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Conceptos BasicosProbabilidad

Probabilidad

Ivan Fernando CamachoCarlos Isaac Zainea

Universidad Nacional de Colombia.

15 de mayo de 2013

Ivan Camacho- Isaac Zainea Probabilidad


Esta presentacion resume las ideas basicas de la teorıa de laprobabilidad. En primer lugar se presentan los conceptos basicospara abarcar esta teorıa, luego definimos que es probabilidad, loseventos y tipos de eventos, probabilidad de la union o regla de lasuma y, por ultimo, probabilidad condicional y regla de producto.



1 Conceptos Basicos

DefinicionesOperaciones entre eventos

2 ProbabilidadProbabilidad BasicaRegla de la suma. La probabilidad de la union.Probabilidad CondicionalEventos independientes




En la vida hay dos tipos de acontecimientos con los que nosenfrentamos constantemente. Los primeros son los que se puedenpredecir, los que al dar unas condiciones iniciales podemosdeterminar en que desencadenaran antes de que ocurran, a estetipo de situaciones se les llama Experimentos determinısticos y,como ejemplo, podemos pensar en la direccion que toma unapiedra al ser soltada desde cierta altura, para todos es evidente quese ira para abajo.




Ahora bien, hay otro tipo de experimentos que no se puedenpredecir. Suponga que lanzamos un dado al aire y, aunque ustedsabe que no caera el numero “siete”, no es capaz de determinarque numero caera. De la misma forma si hoy juega un chance detres cifras usted esta seguro que no aparecera el 1000 comoresultado pero no sabe que numero dara el premio a los fielesjugadores. Este tipo de eventos en los cuales usted no puedepredecir el resultado se llaman Experimentos aleatorios.

Definicion (Experimento aleatorio)

Un experimento en el que no se puede predecir el resultado se dicealeatorio.




Sin embargo, en los ejemplos anteriores usted podıa determinar losposibles resultados, al conjunto de todos estos los llamamos elespacio muestral del experimento.

Definicion (Espacio Muestral)

El conjunto Ω de todos los posibles resultados de un experimentoaleatorio se llama espacio muestral del experimento. Los elementosω en Ω son llamados puntos muestrales




Sin embargo, en los ejemplos anteriores usted podıa determinar losposibles resultados, al conjunto de todos estos los llamamos elespacio muestral del experimento.

Definicion (Espacio Muestral)

El conjunto Ω de todos los posibles resultados de un experimentoaleatorio se llama espacio muestral del experimento. Los elementosω en Ω son llamados puntos muestrales

Veamos algunos ejemplos.




Ejemplo

Suponga que lanza una moneda al aire. Este es un experimentoaleatorio ya que es imposible determinar que caera. Sin embargohay dos posibles resultados, “cara”o “sello”. Ası en este caso elespacio muestral se determina por :

Ω = cara, sello




Ejemplo


Ω = cara, sello

Ejemplo

Suponga que lanza un dado. En este caso los posibles resultadosson




Ejemplo


Ω = cara, sello

Ejemplo

Suponga que lanza un dado. En este caso los posibles resultadosson

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6




Ejemplo

Ahora piense en el numero de veces que es necesario lanzar unamoneda para que tengamos cara.




Ejemplo


Ω = 1, 2, 3, 4, . . . ,∞




Ejemplo


Ω = 1, 2, 3, 4, . . . ,∞

Este espacio muestral esta considerando las veces que usted puedelanzar una moneda para obtener cara por primera vez. El puntomuestral “ 1”indica que solo hizo un lanzamiento para tener cara;el punto muestral “ 2”indica que hizo dos lanzamientos paraobtener por primera vez cara; El punto muestral “∞ ”indica quenunca logro sacar cara al lanzar la moneda.




