Control Digital/Avanzado Control Digital/Avanzado Sistemas Analógicos/DiscretosSistemas Analógicos/Discretos

M. en C. Luis Adrián Lizama PérezM. en C. Luis Adrián Lizama Pérez

Sistemas AnalógicosSistemas Analógicos

Se usan para procesar señales analógicas y se Se usan para procesar señales analógicas y se describen empleando ecuaciones diferencialesdescriben empleando ecuaciones diferenciales

La clase de sistemas lineales invariantes en el La clase de sistemas lineales invariantes en el tiempo también se pueden describir por su tiempo también se pueden describir por su respuesta al impulsorespuesta al impulso

DefinicionesDefiniciones

Un sistema físico es una interconexión de Un sistema físico es una interconexión de dispositivos y elementos sujetos a leyes físicasdispositivos y elementos sujetos a leyes físicas

Un sistema analógico es un sistema de tiempo Un sistema analógico es un sistema de tiempo continuocontinuo

La señal que se va a procesar se llama La señal que se va a procesar se llama excitación y la señal procesada se llama excitación y la señal procesada se llama respuestarespuesta

Modelar un sistema significa abstraer las Modelar un sistema significa abstraer las características del sistemacaracterísticas del sistema

Una especificación del sistema requiere una Una especificación del sistema requiere una descripción en términos de su estructura y la otra por descripción en términos de su estructura y la otra por su nivel de energía o estado (estado aterrizado, su nivel de energía o estado (estado aterrizado, relajado, cero). Aquí se emplean métodos de variables relajado, cero). Aquí se emplean métodos de variables de estadode estado

El comportamiento del sistema depende no sólo de la El comportamiento del sistema depende no sólo de la energía en un instante. Los valores iniciales de las energía en un instante. Los valores iniciales de las variables de estado definen las condiciones inicialesvariables de estado definen las condiciones iniciales

Operadores en tiempo contínuoOperadores en tiempo contínuo

Una ecuación se basa en operadoresUna ecuación se basa en operadores Un operador es una regla o un conjunto de Un operador es una regla o un conjunto de

instrucciones (un procedimiento) que nos dice instrucciones (un procedimiento) que nos dice como transformar una función en otra: como transformar una función en otra: Ej: el operador sEj: el operador sd/dt transforma una función de d/dt transforma una función de

x(t) a y(t)=s{x(t)}x(t) a y(t)=s{x(t)}

Un operador se representa por el símbolo Un operador se representa por el símbolo OO, , OO{x(t)}=y(t){x(t)}=y(t)

Ej: La operación Ej: La operación OO{}=4d/dt{}+6 indica que {}=4d/dt{}+6 indica que para obtener y(t), debemos derivar x(t), para obtener y(t), debemos derivar x(t), multiplicar por 4 y sumar 6 al resultado para multiplicar por 4 y sumar 6 al resultado para obtener 4d/dt{x(t)}+6=4dx(t)/dt+6=y(t)obtener 4d/dt{x(t)}+6=4dx(t)/dt+6=y(t)

Operadores linealesOperadores lineales

Operador aditivo:Operador aditivo:

OO{x{x11(t) + x(t) + x22(t)}=(t)}=OO{x{x11(t)} + (t)} + OO{x{x22(t)}(t)} Operador homogéneo:Operador homogéneo:

OO{kx(t)}=k{kx(t)}=kOO{x(t)} {x(t)}

Las dos operaciones juntas describen el Las dos operaciones juntas describen el principio de superposición:principio de superposición:

OO{Ax{Ax11(t) + Bx(t) + Bx22(t)}=A(t)}=AOO{x{x11(t)} + B(t)} + BOO{x{x22(t)}(t)}

Ej: Considere el operador Ej: Considere el operador OO{}=log{}{}=log{}

Puesto que log(Kx) Puesto que log(Kx) Klogx, el operador no es Klogx, el operador no es lineal, porque no es homgéneolineal, porque no es homgéneo

Ej: Considere el operador Ej: Considere el operador OO{}=C{}+D{}=C{}+D

Aplicando la prueba de homogeneidadAplicando la prueba de homogeneidad

OO{Ax(t)}=ACx(t)+D pero A{Ax(t)}=ACx(t)+D pero AOO{x(t)}=A(Cx(t)+D){x(t)}=A(Cx(t)+D)

Las dos difieren, la operación no es linealLas dos difieren, la operación no es lineal

Clasificación de sistemas contínuosClasificación de sistemas contínuos

Los sistemas se modelan por ecuaciones Los sistemas se modelan por ecuaciones diferenciales y relacionan la salida y(t) con la diferenciales y relacionan la salida y(t) con la entrada x(t):entrada x(t):

yy(n)(n)(t)+a(t)+a11yy(n-1)(n-1)(t)+…+a(t)+…+annyy(1)(1) (t) = b (t) = b00xx(m)(m)(t)+b(t)+b11xx(m-1)(m-1)(t)+…+b(t)+…+bmmxx(m)(m)(t)(t)

El orden n describe la derivada más alta de la El orden n describe la derivada más alta de la salida y(t). Los coeficientes pueden ser salida y(t). Los coeficientes pueden ser funciones de x(t) y/o y(t)funciones de x(t) y/o y(t)

Usando el operador derivada sUsando el operador derivada skkddkk/dt con /dt con ss001, se puede expresar esta ecuación en 1, se puede expresar esta ecuación en notación de operadores comonotación de operadores como

{s{snn + a + a11ssn-1 n-1 +…+ a+…+ annss11}y(t) = {b}y(t) = {b00ssm m + b+ b11ssm-1 m-1 +…+b+…+bmm}x(t)}x(t)

LinealidadLinealidad

Un sistema lineal es aquel para el cual se Un sistema lineal es aquel para el cual se aplica la superposición e implica:aplica la superposición e implica:

