conceptos básicos de teoría de circuitos libelec

8/20/2019 Conceptos Básicos de Teoría de Circuitos Libelec

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PRÓLOGO

La progresiva reducción a que se ven sometidas las horas de clase en losplanes de estudio actuales, hace inevitable una reducción y/o adaptaciónde los temarios de las asignaturas. Así ocurre con la mayoría de lasasignaturas, y en concreto con la asignatura de Electrotecnia en latitulación de Ingeniería Industrial. Por otra parte, mientras esta asignaturase impartía antiguamente en el tercer curso de carrera, aparece hoy enmuchas escuelas en el primero o el segundo curso de la titulación.

El libro de Teoría de Circuitos de Valentín Parra, Jesús Ortega, AntonioPastor y Ángel Pérez publicado por la Universidad Nacional de Educacióna Distancia, viene siendo un texto de referencia en muchas escuelas deEspaña. Después de utilizarlo durante 6 años como referenciafundamental en nuestras clases en la Universidad de La Coruña, y teniendoen cuenta las limitaciones expuestas anteriormente, nos hemos decidido a

publicar este texto, como una adaptación del contenido, pensando en uncurso de unas 50 horas lectivas de clase teórica. Espero que las personasantes citadas, a quienes apreciamos profundamente, sepan disculparnoseste atrevimiento.

Con las restricciones impuestas, es evidente que cualquier docente queexamine el libro echará en falta el uno u otro tema, aunque nos gustaríaque fuesen los menos posibles. El contenido del texto esfundamentalmente teórico, aunque muchas explicaciones se lleven a cabo

mediante ejemplos. Esto es intencionado, pues se ha partido de una



Teoría deCircuitos

división de la asignatura entre clases de teoría, clases de problemas y clasesde prácticas. Este texto pretende cubrir únicamente el contenido de lasclases de teoría.

El programa se ha dividido en 7 grandes temas. En el primero se enuncianlas bases de la teoría de circuitos tomando una base topológica yasumiendo como axiomas las Leyes de Kirchhoff. La notación es un tantopersonal, pero lo más rigurosa posible. Se ha prescindido de un estudioexhaustivo de los elementos físicos, que se reserva para las clases deprácticas.

El segundo tema estudia los métodos de análisis de circuitos, utilizando la

misma notación y la misma rama generalizada que en las UnidadesDidácticas de la UNED. Hemos estimado conveniente la inclusión de laformulación matricial de las ecuaciones pensando especialmente enfacilitar el desarrollo de programas informáticos propios a los alumnos.(También con esta idea se introdujo en el capítulo primero una notaciónsistematizada de las referencias de flujo magnético en bobinas acopladas).En el tercero se presentan los teoremas generales de análisis de circuitos.

El cuarto tema se dedica al estudio de la corriente alterna monofásica y el

quinto al de la corriente trifásica. En estos capítulos se han introducidodefiniciones propias relativas a la potencia fluctuante y los fasores depotencia. También en el tema de la medida de potencia trifásica sepresentan un método de Aaron generalizado propio de los autores.

El tema sexto es una introducción al estudio del régimen transitorio. Se haoptado por dejar fuera el estudio mediante transformadas de Laplace(relegándolo a las clases de ecuaciones diferenciales) y concentrándose enla determinación de condiciones iniciales mediante análisis de circuitos. El

séptimo y último tema presenta una introducción a los cuadripolos.

Ferrol, en abril de 2003

Los Autores



CONTENIDO

1 Conceptos Básicos de Teoría de Circuitos.......................................1

1.1 Introducción.......................................................................................1 1.2 Definición de Circuito y Circuito Eléctrico...................................2 1.3 Magnitudes Físicas Usuales en Teoría de Circuitos .....................3

1.4 Primeras Definiciones Topológicas................................................4 1.5 Referencias de Polaridad para Intensidades de Corriente y

Diferencias de Potencial o Tensiones ............................................7 1.6 Leyes de Kirchhoff ........................................................................... 8

1.6.1 1ª Ley de Kirchhoff (Ley de los nudos) [1ª LK]..................8 1.6.2 2ª Ley de Kirchhoff (Ley de los lazos) [2ª LK]..................10

1.7 Ecuaciones de Rama. Tipos de Elementos Ideales....................11 1.7.1 Tipos de Elementos Ideales de Circuito más Usuales .......12

1.8 Potencia y Energía...........................................................................34

1.8.1 Potencia ....................................................................................34 1.8.2 Expresiones de la Potencia para Dipolos con un

Único Elemento de Circuito..................................................35 1.8.3 Energía......................................................................................37

1.9 Elementos Reales de Circuito........................................................39 1.9.1 Resistencia................................................................................39 1.9.2 Condensador............................................................................40 1.9.3 Bobinas .....................................................................................40 1.9.4 Fuentes......................................................................................40



ii Teoría de Circuitos

1.10 Ecuaciones de Flujos, Intensidades y Coeficientes de Autoinducción e Inducción Mutua ..............................................42

2 Métodos de Análisis de Circuitos....................................................53 2.1 Impedancia y Admitancia Operacionales ....................................53 2.2 Nuevas Definiciones Topológicas................................................54 2.3 Cálculo de la Tensión de Rama en Función de las

Tensiones de Nudos .......................................................................56 2.4 Análisis de Circuitos Lineales ........................................................56

2.4.1 Número de Ecuaciones Independientes en Tensión eIntensidad.................................................................................57

2.4.2 Análisis Mediante Aplicación Directa de las Leyes deKirchhoff..................................................................................59

2.5 Rama Generalizada .........................................................................60 2.6 Equivalencia de Fuentes.................................................................61 2.7 Modificación de la Geometría.......................................................63 2.8 Formulación Matricial de las Ecuaciones de Rama....................67 2.9 Métodos con Variables Auxiliares ................................................70

2.9.1 Método de Análisis por Nudos.............................................71 2.9.2 Método de Análisis por Conjuntos de Corte Básicos........78 2.9.3 Método de Análisis por Lazos Básicos ................................84

2.9.4 Método de Análisis por Mallas..............................................90 2.10 Asociaciones de Elementos ...........................................................97

2.10.1 Asociación Serie: Divisor de Tensión ..................................97 2.10.2 Asociación Paralelo: Divisor de Intensidad.........................98

2.11 Configuración Tipo Puente .........................................................101 2.12 Configuraciones en Estrella y en Triángulo y Equivalencia

entre Ambas...................................................................................103

3 Teoremas Generales de Análisis de Circuitos..............................111

3.1 Principios de Linealidad y Superposición..................................111 3.2 Regla de Sustitución......................................................................114 3.3 Teorema de Compensación .........................................................114 3.4 Teorema de Millmann ..................................................................119 3.5 Teorema de Tellegen ....................................................................120 3.6 Teoremas de Thévenin y Norton................................................122 3.7 Teorema de Reciprocidad ............................................................126

4 Análisis de Circuitos en Régimen Estacionario Senoidal...........131



Contenido iii

4.1 Formas de Onda Periódicas.........................................................131 4.2 Régimen Permanente y Transitorio............................................137

4.2.1 Determinación del Régimen Permanente de

Circuitos con Excitaciones Senoidales por el Métodode los Coeficientes Indeterminados ...................................140 4.2.2 Método Simbólico.................................................................142

4.3 Potencia en Régimen Estacionario Senoidal.............................151 4.3.1 Potencia Aparente Compleja...............................................156 4.3.2 Expresión de las Potencias en Función de

Impedancia y Admitancia.....................................................157 4.3.3 Teorema de Boucherot.........................................................159 4.3.4 Factor de Potencia ................................................................161

4.3.5 Medida de Potencia...............................................................163 4.4 Aplicación del Cálculo Fasorial en Circuitos con Fuentes

de Distintas Frecuencias...............................................................165 4.5 El Principio de Superposición Aplicado a Potencias...............167 4.6 Teorema de Máxima Transferencia de Potencia en

Corriente Alterna...........................................................................168 4.7 Configuración Tipo Puente en Corriente Alterna....................169 4.8 Circuitos Acoplados Magnéticamente en Régimen

Estacionario Senoidal ...................................................................170

4.8.1 Impedancia Transferida........................................................174 4.8.2 Adaptación de Impedancias en el Transformador

Ideal.........................................................................................178 4.8.3 Circuito Equivalente de un Transformador Real

(Transformador Monofásico de Potencia) ........................180 4.8.4 Ensayos de Vacío y Cortocircuito en un

Transformador.......................................................................189 4.8.5 Rendimiento del Transformador ........................................192 4.8.6 Valores por Unidad, Tensión e Impedancia de

Cortocircuito..........................................................................194 4.8.7 Caída de Tensión Interna en un Transformador..............196

5 Corriente Alterna Trifásica.............................................................199

5.1 Introducción...................................................................................199 5.2 Sistemas Trifásicos Equilibrados ................................................202 5.3 Teoremas de Thévenin y Norton Generalizados .....................206 5.4 Equivalencia de Fuentes Trifásicas.............................................210

5.5 Tensiones e Intensidades de Fase y de Línea............................216



iv Teoría de Circuitos

5.6 Análisis de Sistemas Trifásicos ....................................................217 5.7 Potencia en Sistemas Trifásicos ..................................................218 5.8 Medida de Potencia con Vatímetros en Sistemas

Trifásicos ........................................................................................220 5.8.1 Sistemas de Cuatro Hilos .....................................................220 5.8.2 Sistemas de Tres Hilos .........................................................222 5.8.3 Sistemas con Tensiones Equilibradas.................................225

6 Análisis de Circuitos en Régimen Transitorio .............................227

6.1 Circuitos de Primer Orden...........................................................227 6.2 Equivalente Thévenin de un Condensador y Norton de

una Bobina con Cargas Iniciales .................................................235

6.3 Ejemplo de Transitorio de Conexión de un Generador .........238 6.4 Transitorio de Primer Orden con Dos Elementos

Almacenadores de Energía ..........................................................240 6.5 Introducción a los Circuitos de Segundo Orden......................242

7 Cuadripolos.......................................................................................247

7.1 Parámetros de Definición. Cuadripolos Pasivos ......................248 7.2 Asociaciones de Cuadripolos.......................................................252

7.2.1 Asociación de Cuadripolos en Serie ...................................252 7.2.2 Asociación de Cuadripolos en Paralelo..............................254 7.2.3 Tests de Brune .......................................................................256 7.2.4 Conexión de Cuadripolos en Cascada................................262

7.3 Cuadripolos Recíprocos ...............................................................264 7.4 Cuadripolos Simétricos.................................................................265 7.5 Cuadripolos Elementales..............................................................268 7.6 Síntesis de Cuadripolos.................................................................275 7.7 Impedancias Imágenes .................................................................278

7.8 Constante de Propagación ...........................................................281 7.9 Impedancias de Entrada y de Salida a Circuito Abierto y

en Cortocircuito.............................................................................283 7.10 Impedancia Característica ............................................................283 7.11 Teorema de Barlett........................................................................285 7.12 Cuadripolos Activos......................................................................289

Apéndice A Referencias de Flujo en Bobinas Acopladas ...............293



1CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE CIRCUITOS

1.1 Introducción

La teoría de circuitos eléctricos puede deducirse a partir de la teoría delcampo electromagnético, pero también es posible plantear un tratamientoaxiomático de los circuitos considerados como entidades algebraicas,formados por puntos, llamados nudos, unidos entre sí mediante

conexiones, denominadas ramas.

Al asociar el modelo algebraico con las magnitudes electromagnéticas quese consideran en el caso de los circuitos eléctricos son posibles dosaproximaciones. Puede considerarse que las caídas de tensión a lo largo delos conductores se producen de manera continua (parámetros distribuidos)o bien que tienen lugar de forma concentrada en determinados puntos(parámetros concentrados). Esta última es la aproximación más sencilla, ala vez que la más usual, y la que emplearemos nosotros. Para que esta

hipótesis simplificativa tenga validez, es preciso que las dimensiones de loselementos físicos sean pequeñas en relación con la longitud de ondacorrespondiente a la frecuencia de trabajo:

ν λ λν c

c =⇒=

Así, por ejemplo, para una frecuencia de 1 MHz,



2 Teoría de Circuitos

m30010

103=

6

8

=⋅

λ

Si, como en el ejemplo, las dimensiones de los elementos físicos sonpequeñas en comparación con la longitud de onda de trabajo, puedepensarse que las caídas de tensión se producen de forma discreta o puntual(concentrada en determinados lugares) y no de una manera continua.

Cuando se hace un planteamiento algebraico o, dicho de otra manera,topológico, de la teoría de circuitos se obtienen conceptos que sonaplicables no sólo a los circuitos eléctricos, sino a cualquier tipo de sistemafísico que admita una modelización análoga: circuitos de fluidos, circuitospara el estudio de oscilaciones mecánicas, etc.

Nosotros vamos a hacer un planteamiento mixto. Vamos a partir de unateoría general algebraica en la que usaremos como magnitudes dereferencia asociadas al concepto abstracto de circuito, magnitudeseléctricas, que son después las que vamos a usar en el estudio de teoría decircuitos.

1.2 Definición de Circuito y Circuito Eléctrico

Un circuito es un conjunto de puntos entre los que puede circular unamagnitud a la que le es aplicable el teorema de continuidad (divergencianula de una cierta magnitud física que representa la densidad de flujo deotra magnitud física), en nuestro caso, la densidad de corriente eléctrica.

Desde el punto de vista operativo podríamos definir un circuito eléctrico como un sistema en el que se genera, circula y se consume energíaeléctrica.

En el ámbito de la teoría de circuitos podemos estructurar el conocimientoen dos niveles. El primer nivel corresponde a lo que se entiende como análisis de circuitos , que consiste en calcular los valores de las distintas variables estudiadas en determinados puntos del circuito, ( respuesta delcircuito ) supuestas éstas conocidas en otros puntos ( excitaciones del circuito )siendo conocidos la topología y los elementos que configuran el circuito.



Conceptos Básicos de Teoría de Circuitos 3

El segundo nivel corresponde a lo que se denomina como síntesis decircuitos , en donde se trata de encontrar la topología y elementos necesariosde un circuito para conseguir las respuestas deseadas ante determinadas

excitaciones.

Durante el presente curso nos dedicaremos casi exclusivamente al estudiodel análisis de circuitos. Para ello partiremos de un conjunto de lemas oaxiomas (que en realidad pueden deducirse a partir de las leyes delelectromagnetismo), y deduciremos de ellas un conjunto de técnicas decálculo que nos permitirán resolver circuitos en muchos casos prácticos.

1.3 Magnitudes Físicas Usuales en Teoría de Circuitos

Comencemos recordando las unidades de las principales magnitudesfísicas con las que nos vamos a encontrar en el estudio de la teoría decircuitos:

tabla 1.1: Magnitudes, unidades y sus símbolos

Símbolo Magnitud Unidad Abreviaturaq carga Culombio C o As

φ flujo magnético Weber Wbi intensidad Amperio Au tensión Voltio V p potencia Vatio Ww energía Julio J L inductancia Henrio HC capacidad Faradio F R

Z

X

resistenciaimpedanciareactancia

Ohmio Ω

G

B

Y

conductanciasusceptanciaadmitancia

SiemensMho

S

En la tabla 1.2 se representan los prefijos correspondientes a los distintosmúltiplos y submúltiplos de estas unidades.




Para el estudio de la teoría de los circuitos eléctricos vamos a asociar a losdistintos elementos de los circuitos magnitudes eléctromagnéticas. Deellas, las más frecuentes van a ser tensión e intensidad , aunque en ocasiones

usaremos otras como la carga eléctrica o el flujo magnético. La corrienteeléctrica la consideraremos en muchos casos como adimensional en elsentido de que pensaremos que fluye por una línea espacial sin espesor.

tabla 1.2: Factores de unidades, prefijos y sufijos

Factor Prefijo Nombre Factor Prefijo Nombre Factor Prefijo Nombre10−6 µ micro 10−3 m mili 106 M mega10−9 n nano 10−2 c centi 109 G giga

10−12 p pico 10

−1 d deci 1012 T tera10−15 f femto 100 1015 E exa10−18 a ato 101 da deca 1018 P peta

102 h hecto103 k kilo

1.4 Primeras Definiciones Topológicas

Antes de introducir nuestros lemas, postulemos una primera serie de

definiciones abstractas de topología de circuitos:

Base de circuito

Es un conjunto de puntos entre los que puede circular una corrienteeléctrica.

Circuito

Es un conjunto dado de pares de puntos de una base de circuito.

Rama

Cada elemento de un circuito (par de puntos).




Nodo o nudo

Cada uno de los puntos de una base de circuito que pertenece por lomenos a un elemento.

Conjunto de referencias de un circuito asociada a una magnitud

Una aplicación que a cada rama de un circuito (par de puntos) le asocia unpar ordenado de puntos (elemento orientado) se conoce como conjuntode referencias del circuito. A un par ordenado (A,B) correspondiente a unpar A,B de un circuito, lo llamaremos referencia de la rama A,B.Cuando una rama de un circuito tiene una referencia asociada decimos que

está orientada. Un circuito con un conjunto de referencias asociado es uncircuito orientado. Pueden definirse conjuntos de referencias distintosasociados al mismo circuito, para las distintas magnitudes físicas que seasocien a los elementos del circuito.

Se dice que se asocia una variable a un elemento de circuito cuando sedefine un valor de esa variable para ese elemento de circuito. (Recordemosque hasta ahora un elemento de un circuito, considerado éste comoconjunto en sentido matemático, no es otra cosa que una rama)

Magnitud asociada a una rama o a un nudo de un circuito

A cada rama o nodo del circuito, se le puede asociar un conjunto demagnitudes eléctromagnéticas que pueden o no estar relacionadas entreellas. Por lo general, cuando se trata de ramas de un circuito lasmagnitudes se asocian a una orientación dada del elemento, con elconvenio de que si a la rama (A,B) le corresponde la magnitud M , a larama con la orientación inversa, (B,A), le corresponde la magnitud − M .

Ley asociada a una rama o un nudo de un circuito

A cada elemento de circuito puede asociársele una ley o conjunto de leyesque liguen las magnitudes asociadas a él y, en su caso, a otros elementosdel circuito.




Tipo de elemento de circuito

Una ley o conjunto determinado de leyes que pueden asociarse a unelemento de circuito lo llamaremos tipo de elemento de circuito.

De forma usual, si se prescinde del sentido matemático de la palabraelemento dentro de la teoría de conjuntos, suele hablarse de Elementos decircuito para referirse a lo que acabamos de definir como Tipos de elementos decircuito.

Línea de un circuito

Es una sucesión de nodos tal que, cada nodo determina con el anterior ycon el siguiente sendas ramas del circuito.

Línea cerrada o lazo simple

Es una línea de un circuito en la que el primer y el último nodo coincideny ningún otro nodo aparece más de dos veces.

Un circuito eléctrico será un circuito a cuyos elementos se asocian

variables eléctricas, principalmente tensión e intensidad. En cada rama deun circuito puede trabajarse con cada magnitud asociada a una referenciadistinta, pero suele ser más práctico trabajar con todas las magnitudesasociadas a la misma referencia.

Un circuito puede representarse gráficamente usando puntos para denotarlos nudos y líneas entre estos puntos para denotar las ramas. Para asociaruna cierta referencia a una rama se sitúa una flecha sobre ella.

Vamos a definir ahora los mismos conceptos pero usando otros términosy de una manera ya aplicada a la forma usual de representar los circuitoseléctricos.




1.5 Referencias de Polaridad para Intensidades de Corriente yDiferencias de Potencial o Tensiones

IntensidadCuando sobre una línea que representa a un conductor se colocan unaflecha y una letra i (figura 1.1) para indicar intensidad, se hace admitiendoque, si i es positiva, las cargas eléctricas positivas circulan en el sentido dela flecha y, si es negativa, las cargas eléctricas positivas circulan en sentidocontrario al de la flecha. Siempre entenderemos la intensidad de corrienteeléctrica como movimiento de cargas positivas. El asignar una flecha a unarama no indica que las cargas tengan que circular en ese sentido, la flecha

nos sirve para identificar el sentido real de flujo de las cargas en funcióndel signo que obtengamos para la magnitud intensidad que circula por esarama.

Tesión o diferencia de potencial

Si entre dos puntos de un circuito, A y B, colococamos una flecha (figura1.2) exteriormente a la posible línea que pueda unirlos si pertenecen a lamisma rama, y sobre o al lado de ella una letra u, entenderemos que

i

figura 1.1: Referencias de polaridad para

la intensidad

uB

A

figura 1.2: Referencias de polaridad para

la tensión

hablamos de tensión o diferencia de potencial entre A y B,correspondiendo el potencial de la base de la flecha al minuendo y el de lapunta de la flecha al sustraendo, es decir:

u = V A−V B

donde V A es el potencial del punto A y V B es el potencial del punto B. Deaquí que si u>0, V A>V B, es decir el punto A (origen de la flecha) está a

mayor potencial que el punto B (punta de la flecha).




1.6 Leyes de Kirchhoff

Vamos a presentar ahora los lemas, que tomaremos como axiomas, quenos van a servir de base para el análisis de circuitos.

1.6.1 1ª Ley de Kirchhoff (Ley de los nudos) [1ª LK]

∑ =

nudounaentrantes

0i (1.1)

Planteemos distintos enunciados.

La suma algebraica de las intensidades que circulan por todos loselementos que concurren en un punto dado (nudo), consideradas todasellas como entrantes al nudo, es cero.

Así, para la figura 1.3 se ha de cumplir

054321 =+−−− iiiii

i1

i2

i3

i4

i5

E

figura 1.3: Intensidades entrantes ysalientes en un punto

Si cambiamos de signo toda la ecuación, obtenemos

054321 =−+++− iiiii

con lo que se puede plantear el siguiente enunciado:

La suma algebraica de las intensidades que circulan por todos loselementos que concurren en un punto, consideradas todas ellas comosalientes del punto, es cero.




Si se reordena la ecuación anterior, p. ej.:

54321 iiiii −=−−

podemos plantear un tercer enunciado

La suma algebraica de las intensidades que circulan por varioselementos que concurren en un punto, consideradas como entrantes al punto, es igual a la suma algebraica de las restantes intensidades,consideradas como salientes del punto.

Este enunciado nos permite expresar una intensidad en función de las

restantes, p.ej.:

54321 iiiii −++=

La primera ley de Kirchhoff no es sino una reformulación de la ecuaciónde continuidad y no nos dice otra cosa sino que, la suma de las cargas queentran en cualquier punto de un circuito es igual a la suma de las cargasque sale. Para que se cumpla, es evidente que hay que asumir que no segeneran ni se consumen cargas en ningún punto del circuito, las cargassiempre están circulando.

i1

i2

i3

i4

i5

E

figura 1.4: Intensidades entrantes y

salientes en un recinto cerrado

La primera ley de Kirchhoff puede generalizarse planteándolasistemáticamente para todos los nudos en el interior de un recinto cerrado,y sumando todas las ecuaciones de estos nudos; sólo quedan sin anularselas intensidades que provienen de, o van a nudos exteriores al circuito. Así, podríamos enunciar:




La suma algebraica de todas las intensidades que atraviesan unrecinto cerrado, consideradas como entrantes al mismo es nula.(figura 1.4)

1.6.2 2ª Ley de Kirchhoff (Ley de los lazos) [2ª LK]

0

cerradalíneaunadelargoloa

=∑u (1.2)

Vamos a plantear, al igual que en el caso de la primera ley, distintosenunciados.

La suma algebraica de las tensiones a lo largo de una línea cerrada,recorrida en un sentido dado, es cero.

Así, a la vista de la figura 1.5, ha de cumplirse

0ADDCBCAB =−−+ uuuu

Si cambiamos el signo a toda la ecuación, obtendríamos

0ADDCBCAB =++−− uuuu

con lo que podríamos enunciar:

La suma algebraica de las tensiones a lo largo de una línea cerradano depende del sentido tomado.

Si nos fijamos en una de las tensiones, podemos escribir:

Por ejemplo, para A y B

ADDCBCAB uuuu ++−=

o, para A y C

DCADBCAB uuuu +=+




lo que nos permitiría enunciar alternativamente:

uAB

B

A

D

C

uBC

uDC

uAD

figura 1.5: Tensiones entre los nudosde una línea cerrada

La diferencia de potencial entre dos puntos es la misma sea cual sea el

camino que se recorra entre ellos. Al igual que la primera ley de Kirchhoff resulta de trasladar la ecuación decontinuidad a los circuitos, la 2ª ley resulta de trasladar a los circuitoseléctricos la 2ª ecuación de Maxwell ( 0rot =E ), lo que implica que a cadapunto del circuito se le puede asociar una magnitud escalar (potencial) talque la diferencia de potencial entre dos puntos es igual a la diferencia delos valores que esta función escalar asume en esos puntos.Es importante fijarse en el sentido de las referencias y en el orden de los

subíndices a la hora de calcular las diferencias de potencial. Recordemos :diferencia de potencial entre dos puntos A y B, uAB=V A−V B, la flecha vade A a B, es decir, si V A>V B entonces uAB>0.

1.7 Ecuaciones de Rama. Tipos de Elementos Ideales

Los tipos de elementos de circuito más habituales (según se definieron enla página 6) se corresponden, por lo general, a la descripción delfuncionamiento de elementos físicos o técnicos concretos y se representan

simbólicamente mediante un tipo de elemento ideal de circuito. Cuandono hay lugar a confusión se habla indistintamente de tipos de elementos decircuito como de elementos de circuito. De hecho, cuando se habla de unelemento de circuito se está haciendo referencia a una rama de un circuitoasociada al tipo de elemento correspondiente y la ley que define el tipo deelemento del que se está hablando. Esta ley se formula casi siemprerelacionando las magnitudes asociadas a la rama del circuito en cuestiónteniendo en cuenta las referencias asociadas para esa rama a cada una delas magnitudes.




1.7.1 Tipos de Elementos Ideales de Circuito más Usuales

Según el tipo de relación que liga las variables asociadas a una rama de uncircuito podemos distinguir distintos tipos de elementos de circuito. Cadatipo de elemento de circuito puede venir representado por distintasecuaciones que ligan las magnitudes asociadas a la rama que se estáestudiando. En general, según sean las referencias de las magnitudesrelacionadas en la rama de que se trate, se podrá tener una ecuacióndistinta. Sin embargo, consideraremos que se trata siempre del mismo tipode elemento de circuito cuando la ecuación que lo define, para un cambiode alguna de las referencias asociadas a las magnitudes de la rama, puedededucirse de la ecuación asociada a otro conjunto de referencias, sin másque cambiar los signos de las magnitudes afectadas por el cambio dereferencia.

Teniendo esto en cuenta, está claro que sólo será necesario definir laecuación asociada a cada tipo de elemento de circuito para un ciertoconjunto de referencias, ya que la ecuación correspondiente a referenciasdistintas se deduciría inmediatamente de la primera.

Para que nuestro estudio sea lo más sencillo posible definiremos, siempre

que se pueda, la ecuación asociada a un tipo de elemento de circuito parael caso en que el que todas las magnitudes asociadas a la rama del circuitotienen la misma referencia. Trataremos también de que la ecuación que seobtenga para este caso sea la más sencilla posible (carezca de signosnegativos). De esta manera se simplifican notablemente las ecuaciones dela teoría del análisis de circuitos.

1.7.1.1

Resistencias

Es un tipo de elemento de circuito o elemento de circuito que cumple la

ley de Ohm , entendida como una relación entre tensión e intensidad deltipo: (¡recordemos: tensión e intensidad con la misma referencia en la ramade que se trate!)(figura 1.6).

i Ru ⋅= (1.3)

Notación: Escribiremos a lo largo de este curso letras minúsculas para variables que son función del tiempo y letras mayúsculas para variables




que se mantienen constantes a lo largo del tiempo. Así, en la fórmulaanterior serían u=u(t ) e i=i(t ).

La resistencia será casi siempre en este curso una magnitud constante,aunque puede hablarse de distintos tipos de resistencias en las que,obedeciendo siempre la ley enunciada, el parámeto R, conocido comoresistencia , puede ser una función de u, de i, del tiempo, de la temperatura,etc. y se mide en Ohmios ( Ω ).

A

B

u

i

R

figura 1.6: Resistencia

De hecho podría hablarse de forma más general de un tipo de elemento decircuito, que podríamos llamar resistencia generalizada , caracterizado por una

ecuación de la forma f (u,i) = 0

Si la función puede despejarse como

u = g (i)

se hablaría de una resistencia controlada por intensidad . Si se puede despejar

como

i = h(u)

se hablaría de una resistencia controlada por tensión . Si R, como en el caso mássencillo y usual, se considera independiente de u y de i, además deconstante en el tiempo, entonces puede pensarse que es una resistenciacontrolada por tensión o controlada por intensidad.




En una resistencia las cargas positivas fluyen de mayor a menor potencial,es decir, si V A>V B, entonces, claramente u>0 y, según (1.3), i será tambiénmayor que cero, lo que implica que las cargas positivas fluyen en el sentido

marcado por la referencia de la intensidad.

Evidentemente, y según lo explicado anteriormente, si se cambia lareferencia de una de las dos magnitudes en la figura, la ecuación será:

u = − Ri

La definición más general formulada para la resistencia permitiría describirotros elementos de circuito más complicados como tipos de resistencias,

así por ejemplo, un diodo ideal ( i=0 si u<=0, u=0 si i>0 ) o un diodo real( ( )1e0 −= λu I i ) .

Hay dos valores posibles del parámetro R que dan lugar a dos ramasresistivas que, por la frecuencia con que aparecen y las peculiaridades quepresentan, merecen una mención especial, de hecho hasta existen términosespecíficos para referirse a ellos.

Cortocircuito

Es una resistencia ideal de valor 0 ( R=0 ): sea cual sea el valor de laintensidad (finito) la tensión es cero.

Circuito Abierto

Es una resistencia ideal de valor infinito ( R=∞ ): sea cual sea el valor de latensión (finito) la intensidad es cero.

La ecuación de la resistencia puede expresarse despejando la intensidadcomo:

uGi ⋅= (1.4)

El parámetro




RG

1=

recibe el nombre de conductancia y se mide en Siemens (S).

1.7.1.2 Fuentes ideales de tensión

Es un tipo de elemento de circuito caracterizado por la ecuación

u = e g (1.5)

A

B

u

i

e g

figura 1.7: Fuente ideal de tensión

La tensión, en una fuente ideal de tensión, es independiente de laintensidad que circule por la rama en cada momento y viene dada

únicamente por la función de la fuente, e g . La referencia de las fuentes detensión suele indicarse colocando una cruz en el lugar de la fuente quecorrespondería a la base de la flecha, si la referencia se indicase por medio

de la flecha. Así, en la figura 1.7, la tensión e g representa la diferencia de

potencial u=V A−V B.

Un cortocircuito, tal y como se definió anteriormente, podríarepresentarse también por una fuente ideal de tensión de valor e g =0.

1.7.1.3

Fuentes ideales de intensidad

Es un tipo de elemento de circuito caracterizado por la ecuación (figura1.8):

i = i g (1.6)




A

B

uig

figura 1.8: Fuente de intensidad

La intensidad, en una fuente ideal de intensidad, es independiente de latensión aplicada a la rama en cada momento y viene dada únicamente porla función de la fuente, ig. La referencia de las fuentes de intensidad la

indicaremos por una flecha situada en el interior del rectángulo en lamisma forma en que suele indicarse la referencia de intensidad de unarama cualquiera.

Un circuito abierto, tal y como se definió anteriormente, podríarepresentarse también por una fuente ideal de intensidad de valor ig=0.

1.7.1.4 Fuentes independientes y fuentes dependientes (controladas)

Las fuentes, tanto de tensión como de intensidad, pueden ser depedienteso independientes. Decimos que las fuentes son independientes cuando lafunción que representa el valor de la fuente no depende de ninguna otra variable del circuito. Decimos que las fuentes son dependientes cuando el valor de la fuente es función de alguna de las variables asociadas a otrasramas del circuito.

Las fuentes independientes representan las excitaciones (las variablesconocidas de antemano) dentro de un circuito, según la definición de

análisis de circuitos que enunciamos anteriormente.Cuando las fuentes independientes presentan valores constantes con eltiempo hablamos de fuentes de corriente continua (aunque sean fuentes detensión) o fuentes de continua si queremos abreviar un poco. Cuando todaslas fuentes de un circuito son fuentes de continua hablamos de un circuitode corriente continua y entonces el análisis de los circuitos resultaespecialmente simple.




Cuando las fuentes independientes son funciones senoidales del tiempohablamos de fuentes de corriente alterna o fuentes de alterna . Cuando todas lasfuentes de un circuito son fuentes de corriente alterna hablamos de un

circuito de corriente alterna . En este curso estudiaremos principalmentecircuitos de corriente alterna en los que todas las fuentes pulsan a la mismafrecuencia, lo que simplifica notablemente el análisis.

Como, por lo general, la energía que se consume en los circuitos provienede las fuentes, es frecuente referirse a éstas como elementos activos , aunquede hecho puedan funcionar también como consumidores de energía. Porcontrapartida, el resto de los elementos de circuito se conocen comoelementos pasivos , aunque de nuevo también pueden funcionar en

determinados instantes cediendo energía al resto del circuito (energía que,evidentemente, han debido haber almacenado con antelación).

Las fuentes dependientes más usuales son aquéllas en las que el valor defuente es proporcional a la tensión o a la intensidad de otra rama delcircuito. Así, se hablaría de fuentes ideales de tensión dependientes de tensión o deintensidad ,

j

j

i g u

u g u

⋅=

⋅= (1.7)

y de fuentes ideales de intensidad dependientes de tensión o de intensidad ,

k

k

ihi

uhi

⋅=

⋅= (1.8)

1.7.1.5

Condensador

Es un tipo de elemento de circuito en el que la carga eléctrica almacenadaestá relacionada funcionalmente con la diferencia de potencial de la ramaasociada. En su forma más sencilla, la relación viene dada por laproporcionalidad entre la carga y la tensión, la constante deproporcionalidad se denomina capacidad y se mide en Faradios (F).

q = C u (1.9)




Si se derivan ambos miembros de la ecuación anterior, y se tiene en cuentaque

t qi

dd=

se puede escribir también (figura 1.9):

t

uC i

d

d= (1.10)

A

u

i

C

B figura 1.9: Condensador

Ecuación que permitiría definir un condensador como un tipo deelemento de circuito que establece una relación funcional entre laintensidad y la derivada de la tensión de la rama asociada. La ecuaciónanterior se entiende para referencias iguales de tensión e intensidad.

En cuanto a la ecuación (1.9) y las referencias de rama, sería necesariohacer algunas puntualizaciones. En realidad, la carga neta almacenada en eltipo de elemento de circuito que se suele conocer como condesador essiempre nula. Lo que ocurre es que se produce una separación entre cargaspositivas y negativas, apareciendo una cierta cantidad de cargas positivas aun lado y la misma cantidad de cargas negativas al otro lado, lo que originala diferencia de potencial. La referencia correspondiente a las cargas seríatal, que la cantidad de carga se consideraría como positiva, cuando lareferencia asociada a la magnitud estuviese dirigida desde las cargaspositivas hacia las cargas negativas.

Si en nuestro estudio de la teoría de circuitos no admitimos la aparición deintensidades infinitas, esto implica que la tensión no puede presentar saltos




bruscos en los extremos de un condensador o, lo que es lo mismo, debeser una función continua del tiempo.

Si intentamos despejar la tensión de un condensador en función de laintensidad obtendríamos como ecuación:

( ) ( ) τ τ d1

∫∞−

=t

iC

t u (1.11)

Si se quiere evaluar la integral anterior en la práctica, resulta necesarioescoger un origen de tiempos distinto de −∞ . Entonces, habría que

escribir:

( ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ τ τ τ d1

)0(dd1

00

0

∫∫∫ +=+=∞−

t t

iC

uiiC

t u (1.12)

es decir, se supone conocida la tensión en un instante inicial, a partir delcual se evalúa la integral de la intensidad, supuesta conocida ésta comofunción del tiempo. En muchos casos prácticos se toma u(0)=0, entoncesse dice que el condensador está descargado inicialmente. Si no, es decir,cuando u(0) ≠ 0, se dice que el condensador posee una carga inicial .

Al igual que ya hemos comentado con la resistencia, el parámetro C , lacapacidad del condensador, no siempre es constante, puede depender deltiempo o puede ser regulable mecánicamente, puede depender de laintensidad y de la tensión, lo que daría lugar a distintos tipos decondensadores. Sin embargo en nuestros cálculos, durante este curso,

consideraremos casi exclusivamente condensadores con C constante.

1.7.1.6 Bobina

Para la bobina podemos hacer un tratamiento muy similar al delcondensador, así empezaríamos definiendo una bobina como un tipo deelemento de circuito en el que el flujo magnético abrazado o concatenadopor la rama en cuestión está relacionado funcionalmente con la intensidadque atraviesa la rama. En su forma más sencilla la relación viene dada por




la proporcionalidad entre el flujo y la intensidad, la constante deproporcionalidad se denomina autoinductancia y se mide en Henrios (H).

Φ = L i (1.13)

Cuando el flujo magnético abrazado por el conductor resulta de arrollar N espiras conductoras y se puede considerar que el flujo total es N veces elflujo abrazado por cada una de las espiras, entonces, es usual tomar como variable el flujo abrazado por una sola espira en lugar del flujo total yescribir:

N Φ = L i (1.14)

Si se derivan ambos miembros de la ecuación anterior, y se tiene en cuentaque según la ley de Faraday

t N u

d

dΦ =

se puede escribir también (figura 1.10):

t

i Lu

d

d= (1.15)

A

B

u

i

L

figura 1.10: Bobina

Ecuación que permitiría definir una bobina como un tipo de elemento decircuito que establece una relación funcional entre la tensión y la derivadade la intensidad de la rama asociada. La ecuación anterior se entiende parareferencias iguales de tensión e intensidad.




Al igual que en el caso del condensador, es preciso realizar una serie depuntualizaciones relativas a la ecuación (1.14) y las referencias de rama. Laecuación, tal y como está escrita, implica que una intensidad positiva según

la referencia de intensidad asignada a la rama considerada, produce unflujo magnético positivo en esa rama. En realidad, podría definirse demodo arbitrario que una intensidad positiva, según la referencia elegida,crease un flujo negativo, con lo que la ecuación de relación flujo-intensidad sería:

N Φ = − L i (1.16)

Sin embargo, al derivar ahora la ecuación para obtener la correspondienteecuación de tensión, hay que tener en cuenta que la ley de Lenz exige que laintensidad resultante de una variación de flujo con respecto al tiempo seoponga a esa variación de flujo, por lo que la ley de Faraday tendría queescribirse como

t N u

d

dΦ −=

(1.17)

y al derivar ambos miembros de la ecuación flujo−intensidad se obtendríade nuevo:

t

i Lu

d

d=

(1.18)

Esto es un alivio, pues si no, tendríamos un elemento de circuito con unaecuación que nos relacionaría la tensión con la intensidad con un signo

distinto, según la referencia elegida para el flujo magnético.

Resumiendo, para una misma referencia de tensión e intensidad, laecuación de la bobina no depende de la referencia de flujo.

Si en nuestro estudio de la teoría de circuitos no admitimos la aparición detensiones infinitas, esto implica que la intensidad no puede presentar saltosbruscos en los extremos de una bobina o, lo que es lo mismo, debe ser unafunción continua del tiempo.




Si intentamos despejar la intensidad de una bobina en función de latensión, obtendríamos como ecuación:

( ) ( ) τ τ d1 ∫∞−

=t

u L

t i (1.19)

Si se quiere evaluar la integral anterior en la práctica, resulta necesarioescoger un origen de tiempos distinto de −∞ . Entonces habría que escribir

( ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ τ τ τ d1

)0(dd1

00

0

∫∫∫ +=+=∞−

t t

u

L

iuu

L

t i (1.20)

es decir, se supone conocida la intensidad en un instante inicial a partir delcual se evalúa la integral de la tensión, supuesta conocida ésta comofunción del tiempo. En muchos casos prácticos se toma i(0)=0, entonces,se dice que la bobina está descargada inicialmente. Si no, es decir, cuandoi(0) ≠ 0 se dice que la bobina posee una carga o un flujo inicial .

Tal y como se ha comentado para el resto de los parámetros quecaracterizan a los elementos de circuito estudiados, la inductancia de unabobina no tiene por qué ser una constante. Sin embargo, en el caso de lasbobinas, éste es un hecho frecuente en la práctica diaria y que nopodremos dejar de considerar en algunas partes de este curso. El caso másimportante de no linealidad de la relación entre el flujo y la intensidad sepresenta en las bobinas con núcleo de hierro y en los elementos de circuitoque se pueden construir con ellas, como son los transformadores .

Quizás resulte conveniente hacer algo más de hincapié en los problemasde referencias que se presentan al trabajar con tensiones, intensidades yflujos magnéticos. Vamos a resumir aquí los resultados, dejando al lectorque trate de deducirlos a partir de las leyes del electromagnetismo (ley deFaraday y ley de Lenz).

Para una bobina con las mismas referencias de tensión e intensidad laecuación tensión-intensidad se escribe:




t

i Lu

d

d=

Para una bobina, la ecuación intensidad-flujo puede escribirse, según lareferencia de flujo escogida como:

N Φ = Li

(intensidad positiva crea flujo positivo), o

N Φ = − Li

(intensidad positiva crea flujo negativo).Si la relación intensidad-flujo es positiva ( N Φ = Li ) y la tensión tiene lamisma referencia que la intensidad, la ecuación tensión-flujo (ley deFaraday) se escribe:

t N u

d

dΦ =

si la tensión tiene distinta referencia que la intensidad, la ecuacióntensión-flujo (ley de Faraday) se escribe:

t N u

d

dΦ −=

Si la relación intensidad-flujo es negativa ( N Φ =− Li ) y la tensión tienela misma referencia que la intensidad, la ecuación tensión-flujo (ley deFaraday) se escribe:

t N u

d

dΦ −=

si la tensión tiene distinta referencia que la intensidad, la ecuacióntensión flujo (Ley de Faraday) se escribe

t N u

d

dΦ =




Los resultados anteriores nos permiten asociar a cada bobina unareferencia de flujo, de forma similar a las referencias de tensión o deintensidad, estableciéndose las siguientes relaciones. Sea b el signo de la

ecuación tensión-intensidad y e el signo de la ecuación intensidad-flujo ( b y e puedentomar los valores +1 y –1). Se tiene:

N Φ = eLi

t

ibLu

d

d=

Entonces, la ecuación tensión flujo tiene el signo resultante del productode los dos signos de estas ecuaciones. b es positivo si tensión e intensidadtienen la misma referencia y e es positivo si intensidad y flujo tienen lamisma referencia:

t beN u

d

dΦ =

que constituye la ley de Faraday para una bobina teniendo en cuenta las

referencias de flujo e intensidad.

A

B

u

i

LΦ

figura 1.11: Referencias de flujo en bobinas

1.7.1.7 Bobinas acopladas magnéticamente.

Sabemos que la variación del flujo magnético concatenado por una bobinapuede tener otras causas distintas que la variación de la propia intensidadque atraviesa la bobina (fenómeno de autoinducción ). Sabemos, igualmente,que cualquier variación del flujo abrazado por una bobina produce elmismo efecto independientemente de la causa que lo genere, a saber, una

tensión inducida en bornes de la bobina que sufre la variación del flujo.




En general, la tensión inducida en una bobina debida a la variación delflujo magnético concatenado por ella debe entenderse como debida a la variación del flujo resultante, considerado como suma de los flujos

producidos por distintas fuentes y que llegan a atravesar el espacio de labobina.

Cuando dos o más bobinas comparten el espacio sobre el que se extiendenlos flujos magnéticos creados por las intensidades que las atraviesan,decimos que estas bobinas se encuentran acopladas magnéticamente . Dicho deotra manera, en cada una de las bobinas aparece un flujo resultante que esla suma del flujo propio, o creado por la propia intensidad de la bobina, yde las partes de los flujos que, generados en las otras bobinas, llegan a ser

vistos por la bobina considerada.

Como consecuencia de este acoplamiento magnético, las ecuaciones de lasbobinas, asociadas cada una a su rama, ya no son función únicamente delas magnitudes físicas asociadas a esa misma rama, sino que dependerántambién de las magnitudes asociadas a las ramas con las que comparte elacoplamiento magnético.

Según lo estudiado anteriormente, tendríamos que generalizar algunas de

las definiciones. Así, deberíamos decir que pueden asociarse leyes aconjuntos de ramas, leyes que ligan las magnitudes físicas asociadas a lasdistintas ramas consideradas. También deberíamos decir que un tipo deelemento de circuito viene definido por un conjunto determinado de leyesasociadas a las magnitudes físicas de un conjunto de ramas de un circuito.Hechas estas generalizaciones, podemos seguir nuestra descripción de lasbobinas acopladas como elemento de circuito.

Notación: Al flujo creado en la rama i por la intensidad de la rama j lodenotaremos como Φ ij, es decir, el primer índice nos indica la rama en laque nos encontramos y el segundo la rama por la que circula la intensidadque crea el flujo.

1.7.1.7.1

Descomposición del flujo de una bobina.

El flujo total de la bobina de la rama i lo denotaremos por Φ i.Según lo enunciado, el flujo Φ i puede descomponerse según:




∑∈

=J j

iji Φ Φ

en donde J representa el conjunto de los índices de las ramas acopladasmagnéticamente con la rama i y que, normalmente, incluirá entre ellos elpropio índice i.

1.7.1.7.2

Relación entre el flujo visto por una bobina y la intensidad que lo crea

N Φ ij = Lij i jó

N Φ ij = − Lij i j

(1.21)

según las referencias intensidad-flujo en las ramas consideradas, donde Lij recibe el nombre de coeficiente de inducción mutua de las ramas i y j. De lateoría de electromagnetismo sabemos que:

Lij = L ji

1.7.1.7.3

Dos bobinas acopladas magnéticamente

Para analizar el comportamiento de este elemento de circuito y lasecuaciones que lo describen, empezaremos por el caso más sencillo,correspondiente al acoplamiento magnético entre dos bobinas únicamente.

Pensemos primero en las dos bobinas por separado. Supongamos quetanto para la bobina 1 como para la bobina 2, independientemente, hemosfijado referencias de tensión, intensidad y flujo, y por mayor simplicidadsupongamos igualmente que las tres referencias coinciden en las dosbobinas. Podremos plantear las siguientes ecuaciones:

Bobina 1 Bobina 2

N 1Φ 11 = L11 i1 N 2Φ 22 = L22 i2

Φ 1 = Φ 11+Φ 12 Φ 2 = Φ 21+Φ 22

t N u

d

d 111

Φ =

t N u

d

d 222

Φ =




Nos faltarían por conocer las relaciones N 1Φ 12= ? L12i2 y N 2Φ 21= ? L21i1 para poder escribir el conjunto de relaciones entre las variables de estasdos bobinas. ¿Cómo asignar estos signos?.

Reflexionemos antes sobre la propiedad de las premisas planteadas. Denuestro estudio hasta aquí, sabemos que podemos asignar referencias detensión e intensidad a cada rama de manera independiente. ¿Podemoshacer lo mismo con los flujos magnéticos? La respuesta es sí. Sin embargo,es preciso indicar de alguna manera en los esquemas de circuito, quésentido tiene el flujo creado por la intensidad de una bobina con respectoal sentido del flujo de la bobina que estemos estudiando.

Esto se hace de la siguiente manera (figura 1.12). Para cada par de bobinasacopladas magnéticamente entre sí se señalan dos terminales correspondientes de las bobinas, entendiéndose por terminales correspondientes losterminales de las bobinas tales que, cuando las intensidades de ambasbobinas entran o salen por ellos, los flujos que crean ambas intensidadesen ambas bobinas tienen el mismo sentido. Consecuentemente, cuandouna intensidad entre y la otra salga por el terminal correspondiente losflujos generados por las intensidades en ambas bobinas tendrán sentidoscontrarios. Esto independientemente de la referencia asignada al flujo en

cada bobina.

Si respondemos ahora a la pregunta anterior habría que decir: si i1 e i2 tienen el mismo sentido respecto a las marcas de ambas bobinas, el signode N 1Φ 12= L12i2 será el mismo que el de N 1Φ 11= L11i1 (en este casopositivo, pero podría ser igualmente negativo), y el signo de N 2Φ 21=? L21i1 será el mismo que el de N 2Φ 22= L22i2 (en este caso positivo, pero podría serigualmente negativo). Si las referencias de las intensidades respecto de las

marcas fuesen contrarias, los signos de las ecuaciones mutuas seríancontrarios a los signos de las ecuaciones propias.

Cuando se tiene únicamente un circuito magnético para el flujo, muchas veces se define una única referencia de flujo para todo el circuitomagnético, de forma que la referencia de flujo de cada bobina se puedededucir de la de una de las bobinas y del acoplamiento magnético entreella y las demás.




A2

B2

u2

i2

L2

ΜA1

B1

u1

i1

L1

i1>0 genera Φ >0 figura 1.12: Dos bobinas acopladasmagnéticamente

Analicemos la formulación de las ecuaciones para el caso de dos bobinas

acopladas con una única referencia de flujo mediante un ejemplo.

