contoh soal analisa matriks (portal) kekakuan biasa
DESCRIPTION
POrtal MektekTRANSCRIPT
CONTOH SOAL ANALISA MATRIKS (Deformasi aksial diabaikan)
GAMBAR PORTAL
Data Properties Penampang
Tinggi balok, h = 35 cm
Lebar balok, b = 20 cm
Mutu beton, fc' = 250 kg/cm2
Modulus elastisitas beton, Ec =4700 x sqrt (fc'/10) x 10 Ec = 235000 kg/cm2
Momen inersia balok, Ix = 1/12 x bh3
Ix = 71458.33 cm4
Span (bentang) balok, L1 = 400 cm
Span (bentang) balok, L2 = 300 cm
Span (bentang) balok, L3 = 600 cm
Span (bentang) balok, L4 = 250 cm
Jarak beban, a1 = L1/2 a1 = 200 cm
Jarak beban, a2 = L2/3 a2 = 100 cm
Jarak beban, a3 = L3/3 a3 = 200 cm
Beban-beban yang bekerja
q1 = 9 kg/cm
P = 1500 kg
M1 = 150000 kg.cm
M2 = 125000 kg.cm
Penyusunan matriks-matriks
GAMBAR PORTAL DIKEKANG
BEBAN HILANGKAN, GBRKAN DOF (misalkan DOF positif semua)
h
b
q1 = 9 Kg/cm
L4 = 2.50 m
a1 L1-a1
B A C D
E
P = 1000 Kg
M2 = 125000 kgcm M1 = 150000 kgcm
L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m
a2 L2-a2 a3 L3-a3
L4 = 2.50 m
B A C D
E
D2
L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m
D1
D3
D4
Hal.1 dari 12 Sondra Raharja, ST
GAMBAR 2 . GAMBAR BALOK MENERUS DIKEKANG
BEBAN HILANGKAN, KECUALI BEBAN SELARAS DOF
Susun matrik AD, ---> gaya luar yang selaras DOF
Dari perletakan didapat DOF = 4 Bh --> orde matriks d x 1 = AD4x1
0 0
AD = M1 AD = 150000
0 0
0 0
Selanjutnya menghitung reaksi ujung batang akibat gaya luar dan kekangan
GAMBAR PORTAL DIKEKANG
BEBAN DI MASUKAN, KECUALI YG SELARAS DOF,
YG SELARAS DOF DIHILANGKAN (M1 DI TITIK B TIDAK ADA),
GAMBARKAN REAKSI PERLETAKAN AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)
Catatan : ARL adalah reaksi perletakan semula, akibat beban primer
ADL adalah rekasi perletakan akibat kekangan pada posisi DOF atau
gaya akibat beban terjepit yg selaras dg DOF
L4 = 2.50 m
B A C D
E
M1 = 150000 kgcm
L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m
q1 = 9 Kg/cm
L4 = 2.50 m
a1 L1-a1
B A C D
E
P = 1000 Kg
M2 = 125000 kgcm
L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m
a2 L2-a2 a3 L3-a3
Hal.2 dari 12 Sondra Raharja, ST
Freebody A- B (Bentang 1) :
GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANG
BESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)
ARL1 = 13/32. q2.L3 = 1462.5 kg
ARL2 = 11/192.q2.L32
= 82500 kg.cm
Arp1ka = 3/32. q2.L3 = 337.5 kg
ADL2 = - 5/192. q2.L32
