8/18/2019 CompunereaFunctiilor

1/2

Compunerea funcţiilor Definiţie : Fie , , , A B C D mulţimi nevide şi funcţiile : , : , f A B g C D B C . Funcţia :h A D cu proprietatea că ,h x g f x x A , se numeştefuncţia compusă a lui g cu f şi se notează cu g f ,

h g f . Scriem

, g f x g f x x A .

Observaţie: Operaţia prin care din funcţiile : , f A B : , g C D B C se obţine funcţia :h A D , h g f

se numeşteoperaţia de compunere a funcţiilor.

Proprietăţi ale compunerii funcţiilor:

1. Compunerea funcţiilornu este comutativă. În general, f g g f .

2. Compunerea funcţiilor este asociativă: , f g h

A B C D h g f h g f .

3. Fie : f A A o func ţie. Atunci: 1 1 A A

f f f , unde 1 : A A A este funcţia identică,

1 , A x x x A . Spunem că1 A este element neutru la operaţia de compunere a funcţiilor.

Aplica ţii 1) Fie funcţiile 2

1, : , , 4

1 f g f x g x x

x . Să se calculeze

1 , 0 , 1 , 0 f g f g g f g f .

2) Fie funcţiile 2 3, , : , 2 , , f g h f x x g x x h x x .a) Determinaţi funcţiile , , , , , , , , f f f g f h g f g g g h h f h g h h

b) Verificaţi egalitatea f g h f g h .3) Fie funcţiile 2, , : , 2 , 4 , 2 f g h f x x g x x h x x .

a) Determinaţi funcţiile , , , , , , , , f f f g f h g f g g g h h f h g h h

b) Verificaţi egalitatea f g h f g h .

4) Fie funcţiile 2, , : , 1, sin , 1 f g h f x x g x x h x x . Determinaţi funcţiile, , , , , , , , f f f g f h g f g g g h h f h g h h.

5) Fie funcţiile 23

, , : , cos , , 11

x f g h f x x g x h x x

x x

. Determinaţi funcţiile

, , , , , , , , f f f g f h g f g g g h h f h g h h.

6) Fie funcţiile 24

, , : , 2 , , 22

x x f g h f x x g x h x x

. Determinaţi funcţiile

, , , , , , , , f f f g f h g f g g g h h f h g h h.

7) Fie mulţimea \ 1, 0 A şi funcţia 1: ,1

f A A f x x

. Deter minaţi funcţiile

, , f f f f f f f f f .

8) Fie funcţiile , : , 2 3, 3 2 f g f x x g x x . Demonstraţi că funcţia f g g f esteconstantă.

8/18/2019 CompunereaFunctiilor

2/2

9) Fie funcţiile , : f g . Ştiind că 2 3 şi 4 f g x x f x x pentru orice x real , aflaţi g f .10) Fie funcţiile , : f g . Ştiind că 3 6 şi 5 f g x x g x x pentru orice x real, aflaţi g f .

11) Fie funcţiile 25, 2 4, 1

, : , ,1 , 2 2 7, 1

x x x f g f x g x

x x x x

. Să se calculeze

1 , 2 , 3 , 0 , 4 , 2 f g f g f f g g g g g g .

12) Fie funcţiile 21 , 3, : , 2 1,

1, 3 x x f g f x x g x

x x

. Să se calculeze , , , f f f g g f g g

.

13) Fie funcţiile 1, 2 3, 0

, : , ,1, 2 2 , 0

x x x f g f x g x

x x x

. Să se calculeze , , f f g f f g

.

14) Fie funcţiile 2 3, 0, 1

, : , ,, 02, 1

x x x x f g f x g x

x x x

. Să se calculeze

, , , f f g f f g g g .

15) Fie funcţiile 2 , 4 , 2, : , ,5, 4 1, 2

x x x x f g f x g x x x x

. Să se calculeze , , f f g f f g

.

16) Se dau funcţiile 22 3, 0

, : , , 13, 0

x x f g f x g x x

x x

. Să se determine f g și g f .

17) Considerăm funcţiile 2

2

5 2, 16 , 3, : , ,

2 4, 12 5, 3

x x x x x f g f x g x

x x x x x

. Să se

determine f g și g f .

18) Se dau funcţiile f,g : (0, 1) (0, 1),1

21

daca x,

21

x0daca ,)(

2

x

x x f şi1

41

pentru,21

41

x0 pentru,2)( x

x x g . Să se

determine f g și g f .

19) Fie funcţia 2: , 2 f f x x x .a) Rezolvaţi ecuaţia 0 f f x .

b) Demonstraţi că 2

de ori

... 1 1n

n

f f f x x pentru orice n natural mai mare sau egal cu 2.

20) Fie funcţiile , : f g astfel încât 2 1 f g x x .a) Determinaţi funcţia f , dacă 3 2 g x x ;b) Determinaţi funcţia g, dacă 4 1 f x x .

21) Fie funcţiile , : f g astfel încât 2 1 f x x şi f g g f . Să se deter mine 1 g .