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CONTROLLI AUTOMATICI
Ingegneria Gestionalehttp://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm
Ing. Federica Grossi
Tel. 059 2056333
e-mail: [email protected]
http://www.dii.unimore.it/wiki/index.php/Federica_Grossi
MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI
Introduzione -- 2Controlli Automatici
Principi di modellistica
• Problema: determinare il modello matematico che approssimi il
comportamento di un sistema dinamico
• Indagine diretta: Il sistema viene suddiviso in sottosistemi elementari
il cui modello matematico è facilmente identificabile e il modello
complessivo viene dedotto componendo i modelli dei sottosistemi
elementari e applicando leggi base della fisica. Applicabile a casi
semplici in cui, sotto certe ipotesi, l’introspezione fisica del sistema
permette la modellazione.
• Black box: il sistema si considera come una “scatola nera” di cui
occorre identificarne il comportamento mediante l’analisi dei segnali di
ingresso (opportunamente variati) e delle rispettive uscite (analisi
armonica). Utile in quei casi dove la fisica del sistema è così
complessa da non permettere una introspezione
• Gray box: Approccio misto: Sistema complessivo scomposto in
diversi sottosistemi interagenti, di cui alcuni modellati mediante
introspezione fisica e altri mediante l’analisi ingresso/uscita
Introduzione -- 3Controlli Automatici
Derivazione del modello mediante indagine diretta
• L’analisi energetica del sistema risulta un utile strumento per la
derivazione del modello matematico
• Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata
del sistema utile al fine di calcolare l’uscita corrente) sembra
ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che
determinano quantità di energia accumulate nel sistema (Variabili
Energetiche).
• In ogni dominio energetico (tranne quello termico) ci sono due variabili
energetiche e due meccanismi di accumulo dell’energia che
dipendono, ciascuno, da una sola delle due variabili energetiche. Il
prodotto delle due variabili energetiche rappresenta la potenza in quel
particolare dominio energetico.
• In ogni dominio energetico esiste un parametro che lega le due
variabili energetiche e che caratterizza il meccanismo di dissipazione
dell’energia in quel dominio.
Introduzione -- 4Controlli Automatici
i due meccanismi elementari di accumulo della energia
Considerazioni energetiche
dominio accumulo capacitivo accumulo induttivo
E Cv1
2
2 E Li1
2
2elettrico
meccanico
traslanteE Mv
1
2
2EK
f1
2
1 2
meccanico
rotanteE J
1
2
2EK
c1
2
1 2
idraulico/pneumatico E C pf1
2
2 E L qf1
2
2
termico E C Tt manca
variabili
passanti
variabili
ai morsetti
l'energia accumulata
dipende dalle
Le variabili ai morsetti sono in realtà differenze
Introduzione -- 5Controlli Automatici
Derivazione di modelli matematici di sistemi fisici
• Scomposizione sistema complessivo in sottosistemi
elementari il cui modello matematico sia facilmente
derivabile (sotto opportune ipotesi)
• Composizione dei modelli matematici elementari mediante
principi base della fisica (conservazione dell’energia) per
derivare il modello complessivo:
• Sistemi elettrici: leggi di Kirchoff per le tensionie e per
le correnti
• Sistemi meccanici: Legge di Newton
• Sistemi idraulici: Equazioni di Bernoulli
Introduzione -- 6Controlli Automatici
Modelli di sistemi dinamici
• Si prenderanno in esame alcuni esempi di modelli matematici dinamici per:
• illustrare i procedimenti generali che usualmente si impiegano nella loro deduzione;
• chiarire le analogie esistenti fra modelli di sistemi fisici di diversa natura.
• In particolare, verranno descritti sistemi:
• elettrici
• meccanici
• elettro-meccanici
• idraulici
• termici
• Si dedurranno i modelli in forma di equazioni differenziali ordinarie del tipo:
• Il problema della soluzione di tali equazioni differenziali, cioè ricavare l'andamento di y(t) in funzione di u(t), verrà preso in esame successivamente:
Trasformate di Laplace
Introduzione -- 7Controlli Automatici
• Opeatore “D”: Per semplificare la scrittura delle equazioni differenziali si userà il simbolo (o operatore) D per indicare l'operazione di derivazione rispetto al tempo:
Ad esempio, se x1(t), x2(t) sono funzioni derivabili, e a1, a2 costanti, allora
• Si può dare un significato anche al simbolo 1/D (o D-1) ponendo
in cui K è un'opportuna costante.
