concepto de matriz, tabla de verdad y logica matematicas
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es un trabajo bien detallado con algunas caracteristicas propias...TRANSCRIPT
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2. MATRICES 3. CONCEPTO DE MATRIZ
- Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser nmeros ordenados en filas y columnas.
- Se llamamatrizde orden "m n" a un conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz tambin se denominadimensinotamao , siendo m y n nmeros naturales.
4.
- Las matrices se utilizan en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Adems de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometra, estadstica, economa, informtica, fsica, etc...
- La utilizacin de matrices constituye actualmente una parte esencial donde los lenguajes de programacin, ya que la mayora de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de clculo, bases de datos,...
5.
- Las matrices se denotan con letras maysculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minsculas y subndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genrico que ocupe la fila i y la columna j se escribe a ij. Si el elemento genrico aparece entre parntesis tambin representa a toda la matriz : A = (a ij )
6.
- Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de lneas. El nmero total de elementos de una matriz Amn es mn En matemticas, tanto lasListascomo lasTablasreciben el nombre genrico de matrices.
7.
- Unalista numricaes un conjunto de nmeros dispuestos uno a continuacin del otro.
- MATRICES IGUALES
-
- Dos matrices A = (a ij )mn y B = (b ij )pq son iguales, s y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir :
- ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
-
- Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que segn su forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes :
8. 9. 10. 11. 12.
- Para establecer las reglas que rigen el clculo con matrices se desarrolla un lgebra semejante al lgebra ordinaria, pero en lugar de operar con nmeros lo hacemos con matrices.
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- OPERACIONES CON MATRICES
- SUMA DE MATRICES
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- La suma de dos matrices A = (a ij )mn y B = (b ij )pq de la misma dimensin (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (c ij )mn = (a ij +b ij )
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- Es una ley de composicin interna con las siguientes PROPIEDADES :
- Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C Conmutativa: A+B = B+A Elem. neutro: ( matriz cero 0 mn) , 0+A = A+0 = A Elem. simtrico: ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0
- Al conjunto de las matrices de dimensin mn cuyos elementos son nmeros reales lo vamos a representar por M mn y como hemos visto, por cumplir las propiedades anteriores, ( M, + ) es un grupo abeliano.
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- PRODUCTO DE UN NMERO REAL POR UNA MATRIZ
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- Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obtenindose otra matriz del mismo orden.
16.
- Es una ley de composicin externa con las siguientes PROPIEDADES :
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- PRODUCTO DE MATRICES
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- Dadas dos matrices A = (a ij )mn y B = (b ij )pq donde n = p, es decir, el nmero de columnas de la primera matriz A es igual al nmero de filas de la matriz B , se define el producto AB de la siguiente forma :
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- El elemento a que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B.
- MATRIZ INVERSA
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- Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A -1 , a la matriz que verifica la siguiente propiedad : A -1 A = AA -1= I
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- Decimos que una matriz cuadrada es "regular" si su determinante es distinto de cero, y es "singular" si su determinante es igual a cero.
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- PROPIEDADES :
- Slo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si sta es regular.
- La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es nica.
- Entre matrices NO existe la operacin de divisin, la matriz inversa realiza funciones anlogas .
19. TABLA DE VERDAD 20. TABLA DE VERDAD
- es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposicin compuesta, para cada combinacin de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.
- Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los aos 1880, pero el formato ms popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en suTractitos logico-philosophicus , publicado en 1921.
21. Definicin y algoritmo fundamental
- Considrese dosproposiciones AyB . Cada una puede tomar uno de dosvalores de verdad : o 1 (verdadero), o 0 (falso). Por lo tanto, los valores de verdad deAy deBpueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; oAes verdadera yBfalsa, oAes falsa yBverdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:
1 2 3 4 5 A B C B/C A/(B/C) V V V V V V V F V V V F V V V V F F F F F V V V F F V F V F F F V V F F F F F F 22.
- Considrese adems a " " como unaoperacinoconjuncin lgicaque realiza unafuncin de verdadal tomar los valores de verdad deAy deB , y devolver un nico valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fcil construir una tabla que muestre qu devuelve cada funcin frente a las distintas combinaciones de valores de verdad deAy deB .