1.1. El sistema de ecuaciones debe incluir sólo El sistema de ecuaciones debe incluir sólo operadores linealesoperadores lineales

2.2. No debe contener fuentes internas independientesNo debe contener fuentes internas independientes

3.3. Debe ser relajado (c.i.=0)Debe ser relajado (c.i.=0)

¿Qué hace a un sistema no lineal?¿Qué hace a un sistema no lineal?1.1. Elementos no linealesElementos no lineales

2.2. Condiciones iniciales distintas de ceroCondiciones iniciales distintas de cero

3.3. Fuentes internasFuentes internas

Linealidad a partir de la relación entrada-salidaLinealidad a partir de la relación entrada-salida

Salida

Entrada

Salida

Entrada

Salida

Entrada

Salida

Entrada

Invariante en el tiempoInvariante en el tiempo

Implica que la forma de la respuesta y(t) Implica que la forma de la respuesta y(t) depende sólo de la forma de la entrada x(t) y depende sólo de la forma de la entrada x(t) y no del tiempo en el que se aplica:no del tiempo en el que se aplica:

OO{x(t-t{x(t-t00)}=y(t-t)}=y(t-t00))

Ej: y(t)=x(t)x’(t) es no lineal pero invariante en el Ej: y(t)=x(t)x’(t) es no lineal pero invariante en el tiempotiempo

La operación es La operación es OO{}=({})(d/dt{}){}=({})(d/dt{})

A A OO{x(t)}=A[x(t)x’(t)], pero{x(t)}=A[x(t)x’(t)], pero

OO{Ax(t)}=[Ax(t)][Ax’(t)]. No son iguales{Ax(t)}=[Ax(t)][Ax’(t)]. No son iguales Ej: y(t)=x(Ej: y(t)=x(t) es lineal pero variante en el tiempo. t) es lineal pero variante en el tiempo.

Con t Con t t, vemos que At, vemos que AOO{x(t)}=A[x({x(t)}=A[x(t)] y t)] y OO{Ax(t)}=Ax({Ax(t)}=Ax(t) son igualest) son iguales

x(t)

4

1 Escala de tiempo (comprimida por 2)

y1(t)

2

1

y1(t-2)

2

1

4

Retraso 2

unidades

x(t-2)

2

1Escala de tiempo

(comprimida por 2)

y2(t)

1

1 No es lo mismo

6 3

Ej: y(t)=tx(t) es lineal, pero variante en el tiempo.Ej: y(t)=tx(t) es lineal, pero variante en el tiempo.

La operación es La operación es OO{}=t{}{}=t{}

AAOO{x(t)}=A[tx(t)] y {x(t)}=A[tx(t)] y OO{Ax(t)}=t[Ax(t)] son iguales{Ax(t)}=t[Ax(t)] son iguales Ej: y(t)=Ej: y(t)=eex(t)x(t)x(t) es no lineal pero invariante en el x(t) es no lineal pero invariante en el

tiempo. La operación es tiempo. La operación es OO{}={}=ee{}{}{}{}

AAOO{x(t)}=A{x(t)}=Aeex(t)x(t)x(t) pero x(t) pero OO{Ax(t)}={Ax(t)}=eeAx(t)Ax(t) [Ax(t)] No [Ax(t)] No son iguales son iguales

OO{x(t-t{x(t-t00)}=)}=eex(t-tx(t-t00))x(t-tx(t-t00) y y(t-t) y y(t-t00)=)=eex(t-tx(t-t00))x(t-tx(t-t00). ). IgualesIguales

Sistemas LTISistemas LTI

Se describen con ecuaciones diferenciales con Se describen con ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Para probar coeficientes constantes. Para probar no linealidadno linealidad o o invariante en el tiempo verificamos que:invariante en el tiempo verificamos que:

1.1. Los términos contienen productos de la entrada y/o Los términos contienen productos de la entrada y/o salida. Un término constante hace no lineal a una salida. Un término constante hace no lineal a una ecuaciónecuación

2.2. Los coeficientes de la entrada o la salida que son Los coeficientes de la entrada o la salida que son funciones explícitas de t, hacen variante al sistema funciones explícitas de t, hacen variante al sistema o bien las entradas o salidas escaladas en el tiempo, o bien las entradas o salidas escaladas en el tiempo, como y(2t)como y(2t)

Ejemplos:Ejemplos:

1.1. y’(t)-2y(t) = 4x(t). Es LTIy’(t)-2y(t) = 4x(t). Es LTI

2.2. y’’(t) – 2ty’(t) = x(t). Es lineal, pero variantey’’(t) – 2ty’(t) = x(t). Es lineal, pero variante

3.3. y’(t) + 2yy’(t) + 2y22(t) = 2x’(t) – x(t). (t) = 2x’(t) – x(t). No lineal, invarianteNo lineal, invariante

4.4. y’(t) – 2y(t) = y’(t) – 2y(t) = eex(t)x(t)x(t). No lineal, invariantex(t). No lineal, invariante

5.5. y’(t) – 4y(t)y(2t) = x(t). No lineal y variantey’(t) – 4y(t)y(2t) = x(t). No lineal y variante

LTI

)()(3)(

2 tvtidt

tdi

lineal No

)()(3)(

2 2 tvtidt

tdi

lineal No

)(4)(3)(

2 tvtidt

tdi

3

2H

i(t)

v(t) 2H

i(t)

v(t)

+ 3i2(t) -

i(t)

3

2Hv(t)

- +

4V

3t

2H

i(t)

v(t)

Variante

)()(3)(

2 tvtitdt

tdi

Implicaciones de LTIImplicaciones de LTI

La representación de una señal arbitraria x(t), La representación de una señal arbitraria x(t), como:como: Una suma ponderada de impulsos, es la base para Una suma ponderada de impulsos, es la base para

el método de convolución el método de convolución Una combinación lineal de armónicas es la base de Una combinación lineal de armónicas es la base de

la serie de Fourierla serie de Fourier Una serie ponderada de exponenciales complejas Una serie ponderada de exponenciales complejas

es la base de la Transformada de Fourier y Laplacees la base de la Transformada de Fourier y Laplace

