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Lógica difusaVariablesConjuntosOperacionesRelaciones

ControlEstándarDifusoFuzzi�cationReglasInferenciaDefuzzi�cation

AplicacionesCinética puntualTanqueRueda loca

Futuro

Controladores difusosProyecto Integrador de la carrera de Ingeniería Nuclear

jeremy theler

Laboratorio de Cavitación y Biotecnología

Instituto Balseiro

Universidad Nacional de Cuyo

Comisión Nacional de Energía Atómica

05/03/2007




Futuro

Outline de la charla�All traditional logic

habitually assumes that

precise symbols are being

employed. It is therefore

not applicable to this

terrestrial life, but only

to an imaginated

celestial existence.�

Bertrand Russell, 1923

Lógica difusaVariables lingüísticasConjuntos difusosOperaciones difusasRelaciones difusas

Estructura de un controlador difusoEsquemas de control estándarEstructura de un controlador difusoInterfaz real�difusoBase de reglas lingüísticasMecanismo de inferenciaInterfaz difuso�real

Diseño de controladoresCinética puntualTanque mezcladorRueda loca

Trabajos futuros




Futuro

Motivación

A menudo nos encontramos con conceptos algo subjetivos

I . . . un número x mucho mayor que la unidad

I . . . una mujer hermosa

pero que son realmente importantes, por ejemplo

I . . . para poder resolver un problema de ingeniería

I . . . para lograr la felicidad

La teoría de lógica difusa es una herramienta con la cual atacarmatemáticamente problemas lingüísticos y subjetivos,originalmente introducida por Zadeh en 1965.




Futuro

Variables lingüísticas

½Atención! Probabilidad de tautología en puerta

De�nición (Variable lingüística)

Dada una variable real x de�nida en un universo de discurso U ,llamamos variable lingüística x al concepto asociado a x quesólo puede tomar valores lingüísticos, a de�nir a continuación.

De�nición (Valor lingüístico)

Sea x una variable lingüística. El conjunto de valores arbitrariosque x puede tomar es

V = {vi : i = 1, 2, . . . , N}

y cada uno de los elementos de V se llama valor lingüístico.




Futuro

Ejemplos de variables lingüísticas

Ejemplo

La variable lingüística p =�presión� de�nida sobre el universo dediscurso P = [0 Pa,∞) puede tomar los valores lingüísticos

p = {baja, normal, alta}

Ejemplo

Sea h ∈ [0, hmax] la altura del nivel de agua líquida en el circuitosecundario del generador de vapor de un reactor nuclear. Lavariable lingüística �altura� de�nida sobre h puede valer

altura = {inaceptablemente baja, peligrosamente baja,

baja, normal, alta, peligrosamente alta

inaceptablemente alta}




Futuro

Conjuntos difusos

De�nición (Función de membresía)

La función µv(x) : U 7→ [0, 1] que describe la certeza de que xpueda ser clasi�cada lingüísticamente por v se llama función demembresía.

De�nición (Conjunto difuso)

De�nimos el conjunto difuso Vu como

Vu ={(x, µx(x)

): x ∈ U

}esto es, un conjunto clásico cuyos elementos son pares{x, µx(x)} que representan la certeza de que el valor real xpueda ser clasi�cado lingüísticamente como x.




Futuro

Importante aclaraciónLo que a uno primero se le ocurre, o simple leyenda urbana. . .

Los conjuntos difusos no tienen nada que ver conuna distribución de probabilidad. Una función de membresía

caracteriza la certeza de que el contenido de la variabletradicional u pueda ser clasi�cada lingüísticamente como v, y nohay ninguna naturaleza probabilística detrás de este concepto, niestamos lidiando con fenómenos aleatorios.

RecordarSe trata de cuanti�car matemáticamante ideas naturalmenteimprecisas y subjetivas pero de�nitivamente no aleatorias.




Futuro

Extensión de los conjuntos clásicosEjemplo de un conjunto difuso que extiende un conjuntos clásicos

El conjunto clásico C = [0, 1] puede ser escrito como conjuntodifuso. En efecto, sea

µC(x) =

{1 si 0 ≤ x ≤ 1,0 de otra manera.

1

1

2

0x

µC

entonces el conjunto difuso

F = {(x, µC(x)) : x ∈ R}

coincide con el conjunto clásico C.




