CONTENIDO MÍNNIMO:CONTENIDO MÍNNIMO:

1.-INTRODUCCIÓN1.-INTRODUCCIÓN 2.-TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN2.-TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN 3.-MODELOS DE REGRESIÓN UNIECUACIONALES3.-MODELOS DE REGRESIÓN UNIECUACIONALES 4.-MODELOS DE REGRESIÓN DE 4.-MODELOS DE REGRESIÓN DE ECS.SIMULTANEASECS.SIMULTANEAS 5.-MODELOS DE SERIES TEMPORALES5.-MODELOS DE SERIES TEMPORALES

BIBLIOGRAFÍA: BIBLIOGRAFÍA: “ “ECONOMETRÍA” D.GUJARATIECONOMETRÍA” D.GUJARATI “ “INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA” MADDALAINTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA” MADDALA “ “PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIEROS”INGENIEROS” MILLER-FREUND-JHONSONMILLER-FREUND-JHONSON

1.-1.-

• EL PRINCIPAL OBJETIVO DE MÚLTIPLES EL PRINCIPAL OBJETIVO DE MÚLTIPLES INVESTIGACIONES ES EFECTUAR INVESTIGACIONES ES EFECTUAR PREDICCIONES PREDICCIONES EN BASE DE ECUACIONES EN BASE DE ECUACIONES MATEMÁTICOS LLAMADOS MATEMÁTICOS LLAMADOS MODELOSMODELOS

• LA HERRAMIENTA FUNDAMENTAL ES EL LA HERRAMIENTA FUNDAMENTAL ES EL ANÁLISIS DE LA REGRESIÓNANÁLISIS DE LA REGRESIÓN

• ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN:ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN: a)ESTABLECER LA RELACIÓN FUNCIONAL a)ESTABLECER LA RELACIÓN FUNCIONAL

ENTRE LAS VARIABLES (Xs e Y)ENTRE LAS VARIABLES (Xs e Y)→ Y= f(Xs)→ Y= f(Xs) b)ESTABLECER LA VARIACIÓN CONJUNTA b)ESTABLECER LA VARIACIÓN CONJUNTA

ENTRE Xs e YENTRE Xs e Y→ coeficiente de correlación (r)→ coeficiente de correlación (r)

Objetivos del análisis de la RegresiónObjetivos del análisis de la Regresión

• 1.-Formulación y planteamiento de 1.-Formulación y planteamiento de modelos verificablesmodelos verificables

• 2.-Estimación, interpretación y 2.-Estimación, interpretación y comprobación de los modeloscomprobación de los modelos

• 3.-Utilización de los modelos:3.-Utilización de los modelos:

a) a) En la predicciónEn la predicción

b) b) En la realización de políticas de En la realización de políticas de control control

METODOLOGÍA DE LA METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓNINVESTIGACIÓNTEORÍA Ó HIPÓTESIS

MODELO MATEMÁTICO DE LA TEORÍA Y=f(Xs)

MODELO REGRESIVO DE LA TEORÍAY=f(X,µ)

DATOS

ESTIMACIÓN DEL MODELO regresivo

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

PRONÓSTICO Ó PREDICCIÓN POLÍTICAS DE CONTROL

• DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNDIAGRAMAS DE DISPERSIÓN.-.-• ES LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA ES LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA

DEL COMPORTAMIENTO DE LAS DEL COMPORTAMIENTO DE LAS VARIABLES EN CUESTIÓN(Xs e Y)VARIABLES EN CUESTIÓN(Xs e Y)

• PERMITE APRECIAR LA TENDENCIA PERMITE APRECIAR LA TENDENCIA DEL MODELO DEL MODELO →TIPO DE MODELO:→TIPO DE MODELO:

1.-MODELO LINEAL1.-MODELO LINEAL 2.-MODELO EXPONENCIAL2.-MODELO EXPONENCIAL 3.-MODELO DE PRODUCCIÓN3.-MODELO DE PRODUCCIÓN 4.-MODELO POLINOMIAL(COSTOS)4.-MODELO POLINOMIAL(COSTOS) 4.-MODELO RECÍPROCO4.-MODELO RECÍPROCO 5.-MODELO TEMPORAL……5.-MODELO TEMPORAL……

2.-TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN2.-TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN

• MODELOSDE REGRESIÓN UNIECUACIONALESMODELOSDE REGRESIÓN UNIECUACIONALES::

A)SIMPLE :A)SIMPLE : a)Lineal,b)Logarítmicos,c)semilogarítmicosa)Lineal,b)Logarítmicos,c)semilogarítmicos

d) Tendencia,e)Recíprocos,f)Anovad) Tendencia,e)Recíprocos,f)Anova

B)MÚLTIPLE:B)MÚLTIPLE:

a) Simple ,b)Polinomiales c)Logarítmicos a) Simple ,b)Polinomiales c)Logarítmicos

d)Ancovasd)Ancovas

• MODELOS DE REGRESIÓN DE MODELOS DE REGRESIÓN DE ECS.SIMULTANEASECS.SIMULTANEAS

• MODELOS DE SERIES TEMPORALESMODELOS DE SERIES TEMPORALES

3.-Modelos de regresion3.-Modelos de regresion uniecuacionalesuniecuacionales• Una sola ecuaciónUna sola ecuación

• Una sola relación unidireccional:Una sola relación unidireccional:

de causa( Xs) a efecto(Y)de causa( Xs) a efecto(Y)

Modelos de Reg.simple.Modelos de Reg.simple.

La FRPLa FRP→ Y = → Y = ββ11+ + ββ22X +X +µµ donde: donde:

Y= v.d.regresada ó predichaY= v.d.regresada ó predicha

X= v.i. regresor ó predictor ó factorX= v.i. regresor ó predictor ó factor

µ =v.a.ó Estocástica ,Residual ,perturbaciónµ =v.a.ó Estocástica ,Residual ,perturbación

ββ11== Intercepto, (Y)…….autónomoIntercepto, (Y)…….autónomo

ββ22 =Coef,de regresión, PM…………(Y) =Coef,de regresión, PM…………(Y)

Estimación: Mínimos cuadrados Estimación: Mínimos cuadrados ordinarios (M.C.O.) E(ordinarios (M.C.O.) E(µ) = 0µ) = 0

