conception et modélisation d’un robot marcheur hexapode
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الجمھوریة الجزائریة الدیمقراطیة الشعبیة République Algérienne Démocratique et Populaire
وزارة التعلیم العالي و البحث العلميMinistère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université Larbi Ben M’hidi Oum-El-Bouaghi
Faculté des Sciences et Sciences Appliquées Département de Génie Mécanique
Filière : Génie Mécanique Option :…………
Mémoire de Fin d'Etudes En vue de l’obtention du diplôme:
MASTER
Présenté par :
RADJAI Ahlem Soutenu le :xxJuin 2015
Encadreur : Mr AISSAOUI
Année universitaire : 2015 / 2016
Conception et Modélisation d’un Robot Marcheur Hexapode
REMERCIEMENTS
En premier lieu je remercie Dieu tout puissant de m’avoir donné
la santé, pour terminer ce travail dans les meilleures conditions.
Je tien à exprimer mon remerciement et mon respect à mon
encadreur : Mr. AISSAOUI pour m’avoir assuré le suivi durant la
préparation de mon mémoire. Son aide et ses conseils...
Je remercie également les membres de jury qui ont accepté
d’évaluer ce travail.
Je remercie Professeur HADEF qui m'a offert la chance d`aller
en Allemagne.
Enfin un grand merci tout spécial à Tout le personnel de département G.Mécanique sons exception aussi Tous les enseignants qui ont contribué à ma formation du primaire jusqu’au cycle universitaire
i
DEDICACE
Je dédie ce modeste travail à tous ceux que j’aime mais surtout :
A ma défunte mère et mon chèr père qui est toujours été l’étoile de mon ciel et est illuminé mon chemin depuis ma naissance, je ne les
remercierai jamais assez ma belle mère :Saliha
A mes chères frères : Chemssou, Salah, Nawfel A mes chères sœurs : Rahma, Chayma
A mes tantes et mes oncles et surtout ma grande mère et mon grand père
A toute ma famille A mes amis : Alaae, Wissem, Meriem, Nesrin,
houda,meryem ,soumiya... A mon groupe D`Allemagne
A toute ma promotion 2016 sans exception ; A tout les enseignants de département G.Mécanique qui m’ont
accompagné durant mes études ; A toute personne utilisant ce document pour un bon usage.
AHLAM
ii
Sommaire
Remerciements………………………………………………………………………………….…..
Dédicace…………………………………………………………………………………….………..
Résumé……………………………………………………………………………………………….
Liste des figures……………………………………………………………………………………..
Liste des tableaux……………………………………………………………………………………
Introduction générale……………………………………………………………………………….
Chapitre I Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes …...…………………………………
1.1.Introduction ………………………………………………………………………………
1.2.Classification des robots mobiles ………………………………………………………..
1.3.Domaines d'application…………………………………………………………………
1.4.Les avantages dans l'utilisation des robots mobiles …………………………………
1.5.La structure mécanique et motricité …………………………………………………..
1.5.1. Les robots mobiles à roues ……………………………………………………..
1.5.2. Les robots à chenilles ……………………………………………………………..
1.5.3. Les robots marcheurs……………………………………………………………..
1.6.Le robot marcheur hexapode………………………………………………………………
1.7.Quelques exemples des robots hexapodes réalisés ………………………………………..
1.8.La marche chez des robots hexapodes …………………………………………………..
1.9.Différentes chaînes cinématiques des robots hexapodes………………………………….
1.10. Conclusion…………………………………………………………………………..
Chapitre II Modélisation Géométrique et Cinématique de l’hexapode………...........................
2.1. Introduction………………………………………………………………………………
2.2. Modélisation Géométrique Directe des robots ………………………………………………
2.2.1. La méthode de Khalil-Kleinfinger pour les robots à structure arborescente ……………
2.2.2. Calcul du MGD d’un robot manipulateur………………………………………………..
2.2.3. Application à l'hexapode …………………………………………………………….
2.2.4. La chaîne cinématique de la patte ………………………………………………………..
2 .2.5. Description du banc d’essai de la patte …………………………………………………
2.2.6. Repérage du mécanisme patte et son banc d’essais……………………………………..
2.2.7. Calcul du MGD pour une patte …………………………………………………………
2.2.8. Configuration d'une patte à partir du MGD ………………………………………………
2.3.1. Modélisation Géométrique Inverse des robots ……………………………………………
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Sommaire
2.3.2. Calcul du modèle géométrique inverse par la méthode de Paul…………………………..
2.3.3. Application de la méthode de Paul pour une patte …………………………………………
2.3.3.1. Calcul de 1θ ……………………………………………………………………………
2.3.3.2. Calcul de 2θ et 3θ ……………………………………………………………………
2.3.4. Application du MGI pour une patte …………………………………………………………
2.3.4.1. Application du MGI pour l'hexapode …………………………………………………
2.4. Modélisation cinématique des robots ………………………………………………………..
2.4.1. Calcul de la matrice Jacobienne de base ………………………………………………
2.4.2. MCD de la patte ………………………………………………………………………..
2.4.3. Le modèle cinématique inverse ………………………………………………………..
2.4.3.1. MCI de la patte ………………………………………………………………
2.4.4. Détermination des Positions Singulières de la patte………………………………….
2.5. Conclusion……………………………………………………………………………………
Chapitre III Génération de trajectoire de l'hexapode ………………………………………….
3.1. Introduction……………………………………………………………………………….
3.2. la marche des robots à pattes …………………………………………………………………
3.2.1. La marche des hexapodes ………………………………………………………………..
3.2. 2. Le cycle de marche de chaque patte …………………………………………………….
3.3. La méthode proposée pour générer le mouvement de la patte ……………………………….
3.4. Les étapes de la génération de mouvement…………………………………………………
3.5. Conclusion……………………………………………………………………………………
Chapitre IV Modélisation dynamique de l'hexapode……………………………………………. 4.1. Introduction ………………………………………………………………………………
4.2. Formalismes de Calcul du Modèle Dynamique…………………………………………..
4.2.1. Le formalisme de Lagrange………………………………………………………...
4.2.1.1. Calcul de l’énergie cinétique ………………………………………………..
4.2.2. le formalisme de Newton-Euler……………………………………………………
4.2.2.1. Équations de Newton-Euler linéaires par rapport aux paramètres inertiels...
4.2.2.2. Forme pratique des équations de Newton-Euler……………………………
4.2.2.3. Résultat de la modélisation dynamique………………………………………
4.2.2.3.1. Application du formalisme de Lagrange………………………………….
4.2.2.3.2. Application du formalisme de Newton Euler ……………………………..
4.3. Conclusion ……….……………………………………………………..........................
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Sommaire
Chapitre V Conception du l’hexapode…………………………………………………………….
5.1 Introduction………………………………………………………………………………….
5.2. Moteurs choisis………………………………………………………………………………
5.3. La conception proposée pour une patte……………………………………………………..
5.4. La conception proposée pour le corps ……………………………………………………...
5.5. La conception proposée pour le robot entier ………………………………………………
5.6. Conclusion………………………………………………………………………………......
Conclusion générale ………………………………………………………………………………
Bibliographie ………………………………………………………………………………………..
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LISTE DES FIGURES
Figure I.1 : quelques exemples d’application des robots mobiles……………………4
Figure I.2 : robots à roues…………………………………………………………….6
Figure I.3 : robot a chenilles………………………………………………………….6
Figure I.4 : types de robots à pattes…………………………………………………………..7
Figure I.5 : Le robot marcheur hexapode (HECTOR)……………………………….8
Figure I.6 : robot SILO 6…………………………………………………………….9
Figure I.7 : modèle CAO du robot HECTOR………………………………………..9
Figure I.8 : robot Lemur II…………………………………………………………10
Figure I.9: mode de marche…………………………………………………………10
Figure II.1 : définition du MGD…………………………………………………….15
Figure II.2 : Notations associées à une chaîne arborescente………………………...16
Figure II.3 : Paramètres géométriques pour un corps à plus de deux articulations…17
Figure II.4 : structure de l'hexapode………………………………………………...19
Figure II.5 : la chaîne cinématique d'une patte……………………………………...20
Figure II.6 : chaîne cinématique du banc d’essais de la patte……………………….21
Figure II.7 : assignation de repères au banc d’essais et à la patte…………………...22
Figure II.8 : schéma du MGD d'une patte pour 4/,0,0 321 πθθθ === …………..27
Figure II.9 : schéma du MGD de l'hexapode pour 2/,0,0 321 πθθθ === ………27
Figure II.10 : définition du MGI…………………………………………………….28
Figure II.11 : Convergence du MGI au point désiré………………………………...34
Figure II.12 : Convergence du MGI en suivant un cercle horizontal……………….35
iv
Figure II.13 : Convergence du MGI en suivant une droite………………………….35
Figure II.14 : Convergence du MGI pou une rotation autour de l'axe vertical……...36
Figure II.15 : définition du MCD…………………………………………………...37
Figure II.16 : définition du MCI…………………………………………………….39
Figure II.17 : les positions singulières de la patte…………………………………...41
Figure III.1 : Génération de mouvement de patte dans l’espace opérationnel……...43
Figure III.2 : Diagramme de la marche tripode alternée……………………………43
Figure III.3 : Une trajectoire cycloïde )X(fZ = avec : πα 2:0,10R == …... 45
Figure III.4 : Schéma de la génération de marche de la patte………………………46
Figure III.5 : trajectoire cycloïde dans le plan de la marche………………………..48
Figure III.6 : la patte qui exécute un pas de marche………………………………...49
Figure III.7 : les angles et la position du CG correspondent à un pas marche……...49
Figure III.8 : Simulation de la marche de l'hexapode……………………………….50
Figure III.9 : Variation des angles…………………………………………………..51
Figure IV.1 : Composition des vitesses……………………………………………..57
Figure IV.2 : Bilan des efforts au centre de gravité…………………………………60
Figure IV.3 : Valeurs des couples…………………………………………………...64
Figure IV.4 : Valeurs des couples…………………………………………………...65
Figure V.1 : Moteur (plus réducteur) choisi…………………………………………67
Figure V.2 : Modèle CAO d’une patte………………………………………………67
Figure V.3 : Modèle CAO du corps…………………………………………………68
Figure V.4 : Modèle CAO de l’hexapode…………………………………………...68
v
LISTE DES TABLEAUX
Tableau I.1 : Domaines d’applications des robots mobiles…………………………..5
Tableau II.1 : Conventions de Khalil-Kleinfinger pour la structure arborescente….18
Tableau II.2 : Assignation repères –corps………………………………………….22
Tableau II.3 : Paramètres géométriques relatifs au mécanisme…………………….23
Tableau II.4 : Valeurs attribuées aux paramètres du mécanisme…………………...26
Tableau III.1 : définition des paramètres de la génération mouvement de la patte…45
vi
Introduction générale
Introduction générale
Un robot est un système mécatronique impliquant la mécanique, l’électronique,
l’automatique et l’informatique. Les robots mobiles se classent en deux catégories :
Les robots à roues et les robots à pattes.
