computer architecture & organization بساحلا ميظنتو ناينب§لجبر...

$: Computer Architecture & Organization بساحلا ميظنتو ناينب§لجبر البولين.pdf · 1 2012 -1433 \ لماكلا ةعماج ميهاربا يلاد دمحم .أ$
محمد دالي ابراهيم. أ: إعداد 2012 -1433 \جامعة الكامل 1

Computer Architecture & Organization

بنيان وتنظيم الحاسب

الجبر البولين : 2الوحدة

Chapter 2: Boolean Algebra



Chap. 2: Boolean Algebra الجبر البولين: 2الوحدة

Definition:

2.1- Binary Logic 1.2- المنطق الثنائي

:تعريف

Mathematical system based on:

Binary values: “0” & “1”

Operators: “AND”, “OR” & “NOT”

Variables x, y, z, … to represent the binary values : “0” & “1”

:نظام رياضيات يعتمد على

1“ و” 0“: قيم ثنائية”

نفي“، ” أو“، ” و“: عوامل”

حروف أو متغيرات… ,z ,y ,x تمثل ” 1“ و” 0“القيمتين


Operators Rules: قواعد العوامل:

“AND”:

It operates on 2 operands, example: x AND y

The value of the operation is 1 only and only if x and y are both equal to 1 and it is 0 for the other cases

it is represented by a dot “.” or by nothing. x AND y is the same as x . y and is the same as x y

Truth table of AND: it is a table that represents all the possible values of the variables and the operation

”AND“:

يعمل على معاملين، مثال :x AND y

قيمة عمليةAND في حالة واحدة ” 1“تكونوتكون ” 1“كالهما yو xوهي أن تكونا قيم

في الحاالت األخرى” 0“

نمثلAND أو بفراغ” .“بنقطة .x AND y هو مثلx . y وكذلك مثلx y

جدول صدقAND : هو جدول يبين كل القيم ANDالممكن للمتغيرات ولناتج عملية





“AND”:

Truth table of AND: it is a table that represents all the possible values of the variables and the operation,

”AND“:

جدول صدقAND : هو جدول يبين كل القيم

ANDالممكن للمتغيرات ولناتج عملية


x AND y, x . y, xy y x

0 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 1



“OR”:

It operates on 2 operands, example: x OR y

The value of the operation OR is 0 only and only if x and y are both equal to 0 and it is 1 for the other cases

it is represented by the sign “+”. x OR y is the same as x + y.

Truth table of OR:

”OR“:

يعمل على معاملين، مثال :x OR y

قيمة عمليةOR في حالة واحدة ” 0“تكونوتكون ” 0“كالهما yو xوهي أن تكونا قيم

في الحاالت األخرى” 1“

نمثلOR بإشارة“+” .x OR y هو مثلx + y

جدول صدقOR :



x OR y, x + y y x

0 0 0

1 1 0

1 0 1

1 1 1



Operators Rules: قواعد العوامل: “NOT”:

It operates on 1 operand only, example: NOT x

The value of the operation is the reverse of the value of x

it is represented by a prime ’. NOT x is the same as x’.

Truth table of NOT:

”NOT“:

يعمل على معامل واحد فقط، مثال :NOT x

قيمة عمليةNOT ي عكس قيمة هx

نمثلNOT بإشارة’ .NOT x هو مثلx’

جدول صدقNOT :

NOT x, x’ x

1 0

0 1




Binary Logical Expressions: تعبيرات المنطق الثنائي:

It is a combination of binary logical operators and operands

هي تركيبة من معاملون وعوامل منطقية . ثنائية

Example:…………………. مثال...............................: x + y(x’ + 1)

Truth Table of the example: جدول صدق المثال


x + y(x’ + 1) y x

0 0 0

1 1 0

1 0 1

1 1 1




x y + x y x

0 0 0

0 1 0

1 0 1

1 1 1

Another Example:………. مثال آخر..........................: x y + x






Another Example:………. مثال آخر..........................: x y + x z


Remarks: - there should be at least

one column for each

variables and one column

for the whole expression.

