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Conjuntos Numéricos

INTRODUÇÃO

Conjuntos: São agrupamentos de elementos com algumas características comuns.

Ex.: Conjunto de casas, conjunto de alunos, conjunto de números.

Alguns termos:

Pertinência

Igualdade

Conjunto vazio

Conjunto universo

É o conjunto no qual se encontram os elementos de todos os conjuntos estudados.

Subconjuntos

OBSERVAÇÕES:

Relacionam ELEMENTO com CONJUNTO.

Pertence

Não pertence

Relacionam CONJUNTO com CONJUNTO.

Está contido

Não está contido

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Contém

Não contém

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números Naturais (N)

N = {0, 1, 2, 3,4, ...}; N* = {1, 2, 3, 4, ...}

Números Inteiros (Z)

•Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

•Z* = Z - {0}

•Z+ = {0, 1, 2, 3,...}; Z+ = N

•Z- = {0, -1, -2, -3, ...}

Números Racionais (Q)

Q = {... -2;... – 1;... – ⅝;... -⅓; 0;... ½;... 1;... 1,5...}

½ = 0,5 ¼ = 0,25 ⅔ = 0,666666...

• Se 2 é um número natural, ele também é inteiro e racional.

• Nem todo número racional é inteiro: ⅔.

• Nem todo inteiro é natural: -10.

Números Irracionais

π = 3,141592654...

√2 = 1,4142135 √3 = 1,7320508

Números Reais (R)

R* = R - {0}

Q Z N

R Q Z N I

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R+ = conjunto dos números reais não negativos

R- = conjunto dos números reais não positivos

INTERVALOS

Qualquer subconjunto dos números reais.

Intervalo aberto

Intervalo fechado

Intervalo semi-aberto à direita

Intervalo semi-aberto à esquerda

Intervalos infinitos

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Operações com Intervalos

Exemplos:

• Sejam A = {x € R I 2 < x < 5} e B = { x € R I 3 ≤ x < 8}. Determinar A ∩ B e A U B.

Resolução

• Sejam A = {x € R I -1 < x < 4} e B = {x € R I x ≤2}. Determinar A ∩ B e A U B.

Resolução

A ∩ B A U B

Resposta:

A ∩∩∩∩ B = { x € R I -1 < x ≤≤≤≤ 2} = ]-1,2]

Resposta:

A U B = { x € R I x < 4} = ]- ∞∞∞∞,4[

-1 2

2

-1 4

A ∩∩∩∩ B

A

B

4

2

-1 4

A U B

A

B

A U B

2 8

3 8

2 5 A

B

A ∩∩∩∩ B

2 5

3 8

3 5

A

B

Resposta:

A ∩∩∩∩ B = { x € R I 3 ≤≤≤≤ x < 5} = [3,5[

Resposta:

A U B = { x € R I 2 < x < 8} = ]2,8[

A ∩ B A U B

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Operações com números reais

� Radicais

�� = � ↔ √� = �

Exemplos:

6� = 36 ↔ √36 = 6 − ��� = − �

� ↔ �− ���� = − ��

� √−625� = ∄

Propriedades do radicais

√��� = √�� √�� �

�� = √��

√�� � √��� = √���

� √�� �� = � √��� = � √�� �� √��� = � |�| , " #�$

� , " í%#�$ &

Exemplos

√300 =

√96�

√6� =

√729 =

�√10�� =

�8� =

�,−6-� =

�,−6-� =

Simplificação de expressões com radicais

Pré-Cálculo: Página 20 – Capítulo 2

10) √216./ =

30) √96.012 =

31) �8.34/ =

Racionalização

6

34) 0

√5 =

37) 678

=

38) � �7

2 =

Potenciação com expoentes racionais

u:� = √;�

u�� = √;��

,x + y- 7 = �,. + 4-�

53) � 2 . �:

� 7=

55) ,�2 . �

�-,3�: . �2

�- =

61) �9.@34/ =

63) �6A87�67

� =

65) /6787

. �678

=

� Polinômios e fatoração

Adição, subtração e multiplicação de polinômios

Um polinômio em x pode ser escrito na forma:

anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0

n – número inteiro não negativo

an≠ 0

Exemplos

(2x3 – 3x2 + 4x – 1) + (x3 + 2x2 – 5x + 3)

(4x2 + 3x – 4) – (2x3 + x2 – x + 2)

(3x + 2) . (4x2 – 5)→ Operar na forma horizontal

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(x2 – 4x + 3) . (x2 + 4x + 5) → Operar na forma vertical

OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS (Continuação)

