2, / 2) ( , (1 / 2))
Ncj Ncj n Ncj n Nc jNcj Ncj n Ncj n Nc j
- - - - - +- - - - - +
AMMORTAMENTO PER GLI OBBLIGAZIONISTI 243 ‐ 246
• Rimborso unico• Cedole annue• Cedole semestrali
• Rimborso a scadenza differenziata• Evoluzione tassi di mercato: continuo e variabile divario tra tasso di mercato e nominale• Par condicio creditorum ammortamento mediante sorteggio
• Piano rimborsi = piano sorteggi• Scadenza aleatoria
• Probabilità di estrazione, all’emissione , all’anno r di h anni
• Vita media all’emissione
• Vita media residua
01
nh
h
Ne hN=
=å
1
n rr h
rh r
Ne h
L
-+
=
=å
hNN
r h
r
NL
57
(1, ) (2, ) ( 1, ) ( , (1 ))(1/ 2, / 2) (1, / 2) ( 1/ 2, / 2) ( , (1 / 2))
cj cj n cj n c jcj cj n cj n c j
+ + - + + ++ + - + + +
ALTRI TIPI DI OBBLIGAZIONI 246 ‐ 248• A tasso variabile
• Indicizzate
• Convertibili• Capitale di credito capitale di rischio
• Con prezzo di rimborso superiore al valore nominale
• Secche con premi (no cedola diminuisce il valore di rimborso dell’importo della cedola)
• Con premi
• Con interessi incorporati (valore di rimborso crescente nel tempo)
• Con preammortamento
• Valutazione (solo caso con rimborso finale)
• TIR
• Emissioni sotto la pari• Emissioni alla pari• Emissioni sopra la pari
'( ) (1 ) ; 't nt n t iW i cja c i n n-
-= + + ³
( ) (1 )t nt n t iW i cja c i -
-= + +
x j
x j
58
( )( ) ( ), debitore ,obbligazionista c+
hh h
hh
PP P N cN
+
SECONDA PARTE3 Crediti
59
IL MERCATO PERFETTO 259 ‐ 261 • Mercato mobiliare riformulazione dei modelli già presentati• Collegamento di valori finanziari di mercato riferiti ad epoche diverse
• Approccio teorico • Legge finanziaria• Dinamica dei rendimenti• Valore di un’operazione e quindi relativo prezzo
• Approccio empirico• Si parte dal prezzo• Si ottiene una struttura coerente delle dinamiche di rendimento che ad O fa corrispondere per equivalenza il prezzo
• Si fa riferimento ai titoli obbligazionari ed al loro mercato• Mercato perfetto
• Non frizionalità• Assenza di costi di transazione e di gravami fiscali• Vendite allo scoperto (short sales)• Assenza di rischio di insolvenza• Omogeneità delle informazioni
• Continuità• Infinita divisibilità• Nessuna limitazione sulle quantità contrattate
• Competitività• Massimizzazione del profitto• Soggetto passivo sui prezzi (price taker)
• Coerenza (nessuna possibilità di arbitraggi• Acquisto di importi non negativi con almeno uno positivo ad un prezzo non positivo• Acquisto di importi non negativi ad un prezzo negativo
60
TITOLI OBBLIGAZIONARI 261 ‐ 263
• Titoli a scadenza certa• Titoli a Cedola Nulla (TCN) (Zero Coupon Bond)
• Emittente
• Finanziatore
• Durata breve
• Titoli a Cedola Fissa (Coupon Bond)• Reddito staccato (interessi dati dalla cedola)• Reddito incorporato positivo negativo (capital gain, capital loss)• Operazione finanziaria• Durata investimento n‐t• P prezzo d’emissione, valore nominale C• n scadenza del finanziamento• Corso tel quel – corso secco + rateo dell’interesse maturato ma non ancora liquidato • Corso ex‐cedola – corso secco – rateo della cedola che maturerà al successivo pagamento della cedola• Cedole a tasso variabile• Cedole a tasso indicizzato
(0, ) ( , )NP t NC(0, ) ( , )P t C
; , 1;1
tt
iC P Ci j t PP t jt-
= = £ =+
( , ) ( 1, ) ( 2, ) ( 1, ) ( , )t P t I t I n I n I C
61
CONTRATTI, PREZZI, TASSI SPOT e YIELD I 263 ‐ 265• TCNU (titolo a cedola nulla unitario)
• Prezzo a pronti (prezzo spot ,p.s.)
