CORSO CORSO DIDI FISICA PER FISICA PER INFORMATICAINFORMATICA

AA 2010 ndash 2011Docente Barbara Ricci

Tutor Ambra Fioravanti (ambrafioravantistudentunifeit)

1

INTRODUZIONE AGLIINTRODUZIONE AGLIESERCIZIESERCIZI

Cifre Significative e ArrotondamentiCifre Significative e Arrotondamenti

2

Nelle scienze sperimentali si ha a che fare sia con numeri puri (e 2 hellip) che con grandezze fisiche misurabili (lunghezze tensioni hellip) accompagnate esplicitamente o implicitamente da una incertezza o errore di misuraerrore di misura

Esempio - La lunghezza con il suo errore puograve essere espressa comeL= (5764 plusmn 028) m

con 5 e 7 cifre certecifre certe 6 e 4 cifre incertecifre incerte

Il numero di CIFRE SIGNIFICATIVE CIFRE SIGNIFICATIVE egrave il numero di cifre certe che si contano da sinistra verso destra fino alla prima cifra incerta inclusa escludendo eventuali zeri a sinistra in altre parole egrave il numero di cifre certe piugrave unail numero di cifre certe piugrave una

Nellrsquoesempio di prima il numero di cifre significative egrave 3

Un modo estremamente compatto di esprimere una grandezza fisica egrave quello di scrivere solo le cifre significative quindi sempre considerando lrsquoesempio

L= 576 mche implicitamente indica una incertezza che varia da 01 a 09 m ed effettivamente era di 028m

Cifre Significative e ArrotondamentiCifre Significative e Arrotondamenti

3

Cifre significatine nelle OPERAZIONIOPERAZIONIbull Moltiplicazione e divisione si conserva un numero di cifre significative del numero con precisione minorebull Somma e sottrazione si conserva un numero di cifre decimali quantequelle del numero che ha meno cifre decimali

Eliminando le cifre non significative si fanno gli ARROTONDAMENTIARROTONDAMENTI ovvero si tronca il numero al numero di cifre significative voluto e si trattano quelle in eccesso come una frazione decimalebull se la frazione egrave ge di 05 si incrementa la cifra meno significativabull se la frazione egrave lt di 05 non si incrementa

Nella risoluzione dei problemi si deve tener presente che considerando solo le cifre significative si possono introdurre errori di arrotondamento quindibull i risultati intermedi vanno scritti a matita o salvati nella calcolatrice con tutte le cifre decimali disponibilibull i risultati finali devono invece riportare tutte le cifre significative

Notazione ScientificaNotazione Scientifica

4

Spesso ci si deve confrontare con grandezze espresse da numeri molto grandi o molto piccoli cosigrave si preferisce utilizzare una scrittura piugrave compatta detta notazione scientifica

Un numero a scritto in notazione scientifica si presenta nella forma a = k∙10n

dove k egrave un numero decimale1le klt10 e n un numero intero positivo o negativo

Operativamente si contano il numero n di posti di cui si deve spostare la virgola al fine di ottenere un numero k tale che 1le lt10 opportunamente arrotondato Se a egrave maggiore o uguale ad 1 si scrive come a = k∙10 (es 12000 12 104)Se a egrave compreso tra 0 e 1 si scrive come a = k∙10minus (es 00043 43 10-3)

Lrsquo ordine di grandezza egrave la potenza di 10 piugrave vicina al numero

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS)

Unitagrave fondamentali

5

Grandezza fisica Unitagrave di misura simbolo

Lunghezza metro m

Massa chilogrammo Kg

Tempo secondo s

Intensitagrave di corrente Ampere A

Temperatura kelvin K

Intensitagrave luminosa candela Cd

Quantitagrave di sostanza mole mol

Nel 1889 la Confeacuterence Geacuteneacuterale des Poids et Mesures introduce il sistema MKS basato rispettivamente sul metro sul chilogrammo e sul secondo Nel 1961 la CGPM introduce il Sistema Internazionale ampliando il numero di unitagrave fondamentali quindi il numero di quelle derivate

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Unitagrave Derivate (dalle fondamentali)

6

Grandezza fisica Unitagrave SI Equivalenza in Unitagrave Fondamentali

Frequenza Hertz - Hz = sminus1

Forza Newton - N = kgmiddot mmiddot sminus2

Pressione Pascal - Pa = Nmiddot mminus2=kgmiddot mminus1middot sminus2

Energia lavoro calore Joule - J = Nmiddot m = kgmiddot m2middot sminus2

Carica elettrica Coulomb ndash C = Jmiddot sminus1 = kgmiddot m2middot sminus3

Resistenza elettrica Ohm - Ω =Vmiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus3middot Aminus2

Capacitagrave elettrica Farad - F =Cmiddot Vminus1=s4middot A2middot mminus2middot kgminus1

Densitagrave flusso magnetico Tesla - T =Vmiddot smiddot mminus2=kgmiddot sminus2middot Aminus1

Flusso magnetico Weber ndash W = Vmiddot s = m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus1

Induttanza Henry - H = Vmiddot smiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus2

Angolo piano Radiante - rad = mmiddot mminus1

Angolo solido Steradiante - sr = m2middot mminus2

Ecchellip

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Prefissi Moltiplicativi

7

Prefisso Abbrev Fattore Prefisso Abbrev Fattore

decadeca da 10 decideci d 10-1

ettoetto h 102 centicenti c 10-2

kilokilo K 103 millimilli m 10-3

megamega M 106 micromicro micro 10-6

gigagiga G 109 nanonano n 10-9

teratera T 1012 picopico p 10-12

petapeta P 1015 femtofemto f 10-15

exaexa E 1018 attoatto a 10-18

zettazetta Z 1021 zeptozepto z 10-21

yottayotta Y 1024 yoctoyocto y 10-24

Sistema Sistema cgscgs

8

Il sistema CGS egrave un sistema di unitagrave di misura basato sulle unitagrave centimetro grammo e secondo da cui vengono derivate le altre Nacque nel 1832 da una proposta di Gauss e ampliato da Maxwell e Kelvin nel 1874 con laggiunta delle unitagrave elettromagnetiche Gli ordini di grandezza di molte delle unitagrave CGS crearono problemi per luso pratico cosigrave questo sistema non ebbe mai un riconoscimento generale al di fuori del campo dellelettrodinamica e fu gradualmente abbandonato a fine lsquo800

Grandezza fisica

Unitagrave di misura

Simbolo Rapporto con le unitagrave SI

Lunghezza centimetro cm = 10minus2 m

Massa grammo g = 10minus3 kg

Tempo secondo s = s

Tempo svedberg =10-13 s

Accelerazione galileo 1Ga=1cmssup2 =10-2 ms2

Forza dyne 1dyn=1gmiddotcmssup2 =10minus5 N

Energia erg 1erg=1gmiddotcmsup2ssup2 =10minus7 J

Potenza erg sec 1ergs=1gmiddotcmsup2ssup3 =10minus7W

Pressione baria 1Ba=1dyncmsup2=1g(cmmiddotssup2) = 10minus1 Pa

Viscositagrave poise 1P=1g(cmmiddots) = 10minus1Pamiddots

Equazioni DimensionaliEquazioni Dimensionali

9

Funzioni algebriche = funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle 4 operazioni dellaritmetica e dellelevamento a potenza

ESEMPIO EQ DIM Verificare se la seguente espressione egrave dimensionalmente correttaF = mg + PS [F] = [forza] = [M][L][ T ]-2 [S] = [superficie] = [L]2

[m] = [massa] = [M] [g] = [accelerazione] = [L][ T ]-2

[P] = [pressione] = [FS] = [M][L]-1[ T ]-2

Otteniamo [M][L][ T ]-2 = [M][L][ T ]-2 + [M][L][ T ]-2 ma due grandezze con stessa dimensione possono essere sommate quindi lrsquoeq dimensionale egrave verificata

Funzioni trascendenti = funzioni non algebriche cioegrave che contengano operazioni diverse dalle 4 operazioni dellaritmetica e dalloperazione di potenza Esempi logaritmo esponenziale espressioni trigonometricheGli argomenti di queste funzioni devono essere adimensionali

ESEMPIO EQ DIM Trovare la dimensione della costante di decadimento λSoluzione approx del decadimento radioattivo N(t) = N0 e-λt (decadimento esponenziale)N(t) e N0 sono rispettivamente il n di particelle decadute al tempo t e il n di particelle iniziali Preoccupiamoci dellrsquoesponente che deve essere adimensionaleSapendo che [t] = [tempo] = [ T ] per avere un esponente adimensionale[] = [vita media particelle] = [ T ]-1 ed infatti =1λ N(t) = N0 e-t

Cambiamento dellrsquoUnitagrave di MisuraCambiamento dellrsquoUnitagrave di Misura

Se 1m2 = 104cm2 allora Area = 15m2 (104cm2 1m2 ) = 15104cm2 = 15 105cm2

Lrsquoacqua ha densitagrave ρ =100103 kgm3 e la vogliamo esprimere in gcm3 Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

A quanti kmh corre un centometrista se ci mette 10s per fare 100m Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

10

Data una grandezza q con misura (q) ed unitagrave di misura [Q] per convertirla in una nuova unitagrave di misura [Q] si utilizza la relazioneq = (q)[q] = (q)[q] (q)= (q)[q] [q] = (q)c con c = [q] [q] rapporto tra le 2unitagrave con stessa dimensione

