concetti introduttivi scalari, vettori, calcolo vettoriale ...analisi cinematica dei vincoli...

Concetti introduttivi

Scalari, Vettori, Calcolo Vettoriale

Momento di una forza

Introduzione

W = peso corporeo

M = forza muscolare generata dagli abduttori

HJC = centro di rotazione dell’articolazione

Introduzione

Grandezze vettoriali

Si definiscono SCALARI le grandezze fisiche che sono completamente caratterizzate dal loro valore numerico, rispetto ad un’unità di misura. Si definiscono VETTORI le grandezze fisiche che, per essere pienamente descritte, necessitano di un: • Modulo (valore numerico della grandezza)

• Punto di applicazione

• Direzione (disposizione della grandezza)

• Verso (orientamento della grandezza)


retta su cui giace il segmento

lunghezza del segmento orientato

indicato dalla punta

Dal punto di vista analitico i vettori sono rappresentati da lettere sovrastate da una freccia, da un trattino, oppure espresse in grassetto


Vettori fissi (dipendono dal punto di

applicazione)

Vettori scorrevoli (cursori) (non dipendono dal punto di applicazione per

una data direzione)

Vettori liberi (si prescinde dal punto di

applicazione)

Il punto di applicazione è importante?

F F

Le condizioni di equilibrio alla traslazione verticale non cambiano...

...tuttavia l’effetto fisico è ben diverso nei due casi

Somma di vettori

La somma di vettori si può effettuare essenzialmente in 2 modi:

Metodo punta-coda Dati due o più vettori, posizionati consecutivamente, la somma è data congiungendo la coda del primo con la punta dell’ultimo.

��

Somma di vettori

La somma di vettori si può effettuare essenzialmente in 2 modi:

Regola del Parallelogramma Dati due vettori, applicati nello stesso punto, la somma è data dalla diagonale del parallelogramma che ha per lati i due vettori.

��

�

Componenti di un vettore

La scomposizione di vettori è una procedura molto utilizzata in fisica, in particolare nella statica per identificare le componenti di una forza lungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari alle direzioni corrispondenti alla posizione dei vincoli).

��



��

��


z

x

y

yA

zA

A

xAi

j

k

oppure


i, j e k sono particolari vettori di modulo unitario diretti secondo i tre assi cartesiani, chiamati versori

Componenti cartesiane di un vettore

Ogni vettore può essere scomposto in vettori componenti secondo direzioni fra loro ortogonali. Tipicamente i vettori si scompongono nelle

direzioni degli assi cartesiani dei sistemi di riferimento comodi per lo studio delle

strutture

Nel piano si ha:

22

yx AAA

AA

AA

+=

⋅=

⋅=

α

α

sen

cos

y

x

yx AAA +=

yx AAA +=

xA

yA

x

y

A

Aarctan=α

Somma di vettori

Regola del Parallelogramma Dati due vettori, applicati nello stesso punto, la somma è data dalla diagonale del parallelogramma che ha per lati i due vettori.

A

Somma di vettori

Operando graficamente si ottiene:

Dati i vettori:

Differenza di vettori

La differenza di vettori si effettua sommando al primo l’opposto del secondo.

Dati i vettori:

AA

Prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori u e v è uno scalare, definito nel modo seguente

Il prodotto scalare è nullo se almeno uno dei due vettori è nullo, oppure

se essi sono tra loro perpendicolari (θ=90°)

θcos⋅⋅=• vuvu

Prodotto vettoriale

Si definisce prodotto vettoriale dei vettori a e b il vettore avente

• direzione della retta perpendicolare al piano individuato da a e b

• verso definito dalla regola della mano destra

• modulo definito dalla formula:

Il prodotto vettoriale è nullo quando i due vettori sono paralleli

Si punta il pollice nella direzione del primo vettore e l'indice in quella del

secondo. Il medio fornisce la direzione del prodotto vettoriale.

θ senbaba ⋅⋅=×

Momento di una forza F rispetto ad un polo O

Il momento meccanico (momento della forza) esprime l'attitudine di una forza

a imprimere la rotazione ad un oggetto attorno ad un punto (nel piano) o ad un

asse (nello spazio).

Il momento è un vettore avente direzione normale al piano costituito da F e

PO e verso definito dalla regola della mano destra

Unità di misura: N m

Momento di una forza F rispetto ad un polo O

Momento flettente o torcente?