Futuro

Ejemplo de un conjunto difuso: luz azulCitado de Fontanini (1988)

Podríamos de�nir el conjunto difuso �luz azul� en el universo Λde las longitudes de onda visibles, cuya función de pertenenciapodría ser la siguiente función arbitraria

0600400 450 500 550 650 650

1

0.5

λ[nm]

µ(λ)




Futuro

Ejemplo � Presión en Atucha I

La presión nominal a la salida del generador de vapor de laCentral Nuclear Atucha I es p = 4,5MPa. Las funciones demembresía de los valores lingüísticos �baja�, �normal� y �alta�podría ser

4.4 4.5 4.6

1

4.3p

[MPa]4.70

µ(p)

normal

bajaalta




Futuro

Último ejemplo � Edades

Conjuntos difusos�subjetivos y arbitrarios�para clasi�car a unapersona según su edad

0

µ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20 40 60

jóvenhasta ahí nomás

vieja

edad [años]10080




Futuro

Último ejemplo � Edades

Conjuntos difusos�subjetivos y arbitrarios�para clasi�car a unapersona según su edad

0

µ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20 40 60

hasta ahí nomásvieja

edad [años]10080

jóven




Futuro

Operaciones sobre conjuntos difusosOperador unión

De�nición (Unión)

La unión F ∪G de los conjuntos F y G es el conjunto difusocuya función de membresía µF∪G(x) es

µF∪G(x) = max {µF (x), µG(x)}= µF (x) ∨ µG(x)

µF ∨ µG

µG

µF

µ

x




Futuro

Operaciones sobre conjuntos difusosOperador intersección

De�nición (Intersección)

La intersección F ∩G es el conjunto difuso cuya función demembresía es

µF∩G(x) = mın {µF (x), µG(x)}= µF (x) ∧ µG(x)

µF

µ

µG

xµF ∧ µG




Futuro

Relaciones difusas

De�niciónUna relación difusa binaria R está caracterizada por una funciónde membresía µR(x, y) que da la certeza de que el par (x, y) searepresentado por la relación R.

Ejemplo (Zadeh, 1965)

La relación denotada por x� y con x, y ∈ R puede serdescripta por un conjunto difuso A ∈ R2 cuya función demembresía µA(x, y) podría tomar los siguientes (y subjetivos)valores representativos

µA(10, 5) = 0µA(100, 10) = 0,7µA(100, 1) = 1




Futuro

Composición difusaExtensión al campo difuso de las funciones reales

De�nición (Composición sup-star)

Dados dos conjuntos difusos A ∈ X, B ∈ Y y una relacióndifusa binaria R ∈ X × Y , la función de membresía del conjuntodifuso B es

µB(y) = maxx {mın [µA(x), µR(x, y)]}= ∨x [µA(x) ∧ µR(x, y)]

fórmula que se conoce como composición sup-star o max-min.En el campo de los conjuntos difusos escribimos

B = A ◦R

Intento de justi�cación




Futuro

Esquemas de control estándar

De�nición (SISO)

Una planta con una entrada y una salida se llama sistema SISO.

De�nición (MIMO)

Una planta con más de una entrada y más de una salida llamasistema MIMO.

Lazo abierto

r(t) u(t)controlador planta

y(t)

u(t)−

y(t)controlador planta

y′(t)

conversor

r(t) m(t)

Lazo cerrado




Futuro

Esquemas de control estándarControladores digitales

−ek

DAC ZOH

rk u∗(t) y(t)uk

yk

digital

controlador

continua

planta

ADC

señal original

reconstruccióncon ZOH

aproximaciónωT2

(ωT )/2




Futuro

Estructura interna de un controlador difuso

lingüísticasreglas

inferenciamecanismo de

fuzzi�cation

defuzzi�cation

controlador

operad

or

r(t)

y(t)

m(t)planta

y(t)u(t)

1. interfaz real�difusa

2. base de reglas lingüísticas

3. mecanismo de inferencia

4. interfaz difusa�real




Futuro

Interfaz fuzzi�cation real�difuso



fuzzi�cation

defuzzi�cation

controlador

operad

or

r(t)

y(t)

m(t)planta

y(t)u(t)








Futuro

Interfaz real�difusaEl operador singleton

De�nición (Singleton)

El operador singleton s(x) devuelve un conjunto difuso tiposingleton con una función de membresía

s(x) = µ(x) =

{1 si x = x,

0 de otra manera

xx

1

0

µ




Futuro

Base de reglas lingüísticas



fuzzi�cation

defuzzi�cation

controlador

operad

or

r(t)

y(t)

m(t)planta

y(t)u(t)








