contrato didáctico

CCeennttrroo ddee IInnvveessttiiggaacciinn yy ddee EEssttuuddiiooss AAvvaannzzaaddooss ddeell IInnssttiittuuttoo PPoolliittccnniiccoo NNaacciioonnaall

UUnniiddaadd DDiissttrriittoo FFeeddeerraall

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Una Caracterizacin del Contrato Didctico en un Escenario Virtual

Tesis que presenta

Lic. Gisela Montiel Espinosa

Para obtener el grado de

Maestra en Ciencias

en la especialidad de

Matemtica Educativa

Directora de tesis: Dra. Rosa Mara Farfn Mrquez

Mxico, DF. Junio de 2002

Contenido

Introduccin Captulo 1. Antecedentes. 1

Primera Parte. Teora de Situaciones Didcticas 2

Segunda Parte. Educacin a Distancia 11

La Educacin a Distancia 12

Historia 15

Investigacin 16

Teora de la Distancia Transaccional 18

Un elemento clave: La Interaccin 20

Captulo 2. El Contrato Didctico como variable de anlisis 25 Primera Parte. El Contrato Didctico 26

El Contrato Didctico de Guy Brousseau 27

El Contrato Didctico, desde la perspectiva de Bruno DAmore 29

El Contrato Didctico, desde la perspectiva de Marie Jeanne Perrin Glorian 33

El Contrato Didctico desde la aproximacin socioepistemolgica 35

Segunda Parte. El saber a ensear

Pensamiento y Lenguaje Variacional 37

Objetivos institucionales y objetivos de aprendizaje en SIME II 38

Problema de Investigacin Origen 40

Diseo del curso en lnea 41

Intencionalidad del diseo 41

Intencionalidad de los ejercicios 48

Captulo 3. El Escenario 57 Estructura del programa 59

Plataforma virtual de trabajo 60

Contenido

Captulo 4. Interacciones en un Escenario Virtual 67

Observaciones preliminares 68

Resolucin de ejercicios 71

Observaciones generales 160

Captulo 5. Conclusiones. 163

Episodios de interaccin 167

Observaciones finales 183

Introduccin

iv

L

a Matemtica Educativa, como disciplina cientfica y movimiento social ha buscado

permanentemente mecanismos de accin que integren el trabajo de investigadores,

profesores y alumnos en beneficio de la enseanza y aprendizaje de la matemtica. Hoy,

dentro de la disciplina, se han consolidado posturas tericas en distintas escuelas de

pensamiento que obedecen a las exigencias que la sociedad nos impone, entre ellas, la de

proveer ofertas educativas integrales a los partcipes del proceso de enseanza y

aprendizaje de la matemtica. Es claro que el nmero de involucrados en este proceso

aumenta vertiginosamente (investigadores, docentes, alumnos y alumnas), de tal forma que

llegar a todos presupone tener estrategias para enfrentar la masificacin.

Hoy nuestras instituciones, principalmente las de nivel superior, estn abordando la

masificacin con la modalidad a distancia (o virtual1). Es decir, la sociedad exige mas

oportunidades de formacin y entre las soluciones mas viables, las instituciones proponen

los programas de educacin a distancia. Sin embargo, entrar en ambientes de esta

naturaleza presupone de un cambio radical, desde la misma concepcin de la educacin a

distancia hasta los mecanismos de accin, administracin, implementacin, diseo, entre

otras. Esta prctica no es un terreno educativo nuevo, sus inicios se dan en 1700, pero ha

sufrido una evolucin impresionante en las ltimas dcadas. Es una disciplina con muchas

reas de anlisis en cuanto a investigacin y prctica se refiere.

En el presente trabajo abordaremos la problemtica de la educacin a distancia, en la

direccin que atae a la Matemtica Educativa, esto es, cuando el fenmeno de enseanza y

aprendizaje de un contenido matemtico se lleva a cabo en un escenario a distancia.

Esta investigacin nace en la aproximacin socioepistemolgica, que trata de forma

articulada con las cuatro componentes de la construccin social de conocimiento: su

naturaleza epistemolgica, su dimensin sociocultural, los planos de lo cognitivo y los

modos de transmisin va la enseanza (Cantoral, 2001), lo que nos permite hacer una

extensin de la teora de situaciones didcticas para explicar los fenmenos de enseanza y

aprendizaje que se llevan a cabo en una situacin especfica. Hablamos de una extensin

1 No estamos dando la misma definicin a educacin a distancia y educacin virtual, solo hacemos referencia a los nombres mas comunes en las instituciones mexicanas.

Introduccin

v

dado el origen y la estructura de la teora de situaciones. Brousseau, (1997) construye su

teora con base en observaciones en un aula presencial, con nios aprendiendo conceptos

matemticos elementales, mientras que en este trabajo de investigacin tratamos con

escenarios a distancia, especficamente en la modalidad en lnea, y con profesores

interactuando con objetos matemticos de nivel superior.

Por la naturaleza de la investigacin y las aproximaciones tericas utilizadas para su

anlisis, constituimos este trabajo en cinco captulos que profundizan sobre el campo de la

educacin a distancia, la teora de situaciones didcticas, contrato didctico, intencionalidad

y estructura del diseo; y confrontacin de la evidencia con la teora.

En Captulo I mostramos los antecedentes del problema de investigacin, concentrando

nuestra atencin en los elementos caractersticos de la teora de situaciones didcticas y en

un estado del arte de la investigacin en educacin a distancia. Con esto, encontramos que

los fundamentos tericos de la educacin a distancia son insuficientes para abordar la

problemtica de apropiacin de conocimiento matemtico, por lo que recurrimos a una

extensin de la aplicacin de la teora de situaciones.

La teora de situaciones didcticas nos habla de cmo el alumno se adapta a un milieu a

travs de interacciones a fin de adquirir un conocimiento matemtico especfico. Estas

interacciones estn estrechamente ligadas a la organizacin del milieu (realizada por el

profesor) y la naturaleza del conocimiento matemtico en juego. De ah que para analizar la

apropiacin de dicho conocimiento, debemos observar las interacciones del alumno, el

profesor y el conocimiento como un sistema. Esto se logra tomando a la categora contrato

didctico como variable de anlisis2, ya que articula los fenmenos didcticos, le da sentido

a la situacin didctica y de ella depende la construccin de significados en el alumno. En

este sentido el contrato didctico nos permiti analizar en forma sistmica la interaccin

del tringulo didctico (profesor-alumno-saber) y caracterizarla en un nuevo escenario. Las

negociaciones entre profesor y alumno, respecto del contenido matemtico, estn

impregnadas de otros contratos, bsicamente el pedaggico y escolar, as como de las

concepciones matemtica y escolar del profesor, sin embargo, logramos identificar

2 Usamos el trmino variable de anlisis para referirnos al instrumento que nos permite estudiar las

interacciones del tringulo didctico que permiten apropiacin de conocimiento, aunque en este caso, tenemos claro que esta variable de anlisis, el contrato didctico, es una nocin de la teora de situaciones didcticas.

Introduccin

vi

situaciones de aprendizaje, ruptura de contrato y devolucin de la situacin, adhesin al

discurso y ruptura de la tradicin escolar de enseanza y aprendizaje. Todos los contratos

son analizados a profundidad en el Captulo II, a fin de entender los comportamientos del

sistema didctico.

En el Captulo III elaboramos una descripcin del escenario en trminos tcnicos y

disciplinares, para caracterizar lo ms posible al milieu de este fenmeno, mientras que las

producciones de los alumnos son expuestas una a una en el Captulo IV, de tal forma que

pudiramos hacer una conclusin sobre los momentos de negociacin ms caractersticos

de las interacciones del tringulo didctico al final de nuestra investigacin.

Tomar posturas tericas de la Matemtica Educativa no fue una decisin sin fundamentos.

La seleccin de nuestro marco terico se debe bsicamente a que en contraste con los

trabajos tericos y empricos en el rea de la educacin a distancia, consultados para

efectos de este trabajo de investigacin y en su mayora de literatura anglosajona, no

analizamos las interacciones de los actores educativos uno a uno, es decir: alumno-alumno,

alumno-profesor, alumno-contenido y alumno-interfase (Gunawardena y McIsaac, 1996),

ya que suponemos que no nos permiten ver con claridad el papel de la negociacin en la

construccin de nociones y significados. Esta suposicin habr de ser atendida en el curso

de la investigacin.

Nuestros resultados se exponen y explican en el Captulo V, e intentan articular nuestros

fundamentos tericos con la evidencia emprica.

Referencias

Cantoral, R. 2001 sobre la construccin social del conocimiento matemtico avanzado. Actas de la Semana

de las Matemticas. En J. A. Domnguez y M., Sierra (Eds.) Universidad de Salamanca, Espaa.

Brousseau, G. (1997) Theory of Didactical Situations in Mathematics. En Balacheff, N., Cooper, M.,

Sutherland, R. y Warfield, V. (Eds). Kluwer Academic Publishers.

