control
DESCRIPTION
controlTRANSCRIPT
Pontificia Universidad Catolica de Chile
Facultad de Matematicas
Departamento de Matematica
Primer Semestre de 2010
Algebra - MAT110E
Seccion 2
Ayudantıa 2Identidades Trigonometricas
Problema 1. Demuestre las siguientes identidades trigonometricas:
a) tanα+ cotα = secα cscα.
b) tan(α± β) =tanα± tanβ
1∓ tanα tanβ.
c) sen(α
2
)
= ±
√
1− cosα
2.
d) cos(α
2
)
= ±
√
1 + cosα
2.
Problema 2. Demuestre las formulas de prostaferesis:
a) senx+ sen y = 2 sen
(
x+ y
2
)
cos
(
x− y
2
)
.
b) senx− sen y = 2 cos
(
x+ y
2
)
sen
(
x− y
2
)
.
c) cosx+ cos y = 2 cos
(
x+ y
2
)
cos
(
x− y
2
)
.
d) cosx− cos y = −2 sen
(
x+ y
2
)
sen
(
x− y
2
)
.
Problema 3. Demuestre que, si α+ β + γ = π/2, entonces
sen 2α+ sen 2β + sen 2γ = 4 cosα cosβ cos γ.
Problema 4. Demuestre que, para todo x ∈ R, se tiene:
senx+ sen 3x+ sen 5x+ sen 7x = 4 cosx sen 4x cos 2x.
Problema 5. Demuestre la siguiente identidad trigonometrica:
1 + senα− cosα
1 + senα+ cosα= tan
(α
2
)
.
[email protected] 1 Gaston Burrull
Pontificia Universidad Catolica de Chile
Facultad de Matematicas
Departamento de Matematica
Primer Semestre de 2010
Algebra - MAT110E
Seccion 2
Ayudantıa 2Soluciones
Problema 3. Como α + β + γ = π/2, entonces γ = π/2 − (α + β), de aquı se tiene quesen γ = cos(α+ β) y que cos γ = sen(α+ β). Entonces:
sen 2α+ sen 2β + sen 2γ = (sen 2α+ sen 2β) + 2 sen γ cos γ
= 2 sen(α+ β) cos(α− β) + 2 sen γ cos γ
= 2 sen(α+ β) cos(α− β) + 2 cos(α+ β) sen(α+ β)
= 2 sen(α+ β)[cos(α− β) + cos(α+ β)]
= 2 sen(α+ β)[2 cosα cosβ]
= 2 cos γ[2 cosα cosβ]
= 4 cosα cosβ cos γ. �
Problema 5. Tengamos en cuenta que 1 = cos2(α
2
)
+ sen2(α
2
)
, que senα = sen(α
2+
α
2
)
=
2 sen(α
2
)
cos(α
2
)
y que cosα = cos(α
2+
α
2
)
= cos2(α
2
)
− sen2(α
2
)
. Entonces:
1 + senα− cosα
1 + senα+ cosα=
cos2(α
2
)
+ sen2(α
2
)
+ senα− cosα
cos2(α
2
)
+ sen2(α
2
)
+ senα+ cosα
=cos2
(α
2
)
+ sen2(α
2
)
+ 2 sen(α
2
)
cos(α
2
)
− cosα
cos2(α
2
)
+ sen2(α
2
)
+ 2 sen(α
2
)
cos(α
2
)
+ cosα
=cos2
(α
2
)
+ sen2(α
2
)
+ 2 sen(α
2
)
cos(α
2
)
− cos2(α
2
)
+ sen2(α
2
)
cos2(α
2
)
+ sen2(α
2
)
+ 2 sen(α
2
)
cos(α
2
)
+ cos2(α
2
)
− sen2(α
2
)
=2 sen2
(α
2
)
+ 2 sen(α
2
)
cos(α
2
)
2 cos2(α
2
)
+ 2 sen(α
2
)
cos(α
2
)
=2 sen
(α
2
) [
sen(α
2
)
+ cos(α
2
)]
2 cos(α
2
) [
cos(α
2
)
+ sen(α
2
)]
=sen
(α
2
)
cos(α
2
)
= tan(α
2
)
. �
[email protected] 2 Gaston Burrull