comportamiento de las fuerzas cortantes
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explicacion de como actuan las fuerzas cortanten sobre un cuerpoTRANSCRIPT
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN MATURÍN
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE LAS FUERZAS CORTANTES Y
MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS
Autor: Br. Andy PérezTutor: Ing. Jorge Márquez
Maturín, Octubre 2014.
Í N D I C E G E N E R A L
pp.
CAPÍTULO I
Introducción……………………………………………………………………
...
Planteamiento del problema…..
………………………………………………….
3
Objetivos de la
investigación…………………………………………………….
5
Objetivo
General……………………………………………………………...
5
Objetivos
Específicos…………………………………………………………
5
Justificación de la
Investigación…………………………………………………
5
CAPÍTULO II
Desarrollo del Tema…………...
…………………………………………………
Resultados……………………...………………………………………………...
7
CONCLUSIONES……………………………………………………………
…
RECOMENDACIONES……………………………………………………….
..
BIBLIOGRAFIA……………..
………………………………………………….
3
ANEXOS…………………..
…………………………………………………….
5
CAPÍTULO I
Introducción
La resistencia de los materiales, es la determinación de la relación entre los
esfuerzos y las deformaciones producidas por las fuerzas que se aplican a un
elemento o a una estructura. Esta estudia las fuerzas axiales y de la torsión,
demostrando que no se tiene dificultad alguna en la aplicación de las relaciones entre
esfuerzos y deformaciones, ya que en la mayoría de los casos, las fuerzas y sus
esfuerzos, los esfuerzos internos, eran constantes en el conjunto de la estructura o su
distribución entre las partes era perfectamente conocido.
Sin embargo el estudio de la flexión es más complejo debido a que los efectos de
las fuerzas aplicadas son variables de una a otra sección de la viga. Estos efectos son
de dos tipos claramente diferenciados, la fuerza cortante y el momento flexionante.
En el presente informe se verá como estos efectos, producen dos tipos distintos de
fuerzas, en las secciones transversales de las vigas: un esfuerzo normal, directamente
proporcional al momento flexionante, y un esfuerzo cortante que depende de la fuerza
cortante. Como paso previo a la determinación de los esfuerzos, se estudia la
distribución y el cálculo de la fuerza cortante y del momento flexionante en vigas,
sometidas a distintas combinaciones de cargas en diferentes condiciones de sujeción o
apoyo y, concretamente, la determinación de sus valores máximos.
Para el desarrollo de este informe se hará un estudio teórico y práctico del cálculo
de vigas, se resolverán problemas prácticos de algunos casos comunes presentes en el
campo trabajo de la ingeniería. Para apoyar las explicaciones de los conceptos
fundamentales, se presentarán gráficos que muestran las fuerzas, esfuerzos y
deformaciones de manera detallada. El trabajo abordará el estudio de las fuerzas y
tensiones internas de las vigas sometidas a flexión, diagramas de fuerzas y momentos
flectores. Se estudiarán las deformaciones en vigas por tres métodos diferentes y
finalmente se estudiará la resolución de vigas estáticamente indeterminadas, tanto
horizontales como inclinadas, por varios métodos.
Planteamiento del Problema
Las vigas son elementos cuya disposición en las estructuras es principalmente
horizontal, aunque también pueden ser inclinadas, pero que en todo caso tienen la
importante función de servir de apoyo de otros miembros estructurales que le
transmiten las cargas verticales generadas por la gravedad, las cuales actúan
lateralmente a lo largo de su eje. Gracias a estos elementos se pueden construir
todotipo de maquinarias y estructuras, tales como chasis de vehículos, soporte de
maquinarias, vigas de puentes y edificaciones, etc. Esta condición hace que las vigas
estén sometidas a esfuerzos diferentes a la tensión simple, representados por los
esfuerzos de flexión. En este caso las fuerzas externas pueden variar de una sección a
otra a lo largo de la viga, además la disposición de ellas, las condiciones de soporte y
la geometría, genera en el interior de la misma la aparición de cuatro fuerzas llamadas
resistentes.
En el presente informe se estudiará el comportamiento de las vigas a flexión pura
y no uniforme, es decir bajo la aplicación de cargas externas que generan en su
interior fuerzas cortantes y momentos flectores. Se estudiará la relación que existe
entre las fuerzas externas y las internas. Como varían estas últimas a lo lago de la
viga, mediante la elaboración de diagramas de fuerzas cortantes y momentos
flectores, a los fines de poder diseñar su dimensionado de manera económica con la
condición máscrítica de fuerza interna. Se estudiará también por varios métodos, lo
relacionado a las deformaciones producidas por el efecto de las fuerzas externas.