23. Contradiccin
- Se entiende por proposicin contradictoria, o contradiccin, aquella proposicin que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de laformaen que estn establecidas lasrelacionesde unas con otras. Sea el caso: [(A/B)/(A/B)]/C
1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A/B A/B (A/B) (A/B)/(A/B) [(A/B)/(A/B)]/C V V V V V F F F V V F V V F F F V F V F V F F F V F F F V F F F F V V F V F F F F V F F V F F F F F V F F V F F F F F F F V F F 24. Tautologas
- Se entiende por proposicin tautolgica, o tautologa, aquella proposicin que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de laformaen que estn establecidas lasrelaciones sintcticasde unas con otras. Sea el caso: [(A->B)/(B->C)] ->(A->C)
- Siguiendo la mecnica algortmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad:
A B C A->B B->C (A->B)/(B->C) (A->C) [(A->B)/(B->C)] ->(A->C) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V 25. Tablas de verdad, proposiciones lgicas y argumentos deductivos
- En realidad toda la lgica est contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifest todo lo que implican las relaciones sintcticas entre las diversas proposiciones.
- No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.
- La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposicin con ms de 4 variables.
- Esta dificultad ha sido magnficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.
- Que nicamente ser aplicable a unesquema de inferencia , oargumentocuando la proposicin condicionada, como conclusin, sea previamente conocida, al menos como hiptesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautologa.
26. LGICA MATEMTICA 27. Desarrollo.
- La lgica matemtica es ladisciplinaque trata de mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lgico se emplea en matemticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computacin para verificar si son o no correctos losprogramas ; en las ciencias fsica y naturales, para sacar conclusiones deexperimentos ; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad.
28. Proposiciones y operaciones lgicas.
- Una proposicin o enunciado es una oracin que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposicin es un elemento fundamental de la lgica matemtica.
- A continuacin se tienen algunos ejemplos de proposiciones vlidas y no vlidas, y se explica el porqu algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minscula, dos puntos y la proposicin propiamente dicha. Ejemplo.
29.
- p: Latierraes plana.
- q: -17 + 38 = 21
- r: x > y-9
- s: El Morelia ser campen en la presente
- temporada de Fut-Bol.
- t: Hola como estas?
- w: Lava el coche por favor.
30. Conectivos lgicos y proposiciones compuestas.
- Existen conectores u operadores lgicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores bsicos son:
- Operador and (y) : Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si smbolo es: {, un punto (.), un parntesis}. Se le conoce como la multiplicacin lgica
31.
- Ejemplo.
- Sea el siguiente enunciado El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batera
- Sean:
- p: El coche enciende.
- q: Tiene gasolina el tanque.
- r: Tiene corriente la batera.
32. Proposiciones condicionales.
- Una proposicin condicional, es aquella que est formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:
- p q Se lee Si p entonces q
- Ejemplo. El candidato del PRI dice Si salgo electo presidente de la Repblica recibirn un 50% de aumento en su sueldo el prximo ao. Una declaracin como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:
- Sean
- p: Sali electo Presidente de la Repblica.
- q: Recibirn un 50% de aumento en su sueldo el prximo ao.
33. Proposicin bicondicional.
- Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposicin bicondicinal de la siguiente manera:
- p q Se lee p si solo si q
- Esto significa que p es verdadera si y solo si q es tambin verdadera. O bien p es falsa si y solo si q tambin lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposicin bicondicional
- Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez
- Donde:
- p: Es buen estudiante.
- q: Tiene promedio de diez.
34. Equivalencia lgica.
- Se dice que dos proposiciones son lgicamente equivalentes, o simplementeequivalentes . Si coinciden sus resultados para los mismovaloresde verdad. Se indican como p q.
- Considero que un buen ejemplo es el que se estableci para ilustrar la tautologa en donde se puede observar que las columnas de (pq) y (qp) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (pq) (qp)
35. Reglas de inferencia
- Los argumentos basados en tautologas representan mtodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llamareglas de inferencia.Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o ms tautologas o hiptesis en una demostracin.
36. Bibliografa.LibroAutorEditorialEstructuras de Matemticas DiscretasBernard Kolman, Robert C. Bisby, Sharon RossPrentice HallElements of Discrete MathematicsC.L.LiuMc graw HillMatemticas Discreta y CombinatoriaRalph P. GrimaldiAddiso WesleyMatemticas Discretas con aplicacin a las ciencias de la computacinJean Paul Tremblay, Ram ManoharCECSAMatemticas DiscretasKenneth A. Ross, Charles R.B. WrightPrentice HallMatemtica Discreta y LgicaWinfried Karl, Jean Paul TremblayPrentice HallMatemticas DiscretasRichard JohnsonbaughGpo. Editorial Iberoamerica