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CONTROLE DO TRANSPORTE CONVECTIVO DE ESPÉCIES QUÍMICAS EM

MATERIAIS POROELÁSTICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS

FINITOS

Fabio Blaser

Rio de Janeiro

Setembro de 2016

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Mecânica da Escola Politécnica, da

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro.

Orientador: Fernando Pereira Duda

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecânica

DEM/POLI/UFRJ



FINITOS

Fabio Blaser

PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE

ENGENHARIA DE MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECÂNICO.

Aprovado por:

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

SETEMBRO DE 2016

Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.

Profa. Lavínia Maria Sanabio Alves Borges, D.Sc.

Prof. Daniel Onofre Cruz, D.Sc.

ii

Blaser, Fabio

Estudo da Pressão no Transporte de Espécies Químicas

em Materiais Poroelásticos/ Fabio Blaser – Rio de janeiro:

UFRJ/ Escola Politécnica, 2016.

IX, Paginas p.40.: il.; 29,7cm


Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/ Curso

de Engenharia Mecânica, 2016.

Referencia Bibliográficas: p.38.

1. Poroelástico. 2. Elementos finitos. 3. Transporte.

4. Espécies químicas. 5. Simulação numérica I. Duda,

Fernando Pereira II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica.

III. Controle do transporte convectivo de espécies químicas

em materiais poroelásticos utilizando o método de

elementos finitos

iii

Para minha mãe Cristina

e meu irmão Stefan.

iv

“Se eu vi mais longe, foi por estar

sobre ombros de gigantes.”

-Isaac Newton

v

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a minha família, que me apoio e me incentivou durante

toda a minha vida, minha mãe Cristina por sempre acreditar em mim e me orientar nos

momentos mais difíceis, me aconselhando e me dando forcas para continuar, e ao meu

irmão Stefan por me divertir e me ajudar nos meus momentos de estresse, sei que foram

muitos.

Agradeço aos meus amigos de colégio que continuam ao meu lado até hoje, aos

meus amigos das caronas entre Petrópolis e Fundão , sem eles as viagens não teriam

sido tão divertidas. A todos que conheci na Fluxo Consultoria que me mostraram a

capacidade de um aluno e o meu potencial. A todos os amigos do meu intercambio em

Deggendorf, nunca esquecerei nossos momentos e as nossas viagens.

Por fim agradeço a todos os professores que fizeram parte dessa incrível

caminhada, que me ensinaram não só matérias, mas também como um profissional deve

agir e o que é ser um Engenheiro formado pela UFRJ, a todos sou muito grato.

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de engenheiro Mecânico.



FINITOS

Fabio Blaser

Setembro/2016


Curso: Engenharia Mecânica

O presente trabalho tem como objetivo demonstrar, que para a nutrição de um

tecido humano, de um biomaterial, ou no tratamento de um tumor, é necessário que o

nutriente, oxigênio ou o fármaco alcance todo o tecido. A espécie química depois que é

entregue pela corrente sanguínea ainda deverá ser transportada para toda a estrutura do

tecido. Esta espécie química pode ser transportada dentro do tecido por dois processos:

de difusão ou por convecção, a difusão é um processo mais lento, por esta razão o

processo de convecção é o mais eficaz para o transporte das espécies químicas. Os

tecidos aos quais se faz referência serão representados aqui pelo modelo poroelástico.

Neste trabalho apresentaremos as simulações feitas através do programa COMSOL,

baseado no método de elementos finitos, onde serão simuladas cargas mecânicas

aplicadas em materiais poroelásticos para o transporte convectivo de espécies químicas

através do tecido. Foram estudados os perfis de pressão e velocidades gerados pela

aplicação de diferentes carregamentos mecânicos, traçando-se a trajetória da espécie

química e identificando o melhor carregamento para o transporte.

Palavras-chaves: Poroelástico, Elementos finitos, Transporte, Espécies químicas,

Simulação numérica

vii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Mechanical Engineer

CONTROL OF CONVECTION TRANSPORT OF CHEMICAL ESPICIES IN

POROELASTIC MATERIALS USING THE METHOD OF FINITE ELEMENTS

Fabio Blaser

September/2016

Advisor: Fernando Pereira Duda

Course: Mechanical Engineering

The present work has the objective to demonstrate that for the nutrition of a

tissue, a biomaterial or in the treatment of a tumor, it is necessary that the nutrient,

oxygen or medicament reach all parts of the tissue. After chemical specie is delivered

by the blood stream, still has to be transported through the entire tissue. This chemical

specie can be transported within the tissue by two differences transport processes:

diffusion or convection. The diffusion is a slow process, for this reason the convection

is more effective in the transport of chemical species. The tissues that are referenced in

this work will be represented by the poroelastic model. The simulations will be done

using the COMSOL, a program based in the finite elements method. The simulations

consist in the application of mechanical loads in poroelastic materials to the convective

transport of chemical species through the tissue. It was studied the pressure and velocity

profiles generated by different mechanical loadings, and after the pathway of the

chemical specie was traced to identify the best mechanical load for the transport.

Keywords: Poroelastic, Finite elements, Transport, Chemical specie, Numerical

simulation

viii

Sumário

1. Introdução ..................................................................................................................... 1

1.1. Motivação .............................................................................................................. 1

1.2. Objetivos ................................................................................................................ 2

1.3. Organização do trabalho ........................................................................................ 3

2. Revisão bibliográfica .................................................................................................... 4

3. Modelo Teórico ............................................................................................................ 6

3.1. Modelo poroelástico .............................................................................................. 7

3.1.1. Mecânica ......................................................................................................... 7

3.1.2. Permeação ....................................................................................................... 8

3.2. Equações na forma fraca........................................................................................ 9

3.2.1. Forma fraca do problema mecânico ............................................................... 9

3.2.2. Forma fraca do problema de permeação ....................................................... 10

3.3. Trajetória da espécie química .............................................................................. 11

4. Modelo Numérico ....................................................................................................... 12

4.1. Definição da geometria ........................................................................................ 12

4.2. Programação das equações na forma fraca .......................................................... 13

4.2.1. Forma fraca da equação mecânica ................................................................ 13

4.2.2. Forma fraca da equação de permeação do fluido ......................................... 13

4.3. Trajetória da partícula .......................................................................................... 13

4.4 Malha .................................................................................................................... 14

4.5. Estudo .................................................................................................................. 15

4.6. Parâmetros ........................................................................................................... 15

5. Resultados e discussões .............................................................................................. 17

5.1. Forçamento cíclico com um lado aberto para o meio .......................................... 17

5.2. Forçamento cíclico com dois lados abertos para o meio ..................................... 21

ix

5.2.1. Trajetória da partícula ................................................................................... 25

5.3. Forçamento cíclico com dois lados abertos para o meio e com a aplicação de uma

diferença de pressão.................................................................................................... 28


5.4. Corpo só com aplicação de uma diferença de pressão ........................................ 32


6. Considerações Finais .................................................................................................. 36

6.1 Conclusões ............................................................................................................ 36

6.2 Trabalhos futuros .................................................................................................. 37

7. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 38

Apêndice A ..................................................................................................................... 39

A.1 Resolução analítica do corpo com forçamento cíclico com um lado aberto para o

meio ............................................................................................................................ 39

A.2 Resolução analítica do corpo com forçamento cíclico com dois lados abertos para

o meio ......................................................................................................................... 39

1

1. Introdução

1.1. Motivação

A engenharia não é somente o estudo do funcionamento de maquinas, cálculos

estruturais para edificações, construção de navios ou gerenciamento de uma produção,

como o conhecimento popular costuma nos dizer. É uma ciência que permeia outras

áreas. Na realidade, a engenharia é usada para a resolução de problemas não apenas na

área das ciências exatas, mas nas áreas biomédicas e humanas da mesma maneira.