Finalmente se abordará el tema de las vigas hiperestáticas, y la forma de encontrar las
reacciones externas, utilizando las ecuaciones adicionales proporcionadas por las
deformaciones.
Los primeros 2 objetivos comprenden un estudio teórico muy simplificado, de los
conceptos referentes a las fuerzas cortantes y momentos flectores en vigas, sus
métodos de cálculo, diagramas y la relación existente entre las cargas, la fuerza
cortante y el momento flexionante. Para finalizar los últimos 2 objetivos comprende
el planteamiento y resolución de ejercicios propuestos para demostrar como es el
comportamiento de las fuerzas cortantes y momentos flectores en vigas.
Objetivos de la Investigación
Objetivo General
Estudiar el comportamiento de las fuerzas cortantes y momentos flectores en vigas.
Objetivos Específicos
1.- Definir las fuerzas cortantes y momentos flectores y sus métodos de cálculo.
2.- Analizar el comportamiento, interpretación y gráficas de las fuerzas cortantes y
momentos flectores en vigas.
3.-Demostrar mediante ejercicios propuestos el comportamiento de las fuerzas
cortantes y momentos flectores.
4.- Ejemplificar mediante gráficas las fuerzas de corte y momentos flectores en vigas.
CAPÍTULO II
Desarrollo del Tema
Vigas
En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento estructural lineal que
trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras
dos dimensiones y suele ser horizontal. Una viga simplemente apoyada en sus
extremos o viga simple, tiene una articulación en un extremo y un apoyo móvil sobre
rodillos en otro. Una viga en Voladizo, o ménsula, se sujeta en un solo extremo, en un
empotramiento que impide el giro en dicho extremo. Una viga con voladizos en
ambos extremos, está apoyada mediante una articulación y un apoyo de rodillos, pero
uno o los dos extremos sobresalen de los soportes. Todas estas vigas son
estáticamente determinadas, ya que sus reacciones pueden determinarse directamente
mediante las ecuaciones de equilibrio estático.
Existen otros tipos de vigas, como son: la viga empotrada – apoyada, la viga
doblemente empotrada, y la viga continua. Todas ellas tienen como mínimo una
reacción más de las estrictamente necesarias para su sustentación, es decir, para
impedir su movimiento como solido rígido y son, por tanto, estáticamente
indeterminadas o hiperestáticas.La existencia de un exceso de reacciones hace que las
ecuaciones del equilibrio estático no sean suficientes para determinarlas, y se requiere
el empleo de ecuaciones adicionales. Estas ecuaciones se obtienen considerando las
deformaciones elásticas de la viga.
Una carga concentrada o puntual, es la que actúa en una longitud tan pequeña de la
viga, que puede suponerse que lo hace sobre un punto, por el contrario, una carga
distribuida, es la que actúa sobre una longitud finita de la viga. Puede ser
uniformemente distribuida en toda su longitud, o sobre una parte de ella. Las cargas
distribuidas también pueden ser variables, uniformemente o no. En una carga
uniformemente variable, su intensidad crece o decrece en una proporción constante.
Tipos de Vigas
De acuerdo al número y tipo de los apoyos que soportan la viga, existen dos
grandes grupos de vigas:
Vigas Isostáticas o estáticamente determinadas
En estas vigas el número de reacciones externas coincide con el número de
ecuaciones de equilibro disponibles. No sobra ni faltan reacciones para que el sólido
permanezca en equilibrio estable, tiene grado de indeterminación (G.I) cero. A
continuación se muestran algunos ejemplos:
Vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas
Presentan un número mayor de reacciones externas que de ecuaciones de
equilibrio disponibles, lo cual significa que estas vigas presentan al menos una
condición de sujeción adicional a las mínimas requeridas para que se mantenga en
equilibrio estable, es decir, tienen reacciones sobrantes, cuya eliminación las
convertiría teóricamente en isostáticas. A continuación se muestran algunos ejemplos:
Fuerza Cortante y Momento Flector
En la figura se muestra una viga horizontal elemental, isostática de un solo tramo,
con una carga puntual “P”, en la sección a-a se hace un corte imaginario para
observar las fuerzas internas que aparecen para satisfacer las condiciones de
equilibro, tal como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de abajo.
Fuerza Cortante
Se produce con dirección perpendicular al eje de la viga y su efecto es similar al
generado por una tijera al cortar un papel, es decir una fuerza cortante paralela a la
cara de la sección de la viga. Del equilibrio de fuerzas verticales practicado a
cualquiera de los dos segmentos de viga separados, aparece una fuerza interna “Va-
a”, llamada Resistente, debido a que se opone al efecto de las fuerzas activas
externas, cuya dirección es perpendicular al eje longitudinal de la viga AB, el cual
coincide a su vez con el eje “X” del sistema de referencia particular “XY” de la
viga.