Les robots a pattes possèdent un nombre élevé de degrés de liberté et de ce fait ils sont
considérés comme des robots qui ont une mobilité assez supérieure, ainsi que leur contacts
discrets avec le sol ce qui permet une sélection des points d’appui en fonction des conditions
locales du terrain. Selon le nombre de leurs pattes, ils peuvent être bipèdes, quadrupèdes ou
hexapodes. Les robots à pattes ont l'avantage de pouvoir s'adapter à la plupart des terrains.
Dans cette étude nous avons choisi un robot marcheur hexapode à cause de sa stabilité de
marche. Dans le chapitre un nous entamons un état de l’art sur la locomotion à pattes, le chapitre
deux est consacré à la modélisation géométrique et cinématique la ou on en choisi une chaine
cinématique pour la patte et en calcul les modèle géométrique directe et inverse deux on a établi
pour cet hexapode une modélisation géométrique directe et inverse pour trouver les angles
correspondants aux positions de chaque patte de robot. Ensuit on a fait une modélisation
cinématique afin de pouvoir calculer les vitesses et les positions singulières.
La marche tripode alternée observé chez certains insectes est présenté dans Le chapitre
pour pouvoir simuler le déplacement de l’hexapode. La modélisation dynamique de ce robot est
présentée dans le chapitre quatre par les deux formalismes de Lagrange et de Newton Euler afin
d’avoir les couples nécessaires aux actionneurs en fonction des positions, vitesses et
accélérations articulaires.
1
Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes
Chapitre I :
Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes
2
Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.1. INTRODUCTION
Un robot mobile est un véhicule doté de moyens de locomotion qui lui permettent de
se déplacer dans un environnement donné. Suivant son degré d'autonomie, il peut être doté de
moyens de perception et de raisonnement.
Pendant plusieurs années, laboratoires, industriels, informaticiens et mécaniciens vont
continuer leurs travaux en parallèle. On accède ainsi côté industriel à la télé-opération et à une
partie de la robotique classique, tandis que du côté informatique, on assiste à de grands
progrès dans le domaine de l’intelligence artificielle. Ainsi, vers la fin des années soixante-
dix, trois pôles géographiques principaux se distinguent (France, Japon, Etats-Unis). La
synthèse de tous les travaux réalisés jusqu’alors donne enfin naissance aux robots mobiles
autonomes.
Les domaines d’utilisation de robots autonomes sont très variés, allant de la
production en chaîne dans une usine de voitures à l’exploration d’autres planètes. C’est dans
cet environnement de plus en plus automatisé que se fait sentir le besoin d’outils capables,
non seulement d’effectuer des tâches répétitives ou encore impossibles à l’homme (porter des
charges lourdes, découpage ultra précis, …), mais aussi de manifester une certaine autonomie
de déplacement dans des milieux hostiles à l’homme. On en voit désormais les applications
sur des chantiers tels que le désamiantage d’immeubles, la décontamination radioactive, les
expériences en milieu dangereux…
1.2. Classification des robots mobiles
La classification des robots mobiles se fait selon plusieurs critères :
• degré d'autonomie : dotation de capacités décisionnelles et de moyens
d'acquisition et de traitement de l'information qui lui permettent d'accomplir
sous contrôle humain réduit, un certain nombre de tâches, dans un
environnement non complètement connu.
• système de locomotion : Locomotion à pattes, locomotion à roues et hybride,
d'ou le problème lié à la conception mécanique et à la mobilité.
• énergie utilisée : type d'énergie utilisée et consommation optimale.
3
Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.3. Domaines d'application
Le domaine d'application des robots mobiles est vaste, nous présentons quelques
applications dans le tableau suivant figure I.1 et sur la figure I.2
Figure I.1 quelques exemples d’application des robots mobiles
Domaines Applications
Industrie nucléaire - surveillance de sites
- manipulation de matériaux radioactifs
- démantèlement de centrales
Sécurité civile - neutralisation d'activité terroriste
- déminage
- pose d'explosif
- surveillance de munitions
Chimique - surveillance de site
- manipulation de matériaux toxiques
Mine - assistance d'urgence
Agricole - cueillette de fruits
- traite, moisson, traitement des vignes.
DOMAINES DAPLICATIONS DES ROBOTS MOBILES
4
Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes
Nettoyage - coque de navire
- nettoyage industriel
Espace - exploration
industrie - convoyage
- surveillance
Sous-marine - pose de câbles
- recherche de navires immergés
- inspection des fonds marins
Militaire - Surveillance
- pose d’explosif
- manipulation de munitions
Tableau.1 Domaines d’applications des robots mobiles
1.4. Les avantages dans l'utilisation des robots mobiles
Les divers avantages des robots mobiles se résument ainsi:
• Accroissement de la capacité de production ;
• Remplacement de l'homme dans l'exécution des tâches pénibles ou
dangereuses;
• Manutentions.
1.5. La structure mécanique et motricité
Il existe quatre types de structures mécaniques assurant la motricité:
• Les robots mobiles à roues.
• Les robots à chenilles.
• Les robots marcheurs.
• Les robots rampants.
5
Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.5.1. Les robots mobiles à roues
La mobilité par roues est la structure mécanique la plus communément appliquée .Cette technique assure selon l'agencement et les dimensions des roues un déplacement dans toutes les directions avec une accélération et une vitesse importantes. Le franchissement d'obstacles ou l'escalade de marches d'escaliers est possible.
Figure I.2 robots à roues
1.5.2. Les robots à chenilles
L'utilisation des chenilles présente l'avantage d'une bonne adhérence au sol et
d'une faculté de franchissement d'obstacles. L'utilisation est orientée vers l'emploi sur
sol accidenté ou de mauvaise qualité au niveau de l'adhérence.
Figure I.3 robot a chenilles
6
Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.5.3. Les robots marcheurs
Les robots mobiles marcheurs sont destinés à réaliser des tâches variées dont
l’accès au site est difficile, dangereux ou impossible à l’homme. Leur anatomie à
nombreux degrés de liberté permet un rapprochement avec les robots manipulateurs.
La locomotion est commandée en termes de coordonnées articulaires. Les
méthodes de commande des articulations définissent le concept d’allure qui assure le
déplacement stable de l’ensemble. Les différentes techniques étudiées se rapprochent
de la marche des animaux et notamment de celle des insectes. L’adaptation au sol est
spécifique aux marcheurs, elle consiste à choisir le meilleur emplacement de contact
en alliant l’avance et la stabilité avec l’aide de capteurs de proximité, de contact ou
de vision.
Figure I.4 types de robots à pattes
Robot à deux pattes
Robot a six pattes
Robot a quatre pattes
7
Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.6. Le robot marcheur hexapode
Figure I.5 Le robot marcheur hexapode (HECTOR [1])
L'hexapode est un robot mobile marcheur à six pattes, c'est un système mécatronique
combinant des notions mécaniques, électroniques et informatiques. L'intérêt de l'étude de ce
type de robot est justifiée par :
• sa stabilité : marche stables et efficaces gérée adéquatement par le
polygone de support ;
• Des applications terrestres : l'hexapode pourrait faire la collecte de
données ou d'échantillons biologiques dans une forêt éloignée, fouiller le site d'une
catastrophe pour localiser les survivants sans mettre en danger les sauveteurs,
démantèlement de mines et pourrait aussi être utilisé comme robot domestique.
• Des applications spatiales peuvent être imaginées pour le robot
hexapode : explorer Mars ou la Lune ou construire des bases planétaires. 1.7. Quelques exemples des robots hexapodes réalisés
Nous en présentons quelques exemples de robots réalisés :
• SILO6 : est un robot à six pattes qui peut rechercher et détecter les mines terrestres. Il a été créé pour être une plate-forme de recherche en locomotion robotique, il est doté d'un localisateur magnétique de mines à baes de GPS et des antennes Wifi [2].
8
Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes
Figure I.6 robot SILO 6
• Hector : Pour comprendre comment les animaux se déplacent avec élégance et conçoivent à leur tour des robots avec la même capacité, les chercheurs de l'université de Bielefeld (CITEC) ont mis au point le robot marcheur hexapode appelé HECTOR qui possède la morphologie à l'échelle d'un phasme et sera utilisé comme un banc d'essai dans projets [3].
Figure I.7 modèle CAO du robot HECTOR
• Robot Lemur II : Lemur Robotiques (limbed Excursion mécaniques Robots utilitaires) ont été conçus pour résoudre les problèmes de maintenance sur les engins spatiaux et des stations spatiales. Ce robot est équipé d'un ensemble de caméra stéréo, permettant la vision omnidirectionnelle, il dispose de six membres à 4 degrés de liberté. Les membres du robot permettent un changement rapide d'une variété d'outils amovibles pour effectuer des tâches multiples. Seuls trois jambes sont nécessaires pour l'auto-support du Lemur, de sorte que les trois jambes restantes sont libres de manipuler les outils et effectuer des tâches. En apesanteur, le robot peut même ancrer l'un de ses membres et de travailler à l'envers [4].
9
Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes
Figure I.8 robot Lemur II
1.8. La marche chez des robots hexapodes
Le mode de marche le plus courant pour un robot hexapode est le tripode
alterné. Il va se déplacer en soulevant 3 pattes à la fois, c’est à dire les deux extrêmes
d'un côté et la patte centrale du côté opposé. Puis il recommence en alternant les 3
pattes, et ainsi de suite....
Figure I.9 mode de marche
Sur la Figure I.9, les couleurs pleines représentent les pattes au sol et les pointillées
symbolisent les pattes en l'air [5].
Selon [6] les hypothèses suivantes simplifient l'analyse de la marche : - L'hexapode a une structure symétrique. - Le contact entre le pied et le sol est un point. - Il n'y a pas de glissement entre le pied et le sol.
10
Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes - la masse de tous les pieds est rangé dans le corps, et le centre de gravité est supposé être au
centre de gravité du corps.
1.9. Différentes chaînes cinématiques des robots hexapodes
Robot Image Chaine cinématique de la patte Degré
de
liberté
SILO [7]
3
Hamlet [8]
3
Melanie [9]
3
LynxMotion
[10]
3
11
Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.10. Conclusion
Nous avons présenté dans ce chapitre une étude bibliographique sur les robots mobiles des
points de vue classification et domaines d'application, ensuite le mode de marche observé chez les
hexapodes et enfin quelques réalisations des robots hexapodes auxquelles ont s'est intéressé à la
chaine cinématique des pattes et à leur la disposition par rapport au corps. Le choix d'une telle
chaine nous permet d'entamer le chapitre II concernant la modélisation géométrique et
cinématique des hexapodes.
12
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
Chapitre II :
Modélisation Géométrique et
Cinématique de l’hexapode
13
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
2 .1.Introduction La conception et la commande des robots nécessitent le calcul des modèles
mathématiques suivants :
• les modèles géométriques direct (MGD) et inverse (MGI) qui expriment la situation
de l’organe terminal en fonction des variables articulaires du mécanisme et
inversement,
• Les modèles cinématique (MCD) direct et inverse (MCI) qui expriment la vitesse de
l’organe terminal en fonction des vitesses articulaires et inversement, • Les modèles dynamiques direct (MDD) et inverse (MDI) définissant les équations du
mouvement du robot qui permettent d’établir les relations entre les couples ou forces
exercées par les actionneurs et les positions, vitesses et accélérations articulaires.
