"contribution à l'étude du comportement mécanique des systèmes

Université Montpellier IISciences et Techniques du Languedoc

Laboratoire de Mécanique et Génie CivilEquipe Conception en Structures

Thèse

pour obtenir le grade deDocteur de l’Université Montpellier II

Discipline : Mécanique, Génie Mécanique, Génie Civil Formation Doctorale : Mécanique des Matériaux, des Milieux Complexes, des Structures et des Systèmes Ecole Doctorale : Information Structures et Systèmes

Présentée et soutenue publiquement par

Luis Raúl SANCHEZ SANDOVAL

Le 28 janvier 2005

Titre :

Contribution à l’étudedu dimensionnement optimal

des systèmes de tenségrité

Jury

MM CROSNIERBernard Professeur Université Montpellier II Président LEBON Frédéric Professeur Université de Provence Rapporteur WIELGOSZ M. Christian Professeur Université de Nantes Rapporteur KAZI-AOUAL M. Nadjib Maître de Conférences Université Montpellier II Examinateur MAURIN Bernard Maître de Conférences Université Montpellier II Examinateur MOTRO René Professeur Université Montpellier II Directeur de Thèse

Remerciements

Je tiens tout d’abord à exprimer mes remerciements aux membres du Laboratoire deMécanique et Génie Civil de l’Université Montpellier II, particulièrement ceux del’équipe Conception en Structures, pour l’attention et l’aide qu’ils m’ont accordéestout au long de cette thèse de doctorat.

Je remercie M. le Professeur René Motro pour l’attention avec laquelle il a dirigé mestravaux et la confiance qu’il m’a témoignée pendant cette période, ainsi que M.Bernard Maurin et M. M. N. Kazi-Aoual sans lesquels cette thèse n’aurait pas eu lieu.

Je remercie également les gouvernements Français et Mexicain, ainsi que le COSNET(Conseil du Système National d’Education Technologique) et l’Institut Technologiquede Tepic qui ont collaboré au financement de cette étude dans le cadre du programmede formation et d’avancement du personnel enseignant.

L’achèvement de ce travail doit beaucoup à tous ceux qui m’ont entouré ces années.Qu’ils en soient également remerciés et qu’il me soit ainsi permis de leur témoigner dema gratitude.

Table de matières

7

Contribution à l’étude du dimensionnement optimal des systèmes de tenségrité

Table des matières........................................................................................................................................ 7Notations ....................................................................................................................................................... 11

Partie I : Systèmes de tenségrité et autocontrainte

1 Introduction ............................................................................................................171.1 Systèmes réticulés spatiaux............................................................................................................. 171.2 Systèmes de tenségrité .................................................................................................................... 181.3 Définitions des systèmes de tenségrité............................................................................................ 18

1.3.1 Notions mécaniques utiles pour la compréhension des systèmes de tenségrité ....................... 191.4 Etat des connaissances ................................................................................................................... 201.5 Objectifs de la thèse ........................................................................................................................ 231.6 Contenu de la thèse ......................................................................................................................... 24

2 Systèmes de tenségrité............................................................................................272.1 Modules élémentaires ..................................................................................................................... 272.2 Systèmes de tenségrité .................................................................................................................... 28

2.2.1 Assemblage de modules élémentaires ..................................................................................... 282.2.1.1 Les structures linéaires (1D) ............................................................................................. 292.2.1.2 Les grilles de tenségrité, assemblage selon deux directions (2D) ..................................... 30

2.2.2 Systèmes formés sur des mailles élémentaires ....................................................................... 31

3 Tenségrité et autocontrainte..................................................................................333.1 Les bases ......................................................................................................................................... 33

3.1.1 Contraintes internes et mécanismes......................................................................................... 383.2 Autocontrainte dans les systèmes réticulés spatiaux ....................................................................... 41

3.2.1 Calcul de la base des états d’autocontrainte ............................................................................ 413.2.2 Identification et classification des états d’autocontrainte ........................................................ 45

3.2.2.1 Définition des différents types d’états d’autocontrainte.................................................... 453.2.2.2 Autocontrainte et rigidité unilatérale................................................................................. 52

3.3 Recherche d’un état d’autocontrainte total et conforme.................................................................. 533.4 Définition du niveau et de la distribution d’autocontrainte............................................................. 54

3.4.1 Cas d’un module simple .......................................................................................................... 543.4.2 Cas de deux modules simples juxtaposés ................................................................................ 553.4.3 Cas d’un système multimodule................................................................................................ 56

4 Conclusion...............................................................................................................57

Partie II : Dimensionnement des systèmes de tenségrité

5 Dimensionnement ...................................................................................................615.1 Les étapes du dimensionnement...................................................................................................... 61

5.1.1 Détermination de l’état d’autocontrainte initial ....................................................................... 625.1.2 Dimensionnement aux états limites de service ........................................................................ 635.1.3 Vérification aux états limites ultimes ...................................................................................... 635.1.4 Sensibilité des systèmes de tenségrité aux tolérances de fabrication des composants............. 64

5.2 Comportement mécanique .............................................................................................................. 655.2.1 Méthode de calcul.................................................................................................................... 655.2.2 Considérations sur le relâchement des composants tendus...................................................... 675.2.3 Considérations sur l’inversion des efforts dans les composants comprimés ........................... 67

Table de matières

8

6 Dimensionnement des grilles planes à double nappe ..........................................696.1 Introduction .................................................................................................................................... 696.2 Les paramètres du dimensionnement .............................................................................................. 70

6.2.1 Densité de maillage ................................................................................................................ 716.2.2 Rapport portée sur hauteur (élancement)................................................................................. 716.2.3 Prise en compte des appuis ...................................................................................................... 726.2.4 Caractéristiques mécaniques des composants ......................................................................... 74

6.3 Dimensionnement des grilles à double nappe. ............................................................................... 756.3.1 Grille multimodule avec autocontraintes de distribution homogène ....................................... 756.3.2 Grille formée sur des mailles élémentaires avec autocontrainte de distribution homogène .... 78

7 Conclusion ..................................................................................................................83

Partie III : Dimensionnement optimal des systèmes de tenségrité

8 Formulation de l’optimisation : cas général de systèmes de réticulés ..................878.1 Introduction..................................................................................................................................... 878.2 Variables de dimensionnement ....................................................................................................... 888.3 Fonction objectif ............................................................................................................................ 898.4 Conditions et restrictions du dimensionnement .............................................................................. 89

8.4.1 Restrictions en déplacement (flèche)....................................................................................... 898.4.2 Limitations des sollicitations de traction ................................................................................. 908.4.3 Limitations des sollicitations de compression ......................................................................... 908.4.4 Sections droites limites ............................................................................................................ 908.4.5 Considérations sur les conditions et restrictions...................................................................... 90

8.5 Résolution du problème d’optimisation .......................................................................................... 918.5.1 Méthode................................................................................................................................... 918.5.2 Facteur de modification des sections droites pour limiter les déplacements ........................... 91

8.6 Cas des systèmes de tenségrité........................................................................................................ 928.6.1 Autocontrainte initiale ............................................................................................................. 938.6.2 Fonction objectif...................................................................................................................... 938.6.3 Restrictions du dimensionnement............................................................................................ 94

9 Optimisation de l‘état d’autocontrainte et du dimensionnement..........................959.1 Introduction..................................................................................................................................... 959.2 Autocontrainte des structures périodiques ...................................................................................... 96

9.2.1 Structure simple : un et trois modules ..................................................................................... 969.2.2 Système de tenségrité : un, trois et six modules ...................................................................... 989.2.3 Application sur des systèmes de plus grande taille.................................................................. 1029.2.4 Conclusion............................................................................................................................... 104

9.3 Critères de définition d’un état d’autocontrainte nominal............................................................... 1059.3.1 Différentes possibilités de sélection d’un état d’autocontrainte initial nominal ...................... 105

9.4 Méthode de calcul de l’état d’autocontrainte initial et dimensionnement ....................................... 1069.4.1 Première étape : sections droites des composants. Satisfaction du critère en déplacement ..... 1079.4.2 Deuxième étape : calcul de l’état d’autocontrainte initial nominal.......................................... 1089.4.3 Troisième étape : sections droites des composants. Satisfaction du critère de résistance........ 1099.4.4 Exemple de deux états d’autocontrainte minimaux ................................................................. 110

9.5 Modification des sections des composants...................................................................................... 1119.6 Applications : dimensionnement optimal de grilles à double nappe ............................................... 112

9.6.1 Grille multimodule .................................................................................................................. 1129.6.1.1 Etat d’autocontrainte initial de répartition homogène ....................................................... 1129.6.1.2 Etat d’autocontrainte initial de répartition non-homogène................................................ 114

9.6.2 Grille de tenségrité formée sur des mailles élémentaires......................................................... 1179.6.2.1 Grille sur des mailles élémentaires avec une distribution d’autocontrainte homogène..... 1209.6.2.2 Grille sur des mailles élémentaires avec une distribution d’autocontrainte

non-homogène.................................................................................................................. 1219.7 Conclusion sur la détermination du niveau et de la distribution de l’autocontrainte ...................... 124

Table de matières

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10 Optimisation de la hauteur des grilles de tenségrité.............................................12510.1 Introduction................................................................................................................................... 12510.2 Influence d’une modification de la hauteur sur l’état d’autocontrainte initial .............................. 12610.3 Influence d’une modification de la hauteur sur le poids propre .................................................... 12910.4 Influence d’une modification de la hauteur sur les déplacements................................................. 13310.5 Observations sur l’analyse des systèmes et la conformité des sollicitations ................................. 13510.6 Conclusion .................................................................................................................................... 136

11 Prédimensionnement ..............................................................................................13711.1 Introduction................................................................................................................................... 13711.2 Obtention simplifiée des efforts .................................................................................................... 13811.3 Calcul de l’élancement ................................................................................................................. 14011.4 Détermination du niveau maximal d’autocontrainte ..................................................................... 14211.5 Prédimensionnement des grilles appuyées sur deux côtés opposés .............................................. 14311.6 Prédimensionnement des grilles appuyées sur le périmètre .......................................................... 14511.7 Applications .................................................................................................................................. 147

11.7.1 Grille multimodule carrée formée par 36 modules quadruplex appuyée sur le périmètre ..... 14711.7.2 Grille carrée formée sur des mailles élémentaires et appuyée sur le périmètre ..................... 149

12 Conclusion générale.................................................................................................151

Annexes ......................................................................................................................................................... 153Références bibliographiques ....................................................................................................................... 167Table des illustrations .................................................................................................................................. 171

Table de matières

10

Notations

11

Notations

Symboles{ } Vecteur{ }T Vecteur transposé[ ] Matrice[ ] T Matrice transposée[ ]-1 Matrice inverseKer [ ] Noyau d’une matrice

Scalairesb Nombre total de composantsc Nombre total de câblescX, Y Coefficient de répartition des charges selons la direction X ouYdX, Y Distance horizontale entre deux nœuds selon la direction X ou YdNS, NI Distance horizontale entre deux nœuds dans les nappes supérieure ou inférieureh Hauteur de la grilleI Moment d’inertiek Nombre de degrés de liberté bloquésli Longueur du composant i sous l’action d’un chargement extérieurli

0 Longueur du composant i assemblé avec un état d’autocontrainte, sans chargementextérieur (longueur de référence)

lilib Longueur libre du composant i (longueur de fabrication)

m Nombre de mécanismes linéairement indépendantsmg Nombre de composants dans le groupe gn Nombre de nœudsng Nombre de groupes de composantsnac Nombre réel arbitrairenp Nombre de cas de chargement extérieurqo

i Coefficient de densité de force du composant iqw

ELS, ELU Chargement extérieur linéique aux états limites de service ou ultimesrx, y, z Rayon de giration dans les directions x, y ou z d’une barrerA Rang de la matrice [A]s Nombre d’états d’autocontrainte linéairement indépendantst Epaisseur d’une barre (tube)u Déplacement dans la direction d’application d’un chargement extérieur unitairejuf

i Déplacement selon le degré de liberté i pour le chargement extérieur jui

max Déplacement maximal autorisé selon le degré de liberté iui

f_max Déplacement maximal selon le degré de liberté ix Variable de dimensionnementxI, S Limites inférieure et supérieure de la variable de dimensionnement xyi Conditions posées sur le vecteur {α} pour la méthode du simplexe

AF, T Section droite des câbles des nappes pour le cas particulier F ou TAg Section droite des composants du groupe gAi

min Section droite minimale pour la variable de dimensionnement iAi

max Section droite maximale pour la variable de dimensionnement iAi

v Section droite du composant i au pas de calcul vC Coefficient de niveau de l’état d’autocontrainteD Diamètre des barresDX, Y Densité de maillage selon la direction X ou YEi Module d’élasticité longitudinale du composant iF1, 2 Facteurs de modification des sections droitesFC Facteur des charges aux ELU sur les charges aux ELS

Notations

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FAC Rapport entre coefficients d’efforts sur les composants dus à l’autocontrainteG Chargement extérieur permanent (effet du poids propre)L Portée libreMX, Y Nombre de modules dans la direction X ou YN Nombre de degrés de liberté

NEXC Nombre d’états d’exocontrainteQ Chargement extérieur variable (charges d’exploitation)RX Réaction d’appuis dans la direction xTi Effort interne sur le composant ijTi

f Effort interne sur le composant i provoqué par le chargement extérieur jTI

Efforts internes dus à l’état d’autocontrainte initialTi

I Effort interne sur le composant i du à l’état d’autocontrainte initialjTi Effort interne sur le composant i du à l’état de autocontrainte jjTi

U Effort interne sur le composant i du au chargement extérieur unitaire dans le degré deliberté j

TTimax Effort maximal admissible pour le composant i du type de composant T

Vi Volume du composant iWe Energie élastique de déformationWT Poids propre total de la structureWELS, ELU Charge répartie uniforme considérée aux états limites de service ou ultimesWX,Y Charge répartie uniforme selon la direction X ou Y

αN, β N, χ N et γN Coefficients d’efforts sur les composants dus à l’autocontrainteαN_max Coefficient d’effort maximal sur un composants du à l’autocontrainteβA Coefficient pour les sections transversales (Eurocode 3 : βA=1 pour les classes 1 à 3)χ, φ Coefficients aux instabilités élastiques selon l’Eurocode 3∆x Variation de la variable x∆u i Variation de déplacement selon le degré de liberté i∆Αi Variation de section droite pour le composant iεi Déformation unitaire du composant iγ M Coefficient partiel de sécurité pour les risques d’instabilité (γM=1.1)Scalaire Scalaireρ Masse volumique de l’acierσi Contrainte normale sur le composant i (σ>0 en traction)σc

i Contrainte de compression sur le composant iσi

c_max Contrainte de compression maximale admissible sur le composant ifσi Contrainte sur le composant i due au chargement extérieur fσI

i Contrainte sur le composant i due à l’état d’autocontrainte initialσt

i Contrainte de traction sur le composant iσi

t_max Contrainte de traction maximale admissible sur le composant iυi Energie virtuelle dans le composant i pour la charge unitaire f

Vecteurs{co} Conditions imposées lors de l’utilisation de la méthode conditionnelle (s x 1){e} Variations de longueur des composants (b x 1){f} Chargement extérieur sur le système (N x 1){fPi} Chargement extérieur permettent d’obtenir l’équilibre de la position Pi (N x 1){fj} Chargement extérieur sur le nœud j (3 x 1){q0} Coefficients d’autocontrainte (densités de forces) (b x 1){Mi} Mécanisme i (N x 1){Si} Coefficients de densités de forces pour l’autocontrainte i (b x1){Si

red} Coefficients de densités de forces pour l’autocontrainte i avec réduction des termesnon nuls (b x 1)

Notations

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{T} Efforts internes (b x 1){Ti} Autocontrainte i (b x 1){Tf} Efforts internes équilibrant le chargement extérieur f (b x 1){TI} Autocontrainte initiale, combinaison linéaire des vecteurs de la base [T] (b x 1){TIT} Autocontrainte initiale temporaire utilisée lors du calcul (b x1){TN} Autocontrainte normalisée issue de la base [T] (b x 1){sT} Efforts internes sur les composants dus à l’état d’autocontrainte s (b x 1){jTi} Action interne du composant i sur le nœud j (3 x 1){u} Déplacements nodaux (N x 1){x} Variables de dimensionnement{α} Coefficients de participation des états d’autocontrainte (s x 1){δ} Mécanismes d’ordre un (N x 1){δfi} Incrément de chargement extérieur au pas i (N x 1){δui} Déplacements nodaux dus à l’incrément de chargement extérieur {δfi} (N x 1)

Matrices[A] Matrice d’équilibre du système exprimée dans la géométrie de référence (sans

chargement extérieur) (N x b)[A0] Matrice d’équilibre des coefficients de densités de forces exprimée dans la géométrie

de référence (N x b)[B] Matrice de compatibilité des déformations (b x N)[C] Matrice de connectivité (b x n)[Cx, y, z] Sous-matrice de [C] tenant compte des conditions aux limites[Co] Matrice condition utilisée dans la méthode conditionnelle, sous-matrice de [T] (s x s)[D0] Matrice de connexion globale des coefficients d’autocontrainte (N x N)[D0

x, y, z] Sous-matrice de [D0][G] Matrice des coordonnées des nœuds du système (n x 3)[G0] Matrice des coordonnées de référence du système (n x 3)[H] Matrice diagonale des coefficients d’élasticité (b x b)[ I ] Matrice identité[KT] Matrice de rigidité tangente (N x N)[KT

i] Matrice de rigidité tangente élémentaire (6 x 6)[KL

i] Matrice de rigidité linéaire élémentaire (6 x 6)[KG

i] Matrice de rigidité géométrique élémentaire (6 x 6)[M] Matrice des mécanismes linéairement indépendants (composée des m vecteurs {Mi})

(N x m)[Q0] Matrice diagonale constituée des coefficients d’autocontrainte qi

0 (b x b)[S] Matrice des états d’autocontrainte linéairement indépendants (composée de s vecteurs

de densités de forces {Si}) (b x 1)[Si

aux] Matrice auxiliaire i, sous-matrice de [S][Sbrut] Matrice des états d’autocontrainte non traitée (b x s)[Sred] Matrice composée des s vecteurs {Si

red} (b x s)[T] Matrice des efforts internes linéairement indépendants (composée des s vecteurs

d’efforts {jTi}) (b x s)

Abréviations

EC3 Eurocode 03 - Normalisation française - Calcul des structures en acierELS Etats limites de serviceELU Etats limites ultimesLMGC Laboratoire de Mécanique et Génie Civil

(Université Montpellier II – UMR CNRS 5508)

Notations

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Partie ISystèmes de tenségrité

et autocontrainte


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Partie I Systèmes de tenségrité et autocontrainte

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Partie I : Systèmes de tenségrité et autocontrainte

1 Introduction

1.1 Systèmes réticulés spatiaux

Les systèmes réticulés spatiaux sont formés de composants assemblés par des liaisonsappelées "nœuds". Ces liaisons sont généralement supposées des rotules parfaites autorisantlibrement des rotations potentielles entre les composants.

On suppose également que les fibres moyennes des éléments coïncident avec le centre degravité de ces liaisons. Ainsi les sollicitations induites dans les composants sont uniquementdes efforts normaux de traction ou de compression lorsque des charges extérieures sontappliquées directement sur les nœuds.

Ces systèmes constructifs légers sont fréquemment employés pour couvrir des surfaces degrande portée. Une étude soigneuse dans les phases de conception, de calcul, de fabrication etde montage est nécessaire étant donné le nombre important de composants.

Les nœuds sont généralement disposés dans l’espace en respectant une géométrie régulièremarquée par des axes de symétrie (trames orthogonales, hexagonales ...) ; les composants ontune certaine uniformité et constituent parfois des modules répétitifs.

Certaines des ces structures peuvent également être le siège de contraintes initiales afin d’enaugmenter les performances.

On peut trouver ainsi des systèmes réticulés dont les composants sont soumis uniquement àdes efforts de traction, (c’est le cas du réseau de câbles de la Figure 1 a)), et d’autres où ilssupportent des efforts de compression et de traction, (Figure 1 b)).

Figure 1: Systèmes avec contraintes initiales

Dans les deux exemples précédemment exposés, on remarque que des liaisons externes sontindispensables à l’équilibre du système ; l’assemblage de la structure en ces points fixespermet d’avoir un état de sollicitation interne moyennant certaines conditions sur la géométriede fabrication des composants. Ceux d’entre eux qui équilibrent de la traction, quel que soit lecas de charge, sont en général susceptibles d’être réalisés avec des câbles qui n’ont pas derigidité en compression.

a) Réseau des câbles tendus b) Dôme-câbles

Traction Compression

Contribution à l‘étude du dimensionnement optimal des systèmes de tenségrité

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1.2 Systèmes de tenségrité

Les systèmes de tenségrité qui font l’objet de ce travail, sont classés parmi les systèmesréticulés spatiaux. Mais ils présentent toutefois d’autres traits spécifiques et constituent ainsiune sous-classe des systèmes réticulés spatiaux :

En premier lieu, ils se caractérisent par un état de contraintes initiales en l’absence de touteliaison avec l’environnement extérieur. Cet état, autoéquilibré, est nommé étatd’autocontrainte, et il contribue à conférer au système la stabilité et rigidité nécessaires. Il estgénéré à partir de raccourcissements et des allongements d’éléments constitutifs lors del’assemblage par rapport à leurs dimensions initiales de fabrication. Les déformations opéréesdurant le processus d’assemblage permettent d’obtenir un état de contraintes initiales qui peutvarier en niveau et distribution.

Par ailleurs, ces systèmes sont caractérisés par la possible utilisation de composants à rigiditéunilatérale. Il s’agit en général des composants tendus, réalisés avec des câbles ne résistantqu’à la traction, ou avec des tiges dont la rigidité en compression est très basse, voire nulle.C’est plus rarement le cas pour les composants comprimés qui sont réalisés avec des barresqui peuvent travailler en compression, mais aussi en traction le cas échéant. Cette différenceest bien sûr liée à la question fondamentale de l’instabilité sous l’effet de la compression.

Les origines de la tenségrité ont fait l’objet de nombreux débats ; R. B. Fuller, K. Snelson etG. Emmerich en ayant revendiqué la paternité [LAL96], [SMAO1]. Les champs d’applicationconcernent principalement l’architecture et plus généralement la construction (réalisation destructures légères de forme générale linéaire ou surfacique) mais trouvent aussi un écho dansl’industrie aérospatiale, la biologie cellulaire ou les arts plastiques.

1.3 Définitions des systèmes de tenségrité

Le terme "tensegrity" résulte de la contraction des deux mots anglais "tensile" et "integrity". Ila été proposé par l’architecte R. B. Fuller qui a rêvé de ces systèmes en évoquant des"systèmes tels que des ilôts de compression dans un océan de tensions" ("islands ofcompression in an ocean of tensions" [FUL62]).

Dans le domaine artistique, le sculpteur K. Snelson les a décrits comme des "structures àtraction continue et compression discontinue" (le titre du brevet qu’il a déposé est "continuoustension, discontinuous compression structures" [SNE65] ; G. Emmerich parle, lui, de "réseauxautotendants" [EMM64].

A. Pugh précise : "A tensegrity system is established when a set of discontinuous compressivecomponents interacts with a set of continuous tensile components to define a stable volume inspace". Ces systèmes peuvent être comparés analogiquement avec des "structurespneumatiques discrètes" [PUG76].

Ariel Hanaor propose, quant à lui, une définition assez générale : "Internally prestressed,freestanding pin jointed networks, in which the cables or tendon are tensioned against asystem of bar or struts" [HAN94].

R. Motro a, par la suite, formulé la proposition suivante :


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"Un système de tenségrité est un système dans un état d’autocontrainte stable, qui comprendun ensemble discontinu de composants comprimés à l’intérieur d’un continuum decomposants tendus".

Cette définition prend en compte la position relative des composants et utilise le vocabulaireet l’approche de la théorie de systèmes (avec celle des graphes) appliquée au concept detenségrité pour décrire des entités ordonnées où il est possible d’identifier l’existence decomposants, de structure relationnelle, de structure totale et de forme. [MOT01].

Le système intègre deux classes de composants en fonction de la nature des efforts qu’ilssubissent (compression ou traction). La théorie de graphes permet de décrire la structurerelationnelle qui établit une relation entre les composants. La structure totale associe lescaractéristiques qualitatives et quantitatives des composants avec la structure relationnelle etla forme d’un système est considérée comme sa projection dans l’espace à trois dimensions.

1.3.1 Notions mécaniques utiles pour la compréhension des systèmes de tenségrité

Etat d’autocontrainteL’état d’autocontrainte est un état de contraintes autoequilibré d’un système en l’absence detoute liaison avec l’extérieur et de tout chargement externe. Eventuellement, ces états nesollicitent qu’une partie des composants du système.

MécanismesLes structures réticulées spatiales, du fait de l’existence de nombreuses articulations, peuventêtre le siège de mécanismes. C’est tout particulièrement le cas pour les systèmes de tenségrité.

Ces mécanismes peuvent être classés selon le niveau de variation de longueur des élémentslorsque le déplacement correspondant au mécanisme, est activé. On distingue ainsi lesmécanismes finis si au moins un élément ne subit pas de variation de longueur et lesmécanismes infinitésimaux dans le cas contraire [VAS97]. Il faut noter que la règle deMaxwell ne s’applique pas ici. Cette règle n’est d’ailleurs qu’une condition nécessairetraduisant pour certaines structures réticulées la possibilité de trouver un état unique desollicitations.

StabilitéUn système est dit dans une position d’équilibre stable lorsque, légèrement écarté de celui-ci,il y revient. Cette stabilité peut être obtenue grâce à l’existence des contraintes initiales, maisce n’est pas toujours le cas [VAS97].

Prenons par exemple un système avec un mécanisme infinitésimal constitué par deuxcomposants et trois nœuds alignés. Il est stable pour des contraintes initiales de traction etinstable pour celles de compression (Figure 2).

Figure 2: Mécanisme infinitésimal et stabilité de la position d’équilibre

Composants en traction Composants en compression

Equilibre stable Equilibre instable

T >T1

T1> 0

T T = 0

T1 < 0

Y

X


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Recherche de formeLa conception d’un système de tenségrité, nécessite de mener à bien un processus appelérecherche de forme. Cela consiste, à partir d’une structure relationnelle donnée (topologie) àdéterminer la géométrie et l’état de contraintes initial, tels que son équilibre stable soit réalisé(cible double).

Les systèmes réticulés sont généralement modélisés numériquement par les matrices deconnectivité et de coordonnées (c. f. Annexe A).

Linéarité et non-linéaritéLe comportement d’une structure est linéaire si les déformations et les efforts internes sontdes fonctions linéaires des charges appliquées. Les origines du comportement non-linéaire sont géométriques et/ou matérielles [LIV75].

Ainsi, les systèmes de tenségrité présentent en général un comportement mécanique nonlinéaire, principalement du à un contexte géométrique de grands déplacements etexceptionnellement à la rhéologie des matériaux utilisés.

1.4 Etat des connaissances

Les études concernant les systèmes réticulés autocontraints, et plus particulièrement lessystèmes en état de tenségrité sont nombreuses. Ci-dessous sont référencés et classés quelquesdocuments qui traitent du problème de leur conception et de leur dimensionnement.

Dans un premier groupe sont réunis les auteurs qui abordent les différents types deconfigurations, et dans le deuxième ceux qui ont développé des études sur leur comportementmécanique et leur dimensionnement.

Ces deux groupes sont complémentaires et ils nous permettront d’identifier les différentsproblèmes soulevés pour leur conception, leur mise en œuvre, et les méthodologies qui ont étédéveloppées pour les résoudre.

Typologie des systèmes de tenségrité

Un premier pas dans la conception consiste à déterminer les configurations géométriquessusceptibles d’être autocontraintes, et ainsi atteindre simultanément la double cible sthéniqueet géométrique.

Dans les premières approches réalisées sur le sujet, un important nombre de typologies etd’études géométriques ont ainsi été proposées par R. B. Fuller [FUL 60], G. Emmerich[EMM88] et le sculpteur K. Snelson [SNE04]. Une grande quantité de modules élémentairesa été résumée et classifiée par A. Pugh [PUG76] ; il a aussi décrit le principe de constructiondes systèmes de tenségrité basés sur une géométrie de type géodésique.

Le principe de construction de mâts à partir de modules élémentaires a été exposé par G.Emmerich [EMM88]. Trois manières d’assemblage (juxtaposition, pénétration etentrelacement) sont utilisées pour former des structures linéaires droites, courbes et desconfigurations toriques.


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Dans le même document, il évoque sans les nommer ainsi des grilles à double nappe en étatde tenségrité : "Les réseaux autotendants à double nappe sont composés entre deux treillisflexibles constitués uniquement de tendeurs dont l'espace interstitiel contient des barresdiagonales et un nombre égal de tendeurs", et il décrit le mode d’assemblage de modulestriangulaires et carrés pour former quelques grilles planes à double nappe.

Des structures de tenségrité courbes à double nappe, sont présentées comme structures nonconventionnelles par A. Hanaor [HAN87] et R. Motro [MOT87], en utilisant trois modes defusion des modules (nœud sur nœud, nœud sur câble et câble sur câble).

En 1984 D. Geiger [GEI88] a développé une configuration structurelle appelée "cable-trussdome" et a construit plusieurs dômes de ce type. S. Pellegrino [PEL92] a par la suite présentéune étude du comportement structurel de ces systèmes. Il faut toutefois noter que tous lesauteurs ne s’accordent pas pour considérer que les dômes-câbles, qui sont par ailleursd’excellentes solutions structurales, soient des systèmes en état de tenségrité.

Des études plus récentes sur des structures légères pour l’architecture, ont débouché sur desnouvelles configurations de grilles planes à double nappe. V. Raducanu [RAD01] a présentéde nouvelles grilles de tenségrité planes à double nappe. Indépendamment, dans une étude destructures similaires, B. Wang [WAN02] a présenté des structures réticulées autocontraintesqu’il nomme "cable-strut systems".

Des études sur la recherche de forme des systèmes de tenségrité à faible nombre decomposants, en utilisant des modèles mathématiques, ont été réalisées par N. Vassart et R.Motro [VAS99], C. Sultan [SUL01] et D. Williamson [WIL03]. L’application de cesméthodes pour des systèmes à nombreux composants est en cours de développement.

Nous disposons aujourd’hui de divers types de systèmes de tenségrité potentiellementutilisables en applications architecturales et de génie civil. Les développements des méthodesde recherche de forme peut être la source de nouvelles configurations.

Etudes du comportement mécanique et dimensionnement

Etat de contraintes initial, mécanismes et stabilisationL’étude des systèmes de tenségrité nécessite de déterminer les caractéristiques intrinsèquesdes systèmes réticulés liées aux déplacements de leurs nœuds et à leurs états de contraintes.

Une méthode générale pour déterminer les états de contraintes et les mécanismes a étéprésentée par S. Pellegrino [PEL86]. Cette méthode utilise comme données les coordonnésdes nœuds et la structure relationnelle des systèmes réticulés à rigidité bilatérale. Destraitements additionnels sur les résultats sont nécessaires pour les utiliser sur des systèmesavec des composants à rigidité unilatérale.

Des possibilités d’interaction entre les états de contraintes et les mécanismes sont identifiées.Une méthode pour déterminer les états d’autocontrainte stabilisant les mécanismes dessystèmes réticulés autocontraints à été présentée par N. Vassart [VAS97]. Celle-ci estapplicable au cas des systèmes de tenségrité.

Pour analyser le comportement de ces systèmes, il est nécessaire de déterminer leur étatd’autocontrainte initial.


22

Dans une étude d’un système à double nappe présentée par A. Hanaor [HAN91], il a étéidentifié un niveau d’état d’autocontrainte permettant d’éviter le relâchement de câbles. Cetétat sert à classer les grilles en "underprestress systems" et "overprestress systems". Dans cetteétude, il constate la faible rigidité de certaines configurations et recommande d’utiliser uneanalyse non-linéaire pour prendre en compte les variations de la géométrie.

Dans les systèmes à nombreux états d’autocontrainte, l’état initial peut être obtenu parcombinaison. Ces états de contraintes présentent des caractéristiques distinctives. J. Quirant[QUI00] et N. Kazi [KAZ03] les identifient et proposent des méthodes pour les trier et lesrendre compatibles avec la rigidité unilatérale et/ou bilatérale des composants. Le but est decombiner ces états, en utilisant des facteurs multiplicatifs positifs, pour obtenir un état quisollicite le système complet. Ces méthodes sont applicables à des systèmes de taille limitée.

Les méthodes visant à obtenir une combinaison convenable des états d’autocontrainte pourl’utiliser comme autocontrainte initiale sont toutefois mal adaptées pour des systèmes avec denombreux états d’autocontrainte.

Comportement mécaniqueL’étude du comportement mécanique des systèmes de tenségrité nécessite de faire appel à desméthodologies d’analyse qui prennent en compte la présence de composants à rigiditéunilatérale dans un état de contrainte initial.

Une méthode de calcul statique qui prend en compte la non-linéarité géométrique et l’étatd’autocontrainte initial à été développée par K. Kebiche [KEB99]. Dans cette publication ilrend compte du comportement structural non-linéaire élastique ; N. Kahla [KAH00] présentepar la suite une procédure pour l’analyse non-linéaire élastoplastique.

Des méthodes pour l’analyse du comportement prenant en compte la rigidité unilatérale descâbles et l’existence d’un état initial d’autocontrainte sont ainsi disponibles à ce jour etpermettent d’obtenir des solutions pertinentes.

Mise en tensionUne étude présentée par J. Quirant [QUI00] montre les possibilités de la mise en tension d’unsystème formé de l’assemblage des modules de tenségrité. Il décrit l’instauration d’un étatd’autocontrainte sur un modèle numérique au moyen de modifications de longueur surcertains câbles sélectionnés et nommés câbles actifs.

Des études plus approfondies sur l’instauration d’un état d’autocontrainte sont présentées parB. Crosnier [CRO03] et J. Averseng [AVE02]. La méthode consiste à instaurer un étatd’autocontrainte provisoire qui sera modifié vers un état cible par une séquence optimisée devariations des longueurs de certains composants. Les résultats obtenus sur des modèlesthéorique et expérimental sont voisins. Des études sont en cours pour déterminer la source desdifférences trouvées sur certains composants.

D’autres procédures pour la mise en tension applicables à des systèmes autocontraints ont étéprésentées. K. Kawaguchi [KAW96] utilise un modèle théorique basé sur la méthode desinverses généralisés et rapporte des différences de résultats entre celui-ci et le modèleexpérimental.


23

Plusieurs méthodes pour la mise en tension sont ainsi disponibles. Cependant il est nécessaired’améliorer ces modèles et de les valider principalement dans le cas de systèmes à nombreuxétats d’autocontrainte.

DimensionnementLe développement récent des systèmes de tenségrité explique l’absence, et donc la nécessité,de mettre au point une méthodologie complète et fiable de dimensionnement.

Pour satisfaire cet objectif, J. Quirant [QUI00] a exposé une étude de sensibilité auximprécisions de fabrication qui reste toutefois à approfondir. Il a aussi présenté [QUI03] lesétapes de conception et de dimensionnement pour des systèmes à multiples étatsd’autocontrainte. Dans ce travail, il propose un état d’autocontrainte initial à répartitionvariable pour optimiser la solution.

Une étude menée sur les dômes-câbles à faible nombre d’états d’autocontrainte a étéprésentée par X. Yuan [YUA02]. Dans celle-ci, il expose les procédures d’analyse et dedimensionnement optimal sur des configurations régulières soumises à un état à répartitionuniforme adaptée au chargement.

L’introduction de l’autocontrainte dans un système est cependant un paramètre qui doit êtreétudié. Sur les systèmes à nombreux états d’autocontrainte, les possibilités d’exploitation dece paramètre n’ont pas été suffisamment explorées.

1.5 Objectifs de la thèse

L’équipe Conception en Structures du Laboratoire de Mécanique et Génie Civil (LMGC) del’Université Montpellier II possède une expérience reconnue dans le domaine de laconception des systèmes de tenségrité et dans l’étude de leur comportement statique etdynamique, tant sur le plan théorique qu’expérimental.

