contribution à l’étude du traitement de l’information dans...

No Ordre :636

ED 363

UNIVERSITÉ D’ANGERS

ÉCOLE DOCTORALE D’ANGERS

2004

Thèse de DOCTORAT

Spécialité : Traitement du Signal et des Images

Présentée et soutenue publiquement par

David R OUSSEAU

le 15 octobre 2004

à l’Université d’Angers

Contribution à l’étudedu traitement de l’information dans

les processus physiques non linéaires :résonance stochastique

et rôle bénéfique du bruit.

Jury

Président : Ph. RÉFRÉGIER, Professeur Institut d’Optique Fresnel, MarseilleRapporteurs : J.-M. BILBAULT, Professeur LE2I, Université de Dijon

P.-O. AMBLARD, CR1 CNRS, HDR LIS, INPG GrenobleExaminateurs : M. BRUNEL, MDC, HDR PALMS, Université de Rennes 1

J.-L. FERRIER, Professeur LISA, Université d’AngersF. CHAPEAU-BLONDEAU, Professeur LISA, Université d’Angers

Directeur de thèse : François CHAPEAU -BLONDEAU

Laboratoire : LABORATOIRE D’I NGÉNIERIE DESSYSTÈMESAUTOMATISÉS, CNRS FRE 2656Université d’Angers, 62 avenue Notre Dame du Lac, 49000 ANGERS, FRANCE.

Remerciements

Le travail presente dans ce memoire a ete realise au Laboratoire d’Ingenierie des Systemes Au-tomatises de l’Universite d’Angers. Je remercie Mr J.-L. Ferrier, directeur du LISA, de m’avoiraccueilli dans son laboratoire ou il fait si bon travailler.

Ce memoire de these regroupe le travail effectue entre septembre 2001 et juillet 2004. Pen-dant cette periode, j’ai travaille en tant que professeur agrege au departement de physiquede l’Universite d’Angers. Je remercie l’Universite d’Angers et en premier lieu son presidentMr A. Barreau de m’avoir accorde pour l’annee universitaire 2003 − 2004 et 2004 − 2005 unallegement d’un tiers de mon service d’enseignement pour me permettre de mener a bien mestravaux de recherche. En particulier, je remercie Mr G. Moguedet, directeur de l’UFR Sci-ences de l’Universite d’Angers et Mr J. Obriot, assesseur a la pedagogie de l’UFR Sciences del’Universite d’Angers pour leur soutien sans faille dans l’ensemble de mes demarches adminis-tratives.

Je suis tres sensible a l’honneur que me font Messieurs les membres du Jury en acceptant delire et de juger ce travail :

X Mr J.-M. Bilbault, Professeur a l’Universite de Dijon et Mr P.-O. Amblard, Charge deRecherche au CNRS a l’Institut National Polytechnique de Grenoble, pour s’etre charges derapporter ce memoire.

X Mr Ph. Refregier, Professeur a l’Ecole Generaliste d’Ingenieurs de Marseille, Mr M. Brunel,Maıtre de Conferences a l’Universite de Rennes 1, et Mr J.-L. Ferrier, Professeur a l’Universited’Angers. pour l’interet qu’ils manifestent en examinant cette etude.

Une partie du travail presente dans ce memoire [32, 86, 93, 94] a ete effectue dans le cadrede collaborations internationales. Je salue nos collaborateurs et je les remercie d’avoir contribuea enrichir ce travail de recherche :

X Mr G.V. Anand, Professeur de l’Indian Institute of Science, Bangalore, Inde, a sejourneau LISA sur un poste de professeur invite, finance par l’Universite d’Angers, du 15 mai au 15juillet 2002.

X Mr F. Duan, etudiant Chinois, nous a rejoint en novembre 2002, sur un poste de post-doctorant d’une duree de 11 mois, finance par la region des Pays de la Loire.

J’exprime toute ma gratitude au directeur de ces travaux Mr F. Chapeau-Blondeau, Pro-fesseur a l’Universite d’Angers. Je salue son esprit de finesse, son originalite et sa rigueur, troisqualites qu’il met au service de sa passion pour l’enseignement et la recherche. Je mesure la tresgrande chance que j’ai eue de travailler a ses cotes. De plus, j’ai particulierement apprecie lapatience et le tact dont il a fait preuve a mon egard en assurant la delicate double fonction dedirecteur de these et de collegue.

Pour leur enthousiasme constant, leur bonne humeur quotidienne et leur disponibilite dechaque instant je remercie tous les membres du laboratoire LISA et mes collegues du departementde physique de l’Universite d’Angers.

Ce memoire est dedie a ma compagne Emmanuelle pour son soutien, sa comprehension etsa patience sans lesquels tout ceci n’aurait pas ete possible.

Contribution a l’etude du traitement de l’information dans les processusphysiques non lineaires : resonance stochastique et role benefique du bruit.

Resume : Les processus physiques non lineaires ont des dynamiques plus riches que celledes processus lineaires ; ils manifestent des comportements qui peuvent presenter un interetparticulier pour le traitement de l’information. Nous etudions l’un de ces comportements intrin-sequement non lineaire : la resonance stochastique, qui consiste en la possibilite d’ameliorer latransmission ou le traitement d’un signal utile par certains systemes non lineaires, au moyend’une augmentation du bruit dans le systeme.

Les developpements actuels de la resonance stochastique s’organisent autour de trois axes :la poursuite des analyses fondamentales, l’etude de la resonance stochastique dans les neuronesbiologiques et la recherche d’applications technologiques competitives de la resonance stochasti-que. Dans ce memoire, nous nous efforcons d’apporter notre contribution a ces trois axes dedeveloppement de la resonance stochastique.

Dans cette perspective, nous examinons differentes problematiques de traitement de l’infor-mation (transmission, detection et estimation). Nous analysons l’influence du bruit sur lesperformances du traitement de l’information dans differents systemes non lineaires comme descapteurs a saturations, des reseaux de non-linearites ou des systemes dynamiques bistables nonlineaires. Nous considerons differents melanges signal–bruit lineaires ou non lineaires (avec lecas specifique de bruits de phase).Mots cles : systemes non lineaires, resonance stochastique, capteurs, reseaux de capteurs, bruitde phase, traitement non lineaire du signal, neurones, detection, estimation.

Contribution to the study of information processing in nonlinear physicalprocesses : stochastic resonance and beneficial role of noise.

Abstract: Nonlinear physical processes exhibit much richer dynamics than linear processes;some of their specific behaviors are of interest for information processing. We focus on oneof these typically nonlinear behavior: stochastic resonance, which manifest the possibility toenhance the transmission or the processing of a useful signal by certain nonlinear systems bymeans of an increase of the noise in the system.

Present developments about stochastic resonance can be organized in three main axes:the pursue of fundamental analysis, the study of stochastic resonance in natural neurons andthe search for technological competitive applications of stochastic resonance. In this work, wepropose our contribution to these three main axes of development of stochastic resonance.

Within this perspective, we examine different signal processing problematics (transmission,detection and estimation) in different nonlinear physical processes. We study the influence ofnoise on the performance of information processing involving different nonlinear systems likenonlinear sensors with saturations, arrays of nonlinear devices or bistable dynamic systems.We consider different signal–noise mixtures: linear or nonlinear (with the specific case of phasenoises).Keywords: nonlinear systems, stochastic resonance, sensors, arrays of sensors, phase noise,nonlinear signal processing, neurons, detection, estimation.

Table des matieres

1 Introduction 1

2 Un panorama de la resonance stochastique 32.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Un schema general pour la resonance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Panorama actuel de la resonance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3.1 Systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.2 Signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.3 Mesures de performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.4 Bruits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Axes de developpements de la resonance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.1 Les analyses fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.2 Resonance stochastique et processus neuronaux . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.3 Les applications pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Contribution de ce travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Resonance stochastique et systemes a saturations 133.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Une transmission non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Signal periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Signal aperiodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Signal aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6.1 Application aux technologies de l’information . . . . . . . . . . . . . . . . 243.6.2 Application au cas des neurones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Resonance stochastique et reseaux de non-linearites 334.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Un nouveau mecanisme d’amelioration par le bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Presentation du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.2 Mecanisme de l’effet positif du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Extensions de la resonance stochastique supraliminaire . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.1 Resonance stochastique supraliminaire et rapport signal sur bruit . . . . . 364.3.2 Resonance stochastique supraliminaire et estimation standard . . . . . . . 38

ii TABLE DES MATIERES

4.3.3 Resonance stochastique supraliminaire et detection bayesienne . . . . . . 404.3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Particularites de la resonance stochastique supraliminaire . . . . . . . . . . . . . 434.4.1 Robustesse de la resonance stochastique supraliminaire . . . . . . . . . . . 444.4.2 Cas des distributions de seuils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4.3 Possibilite d’amelioration entree–sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5 Perspectives de travaux futurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5.1 Analyses fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5.2 Applications potentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Resonance stochastique et bruit de phase 575.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2 Bruit de phase et estimation bayesienne optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.1 Une premiere etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.2 Influence de la densite de probabilite du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.3 Influence de la forme de l’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3 Bruit de phase et detecteurs optimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3.1 Strategies optimales de detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3.2 Performance amelioree par le bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Etude d’un filtre non lineaire pour la detection 796.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Un systeme dynamique bistable utilise comme filtre non lineaire . . . . . . . . . . 806.3 Le filtre non lineaire dans le processus de detection . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.4 Reglage optimal du filtre non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4.1 Observations qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.4.2 Observations quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.4.3 Methode pour l’accord optimal du filtre non lineaire . . . . . . . . . . . . 85

6.5 Comparaison du filtre non lineaire et du filtre adapte . . . . . . . . . . . . . . . . 866.5.1 Comparaison avec le filtre adapte ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.5.2 Comparaison en presence de desynchronisation . . . . . . . . . . . . . . . 876.5.3 Comparaison avec des implantations pratiques du filtre adapte . . . . . . 89

6.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7 Conclusion 95

Bibliographie 99

Chapitre 1

Introduction

La dynamique des systemes non lineaires est beaucoup plus riche que celle des systemeslineaires. Certains phenomenes, qui apparaissent etranges dans le cadre d’une analyse physiqueexclusivement lineaire, ne peuvent etre decrits ou predits que par des modeles non lineaires.Citons quelques-uns de ces phenomenes physiques intrinsequement non lineaires [55] :

X un systeme lineaire stable soumis a une excitation periodique produit un signal de sortiede meme frequence. Un systeme non lineaire soumis a une excitation periodique peut oscillera des frequences multiples ou sous-multiples. On utilise le terme de generation d’harmoniqueou de sous-harmonique pour designer cet enrichissement du spectre en sortie d’un systeme nonlineaire ;

X un systeme dynamique non lineaire peut etre dans un etat ou il n’est ni en equilibre ni enoscillations periodiques. Les oscillations peuvent etre completement irregulieres et imprevisiblesbien que le systeme soit fondamentalement deterministe. Ces comportements purement nonlineaires sont appeles chaos ;

X dans un milieu de propagation dispersif non lineaire, il peut exister des ondes qui,contrairement a ce que l’on observe dans un milieu dispersif lineaire, ne s’etalent pas et conser-vent leurs formes et amplitudes indefiniment. Ces ondes sont appelees des solitons.

Dans ce document, nous allons nous concentrer sur un de ces comportements non lineairesrencontres en physique : la possibilite d’ameliorer, dans certains systemes non lineaires, latransmission ou le traitement d’un signal utile au moyen d’une augmentation du bruit dans lesysteme. L’ensemble des situations qui peuvent donner lieu a un effet benefique du bruit estun secteur en pleine evolution. Dans ce memoire, nous choisissons, au profit d’une presentationunifiee, de rassembler (comme nombre d’auteurs) l’ensemble des manifestations de ce phenomenesous le terme de resonance stochastique.

La physique non lineaire est, par essence, a la fois un domaine fondamental de la science etun theme unificateur largement interdisciplinaire. La resonance stochastique n’echappe pas a ceprincipe. Introduite il y a une vingtaine d’annees en geophysique, la resonance stochastique aprogressivement ete observee dans differents domaines de la physique et de la chimie mais aussiau niveau des neurones biologiques. En tant que phenomene non lineaire general, la resonancestochastique amene un certain nombre de questions non triviales que l’on peut explorer pourfaire progresser, sur un plan fondamental, notre comprehension de l’influence du bruit dans lesprocessus physiques non lineaires. Dans ce memoire, nous apporterons notre contribution a cetaxe de recherche.

2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Les neurones biologiques constituent des systemes naturellement non lineaires des le plusbas niveau de traitement ; ceci leur permet d’avoir acces a des phenomenes specifiquement nonlineaires comme la possibilite d’utiliser le bruit via la resonance stochastique. Les neuronesbiologiques sont capables de remarquables performances pour le traitement du signal et del’information. Il est frappant de constater que les strategies adoptees pour le traitement neuronalde l’information sont radicalement differentes de celles choisies pour les applications technologi-ques actuelles, ou l’on tend a vouloir tout lineariser conferant ainsi aux bruits leur caractered’emblee systematiquement nuisible. Comprendre les strategies du codage neuronal de l’informa-tion constitue a la fois un enjeu pour des analyses fondamentales et une source d’inspiration pourde nouvelles generations de processus du traitement de l’information neuro-inspirees. Chaquefois que nous mettrons a jour une nouvelle forme de resonance stochastique, nous tourneronsnotre regard vers le domaine des neurones biologiques pour analyser si cette nouvelle forme deresonance stochastique peut s’appliquer a ce domaine specifique.

Apres une phase de developpement intense des analyses fondamentales (des annees 1960a nos jours) sur les phenomenes non lineaires, la recherche d’applications pratiques a ete en-gagee. Certaines de ces applications se situent notamment a l’interface entre la physique nonlineaire et le traitement de l’information. A titre d’exemples pour les phenomenes non lineairesque nous avons cites, la generation d’harmoniques est couramment utilisee en optoelectroniquepour obtenir des longueurs d’ondes plus courtes situees dans le visible ou l’ultraviolet [99] ; desrecherches sont en cours pour utiliser le chaos pour des applications en cryptographie [47] ; lessolitons pourraient etre utilises pour augmenter le debit des communications numeriques longuedistance aujourd’hui limite par la dispersion chromatique dans les fibres optiques [56]. En cequi concerne la resonance stochastique, un axe actuel de recherche est de savoir si l’on peut, ens’inspirant de ce que l’on rencontre en physique et dans les neurones, utiliser le bruit commeun allie pour les sciences et les technologies de l’information et de la communication. C’est cetroisieme axe que nous nous proposons de considerer dans cette these en parallele avec les axesprecedemment mentionnes : les analyses fondamentales et l’etude de la resonance stochastiquedans les processus neuronaux.

Dans le chapitre suivant, nous allons commencer par donner un panorama des developpementsactuels autour de la resonance stochastique. Ceci nous permettra de situer notre contributionet d’indiquer comment s’organise ce document.

Chapitre 2

Un panorama de la resonancestochastique

2.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous commencons par decrire l’effet de resonance stochastique au moyend’un schema general. Nous dressons ensuite un panorama des diverses formes que peut prendrela resonance stochastique suivant les types consideres pour le bruit, le signal utile, le systemenon lineaire en charge de transmettre ou de traiter le signal utile, et la mesure de performancequi se voit amelioree par le bruit. Ensuite, nous degageons les voies de developpement actuellesautour de la resonance stochastique. Ceci nous permet de situer nos contributions et d’expliquerla facon dont nous organisons la presentation de nos resultats dans ce document.

2.2 Un schema general pour la resonance stochastique

Actuellement, il est possible de rassembler, comme le propose [21], les differentes formesobservees pour la resonance stochastique au moyen du schema de la Fig. 2.1.

Figure 2.1 : Un schema general pour la resonance stochastique

Quatre elements essentiels interviennent dans le phenomene de resonance stochastiqueillustre par la Fig. 2.1 :(i) un signal utile ou coherent s(t) ;(ii) un bruit η(t) ;(iii) un systeme ou un processus, en general non lineaire, qui recoit s(t) et η(t) en entree sousl’influence desquelles il produit le signal de sortie y(t) ;(iv) une mesure de performance, qui quantifie l’efficacite du traitement ou de la transmission dusignal d’entree utile s(t) vers la sortie y(t) en presence du bruit η(t).

4 CHAPITRE 2. UN PANORAMA DE LA RESONANCE STOCHASTIQUE

On parle de resonance stochastique chaque fois qu’il est possible d’augmenter la mesure deperformance au moyen d’une augmentation du niveau du bruit η(t).

2.3 Panorama actuel de la resonance stochastique

La resonance stochastique a ete introduite au debut des annees 1980 dans le contexte dela dynamique des climats [8]. Depuis, les etudes sur la resonance stochastique ont progressedans de nombreuses directions a travers des variations et des extensions autour des quatreingredients de bases (i)–(iv) de la section precedente. A ce jour, le dernier article envisageantun etat de l’art pluridisciplinaire complet date de 1998 [37]. Sur la base de donnees des CurrentContents, on trouve plus de 1000 references publiees entre janvier 1999 et mai 2004 avec le termeresonance dans le titre ou en mot cle ; plusieurs publications de synthese sur les developpementsde la resonance stochastique sont parus depuis [37] mais en se restreignant a des domainesparticuliers comme l’electricite [65, 66, 46] ou les neurones [80]. Sans viser a l’exhaustivite, nousproposons un panorama montrant les evolutions importantes autour des systemes, des signaux,des mesures de performance et des bruits qui donnent lieu a l’effet de resonance stochastique.

2.3.1 Systemes

Pendant une longue epoque qui a suivi son introduction, la resonance stochastique a essen-tiellement ete etudiee dans des systemes dynamiques non lineaires bistables en charge de latransmission d’un signal utile s(t) (initialement periodique sinusoıdal) noye dans un bruit η(t)additif (initialement blanc et gaussien).

Ainsi, classiquement, dans les premieres etudes sur la resonance stochastique, on considereun systeme dynamique bistable gouverne par un potentiel a double puits. Un signal sinusoıdals(t) = A × sin(2πt/Ts) et un bruit η(t) blanc gaussien sont appliques en entree du systemedynamique dont l’etat interne x(t) est decrit par

τadx(t)

dt= −dU(x)

dx+ s(t) + η(t). (2.1)

La relaxation libre du systeme τax = −dU/dx est gouvernee par le potentiel a double puitsU(x) ; un exemple frequemment retenu de potentiel a double puits est le potentiel “quartique”U(x) = −x2/2 + x4/(4X2

b ), avec le parametre Xb > 0, dont l’allure est presentee sur la Fig. 2.2.

En l’absence de s(t) + η(t), le systeme de l’Eq. (2.1) possede deux etats stationnairesstables x = ±Xb qui correspondent aux deux minima du potentiel U(x = ±Xb) = −X2

b /4. Cesdeux etats sont separes par une barriere de potentiel de hauteur U0 = X2

b /4. D’un point devue mecanique, l’Eq. (2.1) decrit le mouvement en regime suramorti (l’inertie x est supposeenegligeable devant les forces de frottement visqueux x) d’une particule dans le potentiel U(x)soumise a la force s(t) + η(t). L’etat interne x(t) determine la sortie y(t) du systeme via unequantification sur deux etats

y(t) = sign[x(t)] = ±1, (2.2)

qui rend compte des transitions inter-puits de la particule. Cette interpretation mecanique dusysteme de l’Eq. (2.1) nous permet de resumer qualitativement l’effet de resonance stochastique.Si l’excitation periodique s(t) est d’amplitude A trop faible pour permettre a la particule defranchir la barriere de potentiel U0, alors elle oscille periodiquement en restant confinee autourd’un des deux etats stables x = ±Xb. Si on ajoute un bruit η(t) faible, on observe occasion-nellement des transitions entre les deux puits de potentiel (voir Fig. 2.3B). Ces transitions sont

2.3. Panorama actuel de la resonance stochastique 5

Figure 2.2 : Potentiel a double puits quartique de type U(x) = −x2/2 + x4/(4X2b )

correlees avec l’excitation periodique s(t) puisqu’elles sont produites par l’action conjointe dusignal s(t) et du bruit η(t). L’augmentation de l’amplitude du bruit revele un effet cooperatifentre le signal s(t) et le bruit η(t) qui favorise la correlation du signal de sortie y(t) avec l’entreeperiodique s(t) (voir Fig. 2.3C). Cet effet cooperatif opere tant que les transitions inter-puitsproduites par la seule action du bruit ne sont pas trop nombreuses (voir Fig. 2.3D). On obser-ve donc une action non monotone du niveau du bruit η(t). Celui-ci permet tout d’abord uneaugmentation de la correlation de la sortie y(t) avec l’excitation periodique s(t) jusqu’a un niveauoptimal suivi d’une decroissance de cette correlation.

Dans le cadre d’approximations, on peut montrer que le niveau optimal du bruit η(t) estatteint lorsque le temps moyen entre deux transitions induites par le bruit seul est comparableavec la demi-periode de l’excitation periodique s(t). C’est cette condition d’accord temporel,cette resonance induite par le bruit, qui a justifie historiquement l’introduction du terme deresonance stochastique. L’inverse du temps moyen entre deux transitions induites par le bruitseul s’appelle le taux de Kramer [79] ; dans le cas du potentiel quartique il peut s’ecrire

Rk(D) =

√| U ′′(0) | U ′′(Xb)

2πτa× exp

(−U0

Dτa

)=

1πτa

√2× exp

(−X2b

4Dτa

), (2.3)

ou 2D represente la densite spectrale de puissance du bruit η(t) blanc gaussien. On est a laresonance stochastique lorsque

2/Rk(D) = Ts . (2.4)

Les systemes dynamiques non lineaires bistables tels que celui de l’Eq. (2.1) sont tresfrequemment utilises comme modele en physique (voir [37] pour une synthese). Ainsi, lespremieres etudes sur la resonance stochastique [8] ont declenche un grand nombre de travauxdans le domaine de la physique non lineaire. Progressivement, la transmission favorisee parle bruit de signaux a travers des systemes non lineaires bistables a ete observee dans differentsdispositifs experimentaux gouvernes par l’Eq. (2.1) tels que des systemes mecaniques, des circuitselectroniques, des systemes optiques, des systemes magnetiques, des composants supraconduc-teurs, des reactions chimiques et des neurones (voir [37] pour toutes les references correspon-dantes).

Par la suite, il a ete montre que la possibilite d’une transmission favorisee par le bruitd’un signal utile n’etait pas un phenomene reserve exclusivement aux systemes dynamiques


0 2 4 6 8 10−0.5

0

0.5

s(t)

0 2 4 6 8 10−1

010 2 4 6 8 10

−101

y(t)

0 2 4 6 8 10−1

01

temps t/Ts

y(t)

y(t)

A

B

C

D

Figure 2.3 : Influence qualitative du bruit sur le comportement du systeme dynamique nonlineaire bistable de l’Eq. (2.1). Ligne A : signal coherent s(t) applique a l’entree du systemedynamique non lineaire bistable en fonction du temps. Sans bruit, le signal s(t) ne peut franchirla barriere de potentiel U0. Ligne B : evolutions temporelles du signal binarise y(t) en sortiedu systeme de l’Eq. (2.1). Le signal applique en entree s(t) est celui de la ligne A. Le niveaudu bruit η(t) est trop faible, les transitions inter-puits sont peu nombreuses. Ligne C : memesobservations que sur la ligne B, mais le niveau du bruit η(t) a ete augmente. La correlationentre la sortie y(t) et l’entree s(t) du systeme de l’Eq. (2.1) est plus grande que sur la ligne B.s(t). Ligne D : memes observations que sur les lignes B et C. Le niveau du bruit η(t) est encoresuperieur a celui de la ligne C. La correlation entre la sortie y(t) et l’entree s(t) s’est degradee.Le niveau du bruit η(t) est trop grand, il induit a lui seul de nombreuses transitions inter-puitsnon correlees avec le signal coherent s(t).

non lineaires bistables. Un signal utile peut egalement beneficier du bruit dans des systemesdynamiques non lineaires gouvernes par des potentiels monostables, i.e. presentant un seul etatstable [108]. De meme, l’effet de transmission favorisee par le bruit a ete etendu aux systemesexcitables [10]. Ces systemes presentent un etat de repos stable dont ils ne peuvent sortirque sous l’influence d’une excitation suffisamment forte. Celle-ci provoque alors une excur-sion deterministe qui entraıne le systeme loin de son etat de repos et l’y ramene ensuite. Lecaractere dynamique des systemes n’est pas non plus indispensable pour permettre la trans-mission favorisee par le bruit que l’on observe aussi dans des systemes non lineaires statiques,sans memoire [17]. Le role benefique du bruit etait d’ailleurs utilise depuis longtemps danscertains systemes non lineaires statiques sous le nom de “dithering noise” [100] ; lors de laconversion analogique–numerique d’un signal ou d’une image, un ajout de bruit peut permettrede faire decroıtre la distorsion due a l’erreur de quantification. Ainsi, le “dithering noise” peutetre decrit comme une forme particuliere de resonance stochastique impliquant un systeme nonlineaire particulier (un quantifieur statique) et une mesure de performance particuliere (l’erreurquadratique moyenne de quantification).

L’effet d’amelioration par le bruit n’est pas restreint a des systemes isoles. Des etudesmontrent des effets benefiques du bruit avec des associations de systemes non lineaires, parexemple, en serie [14, 76] ou en parallele [27, 104, 71]. Enfin, le role benefique du bruit a ete

2.3. Panorama actuel de la resonance stochastique 7

demontre dans le domaine des sciences cognitives et en psychometrie ou il est frequent de ne pasavoir de modele pour la tache demandee aux sujets humains examines en tant que boıte noire(voir [80] pour une synthese). Ces differents developpements ont contribue a une formidableextension des classes de systemes capables de tirer profit d’une augmentation de bruit. Ainsi,progressivement, le cadre de la definition de la resonance stochastique s’est egalement elargi.C’est aujourd’hui le terme utilise pour reunir toutes les situations ou une augmentation duniveau de bruit peut favoriser le traitement d’un signal utile 1.

2.3.2 Signaux

Initialement, la transmission de signaux utiles favorisee par le bruit a ete montree avec dessignaux periodiques. Un cadre generique, s’appliquant a n’importe quel systeme non lineaire, aete etabli pour l’analyse theorique de la resonance stochastique “periodique” [17]. Historique-ment, le rapport signal sur bruit de sortie a ete la mesure de performance la plus utilisee pourevaluer le benefice apporte par le bruit dans ce contexte. Dans les systemes dynamiques nonlineaires bistables, comme ceux de l’Eq. (2.1), le contexte est a la fois non lineaire et non sta-tionnaire ; en general, le calcul explicite des grandeurs intervenant dans l’expression theoriquedu rapport signal sur bruit en sortie est difficile. Differentes approches theoriques ont per-mis d’etablir des solutions analytiques approchees moyennant certaines hypotheses contraig-nantes comme dans le cadre de l’approximation adiabatique de [74] (ou le signal periodique doitvarier tres lentement devant les caracteristiques du systemes non module) ou encore celui de latheorie de la reponse lineaire [38] (theorie perturbative sans restriction sur la frequence du signalperiodique mais lui imposant une amplitude faible). Dans les systemes ou l’on peut decouplerle caractere non lineaire et le caractere dynamique, une caracterisation complete de resonancestochastique periodique par le calcul explicite du rapport signal sur bruit est possible [17] sansrecours a des approximations 2.

Parallelement a l’extension des classes de systemes non lineaires capables de manifester laresonance stochastique, on a aussi cherche a elargir les classes de signaux pouvant donner lieua un effet cooperatif avec le bruit. Des etudes ont montre que l’effet de resonance stochastiquen’etait pas reserve aux seuls signaux periodiques. L’amelioration du traitement de l’informationpar le bruit dans des systemes non lineaires est egalement possible pour des signaux coherentsaperiodiques, deterministes [26] ou bien des signaux aleatoires [17].

2.3.3 Mesures de performance

Pour quantifier l’effet de resonance stochastique, il convient d’adapter la mesure de perfor-mance a utiliser en fonction du signal coherent s(t) et du traitement envisage sur le signal ensortie y(t) du systeme non lineaire. Lorsque le signal coherent s(t) est periodique, on peut evaluerdans le domaine frequenciel la facon dont il emerge du fond de bruit en sortie du systeme nonlineaire avec le rapport signal sur bruit periodique [17]. Quand le signal s(t) n’est pas periodique,ce rapport signal sur bruit n’est plus adapte, d’autres mesures ont ete proposees pour caracteriser

1Avec l’extension de la signification du terme de resonance stochastique, on perd de vue la condition d’accordtemporel de l’Eq. (2.4) qui a justifie historiquement l’utilisation du mot resonance au sens strict qu’il peut revetirdans d’autres domaines de la physique. L’avantage que nous voyons (comme nombre d’auteurs) a l’utilisation dela resonance stochastique au sens etendu du terme, c’est son caractere unificateur. Il permet de regrouper sousune meme appellation un ensemble, tres disparate, de situations ou le bruit peut jouer un role positif dans letraitement d’un signal utile, la ou une mesure de performance “resonne” en passant par un maximum pour unniveau optimal non nul du bruit.

2Cette theorie a ete developpee en 1997 lors d’une precedente these au Laboratoire d’Ingenierie des SystemesAutomatises [43] ; nous la presenterons dans le corps de ce document lorsque nous serons amenes a l’appliquer.


la resonance stochastique, comme des mesures d’intercorrelation [26] ou des mesures de ressem-blances statistiques issues de la theorie de l’information (l’information mutuelle au sens deShannon [50], la capacite d’un canal [13], l’information au sens de Fisher [20]). Des definitionsprecises de ces differentes mesures de performance viendront, dans le suite du document, selonles contextes et selon les besoins.

2.3.4 Bruits

Par ailleurs, certains auteurs se sont penches sur l’influence des proprietes du bruit surl’effet de resonance stochastique en s’ecartant de la situation initialement introduite d’un bruitη(t) blanc gaussien additif [8]. Ainsi, la possibilite d’une transmission favorisee par le bruit a eteexaminee en presence de bruits colores [41], de bruits non gaussiens appartenant a differentesfamilles (gaussiennes generalisees [98], bruits impulsifs [58], bruits dichotomiques [97]). D’autrestypes de couplage entre le signal coherent et le bruit ont egalement ete envisages, comme celuiimpose par un bruit multiplicatif [39] ou un bruit de phase [16].

2.4 Axes de developpements de la resonance stochastique

Apres avoir presente la phase d’extension et de generalisation de l’effet de traitement dusignal assiste par le bruit qui a suivi l’introduction de la resonance stochastique, on se proposed’exposer les voies de developpement actuelles de ce domaine de recherche.

2.4.1 Les analyses fondamentales

Jusqu’ici, les etudes de la resonance stochastique se sont essentiellement developpees surle plan des analyses fondamentales. Sans se poser la question de l’utilite pratique, il s’agissaitd’analyser en detail, pour ce qu’elles sont, des situations ou le bruit peut permettre d’extraire dusignal utile hors du bruit. Cette phase exploratoire, qui vise a recenser et examiner les differentesmanifestations de la resonance stochastique que l’on peut rencontrer dans la nature, n’est pasterminee ; de nouvelles formes de traitements ameliores par le bruit continuent a apparaıtredans la litterature (recemment par exemple [104, 16, 103, 114, 32]). Il s’agit donc la d’un axede developpement qui demeure actuel.

2.4.2 Resonance stochastique et processus neuronaux

Une deuxieme voie d’interet est l’etude de la resonance stochastique dans les processusneuronaux. Cette classe de processus non lineaires naturels (avec des seuils et des saturationsdes le plus bas niveau de traitement), ou la resonance stochastique a ete mise en evidence, estcapable de traitements de l’information tres performants. L’analyse des strategies de traite-ment de l’information dans les processus neuronaux est une problematique qui reste aujourd’huilargement ouverte ; le role que peut jouer la resonance stochastique dans ces strategies constitueune voie de recherche. Les etudes de la resonance stochastique dans les processus neuronauxse situent a des niveaux tres divers comme celui des neurones individuels avec la cinetique descanaux ioniques, la transmission neuronale de stimuli analogiques bruites, ou la transmissionneuronale de trains de potentiels d’action. A une echelle plus large, on retrouve la resonancestochastique dans des associations de neurones, les reseaux de neurones, dans les processus dememorisation ou dans la regulation neuronale. Au niveau cognitif, ou l’on englobe finalementl’ensemble du systeme nerveux, la resonance stochastique est egalement presente, avec des etudes

2.4. Axes de developpements de la resonance stochastique 9

specifiques sur le role du bruit dans l’audition, dans la vision ou sur le toucher. On trouve desreferences pour l’ensemble de ces etudes dans la synthese recente [80].

2.4.3 Les applications pratiques

Comme nous l’avons mentionne precedemment, les explorations fondamentales des differentesformes de resonance stochastique ne sont pas achevees. Neanmoins, les connaissances theoriqueset experimentales sont desormais suffisamment bien etablies pour envisager la question desapplications autour des formes connues de resonance stochastique. Tel qu’il nous apparaıt al’epoque ou nous avons entame ce travail de these, l’effet de resonance stochastique opere lorsquela condition (A) ci-dessous est respectee :

(A) Le systeme non lineaire de la Fig. 2.1 doit etre contraint ou non completement optimisa-ble. Par exemple, les parametres du systemes non lineaires (position d’un seuil, hauteur d’unebarriere de potentiel, . . . ) ne sont pas reglables ou non entierement controlables.

Il existe alors generalement des regimes pour lesquelles le signal utile ou coherent s(t) dela Fig. 2.1 se trouve mal positionne (generalement trop petit devant un seuil ou une barrierede potentiel) par rapport au systeme non lineaire en charge de le traiter ou de le transmettre.Dans ces regimes de fonctionnement sous-optimaux l’injection de bruit η(t) a l’entree du systemenon lineaire peut ameliorer le traitement ou la transmission du signal utile s(t). A partir de la,rechercher des applications pratiques de la resonance stochastique c’est rechercher des processusnon lineaires de traitement de l’information qui se presentent sous la forme sous-optimale decritepar la condition (A).

De tres nombreuses realisations experimentales ont montre l’effet de resonance stochasti-que en pratique (voir les articles de syntheses [37, 46, 80]). Generalement, le processus impliquedans ces experiences ne se presente pas naturellement de maniere contrainte. On admet que lesysteme en charge de la transmission ou du traitement du signal utile s(t) n’est pas reglable. Sile signal utile s(t) se trouve mal positionne par rapport au systeme, on s’interdit de modifierce dernier. Dans ces conditions, on verifie ensuite qu’une injection de bruit peut beneficier a latransmission ou au traitement de s(t).

Il existe toutefois des processus non lineaires de traitement de l’information qui se presentent“naturellement” avec une configuration non optimalisable. C’est le cas chez les personnesatteintes d’un deficit sensoriel. Des travaux recents envisagent l’utilite de l’effet de resonancestochastique dans ce contexte. Ainsi, des personnes atteintes d’une surdite liee a la mort descellules ciliees externes situees le long de la membrane cochleaire en charge de la transductionacousto-electrique des signaux sont equipees d’implants cochleaires. Un microphone situe al’exterieur de l’oreille acquiert les sons qui sont ensuite transmis via une electrode aux neuronesafferents de la cochlee sous forme de signaux electriques. La dynamique d’ecoute des personnesequipees de ces implants cochleaires est estimee entre 6 et 20 dB au lieu des 120 dB d’une oreille“normale”. L’amelioration de cette dynamique est un enjeu important pour les malentendants.Des etudes recentes ont montre que l’ajout de bruit au niveau du microprocesseur charge decoder l’information a envoyer aux neurones dans l’implant cochleaire pouvait dans certainesconditions amener une augmentation de dynamique significative chez des personnes equipees detels implants [78, 24, 106]. Il s’agit la d’un domaine d’application potentiel pour la resonancestochastique. Dans le meme ordre d’idee, pour les personnes atteintes d’un deficit au niveau dusens tactile, il a ete montre qu’une excitation electrique sous forme de bruit pouvait abaisser le


seuil de detection du toucher [29]. Des semelles vibrantes utilisant ce principe ont ete mises aupoint au departement d’ingenierie biomedicale de l’Universite de Boston.

Lorsque l’on dispose d’un controle complet du systeme en charge de transmettre ou detraiter le signal utile s(t) et permettant de l’optimiser, la resonance stochastique sera a prioriinoperante ; une augmentation du niveau de bruit entraınera une degradation monotone dela transmission ou du traitement de s(t). Pour les applications technologiques competitivesactuelles on choisit generalement des systemes lineaires ; il ne s’agit pas forcement de la meilleuresolution mais d’une solution pour laquelle on dispose, grace aux outils de l’analyse lineaire, d’unemaıtrise complete (au moins en theorie sur le “papier”). Neanmoins, il peut etre interessantd’analyser d’emblee les potentialites des processus non lineaires (les neurones biologiques lesutilisent efficacement). Si on fait ce choix, on a acces a des proprietes specifiquement non lineairescomme la resonance stochastique. La question est de savoir si ceci peut etre utile pour desapplications technologiques competitives. On a vu apparaıtre dernierement, les premiers brevetsdeposes mentionnant le terme de resonance stochastique 3 mais aussi les premiers articles sur laresonance stochastique dans des revues specifiquement orientees vers les sciences de l’ingenieur(par exemple dans les revues de l’IEEE sur les sciences et technologies de l’information pour neciter qu’elles [75, 65, 66, 116, 54, 46, 118, 23]).

