Conceitos Fundamentais I

Campos de uma onda plana uniforme (valores instantâneos/amplitudes complexas)

zjx eExzExzE )(

0^

~

^

~

_

~)()(

zjzeeExtzE 0

^

~~),(

j

jZ

)(0^

~

^

~

_

~)()( zzjz

y eeZEyzHyzH

)cos(),( 0^

~~ zz zte

ZEytzH

zeZ

Condutores e Dieléctricos

corrente de condução

corrente de deslocamento

~~~EjHkj

- É a razão entre a densidade de corrente de condução e a densidade de corrente de deslocamento.

Bons condutores (como os metais)

8105.3GHz30fCobre1

Bons dieléctricos (ou isoladores)

1

Mica (em frequências de audio e radiofrequência)

0002.0~

Propagação de Ondas em Dieléctricos

j

EjEjEDjJH

1

eq

~eq~~

__

~

__

~

__

~

Ângulo de perdas do dieléctrico:

)1(tg

jj2

O efeito das perdas (pequenas) traduz-se no aparecimento de mas β fica praticamente

inalterado em relação ao caso = 0.

Equações de Ondas num Bom Condutor

^

~

r.njr.n1r.n

n

eee

2j1

j~j1j

1

~

^

~~

^

~~

^

~

- Direcção de propagação (normal ao plano de fase constante)

• A onda é muito atenuada á medida que se propaga no meio condutor e a sua desfasagem por unidade de comprimento também é muito elevada.

• A velocidade de fase é muito pequena

1R

j1Rj~j

jZ

m

m

• Num bom condutor em radio frequência a taxa de atenuação é muito elevada e a onda só penetra uma distância curtíssima, sendo rapidamente reduzida a um valor insignificante.

• δ – profundidade na qual a onda já foi atenuada de 1/e (~ 37% do seu valor inicial)

Cobre 1MHz 0.0667 mm

100 MHz 0.00667 mm

Água do Mar 1MHz 25 m

Água 1MHz 7.1 m

Impedância característica

Velocidade de fase e Velocidade de grupo

• Velocidade de fase de uma onda plana com uma frequência angular ω

pv

gv

Valor médio da densidade de potência transmitida pela onda electromagnética

*)(21)(

_

~

_

~HxERzS emédio

Polarização de ondas electromagnéticas

Polarização circular

E10 = E20 = E0

~E roda com velocidade angular no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio

Onda com polarização circular direitajkzeEyjxzE 0

^

~

^

~

_

~)()(

jkzeEyjxzE 0

^

~

^

~

_

~)()( Onda com polarização circular esquerda

Polarização linear

E1(z) e E2(z) em quadratura no espaço e em fase no tempo

tEyxtE cos)(),0( 0

^

~

^

~~

Radiação

rkje

jkrLIH k

1sin4

2_

_

rkjerkj

kZLIE

1sin4

20

Campos do DEH na zona distante (campos de radiação)

Resistência de radiação do DEH

22

* 802/

:

L

II

PRDEH rr

Rr – valor de uma resistência fictícia que dissiparia uma potência igual à da potência radiada

pela antena quando percorrida por I igual à corrente máxima da antena

08.0~01.0.: rRLexDEH (valor muito pequeno)

sinr

eAIk4Z

sinAIr

e2

sinLIr

e21jHZE

eHH

eEE

jkr20

jkr0

m

jkr

0

^

~~

^

~~

• Equivalência entre os campos gerados pelo DMH e o anel condutor:z

J

x

A

z

J

x

m0I

I

AIjLI 0m0

• A equivalência anterior permite escrever os campos do DHM em termos de grandezas eléctricas:

- Corrente eléctrica I que percorre o anel

- Área A que o anel abraça.

sinsin.cos^

~

^

~

rey

Ψ – ângulo que a direcção de observação faz com o eixo ao longo do qual estão distribuidas as antenas do agregado.

0=1

z

yx

0~r

• • • • • •

Ө

(q) (n)

AGREGADOS

Espaçamentos comensuráveis

Fases progressivas

d)1q(yq

)1q(jqq

qjqq

0

q

eAa

eAaII

Factor complexo do agregado

cos

)2()( )1(

1

kd

eAFFF qjq

n

q

• O factor do agregado é uma função periódica (periodo 2π) da variável γ.

Construção gráfica para obter a forma do diagrama de radiação de um agregado a partir do Factor (espacial) do agregado

cos2

cos|F|

z/dIII 121

onormalizad2

cosF2coskdcosee1F

coskd2n,0Seja

