competencias para el siglo xxi matemáticas 4

Competencias para el siglo XXI para Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de 4.º de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.

En su elaboración ha participado el siguiente equipo: Liria Alonso GonzálezJosé del Río SánchezRosa Forniés Rejas

EDICIÓN Ana de la Cruz Fayos

EDICIÓN EJECUTIVA Carlos Pérez

DIRECCIÓN DEL PROYECTO Mercedes Rubio CordovésDomingo Sánchez Figueroa

ES

O

4MatemáticasEnseñanzas académicas

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI

Índice

Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . Literatura y Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 . Desarrollo de la competencia matemática . . . . . . . . . 63

4 COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Un nuevo proyecto para una nueva sociedad

En los últimos tiempos estamos asistiendo a una transformación rápida y profunda del modelo de sociedad. Vivimos en la Sociedad de la Información, el Conocimiento y el Aprendizaje (SICA) y quienes no estén preparados para ella se verán excluidos de las actividades más cotidianas.

¿Qué rasgos de esta nueva sociedad tienen mayor incidencia en la educación?

1. Es una sociedad posindustrial, la mayoría de las personas trabajan en los servicios, lo que significa en muchos casos el trabajo con ideas y su comunicación.

2. La innovación es un elemento competitivo fundamental. La creatividad y la inventiva son capacidades altamente valoradas; entendiendo por creatividad la capacidad de generar nuevas ideas o nuevas aplicaciones de ideas antiguas, y de aplicar lo conocido a otros con-textos para dar respuestas útiles.

3. Es una sociedad en cambio constante, se generan multitud de problemas impredecibles que requieren de personas:

– Capaces de resolver problemas y tomar decisiones en un contexto en el que las rece-tas antiguas ya no sirven.

– Que sean flexibles, versátiles y con capacidad y gusto por formarse a lo largo de la vida.

De ahí la importancia en la sociedad actual de saber manejar información y de transfor-marla en conocimiento de forma rápida y eficaz.

4. Es una sociedad con inteligencia colectiva. El éxito o el fracaso no dependen de aporta-ciones personales, sino de las sinergias entre personas, equipos e instituciones. Los entor-nos más innovadores son el resultado de los miles de contactos formales e informales entre personas de distintas empresas y organismos, de forma que es difícil relacionar una innova-ción con una persona concreta. Por tanto, el trabajo cooperativo y la comunicación inter-personal son habilidades básicas en nuestra sociedad.

5. Es una sociedad mediática, por lo que es fundamental educar en la decodificación de los medios de comunicación, incluyendo en este término también el medio digital.

6. Es un mundo global, en el que han pasado a primer plano nuevos retos sociales: la distri-bución desigual de la riqueza, el individualismo cada vez mayor, la debilidad de los vínculos sociales tradicionales, etc. Y estos retos hacen cada vez más necesaria la educación en valores y la educación emocional de nuestros jóvenes. Es preciso desarrollar en ellos actitudes de tolerancia, cosmopolitismo y empatía por los demás; fortalecer los lazos del individuo con la comunidad; y fomentar una ética de la responsabilidad, en un mundo en el que las responsabilidades por los problemas sociales parecen diluirse, son lejanas e in-tangibles.

5COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

¿Cuáles son las competencias para el siglo xxi?

Somos conscientes de que una sociedad como la descrita requiere unas capacidades muy di-ferentes de las que se demandaban hasta hace poco tiempo. Necesitamos personas con las siguientes destrezas:

Destrezas comunicativas

Compromiso ciudadano

Resolución de problemas

Inteligencia emocional y ética

Trabajo cooperativo

Alfabetización digital y multimedia Emprendimiento

Cultura reflexiva, aplicación de distintas formas de pensamiento

La LOMCE plantea el aprendizaje por competencias como una metodología eficaz de ense-ñanza-aprendizaje, adecuada para el desarrollo de las habilidades que requiere la sociedad del siglo XXI. Algunas metodologías se han demostrado especialmente potentes para desarrollar un aprendizaje por competencias:

• El planteamiento de actividades y tareas contextualizadas.

• El trabajo cooperativo.

• El trabajo por proyectos.

En el presente volumen de la Biblioteca del Profesorado se recogen un conjunto de proyectos que le permitirán desarrollar dinámicas y situaciones que facilitarán el desarrollo de las COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI.

José del Río Sánchez

Literatura y Matemáticas

Índice

1. Números reales. Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 El asesinato de Pitágoras (Marcos Chicot)

2. Potencias y radicales. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . 14 Cansados de estar muertos (Juan Bonilla)

3. Polinomios y fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . 18 Alféreces provisionales (Pedro Maestre)

4. Ecuaciones e inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 El contable hindú (David Leavitt)

5. Sistemas de ecuaciones e inecuaciones . . . . . . . 26 La conferencia. El plagio sostenible (Pepe Monteserín)

6. Áreas y volúmenes. Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . 30 Viajes de Gulliver (Jonathan Swift)

7. Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 El ritual de los Musgrave (Arthur Conan Doyle)

8. Vectores y rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 El anillo de Rocamadour (Michael D . Beil)

9. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 La función Delta (Rosa Montero)

10. Funciones polinómicas y racionales . . . . . . . . . . 46 El curioso incidente del perro a medianoche (Mark Haddon)

11. Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Nubosidad variable (Carmen Martín Gaite)

12. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 El amor dura tres años (Frédéric Beigbeder)

13. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 El código Da Vinci (Dan Brown)

14. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 La muerte lenta de Luciana B. (Guillermo Martínez)


El asesinato de Pitágoras

–

Autor: Marcos Chicot

ARGUMENTO

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PORTADA LIBRO


–En la próxima asamblea de la hermandad –dijo Pitágoras– designaré a las personas que han de sucederme al frente de la orden. Mi idea inicial era que una única persona asumiera el mismo pa-pel que vengo desempeñando yo desde hace trein-ta años. Sin embargo, el asesinato de varios de los candidatos, y las graves amenazas que se ciernen sobre todos nosotros, me han llevado a decidir otro sistema de gobierno para la hermandad.