Para el caso de vigas inclinadas la fuerza cortante Va-a, tiene la misma
Inclinación, puesto que se orienta según el eje particular de la viga y no según el
Sistema global vertical-horizontal. En este sentido se define la fuerza cortante como
la sumatoria de la Componente perpendicular al eje, de las fuerzas externas situadas
a la izquierda o a la derecha de la sección de viga estudiada:
Va−a=∑ Fya−aizq =∑ Fya−a
der
La convención de signos más común, es aquella que considera positiva la fuerza
Cortante que hace deslizar hacia arriba, la porción de viga situada a la izquierda de la
sección estudiada, en caso contrario se considera negativa. En otras palabras cuando
la sumatoria de fuerzas a la izquierda de la sección es positiva la fuerza cortante tiene
el mismo signo, igual para el caso contrario, tal como se muestra en el siguiente
diagrama fig. 1.3.a. En la Fig. 1.3.b. se muestra la convención de signos desde el
punto de vista de la deformación de un elemento diferencial situado justo en la
sección a-a.
Momento Flector
Es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar la rotación del sólido en
un eje perpendicular a su eje y fuera de su plano, y que produce sobre la viga un
efecto de curvatura a largo de su eje.El equilibrio rotacional de los segmentos de viga
estudiados se logra con la aparición del Momento Flector Mi-a, señalado en el
diagrama de cuerpo libre anterior. De esta manera este se puede definir como la
sumatoria de los momentos de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la
derecha de la sección estudiada, considerando que el plano de aplicación de las
fuerzas es XY (hoja de papel), y la dirección del momento flector es perpendicular a
este, es decir el eje particular Z:
Ma−a=∑ Mia−aizq =∑ Mia−a
der
Signo del Momento Flector
El criterio más extendido es que el momento flexionante es positivo si la flexión
que produce en la viga presenta la concavidad hacia arriba. Un criterio equivalente es
que las fuerzas que actúan hacia arriba respecto de cualquier sección, producen
momentos flexionantes positivos, y las fuerzas que actúan hacia abajo dan lugar a
momentos flexionantes negativo. Esta conveniencia equivale a que los momentos en
el sentido del reloj sean positivos. Este criterio tiene la ventaja de que permite
calcular el momento flexionante sin posibilidad de confusión de signos, en función de
las fuerzas a la izquierda, o a la derecha, de la sección, según donde sea máscómodo o
fácil el cálculo, por haber menos fuerzas o por ser estas más sencillas.
Los momentos flectores positivos generan tracción o alargamiento en las fibras
inferiores de la viga y compresión o acortamiento en las superiores, los negativos
producen lo contrario, como se muestra en la parte superior de la figura anterior. En
los gráficos inferiores, de la figura anterior, se muestra el efecto de fuerzas
individuales y el sentido de curvatura de la viga, considerando un empotramiento
imaginario en la sección a-a.
Métodos de Cálculo
Las vigas hiperestáticas o estáticamenteindeterminadas, son aquellas que tiene al
menos un grado de indeterminación, estoequivale a decir que existe como mínimouna
reacción sobrante, a estas reacciones seles llama redundantes estáticas. Si estas
reacciones son suprimidas de la estructuraoriginal por algún método de cálculo, a la
nueva estructura se le llama estructuraliberada o también estructura primaria.
En el cálculo de este tipo de vigas, las ecuaciones de equilibrio estático no son
suficientes para encontrar las reacciones externas, puesto que solo se disponen de
tres; las dos sumatorias de fuerzas y la de momentos. Si la viga tiene cargas
verticalessolamente, la ecuación de sumatoria de fuerzas en X, siempre dará
reacciones nulas enese sentido. Para poder generar un número adicional de
ecuaciones que coincida con elgrado de indeterminación, se recurre a las ecuaciones
de deformación de la viga. Aestas ecuaciones se les llama ecuaciones de
deformaciones compatibles, debido aque las mismas reflejan o son compatibles con
las deformaciones que los apoyos de laviga original le permite, según la curva
elástica de la viga. Para solución de este tipo de vigas estudiaremos dos métodos:
Método de doble integración
Primero se generan las ecuaciones de deformaciones compatibles, tantas como
grado de indeterminación tenga la estructura, mediante un procedimiento similar
aldescrito para calcular las deformaciones en vigas isostáticas. En este caso las
condiciones de borde o de frontera cinemática encontradas, tendrá que ser igual al
grado de indeterminación (G.I.) más dos, para poder encontrar losvalores de las dos
constantes de integración C1 y C2:
N °Condiciones de borde=G . I+2
Con estas ecuaciones generadas por deformaciones, más las ecuaciones
deequilibro respectivas, se tendrá el número suficiente para calcular todas las
reaccionesexternas de la viga.