In pratica si moltiplica per una quantitagrave unitaria che ldquocancellardquo la vecchia unitagrave o per rapporti unitari

ESEMPI

Scalari e VettoriScalari e Vettori

11

Esistono grandezze completamente determinate da un numeronumero e da unrsquounitagrave di unrsquounitagrave di misuramisura dette SCALARI che vengono trattate con le regole dellrsquoalgebra ordinariaSi indicano con lettere maiuscole o minuscoleEsempi massa m lunghezza l tempo t energia E temperatura T densitagrave ρhellip

Esistono grandezze dette VETTORI che per essere determinate necessitano di-- ampiezza o moduloampiezza o modulo-- direzionedirezione-- versoverso-- unitagrave di misuraunitagrave di misuraUn vettore egrave rappresentato graficamente da una freccia (segmento orientato) la cui lunghezza corrisponde al modulo del vettore la sua direzione coincide con quella del vettore e la punta stabilisce il verso del vettoreSi indicano con lettere maiuscole o minuscole in grassetto oppure con una freccetta sopraEsempi velocitagrave v o v accelerazione a o a pressione P o P hellipLrsquoampiezza del vettore invece si indica semplicemente con la lettera senza freccetta o non in grassetto quindi v oppure mettendo in valore assoluto la lettera in grassetto o quella con la freccetta quindi | v | o | v |

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Cifre Significative e ArrotondamentiCifre Significative e Arrotondamenti

2

Nelle scienze sperimentali si ha a che fare sia con numeri puri (e 2 hellip) che con grandezze fisiche misurabili (lunghezze tensioni hellip) accompagnate esplicitamente o implicitamente da una incertezza o errore di misuraerrore di misura

Esempio - La lunghezza con il suo errore puograve essere espressa comeL= (5764 plusmn 028) m

con 5 e 7 cifre certecifre certe 6 e 4 cifre incertecifre incerte

Il numero di CIFRE SIGNIFICATIVE CIFRE SIGNIFICATIVE egrave il numero di cifre certe che si contano da sinistra verso destra fino alla prima cifra incerta inclusa escludendo eventuali zeri a sinistra in altre parole egrave il numero di cifre certe piugrave unail numero di cifre certe piugrave una

Nellrsquoesempio di prima il numero di cifre significative egrave 3

Un modo estremamente compatto di esprimere una grandezza fisica egrave quello di scrivere solo le cifre significative quindi sempre considerando lrsquoesempio

L= 576 mche implicitamente indica una incertezza che varia da 01 a 09 m ed effettivamente era di 028m

Cifre Significative e ArrotondamentiCifre Significative e Arrotondamenti

3

Cifre significatine nelle OPERAZIONIOPERAZIONIbull Moltiplicazione e divisione si conserva un numero di cifre significative del numero con precisione minorebull Somma e sottrazione si conserva un numero di cifre decimali quantequelle del numero che ha meno cifre decimali

Eliminando le cifre non significative si fanno gli ARROTONDAMENTIARROTONDAMENTI ovvero si tronca il numero al numero di cifre significative voluto e si trattano quelle in eccesso come una frazione decimalebull se la frazione egrave ge di 05 si incrementa la cifra meno significativabull se la frazione egrave lt di 05 non si incrementa

Nella risoluzione dei problemi si deve tener presente che considerando solo le cifre significative si possono introdurre errori di arrotondamento quindibull i risultati intermedi vanno scritti a matita o salvati nella calcolatrice con tutte le cifre decimali disponibilibull i risultati finali devono invece riportare tutte le cifre significative

Notazione ScientificaNotazione Scientifica

4

Spesso ci si deve confrontare con grandezze espresse da numeri molto grandi o molto piccoli cosigrave si preferisce utilizzare una scrittura piugrave compatta detta notazione scientifica

Un numero a scritto in notazione scientifica si presenta nella forma a = k∙10n

dove k egrave un numero decimale1le klt10 e n un numero intero positivo o negativo

Operativamente si contano il numero n di posti di cui si deve spostare la virgola al fine di ottenere un numero k tale che 1le lt10 opportunamente arrotondato Se a egrave maggiore o uguale ad 1 si scrive come a = k∙10 (es 12000 12 104)Se a egrave compreso tra 0 e 1 si scrive come a = k∙10minus (es 00043 43 10-3)

Lrsquo ordine di grandezza egrave la potenza di 10 piugrave vicina al numero

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS)

Unitagrave fondamentali

5

Grandezza fisica Unitagrave di misura simbolo

Lunghezza metro m

Massa chilogrammo Kg

Tempo secondo s

Intensitagrave di corrente Ampere A

Temperatura kelvin K

Intensitagrave luminosa candela Cd

Quantitagrave di sostanza mole mol

Nel 1889 la Confeacuterence Geacuteneacuterale des Poids et Mesures introduce il sistema MKS basato rispettivamente sul metro sul chilogrammo e sul secondo Nel 1961 la CGPM introduce il Sistema Internazionale ampliando il numero di unitagrave fondamentali quindi il numero di quelle derivate

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Unitagrave Derivate (dalle fondamentali)

6

Grandezza fisica Unitagrave SI Equivalenza in Unitagrave Fondamentali

Frequenza Hertz - Hz = sminus1

Forza Newton - N = kgmiddot mmiddot sminus2

Pressione Pascal - Pa = Nmiddot mminus2=kgmiddot mminus1middot sminus2

Energia lavoro calore Joule - J = Nmiddot m = kgmiddot m2middot sminus2

Carica elettrica Coulomb ndash C = Jmiddot sminus1 = kgmiddot m2middot sminus3

Resistenza elettrica Ohm - Ω =Vmiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus3middot Aminus2

Capacitagrave elettrica Farad - F =Cmiddot Vminus1=s4middot A2middot mminus2middot kgminus1

Densitagrave flusso magnetico Tesla - T =Vmiddot smiddot mminus2=kgmiddot sminus2middot Aminus1

Flusso magnetico Weber ndash W = Vmiddot s = m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus1

Induttanza Henry - H = Vmiddot smiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus2

Angolo piano Radiante - rad = mmiddot mminus1

Angolo solido Steradiante - sr = m2middot mminus2

Ecchellip

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Prefissi Moltiplicativi

7

Prefisso Abbrev Fattore Prefisso Abbrev Fattore

decadeca da 10 decideci d 10-1

ettoetto h 102 centicenti c 10-2

kilokilo K 103 millimilli m 10-3

megamega M 106 micromicro micro 10-6

gigagiga G 109 nanonano n 10-9

teratera T 1012 picopico p 10-12

petapeta P 1015 femtofemto f 10-15

exaexa E 1018 attoatto a 10-18

zettazetta Z 1021 zeptozepto z 10-21

yottayotta Y 1024 yoctoyocto y 10-24

Sistema Sistema cgscgs

8

Il sistema CGS egrave un sistema di unitagrave di misura basato sulle unitagrave centimetro grammo e secondo da cui vengono derivate le altre Nacque nel 1832 da una proposta di Gauss e ampliato da Maxwell e Kelvin nel 1874 con laggiunta delle unitagrave elettromagnetiche Gli ordini di grandezza di molte delle unitagrave CGS crearono problemi per luso pratico cosigrave questo sistema non ebbe mai un riconoscimento generale al di fuori del campo dellelettrodinamica e fu gradualmente abbandonato a fine lsquo800

Grandezza fisica

Unitagrave di misura

Simbolo Rapporto con le unitagrave SI

Lunghezza centimetro cm = 10minus2 m

Massa grammo g = 10minus3 kg

Tempo secondo s = s

Tempo svedberg =10-13 s

Accelerazione galileo 1Ga=1cmssup2 =10-2 ms2

Forza dyne 1dyn=1gmiddotcmssup2 =10minus5 N

Energia erg 1erg=1gmiddotcmsup2ssup2 =10minus7 J

Potenza erg sec 1ergs=1gmiddotcmsup2ssup3 =10minus7W

Pressione baria 1Ba=1dyncmsup2=1g(cmmiddotssup2) = 10minus1 Pa

Viscositagrave poise 1P=1g(cmmiddots) = 10minus1Pamiddots

Equazioni DimensionaliEquazioni Dimensionali

9

Funzioni algebriche = funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle 4 operazioni dellaritmetica e dellelevamento a potenza

ESEMPIO EQ DIM Verificare se la seguente espressione egrave dimensionalmente correttaF = mg + PS [F] = [forza] = [M][L][ T ]-2 [S] = [superficie] = [L]2

[m] = [massa] = [M] [g] = [accelerazione] = [L][ T ]-2

[P] = [pressione] = [FS] = [M][L]-1[ T ]-2

Otteniamo [M][L][ T ]-2 = [M][L][ T ]-2 + [M][L][ T ]-2 ma due grandezze con stessa dimensione possono essere sommate quindi lrsquoeq dimensionale egrave verificata

Funzioni trascendenti = funzioni non algebriche cioegrave che contengano operazioni diverse dalle 4 operazioni dellaritmetica e dalloperazione di potenza Esempi logaritmo esponenziale espressioni trigonometricheGli argomenti di queste funzioni devono essere adimensionali

