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Économétrie II
Économétrie II
L3 Économétrie – L3 MASS
Prof. Philippe Polomé, U. Lyon 2
Année 2014-2015
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Rappel
1. E (✏t) = 0 8t : espérance nulle2. X var (✏t) = �2 8t : Homoscédasticité3. X cov (✏t , ✏s) = 0 8t 6= s : Pas d’auto-corrélation4. X E (✏txt) = 0 8t : Exogénéité5. X La matrice X est de plein rang : Pas de multicolinéarité6. Le modèle est correctement spécifié7. La variable dépendante Y est continue
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Table des matières
Ch. 6. SpécificationFormes fonctionnellesTestsRégresseurs omis ou superflusSélection de régresseurE (✏) 6= 0 & rôle de la constante
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Introduction
I 2 aspects : Régresseurs – CoefficientsI Forme fonctionnelle
I Quels régresseurs faut-il inclure dans le modèle ?I Sous quelle forme (linéaire, polynomiale, logarithmique...) ?I Manque t-il des régresseurs ? Y en a t-il de trop ? Faut-il
inclure une constante ?I Quelles conséquences ?
I Le modèle est-il effectivement linéaire en les coefficients ?I Les coefficients sont-il stochastiques ?I Non traité sauf erreurs de mesure en Ch 5
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Ch. 6. Spécification
Formes fonctionnelles
Table des matières
Ch. 6. SpécificationFormes fonctionnellesTestsRégresseurs omis ou superflusSélection de régresseurE (✏) 6= 0 & rôle de la constante
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Formes fonctionnelles
Quelle forme fonctionnelle ?
I Une régression linéaire (en les coefficients) peut donner de“bons” résultats même si la relation sous-jacente est nonlinéaire
I Approximation locale – théorème de TaylorI Si le modèle est Y = F (X ,�) + ✏ par exemple,I On peut l’approximer par Y ⇡ �
0
+ �1
X + �2
X 2 + R où R estle Reste de Taylor, qui se trouvera dans le terme d’erreur ✏
I C’est surtout pour des variables expliquées discontinues que lemodèle doit vraiment être non-linéaire
I Une infinité de formes fonctionnelle est envisageable :I Logarithmes sur les variables expliquées ou explicativesI Formes quadratiques sur les régresseursI Interactions entre régresseursI . . .
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Ch. 6. Spécification
Formes fonctionnelles
Forme fonctionnelle : approche interprétative vs. test
I InterprétativeI Que dit la théorie économique ?
I Nature de la relation connue (exponentielle, linéaire. . . ) ?I Concavité / convexité attendue ?
I Quelle interprétation peut-on dériver des résultats ?I y = ↵
1
+ �1
xI y = ↵
2
+ �2
x + �2
x2
I y = ↵3
+ �3
x1
+ �3
x2
+ �3
x1
x2
I y = ↵4
+ �4
ln (x)I ln (y) = ↵
5
+ �5
ln (x)
I ... interprétation de@y@x
,@y@x
1
, élasticités...
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Ch. 6. Spécification
Tests
Table des matières
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Tests
Test 1 : significativité
I Tester l’inclusion de termes quadratiques ou de termes croiséspar des tests sur la significativité des coefficients associés
I t-tests, F-tests
I Rapidement contraignant de tester toutes les combinaisonspossibles
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Ch. 6. Spécification
Tests
Exemple : prix immobilier
I Données hprice1.gdt de Wooldridge dans GretlI 88 prix de ventes déclarés de maisons, 1990, BostonI
price = p = prix de venteI
lotsize = s = surface de la propriétéI
sqrft = h = surface habitableI
bedrooms = c = nombre de chambres
I p = �0 + �1s + �2h + �3c + ✏ ou bienI p = �0 + �1s+�12s
2 + �2h+�22h2 + �3c + µ
I Test H0 : �12 = �22 = 0
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Tests
Exécution dans Gretl
I Menu “ajouter” “carrés des variables sélectionnées”I Menu MCO p = �0 + �1s + �12s
2 + �2h + �22h2 + �3c + µ
I Post-estimation : “Tests” “Omission de variables” : mettre s2
et h2
I Test Wald : F(2, 82) = 14.5 ; p. valeur t 4e-06I Donc R H0 : �12 = �22 = 0I Les carrés sont significatifs : manquaient dans la forme
linéaire ?