En la figura 1.12 se fija la referencia de flujo de la bobina 1 como positivay, como la referencia de la intensidad 2 respecto a las marcas es contraria ala de la intensidad 1, la referencia de flujo de la bobina 2 será negativa. Demodo que:

N 1Φ 11 = L1 i1

N 2Φ 22 = − L2 i2

Como las referencias de intensidad respecto a las marcas son contrarias,las respectivas ecuaciones mutuas tendrán el signo contrario al de lasecuaciones propias, es decir,

N 1Φ 12 = − M i2

N 2Φ 21 = M i1

(1.22)

Las ecuaciones de tensión se escriben según la referencias tensión-flujo decada bobina. En este caso, en la bobina 1 tensión y flujo tienen la mismareferencia (pues la tensión tiene la misma referencia que la intensidad y lareferencia intensidad-flujo es positiva) y en la bobina 2 tensión y flujotienen referencia contraria (tensión e intensidad tienen la misma referenciay la referencia intensidad-flujo es negativa), resulta:




t N u

t N u

d

d

d

d

222

111

Φ

Φ

−=

= (1.23)

Teniendo ahora en cuenta que

N 1Φ 1 = N 1Φ 11+ N 1Φ 12 = L1i1− Mi2

N 2Φ 2 = N 2Φ 21+ N 2Φ 22 = Mi1− L2i2

y sustituyendo en las ecuaciones anteriores, resultan:

t

i L

t

i M u

t

i M

t

i Lu

d

d

d

d

d

d

d

d

22

12

2111

+−=

−= (1.24)

Si repitiésemos los cálculos partiendo de una referencia de flujo distinta( i1>0,Φ 1<0 ) veríamos que llegamos a las mismas ecuaciones entretensiones e intensidades. Veríamos cómo las ecuaciones que ligantensiones con intensidades, pueden escribirse de nuevo, al igual que en elcaso de una única bobina, independientemente de las ecuaciones de flujo,teniendo en cuenta ahora las siguientes reglas:

El signo del término de autoinducción se determina de la misma formaque si no hubiese acoplamiento magnético, a partir de las referencias

de tensión e intensidad: positivo si las referencias son iguales, negativosi las referencias son contrarias.

El signo de los términos de acoplamientos magnéticos es el mismoque el signo del término de autoinducción cuando las dos intensidadestienen el mismo sentido respecto a la marca y contrario al signo deltérmino de autoinducción si las referencias de las intensidades respectoa las marcas son distintas.

Por lo que respecta al signo de las ecuaciones intensidad-flujo, se puede

decir:




En el caso general, la referencia intensidad-flujo puede fijarseindependientemente para cada rama

En el caso de un único circuito magnético se fija la referenciaintensidad flujo para una rama arbitrariamente. (Si no se dice nada, seconsidera positivo el flujo creado si la intensidad entra a la marca) ypara el resto de las ramas el signo es el mismo que para la ramaescogida si las referencias de intensidad respecto de las marcascoinciden, y contrario al de la rama escogida si las referencias deintensidad respecto de las marcas no coinciden.

En cuanto al signo de las ecuaciones tensión-flujo, se puede decir:

En el caso general, si las referencias de tensión e intensidad soniguales, el signo es el mismo que el de la relación intensidad-flujo y silas referencias de tensión e intensidad son distintas, el signo es elcontrario al de la relación intensidad-flujo.

En el caso de un único circuito magnético, se puede formular también:

Se determina el signo de la ecuación tensión-flujo para la ramaescogida: igual al signo de la ecuación intensidad-flujo si lasreferencias de tensión e intensidad son iguales y contrario al dela ecuación intensidad-flujo si las referencias de tensión eintensidad son distintas.

Para cualquier otra rama el signo de la ecuación tensión-flujoes el mismo que el de la rama de referencia si las referencias detensión con respecto a las marcas coinciden y el signocontrario al de la ecuación de referencia si las referencias detensión respecto a las marcas no coinciden.

El acoplamiento magnético entre dos bobinas puede estudiarse con unadescomposición de los flujos distinta a la presentada anteriormente. Vamos a estudiar a continuación el caso de dos bobinas.

Según la descomposición de flujos vista escribiríamos

Φ 1 = Φ 11+Φ 12

Φ 2 = Φ 21+Φ 22




Descompongamos ahora Φ 11 y Φ 22 como sigue:

Φ 11 es el flujo total que crea la intensidad 1. Parte de él lo ve la bobina 2

( Φ 21 ) y a la parte que no llega a la bobina 2 lo llamamos flujo de dispersión dela bobina 1,

Φ σ 1 = Φ 11−Φ 21

Análogamente, para la bobina 2 podemos definir el flujo de dispersión dela bobina 2 como:

Φ σ 2 = Φ 22−Φ 12

Por otra parte, Φ 12 lo ve tanto la bobina 1 como la bobina 2, y lo mismoocurre con Φ 21. De modo que podemos definir un flujo que es visto porlas dos bobinas y que llamaremos flujo mutuo como:

Φ m = Φ 12+Φ 21

Con los conceptos definidos podemos reescribir las ecuaciones de

descomposición del flujo como:

Φ 1 = Φ 11+Φ 12 = Φ 11−Φ 21+Φ 21+Φ 12 = Φ σ 1+Φ m

Φ 2 = Φ 21+Φ 22 = Φ 21+Φ 12−Φ 12+Φ 22 = Φ σ 2+Φ m

Se pueden definir relaciones de proporcionalidad entre los flujos dedispersión y las intensidades que los crean, coeficientes que se denominan

autoinductancias de dispersión y que vendrían dados por las ecuaciones:

N 1Φ σ 1 = S 1i1

N 1Φ σ 1 = −S 1i1

según i1 cree un flujo positivo o negativo en su bobina, y

N 2Φ σ 1 = S 2i2




N 2Φ σ 2 = −S 2i2

según i2 cree un flujo positivo o negativo en su bobina.

Si se introduce esta descomposición de flujos en la relación tensión flujose obtendrían las ecuaciones:

t N

t

iS

t N

t N u

t N

t

iS

t N

t N u

mm

mm

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

22

222

22

11

111

11

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ

σ

σ

±±=

+±=

±±=

+±=

(1.25)

Respecto a los signos de estas ecuaciones, cabe decir:

El signo correspondiente al flujo mutuo es el mismo que el de la ecuacióngeneral tensión-flujo y el signo del término de la autoinductancia dedispersión es el mismo que el correspondiente a la autoinductancia de labobina en su ecuación tensión-intensidad.

Esta descomposición de flujos es usual en el estudio de transformadores yde máquinas eléctricas.

1.7.1.8

Transformador ideal

Es un elemento de circuito formado por dos bobinas acopladasmagnéticamente que cumplen ciertas condiciones especiales:

El flujo de dispersión es cero.

No hay pérdidas de energía.

La permeabilidad del medio donde se confina el campo magnético esinfinita, lo que implica que no se necesitaría intensidad para crear flujo,de hecho una fuerza magnetomotriz finita originaría un flujo infinito,por lo que la suma de las fuerzas magnetomotrices de todas lasbobinas que contribuyen a generar el campo magnético debe ser nula.

De las ecuaciones anteriores se deduce para estas condiciones:




t N u

t N u

m

m

d

d

d

d

22

11

Φ

Φ

±=

±= (1.26)

Y, si dividimos ambas ecuaciones, se obtiene:

2

1

2

1

N

N

u

u±=

(1.27)

El signo será positivo cuando ambas ecuaciones tensión-flujo tengan elmismo signo, es decir, cuando las referencias de tensión de ambas bobinasrespecto a las marcas coincidan, y negativo cuando las ecuaciones tensión-flujo tengan signo contrario, es decir, cuando las referencias de tensión deambas bobinas respecto a las marcas no coincidan.

La condición de que la fuerza magnetomotriz resultante sea nula se escribeen función de las intensidades de la forma:

± N 1i1 ± N 2i2 = 0

Asignando a una intensidad signo positivo cuando crea un flujo positivo ysigno negativo cuando crea un flujo negativo. De otra manera, si lasreferencias de intensidad de ambas bobinas con respecto a las marcascoinciden, se tendría:

1

2

2

12211 0

N

N

i

ii N i N −=⇒=+

y si las referencias de intensidad de las bobinas respecto a las marcas nocoinciden, se tendría

1

2

2

12211 0

N

N

i

ii N i N =⇒=− (1.28)




Como puede apreciarse, ocurre al contrario que con el signo de laecuación de tensiones.

1.8 Potencia y Energía A cada uno de los nudos de un circuito se le llama también terminal .

Multipolo

Es un circuito que presenta n terminales accesibles desde el exterior.

Los más empleados son los dipolos : circuitos con dos terminales accesibles

desde el exterior. (Toda rama de un circuito, si sus extremos son accesiblesdesde el exterior, puede considerarse como un dipolo). En este cursotambién trabajaremos con cuadripolos , que son circuitos que presentancuatro terminales accesibles desde el exterior que cumplen unascondiciones especiales.

1.8.1 Potencia

Consideremos un dipolo con referencias iguales de tensión e intensidad.Definimos como potencia entrante al dipolo o potencia absorbida por el dipolo

la magnitud

p = u i (1.29)

A la magnitud

p = −u i (1.30)

la denominaremos potencia saliente o potencia cedida por el dipolo.

Como nuestra definición de potencia está ligada a las referencias, yutilizamos dos términos distintos según el signo que tomemos en laecuación, si tomamos una de las ecuaciones y cambiamos la referencia,estaremos cambiando el concepto, pues obtenemos la magnitud asociada ala otra ecuación. Es decir, para un dipolo con referencias de tensión eintensidad contrarias, (1.29) nos da la potencia saliente o cedida por el




dipolo, mientras que (1.30) nos da la potencia entrante o absorbida por eldipolo.

Decimos que un dipolo está consumiendo potencia cuando su potenciaeléctrica absorbida es positiva (el campo eléctrico realiza trabajo llevandolas cargas eléctricas del mayor potencial al menor potencial). Por elcontrario, decimos que un dipolo está generando potencia cuando supotencia eléctrica cedida es positiva (estamos realizando trabajo en contradel campo eléctrico, llevando las cargas desde potenciales menores apotenciales mayores).

pab = − pced (1.31)

Evidentemente, el valor que se obtenga para cualquiera de las dosmagnitudes no puede depender de la referencia de tensión e intensidadtomadas.

1.8.2 Expresiones de la Potencia para Dipolos con un Único

Elemento de Circuito

1.8.2.1

Resistencia

pab = u i = ( R i) i = R i2

pab = u i = u (G u) = G u2

(1.32)

Como se puede ver, la potencia absorbida en una resistencia es siemprepositiva.

1.8.2.2 Condensador

( )t

uC

t

uuC ui pab

d

d

2

1

d

d 2

=== (1.33)

En un condensador la potencia puede ser absorbida o cedida según varíeel valor absoluto de la tensión.




1.8.2.3

Bobina

( )

t

i Li

t

i Lui pab

d

d

2

1

d

d 2

=== (1.34)

Al igual que en el condensador, la potencia en una bobina puede serabsorbida o cedida según varíe el valor absoluto de la intensidad.

1.8.2.4

Bobinas acopladas

Un cuadripolo puede considerarse como un conjunto de dos dipolosdonde las intensidades de ambos lados son independientes, de manera que

se puede considerar que la potencia absorbida o cedida por el cuadripoloes la suma de las potencias absorbidas o cedidas por cada uno de losdipolos.

Un ejemplo de cuadripolo lo forman dos bobinas acopladas. Vamos acalcular la potencia absorbida por un cuadripolo de este tipo. Para hacerlo,independientemente de las referencias de tensión e intensidad,utilizaremos la notación explicada en el apéndice A.

t

i Lab

t

i M abu

t i M ab

t i Labu

d

d

d

d

dd

dd

222222

12122

2121

1111111

+=

+= (1.35)

Para calcular la potencia absorbida tomamos, por ejemplo, ambasreferencias de tensión e intensidad iguales y tomamos los productos detensión por intensidad con signo positivo ( b1=b2=1 ).

( ) ( ) ( )

t

i L+

t

ii M +a

t

i L

t

ii La

t

i Mia

t

i Mia

t

ii La

iuiu

d

d

2

1

d

d

d

d

2

1

d

d

d

d

d

d

d

d

2

222

2112

2

111

222222

1221

2112

111111

2211

=

=+++=

=+

…

…

(1.36)




1.8.2.5

Transformador ideal

Suponiendo, de nuevo, referencias de tensión e intensidad iguales,

01111

2

1211

121

21112211 =−=−+=+ iuiu

N

a N i

a N

N uiuiuiu (1.37)

1.8.3 Energía

Si integramos la potencia absorbida por un dipolo desde un instante en elque suponemos que la energía almacenada por el dipolo es cero,obtendremos la energía almacenada en un dipolo en un instante dado, caso

de que el dipolo no disipe energía en absoluto. En el otro extremo, si eldipolo no es capaz de almacenar energía en absoluto, obtendremos laenergía disipada en ese dipolo.

Para una resistencia, como la potencia absorbida es siempre positiva, laenergía disipada también lo será y vendrá dada por:

( ) ( )∫ ∫∞− ∞−

==t t

i R pt w τ τ τ τ dd)( 2 (1.38)

Para un condensador,

( ) ( )

( )t CuuC u

C pt w

t t t

222

2

1d

2

1d

d

d

2

1d)( ∫∫ ∫

∞−∞− ∞−

==== τ τ

τ τ (1.39)

suponiendo u2(−∞ )=0. Como vemos, es siempre positiva y sólo dependede la tensión.

Para una bobina,

( ) ( )

( )t Lii Li

L pt w

t t t

222

2

1d

2

1d

d

d

2

1d)( ∫∫ ∫

∞−∞− ∞−

==== τ τ

τ τ (1.40)




suponiendo i2(−∞ )=0. Como vemos, es siempre positiva y sólo dependede la intensidad.

Para un par de bobinas acopladas,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )t i Lt it Miat i L

i L

ii M a

i L pt w

t t

2

2222112

2

111

2

222

2112

2

111

2

1

2

1

dd

d

2

1

d

d

d

d

2

1d)(

++=

=

++== ∫ ∫

∞− ∞−

τ τ τ τ

τ τ

(1.41)

Al igual que en el caso de una bobina, es un valor siempre positivo (sedemuestra en electromagnetismo) y sólo depende de los valores de lasintensidades.

En un transformador ideal la energía almacenada o absorbida es cero,evidentemente, pues ni se absorbe ni se cede energía.

En el caso de las fuentes ideales, es usual trabajar con la referencia de lamagnitud propia de la fuente y la otra referencia cambiada, de forma que el

producto, p. ej., e g i en una fuente de tensión o ui g en una fuente deintensidad nos da la potencia cedida por la fuente.

3 A1 V

2 Ω

u g

ur

i

ui

figura 1.13: Circuito del ejemplo 1.1

ejemplo 1.1

Sea el circuito de la figura 1.13 y calculemos la potencia absorbidapor cada elemento.

i=3 ; ur +u g −ui=0 ; 1+6−ui=0 ; ui=7 V

Resistencia: ur =2 i ; ( P ab) R=2 i2

=18 W (absorbida)




Fuente de intensidad: ( P ab)i= −u i=−3·7= −21 W (cede 21 W)

Fuente de tensión: ( P ab)u=u i=1·3= 3 W (absorbe 3 W)

Como se puede observar, la suma de las potencias absorbidas esigual a la suma de las potencias cedidas.

1.9 Elementos Reales de Circuito

Hasta aquí hemos hecho un planteamiento abstracto y algebraico de losdistintos tipos de elemento de circuito. En realidad, cada uno de loselementos descritos de forma teórica puede asociarse a algún dispositivo

físico sencillo cuyo comportamiento se aproxima bastante al elementoteórico estudiado. Antes de proseguir con el estudio de la teoría decircuitos, vamos a realizar unos breves comentarios sobre las divergenciasmás usuales o las más importantes que suelen aparecer entre elcomportamiento de los dispositivos técnicos y los elementos de circuitocon que solemos representarlos.

Las diferencias entre los distintos dispositivos técnicos con los que tratande conseguirse los comportamientos de los elementos ideales y estos

elementos ideales depende en gran medida del método de fabricación y,por lo tanto, los comentarios que siguen deben entenderse únicamente deun modo cualitativo.

1.9.1 Resistencia

Las resistencias reales presentan un límite de intensidad máxima (por elcalentamiento admisible) que puede pasar a través de ellas.

El valor de la resistencia depende de la temperatura, debido a ladependencia de la resistividad con la temperatura:

( )( )θ θ

θ θ ρ ρ θ θ −

−′+=′

c

(para el cobre θ c = −235 ºC )

pudiendo considerarse para la mayoría de los cálculos una variación linealde la resistencia con la temperatura. Éste es el comportamiento más usual,pero no es ciertamente el único, hay resistencias de precisión con un

coeficiente de temperatura prácticamente nulo (de manganina 84Cu 4Ni 12Mn)




también hay resistencias con coeficiente de temperatura negativo ( NTC ),que se llaman termistores y pueden usarse para termómetros.

A veces la resistencia varía con la tensión aplicada, propiedad que se utilizaen los varistores que se emplean para proteger los circuitos contrasobretensiones.

En circuitos con corriente alterna puede observarse también que laresistencia depende también de la frecuencia (debido al efecto pelicular ).

Según el modo de fabricación, las resistencias pueden presentar unacomponente inductiva que puede no ser despreciable para ciertas

aplicaciones, especialmente a altas frecuencias.

1.9.2 Condensador

De todos los elementos reales, podemos considerar que los condensadoresson los que tienen un comportamiento más ideal.

El aislamiento de un condensador tiene un límite de tensión que puedesoportar antes de que se produzca la perforación del dieléctrico y

consecuentemente la destrucción del condensador.

En todo condensador existe siempre una pequeña fuga de corriente através del dieléctrico, lo que origina pérdidas y calentamientos. Lamagnitud de esta corriente es una medida de la calidad del condensador.

1.9.3 Bobinas

Presentan siempre una componente resistiva que no es en absolutodespreciable.

Para conseguir valores suficientemente grandes de inductancia es precisoutilizar núcleos de materiales ferromagnéticos que, por desgracia, hacenque el comportamiento del elemento de circuito no sea lineal y queocasionan la aparición de pérdidas y calentamientos adicionales.

1.9.4 Fuentes

Ni las fuentes de tensión ni las fuentes de intensidad son capaces de

mantener el valor de la magnitud requerida cuando se cargan con otros




elementos. Así las fuentes de tensión presentan una tensión en bornes quedisminuye a medida que suministran más intensidad. Y las fuentes deintensidad suministran una intensidad de rama que disminuye a medida

que aumenta la tensión con que se cargan.

Si en una primera aproximación se supone que el comportamiento de lasfuentes reales sigue siendo lineal, podremos representar una fuente real detensión o intensidad, por una combinación de elementos de circuito quereproduzca ese comportamiento. Para una fuente de tensión real, elcircuito equivalente estaría formado por una fuente ideal de tensión enserie con una resistencia y para una fuente de intensidad real el circuitoequivalente sería una fuente ideal de intensidad en paralelo con una

conductancia.

Una fuente de tensión será tanto más ideal cuanto menor sea su resistenciainterna, y una fuente de intensidad será más ideal cuanto mayor sea suresistencia interna.

Otra forma de ver las limitaciones de las fuentes reales es pensar, porejemplo, en qué pasaría si conectamos una fuente ideal de tensión,digamos de valor e g , con un cortocircuito ( R=0 ). La intensidad sería ∞ y lapotencia suministrada por la fuente sería igualmente infinita. Lo mismopodríamos argumentar de una fuente de intensidad a circuito abierto. Lascargas irían acumulándose en sus extremos haciendo la tensión infinito, yestaría suministrando igualmente una potencia infinita.

No existen fuentes que suministren potencia infinita y, de hecho, al usarlos modelos de las fuentes reales de tensión e intensidad estos fenómenosno se producen.

Re g

R g i

u

figura 1.14: Fuente real de tensión




Si calculamos la intensidad en un circuito en el que cargamos una fuentereal de tensión con una resistencia obtendremos (figura 1.14):

g

g

g

R R

eRi Reu

R Rei

+=−=

+=

La intensidad máxima se produce para R=0, y es igual a

g

máx R

ei =

Se deja como ejercicio para el lector saber para qué valor de resistencia decarga, la potencia suministrada por la fuente es máxima ( teorema de máximatransferencia de potencia ).

El mismo estudio podemos realizarlo para una fuente real de intensidad,(figura 1.15) obteniéndose resultados completamente semejantes, inclusolas ecuaciones son idénticas si se sustituye tensión por intensidad yresistencia por conductancia.

Ri g R g

i

u

figura 1.15: Fuente real de intensidad

1.10 Ecuaciones de Flujos, Intensidades y Coeficientes de Autoinducción e Inducción Mutua 1

Vamos primero a tratar de sistematizar simbólicamente los signos de lasecuaciones flujo-intensidad, tensión-intensidad y tensión-flujo. Sillamamos eij al signo de la ecuación Φ ij-i j en la bobina i, escribiremos:

1 Puede verse un tratamiento alternativo en el apéndice A.




N i Φ ij = eij Lij i j (1.42)

Los signos de los acoplamientos entre dos bobinas vienen dados por las

marcas de terminales correspondientes, que indican que, si las referenciasde intensidad de dos bobinas respecto a sus terminales correspondientes omarcas son iguales (las dos entran o salen por el terminal marcado) las dosintensidades producen en la otra bobina un flujo del mismo signo que elque produce la intensidad propia de la bobina, y al revés, cuando lasreferencias de intensidad de las dos bobinas respecto a los terminalesmarcados son distintas (una entra y otra sale por el terminal marcado), lasdos intensidades producen en la otra bobina un flujo de signo contrario alque produce la intensidad de la propia bobina.

Denotamos por aij a la referencia relativa de los terminalescorrespondientes según el siguiente convenio:

aij=a ji=1 si la referencia de intensidades ii e i j respecto a las marcas soniguales y

aij=a ji=−1 si la referencia de las intensidades ii e i j respecto a lasmarcas son distintas.

Según lo dicho, se cumplirá:

eij = eii aij

e ji = e jj a ji

de donde se deduce que (multiplicando ambas ecuaciones):

eij e ji=eii e jj

Evidentemente aii=1.

Definimos de forma similar bi como coeficiente de referencias tensión-intensidad ,siendo 1 si las referencias coinciden y −1 si las referencias no coinciden.

La ley de Faraday en función de las referencias de tensión−intensidad y las

referencias de intensidad flujo se puede escribir de forma general como:




t N ebu

d

d iiiiii

Φ = (1.43)

Si queremos escribir la ecuación tensión intensidad, podemos sustituir lasecuaciones planteadas hasta aquí según el siguiente proceso:

t

i Lab

t

i Laeeb

t

i Laeebu

t

i Leeb

t N eb

t N ebu

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

j

j

ijiji

j

j

ijijiiiii

j

j

ijijiiiiii

j

j

ijijiii

j

ij

iiiii

iiiii

∑∑∑

∑∑

===

===Φ Φ

(1.44)

que nos demuestra que la ecuación tensión-intensidad sólo depende de lasreferencias tensión-intensidad y de las marcas de terminalescorrespondientes.

Hemos definido las referencias de flujo cruzadas entre dos bobinas a partirde los terminales correspondientes. También podríamos haber partido dela ley de Faraday que, para una bobina, se debe escribir igual,independientemente de cuántas componentes tenga el flujo, para despuésdescomponer cada componente del flujo según su referencia con laintensidad que lo crea, es decir,

∑

∑∑

=

====

j

j

ijijiii

j

j

ijijiii

j

ij

iiiii

iiiii

d

d

d

d

d

d

d

d

t

i Leeb

t

i Leeb

t N eb

t N ebu

Φ Φ

(1.45)

Después se podría definir la matriz de terminales correspondientes a partirde la unicidad de los tubos de flujo entre dos bobinas, como:

aij = eii eij

a ji = e jj e ji

resultando la misma ecuación de tensiones:




t

i Labu

d

d j

j

ijijii ∑= (1.46)

En la bobina i se cumple:

Φ i = Φ i1+Φ i2+Φ i3+...+Φ ij+...+Φ in

y en la bobina j:

Φ j = Φ j1+Φ j2+Φ j3+...+Φ ji+...+Φ jn

Si queremos sumar flujos de dos bobinas que comparten el mismo tubo deflujo, Φ ij y Φ ji, debemos asegurarnos antes de que las referencias de flujode ambas bobinas tienen el mismo sentido respecto al tubo de flujo queliga ambas bobinas. Podemos definir un factor g ij entre cada dos bobinastal que:

g ij= g ji=1 si las referencias de flujo de ambas bobinas tienen el mismosentido respecto al tubo de flujo

g ij= g ji=−1 si las referencias de flujo de ambas bobinas respecto al tubode flujo son distintas.

Estos factores nos sirven para convertir la parte del flujo que crea laintensidad ii sobre la bobina j, Φ ji, a la referencia de flujo de la bobinaoriginal (el primer índice del flujo nos indica en qué bobina estamos y porlo tanto la referencia de flujo que estamos usando). Así, si queremosdescomponer el flujo que crea la intensidad ii en los flujos que van a lasdistintas bobinas y un resto de flujo que sólo ve ella misma, o flujo dedispersión, escribiríamos:

∑≠

+⋅=i j

i ji jiii σ Φ Φ Φ g (1.47)

Llamamos flujo mutuo entre la bobina i y la j con referencia de flujo de labobina i a la suma




Φ mij = Φ ij+Φ ji g ji (1.48)

igualmente, se podría escribir tomando referencia la bobina j:

Φ m ji = Φ ji+Φ ij g ij

Si multiplicamos esta expresión por g ji, sabiendo que

g ji g ij = 1

nos queda:

Φ mij = g jiΦ m ji

Si descomponemos Φ i y usamos la ecuación (1.47), obtenemos:

∑∑

∑∑ ∑ ∑

≠≠

≠≠ ≠

+=++=

=++=+==

ik

ik iik

ik

kikii

ik

ik

k ik ik

kikiiik iiik i

m g

g

Φ Φ Φ Φ Φ

Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ

σ σ

σ

(1.49)

Con lo que se podría escribir la ecuación de tensión como:

+= ∑

≠ik

ik iiiiii

d

d

d

d

t t N ebu mΦ Φ σ (1.50)

Veamos si es posible relacionar el valor de g ij con las referencias de flujo

eij y las marcas de terminales correspondientes aij.

Recordemos la relación de los signos de flujo con las marcas:

eij = eii aij

Entre las bobinas i y j hay un tubo de flujo que permite comparar lossignos eij y e ji. eii marca un sentido al tubo de flujo y e jj otro, que puede serigual o distinto al que marca eii. Si ambos son iguales, podremos sumar Φ ij




y Φ ji para determinar el flujo mutuo ( g ij=1 ),si no, tendremos que restar( g ij=−1 ). El flujo que ii crea en j y viceversa viene dado por el tubo deflujo. Tomemos el tubo de flujo, por ejemplo, en el sentido de eii. El flujo

que ii crea en j tendrá como signo ( e ji=e jj a ji ), si este signo coincide con eldel tubo de flujo tomado, eii, entonces eii y e jj tendrán la misma referenciarespecto al tubo de flujo, es decir, las referencias eii y e jj respecto del tubode flujo serán las mismas si

eii = e jj aij

y tendrán sentido distinto respecto al tubo de flujo si

eii = −e jj aij

Estas relaciones nos permiten calcular los coeficientes g ij como:

g ij = eii e jj aij (1.51)

Tomemos, ahora, dos bobinas acopladas sin dispersión, es decir,

Φ σ 1 = Φ σ 2 = 0

La ecuación de tensión de ambas bobinas podrá escribirse, según se ha visto,

t g N eb

t N ebu

t N ebu

mm

m

d

d

d

d

d

d

12

122222

21

22222

1211111

Φ Φ

Φ

==

=

y si dividimos ambas ecuaciones,

1222

11

1222112222

1111

122222

1111

2

1

a N b

N b

aee N eb

N eb

g N eb

N eb

u

u===

que nos demuestra que el signo relativo de las ecuaciones de tensión sólo

depende de las referencias de tensión respecto a los puntos, ya que el




parámetro 12

122

1 cab

b= es igual a 1 cuando ambas tensiones tienen la

misma referencia respecto a los puntos e igual a –1 si las referencias de lastensiones respecto a las marcas son distintas.

Las ecuaciones se simplifican, evidentemente, si en todas las ramas setoman tantas referencias positivas como sea posible. En particular, si entodas las ramas las referencias intensidad-flujo son positivas: eii=1 la ley deFaraday se escribiría:

t

N bu

d

d iiii

Φ =

(1.52)

Si, además, las referencias de tensión e intensidad en cada rama coinciden,resultaría:

t N u

d

d iii

Φ =

(1.53)

Si las referencias intensidad-flujo en todas las ramas se consideranpositivas, entonces g ij=aij, con lo que

kikiik ik

ik

ik iiii

d

d

d

d

Φ Φ Φ

Φ Φ σ

a

t t N bu

m

m

+=

+= ∑

≠ (1.54)

Si, además, coinciden las referencias tensión intensidad, entonces,

kikiik ik

ik

ik iii

d

d

d

d

Φ Φ Φ

Φ Φ σ

a

t t N u

m

m

+=

+= ∑

≠ (1.55)

y, en un transformador ideal,




122

1

2

1

12122

2122

1211

d

d

d

d

d

d

a N

N

u

u

t a N t N u

t N u

mm

m

=

==

=

Φ Φ

Φ

(1.56)

La ecuación de intensidades sería:

N 1 e11 i1 + g 12 N 2 e22 i2 = N 1 e11 i1 + e11 e22 a12 N 2 e22 i2 = 0

y al ser e222=1 y dividiendo la ecuación por e11, resulta:

N 1 i1+a12 N 2 i2 = 0

2

112

1

2

N

N a

i

i−= (1.57)

Si en un transformador ideal la intensidad y tensión del secundario estánrelacionados por algún elemento de circuito, como una resistencia, demodo que u2=− R2i2, (seguimos con las mismas referencias de tensión eintensidad a ambos lados del transformador) y sustituimos las relacionesanteriores, resulta:

12

2

2

11

2

1121222

121

212 i R

N

N u

N

N ai Ri R

a N

N uu

=⇒

−−=−== (1.58)

por lo que se dice que el transformador ideal es un adaptador deimpedancias.

Si en (1.48) multiplicamos Φ mij por N i, podemos escribir:




[ ]

i ji ji

j

i ji jijij

ji j

j

i jiiji ji jiijiiji

i Le N

N g i Le

N N

N g N g N N m

+=

=+=+= …Φ Φ Φ Φ Φ

(1.59)

y como

g ji e ji = (e jj eii aij) (e jj a ji) = eii

eij = eii aij

aprovechando la simetría de la matriz de inductancias, resulta:

+= j

i

jij

iij

j

iiiiji i

N

N ai L

N

N e N mΦ (1.60)

Podemos definir dos nuevas variables: una intensidad ficticia efectiva en labobina i, imij, que produciría el mismo flujo que la acción conjunta de ii e i j

sobre el tubo de flujo común a ambas bobinas, dada por

j

i

jij

iij i N

N aiim +=

y un coeficiente de autoinducción entre el flujo mutuo total y la intensidad ficticiaefectiva , definido como

ij

j

iij L

N N Lm =

con lo que la ecuación en la bobina i del flujo mutuo con la bobina j seescribiría de forma simplificada:

N iΦ mij = eii Lmij imij (1.61)




Y definiendo el flujo de dispersión de la bobina i como se hiciera para elcaso de dos bobinas acopladas

N i Φ σ i = eii S i ii

La ecuación (1.50) de tensión para la rama i puede escribirse, según estosnuevos parámetros, como

+=

=

+=

+=

∑

∑

≠

≠

ik

ik ik

iii

ij

ijiii

iiiiii

ik

ik iiiiii

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

t

i

Lt

i

S b

t

i Le

t

iS eeb

t t N ebu

mm

m

mm

…Φ Φ σ

(1.62)

Veamos la relación entre Lmij y Lm ji. De

iji

j

ji

ij

j

iij

L N

N

L

L N

N L

m

m

=

=

resulta claro que:

ji

2

j

iij mm L

N

N L

= (1.63)

Aplicaremos estos resultados cuando estudiemos el transformador real.



2MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS

2.1 Impedancia y Admitancia Operacionales

De forma general, a una magnitud que representa una relación (cociente)entre tensión e intensidad se le denomina impedancia . A la magnitudinversa, es decir, a la que representa un cociente entre intensidad y tensiónse le denomina admitancia .

En muchos casos la relación entre la tensión y la intensidad puederepresentarse mediante un operador diferencial respecto a la variabletiempo:

( ) ( )

( ) ( )t u

t

Gt i

t it

F t u

=

=

d

d

d

d

(2.1)

donde F y G representan funciones racionales polinómicas del operador

t d

d, en las que la potenciación de orden n aplicada sobre el operador

representa la derivada de orden n respecto al tiempo. Por simplicidad, sesuele utilizar la notación:




t d

dD =

o, según lo explicado,

n

nn

d

dD

t =

con lo que (2.1) se escribirá:

u(t ) = F (D) i(t )

i(t ) = G(D) u(t )(2.2)

En estas expresiones, el operador F tiene dimensiones de impedancia y eloperador G de admitancia, por lo que se conocen con el nombre deimpedancia operacional y admitancia operacional respectivamente. Para referirse aellos se utilizan casi universalmente las letras Z para la impedancia e Y parala admitancia, con lo que las ecuaciones anteriores quedarían:

u(t ) = Z (D) i(t ) (2.3)

i(t ) = Y (D) u(t ) (2.4)

Para un mismo elemento de circuito se cumple:

( )( )

( )( )D

1D

D

1D

Z Y

Y Z

=

=

2.2 Nuevas Definiciones Topológicas

Circuito Conexo

Se dice de un circuito en el que se puede pasar de un punto a cualquier

otro mediante una línea continua formada por ramas del propio circuito.



Métodos de Análisis de Circuitos 55

Árbol de un circuito

Dado un circuito conexo de n nudos, llamamos árbol a cualquier conjuntode ramas sin lazos que contenga todos los nudos del circuito. Un árbolestá, por lo tanto, formado por n−1 ramas de un circuito.

Eslabón, Enlace, Cuerda

Con relación a un árbol A de un circuito C, un eslabón, enlace o cuerda esuna rama que no pertenece al árbol.

Lazo básico

Con relación a un árbol A de un circuito C, un lazo básico es un lazosimple que contiene un solo eslabón.

Para un árbol dado, cada eslabón determina un lazo básico.

Un circuito conexo formado por n nudos y r ramas contiene

e = c = r −(n−1)

lazos básicos, tantos como eslabones.

Circuito Plano

Es aquél que puede dibujarse sin que se corten las ramas excepto, claroestá, en los nudos.

MallaLa malla se define solamente para un gráfico determinado de un circuitoplano en el que no se crucen sus ramas y, por lo tanto, sólo para circuitosplanos. Para tal circuito una malla es un lazo que no contiene ningún otroen su interior.




Conjunto de Corte

Conjunto de ramas tal que la supresión de todas las ramas que lo formandejaría dividido al circuito en dos partes sin conexión alguna entre sí, perola supresión de cualquier subconjunto del mismo no establecería dichadivisión.

Conjunto de Corte Básico

Conjunto de corte que contiene una sola rama del árbol.

Gráfico reticular

Representación gráfica de un circuito donde a cada nodo se le asocia unpunto y a cada rama un segmento que une los dos nodos (puntos) queforman la rama.

Gráfico reticular orientado

Gráfico reticular en que a cada rama se asocia una referencia de polaridad.

2.3 Cálculo de la Tensión de Rama en Función de las Tensionesde Nudos

Como se comentó en 1.6.2, puede demostrarse que, en un circuito, dadoun conjunto de tensiones de rama que cumplan la 2ª LK, es posibleasignar a cada nudo un valor de una magnitud que se denominará potencialde nudo, tal que la tensión de cualquier rama del circuito se puede calcularcomo la diferencia de los potenciales de los nudos que la definen. Una deestas magnitudes puede escogerse arbitrariamente, pudiendo determinarseel resto a partir de ella y de las tensiones de rama. Lo usual es tomar como valor de referencia el valor cero, con lo que la diferencia de potencial entreun nudo y el de referencia (su tensión) coincide con el valor del potencialdel nudo. Por esta razón, es frecuente hablar de tensiones de nudo en lugar depotenciales de nudo.

2.4 Análisis de Circuitos Lineales

Vamos a plantear cuál va a ser el problema general de análisis de circuitosque vamos a tratar de resolver. Vamos a considerar un circuito con n

nudos y r ramas. En cada rama vamos a considerar dos incógnitas: u e i




(tensión e intensidad). De modo general, cuando nos refiramos a una variable (tensión o intensidad) sin ningún subíndice o sin ningún adjetivoadicional se tratará de una tensión de rama o intensidad de rama . En un cierto

conjunto de ramas del circuito se encuentran fuentes de tensión ointensidad de valores conocidos. La topología y los elementos de cadarama del circuito, con sus correspondientes ecuaciones serán tambiénconocidos.

Vamos a simplificar admitiendo que, para cada rama, conocemos unaecuación que nos relaciona tensión con intensidad. En realidad, situviésemos acoplamientos magnéticos tendríamos subconjuntos de k ramas en las que k ecuaciones nos relacionarían k tensiones con k

intensidades, pero para la cuenta del número total de ecuaciones estehecho no es relevante. Restringiremos nuestro análisis al caso en que todasnuestras ecuaciones son de carácter lineal.

Antes de estudiar cómo resolver este problema vamos a analizar elnúmero de incógnitas y de ecuaciones, para ver si nuestro problema va atener solución o no.

2.4.1 Número de Ecuaciones Independientes en Tensión e

Intensidad

Si por cada rama se consideran 2 incógnitas, u e i, y el circuito tiene r ramas, hay 2r incógnitas.

Aplicando la 1ª LK a cada nudo podemos formular n ecuaciones.

Aplicando la 2ª LK a cada lazo podemos escribir l ecuaciones.

Consideramos, además, por cada rama una ecuación de definición querelaciona u e i.

Nº Total de ecuaciones: n + l + r .

Nº Total de incógnitas: 2r .




Necesitamos 2r ecuaciones independientes entre las n + l + r ¿Tenemostantas? Bastaría ver primero que n + l + r ≥ 2r , es decir, n + l ≥ r .

Sabemos que el número de lazos básicos es

c = r −(n−1)

es decir,

c+n = r +1

y como c ≤ l , entones,

n + l ≥ r + 1

Tenemos suficientes ecuaciones, veamos cuántas son independientes. Paraello vamos a enunciar un conjunto de teoremas, cuya demostración (salvolos dos últimos, para los que se remite al lector a la bibliografía) es sencillaa partir de las leyes de Kirchhoff.

TEOREMA El número máximo de ecuaciones nodales independientes es n−1. Además cada n−1 ecuaciones nodales son independientes.

TEOREMA

Un circuito conexo con r ramas y n nudos tiene c=r −(n−1) lazosbásicos con respecto a cualquier árbol.

TEOREMA

Las ecuaciones formadas aplicando la 2ª LK a cada lazo básico deun árbol son linealmente independientes.

TEOREMA

El número máximo de ecuaciones circulares independientes esr −(n−1) y el número de eslabones es 2r −r −(n−1)=r −(n−1).




TEOREMA

El número de mallas de un circuito conexo plano es m=r −(n−1).

TEOREMALas ecuaciones formadas escribiendo la 2ª LK para cada malla sonlinealmente independientes.

2.4.2 Análisis Mediante Aplicación Directa de las Leyes de

Kirchhoff

Hasta aquí sabemos que tenemos suficientes ecuaciones y sabemoscuántas de ellas son linealmente independientes y también cómoformularlas, pues basta con aplicar la primera ley de Kirchhoff a n−1 nudos del circuito escogidos arbitrariamente, seleccionar un árbol yformular la segunda ley de Kirchhoff para los r −(n−1) lazos básicoscorrespondientes o, si el circuito es plano, formular la segunda ley deKirchhoff para las r −(n−1) mallas del circuito. Escribir estasn−1+r −(n−1)=r ecuaciones junto con las r ecuaciones de rama formandoun conjunto de 2r ecuaciones de las que despejaríamos nuestras 2r incógnitas.

Sería de gran utilidad si pudiésemos resolver nuestras 2r incógnitasplanteando sistemas de ecuaciones más reducidos. Calculando primero unconjunto de p<2r variables, a partir de las cuales pudiésemos resolver elresto de las variables mediante relaciones directas con este conjunto de variables seleccionado.

Vamos a explicar un conjunto de métodos que nos permitirán simplificarel análisis de circuitos según lo que acabamos de decir. Vamos a

explicarlos de modo que no sólo podamos resolver a mano los circuitossino que también sea posible la realización de programas de ordenador quelleven a cabo de forma sistemática esas operaciones que nosotrostendríamos que realizar a mano.

Con este objetivo vamos a definir previamente algunos conceptos ytécnicas que nos permitirán simplificar la una o la otra labor.




2.5 Rama Generalizada

Una manera de sistematizar los cálculos, para su más fácil programaciónen el ordenador, es definir un tipo de elemento único o generalizado decircuito, mediante algún tipo de ecuación que englobe al conjunto de lostipos de elemento de circuito estudiados. Este tipo de elementogeneralizado lo vamos a denominar rama generalizada. Tal y como serepresenta en la figura 2.1, una rama generalizada está formada por unafuente de intensidad i g conectada en paralelo con dos elementosconectados entre sí en serie: una fuente de tensión y una impedancia oadmitancia operacional. La rama generalizada se define,fundamentalmente, para sistematizar las ecuaciones para resolverlas porordenador. Para que esta sistematización sea lo más sencilla posible setrabaja en todas las ramas con la misma referencia de tensión e intensidad,también se admite que en las ramas con bobinas, los signos de la ecuaciónpropia flujo-intensidad de cada bobina ( eii ) son positivos. A cada una delas fuentes de la rama generalizada se le asigna una referencia normalizadaen función de la referencia única de rama. Nosotros trabajaremos conreferencias de las fuentes de la rama generalizada contrarias a la referenciade la rama.

Z (D) ó Y (D)

i g

e g

u

i u' i'

A B

figura 2.1: Rama generalizada

Para escribir las ecuaciones de la rama generalizada escribimos, en primerlugar, las ecuaciones de la impedancia/admitancia:

u' = Z i'

i' = Y u'

(2.5)

Si aplicamos la 2ª LK al lazo que forma la rama entre los nudos A y B y la1ª LK a cualquiera de los nudos A o B, se obtiene:




u = −e g + u'

i = −i g + i'

(2.6)

Sustituyendo (2.5) en (2.6), resultan las ecuaciones

u = −e g + Z (D)i'

i = −i g + Y (D)u'

y sustituyendo los valores de i' y u' en función de los valores de las

fuentes, las ecuaciones de la rama generalizada quedan, por fin:u = −e g + Z (D)[i g +i]

i = −i g + Y (D)[e g +u]

(2.7)

Podemos observar la similitud de estas ecuaciones, de hecho cada unapuede obtenerse de la otra sin más que sustituir tensiones por intensidadese intensidades por tensiones, impedancias por admitancias y admitancias

por impedancias. Esta propiedad se conoce con el nombre de dualidad .

La rama generalizada debe servir, evidentemente, para el caso de ramasque contengan elementos ideales de circuito simples. Para el caso de unelemento pasivo, basta con anular las fuentes. Para una fuente de tensiónhabría que anular la fuente ideal de intensidad y la impedancia de la rama(admitancia infinito) y para una fuente ideal de intensidad habría queanular la fuente de tensión y la admitancia de la rama (impedancia infinito).

2.6 Equivalencia de FuentesSegún el método de análisis de circuitos por el que nos decidamos en uncaso o en otro, puede ser más favorable para la formulación de lasecuaciones la presencia de un tipo de fuentes que la de otro. Es decir, a veces nos conviene tener fuentes de tensión y, en otras ocasiones, fuentesde intensidad. De hecho, la presencia de un tipo u otro de fuentes en elcircuito puede ayudarnos a decidirnos por un método de análisis o porotro.




Cuando ambos tipos de fuentes están presentes simultáneamente, resultaposible simplificar el análisis si somos capaces de formular las ecuacionesdel circuito como si todas las fuentes fuesen del mismo tipo. Esto equivale

a reformular las ecuaciones de las ramas donde aparezcan las fuentes deltipo que no nos interesa y escribirlas como si la fuente allí presente fuesedel tipo que nos interesa. Esta reformulación de las ecuaciones es lo que seconoce como conversión de fuentes .

La conversión de fuentes sólo es posible cuando en la rama dondequeremos realizar la transformación aparece una fuente real de tensión ouna fuente real de intensidad.

La ecuación de rama de una fuente real de tensión como la de la figura 2.2es:

u = e g − Z (D)i (2.8)

La ecuación de rama de una fuente ideal de intensidad como la de lafigura 2.2 es:

i' = i g −

Y' (D)u' (2.9)

e g

i

u

i g

i'

u'

Y' (D)

Z (D)

figura 2.2: Equivalencia entre fuentes reales de tensión e intensidad

Si ambas ecuaciones corresponden a la misma rama, entonces:

i' = i

u' = u

Despejamos, por ejemplo, i en (2.8),




( ) ( ) ( ) ( ) ( )uY eY

Z

u

Z

e

Z

uei g

g g DD

DDD−=−=

−=

y sustituyendo i por i' y u por u',

( ) ( )uY eY i g ′−=′ DD

Comparando esta ecuación con (2.9), obtenemos las condiciones deequivalencia de las fuentes:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

=′

=⇔

=′

=

DD

D

DD

D

Z Z

i Z e

Y Y

eY i g g g g

Es decir, una fuente real de tensión es equivalente a una fuente real deintensidad si el elemento pasivo de la rama es el mismo y el valor de lafuente de tensión y de la fuente de intensidad están relacionados por laecuación correspondiente a ese elemento pasivo en la forma:

( )

( ) g g

g g

i Z e

eY i

D

D

=

=

2.7 Modificación de la Geometría

En el apartado anterior hemos visto cómo es posible transformar fuentesreales de tensión en fuentes reales de intensidad y viceversa, lo que nospermite formular las ecuaciones de análisis de los circuitos en funciónúnicamente de un tipo de fuentes. Sin embargo, hay casos en que no todas

las fuentes que aparecen en los circuitos son fuentes reales. Puede haberramas con fuentes ideales únicamente, y en este caso la transformaciónestudiada no resuelve el problema de transformar las fuentes de un tipo enfuentes del otro tipo.

Una de las posibles soluciones para este tipo de circuitos es realizar,previamente al análisis, una modificación de la geometría del circuito,haciendo desaparecer la rama donde aparece la fuente conflictiva, de modoque las ecuaciones del sistema se sigan cumpliendo. De esta manera,

habríamos eliminado dos incógnitas de nuestro sistema y una ecuación de




rama. Para mantener la determinación del sistema es preciso eliminar unanueva ecuación. Esto se puede realizar haciendo desaparecer un nudo delcircuito o bien haciendo desaparecer un lazo, y debe hacerse de modo que

el resto de las ecuaciones de nudos y lazos del circuito no se alteren.

Empecemos analizando el caso de una fuente ideal de tensión.Supongamos que aparece en la rama i del circuito cuya ecuación es

ui = e g i

que está situada entre los nudos j y k (figura 2.3).

La incógnita ui de la rama i aparece una vez en cada uno de los lazos delos que forme parte la rama i. Sean J=j1, j2, ..., jJ el conjunto de lasramas del circuito distintas de la i que confluyen en el nudo j y K=k 1, k 2,

..., k K el conjunto de las ramas del circuito distintas de la i que confluyenen el nudo k . Todos los lazos de los que forma parte la rama i contienen:una rama del conjunto J, la rama i, una rama del conjunto K y otras ramasdel circuito.

La incógnita ii de la rama i aparece una vez en el nudo j y una vez en elnudo k .

Las ecuaciones circulares en las que aparece ui pueden escribirse, de formageneral:

0

0

lazodelramasrestantes

lK k iJ j

lazodelramasrestantes

lK k iJ j

=+++⇒

⇒=+++

∑

∑

∈∈

∈∈

uueu

uuuu

g

…

La ecuación para el nudo j se podrá escribir

0J j

ji =+ ∑∈

ii

y para el nudo k ,




0K k

k i =+− ∑∈

ii

donde uno de los signos ha de ser negativo, pues la intensidad ii sale de unnudo y entra al otro. Estas dos ecuaciones son equivalentes a

iii ∀=+ ∑∑∈∈

0K k

k

J j

j

Planteemos la siguiente modificación del circuito:

Eliminar la rama i del circuito.

Seleccionar un conjunto de ramas las J o las K e introducir en todasellas una fuente ideal de tensión de valor e g , de forma que aparezcacon el mismo signo en los lazos que formaban estas ramas con la ramai.