ESEMPIO EQ DIM Trovare la dimensione della costante di decadimento λSoluzione approx del decadimento radioattivo N(t) = N0 e-λt (decadimento esponenziale)N(t) e N0 sono rispettivamente il n di particelle decadute al tempo t e il n di particelle iniziali Preoccupiamoci dellrsquoesponente che deve essere adimensionaleSapendo che [t] = [tempo] = [ T ] per avere un esponente adimensionale[] = [vita media particelle] = [ T ]-1 ed infatti =1λ N(t) = N0 e-t

Cambiamento dellrsquoUnitagrave di MisuraCambiamento dellrsquoUnitagrave di Misura

Se 1m2 = 104cm2 allora Area = 15m2 (104cm2 1m2 ) = 15104cm2 = 15 105cm2

Lrsquoacqua ha densitagrave ρ =100103 kgm3 e la vogliamo esprimere in gcm3 Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

A quanti kmh corre un centometrista se ci mette 10s per fare 100m Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

10

Data una grandezza q con misura (q) ed unitagrave di misura [Q] per convertirla in una nuova unitagrave di misura [Q] si utilizza la relazioneq = (q)[q] = (q)[q] (q)= (q)[q] [q] = (q)c con c = [q] [q] rapporto tra le 2unitagrave con stessa dimensione

In pratica si moltiplica per una quantitagrave unitaria che ldquocancellardquo la vecchia unitagrave o per rapporti unitari

ESEMPI

Scalari e VettoriScalari e Vettori

11

Esistono grandezze completamente determinate da un numeronumero e da unrsquounitagrave di unrsquounitagrave di misuramisura dette SCALARI che vengono trattate con le regole dellrsquoalgebra ordinariaSi indicano con lettere maiuscole o minuscoleEsempi massa m lunghezza l tempo t energia E temperatura T densitagrave ρhellip

Esistono grandezze dette VETTORI che per essere determinate necessitano di-- ampiezza o moduloampiezza o modulo-- direzionedirezione-- versoverso-- unitagrave di misuraunitagrave di misuraUn vettore egrave rappresentato graficamente da una freccia (segmento orientato) la cui lunghezza corrisponde al modulo del vettore la sua direzione coincide con quella del vettore e la punta stabilisce il verso del vettoreSi indicano con lettere maiuscole o minuscole in grassetto oppure con una freccetta sopraEsempi velocitagrave v o v accelerazione a o a pressione P o P hellipLrsquoampiezza del vettore invece si indica semplicemente con la lettera senza freccetta o non in grassetto quindi v oppure mettendo in valore assoluto la lettera in grassetto o quella con la freccetta quindi | v | o | v |

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

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1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

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3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

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5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Cifre Significative e ArrotondamentiCifre Significative e Arrotondamenti

3

Cifre significatine nelle OPERAZIONIOPERAZIONIbull Moltiplicazione e divisione si conserva un numero di cifre significative del numero con precisione minorebull Somma e sottrazione si conserva un numero di cifre decimali quantequelle del numero che ha meno cifre decimali

Eliminando le cifre non significative si fanno gli ARROTONDAMENTIARROTONDAMENTI ovvero si tronca il numero al numero di cifre significative voluto e si trattano quelle in eccesso come una frazione decimalebull se la frazione egrave ge di 05 si incrementa la cifra meno significativabull se la frazione egrave lt di 05 non si incrementa

Nella risoluzione dei problemi si deve tener presente che considerando solo le cifre significative si possono introdurre errori di arrotondamento quindibull i risultati intermedi vanno scritti a matita o salvati nella calcolatrice con tutte le cifre decimali disponibilibull i risultati finali devono invece riportare tutte le cifre significative

Notazione ScientificaNotazione Scientifica

4

Spesso ci si deve confrontare con grandezze espresse da numeri molto grandi o molto piccoli cosigrave si preferisce utilizzare una scrittura piugrave compatta detta notazione scientifica

Un numero a scritto in notazione scientifica si presenta nella forma a = k∙10n

dove k egrave un numero decimale1le klt10 e n un numero intero positivo o negativo

Operativamente si contano il numero n di posti di cui si deve spostare la virgola al fine di ottenere un numero k tale che 1le lt10 opportunamente arrotondato Se a egrave maggiore o uguale ad 1 si scrive come a = k∙10 (es 12000 12 104)Se a egrave compreso tra 0 e 1 si scrive come a = k∙10minus (es 00043 43 10-3)

Lrsquo ordine di grandezza egrave la potenza di 10 piugrave vicina al numero

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS)

Unitagrave fondamentali

5

Grandezza fisica Unitagrave di misura simbolo

Lunghezza metro m

Massa chilogrammo Kg

Tempo secondo s

Intensitagrave di corrente Ampere A

Temperatura kelvin K

Intensitagrave luminosa candela Cd

Quantitagrave di sostanza mole mol

Nel 1889 la Confeacuterence Geacuteneacuterale des Poids et Mesures introduce il sistema MKS basato rispettivamente sul metro sul chilogrammo e sul secondo Nel 1961 la CGPM introduce il Sistema Internazionale ampliando il numero di unitagrave fondamentali quindi il numero di quelle derivate

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Unitagrave Derivate (dalle fondamentali)

6

Grandezza fisica Unitagrave SI Equivalenza in Unitagrave Fondamentali

Frequenza Hertz - Hz = sminus1

Forza Newton - N = kgmiddot mmiddot sminus2

Pressione Pascal - Pa = Nmiddot mminus2=kgmiddot mminus1middot sminus2

Energia lavoro calore Joule - J = Nmiddot m = kgmiddot m2middot sminus2

Carica elettrica Coulomb ndash C = Jmiddot sminus1 = kgmiddot m2middot sminus3

Resistenza elettrica Ohm - Ω =Vmiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus3middot Aminus2

Capacitagrave elettrica Farad - F =Cmiddot Vminus1=s4middot A2middot mminus2middot kgminus1

Densitagrave flusso magnetico Tesla - T =Vmiddot smiddot mminus2=kgmiddot sminus2middot Aminus1

Flusso magnetico Weber ndash W = Vmiddot s = m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus1

Induttanza Henry - H = Vmiddot smiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus2

Angolo piano Radiante - rad = mmiddot mminus1

Angolo solido Steradiante - sr = m2middot mminus2

Ecchellip

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Prefissi Moltiplicativi

7

Prefisso Abbrev Fattore Prefisso Abbrev Fattore

decadeca da 10 decideci d 10-1

ettoetto h 102 centicenti c 10-2

kilokilo K 103 millimilli m 10-3

megamega M 106 micromicro micro 10-6

gigagiga G 109 nanonano n 10-9

teratera T 1012 picopico p 10-12

petapeta P 1015 femtofemto f 10-15

exaexa E 1018 attoatto a 10-18

zettazetta Z 1021 zeptozepto z 10-21

yottayotta Y 1024 yoctoyocto y 10-24

Sistema Sistema cgscgs

8

Il sistema CGS egrave un sistema di unitagrave di misura basato sulle unitagrave centimetro grammo e secondo da cui vengono derivate le altre Nacque nel 1832 da una proposta di Gauss e ampliato da Maxwell e Kelvin nel 1874 con laggiunta delle unitagrave elettromagnetiche Gli ordini di grandezza di molte delle unitagrave CGS crearono problemi per luso pratico cosigrave questo sistema non ebbe mai un riconoscimento generale al di fuori del campo dellelettrodinamica e fu gradualmente abbandonato a fine lsquo800

Grandezza fisica

Unitagrave di misura

Simbolo Rapporto con le unitagrave SI

Lunghezza centimetro cm = 10minus2 m

Massa grammo g = 10minus3 kg

Tempo secondo s = s

Tempo svedberg =10-13 s

Accelerazione galileo 1Ga=1cmssup2 =10-2 ms2

Forza dyne 1dyn=1gmiddotcmssup2 =10minus5 N

Energia erg 1erg=1gmiddotcmsup2ssup2 =10minus7 J

Potenza erg sec 1ergs=1gmiddotcmsup2ssup3 =10minus7W

Pressione baria 1Ba=1dyncmsup2=1g(cmmiddotssup2) = 10minus1 Pa

Viscositagrave poise 1P=1g(cmmiddots) = 10minus1Pamiddots

Equazioni DimensionaliEquazioni Dimensionali

9

Funzioni algebriche = funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle 4 operazioni dellaritmetica e dellelevamento a potenza

ESEMPIO EQ DIM Verificare se la seguente espressione egrave dimensionalmente correttaF = mg + PS [F] = [forza] = [M][L][ T ]-2 [S] = [superficie] = [L]2

[m] = [massa] = [M] [g] = [accelerazione] = [L][ T ]-2

[P] = [pressione] = [FS] = [M][L]-1[ T ]-2

Otteniamo [M][L][ T ]-2 = [M][L][ T ]-2 + [M][L][ T ]-2 ma due grandezze con stessa dimensione possono essere sommate quindi lrsquoeq dimensionale egrave verificata

Funzioni trascendenti = funzioni non algebriche cioegrave che contengano operazioni diverse dalle 4 operazioni dellaritmetica e dalloperazione di potenza Esempi logaritmo esponenziale espressioni trigonometricheGli argomenti di queste funzioni devono essere adimensionali

