Contents

1 Introducción 5

2 Transformada Z 7

2.1 Propiedades de la transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 La transformada Z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Método de la división directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Método de expansión en fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Análisis de sistemas de control en tiempo discreto 21

3.1 Muestreo mediante impulsos y retención de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 La función de transferencia pulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.2 Función de transferencia pulso de sistemas en lazo cerrado . . . . . . . . . 25

4 Lugar de las raíces 28

4.0.3 Reglas generales para la construcción de los lugares geométrico de la raíz. 28

5 Diseño de controladores 32

5.1 Análisis en el dominio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1.1 Controlador PI (Proporcional-Integral) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Análisis en el dominio discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3 Equivalente discreto de un controlador continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4 Controladores PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2

5.4.1 Sintonización de controladores PID utilizando los métodos de Ziegler-

Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Modelo en variables de estado 44

7 Sistemas electroneumáticos 45

7.1 Método paso a paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

A 1er regla de Ziegler-Nichols 51

3

Chapter 1

Introducción

Este curso trata del uso de computadoras digitales para el control de procesos. Primero tratare-

mos el análisis de sistemas en lazo abierto para establecer los fundamentos teóricos necesarios

para el diseño de sistemas de control por computadora. El uso de las computadoras digitales

como elementos de control han crecido rápidamente en los pasados 30 años. Las principales

razones de este uso extensivo radican en su alto rendimiento, versatilidad y confiabilidad. Más

aun, gracias a las computadoras, se han podido implementar nuevas aplicaciones que requieren

de cálculos muy complicados, imposibles de realizar por otros medios. Ejemplo de estas apli-

caciones se pueden encontrar en robótica, análisis de señales, optimización de procesos y en el

área del control adaptable.

El tipo de señales sobre las cuales esta basado el curso de control continuo es señales con-

tinuas, esto significa que ellas están definidas sobre un rango continuo de tiempo y pueden

cambiar de valor en cualquier momento. Las señales discretas, por otro lado, están definidas

únicamente en ciertos instantes de tiempo, y pueden cambiar de valor únicamente en esos in-

stantes de tiempo. Muy frecuentemente las señales discretas son el resultado de un proceso

de muestreo de señales continuas. Los instantes de muestreo están, generalmente, igualmente

espaciados por un tiempo denominado periodo de muestreo T . Cuando una señal continua es

muestreada, los valores muestreados resultantes forman una señal en tiempo discreto, o simple-

mente una señal discreta. Gráficamente este fenómeno se representa en la figura 1.

5

Para que una señal pueda ser administrada en una computadora, esta tiene que ser digitalizada

previamente. Para efectuar esta operación se hace uso de los dispositivos electrónicos llama-

dos convertidores AD (Análogo→Digital). También existen dispositivos que convierten señalesdigitales a continuas conocidos como convertidores DA ( Digital→Analógica). Dado que estosdispositivos requieren de un tiempo de conversión, la acción de mandar una señal a una com-

putadora se efectúa con un dispositivo de muestreo y retención junto con un convertidor AD,

(véase la figura 2). Como lo indica la Figura 2, la conversión de la señal consiste en convertir

los valores muestreados x(i) a números binarios, los cuales ya pueden ser suministrados a la

computadora.

6

Chapter 2

Transformada Z

La transformada Z es una herramienta clásica para el análisis y síntesis de sistemas discretos.

El papel de la transformada Z en sistemas en tiempo discreto, es similar al de la transformadade Laplace en sistemas en tiempo continuo y se obtiene aplicando al transformada de Laplace

en señales discretas. Las señales en tiempo discreto surgen si el sistema involucra la operación

de muestreo de señales en tiempo continuo, por lo que la trasnformada Z está relacionada

inherentemente a un proceso de muestreo.

La transformada Z (transformada Z unilateral)de una señal arbitraria es:

X(Z) = z {x(kT )} = z {x(t)} =∞Xk=0

x(kT )z−k (2.1)

= x(0) + x(T )z−1 + x(2T )z−2 + x(3T )z−3 + ...

Ejemplo 1 Obtenga la transformada Z de la función escalón unitario

u(t) =

1 t ≥ 00 t < 0

Note que la señal x(kT ) = 1 ∀k ≥ 0, por lo tanto utilizando la definición de tarnsformada Z

(2.1), se tiene que

z {u(t)} =∞Xk=0

z−k = 1 + z−1 + z−2 + z−3 + .... (2.2)

7

Por otro lado, utilizando un resultado de series

1 + a−1 + a−2 + a−3 + ... =1

1− a−1(2.3)

La expresión (2.2) se puede reescribir como

z {u(t)} =∞Xk=0

z−k = 1 + z−1 + z−2 + z−3 + .... =1

1− z−1

Ejemplo 2 Obtenga la transformada Z de la función exponencial

x(t) =

e−at t ≥ 00 t < 0

De la definición de transformada Z

z {x(t)} =∞Xk=0

e−akT z−k = 1 +¡eaT z

¢−1+¡eaT z

¢−2+¡eaT z

¢−3+ ....