Futuro

Reglas lingüísticascomo forma de cuanti�car conocimiento

I Reglas causalísticas de la forma IF - THENI Tácitamente utilizamos ciertos conocimientos o intuiciones

que se pueden escribir como reglas lingüísticas

• IF tengo hambre THEN como un chorizo• IF la mina es muy linda THENme olvido e intentocon otra

• IF estoy llegando a la esquina THEN piso un pocoel freno

• IF la potencia es baja THEN saco un poco las barrasde control

• IF la temperatura del refrigerante es alta THEN hagoun scram

• IF el nivel del presurizador es alto y aumenta la presión enla contención THEN la válvula de alivio estáabierta (TMI)




Futuro

Semántica de las reglas lingüísticasForma general

IF m1 ISA︸︷︷︸cláusula 1

AND · · · AND mn ISB︸︷︷︸cláusula n︸︷︷︸

premisa

THEN ui ISC︸︷︷︸consecuencia

Equivalencias lógicas

IF x ISA1 OR x ISA2 THEN y ISB ≡IF x ISA1 THEN y ISB

IF x ISA2 THEN y ISB

IF x ISA THEN y ISB AND z ISC ≡IF x ISA THEN y ISB

IF x ISA THEN z ISC




Futuro

Sobre el origen de las reglas

Las reglas lingüísticas pueden provenir básicamente de. . .

I la experiencia y conocimiento del diseñador sobre ladinámica y la ingeniería de control de la planta

I la observación de un operador humano en acción o de larecabación de la información necesaria de otras manerastales como la indagación lisa y llana

I un modelo matemático difuso

I métodos de aprendizaje basados en redes neuronales




Futuro

Mecanismo de inferencia difusa



fuzzi�cation

defuzzi�cation

controlador

operad

or

r(t)

y(t)

m(t)planta

y(t)u(t)








Futuro

Razonamiento difuso

Una regla lingüística implica una relación difusa

IF x ISA THEN y ISB ⇐⇒ B = A ◦R

Caso I

antecedente 1 (hecho) x ISAantecedente 2 (regla) IF x ISA THEN y ISB

consecuencia (conclusión) y ISB

Caso II

antecedente 1 (hecho) x ISA′

antecedente 2 (regla) IF x ISA THEN y ISBconsecuencia (conclusión) y ISB′

¾Cómo calculamos B′? ⇒ B′ = A′ ◦R




Futuro

Evaluación de reglasUna regla con una cláusula

x y

mın

B′B

A A′

µµ

w

antecedente 1 (hecho) x ISA′

antecedente 2 (regla) IF x ISA THEN y ISBconsecuencia (conclusión) y ISB′




Futuro

Evaluación de reglasUna regla con dos cláusulas

µ

mın

µ

x

µ

y

B B′

A

A′ C ′C

w1

w2 w

z

antecedente 1 (hecho) x ISA′ AND y ISB′

antecedente 2 (regla) IF x ISA AND y ISB THEN z ISCconsecuencia (conclusión) z ISC ′




Futuro

Evaluación de reglasDos reglas con dos cláusulas

z

C1

C ′1

mın

µµ

x

µ

y

µµ

x

µ

y

A2

C2C ′

2

z

B2

A1

B1

z

µ

C ′ = C ′1 ∪ C ′

2

A′

A′ B′

B′

∧




Futuro

Evaluación de reglasSimpli�cación del esfuerzo computacional usando el operador singleton

mın

µµ

x

µ

y

µµ

x

µ

y

C2C ′

2

z

B2

z

µ

∧

A′

A′

A2

A1

B1

B′

B′

z

C1

C ′1

C ′ = C ′1 ∪ C ′

2




Futuro

Interfaz defuzzi�cation difuso�real



fuzzi�cation

defuzzi�cation

controlador

operad

or

r(t)

y(t)

m(t)planta

y(t)u(t)








Futuro

Interfaz difuso�realOperadores defuzzi�cation

Centro de gravedad (COG)

g(z) =

n∑i=1

∫ ∞

−∞z · µi(z) dz

n∑i=1

∫ ∞

−∞µi(z) dz

Promedio de centros (CAV)

p(z) =

n∑i=1

zi · hi

n∑i=1

hi

z

µCOG

CAV




Futuro

Cinética puntualElección de las variables lingüísticas

I Planta SISO

I Variables lingüísticas

error ↔ n− nsp

rho ↔ ρctrl

I Controlador discreto

−controlador

difusoDAC+ZOH

ADC

nk

−1cinéticapuntual

ρext(t)

n(t)ρ∗ctrl(t)eknspk




Futuro

Cinética puntualElección de los valores lingüísticos y de las reglas

I Valores lingüísticos

error = {negativo, cero, positivo}rho = {negativa, cero, positiva}

µ

0

0.5

1

-2 -1 0 1 2

Entrada normalizada ξ

µ

0

0.5

1

-2 -1 0 1 2

Salida normalizada ψI Reglas lingüísticas

• IF error IS negativo THEN rho IS positiva• IF error IS cero THEN rho IS cero• IF error IS positivo THEN rho IS negativa




