convezione naturale 1. si origina quando il moto del fluido è causato da gradienti di densità. le...
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CONVEZIONE NATURALE
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CONVEZIONE NATURALESi origina quando il moto del fluido è causato da gradienti di densità.
Le velocità sono di norma minori rispetto alla convezione forzata.
I moti atmosferici, oceanici e quelli interni alla crosta terrestre sono fenomeni di convezione naturale.
L’approccio sperimentale è preponderante rispetto a quello teorico.
2
CONVEZIONE NATURALE
Hp: proprietà fisiche del fluido costanti ad eccezione della densità (BOUSSINESQUE)
approssimazione di strato limite:
EQUAZIONI FONDAMENTALI
2
2
y
ug
x
p1
y
uv
x
uu
quantità di moto lungo x
0y
p quantità di moto lungo y
ne consegue che il gradiente di pressione lungo y è indipendente da y e quindi è uguale fuori e dentro lo strato limite;
Nella zona in cui la velocità è nulla (u = v = 0) si ha:
gx
p
3
CONVEZIONE NATURALE
Sostituendo nell’equazione della q.d.m. :
EQUAZIONI FONDAMENTALI
Le altre equazioni dello strato limite sono:
2
2
y
ug
y
uv
x
uu
Definendo poi il coefficiente volumetrico di dilatazione termica:pT
1
ed approssimandolo a:p
TT
1
si ottiene:
2
2
y
uTTg
y
uv
x
uu
0y
v
x
u
(continuità)2
2
y
Ta
y
Tv
x
Tu
(energia)
Le equazioni non sono più disaccoppiate 4
CONVEZIONE NATURALE
Definendo:
ADIMENSIONALIZZAZIONE
si ottiene:
L
xx*
L
yy*
0
*
u
vv
TT
TTT
p
*
0y
v
x
u*
*
*
*
2*
*2
20
*p
*
**
*
**
y
u
Re
1
u
LT)TT(g
y
vv
x
uu
2*
*2
*
**
*
**
y
T
PrRe
1
y
Tv
x
Tu
con
Lu
Re 0
Dove il numero di Grashof Gr è il rapporto tra le forze di galleggiamento e le forze viscose ed è definito dalla:
Il gruppo si può scrivere come:
22
0
2
p3
Re
Gr
Lu
TTgL
20
p
u
L)TT(g
2p
3 TTLgGr
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CONVEZIONE NATURALE
Ipotizzando la lastra riscaldata, applicando il teorema di Bernoulli tra il bordo inferiore ed un punto x:
ADIMENSIONALIZZAZIONE
E, tenendo conto della relazione approssimata tra r e T, si può definire la velocità caratteristica della convezione naturale:
gx2
u2x
TTgLu pc
Ed introducendola nell’espressione del numero di Grashof si ottiene:
2
cLuGr
Assumendo u0 = uc , le equazioni diventano: 2*
*2*
*
**
*
**
y
u
Gr
1T
y
uv
x
uu
2*
*2
*
**
*
**
y
T
GrPr
1
y
Tv
u
Tu
con Nu funzione sia di Gr che di Pr6
CONVEZIONE NATURALEADIMENSIONALIZZAZIONE
Si definisce il numero di Rayleigh come:
a
TTgLPrGrRa p
3
Quando, oltre alla convezione naturale, è imposta anche una convezione forzata,
l’importanza relativa è espressa dal rapporto:
2Re
Gr
se Gr >> Re2 è prevalente la convezione naturale
se Gr Re2 si ha convezione mista
se Gr << Re2 si ha convezione forzata 7
CONVEZIONE NATURALELASTRA PIANA VERTICALE
Si utilizzano le equazioni dello strato limite, con le condizioni al contorno seguenti:
per y = 0: u = 0, v = 0, T = Tp
x
u(x, y)
T (x, y)
t
T
y
per y = : 0y
T ,0
y
u ,TT ,0u
L’equazione della quantità di moto, integrata sullo strato limite, è:
02
2
0 00
2
dyy
udyTTgdy
y
uvdy
x
u
che, con le condizioni al contorno, diventa:
000
2
y
y
udyTTgdyu
x
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CONVEZIONE NATURALELASTRA PIANA VERTICALE
Integrando l’equazione dell’energia sullo strato limite termico:
Per poter procedere con l’integrazione delle equazioni, si introduce un’ulteriore ipotesi sull’andamento dei profili di velocità e temperatura:
02
2
00
dyy
Tady
y
vTdy
x
uT
che, con le condizioni al contorno, diventa: 0y0 y
TadyTTu
x
2
0
y1
y
u
u
2
p
y1
TT
TT
Sostituendo queste espressioni nelle equazioni del moto si ottiene:
0
p20
uTTg
3
1u
dx
d
105
1
a60u
dx
d0 9
CONVEZIONE NATURALELASTRA PIANA VERTICALE
Ipotizzando che u0 e d dipendano da x secondo le relazioni seguenti:
Affinchè le due equazioni siano indipendenti da x, gli esponenti devono essere uguali:
m10 xCxu n
2xCx
si ha: nm
2
1n2p
1nm2221 x
C
CxCTTg
3
1x
105
CCnm2
n
2
1nm21 xC
a2x
30
CCnm
2
1m
4
1n quindi si possono ricavare le costanti C1 e C2:
2
1
2
p2
1
1
TTga
21
2017,5C
2
14
1
2p4
1
2 a
TTg
a21
2093,3C
10
CONVEZIONE NATURALELASTRA PIANA VERTICALE
Lo spessore dello strato limite diventa dunque:
Si ricava così la velocità di riferimento:
Noto d, si può ricavare T dalla definizione del profilo e, conseguentemente, anche Nu:
4
1
2
14
1
2
p4
1
xPrTTg
Pr952,093,3x
21p
2
10 xTTg
9
5Pr336
112u
0ypp
x
y
T
TT
x
k
x
TT
q
k
xhNu
con
TT2
y
T p
0y
Pertanto: 4
1
4
12
1
x GrPr952,0Pr508,0x2
Nu
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CONVEZIONE NATURALELASTRA PIANA VERTICALE
Integrando sulla lunghezza, si ottiene il valore medio del coefficiente di scambio:
Allo stesso modo si ottiene il valore medio del numero di Nusselt:
La maggior parte dei problemi pratici è costituita da geometrie di un grado di complessità tale da essere necessario il ricorso a correlazioni sperimentali, espresse nella forma:
L
0Lxxx h
3
4dxh
L
1h
4
1
L
4
1
2
1
L Gr
9
5Pr336
Pr3
8
k
LhNu
nXX Ra C
k
XhNu con
PrGrRa XX
C ed n che dipendono dalla geometria e dalle condizioni di moto
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CONVEZIONE NATURALEESEMPIO
CILINDRO RISCALDATO
4
1
)Ra(43,02Nu Per94 10Ra10
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CONVEZIONE NATURALESPAZI CONFINATI
CAVITA’ RETTANGOLARI
T1 > T2
In assenza di convezione (Ra < 103) si ha:
L
TTkq 21
In presenza di convezione vale la:
21 TThq
Il coefficiente h viene determinato attraverso correlazioni sperimentali.
Per cavità anulari e canali verticali non limitati superiormente valgono le stesse considerazioni 14