CuprinsEnunt

Rezolvare

Consultatii 6 Septembrie 2013

Paul Ulmeanu

6 Septembrie 2013

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Cuprins

Enunt

RezolvareTeorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Enunt

Un sistem este format din 6 componente binare, reparabile iindependente, notate A,B,C,D,E, respectiv F. Toate componentelesistemului au aceeasi probabilitate de succes p = 0.8, respectiv deinsucces q = 1 p = 0.2. Daca componenta F este in stare desucces, atunci probabilitatea de succes a sistemului este 1 q3.Daca componenta F este in stare de insucces, atunci probabilitateade succes a sistemului este (1 q2) (1 q3). Toate componentelesistemului au acelasi factor de importanta structurala Birnbaumegal cu 7/32. Sa se calculeze probabilitatea de succes a sistemului.

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Teorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

Teorema Shannon

Functia de structura a sistemului este:(x) = x6 ? (x1, x2, x3, x4, x5, 1)+x6 ? (x!, x2, x3, x4, x5, 0)unde vectorul de stare al sistemului este x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6).Conform enuntului, avem:Prob{(x) = 1} = p6 Prob{(x1, x2, x3, x4, x5, 1) =1}+ (1 p6) Prob{(x1, x2, x3, x4, x5, 0) = 1})Rezulta:P = Prob{(x) = 1} = p (1 q3) + (1 p) (1 q2) (1 q3)respectiv P = p2 18p3 + 15p4 6p5 + p6.Inlocuind p = 0.8, se obtine probabilitatea de succes a sistemuluiP = 0.984064

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Teorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

Verificarea probabilitatii de succes a sistemului

Vom calcula probabilitatea de insucces a sistemului:Prob{(x) = 0} = p6 Prob{(x1, x2, x3, x4, x5, 1) =0}+ (1 p6) Prob{(x1, x2, x3, x4, x5, 0) = 0})Rezulta:Q = Prob{(x) = 0} = p q3 + (1 p) (1 (1 q2) (1 q3))respectiv Q = 2q3 q6.Inlocuind q = 0.2, se obtine probabilitatea de insucces a sistemuluiQ = 0.015936.Se verifica P + Q = 1.

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Teorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

O alta cale de rezolvare a problemei

In cazul in care componenta F este in stare de succes, sistemul areconfiguratie unui paralel 1/3, intrucat aceasta configuratie areprobabilitatea de succes mentionata in enunt 1 q3.In cazul in care componenta F este in stare de insucces, sistemulare configuratie unui paralel 1/3 aflata in serie cu o configuratie detip paralel 1/2, intrucat aceasta configuratie are probabilitatea desucces mentionata in enunt (1 q2)(1 q3).Rezulta diagrama bloc a sistemului:

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Teorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

Cazul F=1, respectiv F=0

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Teorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

Starile critice ale componentei F a sistemului

Pe baza diagramei bloc obtinuta si a definitiei factorului deimportanta structurala Birnbaum, exemplificam pentrucomponenta F cele 7 stari critice, cf. IB (i) = 7/32. Aceeasiexemplificare se poate face pentru orice componenta a sistemului(i=1,2,3,4,5,6).

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Teorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

Starile critice ale componentei F a sistemului

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Teorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

Starile critice ale componentei F a sistemului

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Teorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

Starile critice ale componentei F a sistemului

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Teorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

Starile critice ale componentei F a sistemului

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Teorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

Starile critice ale componentei F a sistemului

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnunt

Rezolvare

Teorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum

Starile critice ale componentei F a sistemului

Paul Ulmeanu Consultatii 6 Septembrie 2013

CuprinsEnuntRezolvareTeorema ShannonFactorii de importanta structurali Birnbaum