connected space 2
DESCRIPTION
1. From Wikipedia, the free encyclopedia2. Lexicographical orderTRANSCRIPT
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Connected spaceFrom Wikipedia, the free encyclopedia
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Contents
1 a-paracompact space 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Alexandrov topology 22.1 Characterizations of Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Duality with preordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1 The Alexandrov topology on a preordered set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 The specialization preorder on a topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.3 Equivalence between preorders and Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.4 Equivalence between monotony and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.5 Category theoretic description of the duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.6 Relationship to the construction of modal algebras from modal frames . . . . . . . . . . . 5
2.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Annulus (mathematics) 73.1 Complex structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Baire space 104.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.1 Modern denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.2 Historical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Baire category theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.8 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
i
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ii CONTENTS
5 Collectionwise Hausdor space 135.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Collectionwise normal space 146.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Compact space 157.1 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.2 Basic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.3 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.3.1 Open cover denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.3.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.3.3 Compactness of subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.4 Properties of compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4.1 Functions and compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4.2 Compact spaces and set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4.3 Ordered compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.5.1 Algebraic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8 Connected space 248.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.1.1 Connected components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.1.2 Disconnected spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.3 Path connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.4 Arc connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.5 Local connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.6 Set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.7 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.8 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.9 Stronger forms of connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.10 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.11 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.11.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.11.2 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9 Contractible space 329.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
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CONTENTS iii
9.2 Locally contractible spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10 Countably compact space 3410.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
11 Disjoint sets 3511.1 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3611.3 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3611.4 Disjoint unions and partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
12 Disk (mathematics) 3912.1 Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
13 Door space 4213.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
14 Dowker space 4314.1 Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
15 Dyadic space 4415.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
16 End (topology) 4516.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.4 Ends of graphs and groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.5 Ends of a CW complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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iv CONTENTS
17 Extremally disconnected space 4717.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
18 Feebly compact space 48
19 First-countable space 4919.1 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4919.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4919.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5019.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
20 Glossary of topology 5120.1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5220.2 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5320.3 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5320.4 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.5 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.6 F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.7 G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.8 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.9 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5720.10K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5720.11L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5820.12M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5820.13N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5920.14O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6020.15P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6020.16Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6120.17R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6220.18S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6220.19T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6320.20U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6420.21W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6520.22Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6520.23References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6520.24External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
21 Grammatical aspect 6721.1 Basic concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
21.1.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6721.1.2 Modern usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
21.2 Common aspectual distinctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
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CONTENTS v
21.3 Aspect vs. tense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6821.4 Lexical vs. grammatical aspect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6921.5 Indicating aspect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6921.6 Aspect by language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
21.6.1 English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7021.6.2 German vernacular and colloquial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7121.6.3 Slavic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7221.6.4 Romance languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7221.6.5 Finnic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.6.6 Austronesian languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.6.7 Creole languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7421.6.8 American Sign Language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
21.7 Terms for various aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7521.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7621.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7621.10Other references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7721.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
22 Grammatical mood 7822.1 Realis moods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
22.1.1 Indicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7822.2 Irrealis moods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
22.2.1 Subjunctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7922.2.2 Conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.2.3 Optative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.2.4 Imperative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.2.5 Jussive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.2.6 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.2.7 Inferential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
22.3 Other moods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.3.1 Interrogative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.3.2 Deity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
22.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8222.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8222.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
23 H-closed space 8323.1 Examples and equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
24 HeineBorel theorem 84
-
vi CONTENTS
24.1 History and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8424.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8424.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8524.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8624.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8624.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8624.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
25 Hemicompact space 8825.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8825.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8825.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8825.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
26 Homotopy 9026.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
26.1.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9226.2 Homotopy equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
26.2.1 Null-homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9226.3 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9226.4 Relative homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9326.5 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9326.6 Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9326.7 Timelike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9326.8 Lifting property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9326.9 Extension property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9426.10Isotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9426.11Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9426.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9426.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9526.14Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