Todos los presentes se quedaron desconcertados. Pitágoras los miró uno a uno y después continuó:

–Voy a nombrar un comité en donde los distintos miembros tendréis papeles diferentes, si bien el peso de vuestro voto será similar en todas las cuestiones que afecten al conjunto de la orden. También ratificaré a los maestros que están al frente de cada comunidad. Asimismo, estableceré un segundo órgano de gobierno, subordinado al comité principal, que estará formado por maes-tros de todas las comunidades. –Su expresión se volvió más grave–. No os voy a engañar. La fun-ción de este segundo órgano será garantizar la supervivencia y unidad de la hermandad en caso

Autor: Marcos Chicot

ARGUMENTO

El filósofo y matemático griego Pitágoras vivió en el siglo VI a. C. Después de viajar por muchos países, fundó en Crotona –una ciudad del sur de Italia– una hermandad de personas que seguían sus ideas, la más importante de la cuales era creer que todo (el cosmos, la naturaleza, la música…) se regía por números naturales y fracciones de números naturales. Eran vegetarianos, se dedicaban a aprender matemáticas, música, astronomía… y sus conocimientos solo se los comunicaban a los que formaban parte de la hermandad, en la cual había distintos grados: discípulos, iniciados, maestros y grandes maestros.

En la novela mueren cuatro de los seis grandes maestros: tres son asesinados y el otro se suicida después de leer una carta enviada por un personaje misterioso, al que llaman el enemigo o el enmascarado. Para descubrir al autor de estos crímenes, recurren a un «detective» egipcio, llamado Akenón, al que ayuda también Ariadna, la hija de Pitágoras. Esta investigación determina la trama de la novela.

En el fragmento siguiente asistimos a una importante reunión, presidida por Pitágoras, en la que participan los dos grandes maestros que quedan vivos, su mujer, su hija, el «detective» y algunos discípulos valiosos.

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COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.


NÚMEROS REALES. PORCENTAJES

1El asesinato de Pitágoras


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de que un nuevo ataque acabe con la vida de algunos de nosotros.

El egipcio Akenón tensó la mandíbula al oír aquello. Es-taba furioso consigo mismo por no haber descubierto el paradero del enmascarado.

–Evandro –dijo Pitágoras volviéndose hacia el gran maestro–, tú llevarás la mayor parte del peso político del comité. Espero poder ayudarte en esa labor durante al-gunos años.

–Sí, maestro. –Evandro inclinó la cabeza humildemente, consciente de que era un poco prematuro que él asumie-ra esa responsabilidad.

–Hipocreonte te apoyará y aconsejará desde el primer momento, y sobre todo cuando yo ya no esté entre voso-tros.

El parco gran maestro Hipocreonte hizo un gesto de asentimiento. Aunque detestaba la política, tenía muy presente la difícil situación y haría cuanto estuviera en su mano por el bien de la hermandad.

Pitágoras se detuvo un momento para ordenar sus pen-samientos; sin embargo, lo que acudió a su mente fue el recuerdo de los grandes maestros que había perdido:

«Han muerto cuatro de mis seis candidatos».

El último, Aristómaco, se había suicidado cuando Pitá-goras todavía no había asumido la pérdida del anterior, Orestes. La muerte de Aristómaco lo afectaba especial-mente. Siempre había sido como un hijo inseguro, un genio de las matemáticas con un alma demasiado sensi-ble. Además, era el mejor matemático que le quedaba a

la orden. Tendría que haber sido el responsable de la parte académica del comité.

Pitágoras siguió ensimismado sin darse cuenta de que el resto de asistentes aguardaba a que continuara. El suici-dio de Aristómaco, después de leer aquella carta, le ha-bía revelado cuestiones terribles. Quien lo había empu-jado al suicidio, quien le había enviado el pergamino, poseía un dominio sobre la mente de los hombres que resultaba pavoroso. Ya lo había demostrado cuando hizo que otros miembros de la hermandad mataran a Ores-tes, «pero lo de Aristómaco es algo más propio de un dios que de un ser humano».

Otra cuestión era el hecho de que el enemigo hubiese realizado un descubrimiento que lo situaba muy por en-cima de sus propias capacidades. Ahora Pitágoras tenía claro que, al menos en matemáticas, él mismo no era más que un principiante comparado con el asesino.

El propio descubrimiento era algo de lo que Pitágoras pensaba que nunca podría reponerse. En la carta a Aris-tómaco el enemigo había revelado, de nuevo con genial sencillez, algo que echaba por tierra toda su concepción del mundo. Él había creído que en el universo, en su cosmos, todo guardaba una proporción asequible y ma-nejable con las herramientas matemáticas que estaban desarrollando. El enemigo había destruido sus preten-siones de predecir y dominar los misterios de la natura-leza. Con el descubrimiento de los números irracionales había abierto una puerta al inabarcable infinito.