Gunawardena, C. N. y McIsaac, M. S. (1996). Distance Education. In D. H. Jonassen (Ed.). Handbook of

research for educational communications and technology: a project of the Association for Educational

communications and Technology. 403 437. New York: Simon & Schuster Macmillan. Disponible en la

pgina web http://seamonkey.ed.asu.edu/~mcisaac/dechapter

Introduccin

vii

Captulo I. Antecedentes

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Enfrentar un fenmeno didctico inmerso en un escenario a distancia fue encarar un campo

novedoso en diversos aspectos, desde su estructura hasta su administracin. Aspectos

intrnsecos a la actividad educativa tambin cambian, por ejemplo, aunque el uso de

tecnologa en el aula tradicional no es ajeno a nuestra prctica o investigacin y

actualmente podemos observar en el aula de matemticas a los alumnos desarrollando

ciertos conocimientos con el uso de herramientas como la calculadora graficadora,

sensores de movimiento, computadoras, entre otras, no ha dejado de ser la institucin y/o

el profesor quienes deciden en qu momento incorporarla. Esta actitud cambia en un

ambiente a distancia, aqu es indispensable que el alumno tenga contacto con diversas

tecnologas debido a que es un componente de la estructura acadmica misma.

Nuestro foco de inters fue entender ciertos comportamientos, al seno del sistema

educativo a distancia, que dieran luz del aprendizaje del alumno. Para tal efecto hubo que

mirar al sistema didctico, constituido por el profesor, el alumno y el saber en juego, desde

una perspectiva sistmica que permita explicar cmo las interacciones del sistema

muestran la evolucin de los conocimientos.

El mecanismo para analizar los fenmenos didcticos que giran alrededor del sistema

profesor-alumno-saber no es simple, sobre todo partiendo de la idea de que ensear no es

transmitir un conocimiento a travs del discurso y aprender no significa ser el receptor de

dicho discurso. Una aproximacin terica que nos permite abordar esta problemtica en el

campo de la matemtica educativa es la Teora de Situaciones Didcticas, desarrollada por

Guy Brousseau en Francia desde los aos 70s. Para efectos de este captulo haremos una

breve explicacin de esta aproximacin como primera parte, resaltando los elementos

funcionales para este trabajo de investigacin. Sin embargo, dada la aproximacin en la


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que nace el presente trabajo hablaremos de la educacin a distancia en una segunda parte,

resaltando la extensin que se hace a la teora de situaciones didcticas.

Esta teora pone su foco de atencin en los dispositivos didcticos que tienen como

finalidad que el alumno se apropie de cierto conocimiento matemtico. Tal y como

Brousseau (2000) seala,

...son los comportamientos de los alumnos los que revelan el funcionamiento del medio,

como un sistema. La caja negra es, entonces, el medio.

Pero para poder elaborar dichos dispositivos, u organizar el medio donde se desarrolla la

actividad didctica, se deben determinar las condiciones en que se produce la apropiacin

del saber por parte de los alumnos y la naturaleza y origen de los conceptos matemticos en

juego.

Brousseau parte de las ideas piagetianas que sealan que la adquisicin de conocimientos

en el ser humano es producto de un proceso de autorregulacin llamado equilibrio,

partiendo de las acciones del sujeto sobre un objeto. El equilibrio se alcanza coordinando el

proceso de asimilacin con el proceso de acomodacin. La asimilacin tiende a someter el

medio al organismo, mientras que la acomodacin somete al organismo a las restricciones

del medio.

A diferencia de Piaget, Brousseau describe la adquisicin de conocimientos matemticos

especficos que viven en un ambiente escolarizado. Esto presupone la introduccin de un

elemento de anlisis: el conocimiento matemtico en juego.

Sobre la transformacin de un objeto de saber a ensear en un objeto de enseanza

Chevallard (1991) escribe:

Teora de Situaciones Didcticas

P R I M E R A P A R T E


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Todo proyecto social de enseanza y de aprendizaje se constituye

dialcticamente con la identificacin y la designacin de contenidos de saberes

como contenidos a ensear.

Los contenidos de saberes designados como aquellos a ensear

(explcitamente: en los programas; implcitamente: por la tradicin, evolutiva,

de la interpretacin de los programas), en general preexisten al movimiento

que los designa como tales. Sin embargo, algunas veces (y por lo menos ms a

menudo de lo que se podra creer) son verdaderas creaciones didcticas,

suscitadas por las necesidades de la enseanza.

Un contenido de saber que ha sido designado como saber a ensear, sufre a

partir de entonces un conjunto de transformaciones adaptativas que van a

hacerlo apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseanza. El

trabajo que transforma un objeto del saber a ensear en un objeto de

enseanza, es denominado la transposicin didctica.

Brousseau pretende que las secuencias didcticas, con objetos de enseanza especficos,

provoquen en el alumno una gnesis artificial de los conceptos. Para provocar tal efecto es

necesario conocer la gnesis real, a fin de que los saberes adquieran nuevos significados o

recuperen sus significantes iniciales, desde la visin en la cual se les adopta como entes

culturalmente aceptados. Esto es, estudiar la naturaleza epistemolgica de los saberes en

juego.

La idea bsica de Brousseau es que el proceso para adquirir un conocimiento matemtico

consiste de diversas facetas y se basa en juegos especficos, donde el actor interacta con

un ambiente a distintos niveles, evolucionando sus nociones y su lenguaje. La interaccin

de un actor con su medio se da a tres niveles (ver Fig. 1)

Fig. 1 Interacciones del Alumno con su

Medio


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En la interaccin del tipo de acc in el actor fija un estado del medio o determina o limita

las acciones de otros actores. La interaccin del tipo de c o m u n i c ac i n consiste en

modificar los conocimientos de otro actor por medio de mensajes portadores de

informacin, y por ltimo, la interaccin del tipo de p r u e b a tiende a la justificacin o

validacin cultural de los actos o declaraciones establecidas explcita o implcitamente.

Estas interacciones no pueden ocurrir de manera simultnea, de hecho ocurren en

situaciones con caractersticas propias y donde el actor juega papeles distintos, utiliza

diversas herramientas y produce distintos mecanismos de comunicacin.

En situacin de aprendizaje de un conocimiento matemtico especfico, el alumno debe

lograr estas interacciones con un medio organizado por el profesor, debe ser capaz de

actuar, hablar, pensar y evolucionar por motivacin propia. Sin embargo, aun cuando el

alumno sepa que la situacin problema que se le presenta tiene como objetivo adquirir un

conocimiento nuevo, el profesor debe abstenerse de intervenir o sugerir el conocimiento

que desea adquiera el alumno. Si pensamos a la Matemtica como el producto de juegos

especficos con dimensiones de accin, informacin y veracidad, compuesta de un sistema

simblico que, dependiendo del contexto social y personal donde se use, juega un papel

instrumental y a su vez tiene una funcin de comunicacin, debemos provocar

interacciones del alumno con el medio como una gnesis artificial del conocimiento

matemtico objetivo. Las situaciones donde tienen cabida estas interacciones reciben el

nombre de s i t u a c i o n e s a d i d c t i c a s y las hay de tres tipos:

Situacin Adidctica de Accin. El alumno acta sobre un problema,

juzga el resultado de sus acciones y las ajusta sin la intervencin del profesor,

solamente se vale de la retroalimentacin que obtiene del medio. A este nivel el

alumno es capaz de tener m o d e l os i m p l c i t o s , no racionalizados, construidos de

nociones pro toma tem t i cas , es decir, nociones cuyas propiedades son utilizadas en

la misma prctica para resolver ciertos problemas, pero de forma que la nocin misma

no es reconocida ni como objeto de estudio ni siquiera como instrumento til para el

estudio de otros objetos.


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Situacin Adidctica de Formulacin. El alumno comunica las formulaciones

resultado de las acciones realizadas sobre el medio. Al intercambiar mensajes con uno o

ms alumnos se crea un m o d e l o e x p l c i t o formulado con la ayuda de smbolos y

reglas conocidas en lenguaje matemtico, segn las posibilidades de los interlocutores.

En este modelo se pueden encontrar nociones p a r a m a t e m t i c a s , nociones que

sirven para describir objetos matemticos, pero que no se les considera como tal en la

cultura matemtica.

Situacin Adidctica de Validacin. El alumno expone su m o d e l o

e x p l c i t o con el objetivo de probar su exactitud y pertinencia. Es decir, deben usarse

nociones m a t e m t i ca s , objetos de conocimiento, susceptibles de ser enseados y

utilizados en aplicaciones prcticas

Como ya se mencion, en un principio Brousseau acept la idea piagetiana de que la

construccin de conocimiento se lleva a cabo mediante una adaptacin personal (hecha de

asimilaciones y acomodaciones) al medio, sin embargo, posteriormente pens que esta idea

podra descargar de responsabilidad al profesor. Esto se modific al establecer que el

Modelos y

Nociones

Alumno

Situacin problema

Modelos y

Nociones

Alumno A

Alumno B

Modelos y

Nociones Alumno

Alumnos


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alumno logra la adaptacin gracias a la retroalimentacin que provocan sus acciones con el

medio y a las sanciones que este le impone. Lo anterior solamente se puede lograr si el

profesor organiza el medio en forma de situaciones adidcticas con la intencin didctica

de adaptacin. Entonces, podemos decir que si el alumno se ha adaptado al conjunto de

situaciones adidcticas, que proporcionen una realizacin o representacin explcita de un

conocimiento matemtico especfico tal como es utilizado explcitamente por una

institucin, ha aprend ido el conocimiento objetivo. Pero a este nivel el alumno no

reconoce el conocimiento que ha adquirido. Es decir, en estos momentos el alumno ha

desarrollado la llamada gnesis artificial de dicho conocimiento; ha jugado el papel de

aquel que descubre un nuevo conocimiento a travs de intervenciones, pruebas,

formulaciones, construccin de modelos, lenguajes, conceptos, teoras, su interaccin con

otros, reconocimiento de la veracidad de sus conjeturas y razonamientos, etc., esto es a

travs de una actividad matemtica en un amplio sentido de la palabra. Posterior a esta

actividad, el alumno debe identificar el nuevo conocimiento como un objeto matemtico

cuya funcionalidad es independiente del contexto que le dio origen. El profesor interviene

en una situacin cuyo fin es que el conjunto de alumnos asuma la significacin

socialmente establecida de un saber que ha sido construido por ellos en situaciones de

accin, de formulacin y de validacin. Esta situacin destinada a establecer convenciones

sociales recibe el nombre de Situacin Didctica de Institucionalizacin.

