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UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Área Departamental de Engenharia Civil
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL
ENGENHARIA SÍSMICA
VERSÃO PROVISÓRIA
JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO
FARO 2006/02/17
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ÍNDICE
Capítulo 1 - Introdução ............................................................................................... 1
Capítulo 2 - Conceitos básicos de sismologia ............................................................ 4
2.1. Definições gerais ............................................................................................. 4
2.2. A estrutura do globo terrestre.......................................................................... 4
2.3. Geração de sismos.......................................................................................... 7
2.4. Ondas sísmicas ............................................................................................... 9
2.5. Escalas sísmicas ........................................................................................... 14
2.5.1. Magnitude dos sismos ............................................................................. 14
2.5.2. Intensidade dos sismos ........................................................................... 15
2.6. Maremotos ..................................................................................................... 17
Capítulo 3 - Osciladores lineares sujeitos a movimentos na base ........................... 19
3.1. Oscilador linear de um grau de liberdade ..................................................... 19
3.1.1. Equação de movimento ........................................................................... 19
3.1.2. Resposta em regime forçado ................................................................... 21
3.2. Sistema linear de vários graus de liberdade ................................................. 27
3.2.1. Sistema de equações de movimento ....................................................... 29
3.2.2. Regime forçado........................................................................................ 30
Capítulo 4 - Definição da acção sísmica .................................................................. 33
4.1. Generalidades ............................................................................................... 33
4.2. Análise da sismicidade .................................................................................. 34
4.3. Perigosidade sísmica (Casualidade sísmica) ................................................ 37
4.4. Efeitos locais ................................................................................................. 39
4.4.1. Efeitos de proximidade ............................................................................ 41
4.4.2. Amplificação ............................................................................................ 41
4.4.3. Efeitos topográficos ................................................................................. 45
4.4.4. Efeitos locais colaterais ........................................................................... 46
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4.5. Zonamento sísmico ....................................................................................... 46
4.6. Modelos descritivos das acções sísmicas ..................................................... 47
4.6.1. Acelerogramas ......................................................................................... 50
4.6.2. Espectros de potência ............................................................................. 51
4.6.3. Espectros de resposta ............................................................................. 54
Capítulo 5 - Análise sísmica de estruturas ............................................................... 57
5.1. Tipos de métodos de análise ........................................................................ 57
5.2. Métodos de análise linear ............................................................................. 58
5.2.1. Coeficiente de comportamento ................................................................ 58
5.2.2. Análise modal com recurso a espectros de resposta .............................. 62
5.2.3. Métodos simplificados de análise sísmica ............................................... 67
5.2.3.1. Configuração do método de Rayleigh ............................................... 67
5.2.3.2. Configuração linear em altura ........................................................... 70
5.3. Métodos de análise não linear ...................................................................... 70
5.3.1. Análise dinâmica não linear ................................................................. 71
5.3.2. Análise estática não linear (Pushover) ................................................ 74
5.4. Limites da resposta sísmica .......................................................................... 76
5.5. Efeitos da torção em estruturas de edifícios ................................................. 77
5.5.1. Modelos de análise plana ........................................................................ 79
5.5.2. Modelos de análise espacial ................................................................... 83
5.6. Selecção dos métodos e modelos de análise sísmica de edifícios ............... 88
Capítulo 6 - Comportamento sísmico de edifícios .................................................... 90
6.1. Risco sísmico de edifícios ............................................................................. 90
6.2. Vulnerabilidade sísmica de edifícios ............................................................. 93
6.2.1. Factores externos .................................................................................... 93
6.2.2. Factores internos ..................................................................................... 95
Bibliografia .............................................................................................................. 102
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CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO À ENGENHARIA SÍSMICA
O efeito dos sismos atemorizou o Homem desde os primórdios da humanidade.
Inicialmente, o fenómeno natural foi explicado com recurso ao sobrenatural.
Com o sismo de 1 de Novembro de 1755 essa atitude muda e, pela primeira
vez, são as forças da natureza apontadas como causadoras da destruição
maciça das habitações. No seguimento deste sismo, é concebido um primeiro
processo construtivo, que de uma forma sistematizada, visava melhorar o
comportamento sismo-resistente das construções, a denominada “Gaiola
Pombalina”, cuja autoria será, provavelmente, dos engenheiros que
encabeçaram a reconstrução de Lisboa: Manuel da Maia, Eugénio dos Santos
e Carlos Mardel.
Anualmente, ocorrem no mundo cerca de 1000 eventos que, potencialmente,
podem causar danos materiais. Desses eventos, só pequena percentagem
afecta as construções em grandes áreas geográficas. No actual território
Português são conhecidos relatos históricos, desde o ano 60 a.c., de sismos
que provocaram o colapso das construções e a perda de vidas humanas.
Estes factos históricos têm levado ao estudo do comportamento das
construções face à ocorrência de vibrações sísmicas, e à elaboração de
documentos que definem a acção sísmica a considerar no dimensionamento
de uma estrutura.
O primeiro método de análise sísmica de estruturas, simulava a acção dos
sismos por meio de uma distribuição constante de forças horizontais em altura,
e terá sido proposto por cientistas italianos após o sismo de Reggio-Messina
de 1908. Esse método começou a ser muito utilizado após o sismo de Tóquio
de 1923, em virtude da maior parte das estruturas, assim projectadas, terem
tido um comportamento aceitável. As mais mediáticas foram projectadas por
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Tachu Naito, designadamente o Teatro Kabuki. Portugal adopta este método
de análise na regulamentação de 1958 e 1961.
Uma correcção a este método foi incorporada na regulamentação da cidade de
Los Angeles em 1943, numa tentativa de aproximação do modelo à resposta
dinâmica da estrutura e tinha em conta a altura do edifício.
Muito embora Maurice A. Biot tenha sugerido em 1933 a adopção de análises
dinâmicas com recurso a espectros de resposta, só a partir dos anos cinquenta
é que começaram a ser realizadas, após os trabalhos de George Housner
sobre o cálculo de espectros de resposta (desde 1933 que começaram a ser
obtidos registos de movimentos sísmicos intensos, na proximidade dos
epicentros, tendo Housner apresentado em 1941 os primeiros cálculos dos
espectros de resposta do sismo de El Centro de 1940). O conceito de espectro
de resposta inelástico é apresentado em 1960 por Nathan Newmark. Com a
generalização do método dos elementos finitos (assim baptizado por Ray
Clough nos anos 60) e das análises dinâmicas, as análises sísmicas
começaram a conduzir a um dimensionamento mais adequado das estruturas,
principalmente com a evolução progressiva dos meios de cálculo automático.
A regulamentação portuguesa de 1983 adoptou métodos de análise sísmica
com base em análises dinâmicas e com recurso a espectros de potência ou de
resposta, ou, em alternativa e para estruturas mais simples, um método de
forças estáticas equivalentes variando proporcionalmente à altura da estrutura.
Presentemente, a investigação incide nos métodos de análise não linear de
estruturas, com modelação do comportamento dos elementos estruturais e não
estruturais em simultâneo.
No âmbito da engenharia de estruturas, a engenharia sísmica é definida como
a área da mecânica aplicada dedicada ao estudo do comportamento das
construções e respectiva análise e dimensionamento, quando sujeitas a
vibrações sísmicas.
Engenharia Sísmica – versão provisória – 2006/02/17
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Em Portugal, o grande impulsionador inicial da engenharia sísmica foi o Eng.
Ferry Borges. O estudo da engenharia sísmica, como parte integrante dos
currículos da generalidade das licenciaturas em engenharia civil, é
relativamente recente (algumas décadas).
Este trabalho pretende ser uma ferramenta de aprendizagem, numa
perspectiva global e moderna, no âmbito do módulo de engenharia sísmica, da
disciplina de Complementos de Análise Estrutural do 2º ciclo do Curso de
Engenharia Civil da Escola Superior de Tecnologia da Universidade do
Algarve.
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CAPÍTULO 2
CONCEITOS BÁSICOS DE SISMOLOGIA
2.1. Definições gerais
Os sismos constituem a principal preocupação da sismologia e da engenharia
sísmica, sendo os movimentos sísmicos o principal elo de ligação entre estes
dois ramos da ciência.
A sismologia é a disciplina que estuda as causas e o mecanismo de geração
dos sismos, as ondas sísmicas originadas e respectivas propagações, assim
como, através de bases teóricas e experimentais, tenta prever a ocorrência
desses fenómenos.
No domínio da engenharia sísmica, os sismos são estudados tendo em vista
uma aplicação prática do conhecimento adquirido. Dessa forma, utiliza os
resultados que a sismologia proporciona, com o objectivo de desenvolver
modelos de análise e dimensionamento que permitam minimizar o risco
sísmico das construções.
2.2. A estrutura do globo terrestre
Estudos sísmicos têm mostrado que a Terra é constituída, essencialmente, por
três camadas concêntricas (crusta, manto e núcleo), representadas na figura
2.1, que se distinguem por possuírem velocidades sísmicas diferentes.
A crusta é a camada superficial da Terra e constitui uma camada rígida com
uma espessura média de 30 a 40 km nos continentes (crusta continental) e
com espessura aproximadamente constante, com cerca de 6 km, nos oceanos
(crusta oceânica). Sob a crusta existe o manto, de elevada densidade, formado
por rocha parcialmente fundida, dada a grande temperatura a que se encontra.
A parte superior do manto é mais fria e mais sólida do que a parte inferior. A
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crusta e a parte rígida do manto formam a litosfera. Esta corresponde,
aproximadamente, aos primeiros 100 km do globo. A camada mole situada
abaixo da litosfera numa extensão de 700 km é designada por astenosfera,
Nesta camada atingem-se temperaturas de 1400ºC, suficientes para fundir as
rochas do manto (o nível superior da astenosfera é onde o magma é gerado).
A camada que se situa sob a astenosfera é designada por mesosfera, e
corresponde à camada interior, da qual se sabe pouco, mas que se julga mais
rígida do que a astenosfera.
Crusta continentes - 30 a 40 km oceanos - 6 km
0 400 km
1000 km
2900 km
4980 km 5120 km
Núcleo exterior
Núcleo interior
Manto inferior
Zona de transição
Manto superior
Descontinuidade de Mohorovicic
Descontinuidade de Gutenberg
6370 km
FIGURA 2.1 - Estrutura da Terra.
A superfície terrestre está em constante mudança. Destas alterações, as mais
importantes são supostas estarem associadas a movimentos de partes rígidas
da litosfera (placas tectónicas), que flutuam (como gelo num lago) sobre o topo
da astenosfera, devido a correntes de convecção. O estudo deste fenómeno é
designado por tectónica de placas. De acordo com esta ideia, existem sete
grandes placas que cobrem a quase totalidade da superfície do planeta (a
placa Africana, a placa Indo-Australiana, a placa Euro-Asiática, a placa do
Antártico, as placas Sul e Norte Americanas e a placa de Naska), e que
constituem as peças do invólucro rígido da Terra.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2005
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As zonas de fronteira entre placas tectónicas (limites entre placas tectónicas)
podem ser classificadas nos seguintes grupos (figura 2.2):
• zonas divergentes - onde duas placas oceânicas se afastam, originando
nova crusta, e formando uma crista oceânica;
• zonas convergentes - que se podem dividir em zonas de subducção (onde
uma placa oceânica encontra uma placa continental, que impulsiona a placa
oceânica, mais densa, para baixo, onde é depois fundida quando atinge uma
profundidade de cerca de 700 km) e zonas de cavalgamento (quando duas
placas continentais colidem, formando cadeias montanhosas);
• zonas de transformação (conservativas) - onde a crusta nem é destruída,
nem é criada, sendo verificada uma translação horizontal entre as placas;
• zonas de interacção - fronteiras onde os limites das placas não estão bem
definidos, e o efeito da interacção é incerto.
Oceano Continente
Litosfera (fria)
Magma ascendente
Litosfera Astenosfera
(quente)
Zona de transformação
Correntes de convecção
Zona divergente (crista oceânica) Fossa oceânica
•
Zona convergente (subducção)
- sismos profundos
××××
o
×××× ×××× ×××× ×××× ××××
• •
• •
•
××××
×××× ×××× ××××
- sismos superficiais ××××
o o
o o
- sismos intermédios
FIGURA 2.2 - Movimentos tectónicos.
Os epicentros dos sismos mais importantes que se registam na Terra, estão
situados nas cinturas sísmicas que coincidem com as zonas de fronteira das
grandes placas tectónicas. Portugal continental encontra-se próximo da
fronteira entre a placa Euro-Asiática e a placa Africana, situando-se, nessa
zona, a maioria dos sismos registados no país.
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2.3. Geração de sismos
Genericamente, podemos dizer que um sismo corresponde à libertação de
tensões acumuladas na litosfera. Esse fenómeno ocorre ao longo de falhas,
que correspondem a fracturas planas na estrutura rochosa da Terra, e que
permitem deslocamentos relativos das faces da falha, nomeadamente nas
zonas de fronteira entre placas tectónicas.
A ruptura tem início num ponto que se designa por hipocentro ou foco. A
projecção do foco sobre a superfície do globo terrestre tem a designação de
epicentro (figura 2.3a). A forma como a ruptura se processa é bastante
controversa, sendo a teoria de Reid, vulgarmente designada por ressalto
elástico (“Elastic Rebound”), a mais divulgada. Segundo esta teoria, a
existência de deformações constantes ao longo do tempo, leva ao aumento
gradual das tensões até à ruptura, como é representado na figura 2.3b. A
redistribuição de tensões irá originar outras roturas na vizinhança do foco.
a) b)
Foco
Local
Epicentro
D
R
D - distância epicentral R - distância focal
Plano da falha
Traço da falha
FIGURA 2.3 - a) Características de um sismo; b) Ressalto elástico.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2005
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Como se verifica na figura 2.4, os principais tipos de deslocamentos que
ocorrem nas falhas dão origem aos seguintes três grupos: falhas normais,
correspondentes a zonas traccionadas; falhas inversas, correspondentes a
zonas comprimidas; e falhas de desligamento (transcorrentes) que estão
associadas a grandes deslocamentos relativos.
As falhas podem ser classificadas, em termos da sua actividade sísmica, em
dois grupos: falhas activas e falhas extintas. Existe, no entanto, grande
incerteza associada a esta classificação. Do ponto de vista geológico, uma
ruptura tectónica que tem estado activa desde o período Quaternário (últimos
2.5 milhões de anos), e possa estar activa no futuro, pode ser considerada
como uma falha activa. Do ponto de vista da engenharia sísmica, uma falha
pode ser considerada como activa, se tem tido actividade sísmica desde a
época do Holocénico (últimos 10 000 anos), e possa estar activa nos próximos
100 anos. O estudo das falhas activas designa-se por Neotectónica.
Falha normal
Falha inversa
Falha de desligamento
FIGURA 2.4 - Tipos principais de falhas
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A maioria dos sismos tem o seu foco a profundidades menores do que 70 km
(profundidade normal), a que se seguem, em menor número, os sismos
situados entre os 70 km e os 300 km (profundidade intermédia), e por fim, em
pequeno número, os sismos com profundidades entre os 300 km e os 700 km
(profundos). Não são conhecidos sismos a profundidades superiores a estes
valores (figura 2.2).
2.4. Ondas sísmicas
Quando um sismo ocorre, a energia de deformação acumulada é libertada na
forma de ondas sísmicas. Estas ondas percorrem grandes distâncias antes de
perderem energia ao longo do percurso (atenuação), pelo que provocam
vibrações sísmicas em construções muito distantes do epicentro do sismo.
Como se apresenta na figura 2.5, a ondas sísmicas não se propagam de forma
idêntica, podendo ser classificadas em dois grupos distintos: ondas volúmicas,
que se propagam através da massa da Terra, e ondas superficiais, que se
propagam na superfície terrestre.
As ondas volúmicas dividem-se em ondas primárias de compressão (P) e
ondas secundárias de corte (S). Estas últimas dividem-se em SH e SV
consoante originem movimentos das partículas de solo no plano horizontal
(SH) ou no plano vertical (SV).
A velocidade de propagação das ondas P (vP) corresponde a
ρ
+λ= G2vP (2.1)
e das ondas S (vS) a
ρ
= GvS (2.2)
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sendo λ o comprimento de onda, G o módulo de distorção e a massa
específica do meio de propagação.
Da expressão (2.2) verifica-se que as ondas S não se propagam por meios
fluidos, pois o módulo de distorção é nulo (G= 0) nesses meios de propagação.
Atendendo a que o coeficiente de Poisson (ν) é dado por
( )G2 +λλ=ν (2.3)
obtemos
ν−ν−=
2122
vv
S
P (2.4)
Para os valores usuais de coeficiente de Poisson a velocidade de propagação
das ondas P é superior à velocidade de propagação das ondas S (para ν= 0.3,
vP = 1.87vS ).
As ondas superficiais resultam da interacção das ondas volúmicas com a
superfície e são ondas sísmicas responsáveis por muitos estragos nas
construções, podendo ser distinguidos dois tipos: ondas de Rayleigh e ondas
de Love.