Ejemplo

Otro experimento aleatorio es la escogencia al azar de unestudiante de analisis de datos cuantitativos:




Ejemplo

Otro experimento aleatorio es la escogencia al azar de unestudiante de analisis de datos cuantitativos:

Ω = Ustedes




Ahora bien, pensemos en el lanzamiento de un dado, es posible quea la hora de lanzarlo usted pida algo distinto a que caiga “tres”o“cuatro”. Quizas el lanzador este pensando en que va a caer unnumero par. En este caso debemos definir el concepto de evento,que no es otra cosa que una parte del espacio muestral.




Ahora bien, pensemos en el lanzamiento de un dado, es posible quea la hora de lanzarlo usted pida algo distinto a que caiga “tres”o“cuatro”. Quizas el lanzador este pensando en que va a caer unnumero par. En este caso debemos definir el concepto de evento,que no es otra cosa que una parte del espacio muestral.

Definicion (Evento)

Cualquier subconjunto del conjunto Ω. Esto es o bien el conjuntoformado por un punto muestral o bien cualquier agrupacion deellos.




Ejemplo

Sea A el evento que simboliza que despues del lanzamiento deldado cae un numero par. En este caso A = 2, 4, 6 ⊂ Ω




Ejemplo


Ejemplo

Sobre el mismo lanzamiento del dado tambien podemos definir elevento B que representa que cayo un numero primo.Ası B = 2, 3, 5.




Ejemplo


Ejemplo

Sobre el mismo lanzamiento del dado tambien podemos definir elevento B que representa que cayo un numero primo.Ası B = 2, 3, 5.

Ejemplo

Usando el dado de nuevo, el evento C es que caiga el numero 3.C = 3. Cuando aparezca un evento en el que pasa una sola cosadel espacio muestral se llamara evento elemental




Ejemplo

Ahora pensemos en el ejemplo de las veces que hay que lanzar unamoneda para que caiga cara. Suponga que el evento A es lanzar almenos tres veces la moneda. Entonces A = 3, 4, 5, . . . ,∞




Ejemplo

Ahora pensemos en el ejemplo de las veces que hay que lanzar unamoneda para que caiga cara. Suponga que el evento A es lanzar almenos tres veces la moneda. Entonces A = 3, 4, 5, . . . ,∞

Ejemplo

Sobre el mismo ejemplo, sea B el evento de lanzar a lo sumo 5veces la moneda, B = 1, 2, 3, 4, 5

Decir que el evento A ocurre es afirmar que el resultado delexperimento es un elemento de A, para los anteriores ejemplos silance la moneda cuatro veces y en la cuarta cayo cara entonces A yB ocurrieron. Si eso paso en el segundo lanzamiento entonces Bocurrio pero A no.Note que Ω es un evento que siempre ocurre y que ∅ es un eventoimposible, algo que nunca ocurrira.




Ahora bien, como los eventos son subconjuntos nosotros podemosoperarlos entre si por medio de la union, la interseccion, se puedenrestar y a su vez podemos sacar el complemento. Con estasoperaciones definimos nuevos eventos.

Ejemplo

En el ejemplo del dado se caracterizaron tres eventos:

A = 2, 4, 6

B = 2, 3, 5

C = 3

Ası:A ∪ B = 2, 3, 4, 5, 6

A ∩ B = 2

AC = 1, 3, 5Ivan Camacho- Isaac Zainea Probabilidad



En vista de lo anterior tenemos lo siguiente:

1 A ∪ B ocurre si y solo si A o B o ambos ocurren.






2 A ∩ B ocurre si y solo si A y B ocurren.







3 AC ocurre si y solo si A NO ocurre.








4 A− B ocurre si y solo si A ocurre pero B no ocurre.








4 A− B ocurre si y solo si A ocurre pero B no ocurre.

Definicion (Eventos mutuamente excluyentes)

Decimos que dos eventos son mutuamente excluyentes siA ∩ B = ∅



Probabilidad BasicaRegla de la suma. La probabilidad de la union.Probabilidad CondicionalEventos independientes

Definicion (Probabilidad)

Hasta el momento hemos definido lo que puede pasar, aun ası, nohemos hablado del “chance”que tiene cada evento de ocurrir. Paraello, si suponemos que A es un evento, se define la siguientefuncion:

P(A) =Numero veces que un evento aparece

Numero total de elementos del espacio muestral

A la funcion P se le llama funcion de probabilidad, y al numeroP(A) se llama probabilidad de que ocurra A.