Utilizando nuevamente el resultado (2.3), se tiene que

z {x(t)} = 1

1− (eaT z)−1 =z

z − e−aT

Ejemplo 3 Obtenga la transformada Z de la siguiente expresión

X(s) =1

s (s+ a)

aplicando fracciones parciales

X(s) =c1s+

c2s+ a

donde

c1 = s1

s (s+ a)

¯̄̄̄s=0

=1

a, c1 = (s+ a)

1

s (s+ a)

¯̄̄̄s=−a

=−1a

8

por lo tanto

x(t) = 1a − 1

ae−at

x(kT ) = 1a − 1

ae−akT

X(Z) =1a

zz−1 − 1

az

z−e−aT

2.1 Propiedades de la transformada ZEl uso de la transformada Z se puede facilitar sustancialmente al utilizar algunas de las

propiedades de la transformada Z, las cuales se pueden obtener directamente de la definición.En las siguientes propiedades listadas a continuación, se asume que

Fi(z) = z {fi(t)} = z {fi(kT )}

Propiedad de la linealidad

Una función f(x) es lineal si f (αx1 + βx2) = αf (x1) + βf (x2). Aplicando este resultado a la

definición de la transformada Z, se obtiene inmediatamente que

Z {αf1(kT ) + βf2(kT )} =∞Xk=0

[αf1(kT ) + βf2(kT )] z−k

= αZ {f1(kT )}+ βZ {f2(kT )}= αF1(z) + βF2(z)

Entonces, la transformada Z es una función lineal. La propiedad de la linealidad hace posible

que se pueda aplicar la técnica de fracciones parciales.

Teorema de la traslación real

Z {f(t− nT )} = z−nF (z) (2.4)

y

Z {f(t+ nT )} = zn

"F (z)−

n−1Xk=0

f(kT )z−k#

(2.5)

9

A partir de esta última expresión se tiene que

Z {f(t+ T )} = z [F (z)− f(0)] = zF (z)− zf(0)

Z {f(t+ 2T )} = z2£F (z)− f(0)− f(T )z−1

¤= z2F (z)− z2f(0)− zf(T )

Z {f(t+ 3T )} = z3£F (z)− f(0)− f(T )z−1 − f(2T )z−2

¤= z3F (z)− z3f(0)− z2f(T )− zf(2T )

Esta propiedad es una herramienta indispensable en la solución de ecuaciones en diferencias.

De las propiedades anteriores note que la multiplicación de F (z) por z tiene el efecto de avanzar

la señal f(kT ) un período de muestreo y que la multiplicación de F (z) por z−1 tiene el efecto

de retrasar la señal f(kT ) un período de muestreo.

Ejemplo 4 Determine la transformada Z de la siguiente función

Figure 2-1: Escalon desplazado en el tiempo

Solución 5 La función que describe la gráfica anterior es

f(t) = u(t− T )

Aplicando la propiedad de la traslación real (2.4)

Z {u(t− T )} = z−1z

z − 1 =1

z − 1

Ejemplo 6 Determine la transformada Z de la siguiente función

Ejemplo 7 Determine la transformada Z de la siguiente función

10

Figure 2-2:

Figure 2-3:

Teorema de la tralación compleja

Si F (z) es la transformada Z de f(t), entonces,

Z ©e−atf(t)ª = F (zeaT )

la transformada. Esto se conoce como el teorema de la traslación compleja

Ejemplo 8 Determine la transforma Z de g(t) = te−t

Solución 9 Note que f(t) = t, a partir de tablas, se tiene que

F (z) =Tz−1

(1− z−1)2

por lo que

G(z) =T¡zeT

¢−1³1− (zeT )−1

´2 = T¡z−1e−T

¢(1− z−1e−T )2

=Tze−T

(z2 − e−T )2

11

Teorema del valor inicial

Si X(z) = z {x(t)} = z {x(k)} y si el limz→∞X(z) existe, entonce el valor inicial x(0) de x(t) o de

x(k) está dado por

x(0) = limz→∞X(z) (2.6)

Para probar este teorema, note que

X(z) =∞Xk=0

x(k)z−k = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + ....

al tomar el límite cuando z tiende a infinito

limz→∞X(z) = x(0) +

x(1)

z+

x(2)

z2+ .... = x(0)

Ejemplo 10 Determine el valor inicial x(0) si X(z) está dada por

X(z) =1− z−1 + Tz−1

(1− z−1)2

Solución 11

limz→∞X(z) = lim

z→∞1− 1

z + T 1z¡

1− 1z

¢2 = 1

X(z) es la transformada z de x(t) = 1 + t, por lo que x(0) = 1

Teorema del valor final

Si X(z) = z {x(k)}, donde x(k) = 0 para k < 0 y que X(z) es estable, es decir, x(k) permanesca

finita (k = 0, 1, 2, ...). Entonces el valor final de x(k) puede darse mediante

limk→∞

x(k) = limz→1

£¡1− z−1

¢X(z)

¤(2.7)

Ejemplo 12 Determine el valor final x(∞) de

X(z) =1

1− z−1− 1

1− e−aT z−1, a > 0

12

mediante el uso del teorema del valor final

Solución 13

x(∞) = limz→1

·¡1− z−1

¢ −e−aT z−1 + z−1

(1− z−1) (1− e−aT z−1)

¸= 1

Note que X(z) es la transformada z de x(t) = 1− e−at, por lo tanto x(∞) = 1

2.2 La transformada Z inversa

Como ya se menciono al inicio de este capítulo, la transformada Z en sistemas de control en

tiempo discreto juega el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control

continuo, por lo que es necesario, al igual que en Laplace, obtener la transformada Z inversa

para que esta transformada sea útil.