As ondas de Rayleigh apresentam uma velocidade (vR) inferior à das ondas
volúmicas (80% a 96% das ondas vS). Estas ondas só começam a ter
importância para distâncias epicentrais (D) superiores ao valor da
profundidade focal (h), dada pela relação
( ) 1vv
hD
2RP −
= (2.5)
As ondas de Love correspondem, essencialmente, a ondas SH que ficam
aprisionadas por múltiplas reflexões na camada superficial e só surgem
quando existem camadas superficiais com menores velocidades vS do que as
camadas inferiores. A velocidade das ondas de Love (vL) fica compreendida
entre as velocidades vS mínima e máxima das camadas superiores.
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Meio não perturbado
Compressão
Dilatação
Onda P
Onda de Love
Onda de Rayleigh
Comprimento de onda
Dobro da amplitude
Onda S
FIGURA 2.5 - Propagação das ondas sísmicas
A passagem das ondas sísmicas origina movimentos nos solos que são
registados com instrumentos de medida designados por sismógrafos. Estes
aparelhos são a principal ferramenta que os sismólogos possuem para estudar
os fenómenos sísmicos.
As ondas P e S possuem velocidades de propagação distintas na estrutura
interior da Terra. As ondas S, de corte, não se propagam por meios líquidos,
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como tal, não atravessam o núcleo líquido do globo terrestre (figura 2.6a). Com
o conhecimento dos tempos de chegada das ondas P (tP) e S (tS), dado que a
propagação das ondas S é mais lenta do que a das P (quadro 2.1), é possível
determinar a distância ao epicentro do sismo (distância que é função do
desfasamento temporal entre as ondas P e S), com um mínimo de três
estações sismográficas, como se mostra nas figuras 2.6b e 2.6c. Essa
distância é igual a
( )
SP
PSSP
vvttvv
D−
−= (2.6)
Zona de sombra das ondas P e S
Zona de sombra das ondas S (só existem ondas P)
103º
142º
0º
Sismo
103º
142º
Núcleo líquido
Núcleo sólido
Sismograma
S
P
c) b)
a)
Tempo de chegada
das ondas
(segundos)
Distância ao epicentro (km)
Epicentro
Estação 1
Estação 2
Estação 3
FIGURA 2.6 - Trajectória e detecção das ondas P e S
A existência de descontinuidades nos meios de propagação provoca a reflexão
e refracção das ondas, como se ilustra na figura 2.7. Parte da energia das
ondas de um dado tipo é convertida em ondas de um outro tipo.
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Foco Descontinuidade
P incidente
SV reflectida
P reflectida
SV refractada
P refractada
Descontinuidade
SH incidente SH reflectida
SH refractada
Descontinuidade
SV incidente
SV reflectida
P reflectida
SV refractada
P refractada
FIGURA 2.7 - Reflexão e refracção de ondas P e S
A lei de Snell diz que o quociente entre o senos dos ângulos de incidência (αi),
de reflexão (αe) ou de refracção (αa) e as respectivas velocidades de
propagação (v i, ve e v a) é constante:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a
a
a
a
e
e
e
e
i
i
i
i
S
S
P
P
S
S
P
P
S
S
P
P
v
sen
v
sen
v
sen
v
sen
v
sen
v
sen α=
α=
α=
α=
α=
α (2.7)
Existe um ângulo crítico (αc) de incidência das ondas sísmicas numa
descontinuidade que origina ondas sísmicas refractadas que se propagam na
direcção da descontinuidade
=
=α
a
i
a
i
S
S
P
Pc v
varcsen
v
varcsen (2.8)
Durante o processo de propagação das ondas sísmicas, parte da energia é
transmitida para o meio de propagação. Este fenómeno é designado por
atenuação das ondas sísmicas, e é proporcional a cada ciclo do movimento
ondulatório, pelo que as ondas de maior frequência são mais rapidamente
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atenuadas com a distância do que as de menor frequência. Deste modo,
potencialmente, a passagem das ondas sísmicas nos locais mais distantes do
epicentro, origina vibrações sísmicas com maior energia nas frequências mais
baixas.
Vários estudos têm sido efectuados de forma a serem estabelecidas
expressões matemáticas que permitam caracterizar a atenuação em função da
magnitude e da distância hipocentral. Essas leis de atenuação são calibradas
a partir de registos sísmicos e podem apresentar-se em termos da aceleração
de pico ou em função da frequência das harmónicas que constituem as ondas
sísmicas. Do ponto de vista da engenharia de estruturas estas últimas são
bastante mais importantes. É de realçar a inexistência de dados instrumentais
de grandes sismos que permitam calibrar leis de atenuação para Portugal.
2.5. Escalas sísmicas
2.5.1. Magnitude dos sismos
Richter introduziu o conceito de magnitude para dar uma medida quantitativa
aos sismos, a partir de um registo instrumental. A designada magnitude de
Richter corresponde à expressão
01010 AlogAlogM −= (2.9)
em que A é a máxima amplitude registada num sismógrafo de Wood-Anderson
à distância focal de 100 km e A0 é um valor de referência.
A energia libertada num sismo (E) pode ser relacionada com a sua magnitude
através da expressão empírica
8.11M 5.1Elog10 += (2.10)
com E expressa em Ergs. Outras expressões empíricas, do tipo
bMaeL −⋅= (2.11)
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que relacionam o comprimento de ruptura da falha (L), em km, e a magnitude
do sismo (M), têm sido desenvolvidas pelos mais diversos autores,
apresentando, contudo, grande dispersão de resultados (alguns autores
sugerem os valores a=1.15 e b=3.35 como sendo válidos, de uma forma
genérica, para todo o mundo).
A utilização destas fórmulas, no âmbito da engenharia sísmica, deve ser
efectuada com ponderação, embora sejam uma forma rápida de obter ordens
de grandeza dos diversos parâmetros em estudo. Baseado nestas expressões,
verifica-se que o aumento de uma unidade na escala de Richter corresponde a
multiplicarmos por 10 a amplitude das ondas sísmicas e por 32 o valor da
energia libertada pelo sismo.
2.5.2. Intensidade dos sismos
Quando é noticiada a ocorrência de um sismo pelos órgãos de comunicação
social, é comum a mistura dos conceitos de magnitude e intensidade sísmica.
A noção de intensidade sísmica está ligada aos efeitos dos sismos sobre as
construções e pessoas, definindo o potencial de destruição. Não se trata de
uma característica única de um sismo, nem pode ser quantificada de forma
precisa.
Inúmeros factores afectam a medição da grandeza da intensidade sísmica,
nomeadamente os efeitos geológicos e topográficos, distância ao epicentro e a
qualidade da construção na área afectada pelo sismo. Um sismo de grande
magnitude poderá fazer-se sentir com pequena intensidade, enquanto que um
sismo de pequena magnitude, a reduzida distância hipocentral, poderá fazer-
se sentir com grande intensidade.
Uma das escalas de intensidade mais utilizadas é a versão modificada da
escala de Mercalli, que se apresenta no quadro 2.1.
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QUADRO 2.1 - Escala modificada de Mercalli
Grau Descrição Aceleração aproximada (cm/s-2)
I Registado instrumentalmente -- instrumental
II Sentido por poucas pessoas em repouso, especialmente nos últimos andares de edifícios altos. Objectos suspensos muito delicados poderão oscilar.
muito ligeiro
III Bastante sentido por pessoas em edifícios, mas pode não ser reconhecido como um sismo. As vibrações são semelhantes às provocadas por um camião a passar. É possível estimar-se a duração.
ligeiro
IV Durante o dia, é sentido por muitas pessoas em edifícios, e na rua por algumas. Á noite algumas pessoas acordam. A vibração provoca ruídos em portas, janelas e loiças.
15 a 20 moderado
V Sentido por quase todos e muitas pessoas acordam. Há loiça partida com o abalo, caindo pequenos objectos soltos e fazendo parar alguns relógios de pêndulo.
30 a 40 pouco forte
VI Sentido por todos, fugindo muitos para a rua. Movem-se móveis pesados. Eventuais danos em estuques de tectos e em chaminés. Fendilhação em alvenaria fraca.
60 a 70 forte
VII Toda a gente corre para a rua. Danos: negligenciáveis em edifícios muito bem construídos e projectados; ligeiros a moderados em edifícios bem construídos; severos em edifícios fracamente construídos ou mal projectados. Caiem chaminés. É sentido por condutores de veículos.
100 a 150 muito forte
VIII Danos: ligeiros em estruturas especialmente concebidas; severos num número substancial de edifícios normais, ocorrendo colapsos parciais; muito severos em edifícios fracamente construídos. Painéis de paredes de alvenarias caiem das estruturas porticadas. Caiem chaminés, colunas, monumentos e paredes. Móveis pesados tombam. Areia e lodo afloram em pequenas quantidades. Alteração da água de poços. É perturbada a condução de veículos.
250 a 300 destruidor
IX Danos: severos em estruturas especialmente concebidas; edifícios porticados bem projectados ficam desaprumados; muito severos num número substancial de edifícios normais, ocorrendo colapsos parciais. Edifícios deslocam-se das fundações. Aparecem muitas fendas nos solos. Condutas enterradas são destruídas.
500 a 550 ruinoso
X A maioria dos edifícios de alvenaria resistente e de estruturas porticadas estão totalmente destruídos. Aparecem fendas muito grandes nos solos. Carris deformados. Pontes, barragens, diques e cais são afectados. Existem grandes desprendimentos de terras.
> 600 desastroso
XI Poucas estruturas se mantêm em pé. Pontes destruídas. Condutas enterradas totalmente destruídas. Vias férreas muito deformadas.
muito desastroso
XII Colapso total. A topografia da região é alterada. As linhas de horizonte são modificadas. São atirados objectos ao ar.
catastrófico
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 17 -
É possível definir linhas isossísmicas, ligando os pontos onde se registaram
iguais intensidades sísmicas. Essas linhas tendem a ser concêntricas no
epicentro do sismo. É com recurso aos dados históricos e ao traçado de linhas
isossísmicas que se localizam os possíveis epicentros de sismos históricos.
2.6 Maremotos
A ocorrência um sismo, de grande magnitude, com epicentro localizado no mar
e com movimento do fundo oceânico, pode provocar uma onda marítima de
grande amplitude (“Tsunami”, que significa onda de porto, em japonês, por o
seu efeito ser mais devastador em portos e enseadas, ou “Tidal wave” que
significa onda de maré, em inglês, por se tratar de um gigantesco volume de
água que entra por terra a dentro como uma enorme maré).
Estas ondas (com grandes períodos, da ordem dos 14 minutos) irradiam do
epicentro do sismo, e atingem velocidades da ordem dos 700 a 900 km/h
(velocidade de cruzeiro de um avião a jacto de passageiros) em alto mar, onde
são imperceptíveis para a navegação (em alto mar, grandes ondas “Tsunami”
podem originar subidas de nível de 1 m, no máximo). Quando atingem zonas
costeiras de menores profundidade, elas abrandam a sua velocidade, mas
atingem grandes alturas à superfície, podendo chegar aos 30 m. A uma
profundidade oceânica Ho, a velocidade de uma “Tsunami” pode ser expressa
em função da aceleração da gravidade, com o valor aproximado
oHgv ⋅= (2.12)
Normalmente, para surgir uma “Tsunami”, originada por perturbações na
tectónica submarina em consequência de um sismo, é necessário que este
tenha uma magnitude de Richter superior a 6, e que a profundidade do foco
não seja superior a 40 km.
Portugal foi afectado por uma grande “Tsunami” após o sismo de 1 de
Novembro de 1755, atingindo grandes alturas em diversas cidades costeiras,
Engenharia Sísmica – versão provisória 2005
- 18 -
nomeadamente ultrapassando as muralhas da cidade de Lagos, atingindo a
altura de um primeiro andar, em Setúbal, e avançando pela baixa de Lisboa,
provocando grandes danos materiais e um elevado número de vítimas mortais.
Em Angra do Heroísmo, nos Açores, os habitantes não sentiram as vibrações
sísmicas do sismo, no entanto sentiram os efeitos da “Tsunami” que
atravessou o oceano Atlântico, atingindo o porto de Boston com cerca de 1 m
de altura.
FIGURA 2.8 – Fases da formação de uma “Tsunami”.
Também em lagos e pântanos podem surgir movimentos da água, com
grandes períodos, designados por “Seiche” sísmico. Existem relatos históricos
de algumas “Seiche” sísmicas em lagos na Escócia, que entraram em
oscilação, após o sismo de 1755.
Linha de costa
Recuo do mar
Anterior nível do mar
- 19 -
CAPÍTULO 3
OSCILADORES LINEARES SUJEITOS A MOVIMENTOS NA BASE
3.1. Oscilador linear de um grau de liberdade
É importante o estudo de alguns osciladores de um grau de liberdade, sujeitos
a movimentos na base, para a compreensão do comportamento de estruturas
sujeitas aos movimentos sísmicos do solo de fundação.
3.1.1. Equação de movimento
Se considerarmos um oscilador linear de um grau de liberdade (figura 3.1),
sujeito a uma aceleração na base ( )ag t , aplicando o princípio de d’Alembert,
obteremos a seguinte equação do movimento
[ ] 0xkxcaxm )t()t()t(g)t( =⋅+⋅++ &&& (3.1)
)t(g)t()t()t( amxkxcxm ⋅−=⋅+⋅+⋅ &&& (3.2)
em que “m” é a massa, “c” é o amortecimento e “k” é a rigidez do oscilador.
x(t)
c
ag (t)
k
m
FIGURA 3.1 - Oscilador linear de um grau de liberdade sujeito a uma translação na base.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 20 -
As componentes de translação das vibrações sísmicas, não são as únicas a
afectarem as estruturas. Além dessas, também existem componentes de
rotação, designadamente devido à passagem das ondas sísmicas SV e de
Rayleigh. Cada vez mais existe a preocupação, por parte da regulamentação
internacional mais moderna, de se realizarem análises dinâmicas das
estruturas entrando em conta com esta importante componente. No entanto,
por não existir muita informação sobre a amplitude e frequência desse tipo de
excitação, não é prática corrente a análise de estruturas entrando em conta
com essa acção.
Considere-se a estrutura da figura 3.2, relativamente à qual se despreza o
momento de inércia da massa, com rigidez “k” e amortecimento “c”, sujeita a
uma rotação dinâmica do solo de fundação.
H⋅θ(t)
θg (t)
m
H
x(t)
FIGURA 3.2 - Oscilador linear de um grau de liberdade sujeito a uma rotação na base.
A estrutura corresponde a um oscilador linear de um grau de liberdade, em
que a aplicação do princípio de d’Alembert resulta na seguinte equação de
movimento
[ ] 0xkxcHxm )t()t()t(g)t( =⋅+⋅+θ⋅+ &&&&& (3.3)
)t(g)t()t()t( Hmxkxcxm θ⋅⋅−=⋅+⋅+⋅ &&&&& (3.4)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 21 -
3.1.2. Resposta em regime forçado
• Acções periódicas
As acções harmónicas são um caso particular, dentro das acções periódicas.
No entanto, qualquer acção periódica pode ser desenvolvida em série de
Fourier (capítulo 4.6.2), logo pode ser substituída pela soma das componentes
harmónicas com diversas frequências e amplitudes.
Consideremos o sistema linear de um grau de liberdade, da figura 3.1, sujeito
à acção de uma aceleração harmónica do terreno de fundação, em que
( )tcosaa 0)t(g ω⋅= (3.5)
Desta forma, a equação do movimento será
( )tcosamxkxcxm 0)t()t()t( ω⋅⋅−=⋅+⋅+⋅ &&& (3.6)
Dividindo pela massa teremos
( )tcosaxx2x 0)t(2n)t(n)t( ω⋅−=⋅ω+⋅ζω+ &&& (3.7)
A solução desta equação diferencial resulta da soma da solução geral da
equação homogénea correspondente (regime transitório) e da solução
particular da equação não homogénea (regime permanente):
)t(P)t(T)t( xxx += (3.8)
em que a parcela do regime transitório será
( ) ( )[ ] 1< ; t senBt cosAex aat
)t(Tn ζ⋅ω⋅+⋅ω⋅⋅= ω⋅ζ− (3.9)
A frequência angular natural (ou própria) do oscilador será dada por
mk
n =ω (rad/s) (3.10)
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 22 -
e as frequências amortecidas iguais a
2na 1 ζ−ω=ω (3.11)
com
nc m2
ccc
ω==ζ (3.12)
A frequência natural (cíclica) do movimento vibratório do sistema estrutural
corresponde a
π
ω=2
f n (Hz ou ciclos/s) (3.13)
O período será igual a
f1
T = (segundos) (3.14)
As constantes A e B obtêm-se a partir das condições iniciais do movimento.