- more columns can be

added for parts of the

expression to facilitate the

solution

- There should be 2N rows

where N is the number of

variables

مالحظات: يجب أن يكون لكل متغيرة -

عمود وللعبارة الشاملة عمود

يمكن إضافة أعمدة ألجزاء - العبارة لتسهيل إيجاد الحل

يجب أن يكون عدد الصفوف -

هو Nحيث 2N: حسب القاعدة عدد المتغيرات


x y + x z z y x

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

1 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 1




Another Example:………. مثال آخر..........................: x y + x’


Remarks: - Two more columns

have been added for

parts of the expression

to facilitate the solution

مالحظات: تم إضافة عمودين -

ألجزاء العبارة لتسهيل إيجاد الحل


x y + x’ x’ xy y x

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

0 0 0 0 1

1 0 1 1 1




x y + x z xz xy z y x

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 1

1 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1

Previous Example with added columns for the expression’s parts: ….

مثال سابق مع أعمدة إضافية x y + x z : ....................ألجزاء العبارة

Truth Table جدول صدق المثال





x+y(x’+1) y(x’+1) x’+1 1 x’ y x

0 0 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 0

1 0 1 1 0 0 1

1 1 1 1 0 1 1

Another Example: …. مثال آخر.................... :

x + y(x’ + 1)

Truth Table جدول صدق





z y x

Quick Test:

Find the Truth Table of the expression:

تمرين سريع:

:أجد جدول صدق للعبارة التالية

x’y + yz





z y x

Quick Test:



:أجد جدول صدق للعبارة التالي

x(y+z)





z y x

Quick Test:




(x+y)(x+z)’





Definition:

2.2- Boolean Algebra 2.2- الجبر البولين

:تعريف

Mathematical system based on:

The Binary logic

The following rules:

- The operators + and . are commutative

- The operators + and . are distributive

- The operators + and . are associative

- Complement rules:

:نظام رياضيات يعتمد على

المنطق الثنائي

القواعد التالية:

تحقق قاعدة التبادل . و +المعامالت -

تحقق قاعدة التوزيع . و +المعامالت - بينهما

تحقق قاعد التجميع . و +المعامالت - بينهما

:قاعدة المكمل-

x’ + x = 1 and x’.x = 0



Boolean Algebra Rules:


:قواعد الجبر البولين

Commutativity: قاعدة التبديل:

جداول الصدق التالية تبين أن هذه القاعدان :محققتان عند استخدام المنطق الثنائي

The following truth tables show that these rules are satisfied according to the binary logic as seen before:

y + x x + y y x

0 0 0 0

1 1 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

y . x x . y y x

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 1 1

x + y = y + x

x . y = y . x






Distributivity: قاعدة التوزيع:

(x.y)+(x.z) x(y+z) z y x

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 1 0

0 0 0 0 1

1 1 1 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 1 1

(x+y).(x+z) x+(y.z) z y x

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 1 0

0 0 0 0 1

1 1 1 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 1 1

x . (y + z) = (x . y) + (x . z)

x + (y . z) = (x + y).(x + z)






Associativity: قاعدة التجميع:

x+(y+z) (x+y)+z z y x

0 0 0 0 0

1 1 1 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 1 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 1 1

x.(y.z) (x.y).z z y x

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 1 0

0 0 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

(x + y) + z = x + ( y+ z)

(x . y) . z = x . (y . z)






complement: المكمل:

x . x’ x + x’ x’ x

0 1 1 0

0 1 1 0

0 1 0 1

0 1 0 1

x + x’ = 1

x . x’ = 0



More rules:


:قواعد إضافية

قوانين المحايدة: x + 0 = x x . 0 = 0 x + 1 = 1 x . 1 = x

الالنموقوانين: x + x = x x . x = x

قوانين المتمم: x + x’ = 1 x . x’ = 0

قانون متمم المتمم: (x’)’ = x

مورجان ديقوانين: (x + y)’ = x’.y’ (x . x)’ = x’ + y’



Operator precedence:


:أوليات المعامالت

The parentheses “( )” first then the complement “NOT”, then the “AND” and finally the “OR”.

ثم النفي أو المتمم ” ( ) “ األقواصأوال“NOT ” ثم“AND ” وفي األخير“OR”.

مثال: Example: (x+y)’+y.z

1. The parentheses (x+y)

2. The complement (x+y)’

3. The AND: y.z

4. The OR: (x+y)’+yz

(x+y): األقواصيتم أوال تنفيذ 1.

’(x+y): ثم النفي أو المتمم2.

y.z: ثم الضرب3.

yz+’(x+y): ثم الجمع4.