CausalidadCausalidad

Un sistema causal o no anticipativo es aquel Un sistema causal o no anticipativo es aquel para el que la respuesta presente no depende para el que la respuesta presente no depende de valores futuros de la entradade valores futuros de la entrada

Una ecuación describe un sistema no causal, si Una ecuación describe un sistema no causal, si los términos de la salida tienen un argumento los términos de la salida tienen un argumento de la forma y(t) y un término de la entrada de la forma y(t) y un término de la entrada tiene el argumento x(t+tiene el argumento x(t+))

MemoriaMemoria

En un sistema dinámico o con memoria, se En un sistema dinámico o con memoria, se caracteriza por ecuaciones diferenciales donde caracteriza por ecuaciones diferenciales donde la respuesta presente depende de entradas la respuesta presente depende de entradas presentes y pasadas (debido a elementos presentes y pasadas (debido a elementos almacenadores de energía)almacenadores de energía)

Por contrario, en los sistemas estáticos (como Por contrario, en los sistemas estáticos (como circuitos resistivos que operan en estado circuitos resistivos que operan en estado estacionario) la respuesta depende sólo del estacionario) la respuesta depende sólo del valor instantáneo de la entradavalor instantáneo de la entrada

Ej: y’’(t) + 2ty’(t) = x(t), Ej: y’’(t) + 2ty’(t) = x(t), causal y dinámicocausal y dinámico

y(t) = x(t) + 3, y(t) = x(t) + 3, causal e instantáneo, no linealcausal e instantáneo, no lineal

y(t) = 2(t+1)x(t), y(t) = 2(t+1)x(t), causal e instantáneo, causal e instantáneo, variantevariante

y’(t) + 2y(t) = x(t+5), y’(t) + 2y(t) = x(t+5), anticausal y dinámicoanticausal y dinámico

y’(t+4) + 2y(t) = x(t+2), y’(t+4) + 2y(t) = x(t+2), causal y dinámicocausal y dinámico

y(t) = x(t+2), y(t) = x(t+2), anticausal y dinámico (los anticausal y dinámico (los argumentos de x y y difieren)argumentos de x y y difieren)

y(t) = 2x(y(t) = 2x(t), causal e instantáneo si t), causal e instantáneo si =1, causal =1, causal y dinámico si y dinámico si <1, no causal y dinámico si <1, no causal y dinámico si >1>1

Análisis de Sistemas LTIAnálisis de Sistemas LTI

Se pueden analizar por medio de:Se pueden analizar por medio de:1.1. Ecuaciones diferenciales: Sistemas no lineales y Ecuaciones diferenciales: Sistemas no lineales y

variantes en el tiempo, sistemas LTI. Su desventaja es variantes en el tiempo, sistemas LTI. Su desventaja es que a medida que se incrementa el orden del sistema, las que a medida que se incrementa el orden del sistema, las ecuaciones se vuelven difícilesecuaciones se vuelven difíciles

2.2. Variables de estado: describe un sistema de orden n, con Variables de estado: describe un sistema de orden n, con n ecuaciones simultáneas de primer orden: sistemas no n ecuaciones simultáneas de primer orden: sistemas no lineales, entradas y salidas múltiples. Para sistemas lineales, entradas y salidas múltiples. Para sistemas lineales se aplican métodos matricialeslineales se aplican métodos matriciales

3.3. Respuesta al impulso h(t): sistemas LTI relajados, la Respuesta al impulso h(t): sistemas LTI relajados, la respuesta se obtiene de la suma de convoluciónrespuesta se obtiene de la suma de convolución

Sistemas LTI con ecuaciones Sistemas LTI con ecuaciones diferencialesdiferenciales

Una ecuación diferencial de orden n requiere n Una ecuación diferencial de orden n requiere n condiciones iniciales para su solución condiciones iniciales para su solución completacompleta

El método de coeficientes indeterminados El método de coeficientes indeterminados conduce a la respuesta como la suma de la conduce a la respuesta como la suma de la respuesta natural yrespuesta natural yNN(t) y la respuesta forzada (t) y la respuesta forzada

yyFF(t)(t)

Respuesta naturalRespuesta natural

La forma de la respuesta natural depende sólo La forma de la respuesta natural depende sólo de los detalles del sistema y es independiente de los detalles del sistema y es independiente de la entradade la entrada

Es una suma de exponenciales cuyos Es una suma de exponenciales cuyos exponentes son las raíces de la ecuación exponentes son las raíces de la ecuación característica:característica:yy(n)(n)(t) + a(t) + a11yy(n-1)(n-1)(t) + …+ a(t) + …+ an-1n-1yy(1)(1)(t) + a(t) + anny(t) = x(t)y(t) = x(t)

{a{a00ssnn + a + a11ssn-1n-1 + …+ a + …+ an-1n-1s + as + ann} = x(t)} = x(t)

aa00ssnn + a + a11ssn-1n-1 + …+ a + …+ an-1n-1s + as + ann=0=0

Respuesta forzadaRespuesta forzada

Es producto de la interacción del sistema con Es producto de la interacción del sistema con la entrada y depende de ésta y del sistemala entrada y depende de ésta y del sistema

La respuesta total se obtiene sumando primero La respuesta total se obtiene sumando primero las respuestas forzada y natural y después las respuestas forzada y natural y después evaluando las constantes indeterminadas (en la evaluando las constantes indeterminadas (en la componente natural), usando las c.i. dadascomponente natural), usando las c.i. dadas