• La FRMLa FRM→ → Ŷ = Ŷ = ββ11+ + ββ22X r² , r X r² , r

1.-1.-Coeficiente de determinaciónCoeficiente de determinación ( (r²r²).- 0).- 0≤≤ r² r² ≤≤ 1:1: Mide el grado de ajuste por la aplicación de la Mide el grado de ajuste por la aplicación de la

recta estimada.recta estimada. si 0.9 si 0.9 ≤≤ r² r² ≤≤ 1 excelente 1 excelente si 0.8 <si 0.8 < r² r² < 0.9 muy bueno< 0.9 muy bueno 2.-2.-Coeficiente de correlaciónCoeficiente de correlación((rr).- -1 ).- -1 ≤≤ r r ≤≤ 1 1 Mide el grado de asociación lineal entre Xe YMide el grado de asociación lineal entre Xe Y si r= -1 Rel.perfecta inversasi r= -1 Rel.perfecta inversa si r= 0 No existe rel.lineal si r= 0 No existe rel.lineal si r= 1 Relación perfecta directasi r= 1 Relación perfecta directa

TÉCNICAS DE ESTIMACIÓNTÉCNICAS DE ESTIMACIÓN

• 1.-Manual : 1.-Manual : ΣΣx ; x ; ΣΣy; y; ΣΣx² ; x² ; ΣΣy²; y²; ΣΣx yx y

X; X; ῩῩ; Sxy = ; Sxy = ΣΣx y-n(X)(x y-n(X)(ῩῩ); Sxx = ); Sxx = ΣΣx² -n(X)²; Syy= x² -n(X)²; Syy= ΣΣy²-n(y²-n(ῩῩ )² )²

ββ22= Sxy/Sxx ; = Sxy/Sxx ; ββ11 = = Ῡ Ῡ - - ββ2X r²= S²xy/(SxxSyy) ;r =√r²2X r²= S²xy/(SxxSyy) ;r =√r²

• 2.-Modo Estadístico (modelos simples).2.-Modo Estadístico (modelos simples).

• 3- Matricial (modelos simples y múltiples)3- Matricial (modelos simples y múltiples)

• ββii= ( = ( X´XX´X) ( ) ( X´YX´Y) donde: ) donde: XXnxknxk yy Y Ynx1nx1

ββi= A i= A xx D D donde donde

r²=(r²=(ββi ´D i ´D -n-n Ῡ²) /(Ῡ²) /( Y´Y Y´Y -n Ῡ²) -n Ῡ²)

• 4.-PC(SSPSS ó E Views )4.-PC(SSPSS ó E Views )

NotaNota.- .- Antes efectuar el Diagrama de dispersiónAntes efectuar el Diagrama de dispersión

-1

-1

Ej. De modelo de reg.lineal simpleEj. De modelo de reg.lineal simpleLos siguientes datos son las mediciones de la velocidad del aire y del Los siguientes datos son las mediciones de la velocidad del aire y del

coeficiente de evaporación de las gotitas de combustible en una coeficiente de evaporación de las gotitas de combustible en una turbina de propulsiónturbina de propulsión

Velocidad del aireVelocidad del aire Coef.de evaporaciónCoef.de evaporación . Se desea predecir el . Se desea predecir el coeficiente decoeficiente de

(cm/seg) (cm/seg) X X (mm²/seg) (mm²/seg) Y Y evaporación,cuando la evaporación,cuando la velociadadvelociadad

20 0.18 del aire sea :20 0.18 del aire sea :

60 0.37 a) de 190 (cm/seg) 60 0.37 a) de 190 (cm/seg)

100 0.35 b) de 390 (cm/seg)100 0.35 b) de 390 (cm/seg)

140 0.78 140 0.78 Sol.-Sol.-

180 0.56 Causa velocidad del aire180 0.56 Causa velocidad del aire→→XX

220 0.75 Efecto Coef.de evapor. 220 0.75 Efecto Coef.de evapor. →→YY

260 1.18 La FRP 260 1.18 La FRP → Y = f( X)→ Y = f( X)

300 1.36300 1.36

340 1.17340 1.17

380 1.65380 1.65

Diagrama de dispersiónDiagrama de dispersiónyy 1.65 1.65 xx

1.36 1.36 xx

1.18 1.18 xx 1.17 1.17 xx

0.78 0.78 xx 0.75 0.75 xx 0.56 0.56 x x

0.37 0.37 xx 0.35 0.35 xx

0.18 0.18 xx

0 20 40 60 100 140 180 220 260 300 340 3800 20 40 60 100 140 180 220 260 300 340 380

XX

Modelo estimadoModelo estimadoLa FRMLa FRM→ → ŶŶ = 0.069 + 0.0038 = 0.069 + 0.0038 X r²= X r²=0.9053 .0.9053 . r r= 0.9515= 0.9515

Interpretación.-Interpretación.-

ββ11 =0.069 es el coef. de evaporación autónoma =0.069 es el coef. de evaporación autónoma no depende de la velocidad del aireno depende de la velocidad del aire ββ22 =Coef.de regresión. PME de evaporación =Coef.de regresión. PME de evaporación por c/u que se por c/u que se ΔΔ la velocidad del aire se espera que se la velocidad del aire se espera que se

epvapore las gotitas de combustible en aprox. 0.4%epvapore las gotitas de combustible en aprox. 0.4% r² = r² = 0.9053 significa un ajuste del 91%0.9053 significa un ajuste del 91% r= r= 0.9515 significa una asociación lineal de aprox. 95% entre0.9515 significa una asociación lineal de aprox. 95% entre XX e e YYEstimación Estimación a)a) ParaPara X= X= 190190 → → Ŷ Ŷ = 0.069 + 0.0038= 0.069 + 0.0038 (190)=0.79 (mm²/seg)(190)=0.79 (mm²/seg)b)b) ParaPara X= X= 390390 → → Ŷ Ŷ = 0.069 + 0.0038= 0.069 + 0.0038 (390)=1.551 (mm²/seg(390)=1.551 (mm²/seg

Estimación por Intervalos de confianzaEstimación por Intervalos de confianzaIC para E( IC para E( Ŷo/Xo al 100 r%=[Ŷo ± tŶo/Xo al 100 r%=[Ŷo ± t/2(n-k) ee(Ŷo)]/2(n-k) ee(Ŷo)]

MóduloMódulo error (E)error (E)

DondeDonde:Var(Ŷo):Var(Ŷo) = = σσ²[ 1/n + (Xo- ẍ )²/Sxx]²[ 1/n + (Xo- ẍ )²/Sxx]→→ee(ee(Ŷo)Ŷo) =√ Var(Ŷo) =√ Var(Ŷo)