Dans cette these nous allons nous concentrer sur les applications de la resonance stochasti-que pour le traitement du signal et les capteurs 4. Jusqu’a present, la problematique de traite-ment du signal la plus etudiee dans la perspective de la resonance stochastique a ete la detectiond’un signal noye dans du bruit [63, 12, 49, 35, 81, 15, 41, 54, 109, 117, 98, 77, 33, 16]. Deuxraisons au moins justifient cet interet.

Tout d’abord, les detecteurs optimaux ne sont pas toujours exprimables theoriquementou realisables pratiquement [54, 117, 98]. On est alors parfois contraint d’implementer desdetecteurs sous-optimaux. De surcroıt, ces detecteurs sous-optimaux sont souvent (des que lebruit est non gaussien) des operateurs non lineaires. Dans un tel contexte (un systeme nonlineaire sous-optimal, en presence d’un signal utile et de bruit) il est pertinent d’examiner le roleque peut jouer la resonance stochastique.

Ensuite, certaines etudes [63, 12, 41] sur la resonance stochastique ont montre qu’augmenterle niveau de bruit pouvait produire des gains entree–sortie de rapport signal sur bruit superieur aun. Dans la theorie de la detection, le rapport signal sur bruit est un parametre qui peut rendrecompte de la detectabilite d’un signal noye dans du bruit. Ce constat de depart a encourageles recherches visant a utiliser la resonance stochastique pour ameliorer les performances desdetecteurs [49, 35, 15, 109, 77, 33, 16].

En dehors du cadre de la detection, d’autres problematiques pratiques de traitement dusignal telle la synchronisation [81, 96] ou l’estimation peuvent aussi voir dans certaines conditionsleurs performances ameliorees par une augmentation du niveau de bruit. Par ailleurs, dans laperspective de l’implementation de resonateurs stochastiques pour une application en traitementdu signal, certaines questions pratiques restent a considerer. Quelles sont les caracteristiquesoptimales du bruit a utiliser ? Comment ajuster de maniere adaptative le niveau de bruitlorsque les signaux a traiter evoluent au cours du temps ? Ces interrogations ont ete recemment

3Au moment ou nous ecrivons ces lignes on trouve, sur le site internet http://ep.espacenet.com, 6 brevetscontenant le terme resonance stochastique. Il s’agit de brevets portant sur de nouveaux capteurs [11, 36] quipresentent les caracteristiques du systeme dynamique non lineaire bistable de l’Eq. (2.1).

4Nous laissons ainsi de cote les applications potentielles dans d’autres domaines ou la resonance stochastiqueintervient comme l’optique, la mecanique, la chimie.

2.5. Contribution de ce travail 11

abordees [58, 115].

2.5 Contribution de ce travail

Dans ce travail nous avons eu pour projet d’apporter notre contribution aux trois voiesactuelles de developpement que nous venons de degager dans la section precedente autour de laresonance stochastique :

(j) poursuivre des analyses fondamentales pour trouver et analyser de nouvelles formes deresonances stochastiques ;

(jj) examiner ces nouvelles formes de resonance stochastique en relation avec le traitementde l’information dans les processus neuronaux ;

(jjj) considerer les applications pratiques potentielles de la resonance stochastique dans ledomaine des capteurs et des STIC.

Dans cette perspective, nous allons examiner differentes problematiques de traitement del’information dans des processus physiques non lineaires. Systematiquement nous etudieronsl’influence du bruit sur les performances du traitement de l’information dans ces processus ens’attachant specifiquement a montrer les manifestations de la resonance stochastique. Ainsi,nous allons etendre la resonance stochastique a de nouveaux secteurs sur lesquels nous nousefforcerons de porter le triple regard (j),(jj), (jjj).

Nous allons montrer l’effet de resonance stochastique [95, 89] avec des capteurs non lineairesa saturations. Nous examinerons une forme tres recente de resonance stochastique dans desreseaux de capteurs [93, 92, 90, 87]. Nous etudierons la possibilite de resonance stochastiqueen presence de bruit de phase avec des estimateurs ou des detecteurs optimaux [21, 88, 91, 23].Nous etudierons les proprietes du systeme dynamique bistable qui a permis historiquementl’introduction de la resonance stochastique, lorsqu’il est utilise comme un filtre non lineairepour une tache de detection [94, 33].

Chacune de ces etudes, en tant qu’avancee nouvelle, va montrer des effets de traitementsameliores par le bruit qui, d’une facon ou d’une autre, ne sont pas englobes par la description dela resonance stochastique telle qu’elle apparaissait au debut de ce travail de these. Le chapitrede conclusion sera l’occasion de revenir sur les trois voies de developpement de la resonancestochastique, de donner une synthese de nos resultats dans ces directions et de degager despossibilites de travaux futurs.

Chapitre 3

Resonance stochastique et systemesa saturations

3.1 Introduction

La plupart des systemes donnant lieu a l’effet de resonance stochastique sont essentiellementdes systemes intrinsequement non lineaires a barrieres de potentiel ou a seuils. Dans ces cas,le mecanisme de la resonance stochastique peut se resumer ainsi : un signal utile, porteurd’information se presente trop petit pour franchir a lui seul une barriere de potentiel ou un seuil.L’ajout de bruit donne alors lieu a un effet cooperatif entre le signal et le bruit, permettant defranchir une barriere de potentiel ou un seuil, pour fournir en sortie une reponse presentant plusde similarites avec le signal d’entree.

Dans ce chapitre, nous allons etendre la classe de systemes capables de donner lieu a l’effet deresonance stochastique [95, 89]. Nous allons considerer des systemes statiques ou sans memoirequi repondent lineairement dans la limite des petits signaux (pas de seuil ni de barriere). Enrevanche, des signaux de grande amplitude se presentant a l’entree des systemes en question,vont saturer en sortie. Ainsi, des signaux utiles, porteurs d’information, de grande amplitudeseront distordus apres transmission dans les systemes que nous etudions. Nous allons montrerdes conditions ou l’ajout de bruit en presence de signaux a grande amplitude permet de reduirela distorsion subie lors de la transmission. Ceci constitue, en soi, une nouvelle forme de resonancestochastique, que nous etablissons. Dans un deuxieme temps, nous considerons la question desapplications de cette nouvelle manifestation de la resonance stochastique dans des systemesphysiques dont les caracteristiques sont lineaires aux faibles excitations et saturent aux grandesexcitations. Nous considerons le cas des capteurs et celui des neurones biologiques qui presententce type de caracteristiques non lineaires.

3.2 Une transmission non lineaire

Nous allons considerer des systemes non lineaires sans memoire ou statiques de caracteristiquesentree–sortie g(.), lineaires pour des signaux de faibles amplitudes et saturantes aux grandes am-plitudes (voir partie gauche de la Fig. 3.1). Nos analyses seront egalement valables pour toutsysteme statique possedant un regime lineaire et des saturations, comme des systemes presentantun seuil aux faibles valeurs d’entrees et une saturation pour les grandes valeurs d’entrees (voirpartie droite de la Fig. 3.1).

Nous considerons un signal utile d’entree s(t) et un bruit blanc additif η(t) caracterise par

14 CHAPITRE 3. RESONANCE STOCHASTIQUE ET SYSTEMES A SATURATIONS

0

Figure 3.1 : Exemples de caracteristiques entree–sortie g(.) de systemes avec des non-linearitesa saturations. Sur la partie gauche : saturations aux grandes amplitudes positives et negatives ;sur la partie droite : seuil aux faibles amplitudes et saturation aux grandes amplitudes.

sa fonction de repartition Fη(u) et sa fonction densite de probabilite fη(u) = dFη(u)/du. Lemelange signal-bruit d’entree s(t) + η(t) est transmis par g(.), de maniere a produire le signalde sortie

y(t) = g[s(t) + η(t)] . (3.1)

Dans la suite de ce chapitre, nous allons etudier l’influence du niveau du bruit η(t) sur latransmission du signal utile d’entree s(t). Le signal s(t) d’entree sera de nature informationnelledifferente, successivement deterministe, periodique, aperiodique ou aleatoire. Dans chaque cas,nous introduirons et etudierons une mesure de similarite entre le signal d’entree s(t) et le signalde sortie y(t). Nous montrerons la possibilite de voir croıtre ces mesures de similarite via uneaugmentation du niveau du bruit η(t), demontrant ainsi la resonance stochastique pour chaquetype de signal utile rencontrant des non-linearites a saturations.

3.3 Signal periodique

Lorsque le signal d’entree s(t) est deterministe periodique de periode Ts et le bruit η(t)stationnaire, le signal de sortie y(t) de l’Eq. (3.1) est generalement un signal aleatoire cyclosta-tionnaire. La densite spectrale de puissance de y(t) presente des raies a des frequences multiplesde 1/Ts qui emergent hors du fond de bruit continu. Une mesure standard de similarite entrey(t) et le signal Ts-periodique d’entree s(t) est le rapport signal sur bruit local Rn autour del’harmonique n. Le rapport Rn est defini comme la puissance spectrale contenue dans la raie an/Ts divise par la puissance contenue dans le fond de bruit sur une petite bande de frequence∆B situee autour de 1/Ts.

Etant donnee la relation entree–sortie de l’Eq. (3.1), la puissance contenue dans la raiede frequence n/Ts est donnee [17] par |Y n|2, ou Y n est le coefficient d’indice n de la serie deFourier de l’esperance instationnaire E[y(t)] (y(t) etant cyclostationnaire, E[y(t)] est un signalTs-periodique), i.e.

Y n =⟨

E[y(t)] exp(− in

2π

Tst)⟩

, (3.2)

3.3. Signal periodique 15

avec la moyenne temporelle definie comme

〈...〉 =1Ts

∫ Ts

0... dt . (3.3)

L’esperance instationnaire du signal de sortie E[y(t)] a un instant t donne s’exprime sous laforme calculable

E[y(t)] =∫ +∞

−∞g(u)fη[u− s(t)]du . (3.4)

L’amplitude continue du fond de bruit dans le spectre du signal de sortie est mesuree [17]par la variance stationnarisee en sortie 〈var[y(t)]〉, avec la variance non stationnaire var[y(t)] =E[y2(t)]− E[y(t)]2 a un instant donne t et E[y2(t)] le moment instationnaire de degre deux

E[y2(t)] =∫ +∞

−∞g2(u)fη[u− s(t)]du . (3.5)

Ainsi, le rapport signal sur bruit local Rn, autour de l’harmonique n/Ts dans le signal desortie y(t), s’ecrit

Rn =|Y n|2

〈var[y(t)]〉∆t ∆B, (3.6)

ou ∆t est la resolution temporelle de la mesure (i.e. la periode d’echantillonnage du signal dansle cadre d’une implementation a temps discret).

En guise d’exemple, nous allons etudier une non-linearite a saturation douce

g(u) = tanh(βu) (3.7)

ou β > 0 est un parametre ajustable. g(u) est lineaire et vaut βu aux faibles valeurs |u| ¿ 1/βet sature a ±1 pour de grandes valeurs de |u| À 1/β.

Pour des raisons pratiques, nous choisissons d’illustrer notre propos en considerant le casou η(t) est un bruit centre de densite uniforme sur [−√3ση,

√3ση] avec ση comme amplitude

efficace. Dans ce cas, avec la non-linearite g(.) de l’Eq. (3.7), les integrales des Eqs. (3.4) et (3.5)peuvent etre evaluees analytiquement donnant ainsi

E[y(t)] =1

2√

3βση

ln

cosh

(β[s(t) +

√3ση

])

cosh(β[s(t)−

√3ση

]) (3.8)

et

E[y2(t)] =1

2√

3βση

[2√

3βση + tanh(β[s(t)−

√3ση

])− tanh(β[s(t) +

√3ση

]) ]. (3.9)

La Fig. 3.2 presente le rapport signal sur bruit en sortieR1 de l’Eq. (3.6), a la frequence 1/Ts,avec ∆t∆B = 10−3, en fonction de l’amplitude efficace ση du bruit centre de densite uniforme.Le signal d’entree s(t) transmis par la non-linearite de l’Eq. (3.7) est s(t) = 10 + 10 sin(2πt/Ts).Trois valeurs du parametre β sont testees.

Dans les conditions de la Fig. 3.2, aux grandes amplitudes, le signal d’entree s(t) = 10 +10 sin(2πt/Ts) sort du regime lineaire de g(.) et explore les non-linearites de l’Eq. (3.7). Ainsi,s(t) est fortement distordu a travers la non-linearite g(.). Comme on peut le voir sur la Fig. 3.2,quand ση → 0, le rapport signal sur bruit R1 devient infini. On explique ceci en remarquant


0 1 5 10 15 200

50

100

150

200

250

300

amplitude efficace du bruit ση

RS

B e

n so

rtie

Figure 3.2 : Rapport signal sur bruit local R1 de l’Eq. (3.6) en fonction de l’amplitude efficaceση du bruit uniforme η(t), avec s(t) = 10+10 sin(2πt/Ts) et β = 1 (haut), β = 2 (milieu), β = 5(bas) dans l’Eq. (3.7) .

que la composante periodique bien que tres faible dans le signal de sortie y(t), demeure alorslargement superieure au bruit qui disparaıt. Ensuite, lorsque le niveau de bruit ση augmente audela de zero, R1 diminue tres rapidement. Neanmoins, quand ση devient suffisamment grand,R1 commence a croıtre. Il s’agit la, a proprement parler, de l’effet de resonance stochastique. Lebruit η(t) ajoute a un signal d’entree de grande amplitude s(t) agit comme une sorte “d’offsetnon deterministe” qui permet de deplacer la region de fonctionnement du systeme pour l’amenera travailler, en moyenne, dans une partie de la non-linearite tanh[β(.)] davantage favorable a latransmission de s(t). Ainsi, en moyenne, le bruit reduit la distorsion rencontree par s(t) lorsde sa transmission a travers le systeme g(.). Ceci se traduit ici par un rapport signal sur bruitR1 qui, dans la Fig. 3.2, croıt lorsque ση est augmente. R1 culmine pour un niveau de bruitoptimal ou la distorsion amenee par la transmission du signal periodique est minimisee. Commeon peut le constater sur la Fig. 3.2, cet effet de transmission amelioree par le bruit est preservelorsque l’on fait varier β et s’avere plus prononce pour les grands β ou la distorsion est davantagemarquee dans tanh[β(.)].

3.4 Signal aperiodique

Lorsque le signal deterministe d’entree s(t), que l’on cherche a extraire du signal de sortiey(t), n’est plus periodique, le rapport signal sur bruit local Rn de l’Eq. (3.6) n’est plus unemesure de similarite pertinente. Nous considerons a present s(t) comme un signal deterministeaperiodique existant sur une duree Ts. Dans ce cas, des mesures de similarite entree–sortieadaptees sont les mesures intercovariances utilisees par exemple dans [26, 19]. Ici, nous choisis-sons d’utiliser l’intercovariance normalisee entre l’entree s(t) et la sortie y(t) ; cette mesurede similarite presente l’avantage d’etre insensible a la fois aux changements d’echelle et auxdecalages de l’amplitude du signal. Nous introduisons les signaux centres sur leurs moyennestemporelles,

s(t) = s(t)− 〈s(t)〉 (3.10)

3.4. Signal aperiodique 17

ety(t) = y(t)− 〈E[y(t)]〉 , (3.11)

avec a nouveau la moyenne temporelle definie par l’Eq. (3.3). La moyenne temporelle del’intercovariance normalisee s’ecrit

Csy =

⟨E[s(t)y(t)]

⟩√〈E[s 2(t)]〉〈E[y 2(t)]〉

, (3.12)

ou encore de maniere equivalente puisque s(t) est un signal deterministe,

Csy =〈s(t) E[y(t)]〉 − 〈s(t)〉〈E[y(t)]〉√[〈s(t)2〉 − 〈s(t)〉2][〈E[y2(t)]〉 − 〈E[y(t)]〉2]

, (3.13)

avec E[y(t)] et E[y2(t)] toujours obtenus avec les Eqs. (3.4) et (3.5). Csy est proche de 1 quands et y portent des structures fortement similaires et proche de zero lorsque les signaux sont sansrelation.

Afin d’illustrer la possibilite d’observer la resonance stochastique dans la transmission d’unsignal aperiodique par un systeme a saturation, nous considerons a nouveau la non-linearite asaturation douce g(.) de l’Eq. (3.7).

La Fig. 3.3 represente l’intercovariance de l’Eq. (3.13), en fonction de l’amplitude efficace ση

du bruit uniforme de moyenne nulle η(t), pour la transmission par la non-linearite de l’Eq. (3.7)du signal aperiodique d’entree

s(t) = 5 sin(

2πt

Ts/2

)+ 4 sin

(2π

t

3Ts/2

)(3.14)

quand t ∈ [0, Ts], et s(t) = 0 partout ailleurs.

0 2 4 6 8 100.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5


inte

rcov

aria

nce

norm

alis

ée C

sy

Figure 3.3 : Intercovariance normalisee entree–sortie Csy de l’Eq. (3.13) en fonction del’amplitude efficace ση du bruit uniforme η(t), avec s(t) donne par l’Eq. (3.14) et β = 2 (haut),β = 5 (milieu), β = 8 (bas) dans l’Eq. (3.7).

La Fig. 3.3 illustre l’effet de transmission amelioree par le bruit. La similarite entre le signalaperiodique d’entree s(t) et le signal de sortie y(t) est maximisee par un niveau non nul du bruit.


Sur la Fig. 3.4, on observe le signal d’entree de grande amplitude s(t) de l’Eq. (3.14), son allurea la sortie du systeme en l’absence de bruit puis en presence du niveau de bruit optimal. Ainsi,sur la Fig. 3.4(c), la moyenne d’ensemble du signal de sortie y(t) apres addition de bruit presentedavantage de similarite avec le signal d’entree s(t), en moyenne, que la transmission en l’absencede bruit sur la Fig. 3.4(b).

0 Ts01 5 7

s(t)

0 Ts0

1

tanh

[βs(

t)]

0 Ts0

1

temps t

E[y

(t)]

a

b

c

Figure 3.4 : Transmission d’un signal aperiodique par la non-linearite de l’Eq. (3.7) avecβ = 2. (a) Signal d’entree s(t) donne par l’Eq. (3.14). (b) Signal de sortie y(t) = tanh[βs(t)]en l’absence de bruit. (c) Moyenne d’ensemble sur le signal de sortie y(t) = tanhβ[s(t) + η(t)]avec η(t) un bruit centre uniforme a son niveau optimal, ση = 2.5, maximisant Csy .

Il est possible de quantifier le benefice apporte par le bruit pour la transmission d’un signalaperiodique d’une autre facon. Sur la Fig. 3.5, on observe le rapport Csy/Csx, ou x(t) = s(t)+η(t)est le melange signal-plus-bruit d’entree, et Csx l’intercovariance normalisee entre s(t) et x(t)calculee de la meme maniere que dans les Eqs. (3.12)–(3.13). Le rapport Csy/Csx peut egalementaugmenter en augmentant le bruit et passer par un maximum. Le niveau optimal du bruit estdifferent pour Csy de la Fig. 3.3 et pour Csy/Csx de la Fig. 3.5, car ce sont la deux faconsquantitatives distinctes de mesurer l’effet d’amelioration de la transmission par le bruit.

Les resultats que nous venons de presenter peuvent etre transposes aux cas de signauxaperiodiques bidimensionnels. L’application du concept de resonance stochastique aux images aete etudiee pour la premiere fois par [101]. La resonance stochastique a recu depuis une attentionconsiderable que ce soit pour des experiences psychophysiques de perception visuelle amelioreepar ajout de bruit ou encore pour l’etude du role du bruit et des phenomenes non lineaires dansles mecanismes de la vision (voir [80] pour un etat de l’art recent et tres complet). Toutefois, laplupart des etudes menees jusqu’a lors ont porte sur des systemes non lineaires a seuil de typequantifieur 1-bit. Ici, a l’aide d’un systeme presentant une zone lineaire et des non-linearitesa seuil et a saturation, nous allons montrer la transmission d’une image favorisee par le bruit.Soit S(p, q) une image ou (p, q) sont des entiers indexant les pixels. Un bruit N(p, q) degradelineairement chaque pixel de l’image S(p, q). Les valeurs du bruit sont supposees independantesd’un pixel a un autre, et sont prises identiquement distribuees avec la fonction de repartitionF (u) = PrN(p, q) ≤ u. La somme S(p, q) + N(p, q) est transmise par un systeme produisantY (p, q) selon une equation similaire a l’Eq. (3.1)

3.4. Signal aperiodique 19

0 2 4 6 8 100.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


Csy

/Csx

Figure 3.5 : Rapport entree–sortie de l’intercovariance normalisee Csy/Csx (voir dans le texte)en fonction de l’amplitude efficace ση du bruit uniforme η(t), pour le signal s(t) de l’Eq. (3.14)et avec β = 2 (haut), β = 5 (milieu), β = 8 (bas) dans l’Eq. (3.7).

Y (p, q) = g[S(p, q) + N(p, q)] , (3.15)

avec ici g(u) une non-linearite dure de type

g(u) =

0 pour u ≤ 0u pour 0 < u < 11 pour u ≥ 1 .

(3.16)

Les images que nous allons chercher a transmettre seront en niveaux de gris. Une imageest dite correctement exposee par rapport au systeme de l’Eq. (3.16) si les niveaux de gris prispar l’ensemble des pixels de cette image sont compris dans la zone lineaire du systeme ; lesysteme transmet alors correctement — sans distorsion — les variations de niveaux de gris del’image. Dans le cas de l’Eq. (3.16), lorsque l’image est correctement exposee, 0 < S(p, q) < 1pour tous les pixels de l’image, la presence du bruit additif N(p, q) dans l’Eq. (3.15) ne fait quedegrader la qualite de l’image transmise Y (p, q). En revanche, si l’image S(p, q) est sur-exposeeou sous-exposee, le bruit N(p, q) peut permettre d’ameliorer la qualite de l’image transmiseY (p, q). Pour illustration, nous avons utilise l’image “lena” (Fig. 3.6 en haut a gauche) codeesur 8-bits ayant initialement 256 niveaux de gris compris entre 0 et 1. On se propose de simulerla transmission de cette image sur-exposee par le systeme de l’Eq. (3.16). La sur-expositionest obtenue en ajoutant une constante kex a l’ensemble des pixels de l’image de depart avantle traitement de l’Eq. (3.15). Sur la Fig. 3.6 en haut a droite, on visualise l’image sur-exposeetransmise en l’absence de bruit ; σN l’amplitude efficace du bruit additif N(p, q) est nulle. Onconstate visuellement (Fig. 3.6 en bas a gauche) que la presence d’une certaine quantite de bruitcentre gaussien σN non nulle permet la transmission d’une image avec davantage de detailsvisibles que lorsque le bruit N(p, q) est nul. Toutefois, un niveau σN du bruit N(p, q) trop elevedans l’Eq. (3.15) finit par degrader la qualite de l’image obtenue (Fig. 3.6 en bas a droite). Ils’agit du meme effet de resonance stochastique mis en evidence precedemment avec des signauxperiodiques ou aperiodiques temporels et rendu ici perceptible avec des images.


Figure 3.6 : Exemple de transmission d’image amelioree par ajout de bruit. En haut : a gauche,l’image “lena” correctement exposee ; a droite, l’image sur-exposee transmise en l’absence debruit. Le facteur de sur-exposition kex ajoute a l’image de “lena” est 0.75. En bas : a gauche,la transmission de la meme image avec le meme facteur de sur-exposition mais avec la presenced’un bruit centre gaussien de valeur efficace σN = 0.3 ; a droite, memes conditions que l’imageen bas a gauche avec σN = 0.6.

Pour quantifier l’effet visuel, visible sur la Fig. 3.6, il est possible d’etendre aux signauxbidimensionnels les mesures de correlation de l’Eq. (3.12). On mesure la similarite entre deuximages a l’aide de l’intercovariance normalisee

CSY =〈(S − 〈S〉)(Y − 〈Y 〉)〉√〈(S − 〈S〉)2〉〈(Y − 〈Y 〉)2〉

, (3.17)

ou 〈...〉 est ici la moyenne spatiale sur l’ensemble des pixels de l’image. La Fig. 3.7 montre que sil’image est fortement sur-exposee, l’effet benefique d’un ajout de bruit au moment de la transmis-sion dans l’Eq. (3.15), est mesurable par l’intercovariance normalisee entre l’image correctementexposee que l’on souhaiterait transmettre et l’image effectivement obtenue. Au demeurant, onpeut noter que l’exemple visuel de resonance stochastique de la Fig. 3.6, correspondant a lacourbe du haut dans la Fig. 3.7, donne lieu a une decroissance monotone de l’intercovariancenormalisee en fonction du niveau de bruit σN . Pour une meme situation, differentes mesures deperformance n’amenent pas forcement les memes conclusions. Par ailleurs, l’effet benefique dubruit dans la Fig. 3.6, depend largement de la distance a laquelle on observe l’image. Comme facea un tableau impressionniste, au dela d’une certaine distance, l’observateur opere un moyennage

3.5. Signal aleatoire 21

spatial qui entraıne une diminution de la resolution mais aussi une amelioration de la percep-tion globale de l’image. L’intercovariance normalisee effectue une mesure pixel a pixel de lasimilarite contenue dans les fluctuations autour des moyennes et ne peut donc rendre compte decet effet subjectif. D’autres mesures de similarites prenant en compte les correlations spatialespourraient par contre permettre d’etudier plus profondement cette manifestation psychophysiquede la resonance stochastique.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

amplitude efficace du bruit σΝ

inte

rcov

aria

nce

norm

alis

ée C

SY

Figure 3.7 : Intercovariance normalisee de l’image “lena” correctement exposee (image en hauta gauche dans la Fig. 3.6) avec l’image transmise par le systeme de l’Eq. (3.16). En haut, avecun facteur de sur-exposition kex = 0.75, au milieu kex = 0.80, en bas kex = 0.85.

3.5 Signal aleatoire

Pour l’etude de la transmission selon l’Eq. (3.1), nous considerons a present le cas oule signal utile d’entree s(t) est un signal aleatoire. s(t) est un signal aleatoire sans memoirestatistiquement independant de η(t). L’information (au sens de Shannon) mutuelle I(s; y) entrel’entree s(t) et la sortie y(t) est une mesure de ressemblance statistique entre deux variablesaleatoires. Il s’agit donc ici d’une mesure de similarite entree–sortie bien adaptee a la situationetudiee. I(s; y) s’ecrit comme [30]

I(s; y) =∫ ∫

p(s, y) logp(s, y)

ps(s) py(y)ds dy , (3.18)

ou ps(s) et py(y) sont les densites de probabilite marginale de s(t) et y(t) respectivement, etp(s, y) leur densite de probabilite conjointe.

La demarche pour mettre en evidence la possibilite de resonance stochastique dans ce casconsisterait a etudier I(s; y) en fonction du niveau du bruit η(t), et a rechercher sous quellesconditions I(s; y) pourrait croıtre avec une augmentation de η(t). Si la non-linearite g(.) del’Eq. (3.1) est inversible, la transmission de l’information de s(t) vers y(t) est totale en l’absencede bruit. Aucune amelioration par ajout de bruit n’est pas a attendre au niveau de l’informationmutuelle entree–sortie. Ainsi, afin d’observer l’effet de resonance stochastique, nous laissonsde cote les non-linearites douces des sections precedentes pour des non-linearites dures non


inversibles ou g(.) est de la forme

g(u) =

−1 pour u ≤ −1u pour − 1 < u < 11 pour u ≥ 1 .

(3.19)

Nous introduisons la densite de probabilite conditionnelle p(y, s) = p(y|s) ps(s), qui nouspermet d’exprimer l’Eq. (3.18) sous la forme

I(s; y) =∫

ds ps(s) I1(s) , (3.20)

ou

I1(s) =∫

dy p(y|s) logp(y|s)py(y)

. (3.21)

Pour tout y ∈] − 1, 1[, appartenant a la zone lineaire de g(.) de l’Eq. (3.19), nous avonsp(y|s) = fη(y − s). En outre, etant donne s, la probabilite d’avoir y = −1 est Pry = −1|s =Prs + η < −1 = Fη(−1 − s). De meme, on a Pry = 1|s = 1 − Fη(1 − s). Aussi, pour touty ∈]−∞,+∞[, la densite de probabilite conditionnelle p(y|s) s’ecrit, a l’aide de la distributionde Dirac δ(.), comme

p(y|s) = Fη(−1− s)δ(y + 1) + fη(y − s) + [1− Fη(1− s)]δ(y − 1) , (3.22)

ou fη(y − s) coıncide avec fη(y − s) pour y ∈]− 1, 1[ et vaut zero pour y partout ailleurs.Ensuite, nous avons

py(y) =∫

p(y|s) ps(s) ds . (3.23)

Ainsi, grace aux Eqs. (3.22) et (3.23), l’integrale I1(s) de l’Eq. (3.21) s’exprime

I1(s) = Fη(−1− s) logFη(−1− s)∫

Fη(−1− s′)ps(s′)ds′+

∫ 1

−1fη(y − s) log

fη(y − s)∫fη(y − s′)ps(s′)ds′

dy

+ [1− Fη(1− s)] log1− Fη(1− s)∫

[1− Fη(1− s′)]ps(s′)ds′. (3.24)

Les Eqs. (3.20) et (3.24) permettent d’expliciter l’information mutuelle I(s; y), pour latransmission par la non-linearite a saturation de l’Eq. (3.19), en fonction des proprietes statis-tiques du signal d’entree s(t) caracterisees par ps(s) et de celles du bruit η(t) caracterisees parfη(u) et Fη(u). Pour certains choix tres specifiques de ps(s) et fη(u), l’Eq. (3.24) et ensuitel’Eq. (3.20) peuvent donner lieu a une expression integrable sous forme analytique ; dans lesautres cas, il est necessaire de faire appel a l’outil numerique pour evaluer les integrales desEqs. (3.24) et (3.20). A present, nous allons montrer la possibilite de voir l’information mutuelleI(s; y) augmenter avec le niveau du bruit η(t).

Nous traitons un premier exemple ou η(t) est un bruit centre uniforme sur ]−√3ση,√

3ση[et s(t) uniforme sur ] −√3σs + m,

√3σs + m[ de moyenne E[s(t)] = m. La Fig. 3.8 represente

dans ce cas l’information mutuelle entree–sortie I(s; y) de l’Eq. (3.18) sous differentes conditions.La Fig. 3.8 illustre l’existence de conditions ou I(s; y) peut croıtre via une augmentation

de l’amplitude efficace du bruit ση, sur certaines gammes de ση. Plus precisement, lorsque

3.5. Signal aleatoire 23

0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4


info

rmat

ion

mut

uelle

moy

enne

a

bc

d

Figure 3.8 : Information mutuelle entree–sortie, I(s; y) de l’Eq. (3.18), exprimee en shannon(log a base 2) en fonction de l’amplitude efficace ση du bruit centre uniforme η(t), pour latransmission par le systeme a saturations de l’Eq. (3.19). Le signal utile d’entree s(t) est aleatoirede densite uniforme sur ]−√3σs +m,

√3σs +m[ avec σs = 1 et m = 2.5 (a), m = 2.7 (b), m = 3

(c), m = 4 (d).

l’excursion de s(t) est telle que sa borne inferieure −√3σs +m est toujours superieure au niveaude saturation +1 a l’entree du systeme de l’Eq. (3.19), la sortie du systeme est toujours asaturation, et aucune information venant de s(t) n’est alors transmise a y(t) en l’absence debruit. Ceci est visible sur la Fig. 3.8(c) et (d) ou I(s; y) vaut zero quand ση vaut zero. Des lors,si du bruit est ajoute, un effet cooperatif s’instaure entre s(t) et η(t) ; il permet, avec l’aide dubruit, la transmission d’information entre l’entree s(t) et la sortie y(t) en amenant le systemea fonctionner, occasionnellement, dans sa partie lineaire. Comme on peut le constater sur laFig. 3.8, cet effet cooperatif du bruit est maximise par un niveau optimal non nul du niveaude bruit. Ceci constitue une forme de resonance stochastique, ou de transmission d’informationassistee par le bruit dans des systemes a saturations. Un effet similaire de resonance stochastiqueest egalement possible lorsque la borne inferieure du signal −√3σs + m n’est pas systemati-quement superieure au niveau de saturation +1 a bruit nul. C’est le cas sur les Figs. 3.8(a)et (b), ou, a bruit nul, s(t) evolue partiellement sous la saturation dans la region lineaire dusysteme ; ceci explique qu’a bruit nul, ση = 0, I(s; y) ne soit alors pas nulle. Ensuite, en ajoutantdu bruit, on observe une evolution non monotone de I(s; y) en fonction de ση. I(s; y) se degradetout d’abord a faible ση, mais ceci est suivi d’une possibilite d’amelioration de I(s; y) sur unecertaine gamme de ση, lorsque le bruit est encore augmente.

Nous presentons un autre exemple ou η(t) est un bruit centre, de densite de probabiliteGaussienne et s(t) est un signal aleatoire binaire de densite de probabilite ps(u) = [δ(u+σs−m)+δ(u−σs−m)]/2. Ce signal s(t) decrit les donnees que l’on peut rencontrer sur un canal binairesymetrique ou un flot aleatoire de symboles binaires equiprobables fluctuant entre ±σs autourdu niveau moyen m. La Fig. 3.9 represente dans ce cas l’information mutuelle entree–sortieI(s; y) de l’Eq. (3.18) sous differentes conditions.

Dans les conditions de la Fig. 3.9, le flot d’information binaire fluctue a des niveauxsystematiquement superieurs au niveau de saturation +1 du systeme de l’Eq. (3.19), c’estpourquoi, strictement aucune information n’est transmise a bruit nul quand ση = 0. Des que


0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1


info

rmat

ion

mut

uelle

moy

enne

d

c

b

a

Figure 3.9 : Information mutuelle entree–sortie I(s; y) de l’Eq. (3.18), exprimee en shannon(log a base 2) en fonction de l’amplitude efficace ση du bruit centre gaussien η(t), pour latransmission par le systeme a saturations de l’Eq. (3.19). Le signal utile d’entree s(t) est un flotd’information binaire de densite de probabilite ps(u) = [δ(u + σs −m) + δ(u− σs −m)]/2 avecσs = 1 et m = 2.5 (a), m = 2.7 (b), m = 3 (c), m = 4 (d).

l’on fait croıtre ση au dessus de zero, la transmission d’information devient en principe possiblea cause de la queue infinie de la fonction densite de probabilite Gaussienne, mais elle reste peuefficace a faible ση. On observe sur le Fig. 3.9 que c’est seulement pour un niveau de bruit ση suff-isamment grand, associe a un maximum de I(s; y), qu’une quantite substantielle d’informationest transmise. A nouveau, il s’agit la d’une forme de resonance stochastique ou de transmissionassistee par le bruit.

3.6 Applications

3.6.1 Application aux technologies de l’information

Nous venons d’etablir une nouvelle forme de resonance stochastique avec des systemes asaturations. Nous envisageons a present la possibilite de rencontrer cet effet dans des systemesphysiques. Les technologies actuelles utilisees pour transmettre de l’information, qu’il s’agissedes elements charges d’assurer la transduction comme les capteurs, la propagation comme lescables de connection, ou encore le conditionnement du signal comme les filtres ou les amplifi-cateurs, s’appuient tres largement sur des systemes lineaires [5, 83]. Dans ce contexte, l’effetde resonance stochastique que nous etudions ici ne peut se manifester. Toutefois, la linearitedes caracteristiques entree–sortie des systemes de transmission de l’information n’est souventvalable que dans une certaine plage.

Par exemple, dans le cas des capteurs, ou l’entree est le mesurande et le signal de sortieest une grandeur electrique, la linearite entree–sortie est frequemment reduite a l’etendue demesure ; celle-ci definit la plage des valeurs du mesurande pour lesquelles le capteur repondaux specifications du constructeur [5]. Si toutefois le mesurande presente des valeurs sortantde l’etendue de mesure, des ecarts consequents a la linearite sont alors frequemment observes.Ces non-linearites peuvent s’exprimer sous forme de developpement polynomiaux, comme c’est

3.6. Applications 25

le cas des capteurs de temperature de type sonde a resistance de platine [6]. La caracteristiqueentree–sortie du capteur peut en quelque sorte etre vue comme une fonction pour laquelle leconstructeur a fait un developpement de Taylor au premier ordre autour du point de fonction-nement nominal ; dans une gamme de mesurande autour de ce point, le capteur presente unesensibilite lineaire, mais a mesure que l’on s’en ecarte, la prise en compte des termes d’ordressuperieurs (quadratique, cubique, ... donc non lineaires) devient necessaire. D’autres types denon-linearites que l’on rencontre egalement avec les capteurs sont les non-linearites a saturationscomme celles que nous examinons dans ce chapitre ; pour de grandes amplitudes du mesurande,la sensibilite du capteur chute brutalement allant meme jusqu’a s’annuler. On rencontre cetype de non-linearite dans de nombreux domaines de la physique : en chimie, ou les sondespH-metriques, meconnaissant les activites des differents ions en presence, saturent en milieufortement basique ou fortement acide [7], mais aussi en acoustique ou les microphones saturentaux forts allongements des membranes a cause de l’augmentation des pertes viscoelastiques, ouencore pour les photomultiplicateurs en optique, ou avec un fort courant anodique, la presencede charges de surface entraıne une saturation [6]. Ajoutons que les capteurs particuliers quesont nos sens presentent aussi des effets de saturations aux forts stimuli. A titre d’illustration,la courbe de la Fig. 3.10, donnant la dynamique des luminances subjectives percues par l’œilhumain en fonction du logarithme de la luminance objective effectivement recue, manifeste endehors d’une zone lineaire des effets de seuil et de saturation (courbe reproduite de [69]).