Método de Superposición
1. Seleccionamos tantas reacciones redundantes como grado de
indeterminacióntenga la viga, tratando siempre que la viga primaria sea
estable y presente estadosde carga contenidos en las tablas de superposición.
2. Asumimos las reacciones anteriores como cargas externas.
3. Se plantea un total de casos de carga o sub-problemas equivalente al
númerode cargas externas más las reacciones escogidas como redundantes.
4. Se asocia un caso de deformación, con cada reacción redundante, es así
comouna reacción tipo “fuerza” se corresponde con una deformación tipo
“flecha odeflexión”, mientras que una reacción tipo “momento” se asocia con
unadeformación tipo “giro”. Estas deformaciones deben ocurrir en el mismo
punto deaplicación de las reacciones redundantes.
5. Se plantean tantas ecuaciones de deformaciones compatibles como sea
elnúmero de reacciones redundantes. Para ello se plantea que las
deformacionesasociadas tengan el valor de deformación de la viga original y
su curva elástica en los puntos específicos, que suele ser en los apoyos.
6. Se tendrá un número equivalentes de ecuaciones y de reacciones
redundantes.Se resuelve el sistema, dando como resultado los valores de las
reacciones redundantes.
7. Se encuentran las demás reacciones no redundantes, por las ecuaciones de
equilibrio estático.
A continuación se muestra un ejemplo de escogencia de dos tipos diferentes de
reacciones redundantes para una misma viga. En el primer caso se resuelve el sistema
por las tablas de vigas en cantiliver, en el segundo por las tablas de vigas
simplementeapoyadas.
Interpretación de la Fuerza Cortante y del Momento Flector
En la siguiente figura (a) se tiene una viga que soporta una carga uniforme y unas
fuerzas concentradas en las figuras (b, c, d) se indican por separado los efectos de
cada una de las fuerzas exteriores que actúan a la izquierda de una sección b – b, y en
cada una de estas figuras, estos efectos se han aplicado a la sección, añadiendo un par
de fuerzas iguales y opuestas en el centro de gravedad b – b, con lo que, de esta
manera, y como se indica a la derecha de cada figura, los efectos de cada fuerza
exterior se reducen a una fuerza y un par. El momento del par es igual al momento
flexionante producidos por las fuerzas exteriores de manera que, como se observa en
la figura (e), el efecto de las fuerzas exteriores aplicas a un lado de la sección de
exploraciones se reduce a un sistema de fuerzas cuya resultante es la fuerza resultante
y a un sistema de pares cuya resultante es el momento flexionante.
Por tanto, el efecto total del sistema de fuerzas a un lado de la sección se reduce al
de una fuerza única y un par que son, respectivamente, la fuerza cortante y el
momento flector de dicha sección. Observando en la siguiente figura, cada una de las
dos porciones, en que queda dividida la viga por la sección b- b se mantiene
equilibrio bajo la acción de las fuerzas exteriores que sobre ella actúan, más la fuerza
cortante y el momento flector resistente, que son la fuerza cortante y el momento
flector efectivo de la otra porción de la viga.
En otras palabras, se puede cortar una viga por una sección cualquiera y sustituir
el esfuerzo de las fuerzas que actúan a un lado de esta sección por la fuerza cortante y
el momento flector producida por ellas y aplicada en la sección de cortes. Una
aplicación de esta interpretación es que se pueden calcular la fuerza cortante y el
momento flector en una sección en función del valor de estas magnitudes en otra
sección. Así el momento en la sección c – c será:
M c=M b+V b z−wz2
2
Relaciones entre la Carga, la Fuerza Cortante y el Momento Flector
Resulta particularmente importante, conocer no solo el valor del corte y del
momento flexionante en un punto de la viga, sino más bien a lo largo de todo el
elemento, debido a que en su diseño, se debe considerar la condición más
desfavorable de esfuerzo resistente en el interior del sólido, por lograr esto se
construyen los llamados diagramas de fuerza cortante y momento flector. La
realización de estos diagramas requiere conocer la relación existente entre las cargas
externas y las fuerzas internas de corte y momento flector.
En el siguiente gráfico, se ha considerado una viga simplemente apoyada, con un
sistema de cargas distribuida general “q”, de signo positivo, por tener sentido vertical
hacia arriba. 1 y 2 representan dos secciones de la viga separadas una distancia dx. A
la derecha se ha graficado en forma ampliada, el diagrama de cuerpo libre del
elemento diferencial de viga contenido entre las secciones 01 y 02, que incluye tanto
las fuerzas externas “q”, como las fuerzas internas V y M, las cuales se supusieron
con signo positivo. Para la cara de la sección 01, los valores de fuerzas cortantes y
momentos flexionantes son respectivamente V y M, mientras que para la sección 02,
son los valores de la sección 01 más un cierto diferencial dV y dM respectivamente.