Durante o percorrer deste trabalho, esta afirmativa ficará cada vez mais clara com a

exposição de nosso estudo dentro da área biomédica.

Este trabalho apresenta o controle do transporte de espécies químicas como

nutrientes, partículas, medicamentos e lipossomos, em biomateriais e tecidos [1] que

estão sendo estudados através do modelo poroelástico, como o disco intervertebral [2-

3], ossos [4], tecidos cerebrais [5], cartilagem [6] e certos tipos de tumores [7]. Podem

existir outras estruturas onde este modelo é capaz de ser estudado, mas não fazem parte

do trabalho aqui desenvolvido.

O transporte de espécies químicas através dos tecidos se faz necessário, como

por exemplo, para um tumor, existe, e é mais eficiente quando o medicamento é capaz

de penetrar em todo o tecido [7]. A engenharia de construção de tecidos tem como um

de seus principais desafios, o transporte de nutrientes e oxigênio para as estruturas

citadas acima [1].

As espécies químicas quando estão dentro de um tecido, tem como mecanismos

de transporte a difusão e a convecção [7], onde a difusão tem sua velocidade de

transporte principalmente governada pela concentração da espécie química, e a

convecção é governada principalmente pelo movimento de um fluido, que transporta

essa espécie química dentro do tecido. A escala de tempo da difusão é muito maior que

a escala de tempo da convecção, ou seja, para uma espécie química ser transportada de

um ponto A para um ponto B, leva muito mais tempo pelo mecanismo da difusão do

que pela convecção.

O movimento convectivo de uma espécie química em um biomaterial ou tecido,

que pode ser descrito pelo modelo poroelástico, sofre grande influencia da pressão [1]

2

interna e externa ao material. Caso o material esteja em repouso e a pressão interna se

iguale a pressão externa não há o transporte convectivo. Se o material não estiver em

repouso, por exemplo, sob um carregamento que deforme o material, o modelo

poroelástico nos mostra que há uma alteração da pressão interna do material com

relação ao meio externo. Essa diferença de pressão é capaz de gerar um transporte

convectivo de uma espécie química.

A motivação é criar um modelo em elementos finitos capaz de representar de

maneira satisfatória matérias poroelásticos. O modelo será validado a partir de

comparações com resultados encontrados na literatura onde o modelo se baseia. Em

posse do modelo validado, para poder estudar e descrever o transporte convectivo de

uma espécie química em materiais poroelásticos, sob diferentes circunstancias como, a

aplicação de uma diferença de pressão entre dois pontos no material, ou um

carregamento, axial ou de flexão, ou ainda uma combinação dos anteriores.

1.2. Objetivos

Este trabalho tem como objetivo estudar a influencia da pressão em matérias

poroelásticos para o transporte convectivo de espécies químicas sob as seguintes

circunstancias:

Sob um carregamento axial cíclico [1];

Sob uma diferença de pressão aplicada entre dois pontos, e;

Sob um deslocamento axial cíclico e uma diferença de pressão aplicada

entre dois pontos [1].

Para analisar veremos os perfis de pressão e de velocidade do fluido, associadas

à pressão pela lei de Darcy [1], e mostrar qual será a trajetória percorrida pela espécie

química sob tais circunstancias. Isso será estudado através do uso do método de

elementos finitos, usando como ferramenta computacional, o COMSOL.

Analisando a trajetória da partícula em todas as circunstancias listadas acima

podemos concluir qual seria a melhor circunstancia que o material estaria subjugado

para o transporte de uma espécie química em seu interior, ou seja, em que situação a

partícula leva menos tempo para penetrar no material.

3

1.3. Organização do trabalho

Este trabalho é dividido em 6 capítulos. O primeiro capítulo dedica-se a

introduzir o assunto, apresentar as motivações e objetivos do referido trabalho. O

segundo capítulo trata de uma revisão bibliográfica para situar o leitor e, facilitar a

compreensão deste. No capítulo 3 é apresentado o modelo poroelástico, o

comportamento solido-fluido, as equações de governo e as condições de contorno, a

forma fraca das equações e o calculo para a trajetória da espécie química. O capítulo 4

apresentará como foi feita a solução do modelo poroelástico pelo método de elementos

finitos, utilizando o COMSOL, como as equações foram introduzidas, qual a malha que

foi utilizada, e o solver empregado para solução. O capítulo 5 trata de apresentar os

resultados obtidos das simulações do COMSOL, bem como as deformações, as

pressões, velocidades e a trajetória da partícula. No capítulo 6, desenvolveremos as

conclusões obtidas, baseadas nos resultados que foram alcançadas através do estudo.

Neste capítulo também apresentaremos sugestões de trabalhos futuros. Ao final são

apresentadas as referencias bibliográficas utilizadas neste projeto de trabalho.

4

2. Revisão bibliográfica

O controle do transporte de uma espécie química através de um tecido já é foco

de estudo há vários anos como pode ser comprovado pelos artigos em que este trabalho

se baseia.

No artigo de Vaughan et al.[1] está apontado um dos desafios primários para o

sucesso na engenharia de tecidos, que é o transporte de oxigênio e nutrientes através de

sua estrutura, mesmo que os métodos para aumentar a vascularização desses matérias já

estejam bastante avançados, ainda não é suficiente para alcançar todas as áreas

pretendidas. Ramanujan et al.[7] discutem a importância da penetração de um

medicamento na matriz intersticial de um tumor para que o tratamento seja ainda mais

eficaz, como esta mesma matriz intersticial do tumor inibe a difusão de agentes

anticancerígenos grandes como lipossomos e “gene vectors” e ainda, a hipertensão do

interstício inibe também a convecção, é necessário outro método para o transporte dos

referidos agentes, ou seja outro maneira de induzir o transporte convectivo.

