concepto de análisis combinatorio1

A nalisis C ombinatorio

INDICEIntroducción.........................................................................................................1

1.Análisis Combinatorio.......................................................................................2

2.Objetivo de Análisis Combinatorio....................................................................2

3.Conceptos Básicos...........................................................................................2

3.1 Población...................................................................................................2

3.2 Muestra......................................................................................................2

3.3 Factorial de un número..............................................................................3

3.3.1 Descomposición en factores de un factorial........................................3

4.Principios fundamentales del Análisis Combinatorio:.......................................4

4.1 Principios fundamentales de conteo..........................................................5

4.1.1Principio de adición:.............................................................................5

4.1.2 Principio de multiplicación:..................................................................7

4.1.3 Principio de Inclusión:.......................................................................10

4.1.4 ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?............................................................11

5.Técnicas de conteo........................................................................................12

5.1 Variaciones..............................................................................................12

5.1.1Variaciones sin repetición..................................................................12

5.1.2 Variaciones con repetición................................................................13

5.1.3 Otros tipos de Variaciones................................................................14

5.2 Permutaciones.........................................................................................15

5.2.1 Permutación lineal.............................................................................17

5.2.2 Permutación circular..........................................................................17

5.2.3 Permutaciones con elementos repetidos..........................................18

5.3 Combinaciones........................................................................................19

5.3.1 Combinaciones sin repetición...........................................................19

5.3.2 combinaciones con repetición...........................................................21

5.3.3 Propiedades de los números combinatorios.....................................21

5.4 Otras Técnicas de Conteo......................................................................22

5.4.1 Diagrama de un Árbol.......................................................................22

5.4.2 Coeficientes del Binomio de Newton.................................................24

6.Aplicaciones de análisis combinatorio............................................................27

7. Problemas Resueltos....................................................................................28

8.Conclusiones..................................................................................................30

9.Bibliografía.....................................................................................................30

Anexo 1.............................................................................................................32

Formulario de Análisis combinatorio..............................................................32

Análisis Combinatorio

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Introducción

El análisis combinatorio es la parte fundamental de las reglas de conteo, ya que proporciona las formulas adecuadas para simplificar la engorrosa labor de contar el numero de resultados posibles que pueden darse en un experimento.Podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos.

El análisis combinatorio estudia las distintas formas de agrupar y ordenar los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos elementos.

Los problemas de arreglos y combinaciones pueden parecer aburridos y quizá se piense que no tienen utilidad pero los teoremas del análisis combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad.

La probabilidad se encarga de los arreglos y las combinaciones que determinan el número de formas diferentes en que un acontecimiento puede suceder.

El análisis combinatorio tiene aplicaciones en el diseño y funcionamiento de la tecnología computacional así como también en las ciencias. La teoría combinatoria se aplica en las áreas en donde tengan relevancia las distintas formas de agrupar elementos.

El origen del análisis combinatorio se le atribuye a los trabajos de Pascal (1596 – 1650) y Fermat (1601 - 1665) que fundamentan el cálculo de probabilidades. Leibiniz (1646 – 1716) publicó en 1666 “Disertatio de Arte Combinatoria”. El mayor impulsor de esta rama fue Bernulli quien en sus trabajos incluye una teoría general de permutaciones y combinaciones. Actualmente todas las operaciones que anteriormente se hacían manualmente, hoy se realizan utilizando infinidades de software o paquetes estadísticos que facilitan y posibilitan el desarrollo de estas tediosas y largas operaciones. A través de Internet se pueden conseguir cientos de applets gratuitos on line donde ejecutar estas tareas. Además en casi todas las calculadoras viene automatizado el calculo de las formulas que se utilizan en el análisis combinatorio

Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio nos va ha servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades


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1. Análisis Combinatorio

Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos

El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos

2. Objetivo de Análisis Combinatorio

El objeto del Análisis combinatorio o Combinatoria es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos.

Actualmente el análisis combinatorio tiene por objeto el estudio de las distintas formas de agrupar y ordenar los elementos de un conjunto sin tener en cuenta la naturaleza de estos

3. Conceptos Básicos

La teoría combinatoria toma sus conceptos fundamentales a partir de la teoría de conjuntos y se forma como un estudio sistemático orientado a contar sucesos, o combinaciones de los mismos.

Debemos entonces tener claros dichos conceptos e ideas y formular algunas más que funcionarán como base para la construcción de nuestro conocimiento.

En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:

3.1 Población

Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.

3.2 Muestra

Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.

Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:

Orden


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Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.