Sxx= Sxx= ΣΣx²-n(ẍ )² ; Xo= Valor de X; x²-n(ẍ )² ; Xo= Valor de X; Ŷo = Valor estimado puntual de Ŷo = Valor estimado puntual de Y /XoY /Xo

Siguiendo con nuestro ej. Construir un IC del 95 % para la estimación Siguiendo con nuestro ej. Construir un IC del 95 % para la estimación Xo=190Xo=190

Sol.-Sol.-

r=0.95r=0.95→ → αα= 0.05 = 0.05 → to,o→ to,o5/2 : (10-2)=2.306 5/2 : (10-2)=2.306 Sxx=132 000 ; ẍ= 200Sxx=132 000 ; ẍ= 200

E=0.39E=0.39 → El IC al 95% de E(→ El IC al 95% de E(Ŷo/Xo=190)=[0.79 ±0.39]Ŷo/Xo=190)=[0.79 ±0.39]

=[0.67 ; 0.91] =[0.67 ; 0.91]

Significa que de 100 m.a que se tomen se espera que 95 tengan la ŶoSignifica que de 100 m.a que se tomen se espera que 95 tengan la Ŷo

Estén entre el rango del intervalo y sólo 5 m.a no esténEstén entre el rango del intervalo y sólo 5 m.a no estén

NotaNota.-Cuando se estima es aconsejable no extrapolar muy lejos del .-Cuando se estima es aconsejable no extrapolar muy lejos del rangorango

Extensión del modelo de reg. Lineal simpleExtensión del modelo de reg. Lineal simple • Modelo Exponencial.- Modelo Exponencial.- cuya FRP cuya FRP → → YY= = ββ11 ββ22

yy

x x Linealizando ,aplicandoLinealizando ,aplicando lnln → ln→ lnYY =ln =ln ββ11 + + XX ln ln ββ2 + 2 + µµAplicando Los M:C:O se puede estimarAplicando Los M:C:O se puede estimar

cuya FRM cuya FRM →→ lnlnŶŶ =ln =ln ββ11 + + XX ln ln ββ22 aplicando cualquier técnica aplicando cualquier técnica de estimación teniendo presente que al intruducir los datos de de estimación teniendo presente que al intruducir los datos de y deben estar logaritmizadosy deben estar logaritmizados

Donde Donde ββ2 = cambio porcentual en y . 100%2 = cambio porcentual en y . 100% cambio absoluto en Xcambio absoluto en X

x

Ej de modelo exponencialEj de modelo exponencialSe tiene las cifras sobre el porcentaje de las llantas radiales producidas por Se tiene las cifras sobre el porcentaje de las llantas radiales producidas por

cierto fabricante que aún pueden usarse después de recorrer cierto cierto fabricante que aún pueden usarse después de recorrer cierto número de millasnúmero de millas

Millas recorridas Porcentaje De acuerdo al modelo adecuado.se pide Millas recorridas Porcentaje De acuerdo al modelo adecuado.se pide estimarestimar

(miles)(miles) X X Util Util YY a) qué porcentaje de las llantas radiales a) qué porcentaje de las llantas radiales durarán aldurarán al

1 98.2 menos 25 000 millas.b) 51 000 millas?1 98.2 menos 25 000 millas.b) 51 000 millas? 2 91.7 2 91.7 Sol.- Sol.- de acuerdo al modelo exponencial y de acuerdo al modelo exponencial y

palicandopalicando 5 81.3 Log decimal:5 81.3 Log decimal: 10 64.0 FRM 10 64.0 FRM → → Log Log ŶŶ =2.0002 -0.0188 =2.0002 -0.0188 XX 20 36.4 Para Xo= 2520 36.4 Para Xo= 25 30 32.6 30 32.6 → → Log Log ŶŶ =2.0002 -0.0188(25) =2.0002 -0.0188(25) 40 17.1 40 17.1 → → Log Log Ŷ = Ŷ = 1.53021.5302→→ Ŷ = AntilogŶ = Antilog(1.5302) = (1.5302) = 33.9 %33.9 % 50 11.3 50 11.3 →→ Ŷ = AntilogŶ = Antilog(1.5302) = (1.5302) = 33.9 %33.9 % b) Para X= 51 b) Para X= 51 → → Log Log ŶŶ =2.0002 -0.0188(51) =2.0002 -0.0188(51) → → Log Log ŶŶ = 1.0414 = 1.0414→→ Ŷ = AntilogŶ = Antilog(1.0414) = (1.0414) = 11.00 %11.00 % ó FRM ó FRM →ln →ln Ŷ = 4.6046 -0.0432 X Ŷ = 4.6046 -0.0432 X para xo= 25para xo= 25 → → Ln Ln ŶŶ =4.6046 -0.0432(25)= 3.5246 =4.6046 -0.0432(25)= 3.5246 → → Ŷ =AntilnŶ =Antiln(3.5246) = (3.5246) = 33.94%33.94% para xo = 51→para xo = 51→Ln Ln ŶŶ =4.6046 -0.0432(51)= 2.4014→ =4.6046 -0.0432(51)= 2.4014→ Ŷ =AntilnŶ =Antiln(2.4014) = (2.4014) = 11%11%

YY 5.0 5.0

4.6 4.6 xx x x

4.5 x4.5 x

xx

4.0 x4.0 x

x x ln ln Ŷ = 4.6046 – 0.0432 X r²=0.9880Ŷ = 4.6046 – 0.0432 X r²=0.9880 3.5 x 3.5 x r= -0.9940r= -0.9940

xx

3.03.0

xx

2.52.5

xx

2.02.0

0 1 2 5 10 20 30 40 500 1 2 5 10 20 30 40 50

x x

Representación del modelo exponencial estimadoRepresentación del modelo exponencial estimado

Modelo potencialModelo potencial

La FRP La FRP → Y = → Y = ββ1 1 X e Se aplica cuando se X e Se aplica cuando se quiere estimar cambios porcentulaes en laY quiere estimar cambios porcentulaes en laY debido a un cambio del 1% en el Xdebido a un cambio del 1% en el X

Linealizando aplicando LnLinealizando aplicando Ln

→ → Ln Y = ln Ln Y = ln ββ1 1 ± ± ββ22 Ln X Ln X + + uu

Cuya FRM Cuya FRM Ln Ln ŶŶ = ln = ln ββ1 1 ± ± ββ22 Ln X Ln X

donde donde ββ2 = 2 = (cambio porcentual en y) /(cambio porcentual en 1% enX)(cambio porcentual en y) /(cambio porcentual en 1% enX)

