contabilidade social carmen feijó … [et al.] –4ª...
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CAPÍTULO 7 – NÚMEROS ÍNDICES
Professor Rodrigo Nobre Fernandez
Pelotas2014
Contabilidade SocialCarmen Feijó … [et al.] – 4ª edição
Introdução
• Este capítulo apresenta a teoria básica dos números-índice
• Se procura estabelecer as ligações entre essas formulações e as operaçõesdas contas nacionais a preços correntes e constantes
• Veremos também os procedimentos necessários para a mudança da base decompração de uma série de números-índice
• Assim busca-se desenvolver as formulações necessárias ao cálculo dosnúmeros-índice e destacar alguns conceitos básicos e de ordem mais práticaque são necessários a uma compreensão mais completa das equaçõessubsequentes
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Conceitos Básicos
Um número-índice é uma medida que sintetiza, em uma expressãoquantitativa, a variação média, entre duas situações, de todos os elementosde um conjunto
As comparações podem se dar em períodos de tempo, regiões geográficasou conjunto de pessoas
Por exemplo: a produção da industrial é composta de uma diversidade deprodutos, medidos em diferentes unidades. Logo é necessário desenvolverprocedimentos que possibilite adicionar quantidades diferentes: número-índices.
UNIDADES MONETÁRIAS VALOR
UNIDADES FÍSICAS QUANTIDADE
VALOR UNITÁRIO PREÇO
VALOR = QUANTIDADE X PREÇO
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Conceitos Básicos
Vamos utilizar a teoria do consumidor para termos uma definição precisa deum índice de custo de vida. Imagine que do período 0 para o 1 o sistema depreços passe de (p10, p20) pra (p11, p21). Seja R0 a renda inicial doconsumidor e R1 a renda que ele precisaria obter ao sistema de preços final omesmo nível de utilidade.
Então definimos o índice de custo de vida como a razão entre R1 /R0.
Para simplificar nossos cálculos suponha que o consumidor possuia a seguintefunção de utilidade :
Por simplicidade considere que a+b=1.
Ao resolvermos o problema de otimização do consumidor encontraremos que:
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baxxxxU 2121,
ba
a
p
mx
1
1 ba
a
p
mx
1
1
Conceitos Básicos
Inserindo os valores das quantidades ótimas na função de utilidade temosque:
Logo a renda indireta é dada por:
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baba
p
b
p
am
ba
a
p
m
ba
a
p
mmpV
2121
,
ba
b
p
a
pmpVm
21,
Conceitos Básicos
Usaremos os conceitos de e . Note que se os preçosevoluem de (p10, p20) para (p11, p21) a relação das rendas nominais quemantém o consumidor sobre o mesmo nível de indiferença é dada por:
Essa expressão é o verdadeiro custo de vida do consumidor. Trata-se de um índicegeométrico, isto é, da média geométrica das relações de preços do período 1 com operíodo 0, com os pesos iguais a “a” e “b”.
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00 mR 11 mR
ba
p
p
p
p
R
RI
20
21
10
11
0
110
Produto
A primeira questão é identificar o que queremos medir o valor, o preço ou aquantidade
Em economia eles estão associados a bens e serviços transacionados,chamados genericamente de produtos
Derivam-se da produção, consumo intermediário, consumo final, estoque,exportação, importação e etc
Exemplo: o valor da produção de uma empresa é calculado pela soma dovalor dos produtos que produz, ou seja, o valor da produção de umaatividade não é uma variável que possa ser mensurada diretamente
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Período de Coleta
Um número-índice apresenta a variação de preços, quantidade ou valor deum conjunto de produtos entre dois períodos de tempo
Podem ser realizadas dois tipos de coletas:
No mesmo dia: todos os dados são coletados em um mesmo dia.Assim a variação é obtida por um vetor de dados (por produto)referenciado a um dia com um outro vetor referenciado a um diaanterior. Esse índice é chamado ponto a ponto.
Ao longo: dados coletados durante um período, por exemplo umasemana ou um mês. Para se obter um vetor de dados, calcula-se amédia dos dados para cada período e a comparação é feita entre essesvetores.