Dans ce chapitre:
On décrit la méthode de Khalil et Kleinfinger pour le calcul du modèle géométrique
direct de l'hexapode robot à structure ouverte simple et arborescente [11]. la méthode
de Paul pour trouver les solutions du modèle inverse et on calcule le modèle
cinématique de l'hexapode en utlisant le la matrice jacobienne de base utilisant des
Ensuite nous présentons la modélisation géométrique de la patte et du robot hexapode.
2.2. Modélisation Géométrique Directe des robots
Pour le chercheur, la première interrogation face à un robot est : comment calculer sa
position ? Plus précisément : où va se trouver son organe terminal si chaque articulation
tourne d’un certain angle ou se déplace d’une certaine distance ? Il faut donc trouver
l’ensemble des relations qui permettent d’exprimer les coordonnées opérationnelles de son
organe terminal en fonction de ses coordonnées articulaires (Figure II.1) : c’est le MGD.
14
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
Figure II.1définition du MGD
Le calcul de ce MGD de façon automatique exige une méthode générale pour la description
de la morphologie des robots. Plusieurs méthodes et notations ont été proposées dans ce
domaine, les deux méthodes les plus répondues sont :
• La méthode de Denavit-Hartenberg qui est développée pour le paramétrage des robots
à structures ouvertes simples, mais présente des ambiguïtés lorsqu’elle est appliquée
sur des robots ayant des structures arborescentes ou fermées ;
• La méthode de Khalil et Kleinfinger qui permet la description des robots à
architectures : simple, arborescente et fermée.
2.2.1. La méthode de Khalil-Kleinfinger pour les robots à structure arborescente
Une structure arborescente est constituée de n articulations, de 1+n corps rigides notés
nCC ....,,0 , et éventuellement de plusieurs organes terminaux.
Par convention, les corps et les articulations sont numérotés (Figure II.2) de la manière
suivante :
• la base est fixe et constitue le corps 0C ;
• les numéros des corps et des articulations sont croissants sur chaque branche en
partant de la base vers un organe terminal ;
• le corps jC est articulé par l’articulation j ; autrement dit, l’articulation j connecte
le corps jC au corps )( jaC . Le corps )( jaC est le corps antécédent du corps jC lorsque
l’on parcourt la chaîne depuis la base. La topologie du système est complètement
définie par la donnée des njja ,...,1pour )( = .
Organe terminal
2θ
1θ
3θ 4θ
0X 0Y
0Z
15
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
Figure II.2 Notations associées à une chaîne arborescente
Pour déterminer les paramètres géométriques nécessaires à la définition des transformations
entre les différents repères liés aux corps, on place les repères de la manière suivante :
• iR est fixe par rapport au corps iC ;
• iZ est porté par l’axe de l’articulation i ;
• iX est porté par la perpendiculaire commune à iZ et à l’axe Z de l’un des corps aval
porté par le corps iC .
Jusque là ces notations sont parfaitement compatibles avec la description d’une chaîne
ouverte simple (méthode de Denavit-Hartenberg).
Si le corps )( , jaiCi = , n’a pas d’arborescence, iX est la perpendiculaire commune à iZ et
jZ .Dans le cas ou le corps iC porte plus d’un corps (Figure II.3), par exemple les
corps kj CC et , il faut alors choisir iX sur l’une des perpendiculaires communes à iZ et
jZ ou iZ et kZ .
- Si iX est la perpendiculaire commune à iZ et à un autre axe kZ (Figure II.3), on construit
la perpendiculaire commune iX ′ aux axes iZ et jZ . Le passage de iR ′ (défini par iX ′ et
1C
3+jC jC
2+jC
0C
nC
1+jC
jZ
1+jZ 2+jZ
3+jZ
nZ
16
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
iZ ) à jR s’effectue à l’aide des quatre paramètres usuels( jjjj rd ,,, θα ) . Pour définir le
passage de iR à iR ′ deux paramètres supplémentaires doivent être introduits :
• γj: angle entre iX et 'iX correspondant à une rotation autour de iZ ;
• bj: distance entre iX et 'iX correspondant à une translation le long de iZ ;
Figure II.3 Paramètres géométriques pour un corps à plus de deux articulations
Le tableau II.1 résume les conventions pour l’assignation des repères et la définition des
Paramètre :
Règles de construction : =jZ axe de l’articulation j supportant le corps jC
=′iX axe perpendiculaire à ( ji ZZ & ) / =iX axe perpendiculaire à ( ki ZZ & )
Variable Axe de
référence
De
l’axe
A
L’axe
Remarque Type de
paramètre
jγ iZ iX iX ′ angle spécial pour les ramifications paramètres
d’embranchement jb iZ iX iX ′ distance spéciale pour les ramifications
jα 1−jX 1−jZ
jZ angle entre les axes de deux articulations Paramètres fixes
jd 1−jX 1−jZ jZ distance entre les axes de deux articulations
jθ jZ 1−jX jX pour les articulations rotoïdes Variables
d’articulation jr jZ 1−jX
jX pour les articulations prismatiques
iZ
jZ
jO
jX
iX ′ jd
jr
jθ
jα
iX jγ
jb
kZ kα
iO kO
iO ′
17
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
Tableau II.1 Conventions de Khalil-Kleinfinger pour la structure arborescente
On aura donc besoin des six paramètres géométriques qui permettent de construire la matrice
de passage jiT du repère jR au repère iR , cette matrice est donnée par :
)r,Z(Trans),Z(Rot)d,X(Trans),X(Rot)b,Z(Trans),Z(RotT jjjjjjji θαγ= (II.1)
Après son développement, on obtient :
(II.2)
+
−−+−+
+−−−
=
1000bCrCCSSS
SCrSdSCCCCSSSCCCSSSrCdSSCCSSCSCSCC
Tjjjjjjjj
jjjjjjjjjjjjjjjjj
jjjjjjjjjjjjjjjjj
ji
ααθαθα
αγγαγθαγθγθαγθγ
αγγαγθαγθγθαγθγ
C’est cette méthode qu’en va utiliser dans nos calculs car elle représente la forme générale de
la matrice de transformation en décrivant les robots à structures : ouverte simple et s’étend
aux robots à structures: arborescente et fermée.
La transformation inverse correspondante à la notation de Khalil et Kleinfinger est :
−
+
−
=
1 b-
b-
b-
j
ji
j
000rC
SdCSA
CdSS
Tjj
jjjjT
jjjj
ij
α
θθα
θθα
(II.3)
2.2.2. Calcul du MGD d’un robot manipulateur
18
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
Comme le MGD correspond à la situation de l’organe terminal par rapport au repère 0R en
fonction des variables articulaires, on l’écrit sous la forme :
)(qfX = (II.4)
Avec :
X : le vecteur de situation des coordonnées opérationnelles (orientation et position), tel que :
[ ]TZYXZYXZYXZYX PPPaaannnsssX = (II.5)
• Si on ne considère que la position de l’organe terminal par rapport au repère 0R , on
aura :
[ ]TZYX PPPX = (II.6)
q : étant le vecteur des variables articulaires, noté :
[ ]Tnqqqqq ....321= (II.7)
Le modèle MGD est exprimé par la matrice de passage nT0 , déduite de la composition des
multiplications à droite des transformations successives aboutissant au repère terminal alors :
)(...)()( 122
111
00nn
nn qTqTqTT −= (II.8)
2.2.3. Application à l'hexapode La structure du robot hexapode est formée d'un corps (plate forme) auquel sont rattachées
six pattes identiques (Figure II-4).
Figure II.4 structure de l'hexapode 2.2.4. La chaîne cinématique de la patte
Patte "j"
19
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
La chaîne cinématique choisie pour la patte du robot est représentée sur la (Figure II.5),
cette patte est constituée de trois tiges rigides de longueurs respectives 321 et , lll , articulées
entre elles par trois articulations rotoïdes 321 et , θθθ .
L’articulation rotule permet un contact complet du pied de la patte avec le sol, la
longueur 4l est considérée comme nulle ( 04 =l ) et )0( 654 === θθθ .
Figure II.5 la chaîne cinématique d'une patte
2 .2.5. Description du banc d’essai de la patte Pour que cette patte puisse effectuer librement ses différents mouvements comme si elle
est rattachée à un robot marcheur réel qui se déplace sur un terrain naturel, on propose le banc
d’essai suivant (Figure II.6), ce dispositif doit supporter la patte en lui permettant d’effectuer
les deux mouvements suivants :
a- Coulissement vertical pour changer l’attitude du centre de gravité du robot,
b- Coulissement horizontal pour déplacer et pivoter le centre de gravité du robot.
Ce banc d’essai est constitué de deux barres verticales encastrées à une base fixe sur
lesquelles coulisse une barre horizontale.
2θ
1θ
3θ
4θ 6θ
5θ
1l
3l
2l
04 =l
20
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
Pendant la phase "patte en l’air", on doit maintenir le centre de gravité du robot à une hauteur
voulue grâce au bon choix des 4 ressorts de compression calibrés ( 4321 et ,, RRRR ), et au
même temps éliminer tout mouvement relatif sur la barre horizontale…
Quant le pied de la patte entre en contact avec le sol pendant la phase " patte posée", le Centre
de gravité du robot doit coulisser sans pivoter le long de la barre horizontale.
Ce mécanisme (patte et son banc d’essai) compte en tout cinq articulations dont les deux
premières sont passives, alors que les trois dernières formant la patte proprement dite sont
actives.
Figure II.6 chaîne cinématique du banc d’essais de la patte
2.2.6. Repérage du mécanisme : patte et son banc d’essais
2θ
1θ
3θ
4θ
6θ
5θ
1l
3l
2l
04 =l
0l
h d α
21
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
On va attribuer à chaque corps appartenant à l’ensemble (atelier et mécanisme) (Figure II.7)
son repère associé de la façon suivante:
Tableau II.2 Assignation repères –corps
Figure II.7 assignation de repères au banc d’essais et à la patte
Repère Lié à (au)
),,( 0000 ZYXR repère atelier ;
),,( 1111 ZYXR centre de gravité du corps du robot;
),,( 2222 ZYXR première articulation de la patte liant la patte au corps du robot ;
),,( 3333 ZYXR deuxième articulation de la patte ;
),,( 4444 ZYXR troisième articulation de la patte ;
),,( 5555 ZYXR pied de la patte du robot.