Momento flettente o torcente?




Frattura Spiroide

(torsione)

Frattura Butterfly

(flessione)

Flessione nelle endoprotesi

b1 b2

b2 < b1 quindi M2 < M1

F

Esercizi

sul calcolo del momenti

+

Mo = 250 cos(15) (0.200) – 250 sin(15) (0.030)

Mo = 48.30 – 1.941 = 46.4 Nm

0.03 m

0.2 m

15° 250 N

+

r = 0.1 m

Fy

Fx

20°

60 N

Mo = r Fy

Mo = (0.1) (60 cos 20) = 5.64 Nm

+

P = 30 N

45°

1.6 m

1.6 m

MB = 30 (1.6) = 48 Nm

MA = (30 cos45) (1.6+1.6 sin45) + (30 sin45) (1.6 cos45) = 81.9 Nm

+

MA è Massimo quando F è perpendicolare ad AB

θ = tan-1 ()

h

b

θ

F

θ

A

B

+

8 lb 5 lb

T

2’’

G

A

O

6‘’

13’’

55°

Il momento in O dovuto all’azione combinata dei pesi da 5lb e 8lb è:

+ Mo = 5 (6sin55) + 8 (13) = 128.6 lb-in

�Mo � 0 -T (2) + 128.6 = 0

T = 64.3 lb

Imponendo l’equilibrio dei momenti:

Il concetto di vincolo

Analisi cinematica dei vincoli

Strutture isostatiche, ipostatiche e

iperstatiche

Labilità

Obiettivi della lezione: comprendere il concetto di vincolo strutturale e le sue implicazioni di

carattere cinematico, saper computare il numero di gradi di libertà e di gradi di vincolo di una

struttura formata da una o più aste, definire se questa è isostatica, iperstatica o ipostatica e

analizzare alcuni semplici casi di labilità

Il punto materiale

• Il punto materiale è un particolare modo di

rappresentazione di un corpo quando non si tiene in

considerazione la sua estensione nello spazio.

• La legittimità di tale astrazione è funzione della scala

alla quale si studia il moto del corpo stesso

Cinematica del punto materiale

• Descrivere il movimento di un punto materiale nello spazio, significa

assegnarne la posizione in funzione del tempo rispetto ad un sistema di

riferimento ritenuto fisso

• In un sistema cartesiano ortogonale, ciò equivale ad assegnare istante per istante i valori di tre parametri, ossia le coordinate x, y, z del punto che

ne definiscono la posizione durante il movimento.

z

x

y

P (x,y,z)

Dal punto materiale al corpo rigido

• Il punto materiale è l’elemento astratto più semplice che si può introdurre per studiare

l’equilibrio dei corpi

• Si può adottare tale schema in una prima fase di analisi, semplificando notevolmente

lo schema risolutivo Nei problemi astronomici o astronautici questo approccio è

sicuramente spesso plausibile

• Invece, rappresentare un oggetto come corpo rigido, consente di considerarne

l’estensione spaziale.

• Un corpo rigido è un oggetto costituito da infiniti punti materiali che non cambiano la loro posizioni relative. Quindi la distanza tra una qualunque coppia di

punti ad esso appartenenti resta invariata nel tempo. Si tratta di un’astrazione poiché

tutti i corpi reali sono soggetti ad una certa deformazione

Cinematica del corpo rigido

In modo analogo a quanto osservato in precedenza

per il punto materiale, per descrivere completamente

il movimento di un corpo rigido nello spazio si

dovrebbe definire, istante per istante, la posizione di ogni suo punto rispetto al sistema di riferimento

Tuttavia, ricordando che i punti che costituiscono il

corpo rigido mantengono inalterata la distanza

relativa, tale condizione equivale di fatto ad assegnare i valori di sei parametri (nel caso di

corpo libero) che ne definiscono la posizione durante

il movimento

Ad esempio è possibile fornire le coordinate di due punti P1 e P2 del corpo (6 parametri) più l’angolo di rotazione del corpo attorno all’asse formato dalla

congiungente i due punti (+1 parametro), e

ricordando che si ha una relazione che lega la distanza tra i due punti (-1 parametro).

z

x

y

P1 (x1,y1,z1)

P2 (x2,y2,z2)

Un corpo si dice rigido quando la distanza di due punti qualsiasi del corpo si mantiene indefinitamente costante nel tempo

Gradi di libertà e di vincolo del corpo rigido

• I “gradi di libertà” di un corpo rigido corrispondono ai parametri che occorre

assegnare per determinare la sua posizione nello spazio.

