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PROPOSICIONES LÓGICAS.

a. Proposiciones simples o atómicas Es una proposición que no contiene ningún conectivo lógico. Ejemplos:

i. 6 es un número par. ii. 2 + 5 = 7 iii. iv.

b. Proposiciones compuestas o moleculares

Es una proposición que contiene al menos un conectivo lógico. Ejemplos:

i. 6 es un número par y 3 es un número impar. ii. 2 + 5 = 7 o 3 + 4 = 7 iii. iv.

CONECTIVOS LÓGICOS.

Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada proposición molecular. Ejemplos: 2 es mayor -2 o -2 es mayor a -4 3 es impar y 6 es un número impar

Conectivo

Expresión en el

lenguaje natural

Ejemplo Símbolo

Negación no No está lloviendo. ~

Conjunción y Está lloviendo y está nublado. ∧

Disyunción o Está lloviendo o está soleado. ∨

Condicional material

si... entonces Si está soleado, entonces es de día. →

Bicondicional si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubes visibles. ↔

Tablas de verdad

Son un instrumento empleado en la lógica proposicional, para indicar las diferentes interpretaciones de una fórmula y el resultado de las mismas. Representan de manera gráfica todas las posibles combinaciones de los valores de verdad que se formen de las proposiciones.

Sus valores pueden ser V (verdadero) o F (falso), 1 (encendido) o 0 (apagado), para saber cuántas filas deben utilizarse se aplica la formula 𝟐𝒏 donde “𝟐” representa los dos posibles valores que puede tomar y “𝒏” es el número de proposiciones de la formula.

Ejemplo:

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Definición 1. Sea 𝑝 una proposición. La negación de 𝑝, denotada por ~𝑝, es la proposición “No es el caso que 𝑝”. La proposición ~𝑝 se lee: “no 𝑝”. El valor verdad de la negación de 𝑝, ~𝑝, es el opuesto del valor de verdad de 𝑝. Ejemplo 1.- Hallar la negación de la proposición “Dos es un número par”. Solución Ejemplo 2.- Hallar la negación de la proposición “Hoy es Lunes”. Solución Ejemplo 3.- Hallar la negación de la proposición “Dos no es un número impar”. Solución

Ejemplo 4.- Hallar la negación de la proposición ““Hoy no es unes”. Solución

Tabla de verdad para la negación de una proposición 𝒑 ~𝒑 V F F V

LA CONJUNCIÓN Definición 2. Sean 𝑝 𝑦 𝑞 proposiciones. La conjunción de 𝑝 𝑦 𝑞 , denotado por 𝑝 ∧ 𝑞, es la proposición “𝑝 𝑦 𝑞”. Ejemplo 1.- Sean las proposiciones: 𝑝 = 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟, 𝑞 = 6 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 A partir de estas proposiciones simples obtenemos la nueva proposición uniéndolas mediante la conjunción “ 𝑦 ”.

𝑟 = 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑦 6 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

Podemos observar que 𝑣(𝑝) = 𝑉 y 𝑣(𝑞) = 𝐹, 𝑣(𝑟) = 𝐹 ya que la conjunción 𝑦 exige el cumplimiento de ambas componentes, sin excepción. En consecuencia la regla práctica para la conjunción es: La proposición conjuntiva es verdadera únicamente cuando las dos proposiciones simples 𝑝 y 𝑞 son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa. Esta característica es válida para toda conjunción “y“ se puede resumir en la siguiente tabla de verdad.

𝒑 𝒒 𝒑 ∧ 𝒒 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝐹 𝐹 𝐹 𝑉 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹

Ejemplo 2.- Determinar el valor de verdad de la proposición: 𝑟 = "2 + 3 + 5 = 11 𝑦 4 + 8 > 11". Solución