• Orizzonte di scambio
• Principio del rendimento del denaro
• Coerenza del mercato
• Decrescenza del prezzo rispetto alla scadenza
• 1 acquisto titolo ; 2 short sale 3 ho 1 in z’ ed acquisto 4
• Tasso a pronti (spot rate)
• Intensità di rendimento a scadenza (r.s.)
• media delle intensità istantanee
( , ) ( , ); ( , ( , )) ( , 1),v y z a z y y v y z z y z» - £( , )v y z
[ ],y z
( , ) 1v y z <
( , ) 0v y z >
( , ') ( , "), ( ' ")v y z v y z y z z> " £ <
( ) ( ) ( )1
( , ) ( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) z yz yi y z v y z v y z i y z- - --= - = +
( , ) log ( , )( , ) ( , ) , ( , ) ( ) ( , ), ( , )
z
y
y d z
y
v y za z y y z e y d z y y z y zz y
d h h
n d h h f f-ò -
= = = - =-ò
( , )( )( , ) , ( , )y z z yv y z e y zf f- -= [ ]( , ), ,y u u y zd Î( , )( , ) log(1 ( , )), ( , ) 1y zy z i y z i y z eff = + = -
62
( , ')v y z ( , ")v y z ( ', ")v z z 1in "z
log ( , ) ( , )z
y
v y z y u dud=-ò
CONTRATTI, PREZZI, TASSI SPOT e YIELD II 266 ‐ 270• TCN non unitario • acquisto in y di short sale di • Titoli complessi si può supporre che si abbia un
portafoglio S di TCNU con n scadenze• Valore TCNU k • Proprietà di linearità del prezzo• Valore portafoglio
• Titoli a cedola fissa (coupon bond), a cedola variabile
• Tasso di rendimento (yield rate) tasso che rende il valore attuale di un titolo complesso uguale al prezzo di acquisizione (prezzo tel quel).
• P: prezzo di acquisizione• n: durata residua• Y: yeld• Sk: incasso netto al tempo zk
• Yield è il TIR ed è il tasso spot se abbiamo un TCN di durata n• Yeld curve titolo sottostimato ‐ sovrastimato
( , ; ) ( , )V y z S Sv y z=
{ }1 1 2 2( , ), ( , ), , ( , )n nz S z S z S
( , )kv y z
1 1
( , ) ( , ; ) ( , )n n
k k k kk k
V y V y z S S v y z= =
= =å åS
{ }1 1 2 2( , ), ( , ), , ( , )n n nz I z I z I C+1
( , ) ( , ) ( , )n
k k nk
V y I v y z Cv y z=
= +åS
1 (1 ) k
nk
zk
SPY=
=+å
(0, )i n
63
( , ; ) ( , )V y z S Sv y z< ( , ; )V y z S ( , )Sv y z
1 1(1 (0, )) (1 )k k
n nk k
z zk kk
S Si z Y= =
=+ +å å
CONTRATTI PREZZI E TASSI A TERMINE 270 ‐ 272• Contratti a termine o forward – compravendite differite
• x epoca di contrattazione• Tasso a termine
• Intensità di rendimento a scadenza
• L’intensità di rendimento a scadenza è la media delle intensità istantanee di interesse δ(x,u) fissate in x e variabili nell’intervallo (y,z)
64
( ; , ),s x y z x y z£ £
( ) ( )1 ( )( ; , ) ( ; , ) 1 1 ( ; , ) ( ; , )z yz yi x y z s x y z i x y z s x y z- - --= - + =
( ; , )( )log ( ; , )( ; , ) ; ( ; , ) x y z z ys x y zx y z s x y z ez y
ff - --= =
-
( ) ( )( , ) ( , )
( ) ( )1 ( ; , ) 1 ( ; , ) ( ; , )( ) ( , )
z z
y y
x u du x u du zz y z y
y
i x y z e i x y z e x y z z y x u dud d
f d-
- - -ò ò
+ = + = - = ò
( ) ( ; , )( ; , ) log 1 ( ; , ) ( ; , ) 1x y zx y z i x y z i x y z eff = + = -
( , )( , )
( ; , ) log ( ; , ) ( , ) ( ; , )( )
z
y
z
x u du zy
y
x u du
s x y z e s x y z x u du x y zz y
dd
d f-ò
= =- =-
òò
STRUTTURE IMPLICITE PREZZI 273 ‐ 274 • Struttura implicita di collegamento dei prezzi spot con quelli forward
• Teorema dei prezzi impliciti implica che, nell’ipotesi di coerenza, i tassi a termine applicati siano quelli impliciti nella struttura a pronti.