Equilibrando el elemento diferencial tenemos:
Relación Carga – Corte
Por sumatoria de fuerzas verticales,
∑ F y=0→dV=q∗dX
∫V 1
V 2
dV=∫X 1
X 1
q∗dX
V 2−V 1=∆ V=(área)carga1−2
De esta manera se encuentran las siguientes relaciones:
1−q=dVdX
→ q: intensidad de carga, dVdX
: pendiente diagrama de corte.
El signo de la carga, define la inclinación de la pendiente del diagrama de corte.
La intensidad de la carga “q” define la variación de la pendiente deldiagrama de
corte.
Se puede calcular el corte en la sección 02, con el corte anterior en la sección 01,
más el área del diagrama de carga existente entre las secciones 01 y 02:
Relación Corte – Momento
Por sumatoria de momentos en el punto “0”:
∑ MB=0 →dM=V∗dX
∫M 1
M 2
dM =∫X1
X2
V∗dX
M 2−M 1=∆ M=(área)corte1−2
Las relaciones entre corte y momento son:
V=dMdX
→ V: intensidad del diag. De corte; dMdX
: pendiente diag. De momentos
El signo del diagrama de corte, define la inclinación de la pendiente del diagrama
de momentos:
La Intensidad del diagrama de corte, define la variación de la pendiente del
diagrama de Momentos, como se muestra a continuación:
Se puede calcular el momento en la sección 02, con el momento anterior en la
sección 01, más el área del diagrama de corte existente entre la sección 01 y 02:
Diagrama de Fuerza Cortante y Momento Flector
Son simplemente la representación gráfica de las distribuciones correspondientes,
dibujadas en los sistemas de eje de coordenadas V- x y M- x y suelen colocarse
debajo del diagrama de cargas, las discontinuidades de los diagramas de fuerza
constante se unen mediantes líneas verticales que representan el cambio brusco de
aquella producidos por las fuerzas concentradas.
La fuerza cortante y el momento flector, en los puntos de discontinuidad, se
determinan sustituyendo en las ecuaciones los correspondientes valores de x (a) a (f)
aunque, en general, es más sencillo determinar estos valores directamente aplicando
las definiciones de V y M a estas secciones. Por ejemplo la sección entre A y B de
fuerza cortante nula es aquella en la que el peso de X metros de carga aplicada a
razón de 20 kN/m contrarreste la fuerza constante positiva de 63 kN que existe en A,
por tanto, 63=20 x o bien, x= 3.15 m. El momento flector en esta sección se calcula
tomando momentos de la fuerza a la izquierda. Esta son las reacciones R1=63 kN
hacia arriba y la carga de 63 kN hacia abajo que ha sido necesaria para anular V. Por
la definición de momento flector, [M =(∑ M )izq ] en X=3.15, M=
(63 ) (3.15 )−63( 3.152 )=99.23 kN.m.
Un último punto de gran interés que muestra la forma que adquiere la viga bajo la
acción de las cargas aplicadas, suponiendo que fuera muy flexible. Entre A y E es
cóncava hacia arriba y entre E y D es cóncava hacia abajo. Puesto que cualquier
magnitud a la que se asocie el adjetivo “hacia arriba” se considera, por conveniencia,
con signo positivo, no debe extrañar que el diagrama de momentos tenga signo más
entre A y E, mientras que entre D y E, en donde la viga vuelve su concavidad hacia
abajo tenga signo menos. Trazando pues, la forma aproximada de la deformación de
la viga, sirve de confrontación con los signos obtenidos para momentos flexionantes.
En el punto E en que la viga cambia de forma, de cóncava hacia arriba a cóncava
hacia abajo, se tiene un punto de inflexión y corresponde a la sección de momento
flexionante nulo. Su posición se determina igualando a 0 la expresión [ M BC=0 ], −37 x+250=0; x=6.76m.
Problemas de fuerza cortante y momento flector
a. Calcular la Fuerza Cortante “V” y el Momento Flector “M”, en la sección 1-
1de la Viga simplemente apoyada mostrada.
Como la viga es simétrica, podemoscalcular las reacciones así:
RA=RB;∑ F y=2. RA → RA=∑ F y
2
RA=RB=6.000 Kg
2=3.000 Kg .
El Segmento de la viga situado a la izquierda de 1-1, presenta 2 cargas externas:
RA y 1.500 Kg.Para calcular la Fuerza Cortante en la sección 1-1, sumamos las
fuerzas externas a la izquierda de la sección 1-1. Obsérvese que V1-1 se definió
positivo.