A solução particular, correspondendo ao regime permanente, será do tipo
( ) ( )[ ]t senBt cosAx )t(P ω⋅+ω⋅−= (3.15)
com
( ) ( )
( ) ( )
ω⋅ζω+ω−ω
ω−ω⋅ω⋅
⋅−=
ω⋅ζω+ω−ωω⋅ζω−⋅ω⋅⋅−=
2n
222n
22n2
n0
2n
22n
n2n
0
2kam
B
2
2kam
A
(3.16-17)
A solução particular pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( )12n
011)t(P t cos
aHt cosDx θ−ω⋅
ω⋅−=θ−ω⋅= (3.18)
em que o ângulo θ1 representa o desfasamento entre a acção e a resposta do
oscilador (ângulo de fase), que de acordo com a figura 3.3, será
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 23 -
ω−ωζ=
=θ21 1
2 arctg
BA
arctg (3.19)
com
nω
ω=ω (3.20)
e a amplitude igual a
12n
022 Ha
BAD ⋅ω
−=+= (3.21)
em que
( ) ( )222
1
21
1H
ωζ+ω−= (3.22)
é a função de transferência (factor de amplificação dinâmica) entre uma
aceleração da base ( )ag t e a resposta dinâmica do oscilador, em termos de
deslocamento relativo.
a0
θ1
A
B
D
ω⋅t
ω⋅t a0
A
D
B
A⋅sen(ω⋅t)
B⋅cos(ω⋅t)
A⋅sen(ω⋅t)
D⋅cos(ω⋅t−θ1)
a0⋅cos(ω⋅t)
t
B⋅cos(ω⋅t) D⋅cos(ω⋅t−θ1)
a0⋅cos(ω⋅t)
0 s
FIGURA 3.3 - Diagrama vectorial da resposta do oscilador.
Também podemos deduzir uma função de transferência entre um
deslocamento no solo (xg(t)), devido às vibrações sísmicas, e o deslocamento
relativo solo-estrutura (x(t)).
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- 24 -
Fazendo ( ) ( )t cosxx 0gtg ω⋅−= (3.23)
vem que
( ) ( ) ( )t cosat cosxa 02
0gtg ω⋅=ω⋅ω⋅= (3.24)
( )tcosxxx2x 20g)t(
2n)t(n)t( ω⋅ω⋅−=⋅ω+⋅ζω+ &&& (3.25)
cuja solução (em regime permanente) é análoga a (3.18)
( ) ( )10g212n
20g
1)t(P t cosxHt cosx
Hx θ−ω⋅⋅−=θ−ω⋅ω
ω⋅⋅−= (3.26)
com
( ) ( )222
2
2
21H
ωζ+ω−
ω= (3.27)
Se desejarmos a função de transferência (factor de amplificação dinâmica)
entre a aceleração na base e a aceleração absoluta do oscilador, podemos
escrever
( ) [ ])t(2n)t(ntg)t()t(g xx2axx ⋅ω+⋅ζω−=+= &&&&& (3.28)
substituindo (3.18) em (3.28) teremos a parcela de regime permanente
( ) ( ) ( )
θ−ω+θ−ω⋅
ωζ⋅ω−=+= 11
n01tg)t(P)t(gP tcostsen
2aHaxx &&&& (3.29)
( ) ( ) ( )303302
1)t(gP tcosaHtcosa21Hx θ−ω=θ−ω⋅ωζ+=&& (3.30)
sendo
( )
( ) ( )222
2
321
21H
ωζ+ω−
ωζ+= (3.31)
com o respectivo desfasamento dado por
( )
ωζ+ω−ωζ=θ
22
3
321
2arctg (3.32)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 25 -
É importante referir que a função de transferência (factor de amplificação) H3
apresenta valores inferiores à unidade a partir de valores de ω superiores a
2 , o que corresponde a uma atenuação da resposta, em termos de
aceleração absoluta, relativamente à excitação sísmica (figura 3.4).
ω
ω
ω
FIGURA 3.4 - Funções de transferência H1, H2 e H3.
Um oscilador diz-se entrar em ressonância quando a frequência da excitação é
igual à frequência natural do oscilador (ω = 1).
ζ=0.9
ζ=0.15
H1
1.0 3.0
ζ=0.9
ζ=0.15 H2
1.0 3.0
ζ=0.9
ζ=0.15 H3
1.0 3.0 2
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- 26 -
• Acções não periódicas
A acção sísmica é uma das típicas acções não periódicas. A forma usual de
tratar este tipo de acções, é considerar a excitação como a soma de um
conjunto finito de impulsos (figura 3.5), produzidos em intervalos de tempo dτ.
τ dτ
dτ dτ dτ dτ
t
t
ag (t)
ag1
ag2
ag3 ag4
agi
FIGURA 3.5 - Acção sísmica decomposta num número finito de impulsos.
Sendo válido o princípio da conservação da quantidade de movimento,
teremos
τ⋅−=⇔τ⋅⋅−=⋅ ττ daxd damxdm )(g)(g&& (3.33)
Se considerarmos o impulso aplicado no tempo τ, com uma velocidade dx& ,
então a resposta incremental do sistema no tempo t>τ, a partir da equação
(3.9), para ζ<1, será
( ) ( ) ( )[ ] τ⋅τ−ω⋅ω
−= τ−ζω−τ dtsenea
dx at
a
g n (3.34)
logo
( ) ( )[ ]∫ ττ−ωω
−= τ−ζω−τ
t
0a
t)(g
a)t( dtsenea
1x n (3.35)
( ) ( )[ ] )t(a
t
0a
t)(g)t( xdtcoseax n ζω−ττ−ω−= ∫
τ−ζω−τ
& (3.36)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 27 -
( ) ( )[ ] )t(g)t(a
t
0a
t)(ga)t( ax2dtseneax n −ζω−ττ−ωω= ∫
τ−ζω−τ&& (3.37)
A expressão (3.37) é designada por integral de Duhamel, e pode ser resolvida
numericamente, dividindo a excitação em n intervalos de tempo.
A resposta do oscilador traduz-se no somatório de todas as respostas
elementares, cujo valor exacto corresponde ao limite quando n → ∞ , e será
dado por
( ) ( )[ ]∑=
τ−ζω−
τ−ω⋅
ωτ⋅
=n
1ia
t
a
gi)t( i tsene
dax n (3.38)
3.2. Sistema linear de vários graus de liberdade
A passagem das ondas sísmicas induz três componentes ortogonais de
translação do movimento vibratório. A principal componente apresenta-se
segundo a direcção do epicentro (figura 3.6).
Ondas sísmicas
3
y
1
x
Foco
3, z
1
2
2
Estrutura
Epicentro
θ
FIGURA 3.6 – Propagação das ondas sísmicas até ao local da estrutura.
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- 28 -
Os sistemas estruturais possuem, normalmente, vários graus de liberdade,
eventualmente com diversas direcções, que podem ser, ou não, coincidentes
com as direcções das componentes da acção sísmica (figuras 3.7 e 3.8).
agx (t)
ag1 (t)
agy (t)
ag2 (t)
Estrutura
Epicentro
θ
θ
FIGURA 3.7 – Componentes de translação dos movimentos sísmicos.
θ⋅−θ⋅= senacosaa )t(2g)t(1g)t(gx
(3.39)
θ⋅+θ⋅= cosasenaa )t(2g)t(1g)t(gy
(3.40)
)t(3g)t(gz
aa = (3.41)
m m1 = 2m
m2 = m
agx (t)
agz (t)
m
d1 (t)
d2 (t)
EA = ∞
FIGURA 3.8 - Oscilador linear de dois graus de liberdade sujeito a uma aceleração na base, com duas componentes.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 29 -
3.2.1. Sistema de equações de movimento
O sistema estrutural da figura 3.8, corresponde a um oscilador linear de dois
graus de liberdade, sujeito a uma excitação na base com duas componentes
de aceleração: horizontal ( ( )tgxa ) e vertical ( ( )tgza ). Aplicando o princípio de
d’Alembert, em cada grau de liberdade, obteremos o seguinte sistema de
equações de movimento
[ ][ ]
=+++++
=+++++
0dkdkdcdcadm
0dkdkdcdcadm
)t(121)t(222)t(121)t(222)t(gz)t(22
)t(212)t(111)t(212)t(111)t(gx)t(11
&&&&
&&&&
(3.42-43)
−=++++
−=++++
)t(gz2)t(121)t(222)t(121)t(222)t(22
)t(gx1)t(212)t(111)t(212)t(111)t(11
amdkdkdcdcdm
amdkdkdcdcdm
&&&&
&&&&
(3.44-45)
Generalizando, podemos escrever, na forma matricial e para “r” graus de
liberdade, que
[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] { } ( )∑ αα ⋅−=++ tgttt a1mdkdcdm &&& (3.46)
sendo [m] a matriz de massas (normalmente diagonal), [c] a matriz de
amortecimento e [k] a matriz de rigidez do sistema estrutural, associada aos
graus de liberdade considerados.
{1α} é o vector dos coeficientes de influência que corresponde ao vector dos
deslocamentos de corpo rígido, nos graus de liberdade dinâmicos, resultante
de um deslocamento unitário da base segundo a direcção α. Este vector
relaciona a componente da excitação ( )ag tα com a aceleração absoluta nos
graus de liberdade, resultante dessa componente. Normalmente é um vector
constituído por elementos unitários (nos graus de liberdade segundo a
direcção da componente de excitação) e por elementos nulos (nos graus de
liberdade segundo uma direcção ortogonal).
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 30 -
3.2.2 Regime forçado
Escrevendo o sistema de equações (3.46) em coordenadas modais, e se
multiplicarmos por [v] T ou por [φ]T, teremos em cada instante e para cada
componente α do sismo:
[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ]{ } αα ⋅−=ε+ε+ε gT*T*T*T a1mvvkvvcvvmv &&& (3.47)
ou [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ]{ } αα ⋅φ−=εφφ+εφφ+εφφ g
TTTT a1mkcm &&& (3.48)
com
( ){ } [ ] ( ){ }*tt vd ε= ou ( ){ } [ ] ( ){ }ttd εφ= (3.49-50)
em que {ε*} e {ε} são os vectores das coordenadas modais que caracterizam
as amplitudes de cada modo de vibração.
Atendendo às propriedades de ortogonalidade, e às propriedades assumidas
para a matriz de amortecimento (amortecimento viscoso), teremos
( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } { }[ ] ( )tg*
**t
2n
*tn
*t a
mP
2 αα−=εω+εωζ+ε &&& (3.51)
ou ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } { } ( )tgt
2ntnt aP2 αα ⋅−=εω+εωζ+ε &&& (3.52)
com os factores de contribuição dados por
{ } [ ] [ ]{ }αα = 1mvP T* (3.53)
e os factores de participação iguais a
{ } [ ] [ ]{ }αα φ= 1mP T (3.54)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 31 -
As equações de movimento (3.51-52), correspondem a um conjunto de
sistemas de um grau de liberdade (para cada modo “i”), em que
( ) ( ) ( ) ( )tg*i
*i*
ti2i
*tii
*ti a
mP
2 αα−=εω+εζω+ε &&& (3.55)
ou ( ) ( ) ( ) ( )tgiti
2itiiti aP2 αα ⋅−=εω+εζω+ε &&& (3.56)
com
{ } [ ]{ }αα = 1mvP Ti
*i (3.57)
e
{ } [ ]{ }*i
*iT
iim
P1mP α
αα =φ= (3.58)
Se a vibração imposta na base for uma acção harmónica, então os valores de
( )ε i t* ou de ( )ε i t , soluções das equações diferenciais (3.55-56), podem ser
obtidos da equação (3.8) para cada modo “i”.
Conhecidas as respostas dos diversos osciladores modais (εi* ou εi), podemos
obter a resposta do sistema acoplado, recorrendo às expressões (3.49-50).
Nas análises sísmicas de estruturas de vários graus de liberdade, é importante
o conhecimento da contribuição de cada modo para as forças que actuam no
sistema, correspondentes ao produto da massa pela aceleração da base.
A massa que é mobilizada por cada modo de vibração, numa dada direcção α,
é designada por massa modal efectiva (mieffα ). Para obtermos o valor dessa
massa, vamos escrever o vector {1α} em coordenadas modais.
{ } [ ] { }γ⋅φ=α1 (3.59)
Multiplicando a expressão (3.59) por [ ] [ ]mTφ iremos obter
[ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] { } { } { }αα =γ⇔γ⋅=γ⋅φφ=φ P Im1m TT (3.60)
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 32 -
logo, substituindo (3.60) em (3.59), teremos
{ } [ ] { }αα ⋅φ= P1 (3.61)
Dado que
{ } { } [ ][ ]φ= αα m1P TT (3.62)
e sendo
{ } [ ]{ } { } [ ] [ ]{ } { } { } ∑∑=
αααααααα ==φ⋅==r
1i
2i
TTT PPPPm11m1m (3.63)
logo a massa modal efectiva será
( )
*i
2*i2
ieffi m
PPm α
αα == (3.64)
e a percentagem de massa modal efectiva igual a
100m
mm%
effieff
i ⋅=∑ α
αα (3.65)
sendo
[ ] { }{ } { }[ ]r21 v v vv L= e [ ] { }{ } { }[ ]r21 φφφ=φ L (3.66-67)
e
{ } { }{ } [ ]{ }
{ }φ i
i
iT
i
i
i
v
v m v
v
m= =
* (3.68)
Os resultados das análises sísmicas só têm em conta a totalidade das forças
de inércia caso sejam considerados todos os modos de vibração existentes. A
redução do número de modos de vibração a considerar numa análise sísmica
só será aceitável se os modos em falta não apresentarem significativa massa
modal efectiva.
- 33 -
CAPÍTULO 4
DEFINIÇÃO DA ACÇÃO SÍSMICA
4.1. Generalidades
O comportamento sísmico das estruturas apresenta uma elevada
complexidade, sendo condicionado por inúmeros factores. Por esse motivo, a
definição de uma acção sísmica não pode ser caracterizada por um único
evento sísmico, pois há que garantir a segurança das estruturas aquando da
possível ocorrência de um qualquer sismo que possa vir a afectar a estrutura
em causa. Uma acção sísmica, do ponto de vista regulamentar, é,
normalmente, definida com base em modelos probabilistas. Os valores das
vibrações sísmicas que se transmitem às construções estão condicionados à
sismicidade da zona envolvente e à perigosidade sísmica do local onde vai ser
edificada a estrutura, apresentando uma determinada probabilidade (PR) em
serem excedidos num dado intervalo de tempo (TL). A esses valores está
associado um período de retorno, que corresponde ao inverso da
probabilidade anual de excedência (P1ano):
( )R
L
ano 1R P1ln
TP
1T
−−== (4.1)
Algumas probabilidades de excedência estão apresentadas no quadro 4.1,
para determinados tipos de sismos.
QUADRO 4.1 - Períodos de retorno para diversos tipos de sismos
Tipo de sismo Período de retorno (TR) Probabilidade PR em TL anos
Frequente 43 anos 50% em 30 anos
Ocasional 72 anos 50% em 50 anos
Raro 475 anos 10% em 50 anos
Muito raro 975 anos 5% em 50 anos
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 34 -
Portugal apresenta uma sismicidade que pode ser classificada como sendo
fraca a moderada, pelo que é usual a adopção de um sismo muito raro para a
definição das acções sísmicas.
4.2. Análise da sismicidade
A sismicidade pode ser definida como a descrição das relações entre as datas,
os locais, as dimensões e a periodicidade da ocorrência de eventos sísmicos,
numa dada região. A análise da sismicidade e a sua compreensão é a base de
qualquer estudo sísmico. A análise da sismicidade de uma dada zona requer a
criação de bases de dados com:
• Informação histórica de sismos - é necessária a obtenção de dados
históricos, tão antigos quanto possíveis, que incluam a data do evento,
intensidade epicentral ou a máxima verificada, intensidades locais, curvas de
iguais intensidades (isossistas), magnitude, localização do epicentro e
profundidade do foco;
• Registos instrumentais - dados obtidos por sismógrafos, que permitem a
obtenção de informações sobre os epicentros, profundidades dos focos e
magnitudes, e registos de aparelhos “strong motion” que permitem obter os
diversos parâmetros dos movimentos sísmicos do solo, nos diversos locais;
• Informação sismotectónica (ramo interdisciplinar entre a Sismologia e a
Neotectónica, cujo objectivo é estabelecer correlações entre parâmetros
geológicos e sismológicos) – esta informação fornece dados importantes sobre
os movimentos tectónicos, associados a sismos históricos de elevada
magnitude, nomeadamente o padrão das fracturas tectónicas, o comprimento,
a profundidade, a idade e o historial das falhas, assim como o seu
relacionamento com a ocorrência de sismos.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 35 -
A sismicidade de uma região é controlada por dois factores: pelo campo de
tensões e deformações decorrentes dos movimentos das placas tectónicas e
pela capacidade resistente e de deformação do local onde o sismo ocorre.
A maioria dos sismos (95%) ocorrem na fronteira entre placas tectónicas
(sismos interplacas), enquanto os restantes (sismos intraplacas) ocorrem em
falhas activas no interior dessas placas tectónicas.
Portugal continental foi afectado no passado por sismos que provocaram
destruição nas construções. Com base nos dados históricos, verifica-se que
vários sismos tiveram epicentros a sul de Portugal continental (tendo sido o
sismo de 1 de Novembro de 1755 o mais destrutivo), na zona de interacção
entre as placas Euro-Asiática e Africana (sismos interplacas), genericamente
designada por fronteira Açores-Gibraltar. Também existem evidências
históricas de sismos intraplacas, designadamente em falhas activas nas zonas
do vale do Tejo, Algarve e vale submarino do Sado (figura 4.1).
FIGURA 4.1 – Sismicidade histórica (adaptado de Sousa et al., 1992).
