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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (2), 265-280 265

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA

CONCEPCIONES Y CREENCIASDE LOS PROFESORES UNIVERSITARIOSDE MATEMÁTICAS ACERCA DE LA ENSEÑANZADE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES*

MORENO MORENO, MAR1 y AZCÁRATE GIMÉNEZ, CARMEN2

1 Departament de Matemàtiques. Universitat de [email protected]

2 Departament de Didàctica de les Matemàtiques. Universitat Autònoma de [email protected]

Resumen. La investigación que aquí presentamos es una aproximación a las concepciones y creencias de los profesores universitariosde matemáticas acerca de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales en estudios científico-experimentales. A parte de los intentos porcaracterizar a cada profesor en términos de sus concepciones y creencias, y de establecer el nivel de coherencia y consistencia de éstas,a partir de los resultados del análisis se explica la persistencia de la utilización de métodos tradicionales de enseñanza. Las diferenciasy similitudes entre las concepciones y creencias de cada profesor, y el nivel de coherencia demostrado nos han permitido establecer tresgrupos de profesores, a los que hemos denominado I, II y III.Palabras clave. Análisis, educación matemática, enseñanza, formación del profesorado de matemáticas, pensamiento matemáticoavanzado.

Summary. This research is an approach to the conceptions and beliefs of mathematics university professors related to the teaching ofdifferential equations in scientific-experimental studies. Besides an attempt to characterize each professor as per their conceptions andbeliefs and to establish how coherent they are, the results of the analysis show the continuity of traditional teaching methods. Thedifferences and similarities in each professor’s conceptions and beliefs and their level of coherence have prompted us to establish threegroups of professors, that we have labelled I, II and III.Keywords. Analysis, mathematics education, teaching, mathematics teachers training, advanced mathematical thinking.

INTRODUCCIÓN

La investigación que aquí presentamos es una reflexiónsobre la enseñanza de las ecuaciones diferenciales en fa-cultades de ciencias experimentales como son química,biología y veterinaria y, en particular, es un estudio de lasconcepciones y creencias del profesorado universitario dematemáticas sobre las ecuaciones diferenciales y su ense-ñanza y aprendizaje.

Las necesidades en la sociedad actual, de personas máscompetitivas en sus trabajos, más cualificadas y versátiles,capaces de especializarse durante toda la vida, obliga tan-to a profesores como a la propia universidad a redefinir

sus metas. Además, la universidad debería potenciar la for-mación profesional del docente universitario equilibrandomás los tres ámbitos de responsabilidad que éste puedeasumir: investigación, docencia y gestión.

Cualquier intento de análisis y reflexión sobre este temadebe partir de hechos y realidades constatables como ta-les: asignaturas cuatrimestrales, menor duración de los es-tudios y menor período de aprendizaje, masificación delas aulas, limitaciones económicas, desmotivación de losestudiantes, precario nivel económico, etc. Las consecuen-cias más directas sobre la enseñanza suelen traducirse en


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que el profesor tiende a mantenerse en su papel tradicional–desde el punto de vista metodológico la clase magistralsigue siendo el principal medio de enseñanza– y se poten-cian los aprendizajes memorísticos y mecanicistas aleja-dos del deseado aprendizaje significativo.

El hecho de que la realidad de las aulas de matemáticas enla mayoría de las universidades se incline por una ense-ñanza de carácter normativo, en la que el profesor consi-dera que el estudiante aprende por imitación, que es asi-mismo un receptor pasivo del discurso del docente, y queen ningún momento el propio profesor pueda ni siquieraplantearse que en una misma clase puede haber estudian-tes con diferentes estilos de aprendizaje, susceptibles deser motivados si la enseñanza se orientara a sus cualidadesespecíficas de aprendizaje, nos obliga a pensar en la nece-sidad de que el profesor de matemáticas universitario cam-bie su papel y reflexione, tanto en el ámbito personal comoen el departamental e institucional, acerca de la problemá-tica actual de la docencia universitaria.

Teniendo en cuenta todos estos condicionantes y limita-ciones, desde nuestro punto de vista, pensamos que un pri-mer paso en la reflexión y análisis de la problemática uni-versitaria debe partir del profesor y, en particular, se debeconceder especial importancia al estudio, análisis e inter-pretación de las concepciones y creencias de los profeso-res universitarios de matemáticas y determinar en quémedida éstas influyen en su práctica docente.

Los antecedentes del estudio hay que situarlos en una pri-mera indagación sobre la problemática de la enseñanza delas matemáticas en facultades de ciencias experimentales,realizado en el año 1994. Con posterioridad, en el año 1995,y a partir de las intuiciones y evidencias del estudio preli-minar, se realizó un nuevo trabajo cuyo objetivo principalera analizar las concepciones de los profesores sobre laenseñanza de las ecuaciones diferenciales. Una de las apor-taciones más interesantes de este trabajo fue la caracteri-zación de los profesores participantes en la investigaciónen tres estilos docentes, a los que denominamos, atendien-do a los resultados del análisis de datos, como: estilo tra-dicional, estilo transitorio y estilo avanzado.

Esta nueva investigación, si bien en sus inicios tiene pun-tos de encuentro con el trabajo de tesis de maestría queacabamos de describir (Moreno, 1995), a medida que sedesarrolla y se profundiza, se observa que las preocupa-ciones y objetivos surgidos del estudio y la reflexión, queen sí mismos ya podrían ser un buen motivo de investiga-ción, superan el inicial de la mera caracterización delos profesores; además, se interpretan los resultados delas nuevas caracterizaciones obtenidas para establecerconexiones entre el plano de los pensamientos y el delas acciones, donde se concreta la práctica docente decada profesor.

Los objetivos de investigación los clasificamos en dos ti-pos (didácticos y metodológicos), si bien en este artículonos centramos exclusivamente en los de carácter didácti-co, que se concretan como siguen:

En un nivel de análisis general:

• Determinar las características más relevantes de la ense-ñanza actual de las ecuaciones diferenciales a estudiantesde química, biología y veterinaria.

• Explicar la persistencia de métodos de enseñanza tradi-cionales de las ecuaciones diferenciales, que potencian elenfoque algebraico sobre el gráfico y el numérico, y favo-recen el carácter mecánico e instrumental.

En un nivel de análisis particular:

• Caracterizar a los profesores de matemáticas universita-rios en función de sus creencias sobre la enseñanza y elaprendizaje, y sus concepciones sobre las matemáticas y,en particular, de la materia que enseñan.

• Determinar el nivel de coherencia del conjunto de creen-cias y concepciones de los profesores y la influencia sobrelas decisiones que determinan la práctica docente de cadaprofesor.

• Valorar la consistencia y el grado de permeabilidad delas creencias y concepciones de cada profesor en cuanto ala posibilidad de ser modificadas en detrimento de una me-jora de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales.

MARCO TEÓRICO

Dada la envergadura del tema y la novedad de éste, se di-señó un marco teórico que se ajustara a nuestras necesida-des como modelo que nos permitiera interpretar los datosdisponibles. Si bien un punto de referencia obligado sonlos trabajos sobre pensamiento del profesor, no debemosolvidar que el protagonista del estudio es el profesor uni-versitario, un poco alejado de los profesores de otros nive-les de enseñanza, lo que nos ha obligado a diseñar nuestropropio marco teórico en el que, además, incluimos ele-mentos de epistemología: tanto los que nos aportan unmarco de trabajo para hablar sobre enseñanza y aprendiza-je como otros ligados a aspectos históricos y filosóficosque nos permiten trabajar en el ámbito de las ideas mate-máticas de los profesores universitarios.

Desde que la figura del profesor ha adquirido importanciae interés para los investigadores con relación al procesoeducativo, se han desarrollado diferentes paradigmas deinvestigación que, con mayor o menor éxito, se han asen-tado en el dominio científico, pero que no han sido lo sufi-cientemente robustos para proporcionar una comprensiónadecuada del hecho educativo en los programas de desa-rrollo profesional de los profesores.

En este sentido, una de las metas a largo plazo de la comu-nidad científica en este campo de investigación es crearunas bases teóricas lo suficientemente sólidas que permi-tan avances en el campo de investigación del profesor y,en particular, del desarrollo profesional de éste.

Dada la complejidad del tema de investigación por la can-tidad de elementos que entran en juego, bien de forma di-recta o indirecta, y las múltiples conexiones entre ellos,

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nos hemos visto en la necesidad de manejar conceptos teó-ricos que excedían propiamente del objetivo de la investi-gación, pero que resultaban imprescindibles para introdu-cir y ubicar los conceptos realmente útiles para el desarrolloy fundamentación de ésta.

Algunos elementos que se incorporan de forma natural almarco teórico son los referidos al «pensamiento del profe-sor» y los correspondientes sobre epistemología y su rela-ción con las concepciones y creencias. No obstante, noshemos sentido en la obligación de referirnos a otros, que ala larga se han convertido en elementos secundarios, peroextremadamente útiles para la investigación, como son elcontexto universitario; tanto la universidad en tanto insti-tución como la figura del profesor universitario.