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Conceito de Relativo :Percentual, Multiplicador e Número-Índice
Suponha que um produto tenha no período t = 0 o preço de $500 / ton e noperíodo seguinte, t = 1, $800 / ton. A variação de preços do exercícios, podeser representada como:
Uma variação percentual: (1,60 – 1) x 100 = 60%
Um número índice: 1,60 x 100 = 160
Um multiplicador: 1,60
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60,1500
800
0
1
t
t
P
PP
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Conceito de RelativoPercentual, Multiplicador e Número-Índice
Genéricamente:
variação percentual = [(p2/p1)-1]x100
número índice = variação percentual + 100
número índice = multiplicador x 100
multiplicador = (variação percentual/100) +1
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Conceito de RelativoExemplo 2 e 3
Suponha que o preço de um produto aumentou de $ 5.000,00 / un para $97.000,00 / un entre dois períodos. Calcule a variação percentual, onúmero-índice e o multiplicador que representam essa variação
Sabendo que um produto teve aumento de 435% entre dos períodos e queseu preço no período inicial era de $ 720,00 / un, calcule o preço no períodofinal
435%: multiplicador de (435 / 100) + 1 = 5,35
Preço no período final: 720,00 x 5,35 = 3.852
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4,195000
97000
0
1
t
t
P
PP
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Relativos
O conceitos de relativos está associado à variação do valor, preço ouquantidade de único produto para uma dada operação econômica, entredois períodos. Por ser a variação de um único produto, pode ser feitodiretamente pela razão dos valores entre o período final e o inicial
Variação nos preços
Variação nas quantidades
multiplicador número-índice
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i
iti
tpp
pM
0
,0
i
iti
tqq
qM
0
,0 1000
,0 i
iti
tq
Mp0,t = multiplicador do produto i entre os períodos 0 e t
p0 = preço do produto i no período 0
pt = preço do produto i no período t
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Período-base
É o período ao qual todos os relativos de uma série estão associados
Um série com base fixa em 0 é escrita como:
p01 – número-índice entre o período 0 e 1
p02 – número-índice entre o período 0 e 2
p03 – número-índice entre o período 0 e 3
...
p0n – número-índice entre o período 0 e n
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Período-base
Quando se trabalha com relativos, a variação em valor pode ser obtida deduas maneiras:
Pela razão entre o valor dos produtos nos dois períodos
Multiplicador número –índice
Pelo produto do índice de preço pelo de quantidade
Multiplicador
Número –índice
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i
iti
tvv
vM
0
,0 1000
,0 i
iti
tv
vv
itq
itp
itv MMM ,0,0,0
100,0,0,0 itq
itp
it MMv
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Período-baseExemplo
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Seja o conjunto de informações sobre a quantidade e o preço decomputadores em um período de quatro anos. Escolhendo 1985 comobase, calcule os número-índices para valor, preço e quantidade
Calculando número-índice para preços:
85 (2/2) x 100 = 100 86 (3/2) x 100 = 150
87 (9/2) x 100 = 450 88 (29/2) x 100 = 1450
Período Preço ($/un) Quantidade (un) Valor ($)
85 2 2 4
86 3 5 15
87 9 7 63
88 29 15 435
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Período-baseExemplo
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Repetindo o precedimento para as três variáveis, tem-se:
O cálculo correto da variação de valor é realizado com os multiplicadores:
Período Preço ($/un) Quantidade (un) Valor ($)
85 100 100 100
86 150 250 375
87 450 350 1.575
88 1.450 750 10.875
75,1085,75,14
)100/750()100/450.1(
88,85
88,85
iv
iv
M
M
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Período-baseExemplo
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Suponha agora que o período base seja mudado de 1985 para 1987,calcule a nova série de relativos
A mudança pode ser feita como no caso anterior, partindo das informaçõesoriginais ou utilizando a série de números-índices base 1985 já calculada
Basta dividir toda a série pelo número-índice do novo ano-base
85 (100/450) x 100 = 22,22 88 (1.450/450) x 100 = 322,22
Período Preço ($/un) Quantidade (un) Valor ($)
85 22,22 28,57 6,35
86 33,33 71,43 23,81
87 100 100 100
88 322,22 214,29 690,48
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Elos de relativos e relativos em cadeia
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Seja uma sequência de relativos de preços, expressos como índices, emintervalos sucessivos:
Cada uma dessas variações é chamada de elo relativo
A variação entre o período 4 e o período 1 pode ser calculada peloencadeamento dos elos (encadeamento da série). Assim:
Exemplo: são conhecidos os seguintes números-índices: q13 e q23 . Calculea variação de quantidade entre 1 e 2
1,5645342312 ,........,,,,, jjpppppp
)( 34231214 IpIpIpIp
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Elos de relativos e relativos em cadeia
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1002312
13
IqIqIq
10012
23
13 IqIq
Iq
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Base de uma série de números-índice
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Uma série de números-índices pode ter como referência (base) um períodofixo ou um período móvel.