Definicion (Probabilidad)

Hasta el momento hemos definido lo que puede pasar, aun ası, nohemos hablado del “chance”que tiene cada evento de ocurrir. Paraello, si suponemos que A es un evento, se define la siguientefuncion:

P(A) =Numero veces que un evento aparece

Numero total de elementos del espacio muestral

A la funcion P se le llama funcion de probabilidad, y al numeroP(A) se llama probabilidad de que ocurra A.

Note que esta funcion siempre nos da un valor entre 0 y 1. Lasuma entre la probabilidad del evento A y el de AC nos da 1. Estoes, P(A) + P(AC ) = 1. La probabilidad del evento Ω es 1.




Ejemplo

La probabilidad de sacar un numero par en un dado es:

P(A) =♯(A)1

♯(Ω)=

♯(2, 4, 6)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

3

6=

1

2

Ejemplo

La probabilidad de ganar un chance de 2 cifras con el numero 24:

P(A) =♯(A)

♯(Ω)=

♯(24)

♯(0, 1, 2, . . . , 99)=

1

100

1♯(A) corresponde a la cantidad de elementos del conjunto A




Definicion (Evento Imposible)

Un evento A es imposible si su probabilidad es 0. Esto es P(A) = 0






Ejemplo

La probabilidad de sacar 7 en un dado






Ejemplo


Definicion (Evento Seguro)

Un evento A es seguro si su probabilidad es 1. Esto es P(A) = 1






Ejemplo




Ejemplo

La probabilidad de sacar un numero menor que diez en un dado.






Ejemplo




Ejemplo


Definicion (Evento Posible)

Un evento A es posible si su probabilidad no es 0 ni 1.






Ejemplo




Ejemplo


Definicion (Evento Posible)

Un evento A es posible si su probabilidad no es 0 ni 1.

Ejemplo

La probabilidad de sacar un numero menor o igual que 3 en undado. Si llamamos A a ese evento entonces P(A) = 1/2




Como vimos en una seccion anterior podemos definir la union deeventos. Ahora hagamos un calculo de esa probabilidad. En primerlugar consideremos dos eventos mutuamente excluyentes.




Como vimos en una seccion anterior podemos definir la union deeventos. Ahora hagamos un calculo de esa probabilidad. En primerlugar consideremos dos eventos mutuamente excluyentes.Pensemos en el lanzamiento de un dado. Sean A = 1, 6 yB = 2, 4, 5 dos eventos. Note que A ∩ B = ∅, es decir A y B sonmutuamente excluyentes.




Como vimos en una seccion anterior podemos definir la union deeventos. Ahora hagamos un calculo de esa probabilidad. En primerlugar consideremos dos eventos mutuamente excluyentes.Pensemos en el lanzamiento de un dado. Sean A = 1, 6 yB = 2, 4, 5 dos eventos. Note que A ∩ B = ∅, es decir A y B sonmutuamente excluyentes.Ahora, calculemos la probabilidad de A:





P(A) =♯(A)

♯(Ω)=

♯(1, 6)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

2

6=

1

3





P(A) =♯(A)

♯(Ω)=

♯(1, 6)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

2

6=

1

3

La probabilidad de B es:





P(A) =♯(A)

♯(Ω)=

♯(1, 6)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

2

6=

1

3

La probabilidad de B es:

P(B) =♯(B)

♯(Ω)=

♯(2, 4, 5)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

3

6=

1

2




Ahora, el evento A ∪ B es igual a 1, 2, 4, 5, 6, ası:





P(A ∪ B) =♯(A ∪ B)

♯(Ω)=

♯(1, 2, 4, 5, 6)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

5

6





P(A ∪ B) =♯(A ∪ B)