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Tests
Test 2 : Le test de Ramsey : RESET
I Idée simplificatrice : Au lieu d’inclure toutes les spécificationspossibles des régresseurs, tester significativité de fonctions dela variable ajustée y
I Effet « combiné » des X
I Procédure en 4 étapes
1. Estimation de la forme linéaire : y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk + ✏2. Valeurs ajustées : y3. Estimation de : y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk+�1y2 + �2y3 + ⌫4. Test de H0 : �1 = �2 = 0 ; test de Fisher F ⇠ F2.n�k�3
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Tests
Exemple Gretl : prix immobilier
I Mêmes données que dans l’exemple précédentI Ramsey “à la main”
I Estimer p = �0 + �1s + �2h + �3c + ✏I p = �0 + �1s + �2h + �3c
I Post-estimation : “sauvegarder” “valeurs ajustées”I Créer le carré de yhat puis le cube
I “définir une nouvelle variable” : Cube_yhat=yhat^3I Estimer p = �0 + �1s + �2h + �3c+�1p2 + �2p3 + ⌫
I Les coef. de ce modèle ne sont pas interprétablesI Tester H0 : �1 = �2 = 0
I R hypothèse : F(2, 82) = 4.67, avec p. valeur = 0.012I 9 variabilité dans p qui n’est pas expliquée par les variables
incluses mais pourrait l’être par leurs carrés/cubes
I Ramsey en post estimation : “tests”I Résultats identiques
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Tests
Test 3 : Alternatives non-imbriquées/anidées/emboîtées
I Deux cas polaires
1. Mêmes régresseurs mais formes fonctionnelles 6=I Par ex. : y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk + ✏I Contre : y = �0 + �1 ln x1 + ...+ �k ln xk + ⌫
2. Mêmes formes fonctionnelles mais régresseurs 6=I Par ex. A : y = X� + ✏I Contre B : y = Z� + ⌫I avec X
TZ 6= Ø (pas nécessairement vide mais peut être vide)
I 2 approchesI Minzon & Richard : Principe “englobant”
I Davidson & MacKinnon : Prédiction
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Ch. 6. Spécification
Tests
1. Mêmes régresseurs mais formes fonctionnelles 6=Approche Minzon & Richard : Modèle englobant
I Estimation d’un modèle complet incluant toutes les formesfonctionnelles des explicatives (possiblement sansinterprétation)
I y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk + �1 ln x1 + ...+ �k ln xk + µI On teste 2 hypothèses nulles (test F par ex.)