«Creía que habíamos avanzado mucho en la conquista del conocimiento, y en realidad nos encontramos frente a un abismo sin límites».


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Pitágoras continuaba callado, con la mirada perdida y expresión de perplejidad. Los presentes comenzaron a mirarse unos a otros sin saber qué hacer. Finalmente Akenón simuló una tos y el filósofo pareció despertar. En su rostro apareció una fugaz expresión de alarma.

«Nadie debe saber en qué estoy pensando».

Había decidido que de momento mantendría en secreto el descubrimiento de los irracionales. Aristómaco se ha-bía suicidado para eliminar toda prueba de su existen-cia, incluidos los rastros presentes en su propia mente. Había sido un desesperado intento de proteger a la or-den, alentado por las perversas palabras de su enemigo. Pitágoras no iba a suicidarse, pero de momento intenta-ría mantener a la hermandad al margen de aquello. Si se hiciera público ahora, todos los miembros de la orden sufrirían una conmoción similar a la suya. «Eso podría significar la desintegración de la hermandad».

Por supuesto, el asesino podía darle difusión a aquello cuando quisiera, pero todavía cabía la posibilidad de que lo atraparan antes. Pitágoras, por otra parte, se daba cuenta de que la existencia de irracionales era sencilla-mente la realidad.

«Son un hecho. Es inevitable que alguien vuelva a des-cubrirlos antes o después. El camino del conocimiento necesariamente desemboca en los irracionales, en el in-finito inmanejable. –Sin darse cuenta negaba lentamente con la cabeza–. ¿Qué podemos hacer?».

No tenía respuesta a esa pregunta que llevaba una se-mana haciéndose sin parar.

–Milón –continuó por fin con voz ronca–, tú también es-tarás en el comité. No tienes el grado de maestro pero eres uno de nuestros hermanos más fieles y valiosos. Nadie tiene tanto prestigio como tú entre los ciudadanos de Crotona, eres uno de los miembros del Consejo de los 300 de más peso y el ejército te es leal.

Milón respondió emocionado:

–Haré cuanto esté en mi mano, maestro.

Pitágoras se volvió hacia su mujer.

–Téano, tú llevarás la mayor parte del peso académico de la orden, y también ejercerás de consejera política. Tu prudencia y sabiduría siempre han sido motivo de orgu-llo para la orden.

–Esposo mío –respondió Téano con su voz tranquila y melodiosa–, siempre estaré a tu servicio y al de nuestra hermandad. Gustosamente formaré parte de ese comité, igual que espero que lo hagas tú durante muchos años.

Las palabras de Téano suavizaron ligeramente la rigidez del rostro de Pitágoras.

–En cuando a Akenón y a mi hija Ariadna –prosiguió–, aunque no formaréis parte del comité, asistiréis a las reuniones relacionadas con la investigación de los crí-menes.

Akenón asintió con cara de circunstancias. Estaba pen-sando en el pergamino que había recibido Aristómaco justo antes de suicidarse. Examinarlo solo le había servi-do para comprobar que estaba impregnado de alguna sustancia que lo protegía del fuego. Pitágoras había res-pondido con evasivas a su pregunta de por qué Aristó-maco había intentado quemarlo. Además, no le había permitido ver su contenido, únicamente inspeccionarlo




1El asesinato de Pitágoras


ACTIVIDADES

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ACTIVIDADES

1 Los pitagóricos creían que todas las medidas podían expresarse con números enteros y fracciones de números enteros (números racionales) y se produjo una gran conmoción cuando algunos miembros descubrieron la existencia de medidas que no podían expresarse con números racionales, como sucede con la diagonal del cuadrado cuando se toma como unidad el lado. Al parecer, este fue uno de los secretos mejor guardados en la hermandad, circunstancia que aprovecha el autor de la novela para construir su argumento.

a) ¿Por qué es un número irracional la medida de la diagonal del cuadrado?

b) Escribe tres números irracionales que expresen medidas de segmentos.

2 Representa en la recta real los números -2,1; 3; 2 1+ ; 1 3- ; r.

3 Razona si las siguientes medidas son números racionales o irracionales:

a) El área de un círculo de 3 cm de radio.

b) El área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 4 cm.

c) El área de un rectángulo de 11,6 cm de largo y 3,08 cm de ancho.

4 Describe y representa los siguientes intervalos: (-2, 4); [-5, +`); (7, 10].

5 Describe y representa los siguientes intervalos:

a) El conjunto de números reales x para los cuales existe x .

b) El conjunto de números reales que distan menos de 2 unidades de -2.

c) El conjunto de números reales x tales que x 5# .

por el reverso y solo en su presencia. Por otra parte, sa-bía que a Ariadna ni siquiera se lo había enseñado.

«Debe de contener uno de sus grandes secretos».

Akenón levantó la cabeza hacia Ariadna, sentada en-frente. Apenas habían hablado desde hacía casi una se-mana. Sus miradas se cruzaron y él esbozó una sonrisa. Ariadna dudó un instante y después desvió la vista con rapidez, produciendo en Akenón la misma sensación que si le hubiera dado una bofetada.

Ella era consciente de que se mostraba mucho más re-servada desde hacía varios días, pero prefería eso a arriesgarse a que alguien se diera cuenta del secreto que ocultaba con tanto celo.