La notación para la transformada Z inversa es Z−1. La transformada Z−1 de X(z) da como

resultado la correspondiente secuencia en el tiempo x(k). Note que a partir de la transfor-

mada Z−1 sólo se obtiene la secuencia de tiempo en los instantes de muestreo, por lo que la

transformada Z−1 de X(z) da una única x(k) pero no da una única x(t), es decir, se obtiene

una secuencia de tiempo que especifica los valores de x(t) solamente en los valores discretos de

tiempo, t = 0, T, 2T, ..., y no dice nada acerca de los valores de x(t) en todos los otros tiempos.

Esto es, muchas funciones del tiempo x(t) diferentes pueden tener la misma x(kT ).

Existen diversos métodos para obtener la transformada Z−1 que no implican el uso de tablas:

1. Método de la división directa

2. Método de expansión en fracciones parciales

3. Método de la integral de inversión

4. Método computacional

Polos y ceros en el plano Z

La ubicación de los polos y ceros de X(z) determina las características de x(k), la secuencia de

valores o números. Para encontrar los polos y los ceros de X(z), es conveniente expresar X(z)

13

como un cociente de polinomios en z. Por ejemplo, ¿cuántos polos y ceros tiene la siguiente

función X(z)

X(z) =

¡1 + z−1

¢z−2

(1 + 0.2z−1) (1 + 0.5z−1)

al reescribirla en potencias positivas

X(z) =

¡1 + 1

z

¢1z2¡

1 + 0.2z

¢ ¡1 + 0.5

z

¢ = z+1z

1z2

z+0.2z

z+0.5z

=z + 1

z(z + 0.2)(z + 0.5)

por lo que X(z) tiene polos ubicados en z = 0, z = −0.2 y z = −0.5 y tiene un cero, ubicadoen z = −1.

2.2.1 Método de la división directa

En el método de la división directa, la transformada z inversa se obtiene mediante la expansión

de X(z) en una serie infinita de potencias de z−1. Este método es útil cuando es díficil obtener

una expresión en forma cerrada o se desea encontrar sólo algunos de los primeros términos de

la secuencia x(k).

El método de la división directa proviene del hecho de que si X(z) está expandida en una

serie de potencias de z−1, esto es, si

X(z) =∞Xk=0

x(kT )z−k

= x(0) + x(T )z−1 + x(2T )z−2 + x(3T )z−3 + ....

entonces, x(kT ) es el coeficiente del término z−k. Por lo tanto, los valores de x(kT ) para

k = 0, 1, 2, ... ,se pueden determinar por inspección.

Ejemplo 14 Encuentre x(k) para k = 0, 1, 2, 3, 4 cuando X(z) está dada por

X(z) =z + 1

(z + 0.2)(z + 0.5)

Solución 15 Primero, X(z) se reescribe como un cociente de polinomios en z−1

X(z) =1 + z−1

(1 + 0.2z−1) (1 + 0.5z−1)

14

y realizando una división algebraica

z−1 + z−2

1 + 0.7z−1 + 0.1z−2= z−1 + 0.3z−2 − 0.31z−3 + 0.187z−4 + ...

por inspección se obtiene la solución para x(k), con k = 0, 1, 2, 3, 4, es decir,

x(0) = 0

x(1) = 1

x(2) = 0.3

x(3) = −031x(4) = 0.187

...

Ejemplo 16 Encuentre x(k) para k = 0, 1, 2, 3, 4 cuando X(z) está dada por

X(z) =1

z − 1

2.2.2 Método de expansión en fracciones parciales

El método de expansión en fraciones parciales que se presenta aquí es idéntico al método de

expansión en fracciones parciales que se utiliza en la Transformada de Laplace. Para encontrar

la transformada Z inversa de X(z) por fracciones parciales, primero se factoriza el polinomio

denominador de X(z) y se encuentran los polos

X(z) =N(z)

D(z)=

b0zm + b1z

m−1 + ...+ bm−1z + bm(z + p1)(z + p2)...(z + pn)

luego se expande X(z) en fracciones parciales de manera que cada uno de lo términos sea

identificado facílmente utilizando las tablas de transformada Z. Si X(z) tiene uno o más ceros

en el origen (z = 0), entonces X(z)z se debe expandir en lugar de X(z).

15

Polos diferentes

Considérese que todos los polos son diferentes y que hay por lo menos un cero en el origen,

entonces se aplicará fracciones parciales a X(z)z y se expandirá de la forma

X(z)

z=

a1z + p1

+a2

z + p2+ ...+

anz + pn

donde las ai son constantes y se denominan residuos de la raíz z = −pi. La fórmula para obtenerel residuo es

ai =

·(z + pi)

X(z)

z

¸z=−pi

Ejemplo 17 Determine la transformada Z inversa de

X(z) =z

(z − 1) (z − 0.1)

Solución 18 (a) Note que existe un cero en el origen, por lo que se expande en fracciones

parciales X(z)z , es decir

X(z)

z=

1

(z − 1) (z − 0.1) =a

z − 1 +b

z − 0.1

donde

a =1

(z − 1) (z − 0.1) (z − 1)¯̄̄̄z=1

= 1.1

b =1

(z − 1) (z − 0.1) (z − 0.1)¯̄̄̄z=0.1

= −1.1

por lo tanto

X(z) = 1.1z

z − 1 − 1.1z

z − 0.1 = 1.11

1− z−1− 1.1 1

1− 0.1z−1

x(k) = 1.1 (1)k − 1.1 (0.1)k

¿Qué sucedería si no se "guarda" el cero en el origen?

