ACCIONES BASICAS DE CONTROL

Ing. M.C. Luis Fernando Sanchez GomezDoctorado en Ingenierıa Electrica

Universidad Autonoma de Nuevo Leon

Introduccion

Los modelos matematicos obtenidos en las unidades anteriores son solamente ecuaciones que describenel comportamiento de algunos sistemas en particular. Sin embargo, el objetivo del curso es disenarcontroladores que permitan que los sistemas representados por los modelos anteriores funcionen en formaautomatica, es decir, que la salida de la plante se pueda regular en un valor deseado o siga una trayectoriapredeterminada.

Controladores Clasicos PID

Existe una gran variedad de controladores que se pueden utilizar con exito, en esta seccion estudiare-mos uno de los mas utilizados en la industria hoy en dıa conocido como el controlador clasico PID(Proporcional Integral Derivativo). Este esta compuesto por tres elementos como su nombre lo indica,que se pueden utilizar juntos o por separado excepto el Derivativo que siempre debe estar acompanadodel Proporcional. Enseguida se describe cada una de las combinaciones incluyendo el control ON/OFF(encendido/apagado) tambien muy utilizado.

Control ON/OFF

Conocido tambien como el control de dos posiciones es relativamente simple y economico, es por ello sugran popularidad en sistemas de respuesta muy lenta y que no requieren mucha precision. Su funcion sedescribe por:

vc(t) =

{Uoff e(t) < 0Uon e(t) ≥ 0

(1)

donde vc(t) es la salida del controlador, e(t) = ym(t) − yt(t) es el error y se define por la diferenciaentre el valor deseado y el valor medido, Uon es el estado encendido y Uoff es el estado apagado.

Este controlador se implementa comunmente con relevadores, que conectan la energıa a la entradade la planta cuando se detecta que la salida esta por debajo del valor deseado, y desconecta la energıacuando la salida ya esta por encima del valor deseado.

Control Proporcional (P)

Consiste de un amplificador de ganancia ajustable que varıa su salida en proporcion al error en el sistema.Conforme el error es mayor aplica mas energıa a la planta para tratar de elevar su salida y cuando esmenor reduce la energıa aplicada a la planta. Se describe por la siguiente ecuacion:

vc(t) = Kp · e(t) (2)

donde Kp es la ganancia proporcional del controlador. Su funcion de transferencia es:

Vc(s)

E(s)= Kp (3)

Control Integral (I)

Como su nombre lo indica integra la senal de error para determinar su salida. Al integrar va obteniendoel area bajo la cuerva de la senal de error y con ello informacion del comportamiento del sistema a lolargo del proceso. De esta forma no solo actua en base a la informacion instantanea como el controlproporcional lo hace, obteniendo en general mejores resultados. Se describe por la siguiente ecuacion:

vc(t) = Ki

∫ t

0

e(t)dt o vc(t) =Kc

Ti

∫ t

0

e(t)dt (4)

Donde Ki es la ganancia integral del controlador, Kc es el equivalente a la ganancia proporcional y Ti

es el tiempo de integracion. Su funcion de transferencia es:

Vc(s)

E(s)=

1

sKi o

Vc(s)

E(s)=

Kc

Tis(5)

1

Control Proporcional-Derivativo (PD)

Es una combinacion entre el control proporcional y el derivativo, el objetivo es ajustar la respuesta delsistema. Se describe por la siguiente ecuacion:

vc(t) = Kpe(t) + Kvd

dte(t) o vc(t) = Kc

(e(t) + Td

d

dte(t)

)(6)

Donde Kp es la ganancia derivativa y Td es el tiempo de derivacion. Su funcion de transferencia es:

Vc(s)

E(s)= Kp + Kvs o

Vc(s)

E(s)= Kc (1 + Tds) (7)

Control Proporcional-Integral (PI)

En una combinacion entre el control proporcional y el integral, el objetivo es eliminar el error que elcontrol proporcional en muchos sistemas no puede corregir. Se describe por la siguiente ecuacion:

vc(t) = Kpe(t) + Ki

∫ t

0

e(t)dt o vc(t) = Kc

(e(t) +

1

Ti

∫ t

0

e(t)dt

)(8)

Su funcion de transferencia es:

Vc(s)

E(s)= Kp +

1

sKi =

Kps + Ki

so

Vc(s)

E(s)= Kc

(1 +

1

Tis

)(9)

Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

La combinacion de tres elementos ofrece muchas alternativas de ajuste en la respuesta del sistema. Sedescribe por la siguiente ecuacion:

vc(t) = Kpe(t) + Ki

∫ t

0

e(t)dt + Kvd

dte(t) o vc(t) = Kc

(e(t) +

1

Ti

∫ t

0

e(t)dt + Tdd

dte(t)

)(10)

Su funcion de transferencia es:

Vc(s)

E(s)= Kp +

1

sKi + Kvs o

Vc(s)

E(s)= Kc

(1 +

1

Tis+ Tds

)(11)

Para saber cual de todos estos controladores se puede utilizar en una aplicacion determinada, es necesarioconocer que caracterısticas tiene el sistema a controlar, es decir la planta. En todos los casos el objetivoque se persigue es que la salida de la planta alcance un valor deseado o un comportamiento previamentedeterminado, en otras palabras que el error sea igual a cero.

Error en Estado Estable

El objetivo del controlador es llevar al sistema al valor deseado (que el error en estado estable sea cero).Por lo tanto la seccion del controlador depende principalmente del error que tenga en estado estable. Lafuncion de transferencia del sistema tiene la siguiente forma:

G(s) = Ke(s + z1)(s + z2) . . . (s + zm)

(s + p1)(s + p2) . . . (s + pv)(12)

donde zm representa los ceros de la funcion y pv los polos diferentes de cero de la funcion N representael numero de polos en cero (en el origen) y tambien define el tipo de plata:

• Si no tiene polos en el origen es el tipo 0.

• Si tiene un polo en el origen es del tipo 1, etc.

2

Figure 1: Sistema de control para el analisis de del error en estado estable

Analizando el sistema de lazo cerrado de la figura 1, la funcion de transferencia resulta:

Y (s)

Yd(s)=

C(s)G(s)

1 + C(s)G(s)(1)(13)

Sabemos que E(s) = Yd(s) − Ym(s) y que Ym(s) = E(s)C(s)G(s)(1), por lo tanto E(s) = Yd(s) −E(s)C(s)G(s)(1). Ahora factorizando y despejando obtenemos lo siguiente:

E(s) [1 + C(s)G(s)] = Yd(s) ⇒ E(s) =1

[1 + C(s)G(s)]Yd(s) (14)

Ahora se analizan diferentes tipos de combinaciones de controladores y tipos de plantas

• Caso 1. Controlador Proporcional, Planta Tipo 0 y valor deseado constante.

G(s) =d

s + b; Yd(s) =

yds

; E(s) =

[1

1 + C(s)G(s)

]yds

donde C(s) = Kp y C(s) = ds+b . Aplicando el Teorema del valor Final :

limt→∞

ess(t) = lims→0

sE(s)(t) = lims→0

s

1

1 + Kp

(d

s+b

) yd

s= lim

s→0

[1

1 + Kp

(db

)] yd=

1

1 + Kyd 6= 0 (15)

• Caso 2. Controlador Proporcional, Planta Tipo 1 y valor deseado constante.

• Caso 3. Controlador Integral, Planta Tipo 0 y valor deseado constante.

• Caso 1. Controlador Proporcional, Planta Tipo 0 y valor deseado tipo Rampa.

3