• Un corpo complessivamente libero possiede 6 gradi di libertà

• Infatti si possono considerare 3 punti non allineati fornendo le tre coordinate di

essi (9 parametri), ma ricordando che le loro mutue distanza non possono

variare (- 3 parametri)

Un corpo rigido non completamente libero di muoversi nello

spazio (e quindi impossibilitato a raggiungere tutte le

possibili posizioni) è detto “vincolato”. La trottola in figura è un corpo rigido che perde 3 gradi di libertà se il suo punto di contatto con la superficie è fisso. Ne restano 3 (due angoli per la posizione dell’asse e

l’angolo di rotazione intorno all’asse)

Perde un solo grado di libertà se il punto di contatto può muoversi sulla superficie (restano 5 gradi di libertà: i 3

angoli definiti in precedenza e le due coordinate sul piano

del punto di contatto)

Movimento di un corpo rigido nel piano

Per le nostre trattazioni rivestono particolare interesse i

movimenti dei corpi rigidi nel piano, che richiedono la

conoscenza di solo tre parametri di posizione.

In particolare, le coordinate necessarie a definire la posizione del

corpo rigido sono: 2 coordinate dell’origine degli assi locali rispetto agli assi fissi; 1 parametro angolare che definisce

l’orientamento degli assi locali rispetto agli assi fissi (ad esempio

l’angolo θ che forma l’asse x con l’asse X).

Le tipologie di movimento di un corpo rigido nel piano si possono

classificare come segue:

1. Traslazione: il corpo si muove in modo tale che tutte le

direzioni rettilinee, individuabili sul corpo, restano parallele a

se stesse durante il moto (es. cabina di ascensore)

2. Rotazione: il corpo si muove in modo tale che un punto

denominato centro della rotazione ha spostamento nullo (es.

trottola con punto P0 fisso).

3. Rototraslazione: il corpo si muove con movimento generico,

ottenuto per sovrapposizione di traslazione e rotazione P0

Centro di istantanea rotazione (CIR)

• DEF. 1: Ogni atto di moto rigido di un corpo nel piano può essere rappresentato mediante la rotazione del corpo attorno ad un punto detto “Centro di Istantanea Rotazione” (CIR)

• DEF 2: Nel moto rigido piano (ossia nel moto di un corpo rigido su di un piano) esiste in ogni istante del moto un punto del piano (ovvero equivalentemente un punto del corpo rigido) la cui velocità è nulla. Tale punto viene definito centro di istantanea rotazione.

• Negli istanti in cui il moto ha carattere traslatorio il CIR si trova all'infinito nella direzione normale a quella della velocità del moto traslatorio

• Nel caso di ruota rotolante e non strisciante, la rotazione infinitesima attorno al punto di contatto ruota-piano provoca in ogni punto del corpo rigido uno spostamento diretto lungo la normale al segmento congiungente il CIR con i punti considerati, con grandezza proporzionale alla distanza dei punti dal centro stesso.

• Il CIR è utilizzato anche per definire un movimento infinitesimo virtuale (consentito dai vincoli).


Gli spostamenti rigidi di un corpo possono essere impediti vengono imponendo

delle condizioni cosiddette «di vincolo»

Si definisce «vincolo» una qualunque condizione imposta ad un sistema materiale che impedisce di assumere una generica posizione

e/o atto di moto. Quindi il vincolo, in sostanza, è un’entità il cui fine è la limitazione del movimento di un corpo.

Libera Vincolata (perde alcune possibilità di movimento)


Nella pratica dell’analisi strutturale, i vincoli si classificano in esterni ed interni.

I vincoli esterni collegano i tratti della struttura col sistema di riferimento assoluto

(mondo esterno) mentre quelli interni collegano due o più tratti della struttura tra di

loro.

Vincoli esterni

Vincoli interni


Nelle strutture gli spostamenti rigidi vengono impediti mediante particolari dispositivi, detti vincoli, che possono essere distinti in esterni ed interni.



loro.

Vincolo interno

Vincolo esterno


Nelle strutture gli spostamenti rigidi vengono impediti mediante particolari dispositivi, detti vincoli, che possono essere distinti in esterni ed interni.



loro.

