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Os resultados do trabalho de Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor estabeleceram
a teoria de conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvidae de profundos efeitos de ensino. Esta teoria baseia-se em três noções primitivasno!"es #ue n$o podem ser definidas% #ue s$o&conjuntos, elementos e relação
de pertinência.
http://www.tiosam.org/?q=Imagem:Georg_Cantor.jpg
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Ν - con'unto dos n(meros naturais)
Z - con'unto dos n(meros inteiros) Q - con'unto dos n(meros racionais) Ι - con'unto dos n(meros irracionais)
- con'unto dos n(meros reais. C - con'unto dos n(meros comple*os.
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A soma de dois números naturais quaisqueré um número natural;
O produto de dois números naturaisquaisquer é um número natural;
Sendo n um número natural, então
n+1 é um número natural, onde:a) n e n+1 são chamados de números naturais
consecutivos ;b) n é o antecessor de n+1;
c) n+1 é o sucessor de n
!;";#;$;1%
!;";#;$;1;& N
N
'(O'( * A *S
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&;1;$
#;$;1;&#;$;1;1;$%
#;$;1;&;1;$
Z
Z
Z
Z
PROPRIEDADES
odo número natural é também número inteiro;A soma de dois números inteiros
quaisquer é também um número inteiro;
A di-eren.a de dois números inteiros quaisqueré também um número inteiro;
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O conjunto dos números racionais Q éformado por todos os números que
podem ser representados peloquociente de dois números inteiros.
≠∈∈= 0,/ bcom Z be Z aba
Q
Todo natural é tam ém racional!Todo inteiro é tam ém racional!
A soma de dois números racionaisquaisquer é tam ém um número
racional .
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+, /0 PE1 2+ C03 4oda d56ima peri7dica pode ser
transformada em uma fra!$o.3
0 fra!$o se chama Geratri6 da d56imaperi7dica.
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"m número irracional é todo número cujarepresenta#$o decimal é n$o%peri&dica' oude forma equi(alente' é todo número comin)nitas casas decimais e n$o%peri&dicas.
...1415,3
...4142135,12=
=π
Exemplos
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Um número irracional não é um número racional
A soma de um número irracional com umnúmero racional é um número irracional;
A diferença de um número irracional comum número racional é um número irracional;
O produto de um número irracional com um númeroracional , diferente de zero, é um número irracional;
O quociente de um número irracional com um númer racional , diferente de zero,é um número irracional;
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*úmero real é qualquer número racional ouirracional.
=
irracional é xouracional é x x R /(
Q/
0
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Con'unto dos n(meroscomple*os
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Sím olos
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!O"#U"$OS% &'emplo8ma cole!$o de revistas 9 um con'unto. 0lunos de uma sala de aula.
Obs: devemos indicar um conjunto por uma letra maiúscula de nossoalfabeto (A, B, , !, ", ...#
&(&)&"$OS% 9 cada ob'eto de uma cole!$o.Obs: devemos indicar um elemento por uma letra minúscula de nossoalfabeto (a, b, c, d, e, ...#
*&(A+ O & .&*$/"0"!/A% ∈
∉
($ertence#
(%ão pertence#
Obs: Os s&mbolos ao lado, são usados para relacionar apenas elementos comconjuntos.
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ia3rama de 4enn%Escrevemos os elementos no interior de uma figura geom9trica.
&'emplo%
a% Con'unto : das vogais.
:a e
iou
b% Con'unto P dos n(meros primos positivos.
P ?@
BA
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*epresentação por uma propriedade%
1epresentamos o con'unto atrav9s de uma propriedade caracter5sticade seus elementos.&'emplo%a% Con'unto : das vogais.
}{ vogal é x xV = },,,,{ uoiea
=
b% Con'unto P dos n(meros primos positivos.
}{ positivo primonúmeroé x x P = ,...}11,7,5,3,2{=
c% Con'unto 8 dos n(meros pares primos positivos.}{ positivo primo par númeroé x xU = }2{=
d% Con'unto Dolu!$o D da e#ua!$o do grau A* ; .
}0105{ =−∈= x R xS }2{=S
LH-se& : 9 o con'unto detodos elementos *=.
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!on5unto Unit6rio%I a#uele #ue apresenta um (nico elemento.
&'emplo%
}0123{) =−∈= x R xV a }4{=
}{) primoe positivo par númeroé x xU b = }2{=
!on5unto 4azio%I a#uele #ue n$o apresenta elemento algum e 9 indicado por < > ou
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&'emplo%
}00{ ∈= xe x N x D }{=
8m con'unto va6io sempre 9 dado por uma propriedade logicamente falsa.O con'unto < > representa um con'unto unitário e n$o um con'unto va6io.