Formar con los nudos j y k un único nudo al que confluyen las ramasde los conjuntos J y K .

e g i

j

ii

k e g i

j-k

e g i

e g i

figura 2.3: Modificaciónde la geometría de circuitoque elimina una rama conuna fuente ideal de tensión

Veamos cómo se han modificado las ecuaciones del circuito. Lasecuaciones de lazo no varían ya que la e g i aparece ahora dentro de uno delos sumatorios, y el resto de las tensiones se mantienen. La ecuación delnuevo nudo j−k coincide con la suma de las ecuaciones de los nudos j y k anteriores, por lo que el sistema no se modifica para el resto de las variables, al desaparecer la incógnita ii. Por lo tanto, el nuevo circuito tienedos incógnitas menos y también dos ecuaciones menos, además el resto delas ecuaciones no se ven afectadas, por lo que la solución es la misma. Una




vez resuelto el circuito modificado, como la tensión de la rama i coincidecon la de la fuente y es conocida, no representa en realidad una incógnita.En cuanto a la intensidad de la rama i, su valor se deduce de cualquiera de

las ecuaciones de nudo, la del nudo j o la del nudo k .

Veamos ahora el caso dual, correspondiente a la fuente ideal de intensidad.Mantenemos la notación, pero ahora la variable conocida es i g i en la ramai, situada entre los nudos j y k (figura 2.4). Se selecciona un lazo cualquieradel circuito que contenga la rama i. Supongamos un lazo L formado por lasucesión de nudos J=j, j2, j3, ..., k o, de forma equivalente, las ramasL=l1, l2, ..., li donde li=(ji,ji+1). La 2ª LK aplicada a este lazo nos permiteescribir

ui = ul1+ul2+ ... +uli

j

i g i

k

uiL

j

i g i

k

L

i g i

i g i

i g i

figura 2.4: Modificación de la geometría de circuito que elimina una rama con una fuente ideal de intensidad

Nuestra modificación consiste ahora en suprimir la rama i y, en todas lasramas del lazo L, colocar una fuente de intensidad desde el nudo de salidaal de llegada con la misma referencia que tenía la fuente de intensidadentre los nudos j y k . Geométricamente, todos los lazos que antes secerraban con la rama i se cierran ahora por las ramas L y donde aparecía latensión ui en esos lazos aparece ahora la suma de las tensiones del lazo L,que es igual a ui, por lo que el resto de las ecuaciones de lazo no varían.Las ecuaciones de todos los nudos que forman parte del lazo se mantienenigual que antes. Del nudo j siguen saliendo las mismas intensidades queantes y al nudo k llegan las mismas intensidades que antes. En todos los

nudos intermedios llega por un sentido una intensidad adicional ii que sale




por el sentido contrario, por lo que se mantiene el balance de intensidades.En resumen, hemos suprimido dos incógnitas, ui e ii, y dos ecuaciones, lade la rama i y la del lazo L. El resto de las ecuaciones no se ven afectadas

por estas transformaciones por lo que la solución se mantiene. Paracalcular después la incógnita que resta, ui, (ya que la intensidad ii es enrealidad conocida), basta con usar la ecuación del lazo L.

2.8 Formulación Matricial de las Ecuaciones de Rama

Numeremos las ramas de un circuito de 1 a r y definamos dos vectorescolumna de r componentes formado uno por las tensiones de rama ui, [u] y otro por las intensidades de rama ii, [i].

Imaginemos primero que no hay acoplamientos magnéticos entre ramas.Entonces, para cada rama podemos escribir la ecuación de rama con losparámetros de la rama generalizada según (2.5)

iii

iii

i Z u

uY i

′=′

′=′

que podemos expresar también matricialmente

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]iZu

uYi

′=′

′=′ (2.10)

Donde las matrices [Y] y [Z] son matrices diagonales y, evidentemente,

[ ] [ ] 1−= ZY (2.11)

y se denominan matriz de admitancias de rama o matriz de impedancias de rama .

En el caso de que hubiese acoplamientos magnéticos, ya no podríamosescribir ecuaciones tan simples para cada rama, sino que para cadaconjunto de K ramas acopladas magnéticamente podríamos escribir unarelación matricial entre las tensiones e intensidades de los elementospasivos de cada rama, ecuación que escribiríamos en primer lugar siempre

en función de impedancias, pues es la forma en que sabemos formular la




ley de Faraday para ramas acopladas magnéticamente. Al igual quesuponemos referencias de tensión e intensidad iguales para cada rama,podemos admitir también que las referencias intensidad-flujo de todas las

ramas son positivas ( eii=1 ), con lo que de los coeficientes estudiadosanteriormente sólo quedaría la matriz de terminales correspondientes( bi=1, eij=aij, g ij=aij y g ij=aij ). Si definimos una matriz de inductancias [Lij] yuna matriz de terminales correspondientes [aij] (recordar aii=1, aij=a ji y Lij= L ji ),entonces, entre las ramas pertenecientes al conjunto K se podría escribir larelación entre tensiones e intensidades matricialmente como

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]K K K

K ijijK D

iZu

iu

′=′

′=′ La

donde [Z]K es una matriz cuadrada y simétrica.

Para el conjunto de ramas total, las relaciones (2.10) y (2.11) siguen siendo válidas, pero las matrices [Y] y [Z] ya no son diagonales sino matricesdiagonales por bloques, donde hay bloques unitarios para las ramas sinacoplamientos magnéticos y bloques de distinto orden para los conjuntosde ramas acopladas magnéticamente entre sí, si se tiene el cuidado de

numerar consecutivamente los conjuntos de ramas con acoplamientosmagnéticos entre ellas.

Las fuentes dependientes pueden tratarse como acoplamientos magnéticosasimétricos entre ramas determinadas, pudiendo escribirse las ecuacionesde impedancias o admitancias según el tipo de fuente dependiente de quese trate. Es importante considerar que, mientras no aparezcan fuentesdependientes, las matrices de impedancias y admitancias de rama sonsimétricas.

En cuanto a las tensiones e intensidades de rama en relación con lastensiones e intensidades de los elementos pasivos, en cada una de lasramas generalizadas como la de la figura 2.1, se siguen cumpliendo (2.6),por lo que se puede escribir, también matricialmente

[u] = −[e g ] + [u']

[i] = −[i g ] + [i']




Combinando con (2.10), resulta

[u] = −[e g ] + [Z][i']

[i] = −[i g ] + [Y][u']

y expresando las matrices de intensidades de elementos pasivos en funciónde las intensidades de rama y las intensidades de fuente, e igualmente paralas tensiones resultan las ecuaciones matriciales de rama,

[u] = −[e g ] + [Z] ([i]+[i g ])

[i] = −[i g ] + [Y] ([u]+ [u g ])

(2.12)

que, como vemos, tienen la misma forma que (2.7), pero donde lasimpedancias y admitancias de rama aparecen sustituidas por matrices deadmitancias e impedancias de rama.

e g 1

i g 3 R3

L1

L2

i1=i' 1

i2=i' 2

i3

i' 3

figura 2.5: Circuito del ejemplo 2.1 sinacoplamientos magnéticos

e g 1

i g 3 R3

L1

L2

i1=i' 1

i2=i' 2

i3

i' 3

M

figura 2.6: Circuito del ejemplo 2.1 conacoplamientos magnéticos

ejemplo 2.1

Consideremos el circuito de la figura 2.5, en el que no hayacoplapamientos magnéticos. Se puede escribir

′

′

′

=

′

′

′

3

2

1

3

2

1

3

2

1

00

0D0

00D

i

i

i

R

L

L

u

u

u




+

+

−=

′

′

′

33

2

1

3

2

11

3

2

1

0

0

00

0D0

00D

0

0

g

g

ii

i

i

R

L

Le

u

u

u

Si consideramos, ahora, el circuito con acoplamientos magnéticosde la figura 2.6, se tendría

′

′

′

=

′

′

′

3

2

1

3

2

1

3

2

1

00

0DD

0DD

i

i

i

R

L M

M L

u

u

u

+

+

−=

′

′

′

33

2

1

3

2

11

3

2

1

0

0

00

0DD

0DD

0

0

g

g

ii

i

i

R

L M

M Le

u

u

u

2.9 Métodos con Variables Auxiliares

Vamos a estudiar ahora un conjunto de métodos de análisis de circuitosmediante los cuales se consigue reducir el tamaño de los sistemas deecuaciones por resolver, mediante la utilización de un conjunto de variables auxiliares que guardan una relación conocida con nuestrasincógnitas, que son las tensiones e intensidades de rama.

Las técnicas consisten en tomar un conjunto de variables auxiliares, cuyarelación con nuestras incógnitas es conocida, que por la manera en que seseleccionan y la relación que guardan con las incógnitas del problema,

satisfagan automáticamente la primera o la segunda leyes de Kirchhoff,cuando estas leyes se aplican a conjuntos de corte o lazos escogidos enrelación con las variables auxiliares seleccionadas.

Las distintas variables auxiliares que vamos a tomar son:

Las tensiones de nudo: análisis por nudos.

Las tensiones de conjunto de corte para un árbol dado del circuito:

análisis por conjuntos de corte básicos.




Las intensidades de lazo básico para un árbol dado del circuito: análisispor lazos básicos.

Las intensidades de malla para circuitos planos: análisis por mallas.

2.9.1 Método de Análisis por Nudos

Recordemos lo que entendemos por tensiones de nudo. En un circuito conn+1 nudos, se escoge un nudo como nudo de referencia y al potencial de esenudo se le asigna un valor conocido V 0, por lo general este valor es cero.Usualmente se numeran los nudos de 0 a n asignando el índice 0 al nudotomado como referencia. Como la diferencia de potencial entre dos nudoscualesquiera es independiente del camino que se tome para calcular esa

diferencia, se puede definir para cada nudo una variable que es la tensión denudo, definida como

uni = V i−V 0

y en el caso normal de que V 0=0, resulta uni=V i, es decir, que la tensión denudo es igual al potencial de nudo.

Para cada rama se escribe la tensión de rama en función de la tensión de

los nudos entre los que está situada la rama

ui = un j – unk

si la rama i está situada entre los nudos j y k (La referencia de la rama i vadel nudo j al nudo k ).

Si se definen así las tensiones de rama, puede demostrarse que la 2ª ley deKirchhoff se cumple para cualquier lazo que tomemos en el circuito. Bastacon ver que en un lazo cerrado la tensión de cada nudo aparece siempredos veces, una con signo negativo en la rama que llega al nudo y otra consigno positivo en la rama que sale del nudo, para el sentido de recorridoescogido para el lazo, de forma que el resultado de la suma de todas lastensiones de rama es automáticamente cero.

Hemos seleccionado pues un conjunto de n variables para las cuales no esnecesario plantear la 2ª ley de Kirchhoff y, a partir de las cuales, podemos

calcular las tensiones de rama. Se trata ahora de plantear únicamente la




primera ley de Kirchoff para los n nudos del circuito (excluyendo el dereferencia) para lo cual habrá que escribir esta primera ley en función delas tensiones de nudo en vez de las intensidades de rama. Para hacerlo, se

escribe la 1ª ley para cada uno de los n nudos en función de lasintensidades de rama; las intensidades de rama se ponen en función de lastensiones de rama mediante las ecuaciones de rama y las tensiones derama, por último, se expresan mediante la relación conocida en función delas tensiones de nudo.

Analicemos un ejemplo y, en función de los resultados, veremos cómo esposible plantear a mano el sistema de ecuaciones de las tensiones de nudode forma sistemática.

e g 1

i g 6

R1

R2

R3 R4

R5

R6


e g 1

R1

i g 6

R 1

R2

R3 R4

R5

R6 R1

figura 2.8: Circuito del ejemplo 2.2donde se han sustituido las fuentes

reales de tensión por fuentes reales deintensidad

ejemplo 2.2

Tomemos el circuito de la figura 2.7. Numeramos los nudos 0, 1,2 y 3, donde 0 es el nudo de referencia (La numeración de lasramas corresponde a los subíndices de los elementos de cadarama). Prescindamos, para este análisis, de las referencias de rama.

Cambiamos las fuentes reales de tensión a fuentes reales deintensidad, resultando el circuito equivalente de la figura 2.8.

Planteamos para todos los nudos menos el de referencia la 1ª ley

de Kirchhoff como suma de las intensidades salientes de nudo = 0. De




cada nudo salen intensidades hacia otros nudos. Hay intensidadesque salen por los elementos pasivos de las ramas que unen losnudos correspondientes. En este caso, la intensidad saliente del

nudo j al nudo k es

( ) jk k j

jk

k j

jk Guu R

uui nn

nn −=−

=

Hay intensidades que van de un nudo a otro por ramas confuentes de intensidad, entonces, la intensidad que sale del nudopor las fuentes es directamente la intensidad de la fuente con signo

+ o – , según sea la referencia de la fuente de intensidad respectodel nudo considerado.

e g

Z ,Y

i g

i

u

Zi g -e g

Z ,Y

i

u

Z ,Y

i g -Ye g

i

u figura 2.9: Equivalencias entreramas generalizadas y

fuentes reales detensión o intensidad

Para realizar transformaciones de fuentes puede ser útil laequivalencia de la figura 2.9 entre la rama generalizada y una fuentereal de tensión o de intensidad. Aplicando la primera ley deKirchhoff al circuito de la figura 2.8, según estas reglas, se obtiene

nudo 1:

02

31

3

21

1

1

1

1 =−

+−

++−

R

uu

R

uu

R

u

R

ennnnn g

nudo 2:

04

32

5

2

3

12 =−

++−

R

uu

R

u

R

uu nnnnn




nudo 3:

06

6

3

4

23

2

13 =−+−

+−

g nnnnn i

R

u

R

uu

R

uu

que, reescrita, queda:

=

++−−

−++−

−−++

6

1

1

3

2

1

64242

44533

23321

0

11111

11111

11111

g

g

n

n

n

i

R

e

u

u

u

R R R R R

R R R R R

R R R R R

Ecuación que, de forma simplificada, se escribe

[Yn][un] = [in] (2.13)

con las siguientes denominaciones:

[Yn] matriz de admitancias de nudo

Y nii admitancia propia del nudo i, que es igual a la suma de lasadmitancias de todas las ramas que confluyen en el nudo i

Y nij admitancia de la rama que une el nudo i con el nudo j cambiada de signo. Si el nudo i y el nudo j no están unidos porninguna rama, Y nij=0.

[un] matriz de tensiones de nudo

[in] matriz de intensidades de alimentación de nudo

ini es la suma de todas las intensidades de fuente entrantes alnudo i.




2.9.1.1

Formulación matricial de la topología del circuito

Para programar en un ordenador los métodos de análisis del circuito, esmenester describir de alguna manera la topología del circuito. Para este finse utilizan las matrices de conexión ramas-«otro elemento de circuito» . En el caso delanálisis por nudos, la matriz de conexión se denomina matriz de conexiónramas-nudos , y se construye de la siguiente manera. Es una matriz r ×n, (elcircuito tiene n+1 nudos, pues el nudo de referencia no se toma enconsideración para escribir la matriz de conexión). A cada rama delcircuito le corresponde una fila. Si consideramos la rama i situada entre losnudos j y k , la fila i de la matriz de conexión tendrá todos los elementosnulos menos los de las columnas j y k . El elemento de la columna j será

igual a +1 si la referencia de la rama i sale del nudo j y –1 si la refencia dela rama i entra al nudo j. Lo mismo puede decirse del elemento de lacolumna k de la fila i. En resumen, y llamando a la matriz de conexión[A]=[aij] se tiene

aij=1 si la rama i sale del nudo j.

aij=−1 si la rama i entra al nudo j.

aij=0

si la ramai no confluye al nudo

j.

Si una rama une un nudo con el de referencia, en la fila correspondiente, elúnico elemento no nulo es el correspondiente al nudo distinto del dereferencia, con la misma convención explicada.

Esta definición de la matriz de conexión nos permite formular la 1ª y la 2ªleyes de Kirchhoff para el circuito en forma matricial. La primera Ley deKirchhoff, escrita como la suma de todas las intensidades de rama quesalen de todos los nudos igual a cero, se formula matricialmente como

[A]T

n×r [i]r = [0]n

donde, para mayor claridad, hemos señalado la dimensión de cada una delas matrices con subíndices. [A]

T es la transpuesta de la matriz deconexión ramas-nudos. [i] es la matriz de intensidades de rama y [0] es un vector columna de dimensión n (una ecuación para cada nudo) con todoslos elementos nulos.




La segunda Ley de Kirchhoff se formula de una manera especial. Paraescribirla ponemos las tensiones de rama en función de las tensiones denudo, con lo que, como ya sabemos, las tensiones de rama cumplirán

automáticamente la segunda Ley de Kirchhoff. Para expresar las tensionesde rama en función de las tensiones de nudo podemos utilizar de nuevo lamatriz de conexión ramas-nudos, escribiendo,

[A]r ×n [un]n = [u]r

donde [un] es la matriz de tensiones de nudo y [u] es la matriz detensiones de rama.

Con ayuda de las dos Leyes de Kirchhoff podemos transformar lasecuaciones de rama del circuito que, según sabemos, pueden escribirsematricialmente como

[i] = −[i g ] + [Y] ([u]+[e g ])

Para ello, multiplicamos ambos miembros por la izquierda por [A]T,

resultando

[A]T[i] = [A]T (−[i g ] + [Y] ([u]+[e g ]))

El primer miembro es cero por aplicación de la primera Ley de Kirchhoffy el segundo podemos desarrollarlo, quedando

[0] = −[A]T[i g ] + [A]T [Y] [u] + [A]T [Y] [e g ]

Ahora podemos aprovechar la 2ª LK para expresar las tensiones de rama

[u] en función de las tensiones de nudo [un], obteniéndose,

[0] = −[A]T[i g ] + [A]

T [Y] [A] [un] + [A]

T [Y] [e g ]

y despejando las tensiones de nudo, resulta

[A]T [Y] [A] [un] = [A]

T([i g ]−[Y][e g ]) (2.14)

que coincide con (2.13) si identificamos los términos




[Yn] = [A]T [Y] [A] matriz de admitancias de nudo

[in] = [A]T ([i g ]−[Y][e g ]) matriz de intensidades de alimentación de nudo

Para plantear las ecuaciones de análisis por nudos matricialmente, comoacabamos de ver, no es preciso realizar la conversión de fuentes, ya queésta se realiza automáticamente en la ecuación de la rama generalizada almultiplicar por la matriz de admitancias de rama.

Para escribir las ecuaciones de análisis por nudos es preciso conocer lamatriz de admitancias de rama, lo cual, en el caso de circuitos conacoplamientos magnéticos o fuentes de tensión dependientes deintensidad, exige escribir primero la matriz de impedancias de rama einvertirla.

ejemplo 2.3

Para el circuito de la figura 2.7, la escritura matricial de lasecuaciones nos da

[ ] [ ]

[ ]

=

−−−

−

−

=⇔

−

−

−−

−

=

6

5

4

3

2

1

T

/100000

0/10000

00/1000

000/100

0000/10

00000/1

101010

011100

000111

100

010

110

011

101

001

R

R

R

R

R

R

Y

AA

Los productos de matrices nos proporcionan el mismo sistema deecuaciones que obtuvimos al escribir las ecuaciones directamente.




2.9.2 Método de Análisis por Conjuntos de Corte Básicos

Este método es completamente similar al método de análisis por nudospero en vez de trabajar con las tensiones de nudo como variables auxiliarestrabaja con las tensiones de corte o tensiones de conjunto de corte de unárbol dado del circuito como variables auxiliares. El modo de proceder esel siguiente.

Se toma un árbol A del circuito, que estará formado, como ya sabemos,por n ramas si el circuito tiene n+1 nudos. El circuito tiene ya asociado unconjunto de referencias de rama. Se numeran las ramas del árbol de 1 a n.Se denomina como tensión de corte uci del circuito con respecto al árbol A, a

la tensión de la rama i del árbol.

Al igual que ocurre en el análisis por nudos, es posible expresar todas lastensiones de rama en función de tensiones del conjunto de corte. Para lasramas del árbol, la tensión de rama es evidentemente igual a la tensión decorte de esa rama. Por ello, resulta apropiado renumerar las ramas delcircuito de modo que los números de las ramas del árbol coincidan con losnúmeros absolutos de las ramas correspondientes. De esta forma,podemos escribir ui=uci para i entre 1 y n. Las ramas que no son del árbol,

o eslabones, forman con las ramas del árbol un lazo básico y su tensiónpuede obtenerse en función de las tensiones de las ramas del árbol, otensiones de corte , aplicando la 2ª ley de Kirchhoff al lazo básicocorrespondiente.

Las tensiones de rama expresadas así en función de las tensiones de cortecumplen automáticamente la 2ª ley de Kirchhoff, como ocurría en elanálisis por nudos. De este modo, sólo es necesario plantear las ecuacionesde la 1ª ley de Kirchhoff a los n conjuntos de corte y utilizar las ecuaciones

de rama para resolver el circuito. Esto se hace expresando las intensidadesde rama en función de las tensiones de corte y sustituyendo en lasecuaciones de la 1ª LK. Así, resulta un sistema de n ecuaciones con lastensiones de corte como incógnitas.

ejemplo 2.4

Volvamos al circuito de la figura 2.7 que usamos en el análisis pornudos y definamos el árbol de la figura 2.10. Tomamos como




árbol las ramas 1, 2 y 3, con lo que no es preciso renumerar,resultando los conjuntos de corte que allí se indican con sustensiones de corte correspondientes: uc1=u1, uc2=u2, uc3=u3. Al

igual que en el análisis por nudos, pasamos previamente las fuentesreales de tensión a fuentes reales de intensidad.

e g 1

R1

i g 6

R 1

R2

R3 R4

R5

R6 R1

figura 2.10: Circuito de la figura2.7 en el que se han sustituido las fuentes reales de tensión por fuentesde intensidad y se ha indicado unárbol y los conjuntos de cortecorrespondientes y sus referencias

Como este es un circuito muy sencillo, los conjuntos de cortecoinciden con nudos del circuito, pero en el caso general esto notiene por qué ser así. Expresamos las tensiones de rama de loseslabones en función de las tensiones de corte:

u5 = −uc3−uc1

u4 = −uc3+uc2

u6 = uc1+uc2

Definimos como salir de un conjunto de corte a tener la misma referenciarespecto del conjunto de corte que la tensión de corte y escribimos para los

tres conjuntos de corte la 1ª ley de Kirchhoff como suma de lasintensidades salientes del conjunto de corte igual a cero.

Conjunto de corte 1:

06

6

21

5

31

1

1

1

1 =++

++

++ g cccc g c i

R

uu

R

uu

R

e

R

u





06

6

21

4

23

2

2 =++

++−

+ g ccccc i

R

uu

R

uu

R

u


04

32

5

31

3

3 =+−

++

+ R

uu

R

uu

R

u ccccc

que, reformulando, puede escribirse como

−

−−

=

++−

−++

++

011111

11111

11111

6

1

16

3

2

1

54345

46426

56651

g

g g

c

c

c

i

R

ei

u

u

u

R R R R R

R R R R R

R R R R R

Ecuación que, de forma simplificada, se escribe

[Yc][uc] = [ic] (2.15)


[Yc] matriz de admitancias de conjuntos de corte básicos

Y cii admitancia propia del conjunto de corte i, que es igual a la sumade las admitancias de todas las ramas que forman parte del

conjunto de corte i.Y cij admitancia mutua entre los conjuntos de corte i y j, que es la sumade las admitancias de las ramas que unen el conjunto de corte i con el conjunto de corte j con signo + si la rama entra a o salede ambos conjuntos de corte y signo – si la rama entra a unconjunto de corte y sale del otro (recordar salir = tener la mismareferencia que la tensión de corte ). Si el conjunto de corte i y elconjunto de corte j no están unidos por ninguna rama, Y cij=0.

Según estas reglas, la matriz es claramente simétrica.




[uc] matriz de tensiones de corte

[ic] matriz de intensidades de alimentación de conjuntos de corte

ici es la suma de todas las intensidades de fuente entrantes alconjunto de corte i (recordar entrar = tener referencia contraria a latensión de corte ).

2.9.2.1

Formulación matricial de las ecuaciones

Al igual que en el método de análisis por nudos, es posible plantear las

ecuaciones matricialmente partiendo de una matriz de conexión ramas- conjuntos de corte que será una matriz r ×n (si el circuito tiene n+1 nudos).

Si consideramos la rama i situada entre los conjuntos de corte i y j, la fila i de la matriz de conexión tendrá todos los elementos nulos menos los delas columnas j y k . El elemento de la columna j será igual a +1 si lareferencia de la rama i sale del conjunto de corte j y –1 si la refencia de la rama i entra al conjunto de corte j. Lo mismo puede decirse del elemento de lacolumna k de la fila i. En resumen, y llamando a la matriz de conexión[Q]=[qij], se tiene

qij=1 si la rama i sale del conjunto de corte j

qij=−1 si la rama i entra al conjunto de corte j

qij=0 si la rama i no pertenece al conjunto de corte j

Esta definición de la matriz de conexión nos permite formular la 1ª y la 2ª

ley de Kirchhoff para el circuito en forma matricial. La primera Ley deKirchhoff escrita como la suma de todas las intensidades de rama quesalen de todos los nudos igual a cero, se formula matricialmente como:

[Q]T

n×r [i]r = [0]n

donde, para mayor claridad, hemos señalado la dimensión de cada una delas matrices como subíndices. [Q]

T es la transpuesta de la matriz deconexión ramas-conjuntos de corte. [i] es la matriz de intensidades de




rama y [0] es un vector columna de dimensión n (una ecuación para cadaconjunto de corte) con todos los elementos nulos.

La segunda Ley de Kirchhoff se formula de una manera especial. Paraescribirla ponemos las tensiones de rama en función de las tensiones deconjunto de corte, con lo que, como ya sabemos, las tensiones de ramacumplirán automáticamente la segunda Ley de Kirchhoff. Para expresar lastesiones de rama en función de las tensiones de conjuntos de cortepodemos utilizar de nuevo la matriz de conexión ramas-conjuntos de corteescribiendo

[Q]r ×n [uc]n = [u]r

donde [uc] es la matriz de tensiones de corte y [u] es la matriz detensiones de rama.


[i] = −[i g ] + [Y] ([u]+[e g ])

Para ello, multiplicamos ambos miembros a la izquierda por [Q]T,resultando

[Q]T[i] = [Q]T (−[i g ] + [Y] ([u]+[e g ]))

El primer miembro es cero por aplicación de la primera Ley de Kirchhoffy el segundo podemos desarrollarlo quedando

[0] = −[Q]T[i g ] + [Q]T [Y] [u] + [Q]T [Y] [e g ]

Ahora podemos aprovechar la 2ª LK para expresar las tensiones de rama[u] en función de las tensiones de corte [uc], obteniéndose

[0] = −[Q]T [i g ] + [Q]

T [Y] [Q] [uc] + [Q]

T [Y] [e g ]

y despejando las tensiones de corte, resulta




[Q]T [Y] [Q] [uc] = [Q]T ([i g ]−[Y][e g ]) (2.16)


[Yc] = [Q]T [Y] [Q] matriz de admitancias de conjuntos de corte

[ic] = [Q]T ([i g ]−[Y][e g ]) matriz de intensidades de alimentación de conjuntos

de corte

Se pueden hacer aquí las mismas observaciones que en el análisis pornudos respecto a la matriz de admitancias de rama.

ejemplo 2.5Para el circuito de la figura 2.7, la escritura matricial de lasecuaciones nos da

[ ] [ ]

[ ]

=

−

−−

−−

=⇔

−−

−−−

=

6

5

4

3

2

1

T

/100000

0/10000

00/1000

000/100

0000/10

00000/1

011100

101010

110001

011

101110

100

010

001

R

R

R

R

R

R

Y

QQ

Observar cómo, con la numeración escogida de las ramas delárbol, una submatriz de la matriz de conexión es siempre la matrizidentidad.





2.9.3 Método de Análisis por Lazos BásicosHasta aquí hemos tomado como variables auxiliares tensiones. Es posibleuna formulación dual de los métodos presentados, tomando como variables auxiliares intensidades.

Comencemos por el método dual del método de conjuntos de cortebásicos. Se trata del método de lazos básicos y consiste en lo siguiente.Cada eslabón de un árbol A de un circuito determina un lazo básico. Hasta

un total de r −n lazos básicos en un circuito conexo con n+1 nudos. Acada eslabón y, por tanto, a cada lazo básico se le asigna una intensidad delazo que circula por todas las ramas del lazo en un sentido dado. Elsentido de circulación de la intensidad de lazo por el lazo básico se escogede modo que coincida con la referencia de intensidad del eslabón. Estasintensidades de lazo básico serán las nuevas variables de nuestro sistema.Para ello, formulamos la intensidad de cada rama de circuito como sumade todas las intensidades de lazo básico que pasan por ella. Si se definen asílas intensidades (en modo análogo a como ocurría en los métodos

anteriores al formular las tensiones de rama en función de las tensiones denudo o de las tensiones de corte), se puede comprobar que la primera leyde Kirchhoff se cumple automáticamente para todos los nudos o todos losconjuntos de corte básicos. Para ello, basta con ver que todas las ramasque confluyen en un nudo, o bien forman parte de uno o más lazos o, sino, son ramas sueltas. Si forman parte de un lazo en el nudo confluyendos ramas del lazo, las intensidades de esas ramas tendrán ambas comocomponente la intensidad del lazo, pero una como entrante y otra comosaliente, resultando, por lo tanto, la suma de todas las intensidades que

pertenecen a algún lazo cero. Si en el nudo confluye alguna rama que noforma parte de ningún lazo, es que esa rama está en un camino abierto delcircuito y, por lo tanto, forma parte del árbol pero no forma parte deningún lazo. Al no formar parte de ningún lazo no tiene componente deninguna de las intensidades de lazo básico ya que, si forma parte del árbol,no es un eslabón y tampoco define ella misma ninguna intensidad de lazo.Si tomamos el conjunto de corte básico correspondiente a esa rama, sóloella pertenecerá a ese conjunto de corte, puesto que no forma lazo conninguna otra rama y, por lo tanto, al aplicar la 1ª LK a ese conjunto de

corte se obtiene que esa intensidad tiene que ser nula. En consecuencia,




tanto la suma de las intensidades de las ramas que forman parte de lazoscomo las de aquellas que no forman parte de lazos son cero, luego, secumple la primera ley de Kirchhoff automáticamente.

Mediante las ecuaciones de rama podemos poner las tensiones de rama enfunción de las intensidades de rama y, a través de ellas, en función de lasintensidades de lazo básico, quedándonos únicamente las r −n incógnitasde estas intensidades de lazo básico y, faltando por aplicar únicamente la 2ªley de Kirchhoff a los r −n lazos básicos del circuito, tenemos tantasecuaciones como incógnitas y podemos resolver nuestro sistema.

Se trata, pues, de seleccionar un árbol, determinar los lazos básicos y

aplicar a estos lazos básicos la segunda ley de Kirchhoff expresando lascaídas de tensión en función de las intensidades de lazo básico a través delas ecuaciones de rama.

Vamos a ver cómo podemos proceder a mano sistemáticamente paraformular estas ecuaciones con el ejemplo que ya conocemos. Tomamos elmismo árbol que ya habíamos tomado para el análisis por conjuntos decorte básicos y marcamos en él los eslabones.

Si en el análisis con tensiones era menester transformar las fuentes afuentes de intensidad, en el análisis con intensidades es recomendabletransformar las fuentes a fuentes de tensión.

e g 1

R1

R3 R4

R5 R6

R6 i g 6

R2

figura 2.11: Circuito de la figura2.7 en el que se han sustituido las fuentes reales de intensidad por fuentes de tensión y se han indicadotres lazos básicos




ejemplo 2.6

En la figura 2.11 se representa el circuito de la figura 2.7 en el quese han transformado las fuentes en fuentes de tensión.

En cada uno de los lazos se aplica la 2ª LK sumando las caídas detensión rama a rama en el sentido fijado por la rama eslabón yconsiderando en los elementos pasivos como intensidad queprovoca la caída de tensión la suma de todas las intensidades delazo que circulan por esa rama (considerándolas positivas cuandoel sentido coincide con el del lazo que se está analizando ynegativas cuando es contrario a él).

Lazo 1:

( ) 0)( 23132141 =++++ Rii Rii Ri l l l l l

Lazo 2:

( ) ( ) 0131213252 =−++−+ g l l l l l e Rii Rii Ri

Lazo 3:( ) ( ) 011232136663 =+−+++− g l l l l g l e Rii Riii R Ri

que puede escribirse en forma matricial como

−

=

++−

−++

++

166

1

3

2

1

62112

15313

23324 0

g g

g

l

l

l

ei R

e

i

i

i

R R R R R

R R R R R

R R R R R

Ecuación que, de forma simplificada, puede formularse

[Zl ][il ] = [el ] (2.17)

con las siguientes denominaciones




[Zl ] matriz de impedancias de lazo básico

Z l ii impedancia propia del lazo básico i, que es igual a la suma de las

impedancias de todas las ramas que forman parte del lazo i. Z l ij impedancia mutua entre el lazo básico i y el j, que es la suma delas impedancias de las ramas que forman parte de ambos lazos.Con signo + si la referencia de ambos lazos coinciden en larama y con signo – si las referencias de ambos lazos se oponenen la rama en cuestión. Si ninguna rama es común a amboslazos, Z l ij=0. Según estas reglas, la matriz es claramentesimétrica mientras no aparezcan fuentes dependientes u otro

tipo de elementos asimétricos.[il ] matriz de intensidades de lazo básico

[el ] matriz de tensiones de alimentación de lazo básico

el i es positiva si el sentido de recorrido del lazo sale por la cruzy negativa si el sentido de recorrido del lazo entra por la cruz.

2.9.3.1 Formulación matricial de las ecuaciones

Al igual que en los métodos anteriores, es posible plantear las ecuacionesmatricialmente partiendo de una matriz de conexión ramas-lazos básicos queserá una matriz r ×(r −n) (si el circuito tiene n+1 nudos).

Si consideramos la rama i que pertenece al lazo básico j, el elemento (i,j) de la matriz de conexión valdrá +1 si la referencia de la rama coincide conel sentido de recorrido del lazo y –1 si tiene sentido contrario. Si la rama i no forma parte del lazo j, entonces, el elemento (i,j) valdrá 0. En resumen,

llamando a la matriz de conexión [B]=[bij] se tiene

bij=1 si la rama i está en el lazo básico j y sus referencias coinciden.

bij=−1 si la rama i está en el lazo básico j y sus referencias soncontrarias.

bij=0 si la rama i no está en el lazo básico j.




Esta definición de la matriz de conexión nos permite formular la 1ª y la 2ªleyes de Kirchhoff para el circuito en forma matricial. La segunda Ley deKirchhoff escrita matricialmente como suma de todas las tensiones en el

sentido de recorrido del lazo igual a cero se formula matricialmente como

[B]T

(r −n)×r [u]r = [0]r −n

donde, para mayor claridad, hemos señalado la dimensión de cada una delas matrices como subíndices. [B]T es la transpuesta de la matriz deconexión ramas-lazos básicos. [u] es la matriz de tensiones de rama y [0] es un vector columna de dimensión r −n (una ecuación para cada lazobásico) con todos los elementos nulos.

La primera Ley de Kirchhoff es la que se formula ahora de forma especial.En este caso ponemos las intensidades de rama en función de lasintensidades de lazo básico, con lo que, según se ha explicado, lasintensidades de rama cumplirán automáticamente la primera ley deKirchhoff. Para ello podemos utilizar la matriz de conexión ramas-lazosbásicos, escribiendo

[B]r ×(n−r ) [il ](n−r ) = [i]r

donde [il ] es la matriz de intensidades de lazo básico e [i] es la matriz detensiones de rama.


[u] = −[e g ] + [Z] ([i]+[i g ])

Para ello multiplicamos ambos miembros a la izquierda por [B]T,

resultando

[B]T [u] = [B]

T (−[e g ] + [Z] ([i]+[i g ]))

El primer miembro es cero por aplicación de la segunda Ley de Kirchhoffy el segundo podemos desarrollarlo, quedando




[0] = −[B]T [e g ] + [B]

T [Z] [i] + [B]

T [Z] [i g ]

Ahora podemos aprovechar la 1ª LK para expresar las intensidades de

rama [i] en función de las intensidades de lazo básico, obteniéndose

[0] = −[B]T [e g ] + [B]

T [Z] [B] [il ] + [B]

T [Z] [i g ]

y despejando las intensidades de lazo básico, resulta,

[B]T [Z] [B] [il ] = [B]

T([e g ]−[Z][i g ])


[Zl ] = [B]T [Z] [B] matriz de impedancias de lazo básico

[el ] = [B]T ([e g ]−[Z][i g ]) matriz de tensiones de alimentación de lazo básico

Al igual que ocurría con los métodos de análisis anteriores, si lasecuaciones se formulan matricialmente no es necesario convertirpreviamente las fuentes de intensidad en fuentes de tensión.

ejemplo 2.7


[ ] [ ]

−−

−

=⇔

−−

−

=

100011

010101

001110

100

010

001

011

101

110

TBB




[ ]

=

6

5

4

3

2

1

00000

00000

0000000000

00000

00000

R

R

R R

R

R

Z

Observar cómo con la numeración escogida de las ramas del árboluna submatriz de la matriz de conexión es siempre la matrizidentidad y cómo ésta aparece en la zona complementaria de la

matriz de conexión ramas-conjuntos de corte básicos.


2.9.4 Método de Análisis por Mallas

Vamos a presentar ahora un método similar al método de lazos básicos,pero cuya aplicación se restringe al caso de circuitos planos. Se trata del

método de análisis por mallas.

Ahora no es preciso seleccionar un árbol, sino que se toman las r −n mallasdel circuito (supuesto conexo y con n+1 nudos), de modo similar almétodo de lazos básicos se asigna a cada malla una intensidad de malla . Laintensidades de rama se formulan como la suma de todas las intensidadesde malla que atraviesan la rama. De esta forma, la primera ley de Kirchhoffse cumple automáticamente para todos los nudos.

Mediante las ecuaciones de rama podemos poner las tensiones de rama enfunción de las intensidades de rama y, a través de ellas, en función de lasintensidades de malla, quedándonos únicamente las r −n incógnitascorrespondientes a las intensidades de malla y faltando por aplicarúnicamente la 2ª ley de Kirchhoff a las r −n mallas del circuito tenemostantas ecuaciones como incógnitas y podemos resolver nuestro sistema.




Se trata, pues, de aplicar la segunda ley de Kirchhoff a todas las mallas deun circuitio plano expresando las caídas de tensión en función de lasintensidades de malla, a través de las ecuaciones de rama.

Vamos a ver cómo podemos proceder a mano sistemáticamente paraformular estas ecuaciones con el ejemplo que ya conocemos.

Al igual que en el análisis por lazos básicos, es recomendable transformarlas fuentes de intensidad a fuentes de tensión.

e g 1

R1

R2

R3 R4

R6 i g 6 R5

R6

figura 2.12: Circuito de la figura2.7 en el que se han sustituido las fuentes reales de intensidad por fuentes de tensión y se han indicadotres mallas

ejemplo 2.8

En la figura 2.12 se representa el circuito de la figura 2.7 en el quese han transformado las fuentes en fuentes de tensión.

En cada una de las mallas se aplica la 2ª LK sumando las caídas detensión rama a rama en un sentido dado escogido libremente paracada malla. Si todos los sentidos se escogen iguales (el mismo o elcontrario al de las agujas del reloj) los signos de todos loselementos no diagonales son negativos, si no, los signos de cada

uno de los elementos no diagonales de la matriz del sistema,dependerán de entre qué mallas se encuentre y cómo sean lossentidos relativos de esas mallas. Se considera en cada uno de loselementos pasivos como intensidad que provoca la caída detensión la suma de todas las intensidades de malla que circulan poresa rama (considerándolas positivas cuando el sentido coincidecon el de la malla que se está analizando y negativas cuando escontrario a él).




Malla 1:

( ) 0)( 43132121 =−+−+ Rii Rii Ri mmmmm

Malla 2:

( ) ( ) 0153231212 =+−+−+ g mmmmm e Rii Rii Ri

Malla 3:

( ) ( ) 05234136663 =−+−+− Rii Riii R Ri mmmm g m

que puede escribirse en forma matricial como

−=

++−

−++−

−−++

66

1

3

2

1

65456

55313

43324 0

g

g

l

l

l

i R

e

i

i

i

R R R R R

R R R R R

R R R R R

Ecuación que, de forma simplificada, puede formularse

[Zm][im] = [em] (2.18)


[Zm] matriz de impedancias de malla

Z mii impedancia propia de la malla i, que es igual a la suma de lasimpedancias de todas las ramas que forman parte de la malla i.

Z mij impedancia mutua entre las mallas i y j, que es la suma de lasimpedancias de las ramas que forman parte de ambas mallas.Con signo + si las referencias de ambas mallas coinciden en larama y con signo – si las referencias de ambas mallas seoponen en la rama en cuestión. Si ninguna rama es común aambas mallas, Z mij=0. Según estas reglas, la matriz esclaramente simétrica, mientras no aparezcan fuentesdependientes u otro tipo de elementos asimétricos.




[im] matriz de intensidades de malla

[em] matriz de tensiones de alimentación de malla

emi es positiva si el sentido de recorrido de la malla sale por lacruz y negativa si el sentido de recorrido de la malla entra porla cruz.

2.9.4.1

Formulación matricial de las ecuaciones:

Al igual que en los métodos anteriores es posible plantear las ecuacionesmatricialmente partiendo de una matriz de conexión ramas-mallas que será unamatriz r ×(r −n) (si el circuito tiene n+1 nudos).

Si consideramos la rama i que pertenece a la malla j el elemento (i,j) de lamatriz de conexión valdrá +1 si la referencia de la rama coincide con elsentido de recorrido de la malla y –1 si tiene sentido contrario. Si la rama i no forma parte de la malla j, entonces, el elemento (i,j) valdrá 0. Enresumen, llamando a la matriz de conexión [C]=[cij], se tiene

cij=1 si la rama i está en la malla j y sus referencias coinciden.

cij=−1 si la rama i está en la malla j y sus referencias son contrarias.

cij=0 si la rama i no está en el lazo básico j.

Esta definición de la matriz de conexión nos permite formular la 1ª y la 2ªleyes de Kirchhoff para el circuito en forma matricial. La segunda Ley deKirchhoff escrita matricialmente como suma de todas las tensiones en elsentido de recorrido del lazo igual a cero se formula matricialmente como

[C]T

(r −

n)×r [u]

r = [0]

r −

n

Donde para mayor claridad hemos señalado la dimensión de cada una delas matrices como subíndices. [C]

T es la transpuesta de la matriz deconexión ramas-mallas. [u] es la matriz de intensidades de rama y [0] esun vector columna de dimensión r −n (una ecuación para cada malla) contodos los elementos nulos.

La primera Ley de Kirchhoff se formula de forma análoga a lo hecho en el

caso de los lazos básicos. En este caso ponemos las intensidades de rama




en función de las intensidades de malla, con lo que, según se ha explicado,las intensidades de rama cumplirán automáticamente la primera ley deKirchhoff. Para ello podemos utilizar la matriz de conexión ramas-mallas,

escribiendo

[C]r ×(n−r ) [im](n−r ) = [i]r

donde [im] es la matriz de intensidades de malla y [i] es la matriz detensiones de rama.

Con ayuda de las dos Leyes de Kirchhoff podemos transformar lasecuaciones de rama del circuito que, según sabemos, pueden escribirse

matricialmente como

[u] = −[e g ] + [Z] ([i]+[i g ])

Para ello multiplicamos ambos miembros a la izquierda por [C]T,

resultando

[C]T [u] = [C]T (−[e g ] + [Z] ([i]+[i g ]))

El primer miembro es cero por aplicación de la segunda Ley de Kirchhoffy el segundo podemos desarrollarlo, quedando

[0] = −[C]T [e g ] + [C]T [Z] [i] + [C]T [Z] [i g ]

Ahora podemos aprovechar la 1ª LK para expresar las intensidades derama [i] en función de las intensidades de lazo básico, obteniéndose

[0] = −[C]T

[e g ] + [C]T

[Z] [C] [im] + [C]T

[Z] [i g ]

y despejando las intensidades de lazo básico, resulta

[C]T [Z] [C] [im] = [C]

T([e g ]−[Z][i g ])

que coincide con (2.18), si identificamos los términos,

[Zm] = [C]T [Z] [C] matriz de impedancias de malla




[em] = [C]T ([e g ]−[Z][i g ]) matriz de tensiones de alimentación de malla

Al igual que ocurría con los métodos de análisis anteriores, si lasecuaciones se formulan matricialmente no es necesario convertirpreviamente las fuentes de intensidad a fuentes de tensión.

ejemplo 2.9


[ ] [ ]

−

−−−

−

=⇔

−

−

−−

−

=

111000

011101

001110

100

110

111

011

001

010

TCC

[ ]

=

6

5

4

3

2

1

00000

00000

00000

00000

00000

00000

R

R

R

R

R

R

Z

Los productos de matrices nos proporcionan el mismo sistema de

ecuaciones que obtuvimos al escribir las ecuaciones directamente.

e g 1

i1 R1 L2

L3

i3

i4

R4

M

i2

m2

m1

figura 2.13: Circuito del ejemplo2.10 con ramas acopladasmagnéticamente




ejemplo 2.10

Si escribimos matricialmente las ecuaciones para el circuito de lafigura 2.13, obtenemos

[ ]

[ ]

[ ]

=

−=

=

4

3

2

1

1

000

0DD0

0DD0

000

10

11

01

01

0

R

L M

M L

R

e g

m

Z

C

e

[ ]

( ) ( )

( ) ( )( )

++−

+−+++

=

−

−−

++=

=

−

−=

433

3321

43

321

4

3

2

1

DD

DD2

10

11

01

01

DD0

0DD

10

1101

01

000

0DD00DD0

000

11000111

R L L M

L M M L L R

R L M

L M M L R

R

L M M L

R

m

…

…Z

para escribir las ecuaciones directamente, al escribir la caída detensión de una rama con acoplamientos magnéticos hay que teneren cuenta la caída de tensión debida a los acoplamientosmagnéticos con otras ramas, considerando no las referencias de las




ramas, sino las de las mallas respecto a los puntos, para determinarlos signos.

2.10 Asociaciones de ElementosEn muchas ocasiones es posible agrupar un conjunto de ramas formandouna única rama, simplificando de esta forma notablemente la dificultad delanálisis del circuito. Después de analizado el circuito global, puedendeducirse los valores de las variables de cada uno de los elementos de larama agrupada, de forma sencilla a partir de las magnitudes globales.

2.10.1 Asociación Serie: Divisor de Tensión

Decimos que un conjunto de ramas forma una agrupación de elementosen serie cuando la intensidad que los atraviesa entra por una de las ramas ycircula por todas ellas sin poder ramificarse por ningún sitio, saliendo conla misma magnitud por la última de ellas.

u

i Z 1 Z 2 Z 3 Z n-1 Z n

i1 i2 i3 in-1 in

u1 u2 u3un-1 un

figura 2.14: Divisorde tensión

La relación entre la tensión de cada rama y la intensidad es

ui = Z i ii

ii = i

ui = Z i i

La tensión total es

∑∑∑===

− ===++++=nnn

nn Z ii Z uuuuuu1i

i

1i

i

1i

i121 …




es decir, podemos definir un elemento único o equivalente caracterizadopor una impedancia

∑=

=n

eq Z Z 1i

i

con la ecuación

u = Z eq i

Si se conoce la tensión total del grupo de ramas, la tensión de cada una de

las ramas componentes se puede calcular como

∑=

====n

eqeq Z

Z uu

Z

Z

Z

u Z i Z u

1k

k

iiiii

(2.19)

que es la fórmula de un divisor de tensión.

Hay que tener en cuenta que todas estas fórmulas sólo son válidas para lasreferencias de la figura 2.14 (todas las tensiones e intensidades en el mismosentido). En otro caso sería preciso cambiar los signos correspondientes.

2.10.2 Asociación Paralelo: Divisor de Intensidad

Decimos que un conjunto de ramas forma una agrupación de elementosen paralelo cuando todas están sometidas a la misma tensión y situadasentre los mismos nudos.

u

i

Y 1 Y 2 Y 3 Y n-1 Y n

i1 i2 i3 in-1in

u1 u2 u3un-1 un figura 2.15: Divisor

de intensidad

La relación entre la tensión de cada rama y la intensidad es

ii = Y i ui




ui = u

ii = Y i u

La intensidad total es

∑∑∑===

− ===++++=nnn

nn Y uuY iiiiii1i

i

1i

i

1i

i121 …

es decir, podemos definir un elemento único o equivalente caracterizadopor una admitancia

∑=

=n

eq Y Y 1i

i

con la ecuación

i = Y eq u

Si se conoce la intensidad total del grupo de ramas, la intensidad de cadauna de las ramas componentes se puede calcular como

∑=

====n

eqeq Y

Y ii

Y

Y

Y

iY uY i

1k

k

iiiii

(2.20)

que es la fórmula de un divisor de intensidad.

Hay que tener en cuenta que todas estas fórmulas sólo con válidas para lasreferencias de la figura 2.15 (todas las tensiones e intensidades en el mismosentido). En otro caso sería preciso cambiar los signos correspondientes.