Figure 3.10 : Dynamique des luminances subjectives de l’œil humain en fonction de la lumi-nance objective. Les deux courbes correspondent a la dynamique de la vision scotopique (noiret blanc s’appuyant sur les batonnets) et a celle de la vision photopique (en couleur s’appuyantsur les cones).

Plus largement, les non-linearites a saturations, comme celles etudiees ici, sont tres frequen-tes en physique et ne se resument pas au simple champ d’application des capteurs. En effet,tout systeme physique fini possede des ressources limitees en terme de volume occupe, de taillede population des elements constitutifs du systeme ou encore d’energie exterieure recue par lesysteme. Lorsque l’on excite un systeme physique, on mobilise une partie de ses ressourcespour obtenir une reponse de la part du systeme. Si toutes les ressources d’un systeme sontmobilisees pour obtenir une reponse, une augmentation de l’excitation ne peut entraıner uneaugmentation de la reponse : le systeme sature. C’est pourquoi, au dela des capteurs, onrencontre des caracteristiques entree–sortie a saturations, comme g(.), dans beaucoup d’autressystemes physiques en charge de transmettre de l’information (citons les amplificateurs).


Ainsi, de nombreux systemes physiques manifestent des comportements de saturationsaux grandes amplitudes d’excitation, et il est, en principe, possible de rencontrer la formede resonance stochastique que nous avons demontree au cours des paragraphes precedents dansde multiples situations reelles. Toutefois, rappelons que la plupart des systemes physiques sontfabriques pour travailler dans leur regime lineaire ; la saturation constitue un regime marginalde fonctionnement des systemes physiques charges de transmettre de l’information. Quel estalors l’interet de l’effet de resonance stochastique que nous venons d’introduire ? Nous venonsde montrer qu’il est possible de transmettre de l’information transportee par des signaux, memelorsque ceux-ci s’aventurent au dela du regime lineaire (dans le regime saturant) du systeme g(.)charge de transmettre cette information. L’ajout de bruit permet en quelque sorte d’augmenterla dynamique d’un systeme non lineaire a saturations g(.). Illustrons cette affirmation en nousappuyant sur un exemple tire de la Sec. 3.4. On considere a nouveau le signal utile d’entrees(t) aperiodique de l’Eq. (3.14) auquel on associe un coefficient multiplicatif k d’amplificationtel que

s(t) = k ×(

5 sin(

2πt

Ts/2

)+ 4 sin

(2π

t

3Ts/2

))(3.25)

quand t ∈ [0, Ts], et s(t) = 0 partout ailleurs. Le signal utile s(t) de l’Eq. (3.25) est transmispar le systeme non lineaire a saturations douces g(.) de l’Eq. (3.7) avec β = 2. Sur la Fig. 3.11,on compare, en fonction du coefficient d’amplification k, l’intercovariance normalisee Csy entrele signal utile d’entree s(t) et le signal de sortie y(t), sans bruit et avec le bruit η(t) optimal(celui qui maximise l’intercovariance normalisee).

0 0.5 1 1.5 20.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

coefficient d’amplification k

inte

rcov

aria

nce

norm

alis

ée C

sy

Figure 3.11 : Intercovariance normalisee Csy en fonction du coefficient d’amplification k dusignal utile d’entree de l’Eq. (3.25). Le systeme non lineaire est donne par l’Eq. (3.7) avec β = 2 ;le trait pointille represente Csy en l’absence de bruit, le trait plein Csy en presence du niveau debruit optimal maximisant Csy.

Comme on peut le constater sur la Fig. 3.11, aux faibles amplitudes, c’est-a-dire, ici, auxfaibles valeurs du coefficient d’amplification k, le signal d’entree s(t) subit une faible distorsionet il n’est pas necessaire de rajouter du bruit ; le bruit optimal maximisant l’intercovariancenormalisee Csy est nul et les courbes sans bruit et avec le bruit optimal sont superposees. Auxgrandes amplitudes, dans le cas de l’exemple pour k & 0.7, l’effet de resonance stochastiquerapporte dans les paragraphes precedents opere, il devient interessant d’ajouter du bruit ; les


courbes d’intercovariance normalisee decroissent a mesure que le signal d’entree augmente maiscette diminution est beaucoup plus lente en presence du bruit optimal qu’en absence de bruit.Pour une mesure de performance donnee, l’ajout du niveau de bruit optimal permet d’elargirla dynamique d’entree du systeme g(.) , i.e. la gamme de signal d’entree sur laquelle on peuttransmettre de l’information a travers le systeme non lineaire a saturations.

Y a-t-il un interet a faire travailler volontairement un systeme de transmission de l’informa-tion dans le regime de saturation pour pouvoir beneficier de l’effet cooperatif du bruit via laresonance stochastique ? Dans le cadre de notre etude, nous avons teste plusieurs classes designaux utiles, le type de couplage signal-bruit le plus courant (additif) et le type de bruit le pluscourant (gaussien), nous n’avons pas trouve de situation ou le signal a la sortie du systeme etaitmieux represente grace a la presence d’un niveau de bruit non nul. Aussi, dans les cas les plusfrequents, il n’est pas utile en soi de chercher a faire travailler un systeme de transmission del’information dans le regime de saturation. En revanche, l’effet de resonance stochastique dansun systeme a saturations peut etre interessant lorsque le regime de saturation nous est imposepar un signal utile mal positionne par rapport a un systeme sur lequel on ne peut agir. Danscertains cas, justement, il se peut que l’on ne dispose pas d’un controle total du systeme et de sonpositionnement par rapport au signal. L’effet de resonance stochastique avec des non-linearitesa saturations que nous venons d’analyser vient par exemple d’etre demontre experimentalementavec des nanotubes en carbone [59]. A l’echelle nanometrique, les systemes peuvent s’avererintrinsequement non lineaires et plus difficilement controlables qu’a une echelle macroscopique[112], la resonance stochastique pourrait des lors etre utilisable. Un autre domaine, ou intervien-nent des systemes non lineaires a saturations en charge de la transmission de l’information estcelui des neurones ; nous allons aborder a part ce domaine d’application pour la forme deresonance stochastique que nous etudions ici.

3.6.2 Application au cas des neurones

Dans l’etude de la transmission neuronale, la resonance stochastique a essentiellement eterapportee dans la region de seuil des neurones, pour assister la transmission de petits signauxsitues sous le seuil d’activation [80]. En plus de leur seuil d’activation, les neurones montrentaussi une saturation dans leur reponse a une forte excitation [57]. Nous allons etablir, au moyend’un modele simple de l’activite d’un neurone, que la transmission amelioree par le bruit, laresonance stochastique, peut egalement avoir lieu dans la region de saturation de la reponseneuronale [89].

3.6.2.1 Modele de transmission des signaux neuronaux

Nous allons utiliser un modele de transmission des signaux neuronaux qui traduit ce quise produit au niveau du cone d’integration du neurone (voir Fig. 3.12). Dans ce modele, lesignal d’entree, a l’instant t, est le courant I(t) resultant de l’integration des messages nerveuxafferents par le corps cellulaire du neurone. Ce courant electrique I(t) resulte de l’ouverture decanaux ioniques au niveau de la membrane neuronale declenchee par les afferences synaptiquesou par des stimuli provenant de l’environnement exterieur pour les neurones sensoriels. A lasortie, en reponse a I(t), le neurone declenche des potentiels d’action. Le signal de sortie estle taux d’emission a court terme f(t) des potentiels d’action, c’est une mesure de l’activite duneurone.

Une modelisation classique de la dynamique de type “integre et tire” du neurone permetde deduire une fonction caracteristique entree–sortie g(.) de l’activite du neurone, connue sousle nom de fonction de Lapicque [57]


Figure 3.12 : Schema d’un neurone permettant de situer le modele de fonctionnement du coned’integration que nous utilisons dans l’Eq. (3.26).

f(t) = g[I(t)

]=

0 pour I(t) ≤ Ith ,

1/Tr

1− (τm/Tr) ln[1− Ith/I(t)

] pour I(t) > Ith .

(3.26)

Dans la fonction caracteristique entree–sortie de l’Eq. (3.26), un courant de seuil est introduitsous la forme Ith = Vth/Rm, avec Vth le potentiel–seuil d’emission du neurone, et Rm la resistanceelectrique totale de sa membrane. De plus, dans l’Eq. (3.26), τm est la constante de temps dela membrane, et Tr la periode refractaire du neurone. Typiquement, Vth ≈ 10mV au dessus dupotentiel de repos du neurone, et l’ordre de grandeur de la resistance totale de la membrane estRm ≈ 100MΩ ; ceci impose l’ordre de grandeur du courant de seuil Ith ≈ 0.1 nA. Pour les autresparametres du modele de l’Eq. (3.26), les ordres de grandeurs sont τm ≈ 10 ms et Tr ≈ 1 ms. Lafonction caracteristique entree–sortie de l’activite du neurone de l’Eq. (3.26) est representee surla Fig. 3.13.

La fonction de l’Eq. (3.26), bien qu’issue d’une description tres simplifiee de la dynamiqueneuronale, est capable de rendre compte des caracteristiques essentielles de la reponse du neurone[57]. Comme on peut le voir sur la Fig. 3.13, la fonction de l’Eq. (3.26) decrit les proprietesqualitatives importantes de la reponse d’un neurone comme, a faible niveau d’entree, l’existenced’un seuil et a fort niveau d’entree celle d’une saturation. De plus, d’un point de vue quantitatif,la Fig. 3.13 montre la necessite d’avoir une variation de l’ordre de 105 au moins au niveau dela grandeur d’entree I(t) pour utiliser completement la dynamique de reponse du neurone, enpartant de la region situee sous le seuil jusqu’a celle de la saturation, en passant par la partiecurviligne. Ces variations de l’ordre de 105 sont a mettre en relation avec le nombre d’afferencessynaptiques, allant de 1 a 105, que peut typiquement recevoir un neurone. De meme, cettevariation qui s’etale sur 5 ordres de grandeur peut egalement etre reliee a la grande dynamiquede transduction de nos sens, qu’il s’agisse de notre vision, de notre audition ou de notre toucher1.

Notre propos ici est de montrer qu’il est tout a fait plausible pour un neurone d’avoir atravailler dans des conditions normales de fonctionnement sur une gamme couvrant l’ensemblede sa fonction de reponse de la Fig. 3.13, en incluant les regions du seuil et de la saturation. La

1Notre vision est sensible a la lumiere sur plusieurs decades de luminance (voir Fig. 3.10). Une oreille normalefonctionne sur une echelle de pression acoustique d’au moins 100 dB. Notre toucher peut s’accommoder de stimuliallant de quelques grammes a plusieurs kilogrammes.


10−1

100

101

102

103

104

105

106

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

courant d’entrée I/Ith

taux

d’é

mis

sion

f/f m

ax

Figure 3.13 : Fonction caracteristique entree–sortie d’activite du neurone de l’Eq. (3.26)donnant le taux d’emission de potentiels d’action a court terme f(t) avec fmax = 1/Tr pris commeunite, en fonction du courant a l’entree I(t) exprime en unite de Ith. On prend τm = 10 ms,Tr = 1 ms et Ith = 0.1 nA.

resonance stochastique a deja ete etudiee au niveau du seuil, nous allons a present montrer que lebruit peut favoriser la transmission de signaux neuronaux situes dans la region de la saturationdu neurone.

3.6.2.2 Transmission neuronale autour de la saturation

Nous soumettons a l’entree du neurone des signaux s(t) porteurs d’informations avec desamplitudes suffisamment grandes pour solliciter la partie saturante de la fonction caracteristiqued’activite du neurone de l’Eq. (3.26). Nous avons teste le cas ou s(t) est un signal periodiques’exprimant

s(t) = I0 + I1 sin(2πt/Ts) , ∀t . (3.27)

Dans ce cas, nous evaluons la qualite de la transmission au moyen du rapport signal sur bruit localR1 defini dans la Sec. 3.3. Nous avons egalement teste le cas ou s(t) est un signal aperiodiquesous la forme

s(t) =

I0 + I1 sin(2πt/Ts) , pour t ∈ [0, Ts] ,

0 , sinon .(3.28)

Dans ce cas, nous evaluons la qualite de la transmission avec l’intercovariance normalisee entree–sortie Csf definie dans la Sec. 3.4 qui quantifie la ressemblance entre le taux d’emission en sortieet le signal aperiodique d’entree s(t).

La Fig. 3.14 montre qu’a bruit nul, les deux mesures de performance R1 et Csf culminenta leurs meilleures valeurs. Ceci est du au fait que la non-linearite de l’Eq. (3.26) est douce dansla region de la saturation. Comme nous l’avons deja souligne auparavant dans ce chapitre, parexemple dans la Sec. 3.5, une fonction caracteristique douce permet generalement une transmis-sion complete du signal, mesuree ici par R1 et Csf , a bruit nul. Ceci se traduit par un rapportsignal sur bruit infini R1 sur la Fig. 3.14A, et une intercovariance normalisee Csf qui est prochede l’unite dans la Fig. 3.14B, quand le niveau de bruit ση vaut strictement zero.

Neanmoins, ces conditions de fonctionnement sans aucun bruit ne sont pas tres realistesen pratique, et il est tout a fait plausible qu’il preexiste en fait un certain niveau de bruit. La


0 5000 10000 15000 200000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

amplitude efficace du bruit

RS

B e

n so

rtie

a

b

c

dA

0 5000 10000 15000 200000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


inte

rcov

aria

nce

norm

alis

ée C

sy

ab

c

d

B

Figure 3.14 : Transmission autour de la saturation de l’activite du neurone decrit parl’Eq. (3.26), en fonction de l’amplitude efficace ση/Ith du bruit centre gaussien η(t), avecI0 = 104Ith et (a) I1 = 5 × 103Ith, (b) I1 = 7 × 103Ith, (c) I1 = 9 × 103Ith et (d) I1 = 104Ith.Panneau A : rapport signal sur bruit de sortie R1 de l’Eq. (3.6) pour le signal d’entree s(t) deperiode Ts tire de l’Eq. (3.27). Panneau B : intercovariance normalisee entree–sortie de Csf del’Eq. (3.13) pour le signal aperiodique d’entree s(t) de l’Eq. (3.28).

Figure 3.14 montre que les performances mesurees par R1 et Csf se degradent rapidement quandun faible niveau du bruit η(t) preexiste avec l’entree coherente s(t). Toutefois, cette degradationne se poursuit pas de maniere monotone. Quand davantage de bruit est ajoute, on retrouve uneaction benefique du bruit. Ceci est illustre sur la Fig. 3.14 par une gamme du niveau de bruitση ou les mesures de performance R1 et Csf s’ameliorent quand ση augmente. Ces evolutionsnon monotones des mesures de performance sur les Figs. 3.14, en fonction du bruit, (au lieu dedegradations monotones) sont une manifestation de la resonance stochastique, ou ameliorationpar le bruit, montree cette fois dans la region de saturation de la transmission neuronale del’information.

Le benefice apporte par le bruit est meme encore plus prononce dans le cas de la Fig. 3.14B(d).Il s’agit la du cas d’une saturation tres forte pour la transmission d’un signal aperiodique evalueepar l’intercovariance normalisee Csf . Dans ce cas, la Fig. 3.14B(d) montre que, a cause de laforte saturation, la performance mesuree par Csf est relativement mauvaise a bruit nul. De plus,au niveau optimum de bruit, la performance Csf est strictement meilleure que sa valeur a bruitnul.

Le phenomene de resonance stochastique etait connu pour se manifester dans la transmissionneuronale d’informations situees dans la region du seuil, mais la demonstration de faisabilitedans la region (de saturation) que nous venons de donner constitue en soi un nouveau resultat.Comme pour les technologies de l’information, le bruit peut permettre d’augmenter la dynamiqued’operation d’un neurone, a ses deux extremites, au niveau du seuil pour de petits signaux etau niveau de la saturation pour de grandes amplitudes de signaux d’entree. Ces considerationsautour du neurone sont basees sur un modele simple de la transduction neuronale exprimee parl’Eq. (3.26). La resonance stochastique pour la transmission neuronale situee dans la regiondu seuil a ete demontree dans bien d’autres modeles de neurones [9, 64, 26, 25, 18, 44, 60]

3.7. Conclusion 31

et aussi experimentalement [31, 82, 61, 28]. Par analogie, il se peut que la nouvelle forme deresonance stochastique autour de la saturation que nous avons demontree ici pour la premierefois au moyen de l’Eq. (3.26), sera preservee qualitativement dans des conditions plus elaborees.Par exemple, avec des modeles de neurones prenant en compte la dynamique individuelle despotentiels d’action, il a ete prouve, dans [18, 44], que la resonance stochastique se manifeste pourla transmission au seuil. Le mecanisme tient a ce que des trains d’impulsions coherents troppeu nombreux ou d’amplitude insuffisante pour declencher une reponse, peuvent beneficier d’uneexcitation aleatoire du bruit. Similairement, pour la transmission dans la region de la saturation,on peut s’attendre a ce que des trains d’impulsions qui seraient trop nombreux ou d’amplitudetrop grande entraınant la saturation de la reponse, puissent beneficier de l’action aleatoire d’unbruit inhibiteur. Une autre perspective ouverte, parallelement a ce qui est observe pour laresonance stochastique au niveau du seuil, serait d’examiner experimentalement la manifestationde l’effet au niveau de la saturation.

3.7 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons propose une extension de la classe des processus physiques nonlineaires capables de beneficier d’un effet cooperatif du bruit. Pour la premiere fois, nous avonsmontre que la transmission d’un signal utile, porteur d’informations, par un systeme lineairepour les faibles amplitudes et saturant aux grandes amplitudes, pouvait etre favorisee par uneaddition de bruit.

En illustrant que la transmission favorisee par le bruit ne se limite pas a des situationsmettant en jeu de petits signaux trop petits pour franchir seuls une barriere de potentiel ouun seuil, nous contribuons a elargir les possibilites de la resonance stochastique. Ceci a eteetabli pour plusieurs classes de signaux utiles comme les signaux periodiques, aperiodiques etaleatoires. Pour chacune de ces classes de signaux, differentes mesures permettant de quantifierla qualite de la transmission tels le rapport signal sur bruit local, l’intercovariance entree–sortieet l’information mutuelle se sont montrees ameliorables par ajout de bruit. Les conditions quenous avons considerees ici pour montrer la possibilite de resonance stochastique dans les non-linearites a saturations sont simplement illustratives, et l’effet est preserve dans bien d’autresconditions que celles presentees ici. Toutefois, il est a noter que nous n’avons pas trouve, pourl’instant, de conditions pouvant beneficier du bruit lorsque le signal utile s’aventure dans lesdeux branches de la saturation a la fois 2.

En complement de l’observation quantitative de l’effet positif du bruit, une explicationqualitative de cet effet a ete avancee. Ainsi, dans le cas de signaux de grandes amplitudes malpositionnes par rapport a la non-linearite a saturations, l’addition de bruit agit comme une sorted’offset aleatoire qui decale, en moyenne, le point de fonctionnement du systeme vers sa zonelineaire, plus favorable a la transmission du signal. Ces resultats peuvent etre interpretes commeune nouvelle forme de resonance stochastique. Un tel effet peut etre interessant lorsque le signalutile est transmis par un systeme sur lequel on ne dispose pas d’un controle total, en particulierpour ce qui est d’ajuster le positionnement de la zone non lineaire par rapport au signal.

Au dela de l’extension conceptuelle de la resonance stochastique aux systemes lineaires pourles faibles amplitudes et saturant aux grandes amplitudes, nous avons considere la question desapplications de l’effet favorable du bruit dans de tels systemes, qui sont nombreux dans lestechnologies de l’information. En cas de saturations, il peut etre interessant d’ajouter du bruit

2Toutefois, il est a noter que nous avons trouve de telles conditions (voir [87]) dans des reseaux paralleles denon-linearites a saturations comme ceux presentes dans le chapitre suivant.


pour etendre la dynamique des systemes. En particulier, nous avons applique nos resultats auxneurones biologiques.

Chapitre 4

Resonance stochastique et reseauxde non-linearites

4.1 Introduction

Tres recemment [104, 105], une nouvelle forme de resonance stochastique a ete introduitesous le nom de “suprathreshold stochastic resonance”. Le prefixe “supra”, associe au termede “threshold”, seuil en francais, signifie que ce nouvel effet de traitement favorise par le bruitn’est pas restreint a un signal subliminaire, situe sous un seuil, ou pour un signal mal condi-tionne. Nous proposons d’appeler resonance stochastique supraliminaire cette nouvelle forme deresonance stochastique qui opere quelle que soit l’amplitude des signaux a traiter. La resonancestochastique supraliminaire, introduite par [104, 105] se distingue egalement des formes classi-ques de resonance stochastique en ce sens qu’elle n’implique pas un element non lineaire isolemais un reseau parallele d’elements non lineaires. La resonance stochastique supraliminaire dans[104, 105] est obtenue avec la reponse d’un reseau parallele de simples comparateurs et l’effetd’amelioration par le bruit est quantifie par l’information mutuelle moyenne entre l’entree et lasortie du reseau.

Dans ce chapitre, nous considerons le meme reseau parallele de comparateurs que [104, 105]et nous l’utilisons pour d’autres problematiques de traitement du signal. Nous avons cherchea etendre l’effet de resonance stochastique dans les reseaux paralleles de comparateurs a desproblematiques pratiques de traitement du signal comme l’estimation [93] et la detection designaux noyes dans du bruit [90, 92].

4.2 Un nouveau mecanisme d’amelioration par le bruit

4.2.1 Presentation du systeme

Nous commencons par decrire le systeme etudie dans ce chapitre qui correspond a celuiinitialement introduit dans [104, 105]. Suivant le schema de la Fig. 4.1, un signal d’entree x(t)est presente a un reseau parallele de N comparateurs ou quantifieurs 1-bit identiques de seuil θi.Sur chaque comparateur du reseau, un bruit de seuil ηi(t), independant de x(t), peut etre ajoutea x(t) avant d’etre compare au seuil θi. Nous considererons ici que les N bruits de seuil ηi(t)sont blancs, mutuellement independants et identiquement distribues avec Fη(u) leur fonctionde repartition et fη(u) = dFη/du, leur fonction densite de probabilite. Identique pour tout i,l’amplitude efficace ση des bruits de seuil est controlee. La sortie de chaque comparateur d’indicei est notee yi(t) avec

34 CHAPITRE 4. RESONANCE STOCHASTIQUE ET RESEAUX DE NON-LINEARITES

yi(t) = U [x(t) + ηi(t)− θi], i = 1, 2, . . . N , (4.1)

ou U(u) est la fonction d’Heaviside, i.e. U(u) = 1 si u > 0 et zero sinon. La reponse du reseauY (t) est obtenue en sommant les sorties de l’ensemble des comparateurs

Y (t) =N∑

i=1

yi(t) . (4.2)

Figure 4.1 : Reseau parallele de N comparateurs identiques de seuil θi.

En pratique, l’interet du systeme de la Fig. 4.1 est multiple. Les reseaux paralleles d’elementsnon lineaires sont des modeles pour les antennes SONAR [3], pour les convertisseurs analogique–numerique de type flash [68]. On retrouve aussi les architectures de reseaux paralleles dans desdomaines actuels de recherche comme le codage neuronal de l’information [107, 48], les implantscochleaires [106] la vision artificielle [70] ou la possibilite d’amelioration par le bruit, sous formede resonance stochastique supraliminaire, a ete demontree.

4.2.2 Mecanisme de l’effet positif du bruit

A present, nous allons montrer qualitativement en quoi la presence des bruits de seuil ηi(t)peut jouer un role positif dans le traitement du signal d’entree x(t) a travers le systeme de laFig. 4.1. Pour ce faire, nous procedons a deux hypotheses simplificatrices. Nous posons, commecela est fait dans [104, 105], que l’ensemble des seuils θi partagent la meme valeur θi = θ pourtout i. Le seuil θ est situe a la moyenne du signal d’entree de telle sorte que le signal en entreex(t), supraliminaire, presente des excursions de part et d’autre du seuil.

Nous illustrons notre propos sur la Fig. 4.2 avec l’exemple d’un signal d’entree x(t) periodiquesinusoıdal de moyenne nulle presente a l’entree d’un reseau de comparateurs avec un seuil uniqueθ = 0. Ainsi, en l’absence de bruits de seuil, i.e. quand l’amplitude efficace des bruits ση = 0,le signal d’entree x(t) est capable a lui seul de faire basculer tous les comparateurs du systemequi se comportent tous identiquement ; c’est le sens du terme supraliminaire par contraste avec

4.2. Un nouveau mecanisme d’amelioration par le bruit 35

les situations habituellement rencontrees dans le cadre de la resonance stochastique ou le signalest petit devant le seuil1. Des lors, a ση = 0, le signal de sortie Y (t) est un signal binaire (voirFig. 4.2B) compose d’alternances entre un niveau bas qui vaut 0 (lorsque yi(t) = 0 pour touti) et un niveau haut qui vaut N (lorsque yi(t) = 1 pour tout i). Dans ce cas, a ση = 0, ladynamique du signal Y (t) en sortie du reseau ne dependra pas de la taille du reseau N . Ensuitesi N > 1, l’application des bruits de seuil ηi(t) va permettre aux comparateurs de repondredifferemment. Ceci est une source d’enrichissement du signal de sortie Y (t) qui ne va plus etrelimite a deux niveaux 0 ou N mais va pouvoir occuper les valeurs comprises entre 0 et N . Onl’observe qualitativement sur la Fig. 4.2 ou la ressemblance du signal de sortie Y(t) avec celuid’entree, Fig. 4.2A, est maximale pour la Fig. 4.2D. Cet effet d’enrichissement sera d’autantplus grand que la taille du reseau N est grande ; par contre, il ne sera pas present si le systemede la Fig. 4.1 se resume a un seul comparateur, le cas ou N = 1.

0 1 2 3 4−1

01

A

0 1 2 3 40

32E

temps t/Ts

0 1 2 3 40

3260

B

0 1 2 3 40

3260

C

0 1 2 3 40

32

60

D

Figure 4.2 : Influence qualitative des bruits de seuil ηi(t) pris blancs et mutuellementindependants sur le signal Y (t) en sortie du reseau de comparateurs de la Fig. 4.1 de tailleN = 63. L’ensemble des seuils θi partagent la meme valeur θ egale a la moyenne du signald’entree x(t). Ligne A, on trouve le signal d’entree x(t) = sin(2πt/Ts) en fonction du tempst/Ts. Sur les autres lignes B, C, D et E on trouve le signal de sortie Y (t) en fonction du tempst/Ts pour differents niveaux ση croissants des bruits de seuil ηi(t).

Le mecanisme de l’amelioration par le bruit dans des reseaux paralleles d’elements nonlineaires est conceptuellement tres different de celui habituellement rencontre dans le cadre desetudes sur la resonance stochastique concernant des elements non lineaires isoles. Les formesd’ameliorations par le bruit, dont nous avons dresse un panorama dans le Chap. 2, impliquent,essentiellement, un signal utile positionne de maniere non optimale par rapport a la transmissiona travers une non-linearite. Dans de telles conditions, le role benefique du bruit peut etre

1Comme le note [105], les termes supraliminaire et subliminaire sont ici ambigus. Il s’agit simplement dedistinguer le franchissement de seuil deterministe (lorsque le signal d’entree x(t) peut franchir le seuil sans l’aidedu bruit) du franchissement de seuil non deterministe (lorsque le signal d’entree x(t) ne peut franchir a lui seulle seuil).


decrit (comme nous l’avons fait dans le Chap. 3) comme un moyen de deplacer la region defonctionnement de la non-linearite dans une zone plus favorable a la transmission du signalporteur d’information. Dans les reseaux de comparateurs identiques en parallele, les bruitsηi(t) peuvent apporter de la diversite, et ainsi permettre une meilleure representation du signald’entree x(t) positionne de maniere optimale par rapport au seuil des comparateurs.

4.3 Extensions de la resonance stochastique supraliminaire

Les premieres etudes [104, 105] sur les reseaux paralleles de comparateurs ont montre qu’unemesure de ressemblance entree–sortie comme l’information mutuelle moyenne entre x(t) et Y (t)pouvait beneficier de l’enrichissement de Y (t) et passer par un maximum en presence d’un niveaunon nul des bruits de seuil ηi(t). Par la suite, d’autres etudes, et en particulier celles que nousavons menees [92, 93, 90] et que nous allons presenter, ont montre que l’effet d’enrichissementpar le bruit dans les reseaux paralleles de comparateurs pouvait beneficier a d’autres mesures deperformance que l’information mutuelle moyenne entre x(t) et Y (t). Dans cette section, nouselargissons la resonance stochastique supraliminaire a trois nouvelles mesures de performance.Nous allons utiliser la representation quantifiee Y (t) en sortie du reseau de comparateurs dela Fig. 4.1 pour differentes problematiques de traitement du signal concernant l’informationcontenue dans le signal d’entree x(t) qui sera toujours supraliminaire. Nous menons les analysestheoriques qui permettent l’evaluation des differentes mesures de performance ; ensuite, nousdonnons pour illustration, dans chaque cas, un exemple ou l’ajout des bruits ηi(t) au niveau desseuils peut ameliorer la performance du traitement applique a Y (t).

4.3.1 Resonance stochastique supraliminaire et rapport signal sur bruit

Nous etablissons une premiere extension de la resonance stochastique supraliminaire dansles reseaux paralleles de comparateurs, a la transmission d’un signal periodique mesuree par lerapport signal sur bruit en sortie du reseau [92]. Nous considerons le cas ou le signal d’entreex(t) est un melange signal–bruit additif x(t) = s(t) + ξ(t), ou s(t) est un signal deterministe deperiode Ts, et ξ(t) est un bruit blanc stationnaire, independant de s(t) et de ηi(t), et de fonctiondensite de probabilite fξ(u).

La performance du reseau pour ce qui concerne la transmission du signal periodique s(t)peut etre evaluee par le rapport signal sur bruit utilise conventionnellement dans les etudes surla resonance stochastique periodique [37]. Etant donne la forme du signal s(t) periodique deperiode Ts, on a en sortie Y (t) un signal dont la densite spectrale de puissance presente desraies spectrales situees a des multiples de 1/Ts emergeant du fond de bruit continu. Le rapportsignal sur bruit Rout(m/Ts) pour l’harmonique m/Ts en sortie du reseau, est definie comme lapuissance contenue dans la raie spectrale situee a m/Ts divisee par la puissance contenue dansle fond de bruit situe dans la bande spectrale ∆B autour de m/Ts.

La theorie de la resonance stochastique periodique de [17], que nous avons deja utiliseedans le chapitre precedent avec des systemes statiques isoles presentant des non-linearites asaturations, s’applique arbitrairement pour toute non-linearite statique ; le rapport signal surbruit Rout(m/Ts) en sortie du reseau s’exprime comme

Rout

(m

Ts

)=

∣∣〈E[Y (t)] exp(−ım2πt/Ts)〉∣∣2

〈var[Y (t)]〉∆t∆B. (4.3)

4.3. Extensions de la resonance stochastique supraliminaire 37

Dans l’Eq. (4.3), la moyenne temporelle est definie comme

〈...〉 =1Ts

∫ Ts

0... dt , (4.4)

E[Y (t)] et var[Y (t)] = E[Y 2(t)]−E2[Y (t)] representent, respectivement, l’esperance et la variancede la sortie Y (t) a un instant donne t ; ∆t est la resolution temporelle de la mesure (i.e. la perioded’echantillonnage du signal dans le cadre d’une implementation a temps discret). Nous prenonsdans nos etudes ∆t∆B = 10−3.

A l’instant t, pour une valeur donnee x du signal d’entree x(t), on a, d’apres l’Eq. (4.2), lesesperances conditionnelles E[Y (t)|x] = E[yi(t)|x] et E[Y 2(t)|x] = E[y2

i (t)|x]×N +E2[yi(t)|x]N×(N − 1) independantes de i comme les ηi(t) sont independants et identiquement distribues.Puisque x(t) = s(t) + ξ(t) la densite de probabilite pour la valeur x est fξ(x− s(t)), et

E[Y (t)] =∫ +∞

−∞E[Y (t)|x]fξ

(x− s(t)

)dx , (4.5)

et

E[Y (t)2] =∫ +∞

−∞E[Y 2(t)|x]fξ

(x− s(t)

)dx . (4.6)

D’apres l’Eq. (4.1), on a pour tout i,

E[yi(t)|x] =∫ +∞

−∞U(x + u− θi)fη(u)du , (4.7)

et

E[y2i (t)|x] =

∫ +∞

−∞U2(x + u− θi)fη(u)du , (4.8)

ou l’on retrouve U(u) la fonction d’Heaviside qui intervient dans la fonction caracteristiqueentree–sortie de l’Eq. (4.1) d’un comparateur du reseau.

Pour illustrer la possibilite de resonance stochastique supraliminaire mesuree par le rapportsignal sur bruit en sortie, nous considerons le cas ou s(t) = cos(2πt/Ts) et ξ(t) est un bruit centred’amplitude efficace σξ. La Fig. 4.3 montre, dans certaines conditions, les evolutions du rapportsignal sur bruit Rout(1/Ts) de l’Eq. (4.3), en fonction de l’amplitude efficace ση des bruits deseuil ηi(t).

Les resultats de la Fig. 4.3 revelent que les comportements caracteristiques decrits dans laSec. 4.2 qui permettent d’identifier la resonance stochastique supraliminaire, sont precisementceux manifestes par les evolutions du rapport signal sur bruit. Dans la Fig. 4.3, le signalperiodique s(t) est toujours supraliminaire, avec une amplitude d’oscillation plus grande que leseuil θ. Quand N = 1, avec le reseau ramene a un seul comparateur, l’ajout du bruit de seuilη1(t) degrade toujours le rapport signal sur bruit Rout(1/Ts). Pour N > 1, en l’absence debruits ηi(t) sur les seuils, tous les comparateurs basculent a l’unisson et le reseau se comportecomme un simple quantifieur 1-bit. C’est lorsque les bruits de seuil ηi(t) sont ajoutes que lessorties des comparateurs yi commencent a se comporter differemment pour differents i. D’unecertaine facon, les sorties des comparateurs sont capables collectivement d’extraire d’avantaged’information et donnent, grace a l’action des bruits ηi(t), une representation plus riche dusignal supraliminaire s(t). Ceci est visible sur la Fig. 4.3, avec un rapport signal sur bruitRout(1/Ts) qui augmente lorsque le niveau ση des bruits de seuil ηi(t) croıt, jusqu’a atteindreun niveau optimal non nul ση lorsque Rout(1/Ts) est maximise. Pour des valeurs croissantes de


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

50

100

150

200

250

amplitude efficace des bruits de seuil ση

rapp

ort s

igna

l sur

bru

it

N=1

N=∞

N=2

N=3

N=7

N=15

N=31

N=63

Figure 4.3 : Rapport signal sur bruit de sortie Rout(1/Ts) de l’Eq. (4.3), en fonction del’amplitude efficace ση des bruits de seuil ηi(t) pris centres gaussiens. L’entree periodique ests(t) = cos(2πt/Ts) noyee dans un bruit centre gaussien ξ(t) d’amplitude efficace σξ = 1. Tousles seuils du reseau sont fixes a θ = 0.

N , l’efficacite du reseau et le maximum du rapport signal sur bruit augmentent aussi. Il estpossible dans le cas present de calculer explicitement le comportement asymptotique du reseauaux tres grandes tailles. Pour les grandes valeurs de N , les Eqs. (4.5) et (4.6) nous permettentde deduire l’evolution du rapport signal sur bruit donne par

Rout

(m

Ts

)−−−−−−→

N→∞

∣∣〈I1(t) exp(−ım2πt/Ts)〉∣∣2

〈I2(t)− I21 (t)〉∆t∆B

, (4.9)

avec les integrales

I1(t) =∫ +∞

−∞[1− Fη(θ − x)]fξ

(x− s(t)

)dx , (4.10)

et

I2(t) =∫ +∞

−∞[1− Fη(θ − x)]2fξ

(x− s(t)

)dx . (4.11)

Le cas limite ou N → ∞ est egalement montre dans les conditions de la Fig. 4.3. Ceci fixele comportement le plus efficace, en terme de rapport signal sur bruit de sortie, que l’on peutatteindre avec des reseaux de grandes tailles.

L’ensemble des resultats illustres par la Fig. 4.3 represente une nouvelle manifestation deresonance stochastique supraliminaire, appliquee pour la premiere fois a la transmission d’unsignal periodique noye dans du bruit mesuree par le rapport signal sur bruit de l’Eq. (4.3).

4.3.2 Resonance stochastique supraliminaire et estimation standard

On se propose d’etendre la resonance stochastique supraliminaire a une autre problematiquede traitement du signal [93]. Nous analysons un probleme d’estimation parametrique sur unsignal noye dans du bruit a partir de la representation fournie par un reseau parallele de compara-teurs comme celui de la Fig. 4.1.