A pesar de que se sabía de memoria el pergamino de su madre sobre el embarazo, de vez en cuando lo desplega-ba en la soledad de su habitación y releía su contenido. Le fascinaba ir encontrando en su cuerpo los cambios y síntomas que allí se describían. También leía con emo-cionada aprensión todo lo que iba a ocurrir en el futuro.

Apoyó una mano en su vientre sin darse cuenta. Sabía que podía poner fin a aquello con determinadas hierbas, pero había decidido tener a su hijo.

La reunión prosiguió con detalles sobre la futura asam-blea. Ariadna dejó de prestar atención a su entorno, como hacía con frecuencia últimamente, y siguió centra-da en su embarazo.


Autor: Juan Bonilla

ARGUMENTO

Morgana, la joven protagonista de esta novela, acaba de perder a su madre. Un día conoce a Fausto, quien, veinte años atrás, le escribía a la muerta enfebrecidas cartas de amor, que nunca tuvieron respuesta. Tanto Morgana como Fausto están cansados de vivir la vida como si estuvieran muertos. Juntos compartirán esperanzas y desconsuelos al lado de otros personajes que, a pesar del cansancio, siguen buscando pretextos para mantenerse en pie, para no rendirse, para defenderse de la rutina.

La escena representada en el siguiente fragmento –un viaje de Morgana en el metro– nos sirve para conocer el carácter y los gustos de la joven protagonista.

Cansados de estar muertosMorgana va en un vagón de metro. Se dirige al piso de unas compañeras de Facultad. Necesita recaudar los apuntes de la temporada durante la que ha faltado a cla-se. Morgana estudia tercero de Matemáticas. Si alguien le pregunta cómo es eso, por qué Matemáticas, ella se refugiará en la historia del astrónomo, el físico y el mate-mático que llegaron a Escocia y distinguieron, a través de la ventana del salón del hotel en el que se hospeda-ban, una oveja negra que pastaba en el prado que circun-daba el edificio. El astrónomo exclamó: Qué fascinante, en Escocia las ovejas son negras, suscitando la protesta del físico, que reaccionó corrigiéndole: No, algunas ove-jas escocesas son negras. El matemático, al ser requerido para que interviniese, se limitó a sugerir: solo puedo de-cir que en Escocia existe al menos un prado que tiene al menos una oveja con al menos uno de sus costados de color negro. Aquella viñeta, recogida en uno de esos li-bros que se aventuran a demostrar el embrujo de las ma-temáticas y se dirigen a quienes las temen o detestan en tal medida que jamás anularán su temor o desprecio por muy atractivas que quieran presentárselas, expresaba mejor que cualquier confesión personal por qué a Mor-gana le entusiasmaban las matemáticas, una disciplina erigida sobre la pura abstracción que permitía mirar a la


Cansados de estar muertos

POTENCIAS Y RADICALES. LOGARITMOS

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apariencia de las cosas sin dejarse engañar por ellas, ya que te arrimaba a la realidad sin flaquear, dando por su-puesto aspectos que ocultaban trampas. Las matemáti-cas abolían las opiniones y los credos basados en el humo de la fe, y esto era suficiente motivo para confiar en ellas, para encontrar calor en su frialdad.

A Morgana le apasionan los números: esa sociedad ma-ravillosa que consiente gremios tan fantásticos como los números imaginarios, aquellos que no tienen más reme-dio que existir aunque nadie consiga ubicarlos en un lugar preciso de la línea de números, como la raíz cua-drada de los números negativos, por ejemplo; o los incó-modos números irracionales, aquellos a los que nunca nadie logrará conocer del todo, pues no permiten que se les defina íntegramente, como la raíz cuadrada de dos, por ejemplo, o π, que ya ha sido descrito con ocho millo-nes de decimales. También le apasiona la propia Historia de las Matemáticas. Entre sus proyectos no descarta Morgana emplearse alguna vez en la redacción de un libro de siluetas biográficas de las más memorables fi-guras de la Historia de las Matemáticas. Dedicaría un capítulo al papel de las mujeres en esa Historia, destina-ría muchas páginas a abordar a Sophie Germain, que aplicó las matemáticas al desamor para concluir que el olvido del ser que amamos aumenta en progresión arit-mética durante las primeras semanas de ausencia, pero geométrica a partir del primer mes.

Morgana también se esfuerza en calcular y descubrir números perfectos (aquellos cuyos divisores sumados dan como resultado el propio número, por ejemplo 6, pues 1 más 2 más 3 es igual a 6), y números amigos y números sociables y números automórficos. X es amigo de Y cuando la suma de los divisores de X da como re-

sultado Y, a la vez que la suma de los divisores de Y da como resultado X. V, W, X, Y y Z son números sociables cuando la suma de los divisores de V da como resultado W, la suma de los divisores de W da como resultado X, la suma de los divisores de X da como resultado Y, la suma de los divisores de Y da como resultado Z y la suma de los divisores de Z da como resultado V, formando una cofradía cerrada e inexplicable. No le importa descubrir a Morgana lo que ya hace mucho que se descubrió. No ignora que hay ya cientos de parejas de números ami-gos y decenas de sociedades de números historiados. Eso no reduce la sensación de plenitud que alberga cuando consigue dar con una nueva pareja que no tenía catalogada en alguno de sus cuadernos. Los números sociables son mucho más caros, desde luego, casi inal-canzables. Ponen a prueba la paciencia y la capacidad de trabajo del explorador que se atreve a buscados sin recurrir a un vulgar programa de ordenador, tirando solamente de cálculo y codos. En cuanto a los números automórficos, aquellos cuyas potencias siempre repiten en sus últimas cifras el número en cuestión, Morgana logró, por casualidad, encontrar el 76, que elevado al cuadrado da 5 776; al cubo, 438 976, a la cuarta potencia, 33 362.176, y a la quinta, 2 535 525 376. La fascinan este tipo de curiosidades aparentemente inservibles. Los nú-meros capicúas, por ejemplo: si tomas un número cual-quiera y lo vuelves del revés, al sumar ambos números tiene que darte un capicúa, 102 más 201 es igual a 303. Si en la primera suma no consigues un capicúa, tienes que repetir la operación hasta alcanzado. Para el 187, por ejemplo, Morgana necesitó 23 sumas que depararon el 8.813 200 023.188, o sea, un capicúa.