Repetición

La posibilidad de repetición o no de los elementos.

Para llevar a cabo nuestro estudio, vamos a utilizar algunas herramientas tales como el factorial de un número.

3.3 Factorial de un número

Factorial de un numero n, entero no menor que 2, en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. se denota con n!

Se lee de la siguiente forma:

“Factorial de n o n factorial”.

Por ejemplo

3.3.1 Descomposición en factores de un factorial

Recordemos: si n! = 1 2 3 ... (n–2) (n–1) n, entonces

También 7! = 5! X 6 x 7, del cual deducimos:

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales


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Esta última expresión adquiere importancia cuando se trata de simplificar expresiones, un tanto complicadas, que involucran el uso de factoriales.

Además n! se puede desarrollar explícitamente según lo requiera el ejercicio específico. Por ejemplo:

Ejemplo:

Simplificar:

A = 11! X 12x 13 + 11! X 12 + 1111! X 12 + 11!

A = 11! (12 x 13 + 12 +1) 11! ( 12+1)

A = 12 x 13 +1313

A = 13 (12 +1) = 1313

Observación:

Se define por convención: 0! = 1Sabemos: 1! = 1En efecto, por el desarrollo parcial de un factorial sabemos:n! = (n–1)! n (en esta expresión calculamos para n=1) luego: 1! = (1–1) × 11! = 0! × 1pero como 1! = 1entonces: 1 = 0! × 1 ⇒ 0! = 1

4. Principios fundamentales del Análisis Combinatorio:

En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para


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dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado.

Ejemplo:Un joven tiene tres trajes y cinco corbatas, De cuantas maneras puede usar un traje y una corbata? Con cada traje puede utilizar una de las cinco corbatas.

3*5=15 maneras diferentes de combinatorio un traje y una corbata.

4.1 Principios fundamentales de conteo

Se presentan las herramientas básicas que nos permitirán calcular el número de elementos de conjuntos formados de acuerdo a ciertas reglas, sin necesidad de enumerar sus elementos.

Estas son:

Principio de adición. Principio de multiplicación. Principio de inclusión – exclusión

4.1.1 Principio de adición:

Supongamos que un evento A se puede realizar de "m" maneras y otro evento B se puede realizar de "n" maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇ B = Æ ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de ( m + n) maneras.

M + N +.........+ W maneras o formas

Ejemplo 1:Ana desea viajar de Chiclayo a Tumbes y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?

Solución:

2 Líneas + 5 Líneas = 7


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Ejemplo 2:Un repuesto de automóvil se vende en 6 tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de Breña. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?

Solución:

Por el principio de adición: Victoria ó Breña

6 formas + 8 formas = 14 formasEjemplo 3:Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?

Solución:

Aplicando el principio de adición se tiene: Bote, lancha, deslizadormaneras = 3 + 2 + 1 = 6

Ejemplo 4:Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora WhirpoolN = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

Ejemplo 5: Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de


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transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?.

Solución: a) V = maneras de ir a las Vegas D = maneras de ir a Disneylandia

V = 3 x 2 = 6 maneras D = 3 x 4 = 12 maneras V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia

b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas D = maneras de ir y regresar a Disneylandia

V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo

4.1.2 Principio de multiplicación:

Si un evento o suceso "A" puede ocurrir, en forma independiente, de "m" maneras diferentes y otro suceso de "n" maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es "m x n"

N1 x N2 x..........x Nr maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad debe ser llevado a efecto, uno tras otro.

Ejemplo 1Jazmín ha recibido en su cumpleaños una falda roja, una azul y otro verde; además le obsequiaron una blusa blanca otra crema. Si desea probarse las prendas recibidas, ¿de cuántas maneras distintas puede lucirlas, si se pone falda y blusa?


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Solución:

Loa juegos serian:

(B, R), (B, A), (B,V) = 6 maneras (C, R), (C, A), (C, V) distintas

Jazmín se pone:

2 blusas x 3 faldas = 6 maneras distintas

Ejemplo 2Elvis posee 3 camisas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos, todas prendas diferentes. ¿De cuántas maneras distintas puede lucir una vestimenta constituida por camisa, pantalón y zapatos?

Solución:

Evento A: elige la camisa (3 formas ≠)Evento B: elige el pantalón (3 formas ≠)Evento C: elige un par de zapatos (2 formas ≠)

Nótese que Elvis para lucir una vestimenta debe realizar los tres eventos (A, B y C), uno seguido del otro. Así:

Ejemplo 3:Se tiene seis libros diferentes de razonamiento matemático. ¿De cuántas formas distintas pueden ordenarse en un estante donde sólo entran cuatro libros?