BASE FIXA: a série de números-índices é toda referenciada ao mesmoperíodo (fixo)
BASE MÓVEL: o período de referência (base) muda para cada elo relativocalculado
nvvvvvv 00504030201 ,........,,,,,
nnpppppp ,14534231201 ,........,,,,,
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Critérios de avaliação de um número-índice
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Os critérios são utilizados para avaliar as qualidades e deficiências de umnúmero-índice, foram desenvolvidos por Irving Fisher
IDENTIDADE
PROPORCIONALIDADE quando todos os produtos tiverem
variação constantes e igual a
MUDANÇA DE UNIDADE é invariante à mudanças na unidade demedida adotada
100ou0,1, aaI
baI ,
baI ,
21
Critérios de avaliação de um número-índice
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REVERSIBILIDADE
CIRCULAR
CIRCULAR MODIFICADA
EXEMPLO
Prove os critérios de números-índices para a seguinte série de preços
100ou0,1,, baab II
100ou0,1,,, accbba III
dadccbba IIII ,,,,
Períodos 85 86 87 88
Preços 2 3 9 29
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Critérios de avaliação de um número-índice
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Identidade:
Proporcionalidade:
Admitindo uma mudança de unidade em 1986, com p86=4
Portanto esse índice não é invariante.
12
2
85,85
85,8585,85
Ip
IpIp
23
2
3
85
8686,85
p
pIp
2
3
2
4
85
8686,85
p
pIp
Critérios de avaliação de um número-índice
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Reversibilidade:
Circularidade:
24
19
2
3
9
2
3
87
85
86
87
85
8685,8787,8686,85
p
p
p
p
p
pIpIpIp
13
2
2
3
86
85
85
8685,8686,85
p
p
p
pIpIp
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Essa propriedade estabelece que a variação em valor de determinadavariável poderia ser obtida diretamente a partir da sua variação de preçomultiplicada por sua variação de quantidade, ambas calculadas pelo mesmonúmero-índice
Exemplo: uma indústria vendeu, em 1987, 17.000 ton de seu produto a umpreço médio, no ano, de 1,5 $/ton. No ano seguinte, suas vendas foram de19.500 ton com um preço médio de 6,0 $/ton. Analise a evolução dasvendas dessa empresa sabendo que nesse período a inflação foi de 600%
IvIqIp
VQP
Decomposição das Causas
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Decomposição das Causas
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1987 1988 Índice (x100)
Q 17.000 19.500 114,7
P 1,5 6,0 400,0
V=pxq 25.500 117.000 458,8
Analisando o índice médio da economia 700 (NÍndice= var% + 100) com o índice do setor temos que: (400/700) = 0,57 ou seja o preço do setor cresceu 43% abaixo da média.
As vendas aumentaram em termos reais em 14,7%
O valor das receitas aumentou de um índice de 458,8, isto é, em termos percentuais 358,8%
88,8788,8788,87 MqMpMv
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Decomposição das Causas
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Para compensar a queda nos preços, quanto deveriam crescer as vendasreais?
Para que pelo menos as receitas acompanhassem a inflação, o índice devalor da empresa deveria ser igual a inflação, deste modo:
7 = 4 x Mq -> Mq = 1,75 ou Iq = 1,75 x 100 = 175
Portanto, somente um aumento de 75% nas vendas equilibraria esseperíodo em relação à média de preços na economia.
O cálculo de variações de preços e quantidades pode ser realizadodiretamente quando está utilizando apenas um produto
Quando há a nacessidade de se calcular variações de um conjunto deprodutos utilizamos a média, como uma forma de sintetizar a variação detodos os produtos em uma única variação
Os métodos mais usuais para captar variações na média são os índicesagregativos simples (Índice de Bradstreet)
Outros índices que utilizam base de ponderação, apresentando pesosdiferenciados para cada produto também serão visto
Índices de Laspeyres e Índice de Paasche
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Emprego das médias para cálculo do número-índice
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A primeira proposta foi simplesmente calcular a razão entre a médiaaritmética dos preços ou quantidades para cada período
Seja um conjunto com n produtos, de acordo a proposição de Bradstreet, osnúmeros índices de preços e quantidades seriam calculados, para i = 1, 2,3, ...,
Preços Quantidades
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Índice Agregativo Simples (Bradstreet)
n
i
i
n
i
it
n
i
i
n
i
it
pt
p
p
n
p
n
p
I
10
1
10
1
,0
n
i
i
n
i
it
n
i
i
n
i
it
qt
q
q
n
q
n
q
I
10
1
10
1
,0
29
A restrição a essa formulação é o fato de adicionar unidades de medidadiferentes
Obtemos um resultado não invariante em relação à unidade de medidaadotada
Exemplo:
Pela tabela 1: (150+400)/(100+200)=1,83 ou 183,33 ou 86,33%
Pela tabela 2: (150.000+400)/(100.000+200)= 1,501 ou 150,1
Uma simples alteração na unidade pode influenciar o resultado em 22%(1,833/1,501)-1.
