Generación y características de una C.A.S.

Características de una C.A.S.

Respuesta de los dipolos básicos ante una C.A.S.

C.A.S. en un dipolo RLC serie. Impedancia y desfase.

Potencia de una C.A.S.

Resonancia en circuitos RLC serie.

Nikkola Tesla

1856-1943

Corriente alterna senoidal C.A.S.

Generación de una C.A.S. (corriente alterna senoidal)

Consecuencia del giro de una espira en un B

Bv

S

rϕ

wtNBS cos== SBN

rrφ NBSwsenwt

dt

d=−=

φε

Período T = 2π/ω (s)

Frecuencia f = 1/T (Hz)

Pulsación

w = 2πf (rad/s)

Fase wt+ϕ

Fase inicial ϕ (grados o radianes) (fase en t=0)

Amplitud=Valor máximo Um (V)

ωt

T

ϕ

Um

u(t) = Um cos(ωt + ϕ)u(t)

Características de una C.A.S.

ωt

ϕϕϕϕu =0

u(t) = Um cos(ωt + ϕu)u(t)

Fase Inicial. Ejemplos.

ωt

u(t)

ϕϕϕϕu=90º (ππππ/2 rad)

ωt

u(t)

ϕϕϕϕu=-90º (-ππππ/2 rad)

ωt

u(t)

ϕϕϕϕu=-45º (-ππππ/4 rad)

u(t) = Um cos(ωt + ϕu )i(t) = Im cos(ωt+ϕi)

ϕ ωt

iu ϕϕϕ −=

Desfase entre dos ondas (tensión e intensidad)

El desfase se define como

ϕϕϕϕi=0 ϕϕϕϕu<0

0<ϕ

Tensión u(t) va retrasada respecto de la intensidad i(t)

Intensidad i(t) va adelantada respecto de la tensión u(t)

Ambas funcionesdeben ser seno o

coseno

Uφu

Diagrama fasorial

I

C.A.S. en una resistencia

Resistencia

ωt

i

u

u(t) = R i(t) = RIm cosωt = Um cosωt

i(t) = Im cosωt

Ri(t)

u(t)

Um = R Im

ϕ = 0

uR = iR

U

I

i(t) = Im cosωt

Li(t)

u(t)

Um = LωIm

ϕ = π/2

Autoinducción

ωt

iu

)2

tcos(U)2

tcos(ILtsenILdt

)t(diL)t(u mmm

πωπωωωω +=+=−==

XL = Lω Inductancia (Ω)

dt

)t(diLuL =C.A.S. en una autoinducción

U

I

Ci(t)

u(t)

φ = - π/2

Condensador

ωt

i

u

u(t) = Um cosωt

)2

tcos(I)2

tcos(CU)t(senCUdt

)t(Cdu

dt

)t(dq)t(i mmm

πω

πωωωω +=+=−===

ω=

C

IU m

m

XC = 1/Cω Capacitancia (Ω)

Cuq =

C.A.S. en un condensador

U

I

R

L

C

)cos( umL wtLwIu ϕ+=

)cos( umR wtRIu ϕ+=

)wtcos(Cw

Iu u

mC ϕ+=

+=

=

2πϕ

mLLm IXU

=

=

0ϕ

mRm IRU

−=

=

2πϕ

mCCm IXU

Dipolos básicos ante una C.A.S. Resumen

Tensión e intensidad van en fase

Tensión va adelantada 90º respecto intensidad

Tensión va retrasada 90º respecto intensidad

L R C

uLuR uC

i(t)= Im cos (wt)

u(t) = uL (t)+ uR (t)+ uC (t)= Um cos (wt+ϕ)

Dipolo RLC serie. Impedancia y desfase del dipolo

La suma de

funciones

senoidales es

otra senoidal

Dipolo RLC serie. Impedancia y desfase del dipolo

Um cos (wt+ϕ) = LwIm cos (wt +π/2)+RIm cos (wt)+(1/Cw)Im cos (wt -π/2)

UL

I URUC

UL-UC

I UR

U

ϕ Um

(Lω-1/Cω) Im

RIm

ϕ Um

ZXRXXRI

U

CwLwRIUI

CwLwRIU CL

m

mmmmmm =+=−+=−+=−+= 222222222

)()1

(())1

(()(

ϕϕ tgR

X

R

XX

R

CwLw

tg CL ==−

=

−

=

1Z es la Impedancia del dipolo (Ω)

ϕ es el desfase del dipolo

Z y ϕ no sólo dependen de los parámetros R, L y C, sino también de la frecuencia de la corriente aplicada.

R

XL=Lw

ZX

ϕϕϕϕ

X<0 (ϕϕϕϕ<0)

R

ZX

ϕϕϕϕ

Triángulo de impedancias.

Todas las ecuaciones de un dipolo RLC pueden ser “condensadas” en el Triángulo de Impedancias de un dipolo para una frecuencia:

2222 1XR

CwLwRZ +=−+= )((

R

X

R

XX

R

CwLw

tg CL =−

=

−

=

1

ϕ

XC=1/Cw X=XL-XC=Lw-1/Cw

ReactanciaInductiva

ReactanciaCapacitiva

Reactanciadel dipolo

X>0 (ϕϕϕϕ>0)

Potencia en C.A.

La potencia consumida por un dipolo en C.A. puede calcularse como el

producto de voltaje e intensidad en cada instante: es la Potencia Instantánea:

)tsin(I)t(i m ω=

)tsin(u)t(u m ϕω +==⋅+=⋅= )tsin(I)tsin(U)t(i)t(u mm ωϕω

t2sinsin2

IUtsincosIUtsin]costsinsint[cosIU mm2

mmmm ωϕωϕωϕωϕω⋅

+⋅=⋅+⋅⋅=

Potencia ReactivaPotencia Activa o

Real

p(t)

t2sinsin2

IUtsincosIU)t(p mm2

mm ωϕωϕ⋅

+⋅=

Potencia Instantánea = Potencia Activa + Potencia Reactiva

> 0 y < 0 cero en un cicloSiempre > 0

=+

t2sinsin2

IU mm ωϕ⋅

)t(p+ =

Ejemplo tomando: Im = 1 A Um = 1 V ω = 1 rad/s ϕ = 0,6 rad

Valor medio en un ciclo:

ϕϕωϕ cosIUcosIU

tdtsincosIUT

dt)t(pT

P efefmm

T

mm

T

=⋅

=⋅== 2

11

0

2

0

Power on A.C.

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8 10 12

wt (rad)

Po

wer

(w)

Active pow er

Power on A.C.

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8 10 12

wt (rad)P

ow

er

(w)

Reactive pow er

Power on A.C.

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8 10 12

wt (rad)

Po

wer

(w)

Inst. pow er

cos ϕ ≡ Factor de potencia

Potencia en C.A.

Potencia Activa + Potencia Reactiva = Potencia Instantánea

tsincosIU mm ωϕ 2⋅

22 1)((

CwLwR

I

UZ

m

m −+==

Circuito RLC serie. Resonancia

Dibujando Z v.s frecuencia

Z v.s. freq

0

100

200

300

400

500

600

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

frequency (Hz)

Z (

Oh

m)

Ejemplo tomando: R = 80 Ω L = 100 mH C = 20 μF

Resonancia: f≈700 Hz Z≈80 Ω

La frecuencia a la que se produce el mínimoes la Frecuencia de Resonancia(alrededor de 700 Hz en el ejemplo).

En Resonancia, la impedancia del circuito esmínima.