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onjunto finito
Esse tipo de con'unto representa uma #uantidade limitadade elementos. Por e*emplo= o con'unto dos n(meroscompreendidos entre e será representado daseguinte maneira& ou
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+ados dois con'untos 0 e = di6emos #ue 0 9 um subcon'unto de se= esomente se= para todo elemento * pertencente ao con'unto 0= * pertencetamb9m a .
Podemos di6er a mesma coisa de #uatro maneiras diferentes.
0 9 subconjunto de .
0 9 parte de .
0 est' contido em . B A⊂
cont m 0. A B ⊃
777O con5unto 2azio, por con2enção, é su con5unto de
qualquer con5unto
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)ubconjuntos de * ( números inteiros#
Q ; con'unto dos n(meros inteiros positivos
; con'unto dos n(meros inteiros negativos
U ; con'unto dos n(meros inteiros com ausHnciado 6ero
UQ ; con'unto dos n(meros inteiros positivos comausHncia do 6ero.
U ; con'unto dos n(meros inteiros negativoscom ausHncia do 6ero.
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&'emplo%
Escrever todos os subcon'untos do con'unto 0 ; < = A= B= >.
-Dubcon'unto com nenhum elemento&
-Dubcon'untos com um elemento& < >) ) ) < >
-Dubcon'untos com dois elementos& < =A>) < =B>) < = >) )
O n(mero total de subcon'untos 9 igual a M.
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+i6emos #ue dois ou mais con'untos s$o iguais se eles possuem os mes-mos elementos.
&'emplo%
}{ positivo primo par númeroé x xU = }2{=
}0105{ =−∈= x R xS }2{=S
0 repeti!$o de elementos n$o altera um con'unto. 0ssim& ;
0 ordem dos elementos n$o altera um con'unto. 0ssim& ; e ;
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I a#uele #ue limita os elementos #ue podem ser solu!"es de um determi-nado problema.
&'emplo%
.
}0252{}0252{ 22
iguais s o
x x N x Be x x R x Acon!untosos seVeri"i#ue =+−∈==+−∈=
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Dendo 0 ; = = < =?>> podemos afirmar #ue&
.}2{}1){(
.2)(
.}2{}1{)(
.}1{)(
.}1{)(
A E
A D
A$
A B
A A
∈∪
∈
⊄∩
⊂
∉
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121
12
21
21
21
21
)(
)(
)(
}{)()(
:.1622
8
1342
$ $ $ E
$ $ D
$ $ $
$ $ B$ $ A
ent o%emos & x
& x sistema'o
solu()es'ascon!untoo$ e & x & x sistema'o solu()es'ascon!untoo$ Se!a
=∪⊂
⊂
=∩=
=+=+
=+ =+
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89:9 União%+ados dois con'untos 0 e chama-se uni$o ou reuni$o% entre 0 e aocon'unto formado pelos elementos de 0 ou .
}{ B xou A x x B A ∈∈=∪
&'emplo%
}8,7,6,4,2,0{= A
},6,4,3{= B
},8,7,6,4,3,2,0{=∪ B A
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+iagramas de :enn representativos da uni$o entre 0 e .
B B Ao B A =∪⊂ ,!o" A B Ao A B =∪⊂ ,!o"
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89 9 /ntersecção%+ados dois con'untos 0 e chama-se intersec!$o entre 0 e ao con'untoformado pelos elementos comuns entre 0 e = isto 9= pelos elementos #uePertencem ao con'unto 0 e ao con'unto .
}{ B xe A x x B A ∈∈=∩
}8,7,6,4,2,0{= A
},6,4,3{= B
&'emplo%
}6,4{=∩ B A
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+iagramas de :enn representativos de - 0.
=−⊂ A Bo A B ,!o"
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&'emplo%
},7,5,3{= A
}7,6,5{= B
Como o con'unto n$o está contido no con'unto 0 di6emos #ue o comple-mentar de em rela!$o a 0 n$o e*iste.
.
.,
}.{:,
.,
B$
B por Aarela( oem B'ear complement oin'icar po'emos A BSe
$ $ va+ioéar complement o B ASe
existen o$ ar complement o#ue'i+emos A BSe
B A
B B
A A
B A
=⊂
===⊄
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::9:9 !ardinal de um !on5unto9
::9 9 1=rmula para a *esolução de .ro lemas9
)()()()( B An Bn An B An ∩−+=∪
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::9
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"uma pesquisa so re a qualidade dos ser2iços oferecidos pelasempresas de fornecimento de 63ua A@, ener3ia elétrica &@ e $4
por assinatura $@ de um airro, o te2e-se um 3rande número dereclamaçBes9A ta ela a se3uir e'pressa o número de reclamaçBes de