ESEMPIO EQ DIM Trovare la dimensione della costante di decadimento λSoluzione approx del decadimento radioattivo N(t) = N0 e-λt (decadimento esponenziale)N(t) e N0 sono rispettivamente il n di particelle decadute al tempo t e il n di particelle iniziali Preoccupiamoci dellrsquoesponente che deve essere adimensionaleSapendo che [t] = [tempo] = [ T ] per avere un esponente adimensionale[] = [vita media particelle] = [ T ]-1 ed infatti =1λ N(t) = N0 e-t

Cambiamento dellrsquoUnitagrave di MisuraCambiamento dellrsquoUnitagrave di Misura

Se 1m2 = 104cm2 allora Area = 15m2 (104cm2 1m2 ) = 15104cm2 = 15 105cm2

Lrsquoacqua ha densitagrave ρ =100103 kgm3 e la vogliamo esprimere in gcm3 Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

A quanti kmh corre un centometrista se ci mette 10s per fare 100m Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

10

Data una grandezza q con misura (q) ed unitagrave di misura [Q] per convertirla in una nuova unitagrave di misura [Q] si utilizza la relazioneq = (q)[q] = (q)[q] (q)= (q)[q] [q] = (q)c con c = [q] [q] rapporto tra le 2unitagrave con stessa dimensione

In pratica si moltiplica per una quantitagrave unitaria che ldquocancellardquo la vecchia unitagrave o per rapporti unitari

ESEMPI

Scalari e VettoriScalari e Vettori

11

Esistono grandezze completamente determinate da un numeronumero e da unrsquounitagrave di unrsquounitagrave di misuramisura dette SCALARI che vengono trattate con le regole dellrsquoalgebra ordinariaSi indicano con lettere maiuscole o minuscoleEsempi massa m lunghezza l tempo t energia E temperatura T densitagrave ρhellip

Esistono grandezze dette VETTORI che per essere determinate necessitano di-- ampiezza o moduloampiezza o modulo-- direzionedirezione-- versoverso-- unitagrave di misuraunitagrave di misuraUn vettore egrave rappresentato graficamente da una freccia (segmento orientato) la cui lunghezza corrisponde al modulo del vettore la sua direzione coincide con quella del vettore e la punta stabilisce il verso del vettoreSi indicano con lettere maiuscole o minuscole in grassetto oppure con una freccetta sopraEsempi velocitagrave v o v accelerazione a o a pressione P o P hellipLrsquoampiezza del vettore invece si indica semplicemente con la lettera senza freccetta o non in grassetto quindi v oppure mettendo in valore assoluto la lettera in grassetto o quella con la freccetta quindi | v | o | v |

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Notazione ScientificaNotazione Scientifica

4

Spesso ci si deve confrontare con grandezze espresse da numeri molto grandi o molto piccoli cosigrave si preferisce utilizzare una scrittura piugrave compatta detta notazione scientifica

Un numero a scritto in notazione scientifica si presenta nella forma a = k∙10n

dove k egrave un numero decimale1le klt10 e n un numero intero positivo o negativo

Operativamente si contano il numero n di posti di cui si deve spostare la virgola al fine di ottenere un numero k tale che 1le lt10 opportunamente arrotondato Se a egrave maggiore o uguale ad 1 si scrive come a = k∙10 (es 12000 12 104)Se a egrave compreso tra 0 e 1 si scrive come a = k∙10minus (es 00043 43 10-3)

Lrsquo ordine di grandezza egrave la potenza di 10 piugrave vicina al numero

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS)

Unitagrave fondamentali

5

Grandezza fisica Unitagrave di misura simbolo

Lunghezza metro m

Massa chilogrammo Kg

Tempo secondo s

Intensitagrave di corrente Ampere A

Temperatura kelvin K

Intensitagrave luminosa candela Cd

Quantitagrave di sostanza mole mol

Nel 1889 la Confeacuterence Geacuteneacuterale des Poids et Mesures introduce il sistema MKS basato rispettivamente sul metro sul chilogrammo e sul secondo Nel 1961 la CGPM introduce il Sistema Internazionale ampliando il numero di unitagrave fondamentali quindi il numero di quelle derivate

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Unitagrave Derivate (dalle fondamentali)

6

Grandezza fisica Unitagrave SI Equivalenza in Unitagrave Fondamentali

Frequenza Hertz - Hz = sminus1

Forza Newton - N = kgmiddot mmiddot sminus2

Pressione Pascal - Pa = Nmiddot mminus2=kgmiddot mminus1middot sminus2

Energia lavoro calore Joule - J = Nmiddot m = kgmiddot m2middot sminus2

Carica elettrica Coulomb ndash C = Jmiddot sminus1 = kgmiddot m2middot sminus3

Resistenza elettrica Ohm - Ω =Vmiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus3middot Aminus2

Capacitagrave elettrica Farad - F =Cmiddot Vminus1=s4middot A2middot mminus2middot kgminus1

Densitagrave flusso magnetico Tesla - T =Vmiddot smiddot mminus2=kgmiddot sminus2middot Aminus1

Flusso magnetico Weber ndash W = Vmiddot s = m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus1

Induttanza Henry - H = Vmiddot smiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus2

Angolo piano Radiante - rad = mmiddot mminus1

Angolo solido Steradiante - sr = m2middot mminus2

Ecchellip

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Prefissi Moltiplicativi

7

Prefisso Abbrev Fattore Prefisso Abbrev Fattore

decadeca da 10 decideci d 10-1

ettoetto h 102 centicenti c 10-2

kilokilo K 103 millimilli m 10-3

megamega M 106 micromicro micro 10-6

gigagiga G 109 nanonano n 10-9

teratera T 1012 picopico p 10-12

petapeta P 1015 femtofemto f 10-15

exaexa E 1018 attoatto a 10-18

zettazetta Z 1021 zeptozepto z 10-21

yottayotta Y 1024 yoctoyocto y 10-24

Sistema Sistema cgscgs

8

Il sistema CGS egrave un sistema di unitagrave di misura basato sulle unitagrave centimetro grammo e secondo da cui vengono derivate le altre Nacque nel 1832 da una proposta di Gauss e ampliato da Maxwell e Kelvin nel 1874 con laggiunta delle unitagrave elettromagnetiche Gli ordini di grandezza di molte delle unitagrave CGS crearono problemi per luso pratico cosigrave questo sistema non ebbe mai un riconoscimento generale al di fuori del campo dellelettrodinamica e fu gradualmente abbandonato a fine lsquo800

Grandezza fisica

Unitagrave di misura

Simbolo Rapporto con le unitagrave SI

Lunghezza centimetro cm = 10minus2 m

Massa grammo g = 10minus3 kg

Tempo secondo s = s

Tempo svedberg =10-13 s

Accelerazione galileo 1Ga=1cmssup2 =10-2 ms2

Forza dyne 1dyn=1gmiddotcmssup2 =10minus5 N

Energia erg 1erg=1gmiddotcmsup2ssup2 =10minus7 J

Potenza erg sec 1ergs=1gmiddotcmsup2ssup3 =10minus7W

Pressione baria 1Ba=1dyncmsup2=1g(cmmiddotssup2) = 10minus1 Pa

Viscositagrave poise 1P=1g(cmmiddots) = 10minus1Pamiddots

Equazioni DimensionaliEquazioni Dimensionali

9

Funzioni algebriche = funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle 4 operazioni dellaritmetica e dellelevamento a potenza

ESEMPIO EQ DIM Verificare se la seguente espressione egrave dimensionalmente correttaF = mg + PS [F] = [forza] = [M][L][ T ]-2 [S] = [superficie] = [L]2

[m] = [massa] = [M] [g] = [accelerazione] = [L][ T ]-2

[P] = [pressione] = [FS] = [M][L]-1[ T ]-2

Otteniamo [M][L][ T ]-2 = [M][L][ T ]-2 + [M][L][ T ]-2 ma due grandezze con stessa dimensione possono essere sommate quindi lrsquoeq dimensionale egrave verificata

Funzioni trascendenti = funzioni non algebriche cioegrave che contengano operazioni diverse dalle 4 operazioni dellaritmetica e dalloperazione di potenza Esempi logaritmo esponenziale espressioni trigonometricheGli argomenti di queste funzioni devono essere adimensionali

ESEMPIO EQ DIM Trovare la dimensione della costante di decadimento λSoluzione approx del decadimento radioattivo N(t) = N0 e-λt (decadimento esponenziale)N(t) e N0 sono rispettivamente il n di particelle decadute al tempo t e il n di particelle iniziali Preoccupiamoci dellrsquoesponente che deve essere adimensionaleSapendo che [t] = [tempo] = [ T ] per avere un esponente adimensionale[] = [vita media particelle] = [ T ]-1 ed infatti =1λ N(t) = N0 e-t

Cambiamento dellrsquoUnitagrave di MisuraCambiamento dellrsquoUnitagrave di Misura

Se 1m2 = 104cm2 allora Area = 15m2 (104cm2 1m2 ) = 15104cm2 = 15 105cm2

Lrsquoacqua ha densitagrave ρ =100103 kgm3 e la vogliamo esprimere in gcm3 Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

A quanti kmh corre un centometrista se ci mette 10s per fare 100m Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

10

Data una grandezza q con misura (q) ed unitagrave di misura [Q] per convertirla in una nuova unitagrave di misura [Q] si utilizza la relazioneq = (q)[q] = (q)[q] (q)= (q)[q] [q] = (q)c con c = [q] [q] rapporto tra le 2unitagrave con stessa dimensione