في الشريحة التالية تسلسل األعمدة في جدول صدق لهذا المثال يوضح أكثر

.األولويات بين المعامالت

In the next slide the sequence of the columns of this example truth table show this precedence in a better way



Operator precedence:


:أوليات المعامالت

The parentheses “( )” first then the complement “NOT”, then the “AND” and finally the “OR”.

ثم النفي أو المتمم ” ( ) “ األقواصأوال“NOT ” ثم“AND ” وفي األخير“OR”.

مثال: Example: (x+y)’+y.z

(x+y)’+y.z y.z (x+y)’ (x+y) z y x

1 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0

0 0 0 1 0 1 0

1 1 0 1 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 1 0 1

0 0 0 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 1



z y x

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 0

0 0 1

1 0 1

0 1 1

1 1 1

Quick Test:




(x+y)(x+z)’+x’z

Operator precedence: أوليات المعامالت:




z y x

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 0

0 0 1

1 0 1

0 1 1

1 1 1

Quick Test:




xy’+(xy+z)’

Operator precedence: أوليات المعامالت:




Boolean Functions:


:الدوال البولينية

It is an algebraic expression which consists of binary variables, the constants 0 and 1, and the logical operators.

هي عبارات جبرية تتكون من متغيرات ثنائيةالمعامالت و 1 و 0القيمتان الثابتتان و

المنطقية

مثال لدالة بولينية: Example: F = (x + 1) + y.z’



Boolean Functions:


:الدوال البولينية

A Boolean function can be represented by a truth table.

يمكن تمثيل دالة بولينية بجدول الصدق.

مثال لدالة بولينية: Example: F = (x + 1) + y.z’

F=(x+1) +y.z’ y.z’ z’ (x+1) z y x

1 0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0

1 1 1 1 0 1 0

1 0 0 1 1 1 0

1 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 1

1 1 1 1 0 1 1

1 0 0 1 1 1 1



Simplification of Boolean functions تبسيط الدوال البولينية A Boolean function can be

represented by different expressions with the condition that their truth tables do not differ.

يمكن لدالة بولينية أن تعرف بتعبيرات : قاعدة مختلفة مع الشرط أن جداول الصدق ال تختلف

مثال:

الدوال الثالثة المقابلة هي نفس الدالة ألن

جداول الصدق ال تختلف

Example:

The three functions are

the same because their

truth tables are the same.

F = (x + y) y + 1

F = xy + y + 1

F = 1

(x+y)y+1 y x

1 0 0

1 1 0

1 0 1

1 1 1

xy+y+1 y x

1 0 0

1 1 0

1 0 1

1 1 1

1 y x

1 0 0

1 1 0

1 0 1

1 1 1

F = (x + y) y + 1 = xy + y + 1 = 1




Simplification of Boolean functions تبسيط الدوال البولينية The purpose of the simplification is

to facilitate dealing with the Boolean functions

The simplification is done using the Boolean algebra rules as seen before

الغرض من التبسيط هو تسهيل العمل مع الدوال البولينية

يتم التبسيط باستخدام قوانين الجبر البوليني التي تم التطرق إليها سابقا

تبسيط الدالة التالية : مثال باستخدام قواعد الجبر البوليني

Example: simplification of

the following function using

the boolean algebra rules

F = (x + y)’ + x’y

= x’y’ + x’y

= x’(y’+y)

F = (x + y)’ + x’y = x’

= x’ 1 = x’




Simplification of Boolean functions تبسيط الدوال البولينية

تبسيط الدالة التالية : مثال آخر باستخدام قواعد الجبر البوليني

Another example:

simplification of the following

function using the boolean

algebra rules F = (x + y)(x+y’)

= xx + xy’ + xy + yy’

= x + xy’ + xy + 0

F = (x + y)(x + y’) = x

= x(x + y’ + y) = x(x + 1) = x(1) = x





تبسيط الدالة التالية : مثال آخر باستخدام قواعد الجبر البوليني

Another example:

simplification of the following

function using the boolean

algebra rules F = xyz + x’y + xyz’

= y(xz+x’+xz’)

= y(x(z+z’)+x’)

F = xyz + x’y + xyz’ = y

= y(x(1)+x’) = y(x + x’) = y(1) = y





بسط الدالة التالية : تمرين سريع باستخدام قواعد الجبر البوليني

Quick test: simplify the

following function using the

boolean algebra rules

F = xy + xy’





بسط الدالة التالية : تمرين سريع باستخدام قواعد الجبر البوليني

Quick test: simplify the

following function using the

boolean algebra rules

F = xyz’ + x’yz + xyz + x’yz’




طريقتين:

للدالة” 1“التركيز على القيمة 1.