Futuro

Cinética puntualResultados

I Λβ = 0,013 seg ⇒ f = 200 Hz

I kerr = 0,25 kρ = 150× 10−5 |ρ| ≤ 20× 10−5

75

100

125

150

175

0 50 100 150 200 250

po

ten

cia

[UA

]

potenciasetpoint

−150

−100

−50

0

50

100

150

0 50 100 150 200 250

reac

tiv

idad

[p

cm]

tiempo [seg]

ρctrlρext




Futuro

Cinética puntualSensibilidad a la ganancia

−30

−20

−10

0

10

20

0 50 100 150 200 250

erro

r en

la

po

ten

cia

[UA

]

0.250.025

2.5

reac

tiv

idad

[p

cm]

tiempo

2.50.25

0.025

0

50 0 100 150 200 250

50

100

150




Futuro

Cinética puntualIn�uencia de las funciones de membresía y del operador defuzzi�cation

-0.002

-0.001

0.000

0.001

0.002

-4 -2 0 2 4error [UA]

CAVCOG con 3 valoresCOG con 5 valores

reactividad

µ

0

0.5

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Entrada normalizada ξ

0

0.5

1

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

µ

Salida normalizada ψ




Futuro

Tanque mezcladorDescripción del problema

h

u

uc uf

Q

T

Qc Qf

TcTf

A




Futuro

Tanque mezcladorElección de variables y valores lingüísticos

I Para poder usar mejor el conocimiento lingüístico, convienereferenciar las variables al punto de setpoint

uf0 =Qsp(Tc − Tsp)Qf(Tc − Tf)

uc0 =Qsp(Tsp − Tf)Qc(Tc − Tf)

temperatura ↔ T − Tsp = {fría, ok, caliente}caudal ↔ Q−Qsp = {bajo, ok, alto}ufría ↔ uf − uf0 = {cerrada, normal, abierta}

ucaliente ↔ uc − uc0 = {cerrada, normal, abierta}




Futuro

Tanque mezcladorEstrategia de control I�control independiente

I Con la canilla fría controlamos el caudal de salida y con lacanilla caliente la temperatura

• IF caudal IS alto THEN ufría IS cerrada• IF caudal IS ok THEN ufría IS normal• IF caudal IS bajo THEN ufría IS abierta

• IF temperatura IS fría THEN ucaliente IS abierta• IF temperatura IS ok THEN ucaliente IS normal• IF temperatura IS caliente THEN ucaliente IS cerrada




Futuro

Tanque mezcladorEstrategia de control II�control combinado

caudal temperatura

fría

okcaliente

ucaliente IS abierta

ufría IS cerrada

ucaliente IS normal

ucaliente IS cerrada

ufría IS normal

ufría IS abierta

temperatura

fría

okcaliente


ufría IS normal


ucaliente IS normal

ufría IS abierta

ufría IS abierta

temperatura

fría

okcaliente

ucaliente IS normal

ufría IS cerrada



ufría IS cerrada

ufría IS normal

ok

chico

grande




Futuro

Tanque mezcladorResultados

3.0

3.5

0 40 80 120

2.5

2.0

caudal[kgseg−

1]

control combinadosetpoint

control independiente

80

60

40

20 0 40 120 80

temperatura

[◦C]

0

0.5

1

0 40 80 120

uf

0

0.5

1

0 40 80 120

uc

tiempo [seg]




Futuro

La rueda loca de Lorenz

I Las reglas del juego

1. el objetivo de control es lograr que la rueda gire en unsentido dado, digamos horario

2. el único parámetro de control es caudal de agua y la únicavariable observable es la posición de la rueda

3. en todo momento el caudal debe estar en el rango de caos




Futuro

La rueda loca de LorenzComportamiento natural sin control

0 50 100 150 200

vel

oci

dad

[U

A]

tiempo [seg]

Q = 10× 10−6 m3·s−1

0 50 100 150 200

vel

oci

dad

[U

A]

tiempo [seg]