In pratica si moltiplica per una quantitagrave unitaria che ldquocancellardquo la vecchia unitagrave o per rapporti unitari

ESEMPI

Scalari e VettoriScalari e Vettori

11

Esistono grandezze completamente determinate da un numeronumero e da unrsquounitagrave di unrsquounitagrave di misuramisura dette SCALARI che vengono trattate con le regole dellrsquoalgebra ordinariaSi indicano con lettere maiuscole o minuscoleEsempi massa m lunghezza l tempo t energia E temperatura T densitagrave ρhellip

Esistono grandezze dette VETTORI che per essere determinate necessitano di-- ampiezza o moduloampiezza o modulo-- direzionedirezione-- versoverso-- unitagrave di misuraunitagrave di misuraUn vettore egrave rappresentato graficamente da una freccia (segmento orientato) la cui lunghezza corrisponde al modulo del vettore la sua direzione coincide con quella del vettore e la punta stabilisce il verso del vettoreSi indicano con lettere maiuscole o minuscole in grassetto oppure con una freccetta sopraEsempi velocitagrave v o v accelerazione a o a pressione P o P hellipLrsquoampiezza del vettore invece si indica semplicemente con la lettera senza freccetta o non in grassetto quindi v oppure mettendo in valore assoluto la lettera in grassetto o quella con la freccetta quindi | v | o | v |

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS)

Unitagrave fondamentali

5

Grandezza fisica Unitagrave di misura simbolo

Lunghezza metro m

Massa chilogrammo Kg

Tempo secondo s

Intensitagrave di corrente Ampere A

Temperatura kelvin K

Intensitagrave luminosa candela Cd

Quantitagrave di sostanza mole mol

Nel 1889 la Confeacuterence Geacuteneacuterale des Poids et Mesures introduce il sistema MKS basato rispettivamente sul metro sul chilogrammo e sul secondo Nel 1961 la CGPM introduce il Sistema Internazionale ampliando il numero di unitagrave fondamentali quindi il numero di quelle derivate

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Unitagrave Derivate (dalle fondamentali)

6

Grandezza fisica Unitagrave SI Equivalenza in Unitagrave Fondamentali

Frequenza Hertz - Hz = sminus1

Forza Newton - N = kgmiddot mmiddot sminus2

Pressione Pascal - Pa = Nmiddot mminus2=kgmiddot mminus1middot sminus2

Energia lavoro calore Joule - J = Nmiddot m = kgmiddot m2middot sminus2

Carica elettrica Coulomb ndash C = Jmiddot sminus1 = kgmiddot m2middot sminus3

Resistenza elettrica Ohm - Ω =Vmiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus3middot Aminus2

Capacitagrave elettrica Farad - F =Cmiddot Vminus1=s4middot A2middot mminus2middot kgminus1

Densitagrave flusso magnetico Tesla - T =Vmiddot smiddot mminus2=kgmiddot sminus2middot Aminus1

Flusso magnetico Weber ndash W = Vmiddot s = m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus1

Induttanza Henry - H = Vmiddot smiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus2

Angolo piano Radiante - rad = mmiddot mminus1

Angolo solido Steradiante - sr = m2middot mminus2

Ecchellip

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Prefissi Moltiplicativi

7

Prefisso Abbrev Fattore Prefisso Abbrev Fattore

decadeca da 10 decideci d 10-1

ettoetto h 102 centicenti c 10-2

kilokilo K 103 millimilli m 10-3

megamega M 106 micromicro micro 10-6

gigagiga G 109 nanonano n 10-9

teratera T 1012 picopico p 10-12

petapeta P 1015 femtofemto f 10-15

exaexa E 1018 attoatto a 10-18

zettazetta Z 1021 zeptozepto z 10-21

yottayotta Y 1024 yoctoyocto y 10-24

Sistema Sistema cgscgs

8

Il sistema CGS egrave un sistema di unitagrave di misura basato sulle unitagrave centimetro grammo e secondo da cui vengono derivate le altre Nacque nel 1832 da una proposta di Gauss e ampliato da Maxwell e Kelvin nel 1874 con laggiunta delle unitagrave elettromagnetiche Gli ordini di grandezza di molte delle unitagrave CGS crearono problemi per luso pratico cosigrave questo sistema non ebbe mai un riconoscimento generale al di fuori del campo dellelettrodinamica e fu gradualmente abbandonato a fine lsquo800

Grandezza fisica

Unitagrave di misura

Simbolo Rapporto con le unitagrave SI

Lunghezza centimetro cm = 10minus2 m

Massa grammo g = 10minus3 kg

Tempo secondo s = s

Tempo svedberg =10-13 s

Accelerazione galileo 1Ga=1cmssup2 =10-2 ms2

Forza dyne 1dyn=1gmiddotcmssup2 =10minus5 N

Energia erg 1erg=1gmiddotcmsup2ssup2 =10minus7 J

Potenza erg sec 1ergs=1gmiddotcmsup2ssup3 =10minus7W

Pressione baria 1Ba=1dyncmsup2=1g(cmmiddotssup2) = 10minus1 Pa

Viscositagrave poise 1P=1g(cmmiddots) = 10minus1Pamiddots

Equazioni DimensionaliEquazioni Dimensionali

9

Funzioni algebriche = funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle 4 operazioni dellaritmetica e dellelevamento a potenza

ESEMPIO EQ DIM Verificare se la seguente espressione egrave dimensionalmente correttaF = mg + PS [F] = [forza] = [M][L][ T ]-2 [S] = [superficie] = [L]2

[m] = [massa] = [M] [g] = [accelerazione] = [L][ T ]-2

[P] = [pressione] = [FS] = [M][L]-1[ T ]-2

Otteniamo [M][L][ T ]-2 = [M][L][ T ]-2 + [M][L][ T ]-2 ma due grandezze con stessa dimensione possono essere sommate quindi lrsquoeq dimensionale egrave verificata

Funzioni trascendenti = funzioni non algebriche cioegrave che contengano operazioni diverse dalle 4 operazioni dellaritmetica e dalloperazione di potenza Esempi logaritmo esponenziale espressioni trigonometricheGli argomenti di queste funzioni devono essere adimensionali

ESEMPIO EQ DIM Trovare la dimensione della costante di decadimento λSoluzione approx del decadimento radioattivo N(t) = N0 e-λt (decadimento esponenziale)N(t) e N0 sono rispettivamente il n di particelle decadute al tempo t e il n di particelle iniziali Preoccupiamoci dellrsquoesponente che deve essere adimensionaleSapendo che [t] = [tempo] = [ T ] per avere un esponente adimensionale[] = [vita media particelle] = [ T ]-1 ed infatti =1λ N(t) = N0 e-t

Cambiamento dellrsquoUnitagrave di MisuraCambiamento dellrsquoUnitagrave di Misura

Se 1m2 = 104cm2 allora Area = 15m2 (104cm2 1m2 ) = 15104cm2 = 15 105cm2

Lrsquoacqua ha densitagrave ρ =100103 kgm3 e la vogliamo esprimere in gcm3 Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

A quanti kmh corre un centometrista se ci mette 10s per fare 100m Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

10

Data una grandezza q con misura (q) ed unitagrave di misura [Q] per convertirla in una nuova unitagrave di misura [Q] si utilizza la relazioneq = (q)[q] = (q)[q] (q)= (q)[q] [q] = (q)c con c = [q] [q] rapporto tra le 2unitagrave con stessa dimensione

In pratica si moltiplica per una quantitagrave unitaria che ldquocancellardquo la vecchia unitagrave o per rapporti unitari

ESEMPI

Scalari e VettoriScalari e Vettori

11

Esistono grandezze completamente determinate da un numeronumero e da unrsquounitagrave di unrsquounitagrave di misuramisura dette SCALARI che vengono trattate con le regole dellrsquoalgebra ordinariaSi indicano con lettere maiuscole o minuscoleEsempi massa m lunghezza l tempo t energia E temperatura T densitagrave ρhellip

Esistono grandezze dette VETTORI che per essere determinate necessitano di-- ampiezza o moduloampiezza o modulo-- direzionedirezione-- versoverso-- unitagrave di misuraunitagrave di misuraUn vettore egrave rappresentato graficamente da una freccia (segmento orientato) la cui lunghezza corrisponde al modulo del vettore la sua direzione coincide con quella del vettore e la punta stabilisce il verso del vettoreSi indicano con lettere maiuscole o minuscole in grassetto oppure con una freccetta sopraEsempi velocitagrave v o v accelerazione a o a pressione P o P hellipLrsquoampiezza del vettore invece si indica semplicemente con la lettera senza freccetta o non in grassetto quindi v oppure mettendo in valore assoluto la lettera in grassetto o quella con la freccetta quindi | v | o | v |

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Unitagrave Derivate (dalle fondamentali)

6

Grandezza fisica Unitagrave SI Equivalenza in Unitagrave Fondamentali

Frequenza Hertz - Hz = sminus1

Forza Newton - N = kgmiddot mmiddot sminus2

Pressione Pascal - Pa = Nmiddot mminus2=kgmiddot mminus1middot sminus2

Energia lavoro calore Joule - J = Nmiddot m = kgmiddot m2middot sminus2

Carica elettrica Coulomb ndash C = Jmiddot sminus1 = kgmiddot m2middot sminus3

Resistenza elettrica Ohm - Ω =Vmiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus3middot Aminus2

