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Aula Teórica 2: Redes de Compensação
Em desenho de sistemas de controle se traça quando temos:
oo M
MG
6030
db 6
Como obtê-lo? Colocando Compensadores
Existem duas formas de compensação:• compensação série - redes de adiantamento - redes de retardo - redes de retardo-adiantamento
• compensação paralelo ou no feedback
Compensação série:
Gc(s): rede de compensação
Compensação na retroalimentação:
Geralmente os compensadores estão formados por resistores, capacitores e amplificadores operacionais
A rede de adiantamento
++
__
Eo(s)Ei(s)
R4
R3
C2
R2
C1
R1
E(s)
1
1
22
22
11
11
sCR
RZ
sCR
RZ
1
1
)(
)(
22
11
1
2
1
2
sCR
sCR
R
R
Z
Z
sE
sE
i
3
4
)(
)(
R
R
sE
sEo
1
1
)(
)(
22
11
31
42
sCR
sCR
RR
RR
sE
sE
i
o
Chamando:
22
11
CRT
CRT
11
22
CR
CR
1
1
)(
)(
22
11
31
42
sCR
sCR
RR
RR
sE
sE
i
o
1
1
)(
)(
Ts
TsK
sE
sEc
i
o
23
14
CR
CRK c
Siempre R1C1 > R2C2 então 1O valor de está limitado pelas características físicas da rede:
07,0min o60max
Diagrama polar de uma rede de adiantamento
mTwm
1
TwTwjwGc
wT
wTKcjwGc
11
222
22
tantan)(
1
1)(
Se você derivar e igualar a zero a expressão da fase encontrará que
frequência a qual a rede oferece o máximo ângulo de adiantamento
Ajuda
2
1
1
)(tan
xdxdx
dx
xd
Se pode demonstrar que:
1
1msen
TwTwjwGc 11 tantan)(
xy
yxyx
1tantantan 111Conhecendo
que:
faça
Twy
Twx
logo
Twmw
1
e chegará a
2
1tan
m
Usando Pitágoras
1
Diagrama de Bode de uma rede de adiantamento
T
1T1
T1
m
20 log
Kc = 1
Observe a atenuaçãoque se produz em baixa frequência por essa causa se desenha fazendo sempre
Se pode demostrar que:
wm é a média geométrica de 1 e 2:
T
TT
m
m
TTm
1
1log
1loglog
logloglog
2221
1121
Substitua log20
1
1)(
222
22
wT
wTjwGc
1
Kc
1
1
TS
TSGc
Tm
1
Sugestão:
em
Concluindo até aqui
Se precisamos acrescentar fase em um valor de frequência para conseguir aumentar a margem de fase e portanto a estabilidade relativa do sistema temosa nossa disposição uma rede de adiantamento que
Produz um adiantamento máximo m
Esse adiantamento se produz à frequênciaT
wm1
A essa frequência produz uma modificação na magnitude log20
Para esse ângulo se cumpre que
1
1msen
Compensação com Rede de Adiantamento.
Ess
Os requerimentos de projecto se associam a:
Comportamento de estado estacionário
Estabilidade relativa
KaKvKp
M
Mg
O que fazer?
2
4
ssK
Gc+
_R(s) C(s)
Considere o sistema:
Requerimentos de projeto:Kv = 20 seg-1
M = 30o ± 3o
VEJAMOS UM EXEMPLO
Passo #1: Determinar o ganho de laço aberto que satisfaz o requerimento de estado estacionário.
10
202
2
4)(lim
0
K
KK
ss
KsssGHK
v
sv
Passo #2: Fazer o Diagrama de Bode e procurar a margem de fase do sistema sem compensar, com a K que satisfaz o requerimento de estado estacionário.
2
410)(1
jjjG
G=tf(40,[1 2 0]); margin(G)
Passo #3: Determina-se a fase máxima que deve contribuir a rede.
oo
screqm MM
125
No exemplo:o
m 1751830
Passo #4: Calcula-se .
55,029,01
29,01
1
11
1
m
m
m
sen
sen
sen
margem de segurança
Passo #5: Determinar a nova frequência de cruzamento de ganho.
Conhecido já o valor de modificação em amplitude que produzirá a rede já fica determinada por esse valor
db6.2
59.255.0log20log20o(db)modificaçã
Em que valor de freqüência a curva de magnitude tem esse valor?
Esta é a nova freqüênciade cruzamento e deve fazer-se coincidir com wm
11,02,055,0
2,018,021,755,0
1
21,71
T
segT
Tm
111.0
12.0)(
s
ssGc
Compensador
Passo #7: Comprovação do M do sistema compensado.