27 Homotopy group 9627.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9627.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9627.3 Long exact sequence of a bration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9827.4 Methods of calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9927.5 A list of methods for calculating homotopy groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9927.6 Relative homotopy groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10027.7 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10027.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10027.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
-
CONTENTS vii
27.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
28 Hyperconnected space 10128.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.2 Hyperconnectedness vs. connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.4 Irreducible components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
29 Identity function 10329.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10429.2 Algebraic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10429.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10429.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10429.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
30 Kolmogorov space 10530.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10530.2 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
30.2.1 Spaces which are not T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10530.2.2 Spaces which are T0 but not T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
30.3 Operating with T0 spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.4 The Kolmogorov quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.5 Removing T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10730.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
31 Limit point compact 10831.1 Properties and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10931.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
32 Lindelf space 11032.1 Properties of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.2 Properties of strongly Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.3 Product of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.4 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11132.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11132.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11132.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
33 Locally compact space 11233.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
-
viii CONTENTS
33.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.2.1 Compact Hausdor spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.2.2 Locally compact Hausdor spaces that are not compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.2.3 Hausdor spaces that are not locally compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.2.4 Non-Hausdor examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
33.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11433.3.1 The point at innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11433.3.2 Locally compact groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
33.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11533.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
34 Locally connected space 11634.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11734.2 Denitions and rst examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
34.2.1 First examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11834.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11834.4 Components and path components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
34.4.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11934.5 Quasicomponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
34.5.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11934.6 More on local connectedness versus weak local connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12034.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12034.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12034.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12134.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
35 Locally nite collection 12235.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
35.1.1 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12235.1.2 Second countable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
35.2 Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12335.3 Countably locally nite collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12335.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
36 Locally nite space 12436.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
37 Locally Hausdor space 12537.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
38 Locally normal space 12638.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12638.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
-
CONTENTS ix
38.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12638.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12638.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
39 Locally regular space 12839.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12839.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12839.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12839.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
40 Locally simply connected space 12940.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
41 Luzin space 13141.1 In real analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13141.2 Example of a Luzin set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13141.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
42 Mesocompact space 13342.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13342.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
43 Metacompact space 13443.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13443.2 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13443.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13443.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
44 Michael selection theorem 13644.1 Other selection theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13644.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
45 Monotonically normal space 13845.1 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
45.1.1 Denition 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13845.1.2 Denition 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13845.1.3 Denition 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
45.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13945.3 Some discussion links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
46 n-connected 14046.1 n-connected space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
46.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14046.2 n-connected map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
-
x CONTENTS
46.2.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14146.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14246.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
47 Noetherian topological space 14347.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14347.2 Relation to compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14347.3 Noetherian topological spaces from algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14347.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14447.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
48 Normal space 14548.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14548.2 Examples of normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14648.3 Examples of non-normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14648.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14748.5 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14748.6 Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14748.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
49 Open set 14849.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14949.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
49.2.1 Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15049.2.2 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15049.2.3 Topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
49.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15049.4 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15049.5 Notes and cautions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
49.5.1 Open is dened relative to a particular topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15149.5.2 Open and closed are not mutually exclusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
49.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15149.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15149.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
50 Orthocompact space 15350.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
51 P-space 15451.1 Generic use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15451.2 P-spaces in the sense of GillmanHenriksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15451.3 P-spaces in the sense of Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15451.4 p-spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
-
CONTENTS xi
51.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15451.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15551.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
52 Paracompact space 15652.1 Paracompactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15652.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15652.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15752.4 Paracompact Hausdor Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
52.4.1 Partitions of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15852.5 Relationship with compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
52.5.1 Comparison of properties with compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15952.6 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