Ces systèmes ont ainsi fait l’objet de plusieurs thèses au sein du laboratoire. L’état deconnaissances établi dans le paragraphe précédent montre qu’il est maintenant nécessaire detraiter les problèmes du dimensionnement des structures de tenségrité comportant denombreux états d’autocontrainte, et de réaliser les études qui permettront aux concepteurs defaciliter le choix des paramètres nécessaires dans la recherche de solutions constructives.

Dans la thématique de recherche "Etat d’autocontrainte initial - Comportement", ce travailtraite du problème du dimensionnement d’un type classique de systèmes de tenségrité, àsavoir les grilles planes à double nappe.

L’objectif de ce travail est de définir la distribution et le niveau de l’état d’autocontrainteinitial de grilles de tenségrité appropriée pour des chargements statiques et d’optimiser lessolutions, pour aboutir à un dimensionnement performant.

Ce travail se présente ainsi comme une contribution à l’étude du dimensionnement dessystèmes de tenségrité ; cette contribution permettra de tirer le meilleur parti des propriétésmorphologiques, et des acquis technologiques dans le registre des systèmes de tenségrité.


24

1.6 Contenu de la thèse

Ce travail a été divisé en trois parties et douze chapitres.

La partie I est intitulée "Systèmes de tenségrité et autocontrainte".

Dans le chapitre 1 sont présentés les systèmes réticulés spatiaux auxquels appartiennent lessystèmes de tenségrité. Plusieurs descriptions sont reproduites et une définition est adoptéepour ce type de système.

Quelques notions mécaniques utiles pour la compréhension de ce document et un état desconnaissances sont présentées. Une partie est dédiée aux travaux réalisés sur la typologie dessystèmes de tenségrité et l’autre, classée par thèmes de recherche, traite du comportementmécanique et du dimensionnement. A la fin de ce chapitre, les objectifs de cette thèse sontprécisés.

Dans le chapitre 2, sont définis les modules élémentaires de tenségrité et sont décrits deuxgroupes de systèmes, ceux formés par l’assemblage de modules élémentaires (agglomération)et ceux formés sur des mailles élémentaires planes (systèmes tissés).

Dans le chapitre 3 sont présentés quelques concepts nécessaires à l’analyse des systèmes detenségrité et les méthodes permettant de recenser les autocontraintes et mécanismes.

Une distinction particulière est faite sur les états de contraintes initiaux en fonction desconditions aux limites. Ces considérations sont nécessaires pour le calcul de la base des étatsd’autocontrainte et pour l’intégration de l’état d’autocontrainte initial. Cette distinction estillustrée à travers certains exemples.

Quatre méthodes pour trier les états d’autocontrainte sont décrites par la suite. Deux d’entreelles ont été développées dans le cadre de cette thèse. A la fin de ce chapitre sont précisés, aumoyen de modèles simples, les concepts de niveau et de distribution des états d’autocontraintequi seront utilisés dans ce document.

Le chapitre 4 permet de conclure cette partie.

La Partie II traite du "Dimensionnement des systèmes de tenségrité".

Dans le chapitre 5, sont abordées les étapes du dimensionnement selon la pondération desactions qui agissent sur le système pour un dimensionnement aux états limites de service etpour une vérification aux états limites ultimes. Des considérations sur la prise en compte de lasensibilité de l’autocontrainte initiale aux tolérances de fabrication des composants sontexposées.

Une méthode de calcul des effets du chargement externe est présentée et plusieursdéveloppements relatifs à la prise en considération du relâchement des composants tendus, età la question de l’inversion d’efforts sur les composants comprimés sont proposés.

Dans le chapitre 6 sont présentés des applications sur deux grilles de tenségrité de typologiesdifférentes ; le chapitre 7 conclut cette deuxième partie.


25

La partie III est relative au "Dimensionnement optimal des systèmes de tenségrité".

La formulation du problème de dimensionnement optimal des structures réticulées et sonadaptation aux cas des systèmes de tenségrité sont présentées dans le chapitre 8.

Dans le chapitre 9, une procédure permettant l’intégration de la base des étatsd’autocontrainte en fonction de la périodicité des grilles étudiées est exposée. Les critères dedéfinition et de sélection d’un état d’autocontrainte initial cible ainsi que la méthode de calculsont décrits. Les effets des variations de sections des composants sont illustrés dans unexemple.

Les résultats issus de l’application de ces procédures d’optimisation sur deux cas sont ensuiteprésentés et commentés.

Le chapitre 10 concerne les influences des variations d’épaisseur et de densité du maillage desgrilles sur l’autocontrainte initiale minimale nécessaire, sur les déformations résultantes et surle poids total des systèmes.

Dans le chapitre 11, nous proposons une méthode originale de prédimensionnement pouvantêtre appliquée à plusieurs types de grilles. Les résultats sont comparés avec ceux obtenus enutilisant des méthodes de dimensionnement plus complètes.

En guise de conclusion générale, les principaux résultats obtenus dans le cadre de ce travail, lacontribution à la recherche dans ce domaine ainsi que les possibilités d’exploitationenvisageables sont rappelés.


26


27

2 Systèmes de tenségrité

2.1 Modules élémentaires

On appellera module élémentaire une configuration structurale de tenségrité, généralement àfaible nombre de composants, qui possède un seul état d’autocontrainte.

Les modules élémentaires peuvent être classés selon leur géométrie dans trois groupes. Lessystèmes réguliers, dont les éléments d’un même type (barres ou câbles) ont une longueuridentique. Les systèmes semi-réguliers, dont les éléments ont un petit nombre de longueursdifférentes (en conservant la régularité de certains polygones formés par les réseaux decâbles) puis les systèmes irréguliers, qui ont la même topologie que les réguliers ou semi-réguliers, mais dont la géométrie est tout à fait quelconque en raison des longueurshétérogènes des éléments sans régularité discernable[RAD01].

Dans la Figure 3, on montre deux exemples de modules élémentaires à trois et quatre barresappelés simplex et quadruplex.

a) Simplex (ou triplex) b) Quadruplex

Figure 3: Systèmes de tenségrité : modules élémentaires

Ces modules sont les deux premiers d’une série à base polygonale constitués de deux nappesde câbles, de formes respectivement triangulaire et carrée, reliées par des barres et des câblesd’entretoisement [EMM88].

La géométrie du module élémentaire est spécifique parce qu’elle est compatible avecl’installation d’un état d’autocontrainte. Cette forme autocontrainte est définie par la positiondes nœuds (géométrie) qui reçoivent les barres et les câbles (conformément à la structurerelationnelle du système). Nous identifierons la position d’équilibre des nœuds comme lagéométrie de référence [G0]. Différentes intensités d’autocontrainte sont possibles dans cettemême géométrie, elles correspondent au même vecteur autocontrainte à un facteurmultiplicatif près.

Une fois qu’un système de tenségrité répondant à la définition de module élémentaire est misen autocontrainte, ses composants sont sollicités. Si les barres sont comprimées et les câblestendus on dit que l’état d’autocontrainte est conforme.


28

2.2 Systèmes de tenségrité

Trois groupes de systèmes peuvent être précisés : les modules élémentaires et les systèmesformés par l’assemblage de ces modules (multimodule) définissent le premier [MOT90]. Lacombinaison de modules élémentaires et d’autres composants telle que le système completpeut être autocontraint correspond au deuxième groupe. Les systèmes construits à partir dedeux nappes de réseaux de câbles reliées par des ensembles des barres et câbles constituent letroisième groupe [RAD01].

2.2.1 Assemblage de modules élémentaires

Les systèmes multimodule peuvent être classés selon la direction privilégiée d’assemblagedes modules en structures linéaires (en une direction) et les assemblages en deux et troisdirections.

L’assemblage des modules élémentaires est appelé linéaire si les modules sont juxtaposésselon un axe rectiligne ou éventuellement courbe. Si les modules sont disposés suivant deuxdirections, ils peuvent former des grilles planes ou bien des grilles à simple ou doublecourbure. Les systèmes de tenségrité formés suivant trois directions ne seront pas traités dansle cadre de ce travail.

Une étude rigoureuse doit être réalisée pour obtenir les caractéristiques géométriquesadéquates des modules assemblés pour conserver la forme autocontrainte.

Dans la Figure 4, on montre des exemples des trois types d’assemblage : a) nœud sur nœud,b) nœud sur câble et c) câble sur câble [MOT87].

a) b) c)

Figure 4: Types d’assemblage des modules élémentaires suivant une direction

L’assemblage de modules élémentaires de tenségrité donne lieu à la formation de systèmes àmultiples états d’autocontrainte.

En raison du mode d’assemblage multimodule par juxtaposition, on sait qu’un moduleconserve après l’assemblage son propre état d’autocontrainte. C’est pourquoi le systèmepossède au moins autant d’états d’autocontrainte indépendants que de modules, et leurnombre, ainsi que celui des mécanismes associés, est prévisible pour des modules assemblésen ligne [VAS97]. Nous appellerons états d’autocontrainte supplémentaires les étatsd’autocontrainte autres que ceux relatifs aux modules indépendants.


29

Par ailleurs, un état d’autocontrainte qui concerne seulement une partie des composants d’unsystème sera nommé état d’autocontrainte partiel.

2.2.1.1 Les structures linéaires (1D)

Les structures linéaires sont formées par l’assemblage de modules de tenségrité selon unedirection préférentielle. Dans la Figure 5, on montre un exemple de système formé par deuxmodules quadruplex à face supérieure inscrite par rapport à la face inférieure.

a) Vue en plan b) Vue latérale c) Vue en perspective

Figure 5: Système linéaire

Ce système possède deux états d’autocontrainte. Cependant, il faut noter que le nombred’états d’autocontrainte partiels n’est pas toujours égal au nombre de modules assemblés.Dans le Tableau 1, on montre l’évolution du nombre d’états d’autocontrainte pour dessystèmes formés par des quadruplex identiques assemblés en ligne (VAS97).

Nombre de modules 1 2 3 4 M modulesAssemblage

Nombre d’étatsd’autocontrainte

1 2 4 6 2M-2

Nombre de mécanismes 3 4 6 8 2M

Tableau 1: Evolution du nombre d’états d’autocontrainte et de mécanismes

Dans la Figure 6, nous présentons des exemples d’assemblages linéaires qui donnentnaissance à des mâts, des poutres et des tours de tenségrité.

a) Mât b) Poutre de quadruplex c) Tour

Figure 6: Systèmes de tenségrité linéaires


30

2.2.1.2 Les grilles de tenségrité, assemblage selon deux directions (2D)

Les modules élémentaires possédant des bases en forme de polygone régulier (triangulaire,carré ou hexagonal) et de base supérieure inscrite, peuvent être assemblés de manièrerépétitive selon deux directions sur des pavages réguliers pour former des grilles planes(Figure 7).

Figure 7: Grilles planes formées par des modules élémentaires sur des pavages réguliers

Le placement des modules élémentaires d’un seul type sur les pavages de polygones réguliersprésente des avantages constructifs car une grande quantité de composants ont les mêmelongueurs et le nombre de nœuds identiques est important.

Il existe d’autres possibilités pour disposer les modules à base régulière sur différents types depavages [EMM88]. Cependant les configurations obtenues selon un assemblage nœud-câbleou câble-câble sont d’une grande déformabilitée [HAN87], [WAN98] et [WAG02].

Les modules élémentaires peuvent aussi être assemblés suivant deux directions pour formerdes grilles de tenségrité à double ou simple courbure [MOT90]. Elles ne seront toutefois pastraitées dans ce document.

Triplex Quadruplex Hexaplex


31

Les assemblages des modules élémentaires selon deux directions forment des configurationsavec de nombreux états d’autocontrainte partiels. Par exemple, pour un assemblage de 16modules quadruplex formant une grille plane (Figure 8), le nombre d’états d’autocontrainteest de 124.

Figure 8: Grille de tenségrité à 16 modules quadruplex

Ce type de grille est un cas emblématique de système de tenségrité avec de nombreux étatsd’autocontrainte que nous utiliserons dans ce document.

2.2.2 Systèmes formés sur des mailles élémentaires

Un groupe de systèmes de tenségrité, ne reposant plus sur l’agglomération de modules, peutêtre construit sur deux nappes de câbles reliés par des dispositifs de barres et câblespermettant la mise en tension de l’ensemble et nommés écarteurs. Plusieurs systèmes de cetype ont été proposés par V. Raducanu [RAD01].

Les nappes sont formées par réseaux réguliers des câbles connectés aux intersections dumaillage par des nœuds. Les écarteurs sont répartis à l’intérieur et assemblés sur ces nœuds(Figure 9). Chaque nœud des nappes appartient au moins à un écarteur.

Figure 9: Système de tenségrité sur des réseaux réguliers de câbles

Trois classes de grilles sont identifiées selon le nombre de directions préférentielles deprolifération des barres (Figure 10).

Figure 10: Grilles de tenségrité à deux, trois et quatre directions

Deux grilles de tenségrité de ce type sont présentées dans la suite.

Nœuds

Nappe souple supérieure (réseaux de câbles)

Nappe souple inférieure (réseaux de câbles)

E1 E2 … EnEcarteur composé de barres et decâbles distribués régulièrement

Nœuds

1

2 3

112

2

4

3


32

Dans la Figure 11, on montre une grille de tenségrité bidirectionnelle conçue selon leprocessus précédemment décrit. Au centre de la figure, le système complet est représenté etles composants (nappes de câbles et écarteurs) sont dissociés sur la même vue.

Figure 11: Système de tenségrité (grille bidirectionnelle)

De manière similaire, une grille de tenségrité tridirectionnelle est présentée Figure 12.

Figure 12: Système de tenségrité (grille tridirectionnelle)

SupérieureBarres

Câbles d’entretoisement

Intérieurs

Inférieure Périphériques

EcarteursNappes de câbles et nœuds

Supérieure Barres

Câbles d’entretoisementInférieure

EcarteursNappes de câbles et nœuds

Intérieurs

Périphériques


33

3 Tenségrité et autocontrainte

3.1 Les bases

Stabilité

Pour pouvoir être utilisés comme des dispositifs constructifs architecturaux, les systèmes detenségrité doivent satisfaire des objectifs de stabilité d’équilibre, de forme et de résistance.

La stabilité d’équilibre dépend de la nature des actions (caractère statique ou dynamique).Dans le cas où les actions ont un caractère statique, l’analyse de l’équilibre consiste às’assurer que, sous l’ensemble des actions appliquées (y compris celles aux appuis), celui-cine se déplace pas. Il est également nécessaire d’assurer la stabilité de la forme des ouvragesqui subissent des déformations et que le constructeur cherche à limiter ; il doit aussi veiller àéviter les changements brusques de forme. Finalement, la stabilité de résistance consiste às’assurer que la résistance des matériaux utilisés n’est pas mise en défaut [MOT97].

Pour répondre à ces objectifs, plusieurs relations d’équilibre [LIV75], de compatibilité etd’élasticité, exprimées dans un contexte de petites déformations, sont nécessaires.

• Les relations d’équilibre

L’équilibre d’un nœud d’un système réticulé peut s’exprimer par :

(1)

où les fj sont les actions extérieures qui agissent sur le nœud j et les jTi les actions internes descomposants i qui agissent sur le nœud j.

L’équilibre d’un système réticulé complet à b composants et N degrés de liberté peuts’exprimer selon :

(2)

où [A] est la matrice d’équilibre (N lignes et b colonnes), {T} le vecteur des efforts internes(b composants), et {f} le vecteur (N composantes) du chargement extérieur qui agit sur lesnœuds du système.

• Les relations de compatibilité

Les déplacements des nœuds doivent être compatibles avec les déplacements des extrémitésdes éléments qui les relient. Ces conditions conduisent à un système d’équations linéairesdont l’expression matricielle est de la forme :

(3)

où [B] est la matrice de compatibilité de déformations ou matrice cinématique (b lignes et Ncolonnes avec [B]= [A]T), {u} le vecteur des déplacements nodaux, (N composantes) et {e} levecteur de variation de longueur des éléments (b composants).

{ } { } 0Tfi

ij

j =+ ∑

[ ] { } { }fTA =

[ ] { } { }euB =


34

• Les relations de comportement des matériaux

Les efforts internes dans les éléments sont liés à leurs variations de longueur selon une loi decomportement élastique linéaire des matériaux (loi de Hooke) :

(4)

où σi, εi, et Ei, sont respectivement la contrainte normale, la déformation relative et le moduled’élasticité longitudinal du composant i.

Ces relations conduisent à un système d’équations indépendantes, dont l’expressionmatricielle est :

(5)

où [H] est la matrice diagonale de comportement élastique (b lignes et b colonnes) dont lescoefficients sont li/(Ai Ei) (li et Ai étant la longueur et la section droite du composant i) et {e}est le vecteur des variations de longueur des éléments (b composants).

Recherche de forme

Pour concevoir un système de tenségrité, il est indispensable de déterminer une configurationsusceptible d’être autocontrainte. Ce processus est conduit selon des méthodes développéespour la recherche de forme autocontrainte [MOT03], [TIB02].

Les systèmes de tenségrité décrits dans la section 2.2 possèdent une forme autocontrainte. Laconfiguration où les nœuds sont dans cette géométrie d’équilibre est appelée configuration deréférence (G0) système assemblé non chargé et l’état d’autocontrainte correspondant sera noté{TI}.

Cet état d’autocontrainte peut avoir des intensités différentes, il est défini à un facteur près. Ildoit être compatible avec la rigidité unilatérale des composants câbles et doit contribuer à lastabilité du système. La configuration de référence est obtenue sans considérer le poids propredu système et avant tout chargement extérieur.

Longueurs des composants

Les composants subissent des déformations, depuis leur fabrication jusqu’à leur mise encharge; il est ainsi nécessaire d’identifier les longueurs selon trois états :

- Les longueurs des composants dans un état libre de toute contrainte (lilib) qui sont celles

mesurées avant l’assemblage. Elles sont aussi nommées longueurs libres ou defabrication.

- Les longueurs dans l’état de référence (li0) qui sont celles des composants assemblés dans

la configuration de référence du système. Les composants subissent alors uniquement lesefforts internes de l’autocontrainte {TI}.

- Les longueurs dans l’état chargé (li) où les composants subissent les effets del’autocontrainte et du chargement extérieur. Les nœuds se trouvent dans une nouvelleposition d’équilibre.

iii E=εσ

[ ] { } { }TeH =


35

Les longueurs dans les trois cas mentionnés, ainsi que les variations de longueur entre lesétats libre, de référence et chargé, sont schématisées sur la Figure 13.

Figure 13: Longueurs des composants et variations des longueurs selon l’état considéré

La relation entre les longueurs libres lilib et de référence des composants d’un système, soumis

à l’effort de l’autocontrainte TiI, peut être établie par :

(6)

Les états d’autocontrainte et les mécanismes

Un système réticulé tridimensionnel à b composants avec une rigidité bilatérale, n nœuds et kliaisons avec l’extérieur, possède un nombre de degrés de liberté N donné par l’équation (7) :

(7)

Le nombre d’états d’autocontrainte s et le nombre de mécanismes m peuvent être déterminésselon :

(8)

(9)

où rA est le rang de la matrice d’équilibre [A].

On montre ainsi la relation entre ces quatre paramètres :

(10)

Il est possible de caractériser l’état d’autocontrainte d’un composant i en exprimant soncoefficient de densité de force :

(11)

Cela permet d’écrire l’équation d’équilibre en l’absence de chargement extérieur, selon :

(12)

Les solutions appartiennent au noyau de la matrice [A0] :

Etat libre Longueur libre ou de fabrication

Etat de Longueur aprèsréférence assemblage

sans chargement extérieur

Etat chargé Longueur sous l’action d’un chargement extérieur

lilib

li0

li

TiITi

I

∆li

∆li0

TiTi

0i

iiIi

iilibi l

AETAEl

+=

0i

i0i l

Tq =

[ ] { } { }0qA 00 =

kn3N −=

Arbs −=

ArNm −=

Nmbs −=−


36

(13)

Pour la détermination du nombre de mécanismes et d’états d’autocontrainte, les matricesd’équilibre [A] et [A0] sont équivalentes.

Dans le Tableau 2, on présente une répartition des systèmes réticulés selon quatre classes,établie sur la base des nombres d’états d’autocontrainte et de mécanismes.

Classe Rang de la Nombre d’états d’autocontrainte (s) et matrice [A] ( rA) de mécanismes (m)

I rA = b s = 0 pas d’état d’autocontrainte Statiquement déterminé et rA = N m = 0 pas de mécanismes cinématiquement déterminé

II rA = b s = 0 pas d’état d’autocontrainte Statiquement déterminé et rA < N m = N - rA ; m mécanismes cinématiquement indéterminé

III rA < b s = b - rA; s états d’autocontrainte Statiquement indéterminé et rA = N m = 0 pas de mécanismes cinématiquement déterminé

IV rA < b s = b - rA ; s états d’autocontrainte Statiquement indéterminé et rA < N m = N- rA ; m mécanismes cinématiquement indéterminé

Tableau 2: Classification des systèmes réticulés

Un exemple de chaque classe est illustré sur la Figure 14.

Figure 14: Les quatre classes de systèmes réticulés

Les systèmes de tenségrité sont principalement inclus dans la classe IV [MOT03].

Une méthode proposée par S. Pellegrino [PEL86] permet de calculer, à partir de la matriced’équilibre [A], les s états de d’autocontrainte linéairement indépendants qui forment la base[T] et les m mécanismes qui forment la base [M] pour un système réticulé avec descomposants à rigidité bilatérale (c. f. Annexe B).

L’application de cette méthode sur la matrice d’équilibre [A0] nous permet ainsi d’obtenir unebase des états d’autocontrainte [S] composée des s vecteurs de densités de forces {Si}.

{ } [ ]00 AKerq ∈

N[A] =rA

b

[A] =

b

rAN

b

N[A] =

rA

N[A] =rA

b

1

YX

Z

2

4

I

3

IIIY

X

Z

2

4

5

31

YX

Z

2

II

3

1

Y

3X

Z

2

IV

1

4


37

L’autocontrainte initiale

L’état d’autocontrainte initial {TI} qu’on décide d’installer dans le système est unecombinaison linéaire de vecteurs de la base [T] obtenue dans la géométrie de référence :

(14)

où {α} est le vecteur des coefficients de participation de chaque état d’autocontrainte.

Par convention, un terme négatif dans un vecteur d’autocontrainte de [T] correspond à unecontrainte de compression.

Stabilisation des mécanismes infinitésimaux et autocontrainte initiale

Pour vérifier que tous les mécanismes infinitésimaux d’ordre "un" d’un système conservatifsont stabilisés par l’état d’autocontrainte initial, N. Vassart [VAS97] a proposé une méthodequi utilise la condition de positivité de l’énergie potentielle (W), engendrée par un mécanismed’ordre "un" {δ}.

(15)

où [D0] est la matrice de connexion globale de coefficients d’autocontrainte :

(16)

avec :

(17)

La matrice diagonale [Q0] est constituée des coefficients d’autocontrainte qi0 et [Cx] est

formée par les colonnes de la matrice de connectivité [C] associées aux nœuds admettant undegré de liberté suivant l’axe des X.

Les matrices [D0y] et [D0

z] sont obtenues de manière analogue en utilisant les matrices [Cy] et[Cz]. Pour un système sans nœud bloqué, les matrices des coefficients d’autocontrainteassociés aux directions X, Y, Z sont égales :

(18)

Le système est stabilisable s’il existe un état d’autocontrainte {q0} tel que la fonctionnelle Wsoit définie positive.

{ } [ ] { } { } { } [ ]{ } 0D21Walors0avecAKer 0TT >δδ=≠δ∈δ∀

[ ][ ]

[ ][ ]

=0z

0y

0x

0

D000D000D

D

[ ] [ ] [ ]x0T

x0x CQ]C[D =

{ } [ ] { }α= TTI

[ ] [ ] [ ]0z

0y

0x DDD ==


38

3.1.1 Contraintes internes et mécanismes

Dans ce document, on évoque les contraintes initiales et les différents états de contraintes quesubissent les composants. Précontrainte et autocontrainte sont des termes souvent utilisés dansla littérature du sujet, parfois sans aucune distinction. Cependant, les particularités dessystèmes de tenségrité rendent nécessaire d’adopter des définitions et de préciser le sensattribué à chaque terme.

Nous qualifierons ainsi d’état de contraintes initial un état de contraintes internes instauré enl’absence de chargement extérieur. Une distinction doit cependant être faite entre un étatd’autocontrainte et un état d’exocontrainte initial.

Nous nommerons état d’autocontrainte un état de contraintes internes autoéquilibré enl’absence de toute liaison avec l’extérieur et de tout chargement externe. Dans cet état, lesactions sur les nœuds sont uniquement celles des composants du système (barres et câbles) ;elles sont nécessaires et suffisantes pour l’équilibre des nœuds.

Nous qualifierons d’état d’exocontrainte un état de contraintes internes qui dépend de soninteraction avec l’extérieur (conditions aux limites). Pour vérifier l’équilibre de cescontraintes, il est nécessaire de considérer les effets des réactions aux appuis (exoéquilibre).

Dans les systèmes réticulés, les états d’autocontrainte ou d’exocontrainte sollicitent lescomposants uniquement en traction ou en compression. Pour répondre à un objectif declarification, le terme de précontrainte ne sera plus employé dans ce mémoire.

L’état de contraintes initial peut être composé des états d’autocontrainte, d’exocontrainte, oubien de la combinaison des deux. Il contribue à la stabilité du système et peut avoir desintensités différentes.

Les systèmes de tenségrité que nous traiterons sont sollicités par des contraintes initialesseulement issues de combinaisons des états d’autocontrainte. Il est cependant nécessaired’analyser soigneusement les appuis qu’on utilisera dans la modélisation du système, car il estpossible d’avoir dans la base des états de contraintes [T] la présence à la fois des étatsd’autocontrainte et des états d’exocontrainte.

Mécanismes

Mécanismes de corps rigideDans une structure tridimensionnelle, libérée des liaisons avec l’extérieur (sans appui), sixmouvements d’ensemble sont possibles sans changer la position relative des nœuds (trois detranslation et trois de rotation) ; ce sont les mécanismes de corps rigide.

Les mécanismes obtenus au moyen de la méthode proposée par S. Pellegrino [PEL86]incluent ces mécanismes de corps rigide. Pour les éliminer, il est nécessaire de fixer sixdegrés de liberté convenablement choisis. (Figure 15).

Figure 15: Structure sans mécanisme de corps rigide

F

FF

F

FF

L

L L

Y

Z

XDegrés de liberté : L libre F bloqué (fixe)


39

On remarque que le blocage de plus de six degrés de liberté provoquera une modification soitdu nombre d’états de contrainte, soit du nombre de mécanismes.

Mécanismes internesUne fois que l’ensemble de la structure est fixé pour éviter les déplacements de corps rigide,le système peut toutefois admettre des ensemble de déplacements particuliers des nœudsappelés mécanismes internes.

Deux types de mécanisme interne sont identifiés : fini ou infinitésimal. Si les déplacementsdes nœuds ne produisent aucune variation de longueur des éléments, il s’agit d’un mécanismefini. Si ces variations sont nulles au premier ordre (ordre de référence des déplacements desnœuds) le mécanisme est infinitésimal. Son ordre est défini comme étant le dernier ordre pourlequel les variations de longueur sont nulles [VAS97]. Deux exemples simples sont montrésdans la suite.

Dans la Figure 16, on présente une structure simple à deux barres identiques et trois nœudsqui possède un mécanisme fini. Le nœud 2, sans opposer de résistance, peut suivre unetrajectoire circulaire et dans un plan perpendiculaire à l’axe reliant les nœuds 1 et 3. Lalongueur des composants reste constante.

Figure 16: Mécanisme fini

Le système représenté dans la Figure 17 avec deux composants et trois nœuds alignés, estsusceptible d’accepter un état de contraintes initial (exocontrainte) et possède un mécanismeinfinitésimal activé par l’application d’une action extérieure fy.

Figure 17: Mécanisme infinitésimal

Ce mécanisme infinitésimal permet au système d’adopter une géométrie dans laquelle lescomposants équilibrent l’action extérieure. La variation de longueur des composants ∆l1 estfonction du carré du déplacement du nœud central (u2 avec u<1).

Si dans le calcul de la longueur actualisée des composants on élimine les termes de deuxièmeordre, la déformation est nulle. Dans ce cas, le mécanisme infinitésimal est d’ordre un ou depremier ordre.

exocontrainte T1 = T2 >

u

fY RXRX

l10l1

0

l10 + ∆l1

fX

T1 T2

T1 = T2 = 0 3

2

1 1 2


40

Activation des mécanismes

Dans le cas des composants à rigidité unilatérale de traction (câbles), pour installer uneprécontrainte, la longueur libre devra être inférieure à la longueur dans la configuration deréférence (llib<li

0). Pour des contraintes nulles sans relâchement des câbles, la longueur libredevra être exactement égale à li

0 (llib = li0).

L’installation d’un état d’exocontrainte affecte le comportement mécanique du système souschargement externe. Dans la Figure 18, on montre l’évolution charge-déplacement du systèmeà deux câbles présenté dans la Figure 17.

Figure 18: Diagramme charge-déplacement pour un chargement vertical et horizontal

Les effets des actions ont été considérés séparément selon leur direction d’application. Agauche, l’action fY active le mécanisme infinitésimal et on observe que le système est plusrigide en présence d’une contrainte initiale et avec l’augmentation de l’action (non linéarité).

A droite, l’action fX agit dans la direction de l’axe des câbles et la réponse est linéairejusqu’au relâchement de l’un d’entre eux. A partir de ce point, la rigidité du système diminue.

Calcul des efforts internes dans les composants

La contrainte dans un composant du système peut être calculée par la loi de Hooke :

(19)libi

libi

0i

iiIi l

llAET −=

fX

∆l1 ∆l1 = l10 - llib

uX

∆l1

0

avec exocontrainte

sans exocontrainte

fY

uY

0

avec exocontrainte


41

3.2 Autocontrainte dans les systèmes réticulés spatiaux

3.2.1 Calcul de la base des états d’autocontrainte

Une fois que le concepteur a choisi le type de système de tenségrité qu’il veut utiliser, il estnécessaire de connaître tous les états d’autocontrainte que l’on peut instaurer dans celui-ci etde connaître aussi les mécanismes qui peuvent exister.

Le calcul du noyau de la matrice d’équilibre [A], pour un système sans liaison avecl’extérieur, fournit s états d’autocontrainte {sTi} linéairement indépendants constituant la base[T] (c. f. Annexe B).

(20)

D’une manière similaire, on peut déterminer le noyau de la matrice de compatibilité dedéformations [A]T pour obtenir les m mécanismes {M} constituant la base des mécanismes[M]. Le nombre de mécanismes et la base [M] ainsi déterminés incluent toutefois lesmécanismes de corps rigide déjà évoqués.

Les applications architecturales et de génie civil nécessitent de fixer la structure au milieuextérieur et de bloquer certains degrés de liberté.

Pour chaque nœud d’un système tridimensionnel réticulé, il est possible de bloquer ouéliminer jusqu’à trois degrés de liberté ; le choix dépend des effets attendus.

L’élimination d’un degré de liberté produit un des deux effets suivants : la suppression d’unmécanisme ou l’apparition d’un état de sollicitation interne additionnel à ceux existants avantle blocage. Ainsi, la base des états d’autocontrainte peut être modifiée par le blocage desnœuds aux appuis qui peut entraîner l’apparition d’efforts internes initiaux liés à des étatsd’exocontrainte.

La Figure 19 illustre les effets du blocage de degrés de liberté sur un système à deux câbles ettrois nœuds.

Figure 19: Effets de l’élimination des degrés de liberté

On a utilisé deux exemples de systèmes réticulés pour montrer les effets du blocage desnœuds ; ils nous serviront aussi à distinguer les deux types d’états de sollicitationinitial (exocontrainte et autocontrainte). Finalement, on exposera un critère pour sélectionner

{ } { } { }[ ] )bà1i(T...T.........T...T

T...,,T,T]T[

bs

b1

1s

11

is

i2

i1 =

==

a) Système initial b) Moins un degré c) Moins deux degrés d) Moins trois degrés de liberté de liberté de liberté

m = 2; s = 1; m =1; s = 1; m = 0; s = 1; m = 0; s=2;

X

1

Y

Z

23

m1

m2

T1

1

YX

Z

23

T2 T1

1

YX

Z

23

T1

1

YX

Z

23

m1

T1


42

les états de sollicitation interne qui feront partie de la base des états d’autocontrainteutilisables pour les systèmes de tenségrité.

Système réticulé

Dans la Figure 20, on montre un système réticulé spatial régulier et symétrique, sans liaisonavec l’extérieur, qui possède trois états d’autocontrainte (EAC 1 à 3). Cette configuration estformée par 7 nœuds et 18 composants à rigidité bilatérale, dont 6 sont de longueur unitaire(ensemble A), et les 12 restants sont de longueur ◊2 (ensemble B).

Figure 20: Système réticulé spatial avec 3 états d’autocontrainte

Les composants sollicités dans chaque état d’autocontrainte sont repérés par une lignecontinue noire. Des contraintes de compression unitaire apparaissent sur les composants A(TA= –1) et de traction pour les composants B localisés sur la périphérie (TB= 0.7071). Lescontraintes sur les composants restants, dessinés en ligne pointillée, sont nulles. Notons que lanature de l’autocontrainte peut être changée par inversion de signe car les composantspossèdent une rigidité bilatérale. Pour ces deux situations et dans les trois états, l’ensemblepeut rester en équilibre sans l’intervention d’appui extérieur, il s’agit d’états d’autocontrainte.

Si on supprime les six degrés de liberté comme indiqué dans la Figure 21 a), le systèmeconservera ces trois états d’autocontrainte et les mécanismes de corps rigide seront neutralisésavec un blocage minimal.

La suppression d’un degré de liberté additionnel (Figure 21 b), provoquera l’augmentation dunombre d’états de sollicitation interne linéairement indépendants. La base des états decontraintes initiales intègre alors les trois états d’autocontrainte déjà mentionnés plus unquatrième, qui est en fait un état d’exocontrainte (EXC4). Dans celui-ci, les deux nœudssoumis aux sollicitations TA sont équilibrés par les réactions d’appuis.

a) Blocage minimal b) Blocage minimal plus un degré de liberté supprimé

Figure 21: Relation entre le degré de liberté bloqué et l’état de contraintes initial

Nous faisons remarquer que, dans certains cas, il est parfois possible de choisir les conditionsaux appuis de telle sorte qu’il n’y ait pas génération des exocontraintes.

Blocage dunœud modifié

Z

Y X

EXC4 RX

RX

TA

TA

EAC2EAC1 EAC3

Z

Y X

Composant Longueur A 1 B ◊2

TractionCompressionContrainte nulle

Composants en :


43

Les contraintes de traction ou de compression sur les deux composants concernés sont égales(TA= ≤1). Le niveau dépendra, comme pour les autres états, des longueurs de fabricationchoisies.

La suppression ou le blocage d’un degré de liberté constitue une interaction avec l’extérieurdu système. L’état associé correspond à l’état de sollicitation que nous avons défini commeétat d’exocontrainte.

Dans cet état d’exocontrainte additionnel, un composant au moins, parmi ceux qui sontassociés à un nœud sur lequel on a introduit une condition supplémentaire, est sollicité.L’équilibre du nœud est possible en considérant la réaction d’appui dans la direction bloquée.Cela peut se vérifier dans l’équation d’équilibre du système sur la ligne dans laquelle le degréde liberté a été supprimé (c. f. Annexe C).

Système de tenségrité multimodule

Dans la Figure 22, on présente à gauche, un système carré en plan formé par l’assemblage dequatre quadruplex identiques. A droite, seuls les câbles et les nœuds de la nappe inférieuresont représentés. Douze degrés de liberté ont été bloqués, trois à chaque angle de la base.

Figure 22: Système multimodule et conditions aux limites

Avant l’introduction de ces conditions aux limites, le système possédait quatre étatsd’autocontrainte et sept mécanismes. Après leur mise en place, il n’y a plus de mécanismeinfinitésimal et il existe neuf états de contraintes initiales (illustrés sur la Figure 23).