Modelli di sistemi dinamici – Operatore “D”
L'operatore D si può trattare come se
fosse una costante: gode infatti della
proprietà distributiva rispetto alla
somma e della proprietà commutativa
con le costanti (non con le funzioni
del tempo).
Introduzione -- 8Controlli Automatici
Modelli di sistemi dinamici – Operatore “D”
• Questa relazione costituisce una notazione convenzionale, in quanto in realtà
l'operatore D non è invertibile, rappresentando una corrispondenza che non è
uno a uno, ma molti a uno:
tutte le funzioni che differiscono per una costante presentano la stessa
derivata:
• Per tale ragione 1/D non si può applicare ai due membri di una relazione
esprimente l'uguaglianza di due funzioni:
se è y(t) = x(t),
• D y(t) = D x(t)
• non è detto che sia D-1 y(t) = D-1 x(t)
(solo per cond. iniziali nulle).
Introduzione -- 9Controlli Automatici
Circuiti elettrici
Q0 è la carica iniziale del condensatoreN1 e N2 sono i numeri di spire del circuito primario e secondario
Introduzione -- 10Controlli Automatici
Circuiti elettrici
• Altri componenti di circuiti elettrici:
• Amplificatore operazionale
• Transistor
• Trattando con segnali logici, si possono considerare anche operatori logici quali:
• AND
• OR
• NOT
• NOR
• …
che costituiscono gli elementi di base delle Reti Logiche.
Introduzione -- 11Controlli Automatici
Circuiti elettrici
Le unità di misura delle grandezze elettriche nel sistema SI sono:
• Variabili:
• [v] = V, Volt;
• [i] = A, Ampere;
• [Q] = C, Coulomb;
• Parametri:
• [R] = , Ohm;
• [L] = H, Henry;
• [C] = F, Farad;
• In genere, i modelli matematici di circuiti elettrici (composizione di sistemi elementari) si ricavano applicando le
leggi di Kirchhoff
che esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi:
Introduzione -- 12Controlli Automatici
Circuiti elettrici
• Le leggi di Kirchhoff esprimono il bilancio delle cadute di
potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi:
• La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla;
• La somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla.
v1
v2
v3
v4
v1= v2 + v3 + v4
i1
i2
i4
i3
i1 + i2 + i3 +i4 = 0
Introduzione -- 13Controlli Automatici
Circuiti elettrici - Esempio
Volendo ricavare, anziché la corrente i, la tensione d'uscita vu, si può operare la sostituzione i(t) = C D vu(t), mediante la quale si ottiene (vC(t) = vu(t)) l'equazione differenziale
che mette in evidenza la relazione tra causa vi ed effetto vu.
Introduzione -- 14Controlli Automatici
Circuiti elettrici - Esempio
equazione
differenziale dt
tdvCtv
Rti
)()(
1)(
dt
tdvCi
tvR
i
C
R
)(
)(1
Kirchoff al
nodo A
i = iR + iC
A
i(t)v(t)
iCiR
ingresso uscita
condizioni iniziali nulle
iR
v CDv1equazione algebrica
nell'operatore D
Sistema del
1° ordine
1 accumulatore
di energia
Introduzione -- 15Controlli Automatici
Circuiti elettrici - Esempio
equazione
differenziale
t
i idC
tRitv0
1)(
t
c
R
idC
v
Riv
0
1Kirchoff
alla maglia
vi = vR + vC
condizioni iniziali nulle
v RiC
D i
Dv RDiC
i
i
i
1
1
1equazione algebrica
nell'operatore D
Sistema del
1° ordine
vi(t) vc(t)vR
i(t)
Se interessa vc come uscita
cCDvi ci vRCDv 1ricordando che
Introduzione -- 16Controlli Automatici
Circuiti elettrici - Esempio
equazione
integro-differenziale dt
tdvCtv
Rdttv
Lti
)()(
1)(
1)(
dt
tdvCi
tvR
i
dttvL
i
C
R
L
)(
)(1
)(1
equazione differenziale