Ej: Considere el sistema de primer orden Ej: Considere el sistema de primer orden y’(t) + 2y(t) = x(t). Encuentre su respuesta si y’(t) + 2y(t) = x(t). Encuentre su respuesta si x(t)=6, y(0)=8x(t)=6, y(0)=8

La ec. característica es s+2=0, la raíz s=-2La ec. característica es s+2=0, la raíz s=-2

La resp. natural es yLa resp. natural es yNN(t)=K(t)=Kee-2t-2t

Ya que x(t)=6 es constante, yYa que x(t)=6 es constante, yFF(t)=C(t)=C

y’y’FF(t)=0 y y’(t)=0 y y’FF(t) + 2y(t) + 2yFF(t)=2C=6, y(t)=2C=6, yFF(t)=C=3(t)=C=3

La respuesta total es y(t)=yLa respuesta total es y(t)=yNN(t)+y(t)+yFF(t)= K(t)= Kee-2t-2t + 3 + 3

Con y(0)=8, 8=K+3, K=5 y y(t)= 5Con y(0)=8, 8=K+3, K=5 y y(t)= 5ee-2t-2t +3=(5 +3=(5ee-2t-2t +3)u(t) +3)u(t)

La respuesta de estado ceroLa respuesta de estado cero

Se describe la respuesta y(t) de un sistema LTI Se describe la respuesta y(t) de un sistema LTI como la suma de su respuesta de estado cero como la suma de su respuesta de estado cero (ZSR), suponiendo condiciones iniciales cero (ZSR), suponiendo condiciones iniciales cero y su respuesta de entrada cero (ZIR)y su respuesta de entrada cero (ZIR)

Cada componente se encuentra usando el Cada componente se encuentra usando el método de coeficientes indeterminadosmétodo de coeficientes indeterminados

Las respuestas de estado cero y entrada cero Las respuestas de estado cero y entrada cero obedecen a la superposiciónobedecen a la superposición

Ej: Considere y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=x(t), con x(t)=4Ej: Considere y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=x(t), con x(t)=4ee-3t-3t y y c.i. y(0)=3, y y’(0)=4. Encuentre su respuesta de entrada c.i. y(0)=3, y y’(0)=4. Encuentre su respuesta de entrada cero y de estado cero cero y de estado cero

La ec. característica es sLa ec. característica es s22+3s+2=0, +3s+2=0,

raíces sraíces s11=-1 y s=-1 y s22=-2. La respuesta natural es y=-2. La respuesta natural es yNN(t)=K(t)=K11eess11tt + + KK22eess22tt = K = K11ee-t-t + K + K22ee-2t-2t

1.1. La respuesta de entrada cero se encuentra de yLa respuesta de entrada cero se encuentra de yNN(t) y las (t) y las c.i.c.i.

yyzizi(t)= K(t)= K11ee-t-t +K +K22ee-2t -2t yyzizi(0)= K(0)= K11+K+K22==3

y’y’zizi(0)= -K(0)= -K11-2K-2K22==4, KK22==-7, KK11==10

yyzizi(t)= 10(t)= 10ee-t-t -7 -7ee-2t-2t

2.2. yyzszs(t) se encuentra de la forma general de y(t) pero c.i.=0(t) se encuentra de la forma general de y(t) pero c.i.=0

Ya que x(t)=4Ya que x(t)=4ee-3t-3t, se tiene y, se tiene yFF(t)=C(t)=Cee-3t-3t

Entonces y’Entonces y’FF(t)=-3C(t)=-3Cee-3t-3t, y’’, y’’FF(t)=9C(t)=9Cee-3t-3t

y’’y’’FF(t) + 3y’(t) + 3y’FF(t) + 2y(t) + 2yFF(t)=((t)=(9C - 9C + 2C) ee-3t-3t = 4 = 4ee-3t-3t

Así C=2, yAsí C=2, yFF(t)= 2(t)= 2ee-3t-3t y y y yzszs(t)=K(t)=K11ee-t-t + K + K22ee-2t-2t + 2 + 2ee-3t-3t

Con c.i. se obtiene yCon c.i. se obtiene yzszs(0)=K(0)=K11+K+K22+2 = 0, y’+2 = 0, y’zszs(0)=-K(0)=-K11-2K-2K22-6=0, -6=0,

Que resulta KQue resulta K22=-4, K=-4, K11=2, y y=2, y yzszs(t)=2(t)=2ee-t-t -4 -4ee-2t-2t +2 +2ee-3t-3t

3.3. La respuesta total es la suma de yLa respuesta total es la suma de yzizi(t) y y(t) y yzszs(t)(t)

y(t) = yy(t) = yzizi(t) + y(t) + yzszs(t) = 12(t) = 12ee-t-t -11 -11ee-2t-2t +2 +2ee-3t-3t , t , t00

Respuesta al impulsoRespuesta al impulso

La respuesta al impulso se denota por h(t) y La respuesta al impulso se denota por h(t) y constituye la respuesta de un sistema LTI constituye la respuesta de un sistema LTI relajado a un impulso unitario relajado a un impulso unitario (t)(t)

Los métodos en el dominio del tiempo son Los métodos en el dominio del tiempo son tediosos, por lo que es más fácil si se acude al tediosos, por lo que es más fácil si se acude al dominio transformadodominio transformado

Impulso de entrada (t) Sistema LTI relajado

Respuesta al impulso h(t)

La respuesta al impulso h(t) es la derivada de La respuesta al impulso h(t) es la derivada de la respuesta al escalón s(t):la respuesta al escalón s(t):

h(t)=s’(t)=ds(t)/dth(t)=s’(t)=ds(t)/dt s(t)=s(t)= h(t)dt h(t)dt Un impulso produce un cambio súbito de Un impulso produce un cambio súbito de

estado (condiciones iniciales)estado (condiciones iniciales)