52.6.1 Denition of relevant terms for the variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16052.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16052.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16052.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16152.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
53 Paranormal space 16253.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16253.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
54 Path (topology) 16354.1 Homotopy of paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16454.2 Path composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16554.3 Fundamental groupoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16554.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
55 Perfect set 16655.1 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16655.2 Imperfection of a space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16655.3 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16655.4 Connection with other topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16755.5 Perfect spaces in descriptive set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16755.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16755.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
56 Pluperfect 16856.1 Meaning of the pluperfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16856.2 Examples from various languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
56.2.1 Greek and Latin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16956.2.2 English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
-
xii CONTENTS
56.2.3 Other Germanic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16956.2.4 German . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16956.2.5 Dutch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17056.2.6 Romance languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17056.2.7 Slavic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17156.2.8 Other languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
56.3 Table of forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17256.4 Dierent perfect construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17256.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17256.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17356.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
57 Polyadic space 17457.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17457.2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17457.3 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17457.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17457.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
57.5.1 Ramseys theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17557.5.2 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
57.6 Generalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17657.6.1 Centred space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17657.6.2 AD-compact space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17657.6.3 -adic space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17657.6.4 Hyadic space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
57.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17757.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
58 Pseudocompact space 17958.1 Properties related to pseudocompactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17958.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17958.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
59 Pseudometric space 18159.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18159.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18159.3 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18259.4 Metric identication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18259.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18259.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
60 Pseudonormal space 18460.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
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CONTENTS xiii
61 Realcompact space 18561.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18561.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18561.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
62 Reduced homology 18762.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
63 Regular space 18863.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18863.2 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18963.3 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18963.4 Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19063.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
64 Relatively compact subspace 19164.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19164.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
65 Resolvable space 19265.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19265.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19265.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
66 Rickart space 19366.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
67 Second-countable space 19467.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
67.1.1 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19467.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19567.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
68 Semi-locally simply connected 19668.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19668.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19668.3 Topology of fundamental group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19768.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19768.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
69 Separable space 19869.1 First examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19869.2 Separability versus second countability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19869.3 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
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xiv CONTENTS
69.4 Constructive mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19969.5 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
69.5.1 Separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19969.5.2 Non-separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
69.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20069.6.1 Embedding separable metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
69.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
70 Sequential space 20270.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20270.2 Sequential closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20270.3 FrchetUrysohn space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20370.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20370.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20370.6 Equivalent conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20470.7 Categorical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20470.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20470.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
71 Shrinking space 20671.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
72 Simply connected at innity 20772.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
73 Simply connected space 20873.1 Informal discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20873.2 Formal denition and equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20973.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20973.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21173.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21173.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
74 Singular homology 21274.1 Singular simplices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21274.2 Singular chain complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21374.3 Homotopy invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21374.4 Functoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21474.5 Coecients in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21574.6 Relative homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21574.7 Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21674.8 Betti homology and cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21674.9 Extraordinary homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
-
CONTENTS xv
74.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21674.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
75 Sub-Stonean space 21875.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21875.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21875.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
76 Subspace topology 21976.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21976.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21976.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22076.4 Preservation of topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22176.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22176.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
77 Supercompact space 22277.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22277.2 Some Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22277.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
78 T1 space 22478.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22478.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22478.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22578.4 Generalisations to other kinds of spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22678.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
79 Tenseaspectmood 22779.1 Creoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
79.1.1 Hawaiian Creole English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22779.2 Modern Greek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22879.3 Slavic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
79.3.1 Russian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22979.4 Romance languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
79.4.1 French . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22979.4.2 Italian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22979.4.3 Portuguese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23079.4.4 Spanish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