= -37500 kg.cm
Freebody B- C (Bentang 2) :
GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANG
BESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)
Arp2ki = P.(L2-a2)2
.[3.a2 + (L2-a2)] = 1111.111111 kg
L23
ADL2 = P.a2.(L2-a2)2
/ L22
= 66666.66667 kg.cm
ARL4 = P.a22
.[a2 + 3.(L2-a2)] = 388.8888889 kg
L23
ADL3 = - P.a22
.(L2-a2) / L22
= -33333.3333 kg.cm
Freebody C - D (Bentang 3) :
GAMBAR 2 . GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANG
BESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)
ALR4 = 6.M2.a3.(L3-a3) = 277.7777778 kg
L33
ADL3 = M2.(L3 - a3).[2.a3 - (L3 - a3)] = 0 kg.cm
L32
ARL5 = - 6.M2.a3.(L3-a3) = -277.777778 kg
L33
ARL6 = M2.a3.[2.(L3 - a3) - a3] = 41666.66667 kg.cm
L32
B C
P = 1000 Kg
a2= 1 m L2-a2 = 2 m
ADL2 ADL3
Arp2ki ARL4
D C
M2
a3 = 2 m L3-a2=4 m
ADL3 ARL6
ARL4 ARL5
B A
q1 = 9 Kg/cm
L3/2 = 1.5 m L3/2 = 1.5 m
ARL2 ADL2
ARL1 Arp1ka
Hal.3 dari 12 Sondra Raharja, ST
Freebody B - E (Bentang 4) :
GAMBAR 2 . GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANG
BESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)
Karena tidak ada gaya luar disepanjang bentang, maka reaksi perletakan tidak ada kecuali ARL3
sebagai akibat reaksi ujung batang diatasnya (penjumlahan gaya ujung batang di joint)
Arp4ats = 0 = 0 kg
Arp4axial = 0 = 0 kg
ADL2 = 0 = 0 kg.cm
ARL3 = Arp4axial = 0 kg
ADL1 = 0 = 0 kg
ADL4 = 0 = 0 kg.cm
Gabungkan seluruh reaksi ujung batang akibat gaya luar dan kekangan sehingga dapat disusun matriks ADL dan ARL
Pada joint B reaksi gaya ujung batang yg dijumlahkan adalah sbb :
Arp1ka + Arp2ki + Arp4axial = 1448.611 kg
ADL2btg1 + ADL2btg2 + ADL2btg4 = 29166.67 kg.cm
Pada joint C reaksi gaya ujung batang yg dijumlahkan adalah sbb :
ARL4 btg2 + ARL4 btg3 = 666.6667 kg
ADL3 btg2 + ADL3 btg3 = -33333.3 kg.cm
B
E
L4 = 2.5
ARL3
Arp4axial =0
ADL4=0
ADL2=0
ADL1=0
Arp4ats=0
B A
q1 = 9 Kg/cm
L3/2 = 1.5 m L3/2 = 1.5 m
ARL2 ADL2
ARL1 Arp1ka
B C
P = 1000 Kg
a2= 1 m L2-a2 = 2 m
ADL2 ADL3
Arp2ki ARL4
D C
M2
a3 = 2 m L3-a2=4 m
ADL3 ARL6
ARL4 ARL5
B
E
L4 = 2.5
ARL3
Arp1ka Arp2ki
ADL4=0
ADL2=0
ADL1=0
Arp4ats=0
Arp4axial=0
Hal.4 dari 12 Sondra Raharja, ST
Susun matriks ADL dan ARL sbb :
ADL1 ADL1 0
ADL2 = ADL2btg1 + ADL2btg2+ADL2btg4 = 29166.67
ADL = ADL3 ADL3btg2 + ADL3btg3 -33333.3
ADL4 ADL4 0
ARL1 ARL1 1462.5
ARL2 ARL2 82500
ARL = ARL3 = Arp1ka + Arp2ki + Arp4axial = 1448.611
