Complementi ed esercizi di Fisica2M4: Induzione elettromagnetica

Autoinduzione e induttanza

*) Mutua induzione. Il flusso del campo Br

attraverso una spira dipende linearmente dalla corrente sorgente che genera il campo. Ciò è banalmente una conseguenza della legge di Laplace. Il fattore che moltiplica la corrente è una caratteristica del mezzo e della geometria del sistema sorgente-spira. Una volta fissata, l’effetto della geometria del sistema può essere inglobato in un opportuno coefficiente. Cosi, ad esempio, un campo 1B

r generato da una corrente 1I in una spira (1)

dà luogo ad un flusso 1BΦ in una spira (2) che può essere rappresentato come

1 21 1B M IΦ =Se il flusso è variabile nel tempo, la f.e.m. indotte nella spira (2) può essere calcolata come

12 21. . . dIf e m M

dt= −

21M è detto coefficiente di muta induzione delle due spire. Vale il teorema di reciprocità, ossia una corrente 2I nella spira (2) genera un campo 2B

r che dà

luogo ad un flusso 2 12 2B M IΦ =

Se il flusso è variabile

21 12. . . dIf e m M

dt= −

Il teorema di reciprocità afferma che 12 21M M=

*) Autoinduzione. Il campo generato da un conduttore (spira, bobina solenoide) percorso da corrente variabile si concatena allo stesso conduttore e il suo flusso variabile può dar luogo ad una f.e.m. auto-indotta, detta forza contro elettro-motrice f.c.e.m. Inglobando la geometria del sistema nel coefficiente di autoinduzione, si può scrivere

. . . . dIf c e m Ldt

= −

Va da sé che, come si sa dalla legge di Lenz è come indica il nome, che la f.c.e.m. si oppone alle variazioni che l'hanno generata.*) Induttori. Gli elementi elettrici circuitali le cui proprietà sono determinate dall'effetto dell'autoinduzione vengono detti induttori (tipicamente avvolgimenti solenoidali e toroidali). Il

coefficiente di autoinduzione, detto induttanza è misurato in Henry (SI): 2

1 T mHA

= .

*) Circuito RL. Il più semplice circuito RL è mostrato in figura

La chiusura dell'interruttore S consente il passaggio della corrente che da zero tende a portarsi al suo valore massimo /S BBI V R= dove per la batteria si è usato il simbolo BBV . Ovviamente questo transiente produce una f.c.e.m. che vi si oppone. Nello scrivere l'equazione del circuito, la f.c.e.m. deve essere sommata alle altre f.e.m. così come è scritta senza considerazioni ulteriori sul segno. Questo infatti è già naturalmente compreso nella sua , ossia il suo segno dipende dal segno della derivata della corrente. Attenzione: l'induttore è un elemento elettrico passivo (come il condensatore) in quanto non possiede le caratteristiche delle sorgenti di f.e.m., anche se possono da sole sostenere delle correnti (limitatamente ai transienti).

. . . .BB BBdIV f c e m RI V L RIdt

+ = → = +

L'equazione differenziale del circuito RL ha la stessa struttura di quella del circuito RC e, perciò, non verrà ulteriormente discussaLa soluzione è

( )( )0 /1 Lt tMI I e τ− −= −

dove LLR

τ = è la costante di tempo del circuito.

Potendo modificare il circuito in modo da escludere la batteria senza interrompere la continuita elettrica (figura tratta da Serway-Jewett, Fisca vol. 2, EdiSes) la corrente si riporta al valore zero. Ciò non avviene istantaneamente a causa della f.c.e.m. L'equazione del circuito è

0 dIL RIdt

= +

la cui soluzione è( )0 / Lt t

inI I e τ− −=dove inI è il valore iniziale della corrente ( 0t t= ). La corrente iniziale corrisponde a quella del circuito precedente nell'istante della commutazione 2S . Se prima della commutazione il circuito con la batteria aveva raggiunto la condizione di stazionarietà, allora

in MI I=

Attenzione, in questo caso semplice la corrente del circuito è anche quella che attraversa l'induttore. In generale, in un circuito più complesso, si deve considerare come MI la corrente che attraversa il ramo dell'induttore.