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Índice Agregativo Simples (Bradstreet)
Tabela 1. $/kg Tabela 2. $/tonelada
Período 0 1 Período 0 1
Produto A 100 150 Produto A 100.000 150.000
Produto B 200 400 Produto B 200 400
30
Para contornar o problema de adicionar unidades diferentes, Sauerbeckpropôs que os números-índice fossem obtidos pela média aritmética dosrelativos de cada produto
O cálculo das variações individuais elimina o problema da unidade demedida, pois as variações são adimensionais
Preços Quantidades
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Índice Agregativo Simples
n
p
n
p
p
I
n
i
it
n
ii
it
pt
1
,01 0
,0n
q
n
q
q
I
n
i
it
n
ii
it
qt
1
,01 0
,0
31
As fórmulas apresentadas calculam índices entre um período inicial 0 e umperíodo final t, t=1,...n, ou seja, formam uma série base fixa no períodoinicial 0 com índices até o período n. Para calcular uma série base móvel,período contra período anterior, basta considerar períodos sucessivos naaplicação das fórmulas:
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Índice Agregativo Simples (Bradstreet)
n
p
n
p
p
I
n
i
itt
n
iit
it
ptt
1
,1
1 1,1
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Exercício
Calcule os índices Agregativo Simples e de Sauerbeck para os dadosapresentados na tabela a seguir. Prove se o critério da circularidade éatendido pelos dois métodos.
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Índice Agregativo Simples
Produto t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
1 1,5 2,0 1,8 3,0
2 2,0 2,0 3,0 4,0
3 5,0 3,0 6,0 6,0
33
Calcule os índices Agregativo Simples:
Ip(1,2) = (2+2+3)/(1,5+2+5)=7/8,5= 0,8235
Ip(1,3) = (1,8+3+6)/(1,5+2+5)=10,8/8,5= 1,27
Ip(2,3)= (1,8+3+6)/(2+2+3)=1,543
Temos que:
Ip(1,2) x Ip(2,3) = Ip(1,3)
0,8235x1,543 = 1,27
Isto indica que o índice de bradstreet atende a propriedade de circularidade.
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Índice Agregativo Simples
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Usando a equação temos que:
Verificando a circularidade:
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Índice de Sauerbeck
35
78,975
3
2
2
5,1
2
3
12,1
pI 130
5
6
2
3
2
8,1
3
13,1
pI
67,1463
6
2
3
2
8,1
3
13,2
pI
2,1
3,2
3,1p
p
pI
I
I 886,0
67,146
130
Índice de médias simples desconsideram a importância relativa de umproduto em um conjuntos de n bens
A maneira de calcular os números índices deve superar problemas como:análise da evolução dos preços em uma economia sem ponderar aimportância de um automóvel e quilos (toneladas) de feijão
A ponderação proposta pelos métodos mais utilizados é a participação dovalor de cada produto no valor total da operação realizada, comoprodução, consumo, vendas, compras, etc
Assim, temos:
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Números-Índice PonderadosBase de Ponderação
n
i
it
it
it
it
n
i
it
iti
t
qp
qp
v
v
11
36
Exemplo: dados os preços e quantidades para três produtos transacionadosnos períodos 0 e 1, calcule a base de ponderação para esses produtos emcada período
Este é o modo como o IBGE pondera os índices de preço ao consumidor. Érealizado através de entrevista domiciliares que levantam o peso de cadaproduto no consumo da família
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Números-Índice PonderadosBase de Ponderação
p0 q0 p1 q1 p0 x q0 p1 x q1 ω0 ω1
Alimentação 7 2 8 2 14 16 0,438 0,286
Vestuário 3 1 4 2 3 8 0,093 0,143
Transporte 5 3 8 4 15 32 0,469 0,571
Total 32 56 1,0 1,0
37
A metodologia do índice de Laspeyres propõe que os números-índicessejam calculados pela média aritmética ponderada das variações de cadaproduto
O índice adota o período inicial para cálculo dos pesos, logo para umconjunto de n bens, temos
Preços Quantidades
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Índice de Laspeyres
n
i
ii
n
i
iit
pt
qp
qp
L
100
10
,0
n
i
ii
n
i
iit
qt
pq
pq
L
100
10
,0
38
Seja um conjunto de n bens e o período de 0 a t, temos que:
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Índice de LaspeyresDerivação do índice de preços
n
i
ii
n
ii
itii
n
i
i
n
ii
iti
pt
qp
p
pqp
p
p
L
100
1 0
00
10
1 0
0
,0
n
i
iit
nnttttt
n
ntnntt
n
ii
itii
qpqpqpqpqpqp
p
pqp
p
pqp
p
pqp
p
pqp
100
40
430
320
210
1
0
0020
220
201
0
110
10
1 0
00
...