Dentro del denominado paradigma del pensamiento delprofesor, la tendencia actual parece ser la de inclinarse porla profundización en el «contenido del conocimiento pro-fesional», el cual se ha estudiado, tal como señala Llinares(1996), a partir del estudio del contenido del conocimien-to, de las percepciones, de las creencias y de los procesosde pensamiento de los profesores. Como punto de partidapara una investigación sobre el profesor universitario dematemáticas creemos que es más pertinente comenzar conel análisis de las creencias y concepciones, componentesambas del conocimiento, y dejar para investigaciones pos-teriores otros componentes del conocimiento y desarrolloprofesional de los profesores universitarios de matemáticas.

A partir de las definiciones de Benedito (1992) y Vonk(1996) sobre «desarrollo profesional» hemos elaboradonuestra propia definición, que integra los aspectos más re-levantes de las de ambos:

Definimos desarrollo profesional como «el proceso siste-mático y reflexivo que busca la mejora de la práctica, creen-cias y conocimientos profesionales para aumentar la cali-dad docente, investigadora y de gestión de los profesoresuniversitarios a partir de una autorreflexión continuadasobre la experiencia diaria y dentro del contexto y reali-dades de la institución».

Los diferentes trabajos de investigación coinciden en re-saltar la íntima relación entre los términos conocimientos,creencias y concepciones. En nuestra investigación hemosconsiderado las «concepciones» y «creencias» como com-ponentes del conocimiento. En particular, las acepcionesde creencias y concepciones que más se ajustan al trata-miento y utilización en nuestro trabajo, son las siguientes:

Nuestra definición de creencia está en consonancia conlas dadas por Llinares (1991) y Pajares (1992):

«Las creencias son conocimientos subjetivos, poco elabo-rados, generados a nivel particular por cada individuo paraexplicarse y justificar muchas de las decisiones y actua-ciones personales y profesionales vividas. Las creenciasno se fundamentan sobre la racionalidad, sino más biensobre los sentimientos, las experiencias y la ausencia deconocimientos específicos del tema con el que se relacio-

nan, lo que las hacen ser muy consistentes y duraderaspara cada individuo.»

En el caso de los profesores de matemáticas de universi-dad, el conocimiento que tienen sobre el proceso de ense-ñanza y aprendizaje es fruto de la experiencia docente ydel efecto de la socialización que les hace repetir los es-quemas de aquellos profesores que les enseñaron en suépoca de estudiantes. Los docentes universitarios no sue-len tener ninguna formación didáctica específica, a partede la científica que les capacite para enseñar. Dado que susconocimientos sobre enseñanza y aprendizaje son subjeti-vos, con una fuerte carga de afectividad y sin una sólidabase pedagógica que los sustenten, nos reiteramos en lautilización que hacemos del término creencia en la inves-tigación.

Asimismo, con relación al término concepción, optamospor una acepción cognitivista del término que se aproximemás a las ideas, conocimientos y creencias del profesor.Nuestra definición de concepción es una síntesis de las dePonte (1994b), Thompson (1992) y Llinares (1991):

«Las concepciones son organizadores implícitos de los con-ceptos, de naturaleza esencialmente cognitiva y que inclu-yen creencias, significados, conceptos, proposiciones, re-glas, imágenes mentales, preferencias, etc., que influyenen lo que se percibe y en los procesos de razonamientoque se realizan. El carácter subjetivo es menor en cuantose apoyan sobre un sustrato filosófico que describe la na-turaleza de los objetos matemáticos.»

En la investigación hemos optado por el término concep-ción de los profesores de matemáticas respecto a la mate-ria objeto de enseñanza, ya que su condición de matemáti-cos, expertos en matemática aplicada y ecuacionesdiferenciales, les hace conocedores de la naturaleza de es-tos objetos matemáticos y les permite encuadrar dichasideas sobre la naturaleza de las ecuaciones diferenciales yel valor de la matemática aplicada en una posición histórico-filosófica concreta, ya sea platónica, formalista, intui-cionista, etc.

Asimismo, dentro de las creencias, hemos especificado trestipos: creencias institucionales, creencias sobre la enseñan-za y creencias sobre el aprendizaje. Las primeras inclui-rían aquéllas que son aceptadas de forma general por lainstitución y alimentadas en su seno (De Juan, 1995; Mo-reno, 1995; Santos Guerra, 1993). Las creencias sobre en-señanza incluirían aquello que el profesor considera quesignifica enseñar, cómo enseñar, incluyendo el papel delprofesor, la metodología de enseñanza, los recursos em-pleados, etc. Finalmente, las creencias sobre el aprendiza-je se relacionan con las ideas que tiene el profesor sobrelos estudiantes, cómo aprenden, sus posibilidades y capa-cidades de razonar e investigar, la capacidad creativa delos estudiantes, la autonomía e independencia para descu-brir nuevos conceptos, etc. El hecho de que no se puedaestablecer una frontera tan clara entre creencias de ense-ñanza y aprendizaje nos ha llevado a referirnos conjunta-mente a ellas en la investigación, aunque en la medida de



lo posible se analizan por separado aspectos específicosde enseñanza y otros de aprendizaje.

Otro elemento que nos ha resultado especialmente útil enel análisis e interpretación de los datos es el que corres-ponde a la «consistencia de las creencias», considerándolocomo: la convicción personal y permeabilidad (Cooney,1998), que las hace mantenerse vivas, modificarse o des-terrarse definitivamente de nuestra mente debido a una cier-ta predisposición natural de los individuos. Este hecho estádirectamente ligado al grado de receptividad, flexibilidady aperturismo del profesor.

El hecho de considerar la importancia de conectar las creen-cias y concepciones de los profesores a la enseñanza, apren-dizaje y materia que enseña, es lo que nos obliga a haceruna referencia a las ideas de Vergnaud (1990) sobre lasdiferentes epistemologías que se pueden considerar en fun-ción de los diferentes niveles de preguntas que nos formu-lemos.

Nuestra decisión final sobre el tipo de terminología em-pleada en nuestro marco teórico de referencia coincide conFlores (1998), que utiliza, siguiendo los criterios deVergnaud (1990), epistemología de la educación matemá-tica para reflexionar acerca de las creencias del profesorsobre aspectos de enseñanza y aprendizaje y epistemolo-gía de la matemática para hacer referencia a esas concep-ciones y al conocimiento del profesor sobre las ecuacionesdiferenciales y la influencia en sus decisiones como docente.

Dentro de los aspectos relacionados con las creencias so-bre aprendizaje, hemos destacado tres que, por su valorpara el posterior análisis de los datos, han sido de granimportancia:

– La consideración del aprendizaje como un proceso ocomo un producto.

– La aceptación de diferentes estilos de aprendizaje exis-tentes entre los estudiantes: activo, reflexivo, teórico o prag-mático.

– La certeza de un nivel de competencia de los estudiantespara el aprendizaje, definido por Ponte (1992): elemental,intermedio, complejo, saberes de orden general.

De la misma forma resaltaremos aquellos aspectos rela-cionados con la enseñanza que son especialmente intere-santes para interpretar las creencias de los profesores so-bre la misma.

Resulta de especial interés la posición de Robert y Robinet(1989) en la que establecen una clara relación entre el pa-pel del profesor y la concepción sobre el aprendizaje; se-gún ellos, es muy importante para el análisis considerardos extremos:

• Si el profesor se considera como único conocedor delsaber y es, por tanto, el encargado de transmitirlo en clase.

• Si los estudiantes participan activamente en un procesode descubrimiento.

El análisis del tipo de actividades propuestas por el profe-sor, de la secuencia de organización de éstas, de los recur-sos empleados, etc. permite hablar de «modelos de ense-ñanza». Destacamos la clasificación de Kuhs y Ball (1986),ya que no sólo nos permitirá analizar la información dis-ponible procedente de las entrevistas desde el punto de vistade la enseñanza, sino que además podremos establecerconexiones con las concepciones de los profesores sobrela naturaleza de las matemáticas (aspecto del que habla-mos en el siguiente apartado). Los modelos propuestos soncuatro y se diferencian entre sí según el aspecto sobre elque se centran:

• El que aprende (constructivismo).

• El contenido con énfasis en la comprensión conceptual(platonismo).

• El contenido con énfasis en la práctica (instrumentalismo).

• La clase (formalismo).

Entre la tipificación de los estilos docentes de Peltier(1993), atendiendo a las estrategias de aprendizaje, desta-camos el modelo normativo o también denominado dog-mático o magisterial, centrado en el contenido y cuyo ob-jetivo final es dar y comunicar un saber a los estudiantes.En este modelo, el profesor adquiere un papel muy activoy el estudiante es un receptor pasivo de unos conocimien-tos, presentados por el profesor, completamente acabadosy construidos.

Otros elementos que tendremos en cuenta en el análisis delos datos para establecer los modelos de enseñanza y ca-racterizar a los profesores, tomados como referencia delos trabajos de Ernest (1985, 1989b), serán: modo de pre-sentar la materia; formas de intervenir en el trabajo de losestudiantes; organización de la clase; tipos de relacionesestimuladas y evitadas; orientación y finalidad del currí-culo; carácter, criterios e instrumentos de evaluación, etc.