A utilização do modelo da poroelástico tem se mostrado muito útil para

descrever o comportamento de tecidos e biomateriais, bem como os perfis de pressão e

o transporte convectivo nos mesmos. Ferguson et al. [2] e Basser [5] descrevem o papel

da convecção para o transporte de moléculas para dentro de um disco intervertebral [2]

e tecido cerebral [5] modelados em elementos finitos usando o modelo poroelástico,

mostrando que o tema já vem sendo estudado.

O modelo poroelástico foi formulado por Biot [9] para descrever o

comportamento de solos, com os poros saturados por fluidos, submetidos a cargas

uniformes, o modelo descreve o comportamento mecânico do solido através de

pequenas deformações e o transporte de fluido, onde os fenômenos solido-fluido estão

ligados pela pressão do poro.

Riches et al.[3] e Manfredini et al.[4] discutem que diferentes tecidos, como

cartilagem [3-5] e ossos [4], podem ser descritos pelo modelo poroelástico e sofrem

cargas cíclicas tanto axiais quanto de momentos fletores em situações cotidianas, como

ficar em pé e andar.

5

Dessa maneira já existem estudos como os de Vaughan et al.[1] e Kameo et

al.[8] que estudaram a pressão de matérias poroelásticos, [1] usando um hidrogel que

simula um tecido, sob carga axial cíclica mergulhado em um fluido para analisar a

pressão, a velocidade e a penetração de uma partícula após um numero de ciclos,

enquanto que [8] estudou a pressão interna do material sob carregamentos com

diferentes frequências, e diferentes proporções de carregamentos cíclicos axiais e

momentos fletores.

Assim o estudo de materiais modelados pelo modelo poroelástico não é um

estudo novo, porém poucos estudam a penetração de espécies químicas sob diferentes

cenários, como por exemplo, a aplicação de um forçamento cíclico e uma diferença de

pressão.

6

3. Modelo Teórico

Considerando um corpo B poroso isotrópico delimitado pelo contorno B,

demostrada na Figura 3.1. O corpo B está saturado de um líquido qualquer e, imerso

neste mesmo líquido incompressível newtoniano, de maneira que os espaços

intersticiais, os poros, do corpo B estão completamente preenchidos pelo liquido. Este

fluido por si só pode carregar consigo diferentes tipos de espécies químicas.

Figura 3.1 - Corpo B

As espécies químicas presentes no fluido se deslocam com velocidade relativa

zero em relação ao mesmo, o que significa que estas espécies químicas tem a mesma

velocidade do fluido, ou seja, se movem juntas. A presença de fluido preenchendo o

corpo B modifica seu comportamento, quando o mesmo sofre um carregamento que

causa deformação do contorno, essa deformação do contorno causa uma deformação

dos poros induzindo uma mudança de pressão no fluido intersticial que o movimenta. A

mudança de pressão acarreta o transporte de fluido para dentro ou para fora do corpo B

através do seu contorno B, alterando o seu volume, porém a escala de tempo do

transporte do fluido é maior que a da deformação do corpo, isso significa que o corpo se

deforma e o fluido que está perto das regiões abertas sai através do contorno, enquanto

que o fluido que está no meio não escoa tão rápido.

Para descrever o comportamento do corpo poroso B e do fluido usamos o

modelo poroelástico. O Modelo poroelástico foi primeiro formulado por Biot [9] para a

B

B

7

descrição de solos sob carregamentos uniformes, e depois foi utilizada para descrever o

comportamento de corpos porosos como hidrogel [1], e biomateriais e tecidos [2-6].

3.1. Modelo poroelástico

O modelo poroelástico descreve o comportamento mecânico de um corpo poroso

e do transporte do fluido que preenche seus poros, esses comportamentos estão

acopladas pela pressão do fluido.

3.1.1. Mecânica

O comportamento mecânico descrito por Biot [9] usa a teoria de pequenas

deformações, onde as forcas de inércia são desconsideradas,

(3.1)

o tensor de tensões T foi formulado com as constantes de Lamé como utilizadas por [1]

para descrever o hidrogel. Os Tensores e vetores são representados em negrito para

diferenciar de escalares.

(3.2)

onde λ e μ são as constantes de Lamé, p é a pressão do fluido nos poros e tr(ε) é o traço

do tensor de deformação definido como:

(3.3)

onde u é o vetor deslocamento.

Dessa maneira quando fazemos o divergente do tensor de tensões temos a

seguinte equação:

(3.4)

A equação (3.4) é a equação de governo do comportamento mecânico de um

corpo poroso saturado e que utilizaremos na simulação do modelo. O corpo pode sofrer

deslocamentos e carregamentos em seu contorno, como carregamentos axiais, ou pode

estar em repouso.

div 0,T

tr( ) 2 p ,T ε I ε I

2 ( ) ( ) pu u

tr( ) div( ),ε u

8

3.1.2. Permeação

Para o comportamento da permeação do fluido no modelo poroelástico, podemos

fazer uma analogia à concentração de um soluto. Como o sólido e o líquido são

incompressíveis, o sólido só mudara de volume caso haja uma variação na concentração

do líquido no corpo. O volume do corpo é dado por,

(3.5)

onde c é a concentração de fluido e v uma constante, no momento que derivarmos a

equação 3.5 com relação ao tempo teremos

(3.6)

assim, vemos que o volume do sólido só mudará caso haja variação da concentração do

fluido. A variação de concentração do fluido está relacionada com o fluxo do fluido,

saída ou entrada de fluido através das fronteiras do sólido.

(3.7)

onde o fluxo J é representado da seguinte maneira

(3.8)

onde m representa uma mobilidade e γ é o potencial químico. A pressão do fluido para

entrar e sair pode ser representada pela diferença, de potencial γ para um potencial de

referencia constante γ0,dividido por uma velocidade v,

(3.9)

derivando a equação (3.9) temos que

(3.10)

Dessa maneira substituindo a equação (3.10) na (3.8), e depois substituindo na

(3.7) temos que a variação de concentração será

(3.11)

Substituindo a equação (3.3) e a (3.11) na equação (3.6) teremos,

(3.12)

cdivJ,

t

J m

0pv

v p

cdiv(mv p)

t

2(div( ))k p

t

u

tr( ) vc,ε

tr( ) cv ,

t t

ε

9

onde k é a condutividade hidráulica dada pela razão entra a permeabilidade do material

e a viscosidade do fluido (K/μf). A equação (3.12) é a equação que governa a permeação

do fluido no material poroelástico, esta equação também foi utilizada dessa forma por

[1], e será utilizada na simulação do modelo.

Para a equação (3.12) temos como condições de contorno a permeabilidade ou

impermeabilidade das paredes, ou seja, o fluido é capaz ou não de atravessar o contorno

do corpo. A outra condição de contorno é quando a parede é permeável, ou seja, aberta

para o meio externo, onde há pressão aplicada naquela parte do contorno.

Para calcularmos a velocidade do fluido no sistema, usaremos lei de Darcy [1 e

9], que relaciona a velocidade com o gradiente de pressão a condutividade hidráulica k e

a porosidade .