Resumiendo, una situacin adidctica especfica de un conocimiento matemtico especfico

es una situacin, tal que, por s misma, sin apelar a razones didcticas y en ausencia de

toda indicacin intencional, permita o provoque un cambio de estrategia en el jugador. Este

cambio debe ser (relativamente) estable en el tiempo y estable respecto de las variables de

la situacin. La forma de provocar este cambio suele provenir de ciertas caractersticas de

la situacin adidctica que hace que fracasen las estrategias espontneas. Esta situacin

adidctica es parte de una situacin ms amplia que Brousseau llama situacin didctica.

sta comprende las relaciones establecidas explcita o implcitamente entre los alumnos, un

cierto medio (que incluye instrumentos y objetos) y el profesor, con el objetivo de que los

alumnos aprendan el conocimiento matemtico objetivo (Chevalard, 1998)

Sin embargo, es importante sealar que la presencia de un contexto escolar no es esencial

en la definicin de una situacin didctica, lo que s es esencial es su carcter intencional, el


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haber sido construida con el propsito explcito de que alguien aprenda algo (Galvez,

1983).

La Teora de Situaciones Didcticas se apoya en la tesis de que el sujeto necesita construir

por s mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo similar al que realizaron

los productores originales de los conocimientos que se quiere ensear. Se trata entonces de

producir una gnesis artificial de los conocimientos, de que los alumnos aprendan haciendo

funcionar el saber o mas bien, de que el saber aparezca para el alumno como un medio de

seleccionar, anticipar, ejecutar y controlar las estrategias que aplica a la resolucin del

problema planteado por la situacin didctica.

La teora parte de un modelo con dos principios bsicos, que de cierta forma se han ido

esbozando en el texto:

Saber matemticas no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer

la ocasin de utilizarlos y de aplicarlos, es ocuparse de problemas en un sentido

amplio que incluye encontrar buenas preguntas tanto como encontrar soluciones. Una

buena reproduccin, por parte del alumno, de la actividad matemtica exige que ste

intervenga en la actividad matemtica, lo cual significa que formule enunciados y

pruebe proposiciones, que construya modelos, conceptos y teoras, que los ponga a

prueba e intercambie con otros, que reconozca los que estn conformes con la cultura

matemtica y que tome los que le son tiles para continuar su actividad.

Ensear un conocimiento matemtico concreto es, en una primera aproximacin,

hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho conocimiento una actividad

matemtica en el sentido anterior. El profesor debe imaginar y proponer a los alumnos

situaciones matemticas que ellos puedan vivir, que provoquen la emergencia de

genuinos problemas matemticos y en las cuales el conocimiento en cuestin aparezca

como una solucin ptima a dichos problemas, con la condicin adicional de que dicho

conocimiento sea construible por los alumnos.

Saber matemticas y ensear un conocimiento matemtico concreto son fenmenos que

giran alrededor de lo que Chevallard (1991) ha llamado s i s t e m a d i d c t i c o (Fig. 2), un

tringulo cuyas interacciones se deben mirar de forma sistmica para explicar los

acontecimientos que se producen en el proceso de enseanza y aprendizaje.


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Ya se han abordado la relacin profesor saber, tomando en cuenta los procesos de

adquisicin del conocimiento por parte del alumno, y la relacin alumno saber, tomando

en cuenta la organizacin del medio por parte del profesor. Una ltima relacin por

abordar el la del profesor alumno respecto del saber a ensear, que es el problema

esencial que perseguimos en este trabajo de investigacin. Esta relacin consiste de un

conjunto de clusulas que evolucionan a medida que el proceso didctico avanza y que

constituyen una especie de contrato denominado el cont ra to d idc t i co . Esta categora

ser el eje principal en esta investigacin, por lo que le dedicaremos un captulo completo a

su anlisis.

La Teora de Situaciones Didcticas fue concebida para el campo particular de la didctica

de la matemtica elemental, hoy se trabaja en los ajustes que habra que hacer para su

extensin hacia otros dominios del conocimiento y a diferentes niveles de escolaridad.

Aunque cabe decir, que no se han desarrollado suficientes experiencias en la matemtica

universitaria como para tener una evidencia completa de cmo se adaptan las categoras de

la teora de situaciones al funcionamiento escolar, si existen algunos intentos prometedores

como los que se reportan en (Alans 1996, Aguilar, etal. 1997, Farfn 1997). Con esta

teora de situaciones, se estudian y modelan fenmenos didcticos que se presentan cuando

un profesor se propone ensear una nocin, un teorema o un procedimiento a sus

estudiantes. En este intento, y como ya mencionamos, las palabras ensear, aprender,

pensar, entender, saber y conocer adquieren diversos significados. Es as que dada la

novedad de la educacin a distancia en general, y en el nivel universitario en particular, el

estudio de los fenmenos ligados a la enseanza de la matemtica en escenarios virtuales

sea aun mas incipiente.

Saber a ensear

Profesor Alumno

Fig. 2 Sistema Didctico


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As pues, la teora de situaciones permite disear y explorar un conjunto de secuencias de

clase concebidas por el profesor con el fin de disponer de un medio para realizar un cierto

proyecto de aprendizaje. En este captulo nos introducimos en estos temas y buscamos

enlazarlos con la educacin a distancia.

Este trabajo es un intento por extender la teora de situaciones, desde la perspectiva terica

en la que nace el proyecto, la socioepistemologa. La socioepistemologa es una

aproximacin sistmica que permite tratar en forma articulada con las cuatro componentes

fundamentales de la construccin social del conocimiento, a saber, su naturaleza

epistemolgica, su dimensin sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de

transmisin va la enseanza (Cantoral, 2001).


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En nuestra opinin, hacer investigacin presupone conocer el campo de accin, conocer las

investigaciones hechas alrededor del fenmeno elegido para nuestro estudio, a fin de hacer

un uso adecuado de sus datos y resultados.

Consideramos que con este trabajo se abre una lnea de investigacin en Educacin a

Distancia centrada en la matemtica, por lo que una tarea necesaria ser la de realizar un

estado del arte que nos permita conocer el nacimiento, desarrollo, avances y resultados de

esta disciplina en el marco del aprendizaje de las matemticas.

La educacin a distancia no es una prctica nueva. Aunque, la revolucin tecnolgica que

vivimos hoy en da ha puesto en boga los programas a distancia. Ante la velocidad

desenfrenada que lleva este avance, la sociedad en general se ha preocupado por las

repercusiones que este fenmeno pueda tener, por ello la difusin de sus mecanismos de

accin es cada vez mayor.

Desafortunadamente aun son escasas las revistas y congresos especializados en el tema, es

decir, revistas de inters cientfico que vean a la educacin a distancia como una lnea

propia de investigacin, y en ese sentido se le perciba como una modalidad educativa que

necesita de investigacin sistemtica.

Nuestra fuente principal de informacin fue la WWW (World Wide Web). Ella nos llev a

las revistas especializadas de pases como EUA, Reino Unido, Canad y Australia. En ellas

encontramos diversas aproximaciones para analizar y describir los fenmenos propios de la

educacin a distancia, pero en su mayora reflejan una clara influencia de la tecnologa de

cada tiempo. A lo largo de la elaboracin de este estado del arte fue clara la falta de

Educacin a Distancia

S E G U N D A P A R T E


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investigacin que fundamente acciones tales como diseo, elaboracin de materiales,

construccin de plataformas de trabajo, uso de tecnologa, entre otras.

La Educacin a Distancia

Para la Asociacin de Aprendizaje a Distancia de los Estados Unidos (USDLA, por sus

iniciales en ingls) el aprendizaje a distancia es la adquisicin de conocimiento y de

habilidades a travs de medios de informacin e instruccin, utilizando la tecnologa

apropiada. La educacin a distancia sera entonces el proceso que involucra ese

aprendizaje y la instruccin que lo permita. La modalidad a distancia se ha desarrollado

gracias a las prcticas educativas que han buscado la masificacin a travs del uso de las

tecnologas creadas en todos los tiempos, desde la imprenta, la televisin, la radio y ahora

la tecnologa interactiva de comunicacin. Es con la prctica y el uso de esta tecnologa

que surge la necesidad de encontrar elementos tericos que sustenten los fenmenos de

enseanza y aprendizaje propios de la educacin a distancia. As, surgen distintas

aproximaciones que estudian a detalle ciertas caractersticas distintivas de la educacin a

distancia, como lo son la separacin fsica entre instructor y estudiante o el uso

indispensable de la tecnologa. Estas prcticas han abordado distintas y variadas reas del

conocimiento humano, las hay desde programas de televisin para la educacin de adultos,

hasta prestigiados programas cientficos de posgrado a travs de diversas tecnologas

interactivas.