Resolver y’(t)+Resolver y’(t)+y(t)=y(t)=(t), y(0)=0 es (t), y(0)=0 es equivalente a y’’(t)+equivalente a y’’(t)+y(t)=0 , y(0)=1y(t)=0 , y(0)=1

-

t

De manera similar un sistema de segundo orden De manera similar un sistema de segundo orden y’’(t)+y’’(t)+11y’(t)+y’(t)+22y’(t)=x(t), puede encontrarse y’(t)=x(t), puede encontrarse mediante la ec. homogénea y’’(t)+mediante la ec. homogénea y’’(t)+11y’(t)+y’(t)+22y’(t)=0, y’(t)=0, c.i. y(0)=0, y’(0)=1c.i. y(0)=0, y’(0)=1 Ej: Sea y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es s+2=0, Ej: Sea y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es s+2=0,

raíz s=-2, la respuesta natural es h(t)=Kraíz s=-2, la respuesta natural es h(t)=Kee-2t-2t

con h(0)=1, se obtiene h(0)=K=1, y h(t)=con h(0)=1, se obtiene h(0)=K=1, y h(t)=ee-2t-2tu(t)u(t) Ej: Sea y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es Ej: Sea y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es

ss22+3s+2=0, raíces s+3s+2=0, raíces s11=-1, s=-1, s22=-2, la respuesta natural es =-2, la respuesta natural es h(t)=Kh(t)=K11ee-2t -2t + K+ K22ee-2t-2t, con h(0)=0, h’(0)=-K, con h(0)=0, h’(0)=-K11-2K-2K22=1, de donde =1, de donde KK11=1 y K=1 y K22=-1, entonces h(t)=(=-1, entonces h(t)=(ee-t -t - - ee-2t-2t)u(t))u(t)

EstabilidadEstabilidad

En el dominio del tiempo, la estabilidad de En el dominio del tiempo, la estabilidad de entrada acotada, salida acotada (BIBO) entrada acotada, salida acotada (BIBO) implica que cada entrada acotada resulta en implica que cada entrada acotada resulta en una salida acotadauna salida acotada

Las condiciones de estabilidad se pueden Las condiciones de estabilidad se pueden determinar de la ecuación característica:determinar de la ecuación característica: Cada raíz debe tener una parte real negativa y la Cada raíz debe tener una parte real negativa y la

derivada más alta de la entrada no debe exceder a derivada más alta de la entrada no debe exceder a la de la salidala de la salida

Las raíces con partes reales negativas aseguran que la Las raíces con partes reales negativas aseguran que la respuesta natural (y de entrada cero) siempre decae respuesta natural (y de entrada cero) siempre decae con el tiempo y la respuesta forzada (y de estado con el tiempo y la respuesta forzada (y de estado cero) siempre permanece acotada para una entrada cero) siempre permanece acotada para una entrada acotadaacotada

Las raíces con parte real igual a cero hacen al sistema Las raíces con parte real igual a cero hacen al sistema inestable. Las raíces simples (no repetidas) con partes inestable. Las raíces simples (no repetidas) con partes reales iguales a cero producen una respuesta natural reales iguales a cero producen una respuesta natural constante (o senoidal) que es acotada, pero si la constante (o senoidal) que es acotada, pero si la entrada es una constante o una senoide, la respuesta entrada es una constante o una senoide, la respuesta forzada es una rampa o senoide creciente forzada es una rampa o senoide creciente

Las raíces repetidas con parte real igual a cero Las raíces repetidas con parte real igual a cero producen una respuesta que es un polinomio o producen una respuesta que es un polinomio o senoide crecientesenoide creciente Ej: El sistema y’’(t) +3y’(t)+2y(t)= x(t) es estable ya que Ej: El sistema y’’(t) +3y’(t)+2y(t)= x(t) es estable ya que

las raíces de su ecuación característica slas raíces de su ecuación característica s22+3s+2=0 son s=-1, +3s+2=0 son s=-1, -2 y tienen partes reales neg-2 y tienen partes reales neg

El sistema y’’(t) +3y’(t)= x(t) es inestable. Las raíces de su El sistema y’’(t) +3y’(t)= x(t) es inestable. Las raíces de su ec. Característica sec. Característica s22+3s=0 son s=0,-3 una de las raíces no +3s=0 son s=0,-3 una de las raíces no tiene una parte real negativa. Aunque su respuesta natural tiene una parte real negativa. Aunque su respuesta natural es acotada, la entrada escalón produce una respuesta es acotada, la entrada escalón produce una respuesta forzada de la forma Ctu(t) que no es acotadaforzada de la forma Ctu(t) que no es acotada

El sistema y’’’(t) +3y’’(t) = x(t) es inestable. Las El sistema y’’’(t) +3y’’(t) = x(t) es inestable. Las raíces de su ecuación sraíces de su ecuación s33+3s+3s22=0 son s=0 son s11=0, s=0, s22=0 y =0 y

ss33=-3 que producen la respuesta natural =-3 que producen la respuesta natural

yyNN(t)=Au(t) + Btu(t) + C(t)=Au(t) + Btu(t) + Cee-3t-3tu(t) que es no acotadau(t) que es no acotada

Sistemas DiscretosSistemas Discretos

Se describen por medio de ecuaciones de Se describen por medio de ecuaciones de diferencias que relacionan la entrada y la diferencias que relacionan la entrada y la salidasalida

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo, Los sistemas lineales invariantes en el tiempo, pueden describirse por su respuesta al impulsopueden describirse por su respuesta al impulso

Operadores en tiempo discretoOperadores en tiempo discreto

El sistema descrito por y[n]=y[n-1]+x[n], El sistema descrito por y[n]=y[n-1]+x[n], produce la salida presente y[n] como la suma produce la salida presente y[n] como la suma de la salida anterior y[n-1] y la entrada de la salida anterior y[n-1] y la entrada presente x[n]presente x[n]