ββ2 = ELASTICIDAD si 2 = ELASTICIDAD si ββ2 < 1 → inelástica2 < 1 → inelástica

si si ββ2 = 1 → Unitaria2 = 1 → Unitaria

si si ββ2 > 1 → elástica2 > 1 → elástica

β2 µ

Ej. De modelo LOG-LOGEj. De modelo LOG-LOGSe tiene los datos sobre la demanda de un producto (miles de Se tiene los datos sobre la demanda de un producto (miles de

unidades) y su precio (en centavos) tomado de 5 diferentes unidades) y su precio (en centavos) tomado de 5 diferentes centros comercialescentros comerciales

Se pide estimar:Se pide estimar:

Precio Demanda a) La elasticidad de la demandaPrecio Demanda a) La elasticidad de la demanda

XX Y Y b) La demanda cuando el precio sea de 12 b) La demanda cuando el precio sea de 12 ctvs $ctvs $

20 2220 22

16 41 Sol.-a) La FRP16 41 Sol.-a) La FRP→→ Ln y = Ln y = ββ1 X e 1 X e

10 120 10 120 →Ln y = Ln →Ln y = Ln ββ1 + 1 + ββ2 Ln X +2 Ln X +µµ

11 89 la FRM 11 89 la FRM →Ln →Ln ŶŶ = 10.2103- = 10.2103- 2.3608 Ln X 2.3608 Ln X

14 56 Como 14 56 Como ββ2= -2.3608 <1 2= -2.3608 <1 → inelástica→ inelástica

b) Para X= b) Para X= 12 12

→ →Ln Ln ŶŶ = 10.2103- = 10.2103- 2.3608 Ln ( 2.3608 Ln (1212))

→→Ln Ln Ŷ= 4.3439Ŷ= 4.3439

→ → Ŷ = antiln(4.3439)=Ŷ = antiln(4.3439)= 77 77 unidades unidades

β2 u

B.-Modelos de Reg.MúltipleB.-Modelos de Reg.MúltipleGralmente Una Y = f( Xs)Gralmente Una Y = f( Xs)

1.-Múltiple lineal1.-Múltiple lineal

→ → La FRP → Y= La FRP → Y= ββ0 0 + + ββ11XX11 + + ββ22XX22 + …+ + …+ ββkkXXkk + + uu ; ; R²; RR²; R

Cuya FRM → Cuya FRM → ŶŶ= = ββ0 0 + + ββ11XX11 + + ββ22XX22 + …+ + …+ ββkkXXkk

La estimación mediante matrices ó PC ( SPSS ó Views)La estimación mediante matrices ó PC ( SPSS ó Views)

donde donde ββ00 = Intercepto = Intercepto

ββ11 = Coef.de Reg.Parcial,PM deY ; si X2..=cte = Coef.de Reg.Parcial,PM deY ; si X2..=cte

ββ22 = Coef.de Reg.Parcial PM de Y ; si X3..=cte = Coef.de Reg.Parcial PM de Y ; si X3..=cte

R²R² = Coef.de Determinación múltiple(ordinario) = Coef.de Determinación múltiple(ordinario)

RR = Coef.de Correlación lineal múltiple = Coef.de Correlación lineal múltiple

Ŕ² Ŕ² = = Coef. De determinación ajustadoCoef. De determinación ajustado

Ŕ² = 1-(1-R²) [(n-1)/(n-k)]Ŕ² = 1-(1-R²) [(n-1)/(n-k)]

Ej.de modelo de reg.multiple simpleEj.de modelo de reg.multiple simpleEJ. Se tiene los datos sobre el nº de torsiones necesarias para romper una barra hecha EJ. Se tiene los datos sobre el nº de torsiones necesarias para romper una barra hecha

con cierto tipo de aleación y los porcentajes de los metales que la integren: con cierto tipo de aleación y los porcentajes de los metales que la integren: Estímese el Nº de torsiones necesarias para Estímese el Nº de torsiones necesarias para

Nº de torsiones % de “A” % “B” romper una de las barras cuando:Nº de torsiones % de “A” % “B” romper una de las barras cuando:

y x1 x2 y x1 x2 X1= 2.5 ; X2= 12X1= 2.5 ; X2= 12

38 1 5 38 1 5

40 2 5 Sol:- La FRP →Y= 40 2 5 Sol:- La FRP →Y= ββo+ o+ ββ1X1+ 1X1+ ββ2X2 +2X2 +µµ

85 3 5 La FRM →85 3 5 La FRM →ŶŶ= 42.7790+ 8.3161X1-1.2229X2= 42.7790+ 8.3161X1-1.2229X2

59 4 5 R² =0.48; R= 0.69 ; para 59 4 5 R² =0.48; R= 0.69 ; para x1= 2.5 ; x2= 12x1= 2.5 ; x2= 12

40 1 10 →40 1 10 →ŶŶ= 42.7790+ 8.3161(= 42.7790+ 8.3161(2.52.5)-1.2229()-1.2229(1212) =48.9) =48.9

60 2 10 →60 2 10 →ŶŶ = 49 torsiones = 49 torsiones

68 3 1068 3 10

53 4 1053 4 10

31 1 1531 1 15

35 2 1535 2 15

Tipos de modelos múltiplesTipos de modelos múltiples

• Los polinomiales:Los polinomiales:

a) Los Cuadráticos a) Los Cuadráticos

cuya FRP cuya FRP → Y = → Y = ββ00 + + ββ11XXii ββ2 2 XXii + + µµ

b) Los Cúbicosb) Los Cúbicos

cuya FRP cuya FRP → Y = → Y = ββ00 + + ββ11XXii ββ2 2 XXii + + ββ3 3 XXii + +µµ

• Los log-log ó exponencialesLos log-log ó exponenciales

cuya FRP cuya FRP → Y = → Y = ββ11XX22 X X3 3 ee

LnY = ln LnY = ln ββ1 1 + + ββ22 ln X ln X22 + +ββ33X3 +X3 +µµ

2

2 3

β2 β3 µ

Ej. De Modelo cuadráticoEj. De Modelo cuadráticoSe tien los datos correspondientes al tiempo de secado de cierto Se tien los datos correspondientes al tiempo de secado de cierto

barniz y la cantidad de aditivo para reducir el tiempo de secado.barniz y la cantidad de aditivo para reducir el tiempo de secado.

Cantidad Tiempo De acuerdo al diagrama de Cantidad Tiempo De acuerdo al diagrama de dispersióndispersión

de aditivo(grms) secado(Hrs) estime mediante modelo de aditivo(grms) secado(Hrs) estime mediante modelo adecuadoadecuado

X Y el tiempo de secado si se utilizan:X Y el tiempo de secado si se utilizan:

0 12.0 6.5 grms.0 12.0 6.5 grms.