Solución 19 (b)

X(z) =z

(z − 1) (z − 0.1) =a

z − 1 +b

z − 0.1

16

donde

a =z

(z − 1) (z − 0.1) (z − 1)¯̄̄̄z=1

= 1.1

b =z

(z − 1) (z − 0.1) (z − 0.1)¯̄̄̄z=0.1

= −0.11

sustituyendo los valores de los residuos

X(z) = 1.11

z − 1 − 0.111

z − 0.1 = 1.1z−1

1− z−1− 0.11 z−1

1− 0.1z−1

por lo tanto

x(k) = 1.1 (1)k−1 − 0.11 (0.1)k−1

Note que al parecer las dos soluciones son distintas, ¿será cierto?, ¿Por qué la diferencia

entre las dos soluciones? Verique si en realidad son diferentes.

Ejemplo 20 Determine la transforma z inversa de

X(z) =1

z2 (z − 1)

Reeescribiendo en potencias negativas

X(z) =z−3

1− z−1

Note que sí F (z) = 11−z−1 , entonces f(k) = u(k) = (1)k. Utilizando el teorema de la traslación

real

Z {x(t− nT )} = z−nX(z)

se tiene que

Z−1 ©z−3F (z)ª = Z−1½z−3 1

1− z−1

¾= u(k − 3) = (1)k−3

17

Polos múltiples

Sea X(z) escrita en forma factorizada

X(z) =N(z)

D(z)=

N(z)

(z + p1)r(z + pr+1) + ...+ (z + pn)

es decir, existen r raíces múltiples y n− r raíces diferentes. la expansión de X(z) en fracciones

parciales es

X(z) =br

(z + p1)r+

br−1(z + p1)r−1

+ ...+b1

z + p1+

ar+1z + pr+1

+an

z + pn

donde br, br−1, b1 están dados por

br =h(z + p1)

r N(z)D(z)

iz=−p1

br−1 =n

ddz

h(z + p1)

r N(z)D(z)

ioz=−p1

...

br−j =n1j!

dj

dzj

h(z + p1)

r N(z)D(z)

ioz=−p1

Ejemplo 21 Determine la transformada Z inversa de

X(z) =z

(z − 1)2 (z − 2)

X(z)

z=

1

(z − 1)2 (z − 2) =a

z − 2 +b2

(z − 1)2 +b1

z − 1donde

a = 1(z−1)2(z−2) (z − 2)

¯̄̄z=2

= 1

b2 =1

(z−1)2(z−2) (z − 1)2¯̄̄z=1

= −1b1 =

ddz

1(z−1)2(z−2) (z − 1)

2¯̄̄z=1

= ddz

1(z−2)

¯̄̄z=1

= − 1(z−2)2

¯̄̄z=1

= −1

Por lo tanto

X(z) =z

z − 2 −z

(z − 1)2 −z

z − 1 =1

1− 2z−1 −z−1

(1− z−1)2− 1

1− z−1

18

x(k) = (2)k − k (1)k−1 − (1)k

Polos complejos y conjugados

Esta metodología es ilustrada por medio de una serie de ejemplos.

Ejemplo 22 Determine la transformada z inversa de

X(z) =z2

z2 − z + 1

Note que las raíces son complejas y conjugadas. Reescribiendo la expresión anterior en potencias

negativas

X(z) =1

1− z−1 + z−2

y utilizando la tabla de transformada z, se identifica que

2 cos(ωT ) = 1→ cos(ωT ) =1

2→ ωT = cos−1 (ωT )

Por lo tanto

X(z) =1− 1

2z−1 + 1

2z−1

1− z−1 + z−2

=1− 1

2z−1

1− z−1 + z−2+

1

2 sin (ωT )

sin (ωT ) z−1

1− z−1 + z−2

x(k) = cos(ωkT ) +1

2 sin (ωT )sin (ωkT )

Ejemplo 23 Determine la transformada z inversa de

X(z) =z2

2z2 − z + 1

19

X(s) x(t) x(kT ) o x(k) X(z)

ωs2+ω2

sin (ωt) sin (ωkT ) z−1 sinωT1−2z−1 cosωT+z−2

ss2+ω2

cos (ωt) cos (ωkT ) 1−z−1 cosωT1−2z−1 cosωT+z−2

ω(s+α)2+ω2

e−αt sin (ωt) e−αkT sin (ωkT ) e−αT z−1 sinωT1−2e−αT z−1 cosωT+e−2αT z−2

s+α(s+α)2+ω2

e−αt cos (ωt) e−αkT cos (ωkT ) 1−e−αT z−1 cosωT1−2e−αT z−1 cosωT+e−2αT z−2

Tabla de Transformada Z

Ejercicio 24 Determine la transformada z inversa de las siguientes funciones

X(z) =

¡1− e−aT

¢z

(z − 1) (z − e−aT )

X(z) =

¡1− e−aT

¢z

(z − 1)2 (z − e−aT )

X(z) =z2 + z + 2

(z − 1) (z2 − z + 1)

2.3 Ecuaciones en diferencias

Un sistema en tiempo discreto, lineal e invariante en el tiempo es caracterizado por la ecuación

x(k) + a1x(k − 1) + ...+ anx(k − n) = b0u(k) + b1u(k − 1) + ...+ bmu(k −m)

donde u(k) y x(k) son la entrada y la salida del sistema respectivamente, en la k-ésima

iteración. El problema es obtener una expresión para x(k). Definase

X(z) = z {x(kT )} = z {x(k)}

entonces, aplicando el teorema de la translación real se obtienen la Transformada Z de cada

uno de los términos que conforman la ecuación en diferencias. Posteriomente, se despeja la

variable dependiente X(z) y se aplica la transformada Z−1 para obtener la secuencia x(k)

Ejemplo 25 [1] Obtenga la solución de la siguiente ecuación en diferencias en términos de

20

x(0) y x(1)

x(k + 2) + (a+ b)x(k + 1) + abx(k) = 0

donde a y b son constantes y k = 0, 1, 2, ...