Sin embargo, consideramos que la investigacin en educacin a distancia no ha avanzado

al acelerado paso que caracteriza su prctica y ha dependido en gran medida de los avances

tecnolgicos que se han dado a lo largo de su historia. Principalmente se ha desarrollado en

dos vertientes, la investigacin terica y la investigacin descriptiva. Ambas han sido

significativas en la formacin de la educacin a distancia como campo especfico de

investigacin; una va de la mano con la otra. Sin embargo, es evidente la ausencia de

argumentos tericos que describan el fenmeno de la educacin a distancia en el marco de

la prctica educativa, es decir, ha pesado mas el carcter innovador de la tecnologa y los

fenmenos que giran en torno de ella que los anlisis propiamente didcticos.


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La investigacin terica se ha inclinado hacia los estudios que analizan impactos

psicolgicos y sociales que provoca la distancia y el uso de tecnologa, as como hacia el

estudio de las relaciones que se desarrollan entre los participantes de un curso. Estas

investigaciones han logrado resaltar algunos elementos y fenmenos propios de la

educacin a distancia (Doolittle y Scheer, 2000; Moore, 1990, 1991, 1993)

Por otra parte la investigacin descriptiva centra su atencin en lo referente al diseo

instruccional, es decir, anlisis, diseo, implementacin, evaluacin y costo de proyectos a

distancia, donde un eje principal ha sido el uso de tecnologa y la tecnologa misma. Estos

estudios dejan ver un ciclo de desarrollo instruccional (Fig. 3), capaz de proporcionar una

infraestructura y un proceso de planeacin sistemtica para el desarrollo y adaptacin de

sus programas basados en las necesidades del alumno y los requerimientos del contenido

(Distance Education at a glance)

En la etapa de Diseo se deben determinar las necesidades intruccionales, analizar las

caractersticas personales, culturales y educativas de la audiencia, y establecer las metas y

objetivos del diseo instruccional basados en las necesidades y caractersticas del

estudiante.

En la fase de Desarrollo se plantea un perfil del contenido temtico, una revisin de los

materiales, que no pueden ser una simple transposicin de los usados en la clase presencial,

se organiza y desarrolla el contenido contextualizndolo a las necesidades del alumno y se

seleccionan los materiales y mtodos de instruccin.

Fig. 3 Ciclo de desarrollo Instruccional


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La Evaluacin tiene como finalidad revisar si los materiales y mtodos cumplen con las

metas y objetivos, desarrollar estrategias de evaluacin formativa, cualitativa o cuantitativa

y recolectar y analizar datos de dicha evaluacin.

Por ltimo, como resultado de la evaluacin se hace una Revisin cuyo objetivo es la

reestructuracin del diseo.

Si analizamos cuidadosamente el proceso descrito, este ciclo puede utilizarse para

cualquier prctica educativa en cualquier escenario, sin embargo, es importante que en

cada diseo se resalte lo propio de cada uno. Esto es, para el caso de la educacin a

distancia se deben predecir los fenmenos distintivos de este escenario.

Pero la educacin a distancia no ha sido la misma en todos los tiempos, los avances

tecnolgicos han marcado fuertes cambios en su desarrollo y en su repercusin en el

sistema educativo.

Sin embargo, es importante sealar que tanto la investigacin, terica y descriptiva, como

la prctica en la modalidad a distancia, han centrado su atencin en elementos, tales como

la interaccin y la retroalimentacin, que dejan ver la preocupacin en el estudiante y su

aprendizaje; paradigma que no siempre se utiliz en la investigacin educativa en general.

Lo que con esto tratamos de decir, es que dada la naturaleza de la educacin a distancia,

los mecanismos de investigacin y/o preparacin acadmica pueden diferir de otras

prcticas educativas, por lo que no habra que comparar unas con otras.

Para observar y entender la evolucin que ha tenido la investigacin en educacin a

distancia es necesario conocer su desarrollo histrico, un poco de sus xitos y fracasos, as

como su dependencia de la tecnologa.

Historia

La implementacin de la educacin a distancia en el mundo ha variado dependiendo de las

necesidades culturales y econmicas de cada pas. China por ejemplo, implementa

programas a distancia para ofrecer opciones educativas a su gran poblacin. En Australia y

Nueva Zelanda la educacin a distancia se convirti en la opcin que permita abarcar


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grandes extensiones territoriales y cubrir a las poblaciones dispersas. Incluso, el sistema

educativo a distancia de Australia es actualmente considerado modelo para otras naciones.

En Europa, frica y Asia esta modalidad tiene ms de 100 aos operando. Llamada

tambin Universidad Abierta, comenz en 1971 en el Reino Unido y ms tarde fue

adoptada por otros pases. Estados Unidos, por ejemplo, no fue de los pioneros en la

modalidad, pero su infraestructura econmica le permiti adoptarla rpidamente, desde

mediados de los 70s se ha mantenido a la vanguardia.

Pero su devenir histrico nos muestra que los avances en telecomunicaciones han

cambiado la perspectiva de anlisis de la educacin a distancia. Pensemos cuando en 1700

la educacin a distancia, que reciba el nombre de educacin por correspondencia, tena

como objetivo hacer llegar materiales impresos a sus estudiantes, no haba tecnologa que

hiciera posible una retroalimentacin inmediata entre instructor y estudiante. Para 1900 la

radio y la televisin abren nuevas posibilidades en la educacin a distancia, la transmisin

de material a los estudiantes es ms rpida y puede haber una respuesta de los estudiantes

que refleje cierto nivel de aprendizaje. La Segunda Guerra Mundial detiene un poco el

proceso que llevaba la educacin a distancia, sin embargo, al impartir cursos

instruccionales con fines blicos a travs de estas tecnologas surge la necesidad de crear

programas de investigacin dirigidos a generar y entender teoras que expliquen cmo es

que estos medios afectan la vida del saln de clase.

Hasta ese momento la interaccin entre alumno e instructor era algo que preocupaba a la

gente involucrada en la elaboracin de cursos. Era normal comparar la educacin a

distancia con la educacin convencional (incluso hoy en da se llega a hacer esta

comparacin), as que la bsqueda por igualar la efectividad en ambas modalidades diriga

la atencin a la respuesta de los estudiantes y a la retroalimentacin que propiciaba el

instructor. Esta preocupacin va disminuyendo con las ventajas que ofrece la tecnologa en

microondas a finales de los 60s y principios de los 70s, se da una revolucin en

telecomunicaciones que incrementa la interaccin entre estudiantes e instructores. Sin

embargo, algo que quiz podra preocupar es que la investigacin no ha crecido de la

misma forma que la tecnologa, no va a su acelerado paso, y quiz cuando tengamos claro

los efectos de la tecnologa en la educacin surja de manera natural otro fenmeno


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educativo del cual desconozcamos su naturaleza. Pero algo que hoy es claro es que la

educacin a distancia ya es un fenmeno vivo en nuestro quehacer y por tanto se convierte

en un amplio campo de investigacin en el campo de la matemtica educativa.

Investigacin

El reconocimiento de la Educacin a Distancia como campo cientfico depende en gran

medida de sus trabajos en investigacin. Hasta hoy, la investigacin hecha da muestra de un

trabajo sistemtico que ha distinguido y analizado los elementos invariantes en las diversas

formas u opciones de esta modalidad. Tal es el caso de la Teora de la Distancia

Transaccional de Moore (1990, 1991). Moore evoluciona de una teora de aprendizaje

individual, cuando la educacin por correspondencia, hasta una teora basada en el dilogo,

estructura y autonoma del estudiante como elementos constitutivos de todas las prcticas

de enseanza y aprendizaje a distancia.

Sin embargo, para fortalecer y forjar un futuro promisorio en el campo la de investigacin

es necesario organizar o reorganizar los recursos educativos a fin de construir un sistema

global (Moore, 1993), o dicho en otras palabras, pensar en el sistema de educacin a

distancia como una red de medios de comunicacin, administradores, diseadores,

instructores, estudiantes, contenidos temticos, etc.; establecida sobre una estructura terica

firme y bien fundamentada. Esto podra traducirse en un conjunto interdisciplinario que

trabaje con el fin nico de ofrecer a travs de la educacin a distancia una opcin educativa

factible y ptima.

La educacin a distancia encuentra hoy en los medios tecnolgicos de informacin su

forma mas interactiva de masificacin con los cursos en lnea por ejemplo-, pero quiz lo

mas importante es que se ha convertido en el medio ideal para la publicacin de sus

investigaciones y sus avances, ya que la comunicacin de ideas y resultados constituye una

fase cientfica por dems importante.

Cabe sealar que estos estudios hacen uso de metodologas cualitativas y cuantitativas,

tomando en consideracin variables importantes en el proceso de enseanza y aprendizaje

como lo es la comunicacin en sus distintas formas.


