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Indice Capitale interesse Interesse semplice Interesse composto Annualita Poliannualita r nominale e r effettivo
Corso di EstimoElementi di Matematica Finanziaria
Luciano Gutierrez
Dipartimento di Agraria
Corso di Scienze e Tecnologie Agrarie
Luciano Gutierrez Dipartimento di Agraria
Corso di Estimo Elementi di Matematica Finanziaria
Indice Capitale interesse Interesse semplice Interesse composto Annualita Poliannualita r nominale e r effettivo
Indice argomenti
Capitale e Interesse
Interesse semplice
Interesse composto
Annualita
Poliannualita
r nominale e r effettivo
Luciano Gutierrez Dipartimento di Agraria
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Capitale e Interesse
Interesse semplice
Interesse composto
Annualita
Poliannualita
r nominale e r effettivo
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Capitale e Interesse
Interesse semplice
Interesse composto
Annualita
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r nominale e r effettivo
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Capitale e Interesse
Interesse semplice
Interesse composto
Annualita
Poliannualita
r nominale e r effettivo
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Capitale e Interesse
Interesse semplice
Interesse composto
Annualita
Poliannualita
r nominale e r effettivo
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Capitale e Interesse
Interesse semplice
Interesse composto
Annualita
Poliannualita
r nominale e r effettivo
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Capitale e Interesse
Si definisce in estimo Capitale, C , uno stock di monetadisponibile in un dato momento.
Si definisce interesse, I , l’ammontare di moneta dovuta perdisporre del capitale C per un determinato periodo di tempo.L’interesse rappresenta il prezzo per l’uso del capitale C .
Si definisce con tasso di interesse, r , l’interesse maturato dauna un’unita di capitale (1 e).
Solitamente e definito in termini percentuali 3% (per ogni 100e di C si richiedono 3 e di I ), o anche in termini unitari 0.03(per 1 e di C richiedo 0.03 di I )
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Capitale e Interesse
Si definisce in estimo Capitale, C , uno stock di monetadisponibile in un dato momento.
Si definisce interesse, I , l’ammontare di moneta dovuta perdisporre del capitale C per un determinato periodo di tempo.L’interesse rappresenta il prezzo per l’uso del capitale C .
Si definisce con tasso di interesse, r , l’interesse maturato dauna un’unita di capitale (1 e).
Solitamente e definito in termini percentuali 3% (per ogni 100e di C si richiedono 3 e di I ), o anche in termini unitari 0.03(per 1 e di C richiedo 0.03 di I )
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Capitale e Interesse
Si definisce in estimo Capitale, C , uno stock di monetadisponibile in un dato momento.
Si definisce interesse, I , l’ammontare di moneta dovuta perdisporre del capitale C per un determinato periodo di tempo.L’interesse rappresenta il prezzo per l’uso del capitale C .
Si definisce con tasso di interesse, r , l’interesse maturato dauna un’unita di capitale (1 e).
Solitamente e definito in termini percentuali 3% (per ogni 100e di C si richiedono 3 e di I ), o anche in termini unitari 0.03(per 1 e di C richiedo 0.03 di I )
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Capitale e Interesse
Si definisce in estimo Capitale, C , uno stock di monetadisponibile in un dato momento.
Si definisce interesse, I , l’ammontare di moneta dovuta perdisporre del capitale C per un determinato periodo di tempo.L’interesse rappresenta il prezzo per l’uso del capitale C .
Si definisce con tasso di interesse, r , l’interesse maturato dauna un’unita di capitale (1 e).
Solitamente e definito in termini percentuali 3% (per ogni 100e di C si richiedono 3 e di I ), o anche in termini unitari 0.03(per 1 e di C richiedo 0.03 di I )
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Interesse semplice e interesse composto
L’interesse di definisce semplice se gli interessi maturati in unperiodo non si sommano a quelli del periodo successivo.
L’interesse di definisce composto se gli interessi maturati in unperiodo si sommano a quelli del periodo successivo.
La maturazione (pagamento) degli interessi puo avvenire conperiodi di tempo diversi, anno, semestre, trimestre, mese.
Risulta importante, quindi, definire se il tasso di interesse siaun tasso di interesse annuale, semestrale...
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Interesse semplice e interesse composto
L’interesse di definisce semplice se gli interessi maturati in unperiodo non si sommano a quelli del periodo successivo.
L’interesse di definisce composto se gli interessi maturati in unperiodo si sommano a quelli del periodo successivo.
La maturazione (pagamento) degli interessi puo avvenire conperiodi di tempo diversi, anno, semestre, trimestre, mese.
Risulta importante, quindi, definire se il tasso di interesse siaun tasso di interesse annuale, semestrale...
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Interesse semplice e interesse composto
L’interesse di definisce semplice se gli interessi maturati in unperiodo non si sommano a quelli del periodo successivo.
L’interesse di definisce composto se gli interessi maturati in unperiodo si sommano a quelli del periodo successivo.
La maturazione (pagamento) degli interessi puo avvenire conperiodi di tempo diversi, anno, semestre, trimestre, mese.