1 10.5 1 10.5

2 10.02 10.0

3 8.03 8.0

4 7.04 7.0

5 8.05 8.0

6 7.56 7.5

7 8.57 8.5

8 9.08 9.0

Diagrama de dispersiónDiagrama de dispersión

y y 12x12x

xx

10 x10 x

x Xx X

8 x X8 x X

x xx x

66

44

22

00

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 XX

Estimación de modelo cuadráticoEstimación de modelo cuadráticoDe acuerdo al diagrama es un modelo De acuerdo al diagrama es un modelo

cuadráticocuadrático

La FRP La FRP → → Y = Y = ββ00 + + ββ11XXii ββ2 2 XXii + + µµ

cuyaFRM cuyaFRM → → Ŷ = 12.2 -1.85 X + 0.183 X Ŷ = 12.2 -1.85 X + 0.183 X R²=0.9573 R= 0.9784 R²=0.9573 R= 0.9784 Ŕ² = 1- (1-0.9573)[(9-1)/9-3)] = 0.9431Ŕ² = 1- (1-0.9573)[(9-1)/9-3)] = 0.9431

estimando para X= 6.5 grmsestimando para X= 6.5 grms

Ŷ = 12.2 -1.85(6.5) + 0.183 (6.5)Ŷ = 12.2 -1.85(6.5) + 0.183 (6.5)

Ŷ= 7.9 hrs.Ŷ= 7.9 hrs.

2

2

2

Ejemplo de Modelo cúbicoEjemplo de Modelo cúbicoSe tiene la información sobre los costos(en $us) de ensamblaje de Se tiene la información sobre los costos(en $us) de ensamblaje de

PC´s y el nivel de producción: Estime el costo de producir 11 PC´sPC´s y el nivel de producción: Estime el costo de producir 11 PC´s

Y Y 450450

Producción Costo xProducción Costo x

x y x y 400400

1 193 1 193

2 226 2 226 350350 x x

3 240 3 240

4 244 4 244 300 x 300 x

5 257 x5 257 x

6 260 6 260 250 x x250 x x

7 274 x x x7 274 x x x

8 297 8 297 200 200

9 350 x9 350 x

10 420 10 420 150150

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X X

Estimación del modelo cúbicoEstimación del modelo cúbicoLa FRP La FRP → Y = → Y = ββ00 + + ββ11XXii ββ2 2 XXii + + ββ3 3 XXii + +µµLa FRM La FRM →→Ŷ= 141Ŷ= 141..7667 + 63.4776 X - 12.9615 X + 0.9396 X 7667 + 63.4776 X - 12.9615 X + 0.9396 X

ee= (6.3753) (4.7786) (o.9857) (0.0591)ee= (6.3753) (4.7786) (o.9857) (0.0591)

t= (22.2369) (13.2837) (-13.1495) (15.8985)t= (22.2369) (13.2837) (-13.1495) (15.8985)

R²=0.9983 R=0.9991 R²=0.9983 R=0.9991

La estimación del costo de producir La estimación del costo de producir 1111 PC´s PC´s

Ŷ = Ŷ = 141141..7667 + 63.4776 (7667 + 63.4776 (1111) - 12.9615() - 12.9615(1111) + 0.9396 () + 0.9396 (1111) )

(Costo total) (Costo total) Ŷ = 522.29 $ usŶ = 522.29 $ us

2 3

2 3

2 3

Modelo exponencial múltipleModelo exponencial múltipleLos log-log ó exponencialesLos log-log ó exponenciales

cuya FRP cuya FRP → Y = → Y = ββ11XX22 X X3 3 e e

LnY = ln LnY = ln ββ1 1 + + ββ22 ln X ln X22 + +ββ33X3 +X3 +µµ

Generalmente en modelos de producciónGeneralmente en modelos de producción

Y=Producción :Y=Producción : X2 = insumo trabajo; X3 = insumo capitalX2 = insumo trabajo; X3 = insumo capital

ββ2+ 2+ ββ3 = Tipo de rendimientos a escala3 = Tipo de rendimientos a escala

si si ββ2+ 2+ ββ3 < 1 → Rendimientos decrecientes a escala3 < 1 → Rendimientos decrecientes a escala

si si ββ2+ 2+ ββ3 = 13 = 1 → Rendimientos constantes a escala→ Rendimientos constantes a escala

si si ββ2+ 2+ ββ3 > 13 > 1 → Rendimientos crecientes a escala→ Rendimientos crecientes a escala

β2 β3 µ

Ej. De modelo LOG_LOG MúltipleEj. De modelo LOG_LOG MúltipleSe tiene la información de acuerdo a la tabla sobre el sector manufacturero de Se tiene la información de acuerdo a la tabla sobre el sector manufacturero de

un paísun país

AñoAño PBR (Y) L(X2) K(X3) a)Determinar el tipo de rendimientos que tie PBR (Y) L(X2) K(X3) a)Determinar el tipo de rendimientos que tie

19881988 16 607.7 275.5 17803.7 ne el sector 16 607.7 275.5 17803.7 ne el sector

19891989 17 511.3 274.4 18096.8 b) Estime el PBR para el año 2003 cuando : 17 511.3 274.4 18096.8 b) Estime el PBR para el año 2003 cuando :

19901990 20932.9 267.0 19167.3 L=X2= 270.0 , K=X3=18300.0 20932.9 267.0 19167.3 L=X2= 270.0 , K=X3=18300.0

19911991 20406.0 267.8 19647.6 20406.0 267.8 19647.6 SOL.- SOL.-

19921992 20 831.6 275.0 20803.5 a) 20 831.6 275.0 20803.5 a) La FRP La FRP→→LnY = ln LnY = ln ββ1 + 1 + ββ2 ln X2+2 ln X2+ββ3X3 +3X3 +µµ

19931993 24 831.6 283.0 22076.6 24 831.6 283.0 22076.6 FRPFRP→→LnLnŶŶ= = --3.33843.3384++1.4988 ln X21.4988 ln X2++0.4899lnX3 0.4899lnX3 19941994 26 465.8 300.7 23445.2 ee = (2.4495) (0.5398) (0-1020) 26 465.8 300.7 23445.2 ee = (2.4495) (0.5398) (0-1020)

19951995 27 403.0 307.5 24939.0 t = (-1.3629) ( 2.7765) (4.8005) 27 403.0 307.5 24939.0 t = (-1.3629) ( 2.7765) (4.8005)