I H0X : �
1
= ... = �k = 0I H
0lnX : �1
= ... = �k = 0
I Si on R H0X mais pas H0lnX alors le modèle en ln est validé
par rapport au modèle en niveau
I Nombre important de coef. à estimerI Multicolinéarité (forte corrélation xm et ln xm)
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Ch. 6. Spécification
Tests
1. Mêmes régresseurs mais formes fonctionnelles 6=Approche Davidson & MacKinnon : Prédiction
I Si y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk + ✏ est la bonne spécificationI et donc y = �0 + �1 ln x1 + ...+ �k ln xk + ⌫ la mauvaise
I Alors y = �0 + �1 ln x1 + ...+ �k ln xk ne doit pas êtresignificative dans y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk + ↵y + ✏
I Si ↵ n’est pas significatif, le modèle en niveau est validé parrapport au modèle en ln
I S’il est significatif, on ne peut conclure
I On procède pareillement avec l’autre modèle
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Tests
2. Mêmes formes fonctionnelles mais régresseurs 6=Approche Minzon & Richard : Modèle englobant
I Soit X2 les régresseurs présents dans A y = X� + ✏ mais pasdans B y = Z� + ⌫
I Soit Z2 les régresseurs présents dans B mais pas dans AI On estime le modèle englobant selon B :
Y = Z� + X2�2 + ⌫2I On teste H
0
: �2
= 0 (test en z)I Si �2 n’est pas significativement 6= 0, alors A n’apporte rien de
plus que BI On dit que B est englobant par rapport à AI Ce qui valide B
I On teste pareillement le modèle englobant selon A :Y = X� + Z2�2 + ✏2
I Mêmes remarques que pour le cas polaire 1I Beaucoup de coef., multicolinéarité
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Tests
Interprétation des tests de spécification
I Il est possible qu’aucune des deux spécifications n’apparaissedominer l’autre :
I Les deux spécifications sont rejetéesI Significativité des coefficients pour les deux alternatives dans
le test de Davidson et MacKinnonI H
0
: �1
= ... = �k = 0 et H0
: �1
= ... = �k = 0 sontacceptées dans le test de Minzon et Richard
I Nécessité de spécifier un modèle plus completI Les deux sont acceptées
I Les deux spécifications sont « également » acceptables.I On peut comparer les valeurs des R2 pour choisir la
spécification.I Les données sont “trop molles” pour pouvoir trancher (si tant
est qu’il faut trancher)
I Rejeter une spécification contre une autre ne signifie pas quela deuxième est la « bonne »
I Elle pourrait être rejetée contre une troisième
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Tests
Exemple Davidson & MacKinnon : prix immobiliers
I Mêmes données que dans l’exemple précédentI Estimer (par exemple) modèle A :
ln p = �0 + �1s + �2h + �3c + ✏I Prédire “in-sample” ˆln p = �0 + �1s + �2h + �3c via
Post-estimation : “sauvegarder” “valeurs ajustées”I Estimer modèle B : ln p = �0 + �1 ln s + �2 ln h + �3 ln c + µ
et prédire de façon semblable, on note la prédiction ˜ln p (avecun tilde)
I Tests de validationI Estimer modèle A avec ˜ln p :
ln p = �0 + �1s + �2h + �3c + ↵1 ˜ln p + ✏I Si ↵
1
n’est pas significatif, le modèle A est validéI Estimer modèle B avec ˆln p :
ln p = �0 + �1 ln s + �2 ln h + �3 ln c + ↵2 ˆln p + ✏I Si ↵
2
n’est pas significatif, le modèle B est validé
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Régresseurs omis ou superflus
Table des matières
Ch. 6. SpécificationFormes fonctionnellesTestsRégresseurs omis ou superflusSélection de régresseurE (✏) 6= 0 & rôle de la constante
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Régresseurs omis ou superflus
Régresseur omis (hétérogéneité)
I Modèle correctement spécifié Y = �0 + �1x1 + �2x2 + ✏I Modèle estimé Y = �0 + �1x1 + ⌫
I Alors l’effet du régresseur manquant se retrouve dans l’erreurdu modèle estimé : ⌫ = �2x2 + ✏
1. Régresseur manquant n’est corrélé avec aucun régresseurprésent
I Hétéroscédasticité vraisemblablement sivar (x2t) 6= var (x2s) , t 6= s
I Peut-être autocorrélation si corr (x2t , x2s) 6= 0, t 6= sI Terme d’erreur n’a plus une espérance nulle : ci-dessous
2. Régresseur manquant est corrélé à un régresseur présentI Alors, en plus des problèmes ci-dessus : inconsistance
I Exemple de régresseur manquant avec & sans endogénéité :fichier tableur Regr manquant.ods
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Régresseurs omis ou superflus
Régresseur superflu
I Si le modèle correctement spécifié est Y = �0 + �1x1 + ⌫
I Mais que le modèle estimé est Y = �0 + �1x1 + �2x2 + ✏
I Si le modèle Y = �0 + �1x1 + ⌫ était correctement spécifié audépart, le terme d’erreur est un bruit blanc
I ⌫ = �2x2 + ✏, ⌫ bruit blanc, comme �2 = 0, ✏ est aussi unbruit blanc
I En particulier, il n’est pas corrélé (avec quoi que ce soit)
I Donc E⇣�2
⌘= 0
I Mais si corrélation(x1, x2) 6= 0, alors il peut apparaître de lamulticolinéarité, qui induit une perte de significativité de tousles régresseurs (1er semestre)
I Exemple fichier tableur Regr manquant.ods
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Régresseurs omis ou superflus
Étendue du problème
I Inhérent à toute analyse économétriqueI Certains régresseurs sont inobservables ou difficilement
mesurablesI dynamisme, charisme, capital social d’un individu, esprit
d’équipe dans une entreprise . . .