Risulta importante, quindi, definire se il tasso di interesse siaun tasso di interesse annuale, semestrale...
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Interesse semplice e interesse composto
L’interesse di definisce semplice se gli interessi maturati in unperiodo non si sommano a quelli del periodo successivo.
L’interesse di definisce composto se gli interessi maturati in unperiodo si sommano a quelli del periodo successivo.
La maturazione (pagamento) degli interessi puo avvenire conperiodi di tempo diversi, anno, semestre, trimestre, mese.
Risulta importante, quindi, definire se il tasso di interesse siaun tasso di interesse annuale, semestrale...
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Interesse semplice e interesse composto
Indichiamo con n la durata dell’operazione in numero di annio frazioni di anni.
n = 2, la durata dell’operazione e di 2 anni.
n = 312 , 0.25 e la frazione di anno.
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Interesse semplice e interesse composto
Indichiamo con n la durata dell’operazione in numero di annio frazioni di anni.
n = 2, la durata dell’operazione e di 2 anni.
n = 312 , 0.25 e la frazione di anno.
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Interesse semplice e interesse composto
Indichiamo con n la durata dell’operazione in numero di annio frazioni di anni.
n = 2, la durata dell’operazione e di 2 anni.
n = 312 , 0.25 e la frazione di anno.
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Formule di calcolo
Nel calcolo dell’interesse semplice gli interessi I vengonoliquidati alla fine del periodo.
Dato un capitale iniziale C0, una durata n e un tasso diinteresse (unitario) annuale r , gli interessi I saranno dati da:
I = C0 × r × n
Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.
I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.
I calcoli possono essere effettuati usando un foglio elettronico
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Formule di calcolo
Nel calcolo dell’interesse semplice gli interessi I vengonoliquidati alla fine del periodo.
Dato un capitale iniziale C0, una durata n e un tasso diinteresse (unitario) annuale r , gli interessi I saranno dati da:
I = C0 × r × n
Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.
I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.
I calcoli possono essere effettuati usando un foglio elettronico
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Formule di calcolo
Nel calcolo dell’interesse semplice gli interessi I vengonoliquidati alla fine del periodo.
Dato un capitale iniziale C0, una durata n e un tasso diinteresse (unitario) annuale r , gli interessi I saranno dati da:
I = C0 × r × n
Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.
I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.
I calcoli possono essere effettuati usando un foglio elettronico
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Formule di calcolo
Nel calcolo dell’interesse semplice gli interessi I vengonoliquidati alla fine del periodo.
Dato un capitale iniziale C0, una durata n e un tasso diinteresse (unitario) annuale r , gli interessi I saranno dati da:
I = C0 × r × n
Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.
I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.
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Formule di calcolo
Nel calcolo dell’interesse semplice gli interessi I vengonoliquidati alla fine del periodo.
Dato un capitale iniziale C0, una durata n e un tasso diinteresse (unitario) annuale r , gli interessi I saranno dati da:
I = C0 × r × n
Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.
I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.
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Formule di calcolo
Nel calcolo dell’interesse semplice gli interessi I vengonoliquidati alla fine del periodo.
Dato un capitale iniziale C0, una durata n e un tasso diinteresse (unitario) annuale r , gli interessi I saranno dati da:
I = C0 × r × n
Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.
I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.
I calcoli possono essere effettuati usando un foglio elettronico
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Esempio
Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 250/365, 250 giornidobbiamo ricostruire la frazione rispetto all’anno.
I = 10.000 × 0.05 × 250365 = 342.47.
Es: C0 = 5.000 e, r = 0.04, n = 4/12, 4 mesi dobbiamoricostruire la frazione rispetto all’anno.
I = 5.000 × 0.04 × 412 = 66.67.
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Esempio
Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 250/365, 250 giornidobbiamo ricostruire la frazione rispetto all’anno.
I = 10.000 × 0.05 × 250365 = 342.47.
Es: C0 = 5.000 e, r = 0.04, n = 4/12, 4 mesi dobbiamoricostruire la frazione rispetto all’anno.
I = 5.000 × 0.04 × 412 = 66.67.
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Esempio
Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 250/365, 250 giornidobbiamo ricostruire la frazione rispetto all’anno.
I = 10.000 × 0.05 × 250365 = 342.47.
Es: C0 = 5.000 e, r = 0.04, n = 4/12, 4 mesi dobbiamoricostruire la frazione rispetto all’anno.
I = 5.000 × 0.04 × 412 = 66.67.
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Esempio
Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 250/365, 250 giornidobbiamo ricostruire la frazione rispetto all’anno.
I = 10.000 × 0.05 × 250365 = 342.47.
Es: C0 = 5.000 e, r = 0.04, n = 4/12, 4 mesi dobbiamoricostruire la frazione rispetto all’anno.
I = 5.000 × 0.04 × 412 = 66.67.
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Formule inverse
Se conosciamo I , r ed n possiamo ricavare facilmente C0,C0 =
Irn.
Se conosciamo C0, I ed n possiamo ricavare facilmente r ,r = I
C0n.