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Solución:

Evento I: elige un libro para el 1er casillero (6formas diferentes)Evento II: elige un libro para el 2º casillero (5formas diferentes)Evento III: elige un libro para el 3er casillero (4formas diferentes)Evento IV: elige un libro para el 4to casillero (3formas diferentes)

∴ 6 × 5 × 4 × 3 = 360

Los libros se pueden ordenar de 360 formas diferentes.

Ejemplo 4: Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución: Considerando que r = 4 pasos N1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3N3= maneras de hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

Ejemplo 5 ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.

Solución:

a. Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75, 760,000 placas para automóvil que es posible diseñar


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b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78, 624,000 placas para automóvil

c. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil

d. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil

Ejemplo 6:¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?.

Solución:

a. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos b. 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos

c. 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos

d. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos

4.1.3 Principio de Inclusión:

Para establecer la idea del principio de adición se hace la referencia a que el número de elementos de la unión de dos conjuntos diferentes es la suma del número de elementos de cada conjunto. Sin embargo, los conjuntos no siempre son disjuntos. Para contar el número de elementos que pertenecen a la unión de varios conjuntos, no necesariamente diferentes, hacemos uso del Principio de inclusión - exclusión que en su versión más simple establece que:

En efecto:


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Ejemplo 1¿Cuántos números enteros entre 1 y 1000 son divisibles por 3 ó 7?

Solución:

Aplicando del principio de inclusión – exclusión Consideremos:

A: conjunto de enteros entre 1 y 1000 que son divisibles por 3.B: conjunto de enteros entre 1 y 1000 que son divisibles por 7.Lo que nos pide es calcular n(A ∪ B) (número de elementos de A ∪ B)

(Pues A ∩ B es el conjunto de enteros entre 1 y 1000 que son divisibles por 3 y 7, es decir, divisibles por 21).Por el principio de inclusión – exclusión sabemos que:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) n(A ∩ B) = 333 + 142 – 47 = 428

Entonces hay 428 números que satisfacen la condición pedida.

4.1.4 ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?

Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.


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5. Técnicas de conteo

La búsqueda de técnicas de conteo está directamente ligada a la historia de la matemática y a la forma por la cual las personas tienen su primer contacto con esta disciplina. Por ejemplo, puede observarse en el desarrollo de un niño que la primera técnica matemática aprendida es el contar; es decir, enumerar los elementos de un conjunto de tal forma que determine cuántos son sus elementos. Esto ocurre, por ejemplo, cuando con ayuda de sus padres aprende cuántos juguetes hay en su corralito o cuántos dedos tiene en su mano, etc

Las técnicas de conteo que estudiaremos son:

VariacionesV. con repeticiónV. sin repetición

PermutacionesP. linealesP. circularesP. con elementos repetidos

CombinacionesC. simpleC. con elementos repetidos

5.1 Variaciones

Se denomina variación, de los elementos de un conjunto, una disposición ordenada de los mismos. Algunos autores las llaman ordenaciones, Las variaciones se le conocen también como: arreglos, disposiciones, ordenaciones, distribuciones

5.1.1 Variaciones sin repetición

Variaciones sin repetición o variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación

Se representa: .

Luego el número de variaciones está dado por la expresión:


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Donde n representa el total de elementos del conjunto y m : el número de elementos que desean ordenar.

Ejemplo 1:Hay 15 candidatos para ocupar los cargos de presidente, vicepresidente, secretario, tesorero, fiscal, de una asociación gremial. De cuántas maneras diferentes se pueden ocupar estos cargos?

Solución:

Tenemos que el primer cargo, o sea, el cargo del presidente puede ser ocupado por cualquiera de los 15 candidatos, es decir, hay 15 maneras diferentes de ocupar dicho cargo. Ahora, una vez ocupado el cargo de presidente, nos quedan14 candidatos disponibles para ocupar el segundo cargo, digamos el de vicepresidente, una vez ocupado dicho cargo, el siguiente se puede ocupar de 13 maneras y así sucesivamente; tal como lo indicamos a continuación:

Luego, el número total de maneras diferentes para integrarse dicha junta es:

15 x 14 x 13 x 12 x 11 = 360.360

. n = 15: número de candidatos, m = 5 : Personas a ocupar los cargos.

