cÔng thỨc lƯỢng giÁc
TRANSCRIPT
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC1.Công thức cộng:
( )1 .
tga tgbtg a b
tga tgb
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
sin(a+b) = sinacosb + sinbcosasin(a-b) = sinacosb – sinbcosa
( )1 .
tga tgbtg a b
tga tgb
Nhớ :
cos thời cos cos, sin sin sin thời sin cos, cos sin là cùng
tg tổng thì tổng tg ta phép chia của một trừ thừa tg ra
Cụ thể : VT và VP ngược dấu
VT và VP cùng dấu
( )1 .
tg tgtg
tg tg
tg hiệu là hiệu tg ngươi
phép chia của một cộng thừa tg vô ( )1 .
tg tgtg
tg tg
cos
cotg
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
AA’
B’
M
P
Q
sin
K
αN
E
F β
Vận dụng kiến thức đã học :
. . .cos ;u v u v u v
. .u p i q j
1i j
; 2ON OM k ����������������������������
j
i
0 1 x
y1
1;0i
0;1j
( ; )u p q
2 2u p q
;v a b
. . .u v p a q b
Xét M , N trên mp tọa độ Oxy :
x
y
cos ;sinOM ��������������
cos ;sinON ��������������
. . .cos ;OM ON OM ON OM ON������������������������������������������������������������������������������������
cos cos sin sin 1. 1.cos 2k
cos cos sin sin 2 2 2 2cos sin . cos sin . cos 2k
cos cos sin sin cos
cos cos cos cos cos sin sin
cos cos sin sin
sin sin cos sin cos
cos cos cos sin sintg
sin cos sin coscos cos cos coscos cos sin sincos cos cos cos
sin sincos cos
sin sin1 .
cos cos
1
tg tg
tg tg
1
tg tgtg
tg tg
tg tg 1
tg tg
tg tg
1
tg tg
tg tg
Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng nghịch đảo của tgVí dụ : Tính cos150 và cotg2150
0cos15 0 0cos 45 30 0 0 0 0cos 45 cos30 sin 45 sin 302 0 2 0sin 15 1 cos 15
2 4 2 26 2 8 4 2 2 21 1 1
4 16 4 4
2 0 2 2
sin 154
0 2 2 2 2sin15
4 2
2 02 0
115 1
sin 15cotg
4 2 21 4 2 2 2 11 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 14
Giải
Ví dụ : Tính sin8
2 2cos cos sin4 8 8
2 21 sin sin
8 8
2cos 1 2sin4 8
21 cos 2 2 2 24sin sin
8 2 4 8 2
2 2sin
8 2
cos cos cos sin sin8 8 8 8 8 8
Giải
2. Công thức nhân đôi :
sin2α = 2sinαcosαcos2α = cos2α – sin2α
= 2cos2α – 1= 1 – 2sin2α
2
22
1
tgtg
tg
Nhớ :sin cặp thì cặp sin cô
cos hai lấy hiệu bình cô sin bìnhthêm hai cos bình trừ duy nhất
duy nhất trừ đi hai sin bình
tg nhị là nhị tg anhphép chia của một trừ bình tg thôi
Chứng minh : Vận dụng các công thức sin(α+β), cos(α+β) và tg(α+β). Cụ thể :
cos 2 cos( ) cos cos sin sin 2 2cos sin sin 2 sin( ) sin cos sin cos 2sin cos
2
22
1 1
tg tg tgtg
tg tg tg
a. Hệ quả 1:
2
2
2
1 cos 2cos
21 cos 2
sin2
1 cos 2
1 cos 2tg
Các công thức sau đây cho phép tính cosα, sinα và tgα theo , 2
2t tg k
2
2
2
2
2sin
1
1cos
12
1
t
t
t
tt
tgt
Chứng minh : Chứng minh : Vận dụng các công thức nhân
đôi ta được hệ qủa một.
b. Hệ quả 2:
cos bình không biết bằng chi ?mẫu hai, tử tổng một và cos hai
Nhớ :
sin 2sin cos2 2
2sin cos
2 21
2
2 2
2 2
2sin cos2 2
cos2
sin cos2 2
cos cos2 2
2 2
2sin cos2 2
sin cos2 2
2
22sin
12
tg
tg
2
2sin
1
t
t
2
2
12cos
12
tg
tg
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
cos sin2 2
cos sin cos sin cos cos2 2 2 2 2 2cos cos sin
2 2 1 cos sin cos sin2 2 2 2
cos cos2 2
2
2
1cos
1
t
t
Ta có :
Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau :25 cos
2 7sin
xM
x
1
2 2
xtg
2 25 1 sin 4 sin
2 7sin 2 7sin
x xM
x x
22
12.2 42sin
1 511
2
tx
t
24
4585
4 952 7.5
M
Giải
Áp dụng hệ qủa 2 : đặt1
2 2
xt tg
3. Công thức biến đổi :a. Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác
thành tổng :
1sin sin cos cos
21
cos cos cos cos21
sin cos sin sin2
Nhớ : tích sin là tích nửa âm
cô đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ
Chứng minh : Vận dụng công thức cộng rồi cộng hoặc trừ vế theo vế.