♯(Ω)=

♯(1, 2, 4, 5, 6)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

5

6

Pero esto es igual a:





P(A ∪ B) =♯(A ∪ B)

♯(Ω)=

♯(1, 2, 4, 5, 6)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

5

6


P(A ∪ B) =5

6=

2

6+

3

6= P(A) + P(B)





P(A ∪ B) =♯(A ∪ B)

♯(Ω)=

♯(1, 2, 4, 5, 6)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

5

6


P(A ∪ B) =5

6=

2

6+

3

6= P(A) + P(B)

Hecho Importante (Regla de la suma para E. M. E.)

Cuando los eventos A y B son mutuamente excluyentes entonces

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)




Para eventos que no son mutuamente excluyentes utilicemos elmismo experimento pero esta vez dos eventos distintos.




Para eventos que no son mutuamente excluyentes utilicemos elmismo experimento pero esta vez dos eventos distintos.Sea A sacar un numero primo al lanzar el dado y sea B sacar unnumero mayor o igual a 3.





P(A) =♯(A)

♯(Ω)=

♯(2, 3, 5)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

3

6

P(B) =♯(B)

♯(Ω)=

♯(3, 4, 5, 6)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

4

6

Calculemos la probabilidad de A ∪ B , A ∪ B = 2, 3, 4, 5, 6





P(A) =♯(A)

♯(Ω)=

♯(2, 3, 5)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

3

6

P(B) =♯(B)

♯(Ω)=

♯(3, 4, 5, 6)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

4

6

Calculemos la probabilidad de A ∪ B , A ∪ B = 2, 3, 4, 5, 6

P(A ∪ B) =♯(A ∪ B)

♯(Ω)=

♯(2, 3, 4, 5, 6)

♯(1, 2, 3, 4, 5, 6)=

5

66= P(A) + P(B)




Cuando estamos sumando un par de eventos que no sonmutuamente excluyentes estamos contando dos veces lainterseccion del conjunto. Note que♯(A ∪ B) = ♯(A) + ♯(B)− ♯(A ∩ B), esta regla se aplica en lasprobabilidades de los eventos y con eso tenemos el siguienteresultado:

Hecho Importante (Regla de la suma)

Dados dos eventos A y B se tiene que:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)




En efecto, en el ejemplo anterior tenemos que A ∩ B = 3, 5,ası P(A ∩ B) = 2/6 y por lo tanto:




En efecto, en el ejemplo anterior tenemos que A ∩ B = 3, 5,ası P(A ∩ B) = 2/6 y por lo tanto:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) =3

6+

4

6−

2

6=

5

6




Muchas veces la probabilidad de que ocurra un evento depende dela ocurrencia de otro. Por ejemplo, estamos jugando a los dados,usted gana si al lanzarlos la suma es mayor o igual a 8, el primerdado que cayo al suelo muestra el numero 5, ¿Cual es laprobabilidad de que usted gane?




En primer lugar piense en la probabilidad de ganar antes de lanzarlos dados, usted gana si la suma es mayor que 8. Las posiblesconfiguraciones en las que pueden caer los dados son:

D1 D2

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6 2

D1 D2

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6 3

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

D1 D2

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

6 6Ivan Camacho- Isaac Zainea Probabilidad



Como ganamos cuando la suma es mayor que 8 los elementos quenos sirven son:

D1 D2

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6 2

D1 D2

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6 3

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

D1 D2

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6




En total hay 15 opciones de 36 para ganar. Es decir la probabilidadde que usted gane antes de lanzar los dados es de 15

36. Sin embargo,

cuando usted sabe que el primer dado cayo 5 entonces lasprobabilidades de ganar aumentan y esta vez solo dependemos delo que ocurra con el otro dado. Para que usted gane el otro dadodebe caer en 3,4,5 o 6. De esa forma la probabilidad de ganar esahora de 4

6.

Ahora intentaremos relacionar estas dos probabilidades.