Todos estos hechos nos obligan a aproximarnos a las co-rrientes filosóficas que durante siglos han condicionadolas ideas de los matemáticos sobre la naturaleza de los ob-jetos matemáticos y han orientado el desarrollo de las ma-temáticas hacia diferentes caminos. La aplicación inme-diata de estas ideas filosóficas se concreta en lasconsecuencias didácticas para la enseñanza de las mate-máticas. Asimismo, los valores culturales propios de cadasociedad han condicionado la relación que los matemáti-cos han establecido entre ellos y las matemáticas; de ahí lanecesidad de prestar atención a los valores que caracteri-zan a la cultura occidental.

Como punto de referencia para la reflexión nos centramosen las escuelas de pensamiento logicistas, intuicionistas yformalistas, todas ellas condicionadas por las corrientesplatónicas y aristotélicas. Independientemente de la opciónpersonal de cada matemático por una escuela de pensa-miento u otra, parece que el matemático en ejercicio viveen una permanente contradicción: por un lado, sostiene unafuerte visión platónica acerca de la existencia de los obje-tos matemáticos y está convencido de tratar con una reali-



dad objetiva; mientras que, por otro lado, cuando se veobligado a explicitar públicamente sus concepciones, secoloca al lado del formalismo.

En particular, a parte de caracterizar a cada profesor porsus concepciones, nos fijaremos especialmente en la exis-tencia o no de esta contradicción que matemáticos tan re-levantes como Dieudonné y Cohen han reconocido.

Para la tipificación de las concepciones sobre la naturale-za de las matemáticas hemos completado la de Carrillo(1998) y hemos considerado tres estilos: dogmático-conservador, instrumentalista y pragmático-constructivista.

Además, concedemos especial importancia a los valoresdominantes de la cultura occidental y de los que se derivaninteresantes consecuencias didácticas para la enseñanza.La consideración de estos valores (racionalismo,objetivismo, control, progreso, aperturismo, misterio) en-riquecerá el estudio y permitirá dar explicaciones plausi-bles sobre la situación actual de la enseñanza de las ecua-ciones diferenciales y la dificultad de abrir paso a lamodelización como parte natural de los programas de ma-temáticas en el ciclo inicial de universidad.

El hecho de que la cultura occidental haya estado influidapor estos valores ha llevado a que, según Bishop (1991), laenseñanza se muestre tremendamente asimétrica, pues esel profesor el que posee el conocimiento y el alumno, elque se convierte en receptor pasivo del contenido mate-mático; carente de intencionalidad, en una enseñanza don-de generalmente no quedan claros los objetivos y las me-tas; y descontextualizada, lo que hace que se alimente elhalo de misterio que siempre ha rodeado a las matemáticas.

Finalmente, dado que en el análisis de los datos se aborda-rán aspectos sobre aprendizaje, enseñanza y modelización,consideramos que disponemos de los instrumentossuficientes para realizar un estudio de creencias de los pro-fesores sobre enseñanza y aprendizaje, sobre sus concep-ciones acerca de las ecuaciones diferenciales y la mode-lización; para caracterizar estas concepciones y creenciasdesde los criterios especificados en este apartado; y paracomparar tanto las creencias como las concepciones,con el fin de obtener conclusiones que nos acerquen unpoco más a la figura del profesor universitario de ma-temáticas.

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

Instrumentos de recogida de datos

Si bien las metodologías de investigación de carácter cua-litativo son muy diversas y entrañan cierta dificultad, ytambién son más delicadas y susceptibles a la crítica, estadificultad se incrementa cuando se intenta acceder a lasconcepciones y creencias de los profesores. Como apun-tan Nisbett y Wilson (1977), cuando se pide a los profeso-res que informen cómo un determinado estímulo influyeen su respuesta, éstos no consultan en la memoria para des-

cribir los procesos realizados entre el estímulo y la res-puesta, sino que aplican teorías causales sobre los efectosde esta clase de estímulo sobre el tipo de respuesta; o bien,no son capaces de describir sus propias acciones, etc. És-tos, entre otros, son algunos de los motivos por los queautores como García Blanco y Llinares (1998) recomien-dan diseñar métodos propios de investigación que seadecuen lo mejor posible a nuestras necesidades específi-cas, o bien adaptar o ampliar otros ya existentes.

La investigación realizada, y de la cual aquí se da cuentaparcialmente, se caracteriza por ser de carácter cualitati-vo, generativo, constructivo, exploratorio, descriptivo yexplicativo.

Dada la importancia de disponer de diferentes instrumen-tos de recogida de información que permitan triangular losresultados, a parte del cuestionario y la correspondienteentrevista grabada, se dispuso de otros instrumentos de re-cogida de información, como son: programas oficiales,hojas de ejercicios y problemas propuestos, referenciasbibliográficas recomendadas a los estudiantes y, en algúncaso, dossier de apuntes preparado por los profesores parael seguimiento de la asignatura.

El instrumento básico de recogida de datos ha sido la en-trevista grabada en audio; no obstante, los otros instrumen-tos han permitido corroborar las conclusiones a las quellegábamos y comprobar, por otras vías de acceso, la co-herencia de las respuestas de los profesores al ser entrevis-tados con los medios y recursos utilizados tanto en la pre-paración como en el desarrollo de la asignatura.

Los participantes del estudio son seis profesores universi-tarios, todos ellos matemáticos, expertos en matemáticaaplicada y que imparten docencia, entre otros, a estudian-tes de química, biología y veterinaria. Esta elección de losparticipantes de la investigación estuvo condicionada porla investigación anterior (Moreno, 1995), donde aspectoscomo experto-novato no condicionaban tanto las respues-tas de los profesores como el hecho de tener un buen cono-cimiento o no de la materia en cuestión. De esta forma, enesta investigación, tuvimos la ocasión de controlar el as-pecto «conocimiento del contenido matemático enseñado»,pues todos los profesores elegidos conocían perfectamen-te la materia de ecuaciones diferenciales más allá de losconocimientos mínimos exigidos a los estudiantes al sertodos expertos en matemática aplicada e, incluso, estar li-gados a ella profesionalmente.

Respecto al diseño del cuestionario que sirvió de base parala entrevista grabada realizada con posterioridad, se tuvomuy en cuenta la importancia y la necesidad de acceder alas creencias de los profesores de forma indirecta, paraevitar esas respuestas idealizadas de una situación real enla que subyace la necesidad de «quedar bien». Asimismo,se cuidaron otros detalles como, por ejemplo: que los pro-fesores no se sintieran ni cuestionados ni evaluados conrelación a sus conocimientos sobre ecuaciones diferencia-les y sus aplicaciones; y que el tiempo dedicado al cuestio-nario no fuera excesivo, para evitar un desinterés mayorpor un tema y una investigación en la que no tenían porqué estar especialmente interesados.



El resultado de las consideraciones anteriores fue un cues-tionario (Anexo) en el que se presentaban a los profesorescuatro problemas de ecuaciones diferenciales y sus aplica-ciones, todos ellos relacionados con la química y biología.

Para la elección de las tareas (problemas y cuestiones) re-currimos a textos de matemáticas, generalmente recomen-dados en cursos de matemáticas para químicos y biólogos.En todo momento se buscaron situaciones novedosas, ri-cas y que permitieran articular los tres enfoques: gráfico,algebraico y numérico.

Las tareas propuestas en el cuestionario juegan en todomomento con los tres enfoques:

Primera tarea: Problema «clásico» de crecimiento expo-nencial.

Segunda tarea: Situaciones que corresponden a sistemasde realimentación como, por ejemplo: crecimiento de lapoblación - países en desarrollo - pobreza; nivel de vida -enfermedades - producción, etc., para ser discutidoscualitativamente.

Tercera tarea: Actividad de carácter teórico donde se ma-nejan nociones como tasa de crecimiento, porcentaje decrecimiento, etc.

Cuarta tarea: Interpretar un gráfico que representa unadeterminada situación biológica y la búsqueda de las ecua-ciones diferenciales que la modelizan.

No se pretendía que el profesor adoptara la postura delresolutor sino que reflexionara sobre aspectos propios dela materia, de su enseñanza y de su aprendizaje; de ahí queligado a cada una de las situaciones problemáticas, se pro-pusieran cuestiones para la reflexión.

Junto con el cuestionario se les envió una carta en la quese sugería que en un plazo de unas tres semanas fijaríamosuna fecha para una entrevista grabada. Se instaba a quetomaran el cuestionario como una guía para reflexionarsobre la materia, las dificultades de los estudiantes y lasespecíficas de los contenidos enseñados, la actitud de losestudiantes, etc. Asimismo, se les decía que las preguntaspara la reflexión tan sólo eran una propuesta que no estabatotalmente cerrada, y que podían ser modificadas duranteel transcurso de la entrevista.

Respecto a la entrevista diremos que tenía carácter estruc-turado y que fue grabada en audio (una hora de duraciónaproximadamente). La entrevista constó de dos partes:

Primera parte: Conversación de la investigadora con elprofesor participante sobre el cuestionario siguiendo elguión de las preguntas para la reflexión.