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Teora de la Distancia Transaccional

Esta teora es muy caracterstica de los trabajos de investigacin terica que se han dado

hasta hoy, aquellos que giran en torno a la explicacin de fenmenos novedosos en esta

modalidad, fenmenos que podran darse en cualquier proyecto o rea de estudio. Adems,

quiz por conjuntar elementos importantes en cualquier prctica educativa esta teora es la

mas utilizada como marco terico en los estudios descriptivos de la disciplina.

Al hablar de distancia, la Teora de Distancia Transaccional se refiere a algo ms que una

simple separacin fsica entre instructor y estudiante. Se refiere a una distancia de

percepcin y entendimiento, en parte causada por la separacin fsica. La Teora de la

distancia Transaccional expuesta por Moore (1990, 1991, 1993) habla sobre la transaccin

llamada educacin a distancia que ocurre en un ambiente cuya caracterstica especial es la

separacin fsica entre instructor y estudiante, entendiendo transaccin como la interaccin

entre stos, el ambiente y los consecuentes comportamientos de enseanza y aprendizaje.

Con esta separacin se da un desfase de comunicacin y una brecha psicolgica, un espacio

de malentendidos potenciales entre lo que percibe el profesor y lo que percibe el estudiante.

Este espacio es lo que se define como distancia transaccional. Lo que determina la

cantidad de distancia en un programa es una funcin de dos variables, el dilogo y la

estructura (Moore, 1991).

El dilogo se da gracias a las interacciones que hay entre profesor y estudiante, cuando el

primero da instrucciones y el segundo responde. La direccin del dilogo en una relacin

educativa se da con el objeto de mejorar el entendimiento del estudiante. No se usan las

palabras dilogo e interaccin como sinnimos, el trmino dilogo se usa para describir una

interaccin o serie de interacciones con cualidades positivas, que otras interacciones pueden

no tener. La naturaleza y proporcin del dilogo se determina por la filosofa educativa del

instructor o equipo responsable del diseo del curso, por las personalidades de instructor y

estudiante, por el contenido del curso, por los factores ambientales y lo mas importante por

los medios de comunicacin.


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La estructura se conforma por los elementos en el diseo del curso que son organizados

de tal forma que ste pueda ser proporcionado a travs de diversos medios. La estructura

expresa la rigidez o la flexibilidad de los objetivos educativos del curso, de las estrategias

de enseanza y de los medios de evaluacin. Adems, refleja la capacidad del curso para

responder a necesidades individuales del estudiante. Gran estructura puede no permitir una

cantidad significativa de dilogo. La cantidad de dilogo y la flexibilidad de estructura

varan de programa a programa, ms que de un medio a otro Moore (1990).

El ltimo elemento de esta teora es la autonoma del estudiante, que se refiere a la auto-

direccin del estudio, es decir, a la toma de decisiones respecto de su propio aprendizaje y

la construccin de su propio conocimiento basado en sus experiencias. Carrison y Bayton

(1989) y Bayton (1992) han ampliado este ltimo concepto a control del estudiante,

desarrollando un modelo que lo define en trminos de independencia (la capacidad de

tomar decisiones), competencia o poder- (habilidades y destrezas) y apoyo (tanto material

como humano). Un balance dinmico entre estos tres aspectos, a travs del proceso de

comunicacin bidireccional entre instructor y estudiante, le permitirn a este ltimo

desarrollar y mantener un control sobre su proceso de aprendizaje (Moore, 1990).

De ninguna manera se debe pensar que la distancia garantiza la independencia del

estudiante.

La teora no ha dado evidencia de ser invariante en cualquier contexto (o paradigma) de

educacin a distancia. Esto es, Moore comienza con una teora de aprendizaje

independiente dado el fenmeno de educacin por correspondencia, conforme la tecnologa

muestra grandes avances la teora cambia sus objetivos de estudio tomando como foco

central la interaccin que se da entre el estudiante e instructor y todo lo que influye en esta.

Pero la educacin a distancia se da en medios operativos muy cambiantes, esto es, no es lo

mismo un curso a distancia a travs de una videoconferencia que un curso a travs de la

www, por ejemplo.

Puede ser que la aportacin ms importante de Moore con esta teora sea el hecho de

romper con la idea de la distancia fsica, estableciendo que no es sta la que causa desfases

en el proceso de enseanza y aprendizaje, sino que hoy la distancia es una separacin de


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comunicacin entre los involucrados en cualquier practica educativa, en cualquier

escenario.

Un Elemento Clave: La Interaccin

El profesor, el estudiante, el objeto de conocimiento y los objetivos de enseanza, son los

elementos de cualquier prctica educativa, pero es la interaccin entre ellos la que

determina dicha prctica. La interaccin es entonces el elemento intrnseco de la

efectividad de cualquier ambiente educativo, en la educacin a distancia es el componente

nuclear de toda estrategia instruccional. En un ambiente a distancia se identifican cuatro

tipos de interaccin (Gunawardena, C. N. & McIsaac, M. S. (1996)) Fig. 4-

La interaccin estudiante-profesor provee retroalimentacin, motivacin y dilogo, en la

interaccin estudiantecontenido se obtiene la informacin intelectual del material,

mientras que en la interaccin estudianteestudiante se da un intercambio de ideas e

informacin, y por ltimo, la interaccin estudianteinterfase es el manejo del medio

tecnolgico por parte del estudiante.

El nfasis puesto en la interaccin puede compararse con el nfasis que hoy en da se le da

a la comunicacin en el saln de clase. Sin embargo, el anlisis de las distintas

interacciones que se llevan a cabo en la modalidad educativa a distancia refuerza la idea de

los estudios sistemticos que observan elementos constitutivos de forma aislada.

Pero al hablar de educacin a distancia, no slo la interactividad resalta como elemento

importante, tambin la autonoma del estudiante toma un papel de suma importancia al

Fig. 4 Interacciones en un ambiente de educacin a distancia


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caracterizar esta modalidad. Como ya se mencion en la Teora de la Distancia

Transaccional, el hecho de que exista una distancia entre instructor y alumno no asegura

independencia de este ltimo respecto de su aprendizaje. Esto pudiera pensarse por la falta

de control total sobre las acciones del alumno. Entonces, debe tomarse en cuenta esta

variable para que el diseo sea tal que controle el aprendizaje cuando el alumno se ocupe de

sus actividades.

Sin embargo, el foco de atencin est puesto en la responsabilidad que adquiere el alumno.

Responsabilizarse de su aprendizaje constituye un elemento clave para que el alumno se

desenvuelva exitosamente en los ambientes a distancia. Pero en la literatura se describe esta

responsabilidad como una especie de actitud ante la modalidad, no como una

responsabilidad que provoque el diseo didctico.

La importancia que se le da a la responsabilidad del estudiante ha llevado a diversos

tericos a pensar en investigacin y diseos basados en el paradigma constructivista.

Aunque quiz el obstculo ms grande para este paradigma sea la estructura misma de la

educacin a distancia. Un sistema educativo a distancia bien estructurado requiere de

especialistas en tecnologa, diseadores educativos, expertos en los contenidos escolares,

auxiliares de apoyo para estudiantes y profesores, entre otros. Esta modalidad presupone

una red de recursos humanos y materiales que requieren de mucha interaccin y

retroalimentacin. La actividad provocar que el alumno se adapte a este ambiente y con el

diseo del programa el alumno se responsabilizar de su aprendizaje.

Algo que es claro en este anlisis de los trabajos realizados en la educacin a distancia es el

proceso de evolucin de una disciplina, que conforme identifica elementos propios y

comunes con otras prcticas educativas define una lnea de investigacin que puede formar

un fundamento terico en su quehacer educativo. Es claro que en el camino de la ciencia

siempre habr escepticismo, correcciones, pruebas y nuevos retos. Ante esto solo tenemos

el camino de la investigacin, camino que la educacin a distancia recorre a paso acelerado.

La investigacin, como hasta ahora se ha hecho, no avanza ni avanzar a la velocidad de la

prctica educativa, no es posible que la investigacin, como la prctica, cambie conforme la

tecnologa avanza, simplemente porque la tecnologa est orientada a la innovacin en la

prctica. En nuestro caso, por ejemplo, investigamos sobre resultados de los procesos


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educativos, y estos son afectados por la introduccin de elementos tecnolgicos

innovadores.

De aqu que el presente trabajo de investigacin pretende hacer un anlisis de un momento

en la prctica educativa en un ambiente a distancia. No propiamente una investigacin de la

educacin a distancia, sino un anlisis de los elementos constitutivos de la prctica

educativa, cuyo fin es entrar en el proceso de enseanza y aprendizaje, en un escenario

especfico.

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Captulo II. El Contrato Didctico como variable de anlisis

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En el captulo anterior se esboz la dinmica propia de la Teora de Situaciones Didcticas,

donde se busca que el alumno se adapte a un medio a travs de diversas interacciones a fin

de adquirir cierto conocimiento matemtico. Sin embargo, las interacciones denominadas

de accin, formulacin y validacin no surgen, como sabemos, de forma automtica, sino

por el contrario estn dirigidas por la intencionalidad de los diseos didcticos y por las

intervenciones del profesor. Es decir, el profesor no desaparece de escena al momento que

el estudiante se encuentre en fase de aprendizaje, es ms bien una especie de actor pasivo,

en el sentido de no sacar a la luz, no develar el conocimiento en juego. Su intervencin

tiene el propsito de dirigir la situacin adidctica y responsabilizar al alumno de sus

acciones. Este momento, que se denomina devolucin de la situacin adidctica por parte

del profesor en la teora de situaciones, es crucial en la construccin de significados por

parte del alumno. En este captulo habremos de profundizar, en una primera parte, sobre la

categora de contrato didctico como parte central de la teora de situaciones didcticas.

