conceptul de probabilitate. aplicaţii în domeniul
TRANSCRIPT
![Page 1: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Conceptul de
probabilitate.
Aplicaţii în domeniul
medical
![Page 2: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/2.jpg)
Obiective
Prezentarea conceptelor fundamentale ale
teoriei calculului probabilitaţilor
Exemplificarea practică a diferitelor modele
matematice ale teoriei probabilităţilor
2
![Page 3: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/3.jpg)
Medicii cu experienţă încep procesul de a pune un
diagnostic de la prima stabilire a contactului vizual
cu un pacient.
Dar procesul de diagnosticare poate începe chiar
înainte de stabilirea contactului vizual cu un pacient.
Oare nu se poate diagnostica pacientul care nu a
fost încă văzut, care este încă în camera de
aşteptare?
Doar noi cunoaștem foarte multe despre pacient şi
putem face unele deducții
3
![Page 4: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/4.jpg)
Inainte de a vedea cu pacientul suntem deja
capabili să identificăm cele mai probabile
două diagnostice şi să atribuim o
probabilitate iniţială pentru fiecare.
În momentele ulterioare, în funcție de
anamneză, de examinare şi testele
suplimentare (dacă este necesar) fiecare
dintre probabilităţi va suferi o serie de
modificări în jos sau în sus.
4
![Page 5: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/5.jpg)
Medicul individualizează întrebările puse şi
elementele examinate în aşa fel încât
rezultatul fiecărei interogări forţează un
diagnostic sau altul de a fi mai probabil.
Astfel, diagnoza este un proces dinamic şi
secvential.
5
![Page 6: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/6.jpg)
Să presupunem că la un anumit moment am
finalizat procesul de diagnosticare pentru un
pacient. Până la sfârşitul procesului de
diagnosticare medicul ar trebui să aibă un
diagnostic 100% probabil, dar în multe
cazuri, diagnosticul de lucru (alegerea
numarul unu) poate avea probabilitatea de
doar 70% - 80%.
6
![Page 7: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/7.jpg)
Când un diagnostic nu este 100% probabil,
la momentul iniţial de evaluare, se
urmărește evoluția simptomatologiei
pacientului în timp pentru revizuirea
probabilităţi de diagnostic.
În cazurile care implică incertitudine chiar şi
elaborarea listei de diagnostice probabile cu
un număr mic de alternative concrete permite
medicului evaluarea opţiunilor rezonabile să
aleagă diagnosticul corect.
7
![Page 8: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/8.jpg)
8
De ce avem nevoie de probabilităţi?
Stau la baza statisticii inferenţiale
Poate fi privită ca o măsură a capacităţii
eşantionului de a estima caracteristica unei
populaţii
![Page 9: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Obiective
Definirea conceptului de probabilitate
Operaţii cu probabilităţi
Probabilitate condiţionată. Formula lui Bayes
Prevalenţa, valori predictive, senzitivitate,
specificitate
![Page 10: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Teoria probabilităţilor
Teoria probabilităţilor are ca obiect de studiu legile care se manifestă în domeniul fenomenelor întâmplătoare cu caracter de masă care pot apare în diverse arii de interes.
![Page 11: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Concepte fundamentale -
definiţii
Un experiment este o activitate a cărui rezultat este întâmplător poate fi definit şi ca un proces de colectare a datelor dintr-o populaţie
Exemple:
Arucarea unui zar (1,2,3,4,5 sau 6)
Determinarea statusului de a fi seronegativ sau seropozitiv.(da/nu)
Determinarea grupei sangvine. (0,A,B,AB)
![Page 12: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Concepte fundamentale -definiţii
Aplicarea experimentului asupra unui element al colectivităţii se numeşte probă.
Rezultatul unei probe constituie un eveniment.
Evenimentul ce apare ca rezultat al unei singure probe (sau încercări) se numeşte eveniment elementar.
![Page 13: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Abordări ale calcului probabilităţilor
Clasic
Probabilitatea unui eveniment A =
Numărul de cazuri favorabile
Numărul de cazuri posibile
Frecvenţa relativă
Numărul de apariţii a unui eveniment, după
repetarea experimentului de un număr mare de
ori.
![Page 14: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Abordări ale calcului probabilităţilor
Care este probabilitatea ca la aruncarea unui
zar să obţinem faţa cu numărul 6?