• Proprietà dei tassi forward:
• Indipendenza dall’epoca di contratto (scindibilità)
• Aleatorietà del prezzo futuro
• A posteriori i prezzi forward possono non essere collegati ai prezzi spot
• Possibilità di arbitraggi
( , ) ( , ) ( , )v x z v x y v y z=
65
( ; , ) ( , ) / ( , ) ( , ) ( ; , ) ( , )s x y z v x z v x y v x z s x y z v x y= =
( ; , ) 0( ; , ) 1( ; , ) 1
' " ( ; ', ) ( ; ", )' " ( ; , ') ( ; ", )
x y z s x y zs x y z se y zs x y z se y zx y y z s x y z s x y zx y z z s x y z s x y z
£ £ >ì < <ïïíï = =ïî£ < £ <£ £ < >
STRUTTURE IMPLICITE TASSI ED INTENSITA’ 275 ‐ 277
• Tassi impliciti a termine (forward rates)
• Intensità implicite a termine (forward intensities)
(1 ( , ))(1 ( ; , )) ( ) log(1 ( ; , )) ( ) log(1 ( , )) ( ) log(1 ( , ))(1 ( , ))
z xz y
y x
i x zi x y z z y i x y z z y i x z y x i x yi x y
--
-
++ = - + = - + - - +
+
( , ) ( , ) ( ; , )y x z yx z x y x y zz x z x
f f f- -
= +- -
66
( ; , )( ) ( , )( ) ( , )( )x y z z y x z z x x y y xf f f- = - - -
( ; , ) ln(1 ( ; , )); ( , ) ln(1 ( , )); ( , ) ln(1 ( , ))x y z i x y z x z i x z x y i x yf f f= + = + = +
STRUTTURE CON PAGAMENTI NEL DISCRETO 277 ‐ 280
• Simbologia:
• Mercato completo e coerente (indipendenza dall’importo)
• Scadenzari discreti, prezzi a pronti
,
,
,
( , ) ; ( ; , ) ;( , ) ; ( ; , ) ;( , ) ; ( ; , ) ;
k h k
k h k
k h k
v t t k v s t t h t k si t t k i i t t h t k it t k t t h t kf f f f
+ = + + =
+ = + + =
+ = + + =
{ }1 21
1
(0, ; ) / ; , , , ; (0, )
ln1; (1 ) ; ln(1 )
1 (1 )
k
k k k
n
k k k n k kk
kk kkk k k k k k k
k kkk k k
v V k S S S S S V S S v
vi v v i e v ik
i e i e e v
f
f f f
f
=
- --
- --
= = =
-= - = + = = = +
+ = + = =
åS
67
STRUTTURE FORWARD UNIPERIODALI 281
• Struttura implicita dei prezzi
• iterativamente si ottiene
( ) ( ) ( )1
1, 1, 1,1 11
/ ; 1 1 ; 1k k k
kk r r k r r k r r
r rr
k i i v if f-
- - -= ==
= + = + = +å
68
( )( )
( )
1 11, 1, 1,
1
1, 1, 1, 1,11
1, 1
; 1 1
11 ; log 1 log
1
( 1) ; (1 )
k kk k k k k k
k kk
kk k k k k k k kk
k
kk k k k k
v vs i s
v v
ii i s
i
k k v i
f
f f f
- -- - -
-
- - - ---
-- -
= = - = -
++ = = + =-
+
= - - = +
TASSI IMPLICITI DI SCONTO UNIPERIODALI 282 ‐ 283
• Tassi impliciti di sconto o di interesse anticipato
1, 1,1
1, 11
1,1
1 1
(1 )1(1 )
(1 ) (1 )
kk k k k
k
kk
k k kk
kk
k r rr
sd ss
ddd
d d
- --
- --
-=
= - = -
-- =
-
- = -
69
STRUTTURE FORWARD MULTIPERIODALI 285 ‐ 286• Prezzo a termine multi‐periodale
• Tasso di interesse sull’orizzonte di scambio
• Tasso di sconto o di interesse anticipato
( ) ( )1
11, 1,
11 2
1 1 ;kk h hh k k
h k r rr hk k k h
vv v vi iv v v v
-- +-
-= +- -
æ ö÷ç ÷+ = = = +ç ÷ç ÷çè ø