1309-02-22
1009-01-01 1033-06-29 1356-08-24
1761-03-31 382-01-01
1551-01-28
1719-03-06
1755-11-01
1777-04-14 1204-04-15
1856-01-12
1344-01-01
1587-11-01
1722-12-27
1858-11-11
1017-01-01
1909-04-23
309-02-22
1531-01-26
1353-01-01
1761-01-01
1909-11-16
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 36 -
Neste contexto histórico e tendo em conta a sismicidade instrumental (figura
4.2), o Algarve apresenta-se como a zona com maior probabilidade de vir a ser
afectada por um sismo que induza elevadas vibrações nas construções, pois é
a zona mais próxima da fronteira Açores-Gibraltar e por existirem diversas
falhas activas identificadas, donde se destacam a falha S.Marcos-Quarteira, a
falha do Carcavai, a falha de Loulé, a falha de Portimão e a falha de Aljezur.
FIGURA 4.2 – Sismicidade instrumental (adaptado de Sousa et al., 1992).
Gutenberg e Richter, em 1944, sugeriram que a relação entre a frequência de
ocorrência de eventos sísmicos e a magnitude é dada por
MbaN log ⋅−= (4.1)
sendo N o número de sismos ocorridos de magnitudes iguais ou maiores que
M, contidas no intervalo [M ,M+∆M], em que ∆M é suficientemente grande para
dar origem a uma curva relativamente bem ajustada.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 37 -
4.3. Perigosidade sísmica (Casualidade sísmica)
É designada por perigosidade sísmica, a probabilidade de ocorrer um evento
sísmico, numa dada região, que conduza a um valor de um dado efeito, ou à
sua excedência, no local em estudo.
A análise da perigosidade sísmica envolve, normalmente, três etapas
principais:
• Localizar as zonas potenciais de geração de sismos (zonas sismogénicas),
que envolvem o local em estudo, e estimar os respectivos parâmetros
sísmicos;
• Determinar a forma de propagação das ondas sísmicas e as características
da sua atenuação;
• Adoptar um modelo apropriado para a análise da perigosidade sísmica,
normalmente um modelo probabilista.
Na base dos valores de aceleração de pico de um regulamento está uma
análise da perigosidade sísmica com um modelo probabilista, baseado no
teorema da probabilidade total, em que a probabilidade de excedência das
vibrações Ag no local em estudo, é a soma das contribuições de todas as n
zonas sismogénicas em consideração:
[ ] [ ] [ ]j
n
1jjgggg EPE aAPaAP ⋅>=> ∑
=
(4.2)
com
[ ] [ ] ( ) ( )∫ ∫ ⋅⋅⋅>=>K
KKK 2112j1j21ggjjgg xdxdxxfxf,x, x aAPE aAP (4.3)
em que: ag é o valor de referência para o efeito Ag (aceleração de pico); Ej é o
evento sísmico ocorrido na zona sismogénica j; ( )K,,2,1ix i = são factores a ter
em conta como, por exemplo, a magnitude, a distância hipocentral e o
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 38 -
comprimento da falha; ( )f x é a função de densidade de probabilidade e [ ]P Ej é
a probabilidade de ocorrência do evento sísmico Ej .
Dado que existe grande incerteza na determinação dos parâmetros de
sismicidade, os eventos sísmicos são usualmente tratados como sendo parte
de um processo estocástico estacionário (como um processo de Poisson).
Admite-se que existirá uma acumulação constante de energia que será
dissipada, aleatoriamente no tempo, quando ocorre um evento sísmico, e
pode-se dizer que, para um determinado intervalo de tempo, o número de
sismos de uma dada magnitude por unidade de tempo é constante.
Assumindo que a ocorrência de eventos sísmicos em todas as zonas
sismogénicas obedecem a um processo estacionário de Poisson de λ, a
probabilidade anual de Y > y será dada pela seguinte expressão
[ ] [ ]∑ >λ−=−=>n
1jjggj E aAP
ggano 1
e1aAP (4.4)
O período de retorno será
[ ]gg aA ano 1
R P1
T>
= (4.5)
Estipulando o período de retorno correspondente ao tipo de sismo desejado,
obtém-se a aceleração de pico da acção, entrando em conta com a
contribuição de todas as zonas sismogénicas (figura 4.3).
Dada a complexidade dos modelos não estacionários de análise da
perigosidade sísmica, admite-se, normalmente, a estacionariade da ocorrência
dos eventos sísmicos. Isto tem como consequência o facto da probabilidade de
excedência das acelerações de pico só depender do número de sismos que
ocorrem num dado intervalo de tempo, e não do período histórico em que
ocorrem. Desta forma, a probabilidade que se obtém, para o modelo
apresentado, é a mesma quer o intervalo de tempo considerado se situe após
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 39 -
uma grande libertação de energia, quer se situe dezenas, ou mesmo centenas
de anos após essa grande libertação de energia.
FIGURA 4.3 – Análise da perigosidade sísmica (Programa SRAPOR. Estêvão, 1998).
4.4. Efeitos locais
Os sismos do passado têm vindo a evidenciar que os danos nas construções
são influenciados pelas características do local de implantação. Já na altura do
sismo de 1 de Novembro de 1755 se verificou que os danos resultantes das
vibrações sísmicas não se apresentavam igualmente distribuídos na cidade de
Lisboa. As construções em terrenos mais brandos foram mais afectadas do
que as construções em terrenos mais rijos. Esse foi um dos motivos porque,
pela primeira vez, foram atribuídas causas naturais ao sismo (ao invés das
Atenuação
Aceleração de pico
ag
TR
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 40 -
causas divinas), dada a destruição generalizada de igrejas e conventos
(localizados nos terrenos mais brandos) enquanto que os bairros “de má fama”
apresentaram muito menos danos (por estarem localizados em solos mais
rijos).
Os efeitos locais influenciam importantes características das vibrações
sísmicas, como a amplitude, o conteúdo em frequência e a duração. Existem
vários efeitos locais a ter em conta na definição de uma acção sísmica para
efeitos da verificação de segurança de uma estrutura, designadamente os
efeitos de proximidade da ruptura, amplificação dos solos relacionados com a
rigidez e estratificação, efeitos de bacia e topográficos (figura 4.4). Em
estruturas de grandes dimensões (pontes e barragens) também será
necessária a consideração da variação espacial das vibrações sísmicas, tendo
em conta o desfasamento temporal da chegada das ondas sísmicas e da
eventual alteração das características dos solos de fundação, face à dimensão
da estrutura.
FIGURA 4.4 – Efeitos locais.
Também podem surgir outros efeitos locais colaterais cuja importância não
está associada à alteração das vibrações por parte dos terrenos de fundação,
mas sim à estabilidade do solo de fundação e, em consequência, à segurança
das construções. Esses efeitos locais colaterais são, por exemplo, os que
Mecanismo focal
Estratificação e rigidez dos solos
Falha
Cumes
Efeitos de proximidade
Vales
Variação espacial em grandes estruturas
Taludes
Propagação das ondas sísmicas
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 41 -
resultam de fenómenos de liquefacção e sobreconsolidação dos solos, assim
como os deslizamentos de terras.
4.4.1. Efeitos de proximidade
Alguns sismos mais recentes têm evidenciado o efeito dos sismos com
epicentros próximos das construções.
A proximidade da ruptura em relação à construção pode ter como efeito o
agravamento das componentes horizontais das vibrações sísmicas numa gama
estreita de frequências (directividade da acção) ou causar o colapso da
estrutura quando a ruptura é superficial e intercepta a construção. Também a
componente vertical têm uma maior importância neste tipo de sismos.
O efeito direccional só pode ser contabilizado na definição da acção sísmica,
caso as falhas activas estejam muito bem caracterizadas, pois só as
construções que se encontram de um determinado lado da falha apresentam
um agravamento das vibrações sísmicas. Por outro lado, só é possível
caracterizar o valor desta amplificação e a respectiva gama de frequências,
quando já existem registos sísmicos obtidos na proximidade da ruptura, o que
não acontece em Portugal.
4.4.2. Amplificação
As amplitudes das vibrações sísmicas aumentam à medida que se propagam
através de estratos de solo brando, próximos da superfície. Esse fenómeno
está associado a contrastes na impedância dos solos (ou seja, o produto da
massa específica do solo pela velocidade de propagação das ondas sísmicas).
A caracterização dos movimentos do solo, atendendo às condições locais é um
processo complexo, dada a heterogeneidade das formações geológicas.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 42 -
Se considerarmos uma camada de solo homogéneo de espessura “h”, assente
sobre um substrato rochoso rígido, a função de transferência (factor de
amplificação) em regime elástico (figura 4.5), pode ser traduzida pela
expressão que se apresenta em seguida.
2
Ss
S
2E.R. max g
max g
E.R. max g
max gs
vh
vh
cos
1a
a
x
xH
ωζ+
ω≅== (4.6)
A frequência natural (angular) de vibração, no modo i, é igual a
−⋅π
≅ω21
ihvS
si (4.7)
sendo vs a velocidade das ondas de corte e ζS o coeficiente de amortecimento.
Mecanismo focal do sismo Magnitude
Profundidade do foco
Características dos solos
Profundidade do estrato rochoso (h)
Atenuação das ondas sísmicas
Distância epicentral Geologia do percurso
FOCO
ONDAS SÍSMICAS
LOCAL EM ESTUDO
AMPLIFICAÇÃO
h
ESTRATO ROCHOSO
SOLO
FIGURA 4.5 – Amplificação das vibrações sísmicas num estrato de solo homogéneo.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 43 -
Considerando, por exemplo, dois estratos de solo homogéneo “I” (solo rígido)
e “II” (solo brando) com velocidades vs correspondentes a 800 m/s e 180 m/s,
respectivamente, mas com iguais espessuras (50 m) e coeficientes de
amortecimento (10%), o factor de amplificação apresenta-se muito distinto,
como está representado na figura seguinte (figura 4.6).
FIGURA 4.6 – Factores de amplificação das vibrações sísmicas para solos rígidos e brandos.
Da figura 4.6 verifica-se que os solos mais rígidos (I) amplificam as vibrações
de maior frequência, enquanto que os solos mais brandos (II) amplificam,
essencialmente, as vibrações de frequência mais baixa. Neste contexto, serão
as estruturas com frequências fundamentais mais altas que irão apresentar
maiores respostas sísmicas quando assentes em terrenos mais rígidos,
verificando-se o mesmo para edifícios com frequências fundamentais mais
baixas, mas construídos em terrenos mais brandos.
Estes fenómenos de amplificação são tidos em conta na definição de uma
acção sísmica, nomeadamente na definição dos valores de aceleração de pico
e na caracterização do conteúdo energético das vibrações sísmicas, em
função do tipo de solo de fundação.
Hz
I II
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 44 -
Os resultados anteriores foram obtidos assumindo que a propagação das
ondas sísmicas se realizava na vertical, ou seja, de forma unidimensional.
Muitas vezes as estruturas estão construídas em vales sobre depósitos
aluvionares. Nestes casos, atendendo à curvatura do estrato rochoso da bacia,
as ondas sísmicas podem ser aprisionadas nas camadas superficiais de solos
mais brandos, devidos a fenómenos de reflexão, aumentando a amplificação
assim como a duração das vibrações. A curvatura da bacia também pode
originar fenómenos de concentração de energia, como é apresentado na figura
4.7.
FIGURA 4.7 – Fenómenos de amplificação devidos a efeitos de bacia.
Um exemplo dramático dos fenómenos de amplificação devido às
características dos terrenos de fundação, corresponde aos efeitos do sismo
que afectou a Cidade do México em 1985. O sismo, de magnitude 8.1 só
induziu moderada destruição nas construções mais próximas do epicentro,
mas causou destruição generalizada numa gama de edifícios que
apresentavam entre 5 a 20 andares (incidindo mais entre os 7 e os 14
I
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 45 -
andares), localizados na Cidade do México, a cerca de 350 km do epicentro.
As acelerações nos terrenos mais rígidos das colinas da cidade apresentaram
valores de pico na ordem dos 0.03-0.05 g, com danos negligenciáveis para as
construções, enquanto nas áreas correspondentes a um antigo lago, com
depósitos de solos muito brandos, as acelerações apresentaram uma
amplitude 10 vezes superior, originando grande destruição.
4.4.3. Efeitos topográficos
Os efeitos da topografia local nas respostas das estruturas são notórios nos
cumes dos montes, originando grandes amplificações das acelerações
induzidas ao nível da camada rochosa de base, filtrando, em simultâneo, o
conteúdo energético das vibrações sísmicas (figura 4.8).
Estudos realizados indicam que a existência de topografia irregular afecta, não
só a zona dos cumes dos montes, mas também as zonas próximas, conduzem
a uma interacção das ondas elásticas que, de forma complexa, aumentam ou
reduzem o factor de amplificação.
200 m 1000 m
50 m
Sem danos
Com danos importantes que levaram ao abandono dos edifícios
FIGURA 4.8 - Danos causados pelo sismo do Chile de 1985, em Viña del Mar (adaptado de Priestley et al., 1996).
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 46 -
4.4.4. Efeitos locais colaterais
Os efeitos locais colaterais das vibrações sísmicas, como sejam a liquefacção
(figura 4.9), os assentamentos devidos a sobreconsolidação e os
deslizamentos, não são tidos em conta na definição das acções sísmicas. No
entanto, dado o impacto destrutivo que têm sobre as construções, tais
possíveis efeitos devem ser acautelados durante a concepção da estrutura e
posterior dimensionamento.
FIGURA 4.9 – Fenómenos de liquefacção dos solos.
4.5. Zonamento sísmico
O objectivo do zonamento sísmico consiste na apresentação da distribuição da
perigosidade sísmica numa grande região. É possível classificar o zonamento
sísmico em três grupos distintos, consoante os objectivos e os indicadores
utilizados:
• Zonamento de sismicidade - dividindo uma região em zonas de sismicidade
distinta, incluindo a taxa de ocorrência de eventos, magnitudes e energia
libertada, com o objectivo de expor a distribuição geográfica da sismicidade
para o estudo da perigosidade sísmica e distribuição da estrutura tectónica;
• Zonamento dos movimentos do solo - zonamento da perigosidade sísmica
em termos de amplitude, espectro e duração dos movimentos do solo, em
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 47 -
conjunto com a probabilidade da sua ocorrência, com a finalidade de poder ser
usado no dimensionamento de novas estruturas e na avaliação e reforço de
estruturas existentes;
• Zonamento de danos - apresentação de mapas com a distribuição geográfica
dos vários tipos e níveis de perdas e danos, nomeadamente as perdas de
vidas humanas, danos estruturais, danos nos solos e impacto económico.
Portugal foi um dos pioneiros no zonamento da perigosidade sísmica, com os
estudos desenvolvidos por Oliveira (1977), com base nos modelos descritos no
ponto 4.3.
4.6. Modelos descritivos das acções sísmicas
A acção dos sismos sobre as estruturas é, normalmente, representada por um
conjunto de movimentos vibratórios do solo (normalmente três componentes
ortogonais, a actuar em simultâneo: duas num plano horizontal e uma vertical),
provocados pela passagem de ondas sísmicas (tipos P, S de Rayleigh e de
Love), como é apresentado na figura 4.10.
Para efeito da verificação da segurança das estruturas, é comum admitir-se
como suficiente a consideração de duas acções sísmicas, que representem
sismos a pequena distância focal (sismos próximos) e sismos de maior
magnitude a maiores distâncias focais (sismo distante), de forma a ter em
conta as características dos mecanismos focais e da propagação das ondas
sísmicas (que depende da distância e do meio de propagação), tendo em
conta os sismos com probabilidade de ocorrer e afectar a estrutura.
Para efeito da análise das estruturas, as vibrações sísmicas, para cada tipo de
terreno de fundação, podem ser descritas com recurso a funções que podem
ser expressas no domínio do tempo ou no domínio da frequência (estas últimas
designadas por espectros).
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 48 -
Os modelos descritivos das acções sísmicas, adoptados pelos regulamentos,
são os acelerogramas (funções no domínio do tempo, expressas em termos da
aceleração) ou, para simplificação da análise, por intermédio de espectros de
potência ou espectros de resposta.
Sismos próximos
agx (t)
agy (t)
agz (t)
Sismos distantes
FIGURA 4.10 – Representação das acções sísmicas.
Os regulamentos têm em conta os efeitos geológicos locais, ao classificar os
solos de fundação em diversos tipos, de acordo com as características
tipificadas para cada grupo.
As principais características que os modelos descritivos das acções sísmicas
devem contemplar, para os sismos próximos e distantes, estão sumariamente
apresentadas no quadro 4.2.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 49 -
QUADRO 4.2 – Principais características dos sismos próximos e distantes.
Características dos sismos Sismos próximos Sismos distantes
Principal
influência
Direcção da ruptura
Efeito da estratificação
Movimentos
sísmicos
Tipo impulso
Velocidade
t
Aceleração
t
Tipo cíclica
Componente
vertical
Maiores valores
1
D (km)
V/H
Menores valores
1
D (km)
V/H
Principais
efeitos
dinâmicos
1º modo
Modos superiores
1º modo (menores efeitos)
1º modo
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 50 -
4.6.1. Acelerogramas
Os regulamentos actuais contemplam a hipótese de serem adoptados, nas
análises no domínio do tempo, acelerogramas registados, simulados, ou
artificiais, que estejam em conformidade com as acções do tipo sismo próximo
e sismo distante.