Ai fini delle successive trattazioni, si assumeranno alcune ipotesi sulla natura dei

vincoli che sono considerati perfetti, puntiformi, fissi, bilateri e privi d'attrito.

• Un vincolo si dice perfetto cioè non cedevole, quando è in grado di bloccare

completamente lo spostamento a cui si oppone. La sua azione, quindi, non

dipende dall’entità̀ delle forze agenti

• Puntiforme, se privo di estensione (esplica la sua azione in un punto)

• Fisso se la sua posizione non dipende dal tempo

• Bilatero quando agisce in una prefissata direzione e impedisce gli spostamenti

in entrambi i versi.

L’azione che il vincolo esplica è inoltre considerata indipendente dalle forze

d’attrito, quindi si dice anche che il vincolo è «liscio»


Vincolo

Carico

Vincolo

Carico


Quindi, in definitiva, un vincolo rappresenta di fatto una condizione che limita il moto di un corpo. I vincoli si possono caratterizzare:

1) dal punto di vista cinematico, ossia in relazione agli spostamenti

impediti e permessi

2) dal punto di vista statico definendo le forze reattive (reazioni

vincolari) con le quali vengono annullati determinati gradi di libertà.

Dal punto di vista cinematico, ricordiamo che nel piano, il corpo rigido ha tre gradi di libertà (GdL) ossia:

• due traslazioni secondo i due assi di riferimento

• una rotazione intorno ad un asse ortogonale al piano, e passante per

il polo di riferimento

La classificazione cinematica dei vincoli, dipende quindi dal fatto che essi

sopprimano uno, due o tre gradi di libertà al corpo rigido.

Noi ci occuperemo sempre di corpi rigidi nel piano (3 GdL) o di sistemi di corpi rigidi nel piano (n corpi, 3n GdL).

Simbologia

Il nostro corpo rigido di riferimento è l’asta (o trave). Essa si simboleggia con

un segmento rettilineo (caso più semplice) o di geometria più complessa e

orientato in modo opportuno.

Il vincolo tipicamente è posizionato su

una delle estremità dell’asta o su

entrambe.

Ogni vincolo ha una sua simbologia peculiare riconosciuta a livello

internazionale

Incastro

Si schematizza il corpo considerato con

un elemento lineare (trave, asta).

Immaginiamo di «bloccare» una delle

due estremità

Il vincolo così ottenuto impedisce qualunque traslazione e la rotazione dell’asta.

Incastro

L’incastro è, quindi, un vincolo triplo

GdL = 3

GdV = 3

GdL residui = 0

Incastro: esempi pratici

• Nella pratica ingegneristica gli incastri

si ottengono mediante saldature o altri collegamenti rigidi tipo viti e

bulloni, come le mensole fissate nel

muro, i travi degli edifici etc.

• L’incastro viene talvolta realizzato non in un solo punto ma in una zona del corpo, la reazione allora viene

considerata in un solo punto

attraverso un sistema equivalente.

Cerniera

Si schematizza il corpo considerato con

un elemento lineare (trave, asta).

Una delle due estremità è libera di

ruotare

Il vincolo così ottenuto impedisce qualunque traslazione dell’asta (ma non la rotazione).

La cerniera è quindi un vincolo doppio

GdL = 3

GdV = 2

GdL residui = 1

Cerniera a terra

Cerniera: esempi pratici

Carrello (cerniera con carrello)

Questo vincolo toglie la traslazione al corpo sulla

direzione normale alla sua retta di scorrimento,

consentendo contemporaneamente:

• traslazione lungo la retta di scorrimento (rotazione attorno al punto all’infinito della normale

alla retta di scorrimento);

• rotazione attorno al perno della propria cerniera.

Il vincolo così ottenuto impedisce solo la traslazione verticale dell’asta

Il carrello è quindi un vincolo semplice

GdL = 3

GdV = 1

GdL residui = 2

Carrello

Pattino e manicotto

Questi vincoli permettono la traslazione in una direzione ma non la rotazione.

Il pattino si rappresenta come in figura

con una linea parallela al piano di

scorrimento ed un'asta, che può avere

inclinazione libera, ma fissa.

Il manicotto rappresenta il caso in cui

l'inclinazione dell'asta è parallela a quella

del piano di scorrimento: si usa infatti

disegnare una semplice linea che

attraversa due superfici vicine e parallele

(la cui area è tratteggiata se

rappresentano la terra).

