complex numbers powers and roots
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G. Edgar Mata Ortiz
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Los números complejos generalmente se representan en forma binómica:
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La forma binómica del número complejo es útil para efectuar las operaciones aritméticas básicas; suma, resta multiplicación y división.
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Para elevar un número complejo a una potencia, o extraer raíces cuadradas, se emplea el Teorema de Möivre, el cuál requiere que el número esté expresado en forma trigonométrica.
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Para comprender mejor el proceso que nos permite convertir la expresión de un número complejo de la forma binómica a la forma trigonométrica debemos recordar el plano complejo.
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Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b.
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
Originalmente el número está
expresado en forma binómica.
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Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b.
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
Originalmente el número está expresado en forma
binómica.
Debe convertirse a la forma trigonométrica
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Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b.
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
Originalmente el número está expresado en forma binómica.
Debe convertirse a la forma trigonométrica
𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
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Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b.
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
Esta conversión se efectúa mediante dos fórmulas
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Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b.
𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒃
𝒂
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Expresar el número:
En forma trigonométrica
𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟒𝟓
𝟐𝟖
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝒓 = 𝟐𝟖2 + 𝟒𝟓2
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Expresar el número:
En forma trigonométrica
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟒𝟓
𝟐𝟖
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝒓 = 𝟐𝟖2 + 𝟒𝟓2
𝒓 = 𝟕𝟖𝟒 + 𝟐𝟎𝟐𝟓
𝒓 = 𝟕𝟖𝟒 + 𝟐𝟎𝟐𝟓
𝒓 = 𝟐𝟖𝟎𝟗
𝒓 = 53
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟏. 𝟔𝟎𝟕
𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒
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𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝒓 = 53 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒
𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)
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𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝒓 = 53 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒
𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)
Forma binómica
Forma trigonométrica
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Para elevar un número complejo a
una potencia entera se aplica el
Teorema de: De Möivre
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Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el Teorema:
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Ejemplo: Elevar el número z =28+45i al cuadrado:
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Ejemplo: Elevar el número z =28+45i al cuadrado:
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Ejemplo: Elevar el número z =28+45i, al cuadrado:
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Puede parecer muy complicado convertir primero a la forma polar y luego aplicar el teorema de De Möivre, sin embargo, este método es muestra su utilidad cuando se eleva a potencias muy grandes.Por ejemplo:
Eleva z =1–i, a la décima potencia.
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Para obtener la raíz cuadrada, cúbica o enésima, también
se aplica el Teorema de: De Möivre
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Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el teorema, escribiendo la raíz como una potencia fraccionaria.
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Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el teorema, escribiendo la raíz como una potencia fraccionaria y, tomando en cuenta que las funciones trigonométricas son periódicas, realizar un ajuste en a fórmula.
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El ajuste en la fórmula consiste en agregar la periodicidad como se muestra:
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
La primera de las tres soluciones es:
𝐤 = 𝟎
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
La segunda de las tres soluciones es:
𝐤 = 𝟏
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
La tercera de las tres soluciones es:
𝐤 = 𝟐
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Las tres soluciones en forma trigonométrica son:
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Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Las tres soluciones en forma binómica son:
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