70
( )1
11, 1, 1,
1 11 2
1k k
hk k kh k r r r r
r h r hk k h h
vv v vs s i
v v v v
-+-
- -= + = +- -
= = = = +
1,
, ,,
11
h kk hh k h k
h k
id s
i-= - =
+
1
, , 1k hh k h ki s
--= -
MATRICE DELLE STRUTTURE SPOT e FORWARD MULTIPERIODALI 284
71
0,0 0,1 0,2 0, 2 0, 1 0,
1,1 1,2 1, 2 1, 1 1,
2,2 2, 2 2, 1 2,
2, 2 2, 1 2,
1, 1 1,
,
n n n
n n n
n n n
n n n n n n
n n n n
n n
s s s s s s
s s s s s
s s s s
s s s
s s
s
- -
- -
- -
- - - - -
- - -
é ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úë û
MATRICE DELLE STRUTTURE TASSI SPOT & FORWARD MULTI PERIODALI‐‐
72
0,0 0,1 0,2 0, 1 0,
0,1,1 0,1,2 0,1, 1 0,1,
0,2,2 0,2, 1 0,2,
0, 1, 1 0, 1,
0, ,
n n
n n
n n
n n n n
n n
i i i i ii i i i
i i i
i ii
-
-
-
- - -
é ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úë û
MATRICE DELLE STRUTTURE TASSI SPOT & FORWARD UNIPERIODALI‐‐
73
0,0 0,1 1,2 2, 1 1,
0,1,1 0,1,2 0, 2, 1 0, 1,
1,2,2 1, 2, 1 1, 1,
2, 1, 1 2, 1,
1, ,
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n
i i i i ii i i i
i i i
i ii
- - -
- - -
- - -
- - - - -
-
é ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úë û
STRUTTURA PER SCADENZA SPOT PER LE OBBLIGAZIONI (BONDS) 287• Prezzo del titolo al tempo h
• quote interessi già pagate sul titolo
• valore del bond meno le quote interesse pagate fino ad h‐1
•
( )hV
1 (1 )
hk
h kk k
IH
i=
=+å
( ) 1 (1 )h h
h h hh
I CV H
i-
+- =
+
( ) ( )
( )
11
2 2 (2) 1 ( ) 11 1 (1)1 1 2 2(1) 1 (2) 1 22 1
1 (1) 2 (2) 1( ) 1
1; 1; ; 1(1 ) (1 )
nnn n n n
nn
n n
I C V H I C V HI C VI C I CV i V H i i
i V i V H V H
-
-
+ - - + - -+ -+ += = - - = = - = -
+ + - -
74
1, ,h n=
1, ,h n=
STRUTTURA PER SCADENZA FORWARD PER LE OBBLIGAZIONI (BONDS)‐‐
• Prezzo del titolo di un bond contrattato al tempo 0, acquistato al tempo r con scadenza al tempo h
• quote interessi già pagate sul titolo
• valore del bond meno le quote interesse pagate fino ad h‐1
•
( , )r hV
,,
1 ,(1 )
hr k
r h k rk r r k
IH
i -= +
=+å
, ,( , ) , 1
,(1 )r h r h
r h r h h rr h
I CV H
i- -
+- =
+
( )
, 1 , 1 ( , 1), 1 , 1 , 2 , 2( , 1) , 1 ( , 2) , 1 2
, 1 ( , 1) , 2
1
, 2 , 2 ( , 2) , 1 , , ( , ) ,, 2 ,
( , 2) , 1
1;(1 ) (1 )
1; ;
r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r r
r r r r r r
h rr r r r r r r r r h r h r h r h
r r r hr r r r
I C VI C I CV i V H
i V i
I C V H I C V Hi i
V H
+ + ++ + + ++ + + +
+ + +
-+ + + +
+
+ +
+ -+ += = - - =
+ +
+ - - + - - = - =
-
( )
( )
1
11
( , ) , 1
1h r
h rr h r hV H
--
--
--
75
1, ,h r n= +
STRUTTURE CON FLUSSI NEL CONTINUO 292
76
0
0
(0, ) (0, )
,
(0, ) (0, )
,
0,
;
1; 1
(0, ) (0, )
;
k k
h
k k
h
u du u du
k s k
u du u du
k k hk h k
k k
hk h k