Como caso más representativo veamos la expresión de un divisor detensión y un divisor de intensidad de dos componentes en función detensión e intensidad.




Divisor de tensión en función de impedancias

21

11

Z Z

Z uu

+

=

Divisor de tensión en función de admitancias

21

21

Y Y

Y uu

+=

Impedancia equivalente de dos impedancias en serie

21 Z Z Z eq +=

Admitancia equivalente de dos admitancias en serie

21

21

Y Y

Y Y Y eq +

=

Divisor de intensidad en función de admitancias

21

11

Y Y

Y ii

+=

Divisor de intensidad en función de impedancias

21

21

Z Z

Z ii

+

= .

Admitancia equivalente de dos admitancias en paralelo

21 Y Y Y eq +=




Impedancia equivalente de dos impedancias en paralelo

21

21

Z Z

Z Z Z eq

+

= .

2.11 Configuración Tipo Puente

Se trata de una configuración especial de cinco ramas agrupadas en cuatronudos. Cuatro de las ramas forman un cuadrado. Dos vértices opuestosdel cuadrado forman los terminales de unión con el resto del circuito y losotros dos vértices opuestos están unidos a través de la quinta rama delpuente, formando el brazo medio del puente, tal como se observa en lafigura 2.16. Se dice que un puente está equilibrado cuando los dos nudos delbrazo medio del puente se encuentran al mismo potencial.

Numerando las ramas del puente como en la figura 2.16, se cumple que lacondición necesaria y suficiente de un puente equilibrado es

Z 1 Z 4 = Z 2 Z 3 (2.21)

A

M N

Z 4

iC

iA

iB

Z 1 Z 2

Z 3

Z g

B figura 2.16: Configuración tipo puente

Veamos primero la condición necesaria. Si uMN=0, entonces, no circulaintensidad por el brazo medio del puente. Tomando como origen depotenciales el punto B, se pueden expresar los potenciales de uM y u N como (divisores de tensión)




42

4AB NB

31

3ABMB

Z Z Z uu

Z Z

Z uu

+=

+=

igualando ambos valores y multiplicando en cruz las fracciones

( ) ( )314423 Z Z Z Z Z Z +=+

de donde se sigue, inmediatamente,

Z 1 Z 4 = Z 2 Z 3

Para ver la condición suficiente suponemos que se cumple (2.21). Analicemos el circuito de la figura 2.16 por mallas suponiendo uAB conocida. Resulta

−

=

++−−

−++−

−−+

0

0

AB

C

B

A

211

433

1331 u

i

i

i

Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z

Z Z Z Z

g g

g g

( )( ) ( )( )

( )

( )4123AB

141313132313AB

1213AB4313AB

211

3

1AB31

1

433

AB331

BC

∆

∆

∆∆

∆

0

0

∆

0

0

Z Z Z Z u

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z u

Z Z Z Z Z Z u Z Z Z Z Z Z u

Z Z Z Z

Z Z

Z u Z Z

Z Z

Z Z Z Z

u Z Z Z

ii

g g g g

g g g g

g

g

g

g

−=

=−−−−+++=

=−++−−+++−=

=++−

−−

−−+

−−−

++−

−−+

=−

…

…

…

y como




( ) ( )4123

AB

BCMN∆

Z Z Z Z u Z

ii Z u g

g −=−=

y por la condición supuesta resulta

uMN = 0

es decir, el puente está equilibrado.

Resolvamos el mismo circuito mediante el análisis por nudos, tomandocomo referencia el nudo M y alimentando entre el nudo A y el nudo B

con una fuente de intensidad iAB, entonces,

−=

++−−

−+

−+

0

0

0

AB

AB

NM

BM

AM

4242

443

221

i

i

u

u

u

Y Y Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

g

Y despejando u NM, se obtiene

( ) ( )( )4132

AB4241AB4232AB

42

AB43

AB21

NM

∆∆

∆

0

0

0

Y Y Y Y iY Y Y Y iY Y Y Y i

Y Y

iY Y

iY Y

u

−=+−+

=

=−−

−++

= …

donde se ve también de forma inmediata que, si Y 2Y 3=Y 1Y 4, entonces,u NM=0, es decir, el puente está equilibrado.

2.12 Configuraciones en Estrella y en Triángulo y Equivalenciaentre Ambas

Se dice que tres dipolos están conectados en estrella cuando tienen un terminalcomún y que están conectados en triángulo cuando se conectan formando unalínea cerrada. Vamos a considerar un conjunto de elementos pasivos

conectados en estrella y otro de elementos pasivos conectados en triángulo




y suponer que los tres terminales libres de la estrella y todos los terminalesdel triángulo son accesibles desde el exterior, tal y como se muestra en lafigura 2.17 y la figura 2.18.

1

2

S Y 3

i3

i1

i2

Y 1

3

Y 2u31

u23

u12

u1S

u3Su2S

figura 2.17: Elementos pasivosconectados en estrella

1

2

Y 23

i3

i1

i2

Y 31

3

Y 12

u31

u23

i12

i31

i23

u12

figura 2.18: Elementos pasivos

conectados en triángulo

Decimos que una configuración conectada en estrella y otra conectada entriángulo son configuraciones equivalentes cuando tienen las mismasecuaciones.

Vamos a comparar las ecuaciones de ambas configuraciones para ver si esposible deducir alguna forma que nos permita hallar la configuración delotro tipo equivalente a una de las configuraciones dadas.

Planteemos para la configuración en estrella la ecuación de análisis pornudos correspondiente al nudo S, tomando como referencia el nudo 1.

( ) 0313212S1321 =−−++ uY uY uY Y Y

Y escribiendo

i1 = −uS1Y 1

se puede despejar

31

321

3112

321

211 u

Y Y Y

Y Y u

Y Y Y

Y Y i

++−

++=




De forma similar, se pueden escribir ecuaciones para i2 e i3, que tambiénpodemos obtener de la ecuación de i1 por permutación cíclica de lossubíndices, dada la simetría de la configuración, resultando

23

321

2331

321

133

12

321

1223

321

322

31

321

3112

321

211

uY Y Y

Y Y u

Y Y Y

Y Y i

uY Y Y

Y Y u

Y Y Y

Y Y i

uY Y Y

Y Y u

Y Y Y

Y Y i

++−

++=

++−

++=

++−

++=

(2.22)

Para la configuración en triángulo podemos escribir directamente

232331313

121223232

313112121

uY uY i

uY uY i

uY uY i

−=

−=

−=

(2.23)

Para que las dos configuraciones sean equivalentes, las ecuaciones (2.22) y(2.23) deberían ser iguales, de donde resulta

321

13

31

321

3223

321

2112

Y Y Y

Y Y

Y

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

++=

++=

++=

(2.24)

Si formulamos la ecuación anterior en función de impedancias, obtenemos




2

131331

1

323223

3

212112

Z

Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

Z

Z Z Z Z Z

++=

++=

++=

(2.25)

Con las fórmulas obtenidas podemos obtener los valores de los elementosde la configuración triángulo a partir de los de la configuración en estrella.

Si dividimos las ecuaciones (2.24) dos a dos, obtenemos:

3

2

31

12

3

2

31

12

2

1

23

31

1

2

31

23

1

3

12

23

3

1

23

12

Z

Z

Z

Z

Y

Y

Y

Y

Z

Z

Z

Z

Y

Y

Y

Y

Z

Z

Z

Z

Y

Y

Y

Y

=⇒=

=⇒=

=⇒=

Sustituyendo en (2.25) los cocientes obtenidos en los últimos términos,queda

…⇒

=

+

+

+

⇒

++=

++=

++=

31

23

12

3

2

1

23

31

31

23

23

12

32

3131331

31

23

33223

23

1222112

101

110

011

Z Z

Z

Z Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z Z Z Z Z

Z

Z

Z Z Z Z

Z

Z Z Z Z Z




+

=

++−

=

=

+

+++

+

+

⇒

⇒

−=

+

+−

+

+

⇒

2331

23

12

23

12

231231

23

12

3

2

1

23

12

31

23

23

31

31

23

23

12

1231

23

12

3

2

1

23

31

13

12

31

23

23

12

1

11100

110

011

110

110

011

Z Z

Z

Z

Z

Z

Z Z Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

Z

Z

Z

Z Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

Z

Z

…

…

Operamos con la última fila de la ecuación,

( )( )

312312

31233

23313

3123

3123123123

23313

31

1223

23

3123

23313

23

1223

31

2331

23

3123

1

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z

Z

Z Z

Z Z Z Z

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

++=⇒

⇒+=+++

⇒

⇒+=

++

+⇒

⇒+=

+

++

+

…

…

…




donde, sustituyendo en la matriz, obtendríamos el valor de Z 1 y Z 2, o bienpor permutación cíclica de los subíndices. La fórmula puede ponersetambién en forma de admitancias.

A este resultado también se puede llegar escribiendo para el circuito de laestrella las ecuaciones de tensión:

113331

332223

221112

i Z i Z u

i Z i Z u

i Z i Z u

−=

−=

−=

(2.26)

Para el circuito de la figura 2.18, tomando el árbol señalado sobre ella yanalizando la ecuación del lazo básico correspondiente a la rama 2-3, seobtiene (para este árbol, los eslabones son las ramas atravesadas por lasintensidades i23, i2 e i3 )

( ) 033121223312312 =+−++ i Z i Z i Z Z Z

sabiendo que

23

2323

Z

ui =

y despejando u23, se obtiene

3

312312

23312

312312

231223 i

Z Z Z

Z Z i

Z Z Z

Z Z u

++−

++=

y las otras tensiones, similarmente, por permutación cíclica de lossubíndices,




1

312312

31123

312312

312331

3

312312

23312

312312

231223

2

312312

12231

312312

123112

i Z Z Z

Z Z i

Z Z Z

Z Z u

i Z Z Z

Z Z i Z Z Z

Z Z u

i Z Z Z

Z Z i

Z Z Z

Z Z u

++−

++=

++−++=

++−

++=

(2.27)

Comparando con (2.26) e igualando coeficientes, se obtiene

312312

31233

312312

23122

312312

1231

1

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z

Z

++=

++=

++=

(2.28)

que, si se escribe en función de las admitancias,

12

233123313

31

122312232

23

311231121

Y

Y Y Y Y Y

Y

Y Y Y Y Y

Y

Y Y Y Y Y

++=

++=

++=

(2.29)

Fórmulas que nos permiten calcular los elementos de la estrella supuestosconocidos los del triángulo.

Especialmente importantes son los casos en que todos los elementos decualquiera de las dos configuraciones son iguales.

Triángulo con tres impedanciasY

Z 1

= :




La estrella equivalente tiene tres impedancias3

Z .

La estrella equivalente tiene tres admitancias 3Y .

Estrella con tres impedanciasY

Z 1

= :

El triángulo equivalente tiene tres impedancias 3 Z .

El triángulo equivalente tiene tres admitancias3

Y .

En resumen, si las dos configuraciones son equivalentes, se ha de cumplir

∆Y

Y∆

3

3

Y Y

Z Z

=

= (2.30)



3 TEOREMAS GENERALES DE

ANÁLISIS DE CIRCUITOS

3.1 Principios de Linealidad y Superposición

Si todas las ecuaciones de rama de un circuito son lineales, entonces lasecuaciones resultantes del análisis del circuito forman un sistema lineal deecuaciones diferenciales. Una vez planteado el conjunto de ecuaciones derama junto con las correspondientes a la 1ª y la 2ª leyes de Kirchhoff,resulta posible trasladar todas las funciones de fuente al segundo miembrodel sistema. El sistema global podría formularse como

[A] [x] = [b] (3.1)

Donde el vector [b] contiene únicamente funciones lineales de valores defuente. Esta forma del sistema nos permite enunciar el principio de linealidad

como:

Si todas las fuentes de tensión e intensidad de un circuito semultiplican por una constante, las respuestas aparecen multiplicadastodas por esa constante.

Si resolvemos el sistema de ecuaciones anterior correspondiente a nuestrocircuito podemos escribir:




[x] = [A]−1 [b] (3.2)

Al ser el vector [b] una función lineal de las fuentes del circuito podemos

descomponerlo de la siguiente manera:

[b] = [b]1+[b]2+...+[b]n

En donde [b]i es el vector fuente resultante cuando se anulan todas lasfuentes excepto la i−ésima.

Sustituyendo en la ecuación resuelta del circuito y aplicando la propiedad

distributiva podemos escribir:[x] = [A]

−1 ([b]1+[b]2+...+[b]n) = …

= [A]−1

[b]1+[A]−1

[b]2+...+[A]−1

[b]n = [x]1+[x]2+...+[x]n

donde [x]i=[A]−1

[b] es la respuesta del circuito ante la fuente i, ecuaciónque nos permite enunciar el principio de superposición como:

La respuesta de un circuito lineal ante la actuación simultánea de

varias fuentes de excitación es igual a la suma de las respuestas delcircuito, que se habrían obtenido actuando cada fuente de excitación por separado.

i g 1

R 1

i

L3

i3

e g 3

R 2

e g 2 R R 1i'

R 2

e g 2R

R 1

i''

e g 3

R 2

R i g 1

R 1

i'''

R 2

R


ejemplo 3.1

Calculamos el valor de las distintas componentes de la intensidad i cuando actúan cada una de las tres fuentes por separado, para elcircuito de la figura 3.1.



Teoremas Generales de Análisis de Circuitos 113

R 1i g 1i

e g 3

R 2

e g 2R

R 1i

2

figura 3.2: Circuito de la figura

3.1 en el que se ha sustituido la fuente de intensidad por una fuente de tensión equivalente ydonde se indica un árbol quedefine los lazos básicos i e i2

21

1

2

2

2

21

3

1

1

1

12

2

111

1

R R R

Rii

R R

R

R R

R R R

ei

R R

R

R R

RR R

ei

iiii

g

g

g

++=′′′

++

+

−=′′

+++

=′

′′′+′′+′=

(3.3)

El lector puede comprobar la corrección de los resultadosmediante la aplicación del análisis por lazos básicos al circuito de lafigura 3.2, en el que se ha sustituido la fuente de intensidad de lafigura 3.1 por una fuente de tensión, pudiéndose escribir

( )

( )

R R R R R R

e Ri R Re R

R R R

R R R

R Ri Ree

Ri Re

i

i Reei R Ri R

i Rei Ri R R

g g g g g g

g g

g g g

g g

1212

2112132

121

11

121132

1113

11322121

113211

++

++−=

+

+

++−−

+−

=⇒

⇒

+−−=++

+−=++…

que coincide con lo obtenido en (3.3).




3.2 Regla de Sustitución

Cualquier tipo de elemento de una rama puede sustituirse por otro tipo deelemento si la ecuación de la rama, es decir, la relación funcional entre u e i permanece inalterada.

Esta regla tan sencilla resulta muy práctica a la hora de demostrar muchosde los teoremas que vamos a estudiar en este capítulo.

En particular una rama con una impedancia y cuya ecuación sea u= Z (D)i,puede sustuirse por una fuente de tensión especial de ecuación e g = Z (D)i.De la misma forma una rama con una admitancia con una ecuación

i=Y (D)u puede sustituirse por una fuente ideal de intensidad especial deecuación i g =Y (D)u.

Resulta también muy útil para desacoplar las condiciones iniciales de loselementos de circuito que pueden presentar una carga inicial, como soncondensador y bobina. Si nos fijamos en la ecuación integral de estoselementos vemos que puede representarse como una fuente conectada enserie con el elemento en cuestión con carga inicial cero. El elemento decircuito con carga inicial nula queda entonces completamente definido por

la ecuación diferencial.

3.3 Teorema de Compensación

El teorema de compensación se muestra gráficamente en función detensiones o de intensidades en los gráficos de las páginas siguientes. Tratemos de dar aquí un enunciado del mismo.

Las intensidades y tensiones presentes en un circuito activo en el que en

una de sus ramas se produce una variación de la impedancia o admitancia,pueden calcularse como suma de dos componentes. La primeracomponente son las intensidades y tensiones presentes en el circuito activooriginal. Las segunda componente son las intensidades y tensiones queaparecerían en el circuito pasivo modificado (resultante de anular lasfuentes del circuito activo en el que ya se ha producido la variación deimpedancia o admitancia) alimentando la rama en la que se ha producidola variación bien con una fuente de tensión ideal en serie igual al productode la intensidad original por la variación de impedancia o con una fuente

ideal de intensidad en paralelo igual a la tensión original por la variación de




la admitancia. El valor de las fuentes se entiende conservando la referenciade la rama original en la que se ha producido la variación.

Consideremos un circuito activo y tratemos de analizar la variación de las variables de una rama k al producirse una modificación en la impedanciade la rama j: ∆ Z j.

i j

Circuito

Activo j

i k

i j+∆i j

Circuito

Activo Z j+∆ Z j

i k +∆i k

figura 3.3: Demostración teorema de compensación: circuito activo en el que se produceuna modificación de la impedancia de una rama

Realizamos una serie de tansformaciones en el circuito modificado,primero descomponemos Z +∆ Z en Z y ∆ Z en serie.

i j+∆i j Circuito Activo

i k +∆i k

Z j

∆ Z j

figura 3.4: Demostración teorema decompensación: paso 1

Aplicamos, entonces, la regla de sustitución y obtenemos

Circuito

Activo

i k +∆i k

Z j

∆ Z j(i j+∆i j)

i j+∆i j





El anterior circuito se desdobla en dos por el principio de superposición,resultando:

Circuito

Activo

i k

Z j Circuito

Pasivo

∆i k

Z j

∆ Z ji j+∆ Z j∆i j

i j ∆i j

figura 3.6: Demostración teorema de compensación: paso 3

De nuevo, aplicamos el principio de sustitución, obteniéndose el resultadoexplicado en el enunciado:

Circuito

Activo

i k

Z j Circuito

Pasivo

∆i k

Z j+∆ Z j

∆ Z ji j

i j ∆i j

figura 3.7: Demostración teorema de compensación: paso 4 y último

Sea, ahora, un circuito activo en el que se produce una variación en laadmitancia de la rama j de valor ∆Y j.

u j

Circuito

Activo Y j

uk

u j+∆u j

Circuito

Activo Y j+∆Y j

uk +∆uk

figura 3.8: Demostración teorema de compensación: Circuito activo en el que se produce una modificación en la admitancia de una rama

Descomponemos Y +∆Y en dos ramas en paralelo Y y ∆Y .




u j+∆u j Circuito

Activo

uk +∆uk

Y j

∆Y j


Aplicamos la regla de sustitución.

Circuito

Activo

uk +∆uk

Y j

∆Y j(u j+∆u j)u j+∆u j

figura 3.10: Demostración teoremade compensación: paso 2

Descomponemos este circuito en dos, según el principio de superposición.

Circuito

Activo

uk

Y j Circuito

Pasivo

∆uk

Y j

∆Y ju j+∆Y j∆u j

u j ∆u j

figura 3.11: Demostración teorema de compensación: paso 3

y, aplicando de nuevo el principio de sustitución, se obtiene el resultadoexplicado en el enunciado:

Circuito

Activo

uk

Y j Circuito

Pasivo

∆uk

Y j+∆Y j

∆Y ju j u j

∆u j

figura 3.12: Demostración teorema de compensación: paso 4 y último




ejemplo 3.2

Resolvamos el circuito indicado en la figura 3.13. Si convertimoslas fuentes reales de tensión a fuentes reales de intensidad seobtiene el circuito de la figura 3.14, en el que es fácil calcular i apartir de un divisor de intensidad sobre la intensidad total dealimentación.

4 V

3 Ω

i1

10 V

2 Ω 4 Ω

i

i2

A

B


1 A

3 Ω

i1

5 A

2 Ω

4 Ω i

i2

figura 3.14: Circuito del ejemplo 3.2 enel que se han sustituido las fuentes de

tensión por fuentes de intensidad

4 V

4 Ω

∆i1

10 V

2 Ω 4 Ω

24/13 V

∆i2

∆i figura 3.15: Circuito pasivo del ejemplo

3.2, que sumado al de la figura 3.13nos da como resultado un circuito en elque se ha sustituido la resistencia de 3Ω por otra de 4 Ω

A13

246

13

46

34

3463

1

6

4

1

3

1

2

13

1

=×=×

×

++=×

++=i

Imaginemos que se produce un cambio de la resistencia de 3 Ω a 4 Ω. Podríamos haber calculado directamente el circuito modificado yhabríamos obtenido como valor para la intensidad:




A2

36

4

16

4

1124

1

6

4

1

4

1

2

14

1

=×=×++

=×

++

=i

Vamos a ver cómo podríamos haber calculado esta intensidad a partir delresultado inicial aplicando el teorema de compensación. El circuito quetendríamos que analizar para estudiar los incrementos sería el de la figura3.15, de donde se obtiene:

A2

3

213

313

26

39

26

948

26

9

13

24'

A269

3213624

6

82413

24

42

424

13

24

=××

==−

=−=∆+=

−=××−=+

−

=

+×

+−=∆

iii

i

A

i1Y 1

i2Y 2

i3Y 3

in Y n

S

uA1

uA2

uA3

uAn

1

2

3

n

u1

u2

u3

un

figura 3.16: Conjunto deadmitancias concurrentes enun punto

3.4 Teorema de Millmann

Dada una estrella de n admitancias concurrentes en un punto S, como serepresenta en la figura 3.16, y supuestas conocidas las tensiones de losterminales no comunes de las admitancias respecto a un punto dado A delcircuito uA1, uA2, uA3, ..., uAn. La tensión entre el punto dado del circuito yel punto estrella de las admitancias se puede calcular como

n

nn

Y Y Y

Y uY uY uu

++++++

=

21

A2A21A1AS




Demostrar este teorema es muy sencillo, basta con aplicar la 1º ley deKirchhoff al nudo S:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

∑

∑

=

==++++

++++=

⇒++++=++++

⇒=+−+++−++−++−⇒=++++⇒=++++

n

1i

i

n

1i

Aii

n321

AnnA33A22A11

AS

AnnA33A22A11n321AS

ASAnnASA33ASA22ASA11

nn332211n321

000

Y

uY

Y Y Y Y

uY uY uY uY u

uY uY uY uY Y Y Y Y u

uuY uuY uuY uuY uY uY uY uY iiii

…

…

……

…

ejemplo 3.3

Apliquemos este teorema al circuito de la figura 3.13 para calcularla tensión y la intensidad en la resistencia de 3 Ω, resultando:

A13

24

33

V

13

72

12436

15

41

31

21

4

140

2

110

BAAB

BA

=−==

−=

++

−−=

++

×−+×−=

uui

u

3.5 Teorema de Tellegen

Dado un gráfico reticular orientado de un circuito, asociamos a cada ramauna tensión y una intensidad. Consideremos conjuntos de vectores de

tensiones e intensidades de rama cualesquiera, ([u]1,[i]1), ([u]2,[i]2), ..., etc.donde en cada uno de ellos las intensidades de rama cumplen la 1ª Ley deKirchhoff y las tensiones de rama cumple la 2ª ley de Kirchhoff para elgráfico reticular orientado dado. Entonces se cumple que cualquier vectorde tensiones es ortogonal con cualquiera otro de los vectores deintensidades, es decir,

[u] jT[i]k = 0 (3.4)




para todo j y para todo k .

En particular se cumple

[u] jT[i] j = 0

Lo que implica que la suma de todas las potencias absorbidas en todas lasramas de un circuito en cualquier instante es cero. Evidentemente, lomismo puede decirse de las potencias cedidas.

Para demostrar este teorema es suficiente con escribir la matriz deconexión ramas-nudos (o ramas-conjuntos de corte, ramas-lazos básicos) y

escribir la primera y segunda leyes de Kirchhoff para cualquier conjunto detensiones e intensidades j y k .

[A]T[i] j = [0]

[A]T[i]k = [0]

[A] [un] j = [u] j

[A] [un]k = [u]k

(3.5)

multiplicando escalarmente las tensiones de nudo por el vector columnanulo se obtiene:

[un] jT[0] = 0

y sustituyendo el vector nulo por su expresión en función de las

intensidades de rama de cualquier otro conjunto de variables resulta

[un] jT[A]T[i]k = 0

de donde

([A][un] j)T [i]k = 0

y de (3.5) resulta




[u] jT[i]k = 0

3.6 Teoremas de Thévenin y Norton

Teorema de Thévenin

Ante cualquier dipolo conectado entre los dos terminales 1 y 1' de uncircuito activo como el de la figura 3.17, el circuito activo es equivalente auna fuente real de tensión de 1 a 1' que tenga como valor la tensión decircuito abierto, u0, entre 1 y 1' y cuya impedancia es la impedanciaequivalente del dipolo pasivo que resulta entre 1 y 1' al anular todas lasfuentes independientes de tensión e intensidad del circuito activo original.

Teorema de Norton

Ante cualquier dipolo conectado entre los dos terminales 1 y 1' de uncircuito activo dado, el circuito activo es equivalente a una fuente real deintensidad de 1' a 1 que tenga como valor la intensidad de cortocircuito,icc, entre 1 y 1' y cuya admitancia es la admitancia equivalente del dipolopasivo que resulta entre 1 y 1' al anular todas las fuentes independientes detensión e intensidad del circuito activo original.

Los teoremas de Thévenin y Norton son una consecuencia de laaplicación de la regla de sustitución y el principio de superposición comopodemos ver si procedemos a demostrar las equivalencias planteadas.

i

C.A.

Circuito Activo u

1

1' figura 3.17: Circuito activo entre losterminales 1 y 1’

Demostración del teorema de Thévenin

Sea lo que sea lo que conectemos entre los terminales 1 y 1' de la figura3.17, podemos aplicar el principio de sustitución y reemplazarlo por una

fuente de intensidad cuyo valor es justamente la intensidad que circula por




el elemento conectado. Aplicamos, entonces, el principio de superposicióny obtenemos lo reflejado en la figura 3.18, donde se cumple

i = i' + i'' = i''

u = u' + u'' = u0 − Z eq i'' = u0 – Z eq i

que es, justamente, la ecuación del circuito correspondiente a una fuentereal de tensión como la que se muestra en la figura 3.19.

i

C.A. u

1

1'

i

i' =0

C.A. u' =u0

1

1'

i'' =i

C.P.Circuito

Pasivo

u''

1

1'

i

figura 3.18: Principio de superposición aplicado al circuito de la figura 3.17 en el quese ha sustituido la carga del dipolo por una fuente ideal de intensidad

i

U 0

Z eq

u

1

1' figura 3.19: Equivalente Thévenin deldipolo de la figura 3.17

Demostración del teorema de Norton

Sea lo que sea lo que conectemos entre los terminales 1 y 1' de la figura3.17, podemos aplicar el principio de sustitución y reemplazarlo por unafuente de tensión cuyo valor es justamente la caída de tensión en elelemento conectado. Aplicamos, entonces, el principio de superposición yobtenemos lo reflejado en la figura 3.20, donde se cumple:

u = u' + u'' = u''




i = i' + i'' = icc − Y eq u

que es justamente la ecuación del circuito correspondiente a una fuente

real de intensidad como la que se muestra en la figura 3.21.

i

C.A. u

1

1'

u

i' =icc

C.A. u' =0

1

1'

i''

C.P.

Circuito

Pasivo

u'' =u

1

1'

u

figura 3.20: Principio de superposición aplicado al circuito de la figura 3.17 en el quese ha sustituido la carga del dipolo por una fuente ideal de tensión

i

icc Y eq u

1

1'

figura 3.21: Equivalente Norton del

dipolo de la figura 3.17

ejemplo 3.4

Apliquemos estos teoremas al circuito de la figura 3.13.Comencemos calculando el equivalente Thévenin visto desde laresistencia entre los terminales A y B.

Para ello estudiamos primero el circuito de la figura 3.22, en el que,para obtener la tensión a circuito abierto partimos del cálculo de laintensidad de la malla.

V8210

A16

410

AB =−=

=−

=

iu

i




4 V

i

10 V

2 Ω 4 Ω A

B

figura 3.22: Circuito activo en vacío delejemplo 3.4 para el cálculo de la tensión

de vacío del modelo equivalente deThévenin entre los terminales A y B

2 Ω 4 Ω A

B

figura 3.23: Circuito pasivocorrespondiente al ejemplo 3.4 para elcálculo de la impedancia del modeloequivalente de Thévenin entre los

terminales A y B

La resistencia equivalente entre los terminales A y B se obtiene dela figura 3.23.

Ω3

4

42

42=

+×

=eq R

Para calcular el equivalente Norton tendríamos que haberestudiado el mismo circuito pasivo obteniéndose evidentemente la

misma resistencia equivalente. En cuanto al circuito activo, habríaque calcular la intensidad de cortocircuito entre A y B en elcircuito de la figura 3.24.

4 Vicc

10 V

2 Ω 4 Ω A

B

figura 3.24: Circuito activo en vacíodel ejemplo 3.4 para el cálculo de laintensidad de cortocircuito del modeloequivalente de Norton entre los

terminales A y B

icc se puede calcular por superposición, de tal forma que

A6152

4

2

10=+=+=cci

Es claro que los modelos Thévenin y Norton deben ser equivalentes entre

sí, por lo que debe cumplirse:




u0 = Z eq icc

icc = Y eq u0

(3.6)

Es importante no olvidar que para calcular la impedancia o admitanciaequivalente de un circuito activo, sólo se anulan las fuentes independientesy no las dependientes . La última propiedad enunciada puede servir paracalcular la impedancia o admitancia equivalente de circuitos en los que porlos métodos usuales se puedan prensentar problemas de cálculo.

3.7 Teorema de Reciprocidad

Como consecuencia directa del teorema de Tellegen se puede enunciar elteorema de reciprocidad. Seleccionemos las ramas del circuito quecontienen fuentes, y asignémoles los primeros índices en la numeración deramas del circuito, siendo el resto del circuito puramente pasivo.Consideremos dos conjuntos de soluciones de tensiones e intensidadespara un circuito dado, correspondientes, por ejemplo, a distintos valoresde las fuentes. Denotemos a un conjunto de soluciones por [u'] e [i'] y alotro por [u''] e [i'']. Admitamos que no hay acoplamientos entre las ramasseleccionadas y el resto de las ramas del circuito.

La aplicación sistemática del Teorema de Tellegen a los distintos vectoresde tensiones e intensidades nos proporciona las siguientes ecuaciones:

[ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ]

0

''

''''''0

'

'''''

0''

''''0

'

'''

r

f T

r

T

f

r

f T

r

T

f

r

f T

r

T

f

r

f T

r

T

f

=

=

=

=

i

iuu

i

iuu

i

iuu

i

iuu

De estas ecuaciones nos quedamos con las mixtas:

[ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ]

0'

'''''

0''

''''

r

f T

r

T

f

r

f T

r

T

f

=

=

i

iuu

i

iuu




Y, por ser el resto del circuito pasivo, se puede escribir:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]r r r r r r

r r r r r r

uYiiZu

uYiiZu

′′=′′′′=′′

′=′′=′

Que, sustituida en las ecuaciones anteriores, proporcionan:

[ ] [ ] [ ][ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0

0

r

T

r

T

r f

T

f r

T

r r f

T

f

r

T

r

T

r f

T

f r

T

r r f

T

f

=′′′+′′′=′′′+′′′

=′′′+′′′=′′′+′′′

iZiiuiiZiu

iZiiuiiZiu

Los productos [ ] [ ] [ ]r

T

r

T

r iZi ′′′ y [ ] [ ] [ ]r

T

r

T

r iZi ′′′ son escalares y, por lo tanto,cualquiera de ellos puede escribirse en las ecuaciones de arriba en su formatranspuesta. Transponiendo, por ejemplo, el producto de la segundaecuación tendríamos:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] 0

0

r r

T

r f

T

f

r

T

r

T

r f

T

f

=′′′+′′′

=′′′+′′′

iZiiu

iZiiu

Si la matriz de impedancias de rama del circuito pasivo es simétrica,[Zr ]=[Zr ]

T, entonces, los segundos términos de ambas ecuaciones son

iguales [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]r r

T

r r

T

r

T

r iZiiZi ′′′=′′′ , y restando ambas expresionesobtenemos el enunciado del teorema de reciprocidad:

[ ] [ ] [ ] [ ]f

T

f f

T

f iuiu ′′′=′′′ (3.7)

o lo que es equivalente:

∑∑==

′′′=′′′f f n

1i

ii

n

1i

ii iuiu (3.8)

Nótese que se suponen las mismas referencias de tensión e intensidad entodas las ramas con fuentes (convenio de signos consumidor) a pesar deser elementos activos.




i2

C.P.

Circuito Pasivo u2

2

2'

i11

u1

1'

A B

figura 3.25: Circuito pasivoalimentado por dos fuentesexternas A y B de tensión ointensidad

i2

C.P.u2

2

2'

i11

u1

1'

A B

i' 2

C.P.u' 2

2

2'

i' 11

u' 1

1'

A

i'' 2

C.P.u''

2

2'

i'' 11

u''

1'

B

figura 3.26: Principio de superposición aplicado al circuito del ejemplo 3.5

ejemplo 3.5

Este teorema de reciprocidad suele aplicarse al caso de un circuitopasivo alimentado en dos ramas por sendas fuentes de tensión ointensidad como se muestra en la figura 3.25. Si se aplica el

principio de superposición, se obtiene lo mostrado en la figura3.26, en donde el elemento marcado con un cilindro representa uncortocircuito si la fuente de la rama era una fuente de tensión y uncircuito abierto si el elemento de la rama correspondiente era unafuente de intensidad.

Aplicando ahora el teorema de reciprocidad a los circuitosresultantes, se puede escribir

u' 1 i'' 1 + u' 2 i'' 2 = u'' 1 i' 1 + u'' 2 i' 2

Resultan especialmente importantes los casos que se presentan enla tabla 3.1.

Para concluir este tema, veamos un ejemplo sencillo de cómo afecta lapresencia de fuentes dependientes en el análisis de circuitos.




tabla 3.1: Casos que se pueden presentar en el ejemplo 3.5

A B u' 1 i'' 1 u' 2 i'' 2 u'' 1 i' 1 u'' 2 i' 2 u' 1i'' 1+u' 2i'' 2=

u'' 1 i' 1+u'' 2 i' 2 Y si .... entonces

e g 1 e g 2 e g 1 i'' 1 0 i'' 2 0 i' 1 e g 2 i' 2 e g i'' 1=e g i' 2 e g 1=e g 2 i'' 1=i' 2

−i g 1 −i g 2 u' 1 0 u' 2 −i g 2 u'' 1 −i g 1 u'' 2 0 −u' 2i g =−u'' 1i g i g 1=i g 2 u' 2=u'' 1

e g 1 −i g 2 e g 1 i'' 1 u' 2 −i g 2 0 i' 1 u'' 2 0 e g 1i'' 1−u' 2i g 2=0 e g 1=i g 2 i'' 1=u' 2

R3

e g 1

R1

R2iBiA

α i1

i1


ejemplo 3.6

Analicemos el circuito de la figura 3.27 por mallas. Una posibilidad

es escribir las ecuaciones del circuito como si se tratase de unafuente independiente, obteniéndose:

( )

( )1B23A3

1B3A31

B

A

ii R Ri R

iei Ri R R g

α

α

=++−⇒

−=−+⇒

Después de lo cual, puede expresarse la variable de la fuente

dependiente, en este caso la intensidad i1, en función de las

variables de análisis, en este caso las intensidades de rama, i1=iA, yreordenar las ecuaciones del sistema:

( )

( ) ( ) 0

A

B23A3

B3A31

=+++−⇒

=−++⇒

i R Ri R B

ei Ri R R g

α

α

Como se puede ver, se obtiene una matriz no simétrica delsistema. Si se hubiese tenido una fuente de intensidad dependiente




de intensidad, habría sido preciso pasarla previamente a fuente detensión.

En un circuito con fuentes dependientes, al tenerse una matriz delsistema asimétrica, no puede aplicarse el teorema de reciprocidad.



4 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN

ESTACIONARIO SENOIDAL

4.1 Formas de Onda Periódicas

Es usual referirse a la representación de una función escalar respecto altiempo f (t ) como forma de onda, se trate o no de una función periódica y,por ello, se habla también de formas de onda periódicas, sin caer por elloen redundancia, para referirse a funciones del tiempo periódicas.

Una función se llama periódica y su forma de onda será periódica cuandoexiste una magnitud real finita T, llamada período, tal que

f (t ) = f (t +T) ∀ t ∈(−∞,+∞)

Las funciones periódicas suelen caracterizarse por una serie de

propiedades que vamos a recordar a continuación.

Fase

Es cada uno de los estados en que puede encontrarse una funcióndeterminada. (Dado un instante t 0, cada uno de los puntos de la función(t , f (t )) comprendidos entre (t0, f (t0)) y (t0+T, f (t0+T)). Fijado un punto dereferencia t0, cada valor de fase viene caracterizado por la fracción deperíodo transcurrida desde dicho punto de referencia.




nT

t

T

'faseT'enteron'nTtt

nT

t

T

'faseT'enteron'nTtt

000

000

+−

==⇒<+−=⇒<

−−

==⇒<++=⇒>

t t t t t t

t t t t t t

Ciclo

Porción de forma de onda que se encuentra en un intervalo de tiempoigual a un período.

Frecuencia

Número de ciclos de la forma de onda, es decir, de períodos, incluidos enla unidad de tiempo:

T

1f =

Valores de cresta

Valores máximo, + A , y mínimo, − A , de la función periódica.

Valor de cresta a cresta o valor de pico a pico

+ A − − A

Valor medio de una función periódica en un período

∫+

=Tt

t

0

0

d)(T

1t t f F m

Para formas de onda oscilantes, que repiten una determinada forma deonda con valores positivos en el semiperíodo siguiente, pero con valoresnegativos, y cuyo valor medio según la definición anterior será nulo puededefinirse un valor medio referido al semiperíodo como:



Análisis de Circuitos en Régimen Estacionario Senoidal 133

∫+

=T/2t

t

s

s

d)(T

2t t f F m tal que 0

2

Tt)(t ss =

+= f f

Valor eficaz

Es la raíz cuadrada del valor cuadrático medio de la función.

∫+

=Tt

t

20

0

d)(T

1t t f F

Factor de forma

Es la relación entre el valor eficaz y el valor medio.

Significado físico del valor eficaz

Consideremos una resistencia R atravesada por una intensidad i(t ). Lapotencia disipada en esa resistencia viene expresada por p(t )= Ri

2(t ). Si i(t )

es una función periódica del tiempo, la energía disipada en la resistencia enun período será:

∫∫∫+++

====Tt

t

22

Tt

t

2

Tt

t

0

0

0

0

0

0

d)(d)(d)( RI t t i Rt t Rit t p E

donde I es el valor eficaz de la función i(t ). Es decir, la intensidad eficaz esuna intensidad continua que disiparía en un un período la misma energía

que la intensidad real cuando atraviesa una resistencia.

Funciones adelantadas y retrasadas entre sí

Dada una función periódica f (t ), de período T, decimos que una función g (t )= f (t −td), con td <T retrasa respecto a f (t ) en td unidades de tiempo, sitd≤T/2 (función g 1 de la figura 4.1), y decimos que g (t )= f (t −td) adelanta a f (t ) en T−td unidades de tiempo, si td≥T/2 (función g 2 de la figura 4.1). En




el caso especial de td=T/2, se dice que g (t ) y f (t ) están o pulsan encontrafase.

Sea h(t )= f (t +T−td) que, por definición de una fución periódica, cumpliráh(t )= g (t ). Llamemos tr =T−td, que evidentemente cumple tr <T: se puedeescribir h(t )= f (t +tr )= f (t −td). Según las definiciones anteriores h(t ) retrasarespecto a f (t ) en td=T−tr unidades de tiempo, si T−tr ≤T/2 (función h1 dela figura 4.1), es decir, si tr ≥T/2 y adelanta respecto a f (t ) en T−td=tr unidades de tiempo, si td=T−tr ≥T/2 (función h2 de la figura 4.1), es decir, sitr ≤T/2.

T

T/2

t

f (t ) g 1(t ), h1(t ) g 2(t ), h2(t )

T/2

td2 tr2

td1 tr1

figura 4.1: Funciones periódicasadelantadas y retrasadas entre sí

tabla 4.1: Funciones periódicas adelantadas y retrasadas entre sí

f (t ) td,tr ≤T/2 td,tr ≥T/2

g (t )= f (t −td) g retrasa a f en 2πtd/T rad g adelanta a f en 1−2πtd/T rad

h(t )= f (t +tr ) h adelanta a f en 2πtr /T rad h retrasa a f en 1−2πtr /T rad

ejemplo 4.1

En la figura 4.2 g (t )= f (t −β) o g (t )= f (t +α) con β<T/2 y α>T/2 y,según la tabla 4.1, g (t ) retrasa respecto a f (t ) en β/T radianes.




T

f (t )

t

g (t )

T/2

t

A'' A'

A

α β

figura 4.2: Desfase entre funciones periódicas

Funciones periódicas senoidales

Responden a la forma general ( ) ( )ϕ+⋅= t F t f ωsenˆ

, en donde F ˆ

es laamplitud , ωt +ϕ es el ángulo de fase o fase, ω es la pulsación o frecuencia angular yϕ es la fase inicial . El período es T=2π/ω y, siendo la frecuencia f=1/T, puedeescribirse ω=2πf .

El valor medio de una función senoidal es cero pero, según se indicóanteriormente, debido a su simetría, se puede definir un valor medio rectificado para un semiperíodo y, entonces, este valor medio resulta ser en función de la

amplitud: π

ˆ

2 E E m = .

( ) ( ) ( )

[ ] E E E

t E t t E t t E E m

ˆ63,0ˆ20coscos

ˆ

ω

ωcosˆωdωsenˆω

dωsenˆ2/T

1 ω

π

0

π/ω

0

T/2

0

≈π

=+π−π

=

=

−π

=⋅π

=⋅= ∫∫ …




El valor eficaz en función de la amplitud vale2

ˆ E E = .

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )[ ]2

ˆωt2cosπωt2cos

2

1tt

ω

π

2

1ˆπ

ω

d2

ω2cos1ˆπ

ω

dωsenˆπ

ωdωsenˆ

T

2dωsenˆ

T

1

0000

2

ω

πt

t

2

ω

πt

t

22

T/2t

t

22

Tt

t

22

0

0

0

0

0

0

0

0

E E

t t

E

t t E t t E t t E E

=

ϕ+−ϕ++−

−+=

=

ϕ+−=

=ϕ+=ϕ+=ϕ+=

∫

∫∫∫

+

+++

…

…

El factor de forma de una función senoidal vale, según esto, 1,122

π ≈

Propiedades fundamentales de las funciones senoidales

1.

La suma de dos funciones senoidales de la misma frecuencia es unafunción senoidal de la misma frecuencia (ninguna otra función

periódica cumple esta propiedad)

( ) ( )

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ]

( )αωsen

ωcosαsenωsenαcos

ωcosωsen

ωcosωsenωcoscossenωsensencos

senωsencosωcossenωcoscosωsen

ωcosωsen

22

22

2222

22

BABA

BBAA

BA

++=

=++=

=

++

++=

=+=ϕ+ϕ+ϕ−ϕ=

=ϕ−ϕ+ϕ+ϕ=

=ϕ++ϕ+

t Y X

t t Y X

t Y X

Y t

Y X

X Y X

t Y t X t B At B A

t t Bt t A

t Bt A

…

…

…

…

…

donde

BΑ

BA

cossen

sencos

arctan

ϕ+ϕ=

ϕ−ϕ=

=

B AY

B A X

X

Y α




2. Las derivadas e integrales de las funciones senoidales son funcionessenoidales.

3.

Como consecuencia de las propiedades primera y segunda, en loscircuitos lineales, si todas las excitaciones son funciones senoidales dela misma frecuencia, todas las respuestas serán funciones senoidales dela misma frecuencia.

4.

El teorema de Fourier del análisis matemático garantiza que podemosdescomponer cualquier función periódica como suma de funcionessenoidales.

5.

Gracias al principio electrodinámico, es posible generar tensionessenoidales a partir del movimiento rotativo de un campo magnético.

4.2 Régimen Permanente y Transitorio

El análisis de circuitos nos lleva a plantear sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales donde las incógnitas son funciones del tiempo.Supuesto el sistema desacoplado en un conjunto de ecuacionesdiferenciales para las distintas incógnitas, la resolución de cada una de las

ecuaciones diferenciales nos proporciona una solución que consta de dostérminos: un término correspondiente a una solución particular y otro a lasolución de la ecuación homogénea . Si nuestro sistema es estable, la partecorrespondiente a la solución homogénea es una función decreciente deltiempo y, supuesto transcurrido un tiempo suficientemente largo, sucontribución al valor global de la solución puede despreciarse.

En tanto no haya transcurrido el tiempo suficiente como para que puedadespreciarse la contribución de la solución homogénea de la ecuación, se

dice que la función se encuentra en régimen transitorio. A partir del instanteen que se puede considerar despreciable la contribución de la soluciónhomogénea se dice que la función está en régimen permanente .

El tiempo a partir del cual se considera que la función se encuentra enrégimen permanente varía según las características de la ecuación porresolver y, en general, puede expresarse en función de una constante oconjunto de constantes que dependen de los parámetros de la ecuacióndiferencial y que se conocen como constantes de tiempo del sistema .




Cuando sólo se está interesado en conocer el funcionamiento en régimenpermanente de un sistema, es suficiente con encontrar la soluciónparticular de la ecuación diferencial. Esto permite, en el caso de sistemas

excitados con funciones senoidales del tiempo de una única frecuencia,desarrollar un método simbólico para la obtención de la solución de laecuación diferencial, que permite transformar el sistema de ecuacionesdiferenciales en un sistema de ecuaciones lineales en el campo de losnúmeros complejos.

Analicemos un caso típico sencillo de estudio de un circuito, considerandola respuesta completa del sistema, es decir la superposición de un régimenpermanente con un término transitorio.

Sea el circuito de la figura 4.3 formado por una fuente real de tensióncontinua de valor e g = E, constante en el tiempo, un interruptor y unabobina. Supongamos que el interruptor se encuentra abierto durante untiempo suficientemente largo y que en un instante dado, que tomaremoscomo origen de tiempos, t =0, el interruptor se cierra.

e g

R

L

i

figura 4.3: Circuito RL de primerorden

La ecuación de la malla de este circuito se escribe

( R+ LD)i = E

O bien, con notación explícita

E Rit

i L =+

d

d

que, reordenada, puede formularse como




R

E i

t

i

R

L=+

d

d

La solución de esta ecuación puede descomponerse, como ya se hacomentado, según

i(t ) = i p(t )+ih(t ) (4.1)

En este caso la solución particular es muy sencilla, la constante

R

E i p = (4.2)

resuelve la ecuación diferencial.

La ecuación homogénea es de la forma

ih = Aeα t (4.3)

Para determinar el exponente α , es preciso resolver la ecuación característica

0=1+α R

L

de donde

L

R−=α

La constante de integración A se determina a partir de las condicionesiniciales: i(0)=0. La solución homogénea tiene pues la forma

ih = Ae−( R/ L)t

La constante 1/α tiene dimensiones de tiempo y se denomina constante detiempo de la ecuación, τ ,




R

L=τ

La solución completa se obtiene sumando el término particular con elhomogéneo y es

t L

R

R

E i

−+= Ae

Imponiendo la condición inicial i(0)=0, se puede obtener el valor de laconstante A

R

E −=A

Resultando, finalmente, como solución completa de la ecuación diferencial

=

−τ

t

R

E i e-1 (4.4)

Una evolución temporal de este estilo se conoce como transitorio de primerorden y se suele considerar alcanzado el régimen permanente a partir de untiempo transcurrido mayor de 5τ .

Cuando las fuentes de un circuito tienen valores constantes con el tiempo,es decir, son magnitudes continuas, el análisis del régimen permanente delos circuitos con bobinas y condensadores se simplifica considerablemente

pues aplicando la regla de sustitución es posible considerar loscondensadores como circuitos abiertos y las bobinas como cortocircuitos.

4.2.1 Determinación del Régimen Permanente de Circuitos con

Excitaciones Senoidales por el Método de los Coeficientes

Indeterminados

Consideremos el mismo circuito de la figura 4.3 pero en el que la fuente,

en vez de tener un valor constante, es una función senoidal del tiempo




( )e g t E e ϕ += ωcosˆ

La solución de la ecuación diferencial será, según las propiedadesenunciadas anteriormente, una función senoidal de la misma frecuencia,

p.ej. ( )it I i ϕ += ωcosˆ

Sustituyendo en la ecuación diferencial

e Rit

i L =+

d

d (4.5)

se obtiene

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

t E t E

t I L I Rt I L I R

t t E

t t I Rt t I L

t E t I Rt I L

ee

iiii

ee

iiii

eii

ωsensenˆωcoscosˆ

ωsencosωsenˆωcossenωcosˆ

senωsencosωcosˆ

senωsencosωcosˆsenωcoscosωsenω

ωcosˆωcosˆωsenω

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

−=

=+−−

⇒−=

=−++−

⇒+=+++−

…

…

…

…

de donde, igualando los términos en seno y coseno,

eii

eii

E I L I R

E I L I R

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

senˆcosωsenˆ

cosˆsenωcosˆ

=+

=−

Resolviendo estas dos últimas ecuaciones se obtienen los valores de I

yφ

i buscados:

222

222222

ω

ˆˆˆˆωˆ

L R

E I E I L I R

+=⇒=+




e

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

e

ii

ii

R

L

R

L

R

L

R

R

R

L

R

R

L R

L Rϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ tan

tanω

tan

tanω

1

cos

cosω

cos

sen

cos

senω

cos

cos

tancosωsen

senωcos=

+

−=

+

−

⇒=+

−

y llamando R

Lωtan =ϕ

( ) ei

ii

i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ tantan

tantantan

tantan1=+=

+

−

de donde

ϕ ϕ ϕ −= ei

Como puede apreciarse, este método resulta muy laborioso.