Segunda parte: Denominada preguntas transversales amodo de globalización, trataba de preguntas directamenterelacionadas con frases que habían sido dichas por otrosprofesores de matemáticas en una situación similar a lasuya. Las frases fueron tomadas, por su relevancia, del es-tudio de Moreno (1995). Las frases abordaban los siguien-

tes aspectos: planificación de la asignatura, utilización delordenador y formación profesional del docente univer-sitario.

Durante la entrevista se intentó que los profesores siguie-ran el orden de respuesta marcado por las tareas propues-tas para facilitar el posterior análisis y la codificación de lainformación; sin embargo, no se fue demasiado estricto eneste aspecto, permitiéndose seguir otro orden de respues-ta, siempre que el profesor se sintiera más cómodo.

En general, se consiguió que la entrevista tuviera un climade conversación distendida entre las partes, siempre den-tro de la estructura del cuestionario, y que los profesoresverbalizaran muchas ideas sobre el proceso de enseñanzay aprendizaje de las ecuaciones diferenciales y de lamodelización sin que, en ningún momento, tuvieran la sen-sación de estar siendo evaluados o cuestionados por algúnaspecto de su tarea docente.

Análisis de los datos

Dado que las conclusiones finales de la investigación hansido extraídas del análisis de los materiales disponibles decada profesor, de las creencias institucionales mantenidaspor la mayoría y del análisis de los cuestionarios, describi-mos con algún detalle cómo se ha realizado dicho análisis:

1) Esta parte del análisis consistió en analizar los materia-les disponibles de cada profesor. Dada la coincidencia conlos recogidos en el estudio previo (Moreno, 1995), el aná-lisis se apoyó en el realizado en su momento, pero tenien-do en cuenta el marco teórico de referencia e intereses decada investigación. De esta forma, para el análisis com-pleto de los libros de texto recomendados por los profeso-res, remitimos a Moreno (1995), por ser un análisis muycompleto.

Igualmente, entresacamos de cada entrevista las ideas delos profesores, que han quedado caracterizadas como«creencias institucionales». Bajo el marco teórico de refe-rencia las analizamos y las interpretamos.

2) El análisis del cuestionario

Para el análisis de los cuestionarios nos hemos apoyado enlos trabajos de Miles y Huberman (1984), que consideranque junto a las tareas de análisis y recogida de datos sedeben conectar las tareas de reducción de datos, estructu-ración y extracción de resultados.

En el caso particular de la investigación que hemos desa-rrollado, el volumen de información disponible era tal quehemos necesitado de varias fases para llevar a cabo el aná-lisis de los datos y la obtención de resultados. En un pri-mer momento del análisis y reducción de la informacióndefinimos categorías muy amplias y generales, y a medidaque manipulábamos los datos éstas se iban afinando y con-cretando más.

A partir de todos los datos disponibles hemos realizado undoble análisis, uno de carácter global y otro particular y



específico de cada profesor. El primer análisis se realizó apartir de los datos obtenidos de la entrevista, manipuladosen fases sucesivas y expresados en tablas de doble entradapara facilitar el acceso a la información. El análisis parti-cular se realizó a partir de una lista de descriptores, proce-dente de las reducciones de datos realizados a lo largo detodo el proceso de análisis.

La finalidad del análisis global era proporcionar una vi-sión general de las concepciones y creencias que los pro-fesores manejan con relación a los aspectos de enseñanza,aprendizaje y modelización, destacando los aspectos másrelevantes asumidos por la mayoría de los profesores. Setrata de un análisis descriptivo.

La finalidad del análisis particular era caracterizar a cadauno de los profesores, destacando incoherencias entre as-pectos de bloques diferentes pero relacionados entre sí o,por el contrario, valorar la coherencia mantenida hasta elfinal. Otro aspecto interesante de este análisis era el gradode permeabilidad de las creencias y concepciones mante-nidas, que pudiera permitirles pasar de un estilo docente aotro o bien permanecer en el que se encontraran.

Ambos análisis no pueden verse independientemente, unocompleta al otro; de ahí el esfuerzo realizado por cruzarlos resultados correspondientes a las creencias sobre laenseñanza y el aprendizaje con las concepciones sobre lasecuaciones diferenciales y valorar la intensidad de su in-fluencia sobre la práctica docente y el grado de coherenciainterna entre ellas.

RESULTADOS DEL ANÁLISIS

En este apartado nos centramos tan sólo en los análisisgeneral y particular, dejando a parte el análisis sobre creen-cias institucionales y materiales proporcionados por losprofesores, si bien podemos afirmar que los resultados deéste completan y corroboran los obtenidos en el análisisgeneral.

Análisis general de las creencias y las concepciones so-bre la enseñanza, el aprendizaje y la modelización

Aunque, fruto del análisis del conjunto de los datos, al fi-nal de este análisis hablamos de concepciones y creenciassobre las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones y so-bre la enseñanza y el aprendizaje de éstas, de forma glo-bal, el análisis general en sí se subdivide en tres partes,que abordan los temas de enseñanza, aprendizaje ymodelización, independientemente unos de otros.

Las creencias de los profesores sobre el aprendizaje de lasecuaciones diferenciales y las aplicaciones a situacionesde la vida real se deducen del análisis realizado de los si-guientes temas: razonamientos y respuestas de los estu-diantes; dificultades de los estudiantes con las tareas, per-cepción de los estudiantes de los modelos y las ecuacionesdiferenciales, y grado de formalización que se espera delos estudiantes.

Los temas a partir de los cuales hemos dibujado el cuadrode creencias de los profesores de matemáticas de universi-dad sobre la enseñanza de las ecuaciones diferenciales ysus aplicaciones son: evaluación, explicaciones del profe-sor, contenido matemático y la forma de enfocarlo, recur-sos y metodología utilizados por el profesor y sus ideasacerca de la formación del profesor y la profesionalizacióndocente.

Finalmente, los aspectos sobre los que se centra el análisisde las concepciones de los profesores sobre la modelizacióny las ecuaciones diferenciales se refieren a: opinión perso-nal sobre la modelización y el interés para estos estudian-tes, dificultades para abordar el planteamiento de las ecua-ciones diferenciales a partir de la modelización, y aspectosmetodológicos ligados a la enseñanza de la modelización.

Algunas creencias seleccionadas de entre las muchas querecogen por separado cada uno de estos tres análisis pue-den ilustrar y hacernos comprender perfectamente los re-sultados globales que acaban siendo como una síntesis deeste análisis general de los datos:

– Los estudiantes aprenden las ecuaciones diferencialespor imitación y memorización de situaciones y por esque-mas de resolución vistos en clase:

Profesor F: [...] de modo que los razonamientos de los estudian-tes dependen de cuándo se mete esto. Si se mete en la funciónexponencial, es claro que enseguida lo hacen, ¿no?, y no van atener dificultad.

Profesor B: (Lee en voz alta la pregunta del problema 1 del cues-tionario) El problema dice: «¿Crees que hay alguna ecuación di-ferencial que expresará el peso como función del tiempo?» Aquí...aquí no pensarían, aquí dirían que sí, directamente porque estaríapuesto en el examen de ecuaciones diferenciales. [...] lo ubicanen un bloque concreto del temario... No se pararían a pensar.

Profesor A: [...] ¡Eso...! Yo tengo la sensación de que el alumnopromedio sólo sabe identificar un problema si el enunciado y elmodelo..., la historieta del problema coincide exactamente, prác-ticamente con la que tú les has contado.

– Los estudiantes son incapaces de pensar, crear y razonarpor ellos mismos:

Profesor B: Contestarían: «...¡Uuy!, este problema es muy raro,que ... ¿qué pinta aquí este problema?, que ... ¿de qué va? ..., ¡queesto no...! ¡qué no hemos hecho ningún problema así! ...» ¡Notendrían ni idea de qué hacer con esto!

Profesor B: Se quedan con la receta. Ellos sólo quieren recetas,no quieren entender nada y no quieren razonar nada. Sólo quie-ren aplicar el juego de recetas mecánicas, ¡eso es lo que quieren!:recetas. Cuando tienen que pensar y traducir palabras a ecuacio-nes, ¡uuff... difícil!, y un esfuerzo tremendo. Cuando tienen queidentificar qué tipo de ecuación diferencial es la que tienen entremanos, también.

Profesor D: Es que, es que..., ¡vamos a ver!, después... despuésde haber visto algún ejemplo, después de haber visto algún mo-delo, puede ser que sean capaces de hacerlo...

– Las definiciones son algo mecánico que tiene que apren-derse y en donde no hay nada que entender:



Profesor F: […] porque esto como no..., ¡digamos!, aquí no haynada de... o sea, esto no es un concepto en sí a entender, sino...esto es en cada caso, ya sabes lo que es, ¿no?

Profesor A: ¡Es una cosa mecánica! O sea, tienes una definicióny haces un calculito y... das una respuesta.