Para calcular el Momento Flector en la sección 1-1, sumamos los Momentos de las
fuerzas externas situadas a la izquierda de la sección 1-1. Obsérvese que M 1−1 se
definió positivo.
b. Para la viga mostrada, calcule el valor de la Fuerza Cortante y del Momento
Flector en la sección 2-2.
Cálculo de reacciones:
∑ M B=0 → 1∗10−5∗2∗1+5+4 Rc−5∗10=0 → Rc=11,25 Kn
∑ F y=0→−10+Rb−5∗2+11.25−10=0→ Rb=18.75 Kn
La fuerza cortante en 2-2 será:
V 2−2=∑ Fc izq2−2=−10+18.75−5∗1.5
V 2−2=1.25 Kn
El Momento Flector en 2-2 será:
M 2−2=∑ Mcizq 2−2=−10∗2.5+18.75∗1.5−5∗1.5∗1.52
M 2−2=−2.5 Kn. m
c. Calcular el valor de la carga “P” y del momento “Md”, sabiendo que en la
sección 3-3 el corte es de 1.250 Kg. y el Momento Flector es de -666,67 Kg-
m.
En este caso trabajaremos con la porción de viga situada a la derecha de la sección
3-3, para no tener que calcular las reacciones en “A”. Obsérvese que se definen V 3−3
y M 3−3 positivos para el lado derecho.
Cálculo de Y 1=3.0003
=Y 11
→ Y 1=1.000 kg /m
V 3−3=∑ Fider3−3=1.000∗12
+P=1.250→ P=750 Kg
Los momentos flectores producidos por la carga triangular y la fuerza “P” son
negativos, respecto a 3-3, mientras que M D es positivo.
M 3−3=∑ Fider3−3=
−1.000∗12
∗1
3∗1−2∗750+M D=−666.67
M D=1.000 Kg .m
d. La Viga mostrada representa una losa de fundación de concreto armado, las
cargas q1 y p1representan el peso de la edificación mientras que la carga
uniforme q2 representa la reacción del suelo contra la losa, como se muestra
en la Figura.
1. Determine el valor de q2 para alcanzar el equilibrio.
2. Determine los valores de corte y Momento Flector en las secciones a-a y b-b.
Las cargas son simétricas. Para encontrar q2, hacemos equilibrio de fuerzas
verticales.
∑ F y=0→ 12 m∗q2−2∗3m∗10 ton
m−25 ton=0
q2=7 ton /m
La sección a-a, representa el borde de la edificación.
La sección b-b representa el centro de la losa y el apoyo de una columna.
La diferencia del corte entre estos dos puntos se corresponde con el valor de la
carga puntual.
e. La Viga principal AB, soporta un elemento secundario CDE, con una carga
puntual en el extremo. Determine el valor del corte y del Momento Flector en
a-a parala viga principal.
Por equilibrio determinamos los valores de Md y Dy, sobre la viga principal (ver
diagrama de cuerpo libre).
Elemento DE: ∑ F y=0+↑ Dy−50 Kn=0 → Dy=50 Kn
∑ M 0=0+↺M 0−50 Kn∗1.5 m=0→ M 0=75 Kn∗m
Consideramos ahora la viga principal bajo el efecto de las dos fuerzas calculadas,
donde Dy representa la fuerza cortante para los miembros DE y AB, por tratarse de
una carga perpendicular al eje de la viga, mientras que para el miembro CD,
representa una fuerza axial de tracción.
∑ Ma=0−3 m∗50 Kn−75 Kn∗m+6m∗By=0→ By=37.5Kn
∑ Fy=0 Ay−50 Kn+37.5 Kn=0→ Ay=12.5 Kn
f. La viga de peso despreciable mostrada, representa un sistema de elevación,
mediante un cable y una polea sin fricción en C, que levanta una carga W =
2.000 Kg.
1. Hacer el diagrama de cuerpo libre de cada barra.
2. Encontrar el valor del Corte, Momento Flector y Fuerza Axial de la viga a la
izquierda y derecha de “D”.
3. Encontrar el valor del Corte, Momento Flector y Fuerza Axial del miembro
“DE”.
En la polea c, la tensión del cable es igual a W:
∑ Fx=0 Cx−t∗cos 30°=0 ;Cx=2.000 Kg∗cos30 °=1.732,0508 Kg
∑ Fy=0Cy+T∗senθ−T=0 ;Cy=1.000 Kg
En el punto E: Tx=2.000∗cos30 °=1.732,05 Kg
Ty=2.000∗sen30 °=1.000 Kg
En la barra DE: ∑ Fy=0Dy=Ty=1.000 Kg
∑ Fx=0 V DE=Tx=1.732,05 Kg
∑ M 0=0 M DDe=2,6 m∗1.732,05 Kg=4.503,33 kg . m
Calculamos las Reacciones Externas como una viga simplemente apoyada.