4.2.2 Método Simbólico

Escribimos tanto las excitaciones como las respuestas, que serán funcionessenoidales del tiempo de la misma frecuencia, como parte real de unafunción compleja con la siguiente notación:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )ii

jω j jω

ee

jω j jω

ωsen jωcosˆ eeeˆˆ

ˆRe

ωsen jωcosˆ eeˆeˆˆ

ˆRe

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

+⋅++===

=

+⋅++===

=

t t I I

i

t t E E

e

t t

t t

g

g g

i

e

Ii

i

Ee

e

donde

i

e

I

E

ϕ

ϕ

j

j

eˆ

eˆˆ

=

=

I

E

Utilizando estas funciones complejas y sustituyendo en (4.5), se obtiene:




t t t R L jω jω jω eˆeˆeˆ jω EII =+ (4.6)

El hecho de que el término e

jωt

aparezca en todos y cada uno de lostérminos de las ecuaciones, hace que pueda simplificarse, convirtiéndoseen ecuaciones en números complejos que permiten despejar las amplitudescomplejas de las incógnitas. Los valores reales se obtienen a partir de lasamplitudes complejas multiplicando por el factor e

jωt y extrayendo la partereal.

Así, en (4.6) se puede despejar

L R jω

ˆˆ+

= EI

de donde

ϕ ϕ ϕ −=

+=

ei

L R

E I

222ω

ˆˆ

Al escribir las variables de los circuitos como funciones complejas deltiempo, tal y como se acaba de explicar, el operador derivada puedesustituirse por una multiplicación por la constante compleja jω, asícualquier ecuación procedente del análisis de circuitos se convierte en unaecuación algebraica en el campo complejo.

La admitancia e impedancia operacionales se convierten en admitanciascomplejas e impedancias complejas , respectivamente. En concreto para losprincipales elementos de circuito: resistencia, bobina y condensador, seobtienen las siguientes ecuaciones de definición en el campo complejo:




u = Ri

u = jω Li

i = jωC u

(4.7)

Las ecuaciones anteriores se han escrito sin el símbolo de amplitud ^, paraexpresar la relación entre los valores eficaces complejos de las magnitudesen lugar de la relación entre las amplitudes complejas, tal y como es usualen electrotecnia.

Para hallar un valor instantáneo de cualquier función temporal es precisomultiplicar el valor eficaz por 2 y por e jωt y, después, extraer la parte real

y sustituir el valor de la variable t deseado. Este proceso es equivalente agirar el vector complejo representado por el valor eficaz un ángulopositivo ωt en el plano complejo, proyectar sobre el eje real y multiplicar

por 2 . Este hecho, de que los vectores complejos al girar con una velocidad angular constante ω, puedan representar la evolución temporalde distintas magnitudes físicas, se tiene en cuenta en la denominación,

llamándoseles en muchas ocasiones fasores en vez de vectores, para resaltarel hecho de que su fase en el plano complejo es una función del tiempo.

Si se representan sobre el plano complejo los fasores de tensión eintensidad para un elemento de circuito, el desfase entre ambasmagnitudes suele representarse por la letra griega ϕ, entendida comodiferencia entre la fase de la tensión y la fase de la intensidad, es decir,

ϕ = ϕ u − ϕ i

Según esto y (4.7), se tiene:

En una resistencia, tensión e intensidad están en fase.

En una bobina, la tensión adelanta 90º a la intensidad.

En un condensador, la tensión retrasa 90º respecto a la intensidad.




En el estudio de la corriente alterna, a las partes real e imaginaria de lasimpedancias y admitancias se les dan nombres específicos con los que esconveniente estar familiarizados. Vamos a estudiarlos a continuación:

Impedancia compleja

Z= R+j X , donde R es la resistencia y X la reactancia .

Admitancia compleja

Y=G+ j B, donde G es la conductancia y B la susceptancia .

La admitancia correspondiente a una impedancia es su inversa y viceversa,con lo que la relación entre R, X , G y B para un elemento de circuito dadoresulta.

Y

1Z =

Z

1Y =

22 BG

G

R += 22 X R

R

G +=

22 BG

B X

+−=

22 X R

X B

+−=

Z= Z e jϕ

Y=Y e− jϕ

R

X =ϕ tan

G

B−=ϕ tan

E

R L

I

C

u R u L

uC

figura 4.4: Circuito serie RLC




ejemplo 4.2

Realicemos el diagrama fasorial de un circuito serie RLC como elrepresentado en la figura 4.4.

Las ecuaciones de los distintos elementos pasivos son:

C

L

R

C

L

R

ω j

jω

IU

IU

IU

−=

=

=

Y la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff al circuito permiteescribir

IUUUE

−+=++=C

L RC L Rω

j jω

Lo que permite despejar I en función de la tensión de la fuentecomo

R

C L

C L R

E I

I

C L R

ei

i

ω

1ω

arctan

ω

1ω

)ω

1 j(ω

2

2

−−=

−+

=

=−+

=

ϕ ϕ

ϕ /E

I

El diagrama fasorial aparece representado en la figura 4.5, endonde el efecto inductivo de la bobina predomina sobre el efectocapacitivo del condensador dando lugar a una carga resultanteinductiva, en la que X >0 y ϕ >0. Si hubiese predominado el efecto




capacitivo, se habría obtenido un diagrama vectorial como el de lafigura 4.6 y, en este caso, se cumple X <0 y ϕ <0.

E

I U R

U L

UC

figura 4.5: Diagrama fasorial de uncircuito RLC de característica inductiva

E

ϕ

I

U R

U L

UC

figura 4.6: Diagrama fasorial de uncircuito RLC de característica

capacitiva

Sin que el desfase llegue a ser 90º como en el caso de la bobina o elcondensador, sigue cumpliéndose que para cargas inductivas latensión adelanta respecto a la intensidad y para cargas capacitivasla tensión retrasa respecto a la intensidad.

e1

1 Ω

20 mH=2j Ω

5 mF=-2j Ω

V100cos2101 t e = V100cos2202 t e =

10 mH=j Ω

E2=20 V

E1=10 V

e2

u

B

AI1

I2I

figura 4.7: Circuito delejemplo 4.3

ejemplo 4.3

Tratemos de determinar ahora, para el circuito de la figura 4.7, el valor de la tensión u como función del tiempo.

En la malla izquierda




( )

j1

j1

+

−−=

+−−=

11

11

EUI

IEU

En la malla derecha

( )

j2

j2

22

22

EUI

IEU

+=

−−−=

Del nudo A

j221

UIII =+=

de donde obtenemos

( ) ( )2

j1

j2

j1 j2 j1 j2

2121

21

−+−=

++−=

++

+

−−=

EEEEU

EUEUU

Sustituyendo E1=10 y E2=20, resulta

U = −10+10(1− j) = −10j V

es decir,

( ) Vº90ωcos210 −= t u

ejemplo 4.4

Del circuito de la figura 4.8 se sabe que el amperímetro A marca4 A eficaces, la impedancia Z2 es capacitiva pura, la impedancia Z3

es inductiva y R= X y que el conjunto formado por el paralelo de




las impedancias Z2 y Z3 se comporta como una resistencia pura de valor 5 Ω. Se nos pide determinar I1, I2 e I3, determinar Z2 y Z3 ycalcular el valor de la tensión de la fuente U1

U1

Z1=3+j4 Ω

U

B A

Z2Z3

I3I2

I1


U

dirección de I2 U1

dirección de I3

I1

Paralela a I3

por el extremo

de I I2

I3

figura 4.9: Diagrama fasorial del ejemplo 4.4

Para resolver este ejercicio nos ayudaremos de la representaciónfasorial de la figura 4.9. En primer lugar, podemos calcular el valorde la tensión U, pues entre las dos impedancias Z2 y Z3 secomportan como una resistencia, y esta resistencia está atravesadapor la intensidad I1 cuya amplitud es conocida, pues es la que

marca el amperímetro. Si asignamos el origen de fases, lo quepodemos hacer de forma arbitraria, a I1 ,entonces,

I1=4 A

U=4×5=20 V

Con los datos que tenemos de Z2 y Z3 no podemos calcular I2 e I3,pero sí podemos determinar sus fases, pues




Z2=− Z 2 j= Z 2/−90º

( )45º2

j13

3

3 / Z

Z

=

+

=Z

al ser capacitiva pura Z2 e inductiva Z3 con R= X . Así,

j20

90ºA20

90º-

0º20

222

2 Z Z Z

=+== //

/I

( ) j12

20º45A

20

45º

0º20

333

3 −=−== Z Z Z

///I

La suma de ambas en el nudo B debe producir la intensidad I1=4

A, de donde se obtiene

( )

−=

=

⇒−+=

32

3

32

2

20200

2

204

j1220 j204

Z Z

Z Z Z

como resultado de resolver este sistema de ecuaciones, tenemos

( )

j5º905

j12

5º45

2

5

2

3

−=−Ω=

+=Ω=

/

/

Z

Z

Este proceso de cálculo supone en la figura 4.9 dibujar lasdirecciones y sentidos de I2 e I3 sobre los extremos del vectorresultante I1, obteniéndose así sus componentes.

Conocidas I1 y U es fácil determinar U1 como

U1 = I Z1+U = 4(3+4j)+20 = 32+16j = 16(2+j) V




4.3 Potencia en Régimen Estacionario Senoidal

Para un dipolo con la misma referencia de tensión e intensidad se hadefinido en (1.29) la potencia absorbida como

p(t ) = u(t ) i(t )

En régimen estacionario senoidal,

( ) ( )

( ) ( )i

u

t I t i

t U t u

ϕ

ϕ

+=

+=

ωcos2

ωcos2

de donde se obtiene una expresión para la potencia instantánea para sistemasen régimen estacionario senoidal

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

fluctuante potenciamedia potencia

2ωcoscos

ωcosωcos2

iuiu

iu

t UI UI t p

t t UI t p

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

+++−=

++= (4.8)

La parte UI cos(ϕ u−ϕ i) es la potencia media y la parte UI cos(2ωt +ϕ u+ϕ i)es la potencia fluctuante . El ángulo ϕ u−ϕ i se denomina generalmente ϕ .

Es usual, como veremos más adelante, definir las magnitudes

P = UI cosϕ

Q = UI senϕ

(4.9)

en función de las cuales es posible escribir la expresión (4.8) como

( ) ( )( ) ( )ii t Qt P t p ϕ ϕ +−++= ω2senω2cos1

Al igual que con la tensión y la intensidad, es posible definir fasorescomplejos para la potencia instantánea y sus componentes, la potenciamedia y la potencia fluctuante, por ejemplo mediante la notación siguiente:




( ) ( )

( ) ( )k k k

jω2k k

jω2 jk k

jω2 jk k

k k k k

*

k k

j*

k k

j*

k k

j

k

jω j

k

jω j

k

j

k

jω j

k

jω j

k

eeeee2ˆˆ

ee2ˆˆ

eeeee2ˆ

eeeee2ˆ

k k k k

k k k k

k k k

k k k

iut t t

iu

t t

t t

iuiu

iuiu

iii

uuu

UI UI

UI UI

I I I

U U U

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

+=⋅==⋅=⋅

−==⋅==⋅=⋅

===

===

+++

−−−

IUiuiu

IUiuiu

Iii

Uuu

Así, es posible expresar la potencia instantánea en función de losproductos de magnitudes complejas definidos mediante las siguientesoperaciones:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )*

k k k k

*

k k k k

*

k k k k

**

k k

*

k k *

k

*

k k k k

*

k

*

k k

*

k

*

k k k

*

k k *

k k k k k k k

ReReReˆˆReˆˆRe2

1

2

ˆˆˆˆ

2

ˆˆˆˆ

2

1ˆˆˆˆˆˆˆˆ4

1

2

ˆˆ

2

ˆˆˆReˆRe

iuiuiuiuiuiu

iuiuiuiu

iuiuiuiu

iiuu

iu

+=+=

+=

=

+

++

=

+++=

=

++

===

…

…t it ut p

Según las ecuaciones anteriores, la potencia instantánea compleja puedecalcularse como la parte real de un número complejo. A diferencia de latensión o la intensidad, este número complejo contiene una parte fija y unaparte giratoria con una velocidad angular 2ω. Al vector complejo cuyaparte real nos da la potencia instantánea lo llamamos potencia instantáneacompleja

complejafluctuante potencia

k k

complejaaparente potencia

*

k k k iuiup += (4.10)

Podemos dar nombre también a cada uno de los componentes de lapotencia instantánea compleja. Así la parte constante uk ik

* la llamaremos potencia aparente compleja , y la parte giratoria uk ik la llamaremos potencia fluctuante compleja . Para cada una de estas componentes podemos introducirla notación siguiente:




( ) ( )t t

DC

d c

Q P q p

I U

I U

t

t t t

k k k

k k k k k

j2ω

k k k k

*k k k k k k k k

j2ω j

k k

j2ω

k k

j2ω

k k k k

j

k k

*

k k k

*

k k k

j

e j

j j

eeee

e

k

k

f sp

IUF

Ff

IUSs

IUFiuf

IUSius

+=

=+=

=+==+==+=

====

====+ϕ

ϕ

(4.11)

Las fórmulas anteriores se han escrito con un subíndice k , para indicar quepueden referirse a una rama cualquiera de un circuito y que es posible

calcular la potencia instantánea total de un circuito como suma de laspotencias instantáneas complejas. Como el factor e

j2ωt aparece en todoslos términos de potencia fluctuante resulta posible sumar los vectores depotencia aparente por una parte para obtener una potencia aparente resultante y los fasores de potencia fluctuante para obtener una potencia fluctuanteresultante . Multiplicando esta última por el factor e

j2ωt , sumándola a lapotencia aparente resultante y extrayendo la parte real se obtendría lapotencia instantánea resultante del circuito. Este proceso viene

desarrollado a continuación.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ΣΣΣ

======

=====Σ

==Σ

+=

+++=+++=

=+=+==

==

ΣΣ

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑

FSp

IUIUiuiupp

p

FS

t

nnt

nnnt

n

nt

nnnn

nn

t

DC Q P DC Q P

t t

t t pt p

j2ω

1k

k

1k

k

j2ω

1k

k

1k

k

1k

k k

j2ω

1k

k k

1k

j2ω

k k

1k

*

k k

1k

k k

1k

*

k k

1k k

1k k

1k

k

e

je j je j

e

Re

…

Para un solo elemento de circuito, SΣ=FΣ pero, en general, esto no es asípara un conjunto de ramas de un circuito. En la figura 4.10 vemos unarepresentación fasorial de tensión, intensidad y potencia para un elementode circuito. Hay que tener en cuenta que tensión e intensidad son fasores




con velocidad angular ω, la potencia aparente es un vector complejo fijo yla potencia fluctuante es un fasor con velocidad angular 2ω.

Analicemos las expresiones de la potencia instantánea para los elementospasivos simples de circuito. Para ello partimos de (4.8), que reescribimos acontinuación.

( ) ( )iut UI UI t p ϕ ϕ ϕ +++= 2ωcoscos

figura 4.10: Diagrama fasorial detensión, intensidad y potencia paraun elemento de circuito

p

ϕ i

F

F

S

ϕ

ϕ i

Ι

ϕ u

U

figura 4.11: Evolución enel tiempo de la potenciainstantánea para unelemento de circuito

pF

F

S

Ι

U

2ωt

2ωt

ωt

ωt




Resistencia

( )

( ) fluctuante potencia

2

media potencia

2 22ωcos

0 u

iut RI RI t p R ϕ

ϕ

ϕ ϕ ++=⇒

=

=⇒= IU

Se observa que la potencia fluctuante presenta valor medio nulo y unaamplitud igual al valor medio de la potencia instantánea, RI 2. La potenciainstantánea absorbida es, en todo instante, mayor que cero.

Bobina

( )

fluctuante potencia

2

2

π22ωcosω

2

π2π

jω

−+=⇒

=

+=⇒= u

iu

t LI t p L ϕ

ϕ

ϕ ϕ IU

Es decir, se tiene una potencia media nula y una potencia fluctuante de valor medio nulo y amplitud de oscilación ω LI

2= XI

2.

Condensador

( )

fluctuante potencia

2

2

π22ωcosω

2

π2

π

jω

++=⇒

−=

−=⇒= u

iu

t CU t pC ϕ

ϕ

ϕ ϕ UI

Es decir, se tiene una potencia media nula y una potencia fluctuante de valor medio nulo y amplitud de oscilación ωCU

2= BU 2.

Puede observarse que, para la misma tensión, la potencia instantánea de labobina y el condensador están desfasadas en 180º.

Se dice que un dipolo es receptor de potencia o consumidor de potencia cuando lapotencia activa absorbida es mayor que cero y generador de potencia cuando lapotencia activa absorbida es menor que cero. Si se representangráficamente los fasores de tensión e intensidad de un dipolo, como enfigura 4.12, tomando origen de fases en la tensión (¡con las referencias de




tensión e intensidad coincidentes!). Los dipolos consumidores sonaquéllos en que la intensidad queda en el mismo semiplano que la tensión(proyección positiva, o |ϕ |<π/2 ), y los dipolos generadores son aquéllos en

que la intensidad queda en el semiplano contrario al de la tensión(proyección negativa o |ϕ |>π/2 ).

figura 4.12: Diagrama fasorial de tensión eintensidad de un dipolo

U

Dipolos generadores

|ϕ i|<π/2

Ι

U

|ϕ i|<π/2

|ϕ i|>π/2

|ϕ i|>π/2

Ι

Ι

Ι

Dipolos consumidores

Ι

4.3.1 Potencia Aparente Compleja

En el estudio de circuitos en régimen estacionario senoidal se sueletrabajar con el vector potencia aparente compleja para caracterizar laspropiedades del consumo o generación de potencia de los distintoselementos de circuito o circuitos. Según se definió en (4.11), el vectorpotencia aparente compleja se calcula como

S = U I*

= UI e jϕ

= UI cosϕ + jUI senϕ = P + jQ

Se manejan tres nombres distintos para la misma magnitud dimensional(potencia) para distinguir conceptualmente de qué se está hablando alnombrar las unidades, sin tener que hacer mención específica del término. Así, la potencia aparente compleja se mide en VoltioAmperios , VA, lapotencia activa en Vatios , W y la potencia reactiva en VoltioAmperiosreactivos , VAr. Por ejemplo, se puede decir que una carga consume 3 kVAr,y ya se sabe que se trata de potencia reactiva. Al módulo de la potencia




aparente compleja, S =UI , se le denomina potencia aparente y se mideigualmente en VoltioAmperios , VA.

En un circuito, la potencia activa representa siempre el valor medio de lapotencia instantánea consumida por ese circuito. En cuanto a la potenciareactiva, no existe una interpretación física clara de su significado. De ellase puede decir que está relacionada con la amplitud de la oscilación de lapotencia fluctuante y que tiene que ver con los desfases entre tensión eintensidad. También, como veremos más adelante, tiene una utilidadespecial en el análisis de circuitos porque en todo circuito tiene que haberun balance no sólo de potencias activas sino también de potenciasreactivas.

Veamos ahora las expresiones de las distintas potencias para un elementode circuito caracterizado por su impedancia o su admitancia.

4.3.2 Expresión de las Potencias en Función de Impedancia y

Admitancia

Supóngase una impedancia que relaciona la tensión y la intensidad de undipolo según U=Z I, entonces,

S = U I* = Z I I* = Z I 2 = RI 2 + j XI 2

es decir,

P = RI 2

Q = XI 2

Si expresamos la relación tensión−intensidad del dipolo en función de unaadmitancia compleja Y, según I=Y U, entonces,

S = U I* = U Y

*U

* = Y

*U

2 = GU

2 − j BU

2

es decir,

P = GU 2




Q = − BU 2

En una resistencia, P = RI 2 y Q=0, de donde se concluye que la resistencia

consume exclusivamente potencia activa.

En una bobina, P =0 y Q=ω LI 2, la bobina consume exclusivamentepotencia reactiva.

En un condensador, P =0 y Q=−ωCU 2, el condensador genera

exclusivamente potencia reactiva.

Según esto, cuando una impedancia consume potencia reactiva se dice quetiene carácter inductivo y cuando genera potencia reactiva se dice que tienecarácter capacitivo.

Como ya hemos visto, tanto la impedancia compleja como la potenciaaparente compleja son vectores complejos (no fasores, sino vectores fijos). Tanto las impedancias, como las admitancias y las potencias aparentescomplejas, junto con sus componentes, al representarse gráficamente, danlugar a lo que se conoce como triángulo de impedancias , triángulo de admitancias

y triángulo de potencias que, como vamos a ver, para un mismo elemento decircuito, son triángulos proporcionales.

ϕ

Ι

Ζ

R

j X ϕ

Ι

U=Ζ I

RI

j X I ϕ

Ι

∗

S=Ζ I 2

RI 2

j XI 2

Triángulo de

Impedancias

Triángulo de

Potencias

Triángulo de

Tensiones

−ϕ

U

Y

G

j B −ϕ

U

I=Y U

GU

j BU

Triángulo de

Admitancias

Triángulo de

Intensidades

figura 4.13: Triángulos proporcionales de tensiones,intensidades, impedancias,admitancias y potencias




Partimos de una impedancia Z= R+j X , suponemos que R y X son positivas,de modo que la correspondiente admitancia Y=G+j B, tendrá G positiva y B negativa. Representemos ahora gráficamente estos vectores complejos.

Después multiplicamos por la intensidad o por la tensión según se trate deimpedancias o admitancias, respectivamente, hasta obtener loscorrespondienes triángulos de potencias como se indica en la figura 4.13.

4.3.3 Teorema de Boucherot

En corriente alterna son aplicables a los fasores complejos todos losteoremas y métodos de análisis estudiados en los temas anteriores para las variables dependientes del tiempo. En concreto la 1ª Ley de Kirchhoff se

ha de cumplir para todas las intensidades Ik de un circuito y la 2ª paratodas las tensiones Uk . Si se toma el conjugado complejo de todas lasecuaciones resultantes de aplicar las dos leyes de Kirchhoff a todas lasramas del circuito, se obtiene como conclusión que la primera ley deKirchhoff también se cumplirá para todas las intensidades conjugadas Ik

* yla segunda ley para todas la tensiones conjugadas Uk

*.

El teorema de Tellegen puede aplicarse combinando las tensiones Uk conlas intensidades conjugadas Ik

*, obteniéndose

=

=

⇒==∑

∑

∑∑0

0

0

circuitodelramaslastodas

k


k


k


*

k k Q

P

SIU (4.12)

Resultado que se conoce como teorema de Boucherot , y que nos dice que enrégimen estacionario senoidal se produce en todo circuito un balance tantode las potencias activas absorbidas como de las potencias reactivasconsumidas. (En conjunto se produce un balance de las potenciasaparentes complejas.) Según lo estudiado anteriormente, también se puededecir que se produce un balance de todas las potencias fluctuantesabsorbidas.




Este hecho es lo que confiere importancia como magnitud de trabajo a lapotencia reactiva en el estudio de los circuitos en régimen estacionariosenoidal.

Comprobemos este resultado para el circuito de ejemplo de la figurasiguiente:

1+j A

10 V

I2

Dipolo 1 Dipolo 2 3+j4 Ω


ejemplo 4.5

En la figura 4.14, el dipolo 1 cede

10 V (1− j) A=10− j10 VA

La impedancia central tiene una intensidad de

( ) A6,1 j2,1 j434,0169

j4310

j43

10−=−=

+−

=+

y consume, por lo tanto, una potencia

10 V (1,2+j1,6) A = 12+j16 VA

La intensidad I2 se puede obtener como la diferencia (1ª Ley deKirchhoff)

1+j−(1,2− j1,6) = −0,2+j 2,6 A

El dipolo 2 consume, entonces,

10 V (−0,2− j 2,6) A = −2− j 26 VA

o lo que es lo mismo genera 2+j26 VA.




Haciendo el balance puede observarse que tanto el dipolo 1 comoel dipolo 2 generan potencia activa que es consumidacompletamente en la impedancia central. La potencia reactiva es

generada en su totalidad por el dipolo 2 y consumida entre eldipolo 1 y la impedancia central.

Es importante recordar, como puede apreciarse en los cálculosprecedentes, que para calcular la potencia compleja es precisoconjugar el fasor intensidad, ¡ no es suficiente multiplicar tensiónpor la intensidad !

4.3.4 Factor de Potencia

Recordemos la expresión de la potencia activa consumida por un dipolo P =UI cosϕ . El término cosϕ tiene una importancia relevante en elestudio del consumo de la energía eléctrica. Se conoce como factor de potencia y para comprender su importancia vamos a estudiar un ejemplomuy simplificado de un posible transporte de energía eléctrica mediantecorriente alterna monofásica.

Supongamos que podemos caracterizar el consumo de una cierta

instalación de energía eléctrica mediante una potencia activa, P , consumidacon un desfase entre tensión e intensidad dado por un ángulo ϕ , con loque la instalación presentará un factor de potencia cosϕ . Si el suministrode energía eléctrica se realiza, como es usual, manteniendo la tensión U constante, podemos calcular la intensidad requerida por la instalación enfunción de la tensión de alimentación, la potencia requerida y el cosϕ de lainstalación despejando de la expresión anterior:

ϕ cosU

P I =

Línea de transporte

100 V

Central

Eléctrica Consumidor

I P

cos

figura 4.15: Líneamonofásica detransporte de potencia




Veamos la importancia de que los consumidores de energía eléctricatengan un factor de potencia lo más alto posible. Pensemos en un sistemamuy simplificado de suministro como el que se representa en la figura

4.15.

Imaginemos un consumo de 100 W de potencia activa por el consumidor.Si el consumidor tuviese una instalación con un cosϕ =0,1, la intensidadque circularía por la líne de transporte sería 10 A. En cambio si el cosϕ del consumidor fuese igual a la unidad, la intensidad que circularía por lalínea de transporte sería de 1 A. De esta forma vemos que cuanto másbajo es el factor de potencia, más intensidad circula por las líneas y, por lotanto, menos consumidores podrán ser abastecidos por la misma línea.

Además de las mayores pérdidas que se tendrán en las líneas debidas alcalentamiento por efecto Joule.

En general, las compañías eléctricas asumen que los consumos domésticosse realizan con un factor de potencia próximo a la unidad y no facturan laenergía reactiva a los domicilios particulares. Sin embargo, en el caso deconsumidores industriales, las compañías de electricidad facturan tambiénla energía reactiva (podría decirse que por el uso excesivo que se hace delas líneas) a la vez que limita los factores de potencias admisibles, parapoder prever la utilización de las líneas.

Si en una instalación dada no se consigue un factor de potencia superior alrequerido por las compañías eléctricas es preciso corregirlo. De estamanera se consigue también ahorrar en el consumo de energía reactiva.Para corregir el factor de potencia es preciso utilizar alguna fuente depotencia reactiva y, por lo general, ésta no es otra que baterías decondensadores. Veamos cómo podemos determinar la capacidad que

debería tener un condensador para corregir el factor de potencia desde un valor cosϕ al valor requerido por la compañía cosϕ m, en el supuestosimplificado de que la tensión de la línea se mantenga constante,independientemente del factor de potencia de la carga.

El cálculo puede deducirse de la figura 4.16. Como puede apreciarse, elcondensador debe proporcionar la potencia reactiva suficiente QC =ωCU 2,como para que la potencia reactiva disminuya a Qm, donde a P y Qm lescorresponde el factor de potencia deseado cosϕ m:




( )

( )2

2

ωtantan

tantanω

tantan

U P C

P CU

P P QQQ

m

m

mmC

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

−=

−=

−=−=

U

S

ϕ

Instalación

Eléctrica

cos ϕ

P

Q

C

U

Instalación

Eléctrica

cos

P cos m

P Sϕ

Q

QC

Qmm

Sm

P

P

figura 4.16: Compensación de energía reactiva de una instalación eléctrica

4.3.5 Medida de Potencia

Vamos a ver un posible principio de funcionamiento para un aparato quefuese capaz de marcar la potencia activa consumida por una rama decircuito. Para ello recordamos el principio de funcionamiento de unamperímetro de bobina móvil . Una bobina montada sobre un soporte en formade carrete se coloca entre los dos polos de un imán permanente sometida ala acción del campo magnético de un imán, y se sujeta mediante un muelle

de torsión que tiende a impedir los desplazamientos angulares de labobina. Si se hace llegar a la bobina la corriente que atraviesa una rama decircuito, la acción del campo magnético tenderá a hacer girar la bobina,que se detendrá en el punto en el que la fuerza del campo magnético y ladel muelle de torsión se compensen entre sí, obteniéndose de esta maneraun desplazamiento angular de la bobina proporcional a la intensidad quese desea medir.

Si hacemos llegar a la bobina una corriente alterna, la bobina, o una aguja

pegada a ella, empezará a oscilar intentando seguir a la corriente. Si la




frecuencia de la corriente alterna es tal que la inercia del sistema mecánicono le permite mantener la oscilación, la aguja se quedará en la desviaciónmedia, correspondiente al valor medio de la intensidad que se desea

medir. En el caso de una corriente alterna, al ser su valor medio nulo, nose observaría ninguna desviación en la aguja. Por lo general lo que se deseaes medir el valor eficaz, para lo cual se rectifica la intensidad alterna, demodo que la aguja señale el valor medio, y dada la relación conocida entreel valor medio y el valor eficaz para funciones senoidales, basta con hacerlas marcas de la escala de acuerdo con el valor eficaz y no con el valormedio.

Si en vez de utilizar un imán permanente utilizamos un electroimán en el

que el campo magnético se hace proporcional a la intensidad de algunarama del circuito, la desviación de la aguja sería ahora proporcional ya nosólo a la intensidad que atraviesa la bobina móvil, sino tambiénproporcional al campo magnético, y por lo tanto a la intensidad queatraviesa la bobina fija del electroimán. Si se conectan las dos bobinas enun circuito de tal manera que la bobina móvil sea atravesada por unaintensidad proporcional a la tensión de la rama para la cual se desea medirla potencia y la bobina fija sea atravesada por la intensidad de esa rama, ladesviación de la aguja será proporcional al producto de la tensión por la

intensidad de la rama cuya potencia se quiere medir.

Para la frecuencia usual de la energía eléctrica industrial, 50 Hz, la aguja,debido a su inercia mecánica, como ya se ha comentado, se sitúa en undesplazamiento proporcional al valor medio del producto de tensión porintensidad, que no es otro que la potencia media de la rama en cuestión.Esta potencia, como sabemos, coincide con la potencia activa de la rama.

Éste es el principio de funcionamiento del vatímetro. Según lo dicho, en los vatímetros se cuenta con cuatro terminales, dos corresponden a la bobinavoltimétrica , que se conectarán como un voltímetro, y dos a la bobinaamperimétrica , que se conectarán como un amperímetro.

Como puede apreciarse en la figura 4.17, dos de los terminales del vatímetro, uno de la bobina voltimétrica y otro de la bobinaamperimétrica, 1 y 2, se deben conectar siempre al mismo punto delcircuito. En los instrumentos, estos terminales suelen venir marcados conun asterisco *.




1

I

U

1'

2'2

Bobina suspendida mediante

un muelle de torsión

1 1'

2'

2

2'

21 1'

figura 4.17: Representación esquemática de un vatímetro y símbolo de circuito

Para efectos de cálculo, puede considerarse que un vatímetro en suconexión estándar (con las referencias de tensión e intensidad apropiadasen la rama donde se conecta) indica como medida la magnitud

Re(U I*)

En otras palabras, da el producto escalar de los fasores U e I.

A continuación vamos a estudiar algunas particularidades que se producenal aplicar los métodos y teoremas de análisis de circuitos al régimenestacionario senoidal.

4.4 Aplicación del Cálculo Fasorial en Circuitos con Fuentes deDistintas Frecuencias

Si tratásemos de aplicar la técnica simbólica estudiada de los fasorescomplejos, para analizar circuitos en régimen estacionario senoidal confuentes de diversas frecuencias, nos encontraríamos con la dificultad de nosaber qué frecuencia utilizar al tratar de calcular las impedancias complejasde los distintos elementos. La técnica estudiada no es aplicable sin más enestos circuitos. Si se quiere poder aplicar esta técnica, es necesario

proceder de la forma siguiente, como se verá en el ejemplo posterior.




1. Aplicar el teorema de superposición descomponiendo el circuitooriginal en tantos circuitos componente como distintas frecuenciasestén presentes en el circuito.

2.

Analizar cada uno de los circuitos componentes con una únicafrecuencia según la técnica simbólica estudiada.

3.

Pasar en cada uno de los circuitos componentes los resultadosobtenidos en el campo complejo al régimen del tiempo multiplicandopor e

jωt (utilizando en cada circuito componente su propia ω ) yextrayendo la parte real.

4.

Aplicar el principio de superposición a las funciones del tiempoobtenidas para cada una de las variables.

e g =10 cos 100t

1 Ω

i g10mHe g

i g =20 cos 200t

¿i?

1 Ω

j Ω

20j/√2 i' 1 Ω i''

2j Ω10/√2


ejemplo 4.6

Sea el sistema de la figura 4.18, que se ha desdoblado en doscircuitos según el principio de superposición. En el primero deellos




( )( )

π/4=−

=+

=′ -/52

j1

2

10

j12

10I

Que en el régimen del tiempo se convierte en

( )

4π

−=′ t t i 100cos25

En el segundo circuito,

( )( )

2arctan2

58

25

j2140

j21

j2

2

j20

-/=−

=+−

=′′I

Que en el régimen del tiempo se convierte en

( ) ( )2arctan200cos58 −=′′ t t i

La solución global para i resulta ser

( ) ( ) ( ) ( )2arctan200cos58100cos25 −+

4π

−=′′+′=′ t t t it it i

4.5 El Principio de Superposición Aplicado a Potencias

Es importante recalcar que el principio de superposición sólo puedeaplicarse a magnitudes lineales como la tensión y la intensidad, pero no a lapotencia. Esto es una consecuencia misma de la definición de potencia.

Para verlo basta con suponer que se calculan tensión e intensidad de unarama de circuito como superposición de las variables de dos circuitos:

u = u' +u''

i = i' +i''

En el circuito original la potencia de esa rama se calcula como

p = ui = (u' +u'' )(i' +i'' ) = u'i' +u'i'' +u''i' +u''i''




Este resultado no coincide evidentemente con la suma de las potenciasque se obtendrían para esa rama en los circuitos componentes p' =u'i' y p'' =u'' i'' .

Lo mismo puede afirmarse de la potencia activa y reactiva en un circuitoen régimen estacionario senoidal cuando éste está alimentado por fuentesde una única frecuencia. Sin embargo, es interesante señalar que, si seaplica el principio de superposición a circuitos con fuentes de distintafrecuencia y se calculan las potencias activa y reactiva del circuitoresultante, en este caso particular el resultado sí coincide con la suma delas potencias activas y reactivas de los circuitos componentes. (Al ser lasfunciones seno y coseno de frecuencias distintas ortogonales, al calcular el

valor medio las integrales de los productos de variables de dos circuitosdistintos: u'i'' y u''i' se anulan).

4.6 Teorema de Máxima Transferencia de Potencia en Corriente Alterna

Al igual que en corriente continua, es posible plantearse para quéimpedancia compleja una fuente real compleja opera en condiciones demáxima transferencia de potencia activa. Se trata de un conjunto de

problemas sencillos de máximos y mínimos sobre la función P = RI 2

.

E g

Z g

Z

figura 4.19: Fuente real que alimenta una

impedancia compleja

Para el circuito de la figura 4.19, esta función puede escribirse como

( )ϕ ϕ

ϕ

sencos2

cos

)()( 22

2

22

2

2

g g g

g

g g

g

X R Z Z Z

ZE

Z Z R R

RE RI P

+++=

+++==

La búsqueda de máximos de esta expresión pasa por la fijación de una o

más variables como constantes y por el cálculo de derivadas con respecto a




las otras variables. En la tabla 4.2 se representan los distintos casos que sepueden presentar y un resumen de las conclusiones.

tabla 4.2: Condiciones de máxima transferencia de potencia

R X Z ϕCondición de máxima transferencia de

potencia

cte. var. X = − X g

var. − X g =cte. R = R g

var. cte. ( )22

g g X X R R ++=

var. var. R = − R g y X = − X g ⇔ Z = Z g *

var. cte. Z = Z g

cte. var. 22

sen2sen

g

g g

Z Z

ZZ

+−=

ϕ ϕ

var. var. Z = Z g y ϕ = −ϕ g ⇔ Z = Z g *

4.7 Configuración Tipo Puente en Corriente Alterna

Todo lo estudiado sobre la configuración tipo puente es válido encorriente alterna. Recordemos la ecuación de equilibrio para un puentecomo el de la figura 4.20:

Z1 Z4 = Z2 Z3 (4.13)

De la misma manera que en corriente continua se puede utilizar unaconfiguración como ésta de elementos de circuito para la medida deresistencias ( puente de Wheatstone ), exiten en la técnica de corriente alternadistintas configuraciones especiales con aplicaciones fundamentalmente entécnica de medidas. Una de ellas es el puente de Schering , que se usa paramedir capacidades y estudiar propiedades de los aceites aislantes. En lafigura 4.21 se muestra la disposición de los elementos en el puente de

Schering.




A

M N

Z4

Z1Z2

Z3

Z g

B figura 4.20: Configuración tipo puente

En este caso, la ecuación de equilibrio (4.13) del puente es una ecuación ennúmeros complejos por lo que es preciso disponer de dos parámetros

ajustables en el puente para poder equilibrarlo. (Deben igualarse lasecuaciones de la parte real y la de la parte imaginaria). Se trata dedeterminar el valor de Z1, es decir R1 y C 1.

La expresión (4.13) puede escribirse también como

Z1 = Z2 Z3 Y4

de donde pueden calcularse R

1 yC

1 según:

=

=⇒

⇒−=

+−=−

3

421

2

341

42

3

2

344

4

3

21

1ω

jω

ω jω

1

ω

1 j

ω

1 j

R

RC C

C

RC R

RC

R

C

RC C

R R

C C R

4.8 Circuitos Acoplados Magnéticamente en RégimenEstacionario Senoidal

Se recomienda al lector que, previamente al estudio de este apartado,repase las definiciones y los resultados del apartado 1.10.

En un sistema de bobinas acopladas magnéticamente, cada bobina ve elflujo creado por su propia intensidad y una parte del flujo de cada una del

resto de las bobinas con las que comparte acoplamiento magnético.




R4

C 1

C 2

R3

R1

C 4

Elemento de protección por si falla el aislamiento

de C 4

figura 4.21: Puente de Schering

En 1.10 se estudió la descomposición de los flujos magnéticos de bobinasacopladas en flujos de dispersión y flujos mutuos, llegándose a la expresión

(1.54). Lo allí expuesto resulta válido siempre que las partes de flujocreadas por la bobina que son concatenadas por otras dos bobinascualesquiera del sistema sean mutuamente excluyentes. Ciertamente estesería un caso muy especial, pero es en todo caso aplicable cuandoúnicamente entran en juego dos bobinas.

En el caso más general, un tubo de flujo de la bobina i puede ser visto pormás de una de las bobinas acopladas con ella y la descomposición de Φii formulada anteriormente no sería válida, pues se estaría contabilizando

varias veces la misma componente de flujo.

Tratemos de encontrar alguna formulación para este caso.

Supongamos que una parte de Φ ii, que obviamente no pertenece al flujode dispersión es vista simultáneamente por las bobinas j1, j2, j3, ..., jk . Deformular la ecuación tal y como se propuso para el caso de flujos disjuntospara las distintas bobinas, esta componente de flujo habría sido sumada k

veces en vez de una sola. En general supongamos que Φ ii contiene pi componentes de flujo, ( ) piiΦ que son vistas por más de una bobina y que

cada una de esas componentes es concatenada por q pi+1 bobinas delsistema. Entonces, cada componente ( )

piiΦ ha sido contabilizada q pi

veces de más. La ecuación (1.47) puede corregirse entonces, escribiendo

( ) ∑∑≠=

+−=i j

ji ji

1 p pii piiii

i

g q p

Φ Φ Φ Φ σ




Y el flujo total de la bobina i se reescribiría

( ) ∑∑ ≠= +−= i j ji

1 p pii piii

i

m

p

q Φ Φ Φ Φ σ

Lo que permitiría definir un flujo de dispersión modificado como

( )∑=

−=i

1 p

pii piii

p

M q Φ Φ Φ σ σ

Y para este flujo de dispersión modificado, que evidentemente podría sernegativo, se definiría una inductancia de dispersión modificada según

N iΦ σΜ i = eii S M i ii

con lo que el tratamiento anterior sería válido sin más que sustituir la S i por la S M i.

La ecuación de tensión

+= ∑

≠ik

ij

iji

iiid

d

d

d

t

i L

t

iS bu

m

m M (4.14)

Permite escribir para cada rama i un circuito equivalente sin acoplamientosmagnéticos como el que se muestra en la figura 4.22.

Escribimos, a modo de ejemplo, en el campo complejo dos de las

ecuaciones vistas para el estudio del régimen estacionario senoidal:

j

j

ijijii jω IU ∑= Lab




+=

=

+=

+=

∑

∑∑

≠

≠≠

ij

ik

ijiii

i j

ij

iji

ii

i j

iji

iiiii

jω jω

d

d

d

d

d

d

d

d

mm M

m

m M

m M

LS b

t L

t S b

t t N eb

II

IU …

Ι

σ

i2

i2

i1 i12

i12

N 1/ N 2S σ M 1

Lm12

i3

i3

i13

i13

i4

i4

i14

i14

in

in

i1n

i1n

Lm14

Lm1n

Lm13

N 1/ N 3

N 1/ N n

N 1/ N 4

i1

u1

figura 4.22: Esquemaequivalente de un conjunto debobinas acopladasmagnéticamente

Apliquemos estas ecuaciones al caso de dos bobinas acopladasrepresentado en la figura 4.23.

i2

u2

i1 M

u1

i1>0 ⇒ φ 1> 0

L1 L2

figura 4.23: Dos bobinas acopladasmagnéticamente




En el régimen del tiempo, según las ecuaciones anteriores, escribiríamos

t N

t

iS

t

i M

t

i L

t N u

t N t

i

S t

i

M t

i

Lt N u

m

m

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

22

212

22

22

1

1

1

21

1

1

11

φ φ

φ φ

+−=+−==

+=−==

En el campo complejo, escribiríamos

U1 = jω L1 I1 − jω M I2 = jωS 1 I1 + jω N 1 Φm

U2 = – jω L2 I2 + jω M I2 = – jωS 2 I2 + jω N 2 Φm

4.8.1 Impedancia Transferida

Completemos el circuito de dos bobinas acopladas de la figura 4.23asignando una cierta resistencia interna a las bobinas, alimentando el lado1 con una fuente de tensión y cargando el lado 2 con una impedancia, elcircuito que resulta aparece reflejado en la figura 4.24.

I2

U2

I1

M

U1

i1>0 ⇒ φ 1> 0

R1, L1 R2, L2

Zg

E g

Z figura 4.24: Dos bobinasacopladas alimentadas por una fuente de tensión y con una cargaen el otro extremo

Tomando intensidades de malla iguales a las intendidades de las ramasdibujadas en la figura, escribiendo las ecuaciones de la malla izquierda y de

la malla derecha y trabajando directamente en el campo complejo,obtenemos

Z g I1 + R1 I1 + jω L1 I1 – jω M I2 = E g

Z I2 + R2 I2 + jω L2 I2 – jω M I1 = 0

Si despejamos




22

12

jω

jω

L R

M

++=

Z

II

y sustituimos en la primera ecuación,

22

122

1111 jω

ω jω

L R

M L R g g ++

+++=Z

IIIIZE

I1

U1

R1, L1Z g

E g

Z'= 2 M 2 / (Z+ R2+j L2)

figura 4.25:

Circuito de una solamalla equivalente alde la figura 4.24

Obtenemos la ecuación de una sola malla que nos permite calcular lamisma I1 que las dos ecuaciones anteriores y que corresponde a uncircuito como el de la figura 4.25, que representa el mismo circuito dellado 1 pero cargado con una impedancia Z' dada por

22

22

jω

ω

L R

M

++=′

ZZ

que se denomina impedancia transferida .

El cálculo de la impedancia transferida permite convertir un circuito conacoplamientos magnéticos en un circuito sin acoplamientos magnéticosmás sencillo de analizar.

La transformación de un circuito con acomplamientos magnéticos en otroequivalente más sencillo pero sin acoplamientos magnéticos no se utilizasólo en el caso de circuitos no conexos. El ejemplo siguiente nos muestracómo también es posible utilizar técnicas análogas en el caso de circuitosconexos.




I2

U2

I1

M

U1

L1 L2

Z


I2

U2

I1

M

U1

L1 L2

Z

figura 4.27: Bobinas acopladas enmallas contiguas

ejemplo 4.7

Consideremos el circuito de la figura 4.26, que podemos dibujar deotra manera, como queda reflejado en la figura 4.27.

Escribiendo, como habíamos hecho antes, las ecuaciones de lasdos mallas, obtenemos las ecuaciones

U1 = jω L1 I1 + jω M I2 + Z (I1 + I2)

U2 = jω L2 I2 + jω M I1 + Z (I1 + I2)

Si queremos encontrar un circuito equivalente con la mismageometría y sin acoplamientos magnéticos, tendríamos un circuitocomo el de la figura 4.28.

I2

U2

I1

U1

Z1 Z2

Z x

figura 4.28: Circuito equivalente al de la figura 4.27 sin acoplamientos magnéticos enel que hay que calcular los valores de lasimpedancias que intervienen

Las ecuaciones de las mallas serían ahora

U1 = Z1 I1 + Z x (I1+ I2)




U2 = Z2 I2 + Z x (I1+ I2)

Reescribimos ambas expresiones en I1 e I2

U1 = (jω L1 + Z) I1 + (jω M + Z) I2

U2 = (jω M + Z) I1 + (jω L2 I2 + Z) I2

U1 = (Z1 + Z x) I1 + Z x I2

U2 = Z x I1 + (Z2 + Z x) I2

Igualando los coeficientes de ambas ecuaciones, obtenemos

jω L1 + Z = Z1 + Z x

jω L2 + Z = Z2 + Z x

jω M + Z = Z x

Lo que nos proporciona tres ecuaciones para nuestras tresincógnitas. Sustituyendo la tercera de las expresiones en las otrasdos, resulta

Z1 = jω L1 + Z − Z x = jω L1 + Z − (jω M + Z) = jω( L1 − M )

Z2 = jω L2 + Z − Z x = jω L2 + Z − (jω M + Z) = jω( L2 − M )

I2

U2

I1

U1

L1- L2- M

Z

M

figura 4.29: Circuito equivalente al de la figura 4.27 sin acoplamientos magnéticos




Con lo que nuestro circuito equivalente, sin acoplamientosmagnéticos, resulta el circuito de la figura 4.29.

Puede comprobarse que si se cambia la posición de los terminalescorrespondientes también cambia el circuito equivalente (aparecentérminos L1+ M y L2+ M en lugar de L1− M y L2− M ).

4.8.2 Adaptación de Impedancias en el Transformador Ideal

Recordemos las ecuaciones del transformador ideal como el que serepresenta en la figura 4.30.

1

212

2

1221211

2

112

2

1

2

1

0 N

N a N a N

N N a

bb

−=⇒=+

=

I

III

UU

(4.15)

En la figura se ha prescindido de representar los terminales equivalentes, yen las ecuaciones se ha incluido el coefieciente a12 que valdrá 1 ó −1 enfunción de las referencias de intensidades con los terminalescorrespondientes.

i2

u2

i1

u1

N 1/ N 2

figura 4.30: Transformador ideal

I2

U2

I1

U1

N 1/ N 2 Z

figura 4.31: Transformador idealcargado con una impedancia

I1

U1Z'

figura 4.32: Circuito equivalente deltransformador de la figura 4.31

En la figura 4.31 se representa el mismo transformador cargado con una

impedancia Z. Tratemos de encontrar un circuito equivalente como el de




la figura 4.32 con una sola malla, es decir la impedancia equivalente delcircuito anterior vista desde el lado primario del transformador.

Si partimos de la ecuación del transformador, llamando

2

1

2

2

1121

N

N r

r b

ba

t

t

=

= UU

La relación entre U2 e I2 en el secundario a través de la impedancia Z es( b2 es el signo correspondiente a las referencias tensión-intensidad de larama del transformador, no de la rama de la impedancia Z )

222 IZU b−=

que sustituida en la ecuación anterior proporciona

2112222

1

121 IZIZU t t r babr b

b

a −=−=

y sustituendo, ahora, I2 por la expresión de (4.15),

111

2

1

12

1

1121 IZIZI

ZU ′==−

−= br ba

r r ba t

t t

que, teniendo encuenta la ecuación del dipolo, de la figura 4.32, nos

permite definir la impedancia transferida del secundario al primario como

ZZ2

t r =′ (4.16)

Como se puede ver por el método de deducción, es independiente de laposición de las referencias de tensión e intensidad así como de losterminales correspondientes.




