computaÇÃo na engenharia quÍmica

1

COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA

Diferenças Finitas

O método das diferenças finitas se baseia no conceito de derivada u(x)

x

xuxxu

x

uxu

x

0lim

x

xuxxuxu

Usando a expansão da série de Taylor temos

!...

!4!3!2

4

4

43

3

32

2

2

n

x

dx

udx

dx

udx

dx

udx

dx

udx

dx

duxuxxu

n

n

n

!4!3!2

4

4

43

3

32

2

2

1

x

dx

udx

dx

udx

dx

udx

dx

duuu ii

!4!3!2

4

4

43

3

32

2

2

1

x

dx

udx

dx

udx

dx

udx

dx

duuu ii

!4

2!2

22

4

4

42

2

2

11

x

dx

udx

dx

uduuu iii

!2

2!4

22

2

2

24

4

4

11

x

dx

udx

dx

uduuu iii

2

2

2

4

4

4

1112

2

dx

ud

x

x

dx

uduuu iii

12

22

4

4

2

11

2

2 x

dx

ud

x

uuu

dx

ud iii

Onde

12

2

4

4 x

dx

ud

é o erro de truncamento.

2

Obtenção da Discretização de uma EDP a partir do Ajuste Polimonial

x

cubuau

dx

du iii

11

!4

2

!3

2

!2

22

4

4

43

3

32

2

2

2

x

dx

udx

dx

udx

dx

udx

dx

duuu ii

!4!3!2

4

4

43

3

32

2

2

1

x

dx

udx

dx

udx

dx

udx

dx

duuu ii

!4!3!2

!4

2

!3

2

!2

22

4

4

43

3

32

2

2

4

4

43

3

32

2

2

11

x

dx

udx

dx

udx

dx

udx

dx

duucbu

x

dx

udx

dx

udx

dx

udx

dx

duuacubuau

ii

iiii

222

22

2

2

11

xcxa

dx

udxxa

dx

ducbaucubuau iiii

Métodos das diferenças finitas para o unidimensional

Considere a equação diferencial de segunda ordem:

22

2

dx

ud

10 x

Definimos as condições de contorno para a solução dessa equação a partir de dois

métodos: Condições de Dirichlet e Condições de Neumann.

Definição:

Condições de Dirichlet:

Condições de Neumann:

Condições de Dirichlet

0,0 xu 1,0 xu

Condições de Neumann

0,0 xu

1,0 xdx

du

3

Discretização da derivada de primeira ordem

x

uu

dx

du ii

1

Ou

x

uu

x

y ii

1

Classificação da diferenças finitas para derivada de segunda ordem

Diferenças adiantadas

x

uu

dx

du ii

i

1

Diferenças atrasados

x

uu

dx

du ii

i

1

Diferenças centrais

x

uu

dx

du ii

i

2

11

x

uu

x

uu

xdx

du

dx

du

xdx

du

dx

d

dx

ud iiii

ii

11

1

2

2 11

2

321

2

2 2

x

uuu

dx

ud

Discretização da derivada de segunda ordem

2

11

2

2 2

x

uuu

dx

ud iii

Ou

2

11

2

2 2

x

uuu

x

y iii

Exemplo 1: Resolver a equação diferencial abaixo usando diferenças finitas. Considere

quatro nós.

4

22

2

dx

ud

10 x


0,0 xu 1,0 xu

Solução:

As condições de Dirichlet querem dizer que:

01 u quando 0x

04 u quando 1x

22

2

321

2

2

2

x

uuu

dx

ud

i

2

321

2

2

2

22 xuuudx

ud

i

2

32

2

2

2

3/1220

uudx

ud

i 9/22 32 uu

22

2

432

3

2

2

x

uuu

dx

ud

i

2

432

3

2

2

22 xuuudx

ud

i

2

32

3

2

2

3/1202

uudx

ud

i 9/22 32 uu

Resolvendo o sistema

9/22 32 uu

9/22 32 uu

Temos:

3/23 3 u 9/23 u

9/2)9/2(29/229/2 32 uu

Assim, a solução do problema é:

9/2

9/2

2

1

u

u


quatro nós.