∑ M a=0 ;−7 m∗2.000 Kg+5 By=0 → By=2.800 Kg
∑ Fy=0; Ay+By−2.000=0 → Ay=−800 Kg
∑ Fx=0 ; Ax=0
Con el tramo AD:
∑ Fx=0 → Ax−Dx izq=0→ Dxizq=0 No hay Fuerza Axial
∑ Fy=0→ Ay−V Dizq=0→V D
izq=−800 Kg Corte negativo
∑ M D=0→−2,5 mAy+M Dizq=0→ M D
izq=2,5 m (−800 Kg )→ M Dizq=2.000 Kg . m El
momento flector es negativo contrario al positivo supuesto
Con el tramo DC:
∑ Fx=0 → Dyder−Cx=0 → Dxder=1.732,05 Kg Hay fuerza axial de compresión
∑ Fy=0→ V Dder+By−Cy=0 → V D
der=Cy−By=1.000 Kg−2.800
V Dder=−1.800 Kg El corte a la derecha es contrario al supuesto que era positivo
∑ M D=0→−M Dder+2,5 m∗By−4,5 m∗Cy=0 → M D
der=2.500 Kg . m
En estos casos el corte y el momento flector fueron asumidos positivos en el
diagrama ycolocados dentro de las fórmulas de estática como fuerzas de equilibrio.
Con el Miembro DE:
∑ Fy=0; Dy−Ty=0 → Dy=1.000 Kg . f Fuerza Axial de compresión
∑ Fx=0 ;Tx−V DE=1.732,05 Kg Corte horizontal
∑ M D=0; M DDE−2,6 m∗Tx=0 → M D
DE=4.503,33 Kg. m Momento Flector
Verificación del equilibrio en el nodo D:
∑ Fx=0 DXizq−DX
der+V DE=0→0−1.732,05+1.732,05=0
∑ Fy=0V Dizq−V D
der−Dy=0 →−800−(−1.800 )−1.000=0
∑ M D=0 M Dder−M D
izq−M Dder=0→ 2.500− (−2.000 )−4.503,33 ≈ 0
Diagrama de Fuerza Cortante y Momento Flector en Vigas
a. Hacer el diagrama de Fuerza Cortante y de Momento Flector de la viga
simplemente apoyada mostrada.
Obsérvese que la carga puntual produce un salto en el diagrama de corte con el
mismo valor de la carga; si la carga es negativa el escalón de la derecha baja y
viceversa.
El Momento de arranque en A es cero, puesto que el apoyo articulado no
generamomento, para los tramos AB y BC, la relación entre Corte y Momento son:
Corte :¿
M B=M A+( Área)corteAB =0+500∗2=1.000
M C=M B+( Área)corteBC =1.000+300∗2=1.600
Para los tramos CD y ED la relación entre Corte y momento son:
Corte :¿
M D=M C+( Área)corteCD =1.600−300∗2=1.000
M E=M D+( Área)corteDE =1.000−500∗2=0
Cuando no hay fuerzas tipo par, aplicadas en la viga, el diagrama de momentos no
tiene saltos.
b. Se trazan los Diagramas de Corte y Momento Flector de la viga en cantiliver
mostrada.
Corte:
Relación Carga – Corte
Tramo AC: Carga: 0 → Pendiente: 0→ Intensidad: cte.
Tramo CB: Carga: Triang.→ Pendiente: (-) → Intensidad: crece negativamente.
V A : Reacción :3.750 Kg
V C=V A+(área )cargaAC =3.750 Kg+0=3.750 Kg
V B=V C+(área )cargaBC =3.750 Kg−3.750 Kg=0
Momento:
Relación Corte – Momento
Tramo AC: corte: rectang→ Pend: (+) →Intens.: ctte
Tramo CB: corte: Parab. → Pend: (+) →Intens.: Decrece.
M A=−18.750 de signonegativo , vistocomo momento flector .
M C=M A+ (área )corteAC =−18.750+3.750∗3=−7.500 Kg.m
M B=M C+ (área )corteCB =−7.500+ 2
3∗(3.750∗3 )=0
c. Se trazan los diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector de la viga
mostrada a continuación, articulada en el perno E.
