Con thỏ của Mirella

Con thỏ của Mirella là một con thỏ rất to, to đến mức papa cũng ngạc

nhiên. Nó to đến như thế nào, thì xem tiếp sẽ rõ.

Con thỏ lớn nhanh

Số là thế này. Một lần, Mirella nghĩ ra bài toán con thỏ để đố papa.

Mirella nói: “con thỏ này cứ mỗi ngày lại to lên gấp đôi, papa phải đưa ra

định lý cho nó”. Papa liền trả lời: “thế thì chẳng mấy chốc con thỏ sẽ to

hơn cả quả đất”. “Nhưng mà đến ngày thứ 151 thì nó thôi không lớn thêm

nữa”. Papa nói: “thế thì nó vẫn to lắm, có khi vẫn to hơn cả trái đất”.

Papa và Mirella liền rủ nhau ước lượng xem con thỏ của Mirella sẽ to

ra bằng từng nào, và so với trái đất thì sao.

Con thỏ của Mirella tăng trong vòng 150 ngày, mỗi ngày tăng gấp đôi.

Cứ 10 ngày thì nó tăng lên gấp khoảng 1000 lần. Mirella đính chính lại

là, 10 ngày thì nó tăng 1024 lần. Nhưng thôi ta cứ coi là 1000 lần, hay

103, cho tiện. Sau 150 ngày, tức là 15 lần 10 ngày, thì con thỏ sẽ tăng lên

quãng (103)15, tức là thành 1045 lần, vì 15 × 3 = 45. Nếu giả sử lúc ban

đầu con thỏ nặng quãng 100 gam, tức là 1/10 kg, thì sau khi tăng 1045 lần,

nó sẽ thành quãng 1044 kg, hay là 1041 tấn. Thực ra thì thỏ tăng lên hơn

1045 lần (nếu tính chính xác hơn, dùng 210 = 1024 thay vì 1000, thì được

1

102415 ≈ 1.42×1045 lần cơ), nhưng mà hôm đầu tiên thỏ cũng không nặng

đến 1/10 kg, nên cuối cùng đến ngày thứ 151 thỏ thôi không lớn nữa thì

vẫn coi là nặng thành 1044 kg được. Mirella đồng ý với papa là thỏ nặng

từng đó.

Thế còn trái đất nặng quãng bao nhiêu?

So sánh với trái đất

Papa đã kể cho Mirella một lần rằng chu vi của trái đất dài khoảng 40

nghìn km. Chu vi bằng 2 lần π nhân với bán kính, trong đó π xấp xỉ bằng

3.14. Lấy 40 ngìn chia cho 2 rồi chia cho hơn 3 một chút, ta được một số

hơn 6 nghìn một chút, chưa đến 6 nghìn rưỡi. Papa với Mirella tính xấp xỉ

“thô” thôi, chứa không định tính thật chính xác.

Công thức tính thể tích hình cầu thì Mirella cũng nhớ: nó bằng 4/3

nhân với π nhân với bán kính lập phương. Bán kính là quãng 6 nghìn km.

6 lập phương bằng quãng 200, còn 4 nhân π chia 3 thì được hơn 4 nhưng

chưa được 5, nhân với 6 lập phương thì ta cứ coi như là 200 nhân với 5,

thành ra 1000, tức là 103. Nhưng số 6 ở đây là ở vị trí hàng nghìn, nên phải

tính thêm 1000 lập phương nữa, thành 109. Nhân 103 với 109 được 1012.

Như vậy, thể tích của trái đất ở vào cỡ 1012 km khối. Một km thì bằng

103 mét, và một km khối thì bằng (103)3 = 103 mét khối, nên thể tích trái

đất ở vào cỡ 1012 × 109 = 1021 mét khối. Tính thêm tiếp: 1 mét thì bằng

10 dm (deximet), và 1 mét khối thì bằng 103 dm khối. Nhân 1021 với 103,

ta được thể tích trái đất vào cỡ 1024 dm khối.