v e s e
i e i e
u du u du
k k h
d d
d d
d d
f f
- -
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç çè ø è ø-
ò ò= =
ò ò
= - = -
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø= =
-
ò ò
STRUTTURE PER SCADENZA SPOT (caso continuo)‐‐
• Prezzo spot Prezzo forward
• Strutture spot, ( , )y z zP v y z S ; , ( ; , )x y z zP v x y z S=
( , )
1
( , )1 1
( , )1
( , ) ( , ) 1/ ( , )
( , ) ( , ) 1 ( , ) 1 1
( , )( , )
( , ) 1 ( , ) 1
T k
T
T k
T
T k
T
T d
kT d
k k
T k
T
T dk
v T T k a T k T m T T k e
i T T k m T T k v T T k e
T dT T k
k
d T T k v T T k e
d t t
d t t
d t t
d t t
f
+
+
+
-
-
+
ò+ = + = + =
æ ö÷ç ò ÷ç ÷ç ÷+ = + - = + - = -ç ÷ç ÷ç ÷÷çè øæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
+ =
æç òçç+ = - + = -ççççè
ò
1k
-ö÷÷÷÷÷÷÷÷ø
77
STRUTTURE PER SCADENZA FORWARD (caso continuo)‐‐
• Strutture forward
( , )
1
( , )1
1
( , )( ; , )( , )
( ; , ) ( ; , ) 1 1
( , )
( ; , )
( ; , ) 1 ( ; , ) 1
T k
T h
T k
T h
T d
k hT d
k h
T k
T h
k h
v T T ks T T h T k ev T T h
i T T h T k s T T h T k e
T d
T T h T kk h
d T T h T k s T T h T k e
d t t
d t t
d t t
f
+
+
+
+
-
-
--
+
+
-
ò++ + = =
+
æ ö÷ç ò ÷ç ÷ç ÷+ + = + + - = -ç ÷ç ÷ç ÷÷çè øæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø
+ + =-
+ + = - + + = -
ò
1
( , )T k
T h
k hT dd t t
+
+
--æ ö÷ç ò ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
78
ELEMENTI SPOT E FORWARD DELLA STRUTTURA DEL DISCRETO 295 ‐ 297( , )
( , ) ( , ) 1/ ( , )T k
TT d
v T T k a T k T m T T k ed t t
+-ò+ = + = + = Valore attuale spot
1/( , )1/ 1/( , ) ( , ) 1 ( , ) 1 1
T k
T
kT dk ki T T k m T T k v T T k e
d t t+
-æ öò ÷ç ÷ç+ = + - = + - = -÷ç ÷÷çè ø
Tasso spot di interesse posticipato
( , )( , )
T k
T
T dT T k
k
d t t
f
+
+ =ò intensità
1/( , )1/( , ) 1 ( , ) 1
T k
T
kT dkd T T k v T T k e
d t t+
-æ öò ÷ç ÷ç+ = - + = - ÷ç ÷÷çè øTasso spot di interesse anticipato
( , )( ; , ) ( , ) / ( , )
T h
T kT d
s T T k T h v T T k v T T h ed t t
+
+-ò+ + = + + =
1/( )( , )1/ ( )( ; , ) ( ; , ) 1 1
T h
T k
k hT dk hi T T k T h s T T k T h e
d t t+
+
-
- -æ öò ÷ç ÷ç+ + = + + - = -÷ç ÷÷çè ø
Valore attuale forward
Tasso forward di interesse posticipato
( , )( ; , )
d t tf
+
++ + =-
òT h
T kT d
T T k T hh k
intensità1/( )
( , )1/ ( )( ; , ) 1 ( ; , ) 1T h
T k
k hT dk hd T T k T h s T T k T h e
d t t+
+
--- -
æ öò ÷ç ÷ç+ + = - + + = - ÷ç ÷÷çè ø79
Tasso forward di interesse anticipato
RENDITE CON STRUTTURE PER SCADENZA 297 ‐ 300• Valore iniziale di una rendita immediata
• Valore finale di una rendita immediata
• Valore iniziale di una rendita immediata a scadenze intere
• Valore iniziale di una rendita immediata differita a scadenze intere