19961996 28 628.7 303.7 26713.7 R²= 0.8890 28 628.7 303.7 26713.7 R²= 0.8890 Ŕ² =0.8705Ŕ² =0.8705

19971997 29 904.5 304.7 29957.8 29 904.5 304.7 29957.8

19981998 27 508.2 298.6 31585.9 b) Para X2= 270 X3=18300 27 508.2 298.6 31585.9 b) Para X2= 270 X3=18300→→

19991999 29 035.5 295.5 33474.5 29 035.5 295.5 33474.5 →→LnLnŶŶ= = --3.33843.3384++1.4988 ln(1.4988 ln(270270))++0.4899ln(0.4899ln(1830018300))20002000 29 281.5 299.0 34821.8 Ln 29 281.5 299.0 34821.8 LnŶ = 9.860714973Ŷ = 9.860714973

20012001 31 535.8 288.1 41794.3 31 535.8 288.1 41794.3 ŶŶ =antiln(9.860714973) = =antiln(9.860714973) =19162.6 Millones 19162.6 Millones $us$us

20022002 20 171.2 269.7 18271.8 20 171.2 269.7 18271.8

Modelos DicotómicosModelos Dicotómicos

- Modelos con variables cualitativas(D):Modelos con variables cualitativas(D):

- A) Como regresores:A) Como regresores:

- 1.-1.-Modelos AnovaModelos Anova.- la FRP.- la FRP→→ Y=f( D) Y=f( D)

- 2.-2.-Modelos AncovaModelos Ancova.-La FRP.-La FRP→→ Y=f(D ,Xs) Y=f(D ,Xs)

- B)Comno regresada La FRPB)Comno regresada La FRP→→ D=f(Xs) D=f(Xs)

- 1.-1.-MODELOS LINEAL DE MODELOS LINEAL DE PROBABILIDAD(MLP)PROBABILIDAD(MLP) 2.- 2.-LOGITLOGIT

- 3.-3.-NORMIT Ó PROBITNORMIT Ó PROBIT

Modelos de series temporalesModelos de series temporales

La FRP La FRP → Y= f(tiempo)→ Y= f(tiempo)

EstacionariedadEstacionariedad.- E(Y) = .- E(Y) = µµ

V(Y) = V(Y) = σσ²²

COV(Y) =COV(Y) =δδkk

Pruebas de estacionariedadPruebas de estacionariedad::

--CorrelogramaCorrelograma

--Individuales.Individuales.

Q-stat , LBQ-stat , LB

--TotalesTotales : Raíz unitaria,DFA : Raíz unitaria,DFA

Métodos de predicciónMétodos de predicciónEn la introduccion se dijo que la predicción es una parte En la introduccion se dijo que la predicción es una parte

del análisis de regresión,Cómo se pronostican del análisis de regresión,Cómo se pronostican cualquier variable a traveés del tiempo?.Existen 2 cualquier variable a traveés del tiempo?.Existen 2 métodos:métodos:

1.-1.-Autorregresivo integrado de media móvil (ARIMA)Autorregresivo integrado de media móvil (ARIMA)

-No tienen causa ni efecto: “Permitir que la -No tienen causa ni efecto: “Permitir que la información hable por sim misma” Ateóricosinformación hable por sim misma” Ateóricos

2.-2.-Autorregresivo vectorial (VAR)Autorregresivo vectorial (VAR)

- - se asemeja a los modelos de ecs. se asemeja a los modelos de ecs. Simultaneas,donde cada variable endógena es Simultaneas,donde cada variable endógena es exolicada por sus valores rezagados ó pasados y por exolicada por sus valores rezagados ó pasados y por los valores rezagados de todas las demás variables los valores rezagados de todas las demás variables endógenas en el modelo.no hay variables exógenasendógenas en el modelo.no hay variables exógenas

Procesos para obtener el ARIMAProcesos para obtener el ARIMAProceso Autorregresivo (AR)Proceso Autorregresivo (AR) AR(1) autorregresivo de 1er ordenAR(1) autorregresivo de 1er orden AR(2) autorregresivo de 2º ordenAR(2) autorregresivo de 2º orden

AR(p) autorregresivo de p ordenAR(p) autorregresivo de p ordenProceso de Media Móvil (MA)Proceso de Media Móvil (MA) MA(1) media móvil de 1er ordenMA(1) media móvil de 1er orden MA(2) media móvil de 2º ordenMA(2) media móvil de 2º orden

MA(q) media móvil de q ordenMA(q) media móvil de q ordenProceso Autorregresivo y de media móvil (ARMA)Proceso Autorregresivo y de media móvil (ARMA) ARMA(1,1) autorregrsivo de 1er orden y media móvil de 1er ARMA(1,1) autorregrsivo de 1er orden y media móvil de 1er

ordenorden ARMA(p,q) “ “ p “ “ q ARMA(p,q) “ “ p “ “ q Proceso autorregresivo integrado y de media móvil( ARIMA)Proceso autorregresivo integrado y de media móvil( ARIMA) ARIMA(1.1.1) autorregresivo de 1er orden ,integrado una vez y ARIMA(1.1.1) autorregresivo de 1er orden ,integrado una vez y

demedia móvil de 1 er orden demedia móvil de 1 er orden ARIMA(p.d.q)ARIMA(p.d.q)

Metodología de estimación B-J modelaje (ARIMA Metodología de estimación B-J modelaje (ARIMA pdq))pdq))

1.-Identificación del modelo (elección p,d,q) correlograma.-

2.-Estimación de parámetros del modelo elegido.-

3.-Verificación de diagnóstico correlograma de los residuales

4.-Predicción ó políticas de control

Ej.Se tiene la información del PIBR DURANTE 1970-1-1992-4Ej.Se tiene la información del PIBR DURANTE 1970-1-1992-4Se pide estimar el PIBR para el 1er trimestre del año 1992Se pide estimar el PIBR para el 1er trimestre del año 1992