Clasic
Numărul de cazuri favorabile = 1
Numărul total de cazuri posibile = 6
Probabilitatea = 1/6
![Page 15: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Abordări ale calcului probabilităţilor
Care este probabilitatea ca la aruncarea unui
zar să obţinem faţa cu numărul 6?
Frecvenţe relative
Realizăm un număr mare de aruncări ale zarului şi calculăm frecvenţa distribuţiei pentru fiecare eveniment{1,2,3,4,5,6}
Probabilitate {6} = Numărul de valori 6 / numărul total de aruncări
![Page 16: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Probabilitatea
măsoară incertitudinea
măsoară şansele ca un eveniment să aibă loc
are valori între 0 şi 1
![Page 17: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/17.jpg)
17
0 11
2
imposibil certşanse 50-50
100%50% 0%
![Page 18: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Exemplu
Încercările constau în determinarea grupei sangvine, rezultatele posibile fiind: A, B, AB, O, acestea nu sunt echiprobabile.
Grupa Sangvina Probabilitatea
O 0.42
A 0.43
B 0.11
AB 0.04
![Page 19: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Spaţiul fundamental de evenimente
evenimentul imposibil () - mulţimea vidă
evenimentul cert (E)- mulţimea fundamentală E
Evenimentul sigur se produce cu certitudine la orice efectuare a experimentului
Evenimentul imposibil este nerealizabil în urma efectuării experimentului.
![Page 20: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/20.jpg)
Complementul evenimentului A
Complementul evenimentului A, notat cu sau nonA
reprezintă evenimentul care se realizează ori de câte ori
nu se realizează A.
Exemplu
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2} = { 3, 4, 5, 6 }
20
A
A
![Page 21: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Definiţia axiomatică
Fie E un spaţiu fundamental asociat unui experiment H şi mulţimea tuturor evenimentelor, adică mulţimea părţilor lui E:
P(E) .
Se spune că funcţia Pr:R este o funcţie de probabilitate, iar prin Pr(A) se notează probabilitatea evenimentului A, dacă satisface următoarele axiome:
M1. 0 Pr(A) 1, A
M2. Pr(E) 1
M3. Dacă A şi B sunt incompatibile (adică nu pot avea loc simultan) atunci
Pr(AB) Pr(A) Pr(B).
![Page 22: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/22.jpg)
Definiţia axiomatică - proprietăţi
T1. Dacă A1, A2, ..., An sunt evenimente
incompatibile două câte două atunci:
T2. Pr() 0.
T3. Pr(non A) 1 - Pr(A).
T4. Dacă AB atunci Pr(A) Pr(B).
T5. Pentru orice evenimente A şi B are loc
egalitatea:
Pr(AB) Pr(A) Pr(B) - Pr(AB) .
)AiPr()n
1iAiPr(
n
1i
![Page 23: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Spaţiul fundamental este finit
Experimentul H constă în aruncarea unui zar.
Spaţiul fundamental în acest caz este mulţimea tuturor
rezultatelor posibile la aruncarea zarului: E 1, 2, 3, 4,
5,6. In acest caz spaţiul fundamental E este finit.
Printre evenimentele posibile (submulţimi ale lui E) se pot
considera:
A 2, 4, 6 (obţinerea unei feţe pare)
B 1, 3, 5 (obţinerea unei feţe impare)
C 3 ( eveniment elementar).
In acest caz, evenimentele A şi B sunt incompatibile.
Evenimentele elementare sunt echiprobabile.
![Page 24: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Spaţiul fundamental este finit
Experimentul H constă în determinarea grupei sangvine.
In acest caz spaţiul fundamental este E A, B, AB, 0.
E este finit însă spre deosebire de exemplul precedent,
evenimentele elementare A, B, AB şi 0 nu sunt
echiprobabile.
![Page 25: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Spaţiul fundamental este infinit şi
numărabil
Experimentul H constă în aruncarea succesivă a unui zar
până ce se obţine faţa 5.
Spaţiul fundamental în acest caz este alcătuit din numărul
aruncărilor necesare, care variază de la 1 la infinit:
E 1, 2, 3,...,n,....
Spaţiul fundamental E este infinit, însă elementele sale fiind
ordonate într-un şir, E este un exemplu de spaţiu
fundamental numărabil.
![Page 26: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Spaţiul fundamental este infinit şi
numărabil
Experimentul H constă în numărarea internărilor într-un
spital într-un interval de timp dat (săptămână, lună, an etc.)