• Valore finale di una rendita immediata posticipata a scadenze intere
• Valore finale di una rendita immediata anticipata a scadenze intere
( )*
1 1
( ) ( , ) 1 ( , ) ;n n
n hh h
h h
Vf T R m T h T R i T h T n T T T n-* *
= =
= + = + + + £ = +å å
80
( )*
* *
1 1
( ) ( , ) 1 ( , ) ; 1+ -* *
= =
= + = - + £ +å ån n T h T
h hh h
Va T R v T T h R d T T h T T
11,
11 1 1
(0) (1 ) (1 )n n n h
hh h h h h r r
rh h h
Va R v R i R i- --
== = =
= = + = +å å å
1 1/ 1, 1,
1 11
(0) (1 ) (1 )m nm h
m r r h r rr r mh m
Va i R i+
- -- -
= = += +
= + +å
, , 1,11 1 1
( ) (1 ) (1 )n n n n
n kf k k n k k n k r r
r kk k k
V n R r R i R i--
= += = =
= = + = +å å å
1 1 1
, , 1,10 0 0
( ) (1 ) (1 )n n n n
n kf k k n k k n k r r
r kk k k
V n R r R i R i- - -
--
= += = =
= = + = +å å å
AMMORTAMENTI con STRUTTURE PER SCADENZA 301 ‐ 306 • Vincolo di chiusura finanziaria
• Ammortamento posticipato, vincolo di chiusura finanziaria generalizzato
• Ammortamento anticipato, vincolo di chiusura finanziaria generalizzato
( ) 1
, 1,11 1
1n n k
h k h k k r rr hk h k h
D R s R i-
-= += + = +
= = +å å
( )1 1 1
, 1,1
1n n k
h k h k k r rr hk h k h
D R s R i- - -
-= += =
= = +å å
1 1, 1 1 1,(1 )k k k k k k k k k k kR D i D D D D i R- - - - -= + - = + -
81
11,
10 0 0
(1 ) (1 )n n n h
hh h h h h r r
rh h h
S R v R i R i- --
== = =
= = + = +å å å
1 , 1 1 1 , 1(1 )+ + + + += + - = - +k k k k k k k k k k kR D d D D D D d R
1
1, 1
-
- -
ì = -ïïïï =íïï = +ïïî
k k k
k k k k
k k k
D D CI i DR C I
( )1
10; , 1+
+
ìï = -ïïï = +íïï = +ïïî
h k k
k k
k k k
D D CI d k k D
R C I
CASI PARTICOLARI DI AMMORTAMENTO 306 ‐ 311
• Ammortamento posticipato a rate costanti
• Ammortamento anticipato a rate costanti
• Ammortamento a quote capitali costanti posticipato
• Ammortamento a quote capitali costanti anticipato
( ) ( )1 1
1, 1,1 11 1
/ 1 1 ; 1 1n nh k
r r h r rr r hh k h
R S d D R d- -
- -= = += = +
æ öæ ö ÷÷ çç ÷= + - = + -÷ çç ÷÷ çç ÷ ÷çè ø è øå å
( )0 1,0; 1 ( 1) , 1, ,k k kSR R n k i k nn -= = + - + =
( )1,1 ( 1) , 0, , 1; 0k k k nSR n k d k n Rn -= + - - = - =
82
( ) ( )1 11, 1,
1 11 1
/ 1 ; 1n nh h
r r h r rr r hh h h
R S i D R i- -
- -= = += = +
= + = +å å
COSTITUZIONE DI CAPITALE ‐ STRUTTURA per SCAD. 316 ‐ 318
• Vincolo di equivalenza finanziaria
• Versamenti costanti
11,1
1
(1 )nn
n h k k nhk h
G R i R-
-== +
= + +å
11 11, , 11 0
1
1 1, 1 , 1
(1 ) (1 )
(1 ) ( )(1 )
n hn nh h s k k h h h s k ks s
k s k s
h h h h h h h h h h
M G R i R M G R i
G G i R G G R i
-- -
- += == + =
- - + +
= = + + = = +
= + + = + +
å å
83
11, 10
(1 )nn
n h k khk h
G R i-
-
+==
= +å
11 11, , 11 0
1
(1 ) 1 (1 )