Primero calcularemos la probabilidad del evento A ∩ B donde B esque el dado 1 caiga en 5 y A el evento que representa que ustedgana.

D1 D2

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6 2

D1 D2

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6 4

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

D1 D2

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6





D1 D2

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6 2

D1 D2

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6 4

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

D1 D2

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

6 6

¡Cuidado!Ivan Camacho- Isaac Zainea Probabilidad




D1 D2

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6 2

D1 D2

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6 4

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

D1 D2

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6




Con la observacion anterior se deduce que la probabilidad de ganary sacar 5 en el primer dado es de 4

36.





36.

Es claro para nosotros que la probabilidad de sacar 5 en el primerdado es 1

6.





36.


6.

Ası que podemos hacer la siguiente observacion:





36.


6.

Ası que podemos hacer la siguiente observacion:

ObservacionNote que si notamos P(A|B) como la probabilidad de que pase Acuando ocurrio B entonces con los eventos anteriores

P(A|B) =4

6=

4/36

1/6=

P(A ∩ B)

P(B)




Mas aun

Hecho Importante (Regla de la probabilidad condicional)

Dados dos eventos A y B se tiene:

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

que es equivalente a decir:

Hecho Importante (Regla del producto)

Dados dos eventos A y B se tiene:

P(A|B)× P(B) = P(A ∩ B)




Definicion (Prob. condicional, marginal y conjunta)

En el ejemplo anterior tuvimos tres tipos de probabilidades.






1 La probabilidad de ganar cuando el primer dado fue 5. A esetipo de probabilidad la notamos como P(A|B) y la llamaremosprobabilidad del evento A condicionada a la ocurrencia

del evento B , o probabilidad de A dado B.






1 La probabilidad de ganar cuando el primer dado fue 5. A esetipo de probabilidad la notamos como P(A|B) y la llamaremosprobabilidad del evento A condicionada a la ocurrencia delevento B, o probabilidad de A dado B.

2 La probabilidad de sacar 5 en el primer dado, o de ganar. Enel ejemplo P(A) y P(B), a estas las llamamos probabilidades

marginales.






1 La probabilidad de ganar cuando el primer dado fue 5. A esetipo de probabilidad la notamos como P(A|B) y la llamaremosprobabilidad del evento A condicionada a la ocurrencia delevento B, o probabilidad de A dado B.

2 La probabilidad de sacar 5 en el primer dado, o de ganar. Enel ejemplo P(A) y P(B), a estas las llamamos probabilidadesmarginales.

3 La probabilidad de que pase A y B, esta se noto comoP(A ∩ B) y se llamara probabilidad conjunta.




Ejemplo

Consideremos una urna que contiene 4 bolas rojas y 5 blancas. Delas 4 bolas rojas, 2 son lisas y 2 rayadas y de las 5 bolas blancas, 4son lisas y una sola es rayada. Supongamos que se extrae una bolay, sin que la hayamos mirado, alguien nos dice que la bola es roja,¿cual es la probabilidad de que la bola sea rayada?




Ejemplo

Consideremos una urna que contiene 4 bolas rojas y 5 blancas. Delas 4 bolas rojas, 2 son lisas y 2 rayadas y de las 5 bolas blancas, 4son lisas y una sola es rayada. Supongamos que se extrae una bolay, sin que la hayamos mirado, alguien nos dice que la bola es roja,¿cual es la probabilidad de que la bola sea rayada?Rapidamente usted deduce que la probabilidad es 1

2pues de las 4

bolas rojas 2 son rayadas.Sin embargo suponga que A es el evento de sacar bola rayada y Bes sacar bola roja, aplicando la formula obtenemos:

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

2/9

4/9=

2

4=

1

2

En efecto la probabilidad de A (sacar bola rayada) dado B(salio bola roja) es 1

2.