Morgana está, además, enamorada del número 26, el único número del Universo encajado entre el cuadrado de un número y el cubo de otro. Esa particularidad que lo distingue parece a simple vista azarosa e inexplica-ble, pero Fermat [magistrado y matemático francés del s. XVII] demostró que no podía haber otro número que poseyera esa distinción, una distinción que a Morgana la abruma y maravilla. A pesar de que las matemáticas la alejan de cualquier concesión a las supersticiones, a ella le gusta auparse por algún momento al podio desde el que los perezosos visionarios se atreven a predecir el futuro, y se deja impregnar por la certidumbre de que cuando cumpla 26 años vislumbrará por fin el sosiego que todavía no han conseguido rozar las yemas de sus dedos. 26 años tenía su padre cuando ella fue concebi-da, pero eso ¿qué quiere decir? Es un dato inocuo que, sin embargo, la satisface, como la satisface sin duda el hecho de haber nacido el 17 del 7 de 1979, una ristra de números primos. Descubrir números primos de muchas cifras es otra de sus obsesiones. Se puede pasar horas calculando números enteros de 20 cifras que solo se de-jen dividir por sí mismos o la unidad. Y en fin, otro de sus números predilectos es, sin duda, el 10 elevado a 87 (encargó que le imprimieran ese número en su camiseta favorita): es el número que declara la cantidad de partí-culas elementales que integran el Universo.

Las matemáticas le sirven por encima de cualquier otra cosa para no precipitarse en sacar conclusiones baratas: si ve una oveja negra pastando en un prado escocés no se rebaja a dar por probado que todas las ovejas escoce-

sas son negras, ni siquiera que algunas ovejas escocesas son negras. Lo único que le dice la visión de la oveja que pasta en el prado es que en al menos un prado de Esco-cia hay al menos una oveja con al menos uno de sus cos-tados de color negro.

El convoy se detiene en una estación y a Morgana, hasta ese momento absorta en la contemplación de las líneas de las palmas de sus manos, como si se estuviese esfor-zando en deletrear el mensaje escrito en ellas, la sacude la voz de un viajero que, apartando de su boca el cora-zón de una manzana oxidada, refunfuña: lo que faltaba, hoy nos va a tocar discurso. Se está refiriendo al mucha-cho que en el pasillo del vagón vecino avanza clamando acerca de la irresponsabilidad de los intelectuales en la sociedad actual. Es el comandante Aliguieri. Al princi-pio, a Morgana le cuesta identificarlo. Solo ve a un tipo vestido con casaca militar que se dirige a los viajeros indiferentes del vagón situado justo delante de aquel en el que ella está. Con un poco de suerte, cuando el tren alcance la próxima estación, el comandante ingresará en el vagón de Morgana y esta podrá oír lo que ahora el muchacho arroja a los viajeros del otro vagón. Morgana se dedica a observar al muchacho. La puesta en escena, librada de la voz, produce un efecto hilarante: es como si el comandante confundiese profesionalidad y eficacia teatral con exageración abusiva de gestos. Por momen-tos parece uno de esos bailarines que consideran que su arte estará más logrado cuanto más se acerque a la epi-lepsia. El tren reduce velocidad y le arranca un largo la-mento a la vía. Aparecen por fin los azulejos que prece-den en el túnel al andén de la nueva estación. El comandante se apresura en concluir su discurso, avanza los pasos que le separan del final del pasillo y entonces


2Cansados de estar muertos

POTENCIAS Y RADICALES. LOGARITMOS

ACTIVIDADES

1 Resume las razones por la cuales a Morgana le gustan las matemáticas.

2 a) Morgana asegura que las raíces de los números negativos son números imaginarios. ¿Qué quiere decir?

b) Además del número 76, hay muchos otros números automórficos. Descubre los números automórficos menores que 10.

c) Haz una lista con las diez primeras potencias de exponentes 2 y 3 y comprueba la afirmación de Morgana sobre el número 26.

3 Busca en libros o en Internet las siguientes cantidades o medidas y exprésalas en notación científica:

a) La cantidad de partículas elementales del universo (comprueba el dato que aporta la novela).

b) El diámetro medio de un glóbulo rojo.

c) Los metros a los que equivale un ángstrom.