Os acelerogramas registados obtêm-se em aparelhos “Strong motion” que
permitem captar as vibrações de grandes amplitudes, mesmo próximo do
epicentro. Na figura 4.11 apresenta-se um acelerograma, correspondente à
componente horizontal Oeste-Leste, registado na Escola Superior de
Tecnologia, de um pequeno evento sísmico ocorrido no dia 30 de Julho de
1998 (epicentro a cerca de 40 km de Faro com uma magnitude igual a 4).
FIGURA 4.11 - Acelerograma registado em Faro no dia 1998/07/30 (em cm/s2).
Com base em modelos matemáticos é possível gerar acelerogramas que
contemplem o tipo de mecanismo focal, as características da propagação e os
efeitos locais de amplificação. Estes acelerogramas, ditos simulados, obtêm-se
para um sismo de determinada magnitude e distância hipocentral.
Os acelerogramas artificiais não estão associados a um único evento sísmico,
mas são funções de cariz aleatório que se podem obter a partir de espectros
(de potência ou de resposta) que representam um conjunto de sismos com
determinadas características.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 51 -
4.6.2. Espectros de potência
Para passarmos um acelerograma (no domínio do tempo) para a forma de
espectro (no domínio da frequência), será necessário recorremos a
transformadas de Fourier. Um acelerograma, de duração Tf, pode ser expresso
como um somatório de componentes harmónicas definido por
( ) ( )[ ]∑∞
=
ω+ω+=1j
jj2jj10)t(g tsenctcoscca (4.8)
∫=fT
0)t( g
f0 dta
T1
c (4.9)
( )∫ ω=fT
0j)t( g
fj1 dttcosa
T2
c (4.10)
( )∫ ω=fT
0j)t( g
fj2 dttsena
T2
c (4.11)
sendo ωj a frequência da harmónica j.
Também podemos escrever que
( )∑∞
=
φ+ω=1j
jjj0)t(g tsenaa (4.12)
com
2j2
2j1j0 cca += (4.13)
=φ
j2
j1j c
c arctg (4.14)
e admitindo c0=0. O espectro de amplitudes de Fourier corresponde à
representação gráfica das amplitudes de Fourier (a0j) em relação às
frequências das harmónicas (ωj). Por sua vez, o espectro de fases de Fourier
corresponde à representação gráfica dos ângulos de fase (φj) em relação às
frequências das harmónicas (ωj).
Sismos de diferentes magnitudes apresentam espectros de Fourier bastante
distintos, como é evidenciado no gráfico da figura seguinte (4.12).
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 52 -
FIGURA 4.12 – Espectros de amplitudes de Fourier, no foco, para diferentes magnitudes.
Próximo do foco, os sismos de menor magnitude apresentam maior energia
nas frequências mais altas. No entanto, com o aumento da distância ao foco,
as amplitudes das harmónicas de frequências mais elevadas apresentam uma
maior redução comparativamente com as de menores frequências.
FIGURA 4.13 – Redução das amplitudes das harmónicas com a distância ao foco.
a0j (log)
M = 8
M = 7
M = 6
M = 5
M = 4
Frequência (Hz - log)
M = 8
M = 7
M = 8
M = 7
Hipocentro a 10 km Hipocentro a 100 km
a0j
Frequência (Hz)
M = 6 M = 6
Frequência (Hz)
a0j
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 53 -
Os movimentos sísmicos num dado ponto da superfície do solo podem ser
representados como um processo aleatório estacionário, definido pela função
de densidade espectral de potência dos movimentos (espectro de potência),
associados a uma determinada duração (Te).
O espectro de potência ao nível da fundação de um edifício, pode ser
apresentado em função das amplitudes de Fourier e duma função de
transferência (Hs), sendo
[ ] [ ]2)f(S
2)f(0
e)f(Pa Ha
T1
S ⋅⋅⋅π
= (4.15)
FIGURA 4.14 – Exemplos de espectros de potência.
M = 6.3 R = 12 km Solo rígido
Frequência (Hz)
SPa(f)
M = 8.3 R = 120 km Solo brando
Frequência (Hz)
SPa(f)
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 54 -
Algumas expressões para as funções de transferência necessárias para a
definição das funções de densidade espectral de potência, tendo em conta as
características de filtragem dos solos de fundação, foram propostas por alguns
autores, nomeadamente por Kanai e Tajimi e por Clough e Penzien.
Os espectros de potência usados para o projecto de estruturas são obtidos a
partir das médias de um número de eventos sísmicos normalizados e ajustados
a uma determinada aceleração de pico.
4.6.3. Espectros de resposta
O espectro de resposta é, de entre todos os modelos descritivos das acções
sísmicas, o mais utilizado, devido à simplicidade do conceito e à facilidade de
interpretação dos valores, do ponto de vista da engenharia. Esse modelo foi
idealizado por G.W. Housner, em regime elástico linear.
Se sujeitarmos um conjunto de osciladores lineares de um grau de liberdade
(figura 4.15), de frequências nn f2 ⋅π=ω e períodos Tn, a um conjunto de
sismos com acelerogramas correspondentes a ag(t) (consistentes com a
perigosidade sísmica de uma região), a equação de equilíbrio dinâmico será
)t(g)t(2n)t(n)t( axx2x −=ω+ζω+ &&& (4.16)
A resposta pode ser obtida a partir do integral de Duhamel, para sistemas
fracamente amortecidos ( na ω≅ω ), sendo
( ) ( )[ ]max
t
0n
t)(g
nmax)t( dtsenea
1x n∫ ττ−ω
ω−≅ τ−ζω−
τ (4.17)
( ) ( )[ ]max)t(n
max
t
0n
t)(gmax)t( xdtcoseax n ⋅ω≅ττ−ω−≅ ∫
τ−ζω−τ& (4.18)
( ) ( )[ ]max)t(
2n
max
t
0n
t)(gnmax)t(g)t( xdtseneaax n ⋅ω≅ττ−ωω≅+ ∫
τ−ζω−τ&& (4.19)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 55 -
x(t) xg (t)
k
m
c
ag (t)
k
m
c
FIGURA 4.15 - Sistema linear de um grau de liberdade sujeito a uma aceleração na base.
Um espectro de resposta corresponde a uma curva representativa dos valores
máximos da resposta de um oscilador linear de um grau de liberdade, com
uma determinada frequência natural de oscilação e amortecimento viscoso, ao
conjunto das vibrações sísmicas (figura 4.16).
f2 , T2
f3 , T3 f4 , T4 f5 , T5
f7 , T7 f6 , T6
…
f1 , T1
ii f
1T =
T2 T3
T4
T5
T6
T7 T
Sa
T1
f2 f3 f4 f5 f6 f7 f
Sa
f1
FIGURA 4.16 – Espectros de resposta.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 56 -
É usual que a resposta do oscilador possa ser quantificada em termos de
deslocamentos relativos, velocidades relativas ou acelerações absolutas.
Definem-se como espectros sísmicos de resposta os valores:
- espectro de deslocamentos relativos
S xd t= ( ) max. (4.20)
- espectro de velocidades relativas
S xv t= & ( ) max. (4.21)
- espectro de acelerações absolutas
S x aa t g t= +&&( ) ( ) max. (4.22)
Tendo em conta as expressões 4.17 a 4.19, os espectros de resposta (pseudo
espectros pois são obtidos admitindo a simplificação: na ω≅ω ) relacionam-se
entre si da seguinte forma
S S Sdn
vn
a= =1 1
2ω ω (4.23)
Cada espectro de resposta S é função do tipo de solo, da aceleração dos
movimentos sísmicos, do amortecimento e da frequência própria da estrutura.
- 57 -
CAPÍTULO 5
ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS
5.1. Tipos de métodos de análise
Os métodos de análise sísmica de estruturas, podem dividir-se em métodos
experimentais e métodos analíticos.
Os métodos analíticos (mais vulgares) caracterizam o comportamento
dinâmico a partir de equações diferenciais de equilíbrio dinâmico (através dos
princípios de d’Alambert, por exemplo), admitindo que o comportamento da
estrutura é linear ou, traduzindo mais fielmente o comportamento das
estruturas, não linear. A resolução do problema pode ser feita no domínio do
tempo ou no domínio da frequência. De forma esquemática, estão
apresentados na figura 5.1 os métodos analíticos mais usados na análise da
resposta dinâmica das estruturas face às vibrações sísmicas.
• Dinâmica no domínio do tempo, com base em acelerogramas (integração passo a passo das equações de movimento) • Estáticas (pushover) com base em espectros de resposta
• Análise estocástica com recurso a espectros de potência • Método da sobreposição modal com recurso aos espectros de resposta elásticos • Análise estática equivalente
Tipos usuais de análise
sísmica
Lineares
Não lineares
FIGURA 5.1 - Esquema dos métodos analíticos vulgarmente utilizados na análise sísmica de estruturas.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 58 -
5.2. Métodos de análise linear
5.2.1. Coeficiente de comportamento
A modelação das estruturas, admitindo comportamento linear dos materiais
que a constituem, é uma aproximação grosseira da realidade, quando estas
são sujeitas a grandes vibrações sísmicas. São poucos os materiais que
apresentam comportamento elástico linear, e, quando o apresentam, só se
verifica para pequenas deformações. Os valores da rigidez e do
amortecimento são funções não lineares das deformações. Enquanto a rigidez
sofre uma redução com o aumento da deformação, o amortecimento aumenta,
designadamente associado ao atrito (amortecimento de Coulomb) e,
principalmente, à deformação inelástica dos elementos estruturais
(amortecimento histerético).
As reais relações constitutivas dos materiais sujeitos a deformações cíclicas,
assim como os valores do amortecimento, são difíceis de estabelecer.
Atendendo à complexidade dos modelos de comportamento não linear e ao
tempo dispendido no cálculo, estes só são adoptados em casos muito
particulares, sendo vulgar a utilização de modelos de comportamento linear.
No entanto, os resultados das análises elásticas lineares conduzem a soluções
de dimensionamento pouco económicas, dado que as forças sísmicas que se
obtêm num oscilador em regime linear, para uma dada deformação, são muito
superiores às que se obtêm num oscilador não linear, para as mesmas
deformações. Uma forma de contornar esse problema consiste na adopção de
um coeficiente de comportamento (η) de modo a ajustar os resultados das
análises elásticas lineares, em estruturas que possuam ductilidade
(capacidade de se deformarem para além do limite da cedência, sem perda
significativa de resistência).
É de notar que quando se tira partido do comportamento não linear das
estruturas estamos a admitir danos nos elementos estruturais e, de forma
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 59 -
marcante, em elementos não estruturais (como sejam as paredes de alvenaria
não resistente).
O coeficiente de comportamento pode ser definido de diversas formas, sendo
as mais comuns em termos de forças (ou momentos). Na figura 5.2
apresentam-se algumas formas usadas pelos regulamentos para
estabelecerem o valor do coeficiente de comportamento.
η
δδ
= ⋅ −2 1u
y
. η =F
Felast
y
. Felast
Fy
δy δu
δ
F F
Felast
Fy
δy δu
Áreas iguais
δ*u
δ
FIGURA 5.2 - Diversas metodologias adoptadas pelos regulamentos para a determinação do coeficiente de comportamento.
O coeficiente de comportamento depende das características do
comportamento não linear das estruturas, nomeadamente da ductilidade e da
capacidade de dissipação de energia (área contida nos ciclos histeréticos).
Dois osciladores podem ter a mesma ductilidade mas diferentes capacidades
de dissipação de energia, como se ilustra na figura 5.3.
δy
δ
F
δy
δ
F b) a)
FIGURA 5.3 - Relações constitutivas exemplificadoras do comportamento não linear. a) menor energia dissipada b) maior energia dissipada.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 60 -
A capacidade de dissipação de energia de uma estrutura, depende do número
de rótulas plásticas que se poderão formar num determinado número de ciclos,
sem que surja um mecanismo de colapso (pelo que é importante a duração das
vibrações sísmicas).
É desejável que o mecanismo de colapso esteja associado à formação,
primeiramente, de rótulas plásticas em todas as vigas e, por fim, na base dos
pilares, como se ilustra na figura 5.4. Para que tal se verifique será necessário
o dimensionamento dos elementos estruturais com base na real capacidade
resistente (“Capacity Design”), garantindo que os momentos resistentes dos
pilares são superiores aos momentos resistentes das vigas neles
concorrentes, tal como vão ser realmente executados.
FIGURA 5.4 – Mecanismo de colapso desejável (em cada nó: ∑MRd pilares > ∑MRd vigas).
Caso não se cumpram estes pressupostos, e se concebam estruturas com
vigas mais resistentes do que os pilares, ou caso existam condicionantes à
livre deformação dos pilares, face, por exemplo, à existência de um
preenchimento irregular dos painéis de alvenaria (vulgarmente designados por
pisos vazados ou “soft storey”), o mecanismo de colapso envolve a formação
Rótulas plásticas (zonas dissipativas)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 61 -
de menos rótulas plásticas (figura 5.5), sendo, portanto, menos dissipativo,
pelo que o coeficiente de comportamento deverá ser reduzido.
FIGURA 5.5 – Mecanismo de colapso tipo viga forte – pilar fraco, ou do tipo piso vazado (“soft storey”).
Quanto mais redundante for a estrutura (maior grau de indeterminação
estática), maior é, potencialmente, a capacidade desta dissipar a energia que
lhe é transmitida pelas vibrações sísmicas, no intervalo de tempo em que estas
se fazem sentir (figura 5.6).
O efeito das arquitecturas irregulares e das alvenarias de preenchimento,
torna menos previsível o comportamento real de uma estrutura. Nestas
circunstâncias, é necessário um cuidado especial na escolha do valor do
coeficiente de comportamento, pois podem surgir roturas frágeis não
previsíveis (como a existência de pilares curtos).
Atendendo às imposições relacionadas com a redução do nível de danos,
nomeadamente atendendo à importância e carácter de utilização da estrutura,
o coeficiente de comportamento poderá (e deverá) ser reduzido.
Rótulas plásticas (zonas dissipativas)
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 62 -
As forças sísmicas a considerar, para a obtenção de esforços visando o
dimensionamento das estruturas (não na contabilização de deslocamentos),
corresponderão aos valores obtidos do cálculo elástico linear (Felast.), divididos
pelo coeficiente de comportamento (η).
FFelast.
dim. =η
(5.1)
Mecanismo de colapso mais dissipativo
Mecanismos menos dissipativos
FIGURA 5.6 – Efeito da redundância na dissipação de energia.
5.2.2. Análise modal com recurso a espectros de res posta
O método de análise sísmica de estruturas mais utilizado corresponde à
análise modal com o recurso a espectros de resposta. É possível realizar este
tipo de análise em modelos planos ou em modelos tridimensionais.
Igual redundância mas menor número de rótulas plásticas.
Rótulas plásticas (zonas dissipativas)
Menor redundância e menor número de
rótulas plásticas.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 63 -
Se considerarmos um sistema dinâmico de vários graus de liberdade sujeito a
uma componente de uma vibração harmónica, de amplitude máxima a0α, então
a parcela da resposta máxima de cada modo “i”, em regime permanente
(desprezando o regime transitório) e em coordenadas modais, em relação à
aceleração absoluta, pode ser obtida a partir das expressões (3.30) e (3.55-
56), sendo iguais a
αα ⋅⋅ 0*i
*i
i,3 am
PH ou αα ⋅⋅ 0ii,3 aPH (5.2-3)
Dado que a acção sísmica não pode ser caracterizada por uma excitação
harmónica, mas por um conjunto de sismos, cada um com uma soma infinita de
harmónicas (de acordo com as expressões 4.8 e 4.12), uma forma de resolver
o problema consiste em recorrer ao conceito de espectro de resposta, como foi
apresentado no ponto 4.6.3. Assim, poderemos obter a amplitude máxima da
resposta modal (a partir da aceleração espectral Saiα que se obtém
directamente dos espectros de resposta), em coordenadas modais e em
termos da aceleração absoluta, para cada modo de vibração “i”, sendo igual a
αα ⋅ ai*i
*i S
m
P ou αα ⋅ aii SP (5.4-5)
Em coordenadas globais (valores de aceleração absoluta ααα += gigi add &&&& ,
velocidades relativas αid& e deslocamentos relativos αid , para cada um dos
modos de vibração “i” e para cada componente α do sismo), teremos
{ } { }&&
max.
*
*d vP
mSgi i
i
iaiα
αα= ⋅ ⋅ (5.6)
ou
{ } { }&&
max.d P Sgi i i aiα α αφ= ⋅ ⋅ (5.7)
e com
{ } [ ] { } { }d f F di ii
giα α αωmax. max. max.&&= ⋅ ≅
12
(5.8)
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- 64 -
sendo as forças de inércia máximas, iguais a
{ } [ ] { }F m di giα αmax. max.&&= ⋅ (5.10)
O grande problema do recurso aos espectros de resposta, na análise sísmica
de estruturas com vários graus de liberdade, reside no facto de conhecermos a
amplitude máxima da resposta num dado modo, mas não o instante em que
esse máximo ocorre. Logo, recorrendo à sobreposição modal, não devemos
obter a resposta final somando esses valores máximos, dado que eles ocorrem
em instantes diferentes, pois conduz a um resultado muito conservativo.