Se conosciamo C0, r ed n possiamo ricavare facilmente n,n = I
C0r.
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Formule inverse
Se conosciamo I , r ed n possiamo ricavare facilmente C0,C0 =
Irn.
Se conosciamo C0, I ed n possiamo ricavare facilmente r ,r = I
C0n.
Se conosciamo C0, r ed n possiamo ricavare facilmente n,n = I
C0r.
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Formule inverse
Se conosciamo I , r ed n possiamo ricavare facilmente C0,C0 =
Irn.
Se conosciamo C0, I ed n possiamo ricavare facilmente r ,r = I
C0n.
Se conosciamo C0, r ed n possiamo ricavare facilmente n,n = I
C0r.
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Montante
Si definisce montante, Mn, la somma del capitale C e deirelativi interessi I
Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)
Le formule derivate sono:
C0 =Mn
(1+rn) .
Sc = Mn − C0 = Mn
(
1− 1(1+rn)
)
. In questo caso si puo
parlare di sconto Sc invece che di interesse I
r =MnC0
−1
n.
n =MnC0
−1
r.
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Montante
Si definisce montante, Mn, la somma del capitale C e deirelativi interessi I
Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)
Le formule derivate sono:
C0 =Mn
(1+rn) .
Sc = Mn − C0 = Mn
(
1− 1(1+rn)
)
. In questo caso si puo
parlare di sconto Sc invece che di interesse I
r =MnC0
−1
n.
n =MnC0
−1
r.
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Montante
Si definisce montante, Mn, la somma del capitale C e deirelativi interessi I
Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)
Le formule derivate sono:
C0 =Mn
(1+rn) .
Sc = Mn − C0 = Mn
(
1− 1(1+rn)
)
. In questo caso si puo
parlare di sconto Sc invece che di interesse I
r =MnC0
−1
n.
n =MnC0
−1
r.
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Montante
Si definisce montante, Mn, la somma del capitale C e deirelativi interessi I
Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)
Le formule derivate sono:
C0 =Mn
(1+rn) .
Sc = Mn − C0 = Mn
(
1− 1(1+rn)
)
. In questo caso si puo
parlare di sconto Sc invece che di interesse I
r =MnC0
−1
n.
n =MnC0
−1
r.
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Montante
Si definisce montante, Mn, la somma del capitale C e deirelativi interessi I
Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)
Le formule derivate sono:
C0 =Mn
(1+rn) .
Sc = Mn − C0 = Mn
(
1− 1(1+rn)
)
. In questo caso si puo
parlare di sconto Sc invece che di interesse I
r =MnC0
−1
n.
n =MnC0
−1
r.
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Montante
Si definisce montante, Mn, la somma del capitale C e deirelativi interessi I
Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)
Le formule derivate sono:
C0 =Mn
(1+rn) .
Sc = Mn − C0 = Mn
(
1− 1(1+rn)
)
. In questo caso si puo
parlare di sconto Sc invece che di interesse I
r =MnC0
−1
n.
n =MnC0
−1
r.
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Montante
Si definisce montante, Mn, la somma del capitale C e deirelativi interessi I
Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)
Le formule derivate sono:
C0 =Mn
(1+rn) .
Sc = Mn − C0 = Mn
(
1− 1(1+rn)
)
. In questo caso si puo
parlare di sconto Sc invece che di interesse I
r =MnC0
−1
n.
n =MnC0
−1
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Esempio
Calcolare il montante maturato su un capitale di e5000,depositato ad un tasso r del 4% per 213 giorni:
M = 5000(
1 + 0.04 × 213365
)
= 5116.71 e.
Calcolare il capitale iniziale C0, il tasso r , il periodo n e losconto Sc .
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Calcolare il montante maturato su un capitale di e5000,depositato ad un tasso r del 4% per 213 giorni:
M = 5000(
1 + 0.04 × 213365
)
= 5116.71 e.
Calcolare il capitale iniziale C0, il tasso r , il periodo n e losconto Sc .
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Esempio
Calcolare il montante maturato su un capitale di e5000,depositato ad un tasso r del 4% per 213 giorni:
M = 5000(
1 + 0.04 × 213365
)
= 5116.71 e.
Calcolare il capitale iniziale C0, il tasso r , il periodo n e losconto Sc .
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Formule di calcolo
Nel caso di interesse composto, gli interessi si sommano alcapitale nel tempo.
In questo caso avremo che nel caso di interessi annuali
M1 = C0 + I1 = C0 + C0r = C0(1 + r)
Nel secondo periodoM2 = M1 + I2 = M1 +M1r = M1(1 + r) = C0(1 + r)2.
Mn = C0(1 + r)n = C0qn e il montante alla fine del periodo n.
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Formule di calcolo
Nel caso di interesse composto, gli interessi si sommano alcapitale nel tempo.
In questo caso avremo che nel caso di interessi annuali
M1 = C0 + I1 = C0 + C0r = C0(1 + r)
Nel secondo periodoM2 = M1 + I2 = M1 +M1r = M1(1 + r) = C0(1 + r)2.