Ainsi, un signal aleatoire x(t) depend d’un parametre inconnu a, dont on souhaite connaıtrela valeur. L’observation du signal x(t) est faite a partir du signal Y (t) recueilli en sortie d’un


reseau de comparateurs. Pour l’estimation de a a partir de Y (t), une grandeur cle [30] estl’information de Fisher JY contenue dans Y (t) sur le parametre a. L’information de FisherJY , via l’inegalite de Cramer-Rao, fixe une borne a l’efficacite de tout estimateur non biaisede a a partir de Y (t) : la variance de tels estimateurs admet comme limite basse l’inverse del’information de Fisher. Pour Y (t), qui prend des valeurs entieres comprises entre 0 et N ,l’information de Fisher JY est

JY =N∑

n=0

1PrY (t) = n

[∂

∂aPrY (t) = n

]2

. (4.12)

Pour evaluer l’information de Fisher JY , nous avons besoin d’exprimer la probabilite de voirY (t) prendre la valeur n ∈ [0;N ]. A tout instant t, pour une valeur donnee x du signal d’entreex(t), la probabilite conditionnelle Pryi(t) = 0|x, qui est aussi Prx + ηi(t) ≤ θi, s’ecrit

Pryi(t) = 0|x = Fη(θi − x) . (4.13)

De la meme facon, on a Pryi(t) = 1|x = 1− Fη(θi − x).Nous supposons, comme cela est fait dans [105], que tous les seuils θi partagent la meme

valeur θi = θ pour tout i. D’apres la distribution binomiale, on en deduit la probabilite condi-tionnelle PrY (t) = n|x comme

PrY (t) = n|x = CNn [1− Fη(θ − x)]n Fη(θ − x)N−n , (4.14)

ou CNn est le coefficient binomial. Ainsi, nous obtenons la probabilite

PrY (t) = n =∫ +∞

−∞CN

n [1− Fη(θ − x)]n Fη(θ − x)N−n fx(x)dx , (4.15)

ou fx(u) est la fonction densite de probabilite du signal d’entree x(t).Pour preciser la dependance parametrique de x(t) en a, nous allons considerer dans la suite

la large classe de processus ou x(t) est forme par un melange additif x(t) = ξ(t)+sa(t). Le signalξ(t) est un bruit (natif) aleatoire, blanc, independant des ηi et de a, de densite de probabilitefξ(u). Le signal sa(t) est deterministe et contient le parametre a. Par exemple, a peut etre lavaleur d’une constante sa(t) ≡ a, ou l’amplitude, ou la frequence d ’un signal periodique sa(t),ou tout autre parametre entrant dans l’expression du signal deterministe sa(t). Nous avonsensuite pour la densite de probabilite fx(u) = fξ[u− sa(t)], et pour sa fonction derivee selon a

de l’Eq. (4.15),

∂

∂aPrY (t) = n = −∂sa(t)

∂a×

∫ +∞

−∞CN

n [1− Fη(θ− x)]n Fη(θ− x)N−n f ′ξ[x− sa(t)] dx . (4.16)

Il est possible de calculer, eventuellement par evaluations numeriques des integrales, l’informa-tion de Fisher JY de l’Eq. (4.12) directement a partir des Eqs. (4.15)–(4.16), dans de largesconditions concernant les bruits ηi(t) et le signal d’entree x(t).

Pour illustrer la possibilite de resonance stochastique supraliminaire mesuree par JY , nousconsiderons le cas ou sa(t) est un signal constant sa(t) ≡ a, et ξ(t) est un bruit centre. Ainsi, lesignal d’entree est x(t) = a+ ξ(t), et notre tache d’estimation revient a estimer la moyenne a dusignal aleatoire x(t), dont l’ecart type est note σx (c’est aussi l’ecart type de ξ(t)). La Fig. 4.4montre, dans certaines conditions, l’evolution de l’information de Fisher JY de l’Eq. (4.12), enfonction de l’amplitude efficace ση des bruits de seuil du reseau ηi(t).

L’ensemble des resultats illustres par la Fig. 4.4 represente une nouvelle manifestation deresonance stochastique supraliminaire, appliquee pour la premiere fois a un probleme d’estimationparametrique sur un signal noye dans du bruit mesure par l’information de Fisher de l’Eq. (4.12).


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


info

rmat

ion

de F

ishe

rN=1

N=2 N=3 N=7

N=15

N=31

N=63

Figure 4.4 : Information de Fisher JY de l’Eq. (4.12), en fonction de l’amplitude efficace ση

des bruits de seuil du reseau ηi(t) pris centres gaussiens. Le signal d’entree aleatoire x(t) estgaussien de moyenne a et d’ecart type σx = 1. Tous les seuils du reseau sont fixes a θ = 0. Onprend a = 0, le signal d’entree x(t) est toujours supraliminaire.

4.3.3 Resonance stochastique supraliminaire et detection bayesienne

Nous presentons une troisieme extension de la resonance stochastique supraliminaire a uneautre problematique : la detection bayesienne optimale [90]. Le signal de sortie du reseaude l’Eq. (4.2) est mesure a M instants distincts tk, avec k allant de 1 a M , de maniere afournir M observations Yk = Y (tk). A partir de la, nous souhaitons utiliser les observationsY = (Y1, . . . YM ) pour decider si le signal bruite d’entree x(t) est forme d’un melange de ξ(t)avec s0(t) (hypothese H0) de probabilite a priori P0 ou avec s1(t) (hypothese H1) de probabilitea priori P1 = 1− P0.

D’apres la theorie classique de la detection [73, 53], le detecteur optimal qui minimise laprobabilite d’erreur de detection Per implemente le test

L(Y )

H1

><

H0

P0

P1, (4.17)

au moyen du rapport de vraisemblance

L(Y ) =p(Y |H1)p(Y |H0)

=PrY |H1PrY |H0 . (4.18)

En sortie du reseau, chaque Yk, avec k allant de 1 a M , ne peut prendre que N + 1 valeursdiscretes entieres allant de 0 a N ; un total de (N +1)M etats discrets differents sont accessiblesa l’observation Y . Ici, nous considerons toujours que les N bruits de seuil ηi(t) sont blancs,mutuellement independants, et identiquement distribues avec comme fonction de repartitionFη(u), et comme fonction densite de probabilite fη(u) = dFη/du. Nous considerons egalementque le bruit d’entree ξ(t) est blanc, tout comme les bruits de seuil ηi(t). Ainsi, les probabilitesconditionnelles se factorisent PrY |Hj =

∏Mk=1 PrYk|Hj, avec j ∈ 0, 1. Dans de telles


conditions, la probabilite minimale d’erreur de detection Per2, est calculable comme

Per =12− 1

2

∑

Y1∈0,...N. . .

∑

YM∈0,...N

∣∣P1PrY1|H1 . . . PrYM |H1 −

P0PrY1|H0 . . .PrYM |H0∣∣ . (4.19)

A tout instant t, pour une valeur fixee x du signal d’entree x(t), nous avons, d’apresl’Eq. (4.1), la probabilite conditionnelle Pryi(t) = 0|x qui est aussi Prx+ηi(t) ≤ θi, exprima-ble comme

Pryi(t) = 0|x = Fη(θi − x) . (4.20)

De la meme facon, nous avons

Pryi(t) = 1|x = 1− Fη(θi − x) . (4.21)

Nous supposons ici, comme cela est fait dans [105, 72], que tous les seuils θi partagent lameme valeur θi = θ pour tout i. La probabilite conditionnelle PrY (t) = n|x s’en suit, enutilisant la distribution binomiale, comme

PrY (t) = n|x = CNn [1− Fη(θ − x)]n Fη(θ − x)N−n , (4.22)

ou CNn est le coefficient binomial. Puisque x(t) = sj(t) + ξ(t), avec j = 0 ou 1, la densite de

probabilite pour la valeur x est fξ

(x− sj(t)

). Ainsi, nous obtenons la probabilite

PrY (t) = n|Hj =∫ +∞

−∞CN

n [1− Fη(θ − x)]n Fη(θ − x)N−n fξ

(x− sj(t)

)dx . (4.23)

L’Eq. (4.23) nous permet une evaluation explicite du detecteur optimal des Eqs. (4.17)–(4.18)et de sa performance Per de l’Eq. (4.19).

Pour illustrer la possibilite de l’effet de resonance stochastique supraliminaire mesure parla probabilite d’erreur de detection Per, nous considerons le cas simple ou les signaux a detectersont constants s0(t) ≡ s0 et s1(t) ≡ s1, avec les deux constantes connues s0 < s1 (sans pertesde generalite). Le bruit d’entree ξ(t) est pris centre et d’amplitude efficace σξ. Tous les seuilsdu reseau sont fixes a la meme valeur θ = (s0 + s1)/2. La Fig. 4.5 montre l’evolution de laprobabilite d’erreur Per de l’Eq. (4.19), en fonction de l’amplitude efficace ση des bruits de seuil,pour differentes tailles N du reseau, quand le bruit d’entree ξ(t) et les bruits de seuil ηi(t) sontpris centres gaussiens.

On peut noter que dans le cas simple d’un seul comparateur (N = 1) sans bruit de seuil, letest optimal de l’Eq. (4.17) peut etre reduit a une expression plus simple impliquant la moyennedes observations Y , et prenant la forme

M1

H1

><

H0

ln

(P0

P1

)−M ln

[Fξ(θ − s1)Fξ(θ − s0)

]

ln

[1− Fξ(θ − s1)1− Fξ(θ − s0)

]− ln

[Fξ(θ − s1)Fξ(θ − s0)

] = MT , (4.24)

2C’est volontairement, pour ne pas alourdir la lecture de cette section, que nous ne detaillons pas ici lademonstration de l’Eq. (4.19) ; nous aurons l’occasion de donner cette demonstration dans le chapitre suivant.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


prob

abili

té d

’err

eur

N=1 N=2 N=3 N=7

N=15

N=31

N=63

Figure 4.5 : Probabilite d’erreur Per du detecteur optimal a partir de la sortie du reseau,en fonction de l’amplitude efficace ση des bruits de seuil ηi(t) pris centres gaussiens. Le bruitd’entree ξ(t) est centre gaussien d’amplitude efficace σξ = 1. Les signaux a detecter sonts0(t) ≡ s0 = 0 et s1(t) ≡ s1 = 1. Tous les seuils du reseau sont fixes a θ = (s0 + s1)/2 = 1/2. Deplus, on prend P0 = 1−P1 = 1/2, et M = 2. En trait plein, on trouve la theorie de l’Eq. (4.19).Le jeu de points discrets () est obtenu par simulation de type Monte Carlo du detecteur optimaldes Eqs. (4.17)–(4.18). En pointille, on trouve la probabilite d’erreur Eq. (4.27) du memedetecteur optimal (Per minimale ) operant directement sur le melange signal–bruit d’entree x(t).

ou M1 =∑M

k=1 Yk est le nombre, compris entre 0 et M , de composantes Yk a 1 dans l’observationY . Ce test optimal de l’Eq. (4.24) atteint la probabilite d’erreur

Per = P1

∑

M1<MT

CMM1

[1− Fξ(θ − s1)]M1Fξ(θ − s1)M−M1 +

P0

∑

M1≥MT

CMM1

[1− Fξ(θ − s0)]M1Fξ(θ − s0)M−M1 . (4.25)

Dans les conditions de la Fig. 4.5, l’Eq. (4.25) donne Per = 0.3085, qui est la valeur communeprise par l’ensemble des courbes a ση = 0 pour tout N dans la Fig. 4.5.

A titre de comparaison avec le detecteur optimal en sortie du reseau qui est implementedans la Fig. 4.5, il est interessant de considerer le meme detecteur optimal (detecteur minimisantPer) qui opererait directement sur le melange signal–bruit x(t) plutot que sur sa representationquantifiee par le reseau. En appliquant a x(t) les principes de detections optimales, il vient,quand le bruit d’entree ξ(t) est centre gaussien, que le detecteur optimal operant directementsur x(t) est

x

H1

><

H0

s0 + s1

2+

σ2ξ/M

s1 − s0ln

(P0

P1

)= xT , (4.26)

4.4. Particularites de la resonance stochastique supraliminaire 43

avec x = M−1∑M

k=1 x(tk). Ce test optimal de l’Eq. (4.26) atteint la probabilite d’erreur

P iner =

12

[1 + P1erf

(√M

xT − s1√2σξ

)− P0erf

(√M

xT − s0√2σξ

)]. (4.27)

Sur la Fig. 4.5, la probabilite d’erreur P iner de l’Eq. (4.27) est representee par des pointilles. On

peut noter sur la Fig. 4.5 que, pour le detecteur optimal en sortie du reseau, la valeur minimaleatteinte par Per au niveau de bruit optimal des bruits de seuil, quand N augmente, tend versla performance P in

er du detecteur optimal applique directement sur le melange signal–bruit x(t).Ceci prouve que, pour de grands reseaux, le detecteur optimal en sortie du reseau de quantifieurs1-bit est capable de performances comparables a celle du detecteur optimal operant directementsur le melange signal–bruit x(t). En meme temps, la Fig. 4.5 montre que meme pour des taillesrelativement modestes N , la performance du reseau peut etre proche de la meilleure performanceP in

er en entree.Dans la Fig. 4.5, la theorie de l’Eq. (4.19) est egalement validee par des simulations de type

Monte Carlo du detecteur optimal de l’Eq. (4.17). Rassembles dans la Fig. 4.5, la theorie del’Eq. (4.19), la simulation numerique, et les cas limites des Eqs. (4.25) et (4.27), demontrent untres bon accord.

Les resultats illustres par la Fig. 4.5 represente une nouvelle manifestation de resonancestochastique supraliminaire, appliquee pour la premiere fois a une tache de detection.

4.3.4 Conclusion

Nous venons de montrer, Figs. 4.3 a 4.5, trois nouvelles manifestations de l’effet de resonancestochastique supraliminaire dans le meme systeme de reseau parallele de comparateurs de laFig. 4.1. Nous avons etendu les possibilites de cette forme recente de resonance stochastique,introduite par [104, 105], a trois mesures de performance (rapport signal sur bruit, informa-tion de Fisher, probabilite d’erreur de detection) tres differentes reliees a des problematiques detraitement du signal distinctes (mesure de detectabilite d’un signal, estimation parametrique,detection bayesienne). Dans chacun des trois cas etudies, nous avons developpe l’analysetheorique nous permettant d’observer l’evolution des mesures de performance en fonction del’amplitude efficace ση des bruits de seuil ηi(t). Il est frappant de constater sur les Figs. 4.3–4.5, que ces evolutions sont similaires a celles qu’avaient initialement donne [104, 105] avecl’information mutuelle moyenne entree–sortie. Ces resultats tendent a prouver que la resonancestochastique supraliminaire, tout comme la resonance stochastique subliminaire (meme si lemecanisme est different), est un phenomene non lineaire de portee generale qui peut se mani-fester et etre quantifie de beaucoup de facons differentes. Dans un deuxieme temps, nous avonscherche, dans nos etudes [92, 93, 90], a nous ecarter des conditions particulieres qui nous ontpermis d’obtenir les resultats des Figs. 4.3 a 4.5. Nous presentons une synthese de ces travauxdans la section suivante.

4.4 Particularites de la resonance stochastique supraliminaire

Dans les Figs. 4.3 a 4.5, nous avons montre la possibilite d’ameliorer differents processusde traitement du signal operes a la sortie du meme reseau parallele de comparateurs dans desconditions particulieres. Dans chacune des Figs. 4.3 a 4.5, les bruits d’entree ξ(t) et les bruitsde seuil ηi(t) etaient centres gaussiens, tous les seuils du reseau de comparateurs partageaientla meme valeur θ et ce seuil etait egal a la valeur moyenne du signal d’entree x(t). On est


naturellement en droit de se demander ce qui se passe si l’on s’ecarte de ces conditions enfaisant varier les differents parametres qui interviennent dans les performances des processusmontres sur les Figs. 4.3 a 4.5. C’est ce que nous avons entrepris de maniere methodique,coherente et dans la mesure du possible systematique pour chacun des trois processus presentesdans la section precedente [92, 93, 90]. Nous choisissons, dans la suite de cette section, de nepas presenter nos resultats dans tous les details de nos etudes, mais plutot de proposer unepresentation synthetique des idees forces communes aux articles [92, 93, 90].

4.4.1 Robustesse de la resonance stochastique supraliminaire

Les etudes theoriques de la Sec. 4.3 permettent de prevoir quantitativement l’amplitudeefficace optimale des bruits de seuil en fonction des differents parametres (x(t), ηi(t), θi, N),pour chacune des mesures de performance que nous avons examinees (rapport signal sur bruit,information de Fisher, probabilite d’erreur de detection). Dans nos etudes [92, 93, 90], nousavons examine l’influence qualitative des differents parametres (x(t), ηi(t), θi, N) sur l’effetde resonance stochastique supraliminaire. Pour illustration, nous donnons sur les Figs. 4.6–4.8, des resultats extraits de notre etude sur le detecteur bayesien optimal applique en sortied’un reseau de comparateurs [90]. Sur chacune de ces figures, l’effet de resonance stochastiquesupraliminaire est present comme sur les Figs. 4.3 a 4.5. L’ensemble de ces resultats montreque le role benefique des bruits de seuil ηi(t) est preserve dans de nombreuses configurationsconcernant les caracteristiques du signal d’entree x(t), des bruits de seuil ηi(t), ou encore cellesdu reseau (position des seuils θi, taille du reseau N > 1). Ceci traduit une forme de robustessede l’effet de resonance stochastique supraliminaire.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


prob

abili

té d

’err

eur

N=1

N=2N=3

N=7

N=15

N=31 N=63

A

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


prob

abili

té d

’err

eur

N=1 N=2 N=3 N=7

N=15

N=31

N=63

B

Figure 4.6 : Influence de la densite fη(u) des bruits de seuil. Panneau A: memes conditions

que dans la Fig. 4.5 mais les bruits de seuil sont laplaciens ( fξ(u) =1

σξ

√2

exp(−√2

|u|σξ

))

Panneau B: memes conditions que dans la Fig. 4.5 mais les bruits de seuil sont uniformes. Le traitpointille represente la performance de l’Eq. (4.27) du detecteur optimal applique directement aumelange signal–bruit d’entree x(t).

De plus, dans le reseau parallele de comparateurs de la Fig. 4.1, les bruits ajoutes ηi(t) et lebruit natif ξ(t) sont bien distingues. Habituellement, dans les etudes sur la resonance stochasti-


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


prob

abili

té d

’err

eur

N=1 N=2 N=3

N=7

N=15

N=31

N=63

A

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


prob

abili

té d

’err

eur

N=1 N=2 N=3

N=7

N=15

N=31

N=63

B

Figure 4.7 : Influence de la densite fξ(u) du bruit d’entree ξ(t). Panneau A: memes conditionsque dans la Fig. 4.5 mais le bruit d’entree ξ(t) est laplacien. Panneau B: memes conditions quedans la Fig. 4.5 mais le bruit d’entree est uniforme.

que subliminaire, les courbes donnant l’evolution de la mesure de performance en fonction dubruit comprennent l’amplitude du bruit comme la resultante du bruit natif melange avec lebruit que l’on ajoute volontairement. Le controle des caracteristiques du bruit global resultantde la presence de ces deux bruits est un probleme tres delicat que l’on ne sait resoudre que danscertains cas particuliers [58, 115]. Ici, avec le reseau de la Fig. 4.1, quand on trace l’evolutiondes mesures de performance en fonction de l’amplitude efficace des bruits de seuil, il s’agituniquement du bruit volontairement ajoute. Dans l’ensemble des cas que nous montrons dans[92, 93, 90], la presence ou non de l’effet d’amelioration par le bruit ne depend pas qualitative-ment des caracteristiques statistiques des bruits de seuil pour peu que les bruits de seuil soientcentres et independants.

Par ailleurs, lorsque l’on etudie l’effet de resonance stochastique supraliminaire pour diffe-rents niveaux σξ du bruit d’entree ξ(t) non nuls (non presente ici), on voit qu’il est toujoursavantageux d’ajouter des bruits de seuil. Ceci contraste avec ce que l’on observe dans le cadrede la resonance stochastique “classique” dans des systemes non lineaires isoles. En effet, dansle cadre de la resonance stochastique “classique”, pour un systeme non lineaire donne, si leniveau de bruit en entree depasse le niveau de bruit optimum, il n’y a aucun benefice a attendred’un quelconque ajout de bruit. Avec la resonance stochastique supraliminaire dans les reseauxparalleles d’elements non lineaires, il y a generalement toujours moyen de tirer profit d’un ajoutde bruits de seuil. Il s’agit la a nouveau d’une forme de robustesse de l’effet de resonancestochastique supraliminaire.

4.4.2 Cas des distributions de seuils

Jusqu’a present, nous avons considere le reseau de comparateurs de la Fig. 4.1 dans laconfiguration particuliere ou tous les seuils θi partagent une meme valeur θ. Lors de nos etudes[92, 93, 90], nous avons egalement examine la configuration a priori plus efficace du reseauparallele de N comparateurs ou les seuils θi ne partagent plus la meme valeur. C’est ce qui est faitpar exemple dans les convertisseurs analogique–numerique de type flash [68]. Un critere doit etreintroduit pour specifier la distribution des seuils θi. On peut penser a une distribution optimale


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


prob

abili

té d

’err

eur

N=1 N=2 N=3

N=7

N=15

N=31

N=63

Figure 4.8 : Influence du seuil θ. Memes conditions que dans la Fig. 4.5 sauf θ = 0.75.

des seuils et, dans ce cas, les performances sont effectivement meilleures que lorsqu’un seul seuilest permis ; mais, l’ajout de bruit de seuil ne fait que degrader la mesure de performance.Cependant, dans la plupart des cas, la determination de la distribution optimale des seuilsest un probleme difficile a resoudre, et dont la solution dependra specifiquement de la mesurede performance consideree, des caracteristiques statistiques du signal d’entree x(t) et de seuilηi(t) ou encore de la taille du reseau N . Aussi, nous avons teste des choix raisonnables dedistributions de seuils θi comme une distribution reguliere des seuils couvrant l’intervalle surlequel on s’attend a trouver le signal d’entree x(t) lorsqu’il est a support borne. C’est cettederniere solution qui est implementee dans les convertisseurs analogique–numerique de typeflash [68]. Dans ces conditions de distributions sous-optimales mais simples, nous avons trouve[92, 93, 90] qu’un ajout de bruit peut encore ameliorer la transmission ou le traitement du signald’entree evalues par differentes mesures de performance. A titre d’illustration, nous donnonssur le Fig. 4.9 un exemple tire de l’etude [90], ou les seuils θi sont distribues de facon regulieresur le support attendu pour x(t).

Si le signal d’entree x(t) n’est pas a support borne, ou bien si l’on ne possede pas deconnaissance a priori sur le support de x(t), alors, il peut etre interessant de travailler avec unreseau ne comptant qu’un seul seuil commun θ en exploitant le benefice d’un ajout de bruit deseuil. Bien que cette solution soit sous-optimale, elle peut s’averer plus robuste et flexible, ence sens qu’il est possible de s’adapter plus facilement a des changements au niveau du signald’entree x(t). Il est a noter que, tout au long de nos etudes sur les distributions de seuils, nousconservons toujours la condition d’un signal supraliminaire au sens ou le signal d’entree x(t) estcapable a lui seul de faire basculer au moins un des comparateurs du reseau 3.

4.4.3 Possibilite d’amelioration entree–sortie

Nous venons de mettre en avant la flexibilite et la robustesse du reglage necessaire pouroptimiser la quantification du signal d’entree x(t) par un reseau de comparateurs en parallele

3Des effets d’amelioration par le bruit dans les convertisseurs analogique–numerique pour des signaux situessous les seuils de quantification sont connus depuis longtemps sous le nom de dithering [100, 110, 111]. Dansle contexte du dithering, la mesure de performance que l’on cherche a minimiser est la distorsion due a laquantification. A ce titre, nos resultats peuvent etre vus comme une extension du dithering applique a d’autresmesures de performance et des signaux supraliminaires.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


prob

abili

té d

’err

eur

N=1

N=2 N=3

N=7

N=15

Figure 4.9 : Influence de la distribution des seuils. Le jeu de points discrets () est obtenudans les memes conditions que dans la Fig. 4.5 avec un seul seuil commun pour tout le reseauθ = (s0 + s1)/2 = 1/2. Le trait plein est obtenu dans les memes conditions que dans la Fig. 4.5

sauf pour les seuils θi qui sont distribues selon θi = s0 + is1 − s0

N + 1, i = 1, 2, . . . N .

avec un seul seuil commun et la possibilite d’ajout de bruits de seuil. Dans l’optique d’evaluerles performances de ces reseaux de comparateurs, nous nous sommes egalement interesses ala comparaison des mesures de performance appliquees au signal d’entree x(t) (analogique)avec celles appliquees au signal en sortie du reseau Y (t) (quantifie sur N niveaux). Dans cecontexte, nous detaillons le contenu du signal d’entree x(t) forme d’un melange additif signal–bruit x(t) = s(t) + ξ(t) ; s(t) est un signal porteur d’information (deterministe ou non) et ξ(t)est un bruit blanc stationnaire independant de s(t) et des bruits de seuil ηi(t), avec une fonctiondensite de probabilite que l’on note fξ(u). Contrairement aux bruits de seuil ηi(t), qui sontcontrolables, le bruit ξ(t) est impose (non maıtrisable) et constitue un bruit natif. Dans laplupart des cas examines dans [92, 93, 90], les performances des traitements appliques au signalde sortie Y (t) sont moins bonnes que celles obtenues a partir du signal d’entree s(t) + ξ(t).C’est seulement pour des reseaux de grandes tailles, N → +∞, avec un niveau de bruit de seuiloptimal que les performances des traitements appliques au signal de sortie Y (t) tendent verscelles obtenues a partir du signal d’entree s(t) + ξ(t). Toutefois, ce comportement attendu n’estpas general et nous montrons dans [92, 93, 90] deux types d’exceptions.

Tout d’abord, il peut arriver que le simple comparateur n’entraıne aucune degradation surla mesure de performance. Dans ce cas, la taille du reseau n’a aucune influence et aucun ajoutde bruit ne beneficie a la mesure de performance. C’est ce que nous observons sur la Fig. 4.10,tiree de [90], ou, a bruit de seuil nul, la mesure de performance, dans ce cas la probabilitede detection, est la meme pour le detecteur bayesien applique au signal d’entree x(t) et celuiapplique au signal de sortie Y (t) 4.

Dans l’etude [92], nous avons trouve un deuxieme comportement inattendu et impor-4On rencontre ce comportement exceptionnel, ou la mesure de performance n’est pas degradee apres passage par

un simple comparateur, dans le contexte de l’estimation parametrique. Nous avons montre notamment un exempleconcernant l’information de Fisher dans [86]. Ces comportements particuliers, ou l’on peut faire aussi bien avecdes donnees quantifiees sur 1-bit qu’avec les donnees analogiques, representent bien un ecart aux comportementsrencontres dans la plupart des autres exemples donnes dans [92, 93, 90], ou la performance mesuree en sortie dereseaux de grandes tailles ne fait que tendre (en restant inferieure) vers celle mesuree en entree du reseau.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.3

0.35

0.4

0.45


prob

abili

té d

’err

eur

N=1 et N=2 N=3

N=7

N=15

N=31

N=63

Figure 4.10 : Influence du nombre d’echantillons M . Memes conditions que dans la Fig. 4.5sauf M = 1.

tant. Nous avons compare le rapport signal sur bruit mesure en sortie du reseau, commedans l’Eq. (4.3) avec celui en entree du reseau. Avec le melange signal–bruit additif d’entreex(t) = s(t) + ξ(t), le rapport signal sur bruit d’entree pour le signal periodique s(t) noye dansun bruit blanc d’entree ξ(t) d’amplitude efficace σξ, s’ecrit

Rin

(m

Ts

)=

∣∣〈s(t) exp(−ım2πt/Ts)〉∣∣2

σ2ξ ∆t∆B

(4.28)

autour de l’harmonique m/Ts. Le gain en rapport signal sur bruit dans la transmission par lereseau, defini comme

GSNR

(m

Ts

)=Rout(m/Ts)Rin(m/Ts)

, (4.29)

est alors explicitement accessible via les Eqs. (4.3) et (4.28). Nous avons trouve que les reseauxde comparateurs peuvent, dans certaines conditions, amener une amelioration du rapport signalsur bruit entree–sortie avec des gains GSNR > 1 ; les reseaux de comparateurs agissent alorscomme des amplificateurs de rapport signal sur bruit, avec un gain qui est toujours maximisepour un niveau non nul des bruits de seuil. Pour illustration, nous montrons l’evolution du gainen rapport signal sur bruit GSNR dans la Fig. 4.11, ou le bruit d’entree ξ(t) est un bruit laplaciencentre de densite de probabilite

fξ(u) =1

σξ

√2

exp

(−√

2|u|σξ

). (4.30)

La possibilite de telles amplifications entree–sortie du rapport signal sur bruit ont dejaete montres avec la resonance stochastique conventionnelle pour des signaux subliminaires.[63, 12, 41]. Nous montrons que cette possibilite existe aussi avec la resonance stochastiquesupraliminaire pour des signaux supraliminaires. L’efficacite de l’amplification croıt a mesure quele nombre de comparateurs N augmente. Nous avons observe que le fait d’avoir GSNR(1/Ts) > 1ne depend pas de maniere critique de la distribution fη(u) des bruits de seuil ηi(t), tant qu’unniveau de bruit ση suffisant est applique. A l’inverse, nous avons observe que la possibilite

4.5. Perspectives de travaux futurs 49

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.5

1

1.4


RS

B e

n so

rtie

/ R

SB

en

entr

ée

N=1

N=∞

N=2 N=3N=7

N=15 N=31 N=63

Figure 4.11 : Gain entree–sortie en rapport signal sur bruit (RSB) GSNR(1/Ts) de l’Eq. (4.29),en fonction de l’amplitude efficace ση des bruits de seuil ηi(t) pris centres gaussiens. Le signalperiodique d’entree est s(t) = cos(2πt/Ts) noye dans un bruit laplacien centre ξ(t) d’amplitudeefficace σξ = 0.5. Tous les seuils du reseau sont fixes a θ = 0.

d’avoir GSNR(1/Ts) > 1 depend de la distribution fξ(u) du bruit d’entree ξ(t). Par ailleurs, cesgains entree–sortie de rapport signal sur bruit superieurs a 1 ont ete obtenus essentiellementdans une configuration de seuil unique θ pour tous les comparateurs. Si, a la place, on applique,comme dans les convertisseurs analogique–numerique de type flash [68], une distribution opti-male de seuil, il est possible de se rapprocher, en particulier pour les reseaux de grandes tailles,d’une reconstruction quasi-exacte du signal d’entree s(t) + ξ(t). A partir de la, on retrouve unrapport signal sur bruit en sortie quasi-identique a celui que l’on a en entree. Mais aucun gainde rapport signal sur bruit n’est obtenu. Ceci montre la superiorite intrinseque du reseau, quandil opere une quantification avec un seul seuil fixe, compare a une operation plus douce cherchanta preserver, le plus possible, l’integrite du signal d’entree analogique s(t) + ξ(t). L’action nonlineaire des comparateurs represente une reduction drastique de l’information contenue dans lesignal analogique porteur d’information s(t) mais aussi une reduction des fluctuations du bruitnatif d’entree ξ(t). Un gain du rapport signal sur bruit entree–sortie plus grand que 1 signifieque la reduction est plus prononcee pour le bruit natif d’entree ξ(t) que pour le signal porteurd’information s(t), d’ou l’amplification du rapport signal sur bruit. En outre, ces gains durapport signal sur bruit entree–sortie plus grand que 1 montrent que l’influence des bruits deseuil ne se resume pas a un simple effet de linearisation de la reponse du reseau. Notons quenous n’avons mesure d’amelioration entree–sortie qu’avec le rapport signal sur bruit, les autresmesures de performance testees dans [93, 90] n’ont pas demontre ce comportement particulier.

4.5 Perspectives de travaux futurs

Sur le plan des perspectives, des explorations restent a entreprendre pour cerner davantageles potentialites des reseaux paralleles d’elements non lineaires.


4.5.1 Analyses fondamentales

En ce qui concerne les analyses fondamentales, nous n’avons jusqu’ici presente que desresultats concernant les reseaux de comparateurs. Il serait bien sur pertinent de s’interessera des reseaux impliquant d’autres types de non-linearites que les simples seuils des compara-teurs. Nous avons recemment elargi nos etudes dans cette direction [87]. Il apparaıt que l’effetd’amelioration par le bruit dans les reseaux paralleles est possible avec d’autres familles denon-linearites y compris certaines ne faisant pas intervenir de seuil. Le terme de resonancestochastique supraliminaire, initialement introduit pour insister sur les differences avec la formeclassique de resonance stochastique, perd alors son sens mais l’effet benefique du bruit, que l’onregroupe sous le terme generique de resonance stochastique, demeure valable.

A titre d’illustration, nous allons donner un exemple de traitement ameliore par le bruit dansun reseau d’elements non linaires autre que des comparateurs. Pour ce faire, nous envisageonsa nouveau la situation, etudiee dans le Chap. 3, de la transmission d’une image favorisee par lebruit apres passage dans un systeme presentant une zone lineaire et des non-linearites a seuil eta saturation. Comme dans le Chap. 3, on considere X(p, q) une image ou (p, q) sont des entiersindexant les pixels. Un bruit η(p, q) degrade lineairement chaque pixel de l’image X(p, q). Lesvaleurs du bruit sont supposees independantes d’un pixel a un autre et sont prises identiquementdistribuees avec la fonction de repartition F (u) = Prη(p, q) ≤ u. La somme X(p, q) + η(p, q)est transmise par un systeme produisant Y (p, q) selon l’equation

Y (p, q) = g[X(p, q) + η(p, q)] , (4.31)

avec g(u) une non-linearite de type

g(u) =

0 pour u ≤ 0u pour 0 < u < 11 pour u ≥ 1 .

(4.32)

Jusqu’ici, il s’agit du meme processus que celui decrit dans le Chap. 3. Nous ajoutons untraitement supplementaire en realisant i ∈ [1, N ] acquisitions Yi(p, q) de la meme image X(p, q)en presence de i realisations differentes du bruit η(p, q) que l’on suppose blanc. L’image finaletransmise est Y (p, q) = N−1

∑N1 Yi(p, q) est la moyenne des N acquisitions. Le traitement

effectue pour obtenir Y (p, q) n’est rien d’autre qu’une variante a deux dimensions du schemade la Fig. 4.1. Si on remplace dans la Fig. 4.1 les N comparateurs par N non-linearites aseuil et a saturation de l’Eq. (4.32) et que l’on multiplie par 1/N le signal de sortie, on obtientle traitement qui est realise pour chaque pixel de l’image de sortie Y (p, q) ou les N bruitsηi(t) de la Fig. 4.1 correspondent aux N realisations de η(p, q). L’image X(p, q) que nousallons chercher a transmettre est la meme que celle du Chap. 3 : l’image “lena” (Fig. 4.12 enhaut a gauche) en 256 niveaux de gris compris entre 0 et 1. On simule une sur-exposition del’image transmise en ajoutant une constante kex a l’ensemble des pixels de l’image de departX(p, q) avant le traitement de l’Eq. (4.31). Sur la Fig. 4.12 en haut a droite, on visualisel’image sur-exposee transmise en l’absence de bruit ; ση l’amplitude efficace du bruit additifη(p, q) est nulle. Nous avons constate visuellement dans le Chap. 3 (reproduit sur la Fig. 4.12en haut a droite) que lorsque l’on ne prend qu’une image, N = 1, pour produire Y (p, q), lapresence d’une certaine quantite de bruit (centre gaussien) ση non nulle peut permettre latransmission d’une image avec davantage de details visibles que lorsque le bruit η(p, q) est nul.Ici, nous montrons (voir Fig. 4.12) qu’en moyennant plusieurs acquisitions bruitees il est possibled’ameliorer de maniere encore plus significative la qualite de l’image obtenue par rapport a ceque l’on a lorsque le bruit est nul ou en ne considerant qu’une image bruitee. Il s’agit d’un


effet de resonance stochastique dans un reseau parallele d’elements non lineaires (autres quedes comparateurs) rendu ici perceptible avec des images. Nous avons vu dans le Chap. 3 quenotre perception visuelle manifeste des effets de seuil (aux faibles luminances) et de saturation(aux fortes luminances). Il existe aussi des processus de moyennage temporel au niveau de notreretine [69]. Aussi, il serait pertinent de chercher si l’effet presente sur la Fig. 4.12 se manifestedans le systeme visuel humain aux faibles ou aux fortes luminances.


Figure 4.12 : Exemple de transmission d’image amelioree par ajout de bruit dans un reseauparallele d’elements non lineaires a seuil et a saturation. En haut : a gauche, l’image “lena”correctement exposee ; a droite, l’image sur-exposee transmise en l’absence de bruit. Le facteurde sur-exposition kex ajoute a l’image de “lena” est 0.75. Au milieu : a gauche, la transmissionde la meme image avec le meme facteur de sur-exposition mais avec la presence d’un bruit centregaussien de valeur efficace ση = 0.3 avec une seule image acquise ; a droite, memes conditionsque l’image de gauche avec ση = 0.1 mais on observe la moyenne des N = 3 images acquises. Enbas : a gauche, la transmission de la meme image avec le meme facteur de sur-exposition qu’aumilieu mais avec la presence d’un bruit centre gaussien de valeur efficace ση = 0.2 et N = 7images acquises ; a droite, memes conditions que l’image de gauche avec ση = 0.4 et N = 63images acquises.