I Certains régresseurs sont indisponiblesI questions non posées, réponses biaisées sur des sujets sensibles
. . .
I Il faut bien rester conscient que certaines variables peuventcapter des effets plus larges “confondants” que ce pourquoielles sont incluses dans le modèle
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Sélection de régresseur
Table des matières
Ch. 6. SpécificationFormes fonctionnellesTestsRégresseurs omis ou superflusSélection de régresseurE (✏) 6= 0 & rôle de la constante
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Sélection de régresseur
Sélection de régresseur
I En pratique, quel est l’ensemble des régresseurs pertinents ?I La théorie n’aide pas toujours car se concentre sur quelques
régresseursI p.e. équation de demande d’un bien
I devrait dépendre du prix et du revenu de l’acheteur,I peut aussi dépendre d’autres caractéristiques du bien
(packaging, marketing...) ou de l’acheteur (profilsociologique)...
I Sélection successive forward step : intégrer régresseurs 1 à 1I Dans beaucoup de logicielsI À exclure car statistiquement incorrect
I Les régressions antérieures peuvent présenter del’inconsistance suite à l’absence de regresseurs pertinents
I Les tests effectués dans la régression s sont conditionnels auxdécisions prises sur les régressions antérieures
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
Sélection de régresseur
Méthodologie la plus couramment admise
I Partir d’un ensemble général de régresseurs sur based’arguments économiques / théoriques / intuitifs mais passtatistiques
I Éviter multicolinéaritéI Éviter data mining (inclusion de régresseurs sur base d’erreurs
de type I ou faux positifs)
I Enlever des régresseurs non significatifs si on juge le modèletrop complexe ou trop colinéaire
I Mais pas une obligation : intéressant de montrer lanon-significativité
I Utiliser le test de Wald / F (nullité de plusieurs coefficients) etle test des modèles non-emboîtés
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
E (✏) 6= 0 & rôle de la constante
Table des matières
Ch. 6. SpécificationFormes fonctionnellesTestsRégresseurs omis ou superflusSélection de régresseurE (✏) 6= 0 & rôle de la constante
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
E (✏) 6= 0 & rôle de la constante
E (✏) 6= 0
I Ne peut être détecté carnX
i=1
✏ = 0 dès que le modèle comporte
une constante (sans preuve)I Nature du problème
I 8✏ on peut écrire ✏ = a+ µ, avec E (µ) = 0I donc Y = �0 + �1X + ✏ = �0 + �1X + a+ µ = � + �1X + µ
I � biaisé & inconsistant pour �0 et/ou a : problèmed’identification
I Pas d’effet sur autres coefficientsI
Sauf si E (✏) 6= 0 à cause de l’omission d’un régresseurI Dans ce cas, si le régresseur omis est corrélé aux régresseurs
présents...
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Économétrie II
Ch. 6. Spécification
E (✏) 6= 0 & rôle de la constante
Flexibilité & rôle de la constante
I Sans point autour du zéro, l’intercept est estimé avec unevariance importante
I Que E (✏) soit = 0 ou non n’a alors guère d’importanceI �0 alors paramètre de flexibilité : permet que la pente s’ajuste
I Pour cette raison, en général on inclut une constante, mêmenon significative, dans tout modèle