”1“نحدد الصفوف التي قيم الدالة فيها تساوي -

ثم لكل صف من تلك الصفوف ننشئ عنصر تعبير يكون على شكل ضرب بين المعامالت التي قيمها -

في نفس الصف” 0“في الصف المحدد وبين نفي المعامالت التي قيمها ” 1“

ثم نجمع بين تلك العناصر-

y x

1 0 0

0 1 0

1 0 1

0 1 1

Determination of the Boolean function from the truth table

تحديد الدالة البولينية من جدول الصدق

إذا 0قيمها yو xوالمعامالت 1الصف األول قيمته •

: ننشئ عنصر على شكل ضرب بين نفي تلك المعامالت

x’y’ قيمته y و 1قيمته xوالمعامل 1الصف الثالث قيمته •

’y :xyونفي xإذا ننشئ عنصر ضرب بين 0 ’x’y’ + xy: الدالة هي الجمع بين تلك العناصر•

F = x’y’ + xy’ F = y’ وبعد عملية االختصار:

: تحديد دالة بولينية لجدول الصدق التالي: مثال

F = y’




طريقتين:

للدالة” 0“التركيز على القيمة 2. ”0“نحدد الصفوف التي قيم الدالة فيها تساوي -

في ” 0“ثم لكل صف من تلك الصفوف ننشئ عنصر تعبير يكون على شكل جمع بين المعامالت التي قيمها -

في نفس الصف” 1“الصف المحدد وبين نفي المعامالت التي قيمها

ثم نضرب بين تلك المجاميع-

y x

1 0 0

0 1 0

1 0 1

0 1 1



1قيمته y و 0قيمته xوالمعامالت 0الصف الثاني قيمته •

)’y :)x+yونفي xإذا ننشئ عنصر يجمع إذا 1قيمها yو xوالمعامالت 0الصف الرابع قيمته •

)’y :)x’+yونفي xننشئ عنصر على شكل جمع لنفي : الدالة هي حاصل ضرب بين تلك المجاميع•

)x’+y’)(x+y’(

F = (x+y’)(x’+y’) F = y’ وبعد عملية االختصار:

: تحديد دالة بولينية لجدول الصدق التالي بالطريقة الثانية: مثال

F = y’




y x

1 0 0

1 1 0

0 0 1

1 1 1



الطريقة الثانية

)y :)x’+yو xنفي إذا ننشئ عنصر يجمع 0قيمته y و 1قيمته xوالمعامالت 0الصف الثالث قيمته • x’+y: الدالة هي عنصر جمع واحد•

تحديد دالة بولينية لجدول الصدق التالي بالطريقتين ثم اختصار الدالة : مثال آخر االولىالطريقة

إذا ننشئ عنصر على شكل 0قيمها yو xوالمعامالت 1الصف األول قيمته •

’x’y: ضرب بين نفي تلك المعامالتإذا ننشئ عنصر ضرب 1قيمته y و 0قيمته xوالمعامل 1الصف الثاني قيمته •

y :x’yو xنفي بين إذا ننشئ عنصر على شكل 1قيمها yو xوالمعامالت 1الصف الرابع قيمته •

xy: ضرب بين تلك المعامالت

x’y’ + x’y + xy: الدالة هي الجمع بين تلك العناصر•F = x’y’ + x’y + xy F = x’ + y وبعد عملية االختصار:

F = x’+y

F = x’+y




y x

0 0 0

1 1 0

0 0 1

1 1 1



:حدد دالة بولينية التي لها الجدول الصدق التالي ثم اختصرها: تمرين سريع

F = y




F z y x

0 0 0 0

1 1 0 0

0 0 1 0

1 1 1 0

0 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

1 1 1 1



:حدد دالة بولينية التي لها الجدول الصدق التالي ثم اختصرها: تمرين سريع




F y x

1 0 0

1 1 0

0 0 1

1 1 1



: حدد دالة بولينية التي لها الجدول الصدق التالي ثم اختصرها: تمرين سريع




2نـهـايــــة الـوحـــدة

End OF Chap. 2

Computer Architecture & Organization

بنيان وتنظيم الحاسب

Chapter 2: Boolean Algebra

الجبر البولين: 2الوحدة

computer architecture & organization بساحلا ميظنتو ناينب§لجبر...

Documents