*) Induttori in serie e in parallelo. quando si può trascurare la mutua induzione. Valgono relazioni analoghe a quelle viste per le resistenze.Induttori in serie: gli indittori sono attraversati dalla stessa corrente (stessa derivata) e la f.c.e.m. dell'induttore equivalente è la somma delle singole f.c.e.m. Pertanto,

eq i eq ii i

dI dIL L L Ldt dt

− = − → =∑ ∑

Induttori in parallelo: gli induttori che sono collegati in parallelo presentano tutti la stessa f.c.e.m. Pertanto, per ciascuno di essi vale / . . . . /i idI dt f c e m L= . La corrente totale

. . . . / . . . . / 1/ 1/i eq i eq ii i i

I I f c e m L f c e m L L L= → = → =∑ ∑ ∑*) Energia del campo magnetico. L'energia che alimenta la corrente nel circuito RL dove è stata esclusa dalla batteria viene fornita dal campo magnetico nell'induttore. Al riguardo, come al campo elettrico, anche al campo magnetico può essere asseganata una densità di energia che nel vuoto vale:

2

0

12Bu B

µ=

0 0 rµ µ µ→ nella materia). Per verificarlo in un caso particolare, si consideri inizialmente l'energia erogata all'induttore per consentire il passaggio di una carica dQ nell'induttore che corrisponde al lavoro fatto contro la f.c.e.m. (da cui il segno -)

. . . . dId dQ f c e m dQLdt

Λ = − =

La potenza erogata èd dQ dI dIL LIdt dt dt dt

Λ = =

L'energia complessivamente erogata partendo da I=0 fino al raggiungimento di una corrente SI è

2

0 0 0

12

S S St t I

S Sd dIdt LI dt L IdI LIdt dt

Λ = Λ = = =∫ ∫ ∫Si consideri ora un solenoide costituito da SN spire di lunghezza Sl e sezione di area SA .Il campo vale

00

S SS S

S S

N BlB I Il N

µµ

= → =

segue che 2

2 22 2

0

1 12 2

SS S

S

lLLI BNµ

Λ = =

Non resta che calcolare l'induttanza 2 2 2

0 0 0 2S S S

S B S S S S S S SS S S

N N NLI N BA A I L A A ll l l

µ µ µ= Φ = = → = =

Sostituendo nella espressione dell'energia dell'induttore si ottiene2

0

12

S

S S

BA l µΛ =

osservando che S SA l =volume solenioide, il risultato trovato è dunque la densità di energia nel solenoide. Si propongono due esempi tratti da “H. Ohanian, Fisica vol.2, Zanichelli”

Problema (H. Ohanian, Fisica vol.2, Zanichelli)

SoluzioneIl campo generato dal solenoide è

0S

S SS

NB Il

µ=

dove si è usato /S SN l al posto del simbolo n per indicare il numero di spire sull'unità di lunghezza. Il flusso attraverso la bobina è

20S

SB b S S b S

S

NN A B N R Il

π µΦ = =

dove 200bN = e 2SA Rπ= è l'area della

sezione del solenoide (non della bobina), perchè solo in quell'area la componente assiale del campo SB è diversa da zero. Il coefficiente di mutua induzione è

20200SB S

S S

NM RI l

π µΦ

= =

E' chiaro che questo risultato non risente della forma della bobina perchè il flusso del campo dipende dalla sezione del solenoide.

Problema ( Serway-Jewett, Fisca vol. 2, EdiSes)

SoluzioneSiano 1 450R = Ω e 24.0BBV V= . La resistenza equivalente relativa ai due resistori R e 1R collegati in parallelo è

1

1eq

R RRR R

=+

La costante di tempo del circuito RL è

( )1 11 1

1 1

LL L

eq L

LR R RL R R L R R RR R R LR

ττ ττ

= = → + = → =+ −

Anche se il testo non lo dice esplicitamente, la corrente prima della commutazione dell'interrurrore era quella del circuito in regime stazionario: /M BB eqI I V R= = . Questa corrente è da considerarsi come corrente iniziale al momento della commutazione: /in BB eqI V R=I risultati siano espressi con tre cifre significative (come i valori degli elemnti elettrici riportati nella figura)Problema ( Serway-Jewett, Fisca vol. 2, EdiSes)

