continuidad de funciones (teoría)

8/17/2019 Continuidad de Funciones (Teoría)

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CÁLCULO I

FUNCIÓN CONTINUA

Profesor: Tito R. Navarro Guerrero

Función continua

Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x 0.

La discontinuidad de una función puede deberse a:

i) que no esté definida en el punto considerado.ii) que no tenga límite definido en el punto considerado.iii) que el valor de la función en el punto considerado sea diferente del límitecorrespondiente.

Se dice que una función es continua en un intervao cuando es continua entodos los puntos del intervalo.

!"e#$os:

%oución:

Para probar la discontinuidad de la función en xo ! "a# que ver cu$l de las tres

condiciones de continuidad no se cumple. %n este caso es la primera, #a que no

existe el límite de la función cuando x tiende a !. Los límites laterales no

coinciden: ∧

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%oución:

%n este caso existe el límite de la función cuando x tiende a !, # es &. Los doslímites laterales coinciden:

∧

Sin embargo, la función no est$ definida en x 0 !' no existe f (!).

Por tanto, la función es discontinua en x 0 !.

%oución:

%xiste el límite de la función cuando x tiende a *, #a que los dos límites laterales

coinciden: ∧

La función est$ definida para x * # vale +: f (*) +' sin embargo, el valor del

límite de la función cuando x → * no coincide con f (*):

OP!RACION!% CON FUNCION!% CONTINUA%

%u#a

La suma de dos funciones continuas en un punto es también una función continua

en ese punto.

&e#ostración:

plicando una de las propiedades de los límites de funciones,

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Resta

La resta de dos funciones continuas en un punto es también una función continua

en ese punto.

%sta demostración, como las que siguen, se "acen de forma similar a la anterior,

bas$ndose en las propiedades de los límites de funciones.

Pro'ucto

%l producto de dos funciones continuas en un punto es también una función

continua en ese punto.

Pro'ucto 'e una función $or un n(#ero

%l producto de una función continua en un punto, por un n-mero real, es otra

función continua en ese punto.

Cociente

%l cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función continua en

ese punto. (Siempre que el denominador no se anule).

Co#$osición 'e funciones

PROPI!&A& &! LA% FUNCION!% CONTINUA%

Si una función es continua en un punto x 0, entonces es convergente en x 0, es

decir, existe el límite de la función cuando x tiende a x 0.

CONTINUI&A& &! FUNCION!% !L!!NTAL!%

Función constante

La función constante f ( x ) k es continua en todos los puntos.

Función i'enti'a'

La función identidad f ( x ) x es continua en todos los puntos.

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Función $otencia

La función potencial f ( x ) x n

es continua en todos sus puntos, salvo el caso en

que n0 # x 0, #a que en este caso se tendría una función racional con

denominador nulo.

Función $oinó#ica

los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.

Función raciona

en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un

cociente de dos funciones continuas.

Función e*$onencia

La función exponencial f ( x ) ax, con a / 0 # a &, es continua en todos los

puntos.

Función o+ar,t#ica

La función f ( x ) log a x , siendo a / &, es continua en todos los puntos de su

campo de existencia (0, 1∞).

!"e#$os:

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%oución:

La función es continua en todos los puntos salvo en los que se anula el

denominador, #a que en éstos la función no estar$ definida' es decir, en x !. La

función es continua en todos los puntos salvo en x !, en el que es discontinua.

en los intervalos 2!, 0/ # 0, */.

%oución:

La función es continua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se

anula. %l denominador se anula en x 3 * # en x +. %l punto x 3 * est$ en el

intervalo 2!, 0/, luego en este intervalo la función no es continua.

%n cambio, como 3* ∉ 0, */ ∧ + 0, */, entonces en este intervalo la función∉dada si es continua.

CLA%IFICACIÓN &! LO% PUNTO% &! &I%CONTINUI&A&

darse una, al menos, de estas condiciones:

4ependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no

es continua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable # en puntos de

discontinuidad no evitable (o esencial o inevitable).

&iscontinui'a' evita-e

5na función presenta una 'iscontinui'a' evita-e en un punto x 0 cuando,existiendo el límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la

función en el punto (caso c ):

La discontinuidad se puede evitar asignando a la función, en el punto x 0, el valor

de su límite.

el

que "ace la función sea continua en ese punto.

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&iscontinui'a' esencia o inevita-e

5na función presenta una 'iscontinui'a' esencia o inevita-e en un punto x 0

cuando o bien no existe alg-n límite lateral (caso a) o bien los límites lateralesexisten pero son distintos (caso b), en cu#o caso no existe el límite.

!"e#$os:

6eali7ar un estudio de los puntos de discontinuidad de la función

%oución:

La función # x1* es continua en todos los puntos.

La función f es continua en todos los puntos salvo en x&' #a que f(&) &

Si se asigna a f(&) el valor ! que es el valor del límite de la función, se evita la

discontinuidad # la función dada f ( x ) x 1 * se "ar$ continua en todos los puntos.

%l verdadero valor de la función en x & es !.

%oución:

La función # f(x) es continua en todos los puntos salvo en x !.

La discontinuidad es inevitable.

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%oución:

La función es continua en todos los puntos salvo en los que se anule el

denominador x *.

%l límite existe # es 8, por lo tanto la discontinuidad en x 0 * es evitable. %l

verdadero valor de la función en x 0 * es 8. Por lo tanto, asignando a f (*) el valor

8, la función

es continua en todos los puntos.

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