– Sería mucho más interesante interpretar un modelo ma-temáticamente que invertir tanto tiempo en resolver dife-rentes tipos de ecuaciones mecánicamente:

Profesor C: … quiero decir: ¡no sé! (baja mucho el tono de voz ypiensa como si no supiera de qué manera expresar sus ideas).¡Vamos a ver!, por ejemplo, el que un biólogo identifique... ¡bue-no!, esto es la logística, es una curva que en dinámica de pobla-ciones representa tal cosa... ¿Qué es más importante, esa identifi-cación o la ecuación diferencial que satisface? ¡No lo sé! ¡No losé! Probablemente, desde ese punto de vista, el interpretar..., ¡nosé!... el poder asignar esta curva inmediatamente a un tipo deproblema o ver qué representa o por qué el punto de inflexiónestá aquí o qué significa esta asíntota, a lo mejor es más impor-tante que llegar a deducir la ecuación diferencial, por ejemplo.Todo ese tipo de preguntas sobre gráficas, yo creo que son másinteresantes que llegar al modelo.

Profesor A: Creo... la parte más interesante sería la del... es, yocreo, en las ecuaciones, la de la interpretación del modelo o ladel estudio del comportamiento cualitativo. ¡Es la parte intere-sante!…

Profesor F: Yo, de verdad, en esto... lo que yo creo que hay queconseguir que ellos tengan la sensibilidad de que las matemáti-cas pueden modelizar.

– La utilización de ordenadores de forma sistemática nosobligaría a cambiar la manera actual de enseñanza de lasecuaciones diferenciales y a dar más importancia a los mé-todos gráficos y numéricos:Profesor A: La parte negativa es que con eso... si utilizas dema-siado el ordenador, pierden la práctica de... hacer ese mismo tipode cosas ellos a mano. Todas estas... todas estas gráficas las pue-des dibujar a mano, no necesitas el ordenador y, si lo haces con elordenador, olvidas qué es lo que hacías. Dibujar el plano de fa-ses, dibujar un campo de direcciones, si dejas que el ordenador telo haga, ¡perderías esa parte!, ¡que tú seas capaz de hacerlo!

Profesor D: Probablemente no sea bueno. Porque, por lo que tecomentaba antes, muchas de las técnicas que se ven en ecuacio-nes son interesantes por sí mismas, como métodos para abordarotro tipo de problemas que se los van a encontrar después a lolargo de la carrera. Entonces, reducir la asignatura de ecuacionesen una buena medida a la cuestión de la... ¡a ver!, cuestión cuali-tativa y el cálculo numérico y tal, ¡no!

– La formación de los profesores como matemáticos estámuy alejada de las aplicaciones a otros campos de las cien-cias experimentales:

Profesor A: ¡No, no, eso es verdad! Y... de los modelos físicos,estamos más cerca, yo creo, todos. Pero... de los modelos paraquímicos y biólogos conocemos muy poquito.

Profesor A: Pero... ¡eso, sí que es verdad! Yo me encuentro conel problema de que no sé, no sé química como para... para saberqué ecuación es más interesante. [...] ¡Es difícil ya que tengas elconocimiento como para... para dar una explicación convincen-te!, que es de lo que se trataría.

Profesor C: ¡Hombre claro que sí! La mayor limitación no está

en que puedas buscar ejemplos, ni en esto, sino que los ejemplosque buscas, ni el químico te los ha pedido porque no le interesannada, o sea, ni tú, a lo mejor, los has buscado adecuadamente.Comprende, es que es una cosa que nadie te la ha pedido y ade-más, no la necesitan; o sea, es que realmente... la sensación quetienes es que no te la han pedido y no la necesitan, ¡ya está!

– Dado que las técnicas y los modelos matemáticos sondos aspectos difíciles de reconciliar, los profesores final-mente suelen elegir uno:

Profesor D: Pero eso te lo he comentado al principio, es que sondos cosas que es difícil de conciliar porque... si pretendes en lamisma asignatura el dar las técnicas y llegar a los modelos, sondos cosas que de alguna forma casan mal. Porque los modelos tellevan normalmente a unas ecuaciones que no son las que vas asaber resolver, lo que vas a saber resolver son cosas mucho mássimplificadas, entonces debes elegir.

– Resulta mucho más fácil aprender a resolver una ecua-ción diferencial que reconocer un modelo matemático, deforma que los profesores suelen optar por el camino másfácil:

Profesor A: Y supongo que... no, ¡eh!... es también una comodi-dad dejarse llevar por esa sensación, ¿no?, que ellos tienen... Esmás fácil... es más fácil que... que consigan aprender a resolver laecuación que conseguir aprender a reconocer un modelo o a plan-tear un modelo para un problema. Entonces... pues supongo quevamos por la vía más fácil, tendemos a ir a la parte más fácil.

Profesor D: ¡Claro, hombre!, que eso a lo mejor es un problemanuestro como profesores, porque, digamos, es el camino más có-modo, ¡claro!. Lo otro es más, más..., ¡no sé!... (Aquí su tono devoz se iba apagando poco a poco como dejando en el aire unarespuesta un tanto comprometida) ...más difícil, ¡puede ser!

El centro de todo este análisis radica en las fuertes contra-dicciones de los profesores entre:

Las concepciones de las matemáticas y de las ecuacionesdiferenciales, que se sitúan muy próximas al formalismo ycon una idea platónica de los objetos matemáticos, y don-de los contenidos teóricos son una parte imprescindibledel desarrollo de las estructuras matemáticas.

Las creencias sobre la enseñanza de las ecuaciones dife-renciales, que se aproximan a un estilo normativo y cen-trado en la clase en el que el profesor actúa como transmi-sor y el estudiante se convierte en un receptor pasivo delos conocimientos matemáticos.

Las creencias sobre el aprendizaje de las ecuaciones dife-renciales, que consideran al estudiante como un aprendizde matemáticas con un nivel de competencia elemental queúnicamente les permite ejecutar actividades mecánicamen-te, y que aprende por imitación a partir de los modelos yejemplos propuestos por los profesores.

La consecuencia práctica de este conjunto de concepcio-nes y creencias mantenidos por los profesores les condu-cen a presentar todos los contenidos muy simplificados,eliminando lo superfluo, dirigiendo mucho todas las acti-vidades y explicaciones, para acabar instrumentalizandola enseñanza, como única opción para elevar el nivel deéxito de los estudiantes; pero, al mismo tiempo, se sienten



en la obligación y necesidad de demostrar su condición dematemáticos y la importancia de todos los desarrollos teó-ricos para la correcta comprensión de las ecuaciones dife-renciales. Esto nos da idea de un continuo «vaivén» entresus concepciones matemáticas y la realidad impuesta porla materia, el tiempo y los propios estudiantes que les in-duce a planteamientos más instrumentalistas y alejados delas aplicaciones reales.

No obstante, no todas las creencias tienen el mismo gradode permeabilidad al cambio; a veces la propia experienciaprofesional o una simple autorrefexión sobre los resulta-dos docentes son suficientes para sentir la necesidad derenovación e intentar introducir elementos motivadores quefaciliten el aprendizaje. El reconocimiento explícito de laslimitaciones personales es un primer paso para afrontarcualquier cambio. Un problema, desde luego, mucho másgrave es el de la desmotivación en la que está inmerso elprofesor universitario, así como el cambio de valores a losque no se ha adaptado por implicar unos profundos cam-bios personales. La consecuencia más sencilla es dejarsellevar por la comodidad y el contrato que implícitamentese establece entre el profesor y los estudiantes, que permi-te sobrellevar cómodamente la materia sin suponer un granesfuerzo para ninguna de las partes.

En el tema de la modelización, del cual nos preocupaba laimposibilidad de su enseñanza debida a la complejidad con-ceptual, hemos podido constatar que la razón para que nose trabaje en clase sistemáticamente no es tanto la dificul-tad conceptual, que indudablemente existe, sino los pro-pios obstáculos fruto de las creencias institucionales, delas creencias sobre enseñanza y aprendizaje, y en una par-te muy importante de la concepción personal de las mate-máticas. El trabajo sobre las creencias de los profesorespodría ser más sencillo, ya que éstas se apoyan en el des-conocimiento; sin embargo, las concepciones sobre lasecuaciones diferenciales son muy consistentes porque for-man parte de cada uno de los profesores y están muy liga-das a sus experiencias profesionales. Desde la didáctica delas matemáticas, el interés reside en asumir la realidad quepara cada profesor significan las matemáticas y ver cómose pueden incorporar elementos que conserven la cohe-rencia interna de sus ideas y redunden en beneficios paralos estudiantes y su formación profesional.

Análisis particular de cada profesor

La lectura de cada análisis particular permite hacernos unaidea de cada profesor, sus concepciones sobre las matemá-ticas, en particular de las ecuaciones diferenciales, y suscreencias sobre la enseñanza y el aprendizaje, así como lamanera en que éstas se influyen y condicionan mutuamen-te; además, con este tipo de análisis nos damos cuenta delas coincidencias que hay entre los seis profesores, queson muchas. Las más relevantes, en cuanto al estudiante,son:

• Receptor pasivo del conocimiento matemático, con unnivel de competencia y pensamiento matemático elemen-tal, baja capacidad de razonamiento y de abstracción, loque desde el sistema de creencias de los profesores limita

mucho el tipo de trabajo que éstos pueden realizar cuandose tratan conceptos propios de un nivel de matemáticassuperior y para los que se necesitan cualidades propias delos procesos de pensamiento matemático avanzado.