Entrambi i vincoli permettono la sola traslazione in una sola direzione e

bloccano sia la traslazione in direzione

ortogonale al vincolo, che la rotazione

dell'asta sul pattino o attorno al manicotto.

Il pattino è quindi un vincolo doppio

GdL = 3

GdV = 2

GdL residui = 1

Pattino

Manicotto

Pattino e manicotto

Manicotto

Vincoli su più corpi

Esistono casi in cui il vincolo esplica la sua azione su più corpi uniti tra loro

Se uniamo due aste con un vincolo rigido (incastro interno) ad

esempio con una saldatura o un incollaggio, otteniamo un sistema

che da due corpi rigidi (6 GdL) si è ridotto ad un solo corpo rigido (3

GdL), quindi è stato introdotto un vincolo triplo. NB non viene usata una rappresentazione grafica specifica

La cerniera sopprime due

gradi di libertà

Il pattino sopprime due

gradi di libertà

Il carrello sopprime un

grado di libertà

Analisi cinematica dei corpi rigidi

Parlando di singolo corpo rigido, e avendo definito i vincoli semplici che permettono il collegamento con l’esterno, l’analisi cinematica prevede i seguenti passi:

• bilancio tra GdL e GdV (verifica della isostaticità della struttura);

• valutazione eventuale labilità del corpo (spostamenti virtuali infinitesimi permessi).

Un corpo rigido o un sistema di corpi rigidi vincolati tra loro e al mondo esterno può contenere vincoli:

• in numero insufficiente a togliere ogni libertà di movimento (sistema ipostatico);

• in numero strettamente necessario all’obiettivo precedente (sistema isostatico);

• in numero sovrabbondante all’obiettivo precedente (sistema iperstatico).

Il sistema più semplice per effettuare tale valutazione è il conteggio di GdL e GdV e il

successivo confronto

In particolare potremo avere: - GdL > GdV (sistema ipostatico); - GdL = GdV (sistema isostatico); - GdL < GdV (sistema iperstatico).


L = gradi di libertà (GdL)

V = gradi di vincolo (GdV)


Nei sistemi ipostatici La determinazione delle reazioni vincolari (ossia dell’effetto del vincolo in termini

di forze in conseguenza dell’applicazione di carichi esterni) e quindi la

determinazione della configurazione di equilibrio sono possibili solo per determinate configurazioni di forze applicate.

Nei sistemi isostatici (caso di maggior interesse) L’equilibrio è garantito e si possono sempre determinare le reazioni vincolari per

qualunque sistema di forze applicate

Nei sistemi iperstatici L’equilibrio è garantito e si possono sempre determinare le reazioni vincolari per

qualunque sistema di forze applicate a patto che si considerino anche le deformazioni della struttura e non solo le equazioni cardinali della statica. In

seguito si vedrà che la risoluzione delle strutture iperstatiche si basa su un

doppio studio: equilibrio e deformazione

Esempio 1

Esempio 1

Consideriamo il singolo corpo rigido (asta

semplice) in figura.

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: asta semplice = 3GdL

GdV: due carrelli = 2 · (1 vincolo) = 2GdV

3 > 2, GdL > GdV

Il sistema è ipostatico

Esempio 2

Esempio 2

3 = 3, GdL = GdV

Il sistema è isostatico

In questo caso l’asta è vincolata alle due estremità con:

Carrello (sinistra) = 1 GdV

Cerniera (destra) = 2 GdV


GdL: asta semplice = 3 GdL

GdV: 1 (carrello) + 2 (cerniera) = 3 GdV

Esempio 3

Esempio 3

3 = 3, GdL = GdV


Trave incastrata ad una delle estremità. L’altro estremo è libero

Incastro = 3 GdV



GdV: incastro = 3 GdV

Esempio 4

Esempio 4

3 < 4, GdL < GdV

Il sistema è 1 volta iperstatico

In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambi gli estremi. A sinistra è

presente un incastro e a destra un carrello

Incastro (sinistra) = 3 GdV

Carrello (destra) = 1 GdV



GdV: incastro + carrello = 3 +1 = 4 GdV

Esempio 5

Esempio 5

3 < 5, GdL < GdV

Il sistema è 2 volte iperstatico

In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambi gli estremi. A sinistra è

presente un incastro e a destra una cerniera


Cerniera (destra) = 2 GdV



GdV: incastro + cerniera = 3 + 2 = 5 GdV

Esempio 6

Esempio 6

3 < 6, GdL < GdV


In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambe le estremità con un

incastro (trave doppiamente incastrata)