2θ
1θ
3θ
04 =θ
1l
3l
2l
3Z 3X
0Z
0X
0Y
0l
1X
4Z 4X
5Z
5X
2Z
2X
β
1′X
ϕ
h
d
),,,,,( rdh θαβ
a
b
0l
θ α
22
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
Pour passer du repère 0R (repère atelier) au repère 5R (lié au pied de la patte) selon la notation
de Khalil et Kleinfinger, les paramètres géométriques (Tableau II.3) valent:
j jσ
jγ jb jα jd jθ jr
1 1 β h α d θ r
2 0 ϕ 0 0 0l 1θ 0
3 0 0 1l− 2/π− 0 2θ 0
4 0 0 0 0 2l 3θ 0
5 0 0 0 0 3l 0 0
Tableau II.3 Paramètres géométriques relatifs au mécanisme
2.2.7. Calcul du MGD pour une patte
Le MGD de la patte consiste à déterminer les coordonnées opérationnelles du bout de la patte
lié à 5R par rapport au repère de la base 0R en fonction des coordonnées
articulaires [ ]Tq 321 θθθ= , ce modèle est donnée par le produit matriciel suivant :
54
43
32
21
10
50 TTTTTT = (II.9)
Le calcul des matrices de transformation homogène successives suivantes nous donne:
−+−−−
=Τ
+−−+−++−−−
=Τ
10000100
00
1000
01111
01111
21
10
ϕθϕθϕθϕθϕϕθϕθϕθϕθϕ
ααθαθααββαβθαβθβθαβθβαββαβθαβθβθαβθβ
SlSSCCSCCSClCSSCSSCC
hrCCCSSSSrCdSSCCCCSSSCCCSSrSdCSSCCSSCSCSCC
23
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
Le calcul du modèle géométrique direct de la patte à l’aide du logiciel Maple nous a fourni les
valeurs des vecteurs 50
50
50
50 et ,, Pans formant la matrice 5
0T et qui ont pour composantes :
=Xs (C β C θ - S β C α S θ )(C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ )(C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) +
(-C β S θ - S β C α C θ )( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ )(C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) +
S β S α (-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ).
=Ys ( S β C θ + C β C α S θ )(C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ) (C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) +
(- S β S θ + C β C α C θ )( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ )(C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) –
C β S α (-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ).
=Zs S α S θ ( C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ) (C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) + S α C θ
( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ ) ( C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) +C α (-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ).
=Xn (C β C θ - S β C α S θ )(C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) +
−−−
−
=Τ
10000
010000
12
22
32
lCS
SC
θθ
θθ
−
=Τ
1000010000
0
33
233
43 θθ
θθCS
lSC
=
100001000010l001 3
54Τ
24
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
(-C β S θ - S β C α C θ )( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) +
S β S α ( S 2θ S 3θ - C 2θ C 3θ ).
=Yn ( S β C θ + C β C α S θ )( C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) +
(- S β S θ + C β C α C θ )( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) –
C β S α ( S 2θ S 3θ - C 2θ C 3θ ).
=Zn S α S θ (C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) + S α C θ
( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) +C α ( S 2θ S 3θ - C 2θ C 3θ ).
=Xa (C β C θ - S β C α S θ )(-C ϕ S 1θ - S ϕ C 1θ ) +
(-C β S θ S β C α C θ )(C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ).
=Ya ( S β C θ + C β C α S θ )(-C ϕ S 1θ - S ϕ C 1θ ) +
(- S β S θ + C β C α C θ )( C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ).
=Za S α S θ (-C ϕ S 1θ - S ϕ C 1θ ) + S α C θ ( C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ).
Les coordonnées cartésiennes ZYX PPP et , du pied de la patte en fonction des coordonnées
articulaires 321 et , θθθ :
=XP (C β C θ - S β C α S θ ) ( (C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ) (C 2θ (C 3θ 3l + 2l ) –
S 2θ S 3θ 3l ) + 0l C ϕ ) +(-C β S θ - S β C α C θ )
(( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ ) (C 2θ (C 3θ 3l + 2l ) - S 2θ S 3θ 3l ) + 0l S ϕ ) +
S β S α (- S 2θ (C 3θ 3l + 2l ) - C 2θ S 3θ 3l - 1l ) + d C β + r S β S α .
=YP ( S β C θ + C β C α S θ ) ( (C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ) (C 2θ (C 3θ 3l + 2l )-
S 2θ S 3θ l3) + 0l C ϕ ) + (- S β S θ + C β C α C θ )
(( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ ) (C 2θ (C 3θ 3l + 2l ) - S 2θ S 3θ 3l ) + 0l S ϕ ) –
C β S α (- S 2θ (C 3θ 3l + 2l )- C 2θ S 3θ 3l - 1l ) + d S β - r C β S α .
25
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
=ZP S α S θ ((C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ) (C 2θ ( C 3θ 3l + 2l ) - S 2θ S 3θ 3l ) + 0l C ϕ ) +
S α C θ (( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ ) (C 2θ (C 3θ 3l + 2l ) - S 2θ S 3θ 3l ) + 0l S ϕ ) +
C α ( - S 2θ ( C 3θ 3l + 2l ) - C 2θ S 3θ 3l - 1l ) + r C α + h .
2.2.8. Configuration d'une patte à partir du MGD
On va attribuer (Tableau II.4) aux paramètres géométriques du mécanisme et aux variables
articulaires ( 321 et , θθθ ) de la patte les valeurs numériques suivantes:
Valeurs des paramètres géométriques et variables articulaires
j jσ
jγ jb jα jd jθ jr
1 1 πβ −= 35=h 0=α 10=d 0=θ 0=r
2 0 2/πϕ = 0 0 35,25 == ba
220 bal +=
01.430 =l
01 =θ 0
3 0 0 51 −=− l
2/π− 0 02 =θ 0
4 0 0 0 0 202 =l 2/3 πθ = 0
5 0 0 0 0 303 =l 0 0
Tableau II.4 Valeurs attribuées aux paramètres du mécanisme
26
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
-10 -8 -6 -4 -2 0
-100
-50
00
10
20
30
40
X(cm)
MGD
Y(cm)
Z(cm
)
O5
O4O3
O1
O0O2
Figure II.8 schéma du MGD d'une patte pour 4/,0,0 321 πθθθ ===
-60 -40 -20 0 20 40 60 80-100
-50
0
50
100
0
10
20
30
40
Figure II.9 schéma du MGD de l'hexapode pour 2/,0,0 321 πθθθ ===
27
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
2.3.1. Modélisation Géométrique Inverse des robots
Le modèle géométrique direct d’un robot permet de calculer les coordonnées
opérationnelles qui donnent la situation de l’organe terminal en fonction des coordonnées
articulaires. Le problème inverse consiste à calculer les coordonnées articulaires
correspondant à une situation donnée de l’organe terminal (Figure II.10). Lorsqu’elle existe,
la forme explicite qui donne toutes les solutions possibles constitue ce que l’on appelle le
modèle géométrique inverse (MGI).
Figure II.10 définition du MGI
2.3.2. Calcul du modèle géométrique inverse par la méthode de Paul
La situation de l’organe terminal d’un robot manipulateur à n degrés de liberté est décrite par
le modèle géométrique direct qui a pour expression :
)(...)()( 122
111
00nn
nn qTqTqTT −= (II.10)
Cette même situation désirée sera notée par la matrice de transformation homogène 0U telle
que :
=
1000PansPansPans
UZZZZ
YYYY
XXXX
0 (II.11)
Organe terminal
0X 0Y
0Z
4X 4Y
4Z ),( AP
28
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
La résolution du système d’équations suivant :
)(...)()( 122
111
00 nn
n qTqTqTU −= (II.12)
nous donne le modèle géométrique inverse du robot.
Pour trouver les solutions de ce système, Paul a proposé une méthode qui consiste à
pré multiplier successivement les deux membres de l’équation (II.12) par les matrices jj T1−
pour j variant de 1 à 1−n , opérations qui permettent d’isoler et d’identifier l’une après
l’autre les variables articulaires que l’on cherche.
Pour un robot à six degrés de liberté par exemple, on procède comme suit :
- on multiplie à gauche l’expression (II.12) par 10T :
65
54
43
32
21
010 TTTTTUT = (II.13)
- par identification terme à terme des deux membres de l’équation (II.13), On se ramène
à un système d’équations type, fonction de 1q uniquement.
- ensuite on multiplie à gauche l’expression (II.13) par 12T et on calcule 2q ,
La succession des équations permettant le calcul de tous les iq est la suivante:
)()()()()(
)()()()()()()()()(
)()()()()()()()()()()()(
665
4545
665
554
3434
665
554
443
2323
665
554
443
332
1212
665
554
443
332
221
0101
665
554
443
332
221
110
0
qTUqTqTqTUqT
qTqTqTUqTqTqTqTqTUqT
qTqTqTqTqTUqTqTqTqTqTqTqTU
=
=
=
=
=
=
(II.14)
Avec : 4...,,0pour 16
11 === +++ jUTTU jj
jjj
29
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
2.3.3. Application de la méthode de Paul pour une patte
La variable articulaire correspondante à l’articulation rotoïde i est notée:
iiq θ= (II.15)
La situation du bout de la patte est décrite par la matrice de transformation 50T déjà calculée
par le modèle géométrique direct :
54
343
232
121
10
50 )()()( TTTTTT θθθ= (II.16)
La matrice 0U :
=
1000PansPansPans
UZZZZ
YYYY
XXXX
0 (II.17)
Le système d’équations qu’on doit résoudre est:
54
343
232
121
10
0 )()()( TTTTTU θθθ= (II.18)
Pour trouver les solutions l’équation (II.18), on doit prémultipluer successivement ses deux
membres par les matrices 1jjT −
pour j variant de 1 à 4, opérations qui permettent d’isoler et
d’identifier l’une après l’autre les variables articulaires que l’on cherche.
La succession des équations permettant le calcul de 321 et , θθθ :
54
3334
54
343
2223
54
343
232
1112
54
343
232
121
001
TU)(TT)(TU)(T
T)(T)(TU)(TT)(T)(T)(TUT
=
=
=
=
θ
θθ
θθθ
θθθ
(II.19)
avec : 3...,,0jUTTU jj1j
51j
1j === +++ pour .
30
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
2.3.3.1. Calcul de 1θ
En identifiant les éléments de la quatrième colonne de 2U avec ceux de la quatrième colonne
de la matrice 52T qui ont été déjà calculés par le modèle géométrique direct et en remarquant
que :
[ ] 04,252 =T (II.20)
et celui de 2U a pour valeur :
[ ]
10
11
112
))()())(((
))()())(((4,2
θθθαθαθαβθβθαβθβθϕθϕ
θθαθαθαβθβθαβθβθϕθϕ
SldSChSPCSPCCCSSPCCSSCSSCC
CdSShPSSPSCCCSPSCSCCCSSCU
ZYX
ZYX
++−++−+−−−+
−−+++−−−=
(II.21)
On pose :
θθαθαθαβθβθαβθβ CdSShPSSPSCCCSPSCSCCX ZYX −−+++−= )()()(1 (II.22)
et
θθαθαθαβθβθαβθβ SdCShPCSPCCCSSPCCSSCY ZYX +−++−+−−= )()()(1 (II.23)
ce qui donne :
ϕϕθ CYSXS 111 −= (II.24)
et 0111 lCXSYC +−−= ϕϕθ (II.25)
alors:
−=′=
πθθθθθ
11
111 ),(2 CSATAN (II.26)
Le nombre de solutions sur cet axe est : 2.