Pour quantifier l’effet visuel, visible sur la Fig. 4.12, on mesure la similarite entre deuximages au moyen de l’intercovariance normalisee

CXY =〈(X − 〈X〉)(Y − 〈Y 〉)〉√〈(X − 〈X〉)2〉〈(Y − 〈Y 〉)2〉

, (4.33)

ou 〈...〉 est la moyenne spatiale sur l’ensemble des pixels de l’image. On peut remarquer surla Fig. 4.13 que l’effet d’amelioration n’apparaıt pas des que N > 1 comme c’etait le casdes evolutions typiques que l’on observait avec les reseaux de comparateurs. Le mecanismed’amelioration par le bruit dans les reseaux paralleles de non-linearites a seuil et a saturationest semble-t-il plus complexe qu’avec de simples comparateurs. L’etude detaillee de ce mecanismeconstitue a nouveau une perspective pour de futurs travaux.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

amplitude efficace ση des bruits de seuil

inte

rcov

aria

nce

norm

alis

ée

N=1

N=2

N=3

N=7

N=15

N=31

N=63

Figure 4.13 : Intercovariance normalisee CXY de l’image “lena” correctement exposee (imageen haut a gauche dans la Fig. 4.12) avec l’image transmise par le reseau parallele consitue de Nelements non lineaires de l’Eq. (4.32) en fonction du niveau de bruit ση pour differentes valeursde N .

4.5.2 Applications potentielles

Revenons au reseau de comparateurs de la Fig. 4.1. La resonance stochastique supralimi-naire que nous avons montree opere plus particulierement quand tous les seuils du reseausont contraints de partager la meme valeur et ne peuvent etre ajustes separement. C’est lecas par exemple avec les neurones sensoriels organises en reseaux paralleles, qui donnent unerepresentation seuillee de type tout ou rien d’un signal analogique venant de l’environnementphysique. On retrouve donc des similarites avec la representation offerte par le reseau decomparateurs de la Fig. 4.1. D’ailleurs, une forme de resonance stochastique supraliminaire(mesuree par une information mutuelle entree–sortie) a recemment ete montree [107] dans unreseau parallele de neurones avec un modele plus realiste de neurone de type FitzHugh-Nagumo.Un fait bien etabli au niveau du comportement des neurones sensoriels est la propriete du seuildes neurones sensoriels de s’adapter a la valeur moyenne du stimulus physique [57]. Ceci estune raison possible pour expliquer la grande dynamique de nos sens. Comme il est souleve dans[107], il se peut que cette adaptation au niveau moyen des stimuli ne servent pas uniquement a


augmenter la gamme de fonctionnement de nos sens mais puisse aussi ameliorer le traitementneuronal du signal en beneficiant de l’effet de resonance stochastique supraliminaire. Des etudesexperimentales pour comprendre le role que peut jouer la resonance stochastique supraliminaireau niveau de l’audition [106] ou pour la vision [70] sont en cours. Parallelement, sur le plandes etudes theoriques, l’application de la resonance stochastique supraliminaire dans le domainedu traitement neuronal de l’information est un champ d’etude ouvert avec de nombreuses voiesd’explorations possibles concernant le modele des neurones ou le couplage de ces neurones [48].

Tournons-nous a present vers les applications technologiques potentielles de l’effet de resonan-ce stochastique supraliminaire dans les reseaux de comparateurs. L’effet de resonance supralimi-naire, avec la presence des bruits de seuil, permet un ajustement du reseau simple et robusteaux changements d’amplitudes du signal d’entree ; cette simplicite s’exprime particulierementlorsque tous les seuils prennent la valeur moyenne du signal d’entree. Une idee d’applicationserait de s’inspirer de la strategie adoptee par notre systeme de vision pour mettre en œuvre unnouveau type de convertisseur analogique–numerique dont les elements essentiels seraient :

X un reseau de comparateurs parallele,X un seuil θ unique pour tous les comparateurs,X un mecanisme d’adaptation de θ a la valeur moyenne du signal d’entree x(t),X des bruits de seuil identiques et independants ajoutes a l’entree de chaque comparateur,X un mecanisme d’adaptation de l’amplitude efficace des bruits en fonction de l’amplitude

du signal d’entree x(t).

Le principal interet d’un tel convertisseur analogique–numerique serait de ne pas presenterde limitation theorique sur la dynamique des signaux analogiques qu’il serait en charge de quanti-fier. Cette propriete d’adaptation n’existe pas avec les convertisseurs analogique–numerique detype flash qui mettent en œuvre un reseau de comparateurs ou les seuils sont fixes et repartisuniformement sur la gamme attendue pour le signal d’entree. Le nouveau type de convertis-seur analogique–numerique, dont nous dressons ici seulement les grandes lignes, trouverait sonutilite pour quantifier des signaux dont les amplitudes s’etalent sur des gammes tres grandes.Dans ces conditions, les convertisseurs analogique–numerique de type flash montrent leurs limi-tes en n’etant pas sensibles a des variations situees sous le bit de poids le plus faible ou ensaturant pour des variations allant au dela du bit de poids le plus fort. Toutefois, certains ver-rous restent a examiner pour envisager une implementation d’un tel convertisseur analogique–numerique. Dans des conditions definies, le niveau de bruit optimal σopt

η des bruits de seuil peutetre calcule a partir des theories que nous avons developpees dans la Sec. 4.3 pour differentesproblematiques de traitement du signal. Si l’on s’ecarte des conditions optimales par une modifi-cation du signal d’entree x(t), alors le niveau de bruit optimal σopt

η sera different. Une alternativeenvisageable serait l’utilisation de procedures adaptatives permettant au reseau de faire croıtreautomatiquement les bruits de seuil jusqu’a ce que le niveau optimum soit atteint. De tellesstrategies adaptatives ont ete introduites pour la resonance stochastique subliminaire conven-tionnelle [75, 86] ; elles pourraient servir de bases pour une implementation pratique de l’effetde resonance stochastique supraliminaire.

Enfin, les resultats theoriques de la Sec. 4.4.3 ouvrent des voies nouvelles dans le domaine dutraitement du signal. En effet, habituellement, au niveau de la chaıne d’acquisition, on cherche a

4.6. Conclusion 55

transmettre, sous une forme interpretable par le systeme, une representation du signal physiquequi soit la plus fidele possible. De cette facon, seule la fidelite est visee, et peu ou rien n’estfait a ce niveau en terme de traitement de l’information. Cette representation fidele du signalphysique est ensuite traitee par des operateurs de hauts niveaux en charge de tache de traitementde l’information, comme d’evaluer la presence d’un signal periodique noye dans du bruit. Si latache de haut-niveau est connue et visee des la phase d’acquisition, la representation fideledu signal physique apparaıt comme une etape intermediaire du processus de traitement, nonnecessairement indispensable en elle-meme, ni meme utile pour la phase de traitement de haut-niveau ; une etape qu’il peut parfois meme etre preferable d’eviter. Ainsi, il n’est pas toujoursinteressant de faire travailler nos reseaux de comparateurs dans des conditions de quantificationparfaite visant a donner une reconstruction quasi parfaite du signal d’entree, parce qu’il se peutdans ce cas, qu’en visant une reconstruction parfaite, on passe a cote de proprietes interessantespour la tache finale de haut niveau comme des gains en rapport signal sur bruit plus grand que 1.Cette capacite des reseaux avec un seuil fixe commun de produire des gains en rapport signal surbruit plus grand que 1, peut etre vu comme un pretraitement “intelligent” apporte par le reseaunon lineaire. Ce pretraitement “intelligent” n’est pas present dans les systemes qui recherchentun comportement quasi lineaire associe a une reconstruction parfaite du signal d’entree. Nouscherchons actuellement a determiner, avec une approche similaire a celle adoptee dans [118], sil’on peut tirer profit des gains de rapport signal sur bruit entree–sortie obtenus avec des reseauxde comparateurs dans un contexte de detection ou d’estimation de signaux noyes dans du bruit.

4.6 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons examine les potentialites d’une forme de resonance stochasti-que, recemment introduite [104, 105] dans un cadre general de theorie de l’information sousle nom de resonance stochastique supraliminaire. Nous l’avons identifiee comme une nouvelleforme de traitement ameliore par le bruit capable de donner lieu a des developpements con-sistants suivant les trois voies envisagees dans ce document (definies au Chap. 2).

Sur le plan conceptuel des analyses fondamentales, la resonance stochastique supralimi-naire dans les reseaux de comparateurs telle qu’elle est montree dans le cadre de [104, 105],constitue un nouveau mecanisme d’amelioration par le bruit ou le signal d’entree n’a pas aetre petit, situe sous un seuil, ou mal conditionne, pour pouvoir profiter de l’effet benefiquedu bruit. Nous avons montre que cet effet de resonance stochastique supraliminaire dans lesreseaux paralleles de comparateurs pouvait etre etendu a d’autres mesures de performance quel’information mutuelle au sens de Shannon initialement utilisee par [104, 105]. Ainsi, nous avonsmontre des manifestations de l’effet de resonance stochastique supraliminaire mesurees dans lecadre d’une tache d’estimation parametrique avec l’information de Fisher ou dans celui d’unetache de detection avec des rapports signal sur bruit ou des probabilites d’erreur de detection.De ce point de vue, nos travaux [92, 93, 90] contribuent a elargir les potentialites des traitementsnon lineaires favorises par le bruit en etablissant la resonance stochastique supraliminaire commeun phenomene non lineaire de portee generale qui peut se manifester et etre quantifie de beau-coup de facons differentes. Des etudes futures pourront encore etendre le cadre d’application dela resonance stochastique supraliminaire en considerant des reseaux de capteurs non lineairesimpliquant d’autres non-linearites que les simples comparateurs.

Des perspectives existent aussi en ce qui concerne l’application de l’effet de resonancestochastique supraliminaire dans le domaine des systemes neuronaux. Les neurones sont descomposants naturels avec des non-linearites intrinseques de type seuil, organises en reseau, ilsont soumis aux bruits (d’origine externe ou interne), et sont capables de realiser du traitement


de l’information tres performant. L’etude du role de la resonance stochastique supraliminairedans le traitement de l’information par les reseaux de neurones est un probleme ouvert pour defuturs travaux.

Sur le plan des applications, les reseaux de comparateurs sont des outils utilises pour desoperations temps-reel comme la quantification des signaux analogiques. L’effet de resonancestochastique supraliminaire dans ce systeme amene la possibilite de nouvelles strategies de con-version analogique–numerique permettant une augmentation de la dynamique en sortie par rap-port aux techniques classiques. L’implementation pratique de ces strategies necessite d’appro-fondir l’etude de procedures adaptatives permettant d’ajuster automatiquement le niveau op-timal de bruit. Par ailleurs, nous avons trouve des conditions ou la representation disponibleen sortie du reseau loin d’etre degradee par la quantification permettait de meilleures perfor-mances qu’en entree du reseau. En particulier, nous avons mesure ces comportements dansnotre etude de la transmission d’un signal periodique mesuree par un rapport signal sur bruit.Nous cherchons actuellement a determiner si l’on peut tirer profit des gains de rapport signalsur bruit entree–sortie obtenus avec des reseaux de comparateurs dans un contexte de detectionou d’estimation de signaux noyes dans du bruit.

Chapitre 5

Resonance stochastique et bruit dephase

5.1 Introduction

Jusqu’ici, nous avons etudie dans ce memoire des processus ou un melange signal–bruitlineaire (additif) devait traverser un systeme non lineaire. Nous nous interessions ensuite al’influence du niveau de bruit sur la transmission ou le traitement du signal en sortie dusysteme non lineaire. Nous allons consacrer ce chapitre a l’etude d’un melange signal–bruitintrinsequement non lineaire : le cas d’un bruit de phase [21, 23, 91]. Nous nous placons dansle cadre de problematiques de traitement du signal comme l’estimation et la detection. Nouschoisissons de considerer des estimateurs et detecteurs optimaux au sens de criteres que nousrappelons. Nous etudions ensuite l’influence du niveau du bruit de phase sur les performancesde ces estimateurs ou detecteurs optimaux.

5.2 Bruit de phase et estimation bayesienne optimale

Dans cette section nous allons considerer un probleme d’estimation a partir d’un melangesignal–bruit dont le couplage est non lineaire. Le parametre a estimer est la frequence d’uneonde polluee par un bruit de phase. Nous envisageons, pour repondre a cette tache d’estimationd’utiliser un estimateur bayesien optimal. Nous rappelons brievement l’expression theoriqued’un estimateur bayesien optimal que nous detaillons dans la situation envisagee ici. Nousetudions ensuite l’influence du niveau du bruit de phase sur la performance de l’estimateurbayesien optimal minimisant l’erreur quadratique d’estimation. Nous donnons a voir un exempleparticulier ou la performance de cet estimateur bayesien optimal tracee en fonction du niveaudu bruit montre une evolution non monotone traduisant l’effet de resonance stochastique. Uneexplication qualitative du mecanisme d’amelioration par le bruit est proposee pour comprendrece premier exemple de resonance stochastique avec du bruit de phase. A partir de la, nousentreprenons une serie d’explorations. Nous restons focalise sur l’estimation bayesienne optimaleet conservons le meme couplage signal–bruit non lineaire impose par le bruit de phase. Parcontre, nous envisageons differentes familles de bruit et differentes formes pour le signal a estimer.

58 CHAPITRE 5. RESONANCE STOCHASTIQUE ET BRUIT DE PHASE

5.2.1 Une premiere etude

5.2.1.1 Estimation bayesienne optimale

Nous nous placons dans le cadre classique de l’estimation bayesienne [52, 85]. Un signalobservable y(t) depend d’un parametre ν dont les valeurs possibles a priori sont distribuees selonla densite de probabilite pν(u). En observant y(t) a N dates distinctes tj , j = 1 a N , on collecteN echantillons yj = y(tj). A partir de ces donnees y = (y1, . . . yN ), on souhaite estimer lavaleur de ν qui a produit les observations. Pour un estimateur donne ν(y), l’erreur quadratiquemoyenne d’estimation est

E(y) = E[(ν − ν)2|y] =∫ +∞

−∞[ν − ν(y)]2 p(ν|y)dν , (5.1)

qui peut egalement etre mise sous la forme

E(y) = [ν − E(ν|y)]2 + var(ν|y) , (5.2)

avec l’esperance E(ν|y) =∫

νp(ν|y)dν et la variance var(ν|y) =∫

[ν−E(ν|y)]2p(ν|y)dν. Commevar(ν|y) de l’Eq. (5.2) est non negative et independante de ν, l’estimateur bayesien optimal quiminimise l’erreur E(y), pour toute observation y donnee, s’ecrit comme

νB(y) = E(ν|y) =∫ +∞

−∞νp(ν|y)dν . (5.3)

L’estimateur νB(y) de l’Eq. (5.3) atteint l’erreur minimale

EB(y) = var(ν|y) =∫ +∞

−∞[ν − E(ν|y)]2p(ν|y)dν , (5.4)

pour toute observation y donnee. Par consequent, νB(y) atteint aussi le minimum

EB =∫EB(y)p(y)dy (5.5)

de l’erreur d’estimation moyennee sur toutes les observations y possibles, ou∫

. dy representel’integrale N -dimensionnelle

∫. . .

∫. dy1 . . . dyN .

Un modele du processus produisant l’observation y(t) a partir du parametre ν (et du bruit dephase polluant l’observation), permet d’etablir la densite de probabilite conditionnelle p(y|ν),puis la formule de Bayes permet d’obtenir la densite a posteriori p(ν|y) = p(y|ν)pν(ν)/p(y),ou p(y) =

∫p(y|ν)pν(ν)dν, donnant acces a l’estimateur optimal νB de l’Eq. (5.3) et a sa

performance mesuree par l’Eq. (5.4) ou l’Eq. (5.5).

5.2.1.2 Expression en presence de bruit de phase

Le processus considere est constitue par une onde periodique w(νt) de frequence ν (incon-nue, a estimer), ou w(t) est une onde “mere” de periode unite (par exemple w(t) = sin(2πt)).Un bruit η(t) pollue la phase de l’onde de facon a produire le signal observable

y(t) = w[νt + η(t)] . (5.6)

Les bruits de phases sont presents dans de nombreux dispositifs physiques, comme lesoscillateurs, les boucles a verrouillage de phase, ou dans le domaine de l’imagerie coherente.

5.2. Bruit de phase et estimation bayesienne optimale 59

Ainsi, la situation decrite par l’Eq. (5.6) peut correspondre a des configurations tout a faitplausibles en pratique. Par exemple, une concretisation simple de y(t) de l’Eq. (5.6) est fourniepar une onde plane se propageant dans un milieu fluctuant, ou bien rayonnee ou captee par untransducteur anime d’un mouvement aleatoire (voir Fig. 5.1).

Figure 5.1 : Concretisation simple de y(t) de l’Eq. (5.6). Dans l’exemple de cette figure, lebruit de phase peut avoir plusieurs origines : l’emetteur ou le recepteur de l’onde sont animesd’un mouvement aleatoire ou encore les proprietes du milieu de propagation de l’onde fluctuent.

Pour expliciter l’estimateur optimal en presence de bruit de phase nous considerons lesechantillons de bruit η(tj) statistiquement independants pour des tj distincts, si bien que ladensite conditionnelle p(y|ν) se factorise en p(y|ν) =

∏Nj=1 p(yj |ν). Egalement, les echantillons

η(tj) sont supposes identiquement distribues, de fonction de repartition Fη(u) et de densitede probabilite fη(u) = dFη/du. Enfin, pour permettre un traitement analytique complet del’estimateur optimal, nous considerons le cas simple ou w(t) est un signal carre de periode 1avec w(t) = 1 si t ∈ [0, 1/2[ et w(t) = −1 si t ∈ [1/2, 1[. Nous avons alors la densite conditionnelle

p(yj |ν) = Pryj = −1|νδ(yj + 1) + Pryj = 1|νδ(yj − 1) , (5.7)

avec la probabilite

Pryj = 1|ν = Prw[νtj + η(tj)] = 1 (5.8)

= Pr

νtj+η(tj) ∈⋃

k

[k, k + 1/2[

(5.9)

= Pr

η(tj) ∈⋃

k

[k − νtj , k − νtj + 1/2[

(5.10)

=+∞∑

k=−∞

∫ k−νtj+1/2

k−νtj

fη(u)du (5.11)

=+∞∑

k=−∞

[Fη(k−νtj+1/2)− Fη(k−νtj)

], (5.12)

k entier, et

Pryj = −1|ν = 1− Pryj = 1|ν . (5.13)

La densite p(y|ν) =∏N

j=1 p(yj |ν) incorpore, selon l’Eq. (5.7), des produits de quantites de


la forme Pryj = ±1|νδ(yj ∓ 1). On en deduit la densite a posteriori

p(ν|y) =

pν(ν)N∏

j=1

Pryj |ν

∫ +∞

−∞pν(ν)

N∏

j=1

Pryj |ν dν

, (5.14)

ou le vecteur d’observations y = (y1, . . . yN ) est limite aux 2N etats possibles de la forme(y1 = ±1, . . . yN = ±1).

Les Eqs. (5.12) et (5.13) permettent une evaluation explicite des probabilites Pryj |ν pouryj = ±1, en fonction des proprietes du bruit de phase η(t) vehiculees par Fη(u). Ces probabilitesPryj |ν permettent d’acceder a la densite conditionnelle p(ν|y) de l’Eq. (5.14), qui ouvre lavoie pour le calcul explicite (eventuellement par integration numerique) de l’estimateur bayesienoptimal de l’Eq. (5.3), et de sa performance mesuree par les Eqs. (5.4) ou (5.5).

Explicitement, EB(y) de l’Eq. (5.4), une fonction de l’observation y, est calculable comme

EB(y) =∫ +∞

−∞ν2p(ν|y)dν −

[∫ +∞

−∞νp(ν|y)dν

]2

, (5.15)

et sa moyenne EB selon y de l’Eq. (5.5) decoule comme

EB =∑

y1∈−1,1. . .

∑

yN∈−1,1EB(y)

∫ +∞

−∞pν(ν)

N∏

j=1

Pryj |ν dν , (5.16)

la somme multiple portant sur les 2N etats possibles pour le vecteur d’observation y.

5.2.1.3 Performance amelioree par le bruit

Nous allons maintenant montrer, avec un premier exemple, la possibilite d’ameliorer laperformance de l’estimateur bayesien optimal νB(y) en elevant le niveau du bruit de phase.Pour illustration, nous prenons, un bruit de phase η(t) appartenant a la famille des densitesbi-gaussiennes fη(u)=fgm(u/ση)/ση definie par la densite de probabilite standardisee

fgm(u) =1

2√

2π√

1−m2

exp

[− (u + m)2

2(1−m2)

]+ exp

[− (u−m)2

2(1−m2)

], (5.17)

avec 0 < m < 1, et la fonction de repartition

Fgm(u) =12

+14

[erf

(u + m√

2√

1−m2

)+ erf

(u−m√

2√

1−m2

) ]. (5.18)

La Fig. 5.2 represente l’erreur efficace E 1/2B de l’estimateur bayesien optimal, en fonction

de l’amplitude efficace ση du bruit de phase η(t).Les evolutions de la Fig. 5.2 confrontent les resultats theoriques etablis ci-avant, avec une

evaluation Monte-Carlo de la performance de l’estimateur optimal, l’ensemble montrant un“parfait” accord, vu que la theorie est exacte. La Fig. 5.2 montre aussi clairement l’effet deresonance stochastique : sur certaines gammes du niveau de bruit ση, l’erreur d’estimation E 1/2

B

de l’estimateur optimal se met a decroıtre lorsque le niveau du bruit de phase croıt. Il s’agit lad’un nouvel effet de resonance stochastique mesure pour la premiere fois par la performance del’estimateur bayesien optimal en presence de bruit de phase.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


erre

ur d

’est

imat

ion

Figure 5.2 : Erreur efficace E 1/2B de l’estimateur bayesien optimal, en fonction de l’amplitude

efficace ση du bruit de phase η(t) choisi comme un melange bi-gaussien de parametre de melange

m. Les traits pleins representent E 1/2B de la theorie de l’Eq. (5.16) ; les jeux de points discrets

representent E 1/2B evaluee numeriquement par simulation Monte-Carlo de l’estimateur optimal

de l’Eq. (5.3) ; avec m = 0.9 (), m = 0.95 (∗), m = 0.99 (a

). La densite a priori pν(u) estgaussienne de moyenne mν = 1 et d’ecart-type σν = 0.25, avec N = 6 mesures equireparties aupas temporel 0.2 de t1 = 0 a t6 = 1.

5.2.1.4 Explication qualitative du mecanisme

Sur la Fig. 5.2, nous venons de montrer une premiere preuve de faisabilite de performanceamelioree par un bruit de phase pour un estimateur bayesien optimal. Cette nouvelle forme deresonance stochastique se manifeste des que la performance de l’estimateur optimal presente uneevolution non monotone en fonction du niveau de bruit ση. Le comportement non monotonede la performance de l’estimateur optimal tient essentiellement a l’action de la non-linearite ducouplage signal–bruit dans l’Eq. (5.6). Pour mieux apprehender l’effet de couplage par la phase,nous donnons une explication qualitative de l’effet d’amelioration par le bruit que nous mettonsen jeu ici.

Pour le melange signal–bruit observable y(t) de l’Eq. (5.6), supposons que le bruit de phaseη(t) soit un bruit binaire ou dichotomique, basculant aleatoirement entre les deux niveaux −ση

et +ση. Quand ση = 1, a cause de la periodicite unite de l’onde w(t), le “bruit” de phasebinaire η(t) n’a, en fait, aucun effet sur le signal y(t). Dans ce cas, meme si η(t) est unevariable aleatoire, elle ne joue plus aucun role de nuisance. Ainsi, au niveau de bruit ση = 1, laperformance du detecteur bayesien optimal est egale a celle du detecteur bayesien optimal pourση = 0. Ainsi, on peut s’attendre a ce que la mesure de performance commence par se degradera mesure que ση augmente au dela de zero, mais elle s’ameliorera ensuite quand ση approchera1 pour retourner a sa valeur initiale quand ση = 1. Un effet similaire peut etre observe lorsquele bruit de phase binaire η(t) bascule entre ±ση = ±0.5, ou tout multiple de cette configuration.Le bruit bi-gaussien de l’Eq. (5.17) que nous avons teste sur la Fig. 5.2, tend precisement versle bruit binaire basculant entre ±ση quand m −→ 1 et reflete le comportement qualitatif quenous venons de donner pour le bruit binaire. De ce point de vue, l’etude de ce chapitre peut etrevue comme une analyse quantitative, etendue a tout type de bruit, du comportement qualitatif


attendu pour le bruit binaire. Le point important et non trivial, c’est que le phenomene attendupour le bruit binaire, qui mene a une evolution non monotone de la performance de l’estimateuroptimal, est egalement preserve pour des bruits de phase non binaires comme pour les bruits astructures bi-modales de l’Eq. (5.17).

5.2.2 Influence de la densite de probabilite du bruit

Le modele theorique de l’Eq. (5.16) permet de tester des distributions quelconques du bruitde phase. Pour prolonger l’analyse de l’influence d’un bruit de phase sur les performances del’estimateur bayesien optimal, nous allons montrer que les resultats de la Sec. 5.2.1.3 peuventetre etendus a d’autres distributions du bruit η(t) que le bruit bi-gaussien utilise jusque-la.

Nous restons dans le cadre de l’estimation bayesienne optimale decrite dans la Sec. 5.2.1.1.Nous conservons une distribution gaussienne pν(u) de moyenne mν et deviation stantard σν ,pour la frequence ν a estimer. Par contre, η(t) n’est plus choisi dans les familles de bruitsbi-modaux mais parmi la classe des bruits unimodaux de type gaussiennes generalisees, definiepar la fonction densite de probabilite standard

fgg(u) = A exp(−|bu|α) (5.19)

avec A = (α/2)[Γ(3/α)]1/2/[Γ(1/α)]3/2 et b = [Γ(3/α)/Γ(1/α)]1/2, parametree par l’exposantpositif α. Pour α = 2, on retrouve la densite gaussienne ; pour 0 < α < 2 on obtient des densitesleptokurtic avec des queues plus epaisses que celles d’une densite gaussienne ; pour 2 < α < +∞,on a des densites platikurtic avec des queues qui tendent vers 0 plus rapidement que cellesd’une densite gaussienne, jusqu’a α = +∞ qui correspond a une densite uniforme. La fonctiondensite de probabilite η(t) est fη(u) = fgg(u/ση)/ση. La Fig. 5.3 represente, pour differents α.

l’amplitude efficace de l’erreur d’estimation E 1/2B tiree de l’Eq. (5.16) pour l’estimateur optimal,

en fonction de l’amplitude efficace du bruit ση.Sur la Fig. 5.3, nous observons que pour le bruit gaussien (α = 2), l’erreur d’estimation

E 1/2B croıt de facon monotone a mesure que ση augmente. Mais, des que l’on s’ecarte du bruit

gaussien avec α > 2, l’erreur E 1/2B manifeste une evolution non monotone, avec des gammes

de ση ou E 1/2B decroıt quand ση augmente. Cette possibilite de voir decroıtre E 1/2

B lorsque ση

augmente devient plus prononcee pour les grandes valeurs de α tendant vers +∞. Bien que l’effetdemeure relativement modeste sur la Fig. 5.3, il s’agit la d’une demonstration de faisabilite dela possibilite de voir s’ameliorer la performance de l’estimateur optimal lorsque le niveau d’unbruit de la famille des gaussiennes generalises avec α > 2 augmente, une nouvelle extension dela forme de resonance stochastique que nous examinons dans ce chapitre.

Sur la Fig. 5.3, nous observons que E 1/2B commence tout d’abord par croıtre quand ση

augmente au dela de zero (comme pour les resultats de la Fig. 5.2). Un tel comportementsignifie que dans le melange signal–bruit, un niveau minimal de bruit doit preexister pour quel’on puisse avoir acces a une gamme de ση ou E 1/2

B commence a diminuer. Ici, nous souhaitons

surtout insister sur l’existence de certaines gammes de niveaux de bruit ou E 1/2B decroıt quand

ση augmente, un benefice amene par le bruit a priori inattendu. Plus loin, dans les resonancesstochastiques montrees sur les Figs. 5.7–5.9, nous allons egalement montrer la possibilite d’uneerreur E 1/2

B qui commence par decroıtre des l’origine, des que ση augmente au dela de zero.

Avec les resultats de la Sec. 5.3.2 ou le bruit de phase η(t) est membre de la famille des bruitsbi-gaussiens et ceux de la Fig. 5.3 ou η(t) appartient a la classe des gaussiennes generalisees,nous avons examine la performance d’un estimateur bayesien optimal en presence de bruit de


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


erre

ur d

’est

imat

ion

Figure 5.3 : Amplitude efficace de l’erreur E 1/2B tiree de l’Eq. (5.16) pour l’estimateur optimal,

en fonction de l’amplitude rms ση du bruit centre η(t) choisi gaussien (points), gaussiennegeneralisee avec α = 4 (pointilles), uniforme (trait plein). La densite de probabilite a prioripν(u) est gaussienne avec mν = 1 et σν = 0.25, et N = 14 observations echantillonnees avec uneperiode 0.075 de t1 = 0 a t14 = 1.

phase pour une large gamme de forme de fonction densite de probabilite. Sur la Fig. 5.4A,on visualise l’evolution de la forme de la fonction densite de probabilite pη(u) du bruit η(t)bi-gaussien lorsque l’on fait varier continument le parametre m de l’Eq. (5.17) de m −→ 0 oule bruit devient gaussien a m −→ 1 ou le bruit devient binaire. De meme sur la Fig. 5.4B, onobserve l’evolution de la forme de la fonction densite de probabilite pη(u) du bruit η(t) gaussiengeneralise lorsque l’on fait varier continument le parametre α de l’Eq. (5.19) de α = 2 le casgaussien a α −→ +∞ ou le bruit devient uniforme. Pour completer, nous poursuivons l’etudede l’influence de la densite de probabilite du bruit de phase η(t) sur la possibilite d’un effet deresonance stochastique en examinant le cas d’une distribution qui passe continument du bruituniforme au bruit binaire.

Pour ce faire, nous faisons passer un bruit uniforme sur [−1, 1] a travers la non-linearite

g(u) =1a

βu√1 + (βu)2

(5.20)

parametree par β > 0, avec a =√

1− arctan(β)/β. Ceci produit le bruit standardise de fonctiondensite de probabilite fsq(u) qui vaut zero pour u en dehors de [−g(1), g(1)], et autrement

fsq(u) =12β

a[1− (au)2

]3/2; (5.21)

et sa fonction de repartition est

Fsq(u) =12

+12β

au√1− (au)2

(5.22)


−4−2

02

4 0

0.5

10

0.5

1

1.5

paramètre mu

pη(u)

A

−4−2

02

4 02

100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

paramètre αu

pη(u)

B

Figure 5.4 : Allure des fonctions densites de probabilites testees pν(u). Sur la Fig. 5.4A,la fonction densite de probabilite de la famille bi-gaussienne de l’Eq. (5.17) est representeeen fonction du parametre de melange m. Sur la Fig. 5.4B, meme chose pour la famille desgaussiennes generalisees de l’Eq. (5.19) en fonction du parametre α.

sur le support u ∈ [−g(1), g(1)], et Fsq(u) = 0 pour u < −g(1) et Fsq(u) = 1 pour u > g(1).Quand β → 0 on retrouve le bruit uniforme sur [−√3,

√3]. Lorsque β croıt, la fonction densite

de probabilite fsq(u) developpe des “epaules” autour de ses deux bords −g(1) et g(1), jusqu’aβ → +∞ qui mene a un bruit binaire de ±1. Quelques exemples de la fonction densite deprobabilite fsq(u) de l’Eq. (5.21), pour differents β, sont traces sur la Fig. 5.5.

Avec fη(u) = fsq(u/ση)/ση et Fη(u) = Fsq(u/ση), nous avons observe que tout β > 0 donne

lieu a des evolutions non monotones de l’amplitude efficace de l’erreur E 1/2B de l’estimateur

optimal quand ση croıt. Ceci est illustre sur la Fig. 5.6 pour une probabilite a priori gaussiennepν(u), et sur la Fig. 5.7 pour une probabilite a priori pν(u) uniforme. La diminution due aubruit de E 1/2

B , comme on peut le voir sur les Figs. 5.6 et 5.7, est davantage prononcee a mesureque β augmente. A la limite, dans le cas du bruit binaire, lorsque β = +∞, les Figs. 5.6 et 5.7montrent qu’un niveau approprie de bruit peut meme reduire E 1/2

B a sa valeur en l’absence debruit.

Les conditions de la Fig. 5.7 revelent egalement une propriete, mineure en apparence maisconceptuellement importante : en partant de ση = 0, l’amplitude efficace E 1/2

B commence d’abord

par decroıtre quand on augmente ση, jusqu’a ση ≈ 0.01 ou E 1/2B commence a croıtre. Cette

breve excursion decroissante represente en tout et pour tout une variation relative d’environ2% de E 1/2

B . Ces resultats de la Fig. 5.7 ont ete obtenus par des evaluations numeriques desintegrales sur ν definissant E 1/2

B via les Eqs. (5.16) et (5.15). Pour l’integration, la fonctiondensite de probabilite pν(ν) uniforme sur son support borne a ete echantillonnee avec un pas∆ν = 10−3. Pour un bruit η(t) a support borne et une fonction de repartition Fη(u) decritanalytiquement dans l’Eq. (5.22), la somme infinie de l’Eq. (5.12) se reduit a une somme finieet les probabilites Pryj |ν sont calculables exactement. Le pas d’echantillonnage de ση sur laFig. 5.7 est ∆ση = 0.01. Ces conditions de calcul numerique de la Fig. 5.7 permettent tout juste

de discerner la petite excursion decroissante de E 1/2B en partant de l’origine ση = 0. Neanmoins,

nous sommes capables de verifier ce comportement par un calcul analytique exact. Pour pν(ν)


Figure 5.5 : Exemples d’allure de la fonction densite de probabilite standardisee fsq(u) del’Eq. (5.21) avec β = 0.1 (trait plein), β = 1 (tirets), β = 5 (pointille).

uniforme et η(t) avec des supports bornes, et pour ση petit, nous avons reussi a developper un

calcul exact de E 1/2B .

Dans les conditions d’echantillonnage temporel de la Fig. 5.7 avec N = 6 observations, les2N = 64 expressions de la forme de l’Eq. (5.15) ont ete evaluees analytiquement et sommeespour fournir E 1/2

B a partir de l’Eq. (5.16). Le resultat de ce calcul analytique exact confirme ladecroissance de E 1/2

B au niveau de l’origine ση = 0, comme nous l’avait revele le calcul numeriquepresente sur la Fig. 5.7. Ceci signifie qu’il existe des conditions pour l’estimateur optimal oules performances de l’estimateur optimal en l’absence de bruit peuvent etre moins bonnes quecelles obtenues en presence d’un niveau de bruit non nul. Un tel comportement etait connupour la resonance stochastique dans les traitements sous-optimaux, mais il est montre ici pourla premiere fois pour un traitement optimal.

Pour une probabilite a priori pν(ν) avec un support non borne, comme le cas gaussiendes Figs. 5.3–5.6, nous n’avons pas ete capables de donner un calcul analytique exact pour lecomportement de E 1/2

B autour de l’origine ση = 0, et avec la precision numerique de calcul finie

on trouve des evolutions (plus classiques) croissantes de E 1/2B quand ση augmente au dela de

zero.

En conclusion, dans cette section nous avons montre que l’effet de performance amelioreepar le bruit pour un estimateur bayesien optimal pouvait avoir lieu pour une large gammede densites de probabilites du bruit de phase η(t). Dans la Sec. 5.2.1, seul le cas de bruitde phase bimodaux comme les bruits bi-gaussiens de l’Eq. (5.17), qui permettent l’explicationqualitative de la Sec. 5.2.1.4, avait ete examine. Ici, nous avons investigue un continuum defonctions densites de probabilites qui comprend des densites bimodales mais aussi des densitesunimodales.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


erre

ur d

’est

imat

ion

Figure 5.6 : Amplitude efficace de l’erreur E 1/2B tiree de l’Eq. (5.16) de l’estimateur optimal, en

fonction de l’amplitude efficace ση du bruit η(t) distribue selon l’Eq. (5.22) avec β = 5 (points),β = 10 (pointilles), β = +∞ (trait plein). La fonction densite de probabilite a priori pν(u) estgaussienne avec mν = 1 et σν = 0.25, et N = 6 observations echantillonnees a la periode 0.2 det1 = 0 a t6 = 1.

5.2.3 Influence de la forme de l’onde

Nous restons toujours dans le cadre de l’estimation bayesienne optimale de la frequenced’une onde w(t) en presence de bruit de phase. Apres l’etude de l’influence des caracteristiquesdu bruit de phase nous nous interessons a present a l’influence de la forme de l’onde w(t). Le casde l’onde carree en presence d’un bruit de phase que nous avons considere jusqu’ici nous a permisd’implementer a la fois l’analyse theorique et numerique de l’estimateur bayesien optimal. Cettedouble approche etait importante ici, pour avoir une double validation dans la demonstrationde la faisabilite d’une performance ameliorable par le bruit de l’estimateur optimal.