Từ thể tích làm sao ước lượng ra khối lượng? Mirella không biết. Papa

mới mách cho Mirella một “bí mật” là, 1 deximet khối nước nặng quãng

1kg. Nhưng trái đất không phải là nước, trong trái đất có kim loại nặng

hơn nhiều so với nước. Ta coi là nặng trung bình gấp 10 lần nước chẳng

2 c�Prof. Nguyen Tien Zung

hạn, tức là mỗi dm khối của trái đất nặng trung bình quãng 10 kg. Như

vậy, trái đất sẽ nặng quãng 1024 × 10 = 1025 kg.

Tất cả các phép tính ước lượng trên mà papa làm với Mirella là tính

nhẩm, không hề dùng đến giấy bút hay máy tính. Theo ước tính của Mirella

và papa, thì trái đất nặng vào cỡ 1025 kg, hay là 1022 tấn.

Trong khi đó con thỏ của Mirella sẽ nặng những 1041 tấn, tức là sẽ nặng

gấp những 1019 lần trái đất!

Sau khí tính toán ước lượng nhẩm về trái đất, papa và Mirella tra

internet xem các con số thực sự ra sao. Kết quả, theo trang web wikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/Earth, như sau:

Thể tích trái đất bằng 1.08321× 1012 km khối.

Khối lượng trái đất bằng 5.9736× 1024 kg, tức là quãng 0.6× 1022 tấn.

Xem ra, ước lượng của papa và Mirella về thể tích trái đất khá tốt,

lệch có 8%, còn ước lượng về khối lượng thì bị lệch nhiều hơn: khối lượng

thực sự chỉ có 0.6× 1022 tấn trong khi papa và Mirella ước lượng ra thành

khoảng 1022 tấn. Ước lượng về khối lượng bị sai chủ yếu là do papa và

Mirella “đoán mò” sai về mật độ của trái đất: mật độ của trái đất chỉ có

5.515kg/dm3 (tức nặng gấp khoảng 5.5 lần so với nước) trong khi papa và

Mirella coi nó nặng gấp những 10 lần so với nước.

Ăn cả Ngân Hà

Ước lượng tính nhẩm của Mirella và papa về khối lượng trái đất tuy

không thật chính xác, nhưng đúng được về cỡ 1025 kg của nó (nhân với

một số nào đó gần 1, theo nghĩa log của số đó gần bằng 0), và con thỏ của

Mirella nặng bằng quãng những 5/3 × 1019 trái đất. Thế so với mặt trời

thì sao?

Vẫn theo wikipedia (xem: http://en.wikipedia.org/wiki/Sun), các nhà

Bản e-book thân tặng Coco 3

thiên văn đo được rằng, chu vi của mặt trời dài gấp 109 lần chu vi của trái

đất. Nếu so sánh thể tích thì phải lấy phập phương của số đó, tức là thể

tích của mặt trời bằng quãng 1093 ≈ 1.3 triệu lần thể tích trái đất. So với

mặt trời, thì quả là trái đất bé tí xíu. Nhưng mặt trời “loãng” hơn trái đất,

mật độ chỉ bằng quãng 1/4 mật độ của trái đất, nên khối lượng không phải

là gấp 1.3 triệu lần khối lượng trái đất, mà chỉ gấp 333 nghìn lần thôi, hay

có thể viết là 1/3× 106 lần. So với thỏ của Mirella thì mặt trời vẫn quá bé:

thỏ của Mirella nặng gấp những (5/3 × 1019)/(1/3 × 106) = 5 × 1013 lần

mặt trời! Vì trong hệ mặt trời, chỉ có mặt trời là lớn nhất chiếm gần hết

khối lượng rồi, có cộng tất cả các hành tinh của hệ mặt trời vào thêm cũng

không ăn thua mấy, nên có thể coi là thỏ của Mirella nặng gấp 5× 1013 lần

toàn bộ hệ mặt trời.

Hình 0.1: Thỏ của Mirella. Tranh do Mirella vẽ.

Thế so với dải Ngân Hà chứa hệ mặt trời của chúng ta thì sao? (Xem

Milky Way galaxy: http://en.wikipedia.org/wiki/Milky_Way, sở dĩ thiên

hà chứa hệ mặt trời của chúng ta được gọi như vậy là vì có thể nhìn thấy

nó trên bầu trời có hình như là một dòng sông màu sữa, hay màu bạc).