eaeaF

m2coskdjcosjkd

)1q(jq

cos)1q(jkdq

n

1q

Propagação Guiada

Guias metálicos

Fibras Ópticas

Linhas de transmissão

Guias metálicos

• Guia de secção rectangular

ab

z

xy

2

22221

221

2221

2

221

2

0

0

c

zyx

zczzzT

zzzT

k

kkkk

kkkTMModosEkkE

TEModosHkkH

ank

amk

eykxkHH

yx

zjkyxzz z

)cos()cos(0

Modos TE

ank

amk

e)yksin()xksin(EE

nbk0Amak0A

0E:by,0y,ax,0xEm

e)yksin(B)ykcos(A)xksin(B)xkcos(AE

yx

zzjkyx0zz

y2x1

z

zzjky2y2|x1x1z

Modos TM

,z11TE

,xTE

x,yTE

x

zyx2c

yz0zy

zyx2c

xz0zx

zyx0zz

k/kZZHZEHZE

)zjkexp()yksin()xkcos(k

kkHjH

)zjkexp()ykcos()xksin(kkkHjH

)zjkexp()ykcos()xkcos(HH

Modos TEmn

Modos TMmn

,k/KZZ,Z/EH,Z/EH

)zjkexp()ykcos()xksin(k

kkEjE

)zjkexp()yksin()xkcos(kkkEjE

)zjkexp()yksin()xksin(EE

1z1TMTM

xyTM

yx

zyx2c

yz0zy

zyx2c

xz0zx

zyx0zz

Características de propagação de modos TEmn e TMmn

• A constante de propagação longitudinal só pode tomar valores discretos:

cmn1

cmn

222cmn

11

2cmn

21zmn

k2cf

bm

amk

ck

kkk

Frequência de corteOs modos TEmn e TMmm são modos degenerados

Modo fundamental TE10

a

b

a > b

TS TT~T~

z

xcyz

11TE

xTEy

zzjkx

x

z0zx

zzjkx0zz

110c

z

E.E

21P

kk0ka

kxkkZZ

HZE

e)xksin(kkHjH

e)xkcos(HH

a2cf

Valor médio da energia transmitida por unidade de tempo

Guia rectangular

y

zx

b

aa > b

Modos TEmn , TMmn

2

bn2

am

112

zk

• Indíce m – nº de meios ciclos do campo e.m. na direcção xx

• Indíce n – nº de meios ciclos do campo e.m. na direcção yy.

• Cada modo apresenta a sua impedância característica1

11

1 kkzZZ

kkZZ TMz

TE

2

bn2

am

21c

mnfc

Frequência de corte

TE10 Modo fundamental

Fibras Ópticas

Confinamento de luz na fibra

θi

bainhan2

θt

i~k

~rk

núcleon1

kt

Өi

= Өc

Өt = 90º

i~k

~tk

Reflexão interna parcial Reflexão no ângulo limite

Өi

i~k

~rk

Өi

Reflexão interna total Өi > Өc

bainha n2

núcleo n1

Excitação da fibra

Өt

ӨiØt

Øi

n2

n1 z

ar

n0

22

21

21

22

21

20

110

sin

1cossin

2

sinsin

cossinsin

2

nn

nnnn

nn

nnn

iL

iLiL

t

ti

iti

it

No limite

Cone de aceitação

Abertura numérica NA

•A abertura numérica traduz a capacidade de captação da luz na fibra óptica.

•Se NA for elevado podem-se propagar modos com vg muito diferentes o que aumenta

a dispersão.

22n2

1niLsinNA

Øi∟

n2

n1

a) Raio axial

b) Raio meridional extremo

Regime multimodal (descrição da óptica geométrica)

Dispersão intermodal

ӨiØt

Øi

n1∟'

n2

∟

Raios meridionais

a) Velocidade máxima: modo cujos raios são praticamente axiais.

b) Velocidade mínima: modo cujos raios incidem na interface núcleo/baínha segundo

2

2n21n1siniiL

1ncL

mint

22n

21n

cL

1nc

Ltcos/L1n

c'L

máxt

Ritmo de transmissão

• A dispersão intermodal conduz ao espraiamento dos impulsos transmitidos o que se

traduz na diminuição do ritmo de transmissão

• Impulso de duração 2 Δtc →

Ritmo de transmissão máximo:

• Soluções para reduzir/iliminar dispersão intermodal:

a) Fibras de núcleo não homogéneo

b) Fibras monomodo

ct21B

Alargamento do impulso

• Dispersão traduzida na eq. característica: D (ω, kz) = 0

• Atraso de grupo por unidade de comprimento:

gncL

gt

gnn

zkgvenc

zkfv

gv1

Lgt

Indice de grupo

λ

Δ λ << λ0

λ0

Dispersão material

LMd

dncL

ddt

gt

gt

Largura espectral

Coeficiente de dispersãoAlargamento do impulso

• O coeficiente de dispersão M caracteriza o alargamento do impulso devido às

variações do índice de refração do núcleo (sílica) com o comprimento de onda (ω).

Dispersão estrutural

• É intrínseca a todos os sistemas de propagação guiada. Traduz a dependência de λ