n nn nn n
k k k kh hk h k h
G GR Ri i
-- -
- += == + =
= =+ + +å å
1 1
1 1, 1 , 1( 1, , ) , ( 1, , )h h h h h h
h h h h h h h h
h h h h h h
C G G C G Gh n I G i h n I G d
C R I C R I
- +
- - + +
ìì ï= - = -ï ïï ïïï ï= = = =í íï ïï ïï ï= + = +ïî ïî
VITA A SCADENZA E SCADENZA MEDIA 324 ‐ 326• Scadenza
• Vita a scadenza (time to maturity) informazione precisa solo su ZCB si lavora su
• Scadenza media aritmetica
• Scadenza media epoca in cui se vengono concentrati tutti i pagamenti si ottiene lo stesso valore attuale che si avrebbe seguendo lo scadenzario
ht t-
1
1
n
h hhn
hh
t St
S
=
=
=å
å
1 1
1 1
ln (1 ) ln(1 ) (1 )
ln(1 )
h
h
n nt
h hn nh htz
h hh h
S i Si S S i z
i
-
= =--
= =
æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø+ = + =-
+
å åå å
84
1 1
(0, ) (0, )n n
h h hh h
v z S S v t= =
=å å
OPERAZIONE FINANZIARIA‐SCADENZA MEDIA 325 ‐ 326• Operazione finanziaria e sub‐operazioni
• è equivalente al progetto P.I.P.O.
• Progetto di investimento
• Progetto di finanziamento
O ' "(costi), (ricavi)O O
' ' ' ' ' ' ' " " " " " " "1 1 2 2 ' ' 1 1 2 2 " "( , ), ( , ), , ( , ) ; ( , ),( , ), ,( , )n n n nO t S t S t S O t S t S t S
' "' "
1 1
, ; , scadenzemediedi ,n n
r s C Rr s
C C R R z z O O* *
= =
= =å å' "
' "0
1 1
( ) ( ) ( ) ( )n n
r r s s C Rr s
V C v t R v t Cv z Rv z= =
=- + =- +å å
O
R Cz z
R Cz z
85
( ) ( ){ }, , ,C Rz C z R- -
DURATION (DURATA MEDIA FINANZIARIA) 326 ‐ 334• Duration – media aritmetica delle epoche (durate da 0) ponderata con i valori
attuali degli importi.
• A mezzo delle proprietà delle medie si dimostra che
• La duration è invariante rispetto ad aumenti proporzionali degli importi
• Dati 2 investimenti con duration , posti i valori di
la duration di è:
E’ sempre possibile ottenere una duration compresa tra le due durations date
La proprietà si può generalizzare ad n durations
1 2,O O ,a bD D , ; ,a bA D B D
1 2,O O 1 2O O
86
' ''' ' '' ''
' ''' ' '' '' 1 1
1 1
(0, ) (0, )(0, ) (0, ) = =
= =+
+ + += = =
+ + +
å åå å
n n
n n h h h k k kh k
h h h k k kh k a b
a b
t a v t t b v tt a v t t b v t A B D A D BA BD
A B A B A B
1 1 1
1 1 1
(0, ) (1 )
(0, ) (1 )
h h
h h
n n nt t
h h h h h h hh h hn n n
t th h h h
h h h
t S v t t S i t S eD
S v t S i S e
d
d
- -
= = =
- -
= = =
+= = =
+
å å å
å å å
, 0D z t i£ £ " >
INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE I 334 ‐ 337
• Duration di 2° ordine in 0
• Struttura piatta
• funzione convessa
• Variazione relativa rapidità della variazione relativa di V rispetto a δ
• variazione di D rispetto a δ indice di volatilità (indice di dispersione)• rapidità di variazione di D rispetto ad i