31
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
2.3.3.2. Calcul de 2θ et 3θ
En identifiant les éléments de la quatrième colonne de 3U avec ceux de la quatrième colonne
de la matrice 53T qui ont été déjà calculés par le modèle géométrique direct (MGD) et qui ont
pour valeurs :
[ ][ ]
=
+=
3353
23353
4,24,1
θ
θ
SlTlClT (II.27)
ceux de 3U valent
[ ]
.))()()(()))()())((()
)()())((((4,1
21210
11
1123
θαααβαβθθθθαθαθαβθβθαβθβθϕθϕθθα
θαθαβθβθαβθβθϕθϕθ
SlrChPCPSCPSSSClSdCShPCSPCCCSSPCCSSCSCCSdCSS
hPSSPSCCCSPSCSCCSSCCCU
ZYX
ZYX
ZYX
−−−+−−−+−++−+−−++−
−+++−−=(II-32)
[ ]
.))()()(()))()())((()
)()())((((4,2
21210
11
1123
θαααβαβθθθθαθαθαβθβθαβθβθϕθϕθθα
θαθαβθβθαβθβθϕθϕθ
ClrChPCPSCPSSCCldSCShPCSPCCCSSPCCSSCSCCSdCSS
hPSSPSCCCSPSCSCCSSCCSU
ZYX
ZYX
ZYX
−−−+−−−+−++−+−−++−
−+++−−−=(II-33)
en comparant d'une part : [ ] [ ]4,1 avec 4,1 353 UT ,
d’autre part : [ ] [ ]4,2 avec 4,2 353 UT ,
et en posant:
10
11
112
))()())((()
)()())(((
θθθαθαθαβθβθαβθβθϕθϕθθα
θαθαβθβθαβθβθϕθϕ
ClSdCShPCSPCCCSSPCCSSCSCCSdCSS
hPSSPSCCCSPSCSCCSSCCY
ZYX
ZYX
−+−++−+−−++−
−+++−−=(II-34)
et
rChPCPSCPSSX ZYX −−+−= αααβαβ )()()(2 (II.28)
on aura les 2 équations suivantes, à résoudre:
+−+=−++=−
22221233
2221233
)()(
lCYSlXClSYClXSlθθθθθθ
(II.29)
du type 6 tel que :
+−=++=
21
223
223
ZCYSXCWZSYCXSW
θθθθθθ
(II.30)
32
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
avec: 22123 l2Z01Z,YY,lXX,lW ===+=−= et
En élevant au carré et en faisant la somme de ces deux équations, on élimine les fonctions
trigonométriques en 3θ . On se ramène alors à une équation du type 2 de la forme :
321 22 BCBSB =+ θθ (II.31)
avec:
−−−−=
−=+=
22222 2Z1ZYXW3B)Y2ZX1Z(22B)X2ZY1Z(21B
alors :
22 132 θθ SBBCB −= (II.32)
expression que l’on élève au carré :
222
22
222
222 11323)1(22 θθθθ SBSBBBSBCB +−=−= (II.33)
et qu’on résout en 2θS , un raisonnement analogue conduit à une équation en 2θC .En fin on
obtient :
+−+−
=
+−++
=
22
222
2
22
222
2
21321132
21321231
BBBBBBBBC
BBBBBBBBS
εθ
εθ (II.34)
avec : 1±=ε , on obtient 2 combinaisons possibles de 2θS et 2θC , et on aura alors deux
solutions en 2θ :
),(2 222 θθθ CSATAN= (II.35)
Connaissant 2θ , on calcule 3θ à partir des 2 équations (II.30) du type 6, ce qui donne :
),(2 333 θθθ CSATAN= (II.36)
avec :
33
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
+−=
++=
WZCYSXC
WZSYCXS
2
1
223
223
θθθ
θθθ
(II.37)
Le nombre de solutions pour 3θ est égal à 1.
Le nombre total de solutions pour le modèle géométrique inverse est égal à quatre
( 4122 =×× ) : c’est à dire que le pied de la patte peut atteindre un point désiré de son
l’espace opérationnel atteignable par quatre configurations possibles de la patte.
2.3.4. Application du MGI pour une patte
La Figure II.11 montre la configuration qui permet d’atteindre le point désiré de l’espace
opérationnel )0P,0116.63P,10P( ZYX =−=−= .
-15
-10
-5
0 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10
0
5
10
15
20
25
30
35
Y(cm)
MGI
X(cm)
Z(cm
)
O0
O2
O3O4
O5
O1
Figure II.11 Convergence du MGI au point désiré
34
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
-20
-15
-10
-5
0 -50-40
-30-20
-100
10
0
10
20
30
40
Y(cm)
MGI
X(cm)
Z(cm
)
O2
O3
O1
O0
O4
O5
Figure II.12 Convergence du MGI en suivant un cercle horizontal
-15
-10
-5
0
5 -50-40
-30-20
-100
100
10
20
30
40
Y(cm)
MGI
X(cm)
Z(cm
)
O1
O2
O3
O4
O5
O0
Figure II.13 Convergence du MGI en suivant une droite
2.3.4.1. Application du MGI pour l'hexapode
Pour ramener le corps du robot à une position désirée, on doit assurer la concordance entre les
trois angles des six pattes du robot, on simule par exemple un mouvement de rotation autour
de l'axe vertical.
35
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
Figure II.14 Convergence du MGI pou une rotation autour de l'axe vertical
2.4. Modélisation cinématique des robots
Le modèle cinématique direct (Figure II.15) d’un robot décrit les vitesses des coordonnées
Opérationnelles en fonction des vitesses articulaires, il est noté :
q)q(JX = (II.38)
où )q(J désigne la matrice Jacobienne de dimension nm× du mécanisme qui est fonction
de la variable articulaire q .
Cette matrice est à la base du calcul du modèle cinématique, elle facilite aussi le calcul
des singularités et la dimension de l’espace opérationnel accessible du robot.
36
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
Figure II.15 définition du MCD
2.4.1. Calcul de la matrice Jacobienne de base
On calcule La ièmek colonne de la matrice Jacobienne, notée kni J ; , projetée dans le
repère iR par la formule :
n,...1k;n,...0ia
)nPsP(aJ
ki
k
ki
nxk
ki
nyk
kki
kk;n
i ==
+−+=
σ
σσ (II.39)
où :
• isk, ink et iak : sont respectivement le ème3et 2,1 èmeer vecteurs la matrice iAk ,
• ki A : matrice d’orientation de dimension )33( × du repère kR dans le repère iR
• kPnx et kPny : sont respectivement la èmeère 2et 1 composantes du vecteur nk P qui est la
quatrième colonne de nkT calculée précédemment par le modèle géométrique direct.
organe terminal
0X 0Y
0Z 1θ
3θ 4θ
2θ
nω
nV
37
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
2.4.2. MCD de la patte
Le calcul de la matrice jacobienne notée 52 J (projetée dans le repère 2R et de
dimensions )56( × ) est effectué en premier lieu pour tout le mécanisme comportant les cinq
articulations )et ,( 4321 θθθθθ , soit :
=
4
3
2
1
)5,6(52
)4,6(52
)3,6(52
)2,6(52
)1,6(52
)5,5(52
)4,5(52
)3,5(52
)2,5(52
)1,5(52
)5,4(52
)4,4(52
)3,4(52
)2,4(52
)1,4(52
)5,3(52
)4,3(52
)3,3(52
)2,3(52
)1,3(52
)5,2(52
)4,2(52
)3,2(52
)2,2(52
)1,2(52
)5,1(52
)4,1(52
)3,1(52
)2,1(52
)1,1(52
Z,52
Y,52
X,52
Z,52
Y,52
X,52
JJJJJ
JJJJJ
JJJJJ
JJJJJ
JJJJJ
JJJJJ
V
V
V
θ
θ
θ
θ
θ
ω
ω
ω
Comme les articulations 4θθ et sont inactives alors :
=
3
2
1
)4,6(52
)3,6(52
)2,6(52
)4,5(52
)3,5(52
)2,5(52
)4,4(52
)3,4(52
)2,4(52
)4,3(52
)3,3(52
)2,3(52
)4,2(52
)3,2(52
)2,2(52
)4,1(52
)3,1(52
)2,1(52
Z,52
Y,52
X,52
Z,52
Y,52
X,52
JJJ
JJJ
JJJ
JJJ
JJJ
JJJ
V
V
V
θ
θ
θ
ω
ω
ω
En séparant cette Jacobienne en deux sous matrices :
la 1ère en haut, carrée de dimensions )33( × , nous permet de calculer le vecteur vitesse de
translation 52V du pied de la patte dans le repère 2R :
=
=
3
2
1
)4,3(52
)3,3(52
)2,3(52
)4,2(52
)3,2(52
)2,2(52
)4,1(52
)3,1(52
)2,1(52
,52
,52
,52
52
θ
θ
θ
JJJ
JJJ
JJJ
V
V
V
V
Z
Y
X
Donc, la vitesse linéaire du pied de la patte est donnée par :
−−−+−
−−−−−=
32332322323323
22323323
33223322332233
52
CClSSllCCClSSl000lCSSlCCl
lCSClSlSlCSClS0VJ
θθθθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθ
38
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
la 2ère sous matrice de bas, carrée de dimensions )33( × , nous permet de calculer le
vecteur vitesse de rotation 52ω du pied de la patte dans le repère 2R :
=
=
)4,6(52
)3,6(52
)2,6(52
)4,5(52
)3,5(52
)2,5(52
)4,4(52
)3,4(52
)2,4(52
Z,52
Y,52
X,52
52
JJJ
JJJ
JJJ
J
ω
ω
ω
ω
Donc, la vitesse de rotation du pied de la patte est donnée par :
−−
=
=
3
2
1
Z,52
Y,52
X,52
52
1100023C0023S
θ
θ
θ
ω
ω
ω
ω
2.4.3. Le modèle cinématique inverse
Le modèle cinématique inverse (MCI) (Figure II.16) permet de calculer à partir d’une
configuration q donnée les vitesses articulaires q qui assurent au repère terminal une vitesse
opérationnelle X imposée, il est calculé par :
XJq 1−= (II.40)
Figure II.16 définition du MCI
−−−+−
−−−−−=
3
2
1
32332322323323
22323323
33223322332233
3
2
1
000
0
θ
θ
θ
θθθθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθ
CClSSllCCClSSllCSSlCCl
lCSClSlSlCSClS
XXX
organe terminal
0X 0Y
0Z
nω nV
39
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
Le calcul du modèle cinématique inverse revient à l’inversion de la matrice jacobienne
du robot. Dans le cas régulier où la matrice Jacobienne est carré d’ordre n et son déterminant
est non nul, son inversion est simple.