Ejemplo 26 [1]Resuelva la siguiente ecuación en diferencias

2x(k)− 2x(k − 1) + x(k − 2) = u(k)

donde x(k) = 0 para k < 0 y

u(k) =

1, k = 0, 1, 2, ...

0, k < 0

21

Chapter 3

Análisis de sistemas de control en

tiempo discreto

3.1 Muestreo mediante impulsos y retención de datos

Considérese un muestreador ficticio cuya salida se considera como un tren de impulsos que

comienza en t = 0, con el período de muestreo igual a T y la magnitud de cada impulso igual al

valor muestreado de la señal en tiempo continuo en el instante de muestreo correspondiente (ver

figura 3-1). La señal muestreada x∗(t), se puede representar mediante una sumatoria infinita1

x∗(t) =∞Xk=0

x(kT )δ(t− kT )

= x(0)δ(t) + x(T )δ(t− T ) + ...+ x(kT )δ(t− kT ) + ... (3.1)

1A lo largo de estas notas, se supone que la operación de muestreo es uniforme; esto es, sólo existe un períodode muestreo en el sistema el cual es constante. Si un sistema de control en tiempo discreto incluye dos o másmuestreadores en el sistema, se supone que los muestreadores están sincronizados y tienen la misma frecuenciade muestreo.

22

La transformada de Laplace de la ecuación (3.1)

X∗(s) = L [x∗(t)] = x(0)L [δ(t)] + x(T )L [δ(t− T )] + x(2T )L [δ(t− 2T )] + ...

= x(0) + x(T )e−Ts + x(2T )e−2Ts + ...

=∞Xk=0

x(kT )e−kTs

Figure 3-1: Muestreador mediante impulsos

Si se define

z = eTs

o

s =1

Tln z

entonces

X∗(s)|s= 1Tln z = X(z) (3.2)

La transformada de Laplace de la señal muestreada mediante impulsos x∗(t) es la transformada

Z de la señal x(t) si eTs se define como z, es decir z = eTs.

3.1.1 Retenedor de orden cero

En un muestreador ideal, un interruptor se cierra cada período de muestreo T para admitir una

señal de entrada. Un muestreador convierte una señal de tiempo continuo en un tren de pulsos

que se presenta en los instantes de muestreo t = 0, T, 2T, ...

23

La retención de datos es un proceso de generación de una señal de tiempo continuo h(t) a

partir de una secuencia en tiempo discreto x(kT ). Un circuito de retención convierte la señal

muestreada en una señal de tiempo continuo, que reproduce aproximadamente la señal aplicada

al muestreador. El circuito de retención más simple es el Retenedor de Orden Cero (ROC), este

Figure 3-2:

circuito retiene la amplitud de la muestra en un instante de muestreo al siguiente. La función

de transferencia del ROC, GROC(s) es

GROC(s) =1− e−Ts

s(3.3)

3.1.2 La función de transferencia pulso.

La función de transferencia relaciona las transformada de Laplace de la señal de salida con la

correspondiente entrada del sistema, mientras que la función de transferencia pulso relaciona

las transformadas Z de salida en los instantes de muestreo con la correspondiente entrada

muestreada.

Considere la respuesta de un sistema continuo excitado por una señal muestreada como se

muestra en la figura 3-3. La señal muestreada mediante impulsos x∗(t) es la entrada al sistema

cuya función de transferencia es G(s). Se supone que la salida del sistema es una señal en

24

Figure 3-3: Sistema en tiempo continuo G(s) excitado con una señal muestreada medianteimpulsos

tiempo continuo y(t)1. Entonces la salida Y (s) es

Y (s) = G(s)X∗(s)

Considere que en la salida hay otro muestreador, sincronizado en fase con el muestreador de la

entrada, y ambos operan con el mismo período de muestreo, entonces la salida es

Y ∗(s) = [G(s)X∗(s)]∗ = G∗(s)X∗(s)

De este modo, utilizando la relación (3.2) se obtiene

Y (z) = G(z)X(z)

Ejemplo 27 Considere los sistemas que se muestran en la figura 3-4. Donde G1(s) =1s ,

G2(s) =1

s+1 . Obtenga la función de transferencia pulsoY (z)X(z) para cada uno de estos sistemas

Cálculo de la transformada Zque involucran un retenedor de orden cero (ROC)

Suponga que la función de transferencia G(s) sigue de un ROC. Entonces el producto de la

función de transferencia del ROC y de G(s) se convierte en

X(s) =1− e−Ts

sG(s) (3.4)

1Se supone que x(t) < 0 e y(t) < 0 para t < 0.