5.1.2 Variaciones con repetición

Si suponemos que cada uno de los m elementos, puede figurar cualquier número de veces en una misma variación, obtenemos las variaciones con repetición, cuyo número lo podemos calcular auxiliándonos con la fórmula:


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Ejemplo 1:¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Solución:

m = 6 n = 3

Tenemos que separar el número en dos bloques:

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares).

m = 5 n = 1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.m = 6 n = 2

Ejemplo 2:Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?

m = 3 n = 15 m < n

5.1.3 Otros tipos de Variaciones

Variaciones monarias o de primer orden, las cuales están formadas por los objetos dados.

Variación binaria o de segundo orden.- Se llama a todo conjunto ordenado por dos cualesquiera de los objetos dados.


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Variación ternaria o de tercer orden.- Se llama a todo conjunto ordenado por tres cualesquiera de los objetos dados.

Variación cuaternaria o de cuarto orden.- que no sería otra cosa que las permutaciones de dichos elementos.

Ejemplo 1:Formar las variaciones de 5 objetos tomados de 2 en 2

V(5.2)=5 x (5-1)V(5.2)=5 x 4=20

Ejemplo 2:Calcular el número de variaciones de 6 objetos tomados de 3 en 3

V (6.3)=6 x (6-1) x (6-2)V (6.3)=6 x 5 x 4=120

Ejemplo 3:Calcular el número de variaciones de 10 objetos tomados de 4 en 4.

V (10.4)=10 x (10-1) x (10-2) x (10-3)V (10.4)=10 x 9 x 8 x 7 = 5040

Ejemplo 4:De cuantas maneras se pueden sentar 4 personas en 6 asientos

V (6.4)=6 x (6-1) x (6-2) x (6-3)V (6.4)=6 x 5 x 4 x 3=360

5.2 Permutaciones

Para continuar con el análisis de las aplicaciones de la regla del producto, contaremos ahora disposiciones lineales de objetos diferentes también conocidas como “permutaciones”.

Permutaciones Son los diferentes arreglos u ordenaciones que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En toda permutación, la característica principal es el orden de sus


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elementos. Y debido a esto una permutación es diferente de otra cuando el orden de sus elementos es distinto.

Su formula es:

Ejemplo 1:¿De cuántos modos es posible ordenar 5 estudiantes en una carpeta de 5 asientos?

En Forma resumida:

Ejemplo 2:Calcular las permutaciones de 6 elementos.

P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2x 1 = 720

Ejemplo 3:


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¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

P8 = 8! =8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2x 1 = 40320

5.2.1 Permutación lineal

Es un ordenamiento en fila. El número de permutaciones que se pueden realizar con n elementos tomándolos de r en r es:

Ejemplos:

5.2.2 Permutación circular

Es un ordenamiento o arreglo de los elementos, alrededor de un punto de referencia (formando una línea cerrada).

Dado n objetos diferentes estos se pueden ordenar circularmente y el total de ordenamiento se calcula así:

Ejemplo 1:Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos

PC7= (7 − 1)! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Ejemplo 2:


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¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

PC8= (8− 1)! = 7! =7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040

5.2.3 Permutaciones con elementos repetidos

Es un ordenamiento o arreglo de elementos, en los cuales algunos son de una misma clase.

Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite n1 veces, el segundo n1 veces, el tercero n3 veces

n = a + b + c + .

El número de permutaciones en fila que se pueden hacer con estos elementos se denota y calcula así:

Ejemplo 1:

Calcular las permutaciones con repetición de: .

Ejemplo 2:Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9

Ejemplo 3:


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En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

5.3 Combinaciones

Son los diferentes grupos o subconjuntos que se pueden formar con elementos de un conjunto dado (tomando parte o todos a la vez).

5.3.1 Combinaciones sin repetición

Combinaciones sin repetición o combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación.

Se representa por

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

Para construir las combinaciones sin repetición, partimos del conjunto A= {1, 2, 3,4} y vamos a construir todas las combinaciones sin repetición posibles.

De un elemento. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos: 1, 2, 3, 4.

De dos elementos. A diferencia de las variaciones, si ahora cambiamos de orden los elementos de un grupo, se obtiene el mismo grupo, por lo que para añadir el segundo elemento sólo podremos añadir todos los


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elementos posteriores y no los anteriores. Así se obtienen: 12, 13, 14, 23, 24, 34

De tres elementos. Se pueden construir a partir de las anteriores añadiendo a cada combinación de orden dos los elementos posteriores al segundo. Se obtienen: 123, 124, 134, 234.

Como estamos construyendo combinaciones sin repetición y los elementos no se pueden repetir, ya no podemos continuar construyendo variaciones de orden cinco.