2.4.3.1. MCI de la patte
Pour cette patte, la matrice 52 J est carrée d’ordre3 , son inverse 1−J est calculé
directement, sa valeur est :
2.4.4. Détermination des Positions Singulières de la patte
Les Positions Singulières (Figure II.17) correspondent à l’équation :
0)( =Jdét
0)cossinsinsin)(cossinsincoscos()( 22
2333322
222323323 =−−+−−= lllllllJdét θθθθθθθθθ
Ceci nous donne les deux équations suivantes:
0sin 3 =θ
qui correspond à : ) II.17.b (Figure: tendu)(segment 0
) II.17.a (Figure: )segment lesur replié (segment
33
233
=±=
lll
θπθ
+++−−
+−
−+−
=−
332
22323323
332
22323323
32
3232
32
3232
22323323
1
0
0
010
θθθθθθ
θθθθθθ
θθθθθ
θθθθθ
θθθθθ
SlllSCSlSCl
SlllCSSlCCl
SlCSSC
SlSSCC
lCSSlCCl
J
40
Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode
a- segment 3l replié sur 2l b- segment 3l tendu
ou :
0cosl)cos(l 22323 =++ θθθ
cette position correspond à la situation du pied de la patte sur l’axe 2Z de la première
articulation (i-e : II.17.c Figure: 0et 0 == YX PP )
c- le pied de la patte sur l’axe Z
Figure II.17 les positions singulières de la patte
2.5. Conclusion
On a exposé dans ce chapitre :
• les méthodes de calcul du modèle géométrique direct et inverse des robots à
structure ouverte simple et arborescente et leur application à l'hexapode;
• les méthodes de détermination du modèle cinématique direct et inverse et leur
application à l'hexapode;
On va ensuite aborder l’étude des mouvements de marche l'hexapode.
-70-60-50-40-30-20-100100
5
10
15
20
25
30
35
-10-10
-10-10
-10-10
-60
-40
-20
029
30
31
32
33
34
35
θ3 =+-pi
θ1 =0
θ2 =0
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0
-100
-50
0
500
10
20
30
40
41
Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode
Chapitre III :
Génération de trajectoire de l'hexapode
42
Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode 3.1. Introduction
Pour un robot marcheur la génération d’un mouvement de marche consiste à calculer les
consignes de référence en position, vitesse et accélération qui sont fonction du temps et qui
assurent le passage des bouts des différentes pattes par des trajectoires imposées, définies
selon le mode de la marche du robot.
Comme le robot évolue dans l’espace opérationnel, sa génération mouvement sera
décrite dans cet espace (Figure III.1), ceci implique l’utilisation du MGI.
Figure III.1 Génération de mouvement de patte dans l’espace opérationnel
Dans ce chapitre on va définir le mode de marche utilisé pour l'hexapode et le cycle
de marche de l’une de ses pattes et on proposera une méthode de calcul de la génération de
trajectoire pour cette patte.
3.2. La marche des robots à pattes
3.2.1. La marche des hexapodes
Le type de marche observé chez certains insectes est le tripode alterné où l’on constate qu’à
chaque instant, les pattes alternent en phase de transfert et de support trois par trois (Figure
III.2 )
Figure III.2 Diagramme de la marche tripode alternée
trajectoire désirée : )t(X d
MGI
Génération de mouvement de la patte Asservissement
MGD
)t(dθ
iθ
fX
iX
+
43
Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode
3.2. 2. Le cycle de marche de chaque patte
Lors de la marche, le mouvement d’un pas de la patte est devisé en deux phases :
• celle de support (de durée c ), où la patte est en contact avec la sol, elle doit supporter
et propulser le corps du robot vers l’avant ;
• celle de transfert ( de durée τ ), où la patte est levée et se déplace en l’air pour passer
d’un pas au suivant.
la somme de ces deux temps constitue le cycle de le marche de la patte de durée : cT += τ .
Le facteur de service β , est défini comme la fraction du cycle durant laquelle la patte est dans
sa phase de support : T)1(Tc βτβ −== et
3.3. La méthode proposée pour générer le mouvement de la patte
Cette méthode est basée:
1. sur l’idée qu’un cycle de marche de la patte comporte deux phases qui se
succèdent :
• la phase d’appui : pendant laquelle le pied de la patte reste en contact avec le sol,
tandis que le centre de gravité )CG( du corps du robot se déplace
horizontalement suivant une courbe donnée )(xfy = ;
• phase de transfert : où le pied de la patte suit une trajectoire qui doit prendre en
compte les caractéristiques souhaitées pour les instants des levers et des posers. telles
que : souplesse des mouvements et minimisation des collisions avec le sol ,
accomplissement des parcours dans le temps imposé par l’allure exécutée, adaptation
aux variations du relief du terrain.
Une trajectoire qui respecte bien ces conditions est celle d’une cycloïde [MAR 1998].
Rappelons qu’une cycloïde (Figure III.3) est la courbe décrite par un point fixe de la
circonférence d’un cercle de rayon R qui roule sans glisser sur une droite.
Les équations des coordonnées X et Z de cette cycloïde en fonction de l’angle de roulement
α sont :
−=−=
)cos1(RZ)sin(RX
ααα
(III.1)
Sa hauteur maximale est R2 , la distance entre ses deux points consécutifs est R2π .
44
Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode
0 10 20 30 40 50 60-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
X(cm)
Z(cm
)
cycloide
Figure III.3 Une trajectoire cycloïde )X(fZ =
avec : πα 2:0,10R ==
2. et sur les transformations de mouvement relatif entre le centre de gravité )CG( du
corps du robot et le pied de sa patte.
Pour appliquer cette méthode on définit les paramètres (Tableau I-4) suivants :
Paramètre Désignation
b,a,l,l,l 321 paramètres géométriques de la patte
1R repère lié à CG , sa situation est calculée par rapport au repère de
base 0R en utilisant la transformation homogène 10T
0λ course de la phase de support
[ ]T321 PPPP = vecteur des coordonnées du pied de la patte par rapport au repère 1R
[ ]TPPPPPPPP 321= vecteur des coordonnées du pied de la patte par rapport au repère 0R
0PP point de début de la cycloïde, référencié par rapport au repère 0R
PPn point final de la cycloïde, référencié par rapport au repère 0R
00λ l’enjambée de cycloïde de la cycloïde mesurée dans le plan XOY
n période d’un cycle de marche Tn =
s index simple s qui parcourt l’intervalle n et sépare les deux phases en
la valeur 2n
Tableau III.1 définition des paramètres de la génération mouvement de la patte
45
Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode
Figure III.4 Schéma de la génération de marche de la patte
3.4. Les étapes de la génération de mouvement
Pour générer un pas de marche de la patte on doit assurer la concordance entre le mouvement
du pied de la patte et celui du centre de gravité du corps du robot, alors on a procédé par :
1. définir les paramètres géométriques de la patte b,a,l,l,l 321 ;
2. initialiser une position quelconque de la patte par rapport à son support ( 0R )
0R
1R 1θ
3θ
1l
3l
2l
β
ϕ
Z
a
b
0l
α
dX =
CG
P
PP
0PP
nPP
translation du CG
cycloïde
00λ
0λ
hZ =
2θ
46
Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode
3. déterminer l’équation du mouvement r,,d,,h,,Z,Y,X αθβ du centre de gravité du
robot (origine de 1R ) dans le repère 0R , c’est en fait la transformation homogène 10T
qui permet de situer 1R par rapport à 0R ;
4. séparer les deux phases d’un pas de marche de telle sorte que la phase de transfert
commence quant se termine celle d’appui, cette séparation est assurée grâce à la
division de l’intervalle n en deux moitiés 2n et on utilise une variable de test s qui est
comparée avec la valeur 2n , et on définit alors le mouvement effectué pendant chaque
phase:
4.1 on propose une translation qui fait déplacer l’origineCG du repère 1R d’une distance
0λ donnée, ce qui revient à reculer le point [ ]TPPPP 321= de la même distance
4.2 puis une cycloïde ( avanced' calculéssont et paramètres lesdont 00n0 PP,PP λ ) que doit
suivre le pied de la patte .Quand s dépasse la valeur2n , commence la deuxième phase de la
marche qui consiste à calculer les points intermédiaires appartenant à la cycloïde et que doit
suivre le pied de la patte (l’origine 1R devra rester immobile). Ce calcul est fait par rapport au
repère 0R de la manière suivante :
Pour trouver l’équation de la cycloïde correspondante à notre cas, on introduit les
paramètres du tableau ci-dessus :
=−
=
=−==
=
tn
4tT)1(
2
nT,2nst,
212
R 00
πβπα
β
πλ
(III.2)
avec
R : le rayon de la circonférence,
t : variable temps de la phase de transfert,
T : la période d’un pas de marche.
l’équation de la cycloïde dans le plan de la marche s’écrit :
47
Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode
−=
−=
)tn
4cos(12
k)t(Z
)tn
4sin(tn
42
)t(X
00
00
ππ
λ
πππ
λ
λ
λ
(III.3)
avec : 1k ≤ : facteur de correction de la hauteur de la cycloïde.
Cette trajectoire (Figure III.4) conserve les propriétés de continuité de la cycloïde.
avec : 5.0ket1k,cm5,s5:0t,s10Tn 00 ====== λ
Figure III.5 trajectoire cycloïde dans le plan de la marche
On doit calculer à chaque fois la position relative du pied de la patte par rapport au repère 1R
grâce à 01T . , en fin le cycle de marche se termine quand s atteint la valeur de n .
5. transformer les positions obtenues pendant les deux phases par rapport au repère de
base 0R .
6. utiliser le MGI pour tracer les courbes de variation des angles 321 et , θθθ pour un pas
de marche.
7. dessiner à chaque fois la configuration correspondante de la patte.
Cette étude de mouvement nous a fourni les résultats suivants :
48
Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode
1. sur la Figure III.5 les différentes configurations de la patte qui effectue un pas de
marche ;
9.510
10.511
11.512
12.5
010
2030
4050
0
10
20
30
40patte en l'air
patte en contact
Figure III.6 la patte qui exécute un pas de marche
2. sur la Figure III.6 les valeurs des angles 321 , θθθ et correspondants et les
coordonnées X,Y et Z .
0 5 10-20
0
20
40
60
80
100
s
θ(de
g)
Variation des angles
0 5 100
5
10
15
20
25
30
35
s
coor
donn
ées(
cm)
Position du CG
θ3
θ1
θ2
X
Y
Z
Figure III.7 les angles et la position du CG correspondent à un pas marche
49
Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode
3. le robot hexapode qui suit une droit e( Figure III.7)
-60 -40 -20 0 20 40 60 80-100
-50
0
50
100
150
-10
0
10
20
30
40
Figure III.8 Simulation de la marche de l'hexapode
50
Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode
4. sur la (Figure III.9) les valeurs des angles 321 , θθθ et correspondants
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
angl
es(d
eg)
Variation des angles
theta 1
theta 2
theta 3
Figure III.9 Variation des angles
3.5. Conclusion
Ce chapitre nous a permis d’étudier la marche tripode alternée de l'hexapode à
partir de la marche cyclique d'une patte et d’obtenir trajectoires articulations conséquentes.
Cette trajectoire de référence sera utilisée s pour la détermination des valeurs des couples
moteurs engendrés pendant la marche, ceci constitue l’étude dynamique de la patte, objectif
du prochain chapitre.
51
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode
Chapitre IV :
Modélisation dynamique de
l'hexapode
52
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode 4.1. Introduction
Le modèle dynamique de l'hexapode permet de déterminer les équations du
mouvement, c'est-à-dire : la relation entre les couples appliqués aux trois actionneurs
et les positions, vitesses et accélérations articulaires.