Z1

Z2

r t /1

Z1+Z2

r t /1

(Z1+Z2)'Z1'

Z2'

figura 4.33: Impedancias serie transferidas del secundario al primario de untransformador ideal

tabla 4.3: Impedancias transferidas del secundario al primariode un transformador ideal

Z

r t /1

Z'

Impedancia

r t /1

Cortocircuito

Z1 Z2

r t /1

Z1' Z2'

Dos impedancias en paralelo

r t /1

Circuito abierto

Empleando esta propiedad para distintas asociaciones de elementos,permite no sólo pasar una impedancia del secundario de un transformadorideal al primario, sino cualquier geometría de circuito, en especial circuitosabiertos y cortocircuitos. También es posible pasar de un lado a otro sólouna parte de un circuito, si eso es lo que interesa. En la figura 4.33 semuestra el paso de dos impedancias conectadas en serie del secundario alprimario.

De forma similar, se pueden establecer las equivalencias que se reflejan enla tabla 4.3.

4.8.3 Circuito Equivalente de un Transformador Real

(Transformador Monofásico de Potencia)

4.8.3.1

Transformador con núcleo de aire

Imaginemos dos bobinas acopladas magnéticamente, cada una con una

cierta resistencia interna, tal y como se representa en la figura 4.34.




I2

U2

I1

M

U1

i1>0 ⇒ φ 1> 0

R1, L1 R2, L2

figura 4.34: Transformador real con núcleode aire

Las ecuaciones de las dos mallas en función del flujo mutuo, tal y como vimos en los párrafos anteriores, en el campo complejo, serán

( ) ( )

( ) ( ) 2122222222121222222

1211111111212111111

jω jω jω jω

jω jω jω jω

m

m

N ebS Rb M ab L Rb

N ebS Rb M ab L Rb

ΦIIIU

ΦIIIU

++=++=

++=++=

Si llamamos

2122222

1211111

jω

jω

m

m

N eb

N eb

ΦE

ΦE

=

= (4.17)

podemos escribir las ecuaciones anteriores( )

( ) 222222

111111

jω

jω

EIU

EIU

++=

++=

S Rb

S Rb (4.18)

I2

U2

I1

U1

R1 S 2S 1 R2

E1 E2

figura 4.35: Esquemaequivalente deltransformador real con

núcleo de aire (primeraaproximación)

Las ecuaciones (4.18) podemos representarlas por un circuito equivalentecomo el de la figura 4.35 en el que, por la definición de E1 y E2, se sabeque cumplen la ecuación de tensiones de un transformador ideal, es decir,

12212112122122211222

122122222122222

jω jω

jω jω

mm

mm

N aeb N aeeeb

N g eb N eb

ΦΦ

ΦΦE

==

=== …




de donde

2

1

2

1

122

1

N

N

b

ba ⋅=

E

E

(4.19)

Sin embargo, en general, se cumple que

1

212

2

1

N

N a−≠

I

I (4.20)

Pero recordemos que si se define una intensidad ficticia que, atravesandola bobina 1, crease el flujo mutuo que crean en realidad entre I1 e I2,

2

1

212112 III

N

N am += (4.21)

y un coeficiente de autoinducción entre el flujo mutuo total y estaintensidad ficticia, definido como

12

2

112 L

N

N Lm =

la ecuación en la bobina 1 del flujo mutuo con la bobina 2 se escribe, deforma simplificada,

121211121 mmm Le N IΦ = (4.22)

De la ecuación (4.21) podemos despejar

2

1

2122121 IIII

N

N am −=′=−

Ecuación que nos da idea de que si a la intensidad I1 que entra a la bobinaE1 de nuestro circuito equivalente, le restásemos una intensidad igual a la

que circulando por la bobina 1 crearía el mismo flujo mutuo que el que




crean entre I1 e I2, es decir, Im12, nos quedaría una intensidad I'2, que haría

de la expresión (4.20) una igualdad, como ocurre en el transformador idealcon relación a la intensidad I2 del secundario del transformador.

1

212

2

1

N

N a−=

′I

I (4.23)

Para ello, manteniendo la tensión E1, podemos conectar una impedanciaen paralelo con E1 que derive justamente esa intensidad, con lo quequedaría un circuito equivalente como el de la figura 4.36.

I2

U2

I1

U1

R1 S 2S 1 R2

E1 E2Zm

I'2

Im12

figura 4.36: Esquema equivalente del transformador real con núcleo de aire (segundaaproximación)

El valor de Zm viene dado por

1211 mmb IZE = (4.24)

A partir de (4.17) y (4.22), podemos escribir

121211212111111 jω jω mmmm Lb Leeb IIE ==

En donde comparando con (4.24), resulta

12 jω mm L=Z

Con lo que obtenemos el circuito equivalente de un transformador realcon núcleo de aire. Hemos ido arrastrando en las ecuaciones todas lasreferencias de tensiones, intensidades y flujos para demostrar que elcircuito al que se llega es independiente de las referencias de tensión e

intensidad y de los terminales correspondientes. En el transformador ideal




que acopla el primario y el secundario, los terminales correspondientes semantienen en la misma posición en que estaban en las bobinas iniciales.

Este circuito tiene claramente las mismas ecuaciones que el circuitooriginal. Pero el hecho de contar con un transformador ideal entre elprimario y el secundario nos permite usar las propiedades de este elementode circuito para transferir impedancias del secundario al primario (o viceversa, según se desee), lo cual simplifica notablemente el análisis de losproblemas donde aparecen transformadores reales.

4.8.3.2

Transformador real con núcleo de hierro

Cuando se quiere usar el transformador para transmitir energía entre doscircuitos aislados, cambiando los niveles de tensión e intensidad a amboslados del transformador, interesa que la dispersión sea lo más pequeñaposible. Además, para poder trabajar con altas tensiones, para frecuenciasrelativamente moderadas (50 Hz), el flujo magnético tiene que ser losuficientemente elevado, Esto sólo se consigue, con valores losuficientemente grandes de inducción magnética en el circuito magnético.

Para conseguir todas estas cosas es menester emplear en el circuito

magnético materiales ferromagnéticos. Por desgracia, los materialesferromagnéticos son materiales metálicos y, aunque su conductividad noes muy elevada, sí lo es lo suficiente como para que se induzcan corrientesparásitas con las correspondientes pérdidas por calentamiento resistivo delmaterial. Estas pérdidas son proporcionales al cuadrado de la intensidad ycomo esta intensidad de corrientes parásitas, en régimen estacionariosenoidal, es proporcional a la frecuencia y al flujo y, por lo tanto, a lainducción magnética, resulta que las pérdidas son proporcionales a lafrecuencia al cuadrado y a la inducción magnética al cuadrado.

Por otra parte, al variar la inducción magnética de manera cíclica, elmaterial sufre ciclos de histéresis de manera igualmente cíclica, lo querepresenta también una fuente de calentamiento del material y por tantode pérdidas. Estas pérdidas son proporcionales a la frecuencia y al área delciclo de histéresis, que a su vez puede aproximarse por una funciónpotencial de la inducción magnética con un exponente próximo a 2.




Se suele considerar de forma aproximada que el conjunto de las pérdidasdebidas a ambos fenómenos es proporcional al cuadrado de la frecuencia yal cuadrado de la inducción magnética del núcleo del transformador.

Como la mayoría del flujo de dispersión se cierra por el aire, puedeconsiderarse con suficiente aproximación que el flujo en el hierro secorresponde con el flujo mutuo de las dos bobinas. En el modelo decircuito desarrollado, el flujo mutuo, que sería proporcional a la inducciónmagnética del hierro, es proporcional a la tensión E1 de la llamadareactancia magnetizante

1212 ω mm L X =

I2

U2

I1

U1

R1S 2S 1 R2

E1 E2 X m

I'2

I Fe

I0

Im

R Fe

figura 4.37: Esquema equivalente del transformador real con núcleo de hierro

Para representar de algún modo las pérdidas en el hierro en el circuitoequivalente, se aprovecha el hecho de que son proporcionales al cuadradodel producto de la frecuencia por la inducción magnética, que esproporcional a la tensión E 1. En otras palabras, las pérdidas en el hierroson proporcionales al cuadrado de la tensión E 1 y pueden serrepresentadas por lo tanto por una resitencia en paralelo con X m.

Si se incorpora esta resistencia al circuito equivalente desarrollado

obtenemos el circuito equivalente completo del transformador con núcleode hierro, que representamos en la figura 4.37.

4.8.3.3 Simplificaciones del circuito equivalente del transformador monofásico de

potencia

En un estado de carga normal de un transformador, la caída de tensión enla impedancia R1+jωS 1 del primario puede despreciarse frente a la tensión

U1, de modo que de forma aproximada puede aceptarse que U1≈E1. En




esta situación es posible considerar que la rama de vacío con R Fe+j X m seencuentra sometida a toda la tensión del primario U1, resultando el circuitoequivalente aproximado de la figura 4.38.

I2

U2

I1

U1

R1S 2S 1 R2

E1 E2 X m

I'2

I Fe

I0

Im

R Fe

figura 4.38: Circuito equivalente modificado del transformador de núcleo de hierro en

el que se supone que la rama de vacío soporta la totalidad de la tensión del primarioI2

U2

I1

U1

R1 S' 2 S 1 R' 2

E1=E'2 U'2 X m

I'2

I Fe

I0

Im

R Fe

figura 4.39: Circuito equivalente modificado del transformador de núcleo de hierro con

las impedancias del secundario transferidas al primario

Si sobre este circuito se utilizan las propiedades de transformación deimpedancias del transformador, se puede obtener como circuitoequivalente el de la figura 4.39.

En este circuito,

2

1

2

2

2

2

2

2

N

N r

Rr R

S r S

t

t

t

=

=′

=′

Con gran frecuencia resulta más sencillo trabajar con un circuito conexoúnicamente, de forma que, para estudiar el comportamiento deltransformador con una carga Z conectada en el secundario, se transfiere

esa impedancia al primario. En el circuito anterior, la impedancia




000 j X R X R m Fe +==Z

se conoce como impedancia de vacío, mientras que la impedancia

cc

s scc

cc

X

X

S

X

S

R

R R

j

j

jω

j

jω

2

2

1

121

′

′++′+=Z

se conoce como impedancia de cortocircuito y se representa por Zk o Zcc. Secumple que

0

22

2

0

22

2

000 j j

j j

X

X R

X R

R

X R

X R

X R

X R X R

m Fe

m Fe

m Fe

m Fe

m Fe

m Fe

++

+=

+=+=Z

En la mayoría de los transformadores puede admitirse que

22

Fem R X <<

o, lo que es lo mismo,

222

Fem Fe R X R ≈+

con lo que las fórmulas anteriores se pueden simplificar escribiendo

m

Fe

m

X X

R

X

R

≈

≈

0

2

0

Si llamamos




00

0

0

000

1ϕ

ϕ

−==

=

/

/

Y

Z

Z

Y

Z

pueden obtenerse las siguientes relaciones

( )

m

Fe

mm Fe

Fe

m Fe

m Fem Fe

m Fe

m Fe

Fem Fe

m

m Fe

m Fem Fe

m Fe

m Fe

m Fe

m Fe

m Fe

m Fem Fe

X

R

R

X

X

Z

X R

R

X R

X R X R

X R

X R

X R

X

R Z

X R X

X R

X R X R X R

X R

X R R

X R

X R

X R

X R X R X R Z

==

=+

=

+

+

+=

+=

=+

=

+

++=

+=

+=

+

+=+=

0

00

0

22

22

22

22

2

2

0

2

0

00

0

22

22

22

22

2

2

0

2

0

00

22222

24422

0

2

00

tan

sen

cos

ϕ

ϕ

ϕ

Además,

2

0

2

0

0

2

0

2

0

0

00

0 j j

11 j

1

X R

X

X R

R

X R X R m Fe +−

+=

+=−=Y

de donde

0

2

00

0

2

00

X

R X X

R

X R R

m

Fe

+=

+=




En función de estos parámetros, el circuito equivalente simplificado puederepresentarse como en la figura 4.40.

I2

U2

I1

U1

Zcc

U'2 Z0

I'2

I0

figura 4.40: Esquema equivalentesimplificado del transformador realcon núcleo de hierro

Si se trabaja únicamente con uno de los lados del transformador, pasandolas impedancias de un lado al otro, se obtiene para una impedancia Z conectada en bornes del secundario, un circuito equivalente simplificadocomo el de la figura 4.41.

Z'

I1

U1

Zcc

U'2 Z0

I'2

I0 figura 4.41: Esquema equivalentesimplificado del transformador real connúcleo de hierro en el que se han transferidola impedancia de carga del lado del

secundario al primario

En muchos cálculos aproximados puede despreciarse I0 frente a I1, y estecircuito se reduce aún más, resultando el circuito de la figura 4.42.

Z'

I1

U1

Zcc

U'2

I'2

figura 4.42: Esquema equivalentesimplificado del transformador real connúcleo de hierro en el que se ha despreciadola corriente de vacío frente a la que absorbeel primario

4.8.4 Ensayos de Vacío y Cortocircuito en un Transformador

Para determinar el valor de las impedancias internas del transformador, Z0 y Zcc, suelen realizarse dos ensayos conocidos como ensayo de vacío y ensayode cortocircuito. En cada uno de ellos se registran tensión, intensidad y




potencia en uno de los lados para valores determinados de tensión ointensidad.

Cualquier tipo de máquina, y en especial las máquinas eléctricas, se diseñanpara trabajar en unas condiciones determinadas. Estas condicionesnormales de trabajo se caracterizan por los valores de una serie deparámetros característicos de las máquinas. A estos valores se les sueleconocer con el nombre de valores nominales . En el caso de lostransformadores, las magnitudes que suelen utilizarse para caracterizarloseléctricamente son su tensión y su potencia aparente. Los valoresnominales de estas magnitudes serán pues la tensión nominal , U N , y la potenciaaparente nominal , S N . Como un transformador trabaja con dos niveles

distintos de tensión, relacionados entre sí mediante una constante que es larelación de transformación, es preciso indicar a cuál de los dos lados deltransformador se refiere la tensión nominal, indicando a la vez la relaciónde transformación, o bien indicar los valores de la tensión nominal aambos lados del transformador, de donde se deducirá la relación detransformación. La potencia aparente nominal es común a ambos ladosdel transformador y sirve para determinar en cualquiera de ellos laintensidad nominal según la relación:

S N = U N I N

Los ensayos del transformador pueden realizarse tomando las medidas acualquiera de los dos lados, y es preciso tener en cuenta en qué lado se hanrealizado las medidas, ya que de ello dependerá el valor de las impedanciasque se obtenga. Como sabemos los valores de las impedancias a un lado yal otro están relacionados mediante el cuadrado de la relación detransformación.

En lo que sigue vamos a suponer que el circuito se alimenta en el primarioy allí también se realizan las medidas.

El ensayo de vacío se realiza alimentando el primario a tensión nominaldejando el secundario abierto.

El ensayo de cortocircuito se realiza alimentando el primario a intensidadnominal manteniendo el secundario cortocircuitado. La tensión de




alimentación del primario en estas condiciones se llama tensión decortocircuito, U 1cc.

La figura 4.43 nos muestra un esquema de las conexiones del ensayo de vacío y la figura 4.44 del ensayo de cortocircuito para un transformadormonofásico de potencia.

W 0

U 10=U 1 N

I 10

A

V

U 20=U 2 N

V

figura 4.43: Ensayo devacío de un transformador

W cc

U 1=U 1cc

I 1 N

A

V

figura 4.44: Ensayo de

cortocircuito de untransformador

Para calcular, a partir de los resultados de los ensayos, los valores de lasimpedancias es preciso despreciar en el ensayo de vacío la impedancia decortocircuito (modelo de figura 4.41) y en el de cortortocircuito la de vacío(modelo de figura 4.42) pues, de no ser así, serían necesarias medicionesadicionales.

Así, para el ensayo de vacío,

=

=

⇒−=⇒

=

=

0

2

0

0

2

0

2

0

2

00

0

00

2

0

00

X

Z X

R

Z R

R Z X

I

U Z

I

W R

m

Fe




y para el ensayo de cortocircuito,

222

cccccc

cc

cccc

cc

cc

cc

R Z X

I

U Z

I

W

R−=⇒

=

=

Si se utiliza el circuito equivalente aproximado de la figura 4.41 resultaimportante observar que, en vacío, se producen las mismas pérdidas en elhierro que en funcionamiento nominal y, en cortocircuito, del análisis delcircuito de la figura 4.42, se producen las mismas pérdidas en el cobre queen funcionamiento nominal, pues

2

1

2

10

N cccc

Fe

N

I R P

R

U P

=

=

4.8.5 Rendimiento del Transformador

Se define el índice de carga de un transformador como

N I

I C

2

2=

En estados normales de carga puede aproximarse

N I

I

C 1

1

≈

Si se calcula el rendimiento del transformador funcionando a tensiónconstante en el primario, las pérdidas en el hierro pueden considerarsetambién constantes e iguales a las nominales, mientras que las pérdidas enel cobre pueden escribirse como




2

2

1

2

1

2 C P I

I I R I R P CuN

N

N ccccCu =

== (4.25)

El rendimiento puede escribirse haciendo el balance de potencias mediante lafórmula siguiente:

FeCuN N

N

FeCuN N

N

FeCuN

P P C CS

CS

P P C I CU

I CU

P P C I U

I U

++=

=++

=

=++

=

2

2

2

2

222

222

2

222

222

cos

cos

cos

cos

cos

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ η

…

…

En esta función se puede calcular, para un factor de potencia constante enla carga, el índice de carga que proporciona un rendimiento óptimo. Si sederiva la función anterior respecto a C y se iguala a cero, se obtiene comocondición de rendimiento máximo

FeCuN máx P P C =2 (4.26)

es decir, el máximo rendimiento se produce para

CuN

FeN máx

P

P C =

cuando las pérdidas en el cobre, según (4.25) y (4.26), igualan las pérdidasen el hierro.

Si se comparan los máximos para distintos factores de potencia,

FeN N máx

N máx

P S C

S C

2cos

cos

2

2max +

=ϕ

ϕ η




se puede obtener, de la misma manera que antes, el factor de potencia parael cual se produce el máximo de los rendimientos, y este resulta ser launidad, es decir, para una carga resistiva pura.

4.8.6 Valores por Unidad, Tensión e Impedancia de

Cortocircuito

En el análisis de sistemas eléctricos de potencia con distintos niveles detensión es frecuente la utilización de magnitudes adimensionales, llamadasmagnitudes en valores por unidad , para poder formular los problemas de formaindependiente del nivel de tensión del tramo que se esté estudiando.

Para pasar los valores de las distintas magnitudes a valores adimensionaleses preciso dividirlos por una magnitud base . Para que los circuitos puedanseguir analizándose utilizando los valores por unidad, las bases de lasdistintas magnitudes no pueden escogerse independientemente unas deotras, sino que deben guardar una relación tal que las leyes de Kirchhoffsigan cumpliéndose entre los valores unitarios.

Lo usual es definir en cada tramo del sistema de transmisión de energíaeléctrica como tensión base la tensión de los devanados de los

transformadores conectados a ese tramo, y tomar una potencia aparentebase común para todo el sistema que se analiza. La intensidad base sederiva en cada tramo de la potencia aparente y de la tensión según

bbb I U S =

las impedancias base se calculan como

b

b

b

bb

S U

I U Z

2

==

Las máquinas eléctricas suelen caracterizarse eléctricamente por susimpedancias internas y es común expresar éstas en valores por unidad,normalmente referidas a la tensión y potencia aparentes nominales de lasmáquinas. Si se hace esto, se observa que las impedancias internas de losdistintos tipos de máquinas toman valores característicos que varían




dentro de un margen muy pequeño para cualquier tamaño y potencia de lamáquina en estudio.

La característica más importante de un transformador es su impedancia decortocircuito. Si se expresa en valores por unidad se ve que varía entre el3% y el 10% para casi cualquier tipo de transformador. Por lo generalcuanta mayor es la potencia de un transformador mayor es su impedanciade cortorcircuito en valores por unidad. Según lo dicho hasta ahora, laimpedancia de cortocircuito en valores por unidad para un transformadorreferida al primario será:

N

N

cc

N

N

cc

cc U

I

I

U 1

1

1

1 Z

Z

z ==

Como puede verse, el valor Z cc I 1 N , coincide con la caída de tensión en laimpedancia de cortocircuito al realizar el ensayo de cortocircuito que,recordemos, se realiza a intensidad nominal, es decir,

N cccc I Z U 11 =

por lo que puede escribirse

cc

N

cccc u

U

U z 1

1

1 ==

es decir, la impedancia interna de cortocircuito de un transformadorcoincide con la tensión de cortocircuito si se expresan ambas en valores

por unidad.

Conocido el valor de u1cc podemos calcular rápidamente la intensidadpermanente de cortocircuito que circularía en un transformadormonofásico en un cortocircuito con tensión nominal en bornes.

cc

N

N

N cc

N

N

cccc

N cc

u

I

U

I Z

I

U

Z Z

U I

1

1

1

1

1

1

11

1====




Como se ve, para los valores entre los que se mueve u1cc, la intensidad decortocircuito permanente del transformador monofásico puede llegar a valer de entre 10 a 30 veces la intensidad nominal.

4.8.7 Caída de Tensión Interna en un Transformador

En vacío, la tensión que se obtiene en el secundario de un transformadores la que se deduce de la tensión con que se alimenta el primario y larelación de transformación del transformador. Sin embargo, simantenemos constante la tensión del primario del transformador yempezamos a cargar el secundario, la relación de transformación ya no seaplica a la tensión del primario, sino a la tensión del primario disminuida

en la caída de tensión interna del transformador que se produce en laimpedancia de cortocircuito. Por lo general, en los sistemas de distribuciónde energía eléctrica se trata de garantizar el valor de la tensión en lossecundarios de los transformadores, para lo cual es preciso adaptar latensión del primario en función de la caída de tensión interna deltransformador.

Vamos a ver cómo es posible estimar la caída de tensión interna en untransformador en función de su carga y su impedancia de cortocircuito.

Es usual expresar la caída de tensión interna del transformador también en valores por unidad según:

N

N

N

N

U

U U

U

U U u

1

21

2

22 ′−

=−

=

Magnitud que a veces se conoce con el nombre de regulación .

Z'

I1 U1

Zcc= Rcc+j X cc

U'2

I'2

U'2 U1

I'2 2

2

2

RI'2

j X I'2

A O

b

cd

figura 4.45: Transformador que alimenta una carga con un factor de potencia dado y

diagrama fasorial de tensiones e intensidades




En la figura 4.45 se representa el circuito equivalente y el diagrama fasorialcorrespondiente a un transformador cargado con una intensidad I2 con uncierto factor de potencia cosϕ 2 (el circuito equivalente se representa ya

referido al primario del transformador).

Si aproximamos U 1=OA en la figura por d , entonces,

( )

( ) ( )212221

222

2222221

coscos

sensencoscos

sencos

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

−=−′≈′−

+′=

=′+′=+=′−≈′−

cccccccc N

cccccc

cccc

CU Z I C U U

Z I

I X I RcbU d U U …

ecuación que, dividida por U 1 N , nos da

( )21

1

21 cos ϕ ϕ −≈=′−

cccc

N

uC uU

U U

Si ϕ 2 es negativo (carga capacitiva) y de valor suficiente, el argumento delcoseno puede hacerse mayor de 90º, dando como resultado una caída detensión negativa, es decir, una tensión mayor en el secundario que en elprimario del transformador, fenómeno que se conoce como efecto Ferranti .



5CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA

5.1 Introducción

En la figura 5.1 se representa un esquema muy simplificado de un sistemade generación, transporte y consumo de energía eléctrica mediante elempleo de corriente alterna. Se han representado tres circuitosindependientes, uno correspondiente al generador con un transformador

elevador ( r t 1 ) que comunica con el circuito de distribución. La línea se harepresentado de forma simplificada por una impedancia serie. Después delcircuito de transporte, otro transformador ( r t 2 ) adapta la tensión al niveldel consumo, que viene representado por la impedancia Z. Si se utilizan laspropiedades de adaptación de impedancias de los transformadores y serepresentan éstos por sus impedancias serie de cortocircuito, el circuitooriginal puede transformarse en un circuito formado por una sola mallacomo se ve en la figura 5.2.

Z

r t 1

E

Z g

Z L r t 2

figura 5.1: Circuito de generación, transporte yconsumo en corriente alterna




r t 22

Z E/r t 1

Z L Zcc1/r t 12 r t 2

2 Zcc2

Z g /r t 12

figura 5.2: Circuitoequivalente al de la figura 5.1

En la práctica, sin embargo, la generación y el transporte o distribución deenergía eléctrica no se llevan a cabo mediante un único circuito como elrepresentado, sino que se utilizan tres circuitos, que podemos consideraren una primera aproximación como independientes, cada uno de loscuales contiene los mismos elementos que el circuito presentado

anteriormente.

Un posible esquema se representa en la figura 5.3. Si cada uno de lossistemas se alimenta con una tensión distinta, pero de forma que las trestensiones tengan el mismo módulo, y que exista un desfase temporalcorrespondiente a 120º entre sus fases, se dice que el conjunto detensiones de alimentación forma un sistema trifásico equilibrado de tensiones .

r t 22 Z1

E1/r t 1

Z L

Zcc1/r t 12 r

t 2

2

Z

cc2

Z g /r t 12

r t 22 Z2

E2/r t 1


2 Zcc2

Z g /r t 12

r t 22 Z3

E3/r t 1


2 Zcc2

Z g /r t 12

figura 5.3: Tres sistemasmonofásicos que constituyenun sistema trifásico



Corriente Alterna Trifásica 201

Si E1 adelanta 120º a E2 y E2, a su vez, adelanta 120º a E3, se dice que elsistema tiene secuencia directa (figura 5.4).

Si E1 adelanta 120º a E3 y E3, a su vez, adelanta 120º a E2, se dice que elsistema tiene secuencia inversa .

Si las tensiones tienen módulos distintos, o los desfases no son de 120º, sedice que es un sistema de tensiones desequilibrado.

Una propiedad muy importante de un sistema de vectores que forma unsistema equilibrado es que su suma es siempre nula. Si en los tres circuitosdel diagrama de la figura 5.3 suponemos que las tres impedancias de carga

son iguales Z1=Z2=Z3, y el resto de los elementos del circuito también loson, salvo los valores de las fuentes, que forman un sistema equilibrado desecuencia directa, entonces, las intensidades que circulen por las tres mallasformarán, al igual que las tensiones, un sistema trifásico equilibrado desecuencia directa y, por lo tanto, su suma será nula. Esto nos sugiere que,en un sistema de este estilo podríamos prescindir del conductor de vueltasi conectamos los tres circuitos anteriores en uno sólo como en la figura5.5.

E1

2π/3

E3

E2

2π/3

2π/3

E1

E3

E2

figura 5.4:Sistemaequilibrado detensiones desecuencia directa

Ésta es la forma en que se realizan la generación, transporte y consumo deenergía eléctrica. Los generadores y las cargas y los transformadores seorganizan formando grupos de tres unidades físicas que se conectandejando tres terminales accesibles al exterior, (seis en el caso de los

transformadores, tres a cada uno de los lados) que se numeran y se




conectan, siempre entre terminales análogos, mediante las líneas. Cada unade las unidades físicas recibe el nombre de fase . En el caso de losgeneradores y los transformadores, y en muchos tipos de cargas, las tres

fases se encuentran integradas en un único dispositivo.

E1/r t 1

Z L Zcc1/r t 12

r t 22 Zcc2

Z g /r t 12

r t 22 Z

E2/r t 1

Z L Zcc1/r t 12

r t 22 Zcc2

Z g /r t 12

r t 22 Z

E3/r t 1


2 Zcc2

Z g /r t 12

r t 22 Z

figura 5.5: Sistema trifásico equilibrado alimentando una carga en estrella

En la figura 5.5 se ha mostrado una forma de conectar las fases entre sí,que es uniendo tres de los terminales de cada una de las fases en un punto

común, formando lo que se denomina una estrella . Pero ésta no es la únicaforma de conectar las fases entre sí. También pueden conectarseformando un lazo cerrado, o triángulo y dejando los tres terminales deltriángulo accesibles desde el exterior, como se ha hecho en la figura 5.6 enel lado de la carga. Los generadores y las cargas no tienen que conectarsenecesariamente de la misma manera. Las fases de los transformadorestambien pueden conectarse en estrella o en triángulo, de formaindepediente a cada uno de los lados.

5.2

Sistemas Trifásicos EquilibradosPara facilitar los cálculos en los ejemplos de este capítulo, simplificaremosel esquema de la figura 5.5, pensando que la relación de transformación delos transformadores es la unidad, y considerando las impedancias de lostransformadores junto con la de las líneas. Así, obtendremos sistemascomo el de la figura 5.7 o, si conectamos la carga en triángulo, como el dela figura 5.6.




E1

Z L

Z g

Z

E2

Z L

Z g

Z

E3

Z L

Z g

Z

figura 5.6: Sistema trifásico equilibrado alimentando una carga en triángulo

E1

Z L

Z g

Z

E2

Z L Z g

Z

E3

Z L

Z g

Z

N N'

I1

I2

I3

Z N

figura 5.7: Sistema trifásico equilibrado alimentando una carga en estrella conconductor de neutro

Un sistema de fuentes reales de tensión se llama equilibrado cuando lastensiones de las fuentes ideales forman un sistema equilibrado de

tensiones y las tres impedancias de las fuentes son iguales. Un sistematrifásico de líneas se considera equilibrado si las tres impedancias de laslíneas son iguales. Un sistema de cargas es equilibrado si las impedanciasde las tres fases son iguales. Un sistema trifásico se considera equilibradocuando todos sus elementos, generadores, líneas y cargas, estánequilibrados.

Imaginemos un sistema trifásico equilibrado donde, tanto las fuentescomo las cargas estén conectadas en estrella, al igual que el primer ejemplo




que estudiamos. En estos sistemas es frecuente unir los puntos deconexión de ambas estrellas mediante un conductor adicional, llamadoconductor de neutro. Un sistema como éste aparece representado en la figura

5.7. Tratemos de calcular las intensidades que circulan por cada una de laslíneas.

La forma más sencilla es aplicar el teorema de Millmann entre N' y N, conlo que resulta:

( )

011

3

1

113

111

N

321

N

321

N N'

=

+

++

++

++=

=

+

++

+++

+++

++=

ZZZZ

EEEZZZ

ZZZZ

ZZZE

ZZZE

ZZZE

U

L g

L g

L g

L g L g L g …

Esta tensión será cero siempre que las tensiones de las fuentes formen unsistema equilibrado, independientemente de que exista o no conductor deneutro. Este hecho nos permite imaginarnos (aplicar el teorema desustitución) que los puntos N y N' están cortocircuitados por unconductor, con lo que podemos calcular la intensidad de cada una de laslíneas considerando una malla independiente, o lo que es lo mismo, pensarque en vez del sistema trifásico tenemos tres sistemas monofásicosequivalentes según se muestra en la figura 5.8.

En realidad, es suficiente resolver uno de los circuitos y aplicar linealidad. Al formar las fuentes de tensión un sistema equilibrado, una vez calculada

ZZZ

EI

++=

L g

11 , el resto de las intensidades, I2 e I3 tendrán el mismo

módulo que I1 y cada una se retrasará 120º respecto a la anterior. Es decir,formarán un sistema trifásico equilibrado de intensidades . Al formar lasintensidades también un sistema equilibrado, su suma es también nula, de




donde se deduce que por el conductor de neutro no circularía ningunaintensidad.

Cualquiera de los circuitos representados en la figura 5.8 recibe el nombrede circuito equivalente monofásico del sistema trifásico. Como vemos, es posiblereducir el análisis de sistemas trifásicos equilibrados donde los generadoresy las cargas están conectados en estrella, al análisis de un circuitomonofásico.

Z

E1

Z L

Z g

ZE2

Z L

Z g

Z

E3

Z L

Z g

I1

I2

I3

N N'

N N'

N N'

figura 5.8: Circuitos monofásicosequivalentes de cada una de lastres fases del circuito de la figura5.7

En el caso de que cualquiera de los dos puntos, generación o cargaestuviesen conectados en triángulo, sería interesante poder hacer el mismo

tipo de simplificación. En las cargas resulta fácil convertir una carga entriángulo a su carga equivalente en estrella y realizar después el análisis. Enel caso de los generadores, sería interesante encontrar una manera deconvertir un generador conectado en triángulo a uno conectado enestrella. En algunos casos también es útil resolver el problema inverso.

La solución de este problema puede realizarse de forma sencilla comoaplicación de los teoremas de Thévenin y Norton generalizados quepasamos a estudiar a continuación.




5.3 Teoremas de Thévenin y Norton Generalizados

Partimos de un multipolo activo con n terminales como el representado enla figura 5.9, y queremos encontrar dos multipolos equivalentes como losque se representan en la misma figura. Uno contendría el circuito pasivocorrespondiente al circuito activo considerado, conectado en serie con unafuente de tensión en cada terminal (de forma análoga a como ocurre con elequivalente Thévenin monofásico) y el otro contendría el circuito pasivocorrespondiente al circuito activo considerado, conectando entre cada dosterminales una fuente de intensidad en paralelo (de forma análoga a comoocurre con el equivalente Norton monofásico).

E1

E2

1

3

2

n

Circuito

Activo

1

3

2

n

Circuito

Pasivo

E3

En

I12

In-1n

1

3

2

n

Circuito

Pasivo

I23

In1 n-1

Equivalente

Théveningeneralizado

Equivalente

Nortongeneralizado

figura 5.9: Equivalentes Thévenin y Norton generalizados de un multipolo

Antes de encontrar los equivalentes buscados, es preciso definir lo que seentiende por equivalencia entre dos multipolos con n terminales. Así,diremos que dos multipolos con n terminales son multipolos equivalentes si lastensiones entre dos cualesquiera de sus terminales son las mismas y las

intensidades que circulan por ellos son también las mismas para cualquiercarga que se conecte al multipolo.

Antes de hallar los valores de las fuentes de los equivalentes buscadospostulemos los siguientes teoremas.

Si un circuito con la forma representada en la figura 5.9 para elequivalente Thévenin generalizado, es equivalente a un circuito dado,a circuito abierto, entonces lo es también en cualquier estado de carga.




Similarmente se puede formular:

Si un circuito con la forma representada en la figura 5.9 para el

equivalente Norton generalizado, es equivalente a un circuito dado encortocircuito, entonces lo es también para cualquier estado de carga.

E1

E2

1

3

2

n

CircuitoActivo

1

3

2

n

CircuitoPasivo

E3

En

I1

I2

I3

In

I1

I2

I3

In

1

3

2

n

CircuitoActivo

1

3

2

n

CircuitoPasivo

I1

I2

I3

In

E1

E2

1

3

2

n

Circuito

Pasivo

E3

En

1

3

2

n

Circuito

Pasivo

I1

I2

I3

In

figura 5.10: Descomposición, según el principio de superposición, de un multipolo

activo y su equivalente Thévenin generalizado dado un estado de cargaE1

E2

1

3

2

n

CircuitoActivo

E3

En

I12

In-1,n

1

32

n

CircuitoPasivo

I23

In1n-1

E1

E2

E3

En

En-1

1

3

2

n

CircuitoActivo

E1

E2

1

3

2

n

Circuito

Pasivo

E3

En

I12

In-1,n

1

3

2

n

Circuito

Pasivo

I23

In1n-1

E1

E2

1

3

2

n

Circuito

Pasivo

E3

En

figura 5.11: Descomposición, según el principio de superposición, de un multipolo

activo y su equivalente Norton generalizado dado un estado de carga




Para comprobar estos teoremas basta con representar la carga mediante unconjunto de fuentes de intensidad para el equivalente Théveningeneralizado y por un conjunto de fuentes de tensión para el equivalente

Norton generalizado (aplicando el principio de sustitución) y aplicardespués el teorema de superposición para comprobar la equivalencia, tal ycomo se muestra en la figura 5.10 y la figura 5.11.

Vemos cómo al cargar el circuito original y su equivalente obtenemos doscircuitos exactamente iguales y los dos circuitos originales en vacío pero,por suposición, ambos circuitos eran equivalentes en vacío, con lo que laequivalencia para cualquier estado de carga queda demostrada.

Lo mismo puede hacerse para el equivalente Norton generalizado. Denuevo se obtienen dos circuitos iguales al aplicar superposición y los doscircuitos originales, esta vez en cortocircuito que, por suposición, eranequivalentes, luego la equivalencia en cortocircuito implica la equivalenciapara cualquier estado de carga.

Como ya tenemos la forma de los circuitos equivalentes buscados sólofalta encontrar el valor de las fuentes de tensión del equivalente Théveniny el de las fuentes de intensidad del equivalente Norton. Para encontrar

estas fuentes hemos de buscar en el caso del equivalente Thévenin que elequivalente y el original lo sean a circuito abierto y en el caso delequivalente Norton, que el equivalente y el original lo sean encortocircuito.

Para que el circuito original y el equivalente Thévenin sean equivalentes acircuito abierto, como las intensidades en ambos son iguales y nulas essuficiente que las tensiones entre cada dos terminales cualesquieracoincidan. Para ello sabemos que la sucesión de tensiones U12, U23, ...,Un−1,n, Un1 forman un lazo cerrado por lo que su suma será nula, es decir,U12+ U23+...+Un−1,n+ Un1=0. Esto implica que pueden representarse en elplano complejo formando un polígono cerrado con n vértices, tal y comose representa en la figura 5.12. Si ahora se toma un punto cualquiera P, delplano complejo y se definen las tensiones E1, E2, ..., En a partir de los vectores que unen los vértices del polígono con el punto P, se cumplirápara cualesquiera valores i, j ∈ 1, ..., n: Uij=Ei−E j. Como en el circuitopasivo del equivalente Thévenin, no entra intensidad, tampoco hay caídas

de tensión y la tensión entre dos terminales i y j cualesquiera a circuito




abierto es precisamente Ei−E j, y tal y como se han tomado estas tensiones,coincide con la tensión a circuito abierto entre los terminales i y j delcircuito original.

U12

E2

E3

1

P

Un-1n

Un1

U45

U34

U235

4 3

2

n

n-1

E5

En-1

En

E1

E4

figura 5.12: Diagrama fasorial delas tensiones de los nudos de unmultipolo de n terminales

En la misma forma para que el circuito original y el equivalente Nortonsean equivalentes en cortocircuito, las intensidades de cortocircuito deambos han de ser las mismas. Si I1, I2, ..., In son las intensidades decortocircuito del circuito original, las intensidades de cortocircuito delequivalente Norton pueden calcularse aplicando la 1ª ley de Kirchhoff a

cada uno de los nudos de salida, teniendo en cuenta que en el circuito noentra ninguna intensidad, pues todos sus terminales están cortocircuitados. Así se obtiene para los distintos nudos:

I1 = In1−I12

I2 = I12−I23

I3 = I23−I34

........

In−1 = In−2,n−1−In−1,n

In = In−1,n−In1

Al igual que ocurría antes con las tensiones entre terminales consecutivos,la suma de las corrientes de cortocircuito es nula (basta con aplicar la 1ªLey de Kirchhoff al nudo donde confluyen todas las intensidades), ypueden representarse en el plano complejo mediante un polígono cerrado.Seleccionando ahora un punto P, y uniendo los vértices del polígono conese punto se obtienen vectores I12, I23, ..., In−1n, In1, que satisfacen las




ecuaciones anteriores y garantizan que el circuito original y su equivalentetienen las mismas intensidades de cortocircuito (ver figura 5.13).

I12

I2

I3

1

P

In-1n

In1

I45

I34I235

4 3

2

n

n-1

In-1

In

I1

I4

In-2,n-1

figura 5.13: Diagrama fasorial delas intensidades de los nudos de un

multipolo de n terminales

En ambos teoremas estudiados es importante observar que, para cualquiermultipolo, existen infinitos equivalentes Thévenin o Norton generalizados,pues la selección del punto P del plano complejo que determina los valoresde las fuentes es arbitraria.

5.4 Equivalencia de Fuentes Trifásicas

Vamos a ver cómo podemos aplicar los teoremas que acabamos de verpara encontrar fuentes equivalentes conectadas en estrella y en triángulo.

En la figura 5.14 y la figura 5.15 se representan dos fuentes trifásicas, unaconectada en estrella y la otra conectada en triángulo. Para convertir lafuente en triángulo a su equivalente en estrella, calcularemos el equivalente Thévenin, mientras que para convertir la fuente en estrella a su equivalenteen triángulo, calcularemos su equivalente Norton. Posteriormente,pasaremos las fuentes de intensidad a fuentes de tensión.

Comencemos transformando la fuente en triángulo a su equivalente enestrella. Como ya se ha dicho, lo que hacemos es calcular su equivalente Thévenin. Para ello determinamos primero las tensiones de circuitoabierto, para lo que calculamos la intensidad de lazo del triángulo Ilazo.

312312

312312

ZZZ

EEEI

++++

=lazo




Calculada esta intensidad, resulta fácil escribir para las tensiones de circuitoabierto:

U12 = E12−Ilazo Z12

U23 = E23−I lazo Z23

U31 = E31−I lazo Z31

E12

E31

E23

Z12

Z31

Z23

1

3

2

Ilazo

figura 5.14: Fuente real trifásicaen triángulo

Una vez calculadas estas tensiones de circuito abierto las tensiones delequivalente Thévenin, E1, E2 y E3 se pueden encontrar por elprocedimiento estudiado. En cuanto a las impedancias, basta con calcularla estrella de impedancias equivalente al triángulo de impedancias.

E1

Z1

E2E3

Z2Z3

1

3

2

N

figura 5.15: Fuente real trifásicaen estrella




Es posible encontrar una solución particular basándose en las fórmulasque se obtienen para las tensiones de circuito abierto si se sustituye el valorcalculado para la intensidad de lazo:

…

2

12232312

1

12313112

312312

3123121212121212

E

Z

ZEZE

E

Z

ZEZE

ZZZ

EEEZEIZEU

−

−+

−=

=++++

−=−=

∑∑

lazo

…

3

23313123

2

23121223

312312

3123122323232323

E

Z

ZEZE

E

Z

ZEZE

ZZZEEEZEIZEU

−

−+

−=

=++ ++−=−=

∑∑

lazo

…

1

31121231

3

31232331

312312

3123123131313131

E

Z

ZEZE

E

Z

ZEZEZZZ

EEEZEIZEU

−

−+

−=

=

++

++−=−=

∑∑

lazo

Lo que permite definir:

∑

∑

∑

−=

−=

−=

Z

ZEZEE

Z

ZEZEE

Z

ZEZEE

312323313

231212232

123131121




Para convertir ahora la fuente en estrella a la fuente en triángulo,calculamos en primer lugar el equivalente Norton de la fuente en estrella.Para ello calculamos las intensidades de cortocircuito. Llamemos N’ el

punto resultante de cortocircuitar los terminales 1, 2 y 3 de la fuente de lafigura 5.15. Entonces, las intensidades de cortocircuito pueden calcularseaplicando el teorema de Millmann entre N y N', en la misma manera que alanalizar es sistema trifásico equilibrado estrella−estrella, obteniéndose:

321

332211 N N'

YYY

YEYEYEU

++++

=

Y a partir de esta tensión se pueden obtener las intensidades decortocircuito como:

I1 = Y1 (E1−U N'N)

I2 = Y2 (E2−U N'N)

I3 = Y3 (E3−U N'N)

Una vez determinadas las intensidades de cortocircuito pueden calcularselas intensidades de las fuentes del equivalente Norton por elprocedimiento descrito al demostrar el teorema. Las impedancias deltriángulo son claramente las del triángulo de impedancias equivalente a laestrella de impedancias de la fuente. Sin embargo, nos interesa todavíaconvertir las fuentes reales de intensidad a fuentes reales de tensión, cuyos valores serán (teniendo en cuenta las referencias de las fuentes de tensión eintensidad),

31

31313131

23

23232323

12

12121212

Y

IIZE

Y

IIZE

Y

IIZE

−=−=

−=−=

−=−=

(5.1)




Al igual que antes, es posible encontrar una solución particular basándoseen la forma de las fórmulas que se obtienen sustituyendo en lasexpresiones de las intensidades de cortocircuito el valor de la tensión U N'N.

( )

∑∑−

−−

=

…=

++++

−=−=

Y

EEYY

Y

EEYY

YYY

YEYEYEEYUEYI

3131

2121

321

31211111 N N'111

( )

∑∑−

−−

=

…=

++

++−=−=

Y

EEYY

Y

EEYY

YYY

YEYEYEEYUEYI

1212

3232

321

31211122

N N'222

( )

∑∑−

−

−

=

…=

++++

−=−=

Y

EE

YYY

EE

YY

YYY

YEYEYEEYUEYI

23

23

13

13

321

31211133 N N'333

de donde se pueden identificar los siguientes términos:

∑

∑

∑

−=

−

=

−=

Y

EEYYI

Y

EE

YYI

Y

EEYYI

313131

23

2323

121212

pero por las fórmulas de conversión de estrella a triángulo, ha decumplirse que




∑

∑

∑

=

=

=

Y

YYY

YYYY

Y

YYY

3131

2323

1212

de lo que resulta

31

31

31

23

23

23

12

12

12

EEY

I

EEY

I

EEY

I

−=

−=

−=

que, a partir de (5.1) permiten escribir, finalmente

E12 = E1−E2

E23 = E2−E3

E31 = E3−E1

Las últimas fórmulas encontradas en ambos casos no son más quesoluciones particulares. Si bien esta última es especialmente sencilla, puedehaber casos en que otras soluciones de los equivalentes den resultados mássimples (por ejemplo tomando el punto P en uno de los vértices se anulauna de las fuentes del equivalente).

El caso más importante de conversión de fuentes es cuando los valores delas tensiones de las fuentes forman un sistema equilibrado de tensiones.En este caso, lo recomendable es tomar como punto de referencia delequivalente correspondiente el baricentro del triángulo de tensiones

original, de esta manera las tensiones equivalentes siguen formando un




sistema trifásico equilibrado y es sencillo obtener los valores de unas apartir de las otras basándose en las relaciones geométricas de los triángulosequiláteros.

Así, para los sistemas de tensiones de la figura 5.16 se obtiene:

j30º

331

j30º31

3

j30º

223

j30º232

j30º

112

j30º121

e3e3

e3e3

e3e3

EE

E

E

EEE

E

EEE

E

==

==

==

−

−

−

E1

1

E31

E23

23

E12

E3 E2

figura 5.16: Tensiones de línea yde fase neutro de un sistematrifásico equilibrado de secuenciadirecta

5.5 Tensiones e Intensidades de Fase y de Línea

A cada una de las tres partes diferenciadas que forma parte de un sistemade generación, distribución o consumo de energía eléctrica se le da elnombre de fase. A la intensidad que circula por el elemento físico y a lacaída de tensión correspondiente se les da el nombre de intensidad de fase ytensión de fase . Cuando tres fases se conectan para formar un conjuntotrifásico con tres terminales accesibles, a los cuales se conectan las líneasque unen este elemento con el resto de las partes de una instalación, sepueden definir nuevas magnitudes que identifican el comportamiento delsistema, éstas son las tensiones e intensidades de línea. Las tensiones de línea que también se denominan tensiones entre fases o tensiones compuestas , (poroposición a las tensiones de fase que se denominan también tensiones




simples ) son las tensiones que existen entre cada dos de los terminales defase accesibles de una instalación. Las intensidades de línea , son lasintensidades que entran o salen a un dispositivo trifásico por sus

terminales de conexión.

1

3

2

N

Intensidades

y tensiones

de fase

Intensidades

y tensiones

de líneaIntensidades

y tensiones

de fase

figura 5.17: Intensidades y tensiones de fase y de línea en configuraciones triángulo y

estrella

En la figura 5.17 se representa un dispositivo trifásico con sus tensiones eintensidades de línea y de fase. Como puede verse, si las fases se conectanen estrella las intensidades de línea coinciden con las de fase, no así lastensiones, al contrario que si las fases se conectan en triángulo. En estecaso las tensiones de línea coinciden con las de fase pero no lasintensidades.

En el caso de sistemas trifásicos equilibrados, la relación entre los módulos

de los valores de línea y los de fase no coincidentes es de 3 .

5.6 Análisis de Sistemas TrifásicosEl análisis de sistemas trifásicos equilibrados es más sencillo que el desistemas desequilibrados y se realiza mediante conversión de los distintoselementos del sistema a su equivalente en estrella y analizandoposteriormente los circuitos monofásicos equivalentes.

En el caso de circuitos desequilibrados, es preciso recurrir a las técnicasgenerales de análisis de circuitos estudiadas. La conversión de los




elementos a sus equivalentes en estrella y la aplicación del teorema deMillmann pueden resultar de gran ayuda.