25

Figure 3-4: Sistemas muestreados

Note que (3.4) se puede escribir como

X(s) =¡1− e−Ts

¢ G(s)s

=¡1− e−Ts

¢G1(s) = G1(s)− e−TsG1(s) (3.5)

la transformada Z de (3.5) es dada por

X(z) = G1(z)− z−1G1(z) =¡1− z−1

¢G1(z)

Por lo tanto, para obtener la transformada Z de X(s), el término 1 − e−Ts = 1 − z−1 y

únicamente hay que obtener la transformada ZnG(s)s

oEjemplo 28 Obtenga la transformada Z de

G(s) =1− e−Ts

s

1

s

Solución 29

G(z) =¡1− z−1

¢Z

½1

s2

¾=¡1− z−1

¢ Tz−1

(1− z−1)2=

Tz−1

1− z−1=

T

z − 1

26

3.1.3 Función de transferencia pulso de sistemas en lazo cerrado

Para determinar la función de transferencia pulso del sistema de control en lazo cerrado que se

muestra en la figura (3-5), considere el siguiente algoritmo:

Figure 3-5: Sistema de control en lazo cerrado

Figure 3-6: Grafo del sistema en lazo cerrado

1. Denomine la entrada de los muestreadores como E(s) y la salida de los muestreadores

como E∗(s)

2. Trace el grafo del sistema (véase la figura 3-6)

3. Escriba las salidas del grafo en función de las entradas del grafo (se considera que las

entradas del grafo son las entradas del sistema y las salidas de los muestreadores y que

las salidas del grafo son las salidas del sistema y las entradas al muestreador). En este

caso, las ecuaciones quedan de la siguiente forma

Y ∗(s) = G1(s)G2(s)E∗(s)

E(s) = R(s)−G1(s)G2(s)E∗(s)

(3.6)

27

4. Muestree las ecuaciones obtenidas en el paso anterior

Y ∗(s) = G1G2∗(s)E∗(s)

E∗(s) = R∗(s)−G1G2∗(s)E∗(s)

(3.7)

5. Resuelva las ecuaciones por el método más conveniente:

(a) Masson

Figure 3-7: Grafo de lazo cerrado muestreado

Y ∗(s)R∗(s)

=G1G2

∗(s)

1 +G1G2∗(s)

Y (z)

R(z)=

G1G2(z)

1 +G1G2(z)

(b) Sustitución

E∗(s) = R∗(s)−G1G2∗(s)E∗(s)

E∗(s) = R∗(s)1+G1G2

∗(s)

Y ∗(s) = G1G2∗(s)E∗(s) = G1G2

∗(s)

1+G1G2∗(s)R∗(s)

por lo tantoY (z)

R(z)=

G1G2(z)

1 +G1G2(z)

Ejercicio 30 Obtenga la función de transferencia pulso de lazo cerrado del siguiente diagrama

a bloques

28

Figure 3-8: Diagrama a bloques discreto

29

Chapter 4

Diseño de controladores digitales

4.1 Correspondencia entre el plano s y el plano z

En el plano complejo s, la ubicación de los polos y los ceros nos permitian predecir el compor-

tamiento dinámico el sistema, de aquí la importancia de estudiar la relación entre los requisitos

de diseño (por ejemplo tiempo de establecimiento ts, máximo sobreimpulso Mp) con la ubi-

cación de los polos en el plano s. De igual manera, en los sistemas discretos es muy importante

la ubicación de los polos y los ceros en el plano z. A continuación determinaremos la relación

existente entre el plano s y el plano z.

En un proceso donde se encuentre involucrado un muestreo por impulsos, las variables

complejas s y z se encuentran relacionadas por

z = eTs

dado que la variable compleja s está formada por una parte real σ y una parte imaginaria ω,

es decir

s = σ + jω

sse tiene que

z = eT (σ+jω) = eTσejωT

Si se considera un punto representativo en el eje jω en el plano s, y conforme este punto se

30

Figure 4-1: Plano S−Plano Z

mueve desde −j ωs2 hasta j ωs2 siendo ωs la frecuencia de muestreo, tenemos que |z| = 1 y ]z

varía de −π a π en dirección contraria a las manecillas del reloj en el plano z. Conforme

el punto representativo se mueve desde j ωs2 hasta j 3ωs2 , el punto correspondiente en el plano

z traza un c´riculo unitario en dirección contraria a las menecillas del reloj. Por lo tanto,

conforme el punto se mueve en el eje jω del plano s dibujaremos un círculo unitario en el plano

z un número infinito de veces.

Tiempo de establecimiento ts

El tiempo de establecimiento queda determinado por el valor de atenuación σ de los polos

dominantes en lazo cerrado. Si se especifica el tiempo de establecimiento, se puede dibujar una

línea σ = −σ1 corresponde en el plano z a la parte interior de un círculo de radio e−σ1T

31

Lugar geométrico de frecuencias constantes

Un lugar geométrico de frecuencia constante ω = ω1 en el plano s corresponde en el plano z a

una línea radial de ángulo constante Tω1 (en radianes)

Figure 4-2:

Lugar geométrico de amortiguamiento constante

Una línea de factor de amortiguamiento constante (una línea radial) en el plano s cofrresponde

a una espiral en el plano z

s = −ξωn + jωn

q1− ξ2 = −ξωn + jωd

z = eTs = eT (−ξωn+jωd)

Por lo tanto

|z| = exp (−ξωnT ) = expÃ−2πξωn

p1− ξ2

ωsp1− ξ2

!= exp

Ã− 2πξωd

ωsp1− ξ2

!

y

]z = ωdT =2πωdωs

Entonces, la magnitud de z se reduce y el ángulo de z se aumenta linealmente conforme ωd se

incremente y el lugar geométrico en el plano z se convierte en una espiral logarítmica

32

Figure 4-3:

33

Chapter 4

Diseño de controladores digitales

4.1 Correspondencia entre el plano s y el plano z

En el plano complejo s, la ubicación de los polos y los ceros nos permitian predecir el compor-

tamiento dinámico el sistema, de aquí la importancia de estudiar la relación entre los requisitos

de diseño (por ejemplo tiempo de establecimiento ts, máximo sobreimpulso Mp) con la ubi-

cación de los polos en el plano s. De igual manera, en los sistemas discretos es muy importante

la ubicación de los polos y los ceros en el plano z. A continuación determinaremos la relación

existente entre el plano s y el plano z.