...
Logo, obtemos...
resolvendo o numerador...
n
i
ii
n
i
iit
pt
qp
qp
L
100
10
,0
39
11
0
n
i
i
Seja um conjunto de n bens e o período de 0 a t, temos que:
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Índice de LaspeyresDerivação do índice de quantidades
n
i
ii
n
ii
itii
n
i
i
n
ii
iti
qt
pq
q
qpq
q
q
L
100
1 0
00
10
1 0
0
,0
n
i
iit
nnttttt
n
ntnntt
n
ii
itii
pqpqpqpqpqpq
q
qpq
q
qpq
q
qpq
q
qpq
100
40
430
320
210
1
0
0020
220
201
0
110
10
1 0
00
...
...
resolvendo o numerador...
Logo, obtemos...
n
i
ii
n
i
iit
qt
pq
pq
L
100
10
,0
40
A metodologia do índice de Paasche utiliza a média harmônica ponderadapara o cálculo dos números-índice e adota o período final como referênciapara a base de ponderação
Para um conjunto de n bens, temos
Preços Quantidades
Responde a seguinte questão: de quanto $ a preços correntes um indivíduonecessita para comprar uma cesta de bens e serviços no ano corrente,dividido pelo custo de aquisição da mesma cesta a preços do ano-base?
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Índice de Paasche
n
i
it
i
n
i
it
it
pt
qp
qp
P
10
1,0
n
i
iit
n
i
it
it
qt
qp
qp
P
10
1,0
41
Seja um conjunto de n bens e o período de 0 a t, temos que:
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Índice de PaascheDerivação do índice de preços
n
iit
iit
n
i
it
it
n
iit
iit
n
i
it
pt
p
p
qp
p
pP
1
0
1
1
0
1,0
n
i
it
int
ntttt
nt
nnt
nt
t
tt
t
tt
n
iit
iit
qpqpqpqpqpqp
p
pqp
p
pqp
p
pqp
p
p
100
440
330
220
110
02
2022
1
1011
1
0
...
...
Logo, obtemos... Note que o peso será w1
n
i
it
i
n
i
it
it
pt
qp
qp
P
10
1,0
42
Seja um conjunto de n bens e o período de 0 a t, temos que:
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Índice de PaascheDerivação do índice de quantidades
n
iit
iit
n
i
it
it
n
iit
iit
n
i
it
qt
q
q
qp
q
qP
1
0
1
1
0
1,0
n
i
iit
nnttttt
nt
nnt
nt
t
tt
t
tt
n
iit
iit
qpqpqpqpqpqp
q
qqp
q
qqp
q
qqp
q
q
100
40
430
320
210
1
02
2022
1
1011
1
0
...
...
Logo, obtemos...
resolvendo o denominador...
n
i
iit
n
i
it
it
qt
qp
qp
P
10
1,0
43
Os índices de Laspeyres e Paasche apresentam relações interessantes,uma vez que utilizando a média ponderada, preços e quantidades para suasrespectivas metodologias
O índice de Paasche é maior do que o de Laspeyres se os preços equantidades tenderem a se mover na mesma direção entre os períodos 0 et
O índice de Laspeyres é maior se os preços e quantidades tenderem a semover em direções contrárias
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Relação entre Laspeyres e Paasche
0
0
,,
,0,,0
,,,0
,,0
qpqpt
qpt
qpqpt
qpt
PL
LP
44
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Relação entre Laspeyres e Paasche
qp
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
qp
qpCOV
qqpp
qqpp
,
1
2
1
2
1,
45
Para formar o índice de Laspeyres é exigido sempre a ponderação peloperíodo inicial, obrigando sempre o cálculo de uma nova estrutura deponderação
Ao se alterar essa estrutura para cada período, a referência para a sériesde índices, faz com que a série encadeada não seja circular
A solução para essa questão é estabelecer uma estrutura de ponderaçãofixa qualquer que seja o período calculado
A vantagem do LM é garantir que:
LM0,2 = LM0,1 x LM1,2
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Laspeyres modificado
i
t
it
n
i
iptt
p
pLM
110,1
i
t
it
n
i
iqtt
q
qLM
110,1
46
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Interpretação econômica dos Índices de Laspeyres e Paasche
Os índices de Laspeyres e Paasche podem ser interpretados comoindicadores que fazem a passagem de valores nominais para valores reais
Valor nominal: é o valor das transações econômicas calculado com aquantidade transacionada e seu preço no mesmo período
Valor constante: é o valor das transações econômicas calculado com asquantidades transacionadas no período considerado (t), porém os preçosadotados no cálculo do valor fixados em um ponto do período (1).