(3.13)

onde a porosidade , que normalmente seria uma função que varia com a deformação

do solido, nesse caso foi tratado, com base em [1] para o calculo da velocidade no pós

processamento como uma propriedade constante do material, então é uma constante.

3.2. Equações na forma fraca

As equações de governo do modelo poroelástico para serem resolvidas serão

passadas para a sua forma fraca.

3.2.1. Forma fraca do problema mecânico

Para a resolução do problema mecânico do modelo poroelástico à equação (3.1)

deve ser formulada na forma fraca, para isso multiplica-se a equação pela função de

teste w1 e integra-se no domínio.

(3.14)

Para a formulação da forma fraca utilizou-se a integração por partes, dessa maneira a

equação 3.14 fica

(3.15)

onde n é o vetor normal a superfície do material.

kp,v

1 1

B B

w dV w dA 0,T Tn

1

B

w div dV 0,T

10

O tensor T é definido abaixo para um estado plano de deformação como em [1]

(3.16)

onde usando a definição 3.4 temos que cada componente do tensor T é

(3.17)

E o tensor ε é definido com relação ao vetor deslocamento u,

(3.18)

A forma fraca que iremos solucionar para o problema mecânico é a integral no

domínio da equação (3.15), onde o produto escalar do divergente de w1 com o tensor T

é dado abaixo

(3.19)

3.2.2. Forma fraca do problema de permeação

Para encontramos a forma fraca da equação (3.12), será usado o mesmo

procedimento para encontrar a forma fraca da equação da parte mecânica, para tal

multiplicasse a equação por uma função teste arbitrária, para não confundir com a

função teste da parte mecânica a função agora será representada por w2, e integramos

com relação ao domínio

(3.10)

xx xy

yx yy

,T

2

2 2

B B

(div( ))w dV k w pdV 0

t

u

1xx

1 2xy

1 2yx

2yy

u

x

u u0.5

y x

u u0.5

y x

u

y

1,y 1,y1,x 1,x

1,y1,x

1 xx xy xy yy

w ww w

ww y x y xw t t t t

x 2 2 yT

xx xx

xy xy

yx yx

yy yy

tr 2 p

2

2

tr 2 p

ε

ε

11

Para a parte da pressão que tem derivadas de segunda ordem será usada a

integral por partes.

(3.21)

O primeiro termo do lado esquerdo da igualdade (3.21) será resolvido com as

condições de contorno e, não é utilizada para formulação da forma fraca. Dessa maneira

utilizando a igualdade (3.21) na equação (3.20) temos

(3.22)

que de maneira similar a equação da parte mecânica, a equação na forma fraca 3.22,

será solucionada.

3.3. Trajetória da espécie química

Como em [1] o único mecanismo de movimento da espécie química será devido

à velocidade do fluido ao qual ela está inserida, considerando também baixas forças de

arrasto e inércia, a espécie química terá a mesma velocidade do fluido. A velocidade

deste, já discutida no item 3.1.2, segue a lei de Darcy.

Definindo a posição da espécie química como “q”, e a velocidade sendo a

mesma da velocidade do fluido tem-se a seguinte relação

(3.23)

Através da integração da equação 3.23 pode se chegar a trajetória da espécie

química ao longo do tempo.

2 2

B B

(div( ))w dV k w pdV 0,

t

u

kp

t

qv

2

2 2 2

B B B

w pdV w pdA w pdV

12

4. Modelo Numérico

Para solucionar o modelo de um corpo poroelástico, em diferentes circunstâncias

de carregamentos e a aplicação de uma diferença de pressão, foi utilizado o método de

elementos finitos através do programa COMSOL Multiphysics 4.4.

4.1. Definição da geometria

Primeiro definimos a geometria que será utilizada para calcular o modelo,

usando como base o experimento de [1], onde um pedaço retangular de hidrogel é

simulado, então definimos uma região retangular no espaço como mostrado na figura

4.1.

Figura 4.1 - Geometria (Retirado do COMSOL)

Ainda com base no experimento [1] para definir o tamanho do retângulo, com a

altura 8mm e a largura de 10mm, ambas adimensionalizadas utilizando como

comprimento característico a altura, de maneira que a região demostrada na figura 4.1

tem altura 1 e largura 1,25. A origem do sistema de coordenadas está localizada no

centro da geometria.

13

4.2. Programação das equações na forma fraca

As equações de governo do modelo poroelástico serão programadas no

COMSOL, ou seja, introduziremos as formas fracas das equações de governo e, das

condições de contorno deduzidas no Capítulo 3.

4.2.1. Forma fraca da equação mecânica

Para programarmos a equação 3.19 da parte mecânica do modelo poroelástico

será utilizada a opção de “weak form PDE” que terá duas variáveis que serão as

variáveis de deslocamento u1 e u2, que representa o vetor deslocamento u. O tensor T e

ε serão programados em função das variáveis de deslocamento u1 e u2.

Após a introdução da equação de governo, serão introduzidas as condições de

contorno, nas regiões que não há restrição de movimento ou força aplicada, será

utilizada para esses contornos a opção “zero flux”. Quando a condição de contorno

impõe ou restringe o deslocamento de alguma das variáveis “u1” e/ou “u2”, em alguma

das paredes do contorno, se usa a opção “Dirichlet Boundary Condition”.

De maneira similar, para o carregamento cíclico também se utiliza a opção

“Dirichlet Boundary Condition” com um deslocamento cíclico definido de uma

amplitude A multiplicando um seno de frequência multiplicado pelo tempo (Asen(ωt)).

4.2.2. Forma fraca da equação de permeação do fluido

A equação de permeação do fluido (3.22) será introduzida no COMSOL,

utilizando a opção de “weak form PDE” que terá agora só uma variável que será a

pressão p.

Com a equação de governo inserida serão programadas as condições de

contorno. Para a condição de impermeabilidade das paredes, similar ao usado para a

parte mecânica, se usa a opção “zero flux”. Nos contornos que foram abertos para o

meio, permeáveis, a condição de contorno é a pressão que o meio aplica a parede e é

programada pela opção “Dirichlet Boundary Condition”.

4.3. Trajetória da partícula

A trajetória da espécie química se calcula utilizando a opção “Particle Tracing

for Fluid Flow” que permite introduzir no sistema um número de partículas definidas

14

pelo usuário. Desta maneira, não será necessário passar para forma fraca a equação

(3.23) para calcular a trajetória, como feito para as equações de governo, pois o módulo

do COMSOL já tem essa formula programada, só é necessário atribuir à partícula a

velocidade do fluido, que é dada pela lei de Darcy [1].

Porém, o COMSOL não é capaz de criar um gráfico da posição da partícula pelo

tempo. Então, as posições da partícula em cada intervalo de tempo foram exportadas

para um arquivo de texto, e depois, passadas para um Excel e, gerado um gráfico através

da função de dispersão.