79.5 Germanic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23179.5.1 German . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23179.5.2 Danish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23179.5.3 Dutch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
-
xvi CONTENTS
79.5.4 Icelandic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23279.5.5 English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
79.6 Basque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23679.7 Hawaiian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23679.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23679.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
80 Topological manifold 23880.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23880.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23880.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
80.3.1 The Hausdor axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23980.3.2 Compactness and countability axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23980.3.3 Dimensionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
80.4 Coordinate charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24080.5 Classication of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24080.6 Manifolds with boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24180.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24180.8 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24180.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
81 Topological property 24281.1 Common topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
81.1.1 Cardinal functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24281.1.2 Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24281.1.3 Countability conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24381.1.4 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24381.1.5 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24481.1.6 Metrizability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24481.1.7 Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
81.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24581.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24581.4 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
82 Topological space 24682.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
82.1.1 Neighbourhoods denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24682.1.2 Open sets denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24782.1.3 Closed sets denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24882.1.4 Other denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
82.2 Comparison of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24882.3 Continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
-
CONTENTS xvii
82.4 Examples of topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24982.5 Topological constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25082.6 Classication of topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25082.7 Topological spaces with algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25082.8 Topological spaces with order structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25082.9 Specializations and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25082.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25182.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25182.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25182.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
83 Toronto space 25383.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
84 Totally disconnected space 25484.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25484.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25484.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25584.4 Constructing a disconnected space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25584.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25584.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
85 Ultraconnected space 25685.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25685.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25685.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
86 Uniformizable space 25786.1 Induced uniformity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25786.2 Fine uniformity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25786.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
87 Uses of English verb forms 25987.1 Inected forms of verbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25987.2 Verbs in combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25987.3 Tenses, aspects and moods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
87.3.1 Tenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26087.3.2 Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26187.3.3 Moods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
87.4 Active and passive voice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26387.5 Negation and questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26487.6 Modal verbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26487.7 Uses of verb combination types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
-
xviii CONTENTS
87.7.1 Simple present . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26487.7.2 Present progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26687.7.3 Present perfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26687.7.4 Present perfect progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26787.7.5 Simple past . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26887.7.6 Past progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26887.7.7 Past perfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26987.7.8 Past perfect progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27087.7.9 Simple future . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27087.7.10 Future progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27187.7.11 Future perfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27187.7.12 Future perfect progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27187.7.13 Simple conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27287.7.14 Conditional progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27287.7.15 Conditional perfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27387.7.16 Conditional perfect progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
87.8 Have got and can see . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27387.9 Been and gone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27487.10Conditional sentences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27487.11Expressions of wish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27587.12Indirect speech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27687.13Dependent clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27787.14Uses of nonnite verbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
87.14.1 Bare innitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27787.14.2 To-innitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27887.14.3 Present participle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28087.14.4 Past participle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28187.14.5 Gerund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28287.14.6 Perfect and progressive nonnite constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
87.15Deverbal uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28387.16Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28487.17References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
88 Volterra space 28688.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
89 Weak Hausdor space 28789.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
90 Zero-dimensional space 28890.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28890.2 Properties of spaces with covering dimension zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
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CONTENTS xix
90.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28890.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
91 -compact space 29091.1 Properties and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29091.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29091.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29191.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
92 -bounded space 29292.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29292.2 Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
92.2.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29392.2.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29992.2.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
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Chapter 1
a-paracompact space
In mathematics, in the eld of topology, a topological space is said to be a-paracompact if every open cover of thespace has a locally nite renement. In contrast to the denition of paracompactness, the renement is not requiredto be open.Every paracompact space is a-paracompact, and in regular spaces the two notions coincide.
1.1 References Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
1
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Chapter 2
Alexandrov topology
In topology, an Alexandrov space (or Alexandrov-discrete space) is a topological space in which the intersectionof any family of open sets is open. It is an axiom of topology that the intersection of any nite family of open sets isopen. In an Alexandrov space the nite restriction is dropped.Alexandrov topologies are uniquely determined by their specialization preorders. Indeed, given any preorder on aset X, there is a unique Alexandrov topology on X for which the specialization preorder is . The open sets are justthe upper sets with respect to . Thus, Alexandrov topologies on X are in one-to-one correspondence with preorderson X.Alexandrov spaces are also called nitely generated spaces since their topology is uniquely determined by the familyof all nite subspaces. Alexandrov spaces can be viewed as a generalization of nite topological spaces.
2.1 Characterizations of Alexandrov topologiesAlexandrov topologies have numerous characterizations. Let X = be a topological space. Then the followingare equivalent:
Open and closed set characterizations: Open set. An arbitrary intersection of open sets in X is open. Closed set. An arbitrary union of closed sets in X is closed.