SoluzioneSi tenga conto della sostituzione di simbolo 10.0BBV V= .Il problema chiede di studiare il circuito nella configurazione di S aperto dopo che la corrente ha raggiunto il valore stazionario nel circuito con S chiuso. Attenzione: in questo tipo di problemi si deve sempre considerare la corrente che attraversa l'induttore non quella che attraversa la batteria. Infatti, il valore della corrente iniziale nell'induttore dopo la commutazione dell'interruttore S è quella che si era stabilita nello stesso induttore nel circuito precedente la commutazione. Ovviamente, quando induttore è batteria sono collegate in serie sono anche attraversate dalla stessa corrente. La corrente che attraversa la batteria (quindi S chiuso) è

_

BBBB

eq C

VIR

=

Si tenga ben presente che quando la condizione di stazionarietà è raggiunta, la corrente si mantiene costante e la sua derivata è nulla. Ciò significa che cessa la f.c.e.m. e l'induttanza deve essere trattata come un qualunque conduttore senza effetti di autoinduzione. La resistenza equivalente nel circuito con S chiuso è (2R e R in parallelo e l'altra R in serie)

2

_2 53 3eq CRR R RR

= + =

La corrente che attraversa l'induttore è

_

22 3

BBM BB

eq C

VRI IR R R

= =+

La risposta alla domanda (a) è MI calcolata come sopra.Riguardo alla domanda (b), la corrente iniziale nel circuito con S aperto è

in MI I=e in un istante qualunque successivo all'istante iniziale 0 0t =

_/ L AtinI I e τ−=

dove _ _/L A eq AL Rτ = è la costante di tempo del circuito con S aperto: la resistenza equivalente

_ 2 3eq AR R R R= + = ciò perché le due resistenze (che con S chiuso in regime stazionario agivano come resistenze in parallelo: stessa caduta di potenziale) ora sono attraversate dalla stessa corrente, ossia sono in serie.

Problema ( Serway-Jewett, Fisca vol. 2, EdiSes)

SoluzioneSi consideri il calcolo del flusso del problema della scheda M3 con un identico sistema di conduttori. Si prenda il valore assoluto di questo flusso e si faccia attenzione a non confondere i simboli (al posto di L viene usato l perchè non si confonda una lunghezza con un'induttanza):

2 ln 2 lnBB M M

h w h wk I l M k lh I h

Φ+ + Φ = → = = ÷ ÷

Problema ( Serway-Jewett, Fisca vol. 2, EdiSes)

Soluzione. La soluzione è nelle prime pagine di questa scheda (induttanze in serie e in parallelo).

Problema ( Serway-Jewett, Fisca vol. 2, EdiSes)

SoluzioneSia 12.0BBV V= , 1 1200R = Ω e 2 12.0R = Ω .

La corrente di regime nel circuito con S in posizione a è

2

BBM

VIR

=

La corrente iniziale nel circuito con S in posizione b è in MI I= . Pertanto, la d.d.p. Ai capi di 1R è1

1_ 1 12

in in M BBRV R I R I VR

∆ = = =

La d.d.p. Ai capi di 2R è

2_ 2 2in in M BBV R I R I V∆ = = =Per quanto riguarda la domanda (c), si scriva

_ _/ /

_

. . . . L b L bt tML in

L b

LIdI dV f c e m L L I e edt dt

τ τ

τ− −∆ = = − = − =

dove _1 2

L bL

R Rτ =

+ è la costante di tempo del circuito RL con S in posizione b . l'istante t' in cui

L BBV V∆ = è_ _ _'/ '/ '/1 2 2 1 2

__ 2 1 2 2

' lnL b L b L bt t tM BBBB BB L b

L b

LI V R R R R Re V L e V e tR L R R R

τ τ τ ττ

− − −+ += → = → = → =+

Problema ( Serway-Jewett, Fisca vol. 2, EdiSes)

Il valore della f.c.e.m. fornito dal problema rende irrilevante il valore dell'induttanza (nelle intenzioni dell'autore ciò serve a verificare la preparazione dello studente). Sia 12.0BBV V= , 10.0LV V∆ = , 1 7.50R V= .Quando l'interruttore è chiuso, la corrente che percorre l'induttore si ottiene come corrente di maglia

11

BB LBB L M M

V VV V R I IR

−− = → =

Quando l'interruttore è aperto, la corrente iniziale che attraversa l'induttore è in MI I= questa corrente attraversa anche la resistenza R dando luogo ad una 80.0RV V∆ = :

11

BB L RR in M

BB L

V V VV R I R I R R RR V V

− ∆∆ = = = → =−