Mn = C0(1 + r)n = C0qn e il montante alla fine del periodo n.
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Formule di calcolo
Nel caso di interesse composto, gli interessi si sommano alcapitale nel tempo.
In questo caso avremo che nel caso di interessi annuali
M1 = C0 + I1 = C0 + C0r = C0(1 + r)
Nel secondo periodoM2 = M1 + I2 = M1 +M1r = M1(1 + r) = C0(1 + r)2.
Mn = C0(1 + r)n = C0qn e il montante alla fine del periodo n.
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Formule di calcolo
Nel caso di interesse composto, gli interessi si sommano alcapitale nel tempo.
In questo caso avremo che nel caso di interessi annuali
M1 = C0 + I1 = C0 + C0r = C0(1 + r)
Nel secondo periodoM2 = M1 + I2 = M1 +M1r = M1(1 + r) = C0(1 + r)2.
Mn = C0(1 + r)n = C0qn e il montante alla fine del periodo n.
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Formule di calcolo
Nel caso di interesse composto, gli interessi si sommano alcapitale nel tempo.
In questo caso avremo che nel caso di interessi annuali
M1 = C0 + I1 = C0 + C0r = C0(1 + r)
Nel secondo periodoM2 = M1 + I2 = M1 +M1r = M1(1 + r) = C0(1 + r)2.
Mn = C0(1 + r)n = C0qn e il montante alla fine del periodo n.
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Esempio
C0 = 10.000, r = 0.06, n = 6, M6 =?
M6 = 10.000(1 + 0.06)6 = 14185.19 e
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Esempio
C0 = 10.000, r = 0.06, n = 6, M6 =?
M6 = 10.000(1 + 0.06)6 = 14185.19 e
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Formule derivate
Se si deposita oggi in banca la somma di 100000 ead unr = 5%, quale sara l’interesse maturato dopo 8 anni?
I = M8 − C0 = C0(1 + r)8 − C0 = C0(q8− 1) = 47750
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Formule derivate
Se si deposita oggi in banca la somma di 100000 ead unr = 5%, quale sara l’interesse maturato dopo 8 anni?
I = M8 − C0 = C0(1 + r)8 − C0 = C0(q8− 1) = 47750
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Definizioni
Le Annualita sono delle somme che maturano ad intervallicostanti di tempo (ogni anno, ogni semestre, ogni trimestre...)
Le Annualita possono essere posticipate o anticipate aseconda del periodo di scadenza.
Le Annualita possono essere limitate o illimitate.
Si definisce accumulazione finale la somma delle Annualitacapitalizzate alla fine del periodo.
Si definisce accumulazione iniziale la somma delle Annualitaattualizzate all’inizio del periodo.
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Indice Capitale interesse Interesse semplice Interesse composto Annualita Poliannualita r nominale e r effettivo
Definizioni
Le Annualita sono delle somme che maturano ad intervallicostanti di tempo (ogni anno, ogni semestre, ogni trimestre...)
Le Annualita possono essere posticipate o anticipate aseconda del periodo di scadenza.
Le Annualita possono essere limitate o illimitate.
Si definisce accumulazione finale la somma delle Annualitacapitalizzate alla fine del periodo.
Si definisce accumulazione iniziale la somma delle Annualitaattualizzate all’inizio del periodo.
Luciano Gutierrez Dipartimento di Agraria
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Definizioni
Le Annualita sono delle somme che maturano ad intervallicostanti di tempo (ogni anno, ogni semestre, ogni trimestre...)
Le Annualita possono essere posticipate o anticipate aseconda del periodo di scadenza.
Le Annualita possono essere limitate o illimitate.
Si definisce accumulazione finale la somma delle Annualitacapitalizzate alla fine del periodo.
Si definisce accumulazione iniziale la somma delle Annualitaattualizzate all’inizio del periodo.
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Le Annualita possono essere posticipate o anticipate aseconda del periodo di scadenza.
Le Annualita possono essere limitate o illimitate.
Si definisce accumulazione finale la somma delle Annualitacapitalizzate alla fine del periodo.
Si definisce accumulazione iniziale la somma delle Annualitaattualizzate all’inizio del periodo.
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Le Annualita possono essere posticipate o anticipate aseconda del periodo di scadenza.
Le Annualita possono essere limitate o illimitate.
Si definisce accumulazione finale la somma delle Annualitacapitalizzate alla fine del periodo.
Si definisce accumulazione iniziale la somma delle Annualitaattualizzate all’inizio del periodo.
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Accumulazione finale di Annualita posticipate limitate
Definiamo con An l’accumulazione finale delle Annualitaposticipate limitate.
An = aqn−1 + aqn−2 + ...+ aq + a =n
∑
i=1
aqn−i (1)
se moltiplichiamo per q ambo i membri otteniamo
Anq = aqn + aqn−1 + ...+ aq2 + aq (2)
Sottraiamo ora da ambo i membri la (1) otteniamo
Anq−An = aqn+aqn−1+...+aq2+aq−(aqn−1+aqn−2+...+aq+a)(3)
da cui si ottiene
An = aqn − 1
q − 1= a
qn − 1
r(4)
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Accumulazione finale di Annualita posticipate limitate
Definiamo con An l’accumulazione finale delle Annualitaposticipate limitate.