Spaţiul fundamental E variază de la 0 la infinit, adică
E 0,1, 2, 3,...,n,....
In acest caz, E este o mulţime infinită şi numărabilă.
![Page 27: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Spaţiul fundamental este infinit şi
nenumărabil
Experimentul H constă în aruncarea unei bile sferice într-o
cutie dreptunghiulară.
In urma unei încercări după oprirea bilei ea are un punct de
contact cu baza cutiei.
Spaţiul fundamental E, în acest caz, este alcătuit din
punctele de contact.
E este o mulţime infinită şi nenumărabilă.
![Page 28: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Spaţiul fundamental este infinit şi
nenumărabil
Experimentul H constă în măsurarea temperaturii corporale.
Spaţiul fundamental E este alcătuit din toate valorile posibile
ale temperaturii corporale, astfel putem considera că în E
intră toate valorile din intervalul [35, 41], sau că
E [35,41].
In acest caz, spaţiul fundamental este o mulţime infinită şi
nenumărabilă.
![Page 29: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Spaţiul fundamental este infinit şi
nenumărabil
Experimentul H constă în măsurarea tensiunii arteriale
sistolice (TAS).
Spaţiul fundamental E este alcătuit din toate valorile posibile
ale TAS, astfel putem considera că E este inclus în
intervalul [0, ).
In acest caz, de asemenea, spaţiul fundamental este o
mulţime infinită şi nenumărabilă.
![Page 30: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Reguli de probabilitate
Reguli care permit calculul probabilitaţii unui
eveniment:
adunare
înmulţire
Terminologie
Evenimente independente
Evenimente mutual exclusive
Probabilităţi condiţionate
![Page 31: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Regula de adunare a probabilităţilor
Considerând două evenimente A şi B, care este
probabilitatea ca sa apară A sau B?
Regula de adunare constă în:
Pr(A sau B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A şi B)
Pr(A B)= Pr(A) + Pr(B) – Pr(A B)
BA
![Page 32: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Exemplu
Se aruncă un zar şi se observă faţa care este
în sus.
Ev A: numărul obţinut este {2,4,6}
Ev B: un număr < 3 {1,2,3}
Pr(A)=3/6
Pr(B)=3/6
Pr(A B)=1/6
Folosim regula de adunare
Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A B)
=3/6 + 3/6 – 1/6
=5/6
BA4
6
2
1
3
![Page 33: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Evenimente independente
Definiţie: Două evenimente sunt independentedacă realizarea unui eveniment nu depinde derealizarea celuilalt eveniment.
Exemple:
• Un experiment presupune aruncarea a două zaruri.Valoarea obţinută după aruncarea primului zar nu nespune absolut nimic în legătură cu valoarea pe careo vom obţine la aruncarea celui de al doilea zar.
• Alegem două persoane din sala de clasă.Cunoscând culoarea ochilor primei persoane, nuputem să spunem nimic despre culoarea ochilorceleilalte persoane.
![Page 34: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/34.jpg)
Proprietăți
34
Dacă A și B sunt evenimente independente, atunci:
Pr( A B ) = Pr(A) + Pr(B) (1 – Pr(A))
Pr(AB) Pr(A) Pr(B)
![Page 35: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Exemplu:
La experimentul care constă în aruncarea unuizar considerăm evenimentele:
A:{obţinerea unei feţe cu un număr par}
B:{obţinerea unei feţe cu un număr <=4}
Care este probabilitatea evenimentului (A şi B)?(Care este probabilitatea obținerii unei fețe
pare cu un număr <=4?)
![Page 36: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Soluţie
Pr(A) = { 2, 4, 6} =3/6 =1/2
Pr(B) = { 1,2,3,4} = 4/6 =2/3
Pr(A B) = { 2,4} = 2/6
Pr(A B) = (1/2 2/3) = Pr(A) Pr(B)
De aici rezultă că evenimentele A şi B sunt
independente.
![Page 37: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Evenimente mutual exclusive
Definiţie: Două evenimente sunt mutual exclusive dacă realizarea unuia implică nerealizarea celuilalt.
Suma probabilităţilor pentru două sau mai
multe evenimente mutual exclusive este 1.
![Page 38: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Evenimente mutual exclusive
Exemplu: Aruncarea unui zar.
Evenimentul A = {număr par}
Evenimentul B = {număr impar}
Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B)
= 3/6 + 3/6
= 1
![Page 39: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/39.jpg)
Exemplu
Fie A evenimentul ca o persoană să aibă tensiune
arterială diastolică normală (TAD <90).