4 Realiza las siguientes operaciones y reduce el resultado todo lo que sea posible:

a) x y

xy x

1025

3

2 3

-

-

b) -

:81 8125

23

c) ?32

232 3- -

e eo o d) ? ?51

225

253 2 1- - -

ef eo p o

5 Realiza las siguientes operaciones y reduce el resultado todo lo que sea posible:

a) ?2 4 8 53 3 6+ b) :15 25

3 6 c) 6 78 36

3 12- d) :90 10

5_ _i i

mo caso. Otros se burlan de él con comentarios susurra-dos. Al pasar junto a Morgana, el comandante deposita una mirada en el sombrero de la muchacha, pero no llega a reconocerla. Continúa su charla, que por momentos al-canza tal encendimiento que parece que va a concluir gri-tando Goooooool, pero ha de precipitarla cuando el tren empieza a reducir la velocidad. Morgana se pone en pie y se encamina hacia la puerta más cercana.

se da la vuelta y solicita, recorriendo otra vez todo el pa-sillo del vagón, una moneda a los impertérritos viajeros.

¿Qué les habrá contado?, se pregunta Morgana. Es evi-dente, a juzgar por la puesta en escena y la exacerbada teatralidad, que no habrá sido una confesión lamenta-ble, tipo «estoy en paro, acabo de salir de la cárcel don-de cumplí diez años por acuchillar al amante de mi mu-jer, necesito darle de comer a mis nueve hijos, dos de ellos gemelos y uno retrasado mental, mi mujer se acabó fugando con el cirujano que le cosió la herida a su ante-rior amante, mis padres me repudian porque en la cárcel he aprendido a escribir poemas sin faltas de ortografía». Piensa Morgana que si el comandante, al que ya ha re-conocido, se dejase ayudar, le aconsejaría que […] debe-ría permanecer quieto al fondo del pasillo, reclamar atención, largar lo que tuviese preparado, y solo cuando el tren empezase a frenar avisando de la inminencia de su llegada a la estación, precipitar las conclusiones del discurso y entonces sí, avanzar por el pasillo solicitando a los viajeros la moneda que recompensase su esfuerzo.

El comandante se apea del vagón en el que ha actuado y se aloja en aquel en el que va Morgana. […] Morgana tra-ta de disimular su sonrisa llevándose una mano a la boca. Observa cómo el comandante avanza por el pasillo a la vez que su discurso sobre el papel de los artistas se com-plica y enrevesa, porque el exceso de frases subordinadas le hace perder ritmo. Va repartiendo miradas entre los pasajeros, muchos de los cuales no le hacen el más míni-


Desarrollo de la competencia matemática

Localización de los contenidos curriculares en el cuadernoSi bien el Cuaderno de actividades para el desarrollo de la competencia matemática de 4.º de la ESO no responde directamente al currículo correspondiente, se nutre de él tal como se muestra en el siguiente cuadro:

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Bloque de contenidos Página

Proyecto 1 La Torre Eiffel Contenidos comunes. Aritmética y álgebra. Geometría.

66

Proyecto 2 Álgebra mágica Contenidos comunes. Aritmética y álgebra. Geometría.

74

Proyecto 3 Día del libro Contenidos comunes. Aritmética y álgebra. Funciones y gráficas. Estadística.

82

Proyecto 4 Las elecciones Contenidos comunes. Aritmética y álgebra. Funciones y gráficas. Estadística.

90

Proyecto 5 Día escolar de las Matemáticas: La historia de las matemáticas (I)

Contenidos comunes. Aritmética y álgebra.

Proyecto 6 Día escolar de las Matemáticas: La historia de las matemáticas (II)

Contenidos comunes. Aritmética y álgebra. Funciones y gráficas.

106

Proyecto 7 El parque natural Contenidos comunes. Aritmética y álgebra. Geometría. Funciones y gráficas. Estadística.

114

Proyecto 8 La matemática que nos rodea Contenidos comunes. Aritmética y álgebra.

122

Proyecto 9 Las matemáticas nos enseñan Contenidos comunes. Aritmética y álgebra. Geometría.

130

Proyecto 10 Educación vial Contenidos comunes. Aritmética y álgebra Funciones y gráficas. Estadística.

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98

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La torre eiffel

La Torre Eiffel es el monumento más visitado del mundo. Cada año

la visitan más de seis millones de personas. Subir a su mirador es una experiencia inolvidable para todos los que pasan por París.

La torre se construyó, según el proyecto del ingeniero Gustave Eiffel, con motivo de la Exposición Universal de 1889, año en el que se conmemoraba el centenario de la Revolución Francesa.

La torre está compuesta por 18 000 piezas de hierro, ensambladas con 2,5 millones de remaches. Su peso original es de 7 300 toneladas. Es, pues, una torre extremadamente ligera. De hecho, su peso es inferior al del aire que contiene en su interior. Hasta 1930 fue el edificio más alto del mundo.

La belleza de la torre no fue comprendida en su momento. Incluso se preveía desmontarla poco después de acabada la exposición. La polémica sobre su oportunidad estuvo viva durante la primera década del siglo XX. Curiosamente, lo que la salvó fue el hecho de que, durante la Primera Guerra Mundial, las antenas que colocaron sobre ella permitieran la escucha de las emisiones alemanas.

Sin embargo, hoy esta obra tan singular es considerada, con justicia, como la que mejor expresa la audacia y la originalidad en el diseño y la eficacia de las matemáticas en el cálculo de las estructuras.

25 5

30

25

20

15

10

5

Proyecto 1


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1

¿Hasta qué distancia se puede ver desde lo alto de la Torre Eiffel?

Observa el siguiente dibujo:

El punto P representa la cúspide de la Torre Eiffel. En teoría, un observador situado en el pun-to P (el más alto de la torre) llegaría con su vista hasta el punto T sobre la superficie terres-tre. El punto T es el punto donde la circunferencia de la Tierra se corta con la tangente traza-da a esta desde P. Observa que el ángulo PTO es recto. El radio de la Tierra es R y la altura de la Torre Eiffel es t.

a) ¿Sabrías reconstruir tú mismo este esquema utilizando la regla y el compás? ¿Cómo se traza la tangente a una circunferencia desde un punto exterior P? ¿Por qué se hace así? Busca la información que necesites para responder.