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Ejemplo 3.- Determinar el valor de verdad de la proposición: 𝑟 = "7 𝑒𝑠 numero 𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 5". Solución Ejemplo 4.- Determinar el valor de verdad de la proposición: 𝑟 = "15 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3, 𝑝𝑒𝑟𝑜 5 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 7 ". Solución Ejemplo 5.- Determinar el valor de verdad de la proposición: 𝑟 = "15 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3, 𝑝𝑒𝑟𝑜 5 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 7 ". Solución NOTA. Hay palabras como “pero”, “a la vez”, “sin embargo”, “además”, “aunque”, “no obstante”, etc. que también unen proposiciones conjuntivamente y se pueden simbolizar por el conectivo ∧. LA DISYUNCIÓN Definición 3. Sean 𝑝 𝑦 𝑞 proposiciones. La disyunción de 𝑝 𝑦 𝑞 , denotado por 𝑝 ∨ 𝑞, es la proposición “𝑝 𝑜 𝑞”. Ejemplo 1 Sean las proposiciones: 𝑝 = 𝐿𝑢𝑖𝑠 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜, 𝑞 =𝐿𝑢𝑖𝑠 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑜𝑟 A partir de estas proposiciones simples obtenemos la nueva proposición uniéndolas mediante la disyunción “ 𝑜 ”.

𝑟 = 𝐿𝑢𝑖𝑠 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑜𝑟

En consecuencia la regla práctica para la conjunción es: La disyunción (inclusiva) de dos proposiciones es verdadera si y sólo si por lo menos una de las proposiciones es verdadera, resultando falsa solamente cuando las dos son falsas. La Disyunción “o“ se puede resumir en la siguiente tabla de verdad.

𝒑 𝒒 𝒑 ∨ 𝒒 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝐹 𝑉 𝐹 𝑉 𝑉 𝐹 𝐹 𝐹

Ejemplo 2.- Determinar el valor de verdad de la proposición: 𝑟 = "2 + 3 + 5 = 11 𝑜 4 + 8 > 5 + 6". Solución Ejemplo 3.- Determinar el valor de verdad de la proposición: 𝑟 = "25 𝑒𝑠 numero 𝑝𝑎𝑟 𝑜 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 5". Solución Ejemplo 4.- Determinar el valor de verdad de la proposición: 𝑟 = "15 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 5 𝑜 5 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 7 ". Solución

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Ejemplo 5.- Determinar el valor de verdad de la proposición: 𝑟 = "3 + 5 = 8 𝑜 5 − 3 = 4 ". Solución Ejemplo 6.- Determinar el valor de verdad de la proposición: 𝑟 = "3 + 8 = 11 𝑜 7 − 4 > 1 ". Solución

PROPOSICIÓN CONDICIONAL

Definición 4. Sean 𝑝 𝑦 𝑞 proposiciones. La proposición condicional 𝑝 → 𝑞 es la proposición “si 𝑝, entonces 𝑞”. La proposición condicional 𝑝 → 𝑞 es falso cuando 𝑝 es verdadero y 𝑞 es falso, y verdadero en cualquier otro caso.

En la proposición condicional 𝑝 → 𝑞, 𝑝 se llama hipótesis (o antecedente o premisa), y 𝑞 se llama conclusión (o consecuencia).

Puesto que las proposiciones condicionales desempeñan un rol esencial en el razonamiento matemático, una variedad de terminología se usa para expresar 𝑝 → 𝑞. Por ejemplo:

“Si 𝒑, entonces 𝒒” “𝒑 implica 𝒒”

“Si 𝒑, 𝒒” “𝒑 solamente si 𝒒”

“ 𝒑 es suficiente para 𝒒” “𝒒 simepre que 𝒑”

“Una condición suficiente para 𝒒 es 𝒑” “𝒒 si 𝒑”

“𝒒 cuando 𝒑” “𝒒 es necesario para 𝒑”

“Una condición necesaria para 𝒑 es 𝒒” “𝒒 a menos que 𝒑”

Tabla de verdad para la proposición condicional

𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 V V V V F F F V V F F V

Por ejemplo, cuando decimos:

Mi automóvil funciona, si hay gasolina en el tanque. Este enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras: a) Si hay gasolina en el tanque, entonces mi automóvil funciona. Observa que en este caso la proposición condicional es del caso: “Si p, entonces q”. b) Mi automóvil sólo funciona si hay gasolina en el tanque. En este caso la proposición condicional es del caso: “p solamente si q”. c) d)