Un retraso unitario se representa mediante el Un retraso unitario se representa mediante el operador de retraso zoperador de retraso z-1-1 y transforma x[n] en y transforma x[n] en x[n-1]: x[n-1]: zz-1-1{x[n]}=x[n-1]{x[n]}=x[n-1]

zzk k {x[n]}=x[n+k]{x[n]}=x[n+k]

Un operador permite la transformación de una Un operador permite la transformación de una función en otra:función en otra: OO{x[n]}=y[n]{x[n]}=y[n]

Ej: La operación Ej: La operación OO{}=4z{}=4z33{}+6 indica que para {}+6 indica que para obtener y[n], debemos avanzar x[n] 3 obtener y[n], debemos avanzar x[n] 3 unidades, multiplicar por 4 y sumar 6 al unidades, multiplicar por 4 y sumar 6 al resultado para obtener resultado para obtener 4z4z33{}{}+6= 4x[n+3]+6=y[n]+6= 4x[n+3]+6=y[n]

Operadores linealesOperadores lineales

Operador aditivo:Operador aditivo:

OO{x{x11[n] + x[n] + x22[n]}=[n]}=OO{x{x11[n]} + [n]} + OO{x{x22[n]}[n]} Operador homogéneo:Operador homogéneo:

OO{kx[n]}=k{kx[n]}=kOO{x[n]} {x[n]}

Las dos operaciones juntas describen el Las dos operaciones juntas describen el principio de superposición:principio de superposición:

OO{Ax{Ax11[n] + Bx[n] + Bx22[n]}=A[n]}=AOO{x{x11[n]} + B[n]} + BOO{x{x22[n]}[n]}

Ej: Considere el operador Ej: Considere el operador OO{}=C{}+D{}=C{}+D

Aplicando la prueba de homogeneidadAplicando la prueba de homogeneidad

OO{Ax[n]}=C(Ax[n])+D pero{Ax[n]}=C(Ax[n])+D pero

AAOO{x[n]}=A(Cx[n]+D){x[n]}=A(Cx[n]+D)

Las dos difieren, la operación no es linealLas dos difieren, la operación no es lineal Ej: Considere el operador Ej: Considere el operador OO{}={}{}={}2 2

AAOO{x[n]}=A x{x[n]}=A x22[n] pero [n] pero OO{Ax[n]}=A{Ax[n]}=A22xx22[n][n]

Las dos difieren, la op. cuadrática no es linealLas dos difieren, la op. cuadrática no es lineal

Clasificación de sistemasClasificación de sistemas

Los sistemas discretos modelados por Los sistemas discretos modelados por ecuaciones de diferencias relacionan la salida ecuaciones de diferencias relacionan la salida y[n] con la entrada x[n]:y[n] con la entrada x[n]:

y[n]+Ay[n]+A11y[n-1]+…+Ay[n-1]+…+ANNy[n-N] = By[n-N] = B00x[n]+Bx[n]+B11x[n-1]+…+Bx[n-1]+…+BMMx[n-M]x[n-M]

El orden N describe el término de salida con el El orden N describe el término de salida con el retraso mayorretraso mayor

LinealidadLinealidad

Un sistema lineal es aquel para el cual se Un sistema lineal es aquel para el cual se aplica la superposición e implica que el aplica la superposición e implica que el sistema está relajado (c.i.=0) y que la ecuación sistema está relajado (c.i.=0) y que la ecuación del sistema contiene sólo operadores linealesdel sistema contiene sólo operadores lineales

Invariante en el tiempoInvariante en el tiempo

Implica que la forma de la respuesta y[n] Implica que la forma de la respuesta y[n] depende únicamente de la forma de la entrada depende únicamente de la forma de la entrada x[n] y no del tiempo en el que se aplica:x[n] y no del tiempo en el que se aplica:

OO{x[n-n{x[n-n00]}=y[n-n]}=y[n-n00]]

Ej: y[n]=x[n]x[n-1] es no lineal, pero invariante en Ej: y[n]=x[n]x[n-1] es no lineal, pero invariante en el tiempo. La operación es el tiempo. La operación es OO{}=({})(z{}=({})(z-1-1{}) {})

A A OO{x[n]}=A(x[n]x[n-1]), pero{x[n]}=A(x[n]x[n-1]), pero

OO{Ax[n]}=(Ax[n])(Ax[n-1]). No son iguales{Ax[n]}=(Ax[n])(Ax[n-1]). No son iguales

OO{x[n-n{x[n-n00]}=x[n-n]}=x[n-n00]x[n-n]x[n-n00-1] y -1] y

y[n-ny[n-n00]=x[n-n]=x[n-n00]x[n-n]x[n-n00-1]. Son iguales-1]. Son iguales

Ej: y[n]=nx[n] es lineal, pero variante en el tiempo.Ej: y[n]=nx[n] es lineal, pero variante en el tiempo.

La operación es La operación es OO{}=n{}{}=n{}

Ej: y[n]=x[2n] es lineal pero variante en el tiempo. Ej: y[n]=x[2n] es lineal pero variante en el tiempo.