En représente ce modèle dynamique par une relation de la forme :
),,,( efqqqf =Γ (IV.1)
avec :
Γ : vecteur des couples/forces des actionneurs, selon que l'articulation est rotoïde
ou prismatique. Dans la suite, on écrira tout simplement couples ;
q : vecteur des positions articulaires ;
q : vecteur des vitesses articulaires ;
q : vecteur des accélérations articulaires ;
ef : vecteur représentant l’effort extérieur qu’exerce le sol sur le pied de la patte.
Après avoir obtenu ce modèle dynamique de la patte, il sera utilisé pour la commande
de cette dernière à suivre une trajectoire de marche désirée.
Les principales notations utilisées sont les suivantes :
- aj vecteur unitaire suivant l'axe zj ;
- Fj résultante des forces extérieures sur le corps Cj ;
- fj résultante du torseur dynamique exercé sur le corps Cj par le corps
Cj-1 ;
- fej résultante du torseur dynamique exercé par le corps Cj sur
l'environnement ;
- Fsj paramètre de frottement sec de l'articulation j ;
- Fvj paramètre de frottement visqueux de l'articulation j ;
- g accélération de la pesanteur ;
- Gj centre de gravité du corps Cj ;
- IGj matrice d'inertie du corps Cj par rapport à un repère parallèle à Rj et
53
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode
d'origine Gj ;
- Iaj moment d'inertie du rotor de l'actionneur j et de son réducteur ressenti
par l'articulation ;
- jJj matrice d'inertie du corps Cj par rapport au repère Rj, qui s'exprime
par :
jJj=
=
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
jZZjj
jjj
jjj
YZXZYZYYXYXZXYXX
y2)dm+(x2yzdm-xzdm-yzdm-z2)dm+(x2xydm-xzdm-xydm-z2)dm+(y2
(IV.2)
- Lj vecteur liant l'origine du repère Rj-1, antécédent du repère Rj, et l'origine du
repère Rj, égal à Oj-1Oj ;
- Mj masse du corps Cj ;
- MSj premier moment d'inertie du corps Cj autour de l'origine du repère Rj, égal à
Mj Sj. Soit : [MXj MYj MZj]T les composantes de jMSj ;
- MGj moment des efforts extérieurs exercés sur le corps Cj autour de Gj ;
- Mj moment des efforts extérieurs exercés sur le corps Cj autour de Oj ;
- mj moment du torseur dynamique autour de Oj exercé sur le corps Cj par le corps
Cj-1;
- mej moment du torseur dynamique exercé par le corps Cj sur l'environnement
autour de Oj ;
- Sj vecteur ayant pour origine Oj et pour extrémité le centre de masse du corps Cj.
Il est égal à OjGj ;
- Vj vitesse du point Oj ;
- �̇�𝐕Rj accélération du point Oj ;
- VGj vitesse du centre de gravité du corps Cj ;
- �̇�𝐕RGj accélération du centre de gravité du corps Cj ;
- jω vitesse de rotation du corps Cj ;
- jω accélération de rotation du corps Cj.
54
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode 4.2. Formalismes de Calcul du Modèle Dynamique
Les deux formalismes les plus souvent utilisés pour obtenir le modèle dynamique
Inverse des robots sont :
• le formalisme de Lagrange ;
• le formalisme de Newton-Euler.
4.2.1. Le formalisme de Lagrange
Le formalisme de Lagrange décrit les équations du mouvement en terme de
travail et d’énergie du système, ce qui se traduit par, lorsque l’effort extérieur sur
l’organe terminal est supposé nul , par l’équation suivante :
niqL
qL
dtd
iii ...,1=
∂∂
−∂∂
=Γ
(IV.3)
où :
L : Lagrangien du système égal à : UE − ;
E : énergie cinétique totale du système ;
U : énergie potentielle totale du système.
L’énergie cinétique du système est une fonction quadratique des vitesses articulaires :
qAqE T 21
= (IV.4)
L’énergie potentielle étant fonction des variables articulaires q.
Ce couple Γ peut se mettre sous la forme :
).(),()( qQqqqCqqA ++=Γ (IV.5)
où :
• A : est la matrice )nn( × d’inertie du robot qui est symétrique et définie
positive, d’élément générique ijA qui sont fonction des variables
articulaires q . Pour les calculer, on procède comme suit :
- l’élément iiA est égal au coefficient de )2( 2iq dans l’expression de
l’énergie cinétique ;
55
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode
- l’élément ijA , si ji ≠ est égal au coefficient de ji qq .
• qqqC ),( : vecteur de dimension (n×1) représentant les couples/forces de
Coriolis et des forces centrifuges, tel que :
qEqAqC
∂∂
−= )( (IV.6)
- On calcule ses éléments à partir du symbole de Christophell, noté jk,ic tel
que :
∂
∂−
∂∂
+∂
∂=
= ∑=
i
jk
j
ik
k
ijjki
n
kkjkiij
qA
qA
qA
c
qcC
21
,
1,
(IV.7)
• [ ] :...1Τ= nQQQ vecteur des couples/forces de gravité.
- Les éléments du vecteur Q se calculent par :
ii q
UQ∂∂
= (IV.8)
Les éléments de A, C et Q sont fonction des paramètres géométriques et
inertiels du mécanisme. Les équations dynamiques d'un système mécanique articulé
forment donc un système de n équations différentielles du second ordre, couplées et
non linéaires.
4.2.1.1. Calcul de l’énergie cinétique
L’énergie cinétique totale du système est donnée par la relation :
∑
=
=n
jjEE
1 (IV.10)
où :
- jE désigne l’énergie cinétique du corps jC , qui s’exprime par :
)I(
21
jG GjT
GjjjTjj VVME += ωω (IV.11)
56
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode Etant donné que (Figure IV.1) :
jj
jGj SVV ∧+= ω (IV.12)
et sachant que :
jjjGj SSMIJj
ˆˆ−= (IV.13)
La relation (IV.12) devient :
[ ])(221
jjjT
JjjT
jjjjTjj VMSVVMJE ωωω ∧++= (IV.14)
Figure IV.1 Composition des vitesses
Le calcul de jj
jj Vetω se fait par les équations de composition de vitesses
(Figure IV.1):
jj
jjjj
jj
jjjj
jj
jj qqA aa
111
1 σωσωω +=+=−−
−− (IV.15)
Et
jj
jjjj
jj
jj
jj
ji qPVAV a)( 1
11
11
1 σω +∧+= −−
−−
−− (IV.16)
4.2.2. Le formalisme de Newton-Euler
Les équations de Newton-Euler expriment le tenseur dynamique en Cj des efforts
extérieurs sur un corps j par les équations :
0z
0y
0x
1−jz
1−jy
1−jx jz
jy
jx
0O
jO
1jO −
jG
Sj
Lj
jC
57
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode
(IV.17)
(IV.18)
Le calcul du modèle dynamique des robots fondé sur une double récurrence.
• La récurrence avant, de la base du robot vers l’effecteur, calcule
successivement les vitesses et accélérations des corps, puis leur torseur
dynamique;
• Une récurrence arrière, de l'effecteur vers la base, permet le calcul des
couples des actionneurs exprimant pour chaque corps le bilan des éfforts.
4.2.2.1. Équations de Newton-Euler linéaires par rapport aux paramètres
inertiels
Les équations de Newton-Euler s’écrivent :
(IV.19)
(IV.20)
En utilisant les notations des torseurs, on obtient :
(IV.21)
Avec :Fj =�𝐹𝐹𝑗𝑗𝑀𝑀𝑗𝑗� , 𝑉𝑉 ̇ = ��̇�𝑉
�̇�𝜔� (IV.22)
i) Récurrence avant :
elle permet de calculer Fj et Mj à partir des relations (IV.21) et (IV.22). Pour
ce faire, il calculer ωj , �̇�𝜔 Rj et �̇�𝑉 Rj.Les formules de composition des vitesses donnent :
(IV.23)
jjj GVMF =
)I(IM Gj jGjGj jj ωωω ∧+=
( )jjjjj MSMS ∧∧+∧+= ωωωjjj VMF
( ) jjjjj VMSJ ∧+∧+= ωωω jjj JM
( )( )
∧
∧∧+=
jj
jjjjj J
MSVJ
ωωωω
jF
j1jj ajj qσωω +=−
58
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode
(IV.24)
La dérivée de l’équation (IV.23) par apport au temps s’écrit :
(IV.25)
En procédant de même avec l’équation (IV.24), on obtient :
(IV.26)
Ce qui donne :
(IV.27)
On peut finalement calculer 𝐹𝐹𝑗𝑗 et 𝑀𝑀𝑗𝑗 grâce aux relations (IV.19) et (IV.20).On
initialise cette récurrence par 𝜔𝜔0=0, �̇�𝜔 R0=0 et �̇�𝑉 R0=0.
ii) Récurrence arrière : Les équations composant la récurrence arrière sont obtenues à
partir du bilan des efforts sur chaque corps, écrit à l’origine Oj. On obtient
(Figure((() :
(IV.28)
(IV.29)
jj11jj aL jjj qVV σω ∧+= −−
)aa( j1j1jj jjjj qq ∧++= −−ωσωω
)aa()aL(L j1jjj11j11jj jjjjjjjjj qqqVV ∧+++∧∧+∧+= −−−−−ωσσωωω
)a2a()L(L j1jj11j11jj jjjjjjj qqVV ∧++∧∧+∧+= −−−−−ωσωωω
ejjj gM fffF 1jj −+−= +
ejjjjjj mgMSLm −∧+∧−−= +−+ 111jj fmM
59
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode
Figure IV.2 Bilan des efforts au centre de gravité
On peut faire intervenir l’effet de la gravité sans avoir à la prendre en compte dans
le bilan des efforts. Pour cela, on prend :
�̇�𝑉 R0=-g
D’où l’on tire les équations suivantes :
(IV.30)
(IV.31)
Récurrence initialisée par les efforts fn+1 =0 et mn+1 =0.