Neighbourhood characterizations: Smallest neighbourhood. Every point of X has a smallest neighbourhood. Neighbourhood lter. The neighbourhood lter of every point in X is closed under arbitrary intersec-tions.
Interior and closure algebraic characterizations: Interior operator. The interior operator of X distributes over arbitrary intersections of subsets. Closure operator. The closure operator of X distributes over arbitrary unions of subsets.
Preorder characterizations: Specialization preorder. T is the nest topology consistent with the specialization preorder of X i.e.the nest topology giving the preorder satisfying x y if and only if x is in the closure of {y} in X.
Open up-set. There is a preorder such that the open sets of X are precisely those that are upwardlyclosed i.e. if x is in the set and x y then y is in the set. (This preorder will be precisely the specializationpreorder.)
2
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2.2. DUALITY WITH PREORDERED SETS 3
Closed down-set. There is a preorder such that the closed sets of X are precisely those that aredownwardly closed i.e. if x is in the set and y x then y is in the set. (This preorder will be precisely thespecialization preorder.)
Upward interior. A point x lies in the interior of a subset S of X if and only if there is a point y in Ssuch that y x where is the specialization preorder i.e. y lies in the closure of {x}.
Downward closure. A point x lies in the closure of a subset S of X if and only if there is a point y in Ssuch that x y where is the specialization preorder i.e. x lies in the closure of {y}.
Finite generation and category theoretic characterizations: Finite closure. A point x lies within the closure of a subset S of X if and only if there is a nite subset
F of S such that x lies in the closure of F. Finite subspace. T is coherent with the nite subspaces of X. Finite inclusion map. The inclusion maps fi : Xi X of the nite subspaces of X form a nal sink. Finite generation. X is nitely generated i.e. it is in the nal hull of the nite spaces. (This means thatthere is a nal sink fi : Xi X where each Xi is a nite topological space.)
Topological spaces satisfying the above equivalent characterizations are called nitely generated spaces or Alexan-drov spaces and their topology T is called the Alexandrov topology, named after the Russian mathematician PavelAlexandrov who rst investigated them.
2.2 Duality with preordered sets
2.2.1 The Alexandrov topology on a preordered setGiven a preordered set X = hX;i we can dene an Alexandrov topology on X by choosing the open sets to bethe upper sets:
= fG X : 8x; y 2 X x 2 G ^ x y ! y 2 G; gWe thus obtain a topological space T(X) = hX; i .The corresponding closed sets are the lower sets:
fS X : 8x; y 2 X x 2 S ^ y x ! y 2 S; g
2.2.2 The specialization preorder on a topological spaceGiven a topological space X = the specialization preorder on X is dened by:
xy if and only if x is in the closure of {y}.
We thus obtain a preordered set W(X) = .
2.2.3 Equivalence between preorders and Alexandrov topologiesFor every preordered set X = we always have W(T(X)) = X, i.e. the preorder of X is recovered from thetopological space T(X) as the specialization preorder. Moreover for every Alexandrov space X, we have T(W(X)) =X, i.e. the Alexandrov topology of X is recovered as the topology induced by the specialization preorder.However for a topological space in general we do not have T(W(X)) = X. Rather T(W(X)) will be the set X with aner topology than that of X (i.e. it will have more open sets).
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4 CHAPTER 2. ALEXANDROV TOPOLOGY
2.2.4 Equivalence between monotony and continuityGiven a monotone function
f : XY
between two preordered sets (i.e. a function
f : XY
between the underlying sets such that xy in X implies f(x)f(y) in Y), let
T(f) : T(X)T(Y)
be the same map as f considered as a map between the corresponding Alexandrov spaces. Then
T(f) : T(X)T(Y)
is a continuous map.Conversely given a continuous map
f : XY
between two topological spaces, let
W(f) : W(X)W(Y)
be the same map as f considered as a map between the corresponding preordered sets. Then
W(f) : W(X)W(Y)
is a monotone function.Thus a map between two preordered sets is monotone if and only if it is a continuous map between the correspondingAlexandrov spaces. Conversely a map between two Alexandrov spaces is continuous if and only if it is a monotonefunction between the corresponding preordered sets.Notice however that in the case of topologies other than the Alexandrov topology, we can have a map between twotopological spaces that is not continuous but which is nevertheless still a monotone function between the correspondingpreordered sets. (To see this consider a non-Alexandrov space X and consider the identity map
i : XT(W(X)).)