Dans cette section, nous envisageons une nouvelle exploration avec le cas pratique importantde l’estimation de la frequence d’une onde sinusoıdale. Le cadre de l’estimation bayesiennede la Sec. 5.2.1.1 s’applique egalement dans ce cas, mais l’analyse theorique ne peut pas etremenee jusqu’au bout. Quand le signal observable y(t) de l’Eq. (5.6) est realise avec une ondesinusoıdale w(t) = sin(2πt), l’element cle qui ouvre la voie a l’estimateur optimal bayesien est,comme precedemment, la fonction densite de probabilite p(yj |ν), avec son expression approprieeremplacant l’Eq. (5.7). Dans le cas de l’onde sinusoıdale, nous avons

p(yj |ν)dyj = Pr

sin(2π[νtj + η(tj)]

)∈ [yj , yj + dyj ]

. (5.23)

En prenant en compte toutes les configurations du membre de droite de l’Eq. (5.23), commenous l’avons fait dans les Eqs. (5.9)–(5.12), pour les differentes realisations du bruit η(tj), nousavons finalement


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


erre

ur d

’est

imat

ion

Figure 5.7 : Identique a la Fig. 5.6, sauf pν(u) uniforme sur [mν −√

3σν , mν +√

3σν ], avecmν = 1 et σν = 0.25.

p(yj |ν) =1

2π√

1− y2j

+∞∑

k=−∞

fη

[12π arcsin(yj)− νtj + k

]+

fη

[12 − 1

2π arcsin(yj)− νtj + k]

. (5.24)

Comme precedemment, grace la regle de Bayes, l’Eq. (5.24) nous donne acces a l’estimateurbayesien optimal de l’Eq. (5.3), et a sa performance mesuree par EB de l’Eq. (5.5), qui vientmaintenant sous la forme

EB =∫

dy1 . . .

∫dyN EB(y)

∫ +∞

−∞pν(ν)

N∏

j=1

p(yj |ν) dν . (5.25)

Dans le cas precedent de l’onde carree, la performance theorique EB de l’Eq. (5.16) est exprimeepar une somme discrete sur les 2N etats possibles pour les mesures discretes y. Dans le cas del’onde sinusoıdale, EB de l’Eq. (5.25) est exprimee par une integrale multiple a N -dimensions surle continuum de mesure y variant dans IRN ; en pratique, ceci rend l’evaluation numerique deEB beaucoup plus lourde en terme de temps de calcul. Alternativement, au lieu d’une evaluationnumerique de l’integrale multiple de l’Eq. (5.25), il est possible d’envisager une simulation detype Monte Carlo de EB comme nous l’avons fait precedemment sur la Fig. 5.2.

La Fig. 5.8 montre les resultats de ces simulations Monte Carlo de la performance del’estimateur bayesien optimal avec une onde sinusoıdale, pour differents types de bruit η(t).Comme on peut le constater sur la Fig. 5.8, l’effet de resonance stochastique est toujours possi-ble dans ce cas, dans des conditions similaires a celles que que nous avons trouvees avec uneonde carree.

De plus, les evolutions de la Fig. 5.8 manifestent a nouveau le comportement interessantdeja present sur la Fig. 5.7, d’une decroissance de l’erreur E 1/2

B autour de l’origine ση = 0. Pour


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


erre

ur d

’est

imat

ion

Figure 5.8 : Amplitude efficace de l’erreur d’estimation E 1/2B de l’estimateur optimal, en

fonction de l’amplitude efficace ση du bruit η(t). L’erreur E 1/2B est evaluee numeriquement a

partir de 104 simulations Monte Carlo de l’estimateur optimal a partir des Eqs. (5.3) et (5.24)pour chaque ση ; avec η(t) gaussien (), η(t) bi-gaussien avec m = 0.95 (∗) et m = 0.99 (

a). La

fonction densite de probabilite a priori pν(u) est gaussienne avec mν = 1 et σν = 0.25, et N = 6observations equireparties au pas temporel 0.2 de t1 = 0 a t6 = 1. Le trait plein representeessentiellement un guide pour les yeux, et non le resultat de calculs, contrairement a ce qui estpropose sur la Fig. 5.2.

une meilleure appreciation, nous presentons sur la Fig. 5.9 d’autres evolutions de E 1/2B autour de

ση = 0, avec une meilleure resolution. En depit des fluctuations liees a l’evaluation de E 1/2B par

des simulations Monte Carlo, une nette tendance a la decroissance est visible sur la Fig. 5.9 pourE 1/2

B autour de l’origine. Ceci traduit a nouveau la possibilite, en principe, d’une performancede l’estimateur optimal, qui sera meilleure en presence d’un niveau (petit) non nul de bruit,plutot qu’en l’absence de bruit. Ceci devient meme possible avec du bruit gaussien, dans lesconditions de la Fig. 5.9, prolongeant ainsi les possibilites de resonance stochastique (bien qu’icil’ampleur de l’effet soit faible) au bruit gaussien.

Dans cette section, nous avons envisage le cas de l’estimation bayesienne de la frequenced’une onde sinusoıdale en presence de bruit de phase. De la meme maniere qu’avec uneonde de forme carree, nous avons trouve des regimes ou, pour differents types de bruits,une augmentation du niveau du bruit de phase pouvait entraıner une diminution de l’erreurd’estimation de la frequence de l’onde. De nombreuses etudes peuvent etre envisagees pourapprofondir ces explorations sur les estimateurs bayesiens optimaux ameliores par le bruit ;en particulier, l’etude des comportements autour de l’origine ou ση = 0. Une autre pisted’investigation consiste a etendre les etudes a d’autres types de processus optimaux que lesestimateurs bayesiens. Dans l’explication qualitative du mecanisme d’amelioration par le bruit,donne en Sec. 5.2.1.4, nous avons montre que le comportement non monotone de la performancede l’estimateur optimal tenait essentiellement a l’action de la non-linearite du couplage signal–bruit dans l’Eq. (5.6). Ainsi, dans les meme conditions de couplage signal–bruit non lineaire,d’autres processus optimaux que des estimateurs doivent pouvoir manifester l’effet de resonancestochastique etudie dans cette section. Dans la section suivante, nous proposons de verifier ceci

5.3. Bruit de phase et detecteurs optimaux 69

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07


erre

ur d

’est

imat

ion

Figure 5.9 : Identique a la Fig. 5.8 mais avec une resolution plus fine sur la region autour del’origine ση = 0.

en examinant le cas de detecteurs optimaux.

5.3 Bruit de phase et detecteurs optimaux

Nous commencons par passer brievement en revue les strategies standard de detectionoptimale. Nous donnons la definition des detecteurs optimaux et la facon dont on evalueclassiquement leurs performances [73]. Dans un deuxieme temps, nous montrerons des situ-ations ou chacun de ces detecteurs optimaux peut voir ses performances s’ameliorer en operanta des niveaux de bruits plus eleves.

5.3.1 Strategies optimales de detection

Dans le contexte de la problematique de detection, il ne va plus s’agir d’estimer la frequenced’une onde, mais de choisir entre deux frequences possible de l’onde periodique. Une sourced’information peut emettre deux signaux connus s0(t) ou s1(t). Comme dans la Sec. 5.2,ces signaux sont pollues par un bruit de phase η(t) pour former le signal observable y(t).L’observation de y(t) a N instants distincts tj , avec j = 1 a N , nous fournit N points demesure yj = y(tj). A partir des donnees y = (y1, . . . yN ), il s’agit de decider si y(t) est formepar η(t) melange a s0(t) (hypothese H0) ou a s1(t) (hypothese H1). Tout detecteur concevableest equivalent a une partition de IRN en deux sous-ensembles disjoints complementaires R0 etR1, de telle facon que lorsque y tombe dans Ri, le detecteur decide Hi, avec i ∈ 0, 1. Onconsidere le meme couplage signal–bruit non lineaire de l’Eq. (5.6) avec un bruit η(t) qui agit surles signaux s0(t) et s1(t) comme un bruit de phase, de maniere a former le melange signal–bruitobservable

y(t) = w[ν0t + η(t)] (hypothese H0), ou (5.26)y(t) = w[ν1t + η(t)] (hypothese H1).


Detaillons a present les differentes strategies optimales de detection et l’expression de leursperformances dans le cas du couplage non lineaire signal–bruit decrit par l’Eq. (5.27).

5.3.1.1 Detection bayesienne

Si les probabilites a priori sont connues, P0 pour l’hypothese H0, et P1 = 1 − P0 pourH1, il est possible d’evaluer la performance d’un detecteur donne avec le cout bayesien. Nousintroduisons quatre couts elementaires Cij pour la decision de Hi quand l’hypothese Hj , aveci, j ∈ 0, 1, est realisee. Necessairement nous prenons C10 > C00 et C01 > C11 de maniere apenaliser les mauvaises decisions. Le cout bayesien moyen peut ainsi s’ecrire

C = P0C00

∫

R0

p(y|H0)dy + P1C01

∫

R0

p(y|H1)dy

+ P0C10

∫

R1

p(y|H0)dy + P1C11

∫

R1

p(y|H1)dy ,(5.27)

ou p(y|Hi) est la densite de probabilite pour l’observation de y quand l’hypothese Hi est realisee,et

∫. dy est l’integrale multiple a N dimensions

∫. . .

∫. dy1 . . . dyN . Ce cout C est minimise par

le detecteur bayesien optimal qui utilise le rapport de vraisemblance

L(y) =p(y|H1)p(y|H0)

=Pry|H1Pry|H0

(5.28)

pour implementer le test

L(y)

H1

><

H0

P0

P1

C10 − C00

C01 − C11, (5.29)

atteignant ainsi le cout minimal

Cmin =12

[P1(C01 + C11) + P0(C10 + C00)

]−

12

∫

IRN

∣∣∣P1(C01 − C11)p(y|H1)−

P0(C10 − C00)p(y|H0)∣∣∣dy .

(5.30)

Dans le cas particulier ou C00 = C11 = 0 et C10 = C01 = 1, le cout C de l’Eq. (5.27)represente la probabilite d’erreur de detection Per. Le detecteur bayesien optimal de l’Eq. (5.29)represente alors le detecteur minimisant Per, aussi connu sous le nom de detecteur du maximumde probabilite a posteriori (“MAP test” en anglais), puisque le test (5.29) devient equivalent acelui comparant PrH1|y/PrH0|y a 1.

5.3.1.2 Detection de Neyman-Pearson

Si P0 et P1 sont inconnues, une strategie pour implementer une detection optimale est dechercher a maximiser la probabilite de detection

Pd =∫

R1

p(y|H1)dy , (5.31)


en conservant la probabilite de fausse alarme

Pf =∫

R1

p(y|H0)dy (5.32)

inferieure a un niveau fixe a ne pas depasser Pf,sup. Cette maximisation sous contrainte estrealisee par le detecteur optimal au sens de Neyman-Pearson, qui consiste en l’implementationdu test de rapport de vraisemblance

L(y)

H1

><

H0

µ(Pf,sup) , (5.33)

avec le seuil µ(Pf,sup), une fonction de Pf,sup, qui est trouvee a partir de l’Eq. (5.32) en imposantPf ≤ Pf,sup, avec le sous-ensemble R1 defini comme l’ensemble des donnees y pour lesquellesp(y|H1) > µ p(y|H0).

5.3.1.3 Detection Minimax

En l’absence de connaissance des probabilites a priori P0 et P1, une autre strategie pourune detection optimale, qui ne necessite pas de definir un Pf,sup, consiste a rechercher la valeurP ∗

0 de P0 qui maximise le cout minimal Cmin de l’Eq. (5.30). Le detecteur minimax optimalimplemente le test du rapport de vraisemblance de l’Eq. (5.29) avec P0 pris a P ∗

0 .Pour tout detecteur, le cout bayesien C de l’Eq. (5.27) est une fonction de P0, qui passe par

un maximum pour une valeur de P0 ∈ [0, 1]. Ce maximum est minimise par le detecteur minimaxoptimal decrit ci-dessus, et la valeur minimale atteinte pour ce maximum est exprimable comme

Cminimax = C10 + (C00 − C10)∫

R0

p(y|H0)dy

= C01 + (C11 − C01)∫

R1

p(y|H1)dy .(5.34)

Ainsi, pour une probabilite P0, adopter le detecteur optimal minimax permet de minimiser lecout le plus grand que l’on subirait si la nature nous imposait la valeur de P0 la moins favorable.

5.3.1.4 Expressions en presence de bruit de phase

De maniere a permettre un traitement analytique complet des strategies optimales de detec-tion que nous venons de presenter, nous considerons, comme nous l’avions fait dans la Sec. 5.2.1,le cas ou w(t) est une onde de forme carree de periode 1 avec w(t) = 1 quand t ∈ [0, 1/2[ etw(t) = −1 quand t ∈ [1/2, 1[. Dans ce cas, les valeurs possibles des observations yj sont reduitesa ±1, et p(y|Hi)dy se ramene aux probabilites discretes Pry|Hi qui sont non nulles pour les2N etats y = (±1, . . .± 1).

Nous supposons egalement, comme precedemment, que les echantillons de bruit η(tj), prisaux instants distincts tj ’s, sont statistiquement independants, de telle sorte que les proba-bilites conditionnelles peuvent se factoriser comme Pry|Hi =

∏Nj=1 Pryj |Hi. De plus, les

echantillons η(tj) sont supposes identiquement distribues, avec la fonction de repartition Fη(u)


et la densite de probabilite fη(u) = dFη/du. Ainsi, nous avons

Pryj = 1|H1 = Prw[ν1tj + η(tj)] = 1 (5.35)

= Pr

ν1tj+η(tj) ∈⋃

k

[k, k + 1/2[

(5.36)

= Pr

η(tj) ∈⋃

k

[k − ν1tj , k − ν1tj + 1/2[

(5.37)

=+∞∑

k=−∞

∫ k−ν1tj+1/2

k−ν1tj

fη(u)du (5.38)

=+∞∑

k=−∞[Fη(k−ν1tj+1/2)− Fη(k−ν1tj)], (5.39)

k entier, etPryj = −1|H1 = 1− Pryj = 1|H1 . (5.40)

De meme, nous avons

Pryj = 1|H0 =+∞∑

k=−∞[Fη(k − ν0tj + 1/2)− Fη(k − ν0tj)] , (5.41)

etPryj = −1|H0 = 1− Pryj = 1|H0 . (5.42)

Les probabilites Pry|Hi qui decoulent des Eqs. (5.39)–(5.42) permettent une implementa-tion des differents detecteurs optimaux ainsi que l’evaluation de leurs performances, en fonctiondes proprietes du bruit caracterisees par Fη(u).

5.3.2 Performance amelioree par le bruit

Ainsi, nous pouvons donner un exemple de performance amelioree par un bruit de phasepour des detecteurs optimaux dans les conditions de melange signal–bruit non lineaire del’Eq .(5.27). Pour illustration, nous considerons a nouveau, le bruit de phase η(t) appartenanta la famille des densites bi-gaussiennes defini par la densite standardisee de l’Eq. (5.17) et lafonction de repartition de l’Eq. (5.18).

Le detecteur bayesien optimal de l’Eq. (5.29) atteint le cout minimal Cmin de l’Eq. (5.30)qui est calculable ici sous la forme

Cmin =12[P1(C01 + C11) + P0(C10 + C00)]−

12

∑

y1∈−1,1. . .

∑

yN∈−1,1∣∣∣P1(C01 − C11)Pry1|ν1 . . . PryN |ν1−P0(C10 − C00)Pry1|ν0 . . .PryN |ν0

∣∣∣ ,(5.44)

la somme multiple portant sur les 2N etats possibles pour les donnees y.La Fig. 5.10 montre, dans plusieurs conditions, la performance du detecteur bayesien opti-

mal mesuree par le cout Cmin de l’Eq. (5.44), en fonction de l’amplitude efficace ση du bruit bi-gaussienne η(t). Les evolutions que l’on visualise sur la Fig. 5.10 sont clairement non monotoneslorsque le niveau de bruit ση augmente. Ceci demontre une forme de resonance stochastique,


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


coût

min

imal

de

déte

ctio

n

Figure 5.10 : Cout minimal de detection Cmin du detecteur bayesien optimal, en fonction del’amplitude efficace ση du bruit η(t) choisi comme un melange bi-gaussien avec le parametre demelange m = 0.95. Les traits pleins representent Cmin de l’Eq. (5.44) ; les jeux de points discretsrepresentent Cmin evalue numeriquement avec 104 simulations Monte Carlo du test (5.29) pourchaque ση ; avec C10 = 2 et C01 = 5 (∗), C10 = 1 et C01 = 2 (). De plus, C00 = C11 = 0,P0 = 0.5, ν0 = 1, ν1 = 2/3, avec N = 6 observations equireparties au pas temporel de 0.3 det1 = 0 a t6 = 1.5.

la possibilite, pour certaines gammes de niveau de bruit ση, de reduire le cout du detecteurbayesien optimal en operant a des niveaux plus importants de bruit.

La meme possibilite d’amelioration par le bruit existe egalement pour le detecteur optimaldu maximum de probabilite a posteriori mesure par la probabilite d’erreur de detection Per. LaFig. 5.12 illustre la possibilite de reduire Per, en augmentant le niveau de bruit ση, sur certainesgammes.

Pour le detecteur optimal au sens de Neyman-Pearson, avec le melange signal–bruit nonlineaire en presence de bruit de phase, nous n’avons pas reussi a obtenir une expression analytiquegenerale du seuil µ(Pf,sup) de l’Eq. (5.33), pour une densite de bruit fη(u) arbitraire. Neanmoins,ici, pour un nombre d’echantillons N donnant 2N = NS etats differents pour les donnees y, il estpossible de tester de maniere exhaustive les 2NS partitions possibles (R0,R1), de selectionnercelles associees a Pf dans l’Eq. (5.32) inferieures a Pf,sup, et parmi celles-ci retenir celle quicorrespond a la probabilite Pd maximale dans l’Eq. (5.31). C’est ce que nous avons fait pourchaque ση pour quelques configurations que nous presentons dans la Fig. 5.13. Les evolutionsobservees dans la Fig. 5.13 montrent, pour le detecteur optimal au sens de Neyman-Pearson, lapossibilite de voir la probabilite de detection Pd croıtre, sur certaines gammes, lorsque le niveaude bruit ση croıt.

Enfin, il est possible de trouver P ∗0 qui maximise Cmin de l’Eq. (5.44), permettant l’implemen-

tation du detecteur optimal au sens du minimax et l’evaluation de sa performance mesuree parle cout Cminimax de l’Eq. (5.34). Les evolutions de Cminimax sont illustrees dans la Fig. 5.13,etablissant ainsi la possibilite d’un cout Cminimax decroissant, sur certaines gammes, lorsque le


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


prob

abili

té d

’err

eur

Figure 5.11 : Probabilite de detection d’erreur Per du detecteur optimal du maximum deprobabilite a posteriori en fonction de l’amplitude efficace ση du bruit bi-gaussien η(t). Entrait plein, on trouve Per de l’Eq. (5.44) ; les jeux de points discrets representent Per evalueenumeriquement a partir de 104 simulations Monte Carlo du test du maximum de probabilite aposteriori Eq. (5.29) pour chaque ση ; avec m = 0.9 (), m = 0.95 (∗), m = 0.99 (

a). De plus

P0 = 0.5, ν0 = 1, ν1 = 2/3, avec N = 6 observations equireparties au pas temporel 0.3 de t1 = 0a t6 = 1.5.

niveau de bruit ση augmente.

Nous venons d’etudier l’influence du niveau d’un bruit de phase sur une large gamme destrategies standard de detection optimales. Nous avons montre qu’il existe des gammes de niveaude bruit ou les performances des detecteurs optimaux peuvent s’ameliorer lorsque le niveau dubruit de phase croıt. La configuration testee ici, avec une onde carree et un bruit de phasebi-gaussien, est la meme que celle utilisee, sur la Fig. 5.2, pour la premiere preuve de faisabilitede resonance stochastique avec un estimateur bayesien optimal. L’extension de cet effet audetecteurs optimaux confirme l’interpretation qualitative du mecanisme d’amelioration par lebruit que nous faisions dans la Sec. 5.2.1.4 : le comportement non monotone de la performancedu processus optimal tient essentiellement a l’action de la non-linearite du couplage signal–bruitdans l’Eq. (5.6).

5.4 Discussion

Habituellement, les formes standard de resonance stochastique mettent en jeu un systemefixe, en charge d’une operation de traitement d’un signal, et revelent comment une augmentationdu niveau de bruit peut ameliorer les performances d’un tel systeme fixe. Habituellement,ces systemes fixes sont consideres pour ce qu’ils sont, sans elements permettant de les situerexplicitement vis a vis des systemes optimaux utilises pour la problematique de traitement dusignal en question. Ici, nous avons choisi d’analyser les performances de systemes optimaux.Toutefois, on peut pointer du doigt que l’implementation pratique de ces traitements optimaux

5.4. Discussion 75

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


prob

abili

té d

e dé

tect

ion

Figure 5.12 : Probabilite de detection Pd de l’Eq. (5.31) du detecteur optimal au sens deNeyman-Pearson, en fonction de l’amplitude efficace ση du bruit bi-gaussien η(t) avec m = 0.9(points), m = 0.95 (pointilles), m = 0.99 (trait plein). De plus Pf,sup = 0.1, ν0 = 1, ν1 = 2/3,avec N = 3 observations echantillonnees a t1 = 0.1, t2 = 0.4 et t3 = 0.6.

(qu’il s’agisse des detecteurs ou de l’estimateur bayesien) est dependante du bruit, et en cesens, la situation differe de celle que l’on rencontre habituellement dans le cadre de la resonancestochastique ou les systemes sont fixes. Dans chacune des figures de ce chapitre ou nous avonsrepresente les performances d’un traitement optimal (detecteur ou estimateur) en fonction duniveau de bruit, il est a noter que, pour deux niveaux de bruit differents les traitements optimauxseront differents (des seuils differents pour les detecteurs, des estimateurs differents). Pourbeneficier effectivement des performances presentees sur les differentes figures de ce chapitre,c’est-a-dire pour que les performances demeurent optimales, il faut modifier l’implementationpratique des traitements optimaux en fonction du niveau de bruit. En ce sens, nos resultatspeuvent etre vus comme une nouvelle evolution du concept standard de resonance stochastique.A un autre niveau, sur chaque figure de ce chapitre, les performances, tracees en fonction duniveau de bruit, peuvent etre interpretees comme toutes issues du meme systeme, le processusoptimal. Le point central a nos yeux est que tous ces processus representent des situations ou uneaugmentation du niveau de bruit peut produire une amelioration de la mesure de performancedu traitement. C’est avant tout l’element commun unificateur que nous voyons a la base duconcept de resonance stochastique, et qui, pour nous, justifie une presentation uniforme.

A present, si l’on cherche a tirer un benefice pratique de l’effet d’une injection judicieuse debruit (par exemple, via l’ajout d’un mouvement aleatoire exerce sur le transducteur mentionnesur la Fig. 5.1 ou encore via un echantillonnage temporel non uniforme du signal observabley(t) de l’Eq. (5.6)), alors, il faut etre capable d’augmenter le niveau du bruit de phase tout encontrolant sa nature, et en particulier sa fonction densite de probabilite. Ceci est directementfaisable avec la densite de probabilite gaussienne des Figs. 5.8–5.9 qui restent inchangees sidavantage de bruit gaussien est ajoute. Dans les autres cas non gaussiens, le controle de lafonction densite de probabilite est un probleme plus complexe, que nous n’avons pas abordedans cette these. Si la fonction densite de probabilite du bruit de phase change quand son


0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


coût

min

imax

Figure 5.13 : Cout Cminimax de l’Eq. (5.34) du detecteur optimal au sens du minimax, enfonction de l’amplitude efficace ση du bruit bi-gaussien η(t) avec m = 0.9 (points), m = 0.95(pointilles), m = 0.99 (trait plein). De plus, C00 = C11 = 0, C01 = C10 = 1, ν0 = 1, ν1 = 2/3,avec N = 11 observations equireparties au pas temporel de 0.2 de t1 = 0 a t11 = 2.

amplitude efficace augmente, l’analyse que nous avons menee ici n’est pas suffisante et doitetre completee par une description explicite de la facon dont la fonction densite de probabilitechange a mesure que l’on amene plus de bruit. Ajoutons toutefois que, puisque nos resultatsmontrent un effet de resonance stochastique preserve sur une large gamme de formes differentesde fonction densite de probabilite, une amelioration par le bruit pourrait demeurer possible sila fonction densite de probabilite du bruit de phase change quand sa valeur efficace augmente.L’examen de ce probleme pourra faire l’objet d’autres etudes.

Dans la perspective d’une analyse systematique de la nouvelle forme de resonance stochasti-que que nous avons analysee dans ce chapitre, certains points restent a approfondir. Pour cequi est du domaine de l’estimation bayesienne ; on pourrait etudier quantitativement l’influencedu nombre d’echantillons N formant l’observation, ou celle de la distribution du parametrea estimer, sur l’importance de l’effet d’amelioration par le bruit. Par ailleurs, il existe aussid’autres approches que l’estimation bayesienne, on pourrait par exemple envisager l’estimationd’un parametre non aleatoire par la methode du maximum de vraisemblance dans le cadre denotre etude. De telles approches sont basees sur une formulation differente de la problematiqued’estimation et cherchent a optimiser des mesures de performances differentes ; par essence,elles ne sont pas directement comparables a l’approche bayesienne presentee ici. Neanmoins, ilserait interessant de determiner si l’estimateur du maximum de vraisemblance d’un parametrenon aleatoire peut aussi se preter a la resonance stochastique via une performance ameliorableen presence de bruit de phase. Pour ce qui est du domaine de la detection, il reste a etudierpour les differentes strategies optimales de detection, comme nous l’avons fait pour l’estimationbayesienne, l’influence de la fonction densite de probabilite du bruit et l’influence de la formede l’onde. Enfin, au dela de l’exemple du transducteur deplace aleatoirement, evoque plus haut,l’exploration d’autres dispositifs ou il serait possible et utile de controler et d’injecter un bruitde phase a un signal constitue en soi une perspective pour d’autres etudes.

5.5. Conclusion 77

La possibilite de traitement ameliore par le bruit pourrait trouver des applications dansdes environnements complexe mettant en jeu des non-linearites, des bruits non gaussiens, parexemple des reseaux de capteurs intelligents impliquant du traitement en temps reel. Lessystemes neuronaux naturels sont de ce type. Ils dependent de traitement non lineaires dansdes environnements bruites, appliques sur des trains d’impulsions de forme stereotypees codesen phase ou par leur temps d’arrivee, et de tels systemes peuvent donner lieu a la resonancestochastique. Dans de telles situations non lineaires complexes, il se peut que la resonancestochastique contribue a permettre des hautes performances de traitement du signal.

5.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons etudie l’influence du bruit de phase sur les performances detraitements optimaux. Ainsi, nous avons examine des situations de detection ou d’estimationconcernant la frequence d’une onde perturbee par un bruit de phase. Il s’agit d’un melangesignal–bruit non lineaire, rencontre dans de nombreux domaines en pratique, auquel nous avonsdirectement applique les detecteurs et estimateurs optimaux selon differents criteres d’optimalite.Nous avons montre que pour une large gamme de familles de bruits (des distributions bimodaleset unimodales) et pour differentes formes d’ondes, il existe des gammes de bruits ou les traite-ments optimaux voient leurs performances s’ameliorer avec une augmentation du niveau de bruit.Il s’agit d’une nouvelle extension des possibilites de la resonance stochastique qui etait jusque lamontree uniquement apres traversee de systemes sous-optimaux. Nous avons egalement donneune explication qualitative de cette nouvelle forme de resonance stochastique dans certains casou l’effet peut etre attendu. En ce qui concerne l’etude de l’influence du bruit de phase pour letraitement de l’information, de nombreuses pistes d’exploration ont ete degagees dans la Sec. 5.4.Au dela de l’exemple du bruit de phase, que nous avons traite ici, un effet de resonance stochasti-que avec les traitements optimaux n’est pas a exclure des que l’on est en presence d’un couplagesignal–bruit non lineaire. Dans une etape suivante, d’autres couplages signal–bruit non lineairespourraient faire l’objet d’une etude similaire a celles de ce chapitre.

Chapitre 6

Etude d’un filtre non lineaire pour ladetection

6.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous nous penchons sur le systeme qui, historiquement, a pour la premierefois manifeste le phenomene de resonance stochastique. Comme nous l’avons rappele dans leChap. 2, il s’agit du systeme dynamique non lineaire bistable initialement introduit en physiquenon lineaire. Les premieres observations de la resonance stochastique dans ce systeme ontdeclenche un tres grand nombre d’etudes visant a analyser les potentialites d’une telle dynamiquenon lineaire pour le traitement du signal [51, 4, 34, 45, 41, 113, 77] et en particulier pour ladetection de signaux noyes dans du bruit [49, 35, 11, 36, 117, 32]. Meme si nombre de cesetudes ont ete menees sur un mode exploratoire, montrant des preuves de faisabilite, certainessont prometteuses. Par exemple, [117] propose d’utiliser dans le cadre d’une representation atemps discret, en presence de bruit non gaussien, le systeme dynamique bistable comme unpreprocesseur permettant d’amplifier un signal sinusoıdal a detecter. Ceci pourrait s’avererpertinent pour la conception de detecteurs localement optimaux en acoustique sous-marine oudes signaux sinusoıdaux sont degrades par des bruits non gaussiens (comme le propose [98] avecun autre type de resonateur stochastique). Toutefois, bien des questions restent ouvertes quanta la possibilite d’utiliser des systemes dynamiques bistable en detection.

Nous nous proposons de completer l’analyse du systeme dynamique bistable dans le cadrede la detection, a travers une comparaison avec le detecteur optimal, i.e. le filtre adapte. Unetelle comparaison, qui n’a jamais ete entreprise explicitement, est importante comme referencepour une meilleure appreciation des potentialites du systeme dynamique bistable. Nous allonsconsiderer le schema utilise par [45] ou le systeme dynamique bistable transmet un signal binairelarge bande. L’etude de [45] montre, au moyen de l’information mutuelle moyenne entree–sortie,la possibilite d’ameliorer la transmission d’un petit signal via l’addition de bruit. Dans l’etudeque nous presentons ici [94], le systeme dynamique bistable est utilise dans le cadre d’une tachede detection — au sens de la theorie classique de la detection [53] — et la performance estclassiquement mesuree par la probabilite d’erreur de detection.

A titre de comparaison, le detecteur optimal (le filtre adapte) est pris comme reference,dans ses conditions nominales de fonctionnement et dans des conditions degradees resultant delimitations inherentes a son implantation pratique. Un autre point non eclairci a ce jour a proposde l’utilisation des systemes dynamiques bistables en detection est de determiner si le regimeou le bruit peut favoriser la detection (le regime de la resonance stochastique) est le meilleur

80 CHAPITRE 6. ETUDE D’UN FILTRE NON LINEAIRE POUR LA DETECTION

regime. Dans la plupart des etudes portant sur la resonance stochastique, les parametres dusysteme dynamique bistable sont fixes ; le signal est situe sous le seuil, i.e. trop petit pourinduire a lui seul une reponse forte du systeme. L’ajout de bruit peut alors aider le signal ainduire une reponse plus efficace du systeme dynamique bistable fixe. Ici, nous allons envisagerle systeme dynamique bistable comme un filtre non lineaire, au lieu d’ajuster le niveau du bruitd’entree avec un systeme fixe, nous allons, pour un niveau de bruit fixe, regler les parametres dusysteme de maniere a optimiser la detection. Il s’agit la, en quelque sorte, de la facon classiqued’optimiser un dispositif de traitement du signal ajustable. Dans l’etude de ce processus, il serainteressant d’examiner si la resonance stochastique apparaıt naturellement quand le systemeest bien ajuste (i.e. si le systeme essaie naturellement d’operer dans le regime de la resonancestochastique ou le signal d’entree est situe sous le seuil), ou bien, au contraire, si le regime de laresonance stochastique s’avere etre un regime sous-optimal pour un systeme dynamique bistableaccordable.

6.2 Un systeme dynamique bistable utilise comme filtre nonlineaire

Nous considerons le tout premier systeme qui a, historiquement, donne lieu a la resonancestochastique [8], un systeme dynamique bistable gouverne par un potentiel quartique. Un signald’entree u(t) est applique au systeme dynamique bistable dont l’etat interne x(t) est decrit par

τadx(t)

dt= x(t)− x3(t)

X2b

+ u(t), (6.1)

avec les parametres τa > 0 et Xb > 0. La relaxation libre du systeme τax = −dU/dx estgouvernee par le potentiel U(x) = −x2/2+x4/(4X2

b ). Rappelons, comme nous l’avons fait dansle Chap. 2, qu’un tel systeme possede deux etats stables stationnaires x = ±Xb qui correspondentaux deux minima du potentiel U(x = ±Xb) = −X2

b /4. Ces deux etats sont separes par unebarriere de potentiel de hauteur U0 = X2

b /4. L’etat interne x(t) determine la sortie y(t) dusysteme via une quantification sur 1 bit exprimee par

y(t) = sign[x(t)] = ±1. (6.2)

Dans le plupart des etudes sur la resonance stochastique, u(t) est un melange signal–bruitadditif, avec u(t) = s(t) + η(t) ; s(t) est un signal porteur d’information et η(t) un bruitaleatoire stationnaire. Ensuite, toujours dans le schema classique de la resonance stochastique,les parametres (τa, Xb) du systeme dynamique bistable sont fixes ; le signal porteur d’informations(t) est trop faible pour induire des variations sur le signal de sortie y(t). Dans de tellesconditions, un ajout de bruit peut ameliorer la transmission de s(t) par le systeme dynamiquebistable fixe. Dans ce chapitre, nous allons analyser le systeme decrit par les Eqs. (6.1) et (6.2)avec une autre approche. Contrairement aux etudes classiques sur la resonance stochastique,nous allons considerer un niveau du bruit en entree fixe ; en revanche, les parametres du systemene sont plus fixes et peuvent etre optimises selon une mesure de performance de sortie. Cetteproposition de depart est, en fait, la facon classique d’optimiser tout systeme accordable entraitement du signal. Pourtant, notre approche n’est pas usuelle pour le systeme dynamiquebistable essentiellement envisage dans la perspective de la resonance stochastique.

6.3. Le filtre non lineaire dans le processus de detection 81

6.3 Le filtre non lineaire dans le processus de detection

Le systeme dynamique bistable non lineaire de l’Eq. (6.1), avec son terme integrateur deconstante de temps τa, a la capacite de reduire le bruit pour faire ressortir un signal utile.C’est essentiellement de cette facon que fonctionne aussi le filtre adapte lineaire. En plus, lesysteme dynamique bistable non lineaire de l’Eq. (6.1) possede un caractere bistable qui pourraita priori etre utile pour restaurer un signal binaire a detecter, ou pour resister a une perte desynchronisation. La bistabilite est une propriete supplementaire qui n’est pas presente dans lefiltre adapte lineaire. C’est pourquoi dans le contexte de la section precedente, il est interessantde considerer le systeme dynamique bistable en tant que filtre non lineaire pour une tache dedetection.

Le signal porteur d’information s(t) est un signal “telegraphique” aperiodique de la forme

s(t) = A+∞∑

j=−∞Sj × Γ(t− jTp) , (6.3)

ou A > 0 est une amplitude constante, et Γ(t) est une impulsion rectangulaire de duree Tp etd’amplitude unite ; Γ(t) = 1 pour t ∈ [0, Tp[, Γ(t) = 0 sinon. De plus, dans l’Eq. (6.3) Sj est unesuite aleatoire independante de symboles binaires, Sj = ±1 avec j entier, distribues de faconidentique. Une representation de s(t) avec une alternance de symbole +1 et −1 est montreesur la Fig. 6.1. Le signal s(t) est deteriore par la presence d’un bruit η(t) additif pour formerle signal d’entree u(t) = s(t) + η(t). Le bruit η(t) est pris blanc gaussien de moyenne nulle etde fonction d’autocorrelation 〈η(t)η(0)〉 = 2Dδ(t). Par transformee de Fourier, 2Dδ(t) donne ladensite spectrale de puissance P (ν) = 2D pour toute frequence ν ; par consequent, le parametreD mesure la densite de puissance du bruit par unite de frequence.

Les symboles Sj sont emis a un rythme d’un symbole a chaque Tp. A l’emission, chaquenouveau symbole commence aux instants tj = jTp et se termine apres une duree Tp . On neconsidere pas de phenomene de propagation entre l’emission et la reception. Ainsi, il n’y a surla Fig. 6.1 aucun dephasage entre le signal emis s(t) et le melange signal-bruit recu en entreedu systeme dynamique bistable non lineaire. Le probleme de detection considere ici consiste aretrouver le symbole Sj recu entre les instants tj et tj + Tp. Il s’agit donc de choisir entre lesdeux hypotheses

H0 : u(t) = −AΓ(t) + η(t) pour t ∈ [tj , tj + Tp]

H1 : u(t) = +AΓ(t) + η(t) pour t ∈ [tj , tj + Tp] .