On obtient alors les couples aux actionneurs jΓ en projetant, suivant la nature de
l’articulation j , les vecteurs fj au mj sur l’axe du mouvement. On ajoute les termes
correctifs représentant l’effet des frottements et des inerties des actionneurs. Ce
donne :
( ) ( ) jjVjjSjT
jjjjj qIqFqsignFm jj aaf ++++=Γ σσ (IV.32)
ejj ffFf 1jj ++= +
ejjjj mLm +∧++= +++ 111jj fMm
60
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode 4.2.2.2. Forme pratique des équations de Newton-Euler
les équations de récurrence avant deviennent, pour j=1,......n :
(IV.33)
(IV.34)
(IV.34)
(IV.36)
(IV.37)
(IV.38)
Avec 𝜔𝜔0=0 ,�̇�𝜔 R0=0 et �̇�𝑉 R0= -g et :
(IV.39)
−−
−
=0
00
ˆ
xy
xz
yz
ωωωω
ωω
ω
et
−−
−
=0
00
ˆ
xy
xz
yz
ωωωω
ωω
ω
(IV.40)
Pour la récurrence arrière lorsque j= , ........1 :
(IV.41)
(IV.42)
1-j1
1j1j A ωω −−−
= jjj
jj
1-jj ajjjj qσωω +=
)aa( jj
1jj
11
1-jj jjj
jjjjjj qqA ∧++= −−− ωσωω
)a2a()( jj
1jj1
11
11
1-jj jjj
jjjj
jj
jjjj qqPUVAV ∧++++= −
−−
−−
− ωσ
jj
jj
jj
jj MSUVMF += −
−1
1j
jj
jj
jj
jj
jj
jj
jjj VMSJJM ∧+∧+= )(j ωωω
ejj
jjj ffFf 1jj
j ++= +
j1
j1-j ff j
jj A += −
jj
jj
jjjU ωωω ˆˆˆ
j +=
61
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode
(IV.43)
(IV.44)
4.2.2.3. Résultat de la modélisation dynamique
4.2.2.3.1. Application du formalisme de Lagrange
On prend les données suivantes :
les Longueurs : l1, l2 ,l3, les masses mj ;
Matrices d'inertie :
Tenseur d’inertie :
• on calcule la valeur de l'énergie cinétique :
:= MS ,1 1
, ,0 0 −
m1 L12 := MS ,2 2
, ,m2 L2
2 0 0 := MS ,3 3
, ,m3 L3
2 0 0
:= J ,1 1
XX1 0 0
0 YY1 0
0 0 ZZ1
:= J ,2 2
XX2 0 0
0 YY2 0
0 0 ZZ2
:= J ,3 3
XX3 0 0
0 YY3 0
0 0 ZZ3
:= E112 qp1
2 ZZ1
:= E2 + + 12 S22 qp1
2 XX212 C22 qp1
2 YY212 qp2
2 ZZ2
E312 ( )− − C3 S2 qp1 S3 C2 qp1
2 XX312 ( ) − S3 S2 qp1 C3 C2 qp1
2 YY3 + :=
12 ( ) + qp2 qp3
2 ZZ312 m3 ( ) + + S32 qp2
2 L22 C32 qp22 L22 C22 qp1
2 L22 + +
12 m3 L3 C2 qp1 L2 ( ) − S3 S2 qp1 C3 C2 qp1
12 m3 L3 C3 qp2 L2 ( ) + qp2 qp3 − +
ejj
jj
jj
jj
jjj mPmA +∧++= +++
++ 111
11jj
j fMm
( ) ( ) qIqFqsignFm jVjjSjT
jjjjj jj aaf ++++=Γ σσ
62
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode
• on en déduit la valeur des éléments ijA de la matrice d’inertie A
4.2.2.3.2. Application du formalisme de Newton Euler
• On prend les données suivantes :
Paramètres Valeurs numériques Géométriques
30,25,10,20,61,25
,0,,0,35,2
,
3210
22
=======
=+====−=
lllalba
ryxdh απϕπβ
Inertiels
81.9,1,1,1,1,1,1
1,1.,1,1,1,1.0
333
222
111
321
==========
===
gZZYYXXZZYYXXZZYYXX
mmm
Frottements 00
321
321
======
vvv
sss
FFFFFF
Efforts de Contact Patte/Sol
0,0,0
,10,5.0,5.0
43
43
43
43
43
43
===
===
zyx
zyx
mmm
fff
Trajectoires désirées -
-theta1=g1*sin(2*pi*t/T);
- - theta2=g2*sin(2*pi*t/T);
-
- theta3=g3*sin(2*pi*t/T); g1=0.25, g1=0.5, g1=0.5, T=20.
E 12 qp1
2 ZZ112 S22 qp1
2 XX212 C22 qp1
2 YY212 qp2
2 ZZ2 + + + :=
12 ( )− − C3 S2 qp1 S3 C2 qp1
2 XX312 ( ) − S3 S2 qp1 C3 C2 qp1
2 YY3 + +
12 ( ) + qp2 qp3
2 ZZ312 m3 ( ) + + S32 qp2
2 L22 C32 qp22 L22 C22 qp1
2 L22 + +
12 m3 L3 C2 qp1 L2 ( ) − S3 S2 qp1 C3 C2 qp1
12 m3 L3 C3 qp2 L2 ( ) + qp2 qp3 − +
A11 Ia1 ZZ1 S22 XX2 C22 YY2 C3 S2 XX3 S3 C2 XX3 ( ) − S3 S2 C3 C2 2 YY3 + + + − − + :=
M3 C22 L22 m3 L3 C2 L2 ( ) − S3 S2 C3 C2 + −
= A22 + + + + + Ia2 ZZ2 ZZ3 M3 S32 L22 M3 C32 L22 m3 L3 C3 L2
= A33 + Ia3 ZZ3
:= A12 0
:= A13 0
= A23 + ZZ3m3 L3 C3 L2
2
63
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode
• on obtient les couples moteurs (Figure IV.3)
Figure IV.3 Valeurs des couples
• Avec des accélérations nulles, on aura les valeurs des couples H (H=C+Q)
(Figure IV.4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
t(s)
Gam
ma
(N.c
m)
Valeurs des couples
Gammma 3
Gammma 2
Gammma 1
64
Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode
Figure IV.4 Valeurs des couples
4.3. Conclusion:
Nous avons présenté dans ce chapitre les deux formalismes du calcul du
modèle dynamique : le premier de Lagrange et le deuxième de Newton Euler. La
matrice d'inertie A est calculée par la formalisme de Lagrange alors que le vecteur H
est calculé par la double récurrence de Newton Euler.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100Vleurs de H (accélérations=0)
t(s)
H (N
.cm
)
H1
H3
H2
65
Chapitre V. Conception du l’hexapode
Chapitre V :
Conception du l’hexapode
66
Chapitre V. Conception du l’hexapode 5.1 Introduction En se basant sur la chaine cinématique choisie pour une patte et sur les dimensions du
corps du robot on veut faire une conception qui soit compatible avec la réalité. Alors on
commence par le choix des trois moteurs à partir du site internet de la société Maxon motor
[12].
5.2. Moteurs choisis
La configuration on line d’un moteur plus un réducteur nous donne :
Figure V.1 Moteur (plus réducteur) choisi
5.3. La conception proposée pour une patte La conception dune patte est la suivante
Figure V.2 Modèle CAO d’une patte
67
Chapitre V. Conception du l’hexapode 5.4. La conception proposée pour le corps La conception du corps est la suivante :
Figure V.3 Modèle CAO du corps
5.5. La conception proposée pour le robot entier La conception du robot est la suivante :
Figure V.4 Modèle CAO de l’hexapode
68
Chapitre V. Conception du l’hexapode 5.6. Conclusion A Partir de la chaine cinématique étudiée et des moteurs disponibles, on a pu proposer une
conception pou ce robot hexapode.
69
Conclusion générale Conclusion générale A partir du sujet qui m’a été attribuée, Jai commencé le premier chapitre par une étude bibliographique sur les robots mobiles d’une façon générale et je me suis intéressée aux hexapodes du point de vue :
• Utilisation en terrains inaccessibles : milieux hostiles ; • Des différentes réalisations : il existe plusieurs laboratoires travaillant sur ces robots ; • Des différentes chaines cinématiques : il existe plusieurs chaines cinématiques pour
les pattes et les corps de ces robots ; • Des modes de marche de ces robots : ou le mode tripode alterné qui est le plus utilisé.
Ensuite on a entamé au deuxième chapitre la partie modélisation géométrique et cinématique de l’hexapode :
• à partir du choix d’une chaine cinématique pou une patte ; • sa modélisation géométrique directe par la méthode de khalil-kleinfiger • sa modélisation géométrique directe inverse par la méthode de Paul • sa modélisation cinématique par le calcul de la matrice jacobienne de base
pour une patte ; • et la généralisation de cette modélisation pour le robot entier.
Le troisième chapitre est consacré à la génération de la trajectoire de marche de l’hexapode, là ou on a simulé le mode tripode alterné pour le déplacement de ce robot. Cet approche est basée sur :
• Le mouvement cyclique d’une patte qui se compose de deux phases : support et appui ;
• Sur la coordination des mouvements des six pattes en alternance ; • Et sur les mouvements relatifs entre les bouts des pattes, et le centre de gravité
du corps par rapport au repère de base.
Dans le chapitre quatre on à présenté la théorie du calcul du modèle dynamique des robots par les deux formalismes :
• de Lagrange pour calculer la valeur de la matrice d’inertie du robot ; • et de Newton Euler pour calculer les valeurs des couples moteurs d’une façon
implicite par la double récurrence.
Un modèle CAO de cet hexapode est proposé au chapitre cinq à partir de :
• la chaine cinématique de l’hexapode et • de la configuration on line aboutissant au choix des trois moteurs.
Les perspectives restantes ouvertes pour ce travail peuvent concerner la réalisation d’un hexapode et l’implémentation des lois de commande pour simuler sa marche réelle.
70
Recherche bibliographie
[1] Richard Gray, «Mechanical stick insect scales obstacles-and could be used to explore alien planets », maileonline, 2014.
[2] Robotics To day, «robot development and those who make it happen», instit de Automatic a industrial, 2004.
[3] Darren Quick, «Insespired Hector walking robot», university of Bielefeld, 2011.
[4] B.A, «pet robot Assisting in space»,Tel-aviv university,2015.
[5] site web:www.electronique.com
[6] IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS—PART B: CYBERNETICS, VOL. 28, NO. 1, FEBRUARY 1998.
[7] Estremera,J.A cobano and P.Gonzalez de santos , «Hexapode robots on a natural terrain»,institute of industrial Automation,Madrid,spain, 2009.
[8] Chadi Soheyb & Filali Hamza«Calcul dynamique et conception d’un robot marcheur hexapode », Mémoire de master, Université de Oum EL Bouaghi, Algérie2014.
[9] Boukesmir yazid & Dib farouk « Modélisation d’un robot marcheur hexapode », Mémoire de master, Université de Oum EL Bouaghi, Algérie2013.
[10] Richard Gray, «the visual sevo path traking and obstacle avoidance for the Hexapod robot», Electrical engineering department,tatung university , 2015.
[11] W.Khalil et E. Dombre. Modélisation Identification et Commande des robots. édition, Hermès Science Publications, Paris, 1999.
[12] www.moxonmotor.com
Résumé Ce présent travail concerne la modélisation et la conception d’un robot marcheur hexapode. Jai commencé le premier chapitre par une étude bibliographique sur les robots mobiles d’une façon générale et je me suis intéressée aux hexapodes. Ensuite on a entamé au deuxième chapitre la partie modélisation géométrique et cinématique de l’hexapode.
Le troisième chapitre est consacré à la génération de la trajectoire de marche de l’hexapode, là ou on a simulé le mode tripode alterné pour le déplacement de ce robot.
Dans le chapitre quatre on à présenté la théorie du calcul du modèle dynamique des robots par les deux formalismes de Lagrange et de Newton Euler.
Un modèle CAO de cet hexapode est proposé au chapitre cinq à partir de sa chaine cinématique et des trois moteurs choisis.