2.2.5 Category theoretic description of the dualityLet Set denote the category of sets and maps. Let Top denote the category of topological spaces and continuousmaps; and let Pro denote the category of preordered sets and monotone functions. Then
T : ProTop and
W : TopPro
are concrete functors over Set which are left and right adjoints respectively.Let Alx denote the full subcategory of Top consisting of the Alexandrov spaces. Then the restrictions
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2.3. HISTORY 5
T : ProAlx and
W : AlxPro
are inverse concrete isomorphisms over Set.Alx is in fact a bico-reective subcategory of Top with bico-reector TW : TopAlx. This means that given atopological space X, the identity map
i : T(W(X))X
is continuous and for every continuous map
f : YX
where Y is an Alexandrov space, the composition
i 1f : YT(W(X))
is continuous.
2.2.6 Relationship to the construction of modal algebras from modal framesGiven a preordered set X, the interior operator and closure operator of T(X) are given by:
Int(S) = { x X : for all y X, xy implies y S }, for all S X
Cl(S) = { x X : there exists a y S with xy } for all S X
Considering the interior operator and closure operator to be modal operators on the power set Boolean algebra of X,this construction is a special case of the construction of a modal algebra from a modal frame i.e. a set with a singlebinary relation. (The latter construction is itself a special case of a more general construction of a complex algebrafrom a relational structure i.e. a set with relations dened on it.) The class of modal algebras that we obtain in thecase of a preordered set is the class of interior algebrasthe algebraic abstractions of topological spaces.
2.3 HistoryAlexandrov spaces were rst introduced in 1937 by P. S. Alexandrov under the name discrete spaces, where heprovided the characterizations in terms of sets and neighbourhoods.[1] The name discrete spaces later came to be usedfor topological spaces in which every subset is open and the original concept lay forgotten. With the advancement ofcategorical topology in the 1980s, Alexandrov spaces were rediscovered when the concept of nite generation wasapplied to general topology and the name nitely generated spaces was adopted for them. Alexandrov spaces werealso rediscovered around the same time in the context of topologies resulting from denotational semantics and domaintheory in computer science.In 1966 Michael C. McCord and A. K. Steiner each independently observed a duality between partially ordered setsand spaces which were precisely the T0 versions of the spaces that Alexandrov had introduced.[2][3] P. Johnstonereferred to such topologies as Alexandrov topologies.[4] F. G. Arenas independently proposed this name for thegeneral version of these topologies.[5] McCord also showed that these spaces are weak homotopy equivalent to theorder complex of the corresponding partially ordered set. Steiner demonstrated that the duality is a contravariantlattice isomorphism preserving arbitrary meets and joins as well as complementation.It was also a well known result in the eld of modal logic that a duality exists between nite topological spaces andpreorders on nite sets (the nite modal frames for the modal logic S4). C. Naturman extended these results to aduality between Alexandrov spaces and preorders in general, providing the preorder characterizations as well as theinterior and closure algebraic characterizations.[6]
A systematic investigation of these spaces from the point of view of general topology which had been neglected sincethe original paper by Alexandrov, was taken up by F.G. Arenas.[5]
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6 CHAPTER 2. ALEXANDROV TOPOLOGY
2.4 See also P-space, a space satisfying the weaker condition that countable intersections of open sets are open
2.5 References[1] Alexandro, P. (1937). Diskrete Rume. Mat. Sb. (N.S.) (in German) 2: 501518.
[2] McCord, M. C. (1966). Singular homology and homotopy groups of nite topological spaces. Duke Mathematical Journal33 (3): 465474. doi:10.1215/S0012-7094-66-03352-7.