Figure 23: Etats de sollicitation interne du système multimodule à quatre quadruplex

Quatre états d’exocontrainte localisés sur la nappe inférieure

1 2 3 4

5 6 7 8 9

Quatre états d’autocontrainte localisés sur les modulesPerspective,vue supérieure


44

Les neuf états de contraintes initiales sont constitués par les quatre états d’autocontrainteassociés aux quatre modules de type quadruplex, plus quatre états d’exocontrainte localisésentre les appuis de la nappe inférieure et un neuvième état d’exocontrainte qui utilise unepartie des composants de chaque module (Figure 24). Dans les quatre nœuds situés auxangles, les réactions d’appuis sont nécessaires pour équilibrer ces cinq derniers états.

Figure 24: Etat d’exocontrainte initial sollicitant les appuis.

Les relations proposées par S. Pellegrino (équations (7) à (9)) sont vérifiées pour ce système à60 composants et 21 nœuds.

• Avant blocage, le système possédait 4 états d’autocontrainte, 7 mécanismes et 63 degrésde liberté. En utilisant l’équation (10) pour un système sans liaisons avec l’extérieur (k=0) :

s – b = m – N soit (4 – 60) = (7 – 63) = -56

• Après le blocage des 12 degrés de liberté, le nombre de degrés de liberté N est 63-12= 51.

Le rang de la matrice d’équilibre est ainsi :rA = b – s = 60 – 9 = 51 ourA = N - m = 51 - 0 = 51

Base des états d’autocontrainte des systèmes de tenségrité

Sur les nœuds d’un système réticulé autocontraint convergent exclusivement les effortsinternes de traction et de compression des composants propres au système (barres et câbles).C’est le sens de l’expression état d’autocontrainte.

Nous avons décidé de conserver le caractère indépendant de l’autocontrainte initiale dusystème et d’éviter la participation d’un chargement extérieur ou lié au milieu extérieur dansl’équilibre des nœuds. En conséquence, les états de sollicitation que nous avons nommés étatsd’exocontrainte, seront exclus de la base des états de contraintes initiales [T] et nous neconserverons ainsi que les états d’autocontrainte.

Les systèmes de tenségrité utilisent un état d’autocontrainte issu d’une combinaison linéairedes états d’autocontrainte de cette base.


45

3.2.2 Identification et classification des états d’autocontrainte

Les s vecteurs ou états d’autocontrainte de la base [T] peuvent être combinés pour disposerd’une base équivalente conservant s vecteurs linéairement indépendants. Différentesprésentations sont possibles.

Dans un vecteur d’autocontrainte de la base, chaque terme représente l’état de contrainte d’uncomposant de la structure. L’analyse des différents vecteurs d’états d’autocontrainte nouspermet de visualiser leur différentes "formes" sur un schéma de la structure.

Dans certains cas, il est préférable de faire des combinaisons d’autocontrainte pour obtenir lesvecteurs dans une forme ou manière déterminée qui ne sont pas facilement détectables sur lareprésentation numérique des vecteurs. C’est par exemple le cas pour un vecteurd’autocontrainte impliquant uniquement les composants localisés dans un module detenségrité qui a été assemblé avec d’autres pour former un système multimodule.

Les états d’autocontrainte montrés dans les deux exemples précédants ne résultent pasdirectement du calcul numérique car, sinon, ils auraient été difficilement lisibles etexploitables. Nous les avons ainsi organisés par des combinaisons linéaires. Par exemple,dans le cas de la Figure 20, on a choisi de présenter les vecteurs de la base d’autocontraintesur des plans orthogonaux.

3.2.2.1 Définition des différents types d’états d’autocontrainte

Les systèmes de tenségrité que nous utiliserons possèdent de nombreux états d’autocontrainteaux caractéristiques variées et plusieurs classifications peuvent être employées.

Ces états sont définis comme conformes ou compatibles s’ils sollicitent les composants enrespectant l’unilatéralité de leur rigidité. Dans cas contraire, ils seront nommés non-conformesou non-compatibles.

Nous précisons aussi qu’un état d’autocontrainte qui sollicite tous les composants d’unsystème est total. Si au moins un composant n’est pas sollicité, il est nommé partiel.

Dans ce dernier cas, il est possible de distinguer trois cas de figure :

- Un état d’autocontrainte modulaire est un état d’autocontrainte partiel agissant sur unsous-domaine du système qui peut être extrait et constituer par lui-même un moduleélémentaire de tenségrité stable.

- Un état d’autocontrainte restreint est un état d’autocontrainte partiel localisé sur un sous-domaine du système qui, une fois extrait, ne constitue pas un module élémentaire detenségrité stable.

- Un état d’autocontrainte diffus est un état d’autocontrainte partiel qui sollicite descomposants répartis diffusément sur le système.

Ainsi les états d’autocontrainte pourront être classés de la façon suivante.


46

Conforme restreint partiel modulaire

Etat d’autocontrainte diffusNon-conforme total

Figure 25: Classification des états d’autocontrainte

La méthode que nous employons pour l’obtention de la base d’autocontrainte ne prend pas encompte la symétrie ou la périodicité de la forme utilisée ainsi que la rigidité unilatérale descomposants.

Les présentations des vecteurs d’autocontrainte issus directement du calcul numérique ne sontpas toujours adaptées à notre propos. Il sera nécessaire de trouver la meilleure manière de lesorganiser.

Dans la suite, on présente quatre méthodes pour organiser les états d’autocontrainte résultantdirectement du calcul. Les deux dernières ont été développes dans le cadre de cette thèse.

J. Quirant [QUI00] a proposé deux méthodes pour obtenir les états d’autocontrainte quisollicitent les composants en respectant leur rigidité. Et deux ont été développés etc.

a) La première méthode dite conditionnelle, consiste à reconstruire, si cela est possible, unenouvelle base des états d’autocontrainte formée uniquement de vecteurs conformes etlocalisés autour des modules si la structure est multimodule ou sinon autour de certainséléments (état d’autocontrainte restreint).

b) Une deuxième méthode utilise des techniques de programmation linéaire pour recherchertous les états d’autocontrainte partiels conformes (Modèle mathématique systématique).

a) Méthode conditionnelle

Cette approche suppose une certaine connaissance des états d’autocontrainte acquise dans lecas de structures de petite taille et de pouvoir faire des considérations géométriques sur larépétitivité des modules.

Elle consiste à calculer un à un les états d’autocontrainte partiels. Pour cela, on fixe la valeurde la contrainte de certains composants pour réunir s conditions liées à s lignes linéairementindépendantes de la matrice des états d’autocontrainte [T]. Ces conditions sont groupées dansun vecteur de conditions {co} et ces lignes sont réunies dans une matrice carrée de rang sinversible nommée matrice condition [Co] telle que :

(21)

où les termes de {α} donnent les coefficients de participation de chaque vecteur colonne de lamatrice condition afin de vérifier les conditions {co}.

Le vecteur {α}est utilisé pour déterminer un vecteur d’autocontrainte partiel {jT} qui respecteles conditions imposées :

(22)

(23)

{ } [ ] { }α= Coco

{ } [ ] { }α= TTj

{ } [ ] { }o1 cCo −=α


47

b) Méthode mathématique systématique

La deuxième méthode consiste à rechercher tous les états d’autocontrainte conformes dusystème. Elle considère l’unilatéralité de rigidité uniquement pour les c composants tendus(câbles). Conséquemment, on peut écrire les c inégalités suivantes :

(24)

ou de manière condensée :

(25)

Le vecteur {α} = {α1, α2 …, αs} réunit les coefficients de participation de chaque étatd’autocontrainte de la base [T] relatifs à la tension des câbles. Si on veut conserver descompressions sur les barres, il faut ajouter à ces conditions celles relatives à ces composants(supposés à rigidité unilatérale).

Les c conditions de l’équation (25) peuvent être interprétées géométriquement comme cpartitions de l’espace vectoriel des solutions (du noyau de [A]) par des hyperplans donnantune zone conforme et une zone non-conforme.

Lorsque le nombre d’états d’autocontrainte est égal à deux (s=2), chaque condition définit uneligne Ci qui coupe le plan (α1, α2) en deux demi-plans, l’un conforme et l’autre non-conforme(voir Figure 26 pour un cas avec c=4). Les lignes C1 et C2 délimitent la zone "blanche" desétats d’autocontrainte conformes qui respectent toutes les conditions.

Figure 26: Zone des solutions conformes

Dans le cas où s = 3, les c conditions posées sur les câbles définissent des plans qui passentpar le point de coordonnées (0, 0, 0) et partagent l’espace défini par les coefficients α1, α2, α3en deux demi-espaces conforme et non-conforme. L’intersection des zones conformesdélimitent un espace convexe de solutions nommé cône de conformité (Figure 27).

Figure 27: Espace des états d’autocontrainte conformes

0T...TT0............0T...TT

scs

2c2

1c1

s1s

212

111

≥α++α+α≥+++≥α++α+α

( )∑=

=≥α≥α=s

1jiji

ji )cà1i(0avec0TT

α0

α2

α3

Zoneconforme

α2

α

C1

C2

C3C4


48

Le nombre de faces de ce cône est au plus égal au nombre de conditions imposées (nombre decâbles) car certains plans peuvent se superposer. Ces faces correspondent à un coefficientd’autocontrainte nul pour au moins un câble, et pour au moins deux câbles sur une arête.

Les coordonnées d’un point situé dans le cône de conformité définissent un vecteur {α} qui,une fois multiplié avec la base [T], donne un état d’autocontrainte conforme.

Pour éviter la solution triviale lié au point (0, 0, 0), on fixe une condition additionnelle sur levecteur {α} pour situer les points solutions sur un hyper-plan privilégié qui peut s’écrire :

(26)

L’intersection de l’espace de conformité avec un plan passant par les points (1, 0, 0), (0, 1, 0)et (0, 0, 1) définit un polygone de conformité.

Les sommets définissent des états d’autocontraintes qui possèdent des coefficientsd’autocontrainte nuls sur des lignes de la matrice [T] communes et distinctes. La connaissancede la position des sommets induit celle des arêtes de l’espace solution et en conséquence celledes états d’autocontrainte conformes partiels.

Pour le cas d’un nombre d’états d’autocontrainte supérieur à trois (s>3), cette méthode utilisedes techniques de programmation linéaire, pour trouver les sommets de l’hyper-polyèdre deconformité au moyen d’un parcours exhaustif, et de tests sur les sommets des frontières dudomaine solution.

A la fin, le concepteur obtient un ensemble d’états d’autocontrainte conformes dont le nombrepeut être supérieur au nombre de vecteurs de la base. On peut décider de garder l’ensemblecomplet ou d’utiliser une partie.

Une combinaison par des facteurs multiplicatifs positifs est alors possible pour définir l’étatd’autocontrainte initial.

Dans la suite, on expose deux méthodes développées pour organiser les vecteurs d’étatsd’autocontrainte. Elles ont été utilisées dans les cas traités dans cette thèse.

∑=

=+αs

1jj 01


49

Méthodes pour réduire le nombre de coefficients non nuls

On présente ici deux procédures pour calculer une base des états d’autocontrainte [Sred] où lesvecteurs utilisent un nombre réduit de composants à valeurs non nulles. Cette matrice seraformée à partir de la base à s vecteurs d’autocontrainte résultant directement du calcul etnommée [Sbrut].

A.- Méthode d’élimination de Gauss conditionnée

Une première procédure consiste à faire des éliminations entre les coefficients des lignes de latransposée de la matrice des états d’autocontrainte ([S]T), en conditionnant l’opération àl’obtention d’une nouvelle ligne où le nombre de composants à valeur non nulle a été réduit(augmentation du nombre de coefficients à valeur nulle).

Ce processus peut être scindé en deux parties qui seront répétées. Dans la première, la matricedes états d’autocontrainte est transposée et les lignes sont ordonnées selon le nombre decoefficients non nuls. On place dans la première ligne le vecteur qui utilise le nombre minimalde composants non nuls, et à la dernière ligne le vecteur qui en a le nombre le plus important.

Ensuite, on étudie la possibilité d’élimination sur des couples de lignes formés par la premièreligne possédant le nombre de coefficients non nuls le plus petit et les autres lignes de lamatrice.

Les deux premières lignes qui forment le premier couple sont parcourues jusqu'à trouver deuxcoefficients non nuls sur la même colonne. Le coefficient de la première ligne est utilisé pouréliminer celui de la deuxième.

Avant de procéder à l’élimination, il est nécessaire de tester si le nombre de composants àcoefficients non nuls de la deuxième ligne diminue, sinon, sans faire l’opérationd’élimination, on cherche une autre colonne de coefficients non nuls. La recherche continuejusqu'à effectuer une élimination ou parcourir toutes les colonnes des deux lignes.

Le processus se répète avec les couples où la deuxième ligne est remplacé par la ligne qui a leplus grand nombre de coefficients non nuls.

Par exemple, les colonnes des deux premières lignes sont parcourues jusqu'à trouver deuxcoefficients non nuls sur la même colonne (équation (27)). Le coefficient non nul de lapremière ligne est utilisé pour éliminer le coefficient non nul de la deuxième ligne pourobtenir le vecteur S*2 de l’équation (28) où le nombre de coefficients non nuls est réduit à six.

- couple de lignes avant l’élimination :

(27)

- couple de lignes après l’élimination :

(28)66

01100100100011001011001001000010

*SS

2ligne1ligne T

2

1

−−

−=

106

11010110110011101011001001000010

SS

2ligne1ligne T

2

1

−−−−−−

−=

Nombre de coefficients non nulsDeux coefficients non nuls


50

Une fois parcourue toute la matrice, les nouveaux vecteurs sont réorganisés selon le nombrede coefficients à valeur nulle, comme décrit dans la première étape, et le processus est répétéjusqu’à épuiser la possibilité d’élimination des coefficients.

Cette méthode permet d’obtenir des vecteurs d’autocontrainte à faible nombre de composantspour des systèmes de taille modeste (une quinzaine d’états d’autocontrainte). Dans la Figure28, on présente par exemple les états d’autocontrainte partiels obtenus sur un ensemble deneuf quadruplex à 19 états d’autocontrainte.

Figure 28: Etats d’autocontrainte qui utilisent un nombre réduit de composants

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11

12 13 14 15

16 17 18 19


51

B.- Méthode de calcul des vecteurs avec un nombre de coefficients nuls augmenté

Une deuxième procédure consiste à obtenir des vecteurs {Sired}, avec un nombre réduit de

coefficient non nuls, par combinaison linéaire des s vecteurs de la base d’autocontrainte[Sbrut], soit :

(29)

où {αi} est le vecteur des coefficients de participation des vecteurs de la base originale.

B.1.- Pour obtenir le premier vecteur {α}, on commence par obtenir une matrice auxiliaire[S1

aux], sous-matrice de [Sbrut] formée par des vecteurs ligne qui ne sont pas multiples entreeux.

Par exemple, le premier vecteur ligne de la matrice [Sbrut] est comparé avec le reste de lamatrice :

(30)

avec λ scalaire quelconque.

La ligne k est identique à la ligne 1 si λ=1, ou est multiple si λ∫1. Les vecteurs identiques oumultiples sont comptabilisés comme répétitions du vecteur 1 et ils ne sont plus comparés avecles autres lignes.

Ainsi, on garde dans la matrice auxiliaire [S1aux] le vecteur ligne {q1

1 …. qs1} et le nombre de

répétitions est enregistré dans une colonne additionnelle. On procède de manière similaireavec les autres lignes de la matrice. A la fin, toutes les lignes réunies dans la matrice auxiliaireont un nombre de répétitions au moins égal à un. Leur somme de ce nombre de répétitions estégale au nombre de lignes de la matrice [Sbrut].

B.2.- On obtient ainsi une matrice auxiliaire [S1aux] à b’ lignes (b’b b) et s colonnes. Ces

lignes sont ordonnées selon le nombre de répétitions trouvées. On commence par le vecteurde répétition minimale et on finit avec celui le plus répété.

B.3.- Une nouvelle matrice auxiliaire [S2aux] carrée, de rang s, et sous-matrice de [S1

aux] estformée par les (s-1) lignes linéairement indépendantes les plus répétées. On place sur lapremière ligne un vecteur linéairement indépendant choisi parmi les vecteurs les moinsrépétés (on teste d’abord l’indépendance de la première ligne de [S1

aux]).

B4.- Lors du produit matriciel de [S2aux] et {α}, on impose comme solution le premier vecteur

colonne de la matrice identité :

(31)

La matrice [S2aux] est inversée pour obtenir le premier vecteur {α} :

(32)

{ } [ ]{ }ibrutred

i SS α=

{ } { } )bà1k(q...qq...q ks

k1

1s

11 =λ=

[ ] { } { } { } { }T111

aux2 0...,0,1IoùIS ==α

{ } [ ] { }11aux

21 IS −=α

?


52

B.5.- Ce vecteur {α1} représente une combinaison linéaire des vecteurs de la matrice [Sbrut]qui contient des valeurs nulles dans les lignes les plus répétées, ce qui diminue le nombre decoefficients non nuls :

(33)

B.6.- D’autres états d’autocontrainte linéairement indépendants, possédant un nombre réduitde coefficients non nuls, pourront être calculés en utilisant les coefficients {αi} obtenus parmultiplication de la matrice auxiliaire inversée avec les autres vecteurs de la matrice identité :

(34)

(35)

Remarque : les vecteurs de la matrice [Sred] ainsi obtenus ne constituent pas un ensembleoptimal de vecteurs. Cependant, ils permettent de réduire le nombre de composants non nulspour des systèmes autocontraints de petite taille.

3.2.2.2 Autocontrainte et rigidité unilatérale

Les vecteurs de la base d’états d’autocontrainte que nous avons mentionnés précédemment(3.2.1) ont été obtenus sur des systèmes réticulés où tous les composants possèdent unerigidité bilatérale.

Pour être utilisés comme systèmes de tenségrité, il faut prendre en compte la présence decomposants à rigidité unilatérale (câbles). On risque en effet d’obtenir des étatsd’autocontrainte partiels sollicitant les câbles en compression (non-conformes).

D’autre part, la capacité des câbles pour empêcher les mécanismes est limitée elle aussi parleur unilatéralité. Un composant à rigidité bilatérale peut éliminer un mécanisme d’unsystème tandis qu’un câble peut agir uniquement dans le sens de la trajectoire du mécanismecompatible avec sa rigidité (Figure 29).

Figure 29: Mécanisme dans une structure plane

L’action combinée d’au moins deux câbles peut compléter le blocage de la trajectoire d’unmécanisme. Le relâchement d’un d’entre eux permet au mécanisme de réapparaître.

Dans les systèmes de tenségrité, la participation des câbles dans le blocage des mécanismesest assurée par la présence de l’autocontrainte qui les maintient tendus. Le nombre demécanismes peut être considéré comme invariable tant que les câbles restent en tension.

Mécanisme

Demi-blocage de mécanisme

2

1 3

Mécanisme bloqué

Câble

Câble

2

1 3

Câble : détendutendu

Câble

{ } [ ] { } )sà1i(IS i1aux

2i ==α −

{ } [ ] { }ibrutred

i SS α=

{ } [ ] { }1brutred

1 SS α=


53

3.3 Recherche d’un état d’autocontrainte total et conforme

Un premier pas, avant de procéder à l’organisation des vecteurs de la base d’autocontrainte,est de vérifier que le système possède au moins un état où tous les composants soientsollicités en traction ou compression tout en respectant la rigidité des composants, c’est à direun état total et conforme.

Dans l’hypothèse de l’existence d’un vecteur total et conforme, il appartient au noyau de lamatrice [A] et peut être décomposé dans les s vecteurs colonne de la base des étatsd’autocontrainte [T].

Pour un système à b composants dont c possèdent une rigidité unilatérale à la traction(câbles), ce problème peut s’écrire comme :

Trouver un vecteur {α}= {α1, α2, … αs }T tel que :

ou, de manière plus concise :

(36)

et :

(37)

Si les composants comprimés possèdent une rigidité bilatérale, il est suffisant de considérerles conditions imposées sur la première partie d’inégalités (équation (36)). Ces conditions depositivité peuvent être réécrites comme un problème de programmation linéaire sous la formesuivante :

(38)

La solution de ce problème, si elle existe, peut être déterminée par la méthode du simplexe.Dans un tel cas, un état d’autocontrainte total et conforme peut être calculé. Il servira pourdétecter les câbles surabondants et pour faire un test de stabilité du système [VAS97].

Remarque : si des câbles surabondants sont détectés puis éliminés, le recensement des étatsd’autocontrainte et des mécanismes devra être refait.

0T...TT0............0T...TT0T...TT0............0T...TT

sbs

2b2

1b1

s1cs

21c2

11c1

scs

2c2

1c1

s1s

212

111

≤α++α+α≤+++≤α++α+α>α++α+α>+++>α++α+α

+++

( )∑=

=>α=s

1jji

ji )cà1i(0TT

( )∑=

+=≤α=s

1jji

ji )bà1ci(0TT

Composants tendus (câbles)

Composants comprimés

( )∑=

=>ε≤ε−α=ε−=s

1jiiji

jiii )cà1i(0avec0TTy


54

3.4 Définition de la distribution et du niveau d’autocontrainte

Dans les systèmes de tenségrité, l’état d’autocontrainte initial est nécessaire pour préparer lesystème à recevoir un chargement extérieur. Dans un système complexe, cet état initial estformé à partir d’une combinaison convenable des états d’autocontrainte qui peuvent êtreinstallés potentiellement dans sa configuration.

3.4.1 Cas d’un module simple

Dans la Figure 30, on montre un module élémentaire de tenségrité (quadruplex). Il possèdeune géométrie et topologie particulières pour lesquelles on peut calculer un étatd’autocontrainte. Cet état peut être installé dans le système pour contribuer à sa rigidité et sastabilité.

Figure 30: Module élémentaire

Nous avons représenté sur la Figure 31 la distribution des efforts internes sur les composantscorrespondant à cet état.

Figure 31: Etat d’autocontrainte

On a utilisé une numérotation de composants suivant l’ordre : barres, câbles des nappesinférieure et supérieure, et câbles d’entretoisement (seize composants au total).

Les barres sont comprimées et les câbles tendus, tous les composants sont impliqués et lanature des composants est respectée (état d’autocontrainte total et conforme).

Les efforts dans les barres sont normalisés (compression unitaire). Sur les câbles agissent troisefforts de traction différents qui ont été déterminés par rapport à la valeur de la compression.Ces efforts constituent les coefficients du vecteur normalisé.

1.5

1.5

1.51 2

3

4

7

16 1415

1011

12 9

8 6

5

13

barres câbles

No. du composant

Effo

rts n

orm

alis

és

-0.5

0.5

-1.0

1.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.520.37

0.67

inférieurs supérieurs d’entretoisement


55

Le niveau de l’état d’autocontrainte initial est établi par le coefficient scalaire positif C quimodifie l’intensité des efforts du vecteur normalisé :

(39)

où {TI} est l’état autocontrainte initial et {TN} est l’état autocontrainte normalisé.

3.4.2 Cas de deux modules simples juxtaposés

Une structure formée de deux modules quadruplex juxtaposés (Figure 32) possède une baseavec deux états d’autocontrainte partiels.

Modules A B quadruplex

Figure 32: Deux modules juxtaposés

Ces états ont été combinés, puis mis en conformité et normalisés afin de les localiser sur lesformes autocontraintes de chaque module.

a) {T1N}sur le module A b) {T2

N}sur le module B

Figure 33: Etats d’autocontrainte partiels modulaires

Ils constituent une base complète qui est suffisante pour former un état d’autocontrainte totalet conforme :

(40)

{ } { }NI TCT =

{ } [ ] { } { }{ }[ ]

αα

=α=2

1N2

N1

NI TTTT


56

L’utilisation de coefficients de participation différents donnera lieu à différentesautocontraintes (Figure 34 a)). Si on utilise une même valeur pour tous les coefficients, larépartition de l’autocontrainte est dans ce cas homogène (Figure 34 b)).

a) Distribution non-homogène b) Distribution homogène

Figure 34: Répartition l’état d’autocontrainte

Les valeurs des coefficients du vecteur {α} définissent la distribution des étatsd’autocontrainte partiels normalisés à l’intérieur de l’état d’autocontrainte total.

L’autocontrainte qu’on décide d’installer au final dans le système sera déterminée à partir dela base des états d’autocontrainte normalisée :

(41)

Le concepteur, pour déterminer la distribution et le niveau des états d’autocontrainte partiels,devra choisir la valeur du coefficient C et celles des coefficients αi. Si on utilise une base non-normalisée, ces coefficients peuvent être différents pour un même état d’autocontrainte total.

3.4.3 Cas d’un système multimodule

Pour des structures comportant de nombreux modules, par exemple dans une grille detenségrité formée par 36 modules quadruplex (Figure 35 a)), il y a 124 états d’autocontraintepartiels. Dans la Figure 35 b), on montre trois répartitions en utilisant seulement 36 d’entreeux.

a) Structure à 36 modules b) Répartitions homogène et non-homogènes

Figure 35: Répartitions des états d’autocontrainte des quadruplex

{ } [ ] { }α= NI TCT

00.250.5

0.751

α1=1α2=1

00.250.5

0.751

α1=1α2=0.5

α

y

x α

y

xxy

α

y

x


57

4 Conclusion

Dans les systèmes de tenségrité multimodule, le nombre d’états d’autocontrainte est supérieurau nombre de modules assemblés et il est prévisible pour les assemblages linéaires.

Les grilles de tenségrité que nous étudions possèdent de nombreux états d’autocontrainte et,parfois, des mécanismes. Des analyses sur les matrices d’équilibre permettent toutefois leurdétermination.

L’état d’autocontrainte initial, indispensable pour rigidifier la structure, sera composé par lesétats de sollicitations internes indépendants des liaisons avec l’extérieur (autocontrainte). Cetétat peut résulter de la participation des états partiels pour définir différentes répartitions etson niveau peut être établi par un facteur multiplicatif.

Il est ainsi nécessaire de s’assurer qu’il existe au moins un état d’autocontrainte qui sollicitetous les composants du système (total) respectant leur rigidité (conforme).

Nous disposons à présent de plusieurs méthodes permettant de trier, identifier et étudier lesétats d’autocontrainte. Une bonne connaissance de ces états est en effet nécessaire pourdéterminer la meilleure façon de les combiner afin de définir l’état d’autocontrainte initial quel’on mettra en œuvre dans les structures.


58


59

Partie IIDimensionnement des

systèmes de tenségrité


60

Partie II Dimensionnement des systèmes de tenségrité

61

Partie II : Dimensionnement des systèmes de tenségrité

Le premier chapitre de cette partie expose les étapes du dimensionnement ainsi que lamodélisation du comportement mécanique utilisée. Il présente aussi la manière dont sont prisen compte la présence de composants à rigidité unilatérale, la sensibilité de l’étatd’autocontrainte aux tolérances de fabrication, ainsi que les coefficients de pondérationadoptés pour les différentes combinaisons de sollicitations.

Le deuxième chapitre présente les paramètres et caractéristiques de deux types de grillesdimensionnées avec les procédures décrites dans le chapitre précédant, ceci en utilisant un étatd’autocontrainte de distribution homogène. Cela permet d’illustrer les étapes dudimensionnement et de commenter les résultats obtenus.

5 Dimensionnement

5.1 Les étapes du dimensionnement

Le dimensionnement des systèmes de tenségrité comprend plusieurs étapes : la déterminationde l’état d’autocontrainte initial, le dimensionnement aux conditions de service et lavérification aux conditions extrêmes [QUI03] (c. f. Annexe D).

Les dimensions finales des composants sont fonctions de l’état d’autocontrainte initial utiliséet des effets des actions extérieures.

Les paramètres du dimensionnement sont nombreux. L’état d’autocontrainte initial s’ajouteen effet au choix de la géométrie et de la structure relationnelle (nombre de mailles etdimensions) ainsi qu'aux caractéristiques mécaniques des éléments assemblés.

Les études réalisées sur des modules de tenségrité montrent un comportement non-linéaired’origine géométrique et la nécessité de faire une analyse au deuxième ordre [KEB99]. Onnote d’autre part l’influence du niveau d’autocontrainte instauré sur la rigidité et lecomportement des modules de tenségrité. De plus, les rigidités relatives des composantsinfluent notablement sur les résultats. Dans la proposition des sections initiales, un rapport duproduit EA des barres sur celui des câbles de l’ordre de 10 est conseillé (EbAb/EcAc = 10)[QUI00].

Dans le cas de grilles destinées à des couvertures, le déplacement au centre ne doit pasdépasser la limite de 1/200 de la portée. A ce niveau de déplacement, les contraintes calculéessont très proches des résultats obtenus avec un calcul au premier ordre et l’effet du niveau del’état d’autocontrainte est un effet au deuxième ordre. Pour respecter le critère de flèche, il estplus adéquat d’agir sur les sections des composants.

Un calcul au second ordre est cependant nécessaire pour mieux décrire le comportementmécanique de ces structures et ainsi améliorer la précision des résultats ; cela est d’ailleursrecommandé par les Eurocodes.


62

5.1.1 Détermination de l’état d’autocontrainte initial

En premier lieu, il est nécessaire de déterminer la distribution et le niveau de l’étatd’autocontrainte initial {TI} qui sera installé pour rigidifier et stabiliser le système.

Ce processus implique, d’une part, la détermination d’une base normalisée des vecteurs desétats d’autocontrainte {TN

i}(c.f. 3.4) et, d’autre part, le calcul d’une combinaison convenabledes vecteurs de cette base pour obtenir l’autocontrainte initiale {TI} :

(42)

Cette combinaison convenable nécessite de trouver un état d’autocontrainte d’un niveau etd’une distribution qui, une fois installé, permette au système de supporter des chargementsextérieurs.

Cet état devra être forcément conforme. La nécessité de bloquer les mécanismes peut amenerle concepteur à utiliser des câbles qui ne participent pas à l’état d’autocontrainte initial. Dansles cas traités ici, cette situation sera évitée et les états d’autocontrainte utilisés seront totauxet conformes.

Une condition additionnelle d’ordre pratique devra être considérée dans la sélection de l’étatd’autocontrainte initial. Son instauration (mise en tension) doit se faire en n'agissant que surune partie des composants, nommés barres ou câbles activateurs (ou actifs). Ils serontmanipulés pendant le processus constructif, et éventuellement lors de l’entretien pendant ladurée de vie de l’ouvrage. Une sélection judicieuse de ces éléments est ainsi nécessaire, ellepeut être cependant conditionnée par le mode d’assemblage du système.

La position et le nombre des composants activateurs choisis devront permettre le passage d’unétat d’autocontrainte nul à l’état d’autocontrainte recherché, combinaison des états partiels,que nous qualifierons de nominal et qui correspond à un état cible théorique.

De plus, les tolérances de fabrication des éléments perturbent inévitablement les étatsd’autocontrainte théoriques ; dans ce cas, il sera nécessaire de faire des ajustements et descorrections pour arriver à un état de contrainte très proche des valeurs théoriques (état cible).Cette variation devra être prise en compte dans la définition des coefficients partiels desécurité.

J. Quirant [QUI00] propose deux approches pour déterminer la distribution et le niveau del’état d’autocontrainte.

Dans la première, il est homogène et d’un niveau correspondant à 50% de la charge de ruinedes barres. Ce niveau laisse pour les barres une plage de variation conséquente pour dessollicitations croissantes ou décroissantes causées par le chargement extérieur.

La deuxième distribution des autocontraintes proposée constitue un état hétérogène quiaugmente progressivement l’intensité des actions sur les composants de la périphérie vers lecentre.

{ } [ ] { } )sà1netbà1i(...

TTT.........TTTTTT

CTCT

s

2

1

bs

b2

b1

2s

22

11

1s

12

11

iinI ==

α

αα

=α=


63

Dans un système multimodule, l’état d’autocontrainte de distribution homogène est un étatqui sollicite à un même niveau tous les modules.

Dans le cas des systèmes formés par des mailles élémentaires, la distribution est considéréehomogène si un groupe de composants répartis dans toute la grille, par exemple les barres, estsollicité au même niveau.

Dans le cas d’une distribution non-homogène, il faudra trouver des critères ou des indicateursqui nous permettront de faire des propositions sur le niveau et la distribution.

5.1.2 Dimensionnement aux états limites de service (ELS)

Cette étape correspond au dimensionnement aux états limites de service selon un règlementde construction (Eurocode 3 dans le cas présent). Les actions du poids propre (G), les chargesd’exploitation (Q) et l’autocontrainte (TI) agissent simultanément sur le système.

L’état d’autocontrainte initial sollicite en permanence les composants du système. L’EC3 nerecommande pas une combinaison spécifique de charges pour les systèmes avec descontraintes initiales. Cependant, il autorise de recourir à des études qui devront être validéesexpérimentalement en considérant l’influence des paramètres aléatoires.

Ainsi la combinaison d’actions adoptée aux ELS est :

(43)

Les dimensions des composants des systèmes doivent permettre d’avoir des déplacementsd’ensemble dans le domaine des limites autorisées, tout comme cela est également nécessairepour les déformations des dits-composants. Ce dimensionnement doit aussi garantir lastabilité tant locale pour les composants, que globale pour le système.

En raison de la présence de câbles dans les systèmes de tenségrité, un critère additionnel a étéadopté : aucun câble ne doit être détendu aux ELS. Cela est principalement dû à des raisonsesthétiques, mais aussi pour éviter de possibles vibrations liées au relâchement de certainscâbles.

5.1.3 Vérification aux états limites ultimes (ELU)

Dans cette analyse, les charges à considérer dans les combinaisons sont pondérées pour tenircompte des valeurs exceptionnelles (situations ultimes).

L’état d’autocontrainte c’est en même tempos une action et un facteur de rigidification. Il agitde façon permanente sur les composants et leur dimensionnement devra tenir compted’éventuelles variations para rapport à l’autocontrainte nominale (augmentations dues à lasensibilité, voir 5.1.4) afin d’éviter tout dépassement des charges de ruine.

De plus, il rigidifie le système et on devra aussi considérer la possibilité d’une autocontrainteinférieure à la valeur nominale et vérifier alors si la rigidité est suffisante.

L’EC3 définit des coefficients de pondération pour le poids propre et les chargesd’exploitation. Dans le cas de contraintes initiales, ces coeficients devront être déterminés etdes méthodes semi-probabilistes sont recommandées [CAL96] sachant que la tolérance defabrication des composants est un paramètre qui joue un rôle important.

ITQG ++


64

Une étude de sensibilité aux précisions de fabrication et une validation expérimentale estnécessaire.

Les charges pondérées à prendre en compte dans les combinaisons aux ELU sont :

(44)

et

(45)

Lors de la vérification du dimensionnement aux ELU, nous avons choisi d’accepter unpossible relâchement des câbles si la stabilité globale du système n’est pas remise en cause.Ce phénomène peut en effet être considéré comme associé à des conditions exceptionnelles.

C’est toutefois le concepteur qui décidera d’accepter ou de refuser cette situation, car unrisque subsiste lors de la remise en tension des câbles, principalement lié à des chocs sur lesassemblages.

5.1.4 Sensibilité des systèmes de tenségrité aux tolérances de fabrication descomposants

Après leur assemblage, les composants sont progressivement mis en état de sollicitation. Apartir de leur longueur libre, ils sont allongés ou raccourcis jusqu'à obtenir l’état de tension oude compression proche de l’état d’autocontrainte souhaité.

Dans ce processus, il y a un double objectif car les modifications de longueur des composantsdoivent en même temps permettre d’obtenir ces contraintes tout en respectant la géométrie del’état de référence du système.

Pendant la fabrication des composants, il existe plusieurs sources d’imprécisions : découpedes éléments, fabrication des nœuds (placement des sertissages). Ces imprécisions sonttoutefois bornées par des tolérances.

Ces différences avec les valeurs théoriques donneront cependant lieu à des perturbations de lagéométrie du système et de l’état d’autocontrainte. La quantification de ces effets est nomméeétude de sensibilité.

On remarque néanmoins que les effets des imprécisions de fabrication sur la géométrie sontbeaucoup plus faibles que celles sur les contraintes ; une réduction des tolérances diminuantces variations [QUI00].