En una segunda parte caracterizaremos al conocimiento matemtico en juego, elemento del

sistema didctico que analizaremos con cuidado al momento de estudiar el escenario virtual

de enseanza.


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Hemos elegido la nocin de contrato didctico como eje principal del presente trabajo de

investigacin, por lo que dedicamos todo este captulo a dar una caracterizacin detallada

de este concepto, para ello haremos una revisin desde diversas perspectivas tericas o en

diferentes momentos de su evolucin histrica.

Nuestra postura, al pretender describir un escenario educativo diferente al sistema de

enseanza presencial, no habr de detenerse en tecnicismos, pues debe dar razn de los

comportamientos e interacciones que surgen entre los actores principales, permitiendo

conocer al ambiente en el que se desarrollan, pues tenemos la pretencin de intervenir sobre

l, buscar mejorar su funcionamiento con fines de aprendizaje. Es decir, esta postura terica

asume que no existen diseos didcticos universales aplicables a cualquier contenido.

En nuestra opinin, es el contrato didctico la nocin que nos ha permitido analizar el

funcionamiento de la unidad mnima de estudio, o unidad bsica, de la didctica de la

matemtica, es decir, el sistema formado por el tringulo didctico: el saber a ensear, el

alumno y el profesor. En tanto que es una nocin que an no se usa cotidianamente en los

distintos trabajos de la matemtica educativa, nos dimos a la tarea de localizar en la

literatura contempornea como es que se percibe al contrato bajo diversas perspectivas

tericas. De algn modo hemos querido mirar ms de cerca, cmo es que se usa la nocin

de contrato didctico para el anlisis de fenmenos ligados al aprendizaje en matemticas.

El punto de partida es pues, el contrato didctico, y lo haremos siguiendo la perspectiva

clsica, aquella de su creador, Guy Brousseau. Esto nos dio luz de los porques de su

creacin y sobre su importancia en la explicacin de los fenmenos didcticos.

El Contrato Didctico

P R I M E R A P A R T E


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El Contrato Didctico de Guy Brousseau Explicar los conflictos de aprendizaje del alumno en la clase de matemticas puede abrir un

debate social de gran divergencia. Sin embargo, hemos de explicarlo slo a partir de

aquello que se puede controlar, de las actividades, e incluso actitudes, de quienes participan

en la actividad didctica.

Brousseau acu el concepto de contrato didctico para poder explicar un fenmeno

bastante recurrente en las aulas escolares: porque un alumno que sea considerado exitoso en

las dems asignaturas, pueda tener conflictos de aprendizaje exclusivamente en su clase de

matemticas. A pesar de que tal paradoja se presenta frecuentemente, no ha sido fcil

explicar su ocurrencia, de ah que la nocin de contrato vino a ser un instrumento terico

importante para dar cuenta de tales hechos. Este concepto, aunque fcil de definir, se

encuentra inmerso explcita e implcitamente en muchos momentos, y ello dificulta su

localizacin.

Brousseau inicia describiendo el proceso que conlleva la construccin de un concepto

matemtico y de su transposicin al aula, a travs de los papeles que juegan el matemtico,

el profesor y el alumno. El conocimiento matemtico, dice el autor, nace en un contexto

especfico, en un momento como problemtica de un individuo particular. Sin embargo,

para que la comunidad cientfica evale dicho conocimiento debe cumplir condiciones de

universalidad, de ah que el matemtico deba descontextualizar, despersonalizar y

destemporalizar su aportacin a fin de presentarlo como un concepto compartible.

Una vez que dicho conocimiento sea culturalmente aceptado por la comunidad cientfica,

sufrir tambin una serie de cambios a fin de que llegue al mbito didctico (transposicin

didctica), pero su carcter universal permanece invariante. Es el profesor quien se encarga

de recontextualizar, repersonalizar y retemporalizar ese conocimiento a fin de presentarlo

a los alumnos con un significado que permita su aceptacin prctica. Entonces, el papel del

estudiante bajo este esquema, ser el de redescontextualizar, redespersonalizar y

redestemporalizar dicho conocimiento con el objetivo de ser capaz de identificarlo en

cualquier otro momento que la prctica le requiera, es decir, que lo identifique como un

conocimiento culturalmente aceptado y universalmente capaz de actuar independientemente

de las condiciones que le dieron origen.


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Esta descripcin de los papeles que desempean alumno y profesor, en el marco de la teora

dejan ver a la actividad del profesor representada en tres niveles, organizacin, devolucin

e institucionalizacin, y la actividad del alumno en los niveles de accin, formulacin y

validacin (Esquema1).

Ahora bien, como una situacin didctica tiene la intencin de que el alumno adquiera un

conocimiento especfico, y ste est impregnado con una cierta epistemologa y un cierto

significado, entonces para cada conocimiento a ensear existe un diseo didctico con

caractersticas propias en el ciclo de organizacin, devolucin e institucionalizacin y por

lo tanto, se provocan interacciones especficas de accin, formulacin y validacin.

A esta relacin del profesor con el alumno dentro de una situacin didctica, propia de un

conocimiento matemtico especfico, se le llama Contrato Didctico. Aclaremos que este

contrato no tiene clusulas escritas ni sanciones que describan su funcionalidad, slo se le

puede mirar en el momento que se presenta una ruptura del mismo. Pongamos por

ejemplo en caso cuando el alumno responde de forma distinta a como fue previsto por el

diseo y el profesor interviene con una devolucin. As, el contrato evoluciona a medida

que el proceso didctico avanza.

Claramente podemos observar cmo el contrato didctico es la piedra angular de la

actividad didctica, de l depende el funcionamiento y xito de la situacin didctica. Esta

es la razn por la cual lo hemos colocado como elemento esencial en esta investigacin,

cuando pretendemos describir la actividad didctica en un escenario distinto al ulico

presencial.

Organizacin

Devolucin

Institucionalizacin

Accin Formulacin Validacin

Profesor

Alumno

Esquema 1


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Como dijimos anteriormente, esta interpretacin del contrato didctico estuvo centrada en

la perspectiva de Brousseau. Sin embargo, hoy se tienen, desde otras perspectivas tericas,

ampliaciones del concepto que permiten ver las interacciones alumno-profesor-saber con

otros elementos.

El Contrato Didctico, desde la perspectiva de Bruno DAmore En nuestra opinin, DAmore (1999) logra una caracterizacin de la Didctica de la

Matemtica contrastando diversas aportaciones desde distintas posturas tericas, tales como

la cognoscitivista, la semitica, la sistmica, la socio-histrica, entre otras. Uno de sus

anlisis ms profundos gira en torno de la teora de situaciones didcticas, y a propsito de

analizar la naturaleza y desarrollo del sistema didctico hace nfasis en el estudio del

contrato didctico.

No es complicado definir al contrato didctico como el conjunto de clusulas implcitas y

explcitas que regulan los comportamientos del profesor y el alumno con relacin al saber

matemtico a ensear. DAmore muestra, a travs de una serie de ejemplos, la naturaleza

implcita del concepto, y lo clasifica en tres casos:

1. La concepcin escolar: El alumno ajusta su comportamiento con base en aquello

que espera le sea evaluado. Nadie le dice lo que habr de hacer explcitamente, slo

tiene que escribir lo que el profesor le transmite porque el alumno espera que eso le

sea preguntado en alguna evaluacin posterior, sin embargo, a pesar de no ser

explcito, el alumno descifra el mensaje y se comporta en consecuencia.

2. La concepcin de la matemtica: El alumno tiende a responder haciendo uso de

objetos matemticos, aun cuando la pregunta no lo requiera. Aunque no se haga

explcito el uso de objetos matemticos por parte del problema o de su maestro, la

concepcin que el alumno tiene de la materia le hace tratar a la actividad operndola

con nmeros, expresiones matemticas, grficas, entre otros. El cree que la

respuesta habr de ser matemtica.


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3. La concepcin de la modalidad escolar: Aunque el objetivo sea la adquisicin de

un concepto matemtico, el alumno tiene el objetivo de repetir ejercicios de

naturaleza semejante, pues el descubre que la modalidad de clase se conserva a lo

largo del tiempo. Termina por aprender que la modalidad empleada por su maestro,

le indica lo que l habr de hacer.

Estos tres ejemplos no son, desde el punto de vista del autor y del nuestro propio,

especficos del contrato didctico, pues no se relacionan con el conocimiento matemtico a

ensear, pueden clasificarse como una especie de contratos ms amplios, digamos que

contratos sociales. Sin embargo, son ejemplos muy adecuados de cmo la informacin, la

interpretacin y las restricciones del medio rigen los comportamientos del alumno en

situacin de enseanza o en situacin de aprendizaje.