Pour ce faire, nous appliquons le melange signal–bruit u(t) a l’entree du systeme dynamiquebistable decrit par les Eqs. (6.1) et (6.2). La decision entre les hypotheses H0 et H1 est prise apartir d’une seule observation du signal de sortie y(t) que l’on note Yj = y(tj + Tdelai). Les ob-servations successives du signal de sortie y(t) sont faites au meme rythme d’une lecture a chaqueTp. Tdelai est le delai entre le debut d’un symbole et l’instant d’observation. Nous souhaitonslaisser le maximum de temps au filtre non lineaire pour que son etat interne x(t) evolue au pluspres de l’etat stable x = ±Xb correspondant au symbole courant Sj = ±1 applique en tj pourune duree Tp. C’est pourquoi, nous prenons Tdelai = Tp − δt, avec δt > 0 la duree la plus courtepossible avant qu’un nouveau symbole Sj+1 ne soit emis a l’instant tj+1 = tj +Tp (les differentesnotations introduites ici sont representees sur la Fig. 6.1). A chaque instant t′j = tj + Tdelai, lecritere de decision s’ecrit


Figure 6.1 : Representation du signal porteur d’information s(t), du melange signal bruit enentree du systeme dynamique bistable non lineaire u(t) = s(t) + η(t) et de l’etat interne dusysteme dynamique bistable non lineaire x(t) de l’Eq. (6.1) en fonction du temps t. l’amplitudecrete de s(t) est ici A = 1 ; tj = jTp l’instant de debut de l’emission du symbole Sj ; Tp la dureed’un symbole binaire Sj ; Tdelai la duree entre l’instant du debut de l’emission du symbole Sj etl’instant de sa lecture t′j ; δt la difference entre la duree du symbole Tp et Tdelai.

D0 : Sj = −1 si Yj = −1D1 : Sj = +1 si Yj = 1 .

Pour commencer, nous allons considerer que les instants tj qui marquent le debut del’emission d’un symbole ainsi que la duree des symboles Tp sont parfaitement connus. Dansce contexte, nous allons etablir une methode pour regler les parametres (τa, Xb) du filtre nonlineaire afin de realiser la meilleure detection possible. Nous etudierons alors les performancesde ce filtre non lineaire mesurees par la probabilite d’erreur de detection Per,

Per = P1 × PrD0 | H1+ P0 × PrD1 | H0, (6.4)

avec P0 et P1 = 1−P0 les probabilites a priori des hypotheses H0 et H1. Ici, nous avons supposeque les symboles Sj = ±1 sont identiquement distribues, on considerera donc P1 = 1−P0 = 1/2pour toute la suite du chapitre.

6.4 Reglage optimal du filtre non lineaire

Dans cette section, nous allons etablir une methodologie pour regler les parametres du filtrenon lineaire (τa, Xb) de maniere optimale, c’est-a-dire, de maniere a minimiser la probabilited’erreur Per de l’Eq. (6.4). Nos resultats se basent sur des simulations numeriques du processuscontinu de l’Eq. (6.1) au moyen d’une discretisation de type Euler-Maruyama [40] de pas ∆tpris tres petit devant les temps caracteristiques du probleme τa et Tp.

6.4. Reglage optimal du filtre non lineaire 83

6.4.1 Observations qualitatives

Dans cette etude, les caracteristiques du melange signal–bruit d’entree D, Tp et A sontsupposees fixes, car imposees comme conditions de travail. Nous commencons par observerl’influence qualitative des parametres internes (τa, Xb) du filtre non lineaire sur Fig. 6.2. Pourtoute la suite du chapitre, nous exprimerons τa et Xb en unite de Tp et A respectivement ; Dsera mesure en unite de TpA

2. Le parametre τa est le temps caracteristique du systeme ; si τa

est petit, le systeme atteint un etat stationnaire rapidement, mais les fluctuations autour decet etat stationnaire sont grandes (voir la trace B1 sur la Fig. 6.2). Dans cette configuration,la detection sera de mauvaise qualite. A l’oppose, si τa est grand, le systeme n’a pas le tempsd’atteindre l’etat stationnaire pendant Tp (voir la trace C1 sur la Fig. 6.2). Dans ce cas, meme siles fluctuations sont petites, la detection ne sera pas efficace. Aussi, il doit necessairement existerune valeur intermediaire de τa qui minimise la probabilite d’erreur de detection, suffisammentgrande pour attenuer les fluctuations et suffisamment petite afin de laisser assez de temps ausysteme pour basculer d’un etat stable a un autre.

0 1 2 3 4 5 6−1

01

A

Influence de τa

0 1 2 3 4 5 6−0.5

0

0.5

D

temps

0 1 2 3 4 5 6−0.5

0

0.5

B1

0 1 2 3 4 5 6−0.5

0

0.5

C1

0 1 2 3 4 5 6−1

01

AInfluence de Xb

0 1 2 3 4 5 6−0.5

0

0.5

D

temps

0 1 2 3 4 5 6−1

01

C2

0 1 2 3 4 5 6−0.1

0

0.1

B2

Figure 6.2 : Influence qualitative des parametres du filtre non lineaire (τa, Xb). D = 0.0275,Tp = 1, A = 1 sont fixes sur les deux parties de cette figure. Influence de τa etant donneXb = 0.1 : la trace A montre le signal d’entree s(t) ; la trace B1 l’etat interne x(t) du filtre nonlineaire pour τa = 0.1, sur la trace C1 pour τa = 10, sur la trace D pour τa = 1. Influence deXb etant donne τa = 1 : la trace A montre le signal d’entree, la trace B2 l’etat interne x(t) dufiltre non lineaire pour Xb = 0.01, sur la trace C2 pour Xb = 1, sur la trace D pour Xb = 0.1.

Xb influe sur la hauteur de la barriere de potentiel U0 que le melange signal–bruit d’entreeu(t) doit franchir. Ce parametre est relie a l’aptitude du filtre non lineaire a passer d’un puitsde potentiel a un autre, mesuree par l’inverse du temps moyen entre deux transitions induitespar le bruit qu’on appelle taux de Kramer [79]

Rk =

√| U ′′(0) | U ′′(Xb)

2πτa× exp

(−U0

Dτa

)=

1πτa

√2× exp

(−X2b

4Dτa

). (6.5)

Comme le suggere l’Eq. (6.5), si Xb est trop petit pour un τa fixe, le systeme va presenterde nombreuses transitions inter-puits mais la plupart d’entre elles ne seront pas dues au signal


porteur d’information s(t) (voir la trace B2 sur la Fig. 6.2). Cette situation induira une grandeprobabilite d’erreur de detection Per. A l’extreme inverse, si Xb est trop grand, l’amplitudedu melange signal–bruit d’entree u(t) risque de ne pas etre suffisante pour franchir la barrierede potentiel (voir la trace C2 sur la Fig. 6.2). Dans ce cas, la detection n’est pas efficace.Remarquons qu’il s’agit la du regime dans lequel intervient la resonance stochastique ; si lesysteme dynamique bistable est fixe avec un grand Xb, une quantite judicieuse de bruit ajoutepeut ameliorer les performances de detection. Ceci n’est d’aucun interet ici puisque nous nouslaissons la possibilite d’ajuster optimalement les parametres du systeme.

6.4.2 Observations quantitatives

Sur la Fig. 6.3, nous presentons l’influence quantitative des parametres du filtres non lineaire(τa, Xb) sur la probabilite d’erreur Per de l’Eq. (6.4), evaluee numeriquement. Trois densites depuissance du bruit sont testees (D = 0.0275, D = 0.0524 et D = 0.304). La justification duchoix de ces valeurs specifiques sera donnee dans la Sec. 6.5. Dans les trois cas presentes, laprobabilite d’erreur Per est tracee en fonction de τa et Xb ; les surfaces correspondantes ont uneforme de vallee. Ceci confirme les observations de la Fig. 6.2 ; pour un Xb donne, il existe ununique τa optimal qui minimise Per.

10−1

100

101

10−1

100

101

10−4

10−2

100

τaXb

A

prob

abili

té d

’err

eur

10−1

100

101

10−1

100

101

10−3

10−2

10−1

100

τaXb

B

prob

abili

té d

’err

eur

10−1

100

101

10−1

100

101

10−1

100

τaXb

Cpr

obab

ilité

d’e

rreu

r

Figure 6.3 : Influence quantitative des parametres du filtre non lineaire (τa et Xb) sur laprobabilite d’erreur de detection Per de l’Eq. (6.4), pour differentes densites de puissance dubruit D. Les resultats sont obtenus par simulations de type Monte Carlo. Sur les panneaux A,B, C on a respectivement D = 0.0275, D = 0.0524, D = 0.304.

Les Figs. 6.4A et 6.4B montrent les probabilites minimales d’erreur de la Fig. 6.3 dans leplan (τa,Xb) et respectivement le plan (Per, Xb). Comme on peut le constater sur la Fig. 6.4B,la probabilite d’erreur minimale decroıt lorsque Xb decroıt. Ainsi, l’ajustement optimal du filtrenon lineaire implique de prendre Xb aussi petit que possible. La Fig. 6.4A montre, en fonctionde Xb, le parametre τa correspondant qui minimise la probabilite d’erreur Per. Il s’agit la de lacourbe permettant de realiser l’accord du filtre non lineaire ; une fois que l’un des parametres(τa,Xb) est fixe, l’autre doit etre deduit a partir de cette courbe. Cette methode pour accorder lefiltre non lineaire peut etre justifiee ainsi : Xb/A doit etre petit pour permettre au signal internex(t) de basculer facilement autour du seuil de detection. En meme temps, τa/Tp doit etre grandpour diminuer l’impact des fluctuations dues au bruit sur les performances du detecteur.

A ce stade du developpement, nous pouvons considerer la question levee en introduction,consistant a determiner si la resonance stochastique apparaıt comme un regime naturellementfavorable a la detection avec un systeme dynamique bistable. La resonance stochastique semanifeste lorsque l’amplitude A du signal porteur d’information s(t) est trop petite pour induiredes transitions entre les deux etats stables. Ceci arrive lorsque Xb/A >

√27/4 (voir [45] pour

une justification de cette valeur specifique). A l’inverse, la Fig. 6.4 illustre que le regime le plus

6.4. Reglage optimal du filtre non lineaire 85

10−4

10−2

100

10−2

10−1

100

101

102

103

Xb/A

τ a/Tp

A

10−4

10−2

10010

−4

10−3

10−2

10−1

100

Xb/A

prob

abili

té d

’err

eur

B

Figure 6.4 : Accord optimal du filtre non lineaire minimisant la probabilite d’erreur Per. Surle panneau A, la courbe d’accord ; le τa optimal pour un Xb donne. Sur le panneau B, laprobabilite d’erreur correspondante pour chaque Xb. () D = 0.304, (×) D = 0.0524 et (∇)D = 0.0275.

Prendre Xb le plus petit possibleDeduire la valeur de τa optimale correspondante a partir de la courbe d’accord de la Fig. 6.4A.

Tableau 6.1 Methodologie pour l’accord optimal du filtre non lineaire

favorable en detection (i.e. les conditions qui permettent de minimiser la probabilite de detectionPer etant donne une densite de puissance du bruit D) serait plutot obtenu pour Xb/A ¿ 1.Ainsi, la resonance stochastique n’est pas le meilleur regime pour accorder les parametres d’unsysteme dynamique bistable en vue d’une tache de detection. Ceci est confirme sur la Fig. 6.4A,ou la courbe d’accord optimal du systeme dynamique bistable n’est quasiment pas sensible ala valeur de la densite de puissance du bruit aux faibles valeurs de D (les courbes d’accordpour D = 0.0275 et D = 0.0524 sont tres proches). La resonance stochastique peut s’avererinteressante en presence d’une non-linearite fixee et non ajustable ; si l’amplitude du signal esttrop petite, un ajout de bruit pourra favoriser la detection via l’effet de resonance stochastique.

6.4.3 Methode pour l’accord optimal du filtre non lineaire

Les resultats des Figs. 6.3 et 6.4 nous fournissent une methodologie de reglage des parametres(τa,Xb) pour amener le filtre non lineaire a travailler de maniere optimale (en minimisant laprobabilite d’erreur Per) :

Sur la Fig. 6.4B, la probabilite d’erreur minimale decroıt tres lentement mais de manieremonotone a mesure que Xb decroıt. On est en droit de se demander si la probabilite d’erreurminimale du filtre non lineaire admet une limite quand Xb tend vers zero. Les dynamiques baseessur l’Eq. (6.1) ont fait l’objet de nombreuses etudes. Pourtant, en raison des non-linearites del’Eq. (6.1) et de la non stationnarite du melange signal–bruit d’entree u(t), une analyse theoriquecomplete n’a, a notre connaissance, jusqu’ici jamais ete donnee. C’est pourquoi il n’existe pas delimite theorique connue a la probabilite d’erreur minimale atteignable par le filtre non lineaire.


Il serait interessant de chercher une telle limite, mais notre propos ici n’est pas d’entreprendreune modelisation theorique complete du filtre non lineaire. Nous souhaitons nous concentrer surla tache de detection. En outre, pratiquement, choisir Xb aussi proche que possible de zero n’estpas sans causer certains problemes. Quand Xb tend vers zero, la sortie du filtre non lineairetend egalement vers zero. C’est une situation qui ne presente pas de difficultes dans le cadre desimulations numeriques, en revanche, avec une implantation analogique, un signal de sortie quipeut etre arbitrairement petit est problematique. De plus, assurer que Xb/A tende vers zerosignifie que l’on est capable de controler de plus en plus finement la valeur du parametre Xb

comparee au niveau du signal porteur d’information d’entree s(t). Ces considerations doiventnecessairement etre prises en compte dans la perspective d’une implantation reelle du processusde detection ; ces limitations physiques imposent donc, en pratique, une limite basse a Xb.

6.5 Comparaison du filtre non lineaire et du filtre adapte

6.5.1 Comparaison avec le filtre adapte ideal

Grace aux resultats de la Sec. 6.4, nous savons a present comment optimiser le filtre nonlineaire dans le contexte de la detection des symboles binaires que nous considerons. Nousallons maintenant comparer le filtre non lineaire au filtre adapte. Pour le probleme classiquede detection defini dans la Sec. 6.3, le detecteur optimal, le traitement deterministe du signald’entree u(t) qui presente la plus faible probabilite d’erreur de detection, est bien connu ; ils’agit d’un operateur lineaire que l’on appelle le filtre adapte [84]. Dans le cas considere ici, lareponse impulsionnelle du filtre adapte est h(t) = A × Γ(Tp − t) (voir la ligne continue sur laFig. 6.6). Le signal a la sortie du filtre adapte est y′(t)

y′(t) =∫ t

−∞h(t− t′)u(t′)dt′ . (6.6)

La procedure de decision est semblable a celle en sortie du filtre non lineaire. A partir d’uneseule observation Y ′

j = y′(tj + Tdelai) du signal de sortie du filtre adapte, on decide

D0 : Sj = −1 si Y ′j < 2D × log(P0/P1)

D1 : Sj = +1 si Y ′j > 2D × log(P0/P1) ,

ou tj = jTp et Tdelai = Tp−δt avec δt > 0 tend vers zero ont la meme signification que dansla Sec. 6.3. Rappelons egalement que nous avons considere P0 = P1. Enfin, nous supposonsencore que les instants tj marquant le debut de l’emission du symbole Sj ainsi que la duree Tp

des symboles sont parfaitement connus. Avec ces hypotheses, les performances du schema dedetection utilisant la sortie du filtre adapte sont donnees par (voir [73])

Per =12

[1− erf

(ATp√

2√

2DTp

)]. (6.7)

Dans la Sec. 6.4.3, nous avons presente les performances du filtre non lineaire pour troisdensites de puissance du bruit (D = 0.0275, 0.0524, 0.304) avec Tp = 1 et A = 1 exprimes enunites arbitraires ; dans les trois memes situations, la probabilite d’erreur obtenue en sortie dufiltre adapte est respectivement de 10−5, 10−3 et 10−1 par symbole binaire. Ces probabilitesd’erreur sont typiquement des ordres de grandeurs que l’on rencontre en pratique dans le domaine

6.5. Comparaison du filtre non lineaire et du filtre adapte 87

Densite de puissance du bruit 0.0275 0.0524 0.304Filtre adapte ideal 1.0× 10−5 1.0× 10−3 1.00× 10−1

Filtre non lineaire 18× 10−5 5.0× 10−3 1.13× 10−1

Difference relative 17% 4% 0.13%

Tableau 6.2 Probabilite d’erreur Per du filtre adapte et du filtre non lineaire accorde de maniereoptimale . Xb = 10−3 et τa est ajuste selon la methodologie d’accord optimal du filtre non lineairedecrite dans le Tableau 6.1.

des communications numeriques qui traitent de signaux de parole (10−3 par bit) ou d’image (10−5

par bit) [67].Dans le Tableau 6.2, nous comparons les meilleures performances du filtre non lineaire avec

celle du filtre adapte optimal dans ces conditions pertinentes de detection. Cette comparaisonconstitue en elle-meme un nouveau resultat, qui contribue a evaluer l’interet du systeme bistabledynamique des Eqs. (6.1) et (6.2).

On constate dans le Tableau 6.2 que le filtre adapte est, comme on peut s’y attendre,toujours meilleur que le filtre non lineaire. On peut noter que la difference relative de probabilited’erreur (relative au filtre adapte) augmente quand la densite de puissance du bruit D decroıt.Ainsi, sans faire aussi bien, le filtre non lineaire, accorde de maniere optimale, presente desperformances qui se rapprochent de celles du filtre adapte, et ceci d’autant plus que la densitede puissance du bruit D est grande.

Par ailleurs, le filtre adapte tel que nous l’avons utilise ici possede un caractere quelque-peu ideal. En effet, pour atteindre la meilleure performance possible decrite par l’Eq. (6.7),la mesure en sortie du filtre adapte Y ′

j doit etre parfaitement synchronisee avec la fin de lareception du symbole binaire Sj (i.e. δt tend vers 0). De plus, la reponse impulsionnelle h(t)est un rectangle abrupt decrit par la fonction A × Γ(t) ; ceci implique que le filtre adapte estun filtre lineaire d’ordre infini. Ces specificites theoriques du filtre adapte ne seront souventpas realisables en pratique, et une implantation reelle du filtre adapte devra composer avec cesecarts aux conditions ideales de fonctionnement. A present, nous allons etudier l’impact de cesecarts plausibles en pratique.

6.5.2 Comparaison en presence de desynchronisation

Le filtre adapte decrit precedemment necessite une synchronisation parfaite entre l’instantde decision t′j et la fin de l’impulsion rectangulaire associee au symbole binaire Sj que l’ondetecte. En pratique, on ne peut jamais parfaitement respecter cette condition. En effet, dansle domaine des communications numeriques, la recuperation de la porteuse et la synchronisationsont assurees par un circuit electronique (typiquement des boucles a verrouillage de phase [42])qui comme tout circuit electronique admet ses propres limitations de fonctionnement. Nousproposons de prendre en compte cette difficulte pratique d’implantation. Nous comparons lefiltre non lineaire et le filtre adapte en presence de desynchronisation entre les instants de decisiont′j et la fin de la reception des symboles binaires Sj . Ainsi, les instants de decision s’exprimentt′j = tj + Tdelai + ∆T , ou ∆T est appelee desynchronisation. ∆T peut etre positif ou negatif,la decision t′j pouvant etre en retard ou en avance sur la fin de la reception du symbole binaireSj . Pour le filtre adapte considere dans ces conditions non classiques de desynchronisation,l’expression analytique exacte de la probabilite d’erreur de detection n’est pas un resultat connu.Nous avons etabli cette expression par un calcul que nous detaillons.


Per = P1 × PrD0 | H1, ∆T+ P0 × PrD1 | H0, ∆T . (6.8)

Pour chacune des probabilites d’erreurs conditionnelles PrD0 | H1, ∆T et PrD1 | H0, ∆Tdeux cas de figures se presentent. La detection du symbole courant se fait a cause de ladesynchronisation en mordant sur le symbole precedant ; soit il est identique au symbole courantsoit il lui est oppose. On a donc deux contributions differentes pour chacune des PrD0 | H1, ∆Tet PrD1 | H0, ∆T

PrD0 | H1,∆T = P0 × 12

[1 + erf

(−A(Tp − 2∆T )√

2√

2DTp

)]+ P1 × 1

2

[1 + erf

(−ATp√2√

2DTp

)],

(6.9)

PrD1 | H0, ∆T = P1 × 12

[1− erf

(A(Tp − 2∆T )√

2√

2DTp

)]+ P0 × 1

2

[1− erf

(ATp√

2√

2DTp

)].

(6.10)En rappelant que nous considerons ici P0 = P1 = 1/2, l’Eq. (6.8) peut etre simplifiee sous laforme

Per =12− 1

4erf

(ATp(1− 2∆T/Tp)√

2√

2DTp

)− 1

4erf

(ATp√

2√

2DTp

). (6.11)

Sur la Fig. 6.5, nous presentons, en fonction de la desynchronisation ∆T , l’evolution desperformances du filtre non lineaire desynchronise accorde de maniere optimale et le filtre adaptedesynchronise. La probabilite d’erreur est naturellement dans les deux cas une fonction crois-sante de la desynchronisation ∆T . Toutefois, il est interessant de constater que le filtre nonlineaire s’avere moins sensible a la desynchronisation que le filtre adapte. C’est pourquoi, memesi (comme nous l’avons vu dans le Tableau 6.2) le filtre adapte est meilleur que le filtre nonlineaire dans de parfaites conditions de synchronisation, il existe une desynchronisation au delade laquelle le filtre non lineaire peut rattraper et meme depasser les performances du filtreadapte. Comme on peut le voir sur la Fig. 6.5, pour chacune des trois densites de puissance dubruit D testees, les performances du filtre non lineaire depassent celle du filtre adapte pour unedesynchronisation ∆T/Tp d’a peu pres 15% a 20%. Ainsi, la Fig. 6.5 demontre que le filtre nonlineaire est plus robuste que le filtre adapte vis a vis de la desynchronisation. Il est remarquableque ce resultat ne depende pas de la valeur choisie pour Xb tant que Xb/A ¿ 1 (comme cela estmontre sur la Fig. 6.5).

Par ailleurs, il est important de noter que, sur la Fig. 6.5, le filtre non lineaire a eteaccorde de maniere optimale en utilisant la methodologie de reglage presentee dans le Tableau6.1 dans des conditions de parfaite synchronisation. Ceci signifie que, sur la Fig. 6.5, le choixfait pour Xb et τa sur chaque courbe est fait, une fois pour toute, de maniere a minimiser laprobabilite d’erreur Per en l’absence de desynchronisation ; les parametres ainsi fixes Xb etτa demeurent meme lorsque de la desynchronisation est introduite. Neanmoins, nous avonsaussi essaye d’ajuster le filtre non lineaire pour chaque valeur de desynchronisation avec lestrois densites de puissance de bruit testees. Pour des desynchronisations ∆T/Tp pouvant allerjusqu’a 30%, aucune modification significative ne s’est averee necessaire sur Xb et τa entre lereglage du filtre non lineaire dans des conditions de synchronisation parfaite ou en presencede desynchronisation ; les courbes permettant l’accord optimal sur la Fig. 6.4A ne varient paslorsque le schema de detection est desynchronise. Ceci represente en soi un autre resultat

6.5. Comparaison du filtre non lineaire et du filtre adapte 89

0 5 10 15 20 25 3010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

A

% de désynchronisation

prob

abili

té d

’err

eur

0 5 10 15 20 25 3010

−3

10−2

10−1

B


prob

abili

té d

’err

eur

0 5 10 15 20 25 300.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

C


prob

abili

té d

’err

eur

Figure 6.5 : Probabilite d’erreur Per en fonction de la desynchronisation mesuree par ∆T/Tp.Sur les panneaux A, B, C on a respectivement D = 0.0275, D = 0.0524, D = 0.304. A = 1et Tp = 1 dans les trois cas. La ligne continue represente les resultats theoriques pour lefiltre adapte donnes par l’Eq. (6.11). () representent les resultats numeriques pour le filtre nonlineaire accorde de maniere optimale avec Xb = 10−3, (×) pour Xb = 10−2, (4) pour Xb = 10−1.

interessant de cette etude : la methodologie de reglage du filtre non lineaire decrite dans leTableau 6.1 est egalement robuste a la desynchronisation.

6.5.3 Comparaison avec des implantations pratiques du filtre adapte

Nous considerons a nouveau les conditions ideales pour lesquelles le filtre adapte est le filtreoptimal. Le filtre adapte optimal a une reponse impulsionnelle h(t) = A × Γ(t) qui est uneimpulsion rectangulaire de duree Tp et d’amplitude A. En pratique, une telle reponse rectan-gulaire ne peut pas physiquement etre parfaitement realisee avec un filtre analogique traitantles donnees en continu dans le temps comme le filtre non lineaire de l’Eq. (6.1). Pratiquement,une implantation analogique du filtre adapte, par exemple au moyen d’un circuit electronique,sera realisee avec un filtre analogique lineaire d’ordre fini ; c’est seulement lorsque l’ordre dece filtre tendra vers l’infini que la reponse impulsionnelle de forme rectangulaire sera atteinte.Pour une implantation physique, l’ordre d’un filtre doit reste fini, et meme petit pour des raisonspratiques et de simplicite de l’electronique associee a la realisation du circuit.

En general, la relation entree–sortie d’un filtre lineaire analogique est de la forme

andny′′(t)

dtn+ an−1

dn−1y′′(t)dtn−1

+ · · ·+ a0y′′(t) = bm

dmu(t)dtm

+ bm−1dm−1u(t)

dtm−1+ · · ·+ b0u(t) , (6.12)

ou y′′(t) est le signal en sortie du filtre et u(t) celui en entree ; (an, an−1, . . . , a0) et (bm, bm−1, . . . , b0)sont les parametres du filtre analogique ; n fixe l’ordre du filtre, m donne le nombre de zerodans la fonction de transfert du filtre. Les parametres (an, an−1, . . . , a0) et (bm, bm−1, . . . , b0)du filtre analogique doivent etre ajustes de telle sorte que la reponse impulsionnelle de ce filtreanalogique h′′(t) soit la plus proche possible de celle du filtre adapte h(t). Ainsi, les parametresdu filtre analogique (an, an−1, . . . , a0) et (bm, bm−1, . . . , b0) sont obtenus en minimisant l’integralesuivante,

[(an, an−1, . . . , a0), (bm, bm−1, . . . , b0)] = arg (ai, bj)min

[∫ +∞

0(h(t)− h′′(ai,bj)

(t))2dt

]. (6.13)

Afin d’evaluer les performances du filtre non lineaire dans un contexte bien defini, nouschoisissons d’approcher le filtre adapte avec les filtres analogiques les plus simples ; nous con-siderons les filtres d’ordre n = 1 et n = 2 sans zero dans la fonction de transfert (m = 0). En


Parametres des filtres analogiques filtre du premier ordre filtre du second ordreCoefficients ai (a1 = 0.5207; a0 = 1) (a2 = 0.0977; a1 = 0.4858; a0 = 1)Coefficients bj b0 = 0.7945 b0 = 0.8253

Tableau 6.3 Approximation du filtre adapte par des filtres du premier et second ordre sanszero. Les resultats sont obtenus en realisant la minimisation de l’Eq. (6.13).

plus d’etre les filtres analogiques les plus simples que l’on puisse implementer, leurs reponsesimpulsionnelles presentent l’avantage d’etre completement et exactement exprimables (voir [62]par exemple). Les resultats de la minimisation de l’Eq. (6.13) sont presentes dans le Tableau 6.3et les reponses impulsionnelles correspondantes sont representees sur la Fig. 6.6. Nous observonssur la Fig. 6.6 comment les reponses impulsionnelles des filtres du premier et de second ordreapprochent la reponse impulsionnelle du filtre adapte ideal.

Figure 6.6 : Reponse impulsionnelle h′′(t) de la meilleure approximation du filtre adapte parun filtre lineaire du premier et du second ordre sans zero. La ligne continue represente la reponseimpulsionnelle du filtre adapte ideal, les points le filtre du premier ordre, les tirets le filtre dusecond ordre. Tp et A sont tous les deux pris egaux a l’unite.

Il n’est pas necessaire de recourir a des approximations pour implementer physiquement, aumoyen de composants electroniques, un filtre analogique ayant exactement le comportement dufiltre non lineaire decrit par l’Eq. (6.1). La Fig. 6.7 donne un schema de circuit par blocs realisantla dynamique de l’Eq. (6.1) avec de composants simples de type amplificateurs, multiplieurs,sommateur, integrateur (voir [37] pour plus de details sur le choix des composants). Il s’agit lad’une superiorite du filtre non lineaire bistable en comparaison avec le filtre adapte dont la formeoptimale ne peut etre implementee exactement de maniere analogique. Observons a present sicette superiorite du filtre non lineaire bistable se traduit egalement au niveau des performances.

Dans le Tableau 6.4, nous comparons la performance du filtre non lineaire accorde opti-malement (ce sont les memes valeurs que celles precedemment donnees dans le Tableau 6.2)avec celles des versions approximees du filtre adapte decrites par les Eqs. (6.12) et (6.13). Ilapparaıt, comme on peut s’y attendre, que les performances des implantations du premier etsecond ordre du filtre adapte sont moins bonnes que celles de la version ideale du filtre adapte.Le filtre du premier ordre presente, quant a lui, une probabilite d’erreur plus grande que celleassociee au filtre du second ordre (comme on peut egalement s’y attendre). Le filtre non lineaire

6.6. Discussion 91

Figure 6.7 : Schema de principe du circuit permettant l’implantation d’un filtre analogiquedu filtre non lineaire de l’Eq. (6.1).

Densite de puissance du bruit 0.0275 0.0524 0.304Filtre adapte ideal 1× 10−5 1.0× 10−3 1.00× 10−1

Filtre du premier ordre 45× 10−5 5.9× 10−3 1.13× 10−1

Filtre du second ordre 6× 10−5 2.6× 10−3 1.11× 10−1

Filtre non lineaire 20× 10−5 5.0× 10−3 1.13× 10−1

Tableau 6.4 Comparaison de la probabilite d’erreur Per du filtre non lineaire accorde de faconoptimale avec des version approchees du filtre adapte ideal.

s’avere moins efficace que le filtre du second ordre, en revanche, il se revele meilleur que le filtredu premier ordre. Il s’agit la d’un nouveau resultat interessant de cette etude. Un systemedynamique bistable utilise comme filtre non lineaire dans un processus de detection peut donnerde meilleurs resultats qu’une implantation du premier ordre du filtre optimal.

Enfin, la Fig. 6.8 montre, en presence de desynchronisation, l’evolution des performances dufiltre non lineaire accorde de facon optimale et celles des differentes versions du filtre que nousavons testees. Deux proprietes importantes sont visibles sur la Fig. 6.8. Premierement, bien quele filtre adapte ideal soit le plus efficace dans ses conditions nominales strictes, il n’est pas tresrobuste en presence de desynchronisation. Progressivement, le filtre lineaire du second ordre etensuite le filtre non lineaire, rattrapent et depassent les performances du filtre adapte ideal amesure que la desynchronisation croıt. Deuxiemement, aux larges niveaux de desynchronisation,autour de 20% et plus, le filtre non lineaire accorde de facon optimale s’avere etre le filtre quiassure la meilleure performance. La Fig. 6.8 permet d’illustrer le message global de ce chapitre :les filtres optimaux ideaux sont utiles dans le cadre de leurs conditions nominales d’optimalite,mais ils ne sont pas forcement tres robustes lorsque des ecarts a ces conditions nominales seproduisent ; d’autres filtres, comme le filtre non lineaire bistable, — bien que sous-optimaux —peuvent s’averer plus robustes et etre capables de maintenir de meilleures performances en dehorsde leurs conditions nominales de fonctionnement.

6.6 Discussion

Nous avons demontre qu’un systeme dynamique bistable utilise comme filtre non lineairepouvait se montrer plus robuste que le filtre optimal, le filtre adapte, pour la detection de symbo-les binaires noyes dans du bruit. La detection de symboles binaires constitue la problematique


0 5 10 15 20 25 3010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

A


prob

abili

té d

’err

eur

0 5 10 15 20 25 3010

−3

10−2

10−1

100

B


prob

abili

té d

’err

eur

0 5 10 15 20 25 300.1

0.15

0.2

0.25

0.3

C


prob

abili

té d

’err

eur

Figure 6.8 : Meme figure que la Fig. 6.5 avec les implantations analogiques du filtre adaptedu premier ordre (ligne en tirets) et du second ordre (points)

de traitement du signal rencontree dans tous les standards de telecommunications numeriquesactuels (par exemple le General Positionning System ou encore l’Universal Mobile Telecommu-nication System). A la vue des avantages que nous venons de degager du filtre non lineaire parrapport au filtre lineaire, on est en droit de se demander si le filtre non lineaire considere serait unoutil competitif dans le contexte de telecommunications numeriques. La desynchronisation dudetecteur et du flot de symboles binaires dans les standards de telecommunications numeriquesest actuellement de l’ordre de 10−5% (voir [67]) de la duree d’un symbole binaire. Nousavons trouve que le filtre non lineaire bistable peut faire mieux que le filtre adapte pour desdesynchronisations de l’ordre de 15% de la duree d’un symbole binaire ; de ce point de vue, lefiltre non lineaire bistable n’apporte pas une solution competitive aux limitations actuelles lieesa la desynchronisation des systemes de telecommunications. Par ailleurs, nous avons montreque le filtre non lineaire bistable pouvait faire mieux qu’une implantation du premier ordre dufiltre adapte. En pratique, on se limite souvent a des implantations d’ordre trois ; or, nous avonsegalement montre qu’une implantation d’ordre deux avait deja des performances meilleures quecelles du filtre non lineaire bistable. Du point de vue des difficultes d’implantation, le filtre nonlineaire bistable ne se presente pas non plus comme une alternative competitive au filtre adapte.

Au dela de la tache de detection d’un signal binaire examinee ici, bien d’autres situa-tions pourraient etre envisagees pour completer l’analyse des potentialites du filtre non lineairebistable. En particulier, d’autres situations de detection (comme celles des systemes radar ouni l’instant d’arrivee du signal ni son amplitude ne sont connus), d’autres types d’ecarts auxconditions nominales de fonctionnement (comme la fluctuation de la frequence de reception designaux binaires due a la presence d’effet Doppler), ou encore d’autres classes de representationdes signaux (comme une representation a temps discret au lieu du temps continu) pourraient etreetudies pour etendre les resultats de ce chapitre. Precisons cette derniere perspective concer-nant les classes de representation des signaux. Avec une representation a temps continu commecelle que nous avons simulee dans ce chapitre, le systeme dynamique bistable, qui opere uneforme d’integration, tend a gaussianiser tous les bruits (en raison du theoreme central limite).Dans le cadre d’une representation a temps discret, ou sur un nombre fini faible d’echantillonsle theoreme central limite n’a “pas le temps” d’operer, on pourrait caracteriser l’influence de lafonction densite de probabilite sur les performances du filtre non lineaire. Ceci est proche dela these developpee dans [117], ou un detecteur localement optimal est obtenu en appliquantle meme systeme dynamique bistable que celui utilise ici comme preprocesseur avant le filtreadapte. L’approche presentee ici est toutefois differente puisque nous considerons le systemedynamique bistable comme seul processeur. Ainsi, il serait interessant d’etudier, en temps dis-cret, le systeme dynamique bistable, seul, compare au filtre adapte dans le cadre d’une tache de

6.7. Conclusion 93

detection de symboles binaires noyes dans un bruit additif non gaussien.A un niveau plus large, l’utilite du systeme dynamique bistable pourrait etre examinee

dans le cadre d’autres problematiques de traitement du signal que la detection. Enfin, d’autresconfigurations ou associations du systeme dynamique bistable pourraient egalement mener a desprocessus interessants. Tres recemment, [11, 36] ont introduit une nouvelle famille de capteurssous le titre generique de Noise Actived Nonlinear Dynamic Sensors (litteralement CapteursDynamiques Non lineaires Actives par le Bruit) basees sur le systeme dynamique bistable. Dansces articles, un systeme dynamique bistable est excite par un signal periodique de grande ampli-tude (superieur au seuil) et du bruit. La presence d’un petit signal porteur d’information (continuou de frequence faible) est detectable par une rupture de symetrie du temps de residence dusysteme dans ses etats stables. Tout aussi recemment, [102, 103] ont montre que dans un systemedynamique bistable a deux dimensions (en l’occurence un laser bistable), la presence de deuxsources de bruit pouvait favoriser la transmission d’un signal binaire par resonance stochastiqueplus efficace qu’avec une seule source de bruit. Ces travaux peuvent presenter des configura-tions prometteuses du systeme dynamique bistable non lineaire pour la conception de nouveauxcapteurs ou de nouveaux schemas de detection. Il serait interessant d’evaluer les performancesde ces nouvelles configurations en comparaison avec des systemes existant optimaux ou autres.A ce titre, nous sommes entres en contact (lors d’un seminaire que j’ai donne au laboratoire dePhysique des Atomes, Lasers, Molecules, et Surfaces a l’Universite de Rennes 1 le 6 fevrier 2004)avec les auteurs de [102, 103] afin d’envisager la possibilite d’un travail commun visant a evaluer,avec la meme approche que celle de ce chapitre, les performances de la resonance stochastiquea deux bruits assistee par levier.