P

T

R

O

a

l

R 1

t

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Proyecto 1Mate

MÁticas

b) Expresa el valor del coseno del ángulo α en función de los valores R (radio de la Tierra) y t (altura de la torre).

c) Particulariza la fórmula anterior para los siguientes valores: radio de la Tierra, R 5 6 380 km, y altura de la Torre Eiffel, t 5 300 m 5 0,3 km.

d) Utiliza la calculadora y determina cuánto vale el ángulo α en este caso. Da el resultado en grados, minutos y segundos y, también, en radianes.

e) ¿Cuál es el valor de la longitud del arco l?

α 5 º ’ ” 5 rad

Escribe la fórmula que expresa la longitud de arco l en función del radio de la circunferencia y del valor del ángulo central α, expresado en radianes.

l 5 km

cosα 5

......................... .................

5

cosα 5

cateto contiguohipotenusacosα 5

.....................

R

O

a

l


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f) Escribe una fórmula general l 5 f (t), quenos dé la longitud del arco l en función dela altura t de la torre. Esta función, por asídecirlo, indica cómo se aleja la línea delhorizonte según se asciende sobre la su-perficie terrestre. Comprobar este hechocorrobora que la Tierra es esférica.

g) Contesta a las siguientes preguntas sobre la función l 5 f ( t ), teniendo en cuenta susignificado geométrico y no su expresión analítica:

1. ¿Cuál es el valor de l cuando t 5 0?

2. ¿Si t aumenta, también aumenta l? ¿La función es creciente?

3. ¿Qué pasa con l cuando t es muy grande? ¿Por mucho que aumente t, hay algúnvalor de l que no se puede sobrepasar? ¿La función tiene asíntota horizontal?

h) ¿Cuál de las siguientes gráficas es la que corresponde a la función l 5 f ( t )?

La función inversa de la función coseno, se llama “arco coseno”.

y 5 cosα ⇔ α 5 arccos y

A

C

B

D

l l

ll

t t

tt


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Proyecto 1M

ate

MÁ

tic

as

2

El problema siguiente es muy parecido al anterior, aunque algo más complicado.

Un avión de reconocimiento vuela a 20 000 metros de altura. ¿Qué área de la superficie te-rrestre es capaz de observar? ¿A qué distancia del avión están los puntos más alejados de su zona visible? (El radio de la Tierra es R 5 6 380 km).

El problema se puede resolver de dos maneras:

– Una es aproximada y considera que la superficie observada es un círculo plano, de radio a.

– Otra, más precisa, considera que la zona observada es un casquete esférico.

Observa el siguiente dibujo:

P

P

M

O

R 2 hT

d

T

t

h

N

M

O

a

R

N


11

a) Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la distancia d 5 PT.

b) Escribe la función que, en general, exprese la distancia d 5 f ( t ) según la altura t a la que vuela el avión.

c) Contesta a las siguientes preguntas sobre la función d 5 f ( t ), teniendo en cuenta su significado geométrico y no su expresión analítica:

1. ¿Cuál es el valor de d cuando t 5 0?

2. ¿Si t aumenta, también aumenta d? ¿La función es creciente?

3. ¿Qué pasa con d cuando t es muy grande? ¿La función tiene asíntota horizontal?

d) Da una fórmula para obtener el valor de h en función de los cosenos:

– Si se considera el triángulo rectángulo OTP, cosα 5 R

R 1 t.

– Si se considera el triángulo rectángulo OMT, cosα 5 R 2 h

R .

Se igualan ambas expresiones y se despeja el valor de h. Particulariza el valor de h para los datos del problema.

d 5 km

h 5 km


12

Proyecto 1Mate

MÁticas

e) A este mismo resultado se puede llegar si se considera que los triángulos OTP y OMT son semejantes y si se aplica la proporción de los lados homólogos:

Cateto grandeCateto grande’

5

HipotenusaHipotenusa’

Razónalo.

f) La longitud a es el «radio de la zona de observación». Calcula el valor de a.

g) El radio, a, de la zona de observación varía según la altura, t, del avión. Haz un esbozo de la gráfica de la función a 5 f ( t ).

h) Calcula el área, S’, de la zona observada desde el avión, considerándola aproximada por un círculo de radio a. Previamente, calcula el valor de a.

a 5 km

S’ 5 km2

a

t


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i) Para determinar de manera precisa el área de la superficie te-rrestre observada por el avión, necesitarías saber la fórmula del área superficial de un casquete esférico. Búscala y cópiala a continuación junto con un dibujo explicativo:

j) Expresa el área del casquete de la esfera terrestre observado por el avión que aparece en el problema.

k) Compara el resultado con el obtenido anteriormente considerando un círculo plano. ¿Qué diferencia hay? ¿Cuál es el porcentaje de error que se comete?

S 5 km2

S 2 S’ 5 km2

% de error 5 %

Porcentaje de error 5

5

valor real 2 valor aproximadovalor real

3 100


Álgebra mágicaProyecto 2

MA

TEM

ÁTI

CA

S

Toma la hoja de un calendario cualquiera. No importa ni el año, ni el mes. Elige dentro de ella, donde tú quieras, un cuadrado de cuatro números. Súmalos y apunta la suma en un papel. No me la digas. Yo la voy a adivinar.