La operación nLa operación n2n conduce a:2n conduce a:

AAOO{x[n]}=A(x[2n]) y {x[n]}=A(x[2n]) y OO{Ax[n]}=Ax[2n] Iguales{Ax[n]}=Ax[2n] Iguales

OO{x[n-n{x[n-n00]}=x[2n-n]}=x[2n-n00], pero], pero

y[n-ny[n-n00]=x[2(n-n]=x[2(n-n00)]. No son iguales)]. No son iguales

Sistemas LTISistemas LTI

Para probar no linealidad o invariante en el Para probar no linealidad o invariante en el tiempo verificamos que:tiempo verificamos que:

1.1. Los términos contienen productos de la Los términos contienen productos de la entrada y/o salida. Un término constante entrada y/o salida. Un término constante hace no lineal a una ecuaciónhace no lineal a una ecuación

2.2. Los coeficientes de la entrada o la salida que Los coeficientes de la entrada o la salida que son funciones explícitas de n hacen variante son funciones explícitas de n hacen variante al sistema, o bien las entradas o salidas al sistema, o bien las entradas o salidas escaladas en el tiempo, como y[2n]escaladas en el tiempo, como y[2n]

Ejemplos:Ejemplos:

1.1. y[n]-2y[n-1]=4x[n]. Es lineal e invariantey[n]-2y[n-1]=4x[n]. Es lineal e invariante

2.2. y[n]-2ny[n-1]=x[n]. Es lineal, variantey[n]-2ny[n-1]=x[n]. Es lineal, variante

3.3. y[n]+2yy[n]+2y22[n]=2x[n] – x[n-1]. No lineal, invariante[n]=2x[n] – x[n-1]. No lineal, invariante

4.4. y[n]-2y[n-1]=2y[n]-2y[n-1]=2x[n]x[n]x[n]. No lineal, invariantex[n]. No lineal, invariante

5.5. y[n]-4y[n]y[2n]=x[n]. No lineal, variantey[n]-4y[n]y[2n]=x[n]. No lineal, variante

Implicaciones de LTIImplicaciones de LTI

La representación de una señal arbitraria x[n] La representación de una señal arbitraria x[n] como una suma ponderada de impulsos DT como una suma ponderada de impulsos DT desplazados, base del método de convolucióndesplazados, base del método de convolución

La representación de una señal x[n] como una La representación de una señal x[n] como una combinación lineal de armónicos DT o combinación lineal de armónicos DT o exponenciales complejas, base de la exponenciales complejas, base de la transformada de Fouriertransformada de Fourier

CausalidadCausalidad

En un sistema causal, la respuesta presente y[n] no En un sistema causal, la respuesta presente y[n] no depende de valores futuros de la entrada, tal como depende de valores futuros de la entrada, tal como x[n+2], de otro modo es no causalx[n+2], de otro modo es no causal

Es no causal, si el término de la salida menos Es no causal, si el término de la salida menos retrasada es y[n] y si está presente en la entrada un retrasada es y[n] y si está presente en la entrada un término como x[n+k], k>0término como x[n+k], k>0 Ej: Ej: y[n]-2y[n-2] = x[n] y[n]-2y[n-2] = x[n] es causales causal

y[n+1] – y[n] = x[n+1] y[n+1] – y[n] = x[n+1] es causales causal

y[n] – 2y[n-2] = x[n+1] y[n] – 2y[n-2] = x[n+1] es no causales no causal

y[n+1] – y[n] = x[n+2] y[n+1] – y[n] = x[n+2] es no causales no causal

MemoriaMemoria

Si la respuesta de un sistema en tiempo n=nSi la respuesta de un sistema en tiempo n=n00 depende de la entrada al tiempo n=ndepende de la entrada al tiempo n=n00 y no de y no de cualquier otro tiempo (pasado o futuro) se cualquier otro tiempo (pasado o futuro) se llama instantáneo o estáticollama instantáneo o estático

La entrada y la salida poseen argumentos La entrada y la salida poseen argumentos idénticosidénticos

Los sistemas dinámicos se describen con Los sistemas dinámicos se describen con ecuaciones de diferencias y la respuesta ecuaciones de diferencias y la respuesta depende de entradas pasadas y/o futurasdepende de entradas pasadas y/o futuras

Ej: y[n] + AEj: y[n] + A11y[n-1] + …+ Ay[n-1] + …+ ANNy[n-N] = x[n+k] es y[n-N] = x[n+k] es

causal para kcausal para k0, también es dinámico0, también es dinámico y[n+N] + Ay[n+N] + A11y[n+N-1] + Ay[n+N-1] + A22y[n+N-2] …+ Ay[n+N-2] …+ ANNy[n] = y[n] =

x[n+k] es causal para kx[n+k] es causal para kN y dinámicoN y dinámico y[n]=x[n+2] es no causal y dinámicoy[n]=x[n+2] es no causal y dinámico y[n+4] + y[n+3] = x[n+2] es causal y dinámicoy[n+4] + y[n+3] = x[n+2] es causal y dinámico y[n] = 2x[y[n] = 2x[n] es causal e instantáneo para n] es causal e instantáneo para =1, =1,

causal y dinámico si causal y dinámico si <1, y no causal y dinámico <1, y no causal y dinámico si si >1. También es variante si >1. También es variante si 11

Sistemas DT: Filtros digitalesSistemas DT: Filtros digitales

Un filtro digital se describe mediante una Un filtro digital se describe mediante una ecuación de diferenciasecuación de diferencias

y[n] + Ay[n] + A11y[n-1] + …+ Ay[n-1] + …+ ANNy[n-N] = y[n-N] =

BB00x[n] + Bx[n] + B11y[n-1] + …+ By[n-1] + …+ BMMy[n-M] y[n-M]

Describe un filtro recursivo de orden N cuya Describe un filtro recursivo de orden N cuya salida depende de sus propios valores pasados salida depende de sus propios valores pasados y de los valores presente y pasado de la y de los valores presente y pasado de la entrada (filtro IIR)entrada (filtro IIR)

Ahora considere la ecuación:Ahora considere la ecuación:

y[n] = By[n] = B00x[n] + Bx[n] + B11y[n-1] + …+ By[n-1] + …+ BMMy[n-M] y[n-M]

Describe un filtro no recursivo cuya salida Describe un filtro no recursivo cuya salida depende sólo de los términos de la entrada y depende sólo de los términos de la entrada y no de los valores pasados (recursión) de la no de los valores pasados (recursión) de la respuesta (filtro IIR)respuesta (filtro IIR)

RepresentaciónRepresentación

Z-1

Retraso

x[n] x[n-1]