Cálculo de Reacciones:
Tramo EF :∑ M E=0−3.000∗2∗1+2 RF=0 → Fy=3.000 Kg
Todo el sist . :∑ M B=0500−2∗1.000−6∗12.000+4 RD+8∗3.000=0
Todo el sist . :∑ Fy=0By−1.000+12.375−4∗3.000+3.000=0 → By=−2.375 Kg
Cálculo del corte cero en el punto “P” por dos métodos:
- Por relación de triángulos: 9.000
X1
= 3.0004−X1
→ X1=3 m
- Por definición de Fuerza Cortante como la sumatoria de fuerzas a la izquierda:
En los puntos de corte cero, el diagrama de Momento Flector presenta valores
máximos, bien sea positivo o negativo.
d. Se trazan los Diagramas de Corte y Momento Flector para la viga mostrada.
2.4004
=Y 1
1→Y 1=
2.4004
=600 Kg . m
R1=3 m∗600 Kg. m=1.800 Kg
R2= (2.400−600 ) Kg .m∗32m
=2.700 Kg
∑ M D=0;2 Ey−1,50∗R1−2∗R2=0→ Ey=4.050 Kg
Todo el sistema:
∑ M B=0−4 m∗1.200∗1m−2m∗1.200 Kg+3Cy−4 m∗2.400 Kg /m2
∗5,67+6 Ey=0
Cy=3.366,67 Kg
∑ Fy=0 By−4 m∗1.200−1.200+Cy−4 m∗2.400 Kg /m2
+Ey=0 → By=3.383,33 Kg
Cálculo del valor de la distancia X1:
2.183,30X 1
=216,302−X1
→ X1=1.819 m( porrelación de triang .)
Cálculo del valor de la distancia X2, por definición de fuerza cortante:
X=Variable
Ecuaciónde larecta : y=A−X
R=2.4004
∗X →Y =600 X
R=X∗Y2
=X∗(600 X )
2→ R=300 X 2
Los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la viga se presentan en las fibras mas alejadas de la superficie neutra así como donde el momento flexionante toma su mayor valor.
Al ver la ecuación teórica de la flexión se tiene que los esfuerzos son proporcionales al momento flexionante e inversamente proporcional al momento de inercia de la sección transversal. Así como los esfuerzos varían linealmente con la distancia y desde el eje neutro.
Para facilitar el proceso de diseño y el uso de los diagramas muchos autores acostumbran dibujar el diagrama de momentos del lado de tensión de la viga
La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, capaz de soportar el peso colocado de forma perpendicular al elemento y transportarlo lateralmente a lo largo del mismo, mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexión y corte.
El procedimiento básico para cuantificar las fuerzas de diseño consiste en: VVMMFacultad de Arquitectura y Diseño febrero 2013 Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela. 2 Prof. Jorge O. Medina 1. Aislar el elemento del sistema estructural, 2. determinar las reacciones por las ecuaciones estáticas o de las condiciones de apoyos, 3. realizar un corte en la sección donde se desea conocer la magnitud de las fuerzas internas con un plano perpendicular al eje del elemento, 4. las fuerzas internas se obtienen de aplicar el equilibrio sobre una de las dos porciones obtenidas por el corte.
Los efectos que producen las cargas sobre una viga son de dos tipos: Fuerza Cortante (V) y Momento Flector (M). La magnitud de estas fuerzas son variables a lo largo de la longitud de la viga,
Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas
hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son tomadas de la elástica de la viga.
Tres Momentos Para un número cualquiera de tramos, n, es posible escribir n—1 ecuaciones de tal clase. Esto da suficientes ecuaciones simultáneas para la determinación de momentos redundantes sobre los apoyos. Tal fórmula de recurrencia se llama ecuación de los tres momentos, debido a los tres momentos desconocidos que aparecen en ella y se escribe de la siguiente forma:
La ecuación de tres momentos fue determinada en la suposición de momentos flectores positivos, según lo indicado en la Figura 7. En un problema particular, donde se tienen más de dos tramos. Un número suficiente de ecuaciones simultáneas para determinar los momentos desconocidos se obtiene imaginando sucesivamente los apoyos de
tramos contiguos (véase Figura 8). De manera similar ocurre cuando se tiene un solo tramo, donde se agregan tramos con condiciones cero, para adaptarse a la ecuación de tres momentos.
BIBLIOGRAFÍA
Beer, Ferdinand; Johnston, Russell (1.994). Mecánica de Materiales. Editorial McGraw Hill, México.
Singer, Ferdinand; Pytel, Andrew (2010). Resistencia de Materiales. Editorial Alfaomega, México.
Rodríguez, Aquilino (2007). Teoría y Prácticas de Resistencia de Materiales para Estudiantes, Vigas. Universidad de Carabobo, Facultad de Ingeniería, Venezuela.
Gere, James (2002). Mecánica de Materiales. Thomson Learning Editores.
TABLA DE ÁREAS Y CENTROIDES DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS
TABLAS DE DEFLEXIONES Y PENDIENTES EN VIGAS