das constantes de propagação no núcleo e na baínha.

• A dispersão estrutural só é relevante em fibras monomodo para regiões de λ em que o

coeficiente de dispersão material se aproxima de zero (ex: λ ═ 1300 nm)

2Vd

bV2dVn0c

21gn

eM

Parâmetros normalizados

Frequência normalizada

Constante de Propagação Normalizada

Contraste

(abertura numérica)

c

kvuaV

naknnakWUV

02222

21

1021

22

210

21

22 2

21

22

20

221

221

20 .... knkawaWknkauaU zz

ak

VnnnNA

nnn

nnn

nnnkk

nnnkk

VW

VUb zz

0

21

121

22

21

1

2221

22

21

21

2022

21

22

20

2

2

2

2

2

12

/1/1

Modo fundamental LP01

• Modo LP01 único modo em regime unimodal

• Frequência de corte nula VC = UC = 0• Existe isolado na banda de frequências • Equação característica

• Soluções aproximadas

No intervalo 1.5 < V < 2.5

)()(

)()(

0

1

0

1WKWKW

UJUJU

0 < V < 2.405

14/14)4(1)21()(

VVVU

2/122 )996.01428.1()( VVVU

Distribuição de potência na fibra óptica

• A potência transportada pela está distribuida no núcleo e na baínha

• Factor de confinamento de potência

dVbVdb

PPP

baínhanúcleo

núcleo )(21

Ritmo de transmissão

• A dispersão intermodal conduz ao espraiamento dos impulsos transmitidos o que se

traduz na diminuição do ritmo de transmissão

• Impulso de duração 2 Δtc →

Ritmo de transmissão máximo:

• Soluções para reduzir/eliminar dispersão intermodal:

a) Fibras de núcleo não homogéneo

b) Fibras monomodo

ct21B

Capacidade de transmitir informação

• Capacidade taxa máxima de transmissão fiável

• C = B log2 (1 + S/N) [Lei de Shannon]

• B – largura de banda do canal• BT - ritmo de transmissão máximo

BT ~ 2 B

Para transmitir ao ritmo BT ~ é necessário um canal com uma largura de banda

B = BT /2 (código NRZ) ou B = BT (código RZ).

Dependência de aguns parâmetros modais com a frequência (normalizada)

Linhas de transmissão

Carta de Smith

- Determinação das características das ondas nas linhas

- Resolução de problemas de adaptação de impedâncias

0ZsZsZsZ

2I0Z2V2I0Z2Vjeksk

2iV2rV

sZ2I2V

22I0Z2V

22I0Z2V

2V2rV

22I0Z2V

2iV

2I0Z2rV

0Z2iV

0Z2V

0Z2rV

0Z2iV

2V2rV2iV

2V2rV2iV

)z(e

0Z2rV)z(

e0Z2iV)z(I

)z(e2rV)z(e2iV)z(V

ll

ll

ks - factor de reflexão na carga

Ondas estacionárias numa linha de transmissão terminada por Zc = 3 Z0

y2cosk2y2e2ky2e2iI)y(I

y2cosk2y2e2ky2e2iV)y(V

yjeyejekyjeyeyjeyejekyjeye2iV)y(V

yeskye0Z2iV

)y(I

yeskye2iV)y(V

• A tensão e a corrente na linha consistem na sobreposição da onda incidente e da onda reflectida. Tais ondas designam-se por ondas estacionárias. Apenas quando Z s = Z0 não há onda reflectida (ks = 0).

4

1)(24

1)(2

2

22

y

kVyVmy

kVyVy

imáx

imáx m

Primeiro máximo de tensão:

2ky2cosk212iI)y(I

2ky2cosk212iV)y(V

a) A tensão é máxima quando:

Linha sem perdas

• Nos planos em que a tensão é máxima a corrente é mínima.

a) Plano de máximo ymáx de tensão

b) Plano de mínimo ymin de tensão

Nos planos de Vmáx ou Vmin (Imin ou Imáx) a impedância da linha é óhmica pura.

Quando a linha está adaptada p = 1. Quando a linha está terminada por uma reactância pura: um curto circuito ou um vazio: k = 1 e p = ∞

pk1k1

minImáxI

minVmáxV

2m

44miny

1m2miny2

b) A tensão é mínima quando:

c) Factor de onda estacionária

Impedância nos planos de máximo e de mínimo

mRp0Z

k1k1

0ZmáxIminV

minyZ

mRp0Z

k1k1

0ZminImáxV

ymáxZ

Impedância da linha

A impedância da linha (cociente entre a tensão e a corrente) varia ao longo da linha.

À distância y = l da carga tem-se:

ll

l

l

ll

l

ll

tgSZj0Ztg0ZjsZ

0Z)y(Z

0ZsZ0ZsZ

sk

2jesk1

2jesk10Z)y(Z

yjeskyje0Z2iV

)y(I

yjeskyje2iV)y(V

)y(I)y(V

)y(Z