4.4 Malha

De acordo com [10] a ideia básica do método de elementos finitos é a de dividir

o corpo em elementos conectados por “nós” e obter a solução aproximada, quanto maior

número de nós, mais a solução encontrada se aproxima da solução exata, porém

demanda mais tempo computacional.

Foi usada uma malha com 7200 elementos quadrados com aproximações

bilineares. Os elementos foram distribuídos de maneira uniforme na horizontal, porém

na vertical, há um acumulo maior de elementos nas bordas que no centro, foi feito desta

maneira, pois é esperado que as pressões nas bordas vão variar mais do que no centro,

dessa maneira temos uma aproximação melhor da pressão nas bordas do corpo.

15

Figura 4.2 - Geometria (Retirado do COMSOL)

4.5. Estudo

Foi utilizado o estudo “Time Dependent” com tolerância absoluta de 0.001, para

as variáveis u1, u2 e p, utilizando o método BFD, pois foi o único disponibilizado pelo

COMSOL que pode ser usado junto com o “Particle tracing”. Foi usado para calcular a

interação direta, com o MUMPS solver com estimativa de erro automática.

4.6. Parâmetros

Para definir e resolver o problema, são necessários parâmetros geométricos do

corpo, parâmetros elásticos e de permeação do material e, do carregamento que o corpo

estará submetido. Para que o modelo desenvolvido no COMSOL seja validado, é

necessário que sejam utilizados os mesmos parâmetros de [1], porém as equações e

parâmetros foram adimensionalizadas, então será necessário utilizar os parâmetros da

mesma maneira.

Neste trabalho estamos trabalhando com um estado plano de deformação, ou

seja, um problema bidimensional, assim só é necessário como parâmetros geométricos

para definir a forma do objeto à altura H e o comprimento L, que tem valor em [1]

respectivamente de 8 mm e 10 mm. Para a adimencionalização foi escolhido como

16

comprimento característico a altura, dessa forma a altura adimencionalizada será 1 e o

comprimento adimencionalizado será 1,25.

Os parâmetros das propriedades elásticas do material, que definem a parte

mecânica do problema, foi formulado pelos parâmetros de Lamé, logo as constantes de

Lamé λ e μ são necessárias, onde λ é o primeiro parâmetro de Lamé e μ é o modulo de

cisalhamento, em [1] λ é 11027,5 MPa e μ é 5680,8 MPa. Os parâmetros que serão

usados serão os adimensionais, em [1] a adimensionalização dos parâmetros de Lamé

foram feitas de seguinte maneira

onde k é a condutividade hidráulica do material e ω é a frequência do carregamento

cíclico.

O problema de permeação do fluido precisa para definir as velocidades, a

condutividade hidráulica k e a porosidade do material . A condutividade hidráulica

em [1] é 1,43 x 10-11

m4/Ns, e a porosidade , como já mencionada no item 3.1.2 é um

valor constante igual a 0,996.

Os parâmetros do carregamento cíclico axial, já comentado no item 1.2 e 4.2.1,

são definidos pela frequência ω e a amplitude do movimento definido como A. Em [1] a

frequência é de 2π Hz e a amplitude A 10% do comprimento adimensional L.

A pressão e a velocidade também foram adimensionalizadas em [1], de forma

que possamos comparar os resultados obtidos com os de [1] é necessário que as

pressões e velocidades também sejam adimensionalizadas no modelo. As

adimensionalizações para a pressão e velocidade em [1] são respectivamente

k*

H

k*

H

2pHp* ,

k

* H .v v

17

5. Resultados e discussões

Com o modelo pronto no COMSOL, é necessário verificar se o mesmo está

correto, isso será feito nos itens 5.1 e 5.2 através da comparação com os resultados de

[1] e, os resultados obtidos através da simulação. Depois do modelo validado os itens

5.3 e 5.4 mostrarão os resultados de simulações idealizadas para este trabalho.

5.1. Forçamento cíclico com um lado aberto para o meio

Essa primeira simulação será para verificar se o modelo desenvolvido no

COMSOL está correto e condiz com a realidade, para que seja possível simular outros

casos.

O corpo está imerso e saturado no liquido e uma de suas paredes sofre um

deslocamento cíclico. Primeiro o corpo esta em repouso, ou seja, como condições

iniciais, todas as fronteiras estão paradas, e a pressão interna do corpo é igual a pressão

externa do meio. O corpo tem as paredes esquerda, inferior e direita impermeáveis, ou

seja, não há a passagem do líquido. O deslocamento vertical só está impedido pela

parede inferior, o movimento horizontal é impedido pela parede direita e um movimento

cíclico é aplicado na parede esquerda, a parede superior está livre pare se deslocar nas

duas direções. As condições de contorno estão demostradas na Figura 5.1 para melhor

entendimento.

1

xy

u A sin( t)

0

p0

x

xy 0 yy 0 p 0

1

xy

u 0

0

p0

x

xy 0 2u 0p

0y

18

Figura 5.1 – Concisões de contorno para o primeiro cenário (Retirado do

COMSOL)

Com as condições de contorno definidas, é necessário definir o intervalo de

tempo da simulação, com base em [1], o intervalo de tempo será de 0 a 7π/4 segundos,

com passos de π/4 segundos. Dessa maneira teremos o que vamos definir como um

ciclo, que é quando o corpo é comprimido uma vez e, depois tracionado uma vez.

Após as simulações obtemos os seguintes resultados mostrados nas figuras

abaixo

Figura 5.2 – O corpo sendo comprimido, a legenda de cor representa a pressão no

interior do corpo, representado no instante t=2π/4s

19

Figura 5.3 – O corpo sendo tracionado, a legenda de cor representa a pressão no interior

do corpo, representado no instante t=6π/4s

a)

b)

Figura 5.4 – Representa a pressão no interior do corpo ao longo de uma linha vertical

em diferentes instantes onde compressão ocorre nos tempos t=0, π/4, 2π/4, 3π/4 e a

tração nos tempos t= π, 5π/4, 6π/4, 7π/4: a) simulado no COMSOL c) retirada do artigo

[1] para comparação.

20

a)

b)

Figura 5.5 – Representa a velocidade no interior do corpo ao longo de uma linha vertical




Pode ser observado nas figuras 5.2, 5.3 e 5.4 que tanto durante a compressão

quanto durante a tração, que a pressão é constante em grande parte do corpo, da base,

y=-0,5 até aproximadamente y=0,4. Deste ponto em diante durante a compressão a

pressão cai conforme se aproxima da extremidade aberta e, durante a tração a pressão

sobe. O comportamento que pode ser observado condiz com a intuição, de que quando o

corpo é apertado, a pressão em seu interior aumenta e o liquido tende a sair do corpo,

por isso a velocidade positiva durante a compressão e, quando tracionada a pressão

diminui e o líquido tende a entrar no corpo, durante a tração observa-se que a

velocidade é negativa. Isso pode ser visto pelo gráfico da velocidade na figura 5.5, onde

a velocidade é na direção y positiva durante a compressão e, y negativa durante a tração.