An = aqn−1 + aqn−2 + ...+ aq + a =n
∑
i=1
aqn−i (1)
se moltiplichiamo per q ambo i membri otteniamo
Anq = aqn + aqn−1 + ...+ aq2 + aq (2)
Sottraiamo ora da ambo i membri la (1) otteniamo
Anq−An = aqn+aqn−1+...+aq2+aq−(aqn−1+aqn−2+...+aq+a)(3)
da cui si ottiene
An = aqn − 1
q − 1= a
qn − 1
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Accumulazione finale di Annualita posticipate limitate
Definiamo con An l’accumulazione finale delle Annualitaposticipate limitate.
An = aqn−1 + aqn−2 + ...+ aq + a =n
∑
i=1
aqn−i (1)
se moltiplichiamo per q ambo i membri otteniamo
Anq = aqn + aqn−1 + ...+ aq2 + aq (2)
Sottraiamo ora da ambo i membri la (1) otteniamo
Anq−An = aqn+aqn−1+...+aq2+aq−(aqn−1+aqn−2+...+aq+a)(3)
da cui si ottiene
An = aqn − 1
q − 1= a
qn − 1
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Accumulazione finale di Annualita posticipate limitate
Definiamo con An l’accumulazione finale delle Annualitaposticipate limitate.
An = aqn−1 + aqn−2 + ...+ aq + a =n
∑
i=1
aqn−i (1)
se moltiplichiamo per q ambo i membri otteniamo
Anq = aqn + aqn−1 + ...+ aq2 + aq (2)
Sottraiamo ora da ambo i membri la (1) otteniamo
Anq−An = aqn+aqn−1+...+aq2+aq−(aqn−1+aqn−2+...+aq+a)(3)
da cui si ottiene
An = aqn − 1
q − 1= a
qn − 1
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Esempio
Calcolare l’accumulazione finale An di 10 Annualitaposticipate di 100 e al saggio del 5%.
An = a qn−1r
= 100 (1+0.05)10−10.05 = 1257.79
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Esempio
Calcolare l’accumulazione finale An di 10 Annualitaposticipate di 100 e al saggio del 5%.
An = a qn−1r
= 100 (1+0.05)10−10.05 = 1257.79
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Quote di reintegrazione e ammortamento
Utilizzando la formula sull’accumulazione finale possiamocalcolare le quote per il reintegro dei capitale.
Nel corso di Economia Agraria si e esaminato il problema dellacostituzione delle quote di ammortamento.
Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono esserecalcolate come:
Q = a = Anr
qn−1
Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali daaccantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valoredi e40000 nell’arco di 15 anni al tasso del 5%
Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1
= 1853.67
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Quote di reintegrazione e ammortamento
Utilizzando la formula sull’accumulazione finale possiamocalcolare le quote per il reintegro dei capitale.
Nel corso di Economia Agraria si e esaminato il problema dellacostituzione delle quote di ammortamento.
Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono esserecalcolate come:
Q = a = Anr
qn−1
Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali daaccantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valoredi e40000 nell’arco di 15 anni al tasso del 5%
Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1
= 1853.67
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Quote di reintegrazione e ammortamento
Utilizzando la formula sull’accumulazione finale possiamocalcolare le quote per il reintegro dei capitale.
Nel corso di Economia Agraria si e esaminato il problema dellacostituzione delle quote di ammortamento.
Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono esserecalcolate come:
Q = a = Anr
qn−1
Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali daaccantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valoredi e40000 nell’arco di 15 anni al tasso del 5%
Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1
= 1853.67
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Quote di reintegrazione e ammortamento
Utilizzando la formula sull’accumulazione finale possiamocalcolare le quote per il reintegro dei capitale.
Nel corso di Economia Agraria si e esaminato il problema dellacostituzione delle quote di ammortamento.
Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono esserecalcolate come:
Q = a = Anr
qn−1
Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali daaccantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valoredi e40000 nell’arco di 15 anni al tasso del 5%
Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1
= 1853.67
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Quote di reintegrazione e ammortamento
Utilizzando la formula sull’accumulazione finale possiamocalcolare le quote per il reintegro dei capitale.
Nel corso di Economia Agraria si e esaminato il problema dellacostituzione delle quote di ammortamento.
Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono esserecalcolate come:
Q = a = Anr
qn−1
Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali daaccantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valoredi e40000 nell’arco di 15 anni al tasso del 5%
Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1
= 1853.67
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Quote di reintegrazione e ammortamento
Utilizzando la formula sull’accumulazione finale possiamocalcolare le quote per il reintegro dei capitale.
Nel corso di Economia Agraria si e esaminato il problema dellacostituzione delle quote di ammortamento.
Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono esserecalcolate come:
Q = a = Anr
qn−1
Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali daaccantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valoredi e40000 nell’arco di 15 anni al tasso del 5%
Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1
= 1853.67
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Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualitaposticipate limitate
Definiamo con A0 il valore attuale delle Annualita posticipatelimitate.