Multiplicador

x[n] Ax[n]A

Sumador

x[n] x[n-1]+

+

y[n]

Z-1

x[n]B0

Z-1

Z-1

+

y[n]

B1

B2

BM

+

++

+

+

Z-1

x[n]

Z-1

Z-1

+

y[n]

-A1

-A2

-AN

+

+ +

+

+

B0

+

y[n]

B1

B2

BN

+

++

+

+

Z-1

x[n]

Z-1

Z-1

+

-A1

-A2

-AN

+

+ +

+

+

Z-1B0

Z-1

Z-1

+

y[n]

B1

B2

BN

+

++

+

+

Z-1

x[n]

Z-1

Z-1

+

-A1

-A2

-AN

+

+ +

+

+

Análisis de Filtros Análisis de Filtros

En el dominio del tiempo se usan los métodos:En el dominio del tiempo se usan los métodos: Ecuaciones de diferencias: sistemas lineales, no Ecuaciones de diferencias: sistemas lineales, no

lineales y variantes en el tiempolineales y variantes en el tiempo Respuesta al impulso h(n): sistemas LTI relajados. Respuesta al impulso h(n): sistemas LTI relajados.

La salida y[n] aparece por la suma de convoluciónLa salida y[n] aparece por la suma de convolución Variables de estado: sistemas de orden n con n Variables de estado: sistemas de orden n con n

ecuaciones de diferencias simultáneas de primer ecuaciones de diferencias simultáneas de primer orden. Es útil para sistemas complejos o no orden. Es útil para sistemas complejos o no lineales, entradas y salidas múltiples. En sistemas lineales, entradas y salidas múltiples. En sistemas LTI se pueden emplear métodos matricialesLTI se pueden emplear métodos matriciales

Ecuaciones de diferenciasEcuaciones de diferencias

Solución por recursión: Dada una ecuación de Solución por recursión: Dada una ecuación de diferencias de orden N sujeta a las condiciones diferencias de orden N sujeta a las condiciones iniciales y[-1], y[-2],…y[-N], se generan iniciales y[-1], y[-2],…y[-N], se generan valores de y[0], y[1],…valores de y[0], y[1],…

Ej: Considere el sistema y[n]= aEj: Considere el sistema y[n]= a11y[n-1] + by[n-1] + b00u[n] y u[n] y la c.i. y[-1]=0la c.i. y[-1]=0

y[0] = ay[0] = a11y[-1] + by[-1] + b00u[0] = bu[0] = b00

y[1] = ay[1] = a11y[0] + by[0] + b00u[1] = au[1] = a11bb0 0 + b+ b00 = b = b00 [1 + a [1 + a11] ]

y[2] = ay[2] = a11y[1] + by[1] + b00u[2] = au[2] = a11[a[a11bb0 0 + b+ b00] ]

= b= b00 [1+a [1+a11+ a+ a1122] ]

y[n]= by[n]= b00 [1+a [1+a11+ a+ a1122 + … + a + … + a11

n-1 n-1 + a+ a11nn ] ]

y[n]= by[n]= b00 (1 - a (1 - a11n+1n+1) / (1- a) / (1- a11) )

Considere el sistema de la figura y encuentre Considere el sistema de la figura y encuentre la respuesta y[n] si x[n]=(0.4)la respuesta y[n] si x[n]=(0.4)nn, n, n0 y 0 y c.i. y[-1]=10c.i. y[-1]=10

Z-1

x[n]

0.6

+ +

y[n]

Respuesta de entrada cero (ZIR) y Respuesta de entrada cero (ZIR) y respuesta de estado cero (ZSR)respuesta de estado cero (ZSR)

Describe la respuesta de un sistema LTI Describe la respuesta de un sistema LTI como la suma de ZIR y ZSR:como la suma de ZIR y ZSR:

1.1. Respuesta total = ZIR (suponga entrada cero, Respuesta total = ZIR (suponga entrada cero, usar CI dada) + ZSR (suponga CI cero)usar CI dada) + ZSR (suponga CI cero)

2.2. Ambas obedecen a la superposición: cada una se Ambas obedecen a la superposición: cada una se encuentra de sus propias componentes natural y encuentra de sus propias componentes natural y forzadaforzada

Ej: Considere la ecuación x[n]=(0.4)Ej: Considere la ecuación x[n]=(0.4)nn, n, n0 con y[-1]=100 con y[-1]=10

La respuesta forzada y la forma de la respuesta natural son: La respuesta forzada y la forma de la respuesta natural son: yyFF[n] = -2(0.4)[n] = -2(0.4)nn y y y yNN[n] = K(0.6)[n] = K(0.6)nn

1.1. Su ZSR se encuentra de la forma de la respuesta total ySu ZSR se encuentra de la forma de la respuesta total yzszs[n] [n]

= -2(0.4)= -2(0.4)nn + K(0.6) + K(0.6)nn, con c.i.=0, con c.i.=0

yyzszs[-1] = 0 = -5+K/0.6 K=3 y[-1] = 0 = -5+K/0.6 K=3 yzszs[n] = -2(0.4)[n] = -2(0.4)nn + 3(0.6) + 3(0.6)nn, n, n00

2.2. Su ZIR se encuentra de la respuesta natural ySu ZIR se encuentra de la respuesta natural yzizi[-[-

1]=10= K/0.6 K=6 y1]=10= K/0.6 K=6 yzizi[n]=6(0.6)[n]=6(0.6)n n , n, n00

3.3. La respuesta natural es y[n]= yLa respuesta natural es y[n]= yzizi[n] + y[n] + yzszs[n]= [n]=

= -2(0.4) = -2(0.4)nn + 9(0.6) + 9(0.6)nn, n, n00

Respuesta al impulsoRespuesta al impulso

EstabilidadEstabilidad

Tarea C. DigitalTarea C. Digital

Tarea C. Digital Avanzado Tarea C. Digital Avanzado