Fie B evenimentul ca o persoană să aibă TAD la
limită, adică 90 TAD < 95.
Stim ca Pr(A) = 0.7, Pr(B) = 0.1 .
Care este probabilitatea ca o persoana sa aiba TAD
< 95?
Solutie.
Fie C evenimentul ca o persoană are TAD < 95.
C=AB şi AB=.
Atunci, Pr(C) =Pr(A) + Pr(B) = 0,7+0,1 =0,839
![Page 40: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/40.jpg)
Probabilităţi condiţionate
![Page 41: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/41.jpg)
OBIECTIVE
Probabilităţi condiţionate
Prevalenta
Sensibilitate, specificitate
VPP, VPN
Teorema lui Bayes
Independenţa a două evenimente
![Page 42: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Probabilităţi condiţionate
În anumite situaţii este necesar să cunoaştem probabilitatea unui eveniment particular care urmează să aibă loc, ştiind deja că alt eveniment a avut loc.
A şi B sunt două evenimente arbitrare
probabilitatea condiţionată a lui A de către B este probabilitatea de a se realiza evenimentul A dacă în prealabil s-a realizat evenimentul B.
Majoritatea aplicaţiilor pentru aceste tipuri de probabilităţi condiţionate sunt testele diagnostic şi programe de screening.
Pr(B|A) = Pr(A B)
Pr(A)
Pr(A B) = Pr(B|A) Pr(A)
![Page 43: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Probabilitate condiţionată
Are loc următoarea regulă de calcul a
probabilităţii intersecţiei a două evenimente:
sau
)/Pr()Pr()Pr( ABABA
)/Pr()Pr()Pr( BABBA
![Page 44: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Probabilitate condiţionată
Are loc următoarea regulă de calcul a probabilităţii
intersecţiei a două evenimente:
sau
Mai general, au loc următoarele reguli de înmulţire a probabilităţilor:
respectiv
)/Pr()/Pr()Pr()Pr( BACABACBA
)/Pr()/Pr()/Pr()Pr()Pr( CBADBACABADCBA
)/Pr()Pr()Pr( ABABA
)/Pr()Pr()Pr( BABBA
![Page 45: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Independenţa a două evenimente
Două evenimente A şi B se numesc independente dacă şi numai dacă
Pr(AB) Pr(A) Pr(B).
Două evenimente A şi B sunt dependente dacă
Pr(AB) Pr(A) Pr(B).
Are loc următoarea proprietate privind probabilităţile condiţionate:
Dacă A şi B sunt evenimente independente, atunci
Pr(B|A) =Pr(B) = Pr(B|nonA).
![Page 46: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Independenţa a două evenimenteDacă evenimentele A şi B sunt independente atunci:
Pr(B/A) Pr(B) şi
Pr(A/B) Pr(A)
(probabilitatea evenimentului B nu depinde de realizarea
evenimentului A şi invers).
Legea de adunare a evenimentelor independente.
Dacă A şi B sunt două evenimente independente, atunci
Pr( A B ) = Pr(A) + Pr(B) (1 – Pr(A)).
![Page 47: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/47.jpg)
Exemple
Exemplul 1:
Pentru studiul HTA in cadrul familiilor s-a determinat probabilitatea HTA la barbati P(A)=0,2 si la femei P(B)=0,1 Care este probabilitatea de a avea o familie de hipertensivi?
Pr(A B) = ?
Exemplul 2:
Pentru studiul HTA in cadrul familiilor s-a determinat probabilitatea HTA la mama P(A)=0,1, la primul copil P(B)=0,2 si frecventa aparitiei HTA la copiii cu mama afectata de HTA: Pr(AB) = 0,5
Exista o relatie de cauzalitate intre HTA la mama si cea de la copil?
![Page 48: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Formula lui BAYES
Considerăm evenimentele A şi B care nu sunt independente. Atunci din formulele:
se deduce formula lui BAYES:
Dar fiindcă
Pr(B) = Pr((BnonA) (BA)) =Pr(BnonA) + Pr(BA),
aplicând formula probabilităţilor condiţionate se obţine:
Pr(B)=Pr(B|A) Pr(A) + Pr(B|nonA) Pr(nonA).