del 2° ordine 2
211
dt
vdC
dt
dv
Rv
Ldt
di
Kirchoff al
nodo A
i = iL+ iR + iC
A
i(t)v(t)
iL iCiR
ingresso uscita
condizioni iniziali nulle
derivando ambo i membri
equazione algebrica
nell'operatore D
Sistema del
2° ordine
2 accumulatori
di energia
Introduzione -- 17Controlli Automatici
Circuiti elettrici - Esempio
Se come uscita interessa la corrente nell'induttanza, ricordando che
v LDi
dt
tdvCi
tvR
i
dttvL
i
C
R
L
)(
)(1
)(1
Kirchoff al
nodo A
i = iL+ iR + iC
A
i(t)v(t)
iL iCiR
ingresso uscita
condizioni iniziali nulle
Consente di ricavare l'uscita
v(t) a partire dall'ingresso i(t)
Introduzione -- 18Controlli Automatici
Circuiti elettrici - Esempio
dt
tdvCi
tvR
i
dttvL
i
C
R
L
)(
)(1
)(1
Kirchoff al
nodo A
i = iL+ iR + iC
A
i(t)v(t)
iL iCiR
ingresso uscita
condizioni iniziali nulle
Consente di ricavare l'uscita
v(t) a partire dall'ingresso i(t)
v RiR
Se come uscita interessa la corrente nella resistenza, ricordando che
Introduzione -- 19Controlli Automatici
Consente di ricavare l'uscita
v(t) a partire dall'ingresso i(t)
Circuiti elettrici - Esempio
A
i(t)v(t)
iL iCiR
ingresso uscita dt
tdvCi
tvR
i
dttvL
i
C
R
L
)(
)(1
)(1
Kirchoff al
nodo A
i = iL+ iR + iC
condizioni iniziali nulle
vC
D iC1 1
Se come uscita interessa la corrente nei diversi componenti, ricordando che:
Introduzione -- 20Controlli Automatici
Sistemi meccanici
• In generale si cerca di adottare modelli a costanti concentrate, perchè di più facile
impiego, anche se spesso alquanto approssimativi e meno aderenti alla realtà di
quanto non lo siano nel caso dei circuiti elettrici: ad esempio, in un modello a
costanti concentrate la massa di una molla, (distribuita) è supposta trascurabile o
concentrata agli estremi della molla.
• Si cerca di adottare modelli lineari, anche se ciò implica la limitazione dello studio
a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco.
Introduzione -- 21Controlli Automatici
Sistemi meccanici• I sistemi meccanici in moto traslatorio si possono considerare costituiti dai componenti
elementari:
• la massa,
in cui si concentrano le forze di inerzia,
• la molla,
in cui si concentrano le forze di richiamo elastico,
(se per x1 = 0 e x2 = 0 la molla non è caricata)
• l'ammortizzatore,
in cui si concentrano le forze di attrito viscoso.
• Si suppone che gli estremi di tali componenti
meccanici siano sottoposti a moto traslatorio orizzontale.
mf2
x
f1
f f
x1 x2
K
f f
x1 x2B
Introduzione -- 22Controlli Automatici
Sistemi meccanici
• Analogamente per sistemi in moto rotatorio:
• Forze coppie
• Masse inerzie
c(t), 1(t) c(t), 2(t)K
c(t), (t)J
Bc(t), 1(t) c(t), 2(t)
Introduzione -- 23Controlli Automatici
Sistemi meccanici
• Riduttore
In un riduttore ideale (senza perdite per attrito e con accoppiamento perfetto tra gli ingranaggi), la velocità viene ridotta del fattore kr
Poiché in questo meccanismo la potenza entrante deve essere uguale a quella uscente
la coppia risulta amplificata.
c1(t), 1(t)
c2(t), 2(t)
Introduzione -- 24Controlli Automatici
Sistemi meccanici
• Altri elementi:
Cinghia/puleggia Vite a ricircolazione di sfere
CammaBiella/manovella
Introduzione -- 25Controlli Automatici
Sistemi meccanici
Le unità di misura delle grandezze meccaniche nel sistema SI sono:
• Variabili:• [f] = N, Newton;
• [x] = m, metri;
• = m/sec, velocità;
• = m/sec2, accelerazione.