Ejemplo 1:Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.

Ejemplo 2:En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

Ejemplo 3:Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos,

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!

= 2002 grupos

Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.


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5.3.2 combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

Ejemplo 1:En una bodega hay en unos cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

5.3.3 Propiedades de los números combinatorios

1) Cualquier número entero positivo sobre cero es igual a 1

2) Cualquier número entero positivo m sobre 1 es igual a m

3) Cuando la suma de los números que representan el número de elementos por grupo es igual al número de elementos, podemos decir que los dos números combinatorios son iguales:

Lo comprobamos:


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4) La suma de dos números combinatorios con el mismo número de elementos y los números que representan los elementos por grupo son consecutivos es otro número combinatorio en el que el número de elementos aumenta en una unidad y el número de elementos por grupo es el del mayor:

Lo comprobamos:

Sacamos factor común, en el numerador a, m!:

5.4 Otras Técnicas de Conteo

5.4.1 Diagrama de un Árbol

Un diagrama de árbol es una representación grafica de un experimento que consta de varios pasos donde cada paso tiene un número finito de maneras de llevarse a cabo.


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El diagrama de árbol es la herramienta mediante la cual visualizamos gráficamente el proceso con todos sus posibles resultados. Esta formado por nodos y ramas que salen de esos nodos.

Un nodo equivale a un experimento o ensayo y las ramas equivalen a cada uno delos resultados. El diagrama se puede dibujar de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo en la misma secuencia en que suceden los experimentos y cada vez que tiene lugar un experimento se dibuja un nodo del cual saldrán tantas ramas como resultados tenga ese experimento. Encima o al lado de cada rama se colocan los resultados particulares.

Ejemplo 1:De cuantas forma Rene Fernando puede seleccionar una comida completa en el restaurante internacional Miriam´s, si este le ofrece como entrada sopa o jugo, como plato principal, carne, pescado o vegetales y como postre, helado o pastel?


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Del diagrama del árbol obtenemos que René Fernando pueda hacer 12 selecciones diferentes de comida completa.

2 x 3 x 2 = 12Ejemplo 2:Un investigador clasifica a sus pacientes de acuerdo a su sexo (Masculino o Femenino) , tipo de sangre (A, B, AB, O) y a su presión sanguínea (Normal, Alta y Baja). Mediante un diagrama de árbol diga cuantas clasificaciones puede hacer el investigador de sus pacientes?

Como se puede observar del diagrama de árbol, el investigador puede hacer 24 clasificaciones que son las mismas que se obtienen cuando se aplica el principio fundamental = (2)(4)(3) = 24

5.4.2 Coeficientes del Binomio de Newton

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Se trata de calcular los coeficientes de cada uno de los términos de su expansión se puede obtener siguiendo al triangulo de pascal


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5.4.2.1 Triangulo de Pascal

El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico, del que podemos ver sus primeras líneas:

Propiedades del Triángulo de Pascal o de Tartaglia

1) El número superior es un 1, la segunda fila corresponde a los números combinatorios de 1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y así sucesivamente.

2) Todas las filas empiezan y acaban en 1.

3) Todas las filas son simétricas.

4) Cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él.


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Aplicando estas propiedades podemos escribir el triángulo de Pascal:

El triángulo de Pascal o de Tartaglia nos será muy útil para calcular los coeficientes del binomio de Newton.

Podemos observar que:

El número de términos es n+1.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno,

http://www.vitutor.com/pro/1/a_9.html



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de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejemplo 1:El término quinto del desarrollo de (x -2y)4 es:

Ejemplo 2:El término cuarto del desarrollo de (2 -3y)4 es

Ejemplo 3:Hallar el término octavo del desarrollo de (x2 – 3y3)10

6. Aplicaciones de análisis combinatorio

Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones.

El análisis combinatorio también se emplea en el deporte, en contiendas internacionales para aproximar el grado de dificultad de los oponentes y la posibilidad de lograr el triunfo.

Principios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado.


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7. Problemas Resueltos

1. Hallar el número de formas en que se pueden colocar en fila 4 cuadros de una colección que se compone de 12 cuadros.

El primer lugar lo puede ocupar cualquiera de los 12 cuadros. El segundo uno cualquiera de los 11 restantes, el tercero uno cualquiera de los 10 y así sucesivamente:

Número de formas = número de variaciones de 12 elementos tomados de 4 en 4.

124

12!11880

(12 4)!V

2. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila?