Existen otras técnicas, como la descomposición de las variables delsistema en lo que se denominan componentes simétricas , que el lectorinteresado puede consultar en la bibliografía.

5.7 Potencia en Sistemas Trifásicos

En el estudio de sistemas trifásicos, cuando se habla de potencia generadao consumida se entiende, siempre que no se especifique lo contrario, lapotencia correspondiente a la suma de la potencias de las tres fases de laparte de la instalación que se considere, ya se trate de potencia activa,reactiva o aparente.

Se escribe, en general,

S = U1 I1*+ U2 I2

*+ U2 I2

*

P = U 1 I 1 cosϕ 1+ U 2 I 2 cosϕ 2+ U 3 I 3 cosϕ 3

Q = U 1 I 1 senϕ 1+ U 2 I 2 senϕ 2+ U 3 I 3 senϕ 3

En el caso de sistemas trifásicos equilibrados se cumple

U 1 = U 2 = U 3 = U

I 1 = I 2 = I 3 = I

ϕ 1 = ϕ 2 = ϕ 3 = ϕ

y las fórmulas anteriores se simplifican

S = 3 UF IF*

P = 3 U F I F cosϕ

Q = 3 U F I F senϕ




Estas últimas expresiones pueden ponerse en función de las tensiones eintensidades de línea si se tiene en cuenta que

para una conexión en triángulo ⇒

==

F L

F L

I I 3

UU

para una conexión en estrella ⇒

=

=

F L

F L U U

II

3

en cualquier tipo de conexión se cumple

F F L L I U I U 3= (5.2)

por lo que las fórmulas anteriores quedan

ϕ

ϕ

sen3

cos3

3*

L L

L L

L L

I U Q

I U P

=

=

= IUS

(5.3)

Una propiedad fundamental de los sistemas trifásicos equilibrados seobtiene al calcular la potencia instantánea consumida o generada por unacarga trifásica equilibrada. Si recordamos lo estudiado en el capítuloanterior, vemos que la potencia instantánea de cada fase tiene doscomponentes, una constante, que es la potencia aparente y otra variablecon el tiempo con una frecuencia 2ω, que es la potencia fluctuante. Lapotencia aparente es igual para las tres fases, tanto en módulo como en

fase, pues las tres fases tienen el mismo factor de potencia. En cuanto a lapotencia fluctuante, tiene el mismo módulo para las tres fases, pero encada fase tiene un retraso o adelanto de 120º con cada una de las otras dos.Es decir, la suma de las tres potencias fluctuantes es nula. Como resultadoobtenemos que la potencia instantánea de un sistema trifásico equilibrado esconstante . Este hecho es fundamental para la generación de energía eléctrica,ya que permite regular las máquinas motrices de los generadores de formaindependiente de la frecuencia de la red.




5.8 Medida de Potencia con Vatímetros en Sistemas Trifásicos

Según lo estudiado en el capítulo anterior, podemos considerar un vatímetro como un instrumento con cuatro terminales, dos de ellosconectados a una tensión UW y los otros dos atravesados por unaintensidad IW , que indica el valor del producto escalar

Re(UW IW *) = U W I W cos(ϕ u−ϕ i)

5.8.1 Sistemas de Cuatro Hilos

Vamos a analizar cómo determinar, a partir de las indicaciones de los vatímetros, las potencias activas y reactivas de un sistema trifásico, que en

el caso más general tendrá cuatro conductores, tres de fase y uno deneutro como se muestra en la figura 5.18.

I1

I2

I3

I0

1

3

2

0

figura 5.18: Sistema trifásico con cuatroconductores: uno por cada fase y uno deneutro

Cuando en una expresión de potencia aparezca un término de la formaRe(UABIK

*), sabemos que puede medirse mediante un vatímetro cuya

bobina voltimétrica está conectada entre A y B, y la bobina amperimétricaen el sentido de la referencia de la intensidad IK .

La expresión general de la potencia trifásica de un sistema como elrepresentado en la figura 5.18 es:

S = U10I1*+U20I2

*+U30I3

*+U00I0

*

La potencia activa correspondiente será

P = Re(U10I1*)+Re(U20I2

*)+Re(U30I3*)+Re(U00I0

*)




Cada término del tipo Re(UABIK *) en la expresión anterior puede

determinarse mediante un vatímetro supuesto que el punto 0 es accesible. Además, el término Re(U00I0

*) es nulo y no requiere vatímetro alguno

para determinarlo, de donde concluimos

P = Re(U10I1*)+Re(U20I2

*)+Re(U30I3

*) (5.4)

Podemos encontrar otras expresiones equivalentes a la anterioraprovechando el hecho de que la suma de las intensidades es cero

I1+I2+I3+I0 = 0

Por otra parte resulta interesante observar que si las tensiones se midencon relación a otro punto cualquiera S, distinto de 0, y siendo

U10 = U1S+US0

U20 = U2S+US0

U30 = U3S+US0

U00 = U0S+US0

queda

S = U10I1*+U20I2

*+U30I3

*+U00I0

* = …

= U1SI1*+U2SI2

*+U3SI3

*+U0SI0

*+US0(I1+I2+I3+I0)

Que, al anularse la suma de intensidades, resulta:

S = U1SI1*+U2SI2

*+U3SI3

*+U0SI0

* (5.5)

Expresión en la que, de querer obtenerse la potencia activa, requeriría elempleo de cuatro vatímetros al ser, en general, U0S≠0.

Si en (5.5) sustituimos, por ejemplo, I3=−I0−I1−I2, obtenemos




S = (U1S−U3S)I1*+(U2S−U3S)I2

*+(U0S−U3S)I0

* = …

= U13I1*+U23I2

*+U03I0

*

(5.6)

Que nos permite calcular la potencia activa como

P = Re(U13I1*)+ Re(U23I2

*)+ Re(U03I0

*) (5.7)

En función de las tensiones compuestas y mediante el empleo de tres vatímetros.

Para medir potencias reactivas mediante vatímetros, que únicamenteindican la parte real de la magnitud compleja UABIK *, puede escribirse:

Q = Re(− jS) = Re(− jUABIK *) = Re(UAB⊥IK

*)

donde UAB⊥ es una tensión perpendicular a UAB, con su mismo módulo yque se retrasa 90º respecto a ella. En muchas ocasiones se puede disponerde tensiones perpendiculares retrasadas a la tensión de fase de unelemento, pero de distinto módulo, entonces si se cumple:

UAB⊥ = − jK ABUAB

la potencia reactiva se obtiene como:

( ) ( ) )AB

*

K AB*

K ABK

Re jRe jRe

IUIUS ⊥=−=−=Q

5.8.2 Sistemas de Tres Hilos

En sistemas trifásicos de cuatro hilos cualesquiera, podemos medir lapotencia activa mediante vatímetros de acuerdo con las expresiones (5.4) y(5.7).

En sistemas de tres hilos, I0=0 y, a partir de (5.6), es posible determinar laspotencias activa y reactiva mediante el empleo únicamente de dos vatímetros.




P = Re(U13I1*)+Re(U23I2

*)

) )23

*

223

13

*

113

K

Re

K

Re IUIU ⊥⊥

+=Q

(5.8)

La conexión vatimétrica correspondiente a la primera de estas expresionessuele conocerse como conexión de Aaron .

Además, podrían utilizarse tres vatímetros tomando un punto cualquieracomo referencia de tensiones, según se vió en (5.5).

P = Re(U1SI1*)+Re(U2SI2*)+Re(U3SI3*)

) ) )3S

*

33S

2S

*

22S

1S

*

11S

K

Re

K

Re

K

Re IUIUIU ⊥⊥⊥ ++=Q

La potencia reactiva sólo se podría determinar de disponer de tensionesperpendiculares a las tensiones de fase o a las tensiones de línea. A partirde un triángulo de tensiones cualesquiera es posible, mediante el empleo

de resistencias de valor suficientemente grande, construir una estrella cuyopunto medio represente el potencial del ortocentro del triángulo detensiones ( carga ortocéntrica ). Llamemos a este punto T (para no confundirlocon el neutro). Los valores de las resistencias pueden determinarse a partirde los ángulos del triángulo de tensiones mediante las relaciones (figura5.19):

α = (U12,U13)

β = (U23,U21)

γ = (U31,U32)

R1 = R tanα

R2 = R tan β




R3 = R tanγ

siendo R un valor cualquiera de resistenca suficientemente elevado.

R1 R2 R3

1

3

2 ··

·

α 1

β 2

γ 3

T

T

figura 5.19: Carga ortocéntrica de resistencias y triángulo de tensiones

De esta forma, es posible disponer de tensiones perpendiculares a los valores de las tensiones de línea, pero no a la tensión U03. Por lo tanto, enun sistema cualquiera de cuatro hilos no habría manera de determinar lapotencia reactiva, pero si el sistema es de tres hilos, entonces I0=0 y latensión U03 no es necesaria. Se cumplen, además, las siguientes relaciones

entre las tensiones ortocéntricas y las tensiones de línea

γ

β

α

tan

j

tan

j

tan

j

123T

312T

231T

UU

UU

UU

−=

−=

−=

Retomando (5.8), podemos expresar la potencia reactiva como:

) )

( ) ( )*

21T

*

1T2

23

*

223

13

*

113

RetanRetan

K

Re

K

Re

IUIU

IUIU

α β +=

=+= ⊥⊥…Q

(5.9)




Lo visto hasta aquí es válido para cualquier tipo de sistema trifásico, tantoequilibrados como desequilibrados.

5.8.3 Sistemas con Tensiones EquilibradasUn caso muy frecuente es que pueda considerarse que las tensiones delínea forman un sistema equilibrado, aunque no ocurra lo mismo con lasde fase. En este caso serían aplicables todas las fórmulas anteriores. Sesimplificaría únicamente el caso de la medida de la potencia reactiva pues,en este caso

3tantantan

º60

===

===

γ β α

γ β α

obteniéndose para (5.9)

) ) ( ) ( )( )*

21T

*

1T2

23

*

223

13

*

113 ReRe3K

Re

K

ReIUIU

IUIU+=+= ⊥⊥Q

Aunque también es posible emplear tres vatímetros basándose en (5.5)

para un sistema de tres hilos y tomando como referencia el baricentro deltriángulo, aunque no esté accesible físicamente. Se puede escribir

S = U10I1*+U20I2

*+U30I3

*

y teniendo en cuenta que si las tensiones de línea están equilibradas, secumple

3021

2013

1032

3 j

3 j3 j

UU

UUUU

−=

−=−=

La potencia reactiva se puede escribir como

( ) ( ) ( )

3

ReReRe*

321

*

213

*

132 IUIUIU ++=Q




Todas las expresiones anteriores siguen siendo válidas en el caso desistemas equilibrados. Aunque, si se sabe que el sistema es equilibradosería suficiente con la indicación de un vatímetro conectado a cualquiera

de las fases para determinar el valor de la potencia activa, o tomando unareferencia perpendicular de tensión, medir la potencia reactiva.

Si el neutro no es accesible y no se pueden conectar vatímetros a cada unade las fases por separado, es posible emplear dos vatímetros según (5.8) y(5.9), tanto para medir la potencia activa como para la reactiva, y esto yasea el sistema de tres o de cuatro hilos, pues al estar el sistema equilibrado,aunque se tengan cuatro hilos, la intensidad I0 es nula, que es la condiciónde utilización de los dos vatímetros.

Si partimos de la expresión de la potencia aparente para un sistemaequilibrado con la conexión de dos vatímetros, según se vio en (5.8), secumple

) ))*

201

*

120 ReRe3 IUIU +=Q

Como particularidad de los sistemas equilibrados puede destacarse que la

potencia reactiva puede determinarse también a partir de la conexión dedos vatímetros utilizada para determinar la potencia activa (conexión Aaron).

) ))*

223

*

113 ReRe3 IUIU −=Q

que se puede deducir fácilmente representando los diagramas vectorialesde tensiones e intensidades.



6 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN

TRANSITORIO

Un régimen transitorio aparece al cambiar la configuración de un circuito:la transición entre dos regímentes permanentes origina un períodotransitorio (¡ el paso de un régimen permanente a otro no es instantáneo !).

En el capítulo de análisis de circuitos hemos aprendido a plantear lasecuaciones diferenciales lineales que rigen el comportamiento de loscircuitos. En los capítulos siguientes hemos visto cómo calcular lassoluciones particulares de estas ecuaciones en casos concretos, como son,la excitación con fuentes de corriente continua o con fuentes variables conel tiempo senoidalmente.

En este capítulo vamos a ver la forma que toman las ecuacionesdiferenciales de los circuitos de primer y segundo orden, cuya resolución

con seguridad se conoce del curso de ecuaciones diferenciales, y nos vamos a concentrar en cómo plantear las condiciones iniciales que nospermitan calcular las constantes indeterminadas de las soluciones generalesde estas ecuaciones.

6.1 Circuitos de Primer Orden

Son aquéllos cuyo comportamiento viene definido por una ecuacióndiferencial (lineal) de primer orden. Lo son, p.ej., aquellos circuitos que

tienen un único elemento almacenador de energía aunque, a veces, un




circuito con varios elementos almacenadores de energía de igual tipopuede ser también de primer orden.

En la figura 6.1 y figura 6.2 vemos dos circuitos de primer orden sencilloscon la ecuación diferencial de primer orden correspondiente. Recordemosque la solución general de una ecuación diferencial lineal puede expresarsecomo suma de una solución particular que representa el régimenpermanente y una solución de la ecuación homogénea. La suma de ambostérminos determina el régimen transitorio. En un sistema estable, lasolución de la ecuación homogénea tiende a anularse cuando el tiempotiende a infinito, de modo que para valores de la variable tiemposuficientemente grandes, puede considerarse que la solución de la ecuación

diferencial viene determinada únicamente por la solución de la ecuaciónparticular, es decir, se ha alcanzado el régimen permanente.

e g (t )

iC

u R

uC

R

C

figura 6.1: Circuito RC de primer orden y ecuación diferencial que lo define

RC

e

RC

u

t

u

R

e

R

u

t

uC

R

ue

t

uC i

g C C

g C C

C g C

C

=+⇒

=+⇒

−==

d

d

d

d

d

d

e g (t )

i L

u R

u L

R

L

figura 6.2: Circuito RL de primer orden y ecuación diferencial que lo define

L

e

R L

i

t

i

e Rit

i

L

t

i Le Ri

R

uei

g L L

g L L

L g L

L g

L

=+⇒

=+⇒

−=⇒

−=

d

d

d

d

d

d

Una ecuación general de primer orden como las dos anteriores puedeescribirse de modo general con su solución en función de las condicionesiniciales tal y como se indica a continuación:



Análisis de Circuitos en Régimen Transitorio 229

Ecuación diferencial ( )t xt

=+τ

ξ ξ

d

d

Solución homogénea ( ) τ ξ t

h X t −= e0

Solución particular ( ) ( )t t p ∞= ξ ξ

Solución general ( ) ( ) τ ξ ξ t X t t −

∞ += e0

Condiciones iniciales ( ) ( ) ( ) ( )0000 00 ∞∞ −=⇒+= ξ ξ ξ ξ X X

resultando la siguiente solución general:

( ) ( ) ( ) ( )( ) τ ξ ξ ξ ξ t t t −∞+∞ −+= e00 (6.1)

La forma de la solución general (6.1) nos muestra el método de análisisque puede seguirse para escribir directamente la solución de cualquiera delas variables de un circuito de primer orden que resumimos acontinuación:

1.

Calcular la constante de tiempo τ ..

2.

Resolver el régimen permanente: ξ ∞(t ).

3.

Particularizar en ξ ∞(0).

4.

Analizar el régimen permanente antes de la modificación del circuito ydeterminar ξ (0−).

5.

Analizar el circuito en el instante t =0+, a partir del instante en t =0−

sustituyendo las tensiones en condensadores e intensidades en bobinaspor fuentes de tensión e intensidad, respectivamente, aplicando lascondiciones de continuidad, y determinar ξ (0+).

Respecto al proceso de resolución indicado, es menester hacer hincapié enalgunos puntos. El primero es que cualquier variable del circuito puedecalcularse de esta forma, ya que todas las variables se comportan con untransitorio de primer orden con la misma constante de tiempo. Paramostrar este hecho considérese un circuito general como el de la figura

6.3, en el que nos interesamos por el valor de cualquiera de las variables,




tensión o intensidad, en una rama pasiva del circuito con una resistencia Ri. El circuito está alimentado con l fuentes de tensión y m fuentes deintensidad que representamos aparte en la figura, así como la rama del

elemento almacenador de energía. En este elemento suponemos conocidala tensión si es un condensador o la intensidad si es una bobina. Sea, engeneral, ξ la variable considerada y aplicamos sustitución.

Por ser un circuito lineal, la variable buscada, por ejemplo la tensión en laresistencia Ri será una función lineal de las excitaciones del sistema(principio de superposición) y podrá escribirse como:

ek

ξ = uC

ó

ξ = i L

u Ri

i Ri

ik

figura 6.3: En un circuito linealcon un único elemento almacenadorde energía, cualquier variable secomporta con un transitorio de

primer orden con la mismaconstante de tiempo

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= =

++=l m

R t ct ibt eat u1k 1k

ik ik k ik iξ (6.2)

En este circuito ya no hay elementos almacenadores de energía, pues sehan sustituido por fuentes, por lo que los coeficientes aik , bik y ci son

números reales. Sean

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= =

∞++=∞

l m

R t ct ibt eat u1k 1k

ik ik k ik iξ

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑=

+=

+++ ++=l m

R cibeau1k 1k

ik ik k ik 0000i

ξ




( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= =

∞++=∞

l m

R cibeau1k 1k

ik ik k ik 0000i

ξ

además, para las fuentes se cumple

( ) ( )

( ) ( )00

00

k k

k k

ii

ee

=

=

+

+

por lo que

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

τ τ ξ ξ t

R R

t uuc −

+

−

∞+ ∞

−=− e00e00iii

Sustituyendo (6.1) en (6.2) y utilizando las relaciones anteriores, se llegafinalmente a

( ) ( ) ( ) ( ) τ t

R R R R uut ut u −

∞+∞ −+= e00

iiii

El cálculo de la constante de tiempo del circuito se realiza a partir del

elemento almacenador de energía. Si es un condensadorτ = ReqC (6.3)

y si es una bobina,

eq R

L=τ (6.4)

donde Req es la resistencia equivalente que ve el elemento almacenador delcircuito en sus bornes (con todas las fuentes independientes anuladas).

Por último, hay que resaltar el modo de determinar los valores iniciales delas variables, que detallamos a continuación.

Se supone conocido el régimen permanente anterior al hecho de lamodificación del circuito que da lugar al proceso transitorio que trata de




estudiarse. Esto implica que en el instante en que se produce lamodificación del circuito, se conocen todas las variables del circuitooriginal, en especial las tensiones de los condensasores y las intensidades

de las bobinas. En el momento en que se produce la modificación delcircuito y debido a la necesaria continuidad de las funciones intensidad delos condensadores y tensiones de las bobinas, las tensiones de loscondensadores y las intensidades de las bobinas deben conservar su valor,es decir, para todo condensador y toda bobina del cicuito

uC (0−) = uC (0+)

i L(0−) = i L(0+)

Aplicando el principio de sustitución, e imponiendo esta condición detransición, se puede analizar el circuito ya modificado en t =0+, donde,respecto al circuito original, se han sustituido todos los condensadores porfuentes de tensión y las bobinas por fuentes de intensidad. El resto de lasfuentes pueden tomarse con su valor en el instante t =0−. El análisis de estecircuito resulta particularmente sencillo pues, al realizarse en un instante detiempo determinado y no aparecer funciones del tiempo, es igual que unanálisis en corriente continua de un circuito resistivo. Del resultado de esteanálisis se obtienen los valores de todas las variables del circuito en t =0+.De esta manera se pueden obtener las condiciones iniciales de todas las variables del circuito.

ejemplo 6.1

En el circuito de la figura 6.4, el interruptor S se abre en t =0. Sepide que se calculen los valores de las funciones i x(t ) y u x(t ).

E

i X

u X

uC 1 Ω

S 3 Ω

2 Ω

4 F





Cálculo de la constante detiempo

1 Ω

3 Ω

2 Ω

A B

La resistencia equivalente en bornes del condensador, como puede verse fácilmente en la figura anterior es de 4 Ω, de forma que laconstante de tiempo del circuito es

τ = 4 Ω 4 F = 16 s

Análisis del régimen permanente

E

i X

u X

1 Ω

S 3 Ω

2 Ω

Una vez abierto el interruptor, cuando se alcanza el régimen

permanente, el condensador puede considerarse como un circuitoabierto y el circuito queda como se muestra en la figura. En estecircuito es fácil ver

u x∞(t ) = E

i x∞(t ) = 0

Particularizar el régimen permanente en t=0

En este caso, al ser corriente continua, el valor de las funciones ent =0, es el mismo que en cualquier otro instante de tiempo, asípues:

u x∞(0) = E

i x∞(0) = 0




Análisis del circuito en t=0−, esdecir, del régimen permanente

anterior a la modificación delcircuito

E

i X

u X

1 Ω

S 3 Ω

2 Ω

uC

En régimen permanente, antes de abrir el interruptor, elcondensador se comportaba igualmente como un circuito abierto,teniéndose el circuito que se representa en la figura. En estecircuito se debe determinar la tensión en el condensador, que es la variable que se conservará al abrir el interruptor. Se trata de un

sencillo divisor de tensión con lo que

3

2 E uC =

Análisis del circuito en t=0+ ,aplicando las condiciones detransición

E

i X

u X

1 Ω

S 3 Ω

2 Ω

2 E /3

En t =0+, con el interruptor abierto y sustituyendo el condensador

por una fuente de tensión de valor3

2 E , se tiene el circuito de la

figura, del que se obtiene

( )

( )12

110

124

3

2

0

E E iu

E

E

E i

x x

x

=+−=

=−=

+

+

Sustituyendo los valores anteriores en la expresión general (6.1) dela solución de una función de un circuito de primer orden, resulta




( )

( ) 1616

1616

e12

e12

11

e12

e012

0

t t x

t t

x

E E E E E t u

E E t i

−−

−−

−= −+=

=

−+=

En un circuito de primer orden el valor de la constante de tiempo es unaindicación directa de la rapidez de la respuesta, cuando τ es pequeña,quiere decir que el régimen permantente se alcanza rápidamente, si τ esgrande, eso indica que el régimen permanente se alcanza lentamente. Esusual considerar que el régimen permanente se ha alcanzado ya, a efectos

prácticos para valores de t mayores de 5τ ( e−5

=0,007 ).6.2 Equivalente Thévenin de un Condensador y Norton de una

Bobina con Cargas Iniciales

Las ecuaciones en forma diferencial de bobina y condensador comoelementos de circuito nos permiten escribir las ecuaciones diferenciales delcircuito, pero no contienen ninguna información sobre los valores inicialesde las funciones, necesarios para resolver las ecuaciones. La forma integralde las ecuaciones de bobina y condensador sí que contiene información

sobre esas condiciones, y nos permiten formular un equivalente Théveninpara el condensador y un equivalente Norton para la bobina, en los quecomo elementos pasivos aparecen un condensador y una bobinarespectivamente, pero con carga inicial nula, tal y como se muestra en lafigura 6.5 y en la figura 6.6.

Si se realiza esta transformación de condensadores y bobinas en susequivalentes Thévenin y Norton respectivos, puede aplicarse el principiode superposición al circuito resultante después de producirse lamodificación que da lugar al transitorio, y separar el efecto sobre elproceso transitorio producido por las fuentes propias del circuito deldebido a las cargas iniciales de condensadores y bobinas.

A la parte de la respuesta del circuito correspondiente a las fuentes propiasdel circuito se la denomina respuesta a estado inicial cero. A la parte de larespuesta del circuito correspondiente a las cargas iniciales decondensadores y bobinas se la denomina respuesta a entrada cero.




U 0

uC (0-)=U 0

C

u' C (0-)=0 C

u' C

uC

figura 6.5: Equivalente Thévenin de uncondensador con carga inicial y ecuación

integral que lo define

( ) ( ) ( ) C

t

t

C C C uU t t iC

ut u ′+=+= ∫=

− 0

0'

'd'1

0

I 0i L(0-)= I 0

L

i' L(0-)=0

L

i L

i' L

figura 6.6: Equivalente Thévenin de unabobina con carga inicial y ecuación

integral que la define

( ) ( ) ( ) L

t

t

L L L i I t t u L

it i ′+=+= ∫=

− 0

0'

'd'1

0

ejemplo 6.2Si realizamos esta descomposición en el ejemplo 6.1, obtenemoslos resultados que se esquematizan a continuación.

E

i X

u X

u' C

1 Ω

S 3 Ω2 Ω

4 F

2 E /3

figura 6.7: Circuito delejemplo 6.2, en el que se

sustituye el condensadorinicialmente cargado porsu equivalente Thévenin




Circuito con las fuentesoriginales en t=∞

E

i' X

u' X

1 Ω

S 3 Ω

2 Ω

u' x∞ = E

i' x∞ = 0

Circuito con las cargas inicialesen t=∞

2 E /3

i'' X

u'' X

1 Ω

S 3 Ω

2 Ω

u'' x∞ = 0

i'' x∞ = 0

Circuito con las fuentesoriginales en t=0+

E

i' X

u' X

1 Ω

S 3 Ω

2 Ω

u' x(0+) = 3 E /4

i' x(0+) = E /4

Circuito con las cargas inicialesen t=0+

2 E /3

i'' X

u'' X

1 Ω

S 3 Ω

2 Ω




u' x(0+) = E /6

i' x(0+) = − E /6

Respuestas del circuito a estado inicial cero

( )

( ) 1616

1616

e4

e4

3

e4

e04

0

t t

x

t t

x

E E E

E E t u

E E t i

−−

−−

−=

−+=′

=

−+=′

Respuestas del circuito a entrada cero

( )

( ) 1616

1616

e6

e06

0

e6

e06

0

t t

x

t t

x

E E t u

E E t i

−−

−−

=

−+=′′

−=

−−+=′′

6.3

Ejemplo de Transitorio de Conexión de un Generador Vamos a estudiar a continuación un ejemplo de transitorio de primerorden en el que el régimen permanente viene fijado por una fuente detensión senoidal. Se trata del transitorio de conexión de un generador auna carga inductiva (cambiando la posición del interruptor puede verseque es equivalente al transitorio correspondiente al cortocircuito en vacíode un generador), representado en la figura 6.8, y se cumple

( ) ( ) ee g

E t E t e ϕ ϕ /2

ωcos0

0 =+=

El circuito se corresponde con el caso genérico de la figura 6.3, para el quela constante de tiempo viene dada por (6.4). El valor de la intensidadcorrespondiente al régimen permanente es fácil de calcular, y segúnsabemos del análisis de circuitos en corriente alterna viene dado por:




e g (t )

i

u R

u L

R

L

figura 6.8: Circuito RLde primer orden con una fuente de tensión senoidal

( ) ( )ϕ ϕ −++

=∞ et L R

E t i ωcos

ω222

0 donde R

Lωarctan=ϕ

Para t =0

( ) ( )ϕ ϕ −+

=∞ e

L R

E i cos

ω0

222

0

También se obtiene de forma inmediata en este circuito

i(0−) = 0

que, por ser una bobina, debe mantenerse en t =0+, por lo que

i(0+) = 0

Sustituyendo todos estos valores en la expresión general (6.1) de las variables de un transitorio de primer orden obtenemos la respuestacompleta

( ) ( ) ( )( )

R

L

t L R

E t i t ee

ωarctan

ecosωcosω

222

0

=

−−−++

= −

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ τ

La función que se obtiene es la superposición de una función senoidal yuna exponencial. En este transitorio podemos observar que, según elinstante en que se produzca el cierre del interruptor, el valor máximo de la

corriente transitoria puede ser muy distinto. El valor de la tensión en el




instante del cierre viene definido, en la función dada para la tensión de lafuente, por la fase inicial de la tensión ϕ e. Así, por ejemplo, siϕ e−ϕ =90º, entonces, cos(ϕ e−ϕ )=0, lo que implica que desaparece el

término exponencial y el régimen permanente se alcanza de formainstantánea. Si, por el contrario ϕ e=ϕ , entonces, cos(ϕ e−ϕ )=1, y parat =T/2=π/ω, se obtiene el máximo valor de la intensidad dado por

( ) ( ) ( )τ τ 2/T

222

0

222

0 e1ω

ecosω

2/T −− ++

−=−π

+=

L R

E

L R

E i t

que, para una frecuencia de 50 Hz, con T/2=1/100 y una constante de

tiempo de 0,1 s representa un valor de i(T/2)=−1,90 E 0/Z, casi el doble del valor de cresta de régimen permanente i= E 0/Z.

6.4 Transitorio de Primer Orden con Dos Elementos Almacenadores de Energía

Vamos a analizar a continuación un ejemplo de transitorio de primerorden en el que aparecen dos elementos almacenadores de energía. Sea elcircuito representado en la figura 6.9, en el que se pretende conocer el

valor de u1(t ) y u2(t ) dadas como condiciones iniciales de loscondensadores

u1(0−)=3 V

u2(0−)=0 V

si el interruptor S se cierra en t =0.

E =10V u

u2

S

3 Ω

2 Ω 4 mF

2 mF

u1

figura 6.9: Circuito RC de primer orden con una fuentede tensión continua




Al estar los dos condensadores conectados en serie, por lo que a laecuación diferencial se refiere, pueden considerarse como una capacidadequivalente

mF3

4

24

24=

+×

=eqC

Con ello, la constante de tiempo del circuito resulta ser

ms1,6s105

810

5

6

3

4

Ω5

6

32

3233 =×=×⋅=⇒

=+

×=

=−−τ

τ

eq

eqeq

R

C R

Si en el circuito original, con el interruptor ya cerrado, sustituimos loscondensadores por sus equivalentes Thévenin correspondientesobtenemos el circuito de la figura 6.10.

E =10V u

u2=v2

S

3 Ω

2 Ω

4 mF

2 mF

v1

3 Vu1 figura 6.10: Circuito de la

figura 6.9 en el que se hasustituido el condensadorinicialmente cargado por suequivalente Thévenin

En el circuito de la figura 6.9, al calcular las funciones u1(t ) y u2(t ), nosencontramos con la siguiente dificultad. Si se consideran amboscondensadores como circuitos abiertos, del análisis del circuito podemosdeducir únicamente que

( ) V6V105

3==t u

pero no sabemos cómo se distribuye esta tensión entre amboscondensadores, pues las ecuaciones del divisor de tensión sólo sonaplicables si los condensadores están descargados inicialmente.




En el circuito de la figura 6.10, sin embargo, podemos deducir, del análisisdel régimen permanente,

v(t ) = 6 − 3 = 3 V

Por su parte, v(t ) sí que se divide en v1(t ) y v1(t ) según las ecuaciones deun divisor de tensión, es decir,

( ) ( )

( ) ( ) V2324

4

V1324

2

21

1

2

21

21

=×+

=+

=

=×+

=+

=

∞∞

∞∞

t vC C

C t v

t vC C

C t v

Además, los condensadores ahora pueden considerarse descargadosinicialmente, es decir,

v1(0−) = v1(0+) = v2(0−) = v2(0+) = 0

Con estos valores pueden escribirse ya las soluciones completas de las

distintas variables:

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 016,0/21

016,0/

22

016,0/

11

016,0/

2

016,0/

1

016,0/

e36

e22

e43

e22

e1

e33

t

t

t

t

t

t

t ut ut u

t vt u

t vt u

t v

t v

t v

−

−

−

−

−

−

−=+=

−==

−=+=

−=

−=

−=

6.5 Introducción a los Circuitos de Segundo Orden

En general, pueden considerarse como circuitos de segundo orden los quedisponen de dos elementos almacenadores de energía. En este caso noexiste una única constante de tiempo sino dos distintas y su cálculorequiere la solución de la ecuación característica asociada a la ecuacióndiferencial de cada una de las variables, para lo cual es necesario plantear la




ecuación diferencial, ya no es suficiente calcular la resistencia equivalentedel circuito.

Para resolver completamente las ecuaciones diferenciales de segundoorden es preciso determinar dos constantes y no sólo una como en lasecuaciones de primer orden. Por ello, no resulta suficiente con calcular el valor de las variables en t =0+, sino que es preciso algún dato adicional.Este dato adicional suele ser el valor de la derivada de las variables en t =0+.

El valor de estas derivadas puede calcularse de forma sistemática de lasiguiente manera. Para las intensidades de las bobinas es suficiente concalcular su tensión en t =0+ de modo que la derivada de la intensidad ent =0+ puede escribirse según

( ) L

u

t

i L

t

L +

=

=+

0

d

d

0

De igual manera, es posible calcular las derivadas de las tensiones de loscondensadores en función de la intensidad del condensador obtenida apartir del análisis del circuito en t =0+

( )C

i

t

u C

t

C +

=

=+

0

d

d

0

Cualquier otra variable del circuito cuya derivada en t =0+ desee conocersedebe ponerse como combinación lineal de funciones con derivadas ent =0+ conocidas (las fuentes, i L y uC ) y derivar la ecuación correspondiente.




tabla 6.1: Ecuaciones diferenciales y condiciones iniciales para elcircuito de la figura 6.11

Ecuaciones diferenciales ycondiciones iniciales en función de i L 0

1

d

d

d

d

0

2

2

=++

=++

L L L

L RC

i LC t

i

C

G

t

i

iii

Condiciones iniciales( ) ( ) ( )

( ) ( )

L

u

L

u

t

i

uuu

C L

t

L

C C L

−+

+=

−++

==

↓

==

00

d

d

000

0

Ecuaciones diferenciales ycondiciones iniciales en función de u C ( ) ( )

( ) 01

d

d

d

d

0'd'1

0d

d

0

2

2

0'

=++

=+++

=++

∫=

−

t u LC t

u

C

G

t

u

t t u L

iGut

uC

iii

C C C

t

t

C LC C

L RC

Condiciones iniciales ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

C

iGui

C t

u

iGuiGu

iGuiii

uuu

LC C

t

C

LC LC

L R L RC

C C R

−−+

+=

−−++

+++++

−++

−−==

↓

↓

−−=−−

=−−=−−=

==

000

1

d

d

0000

00000

000

0

ejemplo 6.3

Examinemos el análisis del transitorio del circuito oscilanteparalelo RLC de la figura figura 6.11. De un primer análisispodemos establecer las siguientes relaciones:




t

i Lu

Gui t

uC i

uuu

L L

R R

C C

L RC

d

d

d

d

=

=

=

==

iC

uC

A

C

i Li R

LG


Para obtener la ecuación diferencial del circuito aplicamos laprimera ley de Kirchhoff al nudo A, obteniendo,

iC + i R + i L = 0

Podemos escribir cada uno de estos términos en función de i L o deuC , obteniéndose las dos ecuaciones diferenciales y condicionesiniciales que se muestra en la tabla 6.1.

Como se ve, las ecuaciones diferenciales son las mismas,independientemente de la variable de que se trate. Únicamente lascondiciones iniciales cambian.

Recordemos aquí brevemente los distintos tipos de soluciones de laecuación diferencial homogénea de segundo orden según el valor de loscoeficientes.

La ecuación característica de las ecuaciones diferenciales de la tabla 6.1 seescribe

012 =++

LC s

C

G s




Cuyas soluciones son

22

02

2

2

0

4

1

1

2

j

α ω ω

ω

α

ω α

−=−=

=

=

±−=

C

G

LC

LC

C

G

s

a

a

Las soluciones de la ecuación diferencial son, entonces,

α >ω 0 Sobreamortiguadodos raíces realesdistintas

( ) t st st f 21 eK eK 21 +=

α =ω 0 Críticamente amortiguadodos raíces reales iguales

( ) ( ) t st t f 1eK K 21 +=

α <ω 0 Subamortiguadodos raíces complejasconjugadas

( ) ( )t t t f t 0201 senK cosK e ω ω α += −

α =0 Oscilantedos raíces imaginariaspuras

( ) t t t f 0201 senK cosK ω ω +=

Para el análisis de circuitos de orden superior (incluso ya para el análisis decircuitos de segundo orden puede presentar ventajas) se recomienda lautilización de la transformada de Laplace .



7CUADRIPOLOS

A la hora de construir o diseñar circuitos complicados resulta más prácticoconstruirlos a partir de módulos más sencillos que se acoplan de distintasmaneras para dar lugar al circuito completo. Para que este acoplamientotenga sentido, interesa que los módulos mantengan sus propiedades yecuaciones de definición después de la interconexión.

Uno de los módulos más sencillos que pueden definirse es el que ha dadoen llamarse cuadripolo o bipuerta . Un cuadripolo es un circuito con cuatroterminales agrupados en bloques de dos. Uno de ellos se denominaráentrada , y se denotará generalmente con las marcas 1 y 1' y el otro sedenominará salida y se denotará con las marcas 2 y 2', tal como se reflejaen la figura 7.1. Para que un circuito de cuatro terminales se considerecomo un cuadripolo, los terminales de entrada y de salida han de estardesacoplados. Esta condición se formula diciendo que en cualquier estado

de funcionamiento las ramas de los terminales 1 y 1' y las ramas de losterminales 2 y 2' forman un conjunto de corte o, en otras palabras,

i1 = i' 1

i2 = i' 2

Hasta aquí, hemos considerado como circuitos pasivos a aquéllos que nocontaban con fuentes independientes, sin embargo, cuando se habla de

cuadripolos, se considera un cuadripolo pasivo cuando no tiene fuentes ni




dependientes ni independientes, es decir, un cuadripolo con elementospasivos y alguna fuente dependiente se considera como un cuadripolo activo.

i1 i2

i' 1 i' 2

u2u1

1

1'

2

2'

Cuadripolo

figura 7.1: Cuadripolo genérico ynotación empleada

tabla 7.1: Ecuaciones y coeficientes de definición del cuadripolo

Variablesindependientes Variablesdependientes Ecuaciones dedefinición del cuadripolo Denominación de los parámetros

u1, u2 i1, i2 u1 = z 11i1+ z 12i2

u2 = z 21i1+ z 22i2

Impedancias decircuito abierto

i1, i2 u1, u2 i1 = y11u1+ y12u2

i2 = y21u1+ y22u2

Admitancias decortocircuito

u1, i1 u2, −i2 u1 = Au2+ B(−i2)

i1 = Cu2+ D(−i2)

Parámetros de

transmisión directa

u2, i2 u1, −i1 u2 = A'u1+ B' (−i1)

i2 = C'u1+ D' (−i1)

Parámetros detransmisión inversa

u1, i2 i1, u2 u1 = h11i1+h12u2

i2 = h21i1+h22u2 Parámetros híbridos h

i1, u2 u1, i2 i1 = g 11u1+ g 12i2

u2 = g 21u1+ g 22i2 Parámetros híbridos g

7.1 Parámetros de Definición. Cuadripolos Pasivos

Al formar los terminales de entrada y los de salida sendos conjuntos decorte, los cuadripolos se caracterizan por cuatro variables u1, u2, i1 e i2. Sipensamos en resolver cualquier circuito al que se conecte el cuadripolo,necesitaremos alguna relación que nos ligue estas variables. El dipolo queconectemos a la entrada nos proporciona una relación entre u1 e i1 y eldipolo que conectemos a la salida dos da una relación entre u2 e i2. Para

poder despejar todas las variables del cuadripolo se necesitan, en un



Cuadripolos 249

sistema lineal, dos ecuaciones más que nos relacionen, en el caso másgeneral, las cuatro variables mencionadas. Estas dos ecuaciones querelacionan entre sí las variables del cuadripolo son las ecuaciones de definición

del cuadripolo y pueden presentarse en gran variedad de formas.

Cuando se trata con cuadripolos lineales, dos variables pueden ponerse enfunción de las otras dos mediante cuatro coeficientes que nos relacionan,las variables tomadas como dependientes con las variables tomadas comoindependientes. Según qué variables dependientes e independientes setomen, los coeficientes reciben distintas denominaciones. El conjunto deposibilidades se muestra en la tabla 7.1.

Dado un cuadripolo pasivo del cual se conoce su geometría y loselementos pasivos que lo componen, la misma forma de las ecuaciones dela tabla 7.1 nos proporciona el método de calcular cualquiera de losparámetros, p.ej.:

01

111

2 =

=i

i

u z impedancia de entrada con la salida a circuito

abierto

02

112

1==

ii

u z impedancia de transferencia con la entrada acircuito abierto

01

221

2 =

=i

i

u z impedancia de transferencia con la salida a

circuito abierto

02

222

1=

=i

i

u z impedancia de salida con la entrada a circuito

abierto

i1 i2

i' 1 i' 2

u2

LD

1

1'

2

2'

1/C D u1





ejemplo 7.1

Consideremos el cuadripolo de la figura 7.2. Si aplicamos estasdefiniciones, se obtiene

D

1

D

1

D

1

D

1D

02

222

01

221

02

112

01

111

1

2

1

2

C i

u z

C i

u z

C i

u z

C L

i

u z

i

i

i

i

==

==

==

+==

=

=

=

=

Si escribimos la matriz de análisis por mallas con sendas fuentes detensión u1 y u2, a la entrada y salida del cuadripolo obtendríamos:

212

211

D

1

D

1

D1

D1D

iC

iC

u

iC

iC

Lu

+=

+

+=

Como vemos, la matriz de impedancias de malla nos dadirectamente, en este caso, la matriz de impedancias delcuadripolo.

Para la matriz de admitancias, aplicando las definiciones,obtenemos

D

1

D

1

02

112

01

111

1

2

Lu

i y

Lu

i y

u

u

−==

==

=

=



Cuadripolos 251

D

1D

D

1

02

222

01

221

1

2

LC

u

i y

Lu

i y

u

u

+==

−==

=

=

Si escribimos la matriz de análisis por nudos alimentando con dosfuentes de intensidad i1 e i2 obtenemos

212

211

D

1D

D

1

D

1

D

1

u L

C u L

i

u L

u L

i

++−=

−=

Que nos da directamente la matriz de admitancias del cuadripolo.Para la matriz de parámetros de transmisión directa, aplicando lasdefiniciones,

1

D

D

D1

D

1

D

1D

02

1

02

1

02

1

2

02

1

2

2

2

2

=−

=

==

=−

=

+=

+==

=

=

=

=

u

i

u

i

i

i D

C

u

iC

Li

u B

LC

C

C L

u

u A

Este resultado podría haberse obtenido a partir de los anteriorespor inspección de las definiciones




1

D1

D1

D1

D

1

D

1D

21

11

02

1

2102

1

2102

1

2

21

11

02

1

2

2

2

2

=−=−=

===

=−

=−

=

+=

+===

=

=

=

=

y

y

i

i

D

C z u

iC

L yi

u B

LC

C

C L

z

z

u

u A

u

i

u

i

En general, dada una cualquiera de las ecuaciones, pueden despejarse elresto de ellas, pudiendo establecerse una tabla de equivalencias deparámetros de cuadripolos que se reproduce en la tabla 7.2.

7.2 Asociaciones de Cuadripolos

Se habla de una asociación de dos cuadripolos cuando dos cuadripolos seconectan de tal manera que, después de conectados, se pueden seguirconsiderando como cuadripolos, es decir, se sigue cumpliendo lacondición de que tanto las ramas de la entrada como las de la salidaforman conjuntos de corte.

7.2.1 Asociación de Cuadripolos en Serie

Dos cuadripolos A y B se consideran agrupados en serie cuando seconectan como en la figura 7.3 y ambos cuadripolos, así como el

cuadripolo resultante se comportan como cuadripolos después de laconexión.



Cuadripolos 253

tabla 7.2: Equivalencias entre los coeficientes de definición de un cuadripolo

z [i1,i2] y [u1,u2] a [u2,−i2] a' [u1,−i1] h [i1,u2] g [u1,i2]

[u1,u2]z

2221

1211

z z

z z

∆∆−

∆−∆

y y

y y

y y

y y

1121

1222

∆

C

D

C

C C A a

1

∆'

'

'

'1

''

'

C

A

C

C C D

a

−

∆

2222

21

22

12

22

1

hh

h

hh

hh

∆

−

1111

21

11

12

11

1

g g

g

g g

g

h

[i1,i2]y

∆∆−

∆−

∆

z z

z z

z z

z z

1121

1222

2221

1211

y y

y y

−

∆−

B

A

B

B B

D a

1

∆−

−

'

'

'

'

1

'

'

'

B

D

B

B B

A

a

∆

−

1111

21

11

12

11

1

hh

h

h

h

h

h

−

∆

2222

21

22

12

22

1

g g

g

g

g

g

g

[u1,i1]a

∆

21

22

21

2121

11

1 z z

z

z z

z z

−∆−

−−

21

11

21

2121

22 1

y y

y

y y

y

y

DC

B A

∆∆

∆∆

''

''

''

''

aa

aa

AC

B D

−−

−∆−

2121

22

21

11

21

1hh

h

h

h

h

h

∆2121

11

21

22

21

1

g g g

g

g

g

g

[u2,i2]a'

∆

12

11

12

1212

22

1

z

z

z

z z

z z

−∆−

−−

12

22

12

1212

11 1

y

y

y

y y

y

y

∆∆

∆∆

aa

aa

AC

B D

''

''

DC

B A

∆

1212

22

12

11

12

1

hh

h

h

h

h

h

−−

−∆−

1212

11

12

22

12

1

g g

g

g

g

g

g

[u1,i2]h

−

∆

2222

21

22

12

22

1

z z

z

z

z

z

z

∆

−

1111

21

11

12

11

1

y y

y

y

y

y

y

−

∆

D

C

D

D D

B a

1

∆−'

'

'

'

1

'

'

'

A

C

A

A A

B

a

2221

1211

z h

hh

∆∆−

∆−

∆

g g

g g

g g

g g

1121

1222

[i1,u2]g

∆

−

1111

21

11

12

11

1

z z

z

z

z

z

z

−

∆

2222

21

22

12

22

1

y y

y

z

y

y

y

∆−

A

B

A

A A

C a

1

∆

−

'

'

'

'

1

'

'

'

D

B

D

D D

C

a

∆∆−

∆−

∆

hh

hh

hh

hh

1121

1222

2221

1211

g g

g g

En el cuadripolo resultante se puede escribir

u1 = u1a+u1b

u2 = u2a+u2b

i1 = i1a = i1b

i2 = i2a = i2b

(7.1)

Y si se cumplen estas igualdades, la ecuación de impedancias delcuadripolo resultante puede formularse de acuerdo con:




[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]( )

+=

+

=

=

+

=

+

=

2

1 ba

2

1 b

2

1a

2b

1b

b

2a

1a

a

2b

1b

2a

1a

2

1

ii

ii

ii

i

i

i

i

u

u

u

u

u

u

zzzz

zz …

Lo que quiere decir que

[ ] [ ] [ ] ba zzz += (7.2)

i1a i2a

i' 1a i' 2a

u2au1a

1a

1'a

2a

2'a

Cuadripolo A

i1b i2b

i' 1b i' 2b

u2bu1b

1b

1'b

2b

2'b

Cuadripolo B

u1 u2

i1

i' 1

i2

i' 2

1

1'

2

2'

figura 7.3: Dos cuadripolos asociados en serie

7.2.2 Asociación de Cuadripolos en Paralelo

Dos cuadripolos A y B se consideran agrupados en paralelo cuando seconectan como en la figura 7.4 y ambos cuadripolos, así como el

cuadripolo resultante, se comportan como cuadripolos después de laconexión.

En el cuadripolo resultante se puede escribir



Cuadripolos 255

i1 = i1a+i1b

i2 = i2a+i2b

u1 = u1a = u1b

u2 = u2a = u2b

(7.3)

Y si se cumplen estas ecuaciones la ecuación de admitancias delcuadriplolo resultante puede formularse de acuerdo con:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]( )

+=

+

=

=

+

=

+

=

2

1

ba

2

1

b

2

1

a

2b

1b b

2a

1aa

2b

1b

2a

1a

2

1

u

u

u

u

u

u

uu

uu

ii

ii

ii

yyyy

yy …

Lo que quiere decir que

[ ] [ ] [ ] ba yyy += (7.4)

i1a i2a

i' 1a i' 2a

u2au1a

1a

1'a

2a

2'a

Cuadripolo A

i1b i2b

i' 1b i' 2b

u2bu1b

1b

1'b

2b

2'b

Cuadripolo B

u1 u2

i1

i' 1

i2

i' 2

1

1'

2

2'

figura 7.4: Dos cuadripolos asociados en paralelo

Si se conecta el lado 1 en serie y el lado 2 en paralelo se habla de una

conexión serie-paralelo y, si los cuadripolos siguen funcionando como tales,




puede verse que la forma más sencilla de escribir las ecuaciones delcuadripolo resultante es en función de las matrices de parámetros híbridosh, siendo

[h] = [ha]+[h b]

De forma similar, si se conecta el lado 1 en paralelo y el lado 2 en serie, laforma más sencilla de obtener las ecuaciones del cuadripolo resultante esen función de las matrices de parámetros híbridos g , siendo:

[g] = [ga]+[g b]

7.2.3 Tests de Brune

Por lo general, dados dos cuadripolos cualesquiera que se conectan enserie o en paralelo a su entrada o a su salida, no está garantizado que,después de conectarse, sigan cumpliendo la condición de intensidades delos cuadripolos. Es importante poder predecir cuándo dos cuadripolos, alconectarse en serie o en paralelo, seguirán comportándose como tales.Una forma de hacerlo es realizando las pruebas o tests de Brune.