Une étude de sensibilité portant sur les systèmes de tenségrité [QUI01] montre que cettesensibilité aux tolérances de fabrication est très dépendante du niveau et des caractéristiquesdes états d’autocontrainte partiels. Cette étude conclut que, pour déterminer les coefficientspartiels de sécurité prenant en compte ces variations, il est nécessaire de faire une analysecomplète et systématique pour chaque structure, c’est à dire au cas par cas.

Toutefois, en l’état (provisoire) des études, des coefficients de 0.8 et 1.2 dans lescombinaisons aux ELU sont recommandés par J. Quirant [QUI03].

IT8.0Q5.1G35.1 ++

IT2.1Q5.1G35.1 ++


65

5.2 Comportement mécanique

5.2.1 Méthode de calcul

Si le chargement extérieur est appliqué uniquement sur les nœuds, seules des compressions etdes tractions agissent selon l’axe principal des composants. L’équilibre statique, dansl’hypothèse de petites perturbations, peut s’écrire :

(46)

où [KT] est la matrice de rigidité tangente, {u} le vecteur des déplacements nodaux et {f} levecteur de chargement extérieur appliqué aux nœuds.

La matrice de rigidité du système est constituée des matrices de tous les composantsassemblées dans un repère global.

La matrice de rigidité d’un composant soumis uniquement à une contrainte axiale peuts’écrire, dans son repère local associé, sous la forme [KEB98] :

(47)

où [KTi], [KL

i] et [KGi] sont respectivement les matrices de rigidité tangente, linéaire et

géométrique du composant i, kLi étant le coefficient de rigidité linéaire :

(48)

et kGi le coefficient de rigidité géométrique due à l’autocontrainte :

(49)

Les charges extérieures sollicitent les composants à partir de cet état d’autocontrainte définidans les matrices [Ki

G] et selon la géométrie de référence [G0].

Pour prendre en compte les effets de deuxième ordre dus aux non-linéarités d’originegéométrique, le système est analysé avec une application progressive des charges extérieurespar des incréments constants et la résolution utilise la méthode de Newton-Raphson.

Cela permet de trouver les sollicitations internes et les positions des nœuds pour chaqueniveau de chargement en un certain nombre d’itérations.

A partir d’une position d’équilibre P1, à laquelle on applique un incrément de charge {δf1}, oncherche une nouvelle position d’équilibre P2 avec :

(50)

−−

−−

−−

+

−

−

=

+=

Gi

Gi

Gi

Gi

Gi

Gi

Gi

Gi

Gi

Gi

Gi

Gi

Li

Li

Li

Li

Gi

Li

Ti

k00k000k00k000k00kk00k000k00k000k00k

00000000000000k00k00000000000000k00k

]K[]K[]K[

libi

iiLi l

AEk =

i

iGi l

Tk =

{ } { } { }11P2P fff δ+=

[ ]{ } { }fuK T =


66

où {fPi} représente les actions extérieures permettant d’obtenir l’équilibre de la position Pi.

La matrice de rigidité tangente du système [KTi] est calculée à chaque itération en tenantcompte de la nouvelle géométrie et en actualisant la matrice géométrique. La matrice derigidité linéaire reste inchangée, sauf si des câbles détendus apparaissent (c. f. 5.2.2).

L’inversion de la matrice [KTi] permet de calculer les déplacements nodaux {δu1} associés àl’incrément de chargement {δf1} :

(51)

La géométrie du système est modifiée par {δu1} ; la matrice tangente [KT2] est alors réévaluéedans cette nouvelle géométrie. Dans cette position intermédiaire, on calcule ensuite les actionsextérieures {f2} qui correspondent à l’équilibre des nœuds. Si la différence avec lechargement extérieur est inférieure à une certaine tolérance adoptée, le calcul s’arrête :

(52)

où {δf2} est le vecteur des actions extérieures non équilibrées, appelé encore vecteur résidu.

Dans le cas contraire, une deuxième itération commence avec :

(53)

Le processus est répété jusqu’à ce que les résidus soient inférieurs à la tolérance. Ainsi, pourl’itération i, il faut vérifier :

(54)

Le processus de convergence pour un incrément de charge peut être visualisé ainsi :

Figure 36: Principe de la méthode de Newton–Raphson

Ce procédé de calcul est intégré au logiciel "Tenségrité 2000" développé au LMGC pourl’étude des systèmes de tenségrité [QUI01].

{ } { }11Ti

1 f]K[u δ=δ −

{ } { }222T fu]K[ δ=δ

{ } { } { } { } { }( ) { } { } { }i2Pi11PiiiTi ffffffavecfu]K[ −=−δ+=δδ=δ

δf3

δf2

δf1

f

δu1 δu2 δu3

∆u2

uP1

P2

fP2

fP1

KT1 KT2 KT3

f = Q(u)

f2

{ } { } { } { } Tolérance)ff(ff 11P22 ≤δ+−=δ?


67

5.2.2 Considérations sur le relâchement des composants tendus

L’application d’un chargement extérieur provoque une diminution de la tension dans certainscâbles, éventuellement jusqu'à la détention complète.

Dans la méthode de calcul employée, on a pris en compte cette situation. Lors de chaqueitération, la distance entre les nœuds de chaque câble est comparée avec sa longueur defabrication. Si la distance est supérieure, sa rigidité est intégrée dans la matrice de rigidité[KT]. Si la distance est inférieure, sa rigidité est alors considérée nulle ; elle ne contribue plusà la rigidité du système complet et la rigidité globale diminue. De plus, ce câble ne participeplus à l’équilibre des nœuds.

Un câble détendu peut toutefois se retendre au cours du chargement. Il sera à nouveau rigideet sa rigidité alors réintégrée à la matrice de rigidité du système.

On constate qu’un système peut conserver une capacité portante malgré l’existence de câblesrelâchés ; si leur nombre augmente, les incréments de contrainte sur le reste des composantssont cependant plus importants et une perte de rigidité en résulte.

Une reprise de tension peut néanmoins être accompagnée d’une augmentation brusque descontraintes et ainsi d’effets indésirables que les concepteurs doivent évaluer avant d’accepterun tel cas de figure.

5.2.3 Considérations sur l’inversion des efforts dans les composants comprimés

De façon analogue aux câbles, l’application de charges peut provoquer une diminution decontrainte dans les composants comprimés (barres). Dans ce cas, une possible inversion de lasollicitation sur ces composants peut se produire.

Les composants à rigidité bilatérale sont intégrés en permanence dans la matrice de rigidité dela structure complète.

Dans le cas d’une inversion d’efforts, les barres d’acier sont capables de résister et detransmettre les tensions. Cependant, les nœuds devront être technologiquement prévus pourcela.

Si une telle inversion d’effort n’est pas acceptée, ou s’il s’agit d’un composant rigideuniquement en compression, le niveau de l’état d’autocontrainte initial utilisé devra assurerque, dans l’état chargé, les composants comprimés le restent.


68


69

6 Dimensionnement des grilles planes à double nappe

6.1 Introduction

Ce chapitre est destiné à appliquer la procédure de dimensionnement (chapitre 5). Pour cela,deux types de grilles de tenségrité ont été sélectionnées.

Elles sont représentatives de deux familles pour lesquelles les états d’autocontrainte ont descaractéristiques différentes. Ces étapes de dimensionnement supposent que le type de système(structure relationnelle), la géométrie et l’état d’autocontrainte aient été déterminés.

Le concepteur peut agir sur de nombreux paramètres ; dans ces applications, ils ont été choisispour simplifier et faciliter le processus.

Les résultats obtenus seront utilisés postérieurement pour être comparés avec ceux déterminésen utilisant une méthode de prédimensionnement (voir chapitre 11).

Les réalisations à base de structures spatiales sans autocontrainte sont nombreuses et lesconcepteurs peuvent s’aider de l’expérience acquise en la matière.

Par exemple, les études de grilles à double nappe sans autocontrainte montrent que lesmontants et diagonales représentent entre 20 et 30% du poids total, qu’il existe entre lesdimensions des grilles des proportions économiques et que, pour un rapport entre leslongueurs des côtés supérieur à 2, une structure spatiale n’est plus compétitive par rapport àun système unidirectionnel [DAU77]. Pour les systèmes de tenségrité, aucune information dece type n’est à ce jour disponible.


70

6.2 Les paramètres du dimensionnement

Les paramètres d’analyse et de dimensionnement peuvent être classés dans cinq familles :forme, structure, matériaux, force et technologie.

Pour faciliter la détermination de la distribution et du niveau de l’état d’autocontrainte initial,nous avons fixé, lorsque cela est possible, certains paramètres. Le propos est de faciliter lecalcul et de mettre en évidence les effets dus aux modifications de l’état d’autocontrainteinitial.

Forme et structure relationnelle. Dans cette étude, on a choisi deux types de grilles planesavec une structure relationnelle et géométrie déterminées à l’avance. Elles sont appuyées surleur contour pour couvrir une surface carrée. Dans les deux cas, l’épaisseur et les distancesentre nœuds dans les deux directions du plan sont constantes ; aucune contre-flèche n'estutilisée.

La première grille est formée de l’assemblage des modules quadruplex à base supérieureinscrite ; la deuxième à partir de mailles élémentaires et choisie parmi un groupe de grillesplanes dit "tissées" conçues au LMGC.

Matériaux. Tous les composants sont en acier avec un comportement supposé élastiquelinéaire et une limite élastique connue.

Les nappes supérieure et inférieure sont constituées de réseaux de câbles identiques. Lesbarres ont une section tubulaire (même diamètre et épaisseur). Les câbles verticaux (parfoisremplacés par des tiges de faible section et considérées à rigidité unilatérale) permettent derapprocher par vissage les nœuds haut et bas (mise en tension).

Force. Lors de l’étude du comportement mécanique, l’état d’autocontrainte initial et lechargement extérieur appliqués sont deux paramètres déterminants.

En premier approche on utilisera une autocontrainte initiale avec une distribution homogèneet un niveau induisant un effort maximum à 50% de la charge de ruine des barres. Dans uneautre étape, c’est le niveau et la répartition de l’autocontrainte qu’on cherchera à optimiser.

Au début de l’étude de dimensionnement, la charge de ruine des composants n’est pas connue(car liée à leurs longueurs et leurs sections). Il faudra donc procéder par étapes successivesafin de déterminer ce niveau, ceci également en lien avec l’intensité du chargement extérieurappliqué (chargement en statique, vertical et uniformément réparti sur les nœuds de la nappesupérieure).

Technologie. Les composants employés sont des éléments standards en construction. Lestolérances sur la découpe des composants et la position des sertissages (manchons des nœuds)sont au total de l’ordre de ≤1 mm pour un élément de un mètre de longueur.

La mise en tension doit être réalisée au moyen des procédés non étrangers au domaine de laconstruction métallique. Les câbles verticaux (ou tiges) sont ainsi vissés aux nœuds pourmodifier leurs longueurs et mettre en tension le système.


71

Pour définir les dimensions et la géométrie du système, le concepteur peut s’aider du rapportportée sur hauteur et de la densité du maillage. Pour le moment, les uniques référencesdisponibles proviennent d’études sur des systèmes tridimensionnels sans autocontrainte.

6.2.1 Densité de maillage

Le nombre de modules alignés sur un côté de la grille correspond à la densité du maillage (DXou DY) (Figure 37). Pour des grilles formées à partir des mailles élémentaires, la densité demaillage est la relation avec la portée et la distance horizontale entre les nœuds (Figure 38).L’augmentation de la densité donne lieu à l’utilisation d’un nombre plus important decomposants et de nœuds.

Figure 37: Densité du maillage et élancement d’une grille multimodule

Figure 38: Densité du maillage et élancement d’une grille formée sur des mailles élémentaires

Pour des structures spatiales sans autocontrainte, U. Mongkol [MON72] a montré quel’utilisation de 14 modules correspond à une densité de maille économique. D’autre part, A.El-Sheikh [ELS98] a mené une étude sur trois grilles carrées de configurations différentesappuyées sur leur contour ; un poids minimal est obtenu pour celles qui possèdent une densitéde maillage entre 12 et 16.

6.2.2 Rapport portée/hauteur (élancement)

Le rapport portée/hauteur (L/h), nommé élancement fait référence à la portée libre entreappuis. Dans la Figure 37 et la Figure 38, on indique les portées et les hauteurs pour les deuxtypes de grilles choisis.

L

d

Grille avec 16 modules quadruplexDensité du maillage = 4 d = distance horizontale

entre deux nœuds

h

Ld

Vue latéraleCâbles de la nappe inférieure

Densité de maillage = 4

h

L+2d

L

Câbles de la nappe inférieure

1

L d

L+2d

2

3

4


72

Nous n’avons cependant pas de référence traitant d’un rapport optimal pour les grilles detenségrité à double nappe. Néanmoins, il existe des études faites sur des systèmestridimensionnels non autocontraints ; nous citons ici deux d’entre elles.

Une analyse réalisée par R. Motro [MOT76] montre que la hauteur optimale, concernant septconfigurations de grilles réticulées non autocontraintes à double nappe, est similaire et autourde 1/15éme de la portée. Il montre aussi que la recherche d’une géométrie optimale permet ungain de poids appréciable, de l’ordre de 35%.

A. El-Sheikh [ELS98] présente également une étude sur trois configurations de grilles planesnon autocontraintes. Il en conclut qu’un poids minimal pour des structures carrées, appuyéessur les quatre bords du périmètre est obtenu pour des grilles avec un rapport L/h entre 12 et16. Il montre aussi que le poids augmente notablement pour les structures avec une proportionL/h supérieure à 16.

6.2.3 Prise en compte des appuisLes conditions d’appui utilisées dans les deux types de grilles analysés dans ce mémoire sontsimilaires et décrites ci-après.

A) Grille multimodule. Les appuis sont localisés sur les nœuds du périmètre de la nappeinférieure (Figure 39). Dans les quatre coins, les nœuds sont bloqués selon les trois directions(les autres uniquement selon la direction Z). Les k degrés de liberté bloqués peuvent êtredéterminés par :

(55)

Figure 39: Conditions d’appui de la grille multimodule

Par exemple, 16 degrés de liberté de ce système sont fixés : 6 pour éviter les mécanismes decorps rigide et 1 pour éviter les mécanismes infinitésimaux. Les 9 directions additionnellesbloquées ont produit 9 états additionnels de sollicitation interne (exocontraintes).

Ceux-ci ne constituent pas une partie de la base utilisée pour générer l’autocontrainte initiale.On considère uniquement les états d’autocontrainte partiels des modules qui existent avant defixer le système (4 au total, voir 3.2.1).

Le nombre des états d’exocontrainte NEXC produits par le blocage des nœuds dans ce type degrille et sous les conditions décrites est :

(56)97kNEXC =−=

)1D(2)1D(2)3(4k YX −+−+=

Y

Z

X

Sansappuis

Avecappuis

Nombre des étatsde sollicitationinterne

4 13

Nombre demécanismes 7 0


73

B) Grille formée sur des mailles élémentaires. Les appuis sont localisés sur les nœuds dupérimètre sur la première ligne interne de la nappe inférieure (Figure 40). Deux nœuds situéssur des coins opposés sont bloqués selon les trois directions, les autres uniquement selon ladirection Z.

Figure 40: Conditions d’appui de la grille formée sur des mailles élémentaires

Sur certains nœuds latéraux, il est nécessaire de bloquer des degrés de liberté dans lesdirections X et Y pour éliminer les mécanismes internes (un pour chaque ligne intérieure : Aien X ; Bi en Y). De plus, il faut un appui sur le périmètre (C) pour bloquer le mécanisme derotation restant.

Les k degrés de liberté bloqués peuvent être déterminés par :

(57)

Par exemple, 15 degrés de liberté de ce système sont fixés dont 6 pour éviter les mécanismesde corps rigide et 5 pour bloquer des mécanismes internes. Les 4 restants ont produit quatreétats additionnels de sollicitation interne (exocontraintes).

Le nombre des états d'exocontrainte NEXC est ici :

(58)

1)3D(2)3D(2)3D(22)3(2k ZYX +−+−+−++=

4))3D()3D(36(kN YXEXC =−+−++−=

C

B1A1

Sansappui

Avecappuis

Nombre des étatsde sollicitationinterne

2 6

Nombre demécanismes 11 0

Y

Z

X

nœud en coin

nœud latéralnœud latéral


74

6.2.4 Caractéristiques mécaniques des composants

Les composants employés sont des câbles et barres en acier d’une masse volumique de7900 kg/m3. Leurs dimensions sont variables et indiquées dans chaque application. Le moduled’élasticité est identique pour chaque type de composant.

CâblesLe module de Young des câbles varie en fonction du type d’acier, du nombre de fils et detorons, des tensions appliquées … . Dans cette étude, on a utilisé un câble formé par torons de19 fils d’acier avec une limite à la rupture de 1770 MPa, un module élastiqueEc=1.25x105 MPa et une limite élastique à la traction σi

t_max=500 MPa (c . f. Annexe E).

L’aire minimale de la section droite des câbles de nappe est de 0.04928 cm2, ce quicorrespond à un câble de 3 mm de diamètre nominal avec une masse linéique de 0.046 kg/m.

Pour les câbles d’entretoisement, l’aire de la section droite minimale est de 0.5 cm2, soit uncâble de 8 mm de diamètre nominal avec une masse linéique de 0.395 kg/m.

BarresLes barres sont de section tubulaire avec un module d’élasticité EB=2.0x105 MPa et une limiteélastique σi

t_max = σic_max = 235 MPa.

L’aire minimale de leur section est de 1.21 cm2 (diamètre extérieur de 21.3 mm et 2 mmd’épaisseur pour une masse linéique de 0.96 kg/m et un rayon de giration de 0.69 cm).

Plus généralement, les barres que nos emploierons dans les applications ont un rayon degiration calculé selon un rapport diamètre / épaisseur de 16.6. Ce rapport est la moyenne desvaleurs obtenues pour des produits sidérurgiques avec des sections de 3.35 cm à 10.16 cm dediamètre. L’EC3 accepte, pour ce type de section, des rapports maximaux diamètre surépaisseur de 50, 60 et 90 selon la classe du profilé.

Les charges de ruine sont calculées en accord avec les dispositions de l’EC3 (c. f . Annexe F)


75

6.3 Dimensionnement des grilles planes à double nappe

6.3.1 Grille multimodule avec autocontraintes de distribution homogène

Ce premier cas est celui d’une grille plane carrée de 125.4 m2 (11.2 x 11.2 m) et 1.87 m dehauteur, formée par l’assemblage de 36 modules quadruplex à face supérieure inscrite (Figure41).

Figure 41: Grille plane formée par l’assemblage de 36 modules

La densité du maillage dans les deux directions du plan est Dx = Dy = 6. Ce système possède144 barres et 372 câbles (516 composants au total), dont la numérotation et lescaractéristiques sont montrées dans le Tableau 3. Les sections droites indiquées sont cellesinitialement proposées.

Tableau 3: Données des composants de la grille multimodule

Il y a 133 nœuds et 32 degrés de liberté sont bloqués au niveau de la nappe inférieure (Figure42).

Figure 42: Degrés de liberté bloqués

Le système possède 124 états d’autocontrainte. En utilisant les 32 blocages indiqués, lenombre des états de sollicitation interne passe à 149 (soit 25 états d’exocontrainte). Nous

Groupe Types de composant Composantsnumérotés

Longueurs(m)

E(MPa)

A(m2)

σmax

(MPa)1 Barre 1-144 2.80 2.00x105 1.21E-04 2352 Câble nappe inférieure 145-228 1.87 1.25x105 5.37E-06 5003 Câble nappe supérieure 229-372 1.32 1.25x105 5.37E-06 5004 Câble entretoisement 373-516 2.08 1.25x105 5.37E-06 500

L = 11.2 mdx = dy = 1.87 mh = 1.87 m

dY

dX

L

Lh

YZ

XType Nombre Degrés de liberté bloquésd’appui Directions Nombre.

4 X,Y et Z 12

20 Z 20 Total 32


76

choisissons de déterminer un état d’autocontrainte initial avec une distribution homogène àpartir des 36 états d’autocontrainte partiels modulaires.

Dimensionnement aux états limites de service (ELS)

Le chargement extérieur à prendre en compte aux états limites de service WELS est de 135daN/m2, composé du poids propre G de 25 daN/m2 et des charges d’exploitation Q de 110daN/m2.

L’état d’autocontrainte initial {TI} est calculé pour avoir 1890 daN de compression dans lesbarres. Les sections droites minimales nécessaires pour le chargement aux ELS sont de 4.54cm2 pour les barres, 0.486 cm2 pour les câbles de nappe et 0.294 cm2 pour les câblesd’entretoisement.

En utilisant ces sections, la flèche calculée au centre de la portée est de 2.3 cm. Elle estinférieure à la flèche maximale admissible (L/200=5.6 cm) et son évolution lors del’application du chargement est quasiment linéaire.

Les efforts internes dans tous les composants avant et après chargement sont montrées dans laFigure 43.

Figure 43: Efforts dans les composants aux ELS

Vérification aux états limites ultimes (ELU)Le chargement extérieur considéré aux états limites ultimes WELU est de 200 daN/m2,composée du poids propre pondéré à 34 daN/m2 (1.35G) et des charges d’exploitationpondérées à 166 daN/m2 (1.5Q). L’état d’autocontrainte initial utilisé {TI} correspond à 50%de la charge de ruine des barres (3780 daN). Cet état nominal sera ensuite modifié enconsidérant les deux cas extrêmes 0.8{TI} et 1.2{TI}.

Les effets du chargement aux ELU sur la déformation du système sont quasiment linéairesjusqu’à l’apparition des câbles détendus. Les efforts sur les composants sont montrés dans lesFigure 44 et Figure 45 : coquilles

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

1 22 43 64 85 106 127 148 169 190 211 232 253 274 295 316 337 358 379 400 421 442 463 484 505

No. de composants

Effo

rts

norm

al (N

)

Autocontrainte

Efforts sous charges

Limite de solicitation descomposants

Barres

Câbles

inférieurs supérieurs entretoisement

Efforts sous chargement ELS

Limite de sollicitation descomposants

No. du composant


77

Figure 44: Efforts internes aux ELU avec un niveau d’autocontrainte initial égal à 0.8{TI}

Figure 45: Efforts internes aux ELU avec un niveau d’autocontrainte initial égal à 1.2{TI}

La compression maximale dans les barres est de 3330 daN ; dans les câbles de nappe, latension maximale est de 3070 daN.

Ces résultats conduisent à un dimensionnement aux ELS avec révision aux ELU tel que :

-Barres : section minimale de 5.53 mm de diamètre et 3.32 mm d’épaisseur (5.43 cm2 pourune charge de ruine de 3780 daN).

-Câbles : 19 fils pour un diamètre minimum de 11 mm (0.692 cm2 pour une charge maximaleadmissible de 3460 daN). Les poids des composants classés par groupes sont résumés dans letableau ci-dessous :Groupe Type de composant Quantité L Masse linéique W partiel Poids propre

(m) (kg/m) (kg) total1 Barre 144 2.80 4.290 1730 2125 kg soit :2 Câble nappe inférieure 84 1.87 0.61 96 Poids/m2 = 173 Câble nappe supérieure 144 1.32 0.61 116 kg/m2

4 Câble d’entretoisement 144 2.08 0.61 183

Tableau 4: Poids propre des composants d’une grille multimodule

Remarque : le poids des nœuds n’est pas inclut dans ces valeurs.

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

1 22 43 64 85 106 127 148 169 190 211 232 253 274 295 316 337 358 379 400 421 442 463 484 505

No. de composants

Effo

rts

norm

al (N

)

Autocontrainte



Barres

Câbles

No. du composant

Efforts sous chargement ELU

Limite de sollicitation des

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

1 22 43 64 85 106 127 148 169 190 211 232 253 274 295 316 337 358 379 400 421 442 463 484 505

No. de composants

Effo

rts

norm

al (N

)

Autocontrainte



Barres

Câbles

No. du composant


Limite de sollicitation desLimite de sollicitation des


78

6.3.2 Grille sur des mailles élémentaires avec autocontrainte de distribution homogène

Ce deuxième cas concerne une grille, formée sur des mailles élémentaires, plane carrée dedimensions 12.8x12.8 m (soit 163.84 m2) et 0.80m de hauteur avec une portée de 11.2 m(Figure 46).

Figure 46: Grille plane formée sur des mailles élémentaires

La densité du maillage dans les deux directions du plan est Dx = Dy =16. Ce système possède480 barres et 1185 câbles (1665 composants au total) dont la numérotation et lescaractéristiques sont montrées dans le Tableau 5.

Tableau 5: Données des composants de la grille sur des mailles élémentaires

Il y a 510 nœuds ; 56 sont dans la nappe inférieure où sont bloqués 87 degrés de liberté (c. f.6.2.3 ). Le système possède 170 états d’autocontrainte et 35 mécanismes avant ces blocages.Le nombre total d’états de sollicitation interne après blocage est de 222 dont 52 étatsd’exocontrainte.

Un sous-ensemble formé par 50 états d’autocontrainte partiels est suffisant pour générer unétat d’autocontrainte initial homogène (Figure 47). 49 d’eux sont localisés autour des câblesverticaux indiqués (états d’autocontrainte restreints), plus un état d’autocontrainte partieldiffus qui sollicite des composants situés en la périphérie ainsi qu’une grande partie de ceuxal intérieur.

Figure 47: Etats d’autocontrainte partiels

Groupe Type de composant Composantsnumérotés

Longueurs (m)

E(MPa)

A (m2)

σmax

(Mpa)1 Barre 1-480 1.131 2.00x105 1.21E-04 2352 Câble nappe inférieure 481-930 0.800 1.25x105 5.37E-06 5003 Câble nappe supérieure 931-1380 0.800 1.25x105 5.37E-06 5004 Câble entretoisement coin 1381-1436 1.385 1.25x105 5.37E-06 5005 Câble entretoisement latéral 1437-1440 1.131 1.25x105 5.37E-06 5006 Câble vertical 1441-1665 0.800 1.25x105 5.37E-06 500

L = 11.20m

L

Etat d’autocontrainte diffus

123

456

7

1 2 3 4 5 6 7

Zone d’influence d’unétat d’autocontrainterestreint

câble vertical


79

La combinaison des états d’autocontrainte unitaires normalisés en utilisant des coefficients dedistribution identiques conduit à un état d’autocontrainte de distribution homogène. Danscelui-ci, l’effort de compression sur une barre peut prendre trois valeurs selon sa position dansla grille (identique pour chaque groupe) : maximum si elle est située à l’intérieur du périmètreappuyé, minimum en dehors des appuis, intermédiaire au niveau des appuis.

Dimensionnement aux ELS

Le chargement extérieur aux ELS est WELS=135 daN/m2 (poids propre G=25 daN/m2 etcharges d’exploitation Q=110 daN/m2).

L’état d’autocontrainte initial {TI} est calculé pour obtenir 3710 daN en compression sur lesbarres situées à l’intérieur des appuis. Les sections droites minimales nécessaires pour lechargement sont de 2.79 cm2 pour les barres, 0.523 cm2 pour les câbles de nappe et 1.1 cm2

pour les câbles d’entretoisement.

La flèche calculée au centre de la portée en utilisant ces sections est de 5.41 cm ; soit unevaleur légèrement inférieure à la flèche maximale admissible de 5.6 cm.

Les efforts internes dans les composants avant et après le chargement sont montrés dans laFigure 48.

Figure 48: Efforts internes dans les composants aux ELS

Vérification aux ELU

Le chargement extérieur aux ELU est WELU=200 daN/m2. L’état d’autocontrainte initialnominal est considéré pour les deux cas extrêmes 0.8{TI} et 1.2 {TI} où l’étatd’autocontrainte {TI} correspond à 50% de la charge de ruine des barres (7420 daN).

Les effets du chargement sont montrés dans les Figure 49 et Figure 50 :

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

1 87 173 259 345 431 517 603 689 775 861 947 1033 1119 1205 1291 1377 1463 1549 1635

No. de composants

Effo

rts

norm

al (

N)

Autocontrainte



Barres

Câblesinférieurs supérieurs

Entretoi-sement

No. du composant

Efforts sous chargement ELS



80

Figure 49: Vérification aux ELU avec un niveau d’autocontrainte initial égal à 0.8{TI}

Figure 50: Vérification aux ELU avec un niveau d’autocontrainte initial égal à 1.2{TI}

La compression maximale dans les barres est de 5310 daN. Dans les câbles de nappes, latension maximale est de 3640 daN et 7145 daN pour les câbles d’entretoisement. En fonctionde ces résultats, on préconise le dimensionnement suivant :

Barres : section minimale de 48.7 mm de diamètre et 2.92 mm d’épaisseur (4.2 cm2 pour unecharge de ruine de 7420 daN).

Câbles des nappes : 19 fils pour un diamètre minimum de 12 mm (0.824 cm2 pour unetraction maximale admissible de 4120 daN).

Câbles d’entretoisement : de 19 fils pour un diamètre minimum de 17 mm (1.65 cm2 pourune traction maximale admissible de 8250 daN).

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

1 89 177 265 353 441 529 617 705 793 881 969 1057 1145 1233 1321 1409 1497 1585No. de composants

Effo

rts

norm

al (

N)

Autocontrainte



Barres


Entretoi-sement

No. du composant



-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

1 93 185 277 369 461 553 645 737 829 921 1013 1105 1197 1289 1381 1473 1565 1657No. de com posants

Effo

rts

norm

al (

N)

Autocontrainte



Barres


Entretoi-sement



No. du composant


81

Les poids propre des composants de ce système sont indiqués dans le tableau ci-dessous :Groupe Type de composant Quantité L Masse linéique W partiel Poids propre

(m) (kg/m) (kg) total1 Barre 480 1.131 3.318 1801 2642 kg soit2 Câble nappe inf. 450 0.800 0.730 263 Poids/m2 =3 Câble nappe sup. 450 0.800 0.730 263 21kg/m2

4 Câble entret. (latéral) 56 1.131 0.730 465 Câble entret. (coin) 4 1.371 0.730 46 Câble vertical 225 0.800 1.470 265

Tableau 6: Poids des composants d’une grille sur des mailles élémentaires

Le poids propre moyen sur la surface totale est de 16.1 kg/m2 (21 kg/m2 si l’on considère lasurface couverte à l’intérieur des appuis).

La flèche maximale calculée pour le chargement aux ELU est de 15 cm en utilisant un niveaud’autocontrainte de 0.8{TI}. La Figure 51 illustre l’évolution de cette flèche en fonction de lacharge extérieure ponctuelle résultante P sur un nœud courant de la nappe supérieure.

Figure 51: Flèche au centre (chargement aux ELU)

On constate qu’une charge nodale de 77 daN entraîne la détention de 28 câbles. Dès cemoment, la rigidité du système chute et la flèche augmente beaucoup plus rapidement tandisque de nouveaux câbles se détendent (avec une autre baisse de la rigidité) et ainsi de suite. Aufinal, 170 câbles seront détendus. Cela explique la valeur importante de la flèche au centre.

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

00 128 256 384 512 640 768 896 1024 1152 1280

Charge P (N)

Flèc

he (c

m)


82


83

7 ConclusionTrois étapes de dimensionnement ont été explicitées dans cette partie. L’état d’autocontrainteest calculé en premier puis utilisé lors de la seconde étape de dimensionnement aux étatslimites de service. Les possibles variations liées à la procédure de mise en tension ainsi que lasensibilité aux tolérances de fabrication ne sont toutefois pas prises en compte à ce stade.

La troisième étape est liée à la vérification aux états limites ultimes. Les poids propre et lescharges d’exploitation sont pondérés en accord avec l’Eurocode 3.

Pour considérer la sensibilité aux tolérances de fabrication, le niveau d’autocontrainte initialest ensuite modifié de façon propre à chaque système.

Pour l’étude du comportement mécanique, les effets du chargement extérieur sur le systèmeont été évalués en prenant en compte la non-linéarité géométrique et l’unilatéralité de rigiditédes câbles.

Deux systèmes de tenségrité de types différents ont été choisis et dimensionnés en utilisant unétat d’autocontrainte en lien avec une fraction de la charge de ruine des barres.

Des conditions d’appuis ont été définies pour ces cas. Deux expressions sont ainsi proposées,une pour le calcul du nombre de degrés de liberté bloqués et l’autre pour le nombre des étatsd'exocontrainte (applicable aux structures du même type, sous conditions d’appuis similairesavec différentes densités de maillage).

Dans les deux cas traités, l’utilisation d’une plage correspondant à 50% de la charge de ruinedes barres s’est avérée suffisante et le dimensionnement des composants s’est effectué auregard des considérations de résistance (ELU) et non pas de rigidité (ELS).

On constate toutefois que, dans la deuxième grille avec une densité plus élevée, l’écart entrel’effort maximal de compression et la charge de ruine des barres est plus important, celasignifiant une marge de sécurité plus grande.


84


85

Partie IIIDimensionnement optimal

des systèmes de tenségrité


86

Partie III Dimensionnement optimal des systèmes de tenségrité

87

Partie III : Dimensionnement optimal des systèmes de tenségrité

8 Formulation de l’optimisation : cas général des systèmes réticulés

8.1 Introduction

Le dimensionnement optimal des structures consiste à calculer les valeurs des variables quirendent minimum ou maximum une fonction objectif en vérifiant certaines conditions ourestrictions.

Les conditions sur les variables sont classées selon des conditions d’égalité et/ou d’inégalité.Les premières sont généralement associées aux relations qui gouvernent le comportement dela structure : équilibre, compatibilité des déformations, lois de comportement des matériaux.Les contraintes d’inégalité sont communément en lien avec les limitations imposées à laréponse de la structure : tensions maximales, déformations et déplacements maximaux,flambement, fréquence naturelle de vibration, etc..

En termes mathématiques, ce problème correspondant à la détermination du vecteur {x} desvariables de dimensionnement qui rend minimum la fonction objectif f({x}) :

(59)

Les variables étant soumises aux conditions :

(60)

(61)

(62)

avec {xi} = {x1, x2… xn}T pour n variables, ml le nombre de restrictions d’égalité, md lenombre de restrictions d’inégalité et les termes xI

i et xSi désignant les limites inférieure et

supérieure de la variable xi.

Les variables xi définissent l’espace de dimensionnement et les restrictions les surfacesdélimitant cet espace. Un vecteur définit un point qui, s’il vérifie toutes les restrictions,indique un dimensionnement acceptable.

Il est auparavant nécessaire de présenter quelques éléments concernant les variables, lesfonctions objectifs et les restrictions utilisées pour l’optimisation des structures réticulées quiseront employées ensuite pour la détermination de l’autocontrainte et pour ledimensionnement des grilles de tenségrité.

{ })x(fmin

)mà1k(0)x(Ginégalité'd dk =>−

)nà1i(xxxet Sii

Ii =≤≤

)mà1j(U)x(Hégalité'd lj ==−


88

8.2 Variables de dimensionnement

Les variables utilisées lors du dimensionnement optimal de structures sont communémentréparties en trois groupes : forme (géométrie et structure relationnelle), propriétés des sectionsdroites et propriétés des matériaux.

Dans la suite on mentionnera celles utilisées pour les structures réticulées.

Géométrie et structure relationnelleLa géométrie est généralement définie par les coordonnées des nœuds. Toutefois, danscertains cas, ces coordonnées peuvent faire l’objet de relations entre elles traduisant la formedu système (par exemple si les points sont disposés sur un arc de cercle, un plan …).

La structure relationnelle est en général considérée comme invariable. Cependant, il existe desméthodes pour prendre en compte une variabilité pour les systèmes réticulés. Introduire cettepossibilité dans les cas de systèmes de tenségrité complique cependant considérablement latâche.

Propriétés des sectionsLes deux paramètres primordiaux concernant le calcul de la rigidité et des charges admissibles(en traction et compression), sont la section des composants (Ai) et leurs rayons de giration(rx, y, z).

Notons à ce niveau que les méthodes d’optimisation peuvent utiliser des variables continuesou bien à valeur discrètes. Cette seconde situation peut être envisagée s’agissant des sectionsdroites des composants si l’on décide de les choisir parmi des produits standardsmanufacturés.

Dans les études que nous allons mener, nous considérerons dans une première approche lessections comme des variables continues. Ultérieurement on les choisira dans un catalogue deproduits commerciaux standards.