GdV: incastro + incastro = 3 + 3 = 6 GdV

Vincoli efficaci e non efficaci

La valutazione del rapporto tra gradi di libertà e gradi di vincolo di una struttura deve tenere

conto anche della reale efficacia dei vincoli. Si parla di vincolo “non efficace” o “inefficace” riferendosi ad un vincolo che, se aggiunto ad una situazione esistente, non è

in grado di alterare la stabilità della struttura

Esempio: Consideriamo il singolo corpo rigido (asta semplice) in figura.


GdL: asta semplice = 3GdL

GdV: due carrelli = 2 · (1 vincolo) = 2GdV


Aggiungiamo un terzo vincolo semplice Il bilancio ora lascerebbe pensare ad una

struttura isostatica….ma è realmente così?

Quali possibilità di movimento ha l’asta?

Sistemi complessi (o articolati)

Nella pratica costruttiva spesso si ha a che fare con sistemi cosiddetti articolati che sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli interni ed esterni

Esempio: telaio

1

2

3

Esempio: fissatore


Nella pratica costruttiva spesso si ha a che fare con sistemi cosiddetti articolati che sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli interni ed esterni

Esempio 1

2

3 4


I sistemi articolati sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli

interni ed esterni

Esempio 1

2

3 4

Le aste 1 e 2, pur non essendo rettilinee, sono da

considerarsi come un unico corpo perché, presi due

punti qualsiasi, essi non possono mutare la loro

distanza


GdL degli n corpi liberi (aste) = 3·n

GdL residui = n (1 rotazione per ogni asta)

GdV = 3·n – n = 2·n

GdL degli n corpi liberi (aste) = 3·n

GdL residui = n +1 (1 rotazione per ogni

asta + la traslazione del carrello)

GdV = 3·n – (n+1) = 3·n-n-1 = 2n -1

Nei sistemi articolati, il computo dei gradi di vincolo deve tenere conto delle aste

concorrenti sul vincolo e delle residue possibilità di movimento

Sistemi complessi

Il calcolo è differente a seconda che si abbia a che fare con vincoli “a terra” o vincoli “interni”

Vincoli a terra

Vincoli interni

Esempio 7

Esempio 7

9 < 10, GdL < GdV


Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo. GdL: 3 aste = 3 · 3 = 9 GdL

GdV: 2+2+2+2+2 = 10 GdV

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·2 -2 = 4-2 = 2

Cerniera a terra GdV = 2·n = 2·1 = 2




Esempio 8

Esempio 8

9 = 9, GdL = GdV



GdV: 2+4+1+2 = 9 GdV

Cerniera a terra GdV = 2

Pattino a terra GdV = 2


Carrello a terra GdV = 1

Esempio 9

Esempio 9

9 = 9, GdL = GdV



GdV: 2+2+3+2 = 9 GdV

Pattino a terra GdV = 2

Carrello a terra GdV = 2·n -1 = 2·2 -1 = 4-1 = 3



Esempio 10

Esempio 10

15 = 15, GdL = GdV



GdV: 4+5+2+4 = 15 GdV

1 2

3

4

5




Carrello a terra GdV = 2·n -1 = 2·3 -1 = 6-1 = 5

Esempio 11

Esempio 11

6 > 4, GdL > GdV



GdV: 2+2 = 4 GdV

In particolare rimangono due libertà di movimento possibili: 1. la rotazione di tutto il sistema attorno alla cerniera fissa

2. la rotazione relativa dell’asta 2 rispetto alla cerniera interna.