Como todo proceso cientfico, el paso de los aos provoca modificaciones de las nociones

con las que trabaja. El caso del contrato didctico no es excepcin. Se produce mediante

anlisis desde varias perspectivas, extensiones, restricciones, visiones ms completas o

incluso, fusin de ideas, entre otras. Por ejemplo, desde la mirada de la aproximacin

antropolgica, Sarrazy (citada en DAmore, 1999) seala que el contrato didctico es un

acto simblico, por medio del cual el nio deviene en sujeto didctico al seno de una

situacin escolar. Chevallard (citado en DAmore, 1999) por su parte, apunta que hay un

contrato de enseanza que obliga al maestro, un contrato de aprendizaje que obliga al

alumno y que el contrato didctico obliga al saber a establecer la transposicin didctica

que ha de llevarse a cabo. De tal forma que la clusula del contrato organiza las relaciones

que el alumno y el profesor establecen con el saber.

Desde esta perspectiva, debe distinguirse entonces que existen diversos contratos que

afectan la situacin escolar (Chevallard, Y., et al. 1997). En principio est aquel contrato

social donde se presenta el contrato social de enseanza y se conoce la causa del saber a

ensear, el contrato escolar donde se define la actividad, las responsabilidades, actitudes y

los derechos de los participantes del fenmeno escolar, a saber, escuela, profesor y alumno;

el contrato pedaggico donde se establecen las relaciones sociales entre profesor y alumno,

y el contrato didctico, descrito anteriormente. Pero para que exista un contrato didctico es

necesaria la existencia de los contratos pedaggico y escolar.


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Contratos en sitio escolar

En su intento por describir desde la perspectiva antropolgica, al fenmeno que se da en la

situacin de enseanza y aprendizaje del conocimiento matemtico especfico de forma lo

ms amplia posible, se identifica a las variables que se pueden controlar y se propone el

contrato metadidctico, como una interaccin entre el pedaggico y el didctico, definido

como el conjunto de clusulas que gestionan en un campo dado toda adhesin a un

contrato para asegurar la eficacia de un contenido particular.

Desde otra perspectiva terica, el de la Ingeniera Didctica, el contrato didctico es el

medio para lograr la integracin de la accin de la enseanza al anlisis didctico. Es decir,

la ingeniera didctica necesita, en sus fases de anlisis preliminar, diseo y anlisis a

priori, experimentacin y anlisis a posteriori y validacin, la informacin sobre los

comportamientos e interacciones que provee el contrato didctico a travs de sus sucesivas

rupturas.

La aproximacin psicolgica por su parte, se enfoca en las habilidades del alumno para

decodificar la intencin del profesor al anticipar con mayor efectividad sus demandas. Se

han acentuado los procesos de adquisicin de conocimiento inter e intra - individuales

integrando el papel del sujeto en la situacin de interaccin, la naturaleza del objeto en el

cual se basa la interaccin y en contexto de interaccin.

Contrato Escolar

Contrato Pedaggico

Contrato Didctico A

P S

A Alumno

P Profesor

S Saber a ensear


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Segn nuestra opinin, las variantes que asume la nocin de contrato didctico van a

obedecer a la existencia de diferentes paradigmas y, dentro de estos, se guan por el papel

que se le confiera al conocimiento en la relacin alumno profesor. Sin embargo, as como

un saber sufre de una transposicin para ser presentado en sitio escolar, despojndolo de

ideas germinales, contextos, obstculos, entre otras caractersticas, la teora de situaciones

no muestra su camino evolutivo al presentarse a la comunidad acadmica, y es justo ese

camino lo que muestra el verdadero sentido y significado de categoras tales como el

contrato didctico.

El Contrato Didctico, desde la perspectiva de Marie-Jeanne Perrin

Glorian

Perrin Glorian (1994) hace una descripcin evolutiva de la teora de situaciones didcticas

basada en los artculos de investigacin publicados y en notas personales que Guy

Brousseau hizo durante varias dcadas. Esto le permiti ir ms all de lo que la misma

teora puede decir respecto de sus orgenes, adems de dar razn de la creacin de sus

categoras tericas, a travs de su desarrollo histrico.

Segn la autora, se marcan tres etapas de desarrollo, la primera, que describe su nacimiento,

la cual va desde los aos 60s hasta 1978, la segunda, donde se da la difusin y el uso de

sus categoras tericas, se sita entre 1978 y 1989, y la tercera viene de 1993 a la fecha y se

percibe como la integracin de la teora con otras perspectivas tericas.

A travs de una observacin constante de los fenmenos acaecidos en el aula, Brousseau se

propone determinar de manera cientfica cul puede ser la mejor enseanza de las

matemticas para todos los estudiantes de la escuela elemental. Este objetivo pronto se vio

carente de sentido si no tomaba una postura terica que le diera informacin de cmo se

adquieren los conocimientos, para ello toma como primer fundamento epistemolgico la

teora piagetiana, es decir, se ubica en el marco de un modelo de aprendizaje por

adaptacin. Al hablar de un sujeto que modifica un objeto, donde a su vez se modifique a l

mismo por los cambios del objeto, se provoc que Brousseau creara la nocin de milieu

como el medio donde acta el alumno y aprende por adaptacin. Pero este no fue su nico


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fundamento epistemolgico, adems adopta la postura que el conocimiento se construye

con base en los conocimientos antiguos, pero tambin en contra de ellos, es decir, se apoya

en la construccin del conocimiento por oposicin de Bachelard (citado en Pierrin-Glorian,

1994). En este momento, resulta importante la nocin de obstculo epistemolgico pues

trata de las dificultades intrnsecas a los conocimientos.

Cuando Brousseau identifica la falla electiva en la clase de matemticas y cmo el fracaso

matemtico en un momento se supera para producir conocimiento, se da cuenta que el

aprendizaje no slo trata con asuntos mentales, sino que se trata de la decodificacin de

lenguajes, actitudes y comportamientos entre profesor y alumno estudiando un contenido

matemtico especfico. Entonces, para dar una explicacin cientfica de las condiciones

que propician el aprendizaje se estructura la nocin de contrato didctico como aquello que

condiciona la situacin didctica, los significados del problema y los conceptos, y la

negociacin del sentido de las actividades. Sin contrato didctico lo que se tiene es,

solamente una situacin problema.

Ahora bien, el profesor debe tener el control del contrato, en el sentido de reorientar la

situacin en caso de rupturas, es decir, si los conocimientos evolucionan, las relaciones

alumno profesor evolucionan y por lo tanto el contrato evoluciona tambin, y en este

sentido las rupturas se vuelen importantes, de tal forma que lo que interesa no es la

definicin propia de contrato didctico sino su conformacin a lo largo de la situacin

didctica. Pero para que el profesor pueda intervenir desde la organizacin del medio,

provocar la devolucin y establecer la situacin de institucionalizacin debe identificar las

variables de control en la situacin de aprendizaje, lo que llev a Brousseau a crear la

fenomenotcnica como metodologa de investigacin y productora de situaciones de

enseanza, que hoy conocemos como ingeniera didctica.

Situacin Didctica

Situacin

Problema

Contrato Didctico

+


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Si atendemos cuidadosamente a nuestros sealamientos anteriores, concluiramos que la

teora de situaciones fue creando sus categoras tericas a partir de la observacin de los

fenmenos didcticos, hasta lograr modelar aquello que rodea al proceso de enseanza y

aprendizaje de un conocimiento matemtico especfico, slo a partir de aquello que se

puede controlar. Lo que hemos tratado en estos apartados es de caracterizar a la nocin de

contrato didctico con aquello que su definicin no muestra, no deja ver. Por ejemplo, la

naturaleza implcita de sus clusulas, con los ejemplos de DAmore, y la restriccin que

plantea la frase .....en relacin al conocimiento matemtico en juego, considerando la

introduccin de la naturaleza epistemolgica del conocimiento y la creacin de la nocin de

contrato a partir de explicar la falla electiva o exclusiva en la clase de matemticas.

El Contrato didctico desde la aproximacin socioepistemolgica La aproximacin socioepistemolgica a la investigacin en matemtica educativa se ocupa

especficamente del problema que plantea la constitucin del saber matemtico y de su

incorporacin al sistema escolar. Dado que el saber se ha constituido socialmente, en

mbitos no escolares, su introduccin al sistema le obliga a una serie de modificaciones que

afectan directamente su estructura y su funcionamiento; de manera que afectan tambin, las

relaciones que se establecen entre los estudiantes y su profesor. Al momento de introducir

el saber al aula se producen discursos intencionales que facilitan la comunicacin de ideas

matemticas y en consecuencia favorece la formacin de consensos. Estos discursos

reciben el nombre genrico de Discurso Matemtico Escolar (Cantoral, 1999) y son vistos

como el medio para lograr una participacin de la cultura en el mbito didctico.