A pressão em grande parte do corpo é constante, esta se modifica apenas

próximo à parede aberta para o meio externo, isto ocorre devido a diferença de escala de

tempo da permeação do fluido e da deformação mecânica do corpo. Caso o

deslocamento fosse só uma compressão e fosse mantido, gradualmente toda a pressão

no interior do corpo cairia para zero. Podemos observar que não há velocidade em

grande parte do corpo já que a pressão em seu interior é constante, de acordo com a lei

de Darcy não terá velocidade.

21

Com a comparação que podemos fazer nas figuras 5.4 e 5.5, podemos observar

que o perfil de pressão e o perfil de velocidade são muito semelhantes e assim

validamos o modelo junto com os resultados de [1].

5.2. Forçamento cíclico com dois lados abertos para o meio

A seguir simula-se outro cenário que também pode ser visto em [1], onde há dois

lados abertos para o meio externo, onde a parte superior e a inferior do corpo são

permeáveis, permitindo ao líquido atravessar essas paredes. Além disso, também se é

retirada a restrição de movimento vertical (u2=0) da parede inferior. Este novo cenário

já pode representar, por exemplo, a situação de um osso sobre cargas cíclicas [4] ou

discos intervertebrais [5].

Porém como não há mais restrição para o movimento vertical do corpo, pode

haver um movimento de corpo rígido. Com o corpo capaz de realizar um movimento de

corpo rígido o COMSOL não é capaz de encontrar uma solução para o modelo. Assim,

foi criada uma restrição do deslocamento vertical em um ponto da parede esquerda.

Esse ponto está localizado no meio, pois como o movimento é simétrico, essa restrição

não influenciará o resultado.

Figura 5.6 – Concisões de contorno para o segundo cenário (Retirado do

COMSOL)

1

xy

u A sin( t)

0

p0

x

xy 0 yy 0 p 0

1

xy

u 0

0

p0

x

xy 0 yy 0 p 0

2u 0

22

Como no cenário do item anterior o intervalo de tempo será de 0 a 7π/4

segundos, com passos de π/4 segundos, ou seja, um ciclo. Após simularmos foram

obtidos os resultados a seguir.

Figura 5.7 – O corpo sendo comprimido, a legenda de cor representa a pressão no

interior do corpo, representado no instante t=π/2s

23

Figura 5.8 – O corpo está tracionado e, a legenda de cor representa a pressão no interior

do corpo, representado no instante t=6π/4s.

24

a)

b)





25

a)

b)

Figura 5.10 – Representa a velocidade no interior do corpo ao longo de uma linha

vertical em diferentes instantes onde compressão ocorre nos tempos t=0, π/4, 2π/4, 3π/4

e a tração nos tempos t= π, 5π/4, 6π/4, 7π/4: a) simulado no COMSOL c) retirada do

artigo [1] para comparação.

De maneira similar ao item anterior o perfil da pressão se mantem constante no

interior e se aproxima de zero, pressão do meio exterior, conforme se aproxima das

laterais abertas, e de maneira também similar, só há velocidade nas regiões perto das

laterais abertas, onde existe uma variação da pressão.

Similar ao caso anterior, podemos fazer a comparação entre os resultados

alcançados com o modelo desenvolvido no COMSOL e o resultado obtido no artigo [1]

para pressão figura 5.9 e para a velocidade 5.10, podemos observar que o perfil de

pressão e o perfil de velocidade são muito semelhantes e assim validamos novamente o

modelo junto com os resultados de [1].

5.2.1. Trajetória da partícula

Agora para simular a trajetória de uma partícula que seja solta bem próxima a

lateral aberta superior do corpo e esteja sobre a ação da velocidade gerada pela pressão

26

depois de tantos ciclos, chegamos ao seguinte resultado, que pode ser comparado ao

encontrado em [1].

Figura 5.11 – Trajetória de uma partícula após 2800 ciclos.

Figura 5.12 – Um zoom do gráfico na figura 5.11 entre o inicio e o fim do 35° ciclo

27

Figura 5.13 – Mostra o resultado alcançado em [1]

Pelo gráfico da figura 5.11 vemos que a partícula penetra no corpo, porém, ela

tende a parar em algum lugar próximo de 0,4, isso faz sentido quando se analisa o perfil

das pressões da figura 5.9, que a pressão no interior é constante e só há mudança de

pressão perto das laterais abertas, e assim como vemos também na figura 5.10 só há

velocidade perto da borda aberta.

Na figura 5.12, sendo um zoom do inicio do movimento da partícula, podemos

ver que a trajetória da partícula não é linear, mas oscilatória. Em cada ciclo a partícula é

empurrada para cima, durante a compressão, velocidades positivas, e puxada para baixo

durante a tração, velocidades negativas. Porém, como a partícula sempre desce mais que

sobe, a mesma vai aos poucos penetrando no corpo.

Na figura 5.13 vemos o resultado obtido por [1] para a penetração da partícula.

Em [1] a origem está localizada no vértice inferior esquerdo do corpo, diferente do

nosso modelo que está no centro do corpo, então dessa forma em [1] a posição 1

representa no nosso modelo a posição 0,5. Comparando os resultados podemos ver que

houve o mesmo comportamento. Validando mais uma vez o modelo desenvolvido no

COMSOL.

Então, o que pode ser feito para que a partícula penetre mais no corpo? Para isso

é necessário mudar a pressão no seu interior, isso é possível através da aplicação de uma

diferença de pressão entre as duas partes abertas do corpo, e é o que será explorado no

item a seguir.

28

5.3. Forçamento cíclico com dois lados abertos para o meio e com a

aplicação de uma diferença de pressão

Como no item anterior a partícula não será capaz de penetrar por todo o corpo,

queremos ver como alterar a pressão interna de maneira que não seja mais constante e,

que então possa haver o transporte de partículas para o seu interior. Dessa forma serão

aplicadas nas duas laterais abertas pressões diferentes de maneira que haja um gradiente

de pressão através do corpo.

Para a condição de contorno da pressão na lateral superior será de uma pressão

P1>0 enquanto a pressão na parte de baixo continuará zero. Além disso, a lateral direita

do corpo restringirá também o movimento vertical do corpo. As condições de contorno

estão ilustradas na figura 5.14.

Figura 5.14 – Concisões de contorno para o terceiro cenário (Retirado do COMSOL)

Como nos itens anteriores primeiro foi simulado só no intervalo de tempo de um

ciclo, ou seja, de 0 a 7π/4 segundos, com passos de π/4 segundos. Após simularmos

foram obtidos os resultados a seguir.