Exemplo: uma família compra uma única vez a carne, feijão que consumirádurante um mês. Para analisar crescimento do consumo, temos:
p1 q1 p2 q2 p3 q3
Carne 100 2,0 190 1,5 130 2,3
Feijão 55 1,0 60 1,8 70 2,5
47
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Interpretação econômica dos Índices de Laspeyres e Paasche
Valor nominal dos gastos mensais com carne:
Mês 1 100 x 2,0 = 200
Mês 2 190 x 1,5 = 285 crescimento: (285/200) = 1,425 ou 42,50%
Mês 3 130 x 2,3 = 299 crescimento: (299/285) = 1,049 ou 4,9%
Nota-se que ocorreu um aumento dos GASTOS no mês 2 e uma queda nomês 3. Porém, somente com dados nominais nada mais pode ser dito
Analisa-se a variação REAL dos gastos estabelecendo o mês 1 comoreferência:
Mês 1 100 x 2,0 = 200
Mês 2 100 x 1,5 = 150 decréscimo: (150/200) = 0,75 ou -25%
Mês 3 100 x 2,3 = 230 crescimento: (230/150) = 1,533 ou 53,33%
48
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Interpretação econômica dos Índices de Laspeyres e Paasche
Análises econômicas necessitam de informações que permitam identificar,nas variações em valor nominal, o papel das variações de preço e dequantidade
Assim, podemos estabelecer as seguintes relações, considerando 0 períodoinicial e 1 período final...
Valor nominal em 0 x índice de quantidade entre 0 e 1 = valor real em 1
Valor real em 1 x índice de preço 0,1 = valor nominal em 1
)1(11
01,001
0i
n
i
iqin
i
i qpIqp
)2(11
11,011
0i
n
i
ipin
i
i qpIqp
49
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Interpretação econômica dos Índices de Laspeyres e Paasche
Podemos reescrever (1), como:
Reescrevendo (2), temos:
)3(,0
01
0
10
01
0
11
0
1,0qt
in
i
i
it
n
i
i
in
i
i
in
i
i
q L
qp
qp
qp
qp
I
)4(,0
10
1
11
0
11
1
1,0pt
it
n
i
i
it
n
i
it
in
i
i
in
i
i
p P
qp
qp
qp
qp
I
50
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Interpretação econômica dos Índices de Laspeyres e Paasche
Podemos perceber que as relações nos levam a um índice de quantidadede Laspeyres e índice de preços de Paasche
Assim, verifica-se que o índice de valor, entre os períodos 0 e 1, é obtidopela multiplicação de um índice de quantidade de Laspeyres por um índicede preço de Paasche
Temos, então:
IMPORTANTE: os índices de Laspeyres e Paasche não atendem aoprincípio de decomposição das causas, pois:
pqvqpv PLIouPLI 1,01,01,01,01,01,0
qpvqp PPILL 1,01,01,01,01,0
51
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Índice de Fischer
Também chamado de índice ideal, o índice de Fischer foi proposto paratentar diminuir as distorções entre os índices de Laspeyres e Paasche. Paratal, foi definido como a média geométrica desses dois índices
Este índice não atende ao critério da circularidade, mas atende àdecomposição das causas, que era o objetivo central de sua formulação
Desvantagens:
Há necessidade de se calcular previamente os índices de Laspeyres ePaasche, provocando aumento nos custos e no tempo necessário paraseus cálculos e divulgação
Não é um índice de compreensão fácil
qt
qt
qt
pt
pt
pt PLFPLF ,0,0,0,0,0,0
52
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Exercício
Uma pesquisa sobre gastos das famílias obteve os seguintes dados paratrês períodos
Calcule as estruturas de ponderação
Calcule o índice de Laspeyres (0,1) preço e quantidade pela estrutura de ponderação efórmula geral
Calcule Laspeyres preços para 0,2 – 0,1 e 1,2 verifique se o critério de circularidade éatendido
Calcule Paasche quantidade e preço para o período 1,2
q0 p0 q1 p1 q2 p2
Alimentação 5,0 1,0 6,0 1,2 4,5 1,7
Vestuário 0,5 3,0 1,0 3,0 0,5 4,0
Energia 1,0 0,5 0,8 0,8 1,0 1,2
Transporte 3,0 1,0 2,0 1,5 3,0 1,8
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Exercício
Produção V0 V1 V2 w0 w1 w2
Alimentação 5,0 7,2 7,65 0,50 0,52 0,47
Vestuário 1,5 3 2,0 0,15 0,22 0,12
Energia 0,5 0,64 1,2 0,05 0,04 0,08
Transporte 3,0 3 5,4 0,30 0,22 0,33
Total 10 13,84 16,25 1 1 1
54
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Exercício
55
1281
5,13,0
5,0
8,005,0
3
315,0
1
2,15,01,0
PL
710,11
8,13,0
5,0
2,105,0
3
415,0
1
7,15,02,0
pL
354,15,1
8,122,0
8,0
2,104,0
3
422,0
2,1
7,152,02,1
PL
Note que o critério da circularidade não é atendido:PPP LLL 2,01,02,1
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Exercício
56
343,15,1
8,13,0
8,0
2,105,0
3
415,0
2,1
7,15,02,1
PL
Deste modo o critério é atendido.