5

22

2

dx

du

dx

ud

10 x


0,0 xu 1,0 xu

Solução:


01 u quando 0x

04 u quando 1x

22 12

2

321

2

2

2

x

uu

x

uuu

dx

ud

i 2

3/1

0

3/1

20 2

2

32

2

2

2

uuu

dx

ud

i

23918 232

2

2

2

uuudx

ud

i 2915 32 uu

22 23

2

432

3

2

2

x

uu

x

uuu

dx

ud

i 2

3/13/1

02 23

2

32

3

2

2

uuuu

dx

ud

i

233189 2332

3

2

2

uuuudx

ud

i 2156 32 u


2915 32 uu

2156 32 u

Concluir...


quatro nós.

xdx

du

dx

ud2

2

2

10 x


0,0 xu 1,0 xu

6


01 u quando 0x

04 u quando 1x

xx

uu

x

uuu

dx

ud

i

22 12

2

321

2

2

2

3/12

3/1

0

3/1

20 2

2

32

2

2

2

uuu

dx

ud

i

3/23918 232

2

2

2

uuudx

ud

i 3/2915 32 uu

xx

uu

x

uuu

dx

ud

i

22 23

2

432

3

2

2

3/22

3/13/1

02 23

2

32

3

2

2

uuuu

dx

ud

i

3/433189 2332

3

2

2

uuuudx

ud

i 3/4156 32 u


3/2915 32 uu

3/4156 32 u

Concluir...


quatro nós.

12 2

2

2

xxdx

du

dx

ud

10 x


0,0 xu 1,0 xu

Solução:


01 u quando 0x

04 u quando 1x

7

122 212

2

321

2

2

2

xxx

uu

x

uuu

dx

ud

i

13/13/12

3/1

0

3/1

20 22

2

32

2

2

2

uuu

dx

ud

i

9/89/)332(13/19/23918 232

2

2

2

uuudx

ud

i

9/8915 32 uu

122 223

2

432

3

2

2

xxx

uu

x

uuu

dx

ud

i

13/23/22

3/13/1

02 223

2

32

3

2

2

uuuu

dx

ud

i

9/239/)968(13/29/833189 2332

3

2

2

uuuudx

ud

i

9/23157 32 uu


9/8915 32 uu

9/23157 32 uu

Concluir...


quatro nós.

12 2

2

2

xxudx

du

dx

ud

10 x


0,0 xu 1,0 xu

Solução:


8

01 u quando 0x

04 u quando 1x

122 2

212

2

321

2

2

2

xxux

uu

x

uuu

dx

ud

i

13/13/12

3/1

0

3/1

20 2

22

2

32

2

2

2

uuuu

dx

ud

i

9/89/)332(13/19/23918 2232

2

2

2

uuuudx

ud

i

9/8914 32 uu

122 2

3

23

2

432

3

2

2

xxux

uu

x

uuu

dx

ud

i

13/23/22

3/13/1

02 2

3

23

2

32

3

2

2

uuuuu

dx

ud

i

9/239/)968(13/29/833189 32332

3

2

2

uuuuudx

ud

i

9/23147 32 uu


9/8914 32 uu

9/23147 32 uu

Concluir...

Exercícios

1) Resolva as equações diferenciais abaixo usando diferenças finitas.

a) 12

2

xdx

ud

9

b) xudx

udcos

2

2

c) 02

2

dx

du

dx

ud

Método Implícito

Os métodos implícitos são desenvolvidos em expressões onde as derivadas em

diferentes pontos da malha aparecem simultaneamente.

Características:

Permitem maior ordem de aproximação com extencil menor

Requer a solução de um sistema de equações algébricas

Diferenças finitas explícitas é função apenas dos pontos discretos

Diferenças finitas implícitas é função dos pontos e de suas derivadas nos pontos

discretos.

10

Método de Euler

dtcytbytay )()(')(''

)(')( tytz

)('')(' tytz

dtcytbztaz )()()('

))()((1

)(' tcytbzda

tz

)())(),(,()(' tztztytfty

))()((1

))(),(,()(' tcytbzda

tztytgtz

11 kyy ii 11 lzz ii

1) Aplicar o Método de Euler na solução numérica da equação diferencial

Para construir a tabela de valores de y(t), y’(t) e y’’(t).

Solução:

tEtytyty 53''2

0

0

,6

,5

tt

tttE st 0,40 st 2,0

0000 5'3''2 ttEttyttytty

0''' 00 ttytty

55 0 tty

100 ytty

0'00 yz

tytz ' tytz '''

tEtytztz 53'2

11

i T y(t) Z(t)=y’(t) Z(t) Z’(t)=y’’(t) K1 L1

0 4,0 1 0 0 0,5 0 0,1

1 4,2 1 0,1 0,1 0,35 0,02 0,07

2 4,4 1,02 0,17 0,17 0,195

Método de Runge Kutta

2) Aplicar o Método de Range-Kutta de Segunda Ordem na solução numérica

da equação diferencial.