Propriétés des matériauxIl s’agit de leur module d’élasticité et de leur limite élastique en traction et compression. Cesvaleurs seront différentes s’il s’agit de câbles ou de barres.

Réduction du nombre de variablesLors d’un processus d’optimisation, il est habituel de débuter par une simplification duproblème en considérant uniquement une partie des paramètres comme variables et de fixerles autres.

Nous avons ainsi choisi de définir comme constantes les propriétés des matériaux et lastructure relationnelle du système.

La géométrie et les propriétés des sections peuvent varier, mais on pourra réduire le nombrede variables à considérer car des relations existent entre certains paramètres (par exempleentre l’aire et le rayon de giration d’une section) et des groupes de variables de même valeurseront constitués.


89

8.3 Fonction objectif

La fonction objectif fréquemment utilisée et que nous retiendrons est le poids propre total WT.Le but du dimensionnement optimal est d’obtenir les valeurs des variables qui rendentminimum cette fonction :

(63)

où ρ est la masse volumique du matériau.

Le choix de cette fonction objectif correspond à une quantification in fine du coût desmatériaux et donc du coût total de la structure. Cependant, dans certains cas, le poids n’est pasle meilleur indicateur d’une potentielle économie et la fonction objectif est alors directementbasée sur l’expression de ce coût (avec toutes les difficultés inhérentes : coût de la maind’œuvre …).

Notons qu’il existe aussi des études visant à l’optimisation de la géométrie ou de la topologiedes structures réticulées, de leurs fréquences fondamentales, leur fiabilité, etc..

8.4 Conditions et restrictions du dimensionnement

Les conditions d’égalité sont employées pour satisfaire les conditions d’équilibre local etglobal de la structure ainsi que la compatibilité entre les déplacements des nœuds et lesdéformations des composants. Elles peuvent être considérées comme relatives à l’analyse ducomportement du système.

Les conditions d’inégalité délimitent les valeurs des variables de conception. Les pluscommunément utilisées concernent les déplacements, les efforts internes et les risquesd’instabilité (flambement). D’autres, moins fréquemment utilisées, sont liées aux conditionsaux limites, aux limites maximales et minimales des dimensions, aux marges de sécurité parrapport aux limites de stabilité globale de la structure, aux élancements des composants, etc..

Nous allons à présent présenter plus en détail celles utilisées dans cette étude.

8.4.1 Restrictions en déplacement (flèche)

Les restrictions en déplacement traduisent les limitations imposées sur les changements deposition des nœuds.

Pour une grille de toiture, on impose une déflexion maximale au centre de la portée. Nouschoisirons une limite flèche/portée égale à 1/200 selon l’EC3. On peut exprimer cetterestriction comme:

(64)

où uj est le déplacement selon le degré de liberté j et umax la valeur du déplacement maximalautorisé.

{ } libii

b

1i

T lAW)x(fmin ∑=

ρ==

0uu)x(G jmax

1 ≥−=


90

8.4.2 Limitation des sollicitations de traction

Les contraintes dans les composants tendus ne doivent pas dépasser la contrainte maximaleadmissible (limite élastique garantie par les fabricants). La condition est σt

i § σti

max, soit larestriction d’inégalité :

(65)

où σti est la contrainte normale de traction du composant i et σi

t_max la contrainte maximaleadmissible en traction pour le matériau considéré.

8.4.3 Limitation des sollicitations de compression

La compression maximale admissible dépend du type d’acier, de la longueur du composant etde ses caractéristiques géométriques (section, rayon de giration) ainsi que des coefficientspartiels de sécurité. Pour l’EC3, l’effort interne de compression doit vérifier :

(66)

où χ est un coefficient de réduction fonction du mode de flambement considéré, βA uncoefficient affectant les sections transversales (βA =1 pour les classes de profilés de 1 à 3), γM1

un coefficient de sécurité pour les phénomènes d’instabilité (γM1=1.1), σic_max la contrainte de

compression maximale admissible sur le composant i (une définition détaillée de cesparamètres est donnée en annexe G).

Cette restriction, écrite en terme de contraintes, conduit à la restriction d’inégalité :

(67)

où σ ci est la contrainte de compression pour le composant i.

8.4.4 Sections droites limites

Ces conditions définissent les valeurs minimales et maximales des aires des sections droites :

(68)

Dans cette étude, on a adopté uniquement une restriction pour la dimension minimale de lasection des composants selon les profilés standards disponibles.

8.4.5 Considérations sur les conditions et restrictions

Lors du dimensionnement des structures réticulées, il est nécessaire d’utiliser une quantitéimportante de données sur les composants, les charges, ainsi qu’un grand nombre derestrictions. Dans le but de faciliter l’obtention d’une solution, il est usuel d’employer destechniques qui permettent de réduire ce nombre de restrictions, par exemple en associantcertaines. Le processus d’optimisation se déroule alors par étapes successives.

maxi

max_cii

1M

max_ti

iAi TAAT =σ=γ

σβχ≤

0)x(G ti

max_ti2 ≥σ−σ=

0)x(G ci

max_ci3 ≤σ+σ=

maxii

mini AAA ≤≤


91

8.5 Résolution du problème d’optimisation

8.5.1 Méthode

Etant donné la diversité des problèmes d’optimisation, plusieurs méthodes de résolution ontété développées. On peut les classer en méthodes exactes qui cherchent un optimum global,en méthodes approchées pour des problèmes spécifiques ou pour trouver un optimum local.Elles sont aussi groupées, selon le type de variables utilisées, en méthodes à variablescontinues ou discrètes, ou bien selon le nombre de fonctions d’optimisation en méthodesmonobjectif ou multiobjectif.

Une méthode d’optimisation concernant certains systèmes réticulés sans autocontrainte où lesrestrictions en déplacement dominent le dimensionnement, à été présentée par P. Makris[MAK02] elle sera exposée dans la suite et adaptée à notre propos.

8.5.2 Facteur de modification des sections droites pour limiter les déplacements

Pour des systèmes réticulés soumis à une force unitaire virtuelle, on exprime l’énergievirtuelle emmagasinée dans la structure :

(69)

où υi est l’énergie virtuelle stockée dans le composant i pour la charge unitaire f (υicorrespond donc au déplacement dans sa direction), jTi

f est l’effort sur le composant i dû auchargement extérieur j et Ti

U l’effort sur le composant i dû à la charge unitaire.

Pour un composant i, on peut écrire :

(70)

Si on dérive l’équation (70) on obtient :

(71)

ou bien :

(72)

Cette équation établit un lien entre les taux de variation de section du composant i et dedéplacement dans la direction considérée.

Variations des sections

Pour les structures statiquement déterminées, les valeurs jTif et Ti

U ne dépendent pas desvariations des sections des composants et sont constantes. Dans le cas des structuresstatiquement indéterminées, comme les systèmes de tenségrité, elles dépendent des variablesAi.

ufAE

lTTb

1i ii

libi

Ui

fi

jb

1ii ==υ=υ ∑∑

==

i

i

i

i

AdA

udu

−=

i

i2i

i

i

i

Au

Ac

dAdu

−=−=

i

ii A

cu =

==i

Ui

fi

j

i ETTcavec constante


92

Si l’on considère des petites variations de sections et de déplacement, on obtient une formeincrémentale de l’équation (72). Chaque incrément correspond à une étape du processusitératif de dimensionnement ; on écrit alors :

(73)

selon :

(74)

où v désigne l’itération courante et (v + 1) l’itération suivante avec

8.6 Cas des systèmes de tenségrité

Nous considérerons que la géométrie et la structure relationnelle sont fixes.

Les variations de géométrie impliquent en effet des modifications des états d’autocontrainte.La gestion de l’optimisation devient alors très délicate, c’est pour cela que nous fixerons laforme dans un premier temps.

Dans tous les cas traités dans ce travail, les structures sont simplement appuyées (c. f. 6.2.3)et soumises à des états de chargement avec une répartition uniforme.

Variables libres et variables préassignées

Les variables libres choisies sont les sections droites des composants Ai et sont considéréescomme des variables continues.

Nous avons aussi choisi de les grouper dans trois catégories afin de limiter le nombre devariables à trois : une section pour les câbles des nappes, une autre pour les composantscomprimés (barres) et une troisième pour les câbles verticaux et périphériques.

Cette répartition traduit, en fait, un impératif d’ordre technologique et économique visant àuniformiser le plus possible les composants.

Les rayons de giration des éléments seront initialement donnés puis calculés lors du processusà partir des sections et d’un rapport maximal diamètre/épaisseur (D/t) que l’on imposera.

Les propriétés des matériaux sont différentes entre les barres et les câbles. Même si cescomposants sont tous deux réalisés en acier, leurs modules d’élasticité et leurs limitesélastiques ne sont pas identiques.

En résumé, les données initiales de notre problème d’optimisation sont le type de système(géométrie et structure relationnelle), les conditions à la frontière (appuis) et certainespropriétés des sections.

Les variables à déterminer sont l’état d’autocontrainte initial et les valeurs des sections descomposants.

i

i

i

i

AA

uu ∆

−=∆

vi

i

ivi

1vi AF

uu1AA =

∆+=+

.AAA vi

1vii −=∆ +


93

8.6.1 Autocontrainte initiale

Un état d’autocontrainte initial optimal sera déterminé lors d’une première étaped’optimisation et les composants du système dimensionnés selon les données établies. Dansun second temps, on essayera d’obtenir des meilleures solutions en considérant desmodifications en parallèle de la densité du maillage et de la hauteur de la grille.

Dans le cas d’une autocontrainte initiale avec une distribution uniforme, la question qui sepose alors concerne la valeur de son niveau. Si l’autocontrainte est non-uniforme, oncherchera le niveau mais également la distribution la plus convenable.

Notons qu’une modification du niveau de l’autocontrainte peut avoir des conséquences sur lepoids du système. On considérera donc ce paramètre comme une variable dudimensionnement.

Ainsi, le problème posé est celui de la détermination d’une structure de poids minimal, avecun niveau et une distribution de l’état d’autocontrainte initial, soumise à des restrictions endéplacement (flèche maximale), en efforts (mini et maxi) et en terme de sections minimales.

Les efforts internes dus à l’état d’autocontrainte initial concernent tous les composants. Pourcertains le chargement extérieur provoque une augmentation de la sollicitation et unediminution pour d’autres.

Pour les composants à rigidité unilatérale, une diminution trop importante peut annuler lasollicitation initiale.

Pour ceux à rigidité bilatérale les effets du chargement peuvent inverser la sollicitation sur lecomposant. Dans les exemples que nous traiterons, nous avons décidé qu’un tel cas de figuredevait être évité.

La contrainte sur un composant correspond à la combinaison de la contrainte due àl’autocontrainte initiale σ Ii et de celle provoquée par le chargement extérieur fσi :

(75)

L’état d’autocontrainte initial doit maintenir les câbles tendus (0 < σit < σi

t_max) et les barrescomprimées (σi

c_max < σic < 0).

Les critères à considérer lors de la détermination de la combinaison des états d’autocontrainteadaptés à différents chargements seront discutés dans le chapitre 9.

8.6.2 Fonction objectif

Le problème de dimensionnement optimal d’une structure de tenségrité sous les conditionsprécédemment décrites peut être explicité sous la forme :

(76)

où A1, A2 et A3 sont respectivement les sections des barres, des câbles de nappes et des câblesd’entretoisement (ce étant le nombre de câbles d’entretoisement verticaux et périphériques).

ifI

ii σ+σ=σ

++ρ= ∑∑∑

=

−

=

−

=

ce

1k

libi3

cec

1j

libi2

cb

1i

libi1

T lAlAlAWmin


94

8.6.3 Restrictions du dimensionnement

Les variables de dimensionnement sont soumises à des restrictions en déplacement, en effortset en section minimale selon :

- Déplacements :

(77)

où np est nombre de cas de chargement extérieur.

- Efforts sur les composants tendus :

(78)

(79)

où σΙi est la contrainte de traction sur le câble i due à l’état d’autocontrainte initial et fσi est

celle due au chargement extérieur f.

- Efforts sur les composants comprimés :

(80)

(81)

où σIi est la contrainte de compression sur la barre i due à l’état d’autocontrainte initial.

- Sections droites minimales :

(82)

où Ag est la section des composants du groupe g dont la limite inférieure est fixée à Agmin.

)Nà1jetnpà1f(0uu jfmax ==≥−

)cà1i(0)( ifI

imax_t

i =≥σ+σ+σ

0)( ifI

i ≥σ+σ

))cb(à1i(0)( ifI

imax_c

i −=≤σ+σ+σ

0)( ifI

i ≤σ+σ

)ngà1g(0AA mingg =≥−


95

9 Optimisation de l’état d’autocontrainte et du dimensionnement

9.1 Introduction

Pour mieux visualiser les états d’autocontrainte partiels qui interviennent dans la combinaisonqui définit l’état d’autocontrainte initial, lors de la première étape du dimensionnement, il estnécessaire de les trier. Nous avons à cet effet développé des procédés lors de la premièrepartie de ces travaux qui fonctionnent bien pour des systèmes de petite taille. Cependant,s’agissant de systèmes de tenségrité avec de nombreux états d’autocontrainte, il apparaîtnécessaire de chercher d’autres éléments de réponse.

Dans le paragraphe 9.2 de ce chapitre, on présente ainsi une procédure pour former une basedes états d’autocontrainte qui exploite la présence périodique des composants.

Afin de l’illustrer, cette démarche est appliquée sur un système réticulé simple, puis sur dessystèmes de tenségrité de petite taille et ensuite sur d’autres de plus grande taille. Le nombred’états d’autocontrainte est estimé à partir des densités de maillage et la base des étatsd’autocontrainte déterminée en utilisant les coefficients obtenus pour des systèmes de petitetaille.

Dans le paragraphe 9.3, nous expliciterons les critères permettant de déterminer un étatd’autocontrainte initial et nous exposerons trois options possibles pour évaluer son niveau.

Une méthode sera ensuite proposée dans le paragraphe 9.4. Elle permet de déterminerconjointement l’état d’autocontrainte initial et de dimensionner les composants selon unprocessus itératif comprenant trois parties. Dans la première, le but est d’obtenir des sectionsdes composants qui garantissent que le critère de déplacement pour un chargement aux étatslimites de service soit satisfait. Dans la deuxième, un état provisoire d’autocontrainte estdéterminé ; cela permet dans une troisième partie de dimensionner les composants pour unétat de sollicitation dans lequel sont considérés les efforts internes de l’état d’autocontrainte etceux dus au chargement.

Dans la première partie de cette méthode, le concepteur choisit le groupe de composants àmodifier. Pour guider cette décision, on montrera dans le chapitre 9.5 un exemple del’influence des variations des sections sur les déplacements du système.

Avant de conclure, on présentera et commentera dans le paragraphe 9.6 deux systèmes detenségrité ainsi dimensionnés avec des états d’autocontrainte initiaux de répartition homogèneet non-homogène.


96

9.2 Autocontrainte des structures périodiques

Comme nous l’avons exposé dans le chapitre 2, les systèmes de tenségrité peuvent êtreformés par l’assemblage de modules élémentaires ou par des configurations définies sur desmaillages élémentaires.

Dans les deux cas, il existe une répétition périodique des composants dans la structure. Lesquatre méthodes présentées (paragraphe 3.2.2.1) sont applicables à des systèmes avec unnombre réduit d’autocontraintes, exceptée la méthode conditionnelle. Cependant, cetteapproche devient très laborieuse pour des systèmes avec de nombreux états d’autocontrainte.

Lors de la modélisation, nous pouvons utiliser une numérotation convenable des composantsqui facilite le repérage des états d’autocontrainte partiels périodiques qui ont étépréalablement identifiés sur des structures de petite taille.

On utilise ces petites structures pour faciliter l’observation et l’identification de sous-systèmessusceptibles d’être autocontraints. Ils sont constitués par des composants qui appartiennent àdifférents modules assemblés. Dans ces sous-systèmes, l’équilibre des efforts internes estassuré mais ni la conformité ni la stabilité ont été vérifiées.

Pour présenter l’idée générale de la construction de la base des états d’autocontrainte à partirde ceux d’une structure plus petite, on utilisera deux exemples. Le premier est un systèmeformé de un et trois modules élémentaires qui accepte des états d’autocontrainte (formeautocontrainte). Le deuxième exemple porte sur des systèmes de tenségrité de petite taille (àun, trois et six modules) et servira à calculer le nombre des états d’autocontrainte et leur baseassociée pour une structure plus grande (seize modules).

9.2.1 Structure simple : un et trois modules

Un moduleDans la Figure 52, on montre une structure constituée d’un module plan, susceptibled’accepter un état d’autocontrainte, avec la numérotation de ses nœuds et composants ainsique les coefficients de densité de force associés à son unique état d’autocontrainte {S1} :

Figure 52: Module plan

21

4 3

2

5

13

4

6

1.00

1.00{ } { }111111S

654321.nocomposantT

1 −−=


97

Trois modules

La structure à trois modules alignés (Figure 53) possède trois états d’autocontrainte partiels{S1}, {S2} et {S3} qui forment la base [S] (à laquelle on a ajouté, à droite, la numérotation descomposants) :

Figure 53: Trois modules et base associée

Dans la numérotation employée, le dernier composant d’un module correspond au premiercomposant du module suivant et l’état d’autocontrainte du module central {S2} possède uncomposant en commun avec les deux autres états partiels. Cette numérotation facilite lavisualisation des périodicités dans la matrice [S].

Les trois vecteurs peuvent être générés en plaçant les coefficients d’un seul module isolé(Figure 53) sur ceux de la structure complète à partir du premier, du sixième et du onzièmecomposant avec des coefficients nuls pour le reste des composants. Cela est ici possible parceque la numérotation employée couvre d’abord un module entier avant de passer au suivant.

L’ordre de la numérotation des nœuds n’affecte pas celui des coefficients des étatsd’autocontrainte. Par contre, un changement dans l’ordre de la numérotation des composantsle modifie.

Ainsi, pour une autre numérotation de composants, l’ordre des coefficients d’autocontraintedans cette base change et la périodicité observable dans la Figure 53 n’apparaît plus de façonaussi évidente. Toutefois, la correspondance entre les coefficients et les composants estconservée.

Les coefficients d’un vecteur localisé dans un système de petite taille sont analogues auxcoefficients d’un système plus grand. Ils sont alors utilisés pour générer sa base [S]. Pour cela,les coefficients de chaque vecteur sont affectés à une colonne de [S] à partir de la lignecorrespondant au nombre de composants. Pour faciliter l’opération, cette affectation peut êtrefaite au moment de numéroter les composants.

.

{S1} {S2} {S3}[S] = 1 0 0 1

-1 0 0 2-1 0 0 3 1 0 0 4 1 0 0 5 1 1 0 6 0 -1 0 7 0 -1 0 8 0 1 0 9 0 1 0 10 0 1 1 11 0 0 -1 12 0 0 -1 13 0 0 1 14 0 0 1 15 0 0 1 16

1

2 12 1383

1 6 11 16

105 15

94 14

4

5 6 7 8

7

2 3

1 2 3


98

Pour assurer que la matrice ainsi générée constitue une base complète des étatsd’autocontrainte, trois vérifications doivent être faites.

1.- Tous les vecteurs ainsi obtenus sont linéairement indépendants.

2.- Le nombre d’états d’autocontrainte linéairement indépendants correspond à ladifférence entre le nombre de composants et le rang de la matrice d’équilibre (s = b – rA).

3.- Les états d’autocontrainte respectent l’autoéquilibre : la matrice d’équilibre [A] et lesvecteurs d’autocontrainte {Si} obtenus avec la même numérotation des composants ont unproduit nul ( [A]{Si} = {0}). On s’assure qu’ils appartiennent au noyau de la matriced’équilibre.

9.2.2 Système de tenségrité : un, trois et six modules

Un module

La Figure 54 présente un module élémentaire quadruplex nommé A. Ses composants ont éténumérotés dans l’ordre suivant : barres, câbles inférieurs et supérieurs puis câbles verticauxd’entretoisement. Les coefficients d’autocontrainte du vecteur {S1} et les longueurs descomposants sont contenus dans le Tableau 7.

Figure 54: Module A

Tableau 7: Etat d’autocontrainte {S1} etlongueurs des composants du module A

Composant Coefficientd’autocontrainte

( qi0 )

Longueur(m)

Barres A1 -1 2.25A2 -1 2.25A3 -1 2.25A4 -1 2.25

Câbles A5 0.5 1.5Nappe A6 0.5 1.5Inférieure A7 0.5 1.5

A8 0.5 1.5Câbles A9 1 1.06Nappe A10 1 1.06Supérieure A11 1 1.06 A12 1 1.06Câble A13 1 1.68Verticaux A14 1 1.68 A15 1 1.68

A16 1 1.68

1.5

1.5

1.5


99

Trois modules

Un système de trois modules identiques assemblés en ligne (Figure 55) possède quatre étatsd’autocontrainte linéairement indépendants.

Dans celui-ci, les composants ont été numérotés dans un ordre similaire au cas de la structureplane précédente (d'abord les barres puis les câbles inférieurs, supérieurs et verticaux). Deuxmodules consécutifs ont un sel composant en commun et la numérotation couvre tous lescomposants d’un module avant de passer au module suivant.

Module A Module B Module C

Figure 55: Système à trois modules

L’état d’autocontrainte d’un seul module quadruplex est total et conforme. Pour un systèmeformé de trois quadruplex, trois états d’autocontrainte partiels et conformes sont alorsidentifiables (un pour chaque module, Figure 56).

Module A Module B Module C

Figure 56: Etats d’autocontrainte partiels modulaires

Une combinaison de ces trois états sera alors suffisante pour former un état d’autocontraintetotal et conforme.

Toutefois, un quatrième état partiel résulte de l’assemblage des modules et peut aussi être prisen considération. Diverses possibilités existent pour le décrire, nous en présentons deux quiimpliquent un nombre minimal de composants (Figure 57).


100

Figure 57: Deux représentations possibles du quatrième état d’autocontrainte

Notons que, dans tous les cas, ce quatrième état agit sur des composants appartenantsimultanément au trois modules A, B, et C.

Dans le premier cas (celui de gauche) les composants concernés sont un câble du module Aen traction, un câble du module C en compression, et trois barres plus six câbles du module B.

Pour le deuxième cas, on trouve un câble du module A en compression, un câble du module Cen traction puis trois barres et six câbles du module B.

On voit immédiatement que ces deux options correspondent à des états d’autocontraintepartiels non conformes (un câble est comprimé). Il est cependant possible de trouver un étatconforme en combinant celui-ci avec l’état total et conforme formé par les trois premiers, oubien avec les états conformes qui agissent sur le câble concerné.

La base [S] comprenant les trois états conformes et l’état non conforme est montré dansl’annexe G. On présente aussi une autre écriture de cette base qui minimise le nombre decomposants impliqués.

Six modules

Pour une structure formée par l’agglomération de six modules identiques disposés selon deuxlignes (Figure 58), le nombre d’états d’autocontrainte est égal à neuf.

Figure 58: Ensemble de six quadruplex

La base des états d’autocontrainte intègre les deux bases de trois modules qui a été décritedans le cas précédent (huit états) plus un neuvième.

Pour un arrangement de six modules disposés selon deux lignes de trois modules, il existeplusieurs façon de présenter ce neuvième état. Dans tous les cas, il agit sur des composantsappartenant aux six modules élémentaires.

A B C A B C

a) b)


101

Nous avons choisi de l’expliciter comme montré sur la Figure 59 ; il s’agit d’un sous-systèmecentré sur la structure et qui utilise un nombre minimal de composants.

Figure 59: Etat d’autocontrainte partiel

Ainsi, les états d‘autocontrainte partiels dans cet ensemble à six modules sont :

a) Un pour chaque module (Figure 60a)) 6b) Un pour chaque ensemble de trois modules en ligne (Figure 60b)) 2c) Un pour l’ensemble des six modules (Figure 60c)) 1

Figure 60: Localisation préconisée des neuf états d’autocontrainte partiels

On se propose à présent d’appliquer ce raisonnement au cas de systèmes plus grands.

a) Un état d’autocontrainte par module

b) Un état pour trois modules en ligne c) Un état à l’intérieur des six modules


102

9.2.3 Application sur des systèmes de plus grande taille

Les précédentes observations sont appliquées à une structure formée de 16 modulesquadruplex (44 états d’autocontrainte).

De manière similaire, on peut localiser les états d’autocontrainte partiels comme suit : 16 étatsconformes, un pour chaque module (Figure 61 a)) ; 16 états non conformes, un pour chaqueensemble de trois modules en ligne (Figure 61 b)) ; 12 états où participent des composants desix modules en deux lignes de trois (Figure 61 c)). Au total, il y a 44 états d’autocontrainte.

a) Un état d’autocontrainte par module (16, deux parmi ceux-là sont montrés)

s

b) Un état d’autocontrainte pour trois modules en ligne (16)

c) Un état d’autocontrainte pour un ensemble de 2x3 modules (12)

Figure 61: Etats d’autocontrainte partiels

4 + 4 + 4 + 4 = 16

3 + 3 + 3 + 3 = 12


103

Recensement des états d’autocontrainte

On considère maintenant le cas général de systèmes rectangulaires formés par la fusion deDX x DY modules quadruplex (Figure 62).

Figure 62: Système multimodule formé de quadruplex

Le nombre d’états d’autocontrainte peut être déterminé en fonction du nombre de modulesdans les deux directions selon :

(83)

(84)

(85)

où :a = DX DY ; Nombre d’états d’autocontrainte localisés sur chaque moduleb = (DX -2) DY ; Nombre d’états d’autocontrainte localisés sur chaque ensemble de trois

modules dans la direction horizontalec = DX (DY -2) ; Nombre d’états d’autocontrainte localisés sur chaque ensemble de trois

modules dans la direction verticaled = (1+( DX -3)) (DY -1) ; Nombre d’états d’autocontrainte localisés sur chaque ensemble de six

modules avec trois modules sur l’horizontalee = (1+( DY -3)) (DX -1) ; Nombre d’états d’autocontrainte localisés sur chaque ensemble de six

modules avec trois modules sur la verticale

Dans le Tableau 8, on montre le nombre d’états ainsi recensés par cette méthode et ceuxcalculés par la méthode proposée par S. Pellegrino [PEL86] (Equation (8)).

DX DY EA Recensés Calculés

DX DY EARecensés Calculés

1 1 1 1 4 5 59 592 1 2 2 5 5 79 792 2 4 4 5 6 99 993 1 4 4 6 6 124 1243 2 9 9 7 7 179 1793 3 19 19 8 8 244 2444 2 14 14 9 9 319 3194 4 44 44 10 10 404 404

Tableau 8: Nombre d’états d’autocontrainte

Une fois que les vecteurs d’autocontrainte partiels sont définis pour un système de petitetaille, le travail qui reste à effectuer pour générer la base [S] consiste à repérer les coefficientsdes états d’autocontrainte choisis dans la numérotation de la structure complète. Cetteopération est effectuée pendant la génération de la numérotation de composants, comme cela

DX

DY

2Det2DpourD)2D(DDs YXYXYX ≤>−=

2Det2Dpouredcbas YX >>++++=

2Det2DpourDDs YXYX ≤≤=


104

a été décrit pour une structure simple (9.2.1), avec des coefficients zéro pour le reste descomposants qui ne sont pas impliqués dans chaque vecteur. Au final, on obtient la based’autocontrainte de la structure complète.

Dans le cas d’un système à 4x4 quadruplex (65 nœuds et 232 composants), on présente à titreillustratif l’architecture de la base ainsi déterminée : (Figure 63).

Figure 63: Base des états d’autocontrainte [S]T avec une numérotation périodique

On peut procéder de manière similaire pour d’autres systèmes de tenségrité. Dans l’annexe H,ce processus est ainsi appliqué sur un système généré à partir de mailles élémentaires.

9.2.4 Conclusion

Pour une structure formée par répétition périodique et régulière de composants, la base desétats d’autocontrainte peut être construite à partir du repérage des états d’autocontraintelocalisés sur les modules qui la génèrent, et des états partiels restreints localisés sur des sous-systèmes constitués par une partie des composants des modules.

Cette procédure permet d’obtenir plus rapidement la base des états d’autocontrainte pour desstructures de grande taille et de les présenter de la manière la plus facilement exploitable. Leconcepteur sera ainsi aidé pour les étapes ultérieures de calcul et de réalisation.


105

9.3 Critères de définition d’un état d’autocontrainte nominal

Dans le but de préciser l’état d’autocontrainte initial nominal, nous avons adopté les troiscritères suivants :

1.- Cet état devra solliciter tous les composants de la structure (total) et respecter la rigiditédes composants (conforme).

2.- On fera en sorte que le système dans l’état d’autocontrainte initial conserve la géométriecible (système assemblé non chargé).

3.- Sous chargement aux états limites de service, le système utilisé devra avoir desdéplacements inférieurs à des limites établies (critère de rigidité) et ses composants devrontêtre dimensionnés pour résister aux efforts aux états limites ultimes (critère de résistance).

L’état d’autocontrainte initial, de répartition homogène ou non-homogène, devra satisfaire cescritères avec un niveau minimal.

9.3.1 Différentes possibilités de sélection d’un état d’autocontrainte initial nominal

On propose que le choix de l’état d’autocontrainte initial s’effectue selon trois optionsdifférentes.

A.- Première option.- L’état d’autocontrainte est d’un niveau et d’une distribution tels que latension sur des câbles soit assurée pendant l’application d’un chargement aux états limites deservice. Autrement dit, il doit empêcher que les câbles soient relâchés sous chargement deservice.

Pendant l’application d’un chargement aux ELU, un relâchement de câbles dans la structuren’est accepté que si sa stabilité globale n’est pas remise en cause.

B.- Deuxième option.- L’état d’autocontrainte doit conserver la tension sur les câbles et lacompression sur les barres pendant l’application d’un chargement aux états limites de service.Autrement dit, il doit empêcher l’inversion des efforts sur les composants pendantl’application d’un chargement aux ELS.

Le relâchement des câbles aux ELU est accepté sous les mêmes conditions que dans l’optionprécédente.

C.- Troisième option.- L’état d’autocontrainte doit conserver la tension sur les câbles et lacompression sur les barres pendant l’application d’un chargement aux états limites ultimes.

Dans cette option, on n’accepte pas le relâchement des câbles et l’inversion des efforts sur lesbarres sous un état de charge. Dans ce cas, la structure ne subira pas les effets d’éventuellesreprises de tension sur les câbles lors de l’application des charges extérieures.


106

9.4 Méthode de calcul de l’état d’autocontrainte initial et dimensionnement

Pour satisfaire au premier critère des trois mentionnés dans le paragraphe (9.3), il fautdéterminer un état d’autocontrainte total et conforme (c. f. 3.3), identifier les composantssurabondants, s’ils existent, et faire un test de stabilité des mécanismes du système.

Afin de prendre en compte le deuxième critère et conserver la géométrie de référence, onutilisera un état d’autocontrainte initial combinaison linéaire des vecteurs de la base [T].Cependant, la précision sur l’obtention d’une géométrie de référence ciblée dépendra aussides paramètres tel que les tolérances de fabrication ou la procédure de montage et de mise entension.

Concernant le troisième critère où l’état d’autocontrainte interagit avec les efforts dus auchargement extérieur et où les sections des composants vérifient les critères de rigidité et derésistance, on a utilisé le processus itératif suivant :

Figure 64: Processus du calcul de l’état d’autocontrainte et dimensionnement des composants

La distribution des efforts sur les composants est modifiée selon les changements de leurssections et, en conséquence, l’état d’autocontrainte initial doit être adapté à ces efforts. Il estaussi nécessaire de considérer les différents chargements extérieurs (ELS et ELU). Ceprocessus permet de déterminer conjointement l’état d’autocontrainte initial et les dimensionsdes composants. Il consiste en trois étapes qui sont décrites ci-après.

[KT]{u}={f}

Aiv+1= Ai

v + ∆Ai

maxii

fj σ≤σ

Données

{TI}= 0

maxfi

j uu ≤

j Tif

fui

Non

Calculer {T IT} (Option A, B, C)

{T} = {TIT} + {Tf }

Aiv+1= max (A1, A2)

A1 = f (Ti) ; A2 = Ai

v

Fin

Première étape(critère rigidité)

Deuxièmeétape

Troisième étape(critère résistance)

Non


107

9.4.1 Première étape : sections droites des composantsSatisfaction du critère en déplacement

On supposera temporairement, dans cette première étape, que tous les composants possèdentune rigidité bilatérale. De plus, le flambement ainsi que les effets de la non-linéaritégéométrique ne seront pas considérés et l’état d’autocontrainte initial sera supposé nul(hypothèses temporaires).

Ces considérations permettront de faire un premier calcul du déplacement des nœuds et desefforts sur les composants. Ces résultats seront utilisés pour faire un dimensionnementpréliminaire de ceux-ci en limitant les déplacements et pour calculer un état d’autocontrainteinitial temporaire.

Les déplacements des nœuds et les efforts sur les composants provoqués par le chargementextérieur {Tf} sont calculés avec les hypothèses temporaires mentionnées ci-dessus. Celapermet de calculer les sections Ai

v, pour un déplacement maximal autorisé, en utilisant unfacteur de modification des sections droites F1 :

(86)

(87)

Ces nouvelles sections sont ensuite utilisées pour recalculer les efforts et les déplacements aucours d’un processus itératif jusqu'à arriver aux sections nécessaires pour avoir undéplacement maximal admissible. Au début du processus, les sections sont supposées égalesaux valeurs minimales Ai

min.

Les sections des composants ainsi calculées correspondent aux sections minimales selon lecritère de rigidité.

Toutefois, le facteur de correction F1 pourra ne pas être appliqué à tous les composants maisseulement pour ceux appartenant à des groupes choisis. Cela permet de conserver un contrôlesur l’uniformité et le type de composants qui sera modifié.

1vi

1vi FAA =+

maxi

max_f1 u/uFavec =


108

9.4.2 Deuxième étape : calcul de l’état d’autocontrainte initial nominal

Les efforts {Tf} obtenus dans la première étape ainsi que les sections minimales pour uncritère de rigidité, sont utilisés pour calculer un état d’autocontrainte temporaire {TIT} capabled’éviter la détention des câbles et/ou l’inversion des efforts selon l’option choisie et exposéedans le paragraphe 9.3.1.

La méthode consiste à obtenir un vecteur d’autocontrainte qui annule simultanément uncertain nombre des efforts provoqués par un chargement extérieur. Ce nombre est égal aunombre de vecteurs combinés pour calculer l’état d’autocontrainte initial et les efforts sontpris parmi les maximum des différents chargements (compression pour les câbles, tension surles barres). On rappelle que les composants sont toujours temporairement supposés à rigiditébilatérale.

Le type de composants sur lequel on considère les valeurs maximums des efforts dépend del’option choisie en accord au paragraphe 9.3.1 ; ainsi, lors de la première approximation decalcul et en supposant que les éléments sont à rigidité bilatérale sans autocontrainte:

- Pour l’option A, on utilise les plus grands efforts de compression sur les câbles pour lescharges aux ELS.

- Pour l’option B, les plus grands efforts de compression sur les câbles ou de tension sur lesbarres aux ELS.

- Pour l’option C, les plus grands efforts de compression sur les câbles ou de tension sur lesbarres pour les charges aux ELU.

Une fois choisis, ces efforts maximums sont triés par ordre croissant de valeurs absolues.

De la base [T] ou d’une sous-base de [T] selon le cas, on extrait des lignes linéairementindépendantes en nombre égal au nombre de colonnes pour former une matrice carréeauxiliaire [Co]. La sélection des lignes correspond à l’ordre croissant des efforts déterminésci-avant. Les valeurs maximales des efforts dans les composants correspondent aux lignesextraites et forment un vecteur condition {co}, de façon analogue à la méthode conditionnelleprésentée en 3.2.2.

(88)

(89)

(90)

L’état d’autocontrainte calculé de cette manière est unique et a un niveau minimal.

Gardons tout de même à l’esprit que, à ce niveau de l’étude, cet état d’autocontrainte n’estque provisoire et va être affiné lors de la troisième étape.