El grupo de investigacin que trabaja bajo esta aproximacin se ha propuesto el rediseo

del discurso matemtico escolar de forma que enfrente los problemas socioculturales que

rodean a la actividad escolar en el campo de las matemticas. Por ejemplo, la masificacin

de los sistemas de enseanza, la traduccin de obras educativas de una cultura o de una

lengua a otra, los fenmenos de subordinacin metrpoli colonia, las prcticas de

exclusin por gnero, etnia o condicin laboral, son todos asuntos de ndole sociocultural

que habran de ser explicitados por las investigaciones de la aproximacin

socioepistemolgica. De ah, que la nocin misma de contrato didctico, junto con la


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metodologa de la ingeniera didctica en tanto productora de situaciones didcticas, sirve

como herramienta para el rediseo del discurso matemtico escolar. Sin embargo, desde la

aproximacin socioepistemolgica, las nociones matemticas que entran en juego pueden,

incluso, no ser objetos matemticos propiamente aceptados por la comunidad matemtica o

en la currcula oficial, sino nociones que viven en ambientes alternativos como los que

provee la propia ingeniera, la artesana, el comercio, diversas prcticas sociales o cultural e

incluso econmicamente importantes, ya que la matemtica tambin vive y evoluciona

fuera del aula de matemticas. Lo hace en las clases de fsica, qumica, etc, y lo hace en las

prcticas cotidianas de contar y medir por citar un caso. Algunas primeras caracterizaciones

pueden encontrarse en (Cantoral, 1990, Farfn, 1993 y Cordero, 1994) relativas a las

nociones de prediccin, estabilidad, y acumulacin respectivamente. O ms recientemente

respecto de la promediacin, la argumentacin, los recursos argumentantivos ante la lectura

de textos y la resolucin de experiencias, etc. As al trabajar mediante la metodologa de la

ingeniera didctica, se asume como presupuesto terico, el marco de la teora de

situaciones didcticas, sin embargo, no podramos hablar de una situacin de

institucionalizacin si no hay un objeto matemtico en juego en el sentido clsico de la

teora. Con esto se pretende reforzar la idea de la extensin de las aproximaciones tericas

existentes, y desde nuestra perspectiva, en este trabajo pretendemos aadir a las

componentes epistemolgica, cognitiva y didctica, la componente sociocultural, a fin de

rescatar la naturaleza social de la construccin de conocimiento matemtico.

Evidentemente, bajo esta perspectiva el contrato didctico girar entorno al profesor, el

alumno y el conocimiento o nocin matemtica en juego, pero en el sentido de la

socioepistemologa y en ese sentido, se incluyen en el contrato didctico las condiciones

socioculturales que rodean a la construccin o negociacin de conocimiento.

Mediante este trabajo de investigacin estamos extendiendo dichas aportaciones tericas

hacia temas matemticos ms complejos y que pueden ser externos al saln de clase de

matemticas, al menos en la forma que aqu habrn de ser tratados. Del mismo modo,

haremos algunas extensiones al tratar con otros escenarios educativos como el que plantea

la educacin a distancia y la formacin de profesores.


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La primera parte de este captulo mostr algunos aspectos de la naturaleza de la categora

llamada contrato didctico, especficamente aquellas concernientes a develar el porqu sta

es considerada como un conjunto de reglas, implcitas en su mayora, y porqu es especfica

de un conocimiento matemtico.

Como pudimos observar, el contrato didctico existe dentro de una estructura social donde

se presentan los contratos escolar y pedaggico. Estos contratos son parte importante en las

interacciones entre profesor y estudiante, incluso se perciben con mayor facilidad, y como

ya vimos son necesarios para que exista el contrato didctico. Entonces, para describir el

contrato didctico es necesario mirar todo aquello que influye en l, la intencionalidad de

las actividades, el diseo, la epistemologa de los saberes y del profesor3, entre otros.

Ocuparemos esta seccin para describir detalladamente aquello que rodea a nuestro

fenmeno de estudio y que caracteriza a las interacciones entre los actores principales del

sistema didctico.

Las observaciones a las que haremos referencia, fueron tomadas de un Curso Especializado

del posgrado en ciencias destinado a la formacin de profesores, titulado Seminario de

Investigacin en Matemtica Educativa II, SIME II por sus siglas, el cual tuvo una

duracin de cuatro semanas intensivas, y forma parte del Programa En lnea de la

3 En la teora se entiende por epistemologa del profesor aquel funcionamiento implcito o el modelo que ha construido del conocimiento matemtico para resolver los conflictos del contrato didctico.

El saber a ensear

S E G U N D A P A R T E


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Maestra en Ciencias con especialidad en Matemtica Educativa del CICATA4-IPN.

Aunque este programa de posgrado est dirigido a profesores, a partir de este momento

designaremos como alumno al profesor participante cuyo objetivo es cursar el seminario

para construir un problema de investigacin propio, como profesor al diseador del

seminario, quien establece los objetivos y problemas de aprendizaje, y como coordinadores

a quienes lo auxilian.

Este seminario, como parte de un programa de formacin docente, tuvo el objetivo de

profundizar en algunos de los aspectos tericos y metodolgicos, a partir de ejemplos

concretos, necesarios para el desarrollo de las diversas investigaciones en el campo de la

matemtica educativa. Pues se pretenda que el participante, pudiera mirar una

investigacin en curso en una etapa en que ellos y ellas se encuentran en fase de definicin

de sus temas de investigacin.

El proyecto de investigacin que sirvi como eje del seminario fue el que se desarrolla en la

lnea de investigacin Pensamiento y Lenguaje Variacional, del cual se han derivado

importantes investigaciones que hoy tienen producciones innovadoras para el aula de

matemticas (ver Cantoral y Farfn, 2000; Dolores, 1999; Mirn, 2000; Cantoral y Ferrari,

2001)

Pensamiento y Lenguaje Variacional Entendiendo a la matemtica escolar de la educacin superior como conocimientos al

servicio de otros dominios cientficos y de otras prcticas de referencia, de donde desarrolla

su estatus de herramienta y en esa medida adquiere tambin tanto sentido como

significacin (Cantoral y Farfn, 2000). Es ah donde comienza la bsqueda por entender

los procesos de construccin del conocimiento matemtico basados en prcticas

extramatemticas, cuando las nociones y los procedimientos se orientan por el pensamiento

fsico. En esta aproximacin, se encontr que fue la idea de prediccin la que gener una

cantidad considerable de resultados matemticos y que sirvi como base de la actividad

matemtica a partir del siglo XVII. Por esa razn, se requiere entender cules son los

mecanismos funcionales que operan la relacin, considerada dialctica, entre las nociones

4 Centro de Investigacin en Ciencia Aplicada y Tecnologa Avanzada


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de prediccin, propia de las ciencias fsicas y de la ingeniera, y de lo analtico, peculiar de

las matemticas (Cantoral, 2001)

Bajo este principio tuvo origen la lnea de investigacin Pensamiento y Lenguaje

Variacional, ubicada al seno del acercamiento socioepistemolgico, pues permite tratar de

la articulacin entre la investigacin y las prcticas sociales que dan vida a la matemtica

de la variacin y el cambio en los sistemas didcticos.

En esta segunda parte mostraremos a manera resumida los artculos que caracterizan con

ms claridad esta lnea de investigacin (Cantoral, y Farfn, 2000, Cantoral, 2000, Dolores,

2000, y Dolores, 1999, Cantoral y Montiel 2001, Cantoral y Ferrari, 2001) con el objetivo

de que se perciban claramente las problemticas planteadas a los alumnos del seminario en

lnea que vamos a analizar.

El Pensamiento y Lenguaje Variacional, como lnea de investigacin que articula las cuatro

componentes de la construccin social de conocimiento matemtico, precisa de procesos

temporalmente largos si pensamos en los tiempos escolares tradicionales, supone del

dominio de la matemtica bsica y de los procesos del pensamiento asociados, pero exige

simultneamente de diversas rupturas con estilos del pensamiento prevariacional, como el

caso del pensamiento algebraico. Ruptura que no puede sostenerse exclusivamente al seno

de lo educativo con base en un nuevo paradigma de rigor que se induce simplemente de la

construccin de los nmeros reales como base de la aritmetizacin del anlisis, ni tampoco

puede basarse en la idea de la aproximacin; sino que debe ayudar tambin a la

matematizacin de la prediccin de los fenmenos de cambio.

Para acceder al pensamiento y lenguaje variacional se precisa, entre otras cosas del manejo

de un universo de formas grficas extenso y rico en significados por parte del que aprende.

Es decir, el conocimiento superficial de la recta y la parbola no resultan suficientes para

desarrollar las competencias desarrolladas esperadas en los cursos de anlisis (Cantoral y

Farfn, 2000)


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Objetivos institucionales y objetivos de aprendizaje en SIME II Como parte de un Programa de Posgrado, el Seminario de Investigacin en Matemtica

Educativa II tiene objetivos institucionales dentro de la formacin de los alumnos. El

seminario se plantea como un medio adecuado para trabajar a un nivel introductorio, los

posibles vnculos entre la investigacin y la realidad educativa, es decir, a la luz de una

serie de estudios de la lnea del pensamiento y lenguaje variacional, derivar implicaciones

factibles hacia los sistemas de enseanza.

Se delinearon bien los objetivos, y se hicieron del conocimiento de los alumnos utilizando

los medios tecnolgicos a su alcance.

En esta etapa de su formacin, a un ao y medio de haber comenzado el posgrado, los

alumnos deben perfilar su problema de investigacin, a fin de obtener el grado de maestro

en ciencias. La estrategia del profesor fue la de construir un diseo didctico tal que los

hiciera reconstruir el problema de investigacin al que llamaremos Problema de

Investigacin Origen. Por lo que hubo intenciones que no se dejaron ver a los alumnos,

pero se disearon actividades mediante las cuales se esperaba que fuesen los propios

Presentacin

Este seminario tiene el objetivo de profundizar en algunos de los aspectos tericos y metodolgicos, a

partir de ejemplos concretos, necesarios para el de

contrato didáctico

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