� Produtos notáveis

1. PRODUTO de uma SOMA e uma DIFERENÇA:

(u + v)(u - v) = u2 – v2

2. QUADRADO de uma SOMA de dois termos:

(u + v)2 = u2 + 2uv + v2

3. QUADRADO de uma DIFERENÇA de dois termos:

(u – v)2 = u2 – 2uv + v2

4. CUBO de uma SOMA de dois termos:

(u + v)3 = u3+ 3u2v + 3uv2 + v3

5. CUBO de uma DIFERENÇA de dois termos:

(u – v)3 = u3 – 3u2v + 3uv2 – v3

Fatoração de polinômios usando produtos notáveis

Exemplos:

• 2x2 + 7x – 4

• x3 – 9x

• 2x3 + 2x2 – 6x (Colocar em evidência os fatores comuns)

• 25 x2 – 36 (Fatoração da diferença de dois quadrados)

• 9x2 + 6x + 1(Trinômio do quadrado perfeito)

• x3 – 64 (Fatoração da diferença de dois cubos)

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� Expressões fracionárias

Domínio de expressão algébrica Observem-se os quocientes (razões) abaixo: .� − 5. + 1

√.� + 1

2.� − .� + 15.� − . − 3

Note que: Enquanto os polinômios são definidos para todos os números reais, algumas

expressões algébricas não são para alguns números reais. Desta forma:

Domínio da expressão algébrica: É o conjunto dos números reais que definem uma expressão

algébrica.

Exemplos:

Definir o domínio das seguintes expressões:

3.� − . + 5 =

√. − 1 =

.. − 2 =

Simplificação de expressões racionais

u, v e z – números reais, variáveis ou expressões algébricas.

;BCB = ;

C ; B ≠ 0

Exemplo:

.� − 3..� − 9 =

OBSERVAÇÃO: As formas racional e reduzida da expressão têm que ser equivalentes, possuir o

mesmo domínio.

Operações com expressões racionais ;C = B

F ↔ ;F = CB

Expressão fracionária (ou fração), expressão algébrica.

Expressão fracionária (ou fração), expressão racional.

• Numerador e denominador pedem fatoração em fatores primos;

• Removidos os fatores primos, tem-se a forma reduzida da expressão racional (ou número racional).

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u, v, w, z – números reais, variáveis ou expressões algébricas, denominadores ≠ 0.

;C ± B

C = ; ± BC

;C ± F

B = ;B ± CFCB

;C . FB = ;F

CB

;C ÷ F

B = ;C . B

F = ;BCF

Exemplos:

2.� + 11. − 21.� + 2.� + 4. . .� − 8

.� + 5. − 14 ,J;KLM#KMN�çãQ-

.� + 1.� − . − 2 ÷ .� − . + 1

.� − 4. + 4 ,RMCMSãQ-

.3. − 2 + 3

. − 5 ,TQ%�-

2.� − 2. + 1

. − 3.� − 4 ,UVW;çãQ �Q %VS%Q WV"Q%M"�WQ$ − JJX-

Expressões racionais compostas

Exemplos:

� Equações

Propriedades:

u, v, w, z – números reais, varáveis ou expressões algébricas.

• Reflexiva: u = u

• Simétrica: u = v ↔ v = u

• Transitiva: u = v e v = w → u = w

• Adição: u = v e w = z → u + w = v + z

• Multiplicação: u = v e w = z →u . w = v. z

Exemplo: Provar que x = -2 e solução de x3 – x + 6

x - 3

7

1

3 x +2 -

1 - a2

1 -

b2

1

a

1 -

b

1

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Equações lineares com uma variável

Equação linear em x: ax + b a e b – números reais, a ≠ 0

Exemplos:

2(2x - 3) + 3(x + 1) = 5x + 2

54 − 28 = 2 + 4

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Solução de equações por meio de gráficos

y = 2x – 5

No gráfico o par ordenado é (5/2, 0)

y = 2x2 – 3x –2 (Por fatoração)

� Inequações

Inequações lineares com uma variável

Inequação linear em x:

ax + b < 0 , ax + b ≤ 0 , ax + b > 0 , ax + b ≥ 0

a, b – números reais, a≠0

Propriedades

• Transitiva: u < v e v < w → u < w

• Adição: u < v → u + w < v + w

Os valores por onde a reta intercepta o eixo

horizontal x são chamados raízes ou zeros da

função.

(5/2, 0)

(2, 0) (- 1/2, 0) Propriedade do fator zero

a e b – números reais → a . b = 0 → a = 0 ou b = 0

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u < v e u < w → u + w < v + z

• Multiplicação: u < v e c > 0 → uc < vc

u < v e c < 0 → uc > vc

OBSERVAÇÃO: As propriedades são verdadeiras se < é substituído por ≤. Há propriedades

similares para > e ≥.

Exemplos:

3(x – 1) + 2 ≤ 5x + 6

.3 + 1

2 > .4 + 1

3

– 3 < �6Z5

� ≤ 5

Soluções de inequações quadráticas

Exemplos:

x2 – x – 12 > 0

2x2 + 3x ≤ 20

x2 – 4x + 1 ≥ 0