Capacitagrave elettrica Farad - F =Cmiddot Vminus1=s4middot A2middot mminus2middot kgminus1

Densitagrave flusso magnetico Tesla - T =Vmiddot smiddot mminus2=kgmiddot sminus2middot Aminus1

Flusso magnetico Weber ndash W = Vmiddot s = m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus1

Induttanza Henry - H = Vmiddot smiddot Aminus1=m2middot kgmiddot sminus2middot Aminus2

Angolo piano Radiante - rad = mmiddot mminus1

Angolo solido Steradiante - sr = m2middot mminus2

Ecchellip

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Prefissi Moltiplicativi

7

Prefisso Abbrev Fattore Prefisso Abbrev Fattore

decadeca da 10 decideci d 10-1

ettoetto h 102 centicenti c 10-2

kilokilo K 103 millimilli m 10-3

megamega M 106 micromicro micro 10-6

gigagiga G 109 nanonano n 10-9

teratera T 1012 picopico p 10-12

petapeta P 1015 femtofemto f 10-15

exaexa E 1018 attoatto a 10-18

zettazetta Z 1021 zeptozepto z 10-21

yottayotta Y 1024 yoctoyocto y 10-24

Sistema Sistema cgscgs

8

Il sistema CGS egrave un sistema di unitagrave di misura basato sulle unitagrave centimetro grammo e secondo da cui vengono derivate le altre Nacque nel 1832 da una proposta di Gauss e ampliato da Maxwell e Kelvin nel 1874 con laggiunta delle unitagrave elettromagnetiche Gli ordini di grandezza di molte delle unitagrave CGS crearono problemi per luso pratico cosigrave questo sistema non ebbe mai un riconoscimento generale al di fuori del campo dellelettrodinamica e fu gradualmente abbandonato a fine lsquo800

Grandezza fisica

Unitagrave di misura

Simbolo Rapporto con le unitagrave SI

Lunghezza centimetro cm = 10minus2 m

Massa grammo g = 10minus3 kg

Tempo secondo s = s

Tempo svedberg =10-13 s

Accelerazione galileo 1Ga=1cmssup2 =10-2 ms2

Forza dyne 1dyn=1gmiddotcmssup2 =10minus5 N

Energia erg 1erg=1gmiddotcmsup2ssup2 =10minus7 J

Potenza erg sec 1ergs=1gmiddotcmsup2ssup3 =10minus7W

Pressione baria 1Ba=1dyncmsup2=1g(cmmiddotssup2) = 10minus1 Pa

Viscositagrave poise 1P=1g(cmmiddots) = 10minus1Pamiddots

Equazioni DimensionaliEquazioni Dimensionali

9

Funzioni algebriche = funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle 4 operazioni dellaritmetica e dellelevamento a potenza

ESEMPIO EQ DIM Verificare se la seguente espressione egrave dimensionalmente correttaF = mg + PS [F] = [forza] = [M][L][ T ]-2 [S] = [superficie] = [L]2

[m] = [massa] = [M] [g] = [accelerazione] = [L][ T ]-2

[P] = [pressione] = [FS] = [M][L]-1[ T ]-2

Otteniamo [M][L][ T ]-2 = [M][L][ T ]-2 + [M][L][ T ]-2 ma due grandezze con stessa dimensione possono essere sommate quindi lrsquoeq dimensionale egrave verificata

Funzioni trascendenti = funzioni non algebriche cioegrave che contengano operazioni diverse dalle 4 operazioni dellaritmetica e dalloperazione di potenza Esempi logaritmo esponenziale espressioni trigonometricheGli argomenti di queste funzioni devono essere adimensionali

ESEMPIO EQ DIM Trovare la dimensione della costante di decadimento λSoluzione approx del decadimento radioattivo N(t) = N0 e-λt (decadimento esponenziale)N(t) e N0 sono rispettivamente il n di particelle decadute al tempo t e il n di particelle iniziali Preoccupiamoci dellrsquoesponente che deve essere adimensionaleSapendo che [t] = [tempo] = [ T ] per avere un esponente adimensionale[] = [vita media particelle] = [ T ]-1 ed infatti =1λ N(t) = N0 e-t

Cambiamento dellrsquoUnitagrave di MisuraCambiamento dellrsquoUnitagrave di Misura

Se 1m2 = 104cm2 allora Area = 15m2 (104cm2 1m2 ) = 15104cm2 = 15 105cm2

Lrsquoacqua ha densitagrave ρ =100103 kgm3 e la vogliamo esprimere in gcm3 Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

A quanti kmh corre un centometrista se ci mette 10s per fare 100m Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

10

Data una grandezza q con misura (q) ed unitagrave di misura [Q] per convertirla in una nuova unitagrave di misura [Q] si utilizza la relazioneq = (q)[q] = (q)[q] (q)= (q)[q] [q] = (q)c con c = [q] [q] rapporto tra le 2unitagrave con stessa dimensione

In pratica si moltiplica per una quantitagrave unitaria che ldquocancellardquo la vecchia unitagrave o per rapporti unitari

ESEMPI

Scalari e VettoriScalari e Vettori

11

Esistono grandezze completamente determinate da un numeronumero e da unrsquounitagrave di unrsquounitagrave di misuramisura dette SCALARI che vengono trattate con le regole dellrsquoalgebra ordinariaSi indicano con lettere maiuscole o minuscoleEsempi massa m lunghezza l tempo t energia E temperatura T densitagrave ρhellip

Esistono grandezze dette VETTORI che per essere determinate necessitano di-- ampiezza o moduloampiezza o modulo-- direzionedirezione-- versoverso-- unitagrave di misuraunitagrave di misuraUn vettore egrave rappresentato graficamente da una freccia (segmento orientato) la cui lunghezza corrisponde al modulo del vettore la sua direzione coincide con quella del vettore e la punta stabilisce il verso del vettoreSi indicano con lettere maiuscole o minuscole in grassetto oppure con una freccetta sopraEsempi velocitagrave v o v accelerazione a o a pressione P o P hellipLrsquoampiezza del vettore invece si indica semplicemente con la lettera senza freccetta o non in grassetto quindi v oppure mettendo in valore assoluto la lettera in grassetto o quella con la freccetta quindi | v | o | v |

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Sistema Internazionale SI (ex MKS)Sistema Internazionale SI (ex MKS) Prefissi Moltiplicativi

7

Prefisso Abbrev Fattore Prefisso Abbrev Fattore

decadeca da 10 decideci d 10-1

ettoetto h 102 centicenti c 10-2

kilokilo K 103 millimilli m 10-3

megamega M 106 micromicro micro 10-6

gigagiga G 109 nanonano n 10-9

teratera T 1012 picopico p 10-12

petapeta P 1015 femtofemto f 10-15

exaexa E 1018 attoatto a 10-18

zettazetta Z 1021 zeptozepto z 10-21

yottayotta Y 1024 yoctoyocto y 10-24

Sistema Sistema cgscgs

8

Il sistema CGS egrave un sistema di unitagrave di misura basato sulle unitagrave centimetro grammo e secondo da cui vengono derivate le altre Nacque nel 1832 da una proposta di Gauss e ampliato da Maxwell e Kelvin nel 1874 con laggiunta delle unitagrave elettromagnetiche Gli ordini di grandezza di molte delle unitagrave CGS crearono problemi per luso pratico cosigrave questo sistema non ebbe mai un riconoscimento generale al di fuori del campo dellelettrodinamica e fu gradualmente abbandonato a fine lsquo800

Grandezza fisica

Unitagrave di misura

Simbolo Rapporto con le unitagrave SI

Lunghezza centimetro cm = 10minus2 m

Massa grammo g = 10minus3 kg

Tempo secondo s = s

Tempo svedberg =10-13 s

Accelerazione galileo 1Ga=1cmssup2 =10-2 ms2

Forza dyne 1dyn=1gmiddotcmssup2 =10minus5 N

Energia erg 1erg=1gmiddotcmsup2ssup2 =10minus7 J

Potenza erg sec 1ergs=1gmiddotcmsup2ssup3 =10minus7W

Pressione baria 1Ba=1dyncmsup2=1g(cmmiddotssup2) = 10minus1 Pa

Viscositagrave poise 1P=1g(cmmiddots) = 10minus1Pamiddots

Equazioni DimensionaliEquazioni Dimensionali

9

Funzioni algebriche = funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle 4 operazioni dellaritmetica e dellelevamento a potenza

ESEMPIO EQ DIM Verificare se la seguente espressione egrave dimensionalmente correttaF = mg + PS [F] = [forza] = [M][L][ T ]-2 [S] = [superficie] = [L]2

[m] = [massa] = [M] [g] = [accelerazione] = [L][ T ]-2

[P] = [pressione] = [FS] = [M][L]-1[ T ]-2

Otteniamo [M][L][ T ]-2 = [M][L][ T ]-2 + [M][L][ T ]-2 ma due grandezze con stessa dimensione possono essere sommate quindi lrsquoeq dimensionale egrave verificata

Funzioni trascendenti = funzioni non algebriche cioegrave che contengano operazioni diverse dalle 4 operazioni dellaritmetica e dalloperazione di potenza Esempi logaritmo esponenziale espressioni trigonometricheGli argomenti di queste funzioni devono essere adimensionali