Ejemplo

Consideremos una poblacion en la que cada individuo es clasificadosegun dos criterios: es o no portador de VIH y pertenece o no acierto grupo de riesgo que denominaremos R. La correspondientetabla de probabilidades es:

Portador No portador

Pertenece a R 0.003 0.017 0.020

No pertenece a R 0.003 0.977 0.980

0.006 0.994 1.000

En esta poblacion, A corresponde al evento ser portador y B es elevento estar en un grupo de riesgo, ası la probabilidad de que unindividuo sea portador es P(A) = 0,006 y la probabilidad de quesea portador y pertenezca al grupo de riesgo R esP(A ∩ B) = 0,003.




Suponiendo que una persona seleccionada al azar pertenece algrupo de riesgo R, ¿cual es la probabilidad de que sea portador?





P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

0,003

0,020= 0,15





P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

0,003

0,020= 0,15

Es decir que escogida una persona del grupo de riesgo laprobabilidad de ser portadora es de 0.15, o dicho de otra forma de100 personas de R hay 15 con VIH.





P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

0,003

0,020= 0,15

Es decir que escogida una persona del grupo de riesgo laprobabilidad de ser portadora es de 0.15, o dicho de otra forma de100 personas de R hay 15 con VIH.Calculemos ahora la probabilidad de que una persona sea portadorade VIH, asumiendo que no hace parte del grupo de riesgo R.





P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

0,003

0,020= 0,15


P(A|BC ) =P(A ∩ BC )

P(BC )=

0,003

0,020= 0,00306





P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

0,003

0,020= 0,15


P(A|BC ) =P(A ∩ BC )

P(BC )=

0,003

0,020= 0,00306

En este caso de 1000 personas que no estan en R tenemosprobablemente 3 infectadas.




Definicion (Eventos independientes)

Un par de eventos A y B son independientes si P(A|B) = P(A).Esto es, la ocurrencia de B no afecta la probabilidad de que ocurraA






Ejemplo

De una urna que contiene 4 bolas negras y 6 blancas se extraendos bolillas sin reposicion , ¿cual es la probabilidad de que lasegunda bola sea blanca, sabiendo que la primera es negra?






Ejemplo

De una urna que contiene 4 bolas negras y 6 blancas se extraendos bolillas sin reposicion , ¿cual es la probabilidad de que lasegunda bola sea blanca, sabiendo que la primera es negra?

Sea A el evento que corresponde a tener la segunda bola blanca ysea B el que establece que la primera bola es negra. Entonces,

P(A|B) =6

9




y, por otro lado,

P(A) = P((A ∩ B) ∪ (A ∩ BC )) = P(A ∩ B) + P(A ∩ BC ) =

P(A|B)P(B) + P(A|BC )P(BC ) =6

9·4

10+

5

9·6

10=

54

90=

3

5




y, por otro lado,



9·4

10+

5

9·6

10=

54

90=

3

5

Ası P(A) 6= P(A|B), es decir los eventos NO SONINDEPENDIENTES.




y, por otro lado,



9·4

10+

5

9·6

10=

54

90=

3

5

Ası P(A) 6= P(A|B), es decir los eventos NO SONINDEPENDIENTES.Sin embargo, si suponemos el mismo ejercicio pero cada vez quesacamos una bola la miramos y la volvemos a meter entonces elevento A y el evento B son independientes.




Guıa de estudio

Espacio Muestral 2Evento 3Evento Imposible 6Eventos Independientes 10Eventos Mutuamente

Excluyentes 4Evento Posible 8Evento Seguro 7Experimento aleatorio 1Probabilidad 5

Probabilidad Condicional 9Probabilidad Conjunta 9Probabilidad Marginal 9Regla del Producto4Regla de la probabilidad

condicional3Regla de la Suma 2Regla de la Suma de Eventos

Excluyentes 1




Blanco Castaneda, Liliana Probabilidad, Universidad Nacionalde Colombia.

Ferguson, George A. Analisis estadistico en educacion ypsicologia, Anaya (1986).

Bianco, Ana M. y Martınez, Elena J. Probabilidades yEstadıstica (Computacion) Facultad de Ciencias Exactas yNaturales. Universidad de Buenos Aires(2004)


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