Utilizando o Índice de Laspeyres modificado:
O Índice de Paasche de quantidade direta e implicitamente para o período 1-2:
8662,08,122,18,0417,16
8,132,1145,07,15,42,1
QP
Calculando implicitamente:
8672,0354,1
1741,1
354,1
84,13
25,16
354,11
2
2,1
2,12,1
V
V
L
IP
P
vQ
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Índice de Volume
Um índice de volume é uma média de variações relativas nas quantidadesde um determinado conjunto de bens e serviços entre dois períodostemporais
Seja o exemplo: uma indústria automobilística com dois tipos de automóvel,o popular e o luxo,e os dados de preço e quantidade produzida, em doisperíodos, são apresentados na tabela a seguir
Calculando para automóvel...
Índice de preço (8/2,5) x 100 = 320
Índice de quantidade (100/100) x 100 = 100
Índice de valor (8x100)/(2,5x100) x 100 = 320
p0 q0 p1 q1
Popular 1 50 2 0
Luxo 4 50 8 100
Automóvel 2,5 100 8 100
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Índice de Volume
No caso de serem disponíveis informaçõe detalhadas, é necessário utilizaras equações de Laspeyres e Paasche
Índice preço – Paasche
Índice quantidade - Laspeyres
200100100401
100802
10
11,0
n
i
it
i
n
i
it
it
p
qp
qp
P
160100450150
410010
100
10
1,0
n
i
ii
n
i
iit
q
pq
pq
L
58
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Índice de Volume
Índice de valor
Dessa forma, as variações do produto automóvel, calculadas por umagregado ou por dados mais detalhados, têm o mesmo resultado para ovalor, porém há uma mudança quando se consideram quantidade e preço
Apesar das quantidades permanecerem inalteradas em seu total, há umaumento do valor adicionado por cada veículo ao parar de produzir um bempopular para se concentrar em um de luxo
Assim, o índice de Laspeyres quando temos informações detalhadas,calcula não a variação da quantidade mas sim a variação de volume, ouseja, um aumento real no valor adicionado por cada bem chamadoautomóvel
3201006,10,21,01,01,0 qpv LPI
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A escolha de um período para base de comparação de uma série denúmeros-índice de ve considerar, principalmente:
Períodos considerados normais
Proximidade entre as bases de ponderação e comparação
Qualquer que seja a base de ponderação adotada para um índice deLaspeyres a sua base permanece inalterada
A mudança de uma base consiste em recalcular a série com um novoperíodo como referência. Consideram-se três mudanças:
Base móvel para base fixa
Base fixa para base fixa
Base fixa para base móvel
Mudança da base de comparação em uma sériede números-índice
60
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Seja a seguinte série de índices base móvel
A mudança é feita admitindo-se que o critério de circularidade seja atendidopela série considerada, assim uma base fixa no período 0 seria calculadapor
Base móvel para base fixa
ttIIII ,13,22,11,0 ...
tttttt IIIIIII
IIII
III
II
,11,0,13,22,11,0,0
3,22,11,03,0
2,11,02,0
1,01,0
...
...
61
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Supondo agora uma nova série com base diferente de 0, ou seja, em umperíodo genérico i no meio da série, temos
Para perído anterior a base Para período posterior
Base móvel para base fixa
1
.../1
.../1
.../1
,
,12,11,,
,13,22,1,1
,12,11,0,0
ii
iijjjjij
iii
iii
I
IIII
IIII
IIII
ttiiiiti
iiiiii
iiii
IIII
III
II
,12,11,,
2,11,2,
1,1,
...
