conj num prop2

7/26/2019 Conj Num Prop2

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Numeros reales Conceptos basicos Algunas propiedades

En algebra es esencial manejar sımbolos con objeto de transformar o reducir expresiones algebraicasy resolver ecuaciones algebraicas.

Debido a que muchos de estos sımbolos representan numeros reales, es importante revisar breve-

mente el sistema de estos y algunas de sus propiedades fundamentales. Estas propiedades propor-cionan las reglas basicas para manejar los sımbolos en algebra. Como es conocido, en el conjuntode los numeros reales, existen dos operaciones basicas: la adici´ on y la multiplicaci´ on . Estasoperaciones, que se anotan por + y · respectivamente, satisfacen las siguientes propiedades:

1. Propiedades de la Adicion y la multiplicacion

(a) Clausura : La suma y producto de dos numeros reales arbitrarios es un numero real.

(b) Asociatividad : Dado 3 numeros reales arbitrarios x, y y z , se cumplen:

x + (y + z ) = (x + y) + z x(yz ) = (xy)z

es decir,

Al sumar o multiplicar tres n´ umeros, el resultado nodepende del orden en que se realicen las operaciones

(c) Elemento neutro:

• El numero 0, llamado neutro aditivo, cumple que para todo real x:

x + 0 = x

es decir,

Todo n´ umero sumado con 0 es igual a dicho n´ umero

• El numero 1, llamado neutro multiplicativo, cumple que para todo real x:

x · 1 = x

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Numeros reales - Conceptos basicos Algunas propiedades 6

es decir,

Todo n´ umero multiplicado con 1 es igual a dicho n´ umero

(d) Elementos inversos :

• Inverso Aditivo: Para cada numero real x, existe el numero −x, llamado inversoaditivo de x u opuesto de x, tal que:

x + (−x) = 0

es decir,

Todo n´ umero real sumado con su inverso aditivo es igual a 0

• Inverso Multiplicativo: Para cada numero real x, distinto de 0, existe elnumero x−1 (= 1

x), llamado inverso multiplicativo de x, tal que:

x · x−

1 = 1

es decir,

Todo n´ umero real (no nulo) multiplicado con su inversomultiplicativo es igual a 1

(e) Conmutatividad : Dado 2 numeros reales arbitrarios x e y, se cumple:

x + y = y + x xy = yx

es decir,

El resultado obtenido al sumar o multiplicar 2 n´ umeros,es independiente del orden en que se efect´ ue la suma

Observacion: En R existen dos operaciones mas: la sustraccion (−) y la division (:). Ellas vienendefinidas por:

Sustraccion:x − y = x + (−y)

Division:x : y =

x

y = x · y−1, y = 0

Inst. de Matematica y Fısica Universidad de Talca




Propiedades generales:

1. Para x, a, b, c, d, numeros reales se cumple:

(a) Ley de simplificacion:

• Si a + b = a + c, entonces b = c

• Si ab = ac, a = 0, entonces b = c

(b) Posibilidad de sustraccion: Si a + x = b, entonces x = b − a

(c) Posibilidad de division: Si ax = b, a = 0, entonces x = b

a

(d) Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0

(e) a

b ·

c

d =

ac

bd, b = 0, d = 0

(f) ab ÷ c

d = ad

bc , b = 0, c = 0, d = 0

(g) a

b +

c

d =

ad + bc

bd , b = 0, d = 0

Orden en los numeros reales:

Existe un subconjunto de R llamado conjunto de los n´ umeros reales positivos , denotado por R+,con las siguientes propiedades:

• Si x es un numero real cualquiera, entonces exactamente una de las afirmaciones siguientes

es verdadera:

x ∈ R+ o x = 0 o − x ∈ R

+

• El conjunto de los reales positivos es cerrado para la adicion, es decir:

x, y ∈ R+ =⇒ x + y ∈ R

+.

• El conjunto de los reales positivos es cerrado para la multiplicacion:

x, y ∈ R+ =⇒ x · y ∈ R+.

A partir de estas propiedades se puede definir una relacion de orden en los numeros reales:

Si a, b ∈ R, se dice que “a es menor que b” (o que b esmayor que a), denotado a < b (o b > a) si y solo sib − a ∈ R

+.





Si a, b ∈ R se dice que “a es menor o igual que b” (o “b es mayor o igual que a”) denotado a ≤ b

( o b ≥ a) si y solo si a < b o a = b.

Propiedades de la relacion <:

1. Si se suma o resta un mismo numero en ambos lados de una desigualdad, la desigualdadoriginal no cambia de sentido. Es decir:

Si a < b, entonces a + c < b + c y a − c < b − c

2. Si se multiplica o divide por un mismo numero positivo ambos lados de una desigualdad,la desigualdad original no cambia de sentido. Es decir:

Si a < b y c > 0 entonces a · c < b · c y a

c <

b

c

3. Si se multiplica o divide por un mismo numero negativo ambos lados de una desigualdad,la desigualdad original cambia de sentido. Es decir:

Si a < b y c < 0 entonces a · c > b · c y a

c

> b

c

Observacion: Propiedades analogas cumplen las otras relaciones de desigualdad.


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