1

xy

p0

x

u A sin( t)

0

p P

p 0

1

2

p0

x

u 0

u 0

yy P xy 0

yy 0 xy 0

29

a)

b)


de comprimento 1 que vai de baixo a cima no corpo em diferentes instantes: a) durante a

compressão b) durante a tração.

a)

b)

30

Figura 5.16 – Representa a velocidade no interior do corpo ao longo de uma linha

vertical de comprimento 1 que vai de baixo a cima no corpo em diferentes instantes: a)

durante a compressão b) durante a tração.

Para facilitar à compreensão a parte da compressão e a parte da tração foram

apresentadas separadamente. Com a aplicação de uma diferença de pressão, o perfil da

pressão mostrado na figura 5.15 não é mais constante no interior, agora é um

crescimento quase que linear da parte de baixo para a parte de cima. Assim, como pode

ser observado nos gráficos da figura 5.16, por mais que as velocidades sejam

influenciadas pelo carregamento, e se alterem em cada momento nas bordas, no interior

há uma velocidade constante negativa.


Uma partícula novamente é solta próxima da extremidade aberta superior do

corpo, o corpo está sob um carregamento cíclico axial e uma diferença de pressão.

Foram simulados vários ciclos para traçar a trajetória da partícula.

Figura 5.17 – Trajetória de uma partícula após 1800 ciclos.

O gráfico da figura 5.17 mostra que uma partícula foi solta na parte superior do

corpo, que está sob um carregamento cíclico axial e uma diferença de pressão aplicada

em dois lados do mesmo, após 1800 ciclos a partícula foi capaz de atravessar o corpo

por inteiro, foi da extremidade superior à extremidade inferior. Se for feita a

comparação do caso da figura 5.17 com o da figura 5.11, percebemos que no primeiro a

partícula em um número menor de ciclos consegue atravessar o corpo, pois a pressão

31

em seu interior não era constante e, que na simulação anterior isto não ocorre devido a

uma pressão constante em seu interior.

Figura 5.18 – Ampliação dos primeiros 50 ciclos da trajetória da partícula.

Figura 5.19– Ampliação dos últimos 50 ciclos da trajetória da partícula.

Figura 5.20 – Ampliação de 50 ciclos no meio da trajetória da partícula.

32

Pelas figuras 5.18 e 5.19, pode-se observar que no inicio e no fim, ou seja, perto

das bordas, a partícula tem muita influência das pressões que são geradas pelo

movimento cíclico do material, pode ser observado o comportamento oscilatório do

movimento como visto no item 5.2.1. Porém, podemos observar que na figura 5.20, a

partícula move-se de maneira linear no interior do corpo, não sofre qualquer influência

das pressões geradas pelo carregamento cíclico axial. Porém em todas as 3 regiões do

corpo, superior, meio e inferior, o deslocamento total após 50 ciclos foi semelhante,

próximo a 0.02.

5.4. Corpo só com aplicação de uma diferença de pressão

Há tecidos no corpo que não sofrem carregamentos cíclicos, mas estão sob o

efeito constante da pressão do meio externo, é o caso do disco intervertebral quando o

corpo está em repouso [2], ou o tecido cerebral [5]. Dessa maneira é interessante estudar

como se comporta um corpo poroelástico somente sobre uma diferença de pressão, e

como uma espécie química seria transportada nesse corpo.

Para simularmos esse cenário é preciso mudar as condições de contorno, agora

ambos os lados direito e esquerdo impedirão o deslocamento vertical. A pressão

aplicada na parte superior no item anterior, P1>0, será mantida igual para fins de

comparação. As condições de contorno estão ilustradas na figura 5.21.

Figura 5.21 – Concisões de contorno para o terceiro cenário (Retirado do COMSOL)

1

2

p0

x

u 0

u 0

p P

p 0

1

2

p0

x

u 0

u 0

yy P xy 0

yy 0 xy 0

33

Como neste cenário não há um carregamento cíclico não faz sentido o uso do

intervalo de tempo de 0 a 7π/4 segundos, com passos de π/4 segundos, então o intervalo

de tempo será de 0 a 30 segundos, em intervalos de 0,5 segundos, o intervalo de tempo

foi maior que nos itens anteriores (7π/4 ≈ 5,49), pois sem o carregamento cíclico a

pressão no interior do corpo demora mais para se estabelecer. Após simularmos foram

obtidos os resultados a seguir.

Figura 5.22 – O corpo deformado pela diferença de pressão aplicada, a legenda de cor

representa a pressão no interior do corpo, o instante representado é o t=30s (Retirado do

COMSOL).

Figura 5.23 – Representa a pressão no interior do corpo através de uma linha

vertical (Retirado do COMSOL).

34

Figura 5.24 – Representa a velocidade no interior do corpo através de uma linha

vertical (Retirado do COMSOL)

Como pode ser visto na figura 5.23, a aplicação de uma pressão maior na parte

superior do corpo o deforma, essa deformação como vista nos casos anteriores gera uma

pressão, como a parte superior do corpo foi comprimida a pressão aumentou e foi aos

poucos se igualando a do meio exterior, como pode ser visto no lado direito da figura

5.24. Enquanto que na parte inferior do corpo que foi tracionada, houve uma diminuição

na pressão que depois se estabilizou para se igualar ao meio externo. Assim aos poucos

foi formando um perfil linear de pressão. Com esse perfil linear de pressão que se

estabelece ao longo de todo o corpo, gera uma velocidade constante como pode ser visto

na figura 5.23.


Similar aos outros itens, solta-se uma partícula no topo do corpo. O corpo está

sob uma diferença de pressão. Simula-se durante um certo período de tempo para traçar

a trajetória da partícula.

35

Figura 5.25 – Trajetória de uma partícula após 10000 segundos.

Como esperado a trajetória é simplesmente linear já que não há o carregamento

cíclico, e após aproximadamente 10.000 segundos a partícula foi capaz de transpassar o

corpo. Pois, como visto antes a aplicação de uma diferença de pressão altera a pressão

interna do corpo de forma que não é mais constante, sendo assim tendo uma velocidade

diferente de zero, capaz de transportar uma partícula de uma superfície a outra.

36

6. Considerações Finais

6.1 Conclusões

Um corpo poroelástico é capaz de transportar espécies químicas dependendo das

condições as quais está submetido. Um corpo poroelástico, somente com a influência de

um carregamento axial cíclico, não é capaz de transportar uma espécie química de uma

superfície a outra, mas a transporta até chegar a um ponto e desse ponto não passará,

pois como a pressão no interior do corpo é constante, não haverá mais velocidade,

ficando assim a espécie química parada.

Porém quando uma diferença de pressão é aplicada juntamente com o

carregamento cíclico, a espécie química é capaz de atravessar o corpo por inteiro, pois,

a diferença de pressão alterou a o perfil de pressão interna do corpo de maneira que não

era mais constante e assim gerando uma velocidade constante no seu interior.

Também pode-se usar um corpo poroelástico apenas com uma diferença de

pressão aplicada para transportar uma espécie química, mesmo que no início, devido a

deformação a espécie química tenda a sair do corpo, depois que a pressão na superfície

se estabiliza a partícula irá de um lado ao outro do corpo.