Solução:

iiii tztztytfty ,,'

iiiii tytztztytgtz 5365,0,,'

2,0,,1 iiii tzttztytfk

2,05365,0,,1 iiiii tytzttztytgl

11 kyy ii

2

211

kkyy ii

2

211

llzz ii

tEtytyty 53''2

0

0

,6

,5

tt

tttE st 0,40 st 2,0

ttt 20


0''' 00 ttytty

55 0 tty

100 ytty

0'00 yz

tytz ' tytz '''

tEtytztz 53'2

12

i T y(t) Z(t)=y’(t) Z(t) Z’(t)=y’’(t) K1 K2 L1 L2

0 4,0 1 0 0 0,5 0 0,02 0,1 0,07

1 4,2 1,01 0,085 0,085 0,3475 0,017 0,0309 0,0695 0,04015

2 4,4 1,03395 0,1398 0,1398 0,195

Método de Runge Kutta 3ª ordem

3) Aplicar o Método de Range-Kutta de Terceira Ordem na solução numérica

da equação diferencial


Solução:

iiii tztztytfty ,,'




2,0,, 1112 ltztltzktyttfk iiii

2,05365,0, 11111 ktyltztltzktyttgl iiiii

2

211

kkyy ii

2

211

llzz ii

3

3211

kkkyy ii

3

3211

lllzz ii

tEtztyty 25'

023' tztytz

0

0

,6

,5

tt

tttE st 0,40 st 2,0

ttt 20

0000 25' ttEttzttytty

13

i T y(t) Z(t)=y’(t) Z(t) Z’(t)=y’’(t) K1 K2 K3 L1 L2 L3

0 4,0 2,50 0 0 -7,5 -1,3 0,02 1,1 -1,5 -0,75 -

1,02

1 4,2 2,44 -1,09 -1,09 -5,14 -

0,804 -1,411 -1,028

2 4,4

023' 000 ttzttyttz

0'' 0 tztty

023

525

00

00

zy

zy

50,20 y 75,30 z

0'00 yz

tytz ' tytz '''

tEtztyty 25' tztyty 256'

023' tztytz tztytz 23'

tztytztytfty iii 256,,'

tztytztytgtz iii 23,,'

2,0256,,1 tztyttztytfk iii

2,023,,1 tztyttztytgl iii

2,2/22/56,, 11112 ltzktytltzktyttfk iii

2,02/22/3, 11111 ltzktytltzktyttgl iii

2,022256,, 2111113 lltzkktytltzktyttfk iii

2,02223, 2121113 lltzkktytltzktyttgl iii

3

3211

kkkyy ii

3

3211

lllzz ii

14

4) Aplicar o método de Euler na solução numérica da equação diferencial


Solução:

i T y(t) Z(t)=y’(t) Z(t) Z’(t)=y’’(t) K1 K2 K3 L1 L2 L3

0 4,0 1 0 0 0,5 0 0,01 0,014 0,1 0,085 0,586

1 4,2 1,008 0,257 0,257 0,0945 0,0514 0,053 0,0488 0,0189 0,003 0,0045

2 4,4 1,059 0,514 0,514 -0,418

tEtytyty 53''2

0

0

,6

,5

tt

tttE st 0,40 st 2,0


0''' 00 ttytty

55 0 tty

100 ytty

0'00 yz

tytz ' tytz '''

tEtytztz 53'2

iiii tztztytfty ,,'




2,02/2/,2/,2/ 1112 ltztltzktyttfk iiii

2,02/52/365,02/,2/,2/ 11112 ktyltztltzktyttgl iiiii

2,02,, 21113 lltztltzktyttfk iiii

2,0252365,0, 2121113 kktylltztltzktyttgl iiiii

3

3211

kkkyy ii

3

3211

lllzz ii

15

5) Sabendo-se que o sistema está em repouso até o instante t=t0 calcular o valor da

função primitiva no instante t=t1, usando o método, o sistema de equações e dt

especificados.

a) Método de Euler

Diagrama de Blocos

Alguns símbolos básicos

Trace o diagrama de blocos para a equação diferencial

04'3''2 tytztztz

tEtztyty 2'

00

0

,23

,1

tttt

tttE st 0,20 st 0,31 st 5,0

04'3''2 0000 ttyttzttzttz

0000 2' ttEttzttytty

0'''' 000 ttyttzttz

tEzy

yz

00

00

2

045,00 y 20 z

tztw ' tztw '''

043'2 tytztwtw

tw'

tztyty 21'

1/s

Sum Transform Mult

16

0' tyty

Solução:

Trace o diagrama de blocos para a equação diferencial

0''' tytyty

Solução:

y(t)

y’(t)

1/s

y‘(t) y’’(t)

1/s 1/s

y(t)

computaÇÃo na engenharia quÍmica

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