ESEMPIO EQ DIM Trovare la dimensione della costante di decadimento λSoluzione approx del decadimento radioattivo N(t) = N0 e-λt (decadimento esponenziale)N(t) e N0 sono rispettivamente il n di particelle decadute al tempo t e il n di particelle iniziali Preoccupiamoci dellrsquoesponente che deve essere adimensionaleSapendo che [t] = [tempo] = [ T ] per avere un esponente adimensionale[] = [vita media particelle] = [ T ]-1 ed infatti =1λ N(t) = N0 e-t

Cambiamento dellrsquoUnitagrave di MisuraCambiamento dellrsquoUnitagrave di Misura

Se 1m2 = 104cm2 allora Area = 15m2 (104cm2 1m2 ) = 15104cm2 = 15 105cm2

Lrsquoacqua ha densitagrave ρ =100103 kgm3 e la vogliamo esprimere in gcm3 Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

A quanti kmh corre un centometrista se ci mette 10s per fare 100m Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

10

Data una grandezza q con misura (q) ed unitagrave di misura [Q] per convertirla in una nuova unitagrave di misura [Q] si utilizza la relazioneq = (q)[q] = (q)[q] (q)= (q)[q] [q] = (q)c con c = [q] [q] rapporto tra le 2unitagrave con stessa dimensione

In pratica si moltiplica per una quantitagrave unitaria che ldquocancellardquo la vecchia unitagrave o per rapporti unitari

ESEMPI

Scalari e VettoriScalari e Vettori

11

Esistono grandezze completamente determinate da un numeronumero e da unrsquounitagrave di unrsquounitagrave di misuramisura dette SCALARI che vengono trattate con le regole dellrsquoalgebra ordinariaSi indicano con lettere maiuscole o minuscoleEsempi massa m lunghezza l tempo t energia E temperatura T densitagrave ρhellip

Esistono grandezze dette VETTORI che per essere determinate necessitano di-- ampiezza o moduloampiezza o modulo-- direzionedirezione-- versoverso-- unitagrave di misuraunitagrave di misuraUn vettore egrave rappresentato graficamente da una freccia (segmento orientato) la cui lunghezza corrisponde al modulo del vettore la sua direzione coincide con quella del vettore e la punta stabilisce il verso del vettoreSi indicano con lettere maiuscole o minuscole in grassetto oppure con una freccetta sopraEsempi velocitagrave v o v accelerazione a o a pressione P o P hellipLrsquoampiezza del vettore invece si indica semplicemente con la lettera senza freccetta o non in grassetto quindi v oppure mettendo in valore assoluto la lettera in grassetto o quella con la freccetta quindi | v | o | v |

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Sistema Sistema cgscgs

8

Il sistema CGS egrave un sistema di unitagrave di misura basato sulle unitagrave centimetro grammo e secondo da cui vengono derivate le altre Nacque nel 1832 da una proposta di Gauss e ampliato da Maxwell e Kelvin nel 1874 con laggiunta delle unitagrave elettromagnetiche Gli ordini di grandezza di molte delle unitagrave CGS crearono problemi per luso pratico cosigrave questo sistema non ebbe mai un riconoscimento generale al di fuori del campo dellelettrodinamica e fu gradualmente abbandonato a fine lsquo800

Grandezza fisica

Unitagrave di misura

Simbolo Rapporto con le unitagrave SI

Lunghezza centimetro cm = 10minus2 m

Massa grammo g = 10minus3 kg

Tempo secondo s = s

Tempo svedberg =10-13 s

Accelerazione galileo 1Ga=1cmssup2 =10-2 ms2

Forza dyne 1dyn=1gmiddotcmssup2 =10minus5 N

Energia erg 1erg=1gmiddotcmsup2ssup2 =10minus7 J

Potenza erg sec 1ergs=1gmiddotcmsup2ssup3 =10minus7W

Pressione baria 1Ba=1dyncmsup2=1g(cmmiddotssup2) = 10minus1 Pa

Viscositagrave poise 1P=1g(cmmiddots) = 10minus1Pamiddots

Equazioni DimensionaliEquazioni Dimensionali

9

Funzioni algebriche = funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle 4 operazioni dellaritmetica e dellelevamento a potenza

ESEMPIO EQ DIM Verificare se la seguente espressione egrave dimensionalmente correttaF = mg + PS [F] = [forza] = [M][L][ T ]-2 [S] = [superficie] = [L]2

[m] = [massa] = [M] [g] = [accelerazione] = [L][ T ]-2

[P] = [pressione] = [FS] = [M][L]-1[ T ]-2

Otteniamo [M][L][ T ]-2 = [M][L][ T ]-2 + [M][L][ T ]-2 ma due grandezze con stessa dimensione possono essere sommate quindi lrsquoeq dimensionale egrave verificata

Funzioni trascendenti = funzioni non algebriche cioegrave che contengano operazioni diverse dalle 4 operazioni dellaritmetica e dalloperazione di potenza Esempi logaritmo esponenziale espressioni trigonometricheGli argomenti di queste funzioni devono essere adimensionali

ESEMPIO EQ DIM Trovare la dimensione della costante di decadimento λSoluzione approx del decadimento radioattivo N(t) = N0 e-λt (decadimento esponenziale)N(t) e N0 sono rispettivamente il n di particelle decadute al tempo t e il n di particelle iniziali Preoccupiamoci dellrsquoesponente che deve essere adimensionaleSapendo che [t] = [tempo] = [ T ] per avere un esponente adimensionale[] = [vita media particelle] = [ T ]-1 ed infatti =1λ N(t) = N0 e-t

Cambiamento dellrsquoUnitagrave di MisuraCambiamento dellrsquoUnitagrave di Misura

Se 1m2 = 104cm2 allora Area = 15m2 (104cm2 1m2 ) = 15104cm2 = 15 105cm2

Lrsquoacqua ha densitagrave ρ =100103 kgm3 e la vogliamo esprimere in gcm3 Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

A quanti kmh corre un centometrista se ci mette 10s per fare 100m Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

10

Data una grandezza q con misura (q) ed unitagrave di misura [Q] per convertirla in una nuova unitagrave di misura [Q] si utilizza la relazioneq = (q)[q] = (q)[q] (q)= (q)[q] [q] = (q)c con c = [q] [q] rapporto tra le 2unitagrave con stessa dimensione

In pratica si moltiplica per una quantitagrave unitaria che ldquocancellardquo la vecchia unitagrave o per rapporti unitari

ESEMPI

Scalari e VettoriScalari e Vettori

11

Esistono grandezze completamente determinate da un numeronumero e da unrsquounitagrave di unrsquounitagrave di misuramisura dette SCALARI che vengono trattate con le regole dellrsquoalgebra ordinariaSi indicano con lettere maiuscole o minuscoleEsempi massa m lunghezza l tempo t energia E temperatura T densitagrave ρhellip

Esistono grandezze dette VETTORI che per essere determinate necessitano di-- ampiezza o moduloampiezza o modulo-- direzionedirezione-- versoverso-- unitagrave di misuraunitagrave di misuraUn vettore egrave rappresentato graficamente da una freccia (segmento orientato) la cui lunghezza corrisponde al modulo del vettore la sua direzione coincide con quella del vettore e la punta stabilisce il verso del vettoreSi indicano con lettere maiuscole o minuscole in grassetto oppure con una freccetta sopraEsempi velocitagrave v o v accelerazione a o a pressione P o P hellipLrsquoampiezza del vettore invece si indica semplicemente con la lettera senza freccetta o non in grassetto quindi v oppure mettendo in valore assoluto la lettera in grassetto o quella con la freccetta quindi | v | o | v |

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Equazioni DimensionaliEquazioni Dimensionali

9

Funzioni algebriche = funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle 4 operazioni dellaritmetica e dellelevamento a potenza

ESEMPIO EQ DIM Verificare se la seguente espressione egrave dimensionalmente correttaF = mg + PS [F] = [forza] = [M][L][ T ]-2 [S] = [superficie] = [L]2

[m] = [massa] = [M] [g] = [accelerazione] = [L][ T ]-2

[P] = [pressione] = [FS] = [M][L]-1[ T ]-2

Otteniamo [M][L][ T ]-2 = [M][L][ T ]-2 + [M][L][ T ]-2 ma due grandezze con stessa dimensione possono essere sommate quindi lrsquoeq dimensionale egrave verificata

Funzioni trascendenti = funzioni non algebriche cioegrave che contengano operazioni diverse dalle 4 operazioni dellaritmetica e dalloperazione di potenza Esempi logaritmo esponenziale espressioni trigonometricheGli argomenti di queste funzioni devono essere adimensionali

ESEMPIO EQ DIM Trovare la dimensione della costante di decadimento λSoluzione approx del decadimento radioattivo N(t) = N0 e-λt (decadimento esponenziale)N(t) e N0 sono rispettivamente il n di particelle decadute al tempo t e il n di particelle iniziali Preoccupiamoci dellrsquoesponente che deve essere adimensionaleSapendo che [t] = [tempo] = [ T ] per avere un esponente adimensionale[] = [vita media particelle] = [ T ]-1 ed infatti =1λ N(t) = N0 e-t

Cambiamento dellrsquoUnitagrave di MisuraCambiamento dellrsquoUnitagrave di Misura

Se 1m2 = 104cm2 allora Area = 15m2 (104cm2 1m2 ) = 15104cm2 = 15 105cm2

Lrsquoacqua ha densitagrave ρ =100103 kgm3 e la vogliamo esprimere in gcm3 Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

