1

Coordinate Methods in Geometry and Applications of Coordinate Geometry

Board of Studies

This unit is an extension of previous work on both Geometry and Coordinate Geometry. No new content, but higher level applications of known concepts.Syllabus references 6.8, 2.5

2

Coordinate Methods in Geometry and Applications of Coordinate Geometry

How would you show:• A group of three points on the Cartesian plane makes an isosceles triangle?• A figure on the Cartesian plane is a parallelogram?• How to find the fourth point in a parallelogram, given the other three points?• That four points lie on a circle?• That a triangle is right angled?• That two lines meet at right angles?• That two shapes are similar?• That two shapes are exactly the same?

brainstorm

3

Coordinate Methods in Geometry and Applications of Coordinate Geometry

Useful Formulae:distance between two points:

d = √ (x2  x1)2 + (y2  y1)2

gradient of a line segment joining two pointsm = y2  y1

x2  x1when lines are parallel, m1=m2when lines are perpendicular m1m2 = 1

perpendicular (shortest) distance from a point to a line d = | ax1 + by1 + c |

   √ a2 + b2⊥

equation of a line if you know the gradient and one pointy  y1 = m(x  x1)

Useful terms:A median of a triangle joins a vertex to the midpoint of the opposite sideAn altitude of a triangle is the perpendicular from a vertex to the opposite side.

altitude median

4

Warm up...Cambridge Ex 8A

5

6

Cambridge Ex 8B

7

8

9

Cambridge Ex 8C

10

11

12

Cambridge Ex 8D

13

14

Cambridge Ex 8E

15

16

17

18

19

20

Coordinate Methods in Geometry and Applications of Coordinate Geometry

As you already know, exactly one circle can be drawn through any three noncollinear points. We can find the equation of this circle by finding the perpendicular bisectors of any two intervals joining the points. Where they intersect is the centre of the circle (called the circumcentre of the circle). The radius can then be found using the distance formula.

e.g. take the points A (3,0), B (8,1) and C (6,2)

mAB = 1/5 so perpendicular gradient is 5midpointAB = (5.5,0.5)equation of perpendicular bisector yy1 = m(xx1)y0.5 = 5(x  5.5)     y  = 5x + 28 i)

mAC = 2/3 so perpendicular gradient is 3/2midpointAB = (4.5,1)equation of perpendicular bisector yy1 = m(xx1)y  1 = 3/2(x  4.5 )     y  = 3/2 x +31/4 ii)Solving i) and ii) simultaneously gives the point (3 3  , 12 11) which is the centre of the circle (see sidebar). Call centre D.The radius is √(4985/26) (using the distance formula)and the equation is (x + 3 3 )2 + (y  12 11 )2 = 4985

26 26

Pull

Pull

2626 26

21

Pull

Pull

Page 1: Sep 27-5:03 PMPage 2: revisePage 3: formulaePage 4: anglesPage 5: Sep 28-1:47 PMPage 6: polygonsPage 7: Sep 28-1:55 PMPage 8: developmentPage 9: Sep 28-2:06 PMPage 10: Sep 28-2:09 PMPage 11: Sep 28-2:11 PMPage 12: Sep 28-2:13 PMPage 13: Sep 28-2:15 PMPage 14: Sep 28-2:54 PMPage 15: Sep 28-2:55 PMPage 16: Sep 28-2:57 PMPage 17: circlesPage 18: Sep 28-3:03 PMPage 19: Sep 28-3:03 PMPage 20: equation of a circlePage 21: Oct 5-10:35 PM