Se considerarmos um oscilador linear de dois graus de liberdade, sujeito a
uma aceleração harmónica ( )t sena0 ω⋅α , desprezando o regime transitório, a
resposta pode ser escrita, para cada grau de liberdade “j”, como
)t(2j)t(1j)t(j ddd ααα +=
( ) ( )2,122
022,12j1,12
1
011,11j t sen
aPHt sen
aPH θ−ω⋅
ω⋅
⋅⋅φ−θ−ω⋅ω⋅
⋅⋅φ−= αααα
(5.11) ou )t(2gj)t(1gj)t(gj ddd ααα += &&&&&&
( ) ( )2,3022,32j1,3011,31j t senaPHt senaPH θ−ω⋅⋅⋅φ+θ−ω⋅⋅⋅φ= αααα
(5.12)
Se representarmos graficamente a expressão (5.11) (figura 5.7), teremos
( ) ( ) 12j1j2
2j2
1jj cosdd2dddmaxmaxmaxmaxmax
β⋅⋅⋅++= ααααα (5.13)
com 2,11,11 θ−θ=β (5.14)
ou
( ) ( ) 32gj1gj
2
2gj
2
1gjgj cosdd2dddmaxmaxmaxmaxmax
β⋅⋅⋅++= ααααα&&&&&&&&&& (5.15)
com 2,31,33 θ−θ=β (5.16)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 65 -
Os máximos obtidos nas expressões anteriores correspondem aos vectores
soma das respostas em cada modo de vibração.
dj2α max
ω⋅t−θ1,1
β1
ω⋅t−θ1,2
dj2α max
dj1α max
djα max
dj1α max
djα max
t
FIGURA 5.7 - Diagrama vectorial da resposta dum oscilador de dois graus de liberdade.
Se considerarmos que a resposta é ressonante no 1º modo (ω= ω1), consoante
a proximidade entre as frequências (ω1 e ω2) assim teremos um maior ou menor
valor para o 1cosβ ou o 2cosβ (dado que são funções do desfasamentos da
resposta em cada modo). Caso as frequências dos dois modos estejam muito
afastadas, o ângulo β1 apresenta um valor superior a π/2, pelo que o resultado
máximo será inferior a
( ) ( )22j
21jj maxmaxmax
ddd ααα += (5.17)
Desta forma, tendo em conta a correlação dos diversos modos, a resposta
máxima do sistema estrutural para a componente α (para uma determinada
variável Eα), pode ser obtida, com segurança, por combinação quadrática
simples dos resultados obtidos para cada modo de vibração, com base nos
espectros de resposta, desde que as frequências de dois modos consecutivos
se apresentem devidamente afastadas.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 66 -
• Combinação Quadrática Simples (C.Q.S.):
∑ αα =i
2iEE (5.18)
Caso as frequências não se apresentem devidamente afastadas é possível
recorrer à análise estocástica de modo a que, a partir da expressão que se
obtém para a covariância da resposta nos diversos modos, possamos utilizar
os resultados da análise por espectros de resposta, mas recorrendo ao que se
designa por combinação quadrática completa.
• Combinação Quadrática Completa (C.Q.C.):
∑∑ ααα ⋅µ⋅=i j
jiji EEE (5.19)
com
( )
( ) ( )µ
ζ
ζij
R R
R R R=
⋅ ⋅ + ⋅
− + ⋅ ⋅ ⋅ +
8 1
1 4 1
2 3
2 2 2 2 ,
i
j
f
fR = (5.20-21)
Para a obtenção dos esforços na estrutura, modo a modo, podem aplicar-se as
forças de inércia ou impor o vector de deslocamentos, estaticamente, e
resolver o problema com recurso a um dos métodos de análise de estruturas
desenvolvidos para acções estáticas. Para efeito do dimensionamento da
estrutura, há que atender ao valor do coeficiente de comportamento (não para
efeito de determinação dos deslocamentos máximos na estrutura).
Os valores máximos da resposta da estrutura, que se obtêm de uma análise
separada para cada uma das componentes das vibrações sísmicas (segundo a
direcção α), não ocorrem, também, no mesmo instante. Desta forma, a
resposta da estrutura, tendo em conta a actuação simultânea de todas as
componentes, também pode ser obtida por combinação quadrática simples.
∑=α
α=z,y,x
2EE (5.22)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 67 -
As análises modais com recurso aos espectros de resposta apresentam
algumas desvantagens na sua utilização:
• Em primeiro lugar temos o facto de exigirem algum esforço de cálculo na
resolução do problema de valores e vectores próprios (com base no método de
Stodola, no método de Jacobi ou no método de Rayleigh-Ritz, entre outros).
• Por outro lado, só são válidas para problemas elásticos lineares, pelo que
será necessário proceder-se a uma correcção aos resultados obtidos, para
efeito do dimensionamento dos elementos estruturais (coeficiente de
comportamento), tendo em conta o comportamento não linear das estruturas.
• Por último, os esforços finais que se obtêm, após a realização das
combinações quadráticas, quer na obtenção da contribuição dos diversos
modos de vibração, quer na determinação do resultado de todas as
componentes da acção sísmica, perdem o sinal. Desta forma, o
dimensionamento das estruturas, com base nesses resultados, requer algum
cuidado, nomeadamente em flexão composta (recta ou desviada).
5.2.3. Métodos simplificados de análise sísmica
Existem diversos métodos aproximados de análise sísmica de estruturas, que
têm em comum o facto de se basearem numa configuração e frequência
aproximadas para um modo de vibração. Com base nessas configurações e
frequências, é possível a obtenção do valor, também aproximado, da resposta
da estrutura, aplicando um conjunto de forças estáticas, equivalentes às forças
de inércia.
5.2.3.1. Configuração do método de Rayleigh
O método de Rayleigh simplificado é um método de análise dinâmica que se
baseia numa configuração aproximada de um modo de vibração. É usual que
essa configuração aproximada esteja associada aos deslocamentos que
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- 68 -
resultam da aplicação de um conjunto de forças estáticas iguais aos pesos das
massas, na direcção dos graus de liberdade.
Normalmente admite-se o pressuposto de que apenas o primeiro modo de
vibração contribui para a resposta total da estrutura (figura 5.8).
d02
d0n
d01
G2
Gn
G1
{ } { }v d1 0=
FIGURA 5.8 - Configuração aproximada do primeiro modo de vibração, obtida pelo método de Rayleigh.
A frequência fundamental da estrutura (f em Hz) pode ser estimada a partir da
expressão
f g
G d
G d
i ii
n
i ii
n= ⋅ =
=
∑
∑
12
01
02
1
π (5.23)
As acelerações absolutas máximas serão obtidas com base nos espectros de
resposta e na equação (5.6) (e atendendo a que a matriz de massa é diagonal
e o vector { }x1 só apresenta elementos unitários):
{ } { } { } [ ]{ }{ } [ ]{ }
{ }&&d dd m
d m dS d
G d
G d
Sgx
Tx
T ax
i ii
n
i ii
n ax= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅=
=
∑
∑0
0
0 00
01
02
1
1 (5.24)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 69 -
As forças máximas de inércia, a aplicar estaticamente na estrutura, serão
{ } [ ]{ } [ ]{ }F m d m d
G d
G d
Sx gx
i ii
n
i ii
n ax= = ⋅ ⋅=
=
∑
∑
&&0
01
02
1
(5.25)
com a força no grau de liberdade “j” igual a
F G d
G d
G d
S
gjx j j
i ii
n
i ii
nax= ⋅ ⋅ ⋅=
=
∑
∑0
01
02
1
(5.26)
É evidente que a utilização deste método, para efeito do dimensionamento de
edifícios, requer algum cuidado, dado que a percentagem de massa efectiva,
resultante da configuração arbitrada, pode ser pequena.
Poderemos impor que a percentagem de massa efectiva, resultante da
configuração arbitrada, seja de 100%. Sendo assim
( )
mP
mm
gGx
eff xi
i
n
ii
n
11
2
1 1 1
1= = = ⋅
= =∑ ∑
*
* (5.27)
%m mm
m d
m d Gx
effx
eff
x
i ii
n
i ii
n
ii
n1 1
01
2
02
1 1
100100 100
= ≅ ⋅ =
⋅∑
∑
∑ ∑
=
= =
(5.28)
logo
G
G d
G di
i
n i ii
n
i ii
n=
=
=
∑∑
∑≅
1
01
2
02
1
(5.29)
Substituindo a equação (5.29) em (5.26) iremos obter
F G d
G d
G d
G d
G d
S
gG d
G
G d
S
gjx j j
i ii
n
i ii
n
i ii
n
i ii
nax
j j
ii
n
i ii
nax= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑0
01
02
1
01
01
01
01
(5.30)
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 70 -
5.2.3.2. Configuração linear em altura
Consideremos uma configuração para o modo fundamental do tipo pêndulo
invertido, como é apresentado na figura 5.9, em que o vector da configuração,
desse modo, corresponde ao vector das cotas das massas.
h2
hn
h1
F2
Fn
F1
h2
hn
h1
{ } { }v h1 =
FIGURA 5.9 - Configuração admitida para o primeiro modo de vibração, variando linearmente em altura.
Desta forma, partindo da expressão (5.30) teremos
F G h
G
G h
S
gjx j j
ii
n
i ii
nax= ⋅ ⋅ ⋅=
=
∑
∑
1
1
(5.31)
Este método, bastante mais aproximado do que o método de Rayleigh, pode
conduzir a resultados muito conservativos em alguns elementos de uma
estrutura, assim como a valores inseguros noutros elementos da mesma
estrutura.
5.3. Métodos de análise não linear
A aplicação de modelos de análise não linear para efeito do dimensionamento
de estruturas não é usual sendo, normalmente, adoptados na investigação ou
na avaliação de estruturas existentes e de alguma importância. Esse facto
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 71 -
deve-se ao, ainda, elevado dispêndio de tempo na análise e na necessidade
de todos os elementos estruturais serem perfeitamente conhecidos. É neste
contexto que, na corrente prática de projecto de estruturas, as análises não
lineares surgem, essencialmente, como forma de calibrar os valores dos
coeficientes de comportamento inicialmente adoptados nas análises lineares.
5.3.1. Análise dinâmica não linear
Análises dinâmicas, que envolvam comportamento não linear dos materiais,
podem ser realizadas com recurso a métodos de integração numérica
(vulgarmente designados por métodos de integração passo a passo) do
sistema acoplado de equações diferenciais de equilíbrio dinâmico.
Se considerarmos o oscilador não linear da figura 5.10, num instante t = τ,
teremos a seguinte equação de movimento
[ ]m x a c x k xg&& &( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ τ τ τ+ + ⋅ + ⋅ = 0 (5.32)
m x c x k x m ag⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅&& &( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ τ τ τ (5.33)
Num instante t = τ+∆τ podemos definir os seguintes valores incrementais
m x c x k x m ag⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅+ + + + + +&& &( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ τ τ τ∆τ ∆τ ∆τ ∆τ ∆τ ∆τ (5.34)
A equação incremental de movimento corresponde à diferença entre (5.34) e
(5.33), logo igual a
m x c x k x m ag⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅∆ ∆ ∆ ∆&& &( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ τ τ τ (5.35)
em que
&& && &&( ) ( ) ( )x x xτ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.36)
& & &( ) ( ) ( )x x xτ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.37)
x x x( ) ( ) ( )τ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.38)
a a ag g g( ) ( ) ( )τ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.39)
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 72 -
c c c( ) ( ) ( )τ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.40)
k k k( ) ( ) ( )τ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.41)
e sendo, para valores muito pequenos de ∆τ,
( )∆ ∆c x x( ) ( ) ( )& &τ τ τ+ ≅ 0 (5.42)
( )∆ ∆k x x( ) ( ) ( )τ τ τ+ ≅ 0 (5.43)
∆Fr ( )τ∆Fa ( )τ
x( )τ
k(t)
c(t)
x(t)
ag (t)
∆& ( )x τ ∆x( )τ
x( )τ+∆τ& ( )x τ &( )x τ+∆τ&( )x t x t( )
F c xa t t t ( ) ( ) ( )&= ⋅ F k xr t t t ( ) ( ) ( )= ⋅
FIGURA 5.10 - Oscilador não linear de um grau de liberdade sujeito a uma aceleração da base.
A equação (5.35) é resolvida, numericamente, passo a passo, para pequenos
incrementos do tempo (∆τ). Para tal, será necessário estabelecermos as
relações entre ∆&&( )x τ , ∆& ( )x τ e ∆x( )τ . Normalmente, assume-se que a
aceleração se mantém constante, ou que varia linearmente, no intervalo de
tempo ∆τ.
O método de Newmark, o método de Wilson e o método de Runge-Kutta, são
alguns dos métodos mais utilizados na resolução deste tipo de problemas.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 73 -
Neste tipo de análise também é necessário a adopção de leis constitutivas que
traduzam, da forma mais realista possível, o comportamento histerético dos
materiais que constituem a estrutura, de modo a que seja possível definir a
matriz de rigidez a cada instante.
Nas figuras 5.11 e 5.12 são apresentados exemplos de modelos de
comportamento histerético do betão e do aço.
Zm⋅k⋅fc Ec0
Ec' Ec
''
Ec'' 2 Ec
' 2
σc
k⋅fc
k⋅ε0 εc1 εcm εc
Ec0
Ec0
0.2k⋅fc
Envolvente monotónica
FIGURA 5.11 - Modelo de comportamento histerético do betão proposto por Tompson e Park.
σs
Es Es
Patamar de cedência
Endurecimento cíclico isotrópico
Endurecimento
Efeito de Baushinger
Troço elástico
Redução de Es após inversão
εs
Endurecimento cíclico isotrópico
FIGURA 5.12 - Características principais do diagrama tensões-extensões do aço.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 74 -
As análises não lineares, com recurso a métodos de integração passo a passo,
requerem o conhecimento das vibrações sísmicas ao longo do tempo. É usual
que a acção sísmica seja definida na forma de acelerogramas (registados,
simulados ou artificiais), sendo necessária a consideração de vários sismos
consistentes com a perigosidade sísmica da região.
5.3.2. Análise estática não linear ( Pushover)
As análises dinâmicas não lineares, no presente momento, são mais
apropriadas para a investigação ou análise de estruturas muito importantes,
dada a sua complexidade. A sua aplicação ao projecto corrente somente será
possível num futuro ainda distante. Por outro lado, a fiabilidade das correntes
análises lineares dependem muito do valor adoptado para o coeficiente de
comportamento, que é estimado em função das características da estrutura.
Neste contexto, para aferirmos qual será o real comportamento de uma
estrutura será necessário adoptarmos modelos simplificados de
comportamento inelástico que combinam uma análise estática não linear
(pushover) e a abordagem por espectros de resposta.
Apesar destes modelos terem sido propostos nos anos 80 do século XX, só
depois da primeira metade dos anos 90 é que começaram a ser aplicados,
primeiramente numa perspectiva de avaliação das estruturas existentes e mais
recentemente, como modelo integrante dos modernos regulamentos de análise
sísmica de estruturas. Tal facto está ligado ao crescente desempenho dos
sistemas informáticos.
O primeiro passo consiste em passar os espectros de resposta elásticos,
expressos, normalmente, em aceleração absoluta (Sae), para o formato (AD)
aceleração absoluta (Sae) – deslocamento relativo (Sde), de acordo com a
expressão (5.44), como é apresentado na figura 5.13.
ae2
2
ae2de S4T
S1
Sπ
=ω
= (5.44)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 75 -
Para um sistema inelástico de um grau de liberdade podemos considerar que
µ
=RS
S aea (5.45)
a2
2
ae2ded S4T
S1
RS
RS
πµ=
ω⋅µ=µ=
µµ
(5.46)
em que µ é o factor de ductilidade definido como a relação entre o máximo
deslocamento aquando do colapso (num ponto de controlo) e o deslocamento
a que corresponde a formação da primeira rótula plástica, e Rµ é um factor de
redução que tem em consideração a capacidade de dissipação de energia
(histerética) que caracterizam as estruturas dúcteis (não é o coeficiente de
comportamento).
FIGURA 5.13 – Exemplo de espectros de resposta inelásticos no formato AD.
Em seguida, recorre-se a uma análise não linear (plástica) incremental de
forma a ser definida a curva de capacidade resistente. Para tal é aplicado à
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 76 -
estrutura um padrão de forças, segundo os graus de liberdade dinâmicos, que
representam o conjunto de forças de inércia resultantes da acção de um sismo.
O aumento incremental das forças de inércia (que está associado a um
aumento da aceleração absoluta) vai conduzindo à formação sequencial de
rótulas plásticas na estrutura.
A característica da distribuição das forças de inércia tem um papel importante
nos resultados da análise. Por esse motivo existem várias propostas para
essas distribuições, designadamente proporcionais às massas ou
proporcionais ao resultado da configuração do modo fundamental de vibração
(ou mesmo com mais modos em consideração).
O desempenho sísmico de uma estrutura corresponde ao ponto em que a
curva de capacidade e o espectro de resposta inelástico se interceptam (figura
5.14).
FIGURA 5.14 – Curva de capacidade e espectro de resposta inelástico.