A quanti kmh corre un centometrista se ci mette 10s per fare 100m Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

10

Data una grandezza q con misura (q) ed unitagrave di misura [Q] per convertirla in una nuova unitagrave di misura [Q] si utilizza la relazioneq = (q)[q] = (q)[q] (q)= (q)[q] [q] = (q)c con c = [q] [q] rapporto tra le 2unitagrave con stessa dimensione

In pratica si moltiplica per una quantitagrave unitaria che ldquocancellardquo la vecchia unitagrave o per rapporti unitari

ESEMPI

Scalari e VettoriScalari e Vettori

11

Esistono grandezze completamente determinate da un numeronumero e da unrsquounitagrave di unrsquounitagrave di misuramisura dette SCALARI che vengono trattate con le regole dellrsquoalgebra ordinariaSi indicano con lettere maiuscole o minuscoleEsempi massa m lunghezza l tempo t energia E temperatura T densitagrave ρhellip

Esistono grandezze dette VETTORI che per essere determinate necessitano di-- ampiezza o moduloampiezza o modulo-- direzionedirezione-- versoverso-- unitagrave di misuraunitagrave di misuraUn vettore egrave rappresentato graficamente da una freccia (segmento orientato) la cui lunghezza corrisponde al modulo del vettore la sua direzione coincide con quella del vettore e la punta stabilisce il verso del vettoreSi indicano con lettere maiuscole o minuscole in grassetto oppure con una freccetta sopraEsempi velocitagrave v o v accelerazione a o a pressione P o P hellipLrsquoampiezza del vettore invece si indica semplicemente con la lettera senza freccetta o non in grassetto quindi v oppure mettendo in valore assoluto la lettera in grassetto o quella con la freccetta quindi | v | o | v |

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

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2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Cambiamento dellrsquoUnitagrave di MisuraCambiamento dellrsquoUnitagrave di Misura

Se 1m2 = 104cm2 allora Area = 15m2 (104cm2 1m2 ) = 15104cm2 = 15 105cm2

Lrsquoacqua ha densitagrave ρ =100103 kgm3 e la vogliamo esprimere in gcm3 Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

A quanti kmh corre un centometrista se ci mette 10s per fare 100m Sappiamo che 1kg=103g e che 1m3=106cm3 quindi possiamo moltiplicare il nostro valore di ρ per il nuovo rapporto di unitagrave di misura e ottenere

10

Data una grandezza q con misura (q) ed unitagrave di misura [Q] per convertirla in una nuova unitagrave di misura [Q] si utilizza la relazioneq = (q)[q] = (q)[q] (q)= (q)[q] [q] = (q)c con c = [q] [q] rapporto tra le 2unitagrave con stessa dimensione

In pratica si moltiplica per una quantitagrave unitaria che ldquocancellardquo la vecchia unitagrave o per rapporti unitari

ESEMPI

Scalari e VettoriScalari e Vettori

11

Esistono grandezze completamente determinate da un numeronumero e da unrsquounitagrave di unrsquounitagrave di misuramisura dette SCALARI che vengono trattate con le regole dellrsquoalgebra ordinariaSi indicano con lettere maiuscole o minuscoleEsempi massa m lunghezza l tempo t energia E temperatura T densitagrave ρhellip

Esistono grandezze dette VETTORI che per essere determinate necessitano di-- ampiezza o moduloampiezza o modulo-- direzionedirezione-- versoverso-- unitagrave di misuraunitagrave di misuraUn vettore egrave rappresentato graficamente da una freccia (segmento orientato) la cui lunghezza corrisponde al modulo del vettore la sua direzione coincide con quella del vettore e la punta stabilisce il verso del vettoreSi indicano con lettere maiuscole o minuscole in grassetto oppure con una freccetta sopraEsempi velocitagrave v o v accelerazione a o a pressione P o P hellipLrsquoampiezza del vettore invece si indica semplicemente con la lettera senza freccetta o non in grassetto quindi v oppure mettendo in valore assoluto la lettera in grassetto o quella con la freccetta quindi | v | o | v |

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Scalari e VettoriScalari e Vettori

11

Esistono grandezze completamente determinate da un numeronumero e da unrsquounitagrave di unrsquounitagrave di misuramisura dette SCALARI che vengono trattate con le regole dellrsquoalgebra ordinariaSi indicano con lettere maiuscole o minuscoleEsempi massa m lunghezza l tempo t energia E temperatura T densitagrave ρhellip

Esistono grandezze dette VETTORI che per essere determinate necessitano di-- ampiezza o moduloampiezza o modulo-- direzionedirezione-- versoverso-- unitagrave di misuraunitagrave di misuraUn vettore egrave rappresentato graficamente da una freccia (segmento orientato) la cui lunghezza corrisponde al modulo del vettore la sua direzione coincide con quella del vettore e la punta stabilisce il verso del vettoreSi indicano con lettere maiuscole o minuscole in grassetto oppure con una freccetta sopraEsempi velocitagrave v o v accelerazione a o a pressione P o P hellipLrsquoampiezza del vettore invece si indica semplicemente con la lettera senza freccetta o non in grassetto quindi v oppure mettendo in valore assoluto la lettera in grassetto o quella con la freccetta quindi | v | o | v |

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

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5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

12

Un vettore puograve essere espresso1) attraverso le sue componenti A=(Ax Ay Az)2) attraverso la sua ampiezza e la sua direzione (data dallrsquoangolo che forma

con lrsquoasse x e z di riferimento) A=(A α β)3) attraverso la sua ampiezza e il versore relativo alla sua direzione A=AeA

1) Le componenti di un vettore sono le proiezioni lungo gli assi del sistema di riferimento e sono univocamente determinate solo se viene precisato lrsquoSDR usato

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 2 DIM

Componenti vettore A

Ax = A cosαAy = A senα

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

13

SDR cartesiano (gli assi tra diloro formano angoli retti) 3 DIM

Componenti vettore A

Ax = A senβ cosαAy = A senβ senαAz = A cosβ

Queste si chiamano coordinate sferiche o polari

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Vettori e ComponentiVettori e Componenti

14

2) Per esprimere il vettore in funzione di ampiezza e direzione possiamo usare il teorema di Pitagora e ottenere in 2DIM le relazioni

3) Introduciamo un vettore di lunghezza unitaria avente una particolare direzione detto VERSORE (adimensionale) Possiamo allora scrivere il nostro vettore A=AeA dove eA egrave il versore con la direzione di A Per convenzione si indicano i versori degli assi di riferimento con le lettere i j e k rispettivamente per lrsquoasse x y e z Ora possiamo esprimere il vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi di riferimento cioegrave in funzione delle sue componenti vettorialiA = Axi + Ayj dove Axi e Ayj sono le componenti

vettoriali del vettore A

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

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3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

15

1) SOMMAProprietagrave - regola del parallelogramma

- commutativitagrave a+b = b+a- associativitagrave (a+b)+c = a+(b+c)- elemento neutro (vettore nullo che egrave un punto)

Il vettore somma egrave la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori da sommare presi con la stessa origine ed ha come componenti la somma delle componenti oppure se vengono messi i vettori da sommare uno di seguito allrsquoaltro il vettore somma egrave il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

16

2) DIFFERENZADobbiamo calcolare a-b maa-b = a + (-b)a questo punto possiamo trattare questa espressione come la somma di 2

vettori Il vettore -b egrave il vettore b semplicemente con verso opposto quindi basta

utilizzare la regola del parallelogramma e prendendo la diagonale minore oppure mettere i vettori uno di seguito allrsquoaltro e prendere il vettore che congiunge il punto iniziale del primo e la fine del secondo

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

17

3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

18

5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

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3) PRODOTTO PER UNO SCALAREaA = Arsquo Arsquo egrave ancora un vettore con - stessa direzione di A

- stesso verso se agt0- modulo aA

Proprietagrave - distributivitagrave c(a+b) = ca+cb- elemento neutro (1)

Questa operazione permette di allungare o accorciare il vettore oppure di invertirne il verso (se a=-1)

Segue da questa operazione la possibilitagrave di rappresentare un vettore come A=AeA modulo per versore

4) PRODOTTO SCALAREAB = ABcosα egrave uno scalareProprietagrave - commutativitagrave a b = b a

- distributivitagrave a(b+c) = ab + ac- condizione di ortogonalitagrave se AB = ABcos90deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAcos0deg = A2

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

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5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare

Calcolo VettorialeCalcolo Vettoriale

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5) PRODOTTO VETTORIALEA x B = (ABsenα)n = C C egrave un vettore con - direzione piano di AB

- verso vite destrorsa- modulo Absenα

Proprietagrave - anticommutativitagrave a x b = -b x a- distributivitagrave a x(b+c) = a x b + a x c- moltiplicazione per uno scalare c

c(a x b) = ca x b = a x cb- condizione di parallelismo se AB = ABsen0deg = 0- prodotto per se stesso AA = AAsen0deg = 0

6) PRODOTTO MISTOAB x C = A [BCsenβ] cosα = gt 0 se α acuto

lt 0 se α ottusoProprietagrave AB x C = BC x A = CA x B

Per trasformazioni cicliche dei fattori il prodotto non cambia- rotazioni positive prodotto=volume- rotazioni negative prodotto= - volume egrave uno scalare