• Estudiantes inmaduros, desmotivados y sin interés algu-no por las ecuaciones diferenciales ni por las posibles apli-caciones que éstas puedan tener en situaciones de la vidacotidiana.

Con estas premisas, las creencias de los profesores se orien-tan a que la única posibilidad real de trabajo con estos es-tudiantes y con los contenidos de matemáticas superioresque deben enseñar es reducir la enseñanza de las ecuacio-nes diferenciales a una repetición y ejecución mecánica detipos de ecuaciones resolubles por métodos algebraicos; y,en el ámbito de la resolución de problemas, mostrar situa-ciones reales modelizables por ecuaciones diferenciales y,como máximo, conformarse con que los estudiantes re-suelvan algún problema de modelización apoyándose enotros similares previamente resueltos y explicados por elprofesor en clase.

Las coincidencias más relevantes respecto a la forma comolos profesores actúan y toman decisiones respecto a la en-señanza son:

• Justifican todas las decisiones de planificación, elecciónde contenidos, elección de tareas de aprendizaje, etc. apo-yándose en el bajo nivel de conocimientos de los estudian-tes.

• Toman el aprendizaje y los problemas que pueden deri-varse de él como un producto de la enseñanza que les re-sulta ajeno, en el que no pueden intervenir y donde lasdeficiencias conceptuales de los estudiantes y los proble-mas actitudinales son obstáculos insalvables1 .

• Todos los profesores reconocen y asumen la deficienteformación científica inicial para abordar problemas demodelización próximos a la química, biología, veterina-ria, ciencias de la salud, etc., aunque cada uno tiene supropia creencia sobre cómo influye y condiciona su prác-tica docente.

• La mayoría de los profesores se muestran cautos cuandose trata directamente el tema de los estudiantes, recono-ciendo que es un tema delicado y que entraña dificultad;sin embargo, prefieren dejarlo aparte. Reconocen la nece-sidad de un debate sobre la enseñanza universitaria aun-que tampoco les preocupa demasiado al ser un aspecto queno está lo suficientemente valorado ni reconocido en elámbito institucional.

Los diferentes matices que hemos deducido del análisis einterpretación particular de los datos afectan directamenteal enfoque particular de enseñanza de cada profesor y a lacoherencia entre las concepciones mantenidas, la prácticaque interpretamos que realiza cada profesor y las creen-cias sobre lo que debería ser su práctica docente. Lo quenos aportan estos matices es la consciencia del profesorrespecto a la enseñanza cuando se conjugan los tres aspec-tos anteriores: concepciones-práctica-creencias. A conti-



nuación, escribimos tres expresiones que caracterizan acada profesor y que nos han permitido contrastar las coin-cidencias y las diferencias entre todos ellos.

Podemos hacer tres grupos de profesores:

GRUPO I: Profesores A, B y F.

GRUPO II: Profesores C y D.

GRUPO III: Profesor E.

Todos los profesores tienen unas concepciones platónicasy formalistas de las matemáticas, salvo el profesor F quebusca un equilibrio entre el formalismo matemático y lasideas intuicionistas; además, este profesor es el que más seaproxima a la idea de matemática aplicada como otra ramade las matemáticas.

La práctica docente de todos los profesores acaba siendomuy instrumental, con ligeras inclinaciones hacia la ten-dencia dogmático-conservadora, con la que intentan bus-car un equilibrio, o bien se aproximan a una tendencia deenseñanza más pragmática y potencian una visión másaplicada de las matemáticas. El único profesor que decidi-damente se mantiene en una tendencia de enseñanzacaracterizada por las concepciones formalistas es el profe-sor D.

Los profesores realizan un ejercicio de autorreflexión so-bre su práctica docente y, en este punto, surgen diferenciasentre lo que se hace, bien por convencimiento o por obli-gación, y lo que se cree que se debería hacer. En este sen-tido, los profesores A, B y F creen que la enseñanza debe-ría aproximarse un poco más hacia el pragmatismo-constructivismo, buscando la parte más significativa de lasecuaciones diferenciales; los profesores C y D, cada unoen su respectiva creencia sobre la práctica de enseñanza,se mantienen bastante fieles a lo que creen que se deberíahacer; mientras que el profesor E cree que debería ser máspragmático-constructivista, tendencia de enseñanza en laque ya se encontraría desde su punto de vista, y que yapone en práctica con sus estudiantes. Sin embargo, desdenuestra interpretación de los datos, este profesor no es cons-ciente de que realmente actúa como dogmático-conserva-dor buscando cierto equilibrio estable con el instrumen-talismo al que se ve abocado, en parte, por el nivel decompetencia de los estudiantes.

Todos estos elementos nos permiten hablar de la consis-tencia de las concepciones y creencias de los profesores yel grado de permeabilidad de éstas, de forma que, bajo de-terminadas condiciones, éstas fueran susceptibles de sermodificadas y, por lo tanto, permitirían que los profesoresse situaran en otras prácticas docentes.

En este sentido, los profesores más susceptibles de algunamodificación serían los profesores A, B, y F, no sólo porsu capacidad de autorreflexión sobre su propia prácticadocente, sino por la consciencia que tienen sobre la nece-sidad de dar otro enfoque a la enseñanza de las ecuacionesdiferenciales que permitiera a los estudiantes tener una vi-sión más completa de ellas, aunque fuera algo más intuiti-va que lo que podría esperar un matemático.

Concepciones matemáticas:PLATÓNICO y FORMALISTA

Práctica docente:INSTRUMENTALISTA

Creencias de lo que debería ser:PRAGMÁTICO-CONSTRUCTIVISTA

PROFESOR A {Concepciones matemáticas:

PLATÓNICO y FORMALISTA

Práctica docente:INSTRUMENTALISTA con tendenciasPRAGMÁTICO-CONSTRUCTIVISTA


PROFESOR B {Concepciones matemáticas:

PLATÓNICO y FORMALISTAcon tendencia INSTRUMENTALISTA


Creencias de lo que debería ser:INSTRUMENTALISTA

PROFESOR C {Concepciones matemáticas:


Práctica docente:DOGMÁTICO-CONSERVADOR

Creencias de lo que debería ser:DOGMÁTICO-CONSERVADOR

PROFESOR D {Concepciones matemáticas:


Práctica docente:Se cree PRAGMÁTICO-CONSTRUCTIVISTA

pero actúa como DOGMÁTICO-CONSERVADOR e INSTRUMENTALISTA


PROFESOR E {Concepciones matemáticas:

FORMALISTA con marcado carácterINTUICIONISTA: matemática aplicada


Creencias de lo que debería ser:INTUICIONISTA con matices PRAGMÁTICO-

CONSTRUCTIVISTA

PROFESOR F {



Los profesores C y D son los más consistentes, por lo quea sus creencias se refiere, ya que consideran que la prácti-ca docente actual es la única posible y la que debe ser. Sibien el profesor C desearía un mayor repertorio de aplica-ciones matemáticas relacionadas directamente con la quí-mica y biología, independientemente de ello, cree que paraeste tipo de estudiantes la única posibilidad de enseñanzaes ésta, porque como futuros químicos o biólogos tampo-co quieren nada más. El profesor D, fiel a sus concepcio-nes formalistas, se mantiene en su tendencia de enseñanzadogmática-conservadora porque considera que no se pue-den perder los valores matemáticos, aunque sean unas ma-temáticas explicadas a no-matemáticos; sin embargo, semuestra realista y reconoce que la situación de enseñanzacada día es más complicada y cada vez son más los proble-mas con los que el profesor no sabe tratar, porque se esca-pan de su propio conocimiento matemático. Ambos profe-sores son los que ejercen una práctica más coherente yconsistente con sus ideas, y donde encontramos menospuntos de contradicción.

Finalmente, el profesor E no tiene realmente mucha cons-ciencia de su práctica de enseñanza, con lo que cualquierintento de implementación estaría abocado al fracaso. Suconcepción de las matemáticas es platónico-formalista, yvalora el conocimiento matemático muy por encima de lasaplicaciones, a las que considera como «un además» delas matemáticas, esto es, primero «las matemáticas de ver-dad» y luego «ya vendrán las aplicaciones». El discursosobre la enseñanza es muy fluido y desde el plano de lareflexión se aproxima bastante a una tendencia pragmáti-co-constructivista de la enseñanza. Cuando reflexionamossobre la práctica real que el profesor dice que hace, éstecree que trabaja desde planteamientos constructivistas yproporciona un enfoque muy didáctico de la enseñanza,mientras que la realidad, desde nuestro análisis e interpre-tación de los datos y del tipo de materiales que emplea,actúa buscando un equilibrio entre el dogmatismo con-servador y el instrumentalismo. Parte de esta confusiónsurge por el discurso eminentemente didáctico que no secorresponde con la práctica extremadamente guiada yconductista de su enseñanza. Este profesor está completa-mente convencido de que su práctica docente funciona muybien y es la adecuada, si bien asume que podría hacer mássi tuviera estudiantes con más conocimientos matemáticose interesados por la materia.