5.4. Limites à resposta sísmica das estruturas
As estruturas devem estar dimensionadas de modo a que não ocorra o colapso
para um sismo provável. Além disso, deve ser garantida a integridade física
dos ocupantes e limitados os danos em elementos não estruturais. Os
Ponto de desempenho sísmico
Primeira rótula plástica
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 77 -
regulamentos impõem limites às respostas sísmicas para atenderem a estes
requisitos. Para limitarem os efeitos da adopção de coeficientes de
comportamento demasiado elevados (o que pressupõe grande dissipação de
energia em regime inelástico, podendo acarretar elevados danos), os
regulamentos actuais estabelecem valores máximos para os deslocamentos
relativos entre pisos (minimizando os danos nos painéis de alvenaria).
5.5. Efeitos da torção em estruturas de edifícios
A existência de fenómenos de torção global das estruturas, e em particular nos
edifícios, são devidos, essencialmente, à existência de vibrações rotacionais
do movimento sísmico e à não coincidência do centro de massa (CM) com a
intersecção das linhas de acção das resultantes das forças de restituição.
As vibrações rotacionais do terreno de fundação resultam de fenómenos
associados à propagação das ondas sísmicas, assim como das derivadas
espaciais do movimento vibratório (razão porque estas vibrações atingem
amplitudes significativas do domínio das altas frequências). Atendendo a que
ainda não existe um número significativo de registos sísmicos destas
componentes do movimento sísmico, os regulamentos só consideram as
vibrações rotacionais de forma indirecta. Os efeitos da torção dos edifícios, em
consequência das vibrações rotacionais, podem ser equiparados aos efeitos
induzidos por uma excentricidade do centro de massa igual a ±5% da
dimensão do edifício, para uma dada direcção.
É de salientar que, mesmo o centro de massa coincidindo com a resultante das
forças de restituição, em regime elástico, pode não coincidir em regime
plástico, atendendo à variação aleatória das resistências dos elementos
estruturais e não estruturais. Desta forma, a resultante das forças de inércia
não coincide, instante a instante, com a resultante inelástica das forças de
restituição, pois a plastificação dos vários elementos não ocorre no mesmo
instante, no decorrer dos movimentos sísmicos.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 78 -
As vibrações sísmicas resultam de uma ruptura tectónica segundo uma
direcção incerta. Dado que os edifícios não estão todos implantados segundo
a mesma direcção, o ângulo de incidência das ondas sísmicas não é o mesmo
para todos os edifícios. Os fenómenos de torção dos edifícios são agravados
quando esse ângulo de incidência corresponde a um determinado valor crítico.
Os fenómenos de torção global dos edifícios podem ser contabilizados com
base em modelos dinâmicos espaciais ou em modelos simplificados de análise
dinâmica plana.
É usual admitir-se que as massas são concentradas em determinados pontos,
e que são desprezáveis os momentos de inércia dessas massas. Em
determinados problemas, face às dimensões das massas, essa simplificação
não é aceitável.
Considere-se a estrutura da figura 5.15, sujeito a uma rotação no topo, em que
o elemento vertical só pode deformar por torção (EI GA EA= = = ∞ e GJ ≠ ∞ ).
θ(t)J
kθ
FIGURA 5.15 - Oscilador linear de um grau de liberdade sujeito a uma rotação no topo.
Tendo em conta que o sistema é conservativo, então a equação de movimento
pode ser obtida através do princípio da conservação da energia
( )ddt
E Eddt
J kC P t t+ = ⋅ + ⋅
=
12
12
02 2&( ) ( )θ θθ (5.47)
J k kt t t t t t⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ + ⋅ =& && & &&( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θ θ θ θ θ θθ θ0 0 J (5.48)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 79 -
em que “J” é o momento polar de inércia da massa.
Da equação (5.48) é fácil concluir que as forças de inércia correspondem a
F t t( ) ( )&&= ⋅ J θ (5.49)
5.5.1. Modelos de análise plana
O recurso a modelos planos de análise dinâmica requer que se admitam os
pisos como sendo diafragmas indeformáveis no seu plano, e que se defina um
centro de rigidez (CR). O centro de rigidez corresponde ao ponto onde deve
actuar a resultante das forças, numa dada direcção, de modo a que o piso
sofra apenas um deslocamento de translação. Na realidade trata-se de um
abuso de linguagem, dado que isso só se verifica se induzirmos uma
translação num piso com todos os outros imóveis. Logo, esta definição só é
exacta para edifícios de um só piso.
Considere-se o edifício de um piso da figura 5.16, composto por um conjunto
de estruturas planas, com rigidez ki, segundo duas direcções ortogonais.
CRkyi
kxi
O
CM
xi
yi
ey
exRx
Ry
FIGURA 5.16 - Edifício composto por associações de estruturas planas ortogonais, com piso indeformável.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 80 -
Se considerarmos a componente do sismo segundo a direcção x, induzindo
uma translação (∆x), então, do equilíbrio global no ponto O, teremos
( )F F kx x xi xi x= ⇔ = = ⋅∑ ∑ ∑0 R ∆ (5.50)
( ) ( )M y F y k yO x CR xi i xi x i= ⇔ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅∑ ∑ ∑0 R ∆ (5.51)
logo
( )
yk y
kCRxi i
xi=
⋅∑∑
(5.52)
e, do mesmo modo, teremos para a outra direcção
( )
xk x
kCRyi i
yi=
⋅∑
∑ (5.53)
Se o centro de massa (CM) não coincidir com o centro de rigidez (CR) irá
surgir um momento torçor (Mθ). Considerando a origem do referencial no
centro de rigidez (O ≡ CR), então, considerando uma translação segundo a
direcção x (∆x), teremos
M R e kx yθ θ θ= ⋅ = ⋅ (5.54)
logo
θθ
=⋅R e
kx y
(5.55)
De acordo com a figura 5.17, a rotação do piso origina os deslocamentos
δ θxi iy= ⋅ (5.56)
δ θyi ix= ⋅ (5.57)
O valor de kθ corresponde ao momento que induz uma rotação unitária (θ = 1),
logo
k θ ( ) ( )= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∑ ∑k y k xxi xi i yi yi iδ δ
( ) ( )= ⋅ + ⋅∑ ∑k y k xxi i yi i2 2 (5.58)
As forças Fxi a considerar em cada estrutura plana, resultam das componentes
de translação (∆x) e da rotação (θ), logo
F k kxi xi x xi xi= ⋅ + ⋅∆ δ (5.59)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 81 -
Atendendo às equações anteriores, temos
( ) ( )Fk
kR
k y R e
k y k xxi
xi
xix
xi i x y
xi i yi i
= ⋅ +⋅ ⋅ ⋅
⋅ + ⋅∑ ∑ ∑2 2 (5.60)
Pondo em evidência a componente das forças resultantes da translação (que
se obtém da análise plana), vamos obter
Fk
kRxi xi
xi
xix= ⋅ ⋅
∑ξ (5.61)
com
( ) ( )ξ xixi i y
xi i yi i
k y e
k y k x= +
⋅ ⋅
⋅ + ⋅
∑
∑ ∑1
2 2 (5.62)
De forma análoga teremos
Fk
kRyi yi
yi
yiy= ⋅ ⋅
∑ξ (5.63)
com
( ) ( )ξ yiyi i x
xi i yi i
k x e
k y k x= +
⋅ ⋅
⋅ + ⋅
∑
∑ ∑1
2 2 (5.64)
CR ≡ O
δy
δx
θ
FIGURA 5.17 - Componente de rotação do edifício.
As forças associadas à translação do edifício são obtidas a partir de estruturas
correspondentes à associação de estruturas planas (vulgarmente designada
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 82 -
por associação em “comboio”), ligadas por bielas, axialmente indeformáveis,
ao nível dos pisos (figura 5.18). A essas estruturas aplica-se um dos métodos
de análise sísmica, descritos nos pontos anteriores. Os resultados das
análises são depois corrigidos, tendo em conta os efeitos da torção,
multiplicando esses resultados, pelos factores ξxi e ξyi, consoante a direcção
em análise.
y→
x→
y
x
FIGURA 5.18 - Exemplo de associação de pórticos em “comboio”.
Se desprezarmos a contribuição dos pórticos na direcção ortogonal à
componente da acção, no cálculo da rigidez de torção, teremos
( )ξxixi i y
xi i
k y e
k y= +
⋅ ⋅
⋅
∑
∑1
2 (5.65)
( )ξ yiyi i x
yi i
k x e
k x= +
⋅ ⋅
⋅
∑
∑1
2 (5.66)
O cálculo da rigidez da estrutura, ao nível do piso em análise, pode ser
determinado de diversas formas, de entre as quais se salientam as mais
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 83 -
usuais, como sejam a soma da rigidez dos elementos verticais (perdendo-se o
efeito de pórtico) ou determinando uma rigidez, por aplicação de uma força
unitária nesse piso, invertendo em seguida o valor do deslocamento
(flexibilidade) obtido nesse mesmo piso.
5.5.2. Modelos de análise espacial
Os modelos de análise espacial têm em conta o comportamento dinâmico de
uma estrutura tridimensional, sendo o sistema de equações de movimento
(3.46) estabelecido nesse contexto.
Dado o muito elevado número de graus de liberdade exigidos pelas análises
espaciais, é usual a sua redução a três graus de liberdade por piso (duas
translações e uma rotação do piso), como se apresenta na figura 5.19. Para
que essa redução se possa efectuar, é necessária a existência de um piso
rígido no seu plano.
⇒
FIGURA 5.19 - Redução do número de graus de liberdade em pisos rígidos no seu plano.
Dado que estamos a concentrar a massa do piso rígido num único ponto, o
momento de inércia da massa já não é desprezável no cálculo das forças de
inércia.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 84 -
A matriz de massas vai depender da origem estabelecida para o referencial.
Dado um qualquer referencial, com origem em “O” (figura 5.20), obtemos, em
cada piso “p”, a seguinte expressão para a energia cinética
{ } [ ]{ }E d m d m v m v JCT
x x y y= = ⋅ + ⋅ + ⋅12
12
12
12
2 2 2& & &θ (5.67)
com velocidades iguais a
{ }&&
&
&
d
x
y=
θ
(5.68)
e
v x yx CM= − ⋅& &θ (5.69)
v y xy CM= + ⋅& &θ (5.70)
CM
yCM
θ
xCM
y
x
vy
vx
O
FIGURA 5.20 - Componentes da velocidade do centro de massa.
Desta forma, teremos
EC ( ) ( )= − ⋅ + + ⋅ + ⋅12
12
12
2 2 2m x y m y x Jx CM y CM& & & & &θ θ θ
{ }
θ
⋅
⋅⋅−
⋅
⋅−
⋅θ⋅=
θ&
&
&
&&& y
x
mxmym
xmm0
ym0m
y x21
CMyCMx
CMyy
CMxx
(5.71)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 85 -
pelo que
[ ]m
m m y
m m x
m y m x m
px x CM
y y CM
x CM y CM
< > =− ⋅
⋅− ⋅ ⋅
0
0
θ
(5.72)
com
m J m y m xx CM y CMθ = + ⋅ + ⋅2 2 (5.73)
sendo “J” o momento polar de inércia da massa do piso, em relação ao centro
de massa. Para um piso constituído por um conjunto de massas mi,
uniformemente distribuídas numa área Ai, teremos as expressões seguintes:
m m mx y ii
= = ∑ (5.74)
( ) ( )( )Jm
AI A y y I A x xi
iGxi i Gi O Gyi i Gi O
i= + ⋅ − + + ⋅ −
∑
2 2 (5.75)
IGxi e IGyi são os momentos principais centrais de inércia da área Ai. Caso se
adopte um referencial com origem no centro de massa, teremos
x yCM CM= = 0 (5.76)
pelo que a matriz de massas se torna uma matriz diagonal, igual a
[ ]m
m
m
J
px
y< > =
0 0
0 0
0 0
(5.77)
sendo este o procedimento preferível de adoptar.
Para determinarmos a matriz de rigidez associada aos três graus de liberdade
do piso, podemos recorrer a uma transformação de coordenadas { } { }q d→ .
Considere-se o sistema de coordenadas local, em cada nó “i” do piso “p”,
como se apresenta na figura 5.21. A matriz de transformação será
[ ]T
y
xi
i
i =
−
1 0
0 1
0 0 1
(5.78)
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 86 -
A matriz de rigidez de cada elemento “i”, no sistema de coordenadas “q”,
corresponde a
[ ]k
k k
k k
kq i
xx xy
yx yy
i
=
0
0
0 0 θθ
(5.79)
com kxy = kyx.
⇒ i
yi
xi
y
x
qx
O
qθ qy Piso “p” Nó “i”
FIGURA 5.21 - Transformação de sistema de coordenadas { } { }q d→ .
O sistema de coordenadas “q” tem origem no ponto de aplicação da resultante
de forças que passam pelo centro de corte (não no centro de massa) dos
elementos estruturais do nó “i”.
A determinação da matriz de rigidez, associada aos três graus de liberdade de
cada piso, resulta do somatório
[ ] [ ] [ ] [ ]( )k T k T
k k k
k k k
k k k
p Tq
i
p< > < >= ⋅ ⋅ =
∑
11 12 13
21 22 23
31 32 33
(5.80)
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 87 -
com
k k xx11 = ∑ (5.81)
k k k xy12 21= = ∑ (5.82)
( ) ( )k k k y k xxx i yx i13 31= = − ⋅ + ⋅∑ ∑
(5.83)
k k yy22 = ∑ (5.84)
( ) ( )k k k y k xxy i yy i23 32= = − ⋅ + ⋅∑ ∑
(5.85)
( ) ( ) ( )k k k y k x k x yxx i yy i xy i332 2 2= + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∑ ∑ ∑θθ
(5.86)
em que kx e ky correspondem à rigidez de translação e kθ é a rigidez de torção,
dos elementos estruturais associados aos graus de liberdade do piso.
As matrizes globais do edifício obtêm-se por assemblagem das matrizes de
cada piso.
É procedimento comum os programas de cálculo automático definirem um nó
principal, cujas coordenadas coincidem com o centro de massa, onde toda a
massa é concentrada (associada aos três graus de liberdade). Os graus de
liberdade, no plano do piso rígido, são tornados dependentes desse nó
principal a partir da transformação de coordenadas referida anteriormente.
Atendendo a que um edifício é sempre sujeito a três componentes de vibração
sísmica, qualquer que seja a direcção do epicentro do sismo em análise
(próximo ou distante), a resposta é obtida por combinação quadrática simples
das várias componentes (x, y e z), de acordo com a expressão (5.22). Em
alternativa, é possível que a resposta (E) relativa a duas componentes
ortogonais da acção dos sismos, seja obtida pela soma ponderada das
respostas segundo as direcções x e y (Ex e Ey), de acordo com as seguintes
expressões
E E Ex y= + ⋅0 3. (5.87)
E E Ex y= ⋅ +0 3. (5.88)
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 88 -
5.6. Selecção dos métodos e modelos de análise sísm ica de edifícios
A adopção de métodos simplificados de análise sísmica exige que a resposta
da estrutura seja previsível, o que pressupõe simplicidade de formas
arquitectónicas e da estrutura.
Se um edifício apresentar elevada regularidade em alçado, a resposta sísmica
é, essencialmente, resultante do 1º modo de vibração (modo fundamental),
sendo possível garantir a segurança com base nos métodos simplificados
apresentados no ponto 5.2.3. A existência de formas complexas e muito
irregulares em alçado (com existência de recuados), torna menos previsível o
comportamento sísmico das estruturas, sendo aconselhável a adopção da
análise modal, como foi apresentada no ponto 5.2.2. Além disso, o valor do
coeficiente de comportamento deve ser reduzido, pois podem surgir
mecanismos de colapso menos dissipativos, em resultado da irregularidade,
em alçado, das formas arquitectónicas e da estrutura (figura 5.22).
Concentração de tensões
Estrutura irregular Estrutura regular
FIGURA 5.22 – Exemplos do comportamento de edifícios regulares e irregulares em alçado.
A regularidade em planta tem uma grande influência no comportamento
sísmico de uma estrutura, tendo em conta os efeitos da torção da mesma. Se
um edifício for muito irregular em planta, somente uma análise modal com um
modelo tridimensional poderá garantir um dimensionamento seguro. Caso o
edifício apresente uma configuração arquitectónica regular em planta, uma
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 89 -
análise com um modelo plano será, em princípio, suficiente para garantir a
segurança.
Alguns exemplos de formas, em planta, com características de regularidade e
irregularidade, estão apresentados nas figuras 5.23 e 5.24.
É importante salientar que as características de regularidade envolvem não
somente as formas arquitectónicas, mas também a distribuição dos elementos
estruturais (e da rigidez) e não estruturais, assim como da massa.
FIGURA 5.23 - Algumas formas apresentando características de regularidade em planta.
FIGURA 5.24 - Algumas formas marcadamente irregulares em planta.
- 90 -
CAPÍTULO 6
COMPORTAMENTO SÍSMICO DE EDIFÍCIOS
6.1. Risco sísmico de edifícios
A maior parte das perdas resultantes da ocorrência de um sismo, quer de
ordem material quer do ponto de vista humano, devem-se ao mau
comportamento das estruturas existentes, nomeadamente dos edifícios. O
conhecimento actual do comportamento das estruturas permite a minimização
do risco sísmico das novas construções (maior fiabilidade, portanto), dado o
desenvolvimento dos métodos de análise e dimensionamento dos edifícios,
assim como das técnicas de construção sismo-resistente.