...
62
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A passagem de uma série base fixa para uma outra base fixa resume-se àmudança do período de referência através de uma regra de três. Seja aseguinte série com base no período 0
Uma série base fixa no período 3 ficaria
Supondo conhecida a série no período 0, sua mudança para uma série combase fixa no período 3 ficaria
Base fixa para base fixa
tIIIII ,03,02,01,00,0 ...
tIIIII ,34,33,32,31,3 ...
3,04,04,3
3,03,03,3
3,02,02,3
3,01,01,3
III
III
III
III
A passagem de uma base fixa para outraresume-se a simplesmente dividir a sérieinicial pelo valor do multiplicador no novoperíodo-base e depois multiplicar por 100
63
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Seja uma série de multiplicadores para uma série base fixa no período 0
Uma base móvel período contra período anterior é calculada por
Base fixa para base móvel
tIIIII ,03,02,01,00,0 ...
1,0,0,1
2,03,03,2
1,02,02,1
1,01,0
/
...
/
/
tttt III
III
III
IIPeríodo 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
Índice 100 107 98 102 115
Para 0,1 é o mesmo índice
Para 1,2 (98/107) = 0,9159 91,59
Para 2,3 (102/98) = 1,0408 104,08
Para 3,4 (115/102) = 1,1275 112,75
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O cálculo do valor adicionado para cada atividade econômica é realizadopela diferença entre o seu valor da produção e o seu consumo intermediário
São três os procedimentos recomendados no System of National Accountscomo os de maior confiabilidade
(i) Dupla deflação: consiste em deflacionar o valor da produção e oconsumo intermediário através de índices de preços específicos
Cálculo do valor adicionado a preços constantes
n
j
tij
n
j
tij
ti uvy
11
y = valor adicionado pela atividade i no tempo t
v = valor da produção do produto j na atividade ino tempo t
u = valor do consumo intermediário total(nacional mais importado) do produto j pelaatividade i no tempo t
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Rearrajando para valores constantes sempre ao preço do ano anterior
y = valor adicionado pela atividade i no tempo t a preços de t-1
Ip = índice de preços ao produtor entre t e t-1 para o produto j
Ic = índice de preços ao consumidor entre t e t-1 para o produto j
Cálculo do valor adicionado a preços constantes
n
j j
tij
n
j j
tijtt
iIc
u
Ip
vy
11
1
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(ii) Índice de Laspeyres para o volume: o valor adicionado de t a preços t-1é obtido pela multiplicação do valor adicionado a preços correntes de t peloseguinte índice de volume
Assim...
Cálculo do valor adicionado a preços constantes
n
j
n
j
tij
tj
tij
tj
n
j
n
j
tij
tj
tij
tj
VAq
uqPcvqPp
uqPcvqPp
L
1 1
1111
1 1
11
L = índice de Laspeyres de volume para o VAentre t-1 e t
vq = quantidade do produto j produzida naatividade i no período t
uq = quantidade do produto j cosumida naatividade i no período t
Pp = preços de produção do produto j noperíodo t
Pc = preço ao consumidor (intermediário) doproduto j no período t
VAq
ttt Lyy 11
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(iii) Índice de Paasche para preços: o valor adicionado de t a preços de t-1 éobtido pelo deflacionamento de valor adicionado a preços correntes de t peloseguinte índice de preços
Assim...
Cálculo do valor adicionado a preços constantes
n
j
n
j
tij
tj
tij
tj
n
j
n
j
tij
tj
tij
tj
VAp
uqPcvqPp
uqPcvqPp
P
1 1
11
1 1
1
VAp
ttt
P
yy 1
P = índice de Paasche de preços para o valoradicionado entre t-1 e t
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Recomendações
A forma mais correta de se calcular variações em volume do PIB éatravés de um índice de Fischer entre dois períodos consecutivos; asvariações para períodos mais longos são obtidas pelo encadeamentodesses índices (elos da cadeia)
A forma mais correta de se calcular inflação anual que afeta o PIB éatravés do índice de preço de Fischer; as variações de períodos maislongos são obtidas pelo encadeamento dos elos
Os índices em cadeia que utilizam os índices de volume de Laspeyrespara medir as variações anuais do PIB em volume e os índices depreços de Paasche para medir a inflação anual consistem alternativasaceitáveis aos índices de Fischer
Cálculo do valor adicionado a preços constantes
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