El esquema final de la página siguiente es un resumen glo-bal con el que se pretenden expresar nuestras conclusio-nes, como investigadores, de lo que son cada uno de estosprofesores y su práctica docente. Con este estudio, no sólose ha tratado de realizar un análisis exhaustivo de lo quelos profesores creen y piensan acerca de la enseñanza y elaprendizaje de las ecuaciones diferenciales, y de la influen-cia de sus concepciones sobre la materia, sino que ademásnuestra interpretación final de los datos nos permite llegara estos esquemas que representan lo que para nosotros soncada uno de los seis profesores, y en los que además indi-camos nuestra intuición sobre cómo nos parece que losprofesores desearían actuar si determinados condicionantesy realidades cambiaran.

GRUPO I

Concepciones

Práctica es... equilibrio

PROFESOR A

FORMALISTA

INSTRUMENTAL PRAGMÁTICO-CONSTRUCTIVISTA

Deficiente formación

Concepciones

Práctica es... equilibrio

PROFESOR F

FORMALISTAINTUICIONISTA

PRAGMÁTICO-CONSTRUCTIVISTAINSTRUMENTAL(obligación)

Concepciones

Práctica es...

PROFESOR B

FORMALISTA

PRAGMÁTICO-CONSTRUCTIVISTAINSTRUMENTAL(obligación)



GRUPO II

Concepciones

Práctica es...

INSTRUMENTAL(convencimiento)

PROFESOR C

FORMALISTA-INSTRUMENTAL

Concepciones

Práctica es...

PROFESOR D

DOGMÁTICO-CONSERVADOR: Realista

(obligación)

FORMALISTA

CONCLUSIONES DEL ESTUDIO

Análisis general

Algunas de las conclusiones a las que hemos arribado son:

– La metodología de enseñanza dominante en el ámbitouniversitario es la clase magistral, en la que el profesor dematemáticas ocupa un papel central y relevante; ningunode los profesores del estudio siente la necesidad de utilizarotro tipo de metodología de enseñanza, en parte por laacomodación de los intereses profesionales y de losestudiantes.

– La mayoría de los profesores creen y están convencidosde la idoneidad de los contenidos de ecuaciones diferen-ciales que imparten actualmente, teniendo en cuenta lascaracterísticas de los estudiantes con los que trabajan. Con-sideran que esta adaptación a los nuevos planes de estudioy nuevos requerimientos sociales tan sólo supone una dis-

GRUPO III

Concepciones

Práctica es...

Falso PRAGMATISMO-CONSTRUCTIVISMO

PROFESOR E

FORMALISTA

minución de los contenidos teóricos enseñados, y la susti-tución de las demostraciones por las justificaciones.

– Aunque las concepciones de las matemáticas de la ma-yoría de los profesores se aproximan a las ideas formalis-tas, en líneas generales podríamos decir que la prácticadocente es esencialmente instrumentalista, y hace especialénfasis en la enseñanza de métodos de resolución de tiposde ecuaciones diferenciales integrables y en la resoluciónde determinados problemas «tipo» de modelización.

– La propia concepción formalista de las matemáticas seconvierte en un obstáculo para la mayoría de los profeso-res. Esto conduce a contradicciones: por un lado, conside-ran incompletas las explicaciones y la presentación de de-terminados temas sin un peso considerable de loscontenidos teóricos matemáticos que los sustentan; pero,por otro lado, son conscientes que trabajan con estudian-tes cuyo nivel de competencia matemático elemental im-pide que utilicen de forma significativa dichos conoci-mientos teóricos.

– El tratamiento que actualmente se da a la enseñanza dela modelización y de las aplicaciones a situaciones de lavida real se debe a varios motivos:

a) Dificultad conceptual de la modelización y necesidadde conocimientos matemáticos de los que los estudiantesno disponen. Comodidad del profesor frente a la enseñan-za mecánica e instrumental de métodos de resolución deecuaciones diferenciales.

b) Concepción personal de cada profesor respecto a la ma-temática aplicada y su posición en el ámbito de las mate-máticas. La mayoría de los profesores establecen una claralínea divisoria entre lo matemático y las aplicaciones delas ecuaciones diferenciales. Todos dan prioridad a lo ma-temático respecto a la modelización.

– La mayoría de los profesores optan por la enseñanza ins-trumental de las ecuaciones diferenciales apoyándose entres argumentos:



a) Pobre nivel de competencia de los estudiantes, escasacapacidad de razonamiento matemático y pobre pensamien-to relacional.

b) Sencillez de la enseñanza de técnicas frente a la dificul-tad de enseñar a resolver problemas.

c) Poco tiempo dedicado a la planificación de la materia,respecto del que deberían invertir para la adecuada prepa-ración de las sesiones, si el enfoque de la materia secentrara más en las aplicaciones de las ecuaciones diferen-ciales.

– Los profesores creen que la buena enseñanza está casiexclusivamente relacionada con el nivel de conocimientosmatemáticos del profesor; de ahí que no se planteen la ne-cesidad de una formación didáctica que les proporcioneherramientas de trabajo en clase. Por el contrario, piensanque sería necesaria una formación científica específica so-bre aplicaciones interesantes de las ecuaciones diferencia-les para químicos, biólogos, veterinarios, estudiantes deciencias de la salud, etc.

– La persistencia de los métodos de enseñanza tradicionalfrente a otras alternativas más novedosas de enseñanzapuede deberse a varios motivos:

a) Fuerte creencia, en líneas generales, del pobre nivel decompetencia de los estudiantes, y del deficiente conoci-miento matemático, que les hace considerar como impen-sable cualquier enfoque que ponga al estudiante en situa-ción de pensar y razonar más allá de los aspectos básicosque acaba memorizando y mecanizando.

b) Concepción de las matemáticas, y en particular de lasecuaciones diferenciales, muy formalista, que sobrevalorala manipulación simbólica frente al tratamiento numéricoy gráfico de las ecuaciones diferenciales, como principioincuestionable del aprendizaje significativo.

c) Miedo a la pérdida de los contenidos específicos de loque algunos profesores consideran «las matemáticas deverdad», en favor de contenidos y técnicas propias de lasmatemáticas aplicadas, que no tienen la misma considera-ción que las matemáticas puras, tradicionales y «de toda lavida».

d) Consciencia de la obligatoriedad de reciclarse y dedicartiempo a la preparación de una materia que actualmenteconocen y dominan, mientras dedican más tiempo a la in-vestigación u otras tareas profesionales más valoradasinstitucionalmente.

Análisis particular

Las conclusiones más relevantes a las que hemos llegadoson:

– Comparando la caracterización de estos profesores conla que se estableció en Moreno (1995), diremos que, aten-diendo a la práctica docente, todos se sitúan en el estilotradicional, si bien los profesores del grupo I podrían con-

siderarse de estilo transitorio, por las creencias que éstossostienen sobre lo que debería ser la enseñanza de las ecua-ciones diferenciales a estos colectivos de estudiantes; ade-más, los profesores de este grupo se plantean la reflexiónsobre la práctica, fruto de la experiencia docente y profe-sional.

– Los profesores de los grupos II y III son los más consis-tentes y con un sistema de concepciones y creencias máscoherentes. Los del grupo II mantienen un equilibrio entrelo que piensan y lo que dicen que hacen, su consistencia seapoya en el convencimiento de que hacen lo adecuado y loúnico posible. Por el contrario, para el profesor del grupoIII, su consistencia se sustenta en el convencimiento de unplanteamiento didáctico adecuado a las necesidades de losestudiantes, próximo al constructivismo. Este profesor esmuy poco permeable a cualquier tipo de implementación einnovación, pues considera que, aunque se puede mejorar,ya está en una buena posición en la que «las cosas funcio-nan». No obstante, detectamos indicios de contradicciónentre lo que cree que hace y lo que piensa. Al igual quesucedía con otros profesores, también se aproxima aldogmatismo conservador.

– Los profesores del grupo I son los más permeables acualquier implementación de la enseñanza, pues están abier-tos a ello, bien por sentirse descontentos de los resultados,bien por considerar que el enfoque actual no es el adecua-do. No obstante, hay muchos indicios de contradicción: sesitúan en una posición claramente instrumentalista por obli-gación, a pesar de concebir las matemáticas y las ecuacio-nes diferenciales de forma muy distinta.

– Desde el punto de vista de la coherencia de las concep-ciones y creencias, los profesores del grupo II son los máscoherentes y se encuentran en un estado de equilibrio bas-tante estable. Por el contrario, los profesores de los gruposI y III son los que deben superar más contradicciones in-ternas entre sus creencias y concepciones, y su percepciónde la práctica de aula.