[ ] { } { }ocCo =α

{ } [ ] { }o1 cCosoit −=α

{ } [ ] { }α= TTpuis IT


109

9.4.3 Troisième étape : sections droites des composants Satisfaction du critère de résistance

Dans cette étape seront exécutés quatre cycles d’analyse et de dimensionnement. Lors desdeux premiers cycles, les hypothèses temporaires de rigidité bilatérale et de comportementlinéaire seront toujours utilisées. Pour le dimensionnement des composants, on prendra encompte les restrictions en déplacement, les efforts maximum et le flambement des barres.

Lors du premier cycle, les efforts sur les composants sont calculés en utilisant les sectionsobtenues dans la première étape (9.4.1) et l’état d’autocontrainte initial temporaire {TIT}calculé lors de la deuxième (9.4.2). Les sections des composants sont dimensionnées poursupporter les efforts produits avant et après chargement. Ces résultats sont utilisés pouractualiser l’état d’autocontrainte temporaire.

Dans le deuxième et troisième cycle, on considère l’état d’autocontrainte calculéprécédemment et les sections maximales, choisies entre les sections minimales du critère dedéplacement et celles obtenues lors du cycle précédant. Les composants sont à nouveaudimensionnés pour ces nouvelles sollicitations et l’état d’autocontrainte temporaireréactualisé.

Il faut insister sur le fait que les modifications des sections sont uniquement desaugmentations, si nécessaire, ce qui assure la conservation d’un système capable de maintenirles déplacements dans les limites admissibles.

Chaque modification de sections nécessite de recalculer la nouvelle distribution avec desrépercussions sur le dimensionnement (critère de résistance) et sur l’évaluation de l’étatd’autocontrainte temporaire.

Enfin, lors du dernier cycle, on vérifie la pertinence de l’état d’autocontrainte déterminé {TI}et la suffisance des sections droites calculées {Ai}, en considérant la non-linéaritégéométrique du système, la rigidité unilatérale de ses composants et les restrictions endéplacement et en résistance.

Cette procédure suppose toutefois que les résultats soient pilotés par le critère de rigidité.Dans le cas contraire, le même processus est mené sans prendre en compte les sectionsminimales calculées lors de la première étape (9.1.1).

Pour la détermination de l’état d’autocontrainte sur les systèmes multimodule étudiés dans cemémoire, on a utilisé une sous-matrice de [T] formée par des états d’autocontrainte partielsconformes en un nombre égal au nombre de modules. Pour les systèmes formés sur de maillesélémentaires avec un autocontrainte de distribution homogène, ce nombre est variable et, pourune autocontrainte de répartition non-homogène, on a utilisé la base complète.


110

9.4.4 Exemple de deux états d’autocontrainte minimaux

On présente ici deux exemples d’états d’autocontrainte pour un système formé parl’assemblage de 36 modules quadruplex avec un chargement aux ELS.

Sur la Figure 65 est représenté un état d’autocontrainte qui sollicite de manière uniforme lesbarres. Son niveau est le plus petit pour éviter le relâchement des câbles (4 câbles à la limite).

Figure 65: Efforts internes avant et après chargement (ELS)(état d’autocontrainte de répartition homogène)

Un état d’autocontrainte de répartition non-homogène est à présent considéré (Figure 66). Sonniveau est aussi le plus petit pour éviter le relâchement des câbles (36 câbles à la limite).

Figure 66: Effort internes avant et après chargement (ELS)(état d’autocontrainte de répartition non-homogène)

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281 301 321 341 361 381 401 421 441 461 481 501

No. du composant

Effo

rts

(N)

Autocontrainte

Efforts sous chargement

Câbles

Barres

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253 271 289 307 325 343 361 379 397 415 433 451 469 487 505

No. du composant

Effo

rts

(N)

Autocontrainte


Câbles

BarresNo. du composant


111

9.5 Modification des sections des composants

Pendant le dimensionnement, le concepteur doit décider sur quels composants agir pourobtenir les déplacements souhaités. Pour étudier l’effet des modifications des sections sur ladéformation, on analyse le système multimodule à 36 quadruplex, décrit dans le paragraphe6.3.1, dans lequel on a changé les sections pour les trois groupes de composants.

Ce système a été dimensionné pour un chargement aux ELS avec un état d’autocontrainte derépartition homogène. Les aires des sections obtenues pour les trois groupes de composantssont de 4.54 cm2 pour les barres, 0.48 cm2 pour les câbles des nappes et 0.294 cm2 pour lescâbles d’entretoisement. Le déplacement au centre de la portée est de 2.3 cm pour unmaximum autorisé de 5.6 cm.

On constate que les barres concentrent prés de 87% du poids total (8% pour les câbles denappes et 5% pour les câbles d’entretoisement).

La Figure 67 montre trois courbes qui correspondent à la flèche obtenue en fonction d’uneaugmentation de la section des barres, ou des câbles de nappe, ou des câbles d’entretoisement.

Figure 67: Flèche obtenue pour différentes sections des composants

Le point initial A correspond à la flèche calculée en utilisant les sections obtenues aux ELS.

Les deux courbes liées aux variations des sections des barres et des câbles d’entretoisementsont très proches et la réduction de flèche pour ces cas est infime. Par contre, uneaugmentation de la section des câbles de nappes réduit sensiblement la flèche.

Il s’agit donc du paramètre sur lequel il faut intervenir (effet notable sur la flèche pour uneaugmentation du poids propre réduite).

Variations de flèche

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

01 1.25 1.5 1.75 2

Facteur d'augmentation

flèch

e (c

m)

Câbles des nappes

Câbles d'entretoisement

BarresA

Variation de la flèche

Facteurd’augmentationde la section


112

9.6 Applications : dimensionnement optimal de grilles à double nappe

9.6.1 Grille multimodule

Afin d’élargir la démarche, nous allons maintenant dimensionner les systèmes précédentsavec, dans un cas, un état d’autocontrainte de répartition homogène et, dans l’autre, nonhomogène.

9.6.1.1 Etat d’autocontrainte initial de répartition homogène

L’état d’autocontrainte de répartition uniforme utilisée dans le chapitre 6 (c. f. 6.3.1) est déjàau niveau minimal. Une diminution de ce niveau impliquerait que, sous chargement aux ELS,il y ait au moins relâchement d’un câble.

Pour générer cet état nous avons utilisé une combinaison de 36 états sur les 124 de la base.

Il n’est en effet pas possible de faire intervenir un grand nombre d’états partiels (autres queles modulaires) car ils n’impliquent que certaines barres, ce qui empêche l’uniformité decompression dans toutes les barres du système.

Sachant qu’une diminution des sections des barres est de faible influence sur la flèche, ondétermine leur section en fonction de l’effort maximal de compression admissible (charge deruine au flambement).

Aux ELU, l ‘effort maximal sur les barres est alors de 3330 daN avec un état d’autocontrainteinitial égal à 1.2{TI} (Figure 45), pour une charge de ruine des barres de 3780 daN. Le rapportentre la charge maximale et la charge de ruine est de 88%. Cela signifie que, dans ce cas,l’utilisation d’un niveau d’autocontrainte correspondant à 50% de la charge de ruine desbarres est une bonne approximation ; il reste une petite fraction, environ 12%, de la capacitédes barres qui n’est pas utilisée.

Si on redimensionne les barres pour une charge de 3500 daN en utilisant un rapportdiamètre/épaisseur de 16.66, la section nécessaire est alors de 5.2 cm2.

Les câbles d’entretoisement soumis à une tension maximale de 1800 daN sont réalisés par descâbles de 9 mm de diamètre avec une traction maximale admissible de 2210 daN.


113

La distribution des efforts et la capacité des composants sont montrées dans les Figures 68 et69. (Dans le but de simplifier ce simplifier l’explorations

Figure 68: Vérification aux ELU pour une autocontrainte initiale égale à 1.2{TI}(chargement vertical descendant)

Figure 69: Vérification aux ELU pour une autocontrainte initiale égale à 1.2{TI}(chargement vertical ascendant)

Les poids des composants, par groupes, sont précisés dans le Tableau 9 :

Groupe Type de composant No L Masse linéique W partiel Poids propre (m) (kg/m) (kg) total

1 Barre 144 2.80 4.10 1653 1987 kg2 Câble nappe inférieure 84 1.87 0.61 96 Poids/m2 = 15.83 Câble nappe supérieure 144 1.32 0.61 116 kg/m2

4 Câble d’entretoisement 144 2.08 0.41 122

Tableau 9: Poids propres des groupes de la grille multimodule redimensionnée

Ces modifications génèrent une économie de poids de 138 kg entre le système dimensionnédans le chapitre 6 et celui-ci. Cette différence peut de plus évoluer si on choisit par exempleles barres dans une liste de dimensions standards.

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

1 21 41 61 81 101 121141 161 181 201221 241 261281 301 321 341 361 381 401421 441 461481 501

No. du composant

Effo

rts

norm

al (N

)

Autocontrainte



Limite de sollicitation des composants

Barres

Câbles

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

1 21 41 61 81 101 121141 161 181201 221 241261 281 301321 341 361381 401 421441 461 481501

No. du composant

Effo

rts

norm

al (N

)

Autocontrainte


Limite de solicitation descomposantsLimite de sollicitation descomposants

Barres

Câbles


114

Ainsi pour les deux systèmes, on peut utiliser des barres de 6.03 cm de diamètre et 2.9 mmd’épaisseur (5.23 cm2) pour une charge de ruine de 4300 daN.

Le poids total passe ainsi de 2111 kg à 2050 kg ; l’unique différence est due à la réduction desection des câbles d’entretoisement.

Dans ce deux cas, le dimensionnement est dominé par le critère de résistance. Les limites endéplacement sont obtenues avec des composants dimensionnés en résistance.

9.6.1.2 Etat d’autocontrainte initial de répartition non-homogène

Dans le système multimodule à 36 quadruplex avec une distribution de l’état d’autocontrainteinitial non-homogène, la distribution et le niveau de l’autocontrainte minimale pour éviter lerelâchement des câbles sont obtenus avec les coefficients α montrés dans la figure suivante :

Figure 70: Coefficients pour un niveau d’autocontrainte minimal non-homogène

Dans ce graphique, les 36 valeurs des coefficients du vecteur {α} (voir équation (40)) sontdisposés selon la position des modules concernés. Ils ont été déterminés pour supporter unchargement uniforme aux ELS.

Cette distribution n’est pas uniforme sur les appuis et à l’intérieur ; elle ne suit pas uneprogression du centre vers la périphérie.

La diminution d’un coefficient α impliquerait le relâchement d’au moins un câble dans unmodule et très probablement sur d’autres modules. On peut ainsi prévoir que cette diminutionentraînerait le relâchement de plusieurs câbles aux ELU et qu’un grand nombre serait enlimite.

En même temps, il peut y avoir des coefficients du niveau de l’état d’autocontrainteextrêmement faibles, ce qui favorise l’apparition du nombre de câbles détendus et enconséquence une déformation plus importante.

La Figure 71 montre les tensions dans les câbles de la nappe supérieure de la grillemultimodule avec un état d’autocontrainte de distribution homogène et non-homogène àniveau minimal.

01000200030004000

5000

6000

7000

8000

90001

2

3

11 1

2

3 3

Coefficients de combinaisonpour un niveau minimal1 2 38831 5864 2074

α


115

Figure 71: Tensions dans les câbles de la nappe supérieure pourdes autocontraintes homogène et non-homogène minimales

Il est cependant possible d’envisager une situation intermédiaire, c’est à dire partiellementhomogène. L’objectif est d’avoir un nombre plus important de câbles toujours tendus auxELU et d’uniformiser partiellement les efforts dans les barres.

La Figure 72 présente ainsi une distribution des tensions dans les câbles de la nappesupérieure entre la limite maximale définie par l’état d’autocontrainte homogène et les limitesminimales définies par l’état d’autocontrainte non-homogène.

Figure 72: Tensions dans les câbles de la nappe supérieure pour un état partiellement homogène

Etats d'autocontraintes

0

2000

4000

6000

8000

10000

229 249 269 289 309 329 349 369

No. du composants

Effo

rts

norm

al (N

)

non-homogène minimale homogène minimale

Etats d'autocontraintes

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

No. de composants

Effo

rts

norm

al (N

)

non-homogène minimale partiellement homogène homogène minimale

No. du composant


116

Les coefficients α utilisés dans ce cas sont présentés sur la Figure 73.

Figure 73: Coefficients pour un niveau d’autocontrainte partiellement homogène

Dans cette distribution partiellement homogène, les coefficients sont uniformisés pour lesmodules centraux et ceux en périphérie en utilisant que deux coefficients à valeur différente.

Une grille utilisant un état initial d’autocontrainte minimal de distribution partiellementhomogène a été ainsi analysée et dimensionnée ; les résultats sont montrés sur la Figure 74.

Figure 74: Vérification aux ELU avec une autocontrainte égale à 1.2{TI}.

Les sollicitations pour cet état partiellement homogène varient principalement pour lacompression des barres au niveau des appuis (diminution des efforts de compression de 3330à 2950 daN).

La distribution proposée permet une meilleure répartition des efforts sur les barres prochesdes appuis. Cependant, la diminution de leur compression est trop faible pour envisager dechoisir un profilé de dimensions inférieures sur une liste de produits standards.

S’il existait un produit manufacturé de dimensions parfaitement adaptées aux valeursthéoriques, le poids de la grille serait alors de 1747 kg.

Coefficients de combinaison

1 28831 5864

1

2

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281 301 321 341 361 381 401 421 441 461 481 501

No. de Composants

Effo

rts

norm

al (N

)

Autocontrainte



Autocontrainte

No. du composant

Barres

Câbles



117

9.6.2 Grille de tenségrité formée sur des mailles élémentaires

Pour illustrer la distribution des coefficients α de l’autocontrainte pour ce type de grille, onutilise une structure de petite taille (DX = DY = 6) montrée dans la figure suivante :

Figure 75: Etats d’autocontrainte partiels : diffus et restreint autour du composant 1

Cette structure possède dix états d’autocontrainte partiels. Neuf d’eux peuvent êtrerapidement identifiés et sont localisés autour des composants verticaux situés à l’intérieur dusystème. Le dixième est un état partiel diffus. Tous ces états sont conformes.

Il faut noter que, dans chaque état restreint, sont impliquées toutes les barres et les câblesverticaux autour du composant central. Dans cette zone, seulement une partie des câbles desnappes sont affectés. Dans l’état d’autocontrainte diffus participent toutes les barres, tous lescâbles verticaux et périphériques et uniquement certaines lignes intérieures de câbles de nappeintérieurs.

Répartition d’autocontrainte homogène

Pour obtenir un état d’autocontrainte total et conforme avec une répartition homogène, cinqétats partiels, convenablement choisis, sont suffisants. Ainsi, les états localisés autour descomposants numérotés 1, 3, 7 et 9, plus l’état d’autocontrainte diffus, peuvent générer un étattotal et conforme. Son niveau peut être défini par un seul coefficient identique pour les cinqétats partiels.

Cet état est représenté sur la Figure 76, il uniformise les tensions et compressions pour lescomposants situés à l’intérieur de la grille.

Figure 76: Etat d’autocontrainte de répartition homogène (grille formée sur des mailles)

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201No. de composant

Effo

rts

norm

al (

N)

No. du composant

CâblesBarres

12

4

5

6

798

13

Z

YX


118

Répartition d’autocontrainte non-homogène

Dans cette configuration les états d’autocontrainte sont "imbriqués" les uns dans les autres.Pour la détermination d’un état de distribution non-homogène, il est nécessaire de prendre encompte cette particularité.

Pour obtenir un état d’autocontrainte initial minimal de distribution non-homogène, on utilisetous les états partiels du système. La Figure 77 montre les dix coefficients α qui définissentcette autocontrainte pour un chargement extérieur uniforme.

Figure 77: Coefficients de combinaison pour un autocontraintenon-homogène de niveau minimal

Ils ont été séparés pour mieux les visualiser : à gauche (a) ceux pour les états autour descomposants verticaux 1, 3, 7 et 9 ; au centre (b) ceux pour les états autour des composants 2,4, 5, 6 et 8 et à droite (c) celui pour l’état partiel diffus.

Le composant vertical central (numéroté 5) est affecté par les dix états, tandis que lecomposant au centre de l’état 1 est impliqué dans cinq (états 1, 2, 4, 5 et 10).

La sollicitation résultante sur un composant est la combinaison des sollicitations pour chaqueétat où il est impliqué.

Dans cet exemple, les tensions avant et après chargement pour les quatre câbles situés sur laligne centrale dans la direction X de la nappe supérieure sont :

Figure 78: Efforts sur les câbles de ligne centrale avant et après chargement

010002000300040005000

6000

7000

1 73 9

01000200030004000500060007000

2

5

6 84

01000200030004000500060007000

10

a) b) c)

0

2000

4000

6000

8000

115 116 117 118

Tens

ion

(N)

Tension de l'autocontrainteTension

No. du composant

Tensions sour chargements


119

Les efforts dans tous les composants du système, en utilisant un état d’autocontrainte initialminimal de distribution non homogène, sont montrés dans la figure suivante :

Figure 79: Efforts dans les composants avant et après chargement

Certaines câbles de la nappe supérieure et d’entretoisement, sont alors en limite derelâchement sous l’effet du chargement.

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201

No. de composant

Eff

orts

nor

mal

(N

)

Autocontrainte Tensions sous charge

BarresCâbles des nappes

inférieureCâblesd’entretoisementsupérieure

Effort sous chargement

No. du composant


120

9.6.2.1 Grille sur des mailles élémentaires avec une distribution d’autocontrainte homogène

Lors du dimensionnement de cette grille, effectué dans le chapitre 6 (c. f. 6.3.2), on a utiliséun état d’autocontrainte minimal de distribution homogène. Les efforts calculés dans lescâbles sont appropriés en fonction des sollicitations admissibles.

Sur les barres, il y a un effort maximal de 5310 daN, ce qui représente environ le 72% de leurcharge de ruine (7420 daN ; voir Figure 15). Une diminution de leurs sections estenvisageable si la restriction en déplacement reste respectée.

Les caractéristiques des composants retenus au final sont les suivantes. Pour les composantscomprimés, on utilise des barres de 42.4 mm de diamètre et 3.2 mm d’épaisseur (3.94 cm2

pour une charge de ruine de 5570 daN).

Les dimensions des composants câbles sont conservées. On utilise dans les deux nappes deséléments de 12 mm de diamètre (0.824 cm2 pour une traction maximale admissible de 4120daN) et, pour les câbles d’entretoisement, de 17 mm de diamètre (1.65 cm2 et 8250 daNadmissible).

La flèche obtenue pour un chargement vertical aux ELS avec un état d’autocontraintehomogène est alors de 5 cm.

Les poids des composants, par groupes, sont présentés dans le tableau ci-dessous :

Groupe Type de composant Quantité L Masselinéique

W partiel Poidspropre

(m) (kg/m) (kg) total1 Barre 480 1.131 3.11 1688 2529 kg2 Câble nappe inférieure 450 0.800 0.730 263 Poids/m2 =3 Câble nappe supérieure 450 0.800 0.730 263 20.2kg/m2

4 Câble entretoisement (latéral) 56 1.131 0.730 465 Câble entretoisement (coin) 4 1.371 0.730 46 Câble vertical 225 0.800 1.470 265

Tableau 10: Poids des composants d’une grille sur des mailles élémentaires redimensionnée

La Figure 80 montre à présent les efforts et les sollicitations maximales admissibles sur lescomposants avant et après le chargement extérieur aux ELU pour un état d’autocontrainte égalà 1.2{TI}.


121

Figure 80: Vérification aux ELU pour une autocontrainte initiale égale à 1.2{TI}

9.6.2.2 Grille sur des mailles élémentaires avec une distribution d’autocontrainte non-homogène

La même grille est maintenant analysée avec un état d’autocontrainte initial minimal non-homogène.

La Figure 81 permet de comparer les efforts dans les câbles de nappe supérieure dus aux étatsd’autocontrainte homogène et non-homogène.

Figure 81: Efforts sur les câbles dus à l’autocontrainte

Les tensions provoquées par l’autocontrainte non-homogène augmentent progressivement dela périphérie vers le centre.

Autocontrainte

02000400060008000

10000120001400016000

481 581 681 781 881 981 1081 1181 1281No. de composant

Effo

rts

norm

al (N

)

homogéné minimale non homogéné minimale

Etats d’autocontrainte

No. du composanthomogène minimal non-homogène minimal

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

1 93 185 277 369 461 553 645 737 829 921 1013 1105 1197 1289 1381 1473 1565 1657

No. de composantsEffo

rts

norm

al (

N)

Autocontrainte




No. du composant

Barres

Câbles


122

La Figure 82 montre les efforts dans les composants avant et après chargement aux ELU. Ungroupe de câbles sont détendus sans arriver au relâchement. Ils seront montrés en détail plustard.

Figure 82: Vérification aux ELU pour une autocontrainte initiale égale à 1.2{TI}

Cet état d’autocontrainte initial est adapté à un chargement extérieur vertical descendant enmaintenant les câbles tendus. Par contre, si l’on inverse le sens du chargement (verticalascendant), il faut le réduire de 30% pour éviter le relâchement des câbles. Les flèches aucentre sont respectivement de 5 cm et de 3.5 cm.

La tension maximale sur les câbles de nappe est de 3790 daN et la compression maximale surles barres de 5310 daN. Sur les câbles d’entretoisement, la tension maximale est de 7330 daN.

Dans la figure suivante, on présente un « zoom » de l’effort normal sur une ligne de câbles dela nappe supérieure située au centre de la grille avant et après chargement aux ELS. Lestensions provoquées par l’autocontrainte non-homogène augmentent progressivement de lapériphérie vers le centre.

Figure 83: Tensions sur les câbles avant et après chargement aux ELS

Ce diagramme montre la distribution des efforts dus à l’autocontrainte initiale et ceux obtenusaprès chargement, beaucoup plus proches d’une tension nulle.

Câbles supérieures (Ligne central direction X)

0

5000

10000

15000

1091 1093 1095 1097 1099 1101 1103 1105No. de composants

Effo

rts

norm

al (N

)

Tensions de l'autocontrainte Tensions sour les chargesTensions sous chargement

No. du composant

Câbles supérieurs (Ligne centrale selon la direction X)

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

1 201 401 601 801 1001 1201 1401 1601

No. de composants

Effo

rts n

orm

al (N

)

Autocontrainte



²

Limite de sollicitation des composants


No. du composant

Barres

Câbles


123

De manière similaire, la Figure 84 montre les efforts de compression sur les barres situéesdans la ligne au-dessous des câbles.

Figure 84: Compressions sur les barres avant et après chargement aux ELS

Barres (Ligne central direction X)

-40000

-30000

-20000

-10000

0177 179 181 183 185 187 189 191

No. de composantsEf

forts

nor

mal

(N)

Tensions de l'autocontrainte Tensions sour les charges

No. du composant

Compression sous chargement

Barres (Ligne centrale)

Compression de l’autocontrainte


124

9.7 Conclusion sur la détermination du niveau et de la distribution de l’autocontrainte

Pour pouvoir utiliser une base d’autocontrainte plus facilement exploitable lors dudimensionnement, on a pris en compte la répétition périodique des composants dans lesystème et on a utilisé les états d’autocontrainte partiels identifiés sur des systèmes de petitetaille. Cette procédure permet d’obtenir rapidement cette base pour ceux de plus grande taille.

Trois critères ont été établis pour déterminer l’état autocontrainte initial et on a mis en placetrois options relatives à son niveau d’implication. Cet état est obtenu en considérantconjointement les dimensions des composants au cours d’un processus itératif.

Au travers d’un exemple, on montre aussi la possibilité de contrôler la flèche par desmodifications des sections des câbles de nappe.

Deux études de dimensionnement ont été ainsi menées en utilisant des états d’autocontrainteinitiaux de répartition homogène et non-homogène.

Dans le cas de la grille multimodule (36 quadruplex) avec un état d’autocontrainte dedistribution homogène, déjà utilisée lors du dimensionnement, cet état reste à un niveauminimal (6.3.1). On constate que le niveau établi à 50% de la charge de ruine des barres estapproprié pour ce cas (12% de la capacité des barres n’est pas utilisée).

Pour le cas d’une grille formée sur des mailles, le niveau d’autocontrainte est aussi minimal(6.3.2). Dans ce cas, on montre que 28% de la capacité des barres n’est pas utilisée. Elles ontété ainsi redimensionnées et le poids du système est réduit de 2642 à 2529 kg (soit de 21 à20.2 Kg/m2.

Pour une distribution non-homogène, l’utilisation d’un niveau minimal présente certainsinconvénients. D’une part, lorsque le chargement dépasse les valeurs aux ELS, un nombreimportant de câbles sont relâchés. Cela, est dû au fait que, pour ce niveau minimal, la tensionsur certains câbles est très faible, voire pratiquement nulle.

Par ailleurs, la distribution des efforts dans le cas de systèmes multimodule est tropirrégulière. La recherche d’un état partiellement uniforme nous conduit cependant vers un étatproche de celui correspondant à une répartition homogène et, en conséquence, la réductiondes efforts sur les composants est faible.

Les efforts obtenus pour un système avec une autocontrainte partiellement homogène limiteen partie le relâchement des câbles aux ELU et permet de diminuer les sollicitations sur lesbarres proches des appuis. Dans les deux cas, une légère réduction de poids est néanmoinsparfois possible.

Par contre, la distribution des efforts observable dans le cas d’une grille formée sur desnappes permet d’envisager une diminution des sections des barres situées en périphérie.Cependant, l’économie de poids est ici seulement due à l’utilisation de barres différentes etnon liée à un bénéfice de la distribution de l’autocontrainte.


125

10 Optimisation de la hauteur des grilles de tenségrité

10.1 Introduction

La hauteur et la densité du maillage sont des paramètres sur lesquels le concepteur peut agirpour améliorer le dimensionnement d’une grille.

Les deux systèmes que nous avons précédemment étudiés et dimensionnés ont des densitésde maillage différentes. Ces densités et dimensions ont toutefois été choisies sans suivre unerègle précise.

Dans le but de mieux connaître l’influence d’une variation de la hauteur sur ces deuxsystèmes et rechercher de meilleures solutions, la méthode de dimensionnement décrite dansles chapitres précédents va être appliquée au cas de deux séries de huit grilles, une pourchaque type étudié, avec un état d’autocontrainte de répartition homogène où la hauteur et ladensité seront modifiées en parallèle.

Nous avons en effet décidé de conserver la même géométrie en relatif pour avoir les mêmesangles et rapports de longueur entre les éléments. Par exemple, pour un système multimodule,si l’on double la densité du maillage (soit deux fois plus de modules selon une directiondonnée), alors la hauteur des modules sera divisée par deux. La variation de hauteur est ainsiinverse et proportionnelle à la variation de densité.

Dans cette étude, nous avons choisi de faire varier en parallèle la densité du maillage et lahauteur. Le paramètre sur lequel on agira concrètement sera la densité, sachant que la hauteurévoluera simultanément.

On étudiera tout d’abord les influences des modifications de dimensions sur les étatsd’autocontrainte minimaux nécessaires. Dans cette première partie, sera analysé le nombred’états d’autocontrainte impliqués dans la détermination de l’état d’autocontrainte initial avecune distribution homogène.

L’évolution de cet état sera illustrée par la variation des tensions dans les câbles de nappe. Lesefforts maximaux agissant sur les composants dans les conditions extrêmes de chargementseront comparés avec les sollicitations dues à l’autocontrainte initiale.

Dans une deuxième partie, on calculera les sections des composants pour les deux types degrilles. Les poids propres résultants et des groupes de composants seront présentés et leursévolutions étudiées.

Enfin, on étudiera les déplacements maximaux obtenus pour un dimensionnement aux étatslimites de service et aux états limites ultimes.


126

10.2 Influence d’une modification de la hauteur sur l’état d’autocontrainte initial

Pour étudier l’évolution de l’autocontrainte initiale minimale de distribution homogènenécessaire, pour les deux systèmes traités, on a dimensionné deux séries de grilles quicouvrent une surface carrée de 11.2 m de côté.

Les dimensions ont été établies pour des densités de maillage variant de six à vingt. Lahauteur correspond aux distances horizontal entre nœuds (c.f. annexe I).

Les conditions d’appuis utilisées sur le périmètre sont identiques à celles déjà utilisées pourchaque type de grille (c. f. 6.2.3). Dans tous les cas, on a appliqué des charges concentrées surles nœuds de la nappe supérieure d’une valeur correspondant à un chargement uniformevertical descendant aux états limites de service.

La base des états d’autocontrainte est organisée pour identifier les états partiels conformes.Dans les systèmes multimodule, ils sont localisés sur les modules (états modulaires) ; dans lessystèmes formés sur des mailles, ils sont localisés autour des câbles verticaux situés àl’intérieur (états restreints), un état diffus venant s’ajouter. Les Figures 85 et 86 montrent lenombre total d’états d’autocontrainte et ceux utilisés pour obtenir une distribution homogène.

Figure 85: Nombre d’états d’autocontrainte (système multimodule)

Figure 86: Nombre d’états d’autocontrainte (système formé sur des mailles)

0

200400600800

100012001400160018002000

6 8 10 12 14 16 18 20Densité du maillage

Nom

bre

Au total Utilisés en repartition homogèneUtilisés pour une distribution homogèneAu total

0

50

100

150

200

250

300


Nom

bre

Au Total Utilisé en repartition homogèneUtilisés pour une distribution homogèneAu total


127

Les états d’autocontrainte homogènes minimaux, nécessaires pour le dimensionnement, sontune combinaison d’un sous-ensemble des vecteurs de la base des états d’autocontrainte.

Les sollicitations maximales sur les composants sont résumées dans l’annexe J. Ces effortsdéterminent le dimensionnement des composants.

Tensions dans les câbles des nappesPour illustrer l’évolution de l’état d’autocontrainte homogène minimal, les tensions dans lescâbles des nappes supérieures sont montrées dans les Figures 87 et 88.

Figure 87: Tension initiale dans les câbles de la nappe supérieure(système multimodule)

Figure 88: Tension initiale dans les câbles des nappes(système formé sur des mailles élémentaires)

Dans les systèmes multimodule, les états d’autocontrainte nécessaires pour des densités entre12 à 20 sont de grandeurs voisines (légèrement inférieures) au cas de faibles densités. Pour lessystèmes formés sur des mailles, la situation est similaire sauf qu’ils sont d’une valeursupérieure à celle nécessaire pour des faibles densités.

Les mêmes variations sont observables pour les autres composants, car les efforts sont liés parl’état d’autocontrainte.

5000

6000

7000

8000

9000

10000


Effo

rts n

orm

al (N

)

10000

11000

12000

13000

14000

6 8 10 12 14 16 18 20

Densité du maillage

Effo

rts n

orm

al (N

)


128

Compression dans les barresLes efforts maximaux obtenus dans les barres suite à un chargement aux ELU sont comparésavec l’état d’autocontrainte initial (Figures 89 et 90).

Figure 89: Effort maximal sur les barres avant et après chargement aux ELU(système multimodule)

Figure 90: Effort maximal sur les barres avant et après chargement aux ELU(système formé sur des mailles élémentaires)

Le pourcentage indiqué au coté de chaque barre du graphique indique la proportion des effortsdus à l’autocontrainte par rapport aux efforts maximaux.

Si les composants comprimés sont dimensionnés en fonction la valeur maximale decompression (charge de ruine), ce pourcentage représente le taux maximal de compression dûà l’état d’autocontrainte.

Dans un système multimodule, ce pourcentage varie de 55 à 61%, tandis que, dans un systèmeformé sur des mailles, il varie de 53 à 72%. L’utilisation d’un niveau d’autocontraintesupérieur à 50% de la charge de ruine des barres peut ainsi être envisagée, surtout dans ledeuxième cas.


0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

6 8 10 12 14 16 18 20

Effo

rts

norm

al (N

)

55% 58% 60% 61%60% 60%60% 61%

Efforts sous chargementAutocontrainte

Efforts sous chargementAutocontrainte

70000


0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

Effo

rts

norm

al (N

)

53%71%68%66%63% 70%59% 72%


129

10.3 Influence d’une modification de la hauteur sur le poids propre

Chaque composant des trois groupes a été dimensionné en supposant que les sections sontjustes nécessaires pour supporter les sollicitations maximales (variable continue). Lesrésultats sont montrés sur les Figures 91 et 92. Cela permet de comparer les grilles d’un mêmetype ²avec différentes densités. Dans un second temps, on utilisera les sections disponiblesdans les catalogues de produits sidérurgiques standardisés.

Figure 91: Sections des composants des systèmes multimodule

Figure 92: Sections des composants des systèmes formés sur des mailles

On rappelle que les sections des composants comprimés ont été déterminées avec un rapportdiamètre-épaisseur égal à 16.6.

0

2

4

6

8

10


Aire

de

la s

ectio

n dr

oite

(cm

2 )

Barres Câbles des nappes Câbles d'entretoisement

0

1

2

3

4

5

6

6 8 10 12 14 16 18 20


Aire

de

la s

ectio

n dr

oite

(cm

2 )

Barres Câbles des nappes Câbles d'entretoisement


130

Les poids propres calculés pour ces deux types de système sont représentés dans les Figures93 et 94.

Figure 93: Poids propre des systèmes multimodule

Figure 94: Poids propre des systèmes formés sur des mailles

Il faut noter que, pour un système formé sur des mailles, la structure couvre une surface au-delà des limites des appuis. Ce débord diminue toutefois avec l’augmentation de la densité demaillage.

Comme les efforts dans les câbles de nappe et d’entretoisement restent quasi constants et quela quantité de câble augmente avec la densité, le poids des câbles augmente donc pour unedensité supérieure.

Par contre, le poids total des barres augmente légèrement à partir d’une densité de 12 malgréune diminution du poids individuel des barres observable dans les Figures 91 et 92.

Dans les deux cas, le poids du système augmente sensiblement à partir d’une densité de 16.Pour une grille formée sur des mailles, le poids surfacique résultant est obtenu en considérantla surface intérieure couverte (125.4m2) ; soit 15.0 kg/m2 pour une densité du maillage de 10.Pour une densité de 20, il passe à 19.1 kg/m2, soit 27% de plus.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

6 8 10 12 14 16 18 20


Poi

ds (K

g)

câbles d'entretoisement

câbles des nappes

Barresbarres

0

500

1000

1500

2000

2500

6 8 10 12 14 16 18 20


Poi

ds (K

g)

câbles d'entretoisement

câbles des nappes

Barresbarres


131

Le poids d’un système multimodule réalisé en utilisant des composants dimensionnés puischoisis dans un catalogue de produits sidérurgiques est présenté sur la Figure 95.

Figure 95: Poids du système multimodule en utilisant des profilés standards

La longueur cumulée des composants employés pour ce système augmente linéairement avecla densité. Les câbles de nappe ont été dimensionnés et, au final, le même câble sera employépour les huit densités. Ainsi, le poids des câbles de nappe augmente aussi linéairement avec ladensité.

La Figure 96 montre une comparaison des poids des systèmes si l’on utilise des sectionsthéoriques (variable continues) ou standardisées (variables discrètes).

Figure 96: Comparaison des poids de systèmes multimodule

Ces résultats montrent que l’utilisation de grilles avec une faible densité du maillage est plusjudicieuse du point de vue du poids. Sous réserve d’une limitation de la hauteur, les systèmesde densité inférieure ou égale à 14 représentent donc une bonne option car la variation dupoids par rapport à sa valeur minimale est faible et dépend des profilés disponibles.

0500

100015002000

2500300035004000

6 8 10 12 14 16 18 20


Poi

ds (K

g)

Profils industriels Profils hypothétiquesProfilés standardisés Sections théoriques

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

6 8 10 12 14 16 18 20


Poid

s (K

g)

câblesd'entretoisement

câbles des nappes

Barres

câbles de nappes

barres


132

Le poids d’un système formé sur des mailles et réalisé avec des profilés commerciaux estprésenté dans la figure suivante.

Figure 97: Poids d’un système formé sur des mailles en utilisant des profilés standards

Le poids augmente selon la densité du maillage ; une densité de 6 donnant le poids minimal.Cela est dû à la diminution du poids des barres selon un rapport diamètre-épaisseur de 27,plus grand que celui utilisé pour les sections théoriques.