PIBPIB

2872.82872.8

2860.32860.3

2896.62896.6

2873.72873.7

2942.92942.9

2947.42947.4

39663966

2980.82980.8

3037.33037.3

3089.73089.7

3125.83125.8

3175.53175.5

3253.33253.3

3267.63267.6

3264.33264.3

3289.13289.1

3259.43259.4

3267.63267.6

3239.13239.1

3226.43226.4

31543154

3190.43190.4

3249.93249.9

3292.53292.5

PIBPIB

3356.73356.7

3369.23369.2

33813381

3416.33416.3

3466.43466.4

35253525

3574.43574.4

3567.23567.2

3591.83591.8

37073707

3735.63735.6

3779.63779.6

3780.83780.8

3784.33784.3

3807.53807.5

3814.63814.6

3830.83830.8

3732.63732.6

3733.53733.5

3808.53808.5

3860.53860.5

3844.43844.4

3864.53864.5

3803.13803.1

PIBPIB

3756.13756.1

3771.13771.1

3754.43754.4

3759.63759.6

3783.53783.5

3886.53886.5

3944.43944.4

4012.14012.1

4089.54089.5

41444144

4166.44166.4

4194.24194.2

4221.84221.8

4254.84254.8

43094309

4333.54333.5

4390.54390.5

4387.74387.7

4412.64412.6

4427.14427.1

44604460

4515.34515.3

4559.34559.3 4625.54625.5

PIBPIB

4655.34655.3

4704.84704.8

4734.54734.5

4779.74779.7

4809.84809.8

4832.44832.4

4845.64845.6

4859.74859.7

4880.84880.8

4900.34900.3

4903.34903.3

4855.14855.1

48244824

4840.74840.7

4862.74862.7

48684868

Ej de Serie temporalEj de Serie temporal

Verificando la estacionariedad de la serie mediante el corrlograma Verificando la estacionariedad de la serie mediante el corrlograma

Date: 09/21/07 Time: 16:18Sample: 1970:1 1991:4Included observations: 88Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob . |*******| . |*******| 1 0.969 0.969 85.462 0.000 . |*******| .*| . | 2 0.935 -0.058 166.02 0.000 . |*******| . | . | 3 0.901 -0.020 241.72 0.000 . |*******| . | . | 4 0.866 -0.045 312.39 0.000 . |****** | . | . | 5 0.830 -0.024 378.10 0.000 . |****** | .*| . | 6 0.791 -0.062 438.57 0.000 . |****** | . | . | 7 0.752 -0.029 493.85 0.000 . |***** | . | . | 8 0.713 -0.024 544.11 0.000 . |***** | . | . | 9 0.675 0.009 589.77 0.000 . |***** | . | . | 10 0.638 -0.010 631.12 0.000 . |***** | . | . | 11 0.601 -0.020 668.33 0.000 . |**** | . | . | 12 0.565 -0.012 701.65 0.000 . |**** | . | . | 13 0.532 0.020 731.56 0.000 . |**** | . | . | 14 0.500 -0.012 758.29 0.000 . |**** | . | . | 15 0.468 -0.021 782.02 0.000 . |*** | . | . | 16 0.437 -0.001 803.03 0.000 . |*** | . | . | 17 0.405 -0.041 821.35 0.000 . |*** | . | . | 18 0.375 -0.005 837.24 0.000

Prueba de estacionariedad mediante Dickey-Prueba de estacionariedad mediante Dickey-FullerFuller

• ADF Test StatisticADF Test Statistic -0.219165-0.219165 1% Critical Value* 1% Critical Value* - -3.50643.5064

• 5% Critical Value5% Critical Value - -2.89472.8947

• 10% Critical Value10% Critical Value - -2.58422.5842

• *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

••• Augmented Dickey-Fuller Test EquationAugmented Dickey-Fuller Test Equation• Dependent Variable: D(PIB)Dependent Variable: D(PIB)• Method: Least SquaresMethod: Least Squares• Date: 09/21/07 Time: 21:43Date: 09/21/07 Time: 21:43• Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Sample(adjusted): 1970:2 1991:4• Included observations: 87 after adjusting endpointsIncluded observations: 87 after adjusting endpoints

• VariableVariable CoefficientCoefficient Std. ErrorStd. Error t-Statistict-Statistic Prob. Prob. • PIB(-1)PIB(-1) -0.001368-0.0013680.0062420.006242 -0.219165-0.2191650.82700.8270• CC 28.2054228.20542 24.3653224.36532 1.1576051.157605 0.25030.2503• R-squaredR-squared0.0005650.000565 Mean dependent var Mean dependent var 22.9333322.93333• Adjusted R-squaredAdjusted R-squared -0.011193-0.011193 S.D. dependent var S.D. dependent var 35.9344835.93448• S.E. of regressionS.E. of regression 36.1350336.13503 Akaike info criterion Akaike info criterion 10.0351210.03512• Sum squared residSum squared resid 110987.9110987.9 Schwarz criterion Schwarz criterion 10.0918110.09181• Log likelihoodLog likelihood -434.5278-434.5278 F-statistic F-statistic 0.0480330.048033

ADF Test StatisticADF Test Statistic -6.630339 -6.630339 1% Critical Value* 1% Critical Value* -3.5073-3.5073 5% Critical Value 5% Critical Value -2.8951-2.8951

10% Critical Value 10% Critical Value -2.5844-2.5844*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

Augmented Dickey-Fuller Test EquationAugmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(PIB,2)Dependent Variable: D(PIB,2)Method: Least SquaresMethod: Least SquaresDate: 09/21/07 Time: 21:51Date: 09/21/07 Time: 21:51

Prueba de estacionariedad ADFPrueba de estacionariedad ADF

Modelaje mediante BJ ARIMAModelaje mediante BJ ARIMA• AutocorrelationAutocorrelation Partial CorrelationPartial Correlation AC AC PAC PAC Q- Q-

StatStat Prob Prob• . |. |**** | | . | . |**** | | 11 0.3160.316 0.3160.316 9.01369.01360.0030.003• . |*. |. |*. | . |*. | . |*. | 22 0.1860.186 0.0950.095 12.16512.1650.0020.002• . | . |. | . | . | . | . | . | 33 0.0490.049 -0.038-0.038 12.38912.3890.0060.006• . | . |. | . | . | . | . | . | 44 0.0510.051 0.0330.033 12.63112.6310.0130.013• . | . |. | . | . | . | . | . | 55 -0.007-0.007 -0.032-0.032 12.63612.6360.0270.027• . | . |. | . | . | . | . | . | 66 -0.019-0.019 -0.020-0.020 12.67212.6720.0490.049• .*| . | .*| . |.*| . | .*| . | 77 -0.073-0.073 -0.062-0.062 13.18813.1880.0680.068• ****| . | | . | ****| . || . | 88 -0.289-0.289 -0.280-0.280 21.38021.3800.0060.006• .*| . |.*| . | . |*. | . |*. | 99 -0.067-0.067 0.1280.128 21.82021.8200.0090.009• . | . |. | . | . |*. | . |*. | 1010 0.019 0.019 0.1000.100 21.85521.8550.0160.016• . | . |. | . | . | . | . | . | 1111 0.037 0.037 -0.008-0.008 21.99121.9910.0240.024• ****| . | **| . || . | **| . | 1212 -0.239 -0.239-0.311-0.311 27.89227.8920.0060.006• .*| . |.*| . | . | . | . | . | 1313 -0.117 -0.1170.0110.011 29.31429.3140.0060.006• **| . | .*| . |**| . | .*| . | 1414 -0.204 -0.204-0.114-0.114 33.71233.7120.0020.002• .*| . |.*| . | . | . | . | . | 1515 -0.128 -0.128-0.051-0.051 35.47435.4740.0020.002• . | . |. | . | . | . | . | . | 1616 -0.035 -0.035-0.021-0.021 35.61035.6100.0030.003