Para concluir esta sección dedicada a las conclusiones di-remos que, en términos generales, se ha podido compro-bar que, si bien la enseñanza de la modelización es un temainteresante pero difícil, las razones que más pesan paradejarlo de lado en el currículo son la comodidad de losprofesores a la hora de enseñar y la despreocupación porla docencia, que ni siquiera está valorada desde la institu-ción universitaria.

Tal como ya se comprobó en Moreno (1995), la importan-cia de los grupos interdisciplinares de profesores encarga-dos de organizar una asignatura de estas características,como sucedía en el caso del profesor de estilo avanzado,se corrobora en esta nueva investigación, de forma quequeda patente la necesidad de interconexión entre espe-cialistas de distintas áreas unidos bajo un mismo objetivode enseñanza.

Asimismo, detectamos la ausencia de objetivos claros yexplícitos en los programas específicos de la materia, loque nos hace presumir una dificultad por parte de los pro-fesores de saber exactamente la meta alcanzable y, como



consecuencia, acabar enseñando contenidos que tradicio-nalmente estaban en los programas pero que hoy en díapierden su sentido y razón de ser por los avances tecnoló-gicos. Esto nos lleva a pensar en la necesidad de un debatey reflexión seria sobre la utilidad, interés e importancia delos contenidos actuales para un aprendizaje y una ense-ñanza mediatizada por las nuevas tecnologías y condicio-nada por las demandas sociales.

Independientemente del grupo en el que hayamos encua-drado a cada profesor, ninguno de ellos valora suficiente-mente a los estudiantes más allá de las creencias, muy asen-tadas, que todos los profesores tienen sobre los mismos.No consideran diferentes estilos de aprendizaje, quizásporque el reconocimiento de éstos les obligaría a reorgani-zar su enseñanza de forma que pudiera atender las diferen-tes necesidades de aprendizaje y los diferentes niveles delos estudiantes. En general, los profesores prefieren des-cargar las responsabilidades sobre el fracaso de la ense-ñanza en los propios estudiantes, sus actitudes y su escasaformación matemática, sin ni siquiera plantearse que seles está exigiendo que se acomoden a un tipo de enseñanzanormativo y tradicional, válido para estilos de aprendizajepor imitación, que no tienen por qué coincidir con los es-pecíficos de cada estudiante.

De esta forma, y tal como apuntaba Bishop (1991), el pro-ceso de enseñanza acaba mostrándose con las siguientescaracterísticas:

– Asimétrico, pues no hay un verdadero reparto de respon-sabilidades entre el profesor y el estudiante.

– Falto de intencionalidad, pues las metas y los objetivosno quedan claros, y la enseñanza se reduce a un conglome-rado de contenidos conceptuales y tareas de ejercitaciónsin una clara finalidad.

– Excesivamente idealizado, en el sentido de que el profe-sor acaba manejando muchas ideas matemáticas que nece-

sitan ser compartidas con los estudiantes y ser comunica-das con claridad para no afectar al éxito del proceso deenseñanza.

Todas estas cualidades de la enseñanza de las ecuacionesdiferenciales están presentes en las tendencias de enseñanzade los seis profesores que han participado en esta investi-gación; una consecuencia inmediata de ésta es la pérdidade interés por parte de los estudiantes, la búsqueda de cla-ves que les permitan superar la asignatura sin grandes com-plicaciones y su adaptabilidad a las exigencias de ense-ñanza.

NOTAS

* Este artículo es un resumen de la tesis doctoral: «El profesoruniversitario de matemáticas: estudio de las concepciones y creen-cias acerca de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales. Estu-dio de casos», realizado por Mar Moreno Moreno bajo la direc-ción de Carmen Azcárate en el marco del programa de doctoradodel Departament de Didàctica de las Matemàtiques i de lesCiències Experimentals de la Universitat Autònoma de Barcelo-na. Este artículo ha sido escrito en el marco del Proyecto «Pensa-miento matemático avanzado: procesos cognitivos de aprendiza-je y fenómenos de enseñanza» (CICYT, BXX2000-0069).

1 Lo que queremos decir es que, por ejemplo, los profesores ha-blan reiteradamente de la «incapacidad de los estudiantes paraestablecer conexiones entre contenidos aprendidos»; sin embar-go, en ningún momento los profesores asumen parte de respon-sabilidad en este hecho y ni siquiera se plantean cómo favorecerun pensamiento relacional en los estudiantes. Igualmente estánconvencidos de la «desmotivación de los estudiantes», pero no latoman como algo que les afecte a ellos salvo por el posible am-biente que pudiera haber en clase; ni siquiera reflexionan sobreposibles decisiones que parten de los propios profesores para paliaruna parte de esta desmotivación que pueda estar directamenterelacionada con su actuación. A la vista de estos ejemplos, resul-ta bastante fácil continuar con otros tantos que han quedado enevidencia a lo largo del análisis e interpretación de los datos deinvestigación.

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[Artículo recibido en enero de 2002 y aceptado en enero de 2003.]



ANEXO I

CUESTIONARIO

PROBLEMA 1En un estudio sobre alimentación, el peso de un voluntario disminuye de 140 libras a 110 libras en 30 días. Se observó que la pérdida de peso por día eraproporcional al peso del voluntario. ¿Crees que hay alguna ecuación diferencial que expresara el peso como función del tiempo? ¿Por qué? ¿Cuál creesque sería el peso del voluntario después de 15 días?

Cuestiones sobre las que reflexionar1.1. ¿Cuáles crees que podrían ser los posibles razonamientos de tus estudiantes en este problema?1.2. Si deseas aprovechar el enunciado de este problema para iniciar progresivamente a tus estudiantes en la modelización, ¿cómo modificarías suenunciado de forma que se mejorara el modelo? Indica dos posibles mejoras de éste, así como el objetivo que esperas que logren tus estudiantes.1.3. ¿Crees que el estudiante piensa o tiene la idea de que todo problema biológico es modelizable en términos de una ecuación diferencial? ¿Por qué?

PROBLEMA 2Discutir cualitativamente los siguientes sistemas de realimentación:a) Crecimiento de la población - países en desarrollo - pobreza.b) Producción de energía mediante combustibles fósiles - peligro por la polución del SO2 - interés público - supresión de la polución -producción de energía.c) Nivel de vida - enfermedades - producción.d) Producción de automóviles - densidad de tráfico - construcción de carreteras.e) Administración de una droga curativa - habituación - enfermedad.f) Tala y quema de bosques para la agricultura - cambio climático - deterioro del terreno.

Preguntas dirigidas al profesor para la reflexión sobre dicha tarea. Elige uno de dichos sistemas y piensa sobre él.2.1. Si propusieras esta actividad tal cual a tus estudiantes, ¿cuál crees que sería la respuesta de los mejores estudiantes de la clase? ¿Cuál la de la media?2.2. ¿Qué pautas darías a un estudiante que te pidiera ayuda sobre cómo realizar la actividad?2.3. Di alguna razón que, desde tu punto de vista, hace que esta actividad resulte especialmente difícil a tus estudiantes. Explica por qué.2.4. Si esta tarea formara parte de un ejercicio puntuable para la nota final, ¿cómo lo evaluarías? ¿Qué aspectos de su resolución valorarías más? ¿Porqué? Intenta concretarlos.

PROBLEMA 3«Crecimiento de una función» puede tener varios significados diferentes.Sea y = f(t) una función monótona creciente. ¿Qué significa...a) crecimiento en un intervalo [t1,t2]?b) porcentaje de incremento en un intervalo [t1,t2]?c) razón media de crecimiento en un intervalo [t1,t2]?d) razón instantánea de crecimiento en un instante t1?e) razón específica de crecimiento en un instante t1?

Preguntas destinadas al profesor para su reflexión acerca de dicha actividad:3.1. ¿Cuál/es serían las respuestas más frecuentes que tus estudiantes pudieran dar?3.2. ¿Cómo explicarías a un estudiante que no tiene claro este concepto la diferencia entre todas esas expresiones?3.3. ¿Qué nivel de formalización esperarías que emplearan tus estudiantes para responder a dichas cuestiones?3.4. ¿De qué tipo sería el error más frecuente en las respuestas de tus estudiantes?

PROBLEMA 4

¿Podrías interpretar esta gráfica describiendo un modelo biológico al cual se ajuste?Preguntas dirigidas al profesor para la reflexión sobre dicha actividad:1. ¿Qué interpretación te gustaría que dieran tus estudiantes y cuál es la que crees que podrían dar?2. ¿Dónde radica la máxima dificultad de esta actividad?3. ¿Cuáles deberían ser los elementos matemáticos básicos que un estudiante debería identificar y que le permitieran resolver el problema?4. ¿Crees que esta actividad es interesante o factible en un curso de primer ciclo de universidad de matemáticas para químicos, biólogos, etc.?5. Si eligieras esta actividad para familiarizar a tus estudiantes con el aspecto gráfico de las ecuaciones y sistemas diferenciales, ¿podrías explicarme pasoa paso cómo conducirías a tus estudiantes desde la gráfica dada hasta el planteamiento de un sistema de ecuaciones que modelizaran dicha situación?

concepciones y creencias de los profesores … · de matemáticas acerca de la enseñanza de las...

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