ARL4 ARL4btg2 + ARL4btg3 666.6667
ARL5 ARL5 -277.778
ARL6 ARL6 41666.67
Susun matriks kekakuan [S] dan matriks reaksi perletakan [ARD]
Hitung matriks akibat displacement / perpindahan yaitu matriks kekakuan [S] dan matriks
reaksi perletakan semula akibat displacement [ARD]
Perpindahan 1 ---> yaitu akibat D1
GAMBAR PERPINDAHAN 1 SATUAN (PUT. TRANSLASI) PD TITIK E
UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUAN
GAMBAR SEMUA FREEBODY
GAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBAT
PERPINDAHAN TSB
ARD11=0
L4 = 2.50 m
B A C D
E
L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m
∆ =1
ARD21=
ARD41 ARD51=0
ARD31
ARD61=0
S11
S41
S21
ArdB11
S31=0
EI
L1
ARD11
ARD21 S21
ArdB21
A B EI
L2
ArdB21
S21 S31
ARD41
B C EI
L3
ARD41
S31 ARD61
ARD51
C D
EI
∆ S41
B
ArdB11
S11
S21
E
L4
ARD31
ArdB21axial
Hal.5 dari 12 Sondra Raharja, ST
ARD11 = 0 = 0 kg
ARD21 = 0 = 0 kg.cm
ArdB11 = - 12.Ec.Ix = -12896.8 kg
L43
ArdB21 = ArdB21 Btg 1 + ArdB21 Btg2 + ArdB21 axial btg4 = 0 kg
S21 = S21 Btg1 + S21 Btg 2 + S21 Btg 4 = - 6.Ec.Ix = -1612100 kg.cm
L42
ARD41 = ARD41 Btg2 + ARD41 Btg3 = 0 kg
S31 = S31 Btg2 + S31 Btg3 = 0 kg.cm
ARD51 = 0 = 0 kg
ARD61 = 0 = 0 kg.cm
S11 = 12.Ec.Ix = 12896.8 kg
L43
ARD31 = ArdB21 = 0 kg
S41 = - 6.Ec.Ix = -1612100 kg.cm
L42
Perpindahan 2 ---> yaitu akibat D2
GAMBAR PERINDAHAN 1 SATUAN (PUT. SUDUT/ROTASI) PD TITIK B
UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUAN
ARD12
L4 = 2.50 m
B A C D
E
L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m
ARD22
ARD42 ARD52=
ARD32
ARD62=0
S12 S42
S22
ArdB12
S32
Hal.6 dari 12 Sondra Raharja, ST
GAMBAR SEMUA FREEBODY
GAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBAT
PERPINDAHAN TSB
ARD12 = 6.Ec.Ix = 629726.5625 kg
L12
ARD22 = 2.Ec.Ix = 83963541.67 kg.cm
L1
ArdB12 = 6.Ec.Ix = 1612100 kg
L42
ArdB22 = ArdB22 Btg1 + ArdB22 Btg2 + ArdB22 axial btg4 = -6.Ec.Ix/L12
+ 6.Ec.Ix/L22
+ 0 = 489787.3264 kg
S22 = S22 Btg1 + S22 Btg 2 + S22 Btg 4 = 4.Ec.Ix / L1 + 4.Ec.Ix / L2 + 4.Ec.Ix / L4 = 660513194.4 kg/cm
ARD42 = ARD42 Btg2 + ARD42 Btg3 = -6.Ec.Ix / L22
+ 0 = -1119513.89 kg
S32 = S32 Btg2 + S32 Btg3 = 2.Ec.Ix / L2 + 0 = 111951388.9 kg/cm
ARD52 = 0 = 0 kg
ARD62 = 0 = 0 kg.cm
S12 = - 6.Ec.Ix = -1612100 kg/cm
L42
ARD32 = ArdB22 = 489787.3264 kg
S42 = 2.Ec.Ix = 134341666.7 kg/cm
L4
EI θ = 1
θ = 1
ARD12
ARD22 S22
ArdB22
A B
L1
θ = 1
θ = 1 EI B C
ArdB22