Es el 14.

Ahora, dime el número más pequeño de tu cuadrado.

Es verdad. ¿Cómo lo sabes?

La suma de los cuatro números de tu cuadrado es 72, ¿a que sí?

14 + 15 + 21 + 22 = 72

A 14 le sumo 4 y el resultado lo multiplico por 4:(14 + 4) 3 4 = 18 3 4 = 72

Diciembre 2010

Lun Mar Mié Jue Vie Sáb Dom

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13 14 15 16 17 18 19

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27 28 29 30 31


El siguiente día de la semana ocurre dentro de siete días.

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1

Acabas de leer un juego de magia matemática.

El matemático-mago que aparece vestido al estilo árabe, vivió y desarrolló su trabajo de in-vestigación matemática en Bagdad, en la primera mitad del siglo IX. Trabajó en una institu-ción llamada la Casa de la Sabiduría, fundada por el califa al-Mamun. Debemos a su nombre y al de su obra principal, Al-Jabr wa’l muqabalah, las palabras álgebra, guarismo y algoritmo. De hecho, es considerado como el padre del álgebra y como el introductor del sistema de numeración posicional de base diez que utilizamos actualmente.

¿Quién es el personaje que hace de mago matemático? Averigua algo más de su vida. Dise-ña un collage sobre él para decorar tu aula.

El personaje es:

2

Si en el juego de magia matemática te dicen que el número más pequeño del cuadrado es el 12, ¿sabrías reconstruirlo completamente?

¿Podrías completar los siguientes cuadrados tomados de las fechas de una hoja de un calen-dario y calcular su suma? ¿Alguno de estos cuadrados es imposible? ¿Se cumple en ellos la regla que utiliza el mago?

Suma 5 Suma 5

12

12

21

a) b)


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Proyecto 2M

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MÁ

tic

as

Suma 5 Suma 5

3

Justifica la regla que usa el mago para averiguar la suma de los cuatro números del cuadra-do tomado de la hoja de un calendario a partir del valor del número más pequeño.

4

Si el mago, en vez de preguntar por el número más pequeño del cuadrado y a partir de ese dato obtener la suma, lo que hiciese fuera preguntar por la suma, ¿podría reconstruir todo el cuadrado? ¿Cómo?

4

18

c) d)

x x + 1

x + 7 x + 8


17

■ Completa el cuadrado a partir del valor de la suma. ¿Hay algún caso imposible?

Suma 5 32 Suma 5 80

Suma 5 72 Suma 5 62

5

¿Entre qué valores (el valor más pequeño y el valor más grande) puede estar la suma de los cuatro números de un cuadrado de fechas?

a) Busca alguna condición, relacionada con la divisibilidad, que debe cumplir la suma.

a) c)

b) d)

# Suma #


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Proyecto 2M

ate

MÁ

tic

as

6

A partir del juego de adivinación matemática visto al principio, se pueden hacer algunas va-riantes.

Escribe una regla que le permita al mago averiguar la suma de los cuatro números del cua-drado, en el supuesto de que, en vez de preguntar al público por el número más pequeño, se pregunte por el más grande. Previamente, completa la siguiente tabla:

7

Un día de otoño, el mago pidió al público que eligiera en una hoja del calendario un cuadrado de tres por tres y que hallara la suma (sin decirla) de los nueve números elegidos.

Más tarde, el mago preguntó por el núme-ro más pequeño que aparecía en el cua-drado para, a partir de ese dato, averiguar la suma que había calculado el público.

Formula una regla para que el mago adi-vine la suma a partir del número más pe-queño del cuadrado.

En el ejemplo, la suma es 126 y el número más pequeño es 6.

x 2 7

x 2 1 x

Agosto 2021

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23 24 25 26 27 28 29

30 31


19

■ Previamente, completa la tabla.

8

En el caso del cuadrado formado por nueve números, ¿cuáles son los valores máximo y míni-mo que puede alcanzar la suma de todos ellos?

# Suma #

x x 1 1 x 1 2

x 1 7 x 1 8

Escribe una fórmula que expre-se la suma, S, en función del número más pequeño, x.


Proyecto 2M

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S

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En el problema de adivinación con un cuadrado de fechas de tamaño tres por tres, se sabe que la suma de los nueve números es 171.

a) ¿Cuál es la cifra central?

b) ¿Cuál es la media de los nueve números del cuadrado?

c) Escribe una fórmula que exprese el valor de la suma en función del valor de la cifra central del cuadrado.

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El mago continuó con el juego del cuadrado de tres por tres. El público se quejaba de lo com-plicado de sumar nueve números. Para agilizar el juego, el mago se ofreció para averiguar la suma de los tres números que están en la diagonal sabiendo el valor del más pequeño.

a) ¿Las dos diagonales del cuadrado suman lo mismo?


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b) Escribe una fórmula que dé la suma de los tres números de la diagonal en función del valor del más pequeño.

11

Busca en alguna enciclopedia o en Internet quién era Diofanto. Escribe algunos datos sobre su vida y también el problema que, según la tradición, dejó escrito uno de sus alumnos sobre su tumba. ¿Por qué es famoso este problema de la tumba de Diofanto? ¿Qué son las ecuacio-nes diofánticas? Prepara un collage sobre Diofanto para decorar el aula de tu centro escolar.


competencias para el siglo xxi matemáticas 4

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