En un proceso donde se encuentre involucrado un muestreo por impulsos, las variables

complejas s y z se encuentran relacionadas por

z = eTs

dado que la variable compleja s está formada por una parte real σ y una parte imaginaria ω,

es decir

s = σ + jω

sse tiene que

z = eT (σ+jω) = eTσejωT

Si se considera un punto representativo en el eje jω en el plano s, y conforme este punto se

30

Figure 4-1: Plano S−Plano Z

mueve desde −j ωs2 hasta j ωs2 siendo ωs la frecuencia de muestreo, tenemos que |z| = 1 y ]z

varía de −π a π en dirección contraria a las manecillas del reloj en el plano z. Conforme

el punto representativo se mueve desde j ωs2 hasta j 3ωs2 , el punto correspondiente en el plano

z traza un c´riculo unitario en dirección contraria a las menecillas del reloj. Por lo tanto,

conforme el punto se mueve en el eje jω del plano s dibujaremos un círculo unitario en el plano

z un número infinito de veces.

Tiempo de establecimiento ts

El tiempo de establecimiento queda determinado por el valor de atenuación σ de los polos

dominantes en lazo cerrado. Si se especifica el tiempo de establecimiento, se puede dibujar una

línea σ = −σ1 corresponde en el plano z a la parte interior de un círculo de radio e−σ1T

31

Lugar geométrico de frecuencias constantes

Un lugar geométrico de frecuencia constante ω = ω1 en el plano s corresponde en el plano z a

una línea radial de ángulo constante Tω1 (en radianes)

Figure 4-2:

Lugar geométrico de amortiguamiento constante

Una línea de factor de amortiguamiento constante (una línea radial) en el plano s cofrresponde

a una espiral en el plano z

s = −ξωn + jωn

q1− ξ2 = −ξωn + jωd

z = eTs = eT (−ξωn+jωd)

Por lo tanto

|z| = exp (−ξωnT ) = expÃ−2πξωn

p1− ξ2

ωsp1− ξ2

!= exp

Ã− 2πξωd

ωsp1− ξ2

!

y

]z = ωdT =2πωdωs

Entonces, la magnitud de z se reduce y el ángulo de z se aumenta linealmente conforme ωd se

incremente y el lugar geométrico en el plano z se convierte en una espiral logarítmica

32

Figure 4-3:

Ejemplo 31 Determine la región en el plano complejo z de tal forma que se cumplan con las

siguientes condiciones: Tiempo de establecimiento ts < 4s, Tiempo pico tp < 3s y un máximo

sobreimpulso Mp < 10%. Considere que el período de muestreo es T = 0.5seg

4.2 Análisis de estabilidad en el plano z

Considere la siguiente función de transferencia pulso en lazo cerrado

Y (z)

R(z)=

G(z)

1 +GH(z)(4.1)

La estabilidad del sistema en lazo cerrado se puede determinar por las ubicaciones de los polos

de lazo cerrado en el plano z, es decir, por las raíces de la ecuación característica

1 +GH(z) = 0 (4.2)

como sigue:

1. Para que el sistema sea estable los polos de lazo cerrado deben estar dentro del círculo

unitario. Cualquier polo en lazo cerrado, fuera del círculo unitario hace inestable al

sistema

2. Si un polo simple se presenta en z = 1, el sistema es criticamente estable. Si existe un par

de polos complejos y conjugados sobre el círculo unitario, también hace que el sistema sea

33

críticamente estable

3. Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad y por lo tanto pueden quedar localizados

en cualquier parte del plano complejo z.

Ejemplo 32 La función de transferencia de lazo cerrado de un sistema de control digital, es

expresada por

G(z) =z

z2 − z + 2

¿El sistema es estable o inestable?

Solución 33 Las raíces del sistema son

z = 0.5± j1.232

Por lo tanto la magnitud de los polos son 1.32, por lo que los polos estan fuera del círculo

unitario, lo cual implica que el sistema es inestable

Ejemplo 34 Considere el siguiente sistema de control

donde

Figure 4-4:

GROC(s) =1− e−Ts

sy G(s) =

1

s+ 1

Si T = 0.5s, determine el rango de k que garantice la estabilidad del sistema en lazo cerrado

Solución 35 Sea

GT = z

½1− e−Ts

s

1

s+ 1

¾=¡1− z−1

¢z

½1

s (s+ 1)

¾= k

1− e−T

z − e−T

34

Por lo tanto, la ecuación característisca es

z − e−T + k¡1− e−T

¢= 0

La estbilidad del sistema es verificada al considerar que la magnitud del polo es menor que uno,

es decir

|z| = ¯̄e−T − k¡1− e−T

¢¯̄< 1

de lo anterior se tiene que

e−T − k¡1− e−T

¢< 1→ k > −1

y

− ¡e−T − k¡1− e−T

¢¢< 1→ k <

1 + e−T

1− e−T

4.2.1 La prueba de estabilidad de Jury

Esta prueba de estabilidad nos indica la existencia de cualquier raíz inestable (raíces en el plano

z fuera del círculo unitario). Sin embargo, no indica nada sobre las ubicaciones de las raíces

inestable. Para aplicar la prueba de estabilidad de Jury a una ecuación característica dada

P (z) = 0, se construye una tabla cuyos elementos se basan en los coeficientes de P (z) = 0.