S32
ARD42
S22
L2
EI
ARD42=0
S32=0 ARD62=0
ARD52=0
C D
L3
B
E
L4 = 2.5
ARD32
ArdB22axial
S42
S22
S12
ArdB12
Hal.7 dari 12 Sondra Raharja, ST
Perpindahan 3 ---> yaitu akibat D3
GAMBAR PERINDAHAN 1 SATUAN (PUT. SUDUT/ROTASI) PD TITIK C
UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUAN
GAMBAR SEMUA FREEBODY
GAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBAT
PERPINDAHAN TSB
ARD13 = 0 = 0 kg
ARD23 = 0 = 0 kg.cm
ArdB13 = 0 = 0 kg
ARD13
L4 = 2.50 m
B A C D
E
L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m
ARD23
ARD43
ARD53
ARD33
ARD63
S13 S43
S23
S33 ArdB23
EI θ = 1
θ = 1
ArdB23
S23 S33
ARD43
B C
L2
θ = 1
θ = 1 EI C D
ARD43
ARD63
ARD53
S33
L3
EI
ARD13=0
ARD23=0 S23=0
ArdB23=0
A B
L1
B
E
L4 = 2.5
ARD33
ArdB23axial=0
S43=0
S23=0
S13=0
ArdB13=0
Hal.8 dari 12 Sondra Raharja, ST
ArdB23 = ArdB23 Btg1 + ArdB23 Btg2 + ArdB23 axial btg4 = 0 + 6.Ec.Ix/L22
+ 0 = 1119513.889 kg
S23 = S23 Btg1 + S23 Btg 2 + S23 Btg 4 = 0 + 2.Ec.Ix / L2 + 0 = 111951388.9 kg/cm
ARD43 = ARD43 Btg2 + ARD43 Btg3 = -6.Ec.Ix / L22
+ 6.Ec.Ix / L32
= -839635.417 kg
S33 = S33 Btg2 + S33 Btg3 = 4.Ec.Ix / L2 + 4.Ec.Ix / L3 = 335854166.7 kg/cm
ARD53 = - 6.Ec.Ix / L32
= -279878.472 kg
ARD63 = 2.Ec.Ix / L3 = 55975694.44 kg.cm
S13 = 0 = 0 kg/cm
ARD33 = ArdB23 = 1119513.889 kg
S43 = 0 = 0 kg/cm
Perpindahan 4 ---> yaitu akibat D4
GAMBAR PERINDAHAN 1 SATUAN (PUT. SUDUT/ROTASI) PD TITIK E
UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUAN
ARD14=0
L4 = 2.50 m
B A C D
E
L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m
ARD24=
ARD44= ARD54=0
ARD34
ARD64=0
S14
S44
S24
ArdB14
S34=0
Hal.9 dari 12 Sondra Raharja, ST
GAMBAR SEMUA FREEBODY
GAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBAT
PERPINDAHAN TSB
ARD14 = 0 = 0 kg
ARD24 = 0 = 0 kg.cm
ArdB14 = 0 = 0 kg
ArdB24 = ArdB24 Btg1 + ArdB24 Btg2 + ArdB24 axial btg4 = 0 + 0
+ 0 = 0 kg
S24 = S24 Btg1 + S24 Btg 2 + S24 Btg 4 = 0 + 0 + 2.Ec.Ix / L4 = 134341666.7 kg/cm
ARD44 = ARD44 Btg2 + ARD44 Btg3 = 0 + 0 = 0 kg
S34 = S34 Btg2 + S34 Btg3 = 0 + 0 = 0 kg/cm
ARD54 = 0 = 0 kg
ARD64 = 0 = 0 kg.cm
S14 = - 6.Ec.Ix / L42
= -1612100 kg/cm
ARD34 = ArdB24 = 0 kg
S44 = 4.Ec.Ix / L4 = 268683333.3 kg/cm
EI
L1
ARD14=0
ARD24=0 S24=0
ArdB24=0
A B EI
L2
ArdB24=0
S24=0 S34=0
ARD44=0
B C EI
L3 ARD44=
S34=0 ARD64=0
ARD54=0
C D
EI
S44
B
ArdB14
S14
S24
E
L4
ARD34
ArdB24axial=0
θ = 1
θ = 1
Hal.10 dari 12 Sondra Raharja, ST