La variation du poids des grilles de densités comprises entre 6 et 12 est faible par rapport aupoids minimum (moins de 6% ; 16% pour celle de densité 14). Pour des densités supérieures,l’augmentation du poids dépasse les 27%.

Dans la Figure 98, on compare les poids obtenus avec des sections théoriques etstandardisées.

Figure 98: Comparaison des poids de systèmes formés sur de mailles

Même si la grille de poids minimal est celle de plus basse densité, les grilles de densité jusqu'à14 constituent aussi des options acceptables, car leurs poids ne sont pas très loin duminimum. Pour des densités supérieures, il augmente toutefois plus rapidement.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000


Poi

ds (K

g)

Profils industriels Profils théoriquesProfilés standardisés Sections théoriques

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

6 8 10 12 14 16 18 20


Poi

ds (K

g) câblesd'entretoisement

câbles des nappes

Barres

câbles de nappe

barres


133

10.4 Influence d’une modification de la hauteur sur les déplacements

Le déplacement maximal au milieu de la portée est présenté sur les Figures 99 et 100.

Figure 99: Déplacement maximum aux ELS(système multimodule)

Figure 100: Déplacement maximum aux ELS(système formé sur des mailles élémentaires)

La flèche augmente presque linéairement selon la variation de densité et donc de hauteur.

Dans les deux cas, pour les systèmes de densités inférieures à 20, les sections des composantscalculées pour résister aux sollicitations sont suffisantes pour maintenir les déplacements dansles limites admissibles (L/200 = 5.6 cm).

Pour les grilles de densité égale à 20, les sections des câbles calculées pour résister auxsollicitations sont insuffisantes pour respecter la flèche maximum. Le dimensionnement estalors dominé par le critère de rigidité et les sections des câbles, dans les deux cas, doivent êtreaugmentées pour diminuer les déformations.

Pour des restrictions en déplacement plus fortes, par exemple pour une flèche maximale deL/250, la limite est de 4.48 cm.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

6 8 10 12 14 16 18 20


flèch

e (c

m)

L/200 = 5.6 cmL/250 = 4.48 cm

0

1

2

3

4

5

6

7

8

6 8 10 12 14 16 18 20


flèch

e (c

m) L/200 = 5.6 cm

L/250 = 4.48 cm


134

Dans ce cas, le système multimodule de densité 16 est juste à cette limite admissible. Pourune grille de densité supérieure, il est nécessaire d’augmenter les sections des câbles pourdiminuer la flèche avec un accroissement du poids en conséquence.

Une augmentation des sections des câbles est nécessaire pour une grille formée sur des nappesde densité 16 car elle dépasse en effet légèrement la flèche maximale ; cela est aussinécessaire pour les autres grilles de densité supérieure.

Nous présentons les flèches calculées pour ces grilles aux ELU pour un état initiald’autocontrainte égal à 0.8 fois l’état d’autocontrainte aux ELS (Figure 101).

Figure 101: Déplacement maxi aux ELU pour une autocontrainte de 0.8{TI}

Pour ce chargement aux ELU, de nombreux câbles sont détendus et la flèche est deux à troisfois celle obtenue aux ELS.

Si le concepteur souhaite réduire cette flèche, calculée pour des conditions extrêmes, il pourraaugmenter le niveau d’autocontrainte et ainsi contribuer à la réduire.

02468

101214161820

6 8 10 12 14 16 18 20


flèch

e (c

m)

Multimodule

Système forméssur des mailles


135

10.5 Observations sur l’analyse des systèmes et la conformité des sollicitations

Les efforts qui agissent sur les composants des systèmes multimodule, sous les états de chargeconsidérés, sont en général conformes à leur rigidité. Ceci n’est toutefois pas le cas lors del’application d’un chargement aux ELU avec un état d’autocontrainte égal à 0.8 foisl’autocontrainte aux ELS pour un système de densité supérieure ou égale à 14.

Dans cette combinaison, les quatre barres situées dans les coins (connectées aux appuis)subissent des efforts de tension. La Figure 102 montre la distribution des efforts sur une grillemultimodule de densité 20 où les inversions des efforts dans les barres sont indiquées.

Figure 102: Efforts pour un chargement aux ELU pour une autocontrainte de 0.8{TI}

Dans les systèmes formés sur des mailles élémentaires, la variation des efforts dans les câblesd’entretoisement verticaux situés à l’intérieur est faible pour un chargement aux ELS, maisbeaucoup plus importante aux ELU avec 0.8 fois l’autocontrainte {TI}.

L’étude numérique de système pour les chargements aux ELS où les câbles restent tendus anécessité un nombre réduit de pas de chargement et d’itérations pour converger vers lasolution.

Par contre, les chargements aux ELU ont demandé un grand nombre de pas (petitsincréments) et d’itérations pour converger. Dans les analyses réalisées en utilisantl’autocontrainte minimale (0.8{TI}), il a été nécessaire d’augmenter le nombre de pas avecdes calculs plus importants.

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

1 501 1001 1501 2001 2501 3001 3501 4001 4501 5001 5501

No. de composants

Effo

rt n

orm

al (N

)

Efforts sous charge autocontrainte

Tension dansles barres

No. du composant

Efforts sous chargement autocontrainte


136

10.6 Conclusion

Le niveau de l’état d’autocontrainte nécessaire pour éviter le relâchement des câbles estvariable. Cependant, pour les densités du maillage supérieures ou égales à 12, il resterelativement constant.

Les niveaux d’efforts dus à l’état d’autocontrainte sur les barres, par rapport auxcompressions maximales, sont compris entre 55 et 61% pour les systèmes multimodule etentre 53 et 72% pour les systèmes formés sur des mailles. Un niveau d’autocontraintesupérieur à 50% de la charge de ruine des barres peut donc être utilisé pour ces derniers.

La grille de poids minimal déterminée pour les systèmes multimodule correspond à unedensité de 6, tandis que pour les systèmes formés sur des mailles, elle a une densité de 10.Pour les systèmes avec une densité de 20, le poids est 27% supérieur au poids minimal.

Cependant, ces différences peuvent être en grande partie annulées si le concepteur choisit lessections des composants parmi des profilés standards.

Le dimensionnement des grilles de basse densité avec une hauteur plus importante est dominépar le critère de résistance.

Les déplacements maximaux obtenus sous un chargement aux états limites ultimes, avec uneautocontrainte de niveau minimal, sont deux à trois fois ceux obtenus aux états limites deservice.

Toutefois, le nombre d’opérations nécessaires pour converger vers une solution aux étatslimites ultimes augmente de façon importante.


137

11 Prédimensionnement

11.1 Introduction

Ce chapitre traite du prédimensionnement des deux types de grilles étudiées précédemment.

L’objectif est de déterminer les sections des composants en utilisant les efforts dus à l’étatd’autocontrainte initial et ceux obtenus par des méthodes simplifiées avec des analogies surdes systèmes poutre et plaque. Ces efforts seront aussi utilisés pour déterminer un élancementconvenable de grille et un niveau maximal admissible de l’état d’autocontrainte.

Deux situations sont considérées, celui de grilles appuyées sur les nœuds de deux côtésopposés et celui de grilles appuyées sur la totalité des nœuds du contour.

Le prédimensionnement s’effectue selon des étapes similaires aux celles utilisées lors dudimensionnement (détermination de l’état d’autocontrainte initial, dimensionnement auxconditions de service puis vérification aux conditions extrêmes).

Dans un premier stade, l’état d’autocontrainte initial est calculé en utilisant les coefficientsd’autocontrainte obtenus sur des structures de petite taille et les efforts obtenus en considérantune poutre équivalente soumise aux charges de service (ELS).

Dans la deuxième étape, les efforts dus à l’autocontrainte initiale (augmentée pour prendre encompte une sensibilité aux tolérances de fabrication) et ceux provoqués par le chargement auxELS sont cumulés. Ils sont utilisés pour le calcul des sections des composants. Cesdimensions sont utilisées pour vérifier si la flèche est acceptable, sinon la section des câblesde nappes est augmentée jusqu'à respecter le critère.

Au final, les sections des composants sont vérifiées aux états limites ultimes. Les facteurs depondération sont identiques à ceux employés à l’occasion du dimensionnement de ces grilles(chapitre 4).


138

11.2 Obtention simplifiée des effortsLa procédure de prédimensionnement des grilles de tenségrité présentée dans ce chapitre estbasée sur une estimation des efforts obtenus par l’addition des efforts dus à l’autocontrainteinitiale et ceux provoqués par le chargement extérieur sur une poutre équivalente (sansautocontrainte).

Pour un niveau d’autocontrainte initial de répartition homogène et d’une valeur αΝ fois lacharge de ruine des barres (0bαNb1), les valeurs des efforts sur les composants sont :

(91)

(92)

(93)

(94)

où βN, χN, γN sont respectivement des coefficients liés aux efforts dans les câbles des nappessupérieure (c_NS), inférieure (c_NI) et dans les câbles d’entretoisement (c_e) par rapport à lacharge de ruine des barres ; ATi est l’effort interne sur le composant i de type A.

Les valeurs de ces coefficients ne dépendent que du niveau de l’état d’autocontrainte choisiαΝ et de la configuration de la grille (structure relationnelle et géométrie). Ils sont obtenuspour des systèmes de petite taille.

Les efforts générés par un chargement extérieur sont estimés au moyen d’une structuresimplifiée qui rassemble les caractéristiques des composants et des appuis pour une section dela grille considérée comme poutre équivalente [ELS96] (Figure 103).

Figure 103: Réseau partiel des câbles d’une grille et poutre équivalente

(95)

(96)

où qw est la charge linéique (qw = Wd), θ est l’angle formé par une barre et l’horizontale, T1 etT2 sont respectivement les efforts maximaux de compression et de traction sur les "câbles" aucentre de la portée et T3 l’effort maximal de compression dans les barres proches des appuis[SAN02]. Les efforts sont évalués avec les chargements aux états limites de service et ultimes(Ti

ELS et TiELU).

maxi

N2

w21 T

h8Lq

TT β≈=≈

θ=

sin2LqT w

3

câbles

LL

qw = Wd

W (N/m2)

dh

T2T1

h

T3

θ

A

A

( )maxi

barresNi

barres TT α=

( )maxi

barresNi

NS_c TT β=

( )maxi

barresNi

NI_c TT χ=

( )maxi

barresNi

e_c TT γ=


139

Détermination de la charge de ruine des barresLa diminution maximale de la tension initiale dans les câbles de la nappe supérieureprovoquée par un chargement vertical descendant est considérée de grandeur équivalente à latension T1

ELS calculée avec l’équation (95).

Pour éviter le relâchement des câbles, cette diminution est neutralisée par un étatd’autocontrainte qui engendre une tension initiale sur les câbles câblesTi

I au moins égale àl’effort T1

ELS :

(97)

Ainsi, les barres sont dimensionnées pour une charge de ruine barresTimax obtenue avec :

(98)

Efforts prévus pour un chargement aux ELSLes efforts initiaux et ceux provoquées par un chargement aux ELS sur les composants sontreprésentés dans le schéma suivant :

Figure 104: Efforts internes prévus avant et après chargement aux ELS

Après avoir calculé l’état d’autocontrainte initial, on dimensionne alors les composants pourrésister aux efforts calculés aux points A, B et C (Figure 104) ainsi que pour limiter la flècheà la valeur admissible.

Efforts prévus pour un chargement aux ELULa Figure 105 montre les sollicitations initiales sur les composants et celles provoquées parun chargement aux états limites ultimes. Les lignes en gris sont les correspondant aux ELS.

N

ELS1max

ibarres TT

β≥

ELS1

Ii

câbles TT ≥

No. du composant

αΝ (barresTimax)

βΝ (barresTimax)

0

câblesTimax

T3ELS

CâblesBarres

barresTimax

Nappeinférieure

Nappesupérieure

T1ELS

T1ELS

Câbles entret.(verticaux)

χΝ (barresTimax)

γΝ(barresTimax)

efforts

Trac

tion

Com

pres

sion

Autocontrainte initiale efforts sous chargement

B

A

C


140

Figure 105: Efforts prévus avant et après chargement aux ELU

Les dimensions des barres et des câbles des nappes déterminées aux ELS seront ensuitevérifiées aux ELU en trois points (Figure 105) : l’effort maximal de compression pour lesbarres proches des appuis (A), la tension maximale dans les câbles au centre de la portée (B)et celle dans les câbles verticaux (C).

Ces câbles verticaux sont prédimensionnés pour les sollicitations calculées par l’équation (94)et multipliées par le niveau de l’autocontrainte soit (1.2) tout en considérant une faiblevariation (5%) des efforts (c_eTi = 1.2 x 1.05x γ barresTi) :

(99)

11.3 Calcul de l’élancement

Pour déterminer les dimensions globales d’une grille, un élancement fonction du moduled’élasticité et de la résistance des câbles est proposé. Cette relation a été déduite à partir dessections des câbles de nappe prédimensionnés pour résister la traction maximale et pourrespecter la flèche maximale admissible en utilisant les efforts simplifiés décritsprécédemment.

L’effort maximal de traction sur un câble câblesTimax d’une grille chargée aux ELU (point B de

la Figure 105), est déterminé par :

(100)

La première partie de cette équation représente les efforts dus à l’autocontrainte et ladeuxième ceux dus au chargement aux ELU (équation (95)). La section des câbles AT

nécessaire pour résister à cette traction maximale peut être obtenue en substituant leséquations (98) et (95) dans l’équation (100), ainsi :

(101)

où FC est le rapport des charges aux ELU et aux ELS (Fc = WELU/WELS).

ELU1

maxi

barresNmaxi

câbles T)T(2.1T +β=

max_ti

2w

cmax_ti

2w

max_ti

maxcâblesT

h8Lq

Fh8

Lq2.1TA

σ+

σ=

σ=

1.2α (barresTimax)

1.2βN (barresTimax)

0

câblesTimax

T3ELU

CâblesBarresbarresTi

max

Nappeinférieure

Nappesupérieure

T1ELU

Câblesverticaux

1.26γ (barresTimax)

No. du composant

efforts

Trac

tion

Com

pres

sion

Autocontrainte initiale Efforts sous chargement

A

BC

γ= )T(x05.1x2.1T maxi

barresNELUi

e_c


141

La flèche au centre de la portée de la poutre équivalente (u) est estimée par :

(102)

où Ix est l’inertie par rapport à x-x’ de l’ensemble des deux câbles de section Ai séparés de ladistance h (Ix=Aih2/2) (Figure 106).

Figure 106: Section transversale de la poutre équivalente

La section AF nécessaire pour avoir une flèche maximale de L/200 est calculée par :

(103)

En utilisant d = h, les sections nécessaires pour supporter les efforts de traction aux ELU etpour respecter la flèche aux ELS (équations (101) et (103)) sont égalées pour obtenirl’élancement d’équilibre [L/d]e suivant :

(104)

Pour illustrer les résultats obtenus avec ces calculs, on a considéré l’exemple d’une poutre de10 m de portée. Dans la Figure 107, on présente les données et les sections des câbles AT etAF

calculées pour différents élancements ainsi que l’élancement d’équilibre résultant.

Figure 107: Câbles pour une poutre équivalente de dimensions données

Dans ce graphe, la section AT nécessaire pour la traction est constante. Par contre, la sectionnécessaire pour respecter la flèche maximum augmente selon l’élancement.

Si on utilise un élancement supérieur au rapport [L/d]e, le dimensionnement sera dominé parle critère de flèche et demandera une section qui ne sera pas sollicitée à sa capacité maximale.Pour un élancement inférieur, le dimensionnement sera dominé par la résistance et sa capacitépour limiter la flèche ne sera pas entièrement exploitée.

Les câbles représentent une faible partie du poids de la grille, la part essentielle revenant aupoids des barres. Dans le but d’avoir un indicateur permettant d’estimer le niveau des effortsdus à l’autocontrainte initiale, on propose dans la suite une procédure pour évaluer son niveaumaximal.

2

3wF

hE384Lq200x5x2

A =

x

4w

IE384Lq5

u =

max_ti

max_tie

EkE

8x200x5x2)Fc2.1(384

dL

σ=

σ+

=

4 8 12 16 20

0.2

0

cm2

0.40.60.8

AF

AT1.0 Sections nécessaires en :

traction AT

déformée AF

E = 1.25x105 MPaσi

t_max = 500 MPaL = 10 mWELS = 100 daN/m2

Fc = 1.48L/h

Ld e

h

Ai

Ai

câble supérieur

câble inférieur

x x’


142

11.4 Détermination du niveau maximal d’autocontrainte

Les efforts sur les barres (point A, Figure 105) sont évalués par :

(105)

et l’effort maximal d’autocontrainte est calculé selon :

(106)

En utilisant les efforts évalués par les équations (95), (96) et (98), reportés dans l’équation(106), on obtient :

(107)

avec d = h et si θ = 45°:

(108)

où FAC est le rapport entre les coefficients d’autocontrainte des barres et câbles (FAC=βΝ/αΝ).

Dans la Figure 108, on présente les valeurs de αΝ maximales (αN_max) obtenues en utilisant lesefforts simplifiés dans la poutre équivalente pour une grille de tenségrité formée sur demailles élémentaires. Les données sont indiquées et le rapport L/d est la variable considérée.

Figure 108: Coefficient du niveau maximal d’autocontrainte

ELU3

maxi

barresNi

barres T)T(2.1T +α=

ELU3

maxi

barresmax_Nmaxi

barres T)T(2.1T +α=

Cw

NAC

2wmax

NAC

2w F

sin2Lq

Fh8Lq

2.1Fh8Lq

θ+

αα=

α

ACc

max

FFd/L242.1

1

+=α

4 8 12 16 20

0.2

0

αΝ_max

0.4

0.6

0.8

AF

AT

L/h

0.720.67

αΝ = 0.5βΝ = 0.177FAC = 0.354FC = 1.48


143

11.5 Prédimensionnement des grilles appuyées sur deux côtés opposés

La procédure va à présent être adaptée au type de configuration utilisée. D’abord, onconsidère une grille formée sur des mailles élémentaires où les conditions sont identiques àcelles ayant servi pour déterminer les relations (95) et (96). On envisage ensuite une grillemultimodule dont les câbles ne sont pas situés sur le même plan vertical.

A.- Grille formée sur des mailles élémentairesCette grille est appuyée sur deux côtés opposés et soumise à un chargement uniforme verticalascendant ou descendant (Figure 109).

Figure 109: Chargement et conditions d’appui d’une grille de tenségrité sur des mailles

Les efforts sur les composants sont estimés sur la poutre équivalente comme montré ci-dessous (Figure 110).

Figure 110: Poutre équivalente à une ligne centrale de la grille

A.1- Calcul des efforts maximaux sur les composants et détermination de l’étatd’autocontrainte initial.

Pour un chargement vertical descendant, les efforts maximaux aux ELS sont, en traction, surles câbles au centre de la portée T2

ELS et, en compression, sur les barres proches des appuis

T3ELS. On considère ici un état d’autocontrainte initial homogène avec un niveau

correspondant à 50% de la charge de ruine des barres. Les efforts sur les composants sontdéfinis par les équations (91) à (94) où les coefficients d’efforts sur les composants, pour unedensité du maillage de six (DX=DY=6), sont αΝ = 0.5, β Ν = 0.17678 et γΝ = 0.7071.

A.2 Prédimensionnement aux états limites de service

Un câble au centre de la portée, avec une tension initiale due à l’autocontrainte βN barresTimax

,subit une augmentation de tension T1

ELS. La tension totale est ainsi :

(109) +β= ELS1

maxi

barresNELScâbles T)T(T

chargement

Ligne d’appuis Ligne d’appuis

T2

1TT3

L

θ

qw=Wd

d


144

Les câbles dimensionnés pour résister à cet effort sont ensuite utilisés pour vérifier la flèche àmi-portée (équation (102)) et redimensionnés, si nécessaire, jusqu'à satisfaction du critère derigidité.

A.3 Vérification aux états limites ultimes

Les dimensions déterminées dans l’étape précédente sont vérifiées pour les efforts obtenus parles équations (105) pour les barres et (100) pour les câbles.

Les composants sont redimensionnés, si nécessaire, jusqu'au respect du critère de résistance.La section des câbles ainsi obtenue sera proposée pour les deux nappes, ceci étant lié au faitque le chargement uniforme sera appliqué aussi dans la direction verticale ascendante.

Les câbles verticaux sont prédimensionnés pour les sollicitations calculées par les équations(94) et (99).

B.- Grille multimoduleLes calculs simplifiés des efforts utilisés précédemment doivent être adaptés aux grillesmultimodule car elles possèdent des maillages des nappes avec une densité et orientationdifférentes. De manière similaire, cette grille est appuyée sur deux côtés opposés et soumise àun chargement uniforme vertical ascendant ou descendant.

Figure 111: Chargement et conditions d’appui d’une grille multimodule

B.1- Calcul des efforts sur les composants et détermination de l’état d’autocontrainte initial

Les efforts maximaux sur les câbles au centre de la portée dus à un chargement verticaldescendant sont estimés avec :

(110)

(111)

(112)

où dNI et dNS sont les distances entre câbles dans les nappes inférieure et supérieure commeindiqué sur la Figure 112 .

chargement

L

qw=Wd T2T1

h

T3

θ

)T(d4

LqT maxi

barresNNI

2ELS

1 β≈=

θ=

sin2LqT

ELS

3

NS

2ELS

2 d8LqT =


145

Figure 112: Distances entre câbles

Pour un module quadruplex de base carrée (DX=DY=1.5m et h=1.15m) et avec un étatd’autocontrainte initial homogène (niveau = 50% de la charge de ruine des barres), lescoefficients des efforts sur les composants sont β Ν =0.261, χ Ν = 0.3688 et γΝ = 0.3376.

Pour éviter le relâchement des câbles situés au centre, la tension initiale TiELS doit vérifier

l’équation (97) et les barres dimensionnées pour une charge de ruine calculée avec l’équation(98).

B.2 Prédimensionnement aux états limites de service

Le chargement vertical descendant augmente la tension des câbles de la nappe inférieuresitués au centre de la portée qui peut être évalué avec l’équation (109), en obtenant T1 d’aprèsl’équation (110).

Les sections obtenues sont ensuite utilisées pour calculer la flèche à mi-portée (équation(102)) et redimensionnées, si nécessaire, jusqu'au respect du critère de rigidité.

B.3 Vérification aux états limites ultimes

Les dimensions précédemment déterminées sont vérifiées de manière analogue aux grillesformées sur de mailles élémentaires (équations (100) et (105)), où T1 et T3 sont évaluées parles équations (110) et (112). Les composants sont rédimensionnés, si nécessaire, jusqu'à lavérification du critère de résistance.

Les câbles ainsi déterminés sont proposés pour les deux nappes et les câbles d’entretoisementverticaux sont dimensionnés comme explicité pour les grilles formées sur des maillesélémentaires.

11.6 Prédimensionnement des grilles appuyées sur le périmètre

Le prédimensionnement proposé dans le cas de grilles appuyées sur les deux côtés et celui desystèmes appuyés sur le périmètre sont similaires. Dans ce dernier cas, le chargementappliqué est une fraction de la charge totale qui dépend de la direction considérée et durapport entre les côtés de la grille LY/LX [ELS96]. La fraction de cette charge est obtenue aumoyen de coefficients de répartition dont la détermination est exposée dans la suite.

dNI

LY

dNS

Nappe inférieure Nappe supérieure

AppuisAppuis

LX


146

Calcul des coefficients de répartition de chargePour déterminer les coefficients de répartition des charges applicables à grilles carrées ourectangulaires, on utilisera une analogie avec des structures de type plaque (“slab analogy”).

Cette méthode consiste à supposer que la grille est constituée de deux systèmes structurauxdans les directions X et Y (Figure 113), qui supportent les charges WX et WY telles que :

(113)

où WX et WY sont des fractions de la charge totale "transportées" selon les directions X et Y.

Figure 113: Repartition des charges (méthode d’analogie par plaque)

La flèche au centre de chaque direction est identique (Figure 8.11) et obtenue par :

(114)

où IX et IY sont les inerties d’une section de la grille dans la direction considérée et E lemodule d’élasticité des sections. Cette expression peut être réécrite selon :

(115)

ou bien :

(116)

où le rapport de longueur des côtés de la grille est compris entre 0.5 et 2 (0.5¥ LY/LX ¥2.0).

Pour des inerties équivalentes selon les directions X et Y (IX º IY) et en combinant leséquations (116) et (113), on obtient :

(117)

(118)

où cX et cY sont les coefficients de répartition des charges (pour une grille carrée, on a cX = cY= 0.5).

Les chargements calculés WX et WY sont ensuite appliqués aux poutres équivalentes selon lesdirections X et Y.

;IE384LW5u

IE384LW5u

Y

4YY

YX

4XX

X ===

Y

4YY

X

4XX

ILW

ILW

=

Y

X

4

X

Y

Y

X

II

LL

WW

=

ELU,ELSX

ELU,ELS4

XYX WcW

))L/L/(1(11W =

+

=

YXELU,ELS WWW +=

ELU,ELSY

ELU,ELS4

XYY WcW

)L/L(11W =

+

=

X

Y

LX

LY uX = uY

X

Y

LX

LY WY

LX

X

Y

LY WX

a) Système selon la direction X b) Système selon la direction Y c) Flèches


147

11.7 Applications

11.7.1 Grille multimodule carrée formée par 36 modules quadruplex appuyée sur lepérimètre

Les données considérées sont les suivantes :Dimensions du module quadruplex : dX = dY = 1.5 m ; h = 1.5 m ; Angle des barres θ =34.5°

Dimensions de la grille : LX=LY=9m ; Flèche maximale admissible : umax = L/200 = 4.5 cmDistances entre câbles : nappe inférieure dNI

=1.5 m ; nappe supérieure dNS = 1.06 m

Coefficients d’efforts pour une autocontrainte homogène et à 50% de la charge de ruine des barres :

αN = 0.5 ; β N = 0.24 ; χ N = 0.33 ; γ N = 0.37Chargement uniforme : G= poids propres = 25 daN/m2; Q= charges d’exploitation=110 daN/m2

WELS = G + Q = 135 daN/m2

WELU = 1.35 G + 1.5 Q = 200 daN/m2

Caractéristiques mécaniques : Câbles : E =1.25x105 MPa et σit_max=500 MPa

Barres : E =2.00 x105 MPa et σit_max =235 MPa

A0 Détermination des charges sur une poutre équivalente (grille carrée avec cX = cY =0.5)

WXELS= cX WELS = 0.5x135 = 68 daN/ml qNI

ELS = dNI WXELS = 1.5 x 68 = 102 daN/m

qNSELS = dNS WX

ELS = 1.06 x 68 = 73 daN/m WX

ELU= cX WELU = 0.5x200 = 100 daN/ml qNIELU = dNI WX

ELU = 1.5 x 100 = 150 daN/m

A1 Calcul des efforts dus au chargement et détermination de la charge de ruine des barres

soit

A2 Prédimensionnement aux ELS

Tension maximale dans les câbles :

Section des câbles :

Vérification de la flèche aux ELS :

d’où

daN68915.1x89x102

h8Lq

T22

XELSNIELS

2 ===

daN955)34.5(ins2

9)(150sin2

LqT X

ELUNIELU

3 =°

=θ

≈

daN20436894104x33.0T)T(T ELS2

maxi

barresNELScâbles =+= +χ=

daN410424.0

985TT N

ELS2max

ibarres ==

β=

==σ

= 2max_t

i

ELScâblesELScâbles cm41.0

50002043T

A

max510

44X

ELSNImax_f

i ucm56.210x71.2x10x25.1x384

9x102x5IE384

Lq5u <≅== −

== − 452 m10x71.22/)15.1x41.0(I

daN98515.1x49x73

h4Lq

T22

XELSNSELS

1 ===

daN101315.1x89x150

h8Lq

T22

XELUNIELU

2 ===


148

A3 Vérification aux ELU

Tension maximale dans les câbles de la nappe inférieure :

Section des câbles de la nappe inférieure :

Compression maximale dans les barres :

Tension maximale dans les câbles verticaux d’entretoisement :

Choix des composants par prédimensionnement

Barres : section minimale de 6.03 cm de diamètre et 0.29 cm d’épaisseur (5.23 cm2 pour unecharge de ruine de 5000 daN et une masse linéique de 4.14 kg/m).

Câbles des nappes : câble 19 fils avec un diamètre minimum de 10 mm (0.54 cm2 pour unetraction maximale admissible de 2713 daN et une masse linéique de 0.510 kg/m).

Câbles d’entretoisement : câble 19 fils avec un diamètre de 9 mm (0.44 cm2 pour unetraction maximale admissible de 2215 daN et une masse linéique de 0.41 kg /m).

daN 2638 1013 1354x1.2T)T(2.1T ELU2

maxi

barresNELScâbles =+= +χ=

2max_t

i

ELSi

câblesELScâbles cm52.0

50002638TA ==

σ=

daN 4104T daN 3007 955 4104x0.5x1.2

T)T(2.1Tmaxi

barres

ELU3

ELUbarresNELUbarres

=<=+=

+α=

daN 1913 4104x0.37x1.26)T(x05.1x2.1T maxi

barresNELUe_c ==γ=

2max_t

i

ELSe_cELUe_c cm38.0

50001913T

A ==σ

=


149

11.7.2 Grille carrée formée sur des mailles élémentaires et appuyée sur le périmètreLes données sont à présent :Dimensions nominales de la grille 12.8x12.8x0.8 m ; Porté libre : LX=LY=11.2 mDistances entre nœuds : dX=dY=dZ=0.8 m.Angle des barres θ =45°; Flèche maximale admissible : umax = L/200 = 5.6 cmCoefficients d’efforts pour une autocontrainte homogène et à 50% de charge de ruine des barres

αN = 0.5 ; βN = 0.17678 ; χN = 0.17678 ; γN = 0.7071Chargement uniforme : G= poids propres = 25 daN/m2; Q= charges d’exploitation=110 daN/m2

WELS = G + Q = 135 daN/m2

WELU = 1.35 G +1.5 Q = 200 daN/m2

Caractéristiques mécaniques :Câbles des nappes : E =1.25x105 MPa et σi

t_max = 500 MPa Barres : E =1.25 x105 MPa et σi

t_max = 235 MPa

B0 Détermination de charges sur une poutre équivalente (grille carrée avec cX = cY = 0.5)

WXELS = cX WELS = 0.5 x 135 = 68 daN/m ; qELS = d WX

ELS = 0.8 x 68 = 54.4 daN/m

WXELU = cX WELU = 0.5 x 200 =100 daN/m ; qELU = d WX

ELU = 0.8 x 100 = 80 daN/m

B1 Calcul des efforts dus au chargement et détermination de la charge de ruine des barres

soit

B2 Prédimensionnement aux ELS

Tension maximale des câbles :

Section des câbles des nappes :

Vérification de la flèche aux ELS:

et

daN1066)8.0x82.11x4.54

h8Lq

TT22

XELS

ELS2

ELS1 ====

daN66345ins2

)2.11(80sin2

LqT X

ELUELU3 =

°=

θ≈

daN263415681066T)T(T ELS2

maxi

barresELScâbles =+= +χ=

daN603017678.01066TT N

ELS1max

ibarres ==

β=

==σ

= 2max_t

i

ELSi

câblesELSi

câbles cm53.050002634TA

max510

44X

ELSmaxi ucm2.5

69610.1x10x25.1x3842.11x4.54x5

IE384Lq5

u <≅== −

== − ;m10x696.12

8.0x53.0I 452

daN15688.0x82.11x80

h8Lq

T22

XELU

ELU2 ===


150

B3 Vérification aux ELU

Tension maximale dans les câbles :

Section des câbles :

Compression dans les barres :

Tension maximale sur câbles verticaux d’entretoisement :

d’où

Choix des composants par prédimensionnement

Barres : section minimale de 48.3 mm de diamètre et 2.9 mm d’épaisseur (4.14 cm2 pour unecharge de ruine de 7288 daN et une masse linéique de 3.27 kg/m).

Câbles des nappes : câble 19 fils avec un diamètre minimum de 11 mm (0.692 cm2 pour unetraction maximale de 3460 daN et une masse linéique de 0.610 kg/m).

Câbles verticaux : câble 19 fils avec un diamètre minimum de 15 mm (1.28 cm2 pour unetraction maximale de 6412 daN et une masse linéique de 1.14 kg/m).

daN 2847 1568 1066x1.2T)T(2.1T ELU2

maxi

barresNELUcâbles =+= +χ=

==σ

= 2max_t

i

ELUcâblesELUi

câbles cm57.050002847T

A

daN6030TdaN 42816636030x0.5x1.2T)T(2.1T maxi

barresELU3

maxi

barresNELUi

barres =<=+= +α=

daN 5372 6030x0.7071x1.26)T(x05.1x2.1T maxi

barresNELUe_c ==γ=

==σ

= 2max_t

i

ELSe_cELUe_c cm08.1

50005372T

A

Conclusion générale

151

12 Conclusion généraleCe travail aborde la problématique du dimensionnement des grilles planes de tenségrité.

Son objectif est de définir le niveau et la distribution de l’état d’autocontrainte initial pour unchargement statique puis d’optimiser cette solution.

On s’intéresse dans un premier temps à la détermination d’un état d’autocontrainte initial àpartir d’une combinaison des vecteurs de la base d’autocontrainte, préalablement écrite defaçon plus judicieuse.

Deux méthodes permettant d’identifier et étudier les états partiels d’autocontrainte sur dessystèmes de petite taille sont ainsi proposées. Nous développons aussi une procédure quipermet de déterminer cette base pour des systèmes à nombreux états à partir des ceuxidentifiés sur des structures de petite taille, tout en exploitant la présence périodique descomposants.

Les états d’autocontrainte partiels sont classés en trois groupes (restreint, modulaire et diffus)et une distinction est faite entre un état de contraintes autoéquilibrées (autocontrainte) et celuioù l’équilibre dépend de l’interaction du système avec l’extérieur (exocontrainte).

La formulation du problème d’optimisation du dimensionnement est présentée dans le casgénéral des systèmes réticulés, puis adaptée au cas des systèmes de tenségrité. On a choisi lepoids propre comme fonction objectif ; elle est soumise à des restrictions en déplacement, eneffort ainsi que sur les aires des sections minimales.

Nous avons ainsi été amenés à fixer certains paramètres afin de permettre l’étude des effets demodifications de diverses variables sur l’état d’autocontrainte initial ainsi que sur les sectionsdes composants.

Une procédure originale pour déterminer un état d’autocontrainte minimal avec le choix d’unedistribution homogène ou non-homogène est présentée. On identifie à cet effet trois niveauxd’implication de l’autocontrainte. Cet état initial, ainsi que les sections des composants, sontcalculés au cours d’un processus itératif ; une application sur deux grilles de tenségrité detypes différents est ensuite traitée.

Pour ces deux types de grille, on vérifie que le niveau de l’autocontrainte, évalué en faisantréférence à la charge de ruine des barres, peut être légèrement augmenté. Dans le cas d’unsystème multimodule, une distribution d’autocontrainte minimale non-homogène est tropirrégulière et rend difficile son exploitation tandis que, dans le cas d’un système formé sur desmailles, une autocontrainte variable est possible et entraîne une réduction de poids.

L’étude porte ensuite sur le dimensionnement de ces grilles en faisant varier leur densité demaillage en parallèle avec leur hauteur. On montre que l’état d’autocontrainte minimal dedistribution homogène et nécessaire pour éviter le relâchement des câbles est sensiblementconstant pour des densités de maillage supérieures ou égales à 12.

La grille de poids minimal ainsi déterminée, pour un système multimodule, correspond à unedensité de 6 tandis que, pour un système formé sur des mailles, elle a une densité de 10. Deplus, pour un système multimodule, les niveaux d’autocontrainte exprimés par rapport à la

Conclusion générale

152

charge de ruine des barres varient de 55 à 61%. Pour un système formé sur des mailles, ilssont situés entre 53 et 72%.