A0 =a
qn+
a
qn−1+ ...+
a
q=
n∑
i=1
a
qi(5)
se moltiplico ambo i membri della (5) per 1qe sottraggo
questa nuova equazione alla (5) ottengo
A0 = aqn − 1
rqn(6)
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Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualitaposticipate limitate
Definiamo con A0 il valore attuale delle Annualita posticipatelimitate.
A0 =a
qn+
a
qn−1+ ...+
a
q=
n∑
i=1
a
qi(5)
se moltiplico ambo i membri della (5) per 1qe sottraggo
questa nuova equazione alla (5) ottengo
A0 = aqn − 1
rqn(6)
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Quote di ammortamento di capitali
La quota di ammortamento di capitali e la rata annua osemestrale che si versa per estinguere un debito per undeterminato numero di anni.
Estinzione del debito in rate annue posticipate
La rata R puo essere derivata dall’espressionesull’accumulazione iniziale:
R = a = A0rqn
qn−1
NB: se la rata e semestrale il tasso annuale r deve esserediviso per due e n deve essere moltiplicato per due.
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Quote di ammortamento di capitali
La quota di ammortamento di capitali e la rata annua osemestrale che si versa per estinguere un debito per undeterminato numero di anni.
Estinzione del debito in rate annue posticipate
La rata R puo essere derivata dall’espressionesull’accumulazione iniziale:
R = a = A0rqn
qn−1
NB: se la rata e semestrale il tasso annuale r deve esserediviso per due e n deve essere moltiplicato per due.
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Quote di ammortamento di capitali
La quota di ammortamento di capitali e la rata annua osemestrale che si versa per estinguere un debito per undeterminato numero di anni.
Estinzione del debito in rate annue posticipate
La rata R puo essere derivata dall’espressionesull’accumulazione iniziale:
R = a = A0rqn
qn−1
NB: se la rata e semestrale il tasso annuale r deve esserediviso per due e n deve essere moltiplicato per due.
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Quote di ammortamento di capitali
La quota di ammortamento di capitali e la rata annua osemestrale che si versa per estinguere un debito per undeterminato numero di anni.
Estinzione del debito in rate annue posticipate
La rata R puo essere derivata dall’espressionesull’accumulazione iniziale:
R = a = A0rqn
qn−1
NB: se la rata e semestrale il tasso annuale r deve esserediviso per due e n deve essere moltiplicato per due.
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Quote di ammortamento di capitali
La quota di ammortamento di capitali e la rata annua osemestrale che si versa per estinguere un debito per undeterminato numero di anni.
Estinzione del debito in rate annue posticipate
La rata R puo essere derivata dall’espressionesull’accumulazione iniziale:
R = a = A0rqn
qn−1
NB: se la rata e semestrale il tasso annuale r deve esserediviso per due e n deve essere moltiplicato per due.
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Esempio
Si richiede un prestito di 100000 euro da restituire in 20 annicon rate semestrali costanti al tasso r = 5%. Calcolare la rata:
R = 1000000.025q40
q40−1= 3983.6
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Esempio
Si richiede un prestito di 100000 euro da restituire in 20 annicon rate semestrali costanti al tasso r = 5%. Calcolare la rata:
R = 1000000.025q40
q40−1= 3983.6
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Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualitaposticipate illimitate
Nel caso di annualita posticipate illimitate avremo che n → ∞
Dalla (6).
A0 = limn→∞
aqn − 1
rqn=
a
r(7)
In questo caso conoscendo la annualita a e il tasso r possiamoimmediatamente calcolare il valore attuale A0
Nell’esempio precedente avremo che A0 =1000.05 = 2000.
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Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualitaposticipate illimitate
Nel caso di annualita posticipate illimitate avremo che n → ∞
Dalla (6).
A0 = limn→∞
aqn − 1
rqn=
a
r(7)
In questo caso conoscendo la annualita a e il tasso r possiamoimmediatamente calcolare il valore attuale A0
Nell’esempio precedente avremo che A0 =1000.05 = 2000.
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Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualitaposticipate illimitate
Nel caso di annualita posticipate illimitate avremo che n → ∞
Dalla (6).
A0 = limn→∞
aqn − 1
rqn=
a
r(7)
In questo caso conoscendo la annualita a e il tasso r possiamoimmediatamente calcolare il valore attuale A0
Nell’esempio precedente avremo che A0 =1000.05 = 2000.