De aici rezultă următoarea formă a formulei lui Bayes:
Pr(B)
B)Pr(APr(A/B)
Pr(A)
B)Pr(APr(B/A)
Pr(B)
Pr(A)Pr(B/A)Pr(A/B)
Pr(nonA)nonA)|Pr(BPr(A)A)|Pr(B
Pr(A)A)|Pr(BB)|Pr(A
![Page 49: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Formula lui BAYES - exemplu
Se ştie că 60% din populaţia dintr-o ţară trăieşte în mediul urban, 20% din populaţie este alergică şi 55% dintre alergici trăiesc în mediul urban. Care este probabilitatea ca alegând la întâmplare un locuitor din mediul urban el să fie alergic?
Fie A evenimentul ca o persoană să fie alergică, iar U evenimentul ca o persoană să locuiască în mediul urban. Atunci probabilitatea căutată este:
60
11
6.0
2.055.0
)Pr(
)Pr()|Pr()|Pr(
U
AAUUA
![Page 50: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Probabilitate condiţionată
Să considerăm următoarele evenimente în legătură cu aplicarea
unui test diagnostic:
A - evenimentul ca o persoană luată la întâmplare dintr-o
populaţie să aibă o anumită afecţiune A (periodontita,
cancer oral.),
T - evenimentul de obţinere a unui test pozitiv în cazul
aplicării unui test diagnostic T pentru detectarea afecţiunii
A la o persoană.
Prin non(A) (persoană fără afecţiunea A) şi non(T) (test
negativ) notăm evenimentele complementare
evenimentelor A şi respectiv T.
![Page 51: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Probabilitate condiţionată
In general, din cauza imperfecţiunii testului, nu orice persoană
având afecţiunea A este detectată la aplicarea testului A ca
pozitivă (fals negativ) şi nu toate persoanele cu răspuns pozitiv
la testul T au neapărat afecţiunea (fals pozitiv).
Astfel, de regulă, prin aplicarea unui test diagnostic rezultă
falşi pozitivi şi falşi negativi.
Ambele rezultate eronate ce rezultă prin aplicarea testului sunt
de nedorit.
![Page 52: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Probabilitate condiţionată
Să presupunem că din populaţia căreia i s-a aplicat
testul este selectat un eşantion reprezentativ de n
persoane şi s-au obţinut următoarele rezultate:
Afecţiunea
Testul
A non (A) Total
T
pozitiv
a b a+b
non (T)
Negativ
c d c+d
Total a+c b+d n
![Page 53: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Prevalenta afectiunii
Extrăgând la întâmplare o persoană din populaţie, cu ajutorul
rezultatelor prezentate în tabelul precedent se pot determina
probabilităţile diverselor evenimente ce pot avea loc.
Astfel avem:
Pr(A) se numeşte prevalenţa afecţiunii A.
n
caA
)Pr(
n
dbnonA
)Pr(
Testul
Afecţiunea
A non (A) Total
T a b a+b
non (T) c d c+d
Total a+c b+d n
![Page 54: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Exemplu de Screening
Un specialist în igienă a făcut un test de screening pe 220 de paciențipentru parodontită acută.
După un timp, un specialist în periodontită a examinat pacienții.Rezultatele examinării sunt în tabel
![Page 55: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Screening
Care este probabilitatea ca o pacient care a făcut parodontită să fi avut un test pozitiv în urma screening-ului?
P (boală | rezultat pozitiv la test)
boala
Screening parodontită(+) parodontită(-) total
test (+) 45 26 71
test (-) 14 135 149
total 59 161 220
![Page 56: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/56.jpg)
56
Soluţie
P (boală|screening+)
= P (boală screen+) / P (screen+)
P (boală screening+) = 45 / 220
71
220x
220
45
220
71/
220
45 = 0.63
P (screening+) = 71/220
valoarea predictiv pozitivă pentru testul de screening
boala
Screening parodontită(+) parodontită(-) total
test (+) 45 26 71
test (-) 14 135 149
total 59 161 220
![Page 57: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Valori predictive
Screening-ul unui test diagnostic se utilizează pentru
identificarea bolilor şi pentru ajutorul pe care îl dă în cazul
stabilirii unui diagnostic.
Este important să ştim probabilitatea ca testul aplicat să
ne dea un diagnostic corect (pozitiv sau negativ).
Valoarea predictiv pozitivă (VPP) este probabilitatea ca o
persoană care are afecţiunea să obţină un rezultat pozitiv
în urma aplicării testului.