5! = 1·2·3·4·5 = 120

3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar 7 libros sobre una estantería?

7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040 4. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa

redonda?

Supongamos que una de ellas se sienta en un lugar cualquiera. Las 4 personas restantes se pueden sentar de 4! formas.

4! = 24 maneras.

5. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda, de forma que 2 de ellas estén siempre sentadas juntas?

Consideremos a las 2 personas que deben estar juntas como una sola. Como hay 2! formas de disponer a estas 2 personas entre sí, y 6! formas de colocar a 7 personas alrededor de una mesa circular, el número pedido será:

2! · 6! = 2·1· 6·5·4·3·2·1 = 1440.

6. Los organizadores del Superbowl están escogiendo a los árbitros del partido. Entre 12 árbitros elegibles se seleccionaron a 5, ¿Cuántos equipos de 5 árbitros pueden formarse con los 12?

125

12!792

5!*(12 5)!C


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7. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 7 cuadrados diferentes en una fila, sabiendo que uno de ellos debe estar:

En el centro.En uno de los extremos. Como el cuadrado en cuestión debe situarse en el centro, sólo quedan 6 cuadrados para colocar en la fila, por lo tanto, se puede hacer.

= 6!= 1·2·3·4·5·6 = 720.

Una vez colocado el cuadro en uno de los extremos, los otros 6 se pueden disponer igual que en el caso anterior.

= 6! = 720 En consecuencia, si se toman los dos casos:

2 = 2· 6! = 2 · 720 = 1440.

8. Si se lanzan simultáneamente un dado con 6 caras numeradas del 1 al 6 y una moneda de cuantas maneras puede caer.

Suceso A (Dado): 6Suceso B(Moneda): 2

6X2=12

9. Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas?

Casos posibles:

Casos favorables:

Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona habrá 9!; pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno de otro o a la derecha, por tanto se tiene 2 · 9!.


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8. Conclusiones

El análisis combinatorio está en todo, desde los juegos de azar hasta la determinación estadística de la ubicación de los electrones. Los usos más comunes son, por ejemplo, en juegos de asistencia pública como la lotería; en la elaboración de las placas de vehículos; en la asignación de un número de matrícula para poblaciones (alumnos, trabajadores, etc.) También se usa en la elaboración de juegos de entretenimiento, como los que se tienen en los casinos.

El análisis combinatorio está en todo, pues es la base de la probabilidad y de la estadística.

El análisis combinatorio puede ser sin repetición o con repetición es decir, cada elemento debe aparecer una única vez o varias veces en su conjunto.

Podemos considerar el análisis combinatorio como el conjunto de procedimientos y técnicas que nos permite determinar el número de conjuntos que pueden formarse a partir de un conjunto dado, de acuerdo a ciertas instrucciones

El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.

9. Bibliografía

9.1 Paginas Internet

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/ http://www.arvelo.com.ve/pdf/analisis-combinatorio-arvelo.pdf http://probabilidadcecyte.blogspot.com/2009/01/analisis-

combinatorio.html http://www.vitutor.com/pro/1/a_1.html http://matematicas.unex.es/~mmolina/Res_analisis_combinatorio.pdf http://campus.cva.itesm.mx/nazira/Tc1003/PDF/Apuntes/

0600%20Tc1003_Analisis_Combinatorio.pdf http://www.slideshare.net/Carlosf7/analisis-combinatorio-7739556 http://www.cimat.mx/~pabreu/LuisRinconI.pdf http://www.slideshare.net/guest5dcb8426/analisis-combinatorio http://app.ute.edu.ec/content/3510-13-15-1-18-4/Estadistica%204.pdf http://dm.udc.es/profesores/ricardo/Archivos/Presentaciones.pdf http://www.enciclopediadetareas.net/2012/07/analisis-

combinatorio.html http://clubensayos.com/Ciencia/Monografia-De-Estadistica/

1253830.html

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9.2 Libros

Fundamentos de probabilidad y estadística, Olga Vladimirovna panteleeva

Manual de estadística descriptiva, Víctor Quiroga Mag.sc, abril 1997 Análisis combinatorio problemas y ejercicios, k. ribnikov , mir

editorial, 1989 Estadística para ingenieros, editorial macro, Nel Quezada licio, 2010 Matemáticas generales, probabilidades y estadística, Yves Hebert,

editorial reverte. S.A

Anexo 1

Formulario de Análisis combinatorio

http://m.casadellibro.com/libros-ebooks/k-ribnikov/149723


Estadística y 32

concepto de análisis combinatorio1

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