• Parametri:• [M] = kg, chilogrammi;
• [K] = N/m, coefficiente di rigidezza;
• [B] = N sec/m, coefficiente di attrito viscoso.
Oppure (caso rotatorio)
Variabili:[c] = N m;[ ] = rad;
= rad/sec;= rad/sec^2.
Parametri:[J] = kg\,m^2;[K] = N\,m/rad, coefficiente di rigidezza torsionale;[B] = N\,m\,sec/rad, coefficiente di attrito torsionale.
Introduzione -- 26Controlli Automatici
Sistemi meccanici - Esempio
• Carrelli con attrito
• Applicando la legge di Newton a ciascuna massa si ottiene
u(t)m2
x2(t)
m1
x1(t)
Introduzione -- 27Controlli Automatici
Sistemi meccanici - Esempio
• Carrelli con attrito
• La variabile osservata del sistema è la velocita di m2 e quindi
• Dalle due eq.ni differenziali, utilizzando l'operatore D, si ottiene:
u(t)m2
x2(t)
m1
x1(t)
Introduzione -- 28Controlli Automatici
• Da
Si ricava
• Se si considerano per esempio per i parametri i valori numerici:
si ottiene l'equazione differenziale
la cui soluzione y(t) descrive l'andamento dell'uscita in funzione dell'ingresso u(t) e delle condizioni iniziali y(t0) =
Sistemi meccanici - Esempio
Introduzione -- 29Controlli Automatici
Sistemi meccanici - Esempio
• Le coppie applicate in questo caso sono:
• coppia esterna c(t)
• coppia dovuta alla molla torsionale ck(t) = k (t)
• coppia dovuta all'attrito torsionale cb(t) = B
• Applicando la legge di Newton si ha
Introduzione -- 30Controlli Automatici
Sistemi meccanici – Effetti non lineari
• Nei sistemi meccanici esistono fenomeni nonlineari che, per la discontinuità delle caratteristiche, non sono suscettibili neppure di una linearizzazione locale: il più importante di questi è l'attrito.
• Per rimanere nel campo dei modelli lineari si dovrebbe considerare il solo attrito viscoso.
• In realtà è presente anche l'attrito secco o attrito al distacco, consistente in una forza che equilibra la forza applicata, impedendo l'inizio del moto, finché questa non supera una soglia F_d, oltre la quale inizia il movimento e la forza si annulla.
• Inoltre può essere presente l'attrito coulombiano, caratterizzato da una forza nulla quando il corpo è immobile, costante quando esso è in movimento e tale da opporsi al moto.
• L'attrito al distacco e l'attrito coulombiano sono fenomeni tipicamente nonlineari, per cui, finché l'approssimazione risulta accettabile, nei modelli matematici si considera il solo attrito viscoso.
Introduzione -- 31Controlli Automatici
Sistemi meccanici – Effetti non lineari
• Altri effetti non lineari eventualmente presenti in un sistema meccanico.
• Saturazione
La saturazione è un fenomeno comune a tutti i processi fisici: l'uscita y del
sistema è proporzionale all'ingresso x solo in un certo range di valori, mentre
rimane praticamente costante al di fuori di esso.
Introduzione -- 32Controlli Automatici
Sistemi meccanici – Effetti non lineari
• IsteresiIl sistema di attuazione (riduttore) introduce solitamente un qualche effetto di
isteresi. Nel caso di riduttori, è dovuto al gioco d esistente tra gli ingranaggi.
• x: spostamento in ingresso
• y: spostamento in uscita
Il movimento dell'ingranaggio “pilota” non si trasmette all'altro fino a quando i denti delle due ruote non sono in contatto. Se la velocità di x cambia segno, allora y rimane costante per un certo tratto.
Non linearità a “due valori”: per ogni x vi sono
2 possibili valori di y, a seconda della “storia”
dell'ingresso. Si possono avere instabilità o
oscillazioni permanenti (cicli limite)
Introduzione -- 33Controlli Automatici
Sistemi meccanici – Effetti non lineari
• Zona morta
L'uscita non risente di variazioni dell'ingresso contenute in una data
banda.
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Ing. Federica Grossi
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MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI
FINE