VPP = P(test+ boala+)
P(test+)
![Page 58: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Valori predictive
Analog, valoarea predictiv negativă (VPN) este probabilitatea
ca o persoană care nu are afecţiunea să obţină un rezultat
negativ în urma aplicării testului.
VPN = P(test- boala-)
P(test-)
![Page 59: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/59.jpg)
59
Sensibilitate
Sensibilitatea este probabilitatea ca testul să fie pozitiv în timp
ce afecţiunea există.
Se = P(Test+|Boala+)
= P(Test +ve Boala+)
P(Boala+)
![Page 60: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Calculul sensibilității
P(Test +|Boala+) = P(Test + Boala+)P(Boala+)
=(45/220) / (59/220)
=45/59
Se = 0.76
boala
Screening parodontită(+) parodontită(-) total
test (+) 45 26 71
test (-) 14 135 149
total 59 161 220
![Page 61: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Specificitate
Specificitatea este probabilitatea ca testul să fie negativ, în timp ce boala nu este prezentă.
Sp = P(Test -|Boala-)
= P(Test– Boala-)
P(Boala-)
![Page 62: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Calculul Specificităţii
P(Test-|Boala-) = P(Test- Boala-)P(Boala-)
=(135/220) / (161/220)
=135/161
Sp = 0.84
boala
Screening parodontită(+) parodontită(-) total
test (+) 45 26 71
test (-) 14 135 149
total 59 161 220
![Page 63: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/63.jpg)
63
Sensibilitate, Specificitate, VPP
Sensibilitatea este probabilitatea ca prezenţa bolii să fi fost corect identificată de test
= 45/59 = 0.76 = 76%
Specificitatea este probabilitatea ca absenţei bolii să fi fost corect identificată de test
= 135/161= 0.84 = 84%
Valoarea pozitiv predictivă este probabilitatea ca un pacient care are un test pozitiv fie corect diagnosticat cu boala
= 45/71 = 0.63 = 63%
boala
Screening parodontită(+) parodontită(-) total
test (+) 45 26 71
test (-) 14 135 149
total 59 161 220
![Page 64: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/64.jpg)
Riscul relativ (RR)
Riscul bolii la expuşi:
p1=a/(a+b)
Riscul bolii la neexpuşi:
p0=c/(c+d)
Riscul relativ (RR): de câte
ori este mai mare proporţia
persoanelor bolnave în
rândul celor expuşi la
factorul de risc faţă de
proporţia bolnavilor în rândul
celor neexpuşi la factorul de
risc
RR=p1/p0
RR<1 Factor de
protectie
RR=1 Factor indiferent
RR>1 Factor de risc
)|Pr(
)|Pr(
AB
ABRR
Interpretare:
Riscul apariţiei bolii A la pacienţii
care sunt expuşi la factorul B este
de RR ori mai mare faţă de cei
neexpuşi la factorul B.
![Page 65: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/65.jpg)
FORMULERiscuri pe tabelul de contingenta
B+ B- Total
F+ AP FP AP+FP
F- FN AN FN+AN
Total AP+FN FP+AN AP+FP+FN+AN=n
Denumire Formula
Rata falsi pozitivi =FP/(FP+AN)
Rata falsi negativi =FN/(FN+AP)
Sensibilitate =AP(AP+FN)
Specificitate =AN/(AN+FP)
Acuratete =(AP+AN)/n
Valoarea predictiv pozitiva =AP/(AP+FP)
Valoarea predictiv negativa =AN/(AN+FN)
Riscul relativ =AP(FP+AN)/[FN(AP+FP)]
Rata sansei =(AP·AN)/(FN·FP)
Riscul atribuabil =AP/(AP+FP)-FN/(FN+AN)
AP - Adevarat Pozitiv
FP – Fals Pozitiv
AN - Adevarat Negativ
FN - FalsNegativ
![Page 66: Conceptul de probabilitate. Aplicaţii în domeniul](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020707/61fe5263ca35b3683006df15/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Observaţii
•Un fals negativ este o persoană pentru care testul este
negativ, dar care de fapt are boala.
•Un fals pozitiv este o persoană pentru care testul este
pozitiv, dar care de fapt nu are boala.
•Este important ca atât senzitivitatea cât şi specificitatea
să fie ridicate (cât mai aproape de valoarea 1 sau 100%)
pentru ca simptomul sau testul să fie predictiv pentru o
boală.