Matriks kekakuan sbb :
S11 S12 S13 S14
S21 S22 S23 S24
S d x d
= S31 S32 S33 S34
S41 S42 S43 S44
12896.8 -1612100 0 -1612100
-1612100 660513194 111951388.9 134341666.7
S d x d
= 0 111951389 335854166.7 0
-1612100 134341667 0 268683333.3
Matriks reaksi perletakan (ARD) karena displacement (akibat beban translasi & rotasi 1 satuan) sbb :
ARD11 ARD12 ARD13 ARD14
ARD21 ARD22 ARD23 ARD24
ARDr x d
= ARD31 ARD32 ARD33 ARD34
ARD41 ARD42 ARD43 ARD44
ARD51 ARD52 ARD53 ARD54
ARD61 ARD62 ARD63 ARD64
0 629726.56 0 0
0 83963542 0 0
ARDr x d
= 0 489787.33 1119513.889 0
0 -1119514 -839635.417 0
0 0 -279878.472 0
0 0 55975694.44 0
Mencari Displacement dari DOF
D = S-1
.(AD - ADL)
Invers matriks kekakuan
12896.8 -1612100 0 -1612100
-1612100 660513194 111951388.9 134341666.7
S = 0 111951389 335854166.7 0
-1612100 134341667 0 268683333.3
0.00048645 7.0519E-07 -2.35064E-07 2.56612E-06
7.0519E-07 2.8208E-09 -9.40258E-10 2.82077E-09
S-1
= -2.351E-07 -9.403E-10 3.2909E-09 -9.40258E-10
2.5661E-06 2.8208E-09 -9.40258E-10 1.77082E-08
0.00048645 7.0519E-07 -2.35064E-07 2.56612E-06 0 0
D = 7.0519E-07 2.8208E-09 -9.40258E-10 2.82077E-09 150000 - 29166.66667
-2.351E-07 -9.403E-10 3.2909E-09 -9.40258E-10 0 -33333.33333
2.5661E-06 2.8208E-09 -9.40258E-10 1.77082E-08 0 0
Hal.11 dari 12 Sondra Raharja, ST
0.00048645 7.0519E-07 -2.35064E-07 2.56612E-06 0
D = 7.0519E-07 2.8208E-09 -9.40258E-10 2.82077E-09 120833.33
-2.351E-07 -9.403E-10 3.2909E-09 -9.40258E-10 33333.333
2.5661E-06 2.8208E-09 -9.40258E-10 1.77082E-08 0
0.077375 rad
D = 0.00031 rad
-3.92E-06 rad
0.00031 rad
HITUNG REAKSI PERLETAKAN MATRIKS AR
AR = ARL + ARD.D
1462.5 0 629726.5625 0 0 0.077375375
82500 0 83963541.67 0 0 0.000309502
AR = 1448.61111 + 0 489787.3264 1119513.9 0 X -3.91774E-06
666.666667 0 -1119513.889 -839635.4 0 0.000309502
-277.77778 0 0 -279878.5 0
41666.6667 0 0 55975694 0
1462.5 194.9013158 1657.4013 kg -> AR1
82500 25986.84211 108486.84 kg.cm -> AR2
AR = 1448.61111 + 147.2039474 = 1595.8151 kg -> AR3
666.666667 -343.2017544 323.46491 kg -> AR4
-277.77778 1.096491228 -276.6813 kg -> AR5
41666.6667 -219.2982456 41447.368 kg -> AR6
AR1
AR2
AR3
AR4 AR5
AR6 q1 = 9 Kg/cm
L4 = 2.50 m
B A C D
E
P = 1000 Kg
M2 = 125000 kgcm M1 = 150000 kgcm
a1 L1-a1
L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m
a2 L2-a2 a3 L3-a3
Hal.12 dari 12 Sondra Raharja, ST