Antes de describir en qué consisten los tests de Brune, mostremos elsiguiente enunciado de teoría de circuitos:

La condición necesaria y suficiente para que, al cortocircuitar dos puntos A y B de un circuito dado, no circule intensidad entre ellos, esque se encuentren al mismo potencial.

Veamos la condición necesaria: Calculemos el equivalente Thévenin entreestos dos puntos, viene definido por la tensión de circuito abierto

AB0u y

una resistencia equivalente Req. Si cortocircuitamos los puntos A y B, laintensidad que circulará entre ellos será

eq

cc R

ui AB

AB

0= (7.5)

Si ambos puntos estaban al mismo potencial antes de cortocircuitarlos,entonces,



Cuadripolos 257

0AB

=cci

pues al encontrarse al mismo potencial,

0AB0 =u

(Posible excepción Req=0 ).

La condición suficiente se deduce de la misma fórmula pues, sicortocircuitamos y no circula intensidad entre A y B, de (7.5) se deduceque 0

AB0 =u (Posible excepción Req=∞ ).

Analicemos las excepciones anteriores. Si Req=0, esto quiere decir que A yB podían considerarse como conectados antes de cortocircuitarse, con locual la maniobra de unir A con B no modificaría el circuito. En el caso de Req=∞, no existiría ningún camino para la intensidad entre A y B fuera delque se crearía al cortocircuitarlos, por lo que tampoco podría circularintensidad entre A y B después del cortocircuito.

i1a i2a

i' 1a i' 2a

u2au1a

1a

1'a

2a

2'a

Cuadripolo A

i1b i2b

i' 1b i' 2b

u2bu1b

1b

1'b

2b

2'b

Cuadripolo B

u1 u2

i1

i' 1

i2

i' 2

1

1'

2

2'

ih

figura 7.5: Dos cuadripolos asociados en serie en los que se han sustituido los dipolosde entrada y de salida por sendas fuentes ideales de intensidad

Pasemos ahora a ver las condiciones de los tests de Brune. Empecemospor la conexión serie de cuadripolos. Sean dos cuadripolos cualesquiera




conectados en serie como en la figura 7.5 y representemos los elementosconectados a la entrada y a la salida mediante sendas fuentes de intensidadpor aplicación del principio de sustitución.

En el cuadripolo resultante, se cumple que

i1 = i' 1 = i1a = i' 1b

i2 = i' 2 = i2a = i' 2b

por la presencia de las fuentes. Como no sabemos si i' 1a e i1a son iguales,podemos escribir, en general,

i' 1a = i1b = i1a – ih = i' 1b – ih = i1−ih

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al cuadripolo A, se deduce

i1a−i' 1a+i2a−i' 2a = 0

i' 2a = i2a+i1a−i' 1a = i2a+ih = i2+ih = i' 2b+ih = i2b

Lo que es equivalente a definir una intensidad de malla central ih que sesuperpone a las intensidades de las mallas externas i1 e i2.

La condición de que no haya interacción entre los cuadripolos A y B paraque sigan comportándose como cuadripolos puede escribirse, entonces,como ih = 0.

La intensidad ih debe ser cero para cualesquiera estados de carga del

cuadripolo resultante i1 e i2. Si aplicamos superposición a un estado decarga cualquiera del cuadripolo total con i1 e i2, obtenemos los doscuadripolos de la figura 7.6, donde la intensidad ih debe ser cero en amboscuadripolos. Esta condición es equivalente a que en los circuitos de lafigura 7.7 y para cualesquiera valores de i1 e i2 se cumpla uMN=0 y uPQ=0.Éste es el test de Brune para conexión de cuadripolos en serie.



Cuadripolos 259

i1 i2

P

ihih

N

M

Q

C. A.

C. B.

C. A.

C. B.

figura 7.6: Paracualquier estado decarga del circuito de la

figura 7.5, se cumpliráel test de Brune si lasintensidades entre P y Q y entre M y N sonnulas

i1 i2

P

uMNuPQ

N

M

Q

C. A.

C. B.

C. A.

C. B.

figura 7.7: Paracualquier estado decarga del circuito de la

figura 7.5, se cumpliráel test de Brune si lastensiones entre P y Q y entre M y N sonnulas

Analicemos ahora la conexión en paralelo, para la cual representamos lacarga ahora por dos fuentes de tensión cualesquiera, tal como se

representa en la figura 7.8.i1a i2a

i' 1a i' 2a

u2au1a

1a

1'a

2a

2'a

Cuadripolo A

i1b i2b

i' 1b i' 2b

u2bu1b

1b

1'b

2b

2'b

Cuadripolo B

u1 u2

i1

i' 1

i2

i' 2

1

1'

2

2'

ih

figura 7.8: Dos cuadripolos asociados en paralelo en los que se han sustituido losdipolos de entrada y de salida por sendas fuentes ideales de tensión




En este circuito no se puede garantizar la igualdad entre i1a e i' 1a siescribimos de forma semejante al caso de la conexión serie

i' 1a = i1a+ih

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al cuadripolo A, obtenemos, de lamisma manera que en el cuadripolo serie,

i1a−i' 1a+i2a−i' 2a = 0

i' 2a = i2a+i1a−i' 1a = i2a+ih

Como i1 = i' 1, a partir de (7.3) y de las ecuaciones anteriores, se obtiene

i' 1b−i1b = i1a−i' 1a = −ih

i' 1b = i1b−ih

i' 2b = i2b−ih

i1a i2a

i' 1a

i' 2a

u2a

u1a

1a

1'a

2a

2'a

Cuadripolo A

i' 1b i' 2b

i1b i2b

u2b

u1b

1'b

1b

2'b

2b

Cuadripolo B

u1 u2

i1 i' 1 i2i' 21 1' 2 2' ih

figura 7.9: Circuito de la figura 7.8 redibujado en el que se representa de forma másclara la corriente de malla i h

lo que resulta equivalente a formular una corriente de malla ih superpuestaa corrientes de malla i1a, i2a, i1b e i2b según el esquema de la figura 7.9.



Cuadripolos 261

Los cuadripolos A y B seguirán manteniendo su condición de talessiempre que ih=0 para cualquier estado de carga u1 y u2. Aplicandosuperposición a un estado cualquiera de carga del cuadripolo global dado

por u1 y u2 obtenemos los cuadripolos de la figura 7.10, que puedenrepresentarse de forma equivalente como se muestra en la figura 7.11.

u1 u2

ih

C.A C.A

C.B C.B

ih

figura 7.10: Circuitos resultantes de desdoblar el circuito de la figura 7.8, para unestado de carga cualquiera, según el principio de superposición

u1 u2

ih

C.A C.A

C.B C.B

ih

P

N

M

Q

figura 7.11: Para cualquier estado de carga del circuito de la figura 7.8, se cumpliráel test de Brune si las intensidades de P a Q y de M a N son nulas

Según la proposición enunciada anteriormente, la condición de que ih seanula en cualquiera de los dos circuitos anteriores es equivalente a que enlos circuitos de la figura 7.12, y para cualesquiera valores de u1 y u2, lastensiones uMN y uPQ sean cero.




u1 u2ih

C.A C.A

C.B C.B

ih

P

N

M

Q

uMNuPQ

figura 7.12: Para cualquier estado de carga del circuito de la figura 7.8, se cumpliráel test de Brune si las tensiones entre P y Q y entre M y N son nulas

De forma similar a los tests de Brune vistos para las conexiones serie yparalelo, pueden enunciarse tests de Brune mixtos para las conexionesserie-paralelo y paralelo-serie, sin más que combinar los circuitoscorrespondientes.

7.2.4 Conexión de Cuadripolos en Cascada

Cuando los terminales de salida de un cuadripolo A se conectan con losterminales de entrada de un cuadripolo B, tal y como se muestra en lafigura 7.13, se dice que los dos cuadripolos están conectados en cascada.

En esta conexión, los cuadripolos siempre siguen actuando comocuadripolos, sin necesidad de cumplir requisitos especiales. Se cumplen lassiguientes relaciones impuestas por la forma de la conexión:

u1 = u1a i1 = i1a

u2 = u2b i2 = i2b

i2a = −i1b u2a = u1b

(7.6)

−

=

−

=

=

=

−

=

=

2

2

b b

b b

aa

aa

b2

b2

b b

b b

aa

aa

1b

1b

aa

aa

2a

2a

aa

aa

1a

1a

1

1

i

u

DC

B A

DC

B A

i

u

DC

B A

DC

B A

i

u

DC

B A

i

u

DC

B A

i

u

i

u…



Cuadripolos 263

i1a i2a

i' 1a i' 2a

u2au1a

1a

1'a

C. A

i1b i2b

i' 1b i' 2b

u2bu1b

1b 2b

2'b

u1 u2

i1

i' 1

i2

i' 2

1

1'

2

2'

C. B

2a

2'a 1'b

figura 7.13: Dos cuadripolos conectados en cascada

de donde, la matriz de transmisión del cuadripolo resultante de conectaren cascada A y B puede expresarse como producto de las matrices deconexión de los cuadripolos componentes.

[a] = [aa] [a b] (7.7)

ejemplo 7.2

En la figura 7.14 se muestran dos cuadripolos elementales queconectados en cascada resultan en el cuadripolo cuyas ecuacionesse escribieron más arriba.

i1 i2

i' 1

i' 2

u2

LD

1

1'

2

2'

1/C D u1 figura 7.14: Bobina en serie y

condensador en paraleloconsiderados como cuadripolos

asociados en cascada

El producto de las matrices de conexión del cuadripolo formado por labobina en serie y por el formado por el condensador en paraleloproporciona el resultado siguiente:




+=

⋅

1D

DD1

1D

01

10

D1 2

r condensadodelconexióndematriz

bobinaladeconexióndematriz

C

L LC

C

L

7.3 Cuadripolos Recíprocos

Se llama cuadripolo recíproco a todo aquel cuadripolo pasivo que cumple elteorema de reciprocidad. Los cuadripolos pasivos formados por R, L, C ybobinas acopladas son recíprocos. Existen algunos elementos de circuitocomo el girador que hacen que los cuadripolos dejen de ser recíprocos.

El cumplimiento del teorema de reciprocidad en los cuadripolos imponerestricciones a sus ecuaciones de definición. Estas restricciones se obtienenimponiendo el cumplimiento del teorema de reciprocidad al cuadripolo.Referida a los distintos tipos de parámetros, la condición de reciprocidadse formula según lo expresado en la tabla 7.3.

tabla 7.3: Condiciones de reciprocidad referidas a los distintos tipos de parámetros

Denominación de los parámetros Condiciones de reciprocidad

Impedancias de cortocircuito [z] z 12 = z 21

Admitancias de cortocircuito [y] y12 = y21

Parámetros de transmisión directa [a] AD− BC = 1 ⇔ |a| = 1

Parámetros de transmisión inversa [a'] A'D' − B'C' = 1 ⇔ |a'| = 1

Parámetros híbridos h [h] h12 = −h21

Parámetros híbridos g [g] g 12 = − g 21



Cuadripolos 265

Un cuadripolo recíproco queda pues determinado por 3 parámetrosúnicamente.

7.4 Cuadripolos SimétricosUn cuadripolo es simétrico cuando al intercambiar los terminales de entraday de salida el circuito resultante es equivalente al original.

Según la condición expuesta, para el cuadripolo original, p.ej. en la matrizde impedancias,

u1 = z 11 i1 + z 12 i2

u2 = z 21 i1 + z 22 i2

Al invertir los terminales (el cuadripolo es el mismo, sólo se cambian losnombres de los terminales y las variables): u' 1=u2, i' 1=i2, u' 2=u1, i' 2=i1 lasecuaciones anteriores quedarían:

u' 2 = z 11 i' 2 + z 12 i' 1

u' 1 = z 21 i' 2 + z 22 i' 1

que podemos reordenar:

u' 1 = z 22 i' 1 + z 21 i' 2

u' 2 = z 12 i' 1+ z 11 i' 2

Comparando con las ecuaciones correspondientes del nuevo cuadripolo

que serían:

u' 1 = z' 11 i' 1 + z' 12 i' 2

u' 2 = z' 21 i' 1 + z' 22 i' 2

obtenemos:




z' 11 = z 22 z' 12 = z 21

z' 21 = z 12 z' 22 = z 11

(7.8)

Para tener las mismas ecuaciones que el cuadripolo original, deberíacumplirse que:

z' 11 = z 11 z' 12 = z 12

z' 21 = z 21 z' 22 = z 22

(7.9)

Las ecuaciones (7.8) y (7.9) coincidirán si

z 11 = z 22 (7.10)

y

z 12 = z 21 (7.11)

tabla 7.4: Condiciones que debe cumplir un cuadripolo para considerarse simétrico,además de las reflejadas en la tabla 7.3

Denominación de los parámetros Condiciones de simetría

Impedancias de cortocircuito [z] z 11 = z 22

Admitancias de cortocircuito [y] y11 = y22

Parámetros de transmisión directa [a] A = D

Parámetros de transmisión inversa [a'] A' = D'

Parámetros híbridos h [h] |h| = 1

Parámetros híbridos g [g] |g| = 1



Cuadripolos 267

La expresión (7.11) es la condición de un cuadripolo recíproco, es decir,un cuadripolo simétrico tiene que ser recíproco y además debe cumplir(7.10). Esta condición, formulada para los otros parámetros de un

cuadripolo se describe en la tabla 7.4 (ver condiciones de reciprocidad entabla 7.3).

Cuando un cuadripolo es geométricamente simétrico también eseléctricamente simétrico, pero el inverso no es tiene por qué ser cierto.Consideremos el siguiente ejemplo, que no es, evidentemente,geométricamente simétrico.

ejemplo 7.3i1 i2

i' 1 i' 2

u2

14 Ω

1

1'

2

2'T.I.

1:2

u1

2 Ω

2 Ω

e' 2 e' 1 u' 2

i' 2

im

figura 7.15: Ejemplo decuadripolo simétrico

Las ecuaciones del transformador ideal son:

202

2

1

2

222

2

2

−=′

⇒=+′

=′

i

iii

u

u

En el primario se tiene:

( ) ( ) 2121121111 4162214214214 iiiiiiiiiiu m +=++=′−+=+=

En el secundario,

( ) ( )( )

( ) 21212

212222

1644242

2222222

iiiii

iiiiiuu m

+=++=

=′−+′−=+′−=′= …




Como puede apreciarse, estas ecuaciones cumplen las condicionesde un cuadripolo simétrico.

7.5 Cuadripolos ElementalesEn este apartado presentamos un conjunto de cuadripolos sencillos, quedenominamos elementales , a partir de los cuales, con los métodos deasociación de cuadripolos estudiados, pueden construirse cuadripolos máscomplejos.

tabla 7.5: Cuadripolos elementales

Cuadripolo serie

i1 i2

i' 1 i' 2

u2

Z

1

1'

2

2'

u1

[ ]

∞∞

∞∞=z [ ]

−

−=

Y Y

Y Y y [ ]

=

10

1 Z a

Cuadripolo paralelo

i1 i2

i' 1 i' 2

u2 Z

1

1'

2

2'

u1

[ ] = Z Z

Z Z z [ ] ∞∞

∞∞=y [ ] = 1

01

Y a



Cuadripolos 269


Cuadripolo en L

i1 i2

i' 1 i' 2

u2 Z 2

1

1'

2

2'

u1

Z 1

[ ]

+=

22

221

Z Z

Z Z Z z [ ]

+−

−=

121

11

Y Y Y

Y Y y [ ]

+=

1

1

2

1

2

1

Y

Z Z

Z

a

Cuadripolo en L invertida

i1 i2

i' 1 i' 2

u2

Z 21

1'

2

2'

u1 Z 1

[ ]

+

=211

11

Z Z Z

Z Z z [ ]

−

−+=

22

221

Y Y

Y Y Y y [ ]

+=

1

21

2

1

1

Z

Z Y

Z a

Cuadripolo en T

i1 i2

i' 1 i' 2

u2 Z m

1

1'

2

2'

u1

Z 1 Z 2

[ ]

+

+=

mm

mm

Z Z Z

Z Z Z

2

1z [ ]

+−

−+

=

zz

zzy

mm

mm

Z Z Z

Z Z Z

1

2





Cuadripolo en Π

i1 i2

i' 1 i' 2

u2

Y m

1

1'

2

2'

u1 Y 1Y 2

[ ]

+−

−+

=

yy

yyz

mm

mm

Y Y Y

Y Y Y

1

2

[ ]

+−

−+=

mm

mm

Y Y Y

Y Y Y

2

1y

Cuadripolo en X o en celosía

i1 i2

i' 1 i' 2

u2

Z a1

1'

2

2'

u1

Z d

Z b Z c

Cuadripolo en X simétrico

i1 i2

i' 1 i' 2

u2

Z a1

1'

2

2'

u1

Z a

Z b Z b

[ ]

+−

−+

=

22

22

abab

abab

Z Z Z Z

Z Z Z Z

z [ ]

+−

−+

=

22

22

abab

abab

Y Y Y Y

Y Y Y Y

y



Cuadripolos 271

ejemplo 7.4

El circuito de la figura 7.16 puede calcularse como una asociaciónen cascada de un cuadripolo serie, uno paralelo, uno serie y otroparalelo

[ ]

+++

++++++=

=

+

+=

=

=

1D12

1

2

1

D24

1

3

1

D26

1

D4

1D

12

1

3

D2

D8

11

12

1D4

1

D8

11

13

1

D23

D21

12

101

10D4

11

13

101

10

D21

…

…a

i1 i2

i' 1 i' 2

u2

1/4D

1

1'

2

2'

u1 3 2

3D


De esta forma se pueden completar los huecos de la tabla, por ejemplo, lamatriz de transmisión directa del cuadripolo en T se puede obtener,haciendo la conexión en cascada de un cuadripolo serie Z 1 y uno en L

invertida Z m, Z 2 como:

+

+++=

+

mm

mm

mm Z

Z

Z

Z

Z Z Z Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

2

2112

1

2

21

11

1

11

1

10

1

Similarmente, la conexión en cascada de un cuadripolo paralelo Y 1 con un

cuadripolo en L, Y m, Y 2, nos proporciona un cuadripolo en Π.




+++

+=

+

mm

mm

mm

Y

Y

Y

Y Y Y Y

Y Y

Y

Y

Y Y

Y

Y 12121

2

2

2

1 1

11

1

11

1

01

i1 i2

i' 1 i' 2

u2

Z a1

1'

2

2'

u1

Z d

Z b Z c

3 i3

figura 7.17: Cuadripolo en Xno simétrico

La ecuación del cuadripolo en X general no simétrico es un poco máscomplicada de obtener. Si se analiza, por ejemplo, por lazos básicos,alimentando con dos fuentes de tensión u1 y u2, tal como se refleja en lafigura 7.17, tomando los lazos básicos i1, i2 e i3, se obtiene el sistema

( )

( )

=

++++−+

+−+−

+−+

0

2

1

3

2

1

u

u

i

i

i

Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z

d cbabaca

babaa

caaca

(7.12)

Si se despeja i3, se obtiene,

( ) ( )213 i

Z Z Z Z

Z Zai

Z Z Z Z

Z Z i

d cba

b

d cba

ca

++++

++++

+−=

Si se sustituye en las dos primeras filas de (7.12), queda el sistema

( )( ) ( )( )

( )( )

=

+++++

−+−

+++++

+−+++++

−+

2

1

2

1

u

u

i

i

Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

d cba

cacabaa

d cba

cacaa

d cba

cacaca

Que nos da la matriz de impedancias del cuadripolo.



Cuadripolos 273

En el caso de un cuadripolo en X simétrico,

Z c = Z b

Z d = Z a

y sustituyendo en la matriz anterior,

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

=

+−

−+

⇒

⇒

=

+−+

++−

++−

+−+

⇒

⇒

=

+

+

−++

+

+−

++

+−+

+−+

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

22

22

22

22

22

22

22

u

u

i

i

Z Z Z Z

Z Z Z Z

u

u

i

i

Z Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z Z

u

u

i

i

Z Z

Z Z

Z Z Z Z

Z Z

Z

Z Z

Z Z Z

Z Z

Z Z Z Z

babb

abba

baba

baa

baa

baba

ba

ba

baba

ba

a

ba

baa

ba

baba

…

…

Que es la expresión obtenida para el cuadripolo simétrico en X. Laecuación de admitancias puede obtenerse considerando el cuadripolo en X como conexión en paralelo de los dos cuadripolos de la figura 7.18,teniendo en cuenta las matrices de admitancias de los cuadripoloscomponentes, según se muestra en la tabla 7.6

Z a

Z d

Z b Z c figura 7.18: La conexión en paralelo de estos doscuadripolos da como resultadoun cuadripolo en X




tabla 7.6: Matrices de admitancias de cada uno de los cuadripolos que componen elcircuito de la figura 7.18

Z b Z b

[ ]

=

22

22

bb

bb

Y Y

Y Y

y

Z a

Z a [ ]

−

−

=

22

22

aa

aa

Y Y

Y Y

y

Aunque también se puede llegar a ella analizando el circuito de la figura7.19 por conjuntos de corte básicos. Tomando las referencias de losconjuntos de corte coincidentes con las de la tensión u1 y u2 se obtiene lasiguiente matriz de admitancias de conjuntos de corte.

=

+++−−+ −−+−

+−+

02

1

3

2

1

i

i

uu

u

Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

d cbacaba

cacaa

baaba

Despejando u3 de la última ecuación,

( ) ( )213 u

Y Y Y Y

Y Y u

Y Y Y Y

Y Y u

d cba

ca

d cba

ba

++++

++++

+−=

Y sustituyendo en las dos ecuaciones anteriores,

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

=

+++++

+++++++

+−

+++++

+−+++++

−+

2

1

2

1

i

i

u

u

Y Y Y Y

Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y Y Y Y Y

d cba

cacaca

d cba

cabaa

d cba

cabaa

d cba

bababa



Cuadripolos 275

i1 i2

i' 1 i' 2

u2

Y a1

1'

2

2'

u1Y d

Y b Y c

3 0

1 2

figura 7.19: Para obtener la matriz deadmitancias del cuadripolo en X, se puede realizar el análisis por conjuntosde corte básicos

Para el cuadripolo en X simétrico, haciendo

Y c = Y b

Y d = Y a

resulta

+−

−+

22

22

baab

abba

Y Y Y Y

Y Y Y Y

7.6 Síntesis de Cuadripolos

Las ecuaciones de un cuadripolo en T lo hacen apropiado para encontrar valores de impedancias que conectadas en T proporcionen una matriz deimpedancias dada. Así, igualando los coeficientes de una matriz deimpedancias general con la de un cuadripolo en T, se obtiene:

z 11 = Z 1+ Z m

z 12 = z 21 = Z m

z 22 = Z 2+ Z m

de donde se pueden despejar

Z m = z 12

Z 1 = z 11− z 12




Z 2 = z 22− z 12

De forma similar, las ecuaciones de un cuadripolo en Π lo hacen

apropiado para calcular el valor de admitancias que, conectadas en Π,proporcionen una cierta matriz de admitancias dada. Así, igualando, seobtiene,

y11 = Y 1+Y m

y12 = y21 = −Y m

y22 = Y 2+Y m

de donde se pueden despejar

Y m = − y12

Y 1 = y11+ y12

Y 2 = y22+ y12

Encontrar un cuadripolo en T equivalente a uno en Π dado, o viceversa,es el mismo problema que realizar una conversión triángulo−estrella oestrella−triángulo, respectivamente, como puede deducirse fácilmente dela geometría de ambas configuraciones.

Por su parte, el cuadripolo simétrico en X permite calcular elementos decircuito que, conectados de esa manera, presenten una matriz deadmitancias o impedancias dada para cualquier cuadripolo simétrico, por

ejemplo, para las impedancias, igualando,

( )

( )2

2

2112

2211

ab

ba

Z Z z z

Z Z z z

−==

+==

de donde se puede despejar



Cuadripolos 277

Z b = z 11+ z 12

Z a = z 11− z 12

El cuadripolo en X tiene una estructura tipo puente, donde la entrada (osalida) corresponde a los terminales de alimentación y la salida (o entrada)corresponde al brazo medio del puente, como se muestra en la figura 7.20.

Z a

1

1'

Z d

Z b

Z c

2 2'

figura 7.20: El cuadripolo X presenta unaestructura tipo puente

Z m

1

1'

2

2'

Z 1 Z 2

Z

Z m

1

1'

2

2'

Z 1 Z 2

Z

figura 7.21: Un cuadripolo en T puenteada puede obtenerse como conexión en paralelo de un cuadripolo en T y un cuadripolo serie

Z m

1

1'

2

2'

Z 1 Z 2

Z

Z m

1

1'

2

2'

Z 1 Z 2

Z

figura 7.22: Un cuadripolo en T puenteada puede obtenerse como conexión en serie deun cuadripolo en Π y un cuadripolo paralelo




Otros cuadripolos interesantes son el cuadripolo en T puenteada, quepuede obtenerse como conexión en paralelo de un cuadripolo en T y uncuadripolo serie, o bien como una conexión en serie de un cuadripolo en

Π y un cuadripolo paralelo como se muestra en la figura 7.21 y en la figura7.22, o el cuadripolo en doble T, conexión en paralelo de dos cuadripolosen T, según la figura 7.23.

Z m

1

1'

2

2'

Z 1 Z 2

Z m

1

1'

2

2'

Z 1 Z 2

Z' 1 Z' 2

Z' m

Z' 1

Z' m

Z' 2

figura 7.23: Un cuadripolo en dobre T puede obtenerse como conexión en paralelo dedos cuadripolos en T

7.7 Impedancias Imágenes

Dado un cuadripolo, aquellas dos impedancias tales que al conectarse una

de ellas, Z 02, en los terminales de salida, 2−2’, hace aparecer entre losterminales de entrada la otra, Z 01, y al conectar ésta en los terminales deentrada, 1−1’, hace aparecer en los de salida la primera, Z 02, se denominanimpedancias imágenes, tal y como se representa esquemáticamente en lafigura 7.24.

Z 02

1

1'

2

2'

Z 01

Z 01 Z 02

1

1'

2

2'

figura 7.24:

Impedanciasimágenes

Para calcular el valor de las impedancias imágenes, lo más sencillo esescribir las ecuaciones del cuadripolo en función de sus parámetros detransmisión:

( )

( )221

221

i DCui

i B Auu

−+=

−+=



Cuadripolos 279

( )

( )112

112

i DuC i

i Bu Au

−′+′=

−′+′=

Dividiendo entre sí ambos pares de ecuaciones,

( )( )

DCZ

B AZ Z

Di

uC

Bi

u A

i DCu

i B Au

i

u

+

+=

+−

+−

=−+−+

=

02

0201

2

2

2

2

22

22

1

1

B AZ DZ Z CZ +=+ 02010201 (7.13)

( )( )

D Z C

B Z A Z

D

i

uC

Bi

u A

i DuC

i Bu A

i

u

′+′′+′

=

′+

−

′

′+−

′

=−′+′−′+′

=

01

0102

1

1

1

1

11

11

2

2

(7.14)

Consideremos un cuadripolo recíproco, de modo que |a|=1 (ver tabla 7.2 ytabla 7.3), entonces,

A' = D

B' = B

C' = C

D' = A

con lo que (7.14) puede reescribirse como




ACZ

B DZ Z

++

=01

0102 (7.15)

De (7.15) podemos escribir

B DZ AZ Z CZ +=+ 01020201 (7.16)

y restando (7.13) y (7.16),

0201

01020201

22 AZ DZ

DZ AZ AZ DZ

=

−=−

D

A Z Z 0201 = (7.17)

Si en la (7.13) se sustituye Z 01 por (7.17), se obtiene

( )

AC

BD Z

AC

BD Z

B AZ AZ Z D

CA

B AZ DCZ D

A

Z

=

=

+=+

+=+

02

2

02

0202

2

02

020202

De forma similar, sustituyendo (7.17) en (7.16), se obtiene

( )

B DZ DZ Z CD

B DZ ACZ A

D Z

+=+

+=+

0101

2

01

010101



Cuadripolos 281

CD AB Z

CD

AB Z

=

=

01

2

01

Para recordar estos valores puede usarse como regla mnemotécnica elorden de los parámetros A, B, C , D y los gráficos siguientes:

Z 01= A B

C D

Z 02= B D

A C

o, abreviadamente,

N

Z

02

01

=

=

Z

Z

7.8 Constante de Propagación

Se define como constante de propagación γ al valor (puede ser una función)

definido por la ecuación

( )22

112eiu

iu

−=γ (7.18)

cuando los terminales 2−2' están cerrados por la impedancia imagen Z 02.

Si operamos en la expresión anterior,




( )

( )

( )2

02

02

2

2

2

2

2

1

2

1

22

112

2

1

e

BC AD BC AD ABCD

BC D

A D BC

D

A

A

D AD BC

D

A D

D BC D

A

A

D BC

D

A A

D BC A

D BC

D

A A D

A

BCD

D

ABC A

D AC

BDC

BD

AC B A DCZ

Z B A

Di

uC

u

i B A

i

i

u

u

iu

iu

+=++=

=+++=

=

+

+=

=

+

+=

+

+=

=

+

+=+

+=

=

+

−

−+=

−=

−=

…

…

…

…

…γ

de donde

BC AD +=γ e

Si tenemos en cuenta que

γ γ γ senhcoshe +=

Y llamando

AD

BC

AD

BC =⇒

=

=γ

γ

γ tanh

cosh

senh

lo que se puede hacer ya que AD− BC =1 en un cuadripolo recíproco.Según las reglas mnemotécnicas de antes la anterior expresión puedeescribirse como

Π=γ tanh



Cuadripolos 283

7.9 Impedancias de Entrada y de Salida a Circuito Abierto y enCortocircuito

Si llamamos z 1a a la impedancia que se ve en la entrada con la salida acircuito abierto y z 1c a la impedancia que se ve en la entrada con la salidaen cortocircuito, según las definiciones de los parámetros de loscuadripolos, resulta claro que puede escribirse

11

1

111

1

y z

z z

c

a

=

=

De forma semejante para la salida,

22

2

222

1

y z

z z

c

a

=

=

Utilizando las relaciones entre los elementos de la matriz de transmisión ylos de las matrices de impedancias y admitancias, resulta posible escribirlos parámetros estudiados en función de las impedancias anterioresmediante las siguientes fórmulas:

a

c

a

c

ca

ca

z

z

z

z

z z Z

z z Z

2

2

1

1

2202

1101

tanh ==

=

=

γ

7.10 Impedancia Característica

Si un cuadripolo es simétrico, las dos impedancias imágenes coinciden(basta con ver que si z 11= z 22, entonces, z 1a= z 2a y z 1c= z 2c ) y se denominanentonces impedancias características .

En cuanto a la constante de propagación, se obtiene




( ) ( )( )

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

220

110

22

112

e

e

ii

uu

u

u

i

i

ii Z

ii Z

iu

iu

−==

==−−

=−

=

γ

γ

Si se escribe esta ecuación en el campo complejo:

β α β α γ j j

2

1

2

1 eeee ===−

= +

U

U

I

I

donde el término

2

1eU

U =α

se conoce como función de atenuación y

21 U U ϕ ϕ β −=

se conoce como función de fase . Todo esto para un cuadripolo simétricocerrado con su impedancia característica.

Z 02

1

1'

2

2'

Z 01

figura 7.25: Cuadripolo conectadoentre sus impedancias imágenes

Se dice que un cuadripolo está conectado entre sus impedancias imágenescuando se encuentra conectado como se muestra en la figura 7.25. Comoen las condiciones de la figura, entre 1 y 1' el cuadripolo ve Z 01, el circuitoes equivalente al de la figura 7.26.

En el campo complejo, el cuadripolo funciona en condiciones de máximatransferencia de potencia cuando



Cuadripolos 285

*

0101 ZZ =

es decir, cuando la impedancia Z01 es una resistencia.

Z 01

Z 01

figura 7.26: Circuito equivalente al dela figura 7.25

7.11 Teorema de Barlett

Ya hemos visto anteriormente que cualquier cuadripolo simétrico puedeconstruirse mediante un cuadripolo en X simétrico. En el caso decuadripolos con simetría geométrica, los valores de las impedancia serie ycruzada del cuadripolo en X equivalente, Z a y Z b, pueden relacionarse conlas impedancias de entrada de una de las mitades del cuadripolo simétrico.Este enunciado se conoce como teorema de Barlett y reza así:

Cualquier cuadripolo pasivo lineal, simétrico geométricamente, esequivalente a un cuadripolo en X simétrico, en el que la impedancia

cruzada Z b es la impedancia de entrada del dipolo que resulta respecto delos terminales 1−1' al dejar abiertos los conductores que cortan el eje desimetría, y la impedancia serie Z a es igual a la impedancia del dipolo queresulta respecto de los terminales 1−1' al unir los conductores que cortanel eje de simetría mediante un cortocircuito.

Eje de simetría

1

1'

2

2'

A A

figura 7.27: Teorema de Barlett

Veamos cómo demostrarlo. Alimentamos el circuito con dos fuentes detensión iguales y aplicamos superposición como se indica en la figura 7.28.Como los dos circuitos componentes son iguales, se cumple que

i' j =−

i'' j




de donde se sigue que, en el circuito original con las dos fuentes, secumple que

i j = 0

1

1'

2

2'

A A u u

1

1'

2

2'

A A u

1

1'

2

2'

A A u

i j

i'' j

i' j

figura 7.28: Demostración dela primera parte del teoremade Barlett

para todos los conductores cortados por el eje de simetría y, por lo tanto,el circuito es equivalente al representado en la figura 7.29, en el que se hanseparado las partes iguales por el eje de simetría.

1

1'

2

2'

A A u u

i1 i2

figura 7.29

En cada uno de estos circuitos, la impedancia de entrada viene dada por

1

1i

u z a =

Podemos calcular esta impedancia a partir de los parámetros delcuadripolo original, por ejemplo, para u1 (para u2 se haría igual):



Cuadripolos 287

u1 = z 11 i1 + z 12 i2

como en los circuitos anteriores

u1 = u2 = u

i1 = i2

se tiene

u = z 11 i1 + z 12 i1 = ( z 11+ z 12) i1

de donde

1211

1

1 z z i

u z a +==

Pero z 11+ z 12 es, justamente, la impedancia cruzada Z b del cuadripolo en X simétrico equivalente al cuadripolo original. Con lo que queda demostradala primera parte del teorema.

Para demostrar la segunda parte del teorema, consideramos el circuitooriginal, pero aplicando dos fuentes de tensión de polaridad opuesta yaplicamos de nuevo el teorema de superposición como se muestra en lafigura 7.30.

En este caso, debido a la simetría de los dos circuitos y a los valores de lasfuentes de tensión

u' jk = −u'' jk

y, como consecuencia, en el circuito original se cumple que

u jk = 0

De esta manera, el circuito original es equivalente a los dos circuitos de lafigura 7.31 separados por el eje de simetría.




1

1'

2

2'

A Au u

1

1'

2

2'

A A

u

1

1'

2

2'

A

A u

i j

u' jk

u'' jk

u jk

figura 7.30: Demostración dela segunda parte del teoremade Barlett

1

1'

2

2'

A A u u

i1 i2

figura 7.31

Para estos dos circuitos las impedancias de entrada se calculan como

2

2

1

1

i

u z

i

u z

c

c

−=

=

Por la simetría de los circuitos se cumple

u1 = u

u2 = −u

i2 = −i



Cuadripolos 289

Si se calcula la impedancia a partir de las ecuaciones del cuadripolo, porejemplo, esta vez para u2,

u2 = z 21 i1 + z 22 i2

donde, sustituyendo los valores anteriores,

−u = z 21(– i2) + z 22 i2 = ( z 22− z 21) i2

de donde

2122

2

2 z z i

u

z c −=−=

o, como el cuadripolo es simétrico:

z 2c = z 11 − z 12

Pero éste es justamente el valor de la impedancia serie del cuadripolo en X simétrico equivalente al cuadripolo original. De esta forma queda

demostrado el teorema.

7.12 Cuadripolos Activos

Un cuadripolo se considera activo cuando tiene fuentes dependientes. Enestos cuadripolos no se cumple el teorema de reciprocidad y, por lo tanto,para definirlos son necesarios cuatro parámetros. En la tabla 7.7 serepresentan circuitos equivalentes que reproducen las ecuaciones dedistintos parámetros de los cuadripolos mediante el uso de fuentes

dependientes.Dada una matriz de impedancias o de admitancias de un cuadripolo activo,pueden encontrarse las impedancias o admitancias de un cuadripolo activoen T o en Π equivalente que tenga las mismas ecuaciones. En la tabla 7.8se representan los cuadripolos activos en T o en Π con sus parámetros ylas ecuaciones correspondientes.




tabla 7.7: Circuitos con fuentes dependientes que reproducen las ecuaciones decuadripolos en función de los distintos parámetros, según la tabla 7.1

Impedancias

u1 = z 11 i1 + z 12 i2

u2 = z 21 i1 + z 22 i2

1

1'

2

2'

11

u1u2

i1 i222

z 12 i2 z 21 i1

Admitancias

i1 = y11 u1 + y12 u2

i2 = y21 u1 + y22 u2

1

1'

2

2'

y11u1u2

i1 i2

y22 y12 u2 y21 u1

Parámetros híbridos h

u1 = h11 i1 + h12 u2

i2 = h21 i1 + h22 u2

1

1'

h11

u1

i1

h12 u2

2

2'

u2

i2

h22h21 i1

Parámetros híbridos g

i1 = g 11 u1 + g 12 i2 u2 = g 21 u1 + g 22 i2

2

2'

u2

i222

g 21 u1

1

1'

g 11u1

i1

g 12 i2

tabla 7.8: Ecuaciones de definición de parámetros activos en T y en Π

Cuadripolo activo en T

2

2'

u2 Z d i1

1

1'

Z 1u1

Z 2 Z m

( )

( ) ( ) 2212

2111

2221212

2121111

i Z Z i Z Z u

i Z i Z Z u

i z i z u

i z i z u

md m

mm

++−=

++=

+=

+=

2112

12222

12111

12

z z Z

z z Z

z z Z

z Z

d

m

−=

−=

−=

=



Cuadripolos 291

Cuadripolo activo en Π

2

2'

u2Y d u1

1

1'

Y 1u1Y 2

Y m

( )

( ) ( ) 2212

2111

2221212

2121111

uY Y uY Y i

uY uY Y i

u yu yi

u yu yi

mmd

mm

+++−=

−+=

+=

+=

2112

12222

12111

12

y yY

y yY

y yY

yY

d

m

−=

+=

+=

−=



APÉNDICE AREFERENCIAS DE FLUJO EN BOBINAS ACOPLADAS

Bobina i

Bobina j

Φ mij ii

Φ i

ui

Φ m ji i j

Φ j

u j

Φ σ i

Φ σ j Φ ji

Φ ij

figura A.1: Referencias de flujo en bobinas acopladas

En la figura A.1 se representan dos bobinas acopladas magnéticamentecon sus respectivas referencias de tensión, intensidad y flujo. Para laescritura sistemática de las ecuaciones que relacionan tensiones,intensidades y flujos, se definieron en el apartado 1.10 distintos

coeficientes que relacionan entre sí las distintas referencias de flujo.




Tomemos esta figura como referencia para dar aquí una explicación unpoco más detallada del sentido de cada uno de esos coeficientes.

Una intensidad positiva en la bobina i crea en la misma bobina un flujo Φ ii de signo eii y en la bobina j un flujo Φ ji de signo e ji. El tubo de flujo queune ambas bobinas se toma en la bobina i con la referencia de Φ i y en labobina j con la referencia de Φ j.

Si se descompone el flujo Φ ii de la bobina i en las componentes de flujoque alcanzan a otras bobinas, entre estas componentes estará Φ ji. CuandoΦ ji se encuentra como componente de Φ ii, se debe sumar con la referencia

de flujo de la bobina i no con la de la bobina j. Otro tanto puede decirsede Φ jj y Φ ij. Para ello utilizamos los coeficiente g ij.

El flujo mutuo entre la bobina i y la bobina j, con la referencia de flujo dela bobina i puede escribirse como

Φ mij = Φ ij + g ji Φ ji

y el flujo mutuo entre la bobina j y la i, con la referencia de flujo de labobina j puede escribirse como

Φ m ji = Φ ji + g ij Φ ij

g ij y g ji son coeficientes simétricos de valor +1 o −1 según las referenciasde flujo coincidan (signo + ) o no (signo − ) en el tubo de flujo. Para ello esnecesario asignar un sentido de circulación al tubo de flujo común y ver silas referencias de ambas bobinas coinciden o no en su sentido respecto al

asignado al tubo de flujo. En la figura A.1 se ve que las referencias deambas bobinas son contrarias para cualquier sentido de circulación que seasigne al tubo de flujo común.

En cuanto a las referencias intensidad-flujo, si se tiene en cuenta elsignificado de los coeficientes g ij se pueden escribir las relaciones de latabla A.1.



Apéndice A 295

tabla A.1: Referencias intensidad-flujo

Intensidad que crea el flujo Componente de flujoSigno de la ecuación

intensidad flujo

Φ i eii

ii

Φ ji e ji = eii g ji

Φ j e jj

i j

Φ ij eij = e jj g ij

Las ecuaciones de la tabla A.1 permiten escribir eij en función de e jj, y e ji en función de eii. Sería también importante contar ecuaciones que nosdiesen eij en función de eii y e ji en función de e jj. Con este objetivo sepueden definir los coeficientes aij. Así se obtiene el conjunto deecuaciones de la tabla A.2.

tabla A.2: Relaciones entre distintas referencias intensidad-flujo

e ji = eii g ji e ji = e jj a ji

eij = e jj g ij eij = eii aij

La relación entre los g ij y los aij se puede obtener multiplicando lasexpresiones de ambas tablas

e ji e ji = 1 = eii e jj a ji g ji

eij eij = 1 = eii e jj aij aij

Como todos estos coeficientes sólo pueden tomar los valores +1 y −1, sonsiempre iguales a sus inversos, es decir, eij=1/eij, g ij=1/ g ij, aij=1/aij, por loque se puede escribir, despejando de las ecuaciones anteriores,

aij = g ij eii e jj




a ji = g ji eii e jj

Las ecuaciones anteriores permiten interpretar el significado de los aij

como sigue:

una intensidad positiva en la bobina i produce un flujo en labobina j ( e ji=e jj a ji ) del mismo sentido que una intensidad positivade la rama j ( e jj ) si aij vale +1, y de sentido contrario si aij vale −1;

y los g ij como:

una intensidad positiva de la bobina i y una intensidad positiva dela bobina j producen flujos del mismo sentido sobre el tubo deflujo común a ambas bobinas si g ij vale +1 y de sentido contrariosi g ij vale −1.

Recordemos que tanto los g ij como los aij son coeficientes simétricos. Además según las ecuaciones que los relacionan, se cumple que, si eii=e jj entonces g ij=aij y, si además, eii=e jj=1, entonces eij=aij.



BIBLIOGRAFÍA

Parra Prieto V.M., Ortega Jiménez J., Pastor Gutiérrez A., Pérez Coyto Á.:Teoría de Circuitos . Universidad Nacional de Educación a Distancia.1990

Parra Prieto V.M. : Electrotecnia (I y II) . Sección de Publicaciones de la

E.T.S.I.I. de Madrid. 1980.Desoer C.A., Kuh E.S.: Basic Circuit Theory . McGraw-HillInternacional Editions. 1969



ÍNDICE

A

Aarónconexión de, 223, 226

Admitancia, 53compleja, 143

de rama, 74de rama, matriz de, 67mutua entre conjuntos de corte, 80operacional, 54propia de un conjunto de corte, 80propia de un nudo, 74triángulo de, 158

Amperímetro de bobina móvil, 163 Análisis de circuitos

lineales, 56métodos

aplicación directa de las leyes deKirchhoff, 59

conjuntos de corte, 78lazos básicos, 84mallas, 90nudos, 71

variables auxiliares, 70 Ángulo de fase, 135 Árbol, 55 Asociación de elementos de circuito,

97

B

Barlett, teorema de, 285Bipuerta, 247Bobina

equivalente Norton, 235

flujo de, 25flujo inicial, 22ideal, 19real, 40

Bobinas acopladas magnéticamente, 24Boucherot, teorema de, 159Brune, test de, 256

C

Capacidad, 17

Carga eléctrica, 4, 17Carga inicial, 19, 114, 235, 236Carga ortocéntrica, 223Ciclo de histéresis, 184Circuito, 2, 4

conexo, 54de primer orden, 227de segundo orden, 242plano, 55topología de, 4, 54

Circuito eléctrico, 2, 6

de corriente alterna, 17



ii Teoría de Circuitos

de corriente continua, 16excitación de, 2respuesta de, 2

Coeficientes indeterminados, 140

Compensación, teorema de, 114Condensador

equivalente Thévenin, 235ideal, 17real, 40

Conductancia, 15, 145Conductor de neutro, 204, 205Configuración en estrella, 103, 104,

205Configuración en triángulo, 103, 104,

205Configuración tipo puente, 101, 169

puente de Schering, 169puente de Wheatstone, 169

Conjuntos de corte, 56admitancia mutua, 80admitancia propia, 80entrar/salir de, 79, 80

Conjuntos de corte básicos, 56matriz de admitancias de, 80

Constante de propagación, 281

Constante de tiempo, 137, 139, 235Cuadripolosactivos, 248, 289asociación de, 252asociación en cascada, 262asociación en paralelo, 254asociación en serie, 252asociación serie-paralelo, 255coeficientes de definición, 248, 253ecuaciones de definición, 248, 249elementales, 268

impedancia característica, 283impedancia de entrada/salida, 283impedancias imágenes, 278pasivo, 247recíprocos, 264simétricos, 265

Cuerda, 55

D

Divisor de intensidad, 98

Divisor de tensión, 97

Dualidad, 61

E

Ecuación característica, 139, 242, 245Ecuación homogénea, 137, 139, 228Ecuación particular, 137Efecto Ferranti, 197Efecto pelicular o skin, 40Elemento de circuito, 6

asociación de, 97Elementos activos, 17Elementos pasivos, 17Elementos reales, 39Energía, 34, 37, 240

Enlace, 55Eslabón, 55

F

Factor de potencia, 161Faraday, ley de, 20, 21, 22, 23, 24, 43,

44, 48, 68Fase inicial, 135Fasor, 144Flujo

de dispersión, 31de dispersión modificado, 172mutuo, 31propio, 20

Formas de onda periódicas, 131Fourier, teorema de, 137Frecuencia angular, 135Fuentes

de corriente alterna, 17de corriente continua, 16de distintas frecuencias, 165dependientes o controladas, 16equivalencia de, 61, 210ideales de intensidad, 15ideales de tensión, 15reales, 40

Función de atenuación, 284Función de fase, 284

G

Gráfico reticular, 56



Índice iii

H

Henrio, 20

I Impedancia, 53Carácter capacitivo, 158Carácter inductivo, 158compleja, 143de cortocircuito, 187de rama, matriz de, 67de vacío, 187mutua entre lazos básicos, 87mutua entre mallas, 92operacional, 54propia de malla, 92transferida, 174triángulo de, 158

Inductanciade dispersión, 31de dispersión modificada, 172mutua, 26, 42propia o autoinductancia, 24, 29, 32,

42, 50, 182Intensidad, 7

de fase y de línea, 216Intensidad ficticia efectiva, 50Intensidades de rama

vector de, 67

K Kirchhoff, leyes de

1ª ley de Kirchhoff, 82ª ley de Kirchhoff, 10

L Laplace, transformada de, 246

Lazo simple, 6Lazos básicos, 55

impedancia mutua entre, 87impedancia propia de, 87matriz de impedancias de, 87matriz de intensidades de, 87matriz de tensiones de, 87

Lenz, ley de, 21, 22

Linealidad, principio de, 111

M

Magnitudes físicas, 3Mallas, 55

impedancia mutua entre, 92impedancia propia de, 92matriz de impedancias de, 92matriz de intensidades de, 93matriz de tensiones de, 93

Matriz de conexiónramas-conjuntos de corte, 81ramas-lazos básicos, 87ramas-mallas, 93ramas-nudos, 75

Millmann, teorema de, 119

Multipolo, 34Multipolos equivalentes, 206

N

Norton, teorema de, 122, 206NTC, 40Nudo, 5

admitancia propia de, 74matriz de admitancias de, 74, 77

Nudo de referencia, 71

O

Ohm, ley de, 12Ohmio, 13

P

Período, 132Pirncipio de superposición, 112, 116,

117, 122, 123, 128, 166, 167,168, 207, 230, 235, 261

Potenciaaparente compleja, 152, 156consumidor o receptor de, 155en régimen estacionario senoidal,

151en sistemas trifásicos, 218entrante o absorbida, 34fluctuante, 151fluctuante compleja, 152generador de, 155

instantánea, 151

conceptos básicos de teoría de circuitos libelec

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