Ví dụ : Tính2
cos cos5 5
M
1 2 2cos cos
2 5 5 5 5M
1 3 1 3
cos cos cos cos2 5 5 2 5 5
M
32sin cos cos
1 5 5 52 2sin
5
M
32sin cos 2sin cos1 5 5 5 5
2 2sin5
1 4 2 2sin sin sin
5 5 54sin5
M
4 sinsin55
4sin 4sin5 5
Giải
sin 1544sin
5
M
b. Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác thành tích :
cos cos 2cos cos2 2
cos cos 2sin sin2 2
sin sin 2sin cos2 2
sin sin 2cos sin2 2
sin
cos cos
sin
cos cos
tg tg
tg tg
Nhớ :cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos
cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin
sin ‘+’ sin bằng 2 sin cos
sin ‘-’ sin bằng 2 cos sin
Cụ thể :Chữ cuối lên giọng thì VT là tổng, xuống giọng VT là hiệu
Ở VP đọc trước là tổng chia đôi, đọc sau là hiệu chia đôi
Chứng minh :
sin(a + b) = sinacosb + sinbcosasin(a – b) = sinacosb – sinbcosa
sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosb
Đặt :
α = a + bβ = a – b
2
2
a
b
sin sin 2sin cos
2 2 2 2 2 2
sin sin 2sin cos2 2
Áp dụng tương tự với các hàm khác
Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau
M = sinx – sin2x + sin3x
M = sin3x + sinx – sin2x – sin2x3 3
2sin cos2 2
x x x x =
Giải
2 22cos 2cos sin
2 2
x x x xM x
M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx = 2cosx(sin2x – sinx)
34sin cos cos
2 2
x xM x
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau N = tg750 – tg150
Giải 0 0 0
0 0 0 0
sin 75 15 sin 60
cos 75 cos15 cos 75 cos15N
Mở rộng cho các công thức sau :
sin cos 2 sin 2 cos4 4
sin cos 2 sin 2 cos4 4
i.
ii.
iii. sin3α = 3sinα – 4sin3α
iv. cos3α = 4cos3α – 3cosα
Vận dụng công thức : 1cos cos cos cos
2
Với α = 750 , β = 150 thế vào ta được kết quả :
0
0 0 0 0
sin 601
cos 75 15 cos 75 152
N
0
0 0
2sin 60
cos90 cos 60
00
0
2sin 602 60 2 3
cos 60N tg
Chứng minh :
sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α= 2sinαcos2α + sinα(1 – 2sin2α)
= 2sinα(1 – sin2α) + sinα(1 – 2sin2α)
= 2sinα – 2sin3α + sinα – 2sin3α
sin3α = 3sinα – 4sin3αTương tự cho cos3α
VT 2. 2
2 sin cos 2 2 2
sin cos2 2
2 cos sin sin cos4 4
VT
2 sin
4
2 sin sin cos cos4 4
VT
2 cos
4
Tương tự cho sinα - cosα
i.
ii.
iii.
iv.
Bài tập củng cố :1. Tính: A = sin100sin300sin500sin700
A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300
0 0 0 01.cos10 sin 20 cos 20 cos 40
2A
A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200)
A = sin100sin300 cos400cos200
0 0 01.cos10 sin 40 cos 40
4A
0 01.cos10 sin80
8A
0 0 01.cos10 sin(90 80 )
8A
0 01.cos10 cos10
8A
1
8A
Giải :
2. Tính : B = cos200 + cos400 + … + cos1600 + cos1800
B = (cos200 + cos1600 ) + (cos400 + cos1400 ) + (cos600 + cos1200 ) + (cos800 + cos1000 ) + cos1800
B = [cos200 + cos(1800 - 20 )] + [cos400 + cos(1800 - 400 )] + [cos600 + cos(1800 - 600 )] + [cos800 + cos(1800 - 800 )] +cos1800
B = (cos200 – cos200 ) + (cos400 – cos400 ) + (cos600 – cos600 ) + (cos800 – cos800 ) + cos1800
B = cos1800 = cos(1800 – 00) = – cos00 = -1
3.Ví dụ :CMR : . .tgA tgB tgC tgA tgB tgC
Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có:A + B + C = π A + B = π – C
tg(A + B) = tg(π – C)
Giải :
Giải :
. 1 .tgA tgB tgC tgA tgB . .tgA tgB tgC tgC tgA tgB
. .tgA tgB tgC tgA tgB tgC
1 .
tgA tgBtgC
tgA tgB
(đpcm)
4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi: sin
2cossin
BA
C
sin 2sin .cosB C A 12. sin sin
2C A C A
Mà : A + B + C = π C + A = π – B sin sin sinC A B B
sin 0C A A C
(1)Giải :
(1)
sin sin sinB B C A Do đó :
Tam giác ABC cân tại B