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Accumulazione finale di annualita anticipate
Per il calcolo dell’accumulazione finale basta moltiplicare per ilfattore q le formule delle accumulazioni per le Annualitaposticipate:Accumulazione finale annualita anticipate limitate:
An = aqqn − 1
r(8)
Accumulazione iniziale (valore attuale) annualita anticipatelimitate:
A0 = aqqn − 1
rqn(9)
Accumulazione iniziale (valore attuale) annualita anticipateillimitate:
A0 = aq1
r(10)
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Accumulazione finale di annualita anticipate
Per il calcolo dell’accumulazione finale basta moltiplicare per ilfattore q le formule delle accumulazioni per le Annualitaposticipate:Accumulazione finale annualita anticipate limitate:
An = aqqn − 1
r(8)
Accumulazione iniziale (valore attuale) annualita anticipatelimitate:
A0 = aqqn − 1
rqn(9)
Accumulazione iniziale (valore attuale) annualita anticipateillimitate:
A0 = aq1
r(10)
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Accumulazione finale di annualita anticipate
Per il calcolo dell’accumulazione finale basta moltiplicare per ilfattore q le formule delle accumulazioni per le Annualitaposticipate:Accumulazione finale annualita anticipate limitate:
An = aqqn − 1
r(8)
Accumulazione iniziale (valore attuale) annualita anticipatelimitate:
A0 = aqqn − 1
rqn(9)
Accumulazione iniziale (valore attuale) annualita anticipateillimitate:
A0 = aq1
r(10)
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Accumulazione finale di annualita anticipate
Per il calcolo dell’accumulazione finale basta moltiplicare per ilfattore q le formule delle accumulazioni per le Annualitaposticipate:Accumulazione finale annualita anticipate limitate:
An = aqqn − 1
r(8)
Accumulazione iniziale (valore attuale) annualita anticipatelimitate:
A0 = aqqn − 1
rqn(9)
Accumulazione iniziale (valore attuale) annualita anticipateillimitate:
A0 = aq1
r(10)
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Poliannualita
Le poliannualita sono dei valori che si ripetono ognideterminato numero di anni. Esempio, taglio del sughero ogni10 anni.
Occorre in questo caso definire :
n : il numero degli anni del periodo
t : il numero di periodi
P : la periodicita ossia l’ammontare di ognuno di questi valoripoliannuali.
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Poliannualita
Le poliannualita sono dei valori che si ripetono ognideterminato numero di anni. Esempio, taglio del sughero ogni10 anni.
Occorre in questo caso definire :
n : il numero degli anni del periodo
t : il numero di periodi
P : la periodicita ossia l’ammontare di ognuno di questi valoripoliannuali.
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Poliannualita
Le poliannualita sono dei valori che si ripetono ognideterminato numero di anni. Esempio, taglio del sughero ogni10 anni.
Occorre in questo caso definire :
n : il numero degli anni del periodo
t : il numero di periodi
P : la periodicita ossia l’ammontare di ognuno di questi valoripoliannuali.
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Poliannualita
Le poliannualita sono dei valori che si ripetono ognideterminato numero di anni. Esempio, taglio del sughero ogni10 anni.
Occorre in questo caso definire :
n : il numero degli anni del periodo
t : il numero di periodi
P : la periodicita ossia l’ammontare di ognuno di questi valoripoliannuali.
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Poliannualita
Le poliannualita sono dei valori che si ripetono ognideterminato numero di anni. Esempio, taglio del sughero ogni10 anni.
Occorre in questo caso definire :
n : il numero degli anni del periodo
t : il numero di periodi
P : la periodicita ossia l’ammontare di ognuno di questi valoripoliannuali.
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Poliannualita limitate costanti posticipate
Le formule per il calcolo delle accumulazioni finali e inizialidelle poliannualita limitate sono molto simili a quelle delleannualita limitate.
Occorre tener conto che ora n deve essere moltiplicato per ilnumero dei periodi t. Avremo quindi
Atn = P qtn−1qn−1 (i) usa la stessa strategia delle annualita per
trovare il risultato. Provaci!!!
A0 =Atn
qtn= P qtn−1
qn−11qtn
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Poliannualita limitate costanti posticipate
Le formule per il calcolo delle accumulazioni finali e inizialidelle poliannualita limitate sono molto simili a quelle delleannualita limitate.
Occorre tener conto che ora n deve essere moltiplicato per ilnumero dei periodi t. Avremo quindi
Atn = P qtn−1qn−1 (i) usa la stessa strategia delle annualita per
trovare il risultato. Provaci!!!
A0 =Atn
qtn= P qtn−1
qn−11qtn
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Poliannualita limitate costanti posticipate
Le formule per il calcolo delle accumulazioni finali e inizialidelle poliannualita limitate sono molto simili a quelle delleannualita limitate.
Occorre tener conto che ora n deve essere moltiplicato per ilnumero dei periodi t. Avremo quindi
Atn = P qtn−1qn−1 (i) usa la stessa strategia delle annualita per
trovare il risultato. Provaci!!!
A0 =Atn
qtn= P qtn−1
qn−11qtn
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Poliannualita limitate costanti posticipate
Le formule per il calcolo delle accumulazioni finali e inizialidelle poliannualita limitate sono molto simili a quelle delleannualita limitate.
Occorre tener conto che ora n deve essere moltiplicato per ilnumero dei periodi t. Avremo quindi
Atn = P qtn−1qn−1 (i) usa la stessa strategia delle annualita per
trovare il risultato. Provaci!!!