[3] Steiner, A. K. (1966). The Lattice of Topologies: Structure and Complementation. Transactions of the American Math-ematical Society 122 (2): 379398. doi:10.2307/1994555. ISSN 0002-9947.
[4] Johnstone, P. T. (1986). Stone spaces (1st paperback ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-33779-8.
[5] Arenas, F. G. (1999). Alexandro spaces (PDF). Acta Math. Univ. Comenianae 68 (1): 1725.
[6] Naturman, C. A. (1991). Interior Algebras and Topology. Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathe-matics.
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Chapter 3
Annulus (mathematics)
O
r
d
R
A B
An annulus
In mathematics, an annulus (the Latin word for little ring, with plural annuli) is a ring-shaped object, especially aregion bounded by two concentric circles. The adjectival form is annular (as in annular eclipse).The open annulus is topologically equivalent to both the open cylinder S1 (0,1) and the punctured plane.
7
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8 CHAPTER 3. ANNULUS (MATHEMATICS)
The area of an annulus is the dierence in the areas of the larger circle of radius R and the smaller one of radius r:
A = R2 r2 = (R2 r2) :
The area of an annulus can be obtained from the length of the longest interval that can lie completely inside theannulus, 2*d in the accompanying diagram. This can be proven by the Pythagorean theorem; the length of thelongest interval that can lie completely inside the annulus will be tangent to the smaller circle and form a right anglewith its radius at that point. Therefore d and r are the sides of a right angled triangle with hypotenuse R and the areais given by:
A = R2 r2 = d2 :
The area can also be obtained via calculus by dividing the annulus up into an innite number of annuli of innitesimalwidth d and area 2 d and then integrating from = r to = R:
A =
Z Rr
2 d = R2 r2 :
The area of an annulus sector of angle , with measured in radians, is given by:
A =
2
R2 r2
3.1 Complex structureIn complex analysis an annulus ann(a; r, R) in the complex plane is an open region dened by:
r < jz aj < R:
If r is 0, the region is known as the punctured disk of radius R around the point a.As a subset of the complex plane, an annulus can be considered as a Riemann surface. The complex structure of anannulus depends only on the ratio r/R. Each annulus ann(a; r, R) can be holomorphically mapped to a standard onecentered at the origin and with outer radius 1 by the map
z 7! z aR
:
The inner radius is then r/R < 1.The Hadamard three-circle theorem is a statement about the maximum value a holomorphic function may take insidean annulus.
3.2 See also Annulus theorem (or conjecture) Spherical shell Torus List of geometric shapes
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3.3. EXTERNAL LINKS 9
3.3 External links Annulus denition and properties With interactive animation Area of an annulus, formula With interactive animation
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Chapter 4
Baire space
For the concept in set theory, see Baire space (set theory).
In mathematics, a Baire space is a topological space that has enough points that every intersection of a countablecollection of open dense sets in the space is also dense. Complete metric spaces and locally compact Hausdor spacesare examples of Baire spaces according to the Baire category theorem. The spaces are named in honor of Ren-LouisBaire who introduced the concept.
4.1 MotivationIn an arbitrary topological space, the class of closed sets with empty interior consists precisely of the boundaries ofdense open sets. These sets are, in a certain sense, negligible. Some examples are nite sets in , smooth curves inthe plane, and proper ane subspaces in a Euclidean space. If a topological space is a Baire space then it is large,meaning that it is not a countable union of negligible subsets. For example, the three-dimensional Euclidean space isnot a countable union of its ane planes.
4.2 DenitionThe precise denition of a Baire space has undergone slight changes throughout history, mostly due to prevailingneeds and viewpoints. First, we give the usual modern denition, and then we give a historical denition which iscloser to the denition originally given by Baire.