Les déplacements maximaux obtenus aux ELU, avec un état d’autocontrainte minimal dedistribution homogène, sont de deux à trois fois plus élevés que ceux obtenus aux ELS. Lescalculs à mener demandent toutefois un nombre important d’opérations, une augmentation duniveau d’autocontrainte contribuant cependant à les diminuer.

On propose également une méthode de calcul simplifiée qui permet la détermination d’unélancement adapté aux grilles ainsi que de leur niveau maximal d’autocontrainte. Uneméthode de prédimensionnement des grilles de tenségrité est ensuite développée et, par unecomparaison avec un dimensionnement précis, on montre la pertinence des résultats obtenus.

Cette analyse nous permet de dire que les systèmes de densité inférieure ou égale à 14 sont lesplus performants. Le dimensionnement est dominé dans ce cas par le critère de résistance et ilen résulte un poids minimal. Par contre, pour des densités supérieures, le poids augmentesensiblement.

Finalement on peut mentionner d’autres axes de recherche.

A partir des résultats observés sur la grille formée sur des mailles avec distribution non-homogène minimale, une réduction de poids est envisagée en utilisant des barres de sectionsdifférentes.

Les modifications sur la densité et la hauteur, faites séparément, sont aussi d’autrespossibilités à explorer dans la recherche de systèmes de poids minimal.

Il reste à étudier d’autres configurations de système de tenségrité planes et courbes ainsi quel’utilisation d’exocontraintes et des autres matériaux différents de l’acier.


153

Annexes


154


155

Annexe A

Définition de la configuration d’un système réticulé

Matrice de connectivitéLa structure relationnelle d’un système réticulé peut être représentée par une matrice dite deconnectivité [C], à b lignes qui représentent les composants j de la structure et n colonnes quireprésentent tous les nœuds h et k extrémités des composants, Figure A.1. Les termes Cijpeuvent avoir les valeurs suivantes :

Cij = 0 si le nœud i n’est pas extrémité du composant j ( j = 1 à b et i = 1 à n)Cij = -1 si le nœud i a la plus petite numérotation des nœuds reliés par le composant jCij = 1 si le nœud i a la plus grande numérotation des nœuds reliés par le composant j

Figure A.1: Nœud h connecté au nœud k par l'élément j

La iéme colonne de la matrice [C] indique quels sont les composants assemblés par le nœud itandis que la jéme ligne permet de connaître les nœuds reliés par le composant j. La matrice deconnectivité suivante, montre les nœuds h et k reliés par l’élément j :

(A.1)

Matrice des coordonnéesLes vecteurs des coordonnées des nœuds, ici notés {x}, {y} et {z} à n composants,contiennent les coordonnées de tous les nœuds du système. Le iéme terme du vecteur {x}correspond à l’abscisse du nœud i sur l’axe X.

(A.2)

Ils peuvent être réunis dans la matrice nommée matrice des coordonnées à n lignes et troiscolonnes.

(A.3)

yk

yh

xkxh

Y

X

h

k

j

0

composants

[ ] )khsi(00100010b

j1

C

khnœudsn...i...1

<

−=

{ } { }Tni1 x...x...,xx =

[ ] { } { } { }[ ]z,y,xG =

Annexes

156

Annexe B

Obtention des bases des états d’autocontrainte et des mécanismes

Pour déterminer la base des s états d’autocontrainte [T] et des m mécanismes [M] pour unsystème réticulé à composants de rigidité bilatérale, nous pouvons utiliser la formulation del’équilibre avec un chargement extérieur nul (équation (A.4)) et appliquer la méthodeproposée par S. Pellegrino [PEL86] :

(A.4)

Cette méthode transforme la matrice d’équilibre [A] (à N lignes et b colonnes) en une formeéchelonnée, ayant ses termes nuls sur la partie inférieure, au moyen d’une élimination deGauss et d’opérations élémentaires sur les lignes. Les opérations sont aussi effectuées sur leslignes d’une matrice identité [I] adjointe (Figure A.2).

Figure A.2: Matrice augmentée [A | I] avant et après la transformation [Ã | Ĩ]

Les colonnes ayant un pivot non nul (repérées par un astérisque * sur la Figure A.2 sont les rAcolonnes indépendantes de la matrice [A]. Le rang rA de cette matrice correspond au nombrede pivots non nuls trouvés lors de la transformation.

Les m vecteurs lignes de la matrice [Ĩm] définissent tous les mécanismes linéairementindépendants du système ([M] = [Ĩm]T).

Pour déterminer une base des états d’autocontrainte [T], on procède de manière similaire surla matrice d’équilibre transposée et augmentée [AT| J] (Figure A.3).

Figure A.3: Matrice transposée et augmentée [AT| J] avant et après la transformation [ÃT| Ĵ ]

Les s vecteurs lignes de la matrice [Ĵs] définissent tous les états d’autocontrainte linéairementindépendants du système ([T] = [Ĵ s]T).

{ } { }0T]A[ =

. . . . . . . . . 1 0 0 0 0 0

. . . . . . . . . 0 1 0 0 0 0

. . . . . . . . . 0 0 1 0 0 0

. . . . . . . . . 0 0 0 1 0 0

. . . . . . . . . 0 0 0 0 1 0

. . . . . . . . . 0 0 0 0 0 1

b N

N

A I Ã Ĩ. . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . .0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . .0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . .

b N

N

* * * *

rA

m Ĩm

. . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . .0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . .0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . .

ÃT Ĵ

N b

b

* * * *

rA

s Ĵs

. . . . . . . . . 1 0 0 0 0 0

. . . . . . . . . 0 1 0 0 0 0

. . . . . . . . . 0 0 1 0 0 0

. . . . . . . . . 0 0 0 1 0 0

. . . . . . . . . 0 0 0 0 1 0

. . . . . . . . . 0 0 0 0 0 1

N b

b

AT J


157

Annexe C

Identification d’un état d’exocontrainte

Pour un système à deux barres identiques et trois nœuds alignés (Figure A.4) :

Figure A.4: Système réticulé exocontraint

La matrice d’équilibre dans le plan (X-Y), peut être écrite selon :

(A.5)

Les nœuds 1 et 3 sont bloqués (k = 4 et N = 2 x n-4 = 2), la matrice d’équilibre pour les deuxdegrés de liberté restants est :

(A.6)

La base des états de sollicitation est composée d’un vecteur de contraintes initiales (s = 1) :

(A.7)

La base de mécanismes est composée d’un seul membre (m=1) :

(A.8)

En utilisant les équations d’équilibre sur l’axe X des nœuds 1 et 3, il est possible d’obtenir lesréactions d’appuis RX1 et RX2 :

(A.9)

(A.10)

Le composant 1, qui est connecté au nœud 1, participe à l’état de précontrainte. Deux degrésde liberté ont été supprimés pour ce nœud. C’est le blocage dans la direction X qui permetl’existence d’un état d’exocontrainte. Ce nœud est soumis à l’action du composant T1 et laréaction RX1 est nécessaire pour l’équilibrer.

[ ] { }

=

−=

00

TT

0011

TA2

1bbxN

=

−

−

−

0000

RTT

R

000011000000011000000011

yxyxyx

2X

2

1

1X

3

3

2

2

1

1

[ ]2

2mxN y

x10

M

=

[ ] { }

=

==11

TT

TT2

1sxb

11X TR =

22X TR =

x2

y2

RX2RX1

LL

1 2

1 2 3

T1 T2

x1

y1

x3

y3

b = 2 ;n = 3 ;

Annexes

158

Annexe D

Procédure de dimensionnement

Appliquer ELU

Pour un état d’autocontrainte établi

Proposer la section des barres de la grille de tenségrité

Choisir la section des câbles de rapport EbAb/EcSc = 10

Etat d’autocontrainte à 50% de la valeur de flambement des barres

Appliquer ELS

FIN

- Pas de flambement des barres- Limite élastique de câble non dépassée

- Flèche < L/200- Tension dans les

câbles > 0

Oui

Oui

Non

Non

Première étapeDétermination del’étatd’autocontrainte

Deuxième étapeDimensionnementaux états limitesde service (ELS)

Troisième étape

Vérification auxétats limitesultimes (ELU)


159

Annexe E

Caractéristiques des câbles

Câble torons 19 filsDiamètre Aire Poids aux Force Diam. Aire de la TensionNominal Brute 1000 m de rupture fil ext. section droite Facteur= maximale

AB (classe 1770) A1 A1/AB Timax

(mm) (mm2 ) (kg) (kN) (mm) (mm2) (daN)3.00 7.07 46.0 8.722 0.60 4.93 0.70 2463.50 9.62 52.0 11.760 0.70 6.64 0.69 3324.00 12.57 81.0 15.680 0.80 8.86 0.70 4434.50 15.90 105.0 19.600 0.90 11.07 0.70 5545.00 19.64 125.0 24.010 1.00 13.56 0.69 6785.50 23.76 155.0 29.400 1.10 16.61 0.70 8306.00 28.27 185.0 34.780 1.20 19.65 0.69 9826.50 33.18 215.0 40.670 1.30 22.98 0.69 11497.00 38.48 250.0 47.040 1.40 26.58 0.69 13297.50 44.18 285.0 53.090 1.50 29.99 0.68 15008.00 50.27 325.0 61.740 1.60 34.88 0.69 17449.00 63.62 410.0 78.400 1.80 44.29 0.70 2215

10.00 78.54 510.0 96.040 2.00 54.26 0.69 271311.00 95.03 610.0 122.500 2.20 69.21 0.73 346012.00 113.10 730.0 146.000 2.40 82.49 0.73 412013.50 143.14 930.0 170.000 2.70 96.05 0.67 480215.00 176.72 1140.0 227.000 3.00 128.25 0.73 641217.00 226.98 1470.0 292.000 3.40 164.97 0.73 8250

Annexes

160

Annexe F

Détermination de la capacité portante des barres

Les calculs nécessaires pour la détermination de la résistance au flambement d’une barresont :

(A.11)

(A12)

(A.13)

(A.14)

A.15)

(A.16)

Où :N = effort normal de flambement ;χ = coefficient de réduction selon le mode de flambement considéré ;βA = 1 pour les sections transversales de classe 1, 2, 3 ;A = aire de la section droite ;fy = limite élastique de l’acier ;γM1 = coefficient partiel de sécurité pour les phénomènes d’instabilité (γM1=1.1);α = facteur d’imperfection (pour les tubes employés : α = 0.21) ;λ = élancement = l/r ;l = longueur de flambement ;r = rayon de giration ;I = inertie de la section droite.

1M

yA

fAN

γβχ≤

1mais)(

15.022

≤χλ−φ+φ

=χ

[ ]2)2.0(15.0 λ+−λα+=φ

5.0A

1

)(βλλ

=λ

5.05.0

1 fy2359.93

fyE

=

π=λ

AIr =


161

Annexe G

Base des états d’autocontrainte

A.- Base des trois états conformes B.- Base des vecteurs qui minimisent le plus un état non conforme nombre de composants impliqués

[S] = No. composant

-1 0 0 0 1-1 0 0 0 2-1 0 0 0 3-1 0 0 0 40.5 0 0 0 50.5 0 0 0 60.5 0 0 0 70.5 0 0 0 81 0.5 -0.5 0 91 0 0 0 101 0 0 0 111 0 0 0 121 0 0 0 131 0 0 0 141 0 0 0 151 0 0.5 0 160 -0.5 -0.5 0 170 -1 0 0 180 -0.5 -0.5 0 190 0 -1 0 200 0 1 0 210 1 0 0 220 1 0 0 230 0 1 0 240 1 0 0 250 1 0 0 260 0 0 0 270 0 1 0 280 0.5 0 0 290 0 0.5 0 300 0.5 0 1 310 0 0 -1 320 0 0 -1 330 0 0 -1 340 0 0 -1 350 0 0 0.5 360 0 0 0.5 370 0 0 0.5 380 0 0 0.5 390 0 0 1 400 0 0 1 410 -0.5 0.5 1 420 0 0 1 430 0 0 1 440 0 0 1 450 0 0 1 46

[S] = No. composant

-1 0 0 0 1-1 0 0 0 2-1 0 0 0 3-1 0 0 0 40.5 0 0 0 50.5 0 0 0 60.5 0 0 0 70.5 0 0 0 81 0 0 0.5 91 0 0 0 101 0 0 0 111 0 0 0 121 0 0 0 131 0 0 0 141 0 0 0 151 1 0 0 160 -1 0 -0.5 170 -1 0 -1 180 -1 0 -0.5 190 -1 0 0 200 0.5 0 0 210 0.5 0 1 220 0.5 0 1 230 0.5 0 0 240 1 0 1 250 1 0 1 260 1 0 0 270 1 0 0 280 1 0 0.5 290 1 0 0 300 1 1 0.5 310 0 -1 0 320 0 -1 0 330 0 -1 0 340 0 -1 0 350 0 0.5 0 360 0 0.5 0 370 0 0.5 0 380 0 0.5 0 390 0 1 0 400 0 1 0 410 0 1 -0.5 420 0 1 0 430 0 1 0 440 0 1 0 450 0 1 0 46

Annexes

162

Annexe H

Identification des états d’autocontrainte à partir de l’étude de configurations de petitetaille

On emploie ici la procédure décrite dans le paragraphe 9.2 pour identifier et déterminer labase de vecteurs autocontrainte d’une structure formée à partir de mailles élémentaires(Figure A.5 a)). Dans les figures A.5, b) et c) sont montrés les composants impliqués dans lesdeux états partiels de la base et dans la Figure A.5 d) on présente la structure complète avec10 états d’autocontrainte.

Figure A.5: Système formé sur des mailles élémentaires

A partir de l’état partiel {S1}, nous pouvons localiser neuf états d’autocontrainte locauxautour des câbles verticaux marqués par des points carrés noirs (partie centrale de la FigureA.6 a) ; deux d’entre eux sont montrés à côté du schéma). Le dixième état correspond à unétat d’autocontrainte partiel diffus (Figure A.6 b).

Figure A.6: Etats d’autocontrainte partiels

La description de ce type de structure peut se faire au moyen des paramètres suivants :DX = nombre entier de barres sur une ligne dans la direction XDY = nombre entier de barres sur une ligne dans la direction Ydx, dy, dz = distance entre les nœuds dans les directions X, Y et Z.

Pour les systèmes rectangulaires et carrés DY x DX le nombre d’états d’autocontrainte peutêtre déterminé selon :

s = (DX -3) (DY - 3) +1 (A.6.1)

a) Un module b) Etat partiel {S1} c) Etat partiel {S2} d) Structure complète

a) Neuf états restreints b) Un état diffus

DX = 6

DY =


163

Annexe I

Données et résultats du dimensionnement de systèmes pour différentes densités demaillageA.- Système multimodule (L = Portée libre = 11.2 m)Données générales :

Nombre de câblesDensitédu

maillage

Nombrede

nœuds

Nombre decomposants

Nbe.de

barresTotal Nappe

infNappe

supEntretoi-sement

6 133 516 144 372 84 144 1448 225 912 256 656 144 256 256

10 341 1420 400 1020 220 400 40012 481 2040 576 1464 312 576 57614 645 2772 784 1988 420 784 78416 833 3616 1024 2592 544 1024 102418 1045 4572 1296 3276 684 1296 129620 1281 5640 1600 4040 840 1600 1600

Longueurs des composants (m)Câbles

Densité dumaillage

HauteurH=Dx,y

(N)Barres

Nappeinférieure

Nappesupérieure

Entretoisement

6 1.866 2.800 1.320 1.866 2.0808 1.400 2.100 0.990 1.400 1.565

10 1.120 1.680 0.792 1.120 1.25212 0.933 1.400 0.660 0.933 1.04314 0.800 1.200 0.566 0.800 0.89416 0.700 1.050 0.495 0.700 0.78318 0.622 0.933 0.440 0.622 0.69620 0.560 0.840 0.396 0.560 0.626

Efforts : autocontrainte et chargementsDensité

dumaillage

Nbe.d’étatsd’auto-

contrainte

Nbe. d’étatsd’autocontrainte

distributionhomogène

Nbe. dedéplace-mentsbloqués

Nbe. dedéplacements

libres

Nbe. denœudschargés

P*ELS(N)

P*ELU(N)

Chargetotale(kN)

6 124 36 32 367 72 2352 3484 169.38 244 64 40 635 128 1323 1960 169.3

10 404 100 48 975 200 847 1254 169.312 604 144 56 1387 288 588 870 169.314 844 196 64 1871 392 432 640 169.316 1124 256 72 2427 512 331 490 169.318 1444 324 80 3055 648 261 387 169.320 1804 400 88 3721 800 212 314 169.3

* force concentrée sur les nœuds de la nappe supérieure, ½P sur la périphérie et ¼P dans les coins

Résultats du dimensionnement :Sections des composants (cm2)Densité du

maillageAutocontrainte

initiale (N)(sur les barres)

Barres Câblesnappes

Câblesentretoisement

Flèche(cm)

PoidsTotal

W (kg)

W/Surface(kg/m2)

6 -18900 5.15 0.651 0.370 1.75 1906 15.28 -18000 3.73 0.635 0.353 2.31 1921 15.3

10 -16650 2.88 0.618 0.338 2.92 1938 15.512 -15656 2.38 0.609 0.331 3.51 1993 15.914 -15566 2.1 0.600 0.326 4.11 2095 16.716 -15442 1.86 0.592 0.323 4.73 2198 17.518 -15400 1.71 0.592 0.321 5.28 2328 18.620 -15553 1.6 0.620 0.328 5.60 2494 19.9

Annexes

164

B.- Système formé sur des mailles élémentaires (L = Portée libre = 11.2 m)

Données générales :Nombre de câblesDensité

dumaillage

Nbe.nœuds

Nbe. decomposants

Nbe.barres Total Nappe

Sup.Nappe

Inf.Vert. Périphérie

6 70 205 60 145 50 50 25 208 126 385 112 273 98 98 49 28

10 198 621 180 441 162 162 81 3612 286 913 264 649 242 242 121 4414 390 1261 364 897 338 338 169 5216 510 1665 480 1185 450 450 225 6018 646 2125 612 1513 578 578 289 6820 798 2641 760 1881 722 722 361 76

Longueurs des composants (m)Câbles

Densité dumaillage

HauteurH=Dx,y

(m)Barres

Nappe Sup Nappe Inf. Entretois. Verticaux Coin6 2.800 3.960 2.800 2.800 3.960 2.800 4.8508 1.866 2.639 1.866 1.866 2.639 1.866 3.232

10 1.400 1.979 1.400 1.400 1.979 1.400 2.42512 1.120 1.584 1.120 1.120 1.584 1.120 1.94014 0.933 1.320 0.933 0.933 1.320 0.933 1.61716 0.800 1.131 0.800 0.800 1.131 0.800 1.38618 0.700 0.990 0.700 0.700 0.990 0.700 1.21220 0.622 0.880 0.622 0.622 0.880 0.622 1.077

Efforts : autocontrainte et chargementsDensité

dumaillage

Nbe.d’étatsd’auto-

contrainte

Nbe. d’étatsd’autocontrainte

utilisés dansdistr. homogène

Nbe. dedéplace-ments

bloqués

Nbe. dedéplace-mentslibres

Nbe. denœudschargés

Charge*P

ELS (N)

Charge*P

ELU (N)

ChargetotaleELS(KN)

6 10 5 27 183 16 10584 15680 169.38 26 10 39 339 36 4704 6968 169.3

10 50 17 51 543 64 2646 3920 169.312 82 26 63 795 100 1693 2508 169.314 122 37 75 1095 144 1176 1742 169.316 170 50 87 1443 196 864 1280 169.318 226 65 99 1839 256 662 980 169.320 290 82 111 2283 324 523 774 169.3

* force concentrée sur les nœuds de la nappe supérieure, ½P sur la périphérie et ¼P dans les coins

Résultats du dimensionnement :Sections des composants

(cm2)W/Surface(Kg /m2)

Densitédu

maillage

Autocontrainteinitiale (N)

(sur les barres ) Barres Câblesnappes

Câblesentretoisement

Flèche(cm)

PoidsTotal

W(Kg)

6 -34108 9.95 0.692 1.169 1.56 2161 17.28 -35013 6.56 0.699 1.256 2.21 1900 15.1

10 -36298 5.05 0.720 1.363 2.82 1880 15.012 -36775 4.13 0.728 1.406 3.47 1905 15.214 -36958 3.59 0.725 1.417 4.17 1978 15.816 -37089 3.25 0.727 1.428 4.83 2080 16.618 -37126 3.02 0.726 1.436 5.55 2206 17.520 -37140 2.82 0.810 1.443 5.60 2333 19.1


165

Annexe J

Effort normal maximal :

A.- Système multimodule

B.- Système formé sur des mailles élémentaires

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000


Effo

rts

norm

al (N

)

câbles nappesupérieurebarres


câbles nappesupérieure

32536 31723 30867 30415 29900 29564 29559 29150

barres -34323 -30894-27885 -26207-25876 -25521-25241 -25516


18482 17550 16750 16411 16215 16000 16048 16050

6 8 10 12 14 16 18 20

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000


Effo

rts n

orm

al (N

)

câbles nappesupérieurebarres


câbles nappesupérieure

34600 34930 36017 36418 36266 36367 36324 36717

barres -64229-59413-58032-55802-54252-53028-52038-51718


58440 62831 68136 70290 70868 71441 71806 72131

6 8 10 12 14 16 18 20

Annexes

166

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170

Table des illustrations

171

Table des illustrationsFigure 1: Systèmes avec contraintes initiales........................................................................................................ 17Figure 2: Mécanisme infinitésimal et stabilité de la position d’équilibre ............................................................. 19Figure 3: Systèmes de tenségrité : modules élémentaires ..................................................................................... 27Figure 4: Types d’assemblage des modules élémentaires suivant une direction................................................... 28Figure 5: Système linéaire..................................................................................................................................... 29Figure 6: Systèmes de tenségrité linéaires ............................................................................................................ 29Figure 7: Grilles planes formées par des modules élémentaires sur des pavages réguliers................................... 30Figure 8: Grille de tenségrité à 16 modules quadruplex........................................................................................ 31Figure 9: Système de tenségrité sur des réseaux réguliers de câbles..................................................................... 31Figure 10: Grilles de tenségrité à deux, trois et quatre directions ......................................................................... 31Figure 11: Système de tenségrité (grille bidirectionnelle) .................................................................................... 32Figure 12: Système de tenségrité (grille tridirectionnelle) .................................................................................... 32Figure 13: Longueurs des composants et variations des longueurs selon l’état considéré.................................... 35Figure 14: Les quatre classes de systèmes réticulés.............................................................................................. 36Figure 15: Structure sans mécanisme de corps rigide ........................................................................................... 38Figure 16: Mécanisme fini .................................................................................................................................... 39Figure 17: Mécanisme infinitésimal...................................................................................................................... 39Figure 18: Diagramme charge-déplacement pour un chargement vertical et horizontal....................................... 40Figure 19: Effets de l’élimination des degrés de liberté........................................................................................ 41Figure 20: Système réticulé spatial avec 3 états d’autocontrainte......................................................................... 42Figure 21: Relation entre le degré de liberté bloqué et l’état de contraintes initial ............................................... 42Figure 22: Système multimodule et conditions aux limites .................................................................................. 43Figure 23: Etats de sollicitation interne du système multimodule à quatre quadruplex ........................................ 43Figure 24: Etat d’exocontrainte initial sollicitant les appuis. ................................................................................ 44Figure 25: Classification des états d’autocontrainte.............................................................................................. 46Figure 26: Zone des solutions conformes ............................................................................................................. 47Figure 27: Espace des états d’autocontrainte conformes ...................................................................................... 47Figure 28: Etats d’autocontrainte qui utilisent un nombre réduit de composants ................................................. 50Figure 29: Mécanisme dans une structure plane ................................................................................................... 52Figure 30: Module élémentaire ............................................................................................................................. 54Figure 31: Etat d’autocontrainte............................................................................................................................ 54Figure 32: Deux modules juxtaposés .................................................................................................................... 55Figure 33: Etats d’autocontrainte partiels modulaires........................................................................................... 55Figure 34: Répartition l’état d’autocontrainte ....................................................................................................... 56Figure 35: Répartitions des états d’autocontrainte des quadruplex....................................................................... 56Figure 36: Principe de la méthode de Newton–Raphson ...................................................................................... 66Figure 37: Densité du maillage et élancement d’une grille multimodule.............................................................. 71Figure 38: Densité du maillage et élancement d’une grille formée sur des mailles élémentaires ......................... 71Figure 39: Conditions d’appui de la grille multimodule ....................................................................................... 72Figure 40: Conditions d’appui de la grille formée sur des mailles élémentaires................................................... 73Figure 41: Grille plane formée par l’assemblage de 36 modules .......................................................................... 75Figure 42: Degrés de liberté bloqués..................................................................................................................... 75Figure 43: Efforts dans les composants aux ELS.................................................................................................. 76Figure 44: Efforts internes aux ELU avec un niveau d’autocontrainte initial égal à 0.8{TI}................................ 77Figure 45: Efforts internes aux ELU avec un niveau d’autocontrainte initial égal à 1.2{TI}................................ 77Figure 46: Grille plane formée sur des mailles élémentaires ................................................................................ 78Figure 47: Etats d’autocontrainte partiels ............................................................................................................. 78Figure 48: Efforts internes dans les composants aux ELS .................................................................................... 79Figure 49: Vérification aux ELU avec un niveau d’autocontrainte initial égal à 0.8{TI}..................................... 80Figure 50: Vérification aux ELU avec un niveau d’autocontrainte initial égal à 1.2{TI}..................................... 80Figure 51: Flèche au centre (chargement aux ELU) ............................................................................................. 81Figure 52: Module plan......................................................................................................................................... 96Figure 53: Trois modules et base associée ............................................................................................................ 97Figure 54: Module A............................................................................................................................................. 98Figure 55: Système à trois modules ...................................................................................................................... 99Figure 56: Etats d’autocontrainte partiels modulaires........................................................................................... 99Figure 57: Deux représentations possibles du quatrième état d’autocontrainte .................................................. 100Figure 58: Ensemble de six quadruplex .............................................................................................................. 100Figure 59: Etat d’autocontrainte partiel .............................................................................................................. 101

Table des illustrations

172

Figure 60: Localisation préconisée des neuf états d’autocontrainte partiels ....................................................... 101Figure 61: Etats d’autocontrainte partiels ........................................................................................................... 102Figure 62: Système multimodule formé de quadruplex ...................................................................................... 103Figure 63: Base des états d’autocontrainte [S]T de numérotation périodique ..................................................... 104Figure 64: Processus du calcul de l’état d’autocontrainte et dimensionnement des composants ........................ 106Figure 65: Efforts internes avant et après chargement (état d’autocontrainte de répartition homogène) ............ 110Figure 66: Efforts internes avant et après chargement (état d’autocontrainte de répartition non-homogène)..... 110Figure 67: Flèche obtenue pour différentes sections des composants................................................................. 111Figure 68: Vérification aux ELU pour une autocontrainte initiale égale à 1.2{TI} (vertical descendant) .......... 113Figure 69: Vérification aux ELU pour une autocontrainte initiale égale à 1.2{TI} (vertical ascendant) ............ 113Figure 70: Coefficients pour un niveau d’autocontrainte minimal...................................................................... 114Figure 71: Tensions dans les câbles de la nappe supérieure pour des autocontraintes homogène et non-homogène minimales ................................................................................................................. 115Figure 72: Tensions dans les câbles de la nappe supérieure pour un état partiellement homogène .................... 115Figure 73: Coefficients pour un niveau d’autocontrainte partiellement homogène ............................................ 116Figure 74: Vérification aux ELU avec une autocontrainte égale à 1.2{TI}......................................................... 116Figure 75: Etats d’autocontrainte partiels: diffus et restreint auteur le composant 1 .......................................... 117Figure 76: Etat d’autocontrainte de répartition homogène (grilles formée sur des mailles) ............................... 117Figure 77: Coefficients de combinaison pour un autocontrainte non-homogène de niveau minimal ................. 118Figure 78: Efforts sur les câbles de ligne centrale avant et après chargement .................................................... 118Figure 79: Efforts dans les composants avant et après chargement .................................................................... 119Figure 80: Vérification aux ELU pour une autocontrainte initiale égale à 1.2{TI} (chargement uniforme dans la direction verticale ascendante)......................................................... 121Figure 81: Efforts sur les câbles dus à l’autocontrainte ...................................................................................... 121Figure 82: Vérification aux ELU pour une autocontrainte initiale égale à 1.2{TI} (chargement uniforme dans la direction verticale ascendante)......................................................... 122Figure 83: Tensions sur les câbles avant et après chargement aux ELS ............................................................. 122Figure 84: Compressions sur les barres avant et après chargement aux ELS ..................................................... 123Figure 85: Nombre d’états d’autocontrainte (système multimodule).................................................................. 126Figure 86: Nombre d’états d’autocontrainte (système formé sur des mailles) .................................................... 126Figure 87: Tension initiale dans les câbles de la nappe supérieure (système multimodule) ............................... 127Figure 88: Tension initiale dans les câbles des nappes (système formé sur des mailles élémentaires).............. 127Figure 89: Effort maximal sur les barres avant et après chargement aux ELU (système multimodule) ............. 128Figure 90: Effort maximal sur les barres avant et après chargement aux ELU (système formé sur des mailles élémentaires) .................................................................................. 128Figure 91: Sections des composants des systèmes multimodule......................................................................... 129Figure 92: Sections des composants des systèmes formés sur des mailles ......................................................... 129Figure 93: Poids propre des systèmes multimodules .......................................................................................... 130Figure 94: Poids propre des systèmes formés sur des mailles............................................................................. 130Figure 95: Poids du système multimodule en utilisant des profilés standards .................................................... 131Figure 96: Comparaison des poids de systèmes multimodule............................................................................. 131Figure 97: Poids d’un système formé sur des mailles en utilisant des profilés standards ................................... 132Figure 98: Comparaison des poids de systèmes formés sur de mailles............................................................... 132Figure 99: Déplacement maximum aux ELS (système multimodule) ................................................................ 133Figure 100: Déplacement maximum aux ELS (système formé sur des mailles élémentaires)............................ 133Figure 101: Déplacement maxi aux ELU pour une autocontrainte de 0.8{TI} ................................................... 134Figure 102: Efforts pour un chargement aux ELU pour une autocontrainte de 0.8{TI}. .................................... 135Figure 103: Réseau partiel des câbles d’une grille et poutre équivalente............................................................ 138Figure 104: Efforts internes prévus avant et après chargement aux ELS............................................................ 139Figure 105: Efforts prévus avant et après chargement aux ELU......................................................................... 140Figure 106: Section transversale de la poutre équivalente .................................................................................. 141Figure 107: Câbles pour une poutre équivalente de dimensions données ........................................................... 141Figure 108: Coefficient du niveau maximal d’autocontrainte............................................................................. 142Figure 109: Chargement et conditions d’appui d’une grille de tenségrité sur des mailles .................................. 143Figure 110: Poutre équivalente à une ligne centrale de la grille ......................................................................... 143Figure 111: Chargement et conditions d’appui d’une grille multimodule .......................................................... 144Figure 112: Distance entre câbles ....................................................................................................................... 145Figure 113: Répartition des charges (méthode d’analogie par plaques).............................................................. 146

Apellidos : SANCHEZ SANDOVAL Nombre : Luis Raúl

Contribución al estudio del dimensionamiento optimode sistemas de tensegridad

Tesis presentada a la Universidad Montpellier II – Ciencias y Técnicas de Languedocpara obtener el grado de Doctor, mencion Ciencias.

Especialidad : Mecánica, Ingeniería Mecánica, Ingeniería Civil

No. de orden No. CNU : 60

Resumen : El objetivo de esta tesis es de definir la distribución y el nivel del estado de autoesfuerzoinicial de estructuras de tensegridad sometidas a cargas estáticas y optimar su diseño. Para estudiar yconstruir este tipo particular de estructuras reticulares, que utiliza barres y cables de manera innovanteen el campo de la ingeniería civil, es necesario determinar su estado de autoesfuerzo inicial.En la primera parte de este manuscrito, se presentan los sistemas reticulares y de tensegridad, sutypologie y los métodos que permiten calcular y ordenar los autoesfuerzos y mecanismos.La segunda parte trata de las differentes étapas de diseño considerando la ponderación de las accionesexteriores, los métodos de cálculo y los efectos de las cargas. Esta metodología es aplicada en dostipos de cubiertas de tensegridad.La tercer parte es consagrada a la determinación de une base de vectores de autoesfuerzo utilisando lapresencia periódica de componentes en el sistema y a la determinación del estado de autoesfuerzoinicial mínimo de distribuciónes homogénea y no homogénea, también al dimensionamiento óptimode estos sistemas y al estudio de la influencia de las variaciones de la altura y densidad de mallas sobreel estado de autoesfuerzo y sobre el peso total de la estructura.Palabras clave : Tensegridad, parrilla plana, autoesfuerzo inicial, diseño, optimización

Tesis desarrollada en el Laboratorio de Mecánica y de Ingeniería Civil de la Universidad Montpellier IIcc034, Campus Saint Priest, 860 route de Saint Priest, 34095 MONTPELLIER

Nom : SANCHEZ SANDOVAL Prénom : Luis Raúl

Contribution à l’étude du dimensionnement optimaldes systèmes de tenségrité

Thèse présentée à l’Université Montpellier II – Sciences et Techniques du Languedocpour obtenir le grade de Docteur, mention Sciences.

Spécialité : Mécanique, Génie Mécanique, Génie Civil

No. d’ordre No. CNU : 60

Résumé : L’objectif de cette thèse est de définir la distribution et le niveau de l’état d’autocontrainteinitial pour des grilles de tenségrité soumises à un chargement statique, puis d’optimiser leurdimensionnement. Pour étudier et réaliser ce type particulier de structure spatiale qui utilise barres etcâbles, de façon innovante dans le domaine du génie civil, il est tout d’abord nécessaire de déterminerleur état d’autocontrainte initial.Dans la première partie de ce manuscrit, on présente les systèmes réticulés puis les systèmes detenségrité, leur typologie et les méthodes permettant de recenser et de trier les autocontraintes et lesmécanismes.La deuxième partie traite de leur dimensionnement en différentes étapes considérant la pondérationdes actions extérieures, les méthodes de calcul et les effets d’un chargement. Une application estmenée sur deux types de grille de tenségrité.La troisième partie est consacrée à la détermination d’une base des vecteurs d’autocontrainte quiexploite la présence périodique des composants dans le système, ainsi qu’à la détermination de l’étatd’autocontrainte initial de répartition homogène et non-homogène, on aborde ensuite ledimensionnement optimal de ces systèmes et l’étude de l’influence des variations de hauteur et dedensité de maillage sur l’autocontrainte initiale et sur le poids total de la structure.

Mots clés : Tenségrité, grille plane, autocontrainte initiale, dimensionnement, optimisation.

Contributions to the study of optimum sizing of tensegrity systemsThis thesis has been presented at the University of Montpellier II- Sciences and Techniques du Languedoc

to pass the Doctorate, Mention in Sciences.

Specialty : Mechanics, Mechanic Engineer, Civil Engineering

Abstract: The objective of this thesis is to define the distribution and the level of the initial selfstress oftensegrity structures with static charges, and to optimize their sizing.In order to study and realize this particular type of space structure, that uses struts and cables in a innovative wayin civil engineering, it is firstly necessary to determine the level of their initial selfstress.In the first part of this manuscript, we present reticulated truss systems, and next the tensegrity systems, theirtypologies and the methods devoted to the calculation and the sorting of theirs selfstresses and mechanisms.The second part deals with the different stages of design associated to the weighting of the external actions, thecalculation processes and the load effects. This approach is applied on two types of tensegrity grids.The third part is related to the determination of the selfstress vectors, by taking into account the periodicalpresence of components in the system, and of the initial minimal selfstress with an homogeneous and non-homogeneous distribution. Next, we determine an optimal sizing for these systems and we analyse the influenceof variations in height and mesh density on the initial selfstress and also on the total weight of the structure.words key : tensegrity, plane grid, initial selfstress, sizing, optimization.

Thèse préparée au Laboratoire de Mécanique et Génie Civil, Université Montpellier IIcc034, Campus Saint Priest, 860 route de Saint Priest, 34095 MONTPELLIER

"contribution à l'étude du comportement mécanique des systèmes

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