A0 =Atn
qtn= P qtn−1
qn−11qtn
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Poliannualita illimitate costanti posticipate e anticipate
Il risultato puo essere facilmente ricostruito calcolando illimite del caso di poliannualita limitate per tn → ∞
A0 = limtn→∞ P qtn−1qn−1
1qtn
= P 1qn−1
Mentre per le poliannualita illimitate anticipate avremo:
A0 = P qn
qn−1
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Poliannualita illimitate costanti posticipate e anticipate
Il risultato puo essere facilmente ricostruito calcolando illimite del caso di poliannualita limitate per tn → ∞
A0 = limtn→∞ P qtn−1qn−1
1qtn
= P 1qn−1
Mentre per le poliannualita illimitate anticipate avremo:
A0 = P qn
qn−1
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Poliannualita illimitate costanti posticipate e anticipate
Il risultato puo essere facilmente ricostruito calcolando illimite del caso di poliannualita limitate per tn → ∞
A0 = limtn→∞ P qtn−1qn−1
1qtn
= P 1qn−1
Mentre per le poliannualita illimitate anticipate avremo:
A0 = P qn
qn−1
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Poliannualita illimitate costanti posticipate e anticipate
Il risultato puo essere facilmente ricostruito calcolando illimite del caso di poliannualita limitate per tn → ∞
A0 = limtn→∞ P qtn−1qn−1
1qtn
= P 1qn−1
Mentre per le poliannualita illimitate anticipate avremo:
A0 = P qn
qn−1
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Definizioni
Solitamente il tasso di interesse r e espresso in terminiannuali, anche se le annualita maturano per frazioni di anno(es. semestre).
In questo caso occorre utilizzare le formule del montante perricavare dal tasso annuale nominale r il tasso annualeeffettivo. Esempio
Tasso annuale nominale rN = 10%. Tasso semestralenominale 10%
2 = 5%
Tasso annuale effettivo con un tasso semestrale del 5% :rE = (1 + 0.05)2 − 1 = 0.1025, cioe rE = 10.25%
Nel caso di calcolo di anticipazioni in presenza di frazioni dianno occorre utilizzare il tasso di interesse effettivo anzichequello nominale.
Luciano Gutierrez Dipartimento di Agraria
Corso di Estimo Elementi di Matematica Finanziaria
Indice Capitale interesse Interesse semplice Interesse composto Annualita Poliannualita r nominale e r effettivo
Definizioni
Solitamente il tasso di interesse r e espresso in terminiannuali, anche se le annualita maturano per frazioni di anno(es. semestre).
In questo caso occorre utilizzare le formule del montante perricavare dal tasso annuale nominale r il tasso annualeeffettivo. Esempio
Tasso annuale nominale rN = 10%. Tasso semestralenominale 10%
2 = 5%
Tasso annuale effettivo con un tasso semestrale del 5% :rE = (1 + 0.05)2 − 1 = 0.1025, cioe rE = 10.25%
Nel caso di calcolo di anticipazioni in presenza di frazioni dianno occorre utilizzare il tasso di interesse effettivo anzichequello nominale.
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Definizioni
Solitamente il tasso di interesse r e espresso in terminiannuali, anche se le annualita maturano per frazioni di anno(es. semestre).
In questo caso occorre utilizzare le formule del montante perricavare dal tasso annuale nominale r il tasso annualeeffettivo. Esempio
Tasso annuale nominale rN = 10%. Tasso semestralenominale 10%
2 = 5%
Tasso annuale effettivo con un tasso semestrale del 5% :rE = (1 + 0.05)2 − 1 = 0.1025, cioe rE = 10.25%
Nel caso di calcolo di anticipazioni in presenza di frazioni dianno occorre utilizzare il tasso di interesse effettivo anzichequello nominale.
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Definizioni
Solitamente il tasso di interesse r e espresso in terminiannuali, anche se le annualita maturano per frazioni di anno(es. semestre).
In questo caso occorre utilizzare le formule del montante perricavare dal tasso annuale nominale r il tasso annualeeffettivo. Esempio
Tasso annuale nominale rN = 10%. Tasso semestralenominale 10%
2 = 5%
Tasso annuale effettivo con un tasso semestrale del 5% :rE = (1 + 0.05)2 − 1 = 0.1025, cioe rE = 10.25%
Nel caso di calcolo di anticipazioni in presenza di frazioni dianno occorre utilizzare il tasso di interesse effettivo anzichequello nominale.
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Definizioni
Solitamente il tasso di interesse r e espresso in terminiannuali, anche se le annualita maturano per frazioni di anno(es. semestre).
In questo caso occorre utilizzare le formule del montante perricavare dal tasso annuale nominale r il tasso annualeeffettivo. Esempio
Tasso annuale nominale rN = 10%. Tasso semestralenominale 10%
2 = 5%
Tasso annuale effettivo con un tasso semestrale del 5% :rE = (1 + 0.05)2 − 1 = 0.1025, cioe rE = 10.25%
Nel caso di calcolo di anticipazioni in presenza di frazioni dianno occorre utilizzare il tasso di interesse effettivo anzichequello nominale.
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