4.2.1 Modern denitionA Baire space is a topological space in which the union of every countable collection of closed sets with emptyinterior has empty interior.This denition is equivalent to each of the following conditions:
Every intersection of countably many dense open sets is dense. The interior of every union of countably many closed nowhere dense sets is empty. Whenever the union of countably many closed subsets of X has an interior point, then one of the closed subsetsmust have an interior point.
4.2.2 Historical denitionMain article: Meagre set
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4.3. EXAMPLES 11
In his original denition, Baire dened a notion of category (unrelated to category theory) as follows.A subset of a topological space X is called
nowhere dense in X if the interior of its closure is empty of rst category or meagre in X if it is a union of countably many nowhere dense subsets of second category or nonmeagre in X if it is not of rst category in X
The denition for a Baire space can then be stated as follows: a topological spaceX is a Baire space if every non-emptyopen set is of second category in X. This denition is equivalent to the modern denition.A subset A of X is comeagre if its complementX nA is meagre. A topological space X is a Baire space if and onlyif every comeager subset of X is dense.
4.3 Examples The space R of real numbers with the usual topology, is a Baire space, and so is of second category in itself.The rational numbers are of rst category and the irrational numbers are of second category in R .
The Cantor set is a Baire space, and so is of second category in itself, but it is of rst category in the interval[0; 1] with the usual topology.
Here is an example of a set of second category in R with Lebesgue measure 0.
1\m=1
1[n=1
rn 1
2n+m; rn +
1
2n+m
where frng1n=1 is a sequence that enumerates the rational numbers.
Note that the space of rational numbers with the usual topology inherited from the reals is not a Baire space,since it is the union of countably many closed sets without interior, the singletons.
4.4 Baire category theoremMain article: Baire category theorem
The Baire category theorem gives sucient conditions for a topological space to be a Baire space. It is an importanttool in topology and functional analysis.
(BCT1) Every complete metric space is a Baire space. More generally, every topological space which ishomeomorphic to an open subset of a complete pseudometric space is a Baire space. In particular, everycompletely metrizable space is a Baire space.
(BCT2) Every locally compact Hausdor space (or more generally every locally compact sober space) is aBaire space.
BCT1 shows that each of the following is a Baire space:
The space R of real numbers The space of irrational numbers, which is homeomorphic to the Baire space of set theory The Cantor set Indeed, every Polish space
BCT2 shows that every manifold is a Baire space, even if it is not paracompact, and hence not metrizable. Forexample, the long line is of second category.
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12 CHAPTER 4. BAIRE SPACE
4.5 Properties Every non-empty Baire space is of second category in itself, and every intersection of countably many denseopen subsets of X is non-empty, but the converse of neither of these is true, as is shown by the topologicaldisjoint sum of the rationals and the unit interval [0, 1].
Every open subspace of a Baire space is a Baire space.
Given a family of continuous functions fn:XY with pointwise limit f:XY. If X is a Baire space then thepoints where f is not continuous is a meagre set in X and the set of points where f is continuous is dense in X.A special case of this is the uniform boundedness principle.
A closed subset of a Baire space is not necessarily Baire.
The product of two Baire spaces is not necessarily Baire. However, there exist sucient conditions that willguarantee that a product of arbitrarily many Baire spaces is again Baire.
4.6 See also BanachMazur game Descriptive set theory Baire space (set theory)
4.7 References
4.8 Sources Munkres, James, Topology, 2nd edition, Prentice Hall, 2000. Baire, Ren-Louis (1899), Sur les fonctions de variables relles, Annali di Mat. Ser. 3 3, 1123.
4.9 External links Encyclopaedia of Mathematics article on Baire space Encyclopaedia of Mathematics article on Baire theorem
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Chapter 5
Collectionwise Hausdor space
In mathematics, in the eld of topology, a topological space is said to be collectionwise Hausdor if given any closeddiscrete collection of points in the topological space, there are pairwise disjoint open sets containing the points.[1] Aclosed discrete set S of a topology X is one where every point of X has a neighborhood that intersects at most onepoint from S. Every T1 space which is collectionwise Hausdor is also Hausdor