• Intensità derivata del logaritmo del valore rispetto al tempo, D derivata del logaritmo del valore rispetto all’intensità
2
(2) (2) 21
1
(0, );
(0, )
n
h h hh
nn
h hh
t S v tD D t
S v t
=
=
= £å
å
1( ) dd -
==å n h
hhV S e
87
2 2
(2) 1 1
1 1
(1 )
(1 )
h h
h h
n nt t
h h h hh hn n
t th h
h h
t S e t S iD
S e S i
d
d
- -
= =
- -
= =
+= =
+
å å
å å
'( ) ln ( )( )
V d V DV d
dd
d d= =-
( )2
(2) 2 21 12
2
( ) ( )
( )
h h
n nt t
h h h hh h
t S e V t S e VD D D
VD D vi i
d dd ds
d dd
sd
- -
= =
- +¶
= = - =-¶¶ ¶ ¶
= =-¶ ¶ ¶
å å
INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE II 337
• Elasticità
• flat yield duration del secondo ordine (convexity) convessità per unità di valore
0
0
/ '( )lim/ ( )/ '( )lim/ ( ) 1i i
V V V DV
V V V i ii Di i V i i
d d
dh d d
d d d
h
D
D
D= = =-
DD
= = =-D +
88
i Ddg g= +
2
(2)1
1
(2) 21
1
"( ) , convexity( )
( 1) (1 )"( ) (1 ) , convexity( )(1 )
d
dd
dg d
d
g
-
=
-
=
-
-=
-
=
= = =
+ += = = +
+
å
å
å
å
h
h
h
h
nt
h hhn
th
h
nt
h h hh
i nt
hh
t S eVDVS e
t t S iV iD i iV iS i
INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE III 338
• Volatility convexity: convessità per variazione di unità di valore
89
2(2)
1
1
1
1
"( ) , volatilityconvexity'( )
( 1) (1 )"( )1 (1 ), volatilityconvexity( )(1 )
h
h
h
h
nt
h hhn
th h
hn
th h h
hi n
th h
h
t S eD VD Vt S e
t t S iV i i iV it S i
d
dd
d
dg d
d
g g
-
* =
-
=
-
* *=
-
=
= = =
+ += = - = + -
+
å
å
å
å* * 1dg g= -i
STIME DELLE VARIAZIONI DI PREZZO I• Indicatore di sensibilità del I ordine:
• Valutazione approssimata del nuovo prezzo a seguito della variazione del tasso di mercato
• Indicatore di sensibilità del II ordine:
90
0 0( ) '( ) ; ( ) ( )(1 )
( ) ( )V V d Dd V d V DdV V
d dd d d d d d
d dD
@ =- + @ -
20 0 0 0
20 0
2
( ) ( ) '( ) "( )( ) / 2
( ) ( )(1 ( ) / 2)( ) ( ) / 2
( )
V d V V d V d
V d V Dd dV Dd dV
d
d
d d d d d d d
d d d d g dd
d g dd
+ @ + +
+ @ - +
D@ +
STIME DELLE VARIAZIONI DI PREZZO II
• Indicatore di sensibilità del I ordine:
• Indicatore di sensibilità del II ordine:2
0 0 0 0
20 0 2
0 0
22
0 0
( )( ) ( ) '( ) "( ) ;2
( ) ( ) 1 ( ) ;1 2(1 )
( )( ) 1 2(1 )
i
i
diV i di V i V i di V i
DV i di V i di dii i
Vi D di diV i i i
g
g
+ @ + +
æ ö÷ç ÷+ @ - +ç ÷ç ÷ç + +è ø
D@- +
+ +
'( ) ;( ) 1
V i D Dv DvV i i
-= =-
+volatility (duration modificata)
91
( ) '( ) ln ( ) ;( ) ( ) 1
D -@ = =
+V i V i Ddi d V i diV i V i i
0 00 0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
( ) 1 1 1
æ ö æ ö+ - ÷ ÷ç ç÷ ÷@- + - @ - + @ -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ + +è ø è ø
V i di V i Ddi D DV i di V i V i di V i di V i diV i i i i