Estimación del modelo tentativo DPIB = C AR(1) AR(8) AR(!Estimación del modelo tentativo DPIB = C AR(1) AR(8) AR(!2)2)

• Dependent Variable: D(PIB)Dependent Variable: D(PIB)• Method: Least SquaresMethod: Least Squares• Date: 09/21/07 Time: 22:11Date: 09/21/07 Time: 22:11• Sample(adjusted): 1973:2 1991:4Sample(adjusted): 1973:2 1991:4• Included observations: 75 after adjusting endpointsIncluded observations: 75 after adjusting endpoints

• Convergence achieved after 3 iterationsConvergence achieved after 3 iterations• VariableVariable CoefficientCoefficient Std. ErrorStd. Error t-Statistict-Statistic Prob. Prob. • CC 23.08936 23.08936 2.9803562.980356 7.7471817.747181 0.00000.0000• AR(1)AR(1) 0.3427680.342768 0.098794 0.098794 3.4695313.469531 0.00090.0009• AR(8)AR(8) -0.299466-0.299466 0.1015990.101599 -2.947523-2.947523 0.00430.0043• AR(12)AR(12) -0.264371-0.264371 0.0985820.098582 -2.681742-2.681742 0.00910.0091• R-squaredR-squared 0.2931240.293124 Mean dependent var Mean dependent var 21.5293321.52933

• Adjusted R-squaredAdjusted R-squared 0.2632560.263256 S.D. dependent var S.D. dependent var36.5593636.55936

• S.E. of regressionS.E. of regression 31.3803031.38030 Akaike info criterion Akaike info criterion 9.7820969.782096

• Sum squared residSum squared resid 69915.3369915.33 Schwarz criterion Schwarz criterion9.9056959.905695

• Log likelihoodLog likelihood -362.8286-362.8286 F-statistic F-statistic 9.8139659.813965• Durbin-Watson statDurbin-Watson stat 1.7663171.766317 Prob(F-statistic) Prob(F-statistic)

0.0000170.000017

Verificación del modelo a través del correlograma Verificación del modelo a través del correlograma de los residualesde los residuales

• Date: 09/21/07 Time: 22:18Date: 09/21/07 Time: 22:18

• Sample: 1973:2 1991:4Sample: 1973:2 1991:4• Included observations: 75Included observations: 75• Q-statistic probabilities adjusted for 3 ARMA term(s)Q-statistic probabilities adjusted for 3 ARMA term(s)

• AutocorrelationAutocorrelation Partial CorrelationPartial Correlation AC AC PAC PAC Q-Stat Q-Stat ProbProb

• . | . |. | . | . | . | . | . | 11 -0.054-0.054 -0.054-0.054 0.22950.2295• . |*. |. |*. | . |*. | . |*. | 22 0.159 0.159 0.156 0.156 2.22582.2258• .*| . |.*| . | .*| . | .*| . | 33 -0.115-0.115 -0.102-0.102 3.29483.2948• . | . |. | . | . | . | . | . | 44 -0.017-0.017 -0.052-0.052 3.31853.3185 0.0690.069• .*| . |.*| . | . | . | . | . | 55 -0.067-0.067 -0.037-0.037 3.69073.6907 0.1580.158 • . |*. |. |*. | . |*. | . |*. | 66 0.141 0.141 0.143 0.143 5.36095.3609 0.1470.147• . | . |. | . | . | . | . | . | 77 -0.026 -0.008-0.026 -0.008 5.41795.4179 0.2470.247• . |** |. |** | . |*. | . |*. | 88 0.242 0.242 0.196 0.196 10.46010.460 0.0630.063• . | . |. | . | . | . | . | . | 99 -0.034-0.034 0.007 0.007 10.56310.563 0.1030.103• . | . |. | . | . | . | . | . | 1010 0.037 0.037 -0.023-0.023 10.68110.681 0.1530.153• .*| . |.*| . | .*| . | .*| . | 1111 -0.117-0.117 -0.070-0.070 11.91711.917 0.1550.155• . | *. |. | *. | . |*. | . |*. | 1212 0.079 0.079 0.079 0.079 12.48412.484 0.1870.187• . | . |. | . | . | . | . | . | 1313 -0.001-0.001 0.053 0.053 12.48412.484 0.2540.254• . | *. |. | *. | . |*. | . |*. | 1414 0.194 0.194 0.120 0.120 16.03116.031 0.1400.140• . | *. |. | *. | . |*. | . |*. | 1515 0.069 0.069 0.093 0.093 16.49416.494 0.1700.170

Estimación del PIB para 1992-IEstimación del PIB para 1992-I

ŶŶ92-192-1 – Y – Y91-491-4 = =δδ + + αα11[Y [Y 91-491-4 -Y -Y91-391-3] + ] + αα88[Y [Y 89-489-4 – –YY89-389-3] + ] + αα1212[Y [Y 88-488-4 –Y –Y88-388-3 ] + ] +µµ

ŶŶ92-192-1=23.0894+(1+0.3428)Y=23.0894+(1+0.3428)Y91-491-4 -0.3428Y -0.3428Y91-391-3

+(-0.29949)Y+(-0.29949)Y89-4 89-4 –(-0.2994)Y–(-0.2994)Y89-3 89-3

+(-0.2644)Y+(-0.2644)Y88-4 88-4 –(-0.2644)Y–(-0.2644)Y88-388-3

=4876.7 miles de millones de $us=4876.7 miles de millones de $us

FINFIN

Gracias por su atención ,deseándoles Gracias por su atención ,deseándoles mucha suerte,aunque a la suerte hay que mucha suerte,aunque a la suerte hay que

merecerlamerecerla

Lic.Porfirio Arduz Urquieta.Lic.Porfirio Arduz Urquieta.