Q = 50× 10−6 m3·s−1

0 50 100 150 200

vel

oci

dad

[U

A]

tiempo [seg]

Q = 180× 10−6 m3·s−1




Futuro

La rueda loca de LorenzVariables y valores lingüísticos

0-1 -0.5 0 0.5 1

velocidad normalizada

0.5

µ

1

neg_grandeneg_chicacero

pos_chicapospos_grandepos_muychica

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1aceleración normalizada

µ

negativacero

positiva

hilitochicomaso

grandegigante

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5caudal normalizado

µ




Futuro

La rueda loca de LorenzReglas de la galera

I Reglas lingüísticas, después de algunos días, intentos,insultos y suerte de por medio

IF velocidad IS neg_grande AND aceleracion IS negativa THEN caudal is hilitoIF velocidad IS neg_grande AND aceleracion IS cero THEN caudal is hilitoIF velocidad IS neg_grande AND aceleracion IS positiva THEN caudal IS chico

IF velocidad IS neg_chica AND aceleracion IS negativa THEN caudal IS hilitoIF velocidad IS neg_chica AND aceleracion IS cero THEN caudal IS chicoIF velocidad IS neg_chica AND aceleracion IS positiva THEN caudal IS chico

IF velocidad IS cero AND aceleracion IS negativa THEN caudal IS chicoIF velocidad IS cero AND aceleracion IS cero THEN caudal ISmasoIF velocidad IS cero AND aceleracion is positiva THEN caudal ISmaso

IF velocidad IS pos_muychica AND aceleracion IS negativa THEN caudal ISmasoIF velocidad IS pos_muychica AND aceleracion IS cero THEN caudal ISmasoIF velocidad IS pos_muychica AND aceleracion IS positiva THEN caudal IS grande

IF velocidad IS pos_chica AND aceleracion IS negativa THEN caudal IS grandeIF velocidad IS pos_chica AND aceleracion IS cero THEN caudal IS grandeIF velocidad IS pos_chica AND aceleracion IS positiva THEN caudal IS gigante

IF velocidad IS pos AND aceleracion IS negativa THEN caudal ISmasoIF velocidad IS pos AND aceleracion IS cero THEN caudal IS grandeIF velocidad IS pos AND aceleracion IS positiva THEN caudal IS gigante

IF velocidad IS pos_grande AND aceleracion IS negativa THEN caudal IS grandeIF velocidad IS pos_grande AND aceleracion IS cero THEN caudal is grandeIF velocidad IS pos_grande AND aceleracion IS positiva THEN caudal is gigante




Futuro

La rueda loca de LorenzMapa del controlador

−4−2

02

4

−1

−0,5

0

0,5

1

velocidad[rad/seg]

aceleración[rad/seg 2

]

2

4

0

4× 10−4

3× 10−4

2× 10−4

1× 10−4caudal

[m3/seg]




Futuro

La rueda loca de LorenzDos resultados

velocidad

0 50 100 150 200

caudal

velocidad

0 50 100 150 200

caudal




Futuro

Lo que viene ahora. . .es atacar problemas termohidráulicos más interesantes

I A corto plazo, i.e., antes del 29 de junio. . .

• el problema de Welander con controladores lingüísticos• natural circulation loop con controladores de Takagi-Sugeno

I A largo plazo (?) . . .

• boiling channels acoplados con realimentación neutrónica




Futuro






fuente

sumidero




Futuro






fuente

sumidero sumidero

fuente

loop




Futuro






fuente

sumidero sumidero

fuente

loop

núcleo




Futuro

½Gracias por su atención!Afortunadamente el aburrimiento llegó a su �n

¾Preguntas?

Apéndice

Tratemos de justi�car la sorprendente fórmulasup-star. . .

a

b = f(a)

f(x)

x

y

Relación entre x e y ∈ R

f(x)

aa−∆a a+ ∆ax

y

f(a+ ∆a)b = f(a)

f(a−∆a)

Relación entre dos intervalos

Apéndice

Pasemos ahora al campo difuso. . .

1

0

y

x

µR(x, y)

0

0.5

1

x

µA

0

1

x

y

c(x, y)

0

1

c ∧ µR

y

x

Apéndice

Conjunto difuso obtenidoy un resultado de yapa. . .

1

µB

y

0.5

0

µB(y) = max∀x {mın [µA(x), µR(x, y)]}

Teorema (Resultado útil)

Si B = A ◦R entonces

µR(x, y) = µA(x) ∧ µB(y) = mın [µA(x), µB(y)]

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