O mau desempenho dos edifícios afectados por sismos nos últimos anos está
associado, essencialmente, a algumas das seguintes causas:
• Falta de planeamento das cidades tendo em conta os fenómenos sísmicos;
• Utilização de solos inadequados para construção segura do ponto de vista
sísmico;
• Configurações arquitectónicas dos edifícios com pisos vazados;
• Não consideração dos efeitos da torção dos edifícios;
• Deficientes percursos das forças geradas até à fundação;
• Não consideração dos elementos classificados como “não estruturais” ou
como “não resistentes ao sismo”, no comportamento sísmico do conjunto;
• Existência de concepções com pilares fracos e vigas (pisos) fortes;
• Deficiente pormenorização dos elementos estruturais;
• Má qualidade dos materiais e deficiente qualificação da mão-de-obra, pouco
sensível a estes fenómenos;
• Deficiente correlação entre o edifício analisado e dimensionado e o edifício
realmente construído.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 91 -
Por definição, risco sísmico é a probabilidade das consequências sobre a
sociedade e/ou economia, associada à ocorrência de um sismo, igualarem ou
excederem um valor especificado, numa determinada área (ou local), para um
dado período de tempo.
Quando se fala em risco sísmico de edifícios, estamos a assumir,
automaticamente, que uma construção apresenta um determinado
comportamento, ao qual está associado um nível de danos (estado limite), em
face da probabilidade de ocorrência de um sismo durante a sua vida útil, como
é ilustrado no quadro 6.1.
É socialmente aceitável, após a ocorrência de um sismo com grande potencial
de destruição, que o nível de danos em edifícios correntes seja moderado, de
modo a minimizar os custos de reconstrução, mas sem perda de vidas
humanas (o colapso é inaceitável). Nos edifícios que sejam sede de órgãos de
protecção civil, pretende-se que os danos sejam ligeiros, mantendo-se a total
operacionalidade da construção, instantes após o sismo. É neste contexto que
os modernos regulamentos definem um factor de importância γI, destinado ao
agravamento da acção sísmica a adoptar no dimensionamento de hospitais,
quartéis de bombeiros e outros edifícios de especial importância para a
protecção civil, de modo a melhorar a fiabilidade destes edifícios.
Do ponto de vista numérico, o risco sísmico de um edifício corresponde à
percentagem do número de sismos, que podem ocorrer durante a vida útil da
construção, com capacidade de fornecer energia ao edifício em valores
superiores à capacidade de dissipação do mesmo, para o nível de danos
estipulado.
O dimensionamento de um edifício pressupõe a aceitação de um valor, não
nulo, de risco sísmico, cujo valor dever ser igual em todas as zonas de um
país. Assim, podemos afirmar que não existem construções verdadeiramente
anti-sísmicas, mesmo que dimensionadas de acordo com os modernos
regulamentos, mas que esses edifícios apresentarão um desempenho
aceitável, tendo em conta o número e o potencial destrutivo dos sismos
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 92 -
(registados ou de que há memória histórica) que afectaram a região em
estudo. Desta forma, salvaguardam-se as vidas humanas e minimizam-se os
impactos na economia e na sociedade que elevados danos (e colapsos) iriam
provocar.
QUADRO 6.1 - Níveis de desempenho de edifícios face à ocorrência de sismos
Desempenho desejado
Sem danos e continuamente em serviço Sempre em serviço, desempenhando, após o sismo, as funções que lhe foram atribuídas inicialmente. Danos estruturais e não estruturais desprezáveis
Totalmente operacional
NEGLIGENCIÁVEL
Sem perdas de vidas
MODERADO
Operacional LIGEIRO
A maioria da funcionalidade pode ser reposta de imediato. Reparações serão necessárias para restaurar alguns serviços não essenciais. Danos ligeiros. A estrutura é segura para ocupação imediata após o sismo. A operacionalidade dos serviços essenciais está protegida, contrariamente a alguns não essenciais.
O colapso da estrutura é evitado. Alguns elementos não estruturais poderão cair. Danos estruturais severos, mas o colapso é evitado. Queda de elementos não estruturais.
Próximo do colapso
SEVERO
Colapso TOTAL
Partes do sistema estrutural atingem o colapso. O colapso da estrutura é completo.
Os danos são moderados. Alguns edifícios seleccionados podem estar protegidos de danos. As vidas humanas são protegidas na generalidade. A estrutura está danificada mas mantém-se estável.
DESEMPENHO DO EDIFÍCIO NÍVEL DE DANOS
Do ponto de vista formal, o risco sísmico, expresso em relação aos danos nos
edifícios, resulta da convolução da perigosidade sísmica (que é função do
local onde se situa o edifício, como foi apresentado no capítulo 4) pela
vulnerabilidade sísmica do edifício (dependente das características próprias de
cada edifício). Se desejamos igual risco sísmico, num país com diferentes
níveis de perigosidade sísmica, os edifícios terão que apresentar diferentes
vulnerabilidades sísmicas.
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 93 -
6.2. Vulnerabilidade sísmica de edifícios
A vulnerabilidade sísmica de um edifício representa a medida dos danos
relativos induzidos por um sismo (varia de 0, sem danos, a 1, colapso) e está
directamente relacionada com o comportamento sísmico do edifício.
Existem diversos factores condicionantes da resposta sísmica de um edifício,
logo, da vulnerabilidade sísmica do mesmo. Basicamente, podemos dividir
esses factores em dois grupos distintos: externos e internos.
6.2.1. Factores externos
Os factores externos que afectam a resposta dos edifícios são, muitas vezes,
negligenciados na concepção e dimensionamento dos mesmos. Uma das
causas do mau comportamento sísmico dos edifícios, prende-se com a sua
localização, nomeadamente em relação aos demais edifícios. Os efeitos locais
(geológicos, topográficos, a liquefacção, os deslizamentos de terras ou os
movimentos diferenciais provocados por falhas) são um factor perturbante do
desempenho do edifício e são independentes da construção em si. Deste
modo, dois edifícios iguais e localizados na mesma localidade, mas em pontos
distintos, podem apresentar comportamentos muito diferentes face à actuação
de um sismo.
Por outro lado, no cômputo da resposta sísmica de um edifício, para efeito de
dimensionamento, é corrente admitir-se que os edifícios estão isolados dos
adjacentes. Em edifícios construídos em banda contínua, a separação é
inexistente, ou muito reduzida, dado que as juntas são previstas para
atenderem ao comportamento térmico (juntas de dilatação da ordem dos 2 cm,
sendo vulgar apresentarem-se semi-preenchidas com detritos) e não ao
comportamento sísmico (juntas sísmicas). É hoje aceite que a dimensão da
junta sísmica não deve ser inferior ao maior deslocamento determinado para o
edifício, obtido por combinação dos deslocamentos modais (estes
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 94 -
deslocamentos não devem ser reduzidos com base no coeficiente de
comportamento pois este só afecta os esforços).
Para vibrações sísmicas de grandes amplitudes, os edifícios começam a
oscilar em oposição de fase, embatendo uns nos outros (“pounding”). O
impacto entre os edifícios (martelamento) provoca o aumento da aceleração
das massas, conduzindo, muitas vezes, ao colapso dos mesmos (figura 6.1).
FIGURA 6.1 - Danos causados pelo impacto entre edifícios.
Estudos realizados apontam para grandes amplificações, em termos de
deslocamentos e esforços, em resultado da existência deste fenómeno. Este
efeito é mais acentuado quando os edifícios apresentam diferentes alturas e
sistemas estruturais (logo diferentes flexibilidades), nos edifícios localizados
nas extremidades de bandas contínuas e nos edifícios de gaveto.
O choque entre edifícios construídos em banda contínua equipara-se ao
fenómeno verificado em sistemas de massas encostadas (figura 6.2). O
fenómeno inicia-se por as ondas sísmicas não passarem no mesmo instante
pelos edifícios da banda. Será agravado quando as frequências naturais de
Engenharia Sísmica – versão provisória 2004
- 95 -
vibração, dos vários edifícios da banda, não coincidirem, aumentando a
probabilidade de, num determinado instante, a resposta de dois edifícios
encostados se encontrar em oposição de fase, embatendo um no outro.
FIGURA 6.2 - Choque de massas encostadas.
Do ponto de vista dos elementos estruturais, o impacto entre edifícios
adjacentes é mais grave em construções edificadas em terrenos inclinados ou
com pavimentos desnivelados (a cotas distintas). Nestas circunstâncias, a laje
do piso induz uma força de corte no pilar do outro edifício, levando-o à rotura,
como se ilustra na figura 6.3.
FIGURA 6.3 - Agravamento do choque entre edifícios com pisos desnivelados.
6.2.2. Factores internos
Os factores internos que condicionam, de uma forma geral, a vulnerabilidade
sísmica de um edifício são: a concepção arquitectónica, a concepção da
estrutura, o modelo de análise adoptado, o dimensionamento e a
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 96 -
pormenorização dos elementos estruturais e o controlo da qualidade dos
materiais e da execução.
A forma arquitectónica do edifício tem um papel fundamental na resposta
sísmica da estrutura. Formas marcadamente irregulares em planta e alçado
apresentam deficientes respostas sísmicas. Dado que a definição da forma do
edifício é da responsabilidade do arquitecto, o engenheiro de estruturas só
pode controlar a vulnerabilidade sísmica com o recurso a adequados métodos
de análise e dimensionamento.
As formas irregulares em planta (ou com distribuição de massa irregular em
planta) acarretam problemas relacionados com a torção do edifício, sendo
problemática a existência de cantos reentrantes, dadas as concentrações de
tensões aí verificadas. É conveniente dividir complexas formas assimétricas e
pouco compactas, em simples formas simétricas e compactas
(designadamente de forma quadrangular) separadas por juntas sísmicas,
devidamente dimensionadas.
Por outro lado, uma deficiente concepção da estrutura em planta, não
apresentando uma distribuição de rigidez apropriada às formas
arquitectónicas, leva a um agravamento da vulnerabilidade sísmica do edifício.
As formas irregulares em alçado, nomeadamente, a existência de andares
recuados e distribuições de massa desapropriadas (existência de piscinas,
reservatórios e jardins elevados) potenciam o mau comportamento sísmico do
edifício.
A alteração da rigidez em altura, em resultado da mudança de secção dos
elementos verticais, do seu desaparecimento ou surgimento, da distribuição
descontínua de painéis de alvenaria não resistente (nomeadamente surgindo
pisos “vazados” e estruturas tipo pêndulo invertido), agrava o risco de
ocorrerem mecanismos de colapso pouco dissipativos de energia, com
formação de algumas rótulas plásticas em pilares, como se ilustra na figura
6.4.
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Provavelmente, a maior percentagem de mortos associadas a colapsos
estruturais devem-se à existência de edifícios com pisos vazados que não são
contabilizados nas análises sísmicas, principalmente quando estão associados
a problemas relacionados com a torção. Por esse motivo, os arquitectos, os
primeiros responsáveis por esta característica existir, e os engenheiros
deveriam dar maior atenção ao problema. Para um projectista, a forma de
minimizar o mau desempenho sísmico dessas estruturas, é reduzir o valor do
coeficiente de comportamento a adoptar no dimensionamento dos pilares do
piso vazado (não superiores a 1.5, de preferência unitário), assim como
densificar as cintas nesses pilares (nos edifícios de betão armado).
FIGURA 6.4 - Mecanismos de colapso devidos à existência de pisos vazados (“soft storey”).
O colapso de um edifício ocorre quando a sua capacidade de dissipar energia
é inferior à que é fornecida pelas vibrações sísmicas. Não se trata de um
problema de equilíbrio de forças estáticas, pelo que todos os elementos
estruturais devem apresentar elevada ductilidade, de forma a dissiparem
energia por deformação plástica, sem ocorrência de roturas frágeis por corte.
Essa é uma condição essencial para que possamos adoptar coeficientes de
comportamento superiores à unidade, nas análises sísmicas lineares.
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Um dos factores condicionantes da ductilidade de um edifício é a existência de
pilares curtos (pilares cujo comprimento deformável é muito pequeno, face à
dimensão da secção transversal). A existência de pilares curtos é, por vezes,
resultante da existência de painéis de alvenaria (resistente ou não resistente),
parcialmente preenchidos, que reduzem o comprimento deformável dos
pilares, como se apresenta na figura 6.5.
FIGURA 6.5 - Ruptura frágil de um pilar devido ao preenchimento parcial da estrutura.
É de prevenir, durante o dimensionamento, que roturas frágeis ocorram nos
pilares, pelo que devem ser dimensionados com base na real capacidade
resistente (“capacity design”), o que garante uma maior capacidade de
dissipação de energia.
O modelo estrutural adoptado para a análise da estrutura é um elemento
fundamental no controlo da resposta sísmica da mesma. O modelo deve
traduzir com o maior rigor possível o comportamento dinâmico da estrutura, de
modo a permitir um dimensionamento dos elementos estruturais eficaz na
redução de danos resultantes das vibrações sísmicas, impedindo o colapso.
De nada adianta a utilização de, aparentemente, modelos sofisticados
espaciais de análise sísmica, se o real comportamento sísmico do edifício não
for traduzido no modelo (designadamente se não forem consideradas todas as
componentes do sismo). Um engenheiro projectista deve ter a capacidade de
antever o comportamento sísmico do edifício de forma a acautelar a segurança
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da estrutura, quer na definição do modelo estrutural, quer no dimensionamento
e pormenorização dos elementos estruturais.
Muitas vezes, são elementos considerados como não contribuindo para a
resposta da estrutura, que desencadeiam o colapso, como é ilustrado na figura
6.6, em que a existência de uma escada provocou a rotura do pilar.
FIGURA 6.6 - Ruptura de um pilar em consequência da existência de uma escada.
A não consideração, na análise da estrutura, da total dimensão dos pilares
com secções manifestamente maiores do que a média dos demais, deve ser
feita com muita precaução, dado o elevado risco de perda de ductilidade.
Esses pilares apresentam roturas por corte, principalmente quando as
vibrações sísmicas possuem características impulsivas nos instantes iniciais.
Mais problemático é a não consideração, de todo, de alguns pilares (pilares
secundários) cujo dimensionamento foi feito com base, unicamente, nas
acções gravíticas. Mesmo nesses casos, será necessário que os pilares
tenham capacidade para se deformarem sem que ocorram roturas frágeis por
corte, pelo que devem ser convenientemente cintados para que se formem
rótulas plásticas nas extremidades do pilar, tal como projectado (pois eles não
foram considerados na contabilização da resposta sísmica, ao invés dos
restantes pilares em que as rótulas se devem formar nas vigas a eles ligados).
O sistema estrutural a adoptar deve garantir um bom desempenho para o
edifício, face à ocorrência de um sismo. Para tal, devem ser concebidos
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sistemas simples, cujo comportamento seja previsível, regulares e de elevada
redundância. São de evitar sistemas estruturais cujo comportamento sísmico
está pouco estudado, nomeadamente o recurso a sistemas de lajes
fungiformes, principalmente em edifícios altos. Caso se recorra a um sistema
deste tipo, é conveniente a existência de vigas no contorno do edifício e de
paredes ou núcleos resistentes.
Sempre que se adopte uma solução com paredes ou núcleos resistentes, deve
ser dada uma atenção especial à ligação desses elementos ao piso, de forma
a garantir um conveniente percurso das forças sísmicas até à fundação.
O controlo de qualidade da construção é muito importante na redução da
vulnerabilidade sísmica de um edifício. Pequenas falhas na fase de
construção, e sem consequências aparentes durante o funcionamento normal
do edifício, são amplificadas pelo comportamento dinâmico da estrutura,
quando sujeito a vibrações sísmicas, levando, muitas vezes, ao colapso.
Nos edifícios de betão armado, é importante atender à qualidade do betão. Por
todo o mundo esse tem sido um dos factores que levaram ao mau desempenho
das construções, designadamente face à utilização de misturas incorrectas de
inertes e cimento (muitos têm sido os colapsos em edifícios onde foram
identificadas roturas de pilares com betões de inertes de dimensões
excessivamente pequenas ou grandes). Também a pouca atenção que se dá,
em obra, às ligações (designadamente às emendas dos varões, principalmente
dos pilares) e ao confinamento do betão (sem uma adequada cintagem dos
pilares, principalmente nos nós de ligação), se traduz num agravamento da
vulnerabilidade sísmica de um edifício, mesmo tendo sido projectado para
resistir a grandes vibrações sísmicas.
É necessário não nos esquecer que a acção dos sismos não atende ao modelo
que foi considerado no projecto ou às normas regulamentares vigentes à altura
da construção, mas sim às reais condições de comportamento das
construções, à altura do evento sísmico, tendo em conta a natureza do solo
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onde foram edificadas, os materiais utilizados na obra, assim como o processo
construtivo.
No contexto da sismicidade de Portugal continental, e atendendo aos
resultados da perigosidade sísmica para as diversas regiões do país, as
construções do Algarve devem apresentar menor vulnerabilidade sísmica do
que as construções do norte do país, para que apresentem igual valor de risco
sísmico. O risco sísmico dos edifícios do Algarve só será maior se as boas
práticas sismo-resistentes, aplicadas ao projecto e à construção, não forem
cumpridas.
Pilares curtos
Piso vazado
Impacto entre edifícios
FIGURA 6.7 – Exemplo de alguns factores que agravam o risco sísmico dos edifícios.
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