Suponga que la ecuación característica es de la forma

P (z) = a0zn + a1z

n−1 + a2zn−2 + ...+ an−1z + an (4.3)

35

donde a0 > 0. Entonces la tabla de Jury se construye como sigue

Renglón z0 z1 z2 z3 · · · zn−2 zn−1 zn

1 an an−1 an−2 an−3 · · · a2 a1 a0

2 a0 a1 a2 a3 · · · an−2 an−1 an

3 bn−1 bn−2 bn−3 bn−4 · · · b1 b0

4 b0 b1 b2 b3 · · · bn−2 bn−1...

2n− 5 p3 p2 p1 p0

2n− 4 p0 p1 p2 p3

2n− 3 q2 q1 q0

donde

bk =

¯̄̄̄¯̄ an an−1−k

a0 ak+1

¯̄̄̄¯̄ , k = 0, 1, 2, ..., n− 1

...

qk =

¯̄̄̄¯̄ p3 p2−k

p0 pk+1

¯̄̄̄¯̄ , k = 0, 1, 2

Note que el último renglón de la tabla está formado por tres elementos (para sistemas de segundo

orden, 2n− 3 = 2(2)− 3 = 1 la tabla estará formada por un renglón)

Un sistema con la ecuación característica dad por (4.3), el cual por comodidad se reescribe

P (z) = a0zn + a1z

n−1 + a2zn−2 + ...+ an−1z + an

donde a0 > 0, es estable, si todas las condiciones siguientes se satisfacen:

1. |an| < a0

2. P (z)|z=1 > 0

3. P (z)|z=−1

> 0 para n par

< 0 para n impar

36

4.

|bn−1| > |b0||cn−2| > |c0|

...

|q2| > |q0|

Ejemplo 36 Examine la estabilidad de la ecuación caracteristica siguiente

P (z) = z3 − 1.5z2 − 0.1z + 0.5 = 0

Solución 37 Antes de construir la tabla se verifcan las condiciones 1, 2 y 3. Note que a0 = 0.5

y an = a3 = 1, por lo tanto |0.5| < 1 por lo que la primera condición se cumple.

P (z)|z=1 = (1)3 − 1.5 (1)2 − 0.1 (1) + 0.5 = −0.1 < 0

Esta condición no se satisface por lo que el sistema es inestable

Ejemplo 38 Examine la estabilidad de la ecuación caracteristica siguiente

P (z) = z4 − z3 + 0.5z2 + 0.1z − 0.5 = 0

Solución 39 Nuevamente, antes de construir la tabla se verifcan las condiciones 1, 2 y 3.

Note que a0 = −0.5 y an = a4 = 1, por lo tanto |0.5| < 1 por lo que la primera condición se

cumple.

P (z)|z=1 = (1)4 − (1)3 + 0.5 (1)2 − 0.1 (1) + 0.5 = 0.9 > 0

P (z)|z=−1 = (−1)4 − (−1)3 + 0.5 (−1)2 − 0.1 (−1) + 0.5 = 3.1 > 0

37

Ahora construimos la tabla de estabilidad de Jury

Renglón z0 z1 z2 z3 z4

1 −0.5 0.1 0.5 −1 1

2 1 −1 0.5 0.1 −0.53 −0.75 0.95 −0.75 0.4

4 0.4 −0.75 0.95 −0.755 0.4 −0.41 0.18

Verificando las condiciones

|bn−1| > |b0|

que en este caso es

|−0.75| > |0.4|

la cual se cumple. La siguiente condición es

|q2| > |q0|

al sustituir los valores

|0.4| > |0.18|

Por lo tanto, la ecuación característica dad es estable, o lo que es lo mismo, todas las raíces

están dentro del círculo unitario.

Ejemplo 40 Considere un sistema de control en tiempo discreto con retroalimentación unitaria

cuya función de transferencia pulso es

GH(z) =k (0.5z + 1)

(z − 1) (z − 0.36)

considere que T = 1seg. Determine el rango de valores de la ganancia k para garantizar la

estabilidad

38

4.2.2 Análisis de estabilidad mediante la transformación bilineal y el criterio

de Routh

La transformación bilineal definida por

z =w + 1

w − 1

misma que, al ser resuelta en función de w, resulta en

w =z + 1

z − 1

hace corresponder el interior del círculo unitario del plano z con el semiplano izquierdo del

plano w.

Considere la ecuacion característica (4.3), es decir

P (z) = a0zn + a1z

n−1 + a2zn−2 + ...+ an−1z + an

y sustituyendo w+1w−1 en lugar de z

a0

µw + 1

w − 1¶n

+ a1

µw + 1

w − 1¶zn−1 + an−22

µw + 1

w − 1¶+ ...+ an−1

µw + 1

w − 1¶+ an = 0

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por (w − 1)n se obtiene

Q(w) = b0wn + b1w

n−1 + b2wn−2 + ...+ bn−1w + bn = 0

es posible aplicar el criterio de estabilidad de Routh de la misma forma que en los sistemas de

tiempo continuo.

4.3 Lugar de las raíces

El método del lugar de las raíces desarrollados para sistemas en tiempo continuo puede ser

extendido sin modificaciones a sistemas discretos en el tiempo, excepto por la estabilidad, la

cual se modifica, del eje jω en el plano S al círculo unitario en el plano Z.

39