1

2


Cerniera a terra GdV = 2•n = 2•1 = 2

Esempio 12

Esempio 12


GdV: 1+1+2+2+2+2 = 10 GdV

1

2

3

4







12 > 10, GdL > GdV


Esempio 13

Esempio 13


GdV: 2+2+2+2 = 8 GdV

1

2

3




9 > 8, GdL > GdV



Esempio 14

Esempio 14


GdV: 3+2+2+2+1+2 = 12 GdV

12 = 12, GdL = GdV


1

2

3

4

Incastro GdV = 3



Pattino interno GdV = 3·n -4 = 3·2 -4 = 6-4 = 2

Pattino interno GdV = 3·n -4 = 3·2 -4 = 6-4 = 2

Carrello interno GdV = 2·n -3 = 2·2 -3 = 4-3 = 1

Esempio 15

Esempio 15


GdV: 4+4+4+4+6 = 22 GdV

21 < 22, GdL < GdV


3 1

2

4 5

6 7






Esempio 16

Esempio 16

Incastro GdV = 3

Incastro GdV = 3


GdL: 1 asta = 3 GdL

GdV: 3+3 = 6 GdV

3 < 6, GdL < GdV


Esempio 17

Esempio 17


GdL: 2 aste = 6 GdL

GdV: 2+2+2 = 6 GdV

6 = 6, GdL = GdV



Cerniera a terra GdV = 2·1 = 2·1 = 2

Cerniera a terra GdV = 2·1 = 2·1 = 2

Esempio 16

Infine va ricordato che il caso di un anello chiuso

• L’anello chiuso può essere immaginato come un’asta ripiegata su sè stessa e i cui lembi

vengono saldati tra loro

• L’asta chiusa si definisce «internamente ipervincolata» e il grado di vincolo in eccesso è

pari a 3

• I tre vincoli interni aggiuntivi possono essere rimossi (ad esempio con un taglio nella

struttura), senza modificarne l’ equilibrio.

Strutture labili

L’analisi cinematica di una struttura fa riferimento a due condizioni specifiche 1. La molteplicità dei vincoli deve essere pari al numero dei gradi di libertà della struttura

(condizioni necessaria);

2. I vincoli devono essere ben disposti, ossia cinematicamente efficaci (condizione

sufficiente).

Quindi la condizione di uguaglianza tra GdL e GdV è una condizione necessaria ma non sufficiente affinchè la struttura sia in equilibrio

Infatti deve essere impedita ogni sua possibile mobilità, anche solo virtuale

La prima condizione è di immediata verifica, essendo legata al computo e al confronto tra

GdL e GdV

La seconda condizione, che richiede un’analisi più approfondita (soprattutto per strutture

composte da più tratti e variamente articolate) si può verificare tramite due metodi:

• Metodo algebrico (approccio analitico, poco usato);

• Metodo dei centri assoluti e relativi di rotazione (approccio geometrico)

Strutture labili

Strutture labili


Manicotto GdV = 2

Incastro GdV = 3



GdL = GdV = 6 ma può RUOTARE

GdL = GdV = 3 ma può TRASLARE

Strutture labili

• Il caso più frequente di labilità riguarda però la possibilità di eseguire movimenti virtuali

infinitesimi consentiti dai vincoli

• Una tipica esemplificazione di questa condizione è riscontrabile nella struttura in figura

(trave con vincolo cerniera – carrello mal disposto).

• Il CIR si trova nella cerniera a terra

GdL = GdV = 3

Arco a tre cerniere

• Un caso molto frequente di struttura semplice isostatica è l’arco a tre cerniere




GdL: 2 aste = 3 · 2 = 6 GdL

GdV: 2+2+2 = 6 GdV Il sistema è isostatico

Arco a tre cerniere labile

• L’asta AB può ruotare rispetto all’asta BC attorno ad un punto qualsiasi che sta sulla

retta congiungente i punti B e C

• In particolare l’asta AB può ruotare attorno al punto A, che è anche il movimento

permesso dal vincolo a terra della stessa asta.

• Si ha labilità ogniqualvolta tre articolazioni (cerniere) sono allineate



A C

B

Altri casi di labilità

• Nel caso precedente abbiamo visto che la labilità della struttura era causata da una

errata disposizione dei vincoli

• Tuttavia può capitare che la labilità sia originata anche da una cattiva disposizione delle aste. Prendiamo in esame la struttura in figura




• Tuttavia può capitare che la labilità sia originata anche da una cattiva disposizione delle aste. Prendiamo in esame la struttura in figura

2

2 2

2 4

2 4

6

GdL = 24 GdV = 24





• Tuttavia può capitare che la labilità sia originata anche da una cattiva disposizione delle

aste. Prendiamo in esame la struttura in figura

Parallelogramma articolato

2

2 2

2

2 2

6 6

GdL = 24 GdV = 24


concetti introduttivi scalari, vettori, calcolo vettoriale ...analisi cinematica dei vincoli...

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