Comparando os tempos decorridos para uma espécie química atravessar o corpo,

não houve diferença relevante entre os casos dos itens 5.3.1 e 5.4.1, ambos levaram

aproximadamente um tempo de 10.000 segundos (1800 ciclos = 9896 segundos).

Com os resultados podemos concluir que a diferença de pressão aplicada tem

maior influência no tempo e na capacidade de uma espécie química penetrar no

material. Pois, quando há apenas o movimento cíclico a espécie química não passa de

um certo ponto, mas quando apenas há a diferença de pressão aplicada a espécie

química é capaz de atravessar o corpo em um determinado tempo. Além disso, o modelo

criado no COMSOL se prova eficiente para simular as pressões e velocidades de um

corpo poroelástico em diferentes circunstâncias, o que pode ser usado para estudos mais

profundos do transporte de nutrientes ou de medicamentos.

37

6.2 Trabalhos futuros

Ainda há muitas possibilidades, combinações de parâmetros que não foram

estudados nesse trabalho, mas que influenciam diretamente o transporte de uma espécie

química através de um material poroelástico. Neste trabalho só foi simulado um material

sob diferentes circunstâncias de carregamentos e pressão, porém utilizando-se de

matérias poroelásticos com diferentes constantes de Lamé ou permeabilidades

diferentes, ou com diferentes permeabilidades em um mesmo material, assim analisando

quais materiais são melhores para o transporte de espécies químicas. Ou como a

alteração da frequência do carregamento ou da amplitude influenciaria no perfil de

pressão e no transporte de espécies químicas. Todos os exemplos citados podem ser

simulados com o modelo apresentado neste trabalho.

Outras considerações que necessitam de um pouco mais de aprimoramento do

modelo seria a influência das características da espécie química no seu transporte, como

a carga, as dimensões e o formato que podem dificultar ou facilitar o seu transporte

dependendo do material ao qual estão sendo transportados.

38

7. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS

[1] Vaughan, B. L., Galie, P. A., Stegemann, J. P., & Grotberg, J. B. (2013). “A

poroelastic model describing nutrient transport and cell stresses within a cyclically

strained collagen hydrogel”. Biophysical journal, v. 105(9), pp. 2188-2198.

[2] Ferguson, S. J., Ito, K., & Nolte, L. P. (2004). “Fluid flow and convective transport

of solutes within the intervertebral disc”. Journal of biomechanics, v. 37(2), pp. 213-

221.

[3] Riches, P. E., Dhillon, N., Lotz, J., Woods, A. W., & McNally, D. S. (2002). “The

internal mechanics of the intervertebral disc under cyclic loading”. Journal of

biomechanics, v. 35(9), pp. 1263-1271.

[4] Manfredini, P., Cocchetti, G., Maier, G., Redaelli, A., & Montevecchi, F. M. (1999).

“Poroelastic finite element analysis of a bone specimen under cyclic loading”. Journal

of biomechanics, v. 32(2), pp. 135-144.

[5] Basser, P. J. (1992). “Interstitial pressure, volume, and flow during infusion into

brain tissue”. Microvascular research, v. 44(2), pp. 143-165.

[6] Haider, M. A., & Guilak, F. (2007). “Application of a three-dimensional poroelastic

BEM to modeling the biphasic mechanics of cell–matrix interactions in articular

cartilage”. Computer methods in applied mechanics and engineering, v. 196(31), pp.

2999-3010.

[7] Ramanujan, S., Pluen, A., McKee, T. D., Brown, E. B., Boucher, Y., & Jain, R. K.

(2002). “Diffusion and convection in collagen gels: implications for transport in the

tumor interstitium”. Biophysical journal, v. 83(3), pp. 1650-1660

[8] Kameo, Y., Adachi, T., & Hojo, M. (2009). “Fluid pressure response in poroelastic

materials subjected to cyclic loading”. Journal of the Mechanics and Physics of

Solids, v. 57(11), pp. 1815-1827.

[9] Biot, M. A. (1941). “General theory of three-dimensional consolidation”. Journal of

applied physics, v. 12(2), pp. 155-164.

[10] Fish, J. and Balytschko, T. (2007). “A First Course In Finite Elements”. 1° ed,

England, John Wiley & Sons, Ltd.

39

Apêndice A

Em [1], onde os itens 5.1 e 5.2 do projeto foram baseados, resolve os problemas

de forma analítica.

A.1 Resolução analítica do corpo com forçamento cíclico com um

lado aberto para o meio

O modelo do Item 5.1 foi resolvido em [1] utilizando as mesmas equações de

governo adimensionalizadas e condições de contorno. Desta forma foram resolvidos os

deslocamentos nas direções horizontal (u1) e vertical (u2), a pressão (p) e a velocidade

na direção vertical (v2) da seguinte forma.

onde CL e CT são definidos a seguir

onde ν é

A.2 Resolução analítica do corpo com forçamento cíclico com dois

lados abertos para o meio

Em [1] o item 5.2 também é resolvido de maneira analítica, porém em [1] são

definidas as pressões aplicadas como condições de contorno nas paredes permeáveis

como P1 e P2. Para ilustrar, retiramos de [1] a figura a seguir.

1

xu (x, t) A 1 sin(t)

L

L TC CAp(y, t) 2sin(t)

L y y

2 2

L T2 2 2

C CAv (y, t)

L y y

it it

L

1 i sinh( (1 i)y) 1 i sinh( (1 i)y)C (y, t) e e

2 cosh( (1 i)) 2 cosh( (1 i))

2 L T

Au (y, t) ysin(t) (C (y, t) C (y, t))

L 2

n

ns t

T 2n 1 n

( 1)C (y, t) 4( 2 ) sin (2n 1) y e

1 s 2

0,5(2( 2 ))

40

Figura A.1 – Condições de contorno em [1]

O deslocamento na direção horizontal (u1) é o mesmo do item anterior, porém o

deslocamento vertical (u2), a pressão (p) e a velocidade na direção vertical (v2) serão

resolvidos de maneira diferente, apresentados abaixo.

onde p0 e νn são

n t

2 n2n 1 n n

A 1 1u (y, t) ( y )sin(t) 8 [ (cos(t) e ) sin(t)]cos((2n 1) y)

L 2 ( 1)

0p(y, t) P1 (P1 P2)y p (y, t)

n t

0 n

n 1 n 2

A (2n 1)p 8 ( 2 ) [ (cos(t) e ) sin(t)]cos((2n 1) y)

L (v 1)

n t

2 n2n 1 n

1 A 1v (P2 P1) 8 [ (cos(t) e ) sin(t)]cos((2n 1) y)

L 1

2 2( 2 )(2n 1)

controle do transporte convectivo de espÉcies quÍmicas em ... · 2. elementos finitos. 3....

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