F.T.L.A.c:)2(
40
111.0
12.0
sss
s
Se não se cumprisse, deve retornar-se ao Passo #3 e calcular o m com margem de segurança diferente.
Gc=tf([0.2 1],[0.11 1]);FTLA=G*Gc;margin(FTLA)
Lc1=feedback(G,1);Lc2=feedback(G*Gc,1);step(Lc1,Lc2)
Características da compensação com rede de adiantamento:
1. Aumenta o largura de banda do sistema, o que o faz mas sensível ao ruído e de uma vez aumenta a rapidez de resposta.(tr)
2. Diminui o tempo de estabelecimento.(ts)3. Diminui o pico máximo da resposta temporária.(Mp)
Rede de Retardo
++
__
Eo(s)Ei(s)
R4
R3
C2
R2
C1
R1
E(s)
1
1
22
22
11
11
sCR
RZ
sCR
RZ
1
1
)(
)(
22
11
1
2
1
2
sCR
sCR
R
R
Z
Z
sE
sE
i
3
4
)(
)(
R
R
sE
sEo
1
1
)(
)(
22
11
31
42
sCR
sCR
RR
RR
sE
sE
i
o
Chamando:
22
11
CRT
CRT
1
11
22 CR
CR
1
1
)(
)(
22
11
31
42
sCR
sCR
RR
RR
sE
sE
i
o
1
1
)(
)(
Ts
TsK
sE
sEc
i
o
23
14
CR
CRK c
Suponha que 1KKc
A resposta de freqüência de1
1
Ts
Ts
T1
T1
Observe que se atenua em alta freqüência
Para compensar com a rede de atraso se aproveita a atenuação às altas frequências que introduz a rede, para procurar que se cumpra a Margem de Fase requerida.
Isto é atenuar o gráfico de amplitude para poder compensar o incremento do ganho que se precisa para obter a constante de erro estacionário desejada.
A fase negativa que introduz a rede é indesejável, pelo que haverá que levar em conta seu efeito
Procedimento de projeto da compensação com rede de retardo:
Veremos através de um exemplo
Considere o sistema:
)1(
1
ss
15,0
1
s
)(sG c+
_
Requerimentos: Kv=5 M = 40o ± 3o
Passo #1: Determinar o ganho para satisfazer os requerimentos de estado estacionário.
KKc
sssTs
TsKcsssGHK
ssv
)15,0)(1(
1
1
1*lim)(lim
00
5K
Agora
)15,0)(1(
1
1
1
sssTs
TsK
O ganho K passaráa formar parte do sistema sem compensar
Esta será a rede que terá que procurar
Passo #2: Riscar o Diagrama de Bode de laço aberto do sistema sem compensar com a K que satisfaz o requerimento de estado estacionário. Conseguir nesse diagrama o valor da freqüência a que tem o sistema cruzar o eixo de zero decibeles para obter a margem de fase requerido
wcnreqM 180)((5-12)
wcn 1801040
1301018040 wcn
A fase à freqüência de cruzamento é esta, qual será a freqüência?
)15,0)(1(
5
sssG=tf(5,conv([1 1 0],[0.5 1]));bode(G)
Fazemos o diagrama de bode
Essa é a nova freqüência de cruzamento
Passo #4: Calcular a atenuação que deve sofrer a curva de magnitude para que cruzamento o eixo a essa freqüência
1
1)(
222
22
wT
wTjwGc
Em alta freqüênciaT
w1
que é onde se produz a atenuação
1
)( jwGc
Em db log20)( db
jwGc
Que atenuação produz uma rede de atraso?
Isto
portanto db19log20
91.810 20
19
Para obter o que deseja terá que tomar um valor igual ou maior que este
10
Passo #5: Seleção das freqüências de esquina da rede.
A freqüência do zero da rede escolhe-se uma década por debaixo da nova freqüência de cruzamento.
T1
488.0Wcn 0488.010
1
Wcn
Tw
49.200488.0
1T
Como já se conhece 10
19.204
149.20
1
1)(
S
S
Ts
TssGc
Passo #6: Comprova-se a Margem de fase do sistema compensado.
)15,0)(1(
5
19.204
149.20
sssTs
sFTLA
G=tf(5,conv([1 1 0],[0.5 1]));Gc=tf([20.49 1],[204.9 1]);margin(G*Gc)
Se não cumprisse, retorna-se ao passo #2
Resposta ao degrau do sistema compensado.
Lc2=feedback(G*Gc,1);step(Lc2)
Características da compensacao com rede de retardo
1. A largura de banda do sistema diminue, e a resposta temporal torna-se mas lenta.
2. Actua de forma similar a um Controlador PI.3. Si o sistema apresenta na origem um polo duplo o superior, nao pode
compensar-se com Rede de Retardo.