6.7 Conclusion

Nous avons considere le systeme dynamique bistable, archetype du systeme pouvant donnerlieu au phenomene de resonance stochastique. Nous avons utilise ce systeme non lineaire endehors du paradigme de la resonance stochastique. Nous n’avons pas travaille avec un systemenon lineaire fixe, excite par un petit signal d’entree (situe sous le seuil) pour observer commentun ajout de bruit peut ameliorer les performances (i.e. la resonance stochastique). A l’inverse,nous avons travaille avec un melange signal–bruit d’entree fixe et nous avons cherche a optimiserles parametres du systeme non lineaire pour obtenir la meilleure efficacite en sortie. Nous avonsenvisage le probleme de la detection d’un signal binaire degrade par un bruit blanc gaussienadditif. Nous avons expose une methodologie de reglage optimal des parametres du filtre nonlineaire bistable de facon a minimiser la probabilite d’erreur de detection. Il s’avere que le filtrenon lineaire accorde de maniere optimale travaille en dehors du domaine ou se manifeste laresonance stochastique. Lorsque le filtre non lineaire est accorde de maniere optimale, le signald’entree n’est pas situe sous le seuil et la presence du bruit n’amene aucune amelioration. Laresonance stochastique est une propriete utile des systemes non lineaires lorsque ceux-ci sont noncompletement ajustables. Ensuite, nous avons compare les performances du filtre non lineaireaccorde de facon optimale a celles du filtre adapte (le systeme optimal pour le probleme dedetection envisage ici). Bien que moins bonnes (comme nous l’attendions), les performancesdu filtre non lineaire accorde de facon optimale sont relativement proches de celles du filtreadapte, et ceci d’autant que le niveau de bruit croıt. Par la suite, nous avons etudie differentsecarts aux conditions nominales de fonctionnement du filtre adapte, plausibles en pratique,concernant la synchronisation et la finitude de l’ordre de l’implantation du filtre adapte. Dansde telles conditions degradees de fonctionnement, nous avons demontre que la performance dufiltre adapte peut etre rattrapee et meme depassee par un filtre sous-optimal comme le filtre


non lineaire bistable. Les filtres optimaux ideaux sont utiles dans leurs conditions nominalesde fonctionnement, mais ils peuvent ne pas etre tres robustes des lors que l’on s’ecarte deces conditions nominales strictes ; d’autres filtres, bien que sous-optimaux, peuvent s’avererplus robustes et presenter de meilleures performances pour une large gamme de conditions defonctionnement. C’est le cas ici pour le systeme dynamique bistable non lineaire utilise commefiltre pour un schema de detection de symboles binaires. Meme si les performances du filtre nonlineaire bistable ne sont pas suffisantes pour presenter une application directe dans le secteur destelecommunications numeriques, l’approche que nous avons exposee ici serait pertinente pourdes etudes futures. D’autres configurations du systeme dynamique bistable presentees commeprometteuses pour les sciences de l’information dans plusieurs travaux recents demandent a etreevaluees avec la methode utilisee dans ce chapitre, en comparaison avec les traitements optimauxexistants.

Chapitre 7

Conclusion

Dans ce memoire, nous avons presente notre travail dans l’etude du role benefique que peutjouer le bruit dans les processus physiques non lineaires de traitement de l’information au moyende la resonance stochastique. Notre contribution [95, 22, 93, 94, 91, 92, 90, 87, 32, 23, 88, 86, 87]s’inscrit dans la continuite des developpements de la resonance que nous avons organises autourde trois axes : les analyses fondamentales, le lien avec les processus neuronaux et la recherched’applications technologiques competitives pour les sciences et les technologies de l’informationet de la communication.

Pour les analyses fondamentales, nous avons participe a l’evolution des possibilites theoriquesdes traitements ameliores par le bruit en examinant des processus physiques non lineaires detraitement de l’information pour lesquels l’etude de la resonance stochastique n’avait pas eteentreprise jusqu’alors.

X Nous avons analyse pour la premiere fois un effet de transmission favorisee par le bruita travers des capteurs presentant des non-linearites a saturations [95]. Par cette etude, nousavons montre que la resonance stochastique ne se limite pas a des situations mettant en jeuxdes signaux trop petits pour franchir seuls une barriere de potentiel ou un seuil.

X Nous avons etudie une forme recente de la resonance stochastique dite resonance stochasti-que supraliminaire qui agit dans des reseaux de capteurs non lineaires [93, 92, 90, 87]. Dansles conditions ou la resonance stochastique supraliminaire opere, le signal utile n’a pas a etremal conditionne (subliminaire, situe sous un seuil ou dans une zone saturante) par rapport ausysteme non lineaire charge de sa transmission ou de son traitement ; l’effet benefique du bruitagit meme lorsque le signal utile est positionne de facon optimale par rapport au systeme nonlineaire.

X Nous avons montre pour la premiere fois des possibilites de traitements optimaux dontla performance s’ameliore lorsque l’on fonctionne a un niveau de bruit plus eleve que celuiinitialement present [22, 91, 23]. Ceci represente une nouvelle extension des possibilites dela resonance stochastique qui etait jusque la montree uniquement apres traversee de systemessous-optimaux.

X Nous avons evalue les proprietes du resonateur stochastique classique (un systeme dyna-mique non lineaire bistable) pour une tache de detection lorsqu’il est utilise hors du contextede la resonance stochastique, sans que l’on cherche a augmenter le niveau de bruit a son entree[32, 94]. Nous avons montre que lorsque les parametres de ce systeme dynamique bistable sontajustables, le regime choisi par le systeme se situe en dehors de celui ou opere la resonancestochastique.

96 CHAPITRE 7. CONCLUSION

Ainsi, d’un point de vue conceptuel, chacune de ces etudes represente, a son niveau, uneetape qui contribue a etendre les analyses des traitements favorises par le bruit. Chaque foisqu’une nouvelle forme de resonance stochastique est demontree dans un processus non lineaire,il est interessant d’examiner si ce phenomene peut se manifester chez les neurones biologiques.Ainsi, parallelement, nous nous sommes efforces d’envisager la pertinence de nos analyses fonda-mentales dans le domaine du traitement neuronal de l’information. Nous avons mis en evidencedes elements consistants [87] dans la transmission d’information favorisee par le bruit a tra-vers les non-linearites a saturations qui existent au niveau des neurones. Nous avons egalementdegage des perspectives en lien avec les systemes neuronaux dans nos etudes sur les reseaux denon-linearites ou dans celles sur les bruits de phase.

En ce qui concerne la recherche d’applications technologiques competitives, nous noussommes concentres, dans ce document, sur des problematiques de traitement du signal (detectionet estimation) et sur le domaine des capteurs. La plupart des dispositifs technologiques actuelle-ment utilises pour l’acquisition et le traitement du signal sont concus de facon a montrer uncomportement essentiellement lineaire. Dans ce contexte lineaire, la resonance stochastiquene peut se manifester. Pour aller au dela de cet etat de fait, nous avons adopte differentesstrategies. Nous nous sommes interesses a des dispositifs technologiques actuels qui presententdes non-linearites subies. Mais nous avons aussi evalue, pour du traitement de l’information, lespotentialites de processus deliberement non lineaires affichant des non-linearites choisies volon-tairement.

X Nous avons considere des ecarts a la linearite que l’on rencontre souvent en pratique : lasaturation des capteurs aux grandes amplitudes d’excitation. Nous avons montre qu’en cas desaturations, il peut etre interessant d’ajouter du bruit pour etendre la dynamique des capteurset leur permettre de transmettre de l’information au dela de leur etendue de mesure lineaire.

X Nous avons egalement considere une etape intrinsequement non lineaire du traitementde l’information : la quantification des signaux analogiques. Nous avons trouve une nouvellemethode de quantification qui utilise un reseau de comparateurs comme dans les convertisseursanalogique–numerique de type flash. Au lieu de distribuer les seuils des comparateurs de maniereuniforme, on fixe tous les seuils a la valeur moyenne du signal a quantifier. Un ajout de bruitau niveau des seuils donne lieu a un effet de resonance stochastique supraliminaire. Cet effetpermet une augmentation de la dynamique en sortie par rapport aux techniques classiques.

X Nous avons examine un couplage signal–bruit non lineaire avec les bruits de phase. Nousavons montre la possibilite en presence de bruit de phase d’obtenir des traitements optimauxdont la performance s’ameliore lorsque le traitement opere a des niveaux de bruit plus eleves,pour certaines gammes de niveaux de bruit. Les bruits de phase sont presents dans de nombreuxdispositifs physiques (oscillateurs, boucles a verrouillage de phase, imagerie coherente) ou l’effetde resonance stochastique pourrait trouver des applications par essence competitives puisqu’ils’agit d’ameliorer les performances d’un traitement optimal.

X L’optimalite n’est pas la seule qualite a prendre en compte pour evaluer la performanced’un traitement. Les traitements optimaux sont utiles dans leurs conditions nominales de fonc-tionnement, mais ils peuvent ne pas etre tres robustes des lors que l’on s’ecarte de ces condi-tions nominales strictes. Nous avons cherche a evaluer les performances du systeme dynamiquebistable utilise comme filtre non lineaire pour une tache de detection en le comparant avec lefiltre lineaire optimal habituellement utilise. Nous avons etudie differents ecarts aux conditionsnominales de fonctionnement du filtre adapte. Dans de telles conditions degradees de fonction-

97

nement, nous avons demontre que la performance du filtre lineaire optimal peut etre rattrapeeet meme depassee par celle d’un filtre sous-optimal comme le filtre non lineaire bistable.

Les poursuites de ce travail peuvent prendre plusieurs orientations. Nous avons detailledans chaque chapitre un certain nombre de travaux futurs a entreprendre pour developper plusavant les resultats etablis dans ce memoire. Ainsi, a court terme nous pouvons envisager decompleter les etudes presentees ici. A ce titre, c’est sans doute le chapitre sur les reseauxde non-linearites qui ouvre le plus de perspectives. Nous avons decrit une nouvelle strategiede quantification sans limite de gamme d’entree que nous pourrons chercher a valider en al-lant jusqu’a une implementation electronique d’un tel convertisseur analogique–numerique. Parailleurs, nous avons montre qu’il etait possible d’amplifier le rapport signal sur bruit au moyend’un effet de resonance stochastique dans un reseau de comparateurs. Nous allons chercher atirer profit de ces gains en rapport signal sur bruit pour des taches de detection ou d’estimation.Enfin, nous avons montre des liens entre l’effet de resonance stochastique supraliminaire dansles reseaux de non-linearites et les strategies de transmission de l’information par les reseaux deneurones. Nous allons chercher a developper les etudes en ce sens en enrichissant les modeles denon-linearites et de couplage signal–bruit consideres.

A plus long terme, nous envisageons de poursuivre nos recherches sur le traitement nonlineaire du signal en conservant notre approche pluridisciplinaire a l’interface entre la physiquenon lineaire, les neurones et les STIC. En ce qui concerne le seul effet de resonance stochastique, ils’agit d’un paradigme non lineaire general qui peut etre vu comme une illustration precise, quan-tifiee et formalisee de la possibilite qu’ont les processus complexes (ici non lineaires), d’extraire del’ordre hors du desordre. Neanmoins, l’etude de la resonance stochastique demeure un domaineen emergence qui necessite encore des analyses fondamentales avant de pouvoir cerner l’ensemblede son champ d’action. Des liens restent par exemple a etablir avec certains domaines de laphysique non lineaire (les transitions de phase) et du traitement du signal (le recuit simule) oule bruit joue un role utile. En outre, la resonance stochastique nous aiguille vers les processusnon lineaires pour le traitement de l’information1. L’analyse des potentialites de ces proces-sus non lineaires, d’inspiration neuronale ou non, impliquant la resonance stochastique ou non,est une problematique qui demeure largement ouverte pour des travaux futurs. Ces travauxpourraient deboucher sur des processus technologiques de nouvelle generation : neuro-inspiresou nano-inspires. A l’echelle nanoscopique :

X les processus physiques suivent un comportement proche du comportement quantiquequi implique des non-linearites (barrieres de potentiel, seuil, saturations) plutot que des com-portements lineaires ;

X les variables sont soumises a une agitation thermique incessante.

Dans de tels environnement, il se peut (par exemple avec les ratchets [1, 2]) que l’onrencontre a nouveau le paradigme de la resonance stochastique ou l’on retire de l’ordre a partirdu desordre.

1Dans ce sens, nous avons entame une collaboration avec l’Indian Institute of Science de Bangalore (Inde)sur l’utilisation d’operateurs non lineaires en vue d’ameliorer les techniques actuelles de localisation de sourcessonores en acoustique sous-marine.

98 CHAPITRE 7. CONCLUSION

Publications et communications2 dans le cadre de la these

Articles :X [22] F. Chapeau-Blondeau, D. Rousseau ;“Noise improvements in stochastic resonance: From signalamplification to optimal detection” ; Fluctuation and Noise Letters 2, L221-L233 (2002).X [95] D. Rousseau, J. Rojas Varela, F. Chapeau-Blondeau ; “Stochastic resonance for nonlinear sensorswith saturation”; Physical Review E 67, 021102,1-6 (2003).X [93] D. Rousseau, F. Duan, F. Chapeau-Blondeau ; “Suprathreshold stochastic resonance and noise-enhanced Fisher information in arrays of threshold devices”; Physical Review E 68, 031107,1-10 (2003).X [23] F. Chapeau-Blondeau, D. Rousseau ; “Noise enhanced performance for an optimal bayesianestimator”; IEEE Transactions on Signal Processing, 52, 1327-1334 (2004).X [32] F. Duan, D. Rousseau, F. Chapeau-Blondeau; “Residual aperiodic stochastic resonance in abistable dynamic system transmitting a suprathreshold binary signal”; Physical Review E 69, 011109,1-10 (2004).X [92] D. Rousseau, F. Chapeau-Blondeau ; “Suprathreshold stochastic resonance and signal-to-noiseratio improvement in arrays of comparators”; Physics Letters A 321, 280-290 (2004).X [89] D. Rousseau, F. Chapeau-Blondeau ; “Signal transduction aided by noise at threshold and satu-ration”; Neural Processing Letters, accepte pour publication (2004).X [94] D. Rousseau, J. Rojas Varela, F. Duan, F. Chapeau-Blondeau; “Evaluation of a nonlinear bistablefilter for binary signal detection”; International Journal of Bifurcation and Chaos, accepte pour publica-tion (2004).

Congres avec actes et comite de lecture :X [86] D. Rousseau, G. V. Anand, F. Chapeau-Blondeau ; “Nonlinear estimation from quantized signals:quantizer optimization and stochastic resonance”; pp 89-92. Actes du 3eme International Symposium onPhysics in Signal and Image Processing, Grenoble, France, 29-31 Jan. 2003.X [88] D. Rousseau, F. Chapeau-Blondeau ; “Resonance stochastique et performance amelioree par lebruit pour un estimateur optimal” ; pp 50-54. Actes du 19eme Colloque GRETSI sur le Traitement duSignal et des Images, Paris, France, 8-11 Sept. 2003.X [87] D. Rousseau, F. Chapeau-Blondeau ; “Various forms of improvement by noise in nonlinear system”; accepte, International Symposium on Complex Systems Intelligence and Modern Technology Applica-tions, Cherbourg, France, 19-22 Sept. 2004.

Conferences, ecoles thematiques :X D. Rousseau, F. Chapeau-Blondeau ; “Getting benefits from noise in signal processing: stochasticresonance”; poster, summer school Physics-Signal-Physics : on the link between nonlinear physics andinformation sciences, les Houches, France, 8-13 Sept. 2002.X D. Rousseau, F. Chapeau-Blondeau ; “Mecanismes d’amelioration du traitement de l’information parle bruit dans des systemes non lineaires” ; poster, ecole thematique d’ete du CNRS et de la SFO : imagerieet information, les Houches , France, 31 Mai - 4 Juin 2004.X D. Rousseau, F. Chapeau-Blondeau ; “Traitement de l’information favorise par le bruit dans des cap-teurs et reseaux de capteurs non lineaires” ; poster, 8eme Entretiens Physique et Industrie, Paris, France,17 Juin 2004.

Seminaires :X Au Laboratoire d’Ingenierie des Systemes Automatises de l’Universite d’Angers CNRS FRE 2656 ;“Introduction a la theorie de l’information”, le 23 avril 2002.X Au Laboratoire d’Acoustique de l’Universite du Maine CNRS UMR 6613; “Introduction a la resonancestochastique, applications potentielles en acoustique”, le 10 juin 2003.X Au Laboratoire d’Ingenierie des Systemes Automatises de l’Universite d’Angers CNRS FRE 2656 ;“Panorama et avancees recentes sur la resonance stochastique”, le 8 juillet 2003.X Au Laboratoire de Physique des Atomes, Lasers, Molecules et Surfaces de l’Universite du RennesCNRS UMR 6627; “Resonance stochastique, nouvelles avancees en optiques”, le 6 fevrier 2004.

2Ne sont mentionnees dans cette page que les publications et communications parues ou acceptees a la fin dumois de juin 2004

Bibliographie

[1] A. Allison et D. Abbott : Stochastic resonance in a brownian ratchet. Fluctuation andNoise Letters, 1:L239–244, 2001.

[2] A. Allison et D. Abbott : A MEMS brownian ratchet. Microelectronics Journal,33:235–243, 2002.

[3] V. C. Anderson : Digital array phasing. Journal of the Acoustical Society of America,32:867–870, 1960.

[4] V. S. Anishchenko, M. A. Safonova et L. O. Chua : Stochastic resonance in Chua’scircuit driven by amplitude or frequency modulated signals. International Journal ofBifurcation and Chaos, 4:441–446, 1994.

[5] G. Asch et Collaborateurs : Acquisition de Donnees : du Capteur a l’Ordinateur.Dunod, Paris, 1999.

[6] G. Asch et Collaborateurs : Les Capteurs en Instrumentation Industrielle. Dunod,Paris, 1999.

[7] A. J. Bard et L. R. Faulkner : Electrochimie : Principes, Methodes et Applications.Masson, Paris, 1983.

[8] R. Benzi, A. Sutera et A. Vulpiani : The mechanism of stochastic resonance. Journalof Physics A, 14:L453–L458, 1981.

[9] A. Bulsara, E. W. Jacobs, T. Zhou, F. Moss et L. Kiss : Stochastic resonance ina single neuron model: Theory and analog simulation. Journal of Theoretical Biology,152:531–555, 1991.

[10] A. R. Bulsara, S. B. Lowen et C. D. Rees : Cooperative behavior in the periodicallymodulated Wiener process: Noise-induced complexity in a model neuron. Physical ReviewE, 49:4989–5000, 1994.

[11] A. R. Bulsara, C. Seberino, L. Gammaitoni, M. F. Karlsson, B. Lundqvist etJ. W. C Robinson : Signal detection via residence time asymmetry in noisy bistabledevices. Physical Review E, 67, 016120:1–21, 2003.

[12] F. Chapeau-Blondeau : Input–output gains for signal in noise in stochastic resonance.Physics Letters A, 232:41–48, 1997.

[13] F. Chapeau-Blondeau : Noise-enhanced capacity via stochastic resonance in an asym-metric binary channel. Physical Review E, 55:2016–2019, 1997.

100 BIBLIOGRAPHIE

[14] F. Chapeau-Blondeau : Noise-assisted propagation over a nonlinear line of thresholdelements. Electronics Letters, 35:1055–1056, 1999.

[15] F. Chapeau-Blondeau : Stochastic resonance and optimal detection of pulse trains bythreshold devices. Digital Signal Processing, 9:162–177, 1999.

[16] F. Chapeau-Blondeau : Stochastic resonance for an optimal detector with phase noise.Signal Processing, 83:665–670, 2003.

[17] F. Chapeau-Blondeau et X. Godivier : Theory of stochastic resonance in signaltransmission by static nonlinear systems. Physical Review E, 55:1478–1495, 1997.

[18] F. Chapeau-Blondeau, X. Godivier et N. Chambet : Stochastic resonance in aneuron model that transmits spike trains. Physical Review E, 53:1273–1275, 1996.

[19] F. Chapeau-Blondeau et J. Rojas-Varela : Nonlinear signal propagation enhanced bynoise via stochastic resonance. International Journal of Bifurcation and Chaos, 10:1951–1959, 2000.

[20] F. Chapeau-Blondeau et J. Rojas Varela : Estimation and Fisher information en-hancement via noise addition with nonlinear sensors. In Proceedings 2nd InternationalSymposium on Physics in Signal and Image Processing, pages 47–50, Marseille, France,2001.

[21] F. Chapeau-Blondeau et D. Rousseau : Noise improvements in stochastic resonance:From signal amplification to optimal detection. Fluctuation and Noise Letters, 2:221–233,2002.

[22] F. Chapeau-Blondeau et D. Rousseau : Noise improvements in stochastic resonance:From signal amplification to optimal detection. Fluctuation and Noise Letters, 2:L221–L233, 2002.

[23] F. Chapeau-Blondeau et D. Rousseau : Noise enhanced performance for an optimalbayesian estimator. IEEE Transactions on Signal Processing, 52:1327–1334, 2004.

[24] M. Chatterjee et M. E. Robert : Noise enhances modulation sensitivity in cochlearimplant listeners: Stochastic resonance in a prosthetic sensory system ? Journal of theAssociation for Research in Otolaryngology, 2:159–171, 2001.

[25] J. J. Collins, C. C. Chow, A. C. Capela et T. T. Imhoff : Aperiodic stochasticresonance. Physical Review E, 54:5575–5584, 1996.

[26] J. J. Collins, C. C. Chow et T. T. Imhoff : Aperiodic stochastic resonance in excitablesystems. Physical Review E, 52:R3321–R3324, 1995.

[27] J. J. Collins, C. C. Chow et T. T. Imhoff : Stochastic resonance without tuning.Nature, 376:236–238, 1995.

[28] J. J. Collins, T. T. Imhoff et P. Grigg : Noise-enhanced information transmissionin rat SA1 cutaneous mechanoreceptors via aperiodic stochastic resonance. Journal ofNeurophysiology, 76:642–645, 1996.

[29] J. J. Collins, T. T. Imhoff et P. Grigg : Noise-mediated enhancements and decrementsin human tactime sensation. Physical Review E, 56:923–926, 1997.

BIBLIOGRAPHIE 101

[30] T. M. Cover et J. A. Thomas : Elements of Information Theory. Wiley, New York,1991.

[31] J. K. Douglass, L. Wilkens, E. Pantazelou et F. Moss : Noise enhancement ofinformation transfer in crayfish mechanoreceptors by stochastic resonance. Nature, 365:337–340, 1993.

[32] F. Duan, D. Rousseau et F. Chapeau-Blondeau : Residual aperiodic stochasticresonance in a bistable transmitting a suprathreshold binary signal. Physical Review E,69, 011109:1–10, 2004.

[33] F. Duan et B. Xu : Parameter-induced stochastic resonance and baseband binary signaltransmission over an awgn channel. International Journal of Bifurcation and Chaos, 13(2):411–425, 2003.

[34] M. I. Dykman et P. V. E. McClintock : What stochastic resonance can do. Nature,391:344, 1998.

[35] V. Galdi, V. Pierro et I. M. Pinto : Evaluation of stochastic-resonance-based detectorsof weak harmonic signals in additive white Gaussian noise. Physical Review E, 57:6470–6479, 1998.

[36] L. Gammaitoni et A. R. Bulsara : Noise activated nonlinear dynamic sensors. PhysicalReview Letters, 88:230601, 2002.

[37] L. Gammaitoni, P. Hanggi, P. Jung et F. Marchesoni : Stochastic resonance. Reviewsof Modern Physics, 70:223–287, 1998.

[38] L. Gammaitoni, F. Marchesoni, E. Menichella-Saetta et S. Santucci : Stochasticresonance in bistable systems. Physical Review Letters, 62:349–352, 1989.

[39] L. Gammaitoni, F. Marchesoni, E. Menichella-Saetta et S. Santucci : Multi-plicative stochastic resonance. Physical Review E, 49:4878–4881, 1994.

[40] C. W. Gardiner : Handbook of Stochastic Methods. Springer, Berlin, 1985.

[41] Z. Gingl, R. Vajtai et L. B. Kiss : Non-dynamical stochastic resonance: Theory andexperiments with white and arbitrarily coloured noise. Chaos, Solitons & Fractals, 11:1929–1932, 2000.

[42] M. Girard : Boucles a Verrouillage de Phase. Mc Graw-Hill, New-York, 1998.

[43] X. Godivier : La resonance stochastique dans la transmission non lineaire du signal.These de Doctorat de l’Universite d’Angers, 1997.

[44] X. Godivier et F. Chapeau-Blondeau : Noise-enhanced transmission of spike trainsin the neuron. Europhysics Letters, 35:473–477, 1996.

[45] X. Godivier et F. Chapeau-Blondeau : Stochastic resonance in the information ca-pacity of a nonlinear dynamic system. International Journal of Bifurcation and Chaos,8:581–590, 1998.

[46] G. P. Harmer, B. R. Davis et D. Abbott : A review of stochastic resonance: Circuitsand measurement. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 51:299–309,2002.

102 BIBLIOGRAPHIE

[47] M. Hastler : Engineering chaos for encryption and broadband communication. Philo-sophical Transactions of the Royal Society of London,series A, 353:115–126, 1995.

[48] T. Hoch, G. Wenning et K. Obermayer : Optimal noise-aided signal transmissionthrough population of neurons. Physical Review E, 68, 011911:1–11, 2004.

[49] M. E. Inchiosa et A. R. Bulsara : Signal detection statistics of stochastic resonators.Physical Review E, 53:R2021–R2024, 1996.

[50] M. E. Inchiosa, J. W. C. Robinson et A. R. Bulsara : Information-theoretic stochasticresonance in noise-floor limited systems: The case of adding noise. Physical Review Letters,85:3369–3372, 2000.

[51] P. Jung et P. Hanggi : Amplification of small signal via stochastic resonance. PhysicalReview A, 44:8032–8042, 1991.

[52] S. Kay : Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. Prentice Hall,Englewood Cliffs, 1993.

[53] S. Kay : Fundamentals of Statistical Signal Processing: Detection Theory. Prentice Hall,Englewood Cliffs, 1998.

[54] S. Kay : Can detectability be improved by adding noise ? IEEE Signal Processing Letters,7:8–10, 2000.

[55] H. Khalil : Nonlinear Systems. Macmillan Press, New York, 1992.

[56] Y. Kivshar et G. Agrawal : Optical Solitons. Academic Press, New York, 2003.

[57] C. Koch : Biophysics of Computation. Oxford University Press, New York, 1999.

[58] B. Kosko et S. Mitaim : Robust stochastic resonance: Signal detection and adaptationin impulsive noise. Physical Review E, 64:051110,1–11, 2001.

[59] I. Y. Lee, X. Liu, B. Kosko et C. Zhou : Nanosignal processing: Stochastic resonancein carbon nanotubes that detect subthreshold signals. Nano Letters, 3:1683–1686, 2003.

[60] S. G. Lee et S. Kim : Parameter dependence of stochastic resonance in the stochasticHodgkin-Huxley neuron. Physical Review E, 60:826–830, 1999.

[61] J. E. Levin et J. P. Miller : Broadband neural encoding in the cricket cercal sensorysystem enhanced by stochastic resonance. Nature, 380:165–168, 1996.

[62] W. S. Levine : The Control Handbook. CRC Press, Boca Raton, 1996.

[63] K. Loerincz, Z. Gingl et L. B. Kiss : A stochastic resonator is able to greatly improvesignal-to-noise ratio. Physics Letters A, 224:63–67, 1996.

[64] A. Longtin : Stochastic resonance in neuron models. Journal of Statistical Physics,70:309–327, 1993.

[65] D. G. Luchinsky, R. Mannella, P. V. E. McClintock et N. G. Stocks : Stochasticresonance in electrical circuits – I: Conventional stochastic resonance. IEEE Transactionson Circuits and Systems – II: Analog and Digital Signal Processing, 46:1205–1214, 1999.

BIBLIOGRAPHIE 103

[66] D. G. Luchinsky, R. Mannella, P. V. E. McClintock et N. G. Stocks : Stochasticresonance in electrical circuits – II: Nonconventional stochastic resonance. IEEE Transac-tions on Circuits and Systems – II: Analog and Digital Signal Processing, 46:1215–1224,1999.

[67] T. Lucidarme : Principes de Radiocommunication de Troisieme Generation. Eyrolles,Paris, 2002.

[68] V. K. Madisetti et D. B. Williams : The Digital Signal Processing Handbook. CRCPress, Boca Raton, 1999.

[69] A. Marion : Acquisition et Visualisation des Images. Eyrolles, Paris, 1997.

[70] M. D. McDonnell et D. Abbott : Open questions for suprathreshold stochastic res-onance in sensory neural models for motion detection using artificial insect vision. AIPConference Proceedings, 665:L51–L58, 2003.

[71] M. D. McDonnell, D. Abbott et C. E. M. Pearce : An analysis of noise enhancedinformation transmission in an array of comparators. Microelectronics Journal, 33:1079–1089, 2002.

[72] M. D. McDonnell, D. Abbott et C. E. M. Pearce : A characterization of suprathresh-old stochastic resonance in an array of comparators by correlation coefficient. Fluctuationand Noise Letters, 2:L205–L220, 2002.

[73] R. N. McDonough et A. D. Whalen : Detection of Signals in Noise. Academic Press,New York, 1995.

[74] B. McNamara et K. Wiesenfeld : Theory of stochastic resonance. Physical Review A,39:4854–4869, 1989.

[75] S. Mitaim et B. Kosko : Adaptive stochastic resonance. Proceedings of the IEEE,86:2152–2183, 1998.

[76] S. Morfu, J. M. Bilbault et J. C. Comte : Noise-enhanced propagation in a dissipativechain of triggers. International Journal of Bifurcation and Chaos, 12:1–5, 2002.

[77] S. Morfu, J. M. Bilbault et J. C. Comte : Digital information receiver based onstochastic resonance. International Journal of Bifurcation and Chaos, 13:233–236, 2003.

[78] R. P. Morse et P. Roper : Enhanced coding in a cochlear-implant model using additivenoise: Aperiodic stochastic resonance with tuning. Physical Review E, 61:5683–5692, 2000.

[79] F. Moss : Stochastic resonance: From the ice ages to the monkey’s ear. In G. H.Weiss, editeur : Contemporary Problems in Statistical Physics, pages 205–253. SIAM,Philadelphia, 1994.

[80] F. Moss, L. M. Ward et W. G. Sannita : Stochastic resonance and sensory informationprocessing: a tutorial and review of application. Clinical Neurophysiology, 115(2):267–281,2004.

[81] A. Neiman, A. Silchenko, V. Anishchenko, W. Ebeling et L. Schimansky-Geier :Stochastic resonance: Noise-enhanced phase coherence. Physical Review E, 58:7118–7125,1998.

104 BIBLIOGRAPHIE

[82] E. Pantazelou, C. Dames, F. Moss, J. Douglass et L. Wilkens : Temperature depen-dence and the role of internal noise in signal transduction efficiency of crayfish mechanore-ceptors. International Journal of Bifurcation and Chaos, 5:101–108, 1995.

[83] D. Placko : De la Physique du Capteur au Signal Electrique. Hermes, Paris, 2000.

[84] P. Refregier : Theorie du Signal, Signal-Information-Fluctuations. Masson, Paris, 1993.

[85] P. Refregier : Theorie du Bruit et Applications en Physique. Hermes, Paris, 2002.

[86] D. Rousseau, G. V. Anand et F. Chapeau-Blondeau : Nonlinear estimation fromquantized signals: Quantizer optimization and stochastic resonance. In Proceedings 3rdInternational Symposium on Physics in Signal and Image Processing, pages 89–92, Greno-ble, France, 28–31 Jan. 2003.

[87] D. Rousseau et F. Chapeau-Blondeau : Various forms of improvement by noise innonlinear system. In Proceedings Complex Systems Intelligence and Modern TechnologyApplication, page (accepted), Cherbourg, France, 19–22 Sept. 2004.

[88] D. Rousseau et F. Chapeau-Blondeau : Resonance stochastique et performanceamelioree par le bruit pour un estimateur optimal. In Proceedings 19e Colloque GRETSIsur le Traitement du Signal et des Images, pages 50–54 vol 3, Paris, France, 2003.

[89] D. Rousseau et F. Chapeau-Blondeau : Neuronal signal transduction aided by noiseat threshold and saturation. Neural Processing Letters, accepted, 2004.

[90] D. Rousseau et F. Chapeau-Blondeau : Noise-improved detection via suprathresholdstochastic resonance in arrays of quantizers. Signal Processing, submitted, 2004.

[91] D. Rousseau et F. Chapeau-Blondeau : Stochastic resonance and improvement bynoise in optimal detection strategies. Digital Signal Processing, submitted, 2004.

[92] D. Rousseau et F. Chapeau-Blondeau : Suprathreshold stochastic resonance andsignal-to-noise ratio improvement in arrays of comparators. Physics Letters A, 321:280–290, 2004.

[93] D. Rousseau, F. Duan et F. Chapeau-Blondeau : Suprathreshold stochastic resonanceand noise-enhanced Fisher information in arrays of threshold devices. Physical Review E,68:031107,1–10, 2003.

[94] D. Rousseau, F. Duan, J. Rojas Varela et F. Chapeau-Blondeau : Evaluation ofa nonlinear bistable filter for binary detection. International Journal of Bifurcation andChaos, accepted, 2004.

[95] D. Rousseau, J. Rojas Varela et F. Chapeau-Blondeau : Stochastic resonance fornonlinear sensors with saturation. Physical Review E, 67:021102,1–6, 2003.

[96] R. Rozenfeld, J. A. Freund, A. Neiman et L. Schimansky-Geier : Noise inducedphase synchronization enhanced by dichotomic noise. Physical Review E, 64:051107,1–7,2001.

[97] R. Rozenfeld, A. Neiman et L. Schimansky-Geier : Stochastic resonance enhancedby dichotomic noise in a bistable system. Physical Review E, 62:R3031–R3034, 2000.

BIBLIOGRAPHIE 105

[98] A. Saha et G. V. Anand : Design of detectors based on stochastic resonance. SignalProcessing, 83:1193–1212, 2003.

[99] F. Sanchez : Optique Non-Lineaire. Ellipse, Paris, 1999.

[100] L. Schuchman : Dither signals and their effects on quantization noise. IEEE Transactionson Communication Technologies, COM-12:162–165, 1964.

[101] E. Simonotto, M. Riani, C. Seife, M. Roberts, J. Twitty et F. Moss : Visualperception of stochastic resonance. Physical Review Letters, 78:1186–1189, 1997.

[102] K. P. Singh, G. Ropars, M. Brunel et A. Le Floch : Stochastic resonance in anoptical two-order parameter vectorial system. Physical Review Letters, 87:213901, 2001.

[103] K. P. Singh, G. Ropars, M. Brunel et A. Le Floch : Lever-assisted two-noise sto-chastic resonance. Physical Review Letters, 90:073901, 2003.

[104] N. G. Stocks : Suprathreshold stochastic resonance in multilevel threshold systems.Physical Review Letters, 84:2310–2313, 2000.

[105] N. G. Stocks : Information transmission in parallel threshold arrays: Suprathresholdstochastic resonance. Physical Review E, 63:041114,1–9, 2001.

[106] N. G. Stocks, D. Allingham et R. P. Morse : The application of suprathresholdstochastic resonance to cochlear implant coding. Fluctuation and Noise Letters, 2:L169–L181, 2002.

[107] N. G. Stocks et R. Mannella : Generic noise-enhanced coding in neuronal arrays.Physical Review E, 64:030902,1–4, 2001.

[108] N. G. Stocks, N. D. Stein, S. M. Soskin et P. V. E. McClintock : Zero-dispersionstochastic resonance. Journal of Physics A, 25:L1119–L1124, 1992.

[109] J. Tougaard : Signal detection theory, detectability and stochastic resonance effects.Biological Cybernetics, 87:79–90, 2002.

[110] J. Vanderkooy et S. P. Lipshitz : Resolution below the least significant bit in digitalsystems with dither. Journal of the Audio Engineering Society, 32:106–113 (correctionp. 889), 1984.

[111] R. A. Wannamaker, S. P. Lipshitz et J. Vanderkooy : Stochastic resonance asdithering. Physical Review E, 61:233–236, 2000.

[112] M. Wautelet et Collaborateurs : Les Nanotechnologies. Dunod, Paris, 2003.

[113] B. Xu, F. Duan, R. Bao et J. Li : Stochastic resonance with tuning system parameters:the application of bistable systems in signal processing. Chaos, Solitons & Fractals, 13:633–644, 2002.

[114] L. Zhangcai et Q. Youguo : Stochastic resonance driven by time-modulated neuro-transmitter random point trains. Physical Review Letters, 91:208103,1–4, 2003.

[115] S. Zozor et P. O. Amblard : On stochastic resonance-like effect in detection. InProceedings 3rd International Symposium on Fluctuations and Noise, pages 161–172, SantaFe, New Mexico, USA, 1–4 Jun. 2003.

106 BIBLIOGRAPHIE

[116] S. Zozor et P. O. Amblard : Stochastic resonance in discrete time nonlinear AR(1)models. IEEE Transactions on Signal Processing, 47:108–122, 1999.

[117] S. Zozor et P. O. Amblard : On the use of stochastic resonance in sine detection. SignalProcessing, 82:353–367, 2002.

[118] S. Zozor et P. O. Amblard : Stochastic resonance in locally optimal detectors. IEEETransactions on Signal Processing, 51:3177–3181, 2003.

contribution à l’étude du traitement de l’information dans...

Documents