4 c�Prof. Nguyen Tien Zung

Theo các nhà thiên văn, thì dải Ngân Hà chứa từ 100 tỷ đến 400 tỷ vì sao

(mỗi vì sao là một thiên thể tỏa sáng mạnh, tương tự như là mặt trời vậy),

và họ ước lượng rằng khối lượng của dải Ngân Hà bằng quãng 5.7 × 1011

(tức 570 tỷ) khối lượng của mặt trời. Thật là một con số lớn khủng khiếp.

Nhưng vẫn thua thỏ của Mirella: thỏ của Mirella nặng bằng gần 100 lần

dải Ngân Hà!

Thế so với cả vũ trụ thì sao? Người ta đếm được trong vũ trụ có đến

1.7× 1011 các thiên hà (galaxy) khác nhau. Thỏ của Mirella, tuy to gấp cả

trăm lần dải Ngân Hà, nhưng cũng chỉ bằng một thiên hà loại lớn thôi, và

như vậy vẫn còn rất bé so với toàn bộ vũ trụ. Mirella phấn khởi nói: “Thế

là con thỏ đầu tiên có thể ăn trái đất, rồi ăn hệ mặt trời, rồi ăn dài Ngân

Hà, rồi ăn thêm các thiên hà khác, để lớn được thành như vậy!".

Con thỏ bé hơn

Papa đề nghị với Mirella là, không cho con thỏ lớn lên trong những 150

ngày liền như vậy nữa, vì nó sẽ ăn hết mất bao nhiêu là thiên hà mất.

Mirella thì nói là nó có thể ăn cả các thế giới song song (parallel worlds)

nữa để mà lớn. Sau một hồi kỳ kèo mặc cả, Mirella đồng ý với papa là, thôi

bây giờ chỉ cho nó lớn lên trong vòng 60 ngày thôi, mỗi ngày tăng lên gấp

đôi, nhưng từ ngày thứ 61 sẽ không lớn thêm nữa.

Con thỏ “bé” này của Mirella chỉ tăng được có (103)6 = 1018 lần thôi,

chứ không phải 1045 lần như trước. Vẫn với giả sử lúc đầu nó nặng gần

bằng 1/10 kg như trước, thì con thỏ này sẽ “chỉ” nặng có 1018×1/10 = 1017

kg, hay là 1014 tấn, sau khi thôi lớn. So với trái đất, lần này thỏ “bé” của

Mirella quả là bé: trái đất năng 0.6×1025 kg, tức là nặng gấp những 6×107

(tức 60 triệu) lần con thỏ.

Trong lúc papa dẫn Mirella đi mua một cái xe đạp mới thay cho cái xe

Bản e-book thân tặng Coco 5

đạp cũ đã trở nên cũn cỡn, Mirella tò mò muốn biết con thỏ 1014 tấn là

nặng như thế nào so với các thứ khác trên trái đất. Mirella mới hỏi papa:

“một cái nhà nhỏ thì nặng quãng bao nhiêu?”. Papa không biết, nhưng đưa

ra đại một con số: “quãng 100 tấn”. “Một thành phố thì có quãng bao nhiêu

nhà?” – Mirella hỏi tiếp. Papa trả lời là một thành phố lớn, thì có tương

đương với khoảng 1 triệu (106) cái nhà nhỏ. Như vậy, một thành phố lớn,

thì nhà cửa nặng khoảng 106 × 100 = 108 tấn. “Thế một nước thì có bao

nhiêu thành phố?”. Một nước rất lớn, thì có thể coi tương đương với 100

thành phố. Như vậy nhà cửa của một nước rất lớn nặng 100× 108 = 1010

tấn. Trong khi đó con thỏ “bé” của Mirella nặng những 1014 tấn. Mirella

khoái chí lắm, vì con thỏ “bé” của mình nặng bằng những một vạn nước

lớn!

6 c�Prof